I n t ern a t i o n a l   J o u rn a l   o f   E l e ct ri ca l   a n d   C o mp u t er   E n g i n eeri n g   ( I J E C E )   V o l .   11 ,   N o .   1 ,   F e b ru a ry   2 021 ,   p p .   284 ~ 292   I S S N :  208 8 - 87 08 ,   D O I :  10. 115 91 / i j e c e . v11 i 1 . pp 28 4 - 2 92             2 84       Jo u r n al   h om e pa ge :  h t t p : / / i j e c e . i a e s c o r e . c o m   Mo d i fi e d  h o te l l i n g ’s    co nt ro l  cha rt s  us i ng   mo d i f i ed  m ah al an obi s  di s t an c e       F i r a s   H a dd a d   D e pa rt m e nt  o f G e ne ra l   c ours e s ,   Col l e ge  of  A ppl i e d S t udi e s  a nd  C om m uni t y  S e rvi c e ,     Im a m  A bdurra h m a n B i n F a i s a l   U ni ve rs i t y,  A l - D am m am ,   S au d i  A r ab i a        A rt i cl e  I n f o     A B S T RA C T   Ar t i c l e   h i s t o r y :   R ecei v ed   Ap r   1 2,  2 020   Re v i s e d   J un  13 ,   202 0   A ccep t e d   Ju l   5 ,   202 0       T hi s  pa p e r prop os e d ne w   a dj us t e d H ot e l l i ng’s   2   c ont rol   c ha rt  for  i ndi vi dua l   obs e rva t i ons .   F or t hi s  obj e c t i v e ,  boot s t r a p m e t hod for  produc i ng     t he  i nd i vi du a l  o bs e rva t i ons   w e re   e m pl oye d .  T o do  s o,   bot h   a ri t h m e t i c  m e a n   v e c to r  a n d  th e   c o v a r ia n c e  ma tr ix  in  th e  tr a d it io n a l H o te llin g ’ s   2   ch ar t  w er e   s ubs t i t ut e d by  t he  t ri m m e d m e a n ve c t or  a nd  t he   c ova ri a nc e   m a t ri x  of     t he  robus t  s c a l e   e s t i m a t ors   Q n ,  r e s pe c t i v e l y w hi c h,   i n  t urn,   i t s  p e rfor m a nc e  i s   c a rri e d out  by  s i m ul a t e d .  In  fa c t ,  t he   c a l c ul a t i on  of fa l s e  a l a r m s  a nd     t he  prob a bi l i t y  o f de t e c t i on ou t l i e r  is   us e d for  de t e rm i ni ng  t h e  v a l i di t y  of t h i s   m odi fi e d  c h a rt .  T he   fi ndi ngs  r e ve a l e d  a   c ons i de ra bl e  s i gni f i c a nc e  i n  i t s   pe rform a n c e .   Ke y wo r d s :   Bo o t s t r a p   H o t e l l i n g ’ s   2   ch ar t s   Ma ha l a n obi s   d i s t a nc e   Ro b u s t   e s t i m a t o r   T r i m m e a n   T hi s  i s  an ope n   ac c e s s  ar t i c l e  un de r  t he   CC B Y - SA   l i c e n s e.     C or r e s po n di n g  A u t h or :   F i ra s   H a d d a d ,     C ol l e ge   of   A p pl i e d  S t udi e s   a nd   C o m m uni t y   S e r vi c e ,   I m a m   A b d u l r a h m a n   Bi n   F a i s a l   U n i v e r s i t y ,     D a m m a m ,  Sa u d i   A r a b i a .   E m a i l :   f s ha d da d@ i a u. e du . s a       1.   I N T R O D U C T I O N   S t a t i s t i c a l  p r o c e s s  c o n t r o l  c h a r t s  e m p l o y   s t a t i s t i c a l  i m p l e m e n t s  t o   n o t i c e  t h e  a c c o m p l i s h m e n t  o f     t he  p r o d uc t i on  pr oc e s s .   D ur i ng t he  p r o c e s s  of   pr a c t i c i n g,  m o r e  t ha n  one   q ua l i t y f e a t ur e  i s  de f i n e d b y     t he  o ve r a l l  q ua l i t y of  a   pr o du c t .  T h us ,  t he  q ua l i t y  of  a  c e r t a i n t y pe   of  a n y  p r o d uc t  m a y  be   de f i ne d  b y  de g r e e   of  ha r d ne s s ,   t hi c k ne s s ,  we i g ht ,   w i dt h   a n d  l e ngt h   et c.   S o ,  v ar i o u s   f eat u r es  o f  a m an u f act u r e d  c o m p o n e n t   r e q ui r e  s i m ul t a ne o us  m o ni t or i ng .   H e nc e ,  i t  c a n  be   u s e d  b ot h;  t he  m ul t i va r i a t e   S he w ha r t - t y p e  2 o r    t h e   H o t e l l i n g ’ s   2   c o nt r ol   c ha r t s   m i ght   be   us e d.   H o t e l l i n g ’ s   2 s t a t i s t i c  i s  o n e  o f  t h e   m o s t   p u b l i c  m e t h o d s  i n  t h e   m u l t i v a r i a t e  s t a t i s t i c a l  c o n t r o l     c h a rt s   [1 ,  2 ].   F u rt h e r m o re ,  t h e  H o t e l l i n g ’s   2   s t a t i s t i c   i s  t h e  m u l t i v a r i a t e  g e n e r a l i z a t i o n  o f  t h e   S t u d e n t ’ s     t -   s t a t i s t i c .   H e n c e ,   t h e   H o t e l l i n g ’ s   2   s t at i s t i c  i s   t h e  ex p an d e d   cas e  af t er   t ak i n g   t h e  s q u a r e   f or   t he   t w o  s i de s   of     t he   e q ua t i o n  of   t he   S t ude nt ’ s   t -   s t a t i s t i c .   I n   o t h e r   w o r d s ,   H o t e l l i n g   2 s t a t i s t i c   i s   e q u a l   t o .       2 =   ( − 0 ) − 1 ( − 0 )   ( 1)     Wh e re       a nd     ar e  t h e   s am p l e  m ea n   v ect o r   a n d   t h e  p × p   co v a r i an ce  m at r i x   i n   s u cce s s io n.   S ev e r al  v al u e s  am o n g  t h e m eas u r e m en t s   o f  t h e ch a r act er i s t i cs  m ak e t h e  t r ad i t i o n al   H o t el l i n g ’ s   2   i ne f f e c t i ve ,  a l t ho u gh  t he  H ot e l l i ng’ s   2   co n t r o l  c h ar t s  a r e  ef f ect i v e a n d  a p p r o p r i at e  w h e n  t h e  d at a a r e t a k en   f r o m   n o r m a l  d i s t r i b u t i o n .    A s  a   r e s u l t ,  M o s t a j e r a n,  I r a npa na h a n d  N oo r o s s a na  i n  [ 3]  p oi n t e d  out  t ha t  e m pl o y  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt   J   E l e c   &   C om p  E n g     I S S N :  208 8 - 87 08       M o d i f i e d   h o t e l l i n g ’ s     c o nt r ol   c har t s   us i n g  m o di f i e d…   ( F i r as   H ad d ad )   2 85   n on - pa r a m e t r i c  b oot s t r a p  c o n t r ol  c ha r t s  f or   un k no w n  di s t r i but i o n.  W he r e  n on - p ar a m et r i c b o o t s t r ap  co n t r o l   c ha r t s  a r e  s ui t a bl e  w he n t he  e m pl oy  o f  l a r ge   s i z e  de e m s  i m p os s i bl e  i n a ddi t i o n t o   e va l ua t e   t h e p r o ces s   p ar a m et er s  f r o m   t h e  Ph a s e   I .   G e ne r a l l y s pe a ki ng ,   no r m a l  di s t r i b ut i on  i s  r e q ui r e d  f or  c o nt r ol  c ha r t s  f or   pe r m i t t i ng  o bs e r va t i o n.   I n  r e s pe c t   of   c a s e s   w i t h  no n - n or m a l   di s t r i b ut i on s ,   t he   us a ge   of   no n - p ar a m et r i c  c o n t r o l   ch ar t s  co n t ai n i n g  c h ar t s  o f   s i g n  c o n t r o l   w i l l  b e  a p p l i c a b l e .  I t  i s   w o r t h   m e n t i o n i n g  t h a t  t h e  a l g o r i t h m   o f     n on - p a r a m e t r i c   b o o t s t r a p   i n   t h i s   s t u d y   i s   e m p l o y e d   f o r   c a l c u l a t i n g   t h e   c o n t r o l   c h a r t   p a r a m e t e r s .   B y   a n d   l a r g e ,   or i gi na l  ob s e r v a t i ons  m i g ht  b e   e m pl o ye d   i n   c a s e s   t ha t   d o  not  e nt a i l   a n y  d i s t r i b u t i o n   a s s u m p t i o n .  S i m i l a r l y ,   r o b u s t  s t a t i s t i c s  w e r e  e m p l o y e d  r a t h e r  t h a n  s e n s i t i v e  s t a t i s t i c s  i n  t h e   H o t e l l i n g   2   c ha r t .  S uc h m e t h ods     w er e  r eg a r d e d  ef f i ci en t  f o r   o v e r c o m i n g   p o o r  p e r f o r m a n ce i s s u e i n  t h e ex i s t en ce o f  ex t r em e  v al u es  i n     pr o duc t  f e a t u r e s .   T he r e  a r e  s e v e r a l   pr e vi o us   s t udi e s  t ha t  e m pl o ye d  t hi s   t e c hni q ue  a nd  t he  m a j or i t y   of  t he m   a r e   r e n de r e d i n t h e  a bo ve - m e nt i one d s t udi e s   r e l a t i ng wi t h i m p r o vi n g t hi s   m o de l ,  s e e   [ 4 ] .  T he  a b ove m e nt i one d   s t udi e s  t ha t  e m pl o ye d t he   bo ot s t r a p s a m pl e s ,  t h e l o cat i o n ,  a n d  s cal e  es t i m at o r s ,  t h e t r i m m e d   m e an  a n d     t he  t r i m m e d c ova r i a nc e  w e r e  m e nt i o ne d.   O ne  o f   w hi c h  [ 5 ]   wh o  us e d  t he  s o - c a l l e d  t r i m m e d  m e a n  a n d   t r i m m ed  c o v a r i an ce m at r i x  as  an  al t er n at i v e o f  a r i t h m et i c m ean  a n d  c o v ar i a n ce  m at r i x ,   r es p e ct i v el y .   Su r t i ha di  i n  [ 6 ]  e m pl oye d  m e di a n  a s  a   r o b us t  l oc a t i on  e s t i m a t or   w he n   he  c o ns t r uc t e d  r o bus t  bi va r i a t e  s i g n   t e s t s  o f  Bl u m e n  a n d   H o d g e s .  A l f a r o  a n d   O r t e g a  i n  [ 7 ]  s u g g e s t e d  a   n e w  a l t e r n a t i v e  c h a r t   b y  s u b s t i t u t i n g     t h e  s am p l e  m e an   v ect o r   w i t h   t r i m m ed   m ea n   v ect o r   a n d   t h e  co v a r i an ce   m at r i x   b y   t r i m m ed   co v ar i a n ce  m a t r i x .     J on e s  i n  [ 8]  u s e d i n c ont r ol  c ha r t  c o ns t r u c t i ons ,  b o ot s t r a p  r a t he r  t ha n  t he  t r a di t i ona l  pa r a m e t r i c   a s s um pt i o n.  B oot s t r a p  m e t h o ds   us e  c om put i ng   po we r .   P ha l a di ga no n  e t  a l .  i n  [ 9]  e m pl o y e d a   bo ot s t r a p - b as ed   m u l t i v a r i a t e   T 2   c ont r ol  i n t h e i r  s t ud y a nd  i ndi c a t e d t he   c a pa c i t y o f  t h e  c ha r t  i n  o bs e r vi ng a   pr oc e s s  i n     n on - n or m a l   or   un k no w n  di s t r i but i o n   o f   da t a .   T he   a ut h o r   us e s  a  s i m ul a t i o n  s t ud y t o a s s e s s  t he   pe r f or m a n c e  o f   t h e   c o n t r o l   c h a r t .   T he  m e t h o d  pr o vi de d i n  [ 10 ]  de pe nde d  o n  t he  n ot i o n  o f   b oot s t r a ppi ng .   F o r  t h i s  o bj e c t i ve ,     t he  a ut h o r s  b o ot s t r a p pe d t he   da t a ,  a n d t he n  s uc h da t a   w e r e  a ppl i e d  o n i n - c ont r ol  s t a t e  e s t i m a t i on.  T he   us a ge   of   a  n on - pa r a m e t r i c  a pp r oa c h  de m o ns t r a t e d i n  [ 1 1 ]  i n c o nd u c t i n g   e s t i m a t i o n  o n   t h e   c u m u l a t i v e  s u m  ( C u s um )  as  w el l  as  t h e  e xp o ne nt i a l l y we i g ht e d m o vi ng   a ve r a ge   ( E WMA )  c o nt r ol   l i m i t s  on a   gi v e n  da t a s e t .  T he  us a ge   o f   a n  i n n o v a t i v e   b o o t s t r a p   a l g o r i t h m   w a s   r e v e a l e d   i n   [ 1 2 ]   i n   t h e   H o t e l l i n g ’ s   T 2   c o n t r o l   c h a r t   c r e a t i o n .   A p pl yi ng   no n p a r a m e t r i c   b oot s t r a p   m ul t i va r i a t e   c o nt r ol   c ha r t s   | S | ,   W ,   a nd  G   de pe n ds   o n  bo ot s t r a ppe d   d a t a  u t i l i z a t i o n  i n  e v a l u a t i n g  t h e  i n  c o n t r o l  s t a t e  t h a t  w a s   d i s c u s s e d  i n  [ 3 ] .  T h e  f i n d i n g s  r e v e a l   t h a t  t h e   bo ot s t r a p  c ont r ol   c ha r t s   a c hi e ve d   r e a s o na bl e   pe r f or m a nc e .   S i m i l a r l y ,  i n  [ 1 3 ]  i n d i c a t e d   t h e  a p p l i c a t i o n   o f  a  b o o t s t r a p  m u l t i v a r i a t e  c o n t r o l  c h a r t  f o l l o w i n g   H o t e l l i n g ’ s   T 2   s t a t i s t i c .   T he  a ut h or  i n  [ 1 4 ]   m o d i f i e d  t h r e e  r o b u s t  H o t e l l i n g ’ s   T 2   c h ar t s  b y  r ep l aci n g   t h e  m ean   ve c t o r  a nd  t he  c o va r i a nc e  m a t r i x  by  t he  t r i m m e d e s t i m a t or s .  T he  t r i m m i ng  w a s   do n e  us i ng  t he   m odi f i e d   Ma ha l a n obi s   d i s t an ce,   w h e r e  t h e l o cat i o n  es t i m at o r  i s  t h e  m ed i an  a n d  t h e s cal e es t i m at o r   i s  o n e  o f  t h e  r o b u s t   s cal e  es t i m at o r s   MA D n , S n     an d   n .   T u ke y a nd  M c L a u ghl i n i n [ 1 5]   pr o po s e d  ne w  s u bs t i t ut e  B i va r i a t e  r o bus t   H ot e l l i n g ' s   T 2   ch ar t .     B y E xc ha n ge d t he   a r i t h m e t i c  m e a n   w i t h  w i n s o r i z e d   m o d i f i e d  o n e  s t e p   M - e s t i m a t o r  ( w MO M )  v ect o r     a n d  s u b s t i t u t e d  t h e  s e n s i t i v e  c o v a r i a n c e   m a t r i x  w i t h  t h e  c o v a r i a n c e  m a t r i x   o f   r o b u s t  s c a l e  e s t i m a t o r     n   r es p ect i v el y .   T he  c ur r e nt  s t ud y a i m s  a t  e n ha nc i ng  H ot e l l i ng ’ s   2 T c h a r t i n  t e r m s   of  its  f unc tio n ing .  T hu s ,  a  nov e l  m e t h o d   w a s   s u g g e s t e d ,  w h i c h  c o n t a i n s  m o d i f i c a t i o n  t o  t h e  s e n s i t i v i t i e s   t o w a r d s   o u t l i e r s .  T h e r e  a r e  a  w i d e   s pr e a d  c hoi c e   of   r o b us t   l oc a t i on  a n d  s c a l e   e s t i m a t or s   t ha t   m i ght   be   r e ga r de d  i n  t hi s   i s s ue .   T h i s   r es ea r c h   s eek s   t o  de ve l op  t he  f unc t i o n  o f   H ot e l l i ng  T 2   c h a r t  b y  r e p l aci n g  t h e  m ea n   v ect o r  an d  t h e  co v ar i an ce  m at r i x  w i t h   tr im m e d m e a n a nd its  c o r r e s p ond ing  c ov a r ia n c e   m a tr ix f o llo w i n g  [ 5] .   T h e  tr im m e d  m e a n ba s e d  on   r o bu s t   s cal e es t i m at o r   Qn .  T o   a ppr a i s e  t he   f u nc t i on  of  t he  n e w m o di f i e d  r o b us t  H ot e l l i ng  T 2  c o n t r o l  c h a r t ,     t he  o ut l i e r s  a r e  i ns e r t e d i n t he  da t a ,   w hi c h a r e  c om i ng  f r om  t he  s t a nda r d n or m a l  di s t r i b ut i on  b y  us i n g   b o o t s t r a p   m et h o d   i n   g e n er at i n g   t h e   s am p l es ,   t h en   cal c u l at e  t h e  f al s e  al ar m s   an d   t h e   p r o b a b i l i t y   o f   d e t e c t i o n   o f   out l i e r s  a s  a  t e c hni que  t o  j u d ge  t he  f u nc t i on  o f  t he  m odi f i e d c ha r t .   T h e  f o l l o w i n g  s e c t i o n   ( s ect i o n   2 )  p r es en t s   t h e  d e t a i l s   o f   t h e  r e s e a r c h   m e t h o d s .  A f t e r   t h a t ,  s e c t i o n  3  p r e s e n t s   t h e   r e s u l t s   a n d  d i s c u s s i o n .  f o l l o w e d  b y     t h e   c o n c l u s i o n   i n   s e c t i o n   4 .       2.   R ES EA R C H   M ETH O D     2. 1.     Tr i m m i n g   m et h o d   T he  c o va r i a nc e  m a t r i x i s  i n f l ue nc e d   by  t he  e m e r ge nc e  o f  t he  o ut l i e r s .  As  a  r e s ul t ,  we   us e d    t h e  t r i m m ed  v ar i an ce - co v ar i an ce  m at r i x  as  an  e x ch a n g e  f o r  t h e  co v a r i an ce m at r i x .   T h e  co m p u t at i o n   o f  s u c h   an  es t i m at o r  i s  b as ed   o n  t h e  w i n s o r i ze d  co v ar i an ce m at r i x .  S o ,  t h e w i n s o r i zed   v ar i an c e - co v a r i an ce m at r i x   i s   u s e d   t o   cal c u l at e  t h e  co v ar i a n ce  m at r i x   f o r   t he   wi ns or i z e d  s a m pl e .   I n  o r d e r   t o  pr o duc e   t he   m o di f i e d  H ot e l l i ng   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S SN :   2 088 - 87 08   I nt   J   E l e c   &   C om p  E n g,   V o l .   11 ,   No .   1,   F e b r ua r y  2 02 1  :    284   -   2 92   2 86   2 c ont r ol  c ha r t s  i t  ha s  be e n  us e d t he   r o b us t  l o c a t i on e s t i m a t o r  t he  t r i m m e d  m e a n a nd t he  t r i m m e d va r i a n c e - c ova r i a nc e   m a t r i x.  T he  t r i m m i ng  of  t he  o ut l i e r s  da t a  a r e  p r od uc e d b y i m p l e m e nt i n g  t he  m e t ho d of  m o di f i e d   Ma ha l a n obi s   di s t a nc e ,  s uc h  a s  t he   m o di f i c a t i on a p p r o v e d  out   b y r e p l a c i ng t he  s a m pl e  m e a n  ve c t or  i n     t he  M a ha l a no bi s  di s t a nc e   f or m ul a   b y t h e  m e di a n  ve c t or  a n d r e pl a c i ng  va r i a nc e - co v a r i an ce  m at r i x ,     by  t he  r o bus t   s c a l e  va r i a nc e - c ova r i a n ce  m a t r i ces  o f   Q n  [ 16 ] .  T he  t r i m m i ng  a nd  r e pl a c e m e nt   of  t he   da t a  t o  obt a i n   t h e  w i n s or i z e d s a m pl e   a r e   a c hi e ve d by   e m pl o yi n g  t he  va l ue s  of  m o di f i e d  Ma h a l on obi s  di s t a n c e   t ha t     t he  t r i m m i n g   de pe n de nt   on  t he   pe r c e nt a ge   20 %   f r om  e a c h e n d.  T he  na t ur a l  wa y  o f   M a h a l a n o b i s  d i s t an ce.     I n t he  s t udi e s  of  [ 5,   1 7 ] ,  e ach  en d  f r o m   o u t l i er  o b s e r v at i o n  w as  t r i m m ed  t h e  d at a t h at  ar e p r o v i d ed   b y     t he  l a r ge s t  t w o va l ue s   of   M a ha l a n obi s   di s t a nc e .   Me a nw h i l e ,  t hi s  t e c hni que  i s  a p pr o pr i a t e  f or   de a l i n g wi t h   s ub g r o u p obs e r va t i o ns ,   b ut   ou r  c a s e  i s  c onc e r ne d  wi t h  t he   bo ot s t r a p  i ndi vi d ua l  o b s e r va t i o ns .   A s  s u c h ,     t he  pe r c e nt a ge  f o r  t r i m m i ng  i s  m or e  a p pr o pr i a t e .   T he  a ut ho r s  i n  [ 16 ]  s u gge s t e d t ha t  t h e  be s t  pe r c e nt a ge  i s   2 0% - 2 5%  in a  s ym m e tr ic   d i s tr ib u tion .  T h e  a u thor s  in [ 18 ,   19 ]  pr opo s e d  to tr im   20%  f r om  e a c h   ta il o f     t he  da t a .   T he  a ut h or  i n [ 1 9]   pr o po s e d   t he  be s t  pe r c e nt a ge  t o t r i m  20 %  f or  e a c h s i de .  C o ns e que nt l y,     t h e  p e r ce n t ag e  of   t r i m m i n g   i n  t hi s   pa pe r   f or   e a c h  e nd   i s   20% .     2. 2.       C o n s tr u c ti n g   c on t r ol   c h ar t s   S u b s t i t u t i n g   a r i t h m e t i c   m e a n   v e c t o r     b y   t h e  al t er n at i v e r o b u s t   l o cat i o n   es t i m at o r ,   t h e  t r i m m ed   m ea n     an d  s u b s t i t u t e  t h e s a m p l e  v a r i an ce c o v a r i an ce m at r i x   S   b y  t h e  t r i m m e d   v ar i a n ce c o v ar i an ce m at r i ces   each  o n e  o f  t h em   r el i es   o n  t h e r o b u s t  s cal e   es t i m at o r   .   T h e   c o m p u t a t i o n  o f  t h e  t r i m m e d  c o v a r i a n c e  m a t r i x   r e q ui r e s  c a l c ul a t i ng t he  w i ns or i z e d c o va r i a nc e  m a t r i x be f or e .  T he   w i ns or i z e d va r i a nc e  c ova r i a nc e   m a t r i x  i s  t h e  v ar i a n ce   co v ar i a n ce  m at r i x   f o r   t h e   w i n s o r i zed   s am p l e.   I t s   s am p l e  i s   ac h i ev e d   b y   u s i n g   s o m e  t ec h n i q u es   t o   t r i m  t he   o ut l i e r s  f r om  t he   da t a .  T he  t e c hni que  o f   Ma ha l a n obi s  di s t a nc e  i s  e m pl oye d i n s uc h  s t ud y.     T h e f o r m u l a o f  M a h al an o b i s   d i s t an ce r el i es   o n  t h e a r i t h m et i c m ea n   v ect o r  an d  t h e  v ar i a n ce c o v ar i an ce   m a t r i x.  T hi s  p a pe r  m o di f i e d  t he  Ma ha l a n obi s   di s t a nc e   by  m o di f yi n g  t he  a r i t hm e t i c  m e a n  by t he  r o bu s t   l oc a t i on  e s t i m a t or  t he  m e di a n a nd  m o di f yi ng  t he  va r i a nc e  c o va r i a nc e   m a t r i x  b y t he   c ova r i a nc e  m a t r i x  o f    t h e r o b u s t  s cal e es t i m at o r s     [ 2 0 ] .   I n  r es p ect  t o  t h e t y p e  o f   r o b u s t  s cal e es t i m at o r  t h e  w i n s o r i zed  s am p l e i s   a c hi e ve d.  T h u s ,  t he  t y pe   o f   w i ns or i z e d  s a m pl e  i s  f or m e d.  W i t h r e ga r d t o s uc h  w i n s o r i z e d  s a m pl e ,     o n e  t r i m m ed   m ean  h a s   b ee n  cal c u l at ed   X tQ n   an d  o n e   t r i m m ed  v ar i a n ce   co v ar i a n ce m at r i x    ,     ha d be e n  c a l c u l a t e d .  Ba s e d  o n  t h i s  t y p e  o f   w i n s o r i z e d  s a m p l e ,  t h e   M o d i f i e d  H o t e l l i n g ’ s   2   c o n t r o l  c h a r t  i s  s t r u c t u r e d   a s   f o l l o w s :     −   D e f i ni n g  t he  a dj us t e d Ma h a l a no bi s  di s t a nc e  va l ue s   ∆   f o r  eac h  v ect o r  X i1 , … . . ,     X ip   i n  t h e  i n d i v i d u a l   bo ot s t r a p  da t a   gr o ups ,   w he r e   i = 1 , … , n ,   a nd   p   n u m b er   o f   v ar i ab l es .   −   O r ga ni z i ng  t he   va l ue s   of   m od i f i e d  Ma ha l a no bi s   di s t a nc e   o r de r l y  a n d  a c c o r di ng  t o  [ 1 6 ]   w ho  s t a t e d  t ha t   t he   be s t  pe r c e nt a g e  of  t r i m m i n g  i s  20% - 2 5 %  f r o m  eac h  e n d i n s y m m e t r i c   d i s t r i but i o n.  T h e  a ut h or s   [ 18 ,  19 ]   pr o pos e d  t r i m m i ng   2 0%   f r o m   e a c h   t a i l   of   t he   da t a .   T h us ,   we   e m pl o ye d  t he   40 %   a s   a   t r i m m i n g  pe r c e nt a ge .   −   T r i m m i n g  t h e  l a r g e s t   4 0   %  o f  t h e  v a l u e s  o f   m o d i f i e d   M a h a l a n o b i s  d i s t a n c e   ∆ 2 .  Ac c or di n g  t o t he s e   v al u es   of   Ma ha l a n o bi s  di s t a nc e ,  t r i m m i ng  t he   o bs e r va t i on s  i n t he   da t a  t ha t  a r e  m a ni f e s t e d  b y  4 0 %   of  t he  l a r g e s t   va l ue s   o f   m o di f i e d  Ma ha l a n o bi s  di s t a nc e   ∆ 2 .     −   F o r  t h e   p u r p o s e  o f  c r e a t i n g  t h e   w i n s o r i z e d  s a m p l e ,  s u b s t i t u t e  t h e  t r i m m e d  o b s e r v a t i o n s   b y   o t h e r   ob s e r va t i on s   a r e   m a ni f e s t e d   b y  t he   ne xt   40 %   o f   t he   va l ue s   o f   m o di f i e d  Ma ha l a n obi s   di s t a nc e   ∆ 2 .       −   D e f i ni n g  t he   t r i m m e d   m e a n   f or   e a c h  b oot s t r a p  da t a   s e t   of   t he   i ndi vi d ua l   o bs e r va t i o ns   b y   s pl i t t i ng  t he   t ot a l  of  t he   r e m a i n i ng  i n di vi dua l  o bs e r va t i ons  b y  ( n - k ) ,  wh e r e  k  s ym bols   to  th e  n um b e r  of   t r im m in g   obs e r va t i on s   b e c a us e   o nl y  o n e   b oot s t r a p  da t a   s e t ,   f ol l o we d   by   o ne   va l ue   o f   t r i m m e d  m e a n    .           −   D ef i n i n g  t h e  w i n s o r i zed  c o v a r i an ce m at r i x       by  us i ng t he   w i ns o r i z e d s a m p l e  a c c or di n g t o  t he  us e  o f   t h e   r o b u s t   s c a l e   e s t i m a t o r s   ,   .   −   P i n p o i n t i n g  t h e  t r i m m e d   v a r i a n c e  c o v a r i a n c e  m a t r i x      f or   t h e   i ndi vi dua l   bo ot s t r a p  da t a   s e t  by a p pl yi n g   t h e   fo rm u l a   [1 7 ]:     = − 1 − 1   ×     ( 2)     w h e re     i s   t h e  w i n s o r i zed   co v a r i an ce  m at r i x ,   n t   i s   t h e   n u m b e r   o f   t h e   r e s t   d a t a   a f t e r   t r i m m i n g .   T he  di a go na l  c o m p o ne nt s   i n t he  a bo ve  m e nt i one d  t r i m m e d  va r i a n c e  c o va r i a nc e  m a t r i x a r e     t h e  s a m p l e - t r i m m e d  v a r i an ce   w h er e    =  2   an d  t h e  o t h e r  el em en t s  a r e      t h e  s a m p l e  t r i m m e d   co v a r i an ce   m at r i x   o f   t h e  t w o   v ect o r s   ,   ,   a n d  is   c om pu te d  a s   f o llow s :   a)   C om put e   t X j , t X g ;  j = 1 , … , p ,     g = 1 , … , p   a n d ,   ≠ .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt   J   E l e c   &   C om p  E n g     I S S N :  208 8 - 87 08       M o d i f i e d   h o t e l l i n g ’ s     c o nt r ol   c har t s   us i n g  m o di f i e d…   ( F i r as   H ad d ad )   2 87   b)   C o m p u t e  t h e  s p ear m an  r an k  co r r el at i o n  b et w een   a nd   ,  de not e d b y c or r  ( ,   )   b ecau s e t h i s   t ype   o f   c or r e l a t i on  i s   r ob us t   a g a i ns t   t he   e xt r e m e   da t a   [ 21 ] .   c)   T h e s a m p l e  c o v a r i an ce  b et w een  t h e  v a r i ab l es   a n d    i s  c om put e d a c c or di n g t o t he   f ol l o w i n g   fo rm u l a :      =  , = (   ) (   ) ( , )   ( 3)     −   C om put e  t he   o pp os i t e   of  t he   s a m pl e  t r i m m e d s t a nda r d  c ov a r i a nc e   m a t r i x  f or   , ,   w h i c h   i s  m a n i f e s t e d     b y   − 1   .   −   D e f i n i n g    t h e  m o d i f i e d   H o t e l l i n g ’ s   2   c ont r ol  c ha r t   by  s ubs t i t ut i ng t he  s a m pl e   m e a n  i n   t he   t r a di t i o na l   H o t e l l i n g ’ s   2   c ont r ol   c ha r t  b y  t he  r ob u s t  l o c a t i o n  e s t i m a t o r s   , ,  a n d  s u b s t i t u t e  t h e  o p p o s i t e   o f     t h e  s a m p l e  s t a n d a r d  c o v a r i a n c e   m a t r i x  i n   t h e  t r a d i t i o n a l  H o t e l l i n g ’ s   2   c ont r ol   c ha r t  by   t he  op p os i t e     r o b u s t  s cal e c o v ar i a n ce m at r i ces    S t Qn − 1   .   A f t e r  t h a t ,  t h e   m o d i f i e d  H o t e l l i n g ’ s   T 2   c ont r ol  c ha r t  a n c ho r e d  o n   t h i s   f o r m :       T t Qn 2 ( X i ) = ( X i − X t Qn ) T S t Qn − 1 ( X i − X t Qn )   ( 4)     2. 3.     I nde pe n de n t   a nd  de pe nde nt   var i ab l e s   T h is  s tudy  touc h e d up on t he  i nde pe nde nt  a nd  de pe nde nt   c a s e s  w hi c h a r e  a c q ui r e d  b y  C a s e  A  an d   Ca s e   B r e s p e c t i v e l y .   T he  f ol l ow i ng  f o r m ul a s   c l a r i f y   t h e   c o nt a m i na t i on   m o de l  of  t he   m i xt u r e  n or m a l   d i s t r i b u t i o n :     (1 - ε) N p ( µ 0 , Σ 0 ) +   ε   N p ( µ 1   ,       Σ 1 )   ( 5)     T o  i l l u s t r a t e ,   ε   i s  t h e  p er ce n t ag e o f  t h e  o u t l i e r s .   N p ( µ 0 , Σ 0 )     i s  t h e  i n  c o n t r o l   d i s t r i b u t i o n  a n d     t h e p ar am et er s   µ 0 , Σ 0   a r e   c a l l e d   i n  c o n t r o l  p a r a m e t e r s .   M e a n w h i l e ,   t h e  d i s t r i b u t i o n   N p ( µ 1   ,       Σ 1 )   i s   t h e  o u t  o f   c ont r ol   di s t r i b ut i on  a nd  t he  pa r a m e t e r s   µ 1   ,       Σ 1   ar e   cal l ed  o u t  o f  co n t r o l   p a r am et er s .  T w o   cas es  o f     t he  va r i a bl e s  s ha l l  be   t a ke n   w he n s uc h  va r i a bl e s   a r e  ou g ht   t o  be   i nde pe nde nt   a n d  c a l l e d ( A )  w hi l e     t he   de pe nde nt   va r i a bl e s   a r e   c a l l e d  a s   ( B ) .   T h e   f o l l o w i n g  f o r m u l a   c l a r i f y   t h a t .     2. 3. 1.   C a s e   ( A ) :     (1 - ε) N p 0 , I p +   ε   N p ( µ 1   ,       I P )   ( 6)     W i t h o u t   l o s s   o f   g e n e r a l i t y ,   t h e   i n   c o n t r o l   m e a n s   v e c t o r   µ 0       i s   0,   w hi l e   t he   va r i a nc e   c ova r i a nc e   m a t r i x   i n  t he   i n  c ont r ol   a nd  o ut   of   c ont r ol   d i s t r i b u t i o n s   i s   e q u a l   t o   t h e   I d e n t i t y   m a t r i x   .   T he   a ut h or s   i n  [ 2 2,   23 ]   i n di c a t e s   t ha t   t h e  v ar i an c e c o v a r i an ce  m at r i x     i s  r eg a r d ed   as   a h o m o g en o u s  v a r i an ce  co v ar i a n ce   m at r i x  w i t h  1  f o r     t he  m a i n  di a go na l  a n d  0  f or  t he   ot h e r  e l e m e nt s  i n t he   m a t r i x t ha t c o n s i d e r s  t h a t  w itho u t  c or r e la tion a m on g    t he  va r i a bl e s .   Ho we ve r ,  a s  t he   va l ue   of  t h e  o ut  o f  c ont r ol  pa r a m e t e r   µ     de pe n ds  o n  t he  no n - cen t r a l i t y   p ar a m et er   as   f o l l o w s :     ( µ 1 − µ ) ′ Σ − 1 ( µ 1 − µ )   ( 7)     w h er e   µ       a v ect o r  i s   m a n i f e s t i n g   t he  a m o u nt  o f  t he  s hi f t  f o r  t he  m e a n  ve c t o r .  T he  l a r ge r   va l ue  of     th e  non - c e nt r a l i t y pa r a m e t e r   s t a nds   f or  l a r ge r  e xt r e m e   o ut l i e r s .   A s  s uc h,  a c c or di n g t o m a ny  s t a t i s t i c i a ns  s uc h   a s  [ 7,   2 4,  2 5]   t he y t o ok  t he   f ol l o w i n g  va l u e s  f or  t he   n on - cen t r al i t y  p a r am et er   µ       l i k e  0   ( w h e n  t h e r e  i s  n o   a l t e r a t i o n ) ,   3   a n d   5   f o r   o b t a i n i n g   m o r e   e x t r e m e   o u t l i e r s .     2. 3. 2.   C a s e   ( B ):     (1 - ε) N p ( 0 , Σ 0 ) +   ε   N p ( µ 1   ,       Σ 0 )   ( 8)     I n   c o n t r o l   p a r a m e t e r ,   w i t h o u t   l o s s   i n   g e n e r a l i t y ,   s t a n d s   f o r   v e c t o r   µ 0       i s   eq u al   t o   0   w h i l e  t h e  v ar i an ce   c ova r i a nc e   m a t r i x f or  t he  i n  c ont r ol  a nd  o u t  of  c ont r ol   di s t r i but i o ns  a r e   e qui va l e nt  ( i . e .   0   = 1   =   0 ).   0   i s     a  h om oge n ou s   va r i a nc e  c ova r i a nc e  m a t r i x  of  s i z e   ×   w i t h  hi g h l e ve l   of  c o r r e l a t i on be t we e n t he  va r i a bl e s .   F or  e xa m pl e ,   t he  c om po ne nt s  o f  t he   m a i n  di a go na l  i n  0   a r e   1 a n d t he   ot he r  e l e m e nt s  a r e  0 . 9  [ 2 3,   26 ] .   H o we v e r ,   t he  out  o f   c ont r ol  pa r a m e t e r   µ 1       r e c e i ve s  t he  va l ue s  0  ( w i t ho ut  a l t e r a t i on )  a n d  5  ( w he n t he r e  a r e     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S SN :   2 088 - 87 08   I nt   J   E l e c   &   C om p  E n g,   V o l .   11 ,   No .   1,   F e b r ua r y  2 02 1  :    284   -   2 92   2 88   a  go o d l e ve r a g e  poi nt s ) .   S uc h c a s e  wa s   r e g a r de d f or  j ud g i ng t he   pe r f or m a nc e   of  m o d i f i e d H ot e l l i ng ’ s   2   s t a t i s t i c s  c onc e r ni ng  de pe nd e nt  v a r i a bl e s  o r   w he n t h e r e  i s   c o r r e l a t i o n a m o ng  t he  va r i a bl e s .   T he  va l ue s   o f     t he   pe r c e nt a g e s   of   o ut l i e r s   ε   a r e   0 . 1 ,   a nd  0. 2.     L i k e w i s e ,   Hol m e s   a n d  Me r ge n  i n  [ 2 7]   w h e ne ve r     t h e  H o t e l l i n g ’ s   2   s t a t i s t i c s   i s  o u t  o f  c o n t r o l ,  t h i s  c l a r i f i e s  t h a t  t h e  c o r r e l a t i o n  a m o n g   t h e  v a r i a b l e s   h a s  c ha n ge d.   I n  c a s e   ( B )   t he r e   i s   a   hi g h c o r r e l a t i on  be t w e e n  t he   va r i a bl e s ,   d u r i ng  t ha t ,   i t   c a n  be   m e a s ur e d  w he t he r   t he  a l t e r a t i o n i n t he  c or r e l a t i on   be t we e n t h e  va r i a bl e s  i m pa c t   on  t he  va l ue s   o f  t he   pr ob a bi l i t y o f   T y pe  I  e r r o r   a n d   t h e   p r o b a b i l i t y   o f   d e t e c t i o n   o f   o u t l i e r s   f o r   t h e   m o d i f i e d   H o t e l l i n g   2   s t a t i s t i c s .     2. 4.     U p p er  c o n t r o l   l i m i t s   (U C L )   S i n c e  t h e  d i s t r i b u t i o n   o f  t h e  H o t e l l i n g ’ s   2   s t a t i s t i c  i s  v a g u e  w h e n  t h e  s a m p l e   s i z e  i s  s m a l l ,     t he   u ppe r   c ont r ol   l i m i t s   a r e   c a l c ul a t e d  b y  e m pl o yi n g  t he   s i m ul a t i on .   T he   s i m ul a t i on  oc c ur s   d ur i ng  t wo  ph as e s   I a n d   II .  P h a s e  I   t he  bo ot s t r a p da t a   s e t s   ge ne r a t e d f r om   t he   s t a n d a r d no r m a l  di s t r i but i o n  0 , .     T he   t r a di t i ona l   a n d  t he   r ob us t   e s t i m a t or s   a r e   cal cu l at ed   f o r   t h es e  d at a  s et s .   Ph a se   I I   pr o du c e s   a   ne w   a d di t i ona l   o b s e r v a t i o n   f r o m  t h e  s t a n d a r d  n o r m a l   d i s t r i b u t i o n   0 , .   R ep eat  t h e   g en er at i n g  f o r   5 0 0 0  t i m es .     T he n c a l c ul a t e  t he  c o r r e s p on di n g  m odi f i e d  H ot e l l i ng’ s   2   s t a t i s t i c  f o r  t h e s e   5 0 0 0  n e w  a d d i t i o n a l   obs e r va t i on s .   T he  pe r c e nt i l e   95  c om p ut e d  f or  t he s e   va l ue s  o f  a dj us t e d   H ot e l l i ng’ s   2   s t a t i s t i c  a n d  t h e n   s u c h   v al u e  o f   t h e   p e r cen t i l e  co n s i d er ed   as   t h e   U CL .     T h e  s i m u l a t i o n  f o r  c o m p u t i n g  f a l s e  a l a r m s  a n d  t h e  p o s s i b i l i t y  o f   d e t e c t i o n  o u t l i e r s  u n d e r g o  t h r o u g h   t w o   ph as e s  I  an d  I I .   T o  c l a r i f y,   P ha s e  I  t he   bo ot s t r a p m e t h od  f or  t he  ge n e r a t e d i ndi vi d u a l  ob s e r va t i o ns  f r om   d i s t r i b u t i o n   0 .   i s   u s e d .   T he n t he  o ut l i e r s  a r e  a d de d  a c c or di n g t o  t he  t wo c a s e s  i nde pe n de nt  a nd   d ep e n d en t   v a r i ab l es  ( ca s e ( A )  an d  ca s e ( B ) ) .  T h e t r a d i t i o n al  an d   r o b u s t  es t i m at o r s   co m p u t ed  i n  t h i s  p h as e.   A c c o r di n g t o  ph as e  I I ,  t h e  f a l s e  a l a r m s  i s   c a l c u l a t e d  a n d  t h e  p o s s i b i l i t y  o f   d e t e c t i o n   o u t l i e r s .   F o r  i n s t a n c e ,     t he  f a l s e  a l a r m  i s  c a l c ul a t e d w he n we   p r o a   ne w   o bs e r va t i o n f r om  i n c o nt r ol   di s t r i but i o n.   Me a nw hi l e     t h e  p o s s i b i l i t y  o f   d e t e c t i o n   o f  o u t l i e r s  i s  c a l c u l a t i n g   w h e n   t h e   ne w o bs e r va t i on   i s  pr od uc e d   f r o m   t he  out  o f   c o n t r o l   d i s t r i b u t i o n .       3.   R ES U LTS   A N D  D I S C U SSI O N   T h e  f o l l o w i n g  t a b l e  r e p r e s e n t s   b o t h  t h e  r e s u l t s   o f   f a l s e  a l a r m s  a n d  t h e   p r o b a b i l i t y  o f  d e t e c t i o n   out l i e r s  f or  t h e  ne w  m odi f i e d  r ob us t  c ha r t .   A s  s how n  in  T a b le  1  p a r t i cu l ar l y  i n  cas e ( A ) ,  t h e  b i v ar i at e   va r i a bl e s   wi t h   l e ve l   o f   s i g ni f i c a nc e   α   = 0. 0 5.   I n   t he   pr e s e nc e   o f   t he   da t a   o ut l i e r s ,   t he   va l ue s   o f   t he   r a t e s ,     i n  t h e   r o b u s t  c h a r t   f o r   f a l s e  a l a r m s  a r e   b e t t e r  t h a n  t h e   v a l u e s  t h e   r a t e s  i n   t h e  t r a d i t i o n a l   H o t e l l i n g ’ s   2   ch ar t .   I n   g e n er al ,   t h e  r at es   o f   f al s e  a l ar m s   ar e   u n d e r   co n t r o l   w h e n   t h e  p e r ce n t ag e   o f   o u t l i er s   ε= 0 . 1 .   A s   s a m p l e   s i zes   i n cr eas e,   t h e   r a t es   o f   f al s e  al a r m s   b eco m e  c o n s er v at i v e  w h e n ev e r   t h e  p er ce n t ag e  o f   o u t l i er s   i s   ε=0 . 2   I n  r e s pe c t  of  t he  p os s i bi l i t y of   de t e c t i o n ,  o u t l i e r s  a r e  c o n s i d e r e d  b e t t e r   i n  t h e  r o b u s t   H o t e l l i n g ’ s   2   c ont r ol   c ha r t s   c om pa r i ng  wi t h t r a di t i o na l  H ot e l l i ng’ s   2 c ont r ol   c ha r t s .  P a r t i c ul a r l y   w he n t he  pe r c e nt a ge   o f   o u t l i er s   ε=0 . 2 ,   t h e  h u g e  d i f f e r en ce  c o u l d   b e  d et ect e d   b et w een   t h e  r at es   o f   t h e  p os s i bi l i t y  of  de t e c t i on of   out l i e r s   be t w e e n  t he  r o bus t  c ha r t  a n d  t he  t r a di t i ona l  c ha r t   w hi c h  i m pl i e s   t ha t  t he   f i n di n gs   c o nc e r ni ng  r o b us t   c ha r t s  a r e   be t t e r  t ha n  t he   f i n di ngs  i n t he  t r a di t i ona l  c ha r t s .   F ur t he r m o r e ,  t h e  r o bus t   H ot e l l i ng   2 c ont r ol  c ha r t ,   t h e   m o r e  v al u es  o f  t h e  p o s s i b i l i t y  o f   d et ect i o n   o u t l i er s  i n cr eas e,  t h e  m o r e s am p l e s i ze i n c r eas e  t h at   ach i ev es 1 0 0 %  d et ect ed  w h en  t h e  s am p l e s i ze ach i e v e t o   1 0 0 .  O n  t h e c o n t r ar y ,  t h e m o r e  v a l u es   o f     t he  pr o ba bi l i t y  of   de t e c t i on  f o r  t he  t r a di t i ona l  c ont r ol  c ha r t s  d ecr eas e ,   t h e m o r e s a m p l e s i ze i n c r eas e.   T he r e f or e ,  i t   c a n be   de duc e d t ha t  t he   m o di f i e d  r o b u s t  H ot e l l i ng ’ s   2 co n t r o l  ch a r t s  ar e b et t er  t h an     t h e   t r a d i t i o n a l   H o t e l l i n g ’ s   2 c o n t r o l   c h a r t s   p a r t i c u l a r l y   i n   t h e  p o s s i b i l i t y   o f  d e t e c t i o n   o u t l i e r s .     W i t h r e ga r d t o  c a s e  ( B )  c o nc e r ni ng t he  d e p e nde nt   va r i a bl e s ,  t he   r o b us t  c ha r t   ha s   be t t e r   pe r f o r m a nc e   co m p ar i n g   w i t h  t h e  p er f o r m an ce o f  t h e t r ad i t i o n al  ch a r t  r el at i n g  w i t h  f al s e al ar m s  a n d t he  p os s i bi l i t y o f   d e t e c t i o n .   I t  ha s  be e n  o bs e r ve d t ha t   t h e   v a l u e s   o f   t h e   p o s s i b i l i t y   o f   d e t e c t i o n   o f   o u t l i e r s   a r e   b e t t e r   p a r t i c u l a r l y   w h e n   t h e  p e r c en t ag e  o f   o u t l i er s   ε=0 . 1   d es p i t e  t h at   t h e  v al u es   o f   f al s e  al ar m s   i n   t h i s   c as e  ar e  n o t   w e l l   an d   r eas o n a b l e.   T h e  i n c r e a s i n g   o f  t h e  s a m p l e  s i z e  i m p a c t s  o n  t h e   p o s s i b i l i t y   o f  d e t e c t i o n ,  b u t  d o e s  n o t  i m p a c t   o n   t h e  v a l u e s   o f  f a l s e  a l a r m s .  T h i s  s u g g e s t s  t h a t  t h e  m o d i f i e d   r o b u s t  H o t e l l i n g ’ s   2 c o n t r o l  c h a r t   i s  b e t t e r  t h a n   t h e   t r a d i t i o n a l   H o t e l l i n g ’ s   2 c o n t r o l   c h a r t   p a r t i c u l a r l y   i n   t h e   p o s s i b i l i t y   o f   d e t e c t i n g   o u t l i e r s .     C a s e  A i ndi c a t e s  t ha t  i n de pe nde nt   va r i a bl e s  a r e   de m o ns t r a t e d i n  F i g ur e s  1 - 4 w ith th e  nu m b e r  o f   c ha r a c t e r i s t i c s  a t  p= 2.  T he   f i ndi ng s  r e ve a l  t ha t  i n t he   de t e c t i on o f   out l i e r s ,  t he   ne w a d o pt e d c ha r t   ha s   b e t t e r   pe r f o r m a nc e  c om pa r i ng  wi t h  t he  c on ve nt i o na l  c ha r t .   I t  i s   ob vi o us  t he  s t r on g  pe r f or m a n c e  o f  t he  ne w  c ha r t  i n   d e t e c t i n g   o u t l i e r s   d a t a  w h e n  t h e  s a m p l e  s i z e s  a r e   3 0  a n d  4 0  t h a n   o t h e r  s i z e s .   I n  r e s p e c t  o f  t he  de p e nde nt   va r i a bl e s  ( c a s e   B ) ,   F i gu r e s  5  a n d 6  c on f i r m s  th e  s up e r io r ity of  th e  ne w  c h a r t  to the  c onv e n tion a l  on e ,   i ndi c a t i n g t he   a pp r op r i a t e ne s s   o f   t he   ne w   c h a r t   f or   t he   a b ov e - m e nt i one d  c a s e .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt   J   E l e c   &   C om p  E n g     I S S N :  208 8 - 87 08       M o d i f i e d   h o t e l l i n g ’ s     c o nt r ol   c har t s   us i n g  m o di f i e d…   ( F i r as   H ad d ad )   2 89   T a b l e   1 .   T h e   r a t e s   o f   f a l s e   a l a r m s   a n d   d e t e c t i o n   o u t l i e r s   f o r   t h e   r o b u s t   c h a r t ,   i n   c a s e   P = 2,  a l pha = 0. 05 ,     ε   i s   pe r c e nt a ge   of   o ut l i e r s   a nd   va r i ous   va l ue s   of   n o n - c e n t r a l i t y   p a r a m e t e r   t r i m m i n g   i s   4 0 % .   Ca se   n     µ   ̅ − 2   ̅ −  2   A   20   0   (0 ,0 )   (3 .4 )   ( 6. 28)       0 .1   (3 ,3 )   ( 2. 54)   49. 7   (4 .3 )   73. 2         (5 ,5 )   ( 3. 48)   94   ( 4. 44)   98. 1       0 .2   (3 ,3 )   ( 2. 74)   4. 22   ( 2. 22)   50. 16         (5 ,5 )   ( 1. 42)   29. 66   ( 1. 66)   87. 36     30   0   (0 ,0 )   ( 2. 16)   (9 )       0 .1   (3 ,3 )   ( 1. 66)   42. 56   ( 4. 94)   85. 2         (5 ,5 )   ( 2. 04)   92. 02   ( 4. 42)   99. 88       0 .2   (3 ,3 )   (0 .5 )   2. 08   ( 4. 76)   69         (5 ,5 )   ( 0. 26)   15. 24   ( 1. 94)   97. 46     40   0   (0 ,0 )   ( 2. 84)   ( 9. 16)       0 .1   (3 ,3 )   ( 1. 66)   40. 62   ( 6. 38)   84. 6         (5 ,5 )   ( 1. 02)   97. 3   ( 5. 84)   99. 9       0 .2   (3 ,3 )   ( 0. 52)     8 .2   ( 5. 34)   71. 5         (5 ,5 )   ( 0. 12)   16. 1   (2 .4 )   97. 74     50   0   (0 ,0 )   ( 5. 26)   (4 .4 )       0 .1   (3 ,3 )   ( 1. 94)   60. 06   (1 .7 )   70         (5 ,5 )   ( 1. 02)   99. 6   ( 1. 56)   99. 8       0 .2   (3 ,3 )   ( 0. 54)   4 .8   ( 0. 16)   45. 3         (5 ,5 )   ( 0. 12)   54. 7   ( 0. 18)   95. 24     100   0   (0 ,0 )   ( 12. 06)   (8 .9 )       0 .1   (3 ,3 )   ( 1. 04)   76. 4   ( 4. 29)   93. 24         (5 ,5 )   ( 0. 14)   100   ( 4. 24)   100       0 .2   (3 ,3 )   ( 2. 88)   4 .3   ( 1. 98)   81. 34         (5 ,5 )   ( 0. 08)   87. 72   ( 1. 12)   99. 98   B   20   0   (0 ,0 )   ( 0. 08)   (0 .5 )       0 .1   (5 ,5 )   (0 .5 )   88   (0 .3 6 )    84. 18       0 .2   (5 ,5 )   ( 0. 42)   22. 7   (0 .0 6 )    57. 98     30   0   (0 ,0 )   ( 0. 06)   (1 .3 )       0 .1   (5 ,5 )   ( 0. 24)   76. 7   ( 1. 46)   98. 28       0 .2   (5 ,5 )   ( 0. 14)   8. 54   (1 .4 )   92. 74     40   0   (0 ,0 )   (0 )   ( 0. 52)       0 .1   (5 ,5 )   ( 0. 02)   90. 5   ( 0. 36)   95. 94       0 .2   (5 ,5 )   (0 )   8. 94   ( 0. 12)   86. 06     50   0   (0 ,0 )   (0 )   ( 0. 84)       0 .1   (5 ,5 )   ( 0. 04)   95. 78   (0 .1 4 )    97. 72       0 .2   (5 ,5 )   (0 )   28. 02   (0 )   84. 1     100   0   (0 ,0 )   (0 )   ( 2. 72)       0 .1   (5 ,5 )   ( 0. 02)   99. 88   ( 0. 48)   99. 92       0 .2   (5 ,5 )   (0 )   71. 58   ( 0. 02)   98. 26     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S SN :   2 088 - 87 08   I nt   J   E l e c   &   C om p  E n g,   V o l .   11 ,   No .   1,   F e b r ua r y  2 02 1  :    284   -   2 92   2 90   1 0   %   o u t l i e r s   w i t h   s h i f t e d   m e a n   3     2 0  %   o u t l i e r s   w i t h   s h i f t e d   m e a n   3       F i gu r e  1.   T h e   r a t e s   o f   d e t e c t i o n   o u t l i e r s   w i t h     s am p l e  s i ze  m   ( C as e  A )     F i gu r e  2.   T h e   r a t e s   o f   d e t e c t i o n   o u t l i e r s   w i t h     s am p l e  s i ze  m   ( C as e  A )       1 0 %   o ut l i e r s   w i t h  s hi f t e d  m e a n  5     2 0 %   o ut l i e r s   w i t h  s hi f t e d  m e a n  5       F i gu r e   3.   T he   r a t e s   of   de t e c t e d  out l i e r s     w i t h   s a m p l e   s i z e   m   ( C as e  A )     F i gu r e   4.   T he   r a t e s   of   de t e c t e d  out l i e r s     w i t h   s a m p l e   s i z e   m   ( C as e  A )       1 0 %   o ut l i e r s   w i t h  s hi f t e d  m e a n  5     2 0 %   o ut l i e r s   w i t h  s hi f t e d  m e a n  5       F i gu r e   5.   T he   r a t e s   of   de t e c t e d  out l i e r s     w i t h   s a m p l e   s i z e   m   ( Ca s e   B)     F i gu r e   6.   T he   r a t e s   of   de t e c t e d  out l i e r s     w i t h   s a m p l e   s i z e   m   ( Ca s e   B)       3. 1.     E mp i ri ca l   ca s e  s t u d y   V a r ga s  J  i n  [ 2 8]   f i n di n gs  w e r e  e m pl oy e d i n o r de r  t o c om pa r e   be t w e e n t he m .  T h us ,  t h e  f i ndi ng s  o f   t he  s ug ge s t e d   t e c hni q ue  a n d  t ho s e   of  t he   c on ve nt i ona l  a nd  a dj us t e d  c ont r ol  c ha r t s   w e r e  c o nt r a s t e d.   I t  i s   ob vi o us   t wo f e a t ur e s  of  r a n d o m   va r i a bl e s   i n t he   da t a  na m e l y   1 X   an d 2 X .  M o s t  i m p o r t a n t l y  t h e  d a t a  w e r e   e l i c i t e d  f r om  30  va r i ous  pr o duc t s   f r om   t he   p r od uc t i o n pr oc e s s .  Va r ga s  J   i n   [ 2 8]  us e d   t w o va r i a bl e s   f r o m   Q u es en b er r y  d at as et .  A s  s u c h ,  T a b l e  2   r e v eal s  t h e o b s e r va t i on s  o f  t he   a bo ve - m e nt i on e d r a n do m  va r i a bl e s   na m e l y   t he   va l ue s   of   t he  ne w   Hot e l l i ng ’ s   T 2  an d   t he   c o nve n t i ona l   T 2  c h a r t   s t a t i s t i c s .     T he  s i m ul a t i o n f or  t he   r o b u s t  c ha r t s   w a s   us e d i n t he   U C L   c a l c u l a t i o n .   T hi s  s t u dy  r e ve a l s  t ha t     t he  va l ue  of   a l l   U CL   w a s  e s t a bl i s he d a t   9. 4 78 7  f or   α= 0. 05 .   T he   e l i c i t e d  f i ndi n gs ,   f or   t h e   c on ve nt i ona l   c h a r t ,   onl y one  o ut l i e r   w a s   de t e c t e d na m e l y   t he  2 nd ,  w h i l e  t h e  r o b u s t  c h a r t s   w e r e   a b l e  t o   d e t e c t  f i v e  o u t l i e r s   n a m e l y     t h e   2 nd ,   5 th ,   1 4 nd ,   17 th   a n d  20 th .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt   J   E l e c   &   C om p  E n g     I S S N :  208 8 - 87 08       M o d i f i e d   h o t e l l i n g ’ s     c o nt r ol   c har t s   us i n g  m o di f i e d…   ( F i r as   H ad d ad )   2 91   T ab l e  2 .   B i v ar i at e  v ar i a b l es   X 1 a nd  X 2   o f  V ar g as   d a t a  s et   w i t h   t h e  v al u es   o f   T   2  s t a t i s t i c s   e m p l o y i n g     t he   c o n ve nt i on a l   a nd  t he   w i ns or i z e d  MO M   e s t i m a t o r   Pr o d u ct No   1 X   2 X   2 0 T   T t Qn 2   1   0. 567   60. 558   0. 807   4. 8584   2   0. 538   56. 303   12. 975   31. 451   3   0. 53   59. 524   0. 1373   1. 026   4   0. 562   61. 102   1. 8375   4. 9479   5   0. 483   59. 834   1. 5697   28. 065 5   6   0. 525   60. 228   0. 33   1. 4439   7   0. 556   60. 756   0. 977   1. 8793   8   0. 586   59. 823   0. 904   2. 6814 9   9   0. 547   60. 153 0   0. 1269   0. 2652   10   0. 531   60. 64   0. 801   3. 1888   11   0. 581   59. 785   0. 7192   0. 9387   12   0. 585   59. 675   0. 910   1. 8479 9   13   0. 54   60. 489   0. 483   2. 8319   14   0. 458   61. 067   5. 2413   13. 241 3   15   0. 554   59. 788   0. 073   0. 9757 8   16   0. 469   58. 64   3. 5357   8. 3317   17   0. 471   59. 574   2. 2696   10. 050 2   18   0. 457   59. 718   3. 2442   8. 8545   19   0. 565   60. 901   1. 398   2. 0478 4   20   0. 664   60. 18   6. 8326   14. 425   21   0 .6   60. 493   1. 8978   3. 8182   22   0. 586   58. 37   3. 3564   6. 66   23   0. 567   60. 216   0. 4275 46   1. 7246   24   0. 496   60. 214   1. 1838   5. 3057 4   25   0. 485   59. 5   1. 4968   7. 3952   26   0. 573   60. 052   0. 4843 2   0. 3187   27   0. 52   59. 501   0. 2898 9   2. 2453 9   28   0. 556   58. 476   2. 0635   7. 5750 22   29   0. 539   58. 666   1. 3859 6   1. 2791 14   30   0. 554   60. 239   0. 2404 3   0. 1520 33       4.   C O N CL U S I O N     T h e  H o t e l l i n g ’ s   T 2  ch ar t  t r i m m ed  c o v ar i a n ce m at r i x  an d  t r i m m e d  m e an   w e re   u s e d   i n  t h i s  s t u d y   r es p ect i v el y   as   t h e   s cal e  co v a r i an ce  m at r i x   a n d   t h e  l o cat i o n   v ect o r .   T h e  c o m p a r a t i v e   c onc e r n i n g   the   m od if ie d  c h a r t  a n d  t h e  c o n v e n t i o n a l  c h a r t  a i m e d  a t  r e v e a l i n g  t h e i r  p e r f o r m a n c e  i n   d e t e c t i n g   o u t l i e r s  a n d  f a l s e  a l a r m s .   T o t hi s  e n d,  t w o c as es  w e r e  u t i l i zed  cas e ( A )  a n d  cas e  ( B ) .  T o  i l l u s t r at e,  t h e  f o r m e r  c o n t ai n s  t h e  i n d ep e n d e n t   v a r i a b l e s ,   w h i l e  t h e  l a t e r   c o n t a i n s  t h e   d e p e n d e n t   v a r i a b l e s .  T h e   f i n d i n g s  o f  t h e  s i m u l a t i o n   r e s u l t s  s h o w  t h a t   m o d i f i ed  c h ar t  w as  ab l e t o   co n t r o l  f al s e a l ar m  r at es   un d e r  m os t  of  c o ndi t i o ns .   S u r p r i s i n g l y ,  s u c h  a b i l i t y   st a r te d to r e duc e  f o llow e d  by th e   e nha nc e  i n  t he  s hi f t e d   m e a n  ve c t or     µ   a nd   pr o po r t i on   of   o ut l i e r s .   T he   r o bus t   c ha r t  h a s  i n di c a t e d i t s  s upe r i or  a bi l i t y i n  pr o duc i ng t he  pos s i bi l i t y of  de t e c t i on  out l i e r s  c om pa r i n g w i t h     t he   a bi l i t y  of   c on ve nt i ona l   T 2   ch ar t .         R EF ER E N C ES     [1]   A l t ,  F. B . ( E d . ) .,   “ Mu l t iv a r ia te  q u a lity  c o n tr o l , ”   En c y c lo p e d ia  o f  s t a tis tic a l s c ie n c e ,   vol .  6,  pp.  110 - 122,   1985 .   [2]   M ont gom e ry,  D .  C.   (E d .) .,  “ In t ro duc t i on   to  S t a tis t ic a l Q u a l ity  C o n tr o l, ”   J ohn Wi l e y  and Sons  In c ,   2 005.   [3]   M os t a j e ra n   A . ,  Ira np a na h ,  a nd  N . ,   N ooros s a na   R. ,  “ A n e v a l u a t i on  of  t he   mu ltiv a r ia te  d is p e r s io n  c h a r ts  w it h   e s tima te d   p a ra m e t e rs   und e r   n on‐norm a l i t y,   A ppl i e d  St o c has t i c  Mod e l s  i n   B us i n   and  Indus t r y ,   vol .  33,  no .   6,     pp.  694 - 716 ,   20 17.   [4]   Ha d da d  F .  a nd   A ls ma d i M .  K . ,  “ I m prove m e nt   of T h e  H ot e l l i n g’s  T 2  Cha rt s  U s i ng Robus t   L oc a t i on   W i ns ori z e d   O ne  S t e p M - E st i m a t o r  ( W MOM) , ”   P unj ab  U ni v e r s i t y ,   J our nal   o f  Mat he m at i c s ,   v ol .  5 0,  n o.  1,  p p.  97 - 112,  2018 .   [5]   Al l o wa y ,  J .  A .   J .,  R ag h av ach ar i ,  M .,   “ M u ltiv a r ia t e  C o n tr o l  C h ar t s  B as ed  o n   T r i m m ed  M ean , ”   A SQ C  Q u a l i t y   Congr e s s  T r ans ac t i ons - San  F r a n ci s co ,  pp.  449 - 453,  1990 .   [6]   S urt i ha di  J . ,  “ M ul t i va r i a t e  a nd  r obus t  c ont ro l   c h a r t s  for  l oc a t i on  a nd  di s pe rs i on, ”   D i s s . R en s s el a er   P o l yt ech n i c  I n s titu te ,   1994 .   [7]   A l fa ro,   J . L . , a n d   O r t eg a , J .  F .,  “ A  Robus t  A l t e rn a t i v e  t o H o t e l l i n g’s  T 2 Cont rol   Cha rt  U s i ng T r i mme d  Es tim a to r s , ”   Q ual i t y  and R e l i abi l i t y   E ngi ne e r i ng Int e r nat i onal ,  vol .  24,   no.  5,   p p.  601 - 611 ,  200 8.   [8]   Jo n es  L .   A .   a nd  W ooda l  W .   H . , “ T he  pe rfor m a nc e  of boo t s t ra p  c ont rol  c ha r t s , ”   J our nal  of  Q ua l i t y  T e c hnol o gy ,     vol .  30 ,  no .  4 ,   pp .  362 - 375 ,   1998 .   [9]   P .  P ha l a di ga non ,   et  a l . , “ Boot s t r a p - b a s e d  T  2  m u ltiv a r ia te  c o n tr o l  c h a r ts , "   Com m uni c a t i ons   i n  S t a tis ti c s ,  v o l.  4 0 ,   no.   5 ,  pp .  645 - 6 62,  2011 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S SN :   2 088 - 87 08   I nt   J   E l e c   &   C om p  E n g,   V o l .   11 ,   No .   1,   F e b r ua r y  2 02 1  :    284   -   2 92   2 92   [10]   G a ndy   A .   a n d K va l oy   J .  T . , “ G ua ra nt e e d Con di t i ona l  P e rform a nc e  of  Cont rol  Cha rt s  vi a  Boo t s t ra p M e t hods , ”   Sc andi nav i an  J o ur nal  of  S t a tis t ic s ,   vol .  40,   no.  4,   pp.    647 - 668,  20 13.   [11]   O gbe i de  E fos a   M i ch ea l  an d   E d opka   I.  W .,  “ B oot s t ra p A pproa c h Cont rol   l i m i t   f o r   s ta tis t ic a l q u a lity  c o n tr o l, ”   Int e r nat i onal  J o ur nal  of   E ngi ne e r i ng Sc i e nc e  Inv e nt i on ,   v o l . 2 , n o . 4 ,  p p.   2319 - 67 34 ,  2013 .   [12]   M os t a j e ra n  A . ,  Ira np a na h  N . ,  a nd  N ooros s a na  R . ,  “ A  N e w  Boot s t ra p  B a s e d A l gor i t hm  for  H ot e l l i ng’s  T 2   M ul t i va ri a t e  Co nt rol  Ch a rt ,”   J ou r nal  of  S c i e n c e s ,  Is l am i c   R e pub l i c  of  Ir an ,   vo l .  27 ,  no .  3 ,  pp .  269 - 278,   2016 .   [13]   M o s t aj er an  A .,   I ra npa na h  N . ,   a n d N ooros s a na  R . ,  “ A n  e xpl a n a t o ry s t udy on  t he   non - pa ra m e t ri c  mu ltiv a r i a te   T2   c ont rol  c ha rt , ”   J our nal  of  Mod e r n A pp l i e d S t at i s t i c al  Me t hods ,   vo l .  17 ,  no .  1 ,  2018 .   [14]   S ye d Y a ha ya  S .   S.,   e t a l. , “ Ro bus t  H ot e l l i ng’s  Cha rt s  w i t h M e di a n  Ba s e d  T ri m m e d  Es ti ma to r s , ”   J our nal  of   E ngi ne e r i ng and  A ppl i e d s c i e n c e ,   vol .  14,  no.  24,   pp.  9632 - 9638 ,   2019.   [15]   H a d d a d  F. S., “ I m provi ng  Bi va r i a t e  H ot e l l i ng’s   T 2 Ch a rt  U s i ng  N e w  Robus t   E s t i m a t ors  (W M O M  w i t h   Q n   )   a nd   Boot s t ra p D a t a , ”   Int e r nat i onal  J o ur nal   of   A ppl i e d E ngi ne e r i ng  R e s e ar c h,   vo l .  14,  n o.  21 ,  pp .  4001 - 4009,  2019 .   [16]   Roc k,  D .  M . ,  D ow ns ,  G .  W . ,  a n d Roc k ,  A .  J . ,  “ A re  robus t  e s t i m a t ors  re a l l y   ne c e s s a ry? ,”   T ech n i m et r i cs ,   vol .  2 4,     no.  2 ,  pp .  95 - 10 1,  1982 .   [17]   T uke y,  J .   W . ,   a nd M c L a ughl i n ,  D .  H . ,   “ L es s  V u l n er ab l e  Con fi de nc e   a nd  S i g ni fi c a nc e  P roc e dure s  for  L o c a t i o n   B as ed  o n   a S i n g l e S am p l e ,”   San k hy ā:  T he   Indi an  J our nal   of   St at i s t i c s ,   Se r i e s   A ,   vol .   25 ,  pp .  331 - 33 2,  1963 .   [18]   Ros e nbe rge r,   J .  L . ,  a nd  G a s ko,  M . ,  “ Com p a ri ng   l o c a t i on e s t i m a t ors :  T ri m m ed   m ean s ,  m ed i an s  an d   tr imm e a n , ”   U nde r s t andi ng r obus t  and e x pl or at or y  dat a  anal y s i s ,   297 - 336,  19 83.   [19]   Wi l co x , R . R .,   “ A N O V A :  A  pa ra di g m  for  l o w  pow e r a nd   m i s l e a d i ng  m e a s ure s  of e ff e c t   s i z e ? ,”   R e vi ew  o f   E duc at i o n a l  R es ea r ch ,  vo l .  65,  n o.  1 ,  pp .  51 - 77 ,  1995.   [20]   Croux,   C. ,  a nd   R o u s s eeu w , P . J .,  “ T i m e - e ffi c i e n t  a l gori t h m s  for t w o hi g h l y robus t  e s t i m a t ors  of s c a l e , ”   Com put at i o n a l S ta tis ti c s ,   vo l .  2,   pp.  411 - 428 ,  19 92.   [21]   Ab dul l a h,  M .  B . ,  “ On  r obus t   c orr e l a t i on c oe ff i c i e nt , ”   S ta t is tic ia n ,   vol .   3 9,   p p.   455 - 460 ,  1990 .   [22]   J ohns on,  M .  E .  ( E d. ),  “ M u l tiv a r i a te  s ta t is tic a l  s i mu la t io n :   Ne w Yo r k , ”   J ohn Wi l e y  and  s ons ,   198 7.   [23]   J ohns on,   N . ,  “ A   c om pa r i t i v e  s i m ul a t i on  s t udy of   robus t  e s t i m a t or s  of s t a nda rd e rr or, ”   Br i gha m  Y o ung U ni v . ,   2007 .   [24]   A l fa ro,  J .  L . ,   a nd   O r t e g a , J . F . , “ A  c o m pa r i s on of   robus t  a l t e rna t i v e   t o  H ot e l l i ng  T 2  c on t rol  c h a rt , ”   Ap p lie d   S ta tis ti c s ,   vo l .  3 6,  no .  12 ,  pp .  13 85 - 1396,  2009 .   [25]   C h en o u r i ,  S .,  V ar i y at h , A . ,  M , an d  S t e i n er , S . H . ,  “ A  M ul t i va r i a t e  Rob us t  Cont rol  Ch a rt   for Indi vi d ua l   O bs e rva t i ons , ”   Q ual i t y  T e c hn ol ogy . ,   vol .  41 ,   no .  3,  pp.  259 - 271,  2009.   [26]   J e ns e n,   W .  A ,   Bi rc h,  J .  B  a nd  W ooda l l ,  W .  H . ,   “ H i gh Br e a kd ow n E s t i m a t i on   M e t hods  for P h a s e  I  M ul t i v a ri a t e   Cont rol   Ch a rt s  Q ua l i t y ,”    R e lia b ilit y  En g in e e r i ng  Int e r nat i onal ,  v ol .  23 ,  no .  5 ,  pp .   615 - 629,  2007 .   [27]   H o lme s , D . S . ,  a n d   Me r g en , A .   E .,  “ Id e nt i fyi ng  t he  s ourc e s  for  o ut  of  c ont ro l  s i g na l s  w h e n  t he  T 2 c ont ro l   c ha rt  i s   us e d, ”   Q u a l i t y   E ngi ne e r i ng ,   vol .   8,  no .  1 ,  pp .  137 - 143,  1995 .   [28]   V ar g as , J . A .,  “ Robus t  E s t i m a t i on i n  M ul t i v a ri a t e  Cont rol  Cha r t s  for Ind i vi dua l   O bs e rva t i on, ”   Q ual i t y  T e c hnol og y ,   vol .  35 ,  pp .  367 - 376,  2003 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.