I n t e r n at ion al   Jou r n a l   of   E lec t r ica l   an d   Com p u t e r   E n gin e e r in ( I JE CE )   Vo l .   12 ,   N o .   1 F e b r ua r y   20 22 ,   pp.   157 ~ 165   I S S N:  2088 - 8708 DO I 10 . 11591/ i j e c e . v 12 i 1 . pp 157 - 165             157     Jou r n al  h o m e page ht tp: // ij e c e . iaes c or e . c om   Op t i m al   li n e ar  q u a d r at ic  Gau ssi an  c on t r ol  b ase d  f r e q u e n c y   r e gu la t io n  w ith  c om m u n ic at i on  d e la y s i n  p ow e r  s y st e m       Hoan   B ao   L ai 1 A n h - T u an   T r an 1 Van   Van  Hu y n h 1 ,   E m m an u e l   Ndu k A m ae f u l e 1   P h on T h an h   T r an 1 Van - Duc  P h an   1 M o d e li ng E vol ut i o na r y  A lg o r it h ms  S im ul a ti o n a nd A r ti f i c ia I nt e ll ig e n c e F a c ul t y   of  E l e c tr i c a a nd E l e c tr o ni c s  E ngi n e e r in g,    T o n D u c   T ha ng U ni ve r s it y H o  C hi  M in h C it y , V i e tn a m   2 F a c ul t y   of  A ut o m o ti ve  E ngi n e e r in g,  S c h oo of  E ngi n e e r in g a n d T e c hn o l o g y , V a L a ng U ni ve r s it y H o  C hi  M in h C it y , V i e tn a m       Ar t ic l e   I n f o     AB S T RA CT   A r ti c l e   h is tor y :   R e c e i ve S e 7,   2020   R e vi s e J u n   23,   2021   A c c e pt e J u l   2,   2021       I n   t h i s   p ap e r,   l o ad   fr e q u en cy   r e g u l at o r   b as e d   o n   l i n e ar   q u ad rat i c   G au s s i an   (L Q G i s   d e s i g n e d   f o t h e   m u l t i - ar e p o w e s y s t e m   ( M A PS )   w i t h   c o mmu n i c at i o n   d e l a y s .   T h c o mmu n i c at i o n   d el a y   i s   co n s i d e r ed   t o   d en o t t h e   s m al l   t i me  d el a y   i n   a   l o c al   c o n t ro l   ar e o a   w i d e - ar ea  p o w e s y s t em.   T h s y s t em   i s   mo d el e d   i n   t h e   s t at e   s p ace   w i t h   i n cl u s i o n   o t h d el a y   s t at e   m at ri x   p aram e t e rs .   Si n ce   s o me   s t at e   v ar i ab l e s   ar e   d i ffi cu l t   t o   me as u r e   i n   r e a l   mo d e rn   mu l t i - ar e a   p o w e r   s y s t em ,   K al m a n   f i l t e i s   u s e d   t o   e s t i m at t h e   u n me as u r e d   v ar i ab l e s .   I n   a d d i t i o n ,   t h co n t ro l l e r   w i t h   t h o p t i m al   f eed b ack   g ai n   r ed u ce s   t h e   fr e q u en cy   s p i k e s   t o   ze r o   an d   k ee p s   t h e   s y s t em   s t ab l e .   L y ap u n o v   f u n c t i o n   b as e d   o n   t h e   l i n e ar   m at ri x   i n e q u al i t y   ( L M I )   t ec h n i q u i s   u s e d   t o   r e - as s u r e   t h as y m p t o t i c a l l y   s t ab i l i t y   an d   t h co n v e rg en ce   o t h e s t i m at o r   e rr o r.   T h d e s i g n ed   L Q G   i s   s i mu l at e d   i n   a   t w o   ar e co n n ec t ed   p o w e r   n e t w o rk   w i t h   c o n s i d e rab l t i me   d el a y .   T h e   r e s u l t   fro t h e   s i mu l at i o n i n d i c at e s   t h at   t h c o n t ro l l e r   p e rfo r med   w i t h   e x p ec t at i o n   i n   t e r m s   o f   d a m p i n g   t h fr e q u en cy   f l u c t u at i o n s   a n d   ar e co n t ro l   e rr o rs .   I t   al s o   s o l v e d   t h l i mi t at i o n   o f   o t h e r   c o n t ro l l e rs   w h i ch   n ee d   t o   m e as u r al l   t h s y s t em   s t at v ari ab l e s .   K e y w o r d s :   C o m m u ni c a t i o n   de l a y   L i ne a r   qua dr a t i c   Ga us s i a n   L o a f r e que n c y   c o n t r o l   M u l t i   a r e a   po we r   s y s t e m   Th i s   i s   a n   o p en   a c ces s   a r t i c l u n d e r   t h CC  B Y - SA   l i cen s e.     C or r e s pon din A u th or :   Va n   Va n   Hu y nh   M o de l i n E v o l ut i o n a r y   Al go r i t hm s   S i m u l a t i o n   a nd  A r t i f i c i a l   I n t e l li ge n c e F a c u l t y   o f   E l e c t r i c a l   a n E l e c t r o ni c s   E n g i ne e r i ng,   T o n   Duc   T h a n U ni ve r s i t y   Ho   C hi   M i nh   C i t y ,   V i e t n a m   E m a i l h u y nhva nv a n@ t dt u. e du . v n       1.   I NT RODU C T I ON   A ut o m a t i c   ge n e r a t i o n   c o n t r o l   ( A GC )   [ i . e . ,   a u to m a t i c   v o l t a ge   r e gu l a t o r   ( A VR )   a n l o a f r e que n c c o n t r o l   ( L F C ) ]   f o r   t h e   m u l t i - a r e a   po we r   s y s t e m   ( M A P S )   h a s   m a de   t h e   s y s t e m   hi g hly   e c o n o m i c a l   a n r e l i a bl e   to   ge n e r a t e   a n t r a n s m i t   a c t i ve   po we r   to   l o a a t   s a f e t y   f r e que n c y   l e ve l   a n n e a r ly   n o m i na l   v o l t a ge   i n   t h e   m o de r n   M A P S   un de r   de r e gu l a t e e n vi r o nm e n t .   F r o m   s t udi e s ,   t h e   de pe n da bil i t y   o f   t h e   a c t i v e   po we r   to  t h e   l o a de pe n ds   o n   t h e   p o we r   r e gul a t i o n   f r e que n c y .   T h e r e f o r e ,   f r e que n c y   r e gu l a t o r   i s   v e r y   im po r t a n to  ke e p   f r e qu e n c y   a t   t h e   s a f e   r a n g e   i n   t h e   M A P S .   T h e   j o o f   f r e que n c y   r e gu l a t or   ot h e r w i s e   k n o wn   a s   t h e   L F C   i s   t r e t a i n   t h e   r e gu l a t i o n   f r e que n c y   o v e r   r a n do m l y   a c t i v e   po we r   l o a c h a n ge s   s o m e t i m e s   k n o wn   a s   d i s t ur b a n c e s .   An o t h e r   dut y   o f   t h e   L F C   i s   t o   c o n t r o l   t h e   t i e - l i ne   p o we r   e x c ha n ge   e r r o r   [ 1 ]   t h a t   m i g h t   e xi s t   i n   t h e   M A P S .   F o r   s i m p li c i t y ,   m u l t i - a r e a   ge n e r a t i n uni t s   a r e   c o nn e c t e t h r o ugh   t i e - li ne   c o m m u ni c a t i o n   l i nk  i o t h e r   to  e a s e   t h e   L F C .   T h e   us e   o f   t hi s   l i nk  i n t r o duc e s   a   n e e r r or   c a l l e a r e a   c o n t r o l   e r r o r   ( A C E )   i n t o   t h e   L F C .   F o r   e x a m p l e ,   if   a c t i v e   po we r   l o a ds   c h a n ge   a f f e c t s   o n e   a r e a ,   b e c a us e   t h e   w i de   a r e a   po we r   s y s t e m s   a r e   i n t e r c o n n e c t e d   t h r o ugh   c o m m u ni c a t i o n   li nk.   T h e r e f o r e ,   t hi s   w il l   n o t   o nl y   a f f e c t   t h e   t r a di t i o n a l   go v e r n o r   s pe e c o n tr o l   o f   t h e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2088 - 8708   I n t   J   E l e c   &   C o m E n g,   Vo l .   12 ,   N o .   1 F e b r ua r y   20 22 157 - 165   158   ge n e r a t i n a r e a   b ut   a l s o   c r e a t e   c o n t r o l   pr o bl e m s   i n   t h e   o t h e r   a r e a s .   Ho we v e r ,   i t   i s   n e c e s s a r y   f o r   t h e   a r e a   s ubj e c t e to  l o a c h a n g e   c o n tr o l   a n b a l a n c e   t h e   f a u l t   w i t hi n   i t s   a r e a   w i t h o u ot h e r   a r e a s   b e i n a f f e c t e d.   Ot h e r w i s e ,   t h e r e   i s   go i n t o   b e   a n   e c o n o m i c   a nd  r e l i a bi li t y   c o nf li c t s   b e t we e n   d if f e r e n t   po we r   g e n e r a t i n g   c o m pa ni e s   t i e   to ge t h e r   f o r   e x a m p l e ,   GE NC OS  1   a n GE NC OS  2   ge n e r a t i n a r e a s   i n t e r c o n n e c t e d.   H y po t h e t i c a ll y ,   s e pa r a t e l o a f r e que nc y   r e gu l a t or s   a r e   n e e de i n   e a c h   a r e a   to  a c s w i f t l y   dur i ng  f a u l t s   a n d   a bl e   t o   s e t   t h e i r   s e tt i n pa r a m e t e r s .   M o r e o v e r ,   A C E   s i g n a l   r e c e i ve   by   e a c h   c o n t r o l l e r   i s   t h r o ugh   t h e   c o m m u ni c a t i o n   l i nk,   r e s pe c t i v e ly .   T h e r e f o r e ,   t h e   g o a l   o f   c o n t r o l   e n g i ne e r s   i s   to  de v e l o t h e   L F C   to  da m p i ng   f r e qu e n c y   e r r o r   a n A C E   to   t h e   s a f e   po i n t   a f t e r   t h e   d i s t ur b a nc e   h a s   a c t e upo n   o n   a ny   a r e a s .   T h e   o ld   pr o p or t i o n a l   i n t e gr a l   ( PI ) pr o p or t i o n a l   i n t e gr a l   de r i v a t i v e   ( P I D)   t uni n b a s e t h e   L F C   s c h e m e   [ 1]   we r e   a pp l i e to  r e gul a t e   f r e que n c y   i n   t h e   M A P S   i n   t h e   e a r l y   da y s .   Ho we v e r ,   wi t h   t h e   c o m p l e xi t y   i n   m o de r n   po we r   s y s t e m ,   t h e s e   c o n tr o l l e r s   we r e   s e e n   de gr a de [ 1] .   R e c e n t l y ,   t h e   de v e l o p m e n t   wa s   m a de   to   u s e   s o m e   a l go r i t hm s   c o m bi ne w i t h   P I f o r   t h e   c o m p l e x   po we r   s y s t e m   w hi c h   we r e   d i s c us s e i [ 2 ] - [ 9] .   As   po we r   s y s t e m   b e c o m e s   m o r e   c o m p l e x ,   t uni ng  pa r a m e t e r s   f o r   t h e   L F C   b e c o m i ng  m o r e   c o m p li c a t i o n .   T h e r e f o r e ,   t h e   c o n t r o l l e r   de s i g n   n e e ds   to  b e   r o b us t   e n o ugh   to  M A P S   di s t ur b a n c e s .   Gu o   [ 10]   t h e   a u t h o r   a ppl i e s l i d in m o de   c o n t r o l   ( S M C )   to   c o n t r o l   f r e que nc y   i n   c o m p l e x   po we r   s y s t e m .   Ho we v e r ,   S M C s   we r e   h a vi ng  c h a t t e r i n e f f e c t   as   a   r e s u l t   o f   s o m e   n e g l e c t e t uni n pa r a m e t e r s   i t h e   s y s t e m   m o de l .   T h e   us e s   o f   S M C   c o m bi ne wi t h   s o m e   t e c h ni que s   to   de c r e a s e   c h a t t e r i n a n m i n im i z e   f r e qu e n c y   e r r o r /A C E   we r e   d i s c u s s e i n   [ 11 ] - [ 20] .   L i n e a r   qua dr a t i c   Ga us s i a n   t e c h ni que   wa s   a l s o   de s i g n e a n d i s c us s e i n   [ 21 ] - [ 25]   f o r   t h e   c o m p l e x   w i d e   a r e a   po we r   s y s t e m .     H - i nf i n i t y   s c h e m e   wa s   a l s o   d i s c u s s e i [ 26 ] - [ 27] .   T h e s e   c o n t r o l l e r s   pr o vi de go o pe r f o r m a n c e   a n r o b us t   L F C   i n   t h e   wi d e   a r e a   p o we r   s y s t e m .   B ot h   S M C ,   l i ne a r   qua dr a t i c   Ga us s i a n   ( L QG ) H - i nf i n i t y   s c h e m e s   wo r ke we l l   u n d e r   po we r   s y s t e m   w i t h   m o r e   t uni n v a r i a bl e s .   Ho we v e r ,   t h e   c o n s i de r a t i o n   o f   c o m m u ni c a t i o n   de l a y   h a s   b r o ugh t   a   n e e r a   f o r   t h e   L F C   o f   M A P S .   T h e s e   de l a y s   e xi s t   i n   po we r   s y s t e m s   a n d   v a r y   f r o m   t e n   t o   s e v e r a l   h u n dr e o n   mi l li s e c o n ds .   C o m m u ni c a t i o n   li nks   a r e   u s e t o   c o n n e c t   a n c il l a r y   c o m po n e n t s   t h a a r e   l i n c o nn e c t i n l o a f r e que nc y   s e ns o r   p o i n t   to  t h e   r e m o t e   c o n tr o l   u ni t   ( R C U)   do wn   to  t h e   ge n e r a t i n uni t .   I n   r e a l i t y ,   t h e   R C s o m e t i m e s   m i g h t   e x pe r i e n c e   de l a y   i n   t he   r e c e i vi ng  A C E   s i gn a l .   I pr a c t i c e ,   t i m e - de l a y   f o r   t h e   c o n tr o l l e r   t r e c e i v e   i n put   A C E   s i g n a l   s h o u l n ot   b e   n e g l e c t e a n t hi s   s i g ni f i e s   t h e   o p t i m a l   c o n t r o l .   T h e r e f o r e ,   c o m m u ni c a t i o n   de l a y   s h o u l b e   t a k i n i n t a c c o un i n   t h e   dy na m i c   mo de l li ng   o f   c o m p l e x   po we r   s y s t e m .   Ne w l y   pu bli s h e pa pe r   [ 28]   a ddr e s s e t h e   L F C   f o r   t h e   M A P S   w i t h   t i m e   d e l a y   b ut   w i t h   a l l   s y s t e m   v a r i a bl e s   a r e   a s s u m e to   b e   m e a s u r e d.   I n   ge n e r a l ,   n o a l l   s y s t e m   pa r a m e t e r s   c a n   b e   m e a s ur e d.   T h e   a ut h o r   w or k   i n   [ 29]   s e r v e s   a s   a   m ot i va t i o n   to  de s i g n   a   r e a l   c o n c e pt u a l i z a t i o n   c o n tr o l l e r   f o r   t h e   c o m p l e i n t e r c o nn e c t e d   po we r   pl a n t s   w i t h   s i g n a l   de l a y .   I n   t hi s   p a pe r ,   t h e   L QR   c o m bi ne w i t h   K a lm a n   f il t e r   tec hni qu e   a r e   pr o p o s e a s   L QG   m e t h o f o r   f r e que n c y   r e gu l a to r   o f   t h e   M A P S   w i t h   c o m m u ni c a t i o n   s i g n a l   de la y .   T h e   M A P S   m o de l   i s   r e pr e s e n t e i n   s t a t e   s pa c e   w i t h   t he   t i m e - de l a y   t o   e x t e n t h e   m o de l .   T hi s   s t a t e   s pa c e   m o de l   i s   a pp l i e t o   o b t a i n   a   b e t t e r   ga i n   f o r   t h e   L QG .   S i nc e   n o t   a l l   v a l ue s   o f   t h e   L F C   m o de l 's   pa r a m e t e r s   a r e   m e a s ur a bl e .   T h e r e f o r e ,   K a l m a n   f il t e r   i s   ut i li z e f o r   v a r i a b l e s   e s t i m a t i o n .   T h e   e s t i m a t i o n s   a s   we l l   a s   t i m e - de l a y   a r e   i n put   s i g n a l s .   T h e   c o n t r i b ut i o n   o f   t h e   pa p e r   i s   s t a t e d   b e l o w:     C o m m u ni c a t i o n   t i m e   de l a y   i s   c o n s i de r e i n   t h e   n e t wo r k   s t a t e   s pa c e   m o de l       T h e   pr o p o s e c o n t r o l l e r   i s   de s i g n e b a s e o n   s t a t e   e s t i m a t i o n   w i t h   f e e d b a c ga i n   a n t i m e   de l a y     L y a pu n o v   t h e o r y   a n l i ne a r   m a t r i x   i ne qua li t y   ( L M I )   t e c h ni que s   i s   us e to   p r o v e   t h e   M A P S   s t a bi li t y     C o m pa r i s o n   r e s u l t s   a r e   s h o wn   b e t we e n   t h e   pr o p o s e c o n tr o l l e r   a n [ 29] .       2.   S YST E M   L F M ODE L   I T I M E   DE L AY   I n   t h i s   s e c t i o n ,   a   c o n c e pt ua l i z e L F C   m o de l   t a ki ng  i n t de t a i l s   w i t h   t h e   t i m e   de l a y   i s   d i s c u s s e d.   A   d i a gr a m   de s c r i b i ng  t wo  a r e a   p o we r   s y s t e m s   i s   d i s p l a y   i F i gur e   [ 29] .   E a c h   a r e a   i s   r e pr e s e nt e wi t c o m m u ni c a t i o n   de l a y   e - .   T h e   v a l ue   τ  r e pr e s e n t s   th e   s m a ll   t i m e   de l a y   w hi c h   mi g h t   v a r i e s   f r o m   0. to   1   s   w i t h   c o n s i de r a t i o n   o f   t wo  c o n t r o l   a r e a s   f o r   , = 1 , 2 ( ) .   T h e r e f o r e ,   t h e   m o de l e s y s t e m   w i t h   t h e   i nf o r m a t i o o f   t h e   c o m m u ni c a t i o n   t i m e   de l a y s   i s   a s   ( 1) .     ̇ ,  ( ) = 2  ( ( ) ( ) )     ( 1)     Ot h e r   v a r i a bl e s   de vi a t i o ns   a r e   i ll us t r a t e d :     ̇ ( ) = 1  ( ) +    ( )   ,  ( )      ( 2)     ̇  ( ) = 1   ( ) + 1   ( )     ( 3)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   E l e c   &   C o m E n g     I S S N:   2088 - 8708       Optimal  li ne ar   quadr ati c   Gaus s ian  c ontr ol  bas e d     ( Hoan  B ao  L ai )   159     ̇  ( ) = 1  ( ) 1   ( ) 1  ( ) + 1  ( )   ( 4)     wh e r e   ( )   i s   t h e   f r e que n c y   de vi a t i o n   t h a t   i s   n e e de to   b e   c o n tr o l l e d,    ( )   i s   t h e   m e c ha ni c a l   po we r   c h a n g e   t h a r e qui r e s   ge n e r a t i o n - l o a ba l a n c e   dur i n o pe r a t i o n    i s   t h e   d i s t ur b a n c e   a f f e c t i n t h e   s y s t e m ,   ,  ( )   i s   t h e   de vi a t i o n   i t h e   n e t   s u m   o f   t h e   po we r   e x c ha n ge   i t h e   c o m m u ni c a t i o n   li nk  c o nn e c t i n b o t h   a r e a   i   a n j .   ( )   whi c h   c a n   b e   de n o t e d   a s   t h e   A C E   wi t h   c o m m u ni c a t i o n   de l a y s   a n ( )   i s   t h e   c o n t r o l   i n put   to   t h e   s y s t e m   m o de l .     ̇ ( ) =   ( ) +  ,  ( )   ( 5)           F i gur e   1.   T h e   s tr uc t ur e   o f   t h e   t w o - a r e a   L F C   m o de l   i n   a   po we r   s y s t e m   w i t h   t i m e - de l a y       T r e pr e s e n t   t h e   M A P S ,   t h e   s y s t e m   s t a t e   v a r i a bl e s   ( ) ,    ( ) ,    ( ) ( ) ,   ,  ( )   a r e   de n o t e a s   v e c t or   ( ) = [ 1   , 12   2 ]   i n   w hi c h   1 = [ 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ]   a n d   2 = [ 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ] .   T h e   M A P S   d y n a mi c   e qua t i o n s   a r e   de r i ve a bo v e   a n i t   is   s ugg e s t e i n   t h e   m a t r i x   f o r m   r e pr e s e n t a t i o n :     ̇ ( ) =  ( ) + 1 ( 1 ) + 2 ( 2 ) +  ( ) +  ( ) ( ) =  ( )   ( 6)     wh e r e   ( ) = [ 1 2 ]   i s   t h e   c o n t r o l   s i g n a l   v e c t o r   a n d   ( ) = [ 1 2 ]   i s   t h e   d i s t ur b a n c e   v e c t o r   o f   t h e   de m a n ds .   F o r   = 1 , 2   a n = 3 , 4 ,   t h e   f o l l o w i n m a t r i c e s   a r e   de f i ne a s :     = [ 1 3 0 4 × 4 5 0 1 × 1 5 0 4 × 4 12 4 2 ] ;    = [ 0 0 1  0 ] ;   = [ 0 1 × 5 0 1 × 5 ] ;   = [ 0 1 × 5 0 1 × 5 ]     wh e r e   = [             1  1 1 0 0 0 1  1  0 1  0 1  0  0 0 0 ]             = [   0 0 1 ] ; 5 = [ 2 12 0 0 0 ]      1 = [ 0 4 × 4  0 4 × 5 0 5 × 4 0 5 × 1 0 5 × 5 ] ;    2 = [ 0 5 × 8 0 5 × 1 0 4 × 8  ] = [ 0 0 1  0 ] ;   = [   0 0 0 ]   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2088 - 8708   I n t   J   E l e c   &   C o m E n g,   Vo l .   12 ,   N o .   1 F e b r ua r y   20 22 157 - 165   160   I n   t h e   r e a l   s y s t e m ,   e xa c t   m e a s ur e m e n t   o f   t h e   pa r a m e t e r   v a l u e s   i s   i m po s s i b l e .   T h e r e f o r e ,   m o s t   pa r a m e t e r s   a r e   a ppr o xi m a t e or   e s t i m a t e d.   Al s o ,   by   c o ns i d e r i n t i m e   de l a y   f a c t or ,   s o   t h e   d y n a mi c   m o de l   in   ( 6)   i s   f ur t h e r   r e - wr i t t e n   a s   i n   ( 7) :     ̇ ( ) = [ +  ( , ) ] ( ) + [ 1 + 1 ] ( 1 ) + [ 2 + 2 ] ( 2 ) +   [ +  ( , ) ] ( ) +  ( ) =  ( ) + 1 ( 1 ) + 2 ( 2 ) +  ( ) +   ( , ) ( ) =  ( ) + ( )             ( 7)     w h e r e   t h e   u n k n o wn   m a t r i c e s    ( , )   a n  ( , )   de n ot e   by   s y s t e m   v a r i a t i o ns ,   t h e   m a t r i c e s     a n   a r e   t h e   n o m i na l   va l u e s ;   ( , )   i s   c a ll e t h e   tot a l   v a r i a t i o ns   whi c h   c a n   be   e s t i m a t e a n we   c a n   de f i ne   i t   i n   ( 8) :     ( , ) =  ( , ) ( ) + 1 ( 1 ) + 2 ( 2 ) +  ( , ) ( ) +  ( )   ( 8)     a n ( )   i s   a   m e a s ur a bl e   d i s t ur b a n c e .   I de a l ly ,   s o m e   a s s u m pt i o n s   a r e   s t a t e to   de s c r i b e   r e a li t y   a n t h e   f e a s i b il i t y   o f   t h e   po we r   s y s t e m   a n a s   we l l   t h e   pa r a m e t e r s   b a s e l o a f r e que n c y   c o n t r o l   s t r a t e gi e s   un de r   c e r t a i n   c o n d i t i o ns .   T h e s e   a s s u m pt i o n s   a n s o m e   l e mm a s   a r e   s t a t e b e l o w :   As s u m pt i o n   1 I f   t h e   m a t r i x   ,   i s   c o n t r o l l a bil i t y ,   t h e n,    ( , )  ( , )   c a n   be   e s t i m a t e d.   As s u m pt i o n   2 T h e   l u m p e d   ( , ) ,   whi c h   i nc l ude s   de l a y   s t a t e   m a t r i x   a n t h e   di f f e r e n t i a l   o f   ( , )   i s   b o un de d.   i . e . ,   t h e r e   e xi s t   t h e   kn o wn   s c a l a r s     a n d   ̄   s uc h   t h a t ( , )   a n d ̇ ( , ) ̄ ,   wh e r e .   i s   m a t r i x   n o r m .     L e mm a   1:   [ 13]   Le X ,   a n F   a r e   a c t ua l   m a t r i c e s   o f   a ppr o pr i a t e   di m e ns i o n   w i t h   1   t h e n ,   f o r   a ny   s c a l a r   > 0 ,   t h e   s e que n t   m a t r i x   i ne qua li t y   h o l d s .     + 1 +       3.   CONT ROL L E DE S I GN  WI T T I M E - DE L A Y   3. 1.     L in e ar   q u ad r at ic  r e gu l at o r   ( L QR)   T de s i g n   t h e   L QG   b a s e L F C   s c he m e   f o r   t h e   de s c r i b e po we r   s y s t e m   i n   F i gur e   1.   T h e   de r i v e s t a t e   s pa c e   m o de l   i s   c o n s i d e r e a s   s h o wn   i n   ( 7) .   I n   pr a c t i c e ,   t h e   m e a s ur e m e n t   o f   s t a t e   v a r i a bl e s   i s   d i f f icu l t   a n e x pe ns i ve   b e c a us e   o f   l a c o f   s e n s o r s .   T h e r e f o r e ,   th e   K a lm a n   f il t e r   t e c hni que   i s   r e a l i s t i c   to   e s t i m a t e   v a l ue   o f   s t a t e   v a r i a bl e s .   I n   a dd i t i o n ,   T h e   K a l m a n   f il t e r   c a n   r e j e c t   di s t ur b a nc e s   i n   f o r m   o f   whi t e   n o i s e   ( )   wh i c h   a f f e c t   t h e   s y s t e m   s t a t e .   T h e   gr e a t e r   pr o bl e m   i s   to  ge t   a   b e tt e r   o p t i m a l   ga i n   K   s o   t h a t h e   e i g e nv a l ue s     (  )   in   ( 9)   i s   p l a c e s   i n   t h e i r   de s i r e po s i t i o n   a n m i n im i z e a   pe r f o r m a n c e   i n d e x   b e l o w.     = 1 2 [ ( ) ( ) + ( )  ( ) ]     ( 9 )     W h e r e   = [ ( , ) ]   h a vi ng  d i m e ns i o n   ( × )   a n = [ ( , ) ]   h a vi ng  d i m e n s i o n   ( × )   b o t h   a r e   a   po s i t e d - de f i n i t e   He r m i t i a n   o r   r e a l   s ymm e t r i c   m a t r i x .   T h e   L QG   ba s e c o n t r o l l e r   c a n   b e   de s i g n e i t h e   t i m e   de l a y   a s   i n   ( 10) .     ̂ ̇ ( ) = ̂ ( ) + 1 ̂ ( 1 ) + 2 ̂ ( 2 ) +    ( ) + ( ( ) ̂ ( ) ) ̂ ( ) = ̂ ( )   ( 10)     ̂ ( )   i s   t h e   s t a t e   v a r i a bl e   e s t i m a t i o n   o f   t h e   ( )   o f   t h e   o b s e r v e r   a n d   ( ) , ̂ ( )   a r e   o u t pu o f   t h e   po we r   n e t wo r k   a n o b s e r ve r ,   r e s pe c t i v e ly .     i s   t h e   ga i n ,   t h a t   i s   o b t a i ne f r o m   R i c c a t i   e qua t i o n   s o l ut i o n .     3. 2.     P r op o s e d   c on t r o ll e r   T h e   m i n im i z e   J   in   ( 9)   i s   de s i g n e w i t h   b e l o c o n t r o l l e r :     = ̂ ( )     ( 11)     wh e r e     i s   t h e   o p t i m a l   f e e d b a c ga i n   f o r   t h e   L QR ,   = 1   a n   i s   de r i v e a l s o   f r o m   R i c c a t i   e qua t i o n .     + 1 + = 0   ( 12)     S ub s t i t ut i n   i n t o   ( 6 ) .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   E l e c   &   C o m E n g     I S S N:   2088 - 8708       Optimal  li ne ar   quadr ati c   Gaus s ian  c ontr ol  bas e d     ( Hoan  B ao  L ai )   161   ̇ ( ) = (  ) ( ) +  ̃ ( ) + 1 ( 1 ) + 2 ( 2 ) +  ( )       ( 13)     T a k i n t h e   e r r o r   to   b e   ̃ ( ) = ( ) ̂ ( )   a n ̃ ̇ ( )   i s   c a l c u l a t e a s   i n   ( 14) :     ̃ ̇ ( ) = ̇ ( ) ̂ ̇ ( ) = ( ) ̃ ( ) + 1 ̃ ( 1 ) + 2 ̃ ( 2 ) +  ( )      ( 14)     wh e r e   = 1 , 2   a r e   a r e a   n u m b e r   a n f r o m   ( 1) ,   ( 2)   a n ( 3) ,   we   o b t a i n e d:     [ ̇ ( ) ̃ ̇ ( ) ] = [ (  )  0 ( ) ] [ ( ) ̃ ( ) ] + [ 1 0 0 1 ] [ ( 1 ) ̃ ( 1 ) ] +     [ 2 0 0 2 ] [ ( 2 ) ̃ ( 2 ) ] + [  ( )  ( ) ]   ( 15)     T h e o r e m   1 :   T h e   s y s t e m   i n   ( 1)   i s   a s ym pt ot i c   s t a bl e ,   i f   t h e r e   e xi s t   m a t r i c es > 0 , > 0   a n po s i t i ve   s c a l a r s     a n   s uc h   t h a t   t h e   f o l l o w i ng  L M I s   h o l d:     [                 (  ) + (  )  1 2  0 0 0 ( ) + ( ) 0 0 0 1 2 1 0 1 1 0 0 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 4 1 ]                 < 0     ( 16)     P r oo f W e   c h o o s e   L y a pu n o v   f u n c t i o n   c a n d i d a t e   a s   s ha do ws     ( ( ) , ( ) ) = [ ( ) ̃ ( ) ] [      0 0       ] [ ( ) ̃ ( ) ] + [ ( 1 ) ̃ ( 1 ) ] 1 [ 1 0 0 2 ] [ ( 1 ) ̃ ( 1 ) ] ( 1 )   + [ ( 2 ) ̃ ( 2 ) ] 2 [ 1 0 0 2 ] [ ( 2 ) ̃ ( 2 ) ] ( 2 )   ( 17)     T h e n ,   t h e   t i m e   de r i va t i ve   o f   ( ( ) , ( ) )   i s   i n d i c a t e by   ( 18) .     ̇ ( ( ) , ̃ ( ) ) = [ ( ) ̃ ( ) ] [ (  ) + (  )  ( ) + ( ) ] [ ( ) ̃ ( ) ]   + [ ( 1 ) ̃ ( 1 ) ] [ 1 0 0 1 ] [ ( ) ̃ ( ) ] + [ ( ) ̃ ( ) ] [ 1 0 0 1 ] [ ( 1 ) ̃ ( 1 ) ]   + [ ( 2 ) ̃ ( 2 ) ] [ 2 0 0 2 ] [ ( ) ̃ ( ) ] + [ ( ) ̃ ( ) ] [ 2 0 0 2 ] [ ( 2 ) ̃ ( 2 ) ]   + [ ( ) ̃ ( ) ] [ 1 0 0 2 ] [ ( ) ̃ ( ) ] ( ) [ ( 1 ) ̃ ( 1 ) ] [ 1 0 0 2 ] [ ( 1 ) ̃ ( 1 ) ]   + [ ( ) ̃ ( ) ] [ 1 0 0 2 ] [ ( ) ̃ ( ) ] ( ) [ ( 2 ) ̃ ( 2 ) ] [ 1 0 0 2 ] [ ( 2 ) ̃ ( 2 ) ]   + ( )  ( ) + ( ) ̃ ( ) + ( )  ( ) + ̃ ( )  ( )   ( 18)     A pp lyi ng  L e mm a   t ( 18) ,     ̇ ( ( ) , ̃ ( ) ) [ ( ) ( ) ] [ 1  2 ] [ ( ) ( ) ] + 5 1 2 + 1 2 2 + 2 3 2   ( 19)     wh e r e     1 = (  ) + (  ) + 1 1 1 1 + 2 1 2 2 + 3 1      2 = ( ) + ( ) + 1 1 1 1 + 2 1 2 2 + 4 1  5 = 3 + 4 ;   2 = [ ( 1 ) ̃ ( 1 ) ]   a n 2 = [ ( 2 ) ̃ ( 2 ) ] .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2088 - 8708   I n t   J   E l e c   &   C o m E n g,   Vo l .   12 ,   N o .   1 F e b r ua r y   20 22 157 - 165   162   I n   a dd i t i o n ,   t h e   L M I s   ( 16)   i s   e qu i va l e n t   to  t hi s   i ne qua l i t y :     [ 1  2 ] =     ( 20)     a n < 0 .   C o m bi n i ng  ( 16)   a n d   ( 19) ,   w e   h a v e :     ̇ ( ( ) 2 = 1     ( 21)     wh e r e   = 5 1 2 + 1 2 2 + 2 3 2 ,   t h e   c o n s t a n t   v a l ue     a n t h e   e i ge nv a l u e   .   He n c e ,   ̇ <0   i s   s uc c e e d e d   w i t h   ( ) >  .   T h e   s y s t e m   ( 15)   i s   a s ym pt ot i c a ll y   s t a bl e .         4.   RE S UL T S   AN DI S CU S S I ON   I n   t hi s   s e c t i o n ,   t h e   M A P S   w i t h   t i m e   de l a y   a r e   r e c o m m e n de t o   t e s t   t h e   f e a s i b il i t y   o f   t h e   pr o po s e L QG   c o n t r o l l e r .   T h e   de l a y s   i t h e   a r e a   c o n t r o l   e r r or   s i g n a l s   o f   1   a n 2   a r e   s e t   to   b e   f i xe d.   T h e   pa r a m e t e r s   o f   t h e   a r e a   a n ge n e r a t i n u ni t   a r e   o b t a i n e f r o m   pa pe r   [ 29] .     4. 1.   S im u l at ion   r e s u l t   b as e d   on   n om in al   val u e s   T h e   pa r a m e t e r s   w i t h   t h e i r   n o m i na l   v a l ue s   o f   t h e   M A P S   a r e   us e d.   All   s t a t e   v a r i a bl e s   a r e   us e in   pr o p o s e c o n t r o l l e r   i s   ge t   f r o m   t h e   K a lm a n   f il t e r .   A t   t hi s   po i n t ,   we   a s s u m e   s t e l o a d i s t ur b a n c e s   oc c ur r i n g   o n   t h e   g i v e n   s y s t e m ,   1 = 0 . 01   pu  a t   s   a n 2 = 0 . 015   pu  a t   s .   T h e   r e s u l t s   o f   f e e d b a c s i g n a l s   a r e   s h o i n   F i gur e s   2,   a n wh e r e   F i gur e   i s   f r e qu e n c y   de vi a t i o n   o f   a r e a   a n a r e a   2,   r e s pe c t i v e ly .   F igur e   i s   t i e - l i ne   po we r   v a r i a t i o n   b e t we e n   t wo  a r e a s .   F r o m   t h e s e   f i gur e s   w hi c h   s h o t h e   t i m e   v a r i a t i o o f   t h e   o u t pu t   s i g n a l ,   w e   c a n   e a s il y   o b s e r v e t h a t   f r e qu e n c y   de vi a t i o n   i n   b o t h   a r e a s   c o n v e r ge   to  z e r i n   s   wi t h   un d e r   s h o ot  a r e   5 × 1 0 4   ( pu   M W )   a n 2 . 5 × 1 0 4   ( pu  M W )   i n   t h e   a r e a   a n a r e a   2.   F r o m   t h e s e   r e s u l t s ,   i t   i s   o bvi o us   t h a t   pr o p o s e c o n t r o l l e r   h a s   goo pe r f o r m a n c e   w i t h   s o f t   s e tt l i ng  t i m e s   a n s m a ll   o v e r /un d e r   s h o ot s .   T h e s e   r e s u l t s   o f   t hi s   c o n t r o l l e r   a r e   c o m pa r e w i t h   o t h e r   m e t h o i n   [ 29]   i n   ne x t   c a s e   w i t h   t h e   s a m e   c o n d i t i o ns   o f   d i s t ur b a n c e   a n pa r a m e t e r s   o f   po we r   s y s t e m .           F i gur e   2.   F r e que n c y   de vi a t i o n s   ( Hz )   o f   t h e   f i r s t - a r e a   a n t h e   s e c o n d - a r e a       4. 2.   S im u l at ion   r e s u l t   wit h   r an d om   s t e p   c h an ge   l oad   d is t u r b an c e s   I n   F i gur e s   4,   t h e   s i g na l s   r e pr e s e n t   t h e   r a n do m   s t e c h a n ge   l o a t ur b u l e n c e s   f o r   b ot h   a r e a   1   a n d     a r e a   2.   T h e   r a n do m   s t e l o a t ur b u l e n c e s   f o r   t h e   two   a r e a s   n e t wor a r e   ge n e r a t e i n   200  s   f o r   t h i s   s im u l a t i o n .   T h e s e   l o a v a r i a t i o ns   a r e   a ppl i e to  t e s p r o p o s e c o n t r o l l e r   i n   d i f f e r e n c e   c o n d i t i o n s   w i t h   r e f e r e n c e   to  [ 29 ] .   T h e   s im u l a t i o n   r e s u l t s   f o r   1 , 2   a s   i [ 29]   a r e   pr e s e n t e d   i n   F i gur e   a n , 12   a t   m a xim u m   t o l e r a bl e   de l a y   m a r g i n   i n   F i gur e   6,   r e s pe c t i ve ly .   T h e s e   r e s u l t s   v a l i da t e s   t h a t h e   de s i g n e c o n t r o l l e r   ga i n   K   i s   a bl e   to  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   E l e c   &   C o m E n g     I S S N:   2088 - 8708       Optimal  li ne ar   quadr ati c   Gaus s ian  c ontr ol  bas e d     ( Hoan  B ao  L ai )   163   a c hi e ve   s t a bil i z a t i o n   by   mi n im i z i ng  t h e   pe r f o r m a nc e   i n de x   b e t t e r   t h a n   [ 29]   a t   s a m e   t o l e r a bl e   de l a y   mar g i n   f o r   r a n do m   s t e l o a d i s t ur b a n c e s .             F i gur e   3.   T i e   l i ne   po we r   de vi a t i o n   f o r   p o we r   s y s t e m           F i gur e   4.   L o a d   v a r i a t i o n s           F i gur e   5.   F r e que n c y   v a r i a t i o ns   ( Hz )   o f   t h e   t w o - a r e a   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2088 - 8708   I n t   J   E l e c   &   C o m E n g,   Vo l .   12 ,   N o .   1 F e b r ua r y   20 22 157 - 165   164       F i gur e   6.   T i e - l i ne   v a r i a t i o n s       5.   CONC L USI ON   As   e x pr e s s e d,   t h e   L F C   b a s e L Q R   i s   a c hi e ve f o r   t h e   w i de   a r e a   po we r   n e t w o r k   wi t h   c o m m u ni c a t i o de l a y s .   W i t h   r e ga r ds   to  l a c o f   s e n s o r s ,   t h e   p o we r   s y s t e m   s t a t e   v a r i a bl e s   a r e   e s t i m a t e by   t h e   K a lm a n   f il t e r .   T h e   o p t i m a l   ga i f o r   t h e   pr o p o s e c o n t r o l l e r   i s   s e l e c t e by   s o l vi n t h e   R i c c a t i   e qua t i o n   s o   t h a t   t h e   c o n tr o l   pa r a m e t e r s   a r e   n ot  o v e r   t un e d.   T h e   s t a bi li t y   o f   t h e   s y s t e m   w i t h   t i m e   de l a y   i s   a ga i n   a s c e r t a i ne vi a   L y a pu n o t h e o r y .   R e s u l t s   s h o we b e t t e r   pe r f o r m a nc e   to  da m t r a n s i e n t   f r e que nc y   a n A C E   t h a n   t h e   c o n t r o l l e r   c o m pa r e w i t h   i t .   Al s o ,   s o m e   o f   t h e   hi g hl i g h t e li mi t a t i o ns   f r o m   ot h e r   c o n t r o l l e r s   i n   li t e r a t ur e   a r e   s o l v e d.   Ho we v e r ,   t h e   c o n t i n uo us   d i f f i c u l t y   i o b t a i ni ng  o pt i m a l   c o n t r o l   f e e d ba c ga i us i ng  s o m e   s c he m e s   o pe n s   a   n e c h a pt e r   to  r e s e a r c h   a r e a   to   de v e l o a n c o n t i n uo us l y   im pr o vi n t h e   ga i n   t o   a v o i e x c e s s i v e   t uni n g   dur i n l i ne a r i z a t i o n .         RE F E R E NC E S   [ 1]   R K S a hu,  S P a nda   a nd  N K Y e gi r e dd y " A   n ove h y br id   D E P S   o pt im i z e f u z z y   P I / P I D   c o nt r o ll e r   f or   l o a f r e qu e n c y   c o n tr ol   of   mul ti - a r e a   in t e r c o nn e c te p o w e r   s y s te ms , "   J our nal   of   P r oc e s s   C ont r ol v o l.   24,  n o 10,  pp.  1596 - 1608,  O c t.   2 014,    do i:   10.1016/j . jp r oc o nt .2014.08.006.   [ 2]   S S a x e na   a nd  Y V H o t e " D e c e nt r a li z e P I D   l o a f r e que n c y   c o nt r o f or   p e r tu r be d   mul ti - a r e a   p o w e r   s y s t e ms , "   I nt e r na ti onal   J our nal  of  E le c t r ic al  P ow e r  and E ne r gy  Sy s te m s , v o l.  81, pp. 4 05 - 415, F e b. 2016, d o i 10.1016/j .i j e p e s .2016.02.041.   [ 3]   T K M o ha pa tr a   a nd  B K S a hu,  " D e s i gn  a nd  im pl e me n ta ti o of   S S A   ba s e f r a c ti o na o r d e r   P I D   c o nt r o ll e r   f o r   a ut o m a ti c   ge n e r a ti o c o n t r o of   a   mul ti - a r e a mul ti - s o ur c e   in t e r c o nn e c t e d   po w e r   s y s t e m, T e c hnol ogi e s   f or   Sm a r t - C it y   E ne r gy   Se c u r it y   and  P o w e r , pp. 1 - 6, M a r . 2018, doi:  10.1109/I C S E S P .2 018.837669 7.   [ 4]   N . E . Y K o uba , M . M e na a , M . H a s ni  a nd M . B o ud o ur " L oa f r e qu e n c y   c o nt r o in  mul ti - a r e a  p o w e r  s y s t e m ba s e o f u z z y  l ogi c - P I D   c o nt r o ll e r , "   in   I nt e r nat io nal   C onf e r e nc e   on  Sm ar E ne r gy   G r id   E ngi ne e r in g   ( SE G E ) 2015,  2015,  pp.  1 - 6,  do i:   10.1109/ S E G E .2015.7324614.   [ 5]   A G H a r o un  a nd  Y Y L i,   " A   nove o pt im i z e h y b r id   f uz z y   l o gi c   in te ll ig e nt   P I D   c o nt r o l le r   f o r   a in te r c o nn e c te mul ti - a r e a   po w e r   s y s t e w it h   ph y s i c a c o ns tr a in ts   a nd  bo il e r   d y na mi c s , "   I S A   tr ans ac ti ons vo l.   71,  pp.  364 - 379,  N ov 2017,   do i:   10.1016/j .i s a tr a .2017.09.003.   [ 6]   A F a th y A M K a s s e a nd  A Y A bde la z iz " O pt im a d e s ig o f   f u z z y   P I D   c o nt r o ll e r   f o r   d e r e gul a te L F C   of   mul t i - a r e a   pow e r   s y s te v ia   mi n e   bl a s a lg or it hm, "   N e ur al   C om put in and  A ppl ic at io ns vo l.   32,  pp.  4531 - 4551,  M a y   2020,  d oi 10.1007/s 00521 - 018 - 3720 - x.   [ 7]   K J a ga th e e s a n,  B .   A na nd,  S .   S a ma nt a N D e y A S A s h our   a nd  V E B a la s " D e s ig of   a   p r o p o r ti o na l - in te g r a l - d e r i v a ti ve   c o nt r o ll e r   f or  a n a ut o ma ti c  g e n e r a ti o n  c o nt r o of  mul t i - a r e a  p ow e r   th e r ma s y s t e ms  us in f ir e f l y   a lg or it hm, "   I E E E /C A A  J our nal  of   A ut om at ic a Si ni c a , vol . 6, n o . 2, pp. 503 - 515, J a n. 2017, do i:   1 0.1109/J A S .2017.7510436.   [ 8]   M R a ju L C S a ik ia   a nd  N S in ha " A ut oma ti c   ge n e r a ti o n   c o nt r o l   of   a   mul ti - a r e a   s y s t e us in a nt   l i o o pt im i z e r   a lg or i th m   ba s e P I D   p lu s   s e c o nd  o r d e r   d e r i v a ti ve   c o nt r ol le r , I nt e r nat io nal   J our nal   of   E le c tr ic al   P ow e r   and  E ne r gy   Sy s te m s v ol 80,    pp. 52 - 63, S e p. 2016, d o i 10.1016/j .i j e p e s .2016.01.037.   [ 9]   Y A r y a   a nd  N K uma r " B F O A - s c a l e f r a c ti o na o r d e r   f uz z y   P I D   c o nt r o ll e r   a ppl i e t o   A G C   of   mu lt i - a r e a   mul ti - s o ur c e   e le c tr ic   po w e r   ge n e r a ti ng  s y s te ms , "   S w ar m   and  E v ol ut io nar y   C om put at io n,   v ol 32,  pp.  202 - 218,  F e b.  2017,  do i:   10.1016/j .s w e vo .2016.08.002.   [ 10]   J G u o " A ppl i c a ti o of   f ul l   o r d e r   s li di ng  m o d e   c o nt r o ba s e d   o d i f f e r e nt   a r e a s   p o w e r   s y s t e w it h   l o a f r e que n c y   c o n tr o l, "   I SA   tr ans ac ti ons ,   v o l.   92, pp. 23 - 34, S e p. 2019, d o i:  10.1016 /j .i s a tr a .2019.01.036.   [ 11]   B L N M in h,  V .   V H u y nh,  T M N guy e n,  a nd  Y W .   T s a i,   " D e c e nt r a li z e a da pt iv e   d o ubl e   in te gr a s li di ng  mo d e   c o nt r o ll e r   f or   mul ti - a r e a  po w e r  s y s te ms , "   M at he m at ic al   P r obl e m s  i n E ngi ne e r in g , vo l.  1, pp. 1 - 11, Aug. 2018, d o i 10.1155/2018/ 2672436.   [ 12]   K L ia o  a nd Y . X u,  " A  r o bus l o a f r e qu e n c y   c o nt r o s c he m e   f o r  po w e r  s y s t e ms  ba s e o n s e c o nd - o r d e r  s li di ng m o de  a nd e x t e n de di s tu r ba nc e   o bs e r v e r , "   I E E E   T r ans ac ti ons   on  I ndus t r ia I nf or m at ic s v o l.   14,  no 7,  pp.  3076 - 3086,  N ov 201 7,  do i:   10.1109/ T I I .2017.2771487.   [ 13]   S P r a s a d,  S P u r w a r   a nd  N K is h o r " L oa f r e qu e n c y   r e g ul a ti o us in o bs e r ve r   ba s e d   n o n - li n e a r   s li di ng   m o de   c o n tr o l, "   I nt e r nat io nal   J o ur nal   of   E le c tr ic al   P o w e r   and  E ne r gy   Sy s te m s ,   vo l.   104,   pp.  178 - 193,   J un.  2019,  do i:   10. 1016/j .i je p e s .2018.06.035.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t   J   E l e c   &   C o m E n g     I S S N:   2088 - 8708       Optimal  li ne ar   quadr ati c   Gaus s ian  c ontr ol  bas e d     ( Hoan  B ao  L ai )   165   [ 14]   V V H u y nh,  Y W T s a i,   a nd  P V D u c " A da pt i ve   o ut put   f e e dba c s li di ng  m o d e   c o n tr o f or   c o mpl e x   in t e r c o nn e c t e ti me - d e la y   s y s te ms , "   M at he m at ic al   P r obl e m s  i n E ngi ne e r in g , pp. 1 - 15, 20 15, do i:  10.1155/2015/ 239584.   [ 15]   X L v Y S un,   Y W a ng,  a nd   V D in a v a hi " A da pt i ve   e ve nt - t r ig ge r e l o a d   f r e qu e n c y   c o nt r o l   of   mul ti - a r e a   p o w e r   s y s t e ms   u nde r   ne tw o r k e e n v ir o n me nt   v ia   s li di ng  m o de   c o n tr o l, "   I E E E   A c c e ss vo l.   8,   pp.  86585 - 86594,  M a y   2020,   doi 10.1109/AC C E S S .2020.2992663.   [ 16]   Y M i,   Y F u,   C W a ng,  a nd  P .   W a ng,  " D e c e nt r a li z e d   s li di ng  mo d e   l o a d   f r e qu e n c y   c o nt r o l   f or   mul ti - a r e a   p o w e r   s y s te ms , "   I E E E   T r ans ac ti ons  on P ow e r  Sy s te m s , v o l.  28, pp. 4301 - 4309, N ov 2 013, do i:  10.1109/ T P W R S .2013.2277131 .   [ 17]   A D e v   a nd  M K S a r ka r " R o bus hi ghe r   or de r   o bs e r ve r   ba s e n o n - li n e a r   s upe r   twi s ti ng  lo a f r e qu e n c y   c o nt r o f or   mul ti - a r e a   po w e r   s y s t e ms   v ia   s li di ng  mo d e , "   I nt e r nat io nal   J our nal   of   C o nt r ol A ut om at io and  Sy s te m s v o l.   17,  pp.  1814 - 1825,  J ul 2 019,  do i:   10.1007/s 12555 - 018 - 0529 - 4.   [ 18]   M K S a r ka r A D e v P A s th a na a nd  D N a r z a r y " C ha tt e r in g   f r e e   r o bus a da pt i v e   in t e g r a hi ghe r   or de r   s li di ng  m o de   c o nt r ol   f or   lo a f r e qu e n c y  pr o bl e ms  i n mul ti - a r e a  p o w e r  s y s t e ms , "   I E T  C o nt r ol  T he or y  and A ppl ic at io ns , v o l. 12,  pp. 1216 - 1227, M a y  201 8.   [ 19]   A D e v M K S a r ka r P A s th a a nd  D .   N a r z a r y " E v e nt - tr ig ge r e a da pt iv e   in te g r a hi ghe r - o r d e r   s li di ng  mo d e   c o nt r o f o r   lo a d   f r e qu e n c y   pr o bl e ms   in   mul t i - a r e a   p o w e r   s y s t e ms , "   I r ani an  J our nal   o f   S c ie nc e   and  T e c hnol ogy T r an s ac ti ons   o f   E le c tr ic al   E ngi ne e r in g , vo l.  43, pp. 137 - 152, J ul . 2019, d o i:  10.1007/s 409 98 - 018 - 0078 - 0.   [ 20]   S T r ip M C uc uz z e ll a C D e   P e r s is A V a de r   S c ha f a nd  A F e r r a r a " P a s s iv it y - ba s e de s ig of   s li di ng  m o d e s   f or   o pt im a l o a f r e qu e n c y   c o nt r o l, "   I E E E   T r ans ac ti ons   on  c ont r ol   s y s te m s   te c hnol ogy ,   v o l.   27,  pp.  1893 - 1906,  J ul 2018,     do i:  10.1109/ T C S T .2018.2841844.   [ 21]   T .   H .   M o ha m e d,  A A Z D ia a nd  M M H us s e in " A ppl i c a ti o of   li n e a r   qua dr a ti c   G a us s ia a nd  c oe f f ic i e nt   d ia gr a t e c hni que s   to   di s tr ib ut e l o a f r e qu e n c y   c o nt r o of   p o w e r   s y s t e ms , "   A ppl ie Sc ie nc e s v o l.   5,  n o 4,  pp.  1603 - 1615,  S e p.  2 015,     do i:   10.3390/a pp5041603 .   [ 22]   M R a hma n,  S K S a r ka r   a nd  S K D a s " S ta bi li z a ti o im pr ove m e nt   of   l o a f r e qu e nc y   d e v ia ti o f or   mul ti - a r e a   in t e r c o nn e c te d   s ma r gr id   us in in te gr a li ne a r   qua dr a ti c   G a us s ia c o nt r o a p pr o a c h, "   in   2018  10t I nt e r nat io nal   C onf e r e nc e   on  E le c tr ic al   and   C om pu te r  E ngi ne e r in g ( I C E C E ) 2018 ,   pp. 477 - 480, do i 10.11 09/ I C E C E .2018.8636686.   [ 23]   M   B ha du,  N S e n r oy I N K a r   a nd  G N S udha " R o bus li n e a r   qua dr a ti c   G a us s ia n - B a s e di s c r e t e   m o d e   w id e   a r e a   p o w e r   s y s te m da mpi ng  c o nt r o l le r , "   I E T  G e ne r at io n, T r ans m is s io n and   D is tr ib ut io n , vo l.  10, pp. 1470 - 1478, M a y  2016 .   [ 24]   S H .   S ha ha la mi   a nd  D F a r s i,   " A na l y s is   of   l o a f r e que n c y   c o nt r ol   in   a   r e s tr u c tu r e mu lt i - a r e a   p o w e r   s y s t e w i th   th e   K a l ma n   f i lt e r   a nd  th e   L Q R   c o nt r o ll e r , "   A E U - I nt e r nat io nal   J our nal   of   E le c tr oni c s   and   C om m un ic at io n s v o l.   86,  pp.  25 - 46,  M a r .   20 18,    do i:   10.1016/j .a e u e .2018.01.011.   [ 25]   A A l - D ig s   a nd  Y C C he n,  " G e n e r a ti o a nd  lo a ba la nc e   us in li ne a r   qua dr a ti c   G a us s ia c o nt r o l, "   N or th   A m e r ic an  P ow e r   Sy m pos iu m , v o l.  3, pp. 1 - 5, S e p. 2016, d o i:  10.1109/NAPS .201 6. 7747846.   [ 26]   W Y a n,  L S he ng,  D X u,  W Y a ng  a nd  Q L iu " H   r o bus lo a f r e qu e nc y   c o nt r o f or   mul ti - a r e a   in te r c o nne c t e p o w e r   s y s te m   w it h h y br id  e n e r g y  s t o r a g e  s y s t e m, "   A ppl ie d Sc ie nc e s ,   v ol . 8, n o . 10, 2018, Ar t.  n o . 1748, d o i 10.3390/a pp8101748 .   [ 27]     H Z ha ng,  J L iu a nd  S X u,  " H - in f in it y   l o a f r e qu e n c y   c o nt r o of   n e tw o r k e p o w e r   s y s te ms   v ia   a e v e n t - tr ig g e r e s c h e me , "   I E E E  T r ans ac t io ns  on I ndus tr ia E le c tr oni c s ,   v o l.   67, n o . 8, pp.  7104 - 7113, S e p. 2019, d o i 10.1109/ T I E .2019.2939994.   [ 28]   S P r a s a d,  S .   P ur w a r   a nd   N K is ho r " H - in f in it y   ba s e n o n - l in e a r   s li di ng  m o de   c o nt r o ll e r   f or   f r e que n c y   r e gul a ti o n   in   in te r c o nn e c te d   p o w e r   s y s t e ms   w it h   c o ns ta nt   a nd  ti me - v a r y in g   de la y s , "   I E T   G e ne r at io n,  T r ans m is s io and  D is tr ib ut io n v o l.   10,  pp. 2771 - 2784, Aug. 2016.   [ 29]   S K . P r a dha n a nd D K . D a s " H  l o a d   f r e qu e nc y   c ont r o l  de s i gn ba s e o n d e la y  d is c r e ti z a ti o n a ppr o a c f or  i nt e r c o nne c t e d p o w e r   s y s te ms   w it h   ti me   d e la y , "   J our nal   of   M ode r P ow e r   Sy s te m s   and  C l e an  E ne r gy ,   v o l.   2,  pp.  1 - 10,  A ug.  2020,     do i:  10.35833/M P C E .2019. 000206.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.