Int ern at i onal  Journ al of Ele ctrical  an d  Co mput er  En gin eeri ng   (IJ E C E)   Vo l.   9 , No .   3 ,  J un e   201 9 , pp.  1585~1 597   IS S N: 20 88 - 8708 ,  DOI: 10 .11 591/ ijece . v9 i 3 . pp 1585 - 15 97          1585       Journ al h om e page :  http: // ia e s core .c om/ journa ls /i ndex. ph p/IJECE   Dynami c model  of a   DC - DC qu asi - Z - sou rce c onvert er (q - ZS C)       Muhamm ad  Ado 1 , Aw ang  Ju s oh 2 ,  Abdul ha mi d  Usm an Mu t awak kil 3 ,  Tole S ut ikn o 4   1,2 School  of El ectrical   Engi n ee rin g,   Univer si ti T ek nologi   Ma lay sia ,   Malay si a   1,3 Ba y ero   Univ er sit y   Kano, Nige r ia     4 Depa rtmen t of  El e ct ri ca l   Eng in ee ring ,   Univ ersitas Ahm ad  Dahlan,  Indone si a       Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   A ug  10, 201 8   Re vised N ov 20, 2 018   Accepte d Dec  11, 201 8     Two  quasi - Z - so urc e  DC - DC  co nver te rs  (q - ZSCs)  with  buck - bo ost  conve r te r   gai n  w ere  r e ce nt l y   proposed .   Th e  conve rt ers  h av e  adva nt age s   of  cont inuous   gai n  cur ve ,   high er  ga in  m agnitu de  and   buck - boo st  oper a ti on  at  ef fic i ent   d u t y   rat io   ran ge   whe n  compare d  wi t h  exi sting   q - ZS Cs.  Acc ura te  d ynamic  m odel s  of  the se  converte rs  ar e  ne eded  for  global  a n d  det a il ed   ov erv ie w  b y   under standi ng   t hei r  op erati on   li m it s  and   eff e ct s  of   components  siz es.   A  d y namic   m odel   of  on e  of  the s e  conv ert ers  is  pr oposed  her e  b y   f irst  der iv ing  the   g ai n   equatio n,   sta te  equation s  and  sta te  spac e   m odel .   A  gen er al i ze d  sm al l   signal   m odel  wa s  al so  d eri v ed  b e fore   loc a li z ing  it  to  th is  topo log y .   The   tra nsfer   func ti ons  ( TF)  were   a ll  der iv e d,   th e  po le s  an d  ze ros   anal y z e d  with  the   boundar ie s   for   st abl e   op era t ions  p rese nte d   and   disc uss ed.   Som e  o f   t he  f indi ngs   inc lud e  exi st ence  of  righ t - hand   pla ne  (RHP )  z er o  in  the  dut y   r atio  to  outpu t   ca pa ci tor   voltag e  TF.   Thi s  is  c om m on  to  the   Z - source   and  qu asi - Z - source   topol ogie s   and   impli es  con tr ol  l imitations.   Para siti c  r esistance s  of   th e   ca pa ci tors  and  in duct ors  aff ect  th e  na ture   and  posi ti ons  of  th e  p o le s   and  ze ros.   It  was  a lso  foun d  and  v eri f ie d  th at   r at her   th an  s ym m et ric   components,   use   of   ca ref u lly   se lected  sm al le r  as y m m et ric   components  L1  and   C1  p roduc es  l ess   par asitic  vol ta g e   drop,   high er  o utput   voltage  a nd  cur ren t   unde r  the   sam e  condi ti ons ,   thus  be tt er   eff icien c y   and  p erf orm anc e   a t   red uc ed   cost ,   si z e   and  weigh t.   Ke yw or d s :   Buck - bo os t c onve rter   Dynam ic   m od el     Im ped ance s ou rce    Q - Z SC   Sm a ll  sign al  m od el   Copyright   ©   201 9   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .    Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   Aw a ng J usoh,    School  of Elec tric al  Engineer ing ,   Un i ver sit i Te knol og i M al ay sia ,   81310 Jo hor  B ahru,  Mal ay sia .   Em a il : awang@u tm . m y       1.   INTROD U CTION   Im ped ance  source   co nverter s  (Z SC/ IS C)   c ouple  c onve rter’ s   m ai n  ci rcui t  to  it s  po we r  s ource  [ 1] .   They  pro vi de  add it io nal  feat ur es  not  obta ined  i n  pr io r  c urren t  fed   or  volt age  fe d  c onver te r s  su c h  as   dead  or   ov e rlap  tim e in addit ion  t o  t he ir adva ntages  [ 2] .    Applic abili ty   of  Z - sourc e  co nc ept  to  ac - a c  [3] – [5] ,    ac - dc  [6] ,  dc - ac   [ 7] – [ 12]   an d  dc - dc  [13],  [ 14] ,  [ 23] ,   [15] – [22]   pow er  c onve rsion  gen e rated   a  l ot  of  i nterest  a nd  resea rch  re su lt ing  in  t he  de ve lop m ent  of  vari ant  an d  new to po l og ie s   [ 24 ] . Fi rst a ppli cat ion  of  Z S C was t he  Z SI   for fuel cel l a ppli cat ion   [1]   t he n dr i ves  [4] .   Re fer e nce  [25]   pro posed   a  m od i fied  im pedance  s ource   c onve rter  (ZSC )  cal le d  quasi - ZSC  ( q - ZSC)   sh ow n  in  Fig ure  1  by  s wappi ng   t he  po sit io ns  of   switc hes   a nd   i nducto rs  t o  s olv e  pro blem s  li ke  disco nt inu ou s  input  cu rr e nt,  hi gh   ca pacit or   volt age  re quire m ent  fo r  t he  vo lt age  fed   Z SCs  and   high  in duc tor  c urren t  re quirem ent   for  cu rr e nt  fe d  ZSCs.  M os t   of   ea rly   ZSC  and   q - ZSCs  [4 ] ,  [ 26] ,  [ 35 ] – [ 40] ,  [27] – [34]   fo c us e d  on   inv erte r  app li cat io ns   e xcep t  [ 5]   on   ac - ac  c onve r te r  an d  [6]   on  recti fie rs.   Re fer e nce  [13]   exten ded   Z SC  and   q - Z SC  c on ce pt   to  DC - DC  a pp li cat ion s  by   pr opos i ng  f our   non - isolat ed   DC - DC  ZSC  a nd   q - Z SC  to polo gi es  each,   then  [20],  [ 22]   pro po se d  is olate d  DC - DC  ZSCs  after  w hi ch  seve ral  ot he r  isolat ed  a nd   non - isolat ed  DC - DC   conve rter top ol og ie s  h a ve bee n pro po se d.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   3 ,  June   2019  :   1585   -   1597   1586   The  m ajo r  difference  betwee n  im ped ance  s ource  dc - ac  (i nverter s)  a nd   D C - DC  co nverte rs  li es  on   how   the  outp ut  is   ta k en .   F or  in ve rters,   it   is   ta ke n  a cr os s   a   swit ch  w hile  for  t he   DC - DC   c onver te r ,   they   a r e  m os tl y  ta ken   ac ross  a  capaci tor  [ 13 ]   as  show n i n Fi gure  1 ( b)   an d  (c) , a lt hough  [ 15 ] ,  [16],  [18],   [19],  [ 21] – [23]   too k t he   ou t pu t  ac ro s s  a  switc h  al beit   with  ad diti on al   com po ne nt s  in  w hat  is  cal le d  P W M  DC - DC  im ped ance   source  conve rters.   Re fer e nce  [15]   a naly sed  t he  ste ady - sta te   pe rfo rm ance  of   su c h  c onve rters  i n  co ntinuo us   c onduct io n  m od e (CCM ).   Re fer e nces  [ 29 ] ,  [41] – [ 45]   ap p li ed  sta te   sp ac e  aver a ging  [46 ]   and   Tay lo r’ s   series  ex pa ns io n  an d  der i ved  the  sm a ll   sign al   analy sis  to  inv est ig at e  the  dy nam ic   char ac te risti cs  of   dif f eren t  I SI   to polog ie s .  Acc ur at e  s m al l   sign al   m od el   i s  need e d  to   obta in  a   gl ob al   a nd  detai le d  ov erv ie w  of  syst e m   dynam ic s  by  unde rstan di ng  syst e m   lim it s  and  c ompone nts  siz es  [ 44 ] .   It  is   ba sed   on  the   as su m ption  of   pe rtu rbat ion s   ar ound   ste ady - sta te   operati ng   po i nt  [ 47] .  Sm al l  sign al   pe rtu rb at io ns  ( . .     ̃ ( ) , ̃ ( ) , ̃ ( ) )   are  ap plied  t o  t he  ste ady  sta te   du ty   rati o  (D)  a nd   input  va riables   (e. g.   V g  a nd  I g)   t o  obta in  th e  sm a ll   sign al   m od el .  These  per t urbati ons  c auses  the  dyna m ic   sta t e   var ia bles  ( . .      ,  ,        )   to  va ry (by  ̃  , ̃  , ̃       ̃    resp ect i vely ).   Use  of  sm al l  si gn al   m od el s  to  ob ta in   dynam i c  m od el s  f or  co ntr oller  desig n  m akes  them   ve ry  im po rtant.   They  a re  al s o  us e d  to   obta in   the  tra ns fe r  f unct ions  betwee n  sta te   var ia ble  an d  syst em   i nput  by  ass umi ng   ot her  syst e m  inp uts t o be ze ro  [ 41 ] ,   [44],  [48] .    In te re sti ng ly ,  t he  existi ng  publica ti on s  on   dy nam ic   m od el s  of   IS Cs  [41],  [44],  [ 45] ,  [ 48 ] – [ 51]   fo c us e d  on in ver te rs . T his is m ai nly du e to t he fact  hi gh li ghte d by  [ 15 ]   that m ajorit y of  the  li te ratur e  on ISC s fo cuses o n  the  in ver te r  m od e   of  operati on  al th ough  [52 ]   work e d  on  P WM  DC - DC  c onve rter.  DC - DC  ZSC/ q - Z S Cs  are  not  ver y  popula r  due  to  c omm on   def ic ie ncies  li ke   la ck  of  buc k - b oost  ca pab il it y  at   the  eff ic ie nt  duty   rati o  ra ng e  of    [0.35  t o  0.6 5]  [53] ,  disco ntin uous  gai n  c urv e  an d  hi gh e r  c om po ne nts  c ount   as  c om pared  with   the  t ra diti on al   bu c k - bo os t co nverter  ( B BC ) .   Howe ver, m or e findin gs  are m aking   IS Cs  overc om e these ch al le nges su c h  as  [ 54] , [55 ]   wh e re th e  gain   and  c on ti nuou s  gain   cu r ve  of  BB C  wer e   achieve d  us i ng  non - i so la te d  q - ZSC   to polo gies.   Th ese  t opol og ie s  pro du ce d  high er  m agn it ud e   ou t pu t  volt age s  an d  c urre nts  than   the  c orr esp onding  buc k - boos t  c onve r te rs  th us   giv in g  t hem  p ot entia l adv a nta ges.   In   t his  pa pe r,   t he  c on ce pt  of  dynam ic   m od el li ng   is  exte nded  to  t he  DC - DC  q - ZSC.   Th is  Extensi on  is  i m po rtant  bec ause  their  a ppli cabil it y  is  increasin g  whil e  there  are  no   or   ve ry  f ew  existi ng  dy nam ic    m od el s o f  t he m .   The   m od el li ng  be ga n  by  first   consi der i ng  a n  ideal   ci rcu it   t o  de rive   the   ide al   gain   e quat io n.  Ne xt,   no n - sy m m e tric ,  r ea l  com po ne nts   wer e   c on si der e d  rathe r  t ha n  t he   sim ple  sy m m et ric  or  i deal  q - ZSC.   T he  us e   of  non - sy m m e tric   com po nen ts  al lo ws  ide ntifyi ng  the  ind i vidual  eff ect   of  eac h  com po ne nt  w hi le   no n - ideal   c om po ne nts   al low  a naly zi ng the  ef fects  of the  par asi ti c re sist anc es  of  t he  co m po ne nts.   As  com m on   to   ci rcu it s  t hat  c ha ng e   ov e r   swit chin g  cy cl e,   sta te   sp ace   a ver a gi ng  [ 46]   wa s  us ed  t o  desc ribe  the  ci rcu it .  Stat e  sp ace  ave ra gin g  requires g e ner at in g  set s  of   equ at io ns , w it h  each r ep rese nting   a  s witc hi ng   sta te   [47]   an d  t hen a ver a ge d ov e r  t he  s witc hing  pe rio d.     IS Cs ca n be c ontr olled  with  or w it hout s hoot - thr ough  [ 34 ]   or  op e n  sta te .  T his c onver te r was c ontrolle d  without  us in g  sh oot - t hro ugh  or  ope n  sta te s   in  order  to   ena ble  fai r  c om par iso ns   with   the   tradit io nal  buck - boos t   conve rter  wh i ch  is  ope rated   us in g  on ly   t wo   switc hi ng  sta te s  (w it h  de ad - ti m e)   since  they   ha ve  i den ti cal    gain  e quat io n.   Find i ngs  f ro m   this  dy nam ic   m od el li ng  s how  t hat  the  pa rasit ic   resist ances   of   the  ca pacit or s   and  in du ct or s  are  am ong  t he   m ajo r   factors  t hat  determ ine  m os t  of  the   pol es  a nd  ze ro s   a nd  ci rc uit  e ff ic ie ncy  as   detai l ed  i n   the   discuss i on sect ion .         2.   CIRC UIT  ANALYS IS   This  sect io n  is   cl assifi ed  int o  two:  gain   de riv at ion   a nd  sta te   equ at io ns  de ri vation.  Ci rc uit  analy sis  was  done   us i ng  ide al   an d  real  ci rc uits  f or  the   gai n  a nd  sta te   e quat ion s  de rivati on  res pecti vely .  T he  a naly ses   wer e   do ne   us in g  tw o  s witc hing  m od es  with  re sp ect   t o  S 1   w hile  S 2   is   com ple m entaril y  switc hed   w it h  res pect  to  S 1   giv i ng   rise to tw o  ope rati on  m od es s how n  in Fi gure  2 . T he du ty  r a ti o  of  t he  m od es are  ′ D ′   a nd   ′1 − D ′   fo r  m od e s I  a nd   II   res pecti vely .   C 1 ,  C 2 ,  L 1   an d  L 2   a re  ca pac it or s  a nd  in duc tors  with  c urre nts  I C1 ,   I C2 ,  I L1   an d  I L2 ,  a nd  pa rasit ic  resist ances  R 1 , R 2 ,  r 1 ,  an d  r 2   re sp ect ively   w hile  V g ,  I g ,  R O   a nd  I O   are  i nput  volt age,  in put  current,  l oad  r es ist ance  and loa d  c urre nt r es pecti vely .     2.1 .      G ain  De ri vat ion   Fo r   sim plici ty ,   the   ideal   ci rc ui t  of  Fi gure  1 ( b) w as  u sed   t o  de rive   the   to polog y ’s  i deal g ai n  eq uatio n  by  assum ing  p a ras it ic  r esi sta nces  R 1 , R 2   an d r 1 , r 2   of the ca pacit or s  and i nduct or s  of F i gure  2 t o be  neg li gib l e.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       D yn amic  mo de l of a DC - DC   quas i - z - s ource  con ve rte r (q - Z SC)   ( Awan g  J usoh )   1587   Mod e  1 :  In this  m od e as s how n  in   Fig ure  2(b ),  S 1   is O N w hile S 2   is O FF. T he du ty   rati o for this m od e is   D.     V L1 = V O − V C1     (1)   V L2 = V g   (2)     Mod e  II :  In  th is  m od e,  S 1   is   OF F   w hile  S 2   is  O N  as  s ho wn  in  Fi gure  2( c ).   T he  duty   rati o  for  this  m od e  is   D ′ = 1 − D .     V L1 = V g − V C1     (3)   V L2 = V O   (4)     Applyi ng Volt - Seco nd - Ba la nc e on L 1   a nd L 2   yi el ds     V ̅ L1 = D V O + V g − V C1 − D V g = 0     (5)   V ̅ L2 = D V g − V O ( D − 1 ) = 0   (6)     Fr om  ( 6),     V O = − D 1 − D V g   (7)       ( 7)   Is  t he  ideal   ste ady - sta te   ou tpu t  vo lt age   f or  this  co nverte r.   It  is  the  sam e  as  the  ideal   ste ady  sta te   outp ut  vo lt ag e   of   buck - boos t  conve rter  wh e r e  the  tw o  s witc hes  a re  switc he d  c om pli m entaril y  and   D  is  th e  duty   ra ti o  of  S 1   [55] .       2.2 .      State   eq ua ti on s  deriv ati on   The   no n - i deal  ci rcu it s  of  Fig ur e   2  we re   us e d  t o  de rive   the   sta te   eq uatio ns.  T he   ci rc uit’s   two  ope rati on  m od es  are  pre sented   i n  Fi gure  2( b)   a nd  Fi gure  2( c )  a nd  their  du ty   r at io s  are  "D"   a nd   "1 − D"   for  m ode  I  a nd  m od e II  res pec ti vely .  V ̇ C1 , V ̇ C2 , I ̇ C1   a nd   I ̇ L2   are  the   sta te  v a riables   wh il e  i nput  vol ta ge ( V g ), i nput  curre nt  (I g ), a n d  ou t pu t  c urre nt  (I O )  were  ch ose n  as  in puts  w hile  capaci tor   vo lt age s  V C1   a nd   V C2 ,  in put  curr ent  (I g )   an d  outp ut   vo lt age   (V O )  a s  ou t pu ts.   T hi s  is   to   ide ntify  their   s uitabil it y  f or  c on tr olle r  desig n  as   wi ll   be   re vealed   by  the   aver a ge d  m od e l.       V S C 2 C 1 L 1 S 1 L 2 S 2 (a)   C 2 L 1 S 1 L 2 S 2 R O V g C 1 (b)   S 1 L 1 S 2 L 2 C 1   (c)   Figure   1.   (a ) G ener ic   q - ZSC  ( b) D e rive d DC - DC  q - ZSC       C 1 r 1 V g C 2 L 1 R 1 R 2 R O r 2 L 2 S 2 S 1 (a)   C 1 r 1 V g C 2 L 1 R 1 R 2 R O r 2 L 2 I C 2 I L 1 I C 1 I O I L 2 I g     (b)   C 1 r 1 V g C 2 L 1 R 1 R 2 R O r 2 L 2 I O I C 2 I C 1 I L 1 I g (c)     Figure   2.   (a )  C on si der e d  ci rcui t   with p a rasit ic  r esi sta nces  (b )  Ci rc uit i n  m od e  I  (c )  Ci rc uit i n  m od e  II   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   3 ,  June   2019  :   1585   -   1597   1588   Mod e I:   I n  this   m od e  as  s how n  in Figure  2(b ),   S 1   is ON  w hi le   S 2   is  OF F .  L 2   is  charge d  by   the  in pu t v oltage  d ue   to  the  res ulti ng  par al le l  conne ct ion .  T he  loa d,   C 1 ,  L 1   an d  C 2   are  al l  isolat ed  from   the  inp ut  vo lt age .  C 1   and   L 1   discha rg e   to get her to t he  loa d wh il e the  out put fil te r  C 2   a bsor bs  t he  ac  rip ples. T he  m od e   eq uations are     V ̇ C1 = I L1 C 1     (8)   V ̇ C2 = − I L1 C 2 − I O C 2     (9)   I ̇ L1 = − V C1 L 1 − ( R 1 + r 1 L 1 ) I L1 + I O R O L 1     (10)   I ̇ L2 = − I L2 r 2 L 2 + V g L 2   (11)       Ex pr essi ng in s ta te  sp ace  form   X ̇ i = A i X + B i U   w he re  i = 1   for  m od e  1  yi el ds     X ̇ 1 = [             V ̇ C1   V ̇ C2     I ̇ L1     I ̇ L2 ]             = [                 0 0 1 C 1 0 0 0 − 1 C 2 0 − 1 L 1 0 − ( R 1 + r 1 ) L 1 0 0 0 0 − r 2 L 2 ]                 [             V C1   V C2   I L1   I L2 ]             + [               0 0 0 0 0 − 1 C 2 0 0 R O L 1 1 L 2 0 0 ]               [         V g   I g   I O ]           (12)     Fo r  the  outp ut,  V C1 , V C2 , I g   an d V O   are  consi der e d  a nd the  outp ut equati ons  are     V C1 = V C1     (13)   V C2 = V C2     (14)   I g = − I L2     (15)   V O = I O R O   (16)     Ex pr essi ng   t he  ou t pu t  e quat io ns   in  t he  sta te   sp ace  f or   = +   w her e   i   ind ic at es  the  m od e,  i = 1   for  m ode  1  a nd  i = 2   for  m ode 2 .     Y 1 = [ V C1 V C2 I g V O ] = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ] [ V C1 V C2 I L1 I L2 ] + [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R O ] [ V g I g I O ]   (18)     Mod e  II :   In  t hi s  m od e,  S 1   is  OF F  w hile  S 2   is  ON   a s  s how n  in  Fig ur e  2(c ).   Durin g  this  i nter val,  C 1   an d  L 1   are   charge d by the  input v oltage  V g   due t o  the  s eries co nnect io n betwee n  the m  w hile L 1   is i so la te d from  the supp ly .   L 1   disc harges t o  the  loa d wh il e the  ou t pu t  f il te r  a bs or bs  the  ri pp le s.     V ̇ C1 = I L1 C 1     (19)   V ̇ C2 = − I L2 C 2 − I O C 2     (20)   I ̇ L1 = − V C1 L 1 − ( R 1 + r 1 L 1 ) I L1 + V g L 1   (21)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       D yn amic  mo de l of a DC - DC   quas i - z - s ource  con ve rte r (q - Z SC)   ( Awan g  J usoh )   1 589   I ̇ L2 = − I L2 r 2 L 2 + I O R O L 2   (22)   Ex pr essi ng in s ta te  sp ace  form   X ̇ i = A i X + B i U   w he re  i = 2   for  m od e  2  yi el ds     X ̇ 2 = [             V ̇ C1   V ̇ C2     I ̇ L1     I ̇ L2 ]             = [                 0 0 1 C 1 0 0 0 0 − 1 C 2 − 1 L 1 0 − ( R 1 + r 1 ) L 1 0 0 0 0 − r 2 L 2 ]                 [             V C1   V C2   I L1   I L2 ]             + [               0 0 0 0 0 − 1 C 2 1 L 1 0 0 0 0 R O L 2 ]               [         V g   I g   I O ]           (23)   The o utput eq ua ti on s  for  m ode II are:     V C1 = V C1   (2 4)   V C2 = V C2   (2 5)   I g = − I L1   (2 6)   V O = I O R O   (2 7)     Ex pr essi ng the  outp ut in  t he f or m   = +   w her e  i = 2   f or m od e  2  yi el ds     Y 2 = [ V C1 V C2 I g V O ] = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 ] [ V C1 V C2 I L1 I L2 ] + [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R O ] [ V g I g I O ]   (28)     The  sta te  e quat ion s  are  t hen a ver a ge d  a nd express ed  as      X ̇ = AX + BU     (29)   Y = EX + FU   (30)     Wh e re  A = ∑ A i D i , n i = 1 B = ∑ B i D i n i = 1 , E = ∑ E i D i n i = 1 , F = ∑ F i D i n i = 1 ,   n  is   the  nu m ber   of  switc hi ng  sta te s   involve d,   i  =  s witc hed  sta te   and  D  is  t he  du t y  rati o  of  the   s witc hed  sta te .  Fo r   this  ci rc uit,   n  =  2  si nce  tw o  switc hing  sta te s  are  invo lved  (as  in  ty pi cal   bu c k - boost   conver te r) ,   D 1   =  D  a nd  D 2   = D ′ =   1 − D   fo r  m od es  I  an d  I I   resp ect ively .   The refor e ,   A = A 1 D + A 2 ( 1 − D ) ,   B = B 1 D + B 2 ( 1 − D ) ,  E = E 1 D + E 2 ( 1 − D )   an d     F = F 1 D + F 2 ( 1 − D ) .     X ̇ = [             V ̇ C1   V ̇ C2     I ̇ L1     I ̇ L2 ]             = [                 0 0 1 C 1 0 0 0 − D C 2 − ( 1 − D ) C 2 − 1 L 1 0 − ( R 1 + r 1 ) L 1 0 L 1 0 0 0 − r 2 L 2 ]                 [             V C1   V C2   I L1   I L2 ]             + [               0 0 0 0 0 − 1 C 2 ( 1 − D ) L 1 0 DR O L 1 D L 2 0 ( 1 − D ) R O L 2 ]               [         V g   I g   I O ]             (31)   Y = [ V C1 V C2 I g V O ] = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − ( 1 − D ) − D 0 0 0 0 ] [ V C1 V C2 I L1 I L2 ] + [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R O ] [ V g I g I O ]   (32)     (31)  And   ( 32)   are  t he   m od el le d  ave rag e d  st eady - sta te   e qu at ion s   of   the   ci rcu it .   T he c hoic e  of  V O   a nd  I O   as   outp ut  and  i nput  res pe ct ively   re s ulted   in   the   feedf orward   m at rices  in  ( 18),  ( 28)   a nd  ( 32)   no nzero.   I f   V O   is  not  c onside red   as outp ut,  al l t hese  fee dforwa rd m at rices will  b e ze ro.  How ever, the  choic e of  Ig as  bo t h ou t pu t  an d  i nput d i dn’t  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   3 ,  June   2019  :   1585   -   1597   1590   aff ect   the  fee dforwar d  m at rice s  nor  a ny  in pu t   m at ri x  beca use   the  syst em ’s  ste ady - sta te   re sp onse  is  i nd e pende nt   of the i nput I g   bu t  V g   a nd I O .   This is im po rta nt in  c ontr oller  d esi gn.       3.   SMALL  SIGNAL  A NA L Y SIS   Sm a ll   sign al   pe rturbati ons  d ̃ ( t ) , v ̃ g ( t ) ,     i ̃ g ( t )   and  i ̃ O   ( t )   are  a pp li ed   to  the  ste ady - s t at e   du ty   rati o  ( D)   a nd   input  var ia bles   ( V g ,  I g ,  a nd  I O )  res pecti vely   to  obta in   the  s m al l  sign al   m od el .   T hese  pe rturbati ons  ca use   the  dynam ic   sta te   var ia bles  v C1 , v C2 , i L1   a nd   i L2   to  va ry  by   v ̃ C1 , v ̃ C2 , i ̃ L1   an d   i ̃ L2   resp ect ivel y  [ 56 ] .   T he   relat io ns hi p  betwee n  a  dynam ic  v ariable  x,  it s stea dy sta te  v al ue X a nd  per t urbati on  x ̃   is give n  a s     x = X + x ̃   (33)     Diff e re ntiat ing ( 33) wit h respe ct  to  ti m e y ie l ds     x ̇ = X ̇ + x ̃ ̇   (34)     Stea dy - sta te   va riables in  (2 9)   are s ubsti tuted  with  dynam ic  v aria bles for  s m al l si gn al  an a ly sis t o  yi el d  ( 35)     x ̇ = ( A 1 d + A 2 ( 1 − d ) ) x + ( B 1 d + B 2 ( 1 − d ) ) u   (35)     Substi tuti ng (3 3) an d (34 )  int o (35),  neg le ct i ng pr oducts  of  two  sm al l si gnal  p ert urbati on s and  rear rangi ng  yi el ds     X ̇ + x ̃ ̇ = AX + BU + A x ̃ + B u ̃ + [ ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) U ] d ̃   (36)     (36) Is  the  ge ne rali sed  la r ge s ign al   sta te  e quat ion   for  a m odel . Mat chin g  st eady sta te  and  per t urbati on te rm s  tog et he r  s how s     X ̇ = AX + BU = 0     (37)   x ̃ ̇ = A x ̃ + B u ̃ + [ ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) U ] d ̃   (38)     (37)  =   0  beca use   der i vative   of  a   c onsta nt  (st eady  sta te )   X ̇ = 0 .  ( 37)   I s  t he  ge neral ise d  st ea dy  st at e  m od el   w hile  (38) is  gen e rali sed   sm al l si gn a l  m od el .   Si m plifyi ng  (3 6) furt her  yi el ds     X = − BU A − 1   (39)     Si m il arly , f or  t he  ste a dy stat e   ou t pu t  Y = EX + FU ,   it s d y nam ic  sign al  aft er s m al l si gn al  an al ysi s is g i ve n  as     y = Y + y ̃ = EX + FU + E x ̃ + F u ̃ + [ ( E 1 − E 2 ) X + ( F 1 − F 2 ) U ] d ̃   (40)     (40) Is  the  ge ne rali zed lar ge  s ign al   ou t pu t  equati on for a m od el . Mat chi ng  ste ady stat e an d pert urbati on  te rm s  tog et he r  s how s     Y = EX + FU     (41)   y ̃ = E x ̃ + F u ̃ + [ ( E 1 − E 2 ) X + ( F 1 − F 2 ) U ] d ̃   (42)     (41) Is  the  ge ne rali zed s te a dy stat e outp ut equati on whil e ( 42)  is the  ge ner a li sed  sm all sign al  equati on.   Substi tuti ng (3 9) into  (41) yi e lds     Y = − EBU A − 1 + FU     (43)   Y = ( F − EB A − 1 ) U   (44)       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       D yn amic  mo de l of a DC - DC   quas i - z - s ource  con ve rte r (q - Z SC)   ( Awan g  J usoh )   1591   Evaluati ng a nd  sim plify ing   (38) yi el ds  (4 5)  t o (48)     v ̃ ̇ C1 = i ̃ L1 C 1     (45)   v ̃ ̇ C2 = − D i ̃ L1 − ( 1 − D ) i ̃ L2 − i ̃ 0 + ( I L2 − I L1 ) d ̃ C 2         (46)   i ̃ ̇ L1   = − v ̃ C1 − ( R 1 + r 1 ) i ̃ L1 + ( 1 − D ) v ̃ g + ( DR 0 ) i ̃ 0 + ( I 0 R 0 − V g ) d ̃ L 1     (47)   i ̃ ̇ L2 = − r 2 i ̃ L2 + D v ̃ g + ( 1 − D ) R 0 i ̃ 0 + ( V g − I 0 R 0 ) d ̃ L 2   (48)     Takin g  La plac e trans f or m  an d  sim plific at ion  yi el ds     sC 1 v ̃ c1 ( s ) = i ̃ L1 ( s )     (49)   s C 2 v ̃ c2 ( s ) = − D i ̃ L1 ( s ) − ( 1 − D ) i ̃ L2 ( s ) − i ̃ 0 ( s ) + ( I L2 − I L1 ) d ̃ ( s )     (50)   ( s L 1 + R 1 + r 1 ) i ̃ L1 ( s ) = − v ̃ C1 ( s ) + ( 1 − D ) v ̃ g ( s ) + ( DR 0 ) i ̃ 0 ( s ) + ( I 0 R 0 − V g ) d ̃ ( s )     (51)   ( sL 2 + r 2 ) i ̃ L2 ( s ) = i ̃ L2 ( s ) + D v ̃ g ( s ) + R 0 ( 1 − D ) i ̃ 0 ( s ) + ( V g − I 0 R 0 ) d ̃ ( s )   (52)     Fu rt her sim plif ic at ion  a nd sub sti tuti on s yi el ds     v ̃ c1 ( s ) = ( 1 − D ) v ̃ g ( s ) + ( DR 0 ) i ̃ 0 ( s ) + ( I 0 R 0 − V g ) d ̃ ( s ) ( s L 1 + R ) ( sC 1 + 1 )     (53)   v ̃ c2 ( s )   = − s 2 ( L 1 + L 2 ) + s ( R + r 2 ) + 1 C 1 ( s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1 ) ( s L 2 + r 2 ) s C 2 C 1 D D ′ v ̃ g   − s 3 L 1 L 2 + s 2 ( L 2 ( D 2 R 0 + R ) + L 1 ( R 0 D ′2 + r 2 ) ) + s ( R 0 D ′2 R + r 2 ( R + D 2 R 0 ) + L 2 C 1 ) + R 0 D ′2 + r 2 C 1 ( s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1 ) ( s L 2 + r 2 ) s C 2 C 1 i ̃ 0 ( s ) + s 3 L 1 L 2 I + s 2 ( L 1 r 2 I + L 2 RI + DL 2 V − D ′ L 1 V ) + s ( R r 2 I + L 2 C 1 I + D r 2 V + D r 2 − D ′ RV ) + r 2 I − D ′ V C 1 ( s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1 ) ( s L 2 + r 2 ) s C 2 C 1 d ̃ ( s )     (54)   i ̃ L1 ( s ) = S C 1 ( 1 − D ) v ̃ g ( s ) + S C 1 DR 0 i ̃ 0 ( s ) + S C 1 ( I 0 R 0 − V g ) d ̃ ( s ) s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1         (55)   i ̃ L2 ( s ) = D v ̃ g ( s ) + R 0 ( 1 − D ) i ̃ 0 ( s ) + ( V g − I 0 R 0 ) d ̃ ( s ) s L 2 + r 2   (56)     w he re  R = R 1 + r 1   ,  V = V g − V 0 ,  D ′ = 1 − D   an d  I = I L2 − I L1 .   The  sm al l  sign al   equ at io ns   of  the  sta te s  v ̃ c1 ( s )   an d  v ̃ c2 ( s )   as  show n  i n  ( 53)  a nd   (54 )  ar e  no t  i den ti cal ,   li kew ise   i ̃ L1 ( s )   a nd  i ̃ L2 ( s )   as  s how n  i n  (55 )   an d  ( 56)   are   al so   non  ide ntica l.  A n  ex planati on  to   this   no n - i den ti cal it y  is  due  t o  t he   a sy m m e try   of  t his  t opology.   This  a sym m et r y  is  ex plaine d  by   the   di ff e re nce  i n  t he  gai n  c urve s  ob ta ine d  w hen  ta kin g  the  outp ut  acr os s  C 1   a s  done  i n  [13]   an d  wh e n  ta ken  a cro ss   C 2   as  done   in  this   prese nt at ion .  Th e  gain  of t he  two va riant t opol og ie s  sho ws  that f or a ny g i ven ope rati on a l par am et ers,   V C1 ≠ V C2   .   The  m od el s   pr ese nted   in   [ 41] ,  [44]   hav e   the  a bove - m entione d   sta te s  t o  be   ide ntica l  be cause  i nv e rter s  we re  c onside red  an d  no t   DC - DC   c onve rter   th us  th e  to po l o gies   a re  e ntirel y  different.   Howe ve r,  the   pole s   of   i ̃ L1 ( s )   a nd   i ̃ L2 ( s )   are  con ta ine d  i n  t he  poles  of   V ̃ C2 ( s )   th us ( 55)  a nd (5 6)   cou l d be  re - wr i tt en  as    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   3 ,  June   2019  :   1585   -   1597   1592     i ̃ L1 ( s ) = S C 1 ( 1 − D ) v ̃ g ( s ) + S C 1 DR 0 i ̃ 0 ( s ) + S C 1 ( I 0 R 0 − V g ) d ̃ ( s ) ( s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1 ) ( s L 2 + r 2 ) s C 2 C 1   ( s L 2 + r 2 ) s C 2 C 1       (55a)   i ̃ L2 ( s ) = D v ̃ g ( s ) + R 0 ( 1 − D ) i ̃ 0 ( s ) + ( V g − I 0 R 0 ) d ̃ ( s ) ( s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1 ) ( s L 2 + r 2 ) s C 2 C 1 ( s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1 ) s C 2 C 1   (56 b)     3.1 .      Tr an s fer  f unc tio ns   The   sm all  signa l  m od el s  pres ented   in   ( 53)   to  (56 )  wer e   use d  t o  obta in  t he   tra ns fe r  func ti on s  ( G inp u t ̃ s t at e ̃ )   betwee n  sta te   var ia ble  a nd  sy stem   input.  Thi s  was  done   by  consi der i ng  on e  syst em   inp ut   at   a  ti m e  and  a ssu m ing   oth e r  syst em  inp uts  to be ze ro  [41],  [44],  [48] .            ̃ ̃ 1 = ( 1 − ) ( 1 + ) (  1 + 1 )     (57)   G i 0 v ̃ C1 = DR 0 ( s L 1 + ) ( sC 1 + 1 )     (58)   G d ̃ v ̃ C1 = ( I 0 R 0 − V g ) ( s L 1 + ) ( sC 1 + 1 )     (59)   G v ̃ g v ̃ C2 = − [ s 2 ( L 1 + L 2 ) + s ( R + r 2 ) + 1 C 1 ] D D ′ ( s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1 ) ( s L 2 + r 2 ) s C 2 C 1     (60)   G i ̃ 0 v ̃ C2 = − s 3 + s 2 ( ( L 2 ( D 2 R 0 + R ) + L 1 ( R 0 D ′2 + r 2 ) L 1 L 2 ) + s ( R 0 C 1 D ′2 R + r 2 C 1 ( R + D 2 R 0 ) + L 2 L 1 L 2 C 1 ) + R 0 D ′2 + r 2 L 1 L 2 C 1 ( s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1 ) ( s L 2 + r 2 ) s C 2 C 1     (61)   G d ̃ v ̃ C2 = s 3 L 1 L 2 I + s 2 ( L 1 r 2 I + L 2 RI + DL 2 V − D ′ L 1 V ) + s ( R r 2 I + L 2 C 1 I + D r 2 V + D r 2 − D ′ RV ) + r 2 I − D ′ V C 1 ( s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1 ) ( s L 2 + r 2 ) s C 2 C 1     (62)   G v ̃ g i ̃ L1 = S C 1 ( 1 − D ) s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1     (63)   G i ̃ 0 i ̃ L1 = S C 1 DR 0 s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1     (64)   G d ̃ ̃ L1 = S C 1 ( I 0 R 0 − V g ) d ̃ s 2 C 1 L 1 + sC 1 R + 1     (65)   G v ̃ g ̃ L2 = D s L 2 + r 2     (66)   G i ̃ 0 i ̃ L2 = R 0 ( 1 − D ) s L 2 + r 2     (67)   G d ̃ i ̃ L2 = ( V g − I 0 R 0 ) d ̃ ( s ) s L 2 + r 2   (68)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       D yn amic  mo de l of a DC - DC   quas i - z - s ource  con ve rte r (q - Z SC)   ( Awan g  J usoh )   1593   4.     A NA L YS I S   The   pole s   an d  zero s   of  the   tra ns fe r   f un ct i on s   are   discusse d  i n  t his  sect ion.  Ro ots   of   f unct ion s   not  gr eat e r   than  de gr ee   2  a re  f ully   disc us s ed  wh il e  t ho se   of  de gr e e  3  a nd  4  are   just  i ntrodu ce d  due  t o  th e  com plexity   inv ol ve d.   Po le - ze ro  m aps  hav e   bee n  use d  to   a naly se  dy nam ic   m od el s  of   dc - ac   I SCs  [41],   [ 44 ] ,  [45],   [ 48 ] ,   [49],  [51] ,  analy ti cal   m et h od is  us e d here  for analy ses  due t o  the  asym m et ry o f  t his to po l og y  w hich  re su lt ed  i n (62 ) havi ng   so  m any v aria bl es.   a.   Starti ng   with  t he  fi rst  tran sfe r  f unct ion   G V ̃ g V ̃ C1 ,  to ge ther  with   G i ̃ 0 V ̃ C1   a nd   G d ̃ V ̃ C1 ,   they   ha ve  tw o  pole s  al l  neg at ive  locat ed  at   s = − R 1 + r 1 L 1    a nd  s = − 1 C 1 . T hey all  h a ve  no ze ro.   b.   G V ̃ g V ̃ C2   tog et her  with   G i ̃ 0 V ̃ C2   a nd   G d ̃ V ̃ C2 ,   they   hav e   f our   pole s   al l  non - po sit iv e   lo cat ed  at   0 , − r 2 L 2     an d  − 2 L 1 ± √ ( R L 1 ) 2 − ( 4 C 1 L 1 ) 2 . T he  pole   − R 2 L 1 + √ ( L 1 ) 2 − ( 4 C 1 L 1 ) 2   is  al so   non   posit iv e  beca us e  ( L 1 ) 2 − 4 ( 1 C 1 L 1 ) 4 ≯ ( R 2 L 1 ) 2 ⟹ − 1 C 1 L 1 ≯ 0   s ince  C 1   a nd  L 1   are   al l  posit ive.  P r ov i ded   ( L 1 ) 2 ≥ 4 ( 1 C 1 L 1 ) ,  or   sim ply   L 1 ≤ C 1 4 R 2 ,  it   has   al l  real  non - po sit ive   po le s .  It  has  two  ze ros  at   − + r 2 2 ( L 1 + L 2 ) ± √ ( R + r 2 2 ( L 1 + L 2 ) ) 2 − ( 1 C 1 ( L 1 + L 2 ) )   al l  the  zer os  are  neg at ive   beca us e   ( + r 2 2 ( L 1 + L 2 ) ) 2 − ( 1 C 1 ( L 1 + L 2 ) ) ≱ ( R + r 2 2 ( L 1 + L 2 ) ) 2   since   − 1 C 1 ( L 1 + L 2 ) ≱ 0   due  t o  the  fact  that   both   C 1 ,  L 1   a nd  L 2   a re   al l  po sit ive .   c.   G i ̃ O v ̃ C2   has t hr ee   zer os  an d t hei r  loca ti on s  ca n  be a na ly sed base d  on  the   gi ven  ope rati ng  co ndit ion s  beca us e  th e   po ly nom ia l  being  of  de gr ee   three   an d  with   so   m any  pa ra m et ers  m akes  it   diff ic ult  to  present  a  gen e r al ise d   analy sis.   d.   G d ̃ v ̃ C2   has  th ree  zer os  and   a re  gi ve n  by  the  roots   of   the  poly nom ia l  s 3 L 1 L 2 I + s 2 ( L 1 r 2 I + L 2 RI + DL 2 V − D ′ L 1 V ) + s ( R r 2 I + L 2 C 1 I + D r 2 V + D r 2 − D ′ RV ) + r 2 I − D ′ V C 1 .  An al ysi ng   th e  be ha viour   of  al l  the  possible   r oots  of   t his  cu bic  poly no m ia l  analy ti cal l y  is  co m plex  a nd  in vo l ves  s o  m uch   m at hem atics  beyond  th e  sco pe  of   t his   pap e r  beca us e   I  a nd  V  a re  var ia bles  who se  val ues  va ry  f or  dif fere nt  op e rati ng  po i nt s.  This   is  e vid en t   as  [41],  [ 44 ]   al so   analy se d  the ir  qu a drat ic   G ̃ v ̃ C1   by  consi der i ng   t he   par am et ers  of   a  giv e n  ci rc uit  under   giv e n  conditi ons. H oweve r, l i m it ed  cases wil l be  c on si der e d suc h as   I L1 = I L2 . If  I L1 = I L2 ,   the  po ly no m ia l red uces  to  d e gr ee  tw o  as   s 2 + s ( D r 2 + D r 2 V − D ′ R DL 2 − D ′ L 1 ) − D ′ ( DL 2 − D ′ L 1 ) C 1   . It s ro ots ar e   giv e n by      − D r 2 + D r 2 V − D ′ R 2 ( DL 2 − D ′ L 1 ) ± √ ( D r 2 + D r 2 V − D ′ R 2 ( DL 2 − D ′ L 1 ) ) 2 − D ′ ( DL 2 − D ′ L 1 ) C 1 .    I L1 = I L2   an d  V g = V O ,   the e qu at i on r e duces to   s D r 2   thu s  the  zer o  e xi st at  o rigi n (s  = 0).   As  s how n  by  t hese  tw o  cases ,  the  nature  of  the  zer os   var ie s  for  diff e re nt  po i nts.  An   im po rta nt  point  to  no t e   is  that  rig ht - ha nd   plane   (R HP)  ze ro  m ay   exist  outsi de   the   conditi ons  of  c ase  I I.  T he   exi ste nce  of  t his  RHP   zero   was  al s o   noti ced  in  ZSI  a nd   q - ZS I  w hic h  im plies  con tr ol  lim it a ti on s  a nd   hi gh   gain   in sta bili ty   [4 1],  [ 44 ] ,  [45],  [48],  [49]   there by  destab il iz ing  the  feedback  lo op.   e.   G v ̃ g i ̃ L1 , G i ̃ O i ̃ L1   a nd   G d ̃ i ̃ L1   hav e  al l  ne gative  p oles  locat e d  at   − 2 L 1 ± √ ( R L 1 ) 2 − ( 4 C 1 L 1 ) 2 .  The  po le s   are  al l  neg at iv e  becau s e   ( L 1 ) 2 − ( 4 C 1 L 1 ) ≱ ( R L 1 ) 2 since  − 4 C 1 L 1 ≱ 0 .    The  pol es  are  real pro vid e d  L 1 ≤ C 1 ( 2 ) 2 .  They  al l  hav e  si ng le   z e ro  and is locat e d at   s = 0 .   f.   G v ̃ g i ̃ L2 , G i ̃ O i ̃ L2   a nd   G d ̃ i ̃ L2   ha ve  a  sin gle  po le  a nd  no zer o.   The  pole is l ocated at   s = − r 2 L 2 .     Fr om   the   ab ov e  analy sis,   it   ca n  be   de duced   t hat  the   tra nsfer   f unct ion s   G v ̃ g v ̃ C1 , G i ̃ O v ̃ C1   a nd   G d ̃ v ̃ C1   de ri ved  from   the  st ate   v ̃ c1 ( s )   and   G v ̃ g i ̃ L2 , G i ̃ O i ̃ L2   a nd   G d ̃ i ̃ L2   de rive d  f ro m   the  sta te   i ̃ L2 ( s )   are  ge ner al ly   sta ble  re gardless   of   par am et er  values .   All  their  pole s   are  ne gat ive - r eal   and  ha ve   no  zer os .   Sm a ll er  L 1   an d  C 1   increase   the   s ta bili ty   of   the  trans fer   functi ons   G v ̃ g v ̃ C1 , G i ̃ O v ̃ C1   a nd   G d ̃ v ̃ C1   by  push in g  their   po l es  a way  from   ori gin .  Also,   sm al le r  L 2   will   in crease   the   syst e m   sta bili ty   du e  t o  G v ̃ g i ̃ L2 , G i ̃ O i ̃ L2   a nd   G d ̃ i ̃ L2   by  pu s hing  t heir  po le s  further   a way  from   the  or i gin.  S m al le r  values  of   L 2   rather  tha n  la r ge r  values   of  r 2   are  pr e ferre d  be cause   r 2   bei ng  a  parasi ti c  resi sta nce  will   incr ease  non - i deali ty   su c h   as p a rasit ic  volt age dr op there by r e duci ng ef f ic ie ncy.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   3 ,  June   2019  :   1585   -   1597   1594   The  t ran s fe r  functi ons  G v ̃ g i ̃ L1 , G i ̃ O i ̃ L1   a nd   G d ̃ i ̃ L1   de rive d  from   the  sta te   i ̃ L1 ( s )   hav e  m arg ina l   gain   sta bili ty   du e   to   zer o  a t   the  ori gin   w hich i m plies  con tr ol  li m it a ti on   [ 44] . Alt ho ugh al l  their  pole s  ar e  al l  neg at ive,  os ci ll at ion s  m a y  occur  if  L 1 > C 1 ( 2 ) 2 du e  t o  th e  e xistence  of   a  c om plex   co njug at e  pair,  el se,  t he  po le s   are   ne gative  a nd  re al   with  a   sm a ll er   value o f  L 1   push i ng th e m  f ur t her awa y from  the o ri gi n.   It  is  now   cl ear   that  the   tra ns fe r  functi ons  G v ̃ g v ̃ C2 , G i ̃ O v ̃ C2   a nd   G d ̃ v ̃ C2   deri ved  f ro m   v ̃ c2 ( s )    are   the   m os t  cru ci al   beca us e   they   ind ic at e  m arg inal  sta bil it y  du e  to  the  existe nce  of   a   po le   at   or igi n  and   os ci ll at ion   m ay   occu r  if    L 1 > C 1 4 2   du e  to  the  e xistence  of c om plex  c onju gate  pole  p ai r . T he   zer os   of  G v ̃ g v ̃ C2 are all   ne gative.  F ro m  all  the a bove   analy sis,  it   sh ows  that  the   pos sibil it y  of   posit ive  r oo ts  only   exists  in  the  ze ro s  of  G i ̃ O v ̃ C2   a nd   G d ̃ v ̃ C2   wh ic h  sign i fies   con t ro l   lim it ati on  a nd  high   ga in  i ns ta bili ty   a nd  al s o  exists   in  t he   ZS I  a nd   q - Z SI.  This   s hows   t hat  t he  Z SI ,   q - Z SI   and this  DC - D C q - ZSC a re  non - m ini m u m  p hase s yst em s  [48] .       5.   VERIF IC ATI ON   To  ve rify  the se   fin dings ,  oper at ion s   of  t wo  c onve rters w e re   com par e d  by  s i m ulati ng   their   pe rfor m ance  on  in put   volt ag e  V g = 12   V ,   du ty   rati o  D = 0 . 63   a nd  7   Ω   load  us i ng   MATLAB   S I MULI NK.  O n  on e   side   was  a  conve rter  ba se d  on  ar bitra ry  sy m m e tric   com po nen ts  as  1 = 2 = 400    , 1 = 2 = 500    ,   1 = 2 = 0 . 03   Ω ,   1 = 2 = 0 . 47   Ω   wh il e  on  t he  oth e r  was   an oth e r  c onve rter  with   car efu ll y  sel ect ed   asy m m et ric   com po ne nts  ba sed  on  the  opti m iz at ion   equ at ion s  de rive d  in   (62 )  by  only   m od ify ing   the  op ti m iz ation   c apacit or  and  in du ct or   t o  C 1 = 80   μ F   an d   L 1 = 4   μ H   as  show n  i n  Table  1.   T he  new  sm aller  va lues  of  C 1   a nd  L 1   push es  the poles  of  G V ̃ g V ̃ C1 , G d ̃ V ̃ C1   a nd   G i ̃ O V ̃ C1   further away   on t he  le ft  ha nd p l ane  (LHP) .   Althou gh  the   va lues o f   R 1  an d  r 1   a re p r oport ion al   t o  C 1   a nd R 1   resp e ct ively ,  an d  each   can  inf lue nce  t he   po sit io n,  the  c hoic e  of   sm al le r  L 1   a nd   C 1   are  prefe rr e d  due  to   the  inef fic ie nc y  associat ed  wi th  par a sit ic   resist ances   and  oth er   c on st raints  s uc h as   weig ht  a nd  siz e  ass ociat ed  with  la r ger  ca pac it or s  a nd  in duc tors.  T he  ne w  values   of  C 1   an d  L 1   al s o ens ur es   that   th e  pole s   of   the  TFs  of   v ̃ C2   a nd   i ̃ L1   are  r ea l  an d  no n - posit iv e  i ns te ad  o f   the  c om plex  po le   that  e xist ed  from   C 1 = 400   μ F   an d   L 1 = 500   μ H .  T he   r esp on se   of  the   tw o  ci rc uits  w it h  res pect  t o  outp ut  vo lt age   ( V O ) ,  ou t pu t  c urre nt  (I O )   an d  i nput  current  (I g )  a re   presente d  in   F igure  3.   Fig ur e   4  (a)  sho ws  t he  ideal   gain  c ur ve  of t he  c onve rter.   Their  operati ons  wer e  al s o  c om par ed  us in g  ideal   com po ne nts  by  neg le c ti ng   the  pa rasit ic   resist ances   R 1 , R 2 , r 1   a nd   r 2   for  both  t he  optim iz ed  and   s ymm et ric  ci rcu it s  in  order   t o  com par e  their  ou t pu t  vo lt ag e s  with  the  ideal   ste ad y  sta te   ou tp ut  volt age  of   (7)  a nd  ide ntify  the  e ff ect s  of   t he  pa rasit ic   resist an ces  as  sho wn   i n  Fig ure   4(b) an d (c) .        Tab le   1.   Param et er v al ues use d for  sim ulati on   Para m eter   Valu e   Sy m m et ric   Op ti m ized   V g   ( V )   12   12   D   0 .63   0 .63   f  ( KHz )   100   100   C 1   ( μ F )   400   80   C 2   ( μ F )   400   400   L 1   ( μ H )   500   4   L 2   ( μ H )   500   500   R 1   ( Ω )   0 .03   0 .03   R 2   ( Ω )   0 .03   0 .03   r 1   ( Ω )   0 .47   0 .47   r 2   ( Ω )   0 .47   0 .47   Load   ( Ω )   7   7       6.   RE SULTS   AN D DISC US SION   Re su lt s  of   Fi gure  3  c onfirm   the  validit y  of   th ese  equ at i on s  be cause  the  ou t put  volt a ge  an d  ou t pu t  c urren t  of  the  optim ized   ci rc uit  are   15 .25  V  a nd  2.1 8  A  a gainst  13.15  V  a nd  1.8 7  A  ob ta i ne d  without  opti m iz at ion   resp ect ively .  T his  is  becau se   the  op ti m iz a ti on   ca pacit or  C 1   and  in du ct or   L 1   wer e   sel ect ed   base d  on  the  e qu at io ns  der i ved   from   thi s  m od el   as  discu ssed   in   the  A naly sis   an d  Ve rificat ion   sect i on s   r at her   t han   sym m e try .   This  i ncr ease   r epr ese nts  a   m a gn it ude   inc reas e  of  16. 35  %  a nd  16.58%   f or  the  ou t pu t  volt age  a nd  ou t pu t   cu rr e nt   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.