I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   9 ,   No .   2 A p r il   201 9 ,   p p .   1 0 9 0 ~ 1 0 9 9   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v9 i 2 . pp 1 0 9 0 - 1099       1090       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s co r e . co m/ jo u r n a ls /in d ex . p h p / I JE C E   New   ro bust bou nded contro for u ncertain no nli nea r sy ste m   using   m ix ed  bac kstepping  and ly a p uno v  redesig n       M uh a mm a d Niz a m   K a m a ru din 1 , S a ha za t i M d.  Ro z a li 2 T .   Su t i kn o 3 ,   Abdu l R a s hid   H us a in 4   1, 2 Ce n ter f o Ro b o ti c s an d   I n d u str ial  A u to m a ti o n ,   Un iv e rsiti   T e k n ik a M a la y sia   M e l a k a   (U T e M ),   Ha n g   T u a h   Ja y a ,   7 6 1 0 0   D u rian   T u n g g a l,   M e lak a ,   M a la y sia   1 F a c u lt y   o f   El e c tri c a En g in e e rin g ,   2   F a c u lt y   o f   El e c tri c a En g in e e rin g   T e c h n o lo g y   Un iv e rsiti   T e k n i k a M a la y sia   M e l a k a   (U T e M ),   Ha n g   T u a h   Ja y a ,   7 6 1 0 0   D u rian   T u n g g a l,   M e lak a ,   M a la y sia   3 De p a rtme n o f   El e c tri c a En g in e e rin g ,   Un iv e rsitas   A h m a d   Da h lan   (UA D),  Yo g y a k a rt a ,   In d o n e sia   4 F a c u lt y   o f   El e c tri c a En g in e e rin g ,   Un iv e rsiti   T e k n o lo g M a lay sia ,   UT M   S k u d a i,   8 1 3 1 0   J o h o r,   M a lay sia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J u l   10   201 8   R ev i s ed   O c t   7 ,   2 0 1 8   A cc ep ted   O c t   28 ,   2 0 1 8       T h is  p a p e p re se n ts  a   n e w   ro b u st   b o u n d e d   c o n tro l   law   to   sta b il ize   u n c e rtain   n o n li n e a sy ste m   w it h   ti m e   v a r y i n g   d ist u rb a n c e .   T h e   d e sig n   i d e a   c o m e f ro m   th e   a d v a n tag e o f   b a c k ste p p in g   w it h   Ly a p u n o v   re d e sig n ,   w h ich   a v o id   th e   n e e d o f   f a st  s w it c h in g   o f   d i sc o n t in u o u c o n tro law   o f fe re d   b y   it c o u n ter p a rt  -   a   v a riab le  stru c tu re   c o n tro l.   W e   re d u c e   th e   c o n se rv a t ism   in   th e   d e sig n   p r o c e ss   w h e re   th e   c o n tro l   law   c a n   b e   f lex ib ly   c h o se n   f ro m   Ly a p u n o v   f u n c ti o n ,   h e n c e   a v o id i n g   th e   u se   o f   c o n v e x   o p ti m iza ti o n   v ia  li n e a m a t rix   in e q u a li ty   (L M I)  in   w h ich   th e   f e a sib il it y   is  ra th e h a rd   t o   b e   o b t a in e d .   F o r   th is  w o rk ,   w e   d e sig n   tw o   t y p e   c o n tro l   a lg o rit h m n a m e l y   n o r m a c o n tr o a n d   b o u n d e d   c o n tro l.   A su c h ,   o u c o n tri b u ti o n   is  th e   in t ro d u c ti o n   o f   a   n e b o u n d e d   c o n tro law   th a c a n   a v o i d   e x c e ss iv e   c o n tro l   e n e rg y ,   h ig h   m a g n it u d e   c h a tt e rin g   in   c o n tro sig n a a n d   sm a ll   o sc il latio n   i n   sta b il i z e d   sta tes .   Co m p u tatio n   o f   to tal  e n e rg y   fo b o th   c o n tro l   law c o n f ir m e d   th a t   th e   b o u n d e d   c o n tro l   law   c a n   sta b il ize   w it h   les e n e g r y   c o n su m p ti o n .   W e   a lso   u se   Eu ler' a p p ro x im a ti o n   t o   c o m p u te  a v e ra g e   p o w e f o b o t h   c o n tr o l   law s.  T h e   ro b u stn e ss   o f   th e   p ro p o se d   c o n tr o ll e is  a c h iev e d   v ia  sa tu ra ti o n - l i k e   f u n c ti o n   in   Ly a p u n o v   re d e sig n ,   a n d   h e n c e   g u a ra n ti n g   a s y m p to ti c   sta b il i ty   o f   th e   c lo se d - lo o p   sy ste m .   K ey w o r d s :   B ac k s tep p in g   B o u n d ed   C o n tr o l   L y ap u n o v   Un ce r tai n t y   Co p y rig h ©   2 0 1 9   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Mu h a m m ad   Niza m   Ka m ar u d i n ,   C en ter   f o r   R o b o tics   an d   I n d u s tr ial  Au to m atio n ,   Facu lt y   o f   E lectr ical  E n g in ee r in g ,   Un i v er s iti T ek n ik al  Ma la y s ia  Me lak ( UT eM ) ,     7 6 1 0 0   Du r ian   T u n g g al,   Me la k a,   Ma la y s ia.   T el:  +6 0 1 6 - 2 0 2 2 4 5 7   / + 6 0 6 - 5 5 5 2 3 1 2   / Fax : + 6 0 6 - 5 5 5 2 2 2 2   E m ail:   n iza m k a m ar u d in @ u te m . ed u . m y       1.   I NT RO D UCT I O N   Stab ilizin g   n o n li n ea r   u n s tab le  s y s te m   r eq u ir e s   m a s s i v c o n tr o ef f o r t.  T h er ef o r e,   ch alle n g to   co n tr o l s y s te m   e n g in ee r s   is   th r eq u ir e m e n t to   b o u n d   t h co n tr o l e f f o r t.  I f   t h s w i tch in g   t y p o r   d is co n tin u o u s   s tab ilizi n g   f u n c tio n   i s   ap p lied ,   th la w   ten d s   to   p r o d u ce   h i g h - m ag n it u d o f   c h atter i n g   in   th co n tr o l si g n al.   A s   s u c h ,   t h d esi g n ed   co n tr o la w   m u s t   b b o u n d ed   in   r esp ec th ad m is s ib le  s e o f   i n p u t   to   th s y s te m .   Fo r   in s ta n ce ,   it  is   ea s y   to   s tab ilize   u n s tab le  s y s te m s   b y   f o r cin g   t h eir   p o les  to   th e   lef t - h a n d - s id o f   th e   S - p lan s o   th at  t h clo s ed - lo o p   s y s te m   s tab le.   T h eo r etica ll y ,   p lacin g   th clo s ed - lo o p   p o les  n ea r   to       r esu lt   in   f a s t   co n v er g e n ce   r ate  b u r eq u ir h ig h   e n er g y   as  tr ad e - o f f .   I n   s o m i n d u s tr ial  ca s e s   ar DC   d r iv s y s te m s   w h er e   th co n s tr ain ts   ar d u to   th e   p h y s ical  li m ita tio n   o f   t h m o to r   d r iv s u ch   as  co n v er ter   p r o tectio n ,   m ag n etic   s atu r atio n   an d   m o to r   o v er h ea t in g   th at  m a k th c u r r en co m m an d   i s   li m ited   to   an   ad m i s s i b le  s et  o f   in p u [ 1 ] .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       N ew r o b u s t b o u n d ed   c o n tr o l f o r   u n ce r ta in   n o n lin ea r   s ystem  u s in g   ( Mu h a mma d   N iz a m   K a ma r u d in )   1091   Fo r   an o th er   ca s e   s u ch   a s   ele ctr ic  v e h icles  w h er t h co n t r o lled   v ar iab le  is   s p ee d ,   th m o to r   to r q u o r   v o ltag m a y   b b o u n d ed .   T o   d ate,   m a n y   ap p r o ac h es  h a v b ee n   p r o p o s ed   to   d esig n   t h b o u n d ed   co n tr o la w   s u c h   as  v ar iab le  s tr u ct u r ap p r o ac h   as  ex p lai n ed   in   [ 2 ] - [ 4 ] .   So m r e v ie w s   s h o w   t h at  v ar iab le  s tr u ct u r co n tr o h as  b ee n   a n   estab li s h ed   m et h o d   f o r   n o n li n ea r   co n tr o s in ce   e ar l y   1 9 6 0 s .   Sin ce   th e n ,   v ar iab l s tr u ct u r co n t r o l   h as   b ee n   ap p lied   f o r   r o b u s t   r eg u la tio n   o f   f u zz y   s y s te m s   [ 5 ] ,   tr ac k i n g   s y s te m s   [ 6 ] ,   o p ti m a l   co n tr o [ 7 ] ,   o u tp u f ee d b ac k   co n tr o s y s te m s   [ 8 ] ,   [ 9 ]   an d   m an y   m o r e.   T h er also   i m m er g m an y   m eth o d s   to   s ea r ch   s lid i n g   s u r f ac f o r   v ar iab le  s tr u ct u r co n tr o l.  B a s ed   o n   liter at u r e,   c o n v e x   o p ti m izatio n   v ia   L MI   h as  b ee n   u s ed   w id el y   to   s ea r ch   s lid in g   s u r f ac [ 4 ] [ 10 ] [ 1 1 ]   an d   o b s er v er - b ased   co n tr o [ 1 2 ]   an d   o u tp u t   f ee d b ac k   s lid i n g   m o d e   co n tr o in   [ 13 ] .   Ho w e v er   in   [ 1 0 ] [ 4 ] ,   th ap p r o ac h   r e q u ir n o n s i n g u lar   tr an s f o r m a tio n   to   o b tain   th L MI   s u c h   th at  s l id in g   s u r f ac e x is t s ,   h e n ce   in v o l v i n g   g en er al ized   in v er s to   r ea ch   m ai n   r esu lts .   An o th er   n o n li n ea r   co n tr o ap p r o ac h   n a m el y   B ac k s tep p in g   te ch n iq u w as  d e v elo p ed   in   ea r l y   1 9 9 0 s .   As  s u c h ,   p r o g r ess   in   b ac k s tep p in g   co n tr o ller s   f o r   n o n li n ea r   u n ce r tai n   s y s te m s   w ith   b o u n d ed   co n tr o is   r ath er   s lo w   an d   s til at  in f a n c y   lev el.   On l y   in   1 9 9 0 s   th r esear ch   i n   b ac k s tep p in g   s ch e m e   f o r   b o u n d ed   co n tr o l   p r o b lem   is   g ett in g   b lo s s o m ,   b u d o es  n o co n s id er   u n ce r tai n ties   a n d   ex o g en o u s   p er t u r b ati o n s .   Fo r   in s ta n ce ,   p r o g r ess   i n   b ac k s tep p in g   f o r   n o n lin ea r   s y s te m   w it h   b o u n d ed   co n tr o in   [ 1 4 ] ,   b ac k s tep p in g   w it h   b o u n d ed   f ee d b ac k s   f o r   n o n li n ea r   s y s te m   in   [ 15 ]   an d   in teg r ato r   b ac k s tep p in g   f o r          o r d e r   in teg r ato r   ca s ca d s y s te m   w it h   s tate   co n s tr ain t   i n   [ 16 ] .   A p p r o ac h   in   [ 16 ]   is   r ec u r s iv e - i n ter lacin g   p r o ce d u r f o r   tr ac k in g ,   u n d er   ass u m p tio n   t h at  t h s y s te m   i s   lin ea r   a n d   n o   u n ce r tain t y   is   c o n s id er ed .   Mo r r ec en tl y ,   au t h o r s   i n   [ 17 ]   d ev is ed   r o b u s ad ap tiv co n tr o alg o r i th m   f o r   u n ce r tai n   n o n li n ea r   s y s te m   u s i n g   b ac k s tep p i n g   w i t h   co n s id er atio n   o f   in p u s atu r atio n   an d   ex ter n al  d is tu r b an ce .   T h is   p ap er   p r o p o s r o b u s b ac k s tep p in g   w i th   L y ap u n o v   r ed esig n   to   s tab ilize   u n ce r tai n   s y s te m .   T h e   d esig n   b eg i n s   w i th   th s tab ili za tio n   o f   u n p er t u r b ed   s u b s y s t e m   v ia  j u d icio u s   s el ec tio n   o f   co n tr o L y ap u n o v   f u n ctio n .   Af ter w ar d ,   th co n tr o L y ap u n o v   f u n ctio n   f o r   n o m i n al  s u b s y s te m   is   u tili ze d   a g ain   f o r   s y s te m   w it h   u n ce r tai n tie s   s u c h   th at   t h e f f ec o f   u n ce r tain t ies  is   m o n it o r ed   f o r   r o b u s tn e s s .   T h c h a llen g m i g h b i n   s ea r ch i n g   f o r   r o b u s L y ap u n o v   f u n ctio n s   an d   s o m ad v a n c ed   m at h e m atic s   to   s tr u ct u r th s y s te m   d y n a m ic s   eq u atio n   to   s u it  co n tr o ap p r o ac h ,   th at  is   s tr ic f ee d b ac k   f o r m .   Ho w e v er ,   th r e m ain in g   task s   o f   s e lecti n g   a   co n tr o la w   is   s tr ai g h tf o r w ar d   s u c h   t h at  t h n ec es s it y   o f   L y ap u n o v   s tab ilit y   cr iter io n   i s   f u l f illed .   De s p ite  o f f er i n g   f le x ib le  d esig n ,   o th e r   ad v an tag e s   o f   b ac k s tep p in g   w it h   L y ap u n o v   r ed esig n   is   th eli m in at io n   o f   u s e f u n o n lin ea r   ter m s   ca n   b av o id ed ,   lead in g   to   r ed u ce   co n tr o co m p le x it y .   E ar l y   w o r k   o n   L y ap u n o v   r ed esig n   h a s   b ee n   e s tab lis h ed   in   1 9 7 9   an d   ca n   b r ev ie w e d   in   [ 1 8 ]   an d   [ 19 ] .   Ho w ev er   to   d ate,   th u s o f   L y ap u n o v   r ed esig n   i n   b ac k s te p p in g   h a s   b ee n   at  n e w   s ta g e.   L ates w o r k   b y   [ 20 ]   au g m en n o n li n ea r   d a m p i n g   f u n ctio n s   to   th e   u n p er tu r b ed   s tab ilizin g   f u n cti o n   i n   r ed esi g n   p h ase.   W h er ea s   [ 2 1 ]   u s e s   s a t u r atio n - t y p e   co n tr o as  an   a u g m e n tatio n   to   th s tab ilizin g   f u n ctio n   i n   r ed esig n   p h ase.   B o th   ap p r o ac h es  p r o v ed   r o b u s s tab ilit y   a n d   r o b u s p er f o r m a n ce .   I n   t h i s   ar ticle,   w u s b ac k s tep p in g   w i t h   L y ap u n o v   r ed esi g n   ap p r o ac h   to   d esi g n   n o r m al  co n tr o an d   b o u n d ed   co n tr o i n   o r d er   to   s tab ilize  s y s te m   w i th   m atc h ed   u n ce r tain ties .   W p r o v th s tab ilit y   r o b u s tn es s   u p o n   p er tu r b atio n   in   i n itial  s tate s   as  w el as   lu m p ed   m atc h ed   u n ce r tain t ies  v ia  L y ap u n o v   s u f f icie n c y   a n d   n ec e s s it y   cr ite r io n .   T h n u m er ical  s y s te m s   i n   [ 1 0 ]   is   u s ed   as  te s b ed   an d   t h s y s te m   s tr u ct u r is   r ea r r an g ed   to   ea s o f   d esi g n   w h er th d is t u r b an ce - li k f u n ctio n   i s   s ep ar ated   f r o m   m o d e l u n ce r tai n tie s .   As  t h f ac th a s tab iliz in g   u n s tab le  s y s te m   r eq u ir m ass iv en er g y ,   o n o f   th e   p er f o r m a n c in d ex   in   th is   w o r k   is   to   o b tain   co n tr o s ig n al  w it h   less   av er a g p o w e r   an d   en er g y .   As  s u c h ,   in   b o u n d ed   co n tr o d esig n ,   w e   r elax   th e   tr an s ie n p er f o r m an ce   b y   allo w i n g   t h clo s e d - lo o p - s y s te m   to   b s li g h tl y   s lu g g is h   i n   o r d er   to   r esp ec th ad m is s ib le  s et  o f   i n p u t s   to   th s y s te m .   T h er ef o r e,   o u r   b o u n d ed   c o n tr o la w   s a tis f ies  s m all  co n tr o p r o p er ty .   Ou r   m a in   co n ce r n   al s o   to   av o id   ex ce s s i v co n tr o en er g y ,   r ed u ce   h i g h   m a g n it u d ch atter in g   co n tr o l   s ig n al  a n d   eli m i n ate  s m all  o s c illatio n   i n   th s tab ilizi n g   s tate  w it h o u h a v i n g   ca ta s tr o p h ic  ef f ec to   th clo s ed - lo o p   s y s te m .   T h co n ten o f   t h i s   p ap er   is   as  f o llo w s .   Sectio n   2   d is c u s es  ab o u th eo r etica b ac k g r o u n d .   Sectio n   3   an d   s ec tio n   4   d i s cu s   ab o u t   n o r m al   co n tr o ller   d esi g n .   Sec t io n   5   d is c u s e s   ab o u t   b o u n d e d   co n tr o ller   d esig n .   Sectio n   6   tab u late s   p er f o r m an ce   in d ices.  L a s tl y ,   w co n cl u d ed   th r esu lt s   in   S ec tio n   7 .       2.   P RO B L E M   F O R M UL AT I O N   L et  t h s y s te m   to   b co n tr o lled   b r e p r esen ted   b y   t h f o llo win g   d i f f er en tia l e q u atio n   [ 1 0 ] :       ̇          (       (                               (1 )     w h er           is   th s tate,             is   th e   co n tr o in p u a n d     (                                         is   th l u m p ed   u n ce r tai n t y   w h ich   m atc h ed   t o   th co n tr o in p u t.                an d                 is   th s y s te m   c h ar ac ter is tic  a n d   in p u m atr i x   w it h   f u ll r a n       .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I SS N :   2088 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   2 A p r il 2 0 1 9   :     1 0 9 0   -   1099   1092   2 . 1   No rm a l b a c k s t ep pin g   W r ep r esen ted   th s y s te m   ( 1 )   in   s tr ict  f ee d b ac k   f o r m   ( i.e         )   to   f ac ilit ate  r ec u r s iv e   b ac k s tep p in g   an d   ad m it s   r o b u s co n tr o L y ap u n o v   f u n ctio n .   T h u s   o u r   ap p r o ac h   r estricte d   to   s tr ict  f ee d b ac k   f o r m :       ̇         (               (                 ,                                     ( 2 a)       ̇         (             (     [             (             ]             ( 2 b )     w h er e         (       [                                                                                                                                                         ]           an d           (       [                   ]   .     A lter n ati v el y ,   th s y s te m   ca n   b r ep r esen ted   as       ̇     (         (           (       (                   ( 3 )     I f   th er ex i s s o m co n t in u o u s   f u n ctio n     (       w h ich   s at is f ies  s tr u c tu r al  co n d itio n     (         (       (     th en   th m atc h i n g   co n d itio n   c an   b ap p lied   to   th class   o f   s y s te m   i n   ( 3 ) .   C o n tr o l p r o b lem   n o w   is   to   s tab ilize    ̇   w it h   co n tr o   (     .   T h d esig n   b eg in s   w it h   s ee k in g   co n tr o L y ap u n o v   f u n ctio n     (       f o r   n o m i n al  s y s te m     ̇     (         (       .   T h f u n ctio n   s h o u ld   b s m o o th ,   p o s itiv d e f in ite,   r ad iall y   u n b o u n d ed   s u ch   t h at .         (         (                 (         (           (                   ( 4 )     f o r   all          an d   s o m f u n ctio n           .   Fo r   s y s te m   w i th   o r d er         ( th at  is                     ,   th s tab ilizin g   f u n ctio n   f o r       - s u b s y s te m   is   d esig n ed   s u c h   t h at  t h d er i v at iv o f     (       n e g ativ e   d ef i n ite.   T h s tab ilizi n g   f u n ctio n   b eh av e s   as  d esire d   s tate  f o r   s u b s y s te m           .   W t h er ef o r d ef in er r o r   d y n a m i cs  b et w ee n   th e   d esire d   s tate  an d   ac tu al  s ta te  i n   s u b s y s te m           .   Fo r   th at,   w m ak th er r o r   d y n a m ics  p er is h ed   af ter           to   f ac ilit ate s   co n tr o d esi g n   f o r   n ex s u b s y s te m           .   Af ter   t h s tab ilizin g   f u n ctio n   f o r   n o m i n a s u b s y s te m   is   s u cc e s s f u ll y   d esi g n ed ,   th co n tr o L y ap u n o v   f u n c tio n   f o r   n o m i n al  s u b s y s te m   is   r e - u s ed   f o r   r ed esig n   p h a s e.   I n   r ed esig n   p h a s e,   t h s tab ilizin g   f u n c tio n   is   au g m en ted   w it h   r o b u s co n tr o o r   r o b u s f u n ctio n   s u c h   a s   n o n li n ea r   d am p i n g   f u n ctio n   [ 2 0 ] ,   s atu r atio n - t y p f u n ctio n   [ 2 1 ]   o r   o th er s   to   co m b at  w it h   u n ce r ta in tie s .   I n   r ed esig n ,   o v er all  co n tr o f o r   p ar ticu lar   s u b s y s te m   is   o b tain ed   u s i n g   t h p r io r L y ap u n o v   f u n cti o n   s u c h   t h at  w h e n       (         (         ,   i m p lies .         (         (             (         (                           ( 5 )     T h en ,   th ap p r o ac h   is   b ac k - s t ep   an d   b ein g   r ep ea ted   r ec u r s iv el y   s u c h   th at  t h ac tu al  co n t r o   (       is   f in al l y   o b tain ed .     2 . 2   B o un ded c o ntr o l   C o n s id er   th u n p er tu r b ed   v er s io n   o f   s y s te m   i n   E q u atio n   ( 3 ) :       ̇     (         (                         ( 6 )     w h er co n tr o ls   tak e   p lace   i n   t h o p en   u n it  b all          {                        } .   W ith   L y ap u n o v   t h eo r e m ,   t h er ex is t s   p o s itiv d e f in ite,   p r o p er   an d   s m o o th   f u n ctio n   a s   b ef o r e,   n a m el y     (     .   T h er also   e x is t s   o p er ato r s     (           (         (       an d     (           (         (       th at  co n tr ib u te  to   th ex is te n ce   o f   co n tin u o u s   an d   r eg u lar   f ee d b ac k   la w     (                     w h er e:       (       {     (         (           (         (           (       )          (                    (                     ( 7 )     I f     (       co n tin u o u s   at  o r ig in ,   t h en     (       s atis f ies  s m a ll  co n tr o p r o p er t y   w it h   r esp ec to   s y s te m   i n   E q u atio n   ( 6 )   as in   d ef i n it io n   1.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       N ew r o b u s t b o u n d ed   c o n tr o l f o r   u n ce r ta in   n o n lin ea r   s ystem  u s in g   ( Mu h a mma d   N iz a m   K a ma r u d in )   1093   Def ini tio n 1 : S m all  C o n tr o l P r o p er ty   Fo r   s y s tem   in   e q u a ti o n   ( 6 )   s a ti s f y   s m all  c o n tr o l   p r o p er ty ,   th e r e   is   k n o w n   co n t r o l   L y ap u n o v   f u n cti o n     (     ,   f o r   ev er y         ,   th e r ex is ts     (           s o   th at  f o r   all          an d         ,   th e r is   c o n t r o u   w ith           s u ch   th at    (         (           .     W ith   d ef i n itio n   1 ,   w u s L e m m 1   to   r ea ch   m ai n   r esu lts .     L em m a   1 A s s u m th a   (       (       an d       ar e   r ea n u m b er s   s u c h   t h at    (         |   (     |   a n d               f o r         th en   t h er ex is t s   s tab ilizi n g   f u n ct io n     (           w it h   p r o p er ty .     |   (         |       {       |   |     }               ( 8 )     P r o o f :   W ith o u lo s s   o f   g e n er alit y ,   we  s et    (         th u s     (          (     .   I f     (         ,   co n d itio n     (         |   (     |   is   n o v alid .   T h er ef o r e,     |   (         |                         ,         -               ( 9 )     W h en     (         ,   w ca n   s ee   t h at  |   (         |   b o u n d ed   b y       as        ,   an d   also   b o u n d ed   b y   its   n u m er ato r .   T h is   y ield s     |   (         |        (                (             )                                       {       |   |     }           ( 1 0 )       3.   B ACK ST E P P I N G   CO NT R O L   C o n s id er   n u m er ical  v al u es  f o r   s y s te m   in   ( 1 )   b     *         +     *     +   an d     (                          (                         (           .   R esp ec tiv el y ,   th n o n li n ea r   s y s te m   ca n   b r e p r esen ted   in   s tr ict   f ee d b ac k   f o r m :       ̇                             ( 1 1 a)       ̇                (                          (                         ( 1 1 b )     I is   ea s y   to   s ee   th at  f o r   an y                             (                     b d esire d   s tate  th at  s tab ilized       - s u b s y s te m   i n   eq u atio n   ( 1 1 a) .   T h is   ca n   b co n f ir m ed   b y   L y ap u n o v   f u n ctio n       (                   ,   w h er th e   d er iv ativ ab o u     - s u b s y s te m   is   n eg ati v d ef in i te:       ̇   (                                         ( 1 2 )     W d ef in er r o r   d y n a m ic s ,       b et w ee n   t h d esire d   s tate        an d   ac tu al  s ta te      :                                     ( 1 3 )     Ou r   co n tr o p r o b lem   n o w   i s   to   d esig n   co n tr o la w   to   w e ak en     .   T h er ef o r e,   w r ep r esen ac tu al   s y s te m   i n   E q u at io n s   ( 1 1 a)   an d   ( 1 1 b )   in   n e w   co o r d in ate  [         ] :       ̇                                 ( 1 4 a)       ̇                (                          (                         ( 1 4 b )     C o s i n ter m s   i n   s y s te m   p ar a m eter s   ca n   b lu m p ed   to g et h er   an d   r eg ar d ed     (              (            as  ex o g e n o u s   t i m v ar y i n g   d is t u r b an ce .   Hen ce ,   w d esi g n   th s tab ilizi n g   f u n ctio n   f o r   u n p er tu r b ed     - s u b s y s te m   in   E q u atio n   ( 1 4 b ) .   W ith   L y ap u n o v   f u n ctio n       (             (                         (                 ,   th s ta b ilizin g   f u n ctio n   is   o b tain ed   as         (                   (                                   (                       (                             ( 1 5 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I SS N :   2088 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   2 A p r il 2 0 1 9   :     1 0 9 0   -   1099   1094   w h ic h   as y m p to ticall y   s t ab iliz ed   u n p er t u r b ed   s y s te m   i n   E q u atio n   ( 1 4 ) .   T h is   ca n   b p r o v ed   b y   in s er ti n g   th e   s tab ilizi n g   f u n ctio n       (             in   th d er iv ati v o f       (             ab o u t s y s te m   i n   E q u atio n   ( 1 4 ) ,   w h ich   y ield s :       ̇   (                                                     ( 1 6 )       4.   L YAP UNO R E D E SI G N   C o n s id er   s y s te m   ( 1 4 b )   in   th p r esen ce   o f     (     .   W au g m en th e   s tab ilizin g   f u n c tio n       (             w i th   r o b u s co n tr o     (               .   Ou r   co n tr o p r o b lem   n o w   is   to   d esig n       (                 s u ch   t h at  o v er all  s y s te m   i s   s tab ilized   an d   r o b u s t to w ar d     (     .   T h er ef o r e,   o u r   ch o s en   co n tr o l la w   i s :               (                 (                               ( 1 7 )     4 . 1   P re lim i na ry   re s ults  -   no r m a co ntr o l la w   I n   L y ap u n o v   r ed esi g n ,   o n m a y   ea s il y   f o u n d   t h at  s at u r atio n - lik f u n ct io n         (                                                                        ( 1 8 )     w it h               (                  w h e n   co n s tit u te  to   f i n al  co n tr o l la w               (                                   (                       (                                            ( 1 9 )     wi l l stab ilize  o v er all  s y s te m   in   E q u atio n   ( 1 1 ) .     4 . 2   P r o o f   o f   s t a bil it y   W ith   s at u r atio n - li k f u n ctio n   i n   ( 1 8 ) ,   r e - co n s id er   L y ap u n o v   f u n ctio n       (           .   T h d er iv ativ ab o u t   [         ]   y ield s :       ̇   (                                   [                   (                       (                 [           ]     (     ]                          [                     (                       (                     ]     [           (           ]                                      [                                          ]                                                                                                                                                                                                     ( 2 0 )     I f               w er t h ac tu a l c o n tr o l a n d         ,   it is   s h o w n   t h at        p r eser v   ̇   (               n e g ati v o u ts id e   th r esid u al  co m p ac t set       w h er e:         {       |     |                  }                 ( 2 1 )     Hen ce ,   th co n tr o l la w   i n   ( 1 9 )   g u ar a n tees a s y m p to tic  s tab ili t y   o f       (       as sh o w n   i n   E q u at io n   ( 2 2 ) :             { |     (     |                  }               ( 2 2 )     Fig u r 1   s h o w s   s tab ilized   s tate        u p o n   p er t u r b atio n   i n   in itial   s tate s     (       [       ]   f o r   b o th   b ac k s tep p in g   a n d   v ar iab le  s tr u ctu r co n tr o l.  Fi g u r 4   co n f ir m   as y m p to tic  s tab ili t y   co n d iti o n   in   E q u atio n   ( 2 2 ) .   Fig u r 2   an d   Fig u r 3   s h o w   c o n tr o s ig n al  f o r   b ac k s tep p in g   co n tr o law   a n d   v ar iab le  s tr u ctu r co n tr o la w   in   [ 1 7 ]   r esp ec tiv el y .   F ig u r 4   s h o w s   o v er all  s y s te m   tr aj ec to r ies  f o r   b o th   b ac k s tep p in g   a n d   v ar iab le  s tr u ct u r co n tr o l.       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       N ew r o b u s t b o u n d ed   c o n tr o l f o r   u n ce r ta in   n o n lin ea r   s ystem  u s in g   ( Mu h a mma d   N iz a m   K a ma r u d in )   1095           Fig u r 1 .   Stab ilizin g   x 1 -   co m p ar is o n   b et w ee n   b ac s tep p in g   w it h   L y ap u n o v   r ed esig n   an d   v ar iab le  s tr u ct u r co n tr o l     Fig u r 2 .   C o n tr o l si g n al  -   b ac k s tep p in g   w i th   L y ap u n o v   r ed esig n                   Fig u r 3 .   C o n tr o l si g n al   f o r   v a r iab le  s tr u ctu r co n tr o l     Fig u r e   4 .   Ov er all  s y s te m   tr aj ec to r ies       5.   M AIN  RE SUL T S     B O UNDED C O NT RO L   I n   t h is   s ec tio n ,   w e x te n d   o u r   r esu lt   b y   d es ig n i n g   b o u n d ed   co n tr o la w   w h ic h   r o b u s t   to w ar d     (       an d   p er tu r b atio n   in   in itial  s tat es.  I is   o b s er v ed   th at  b ac k s tep p in g   co n tr o eli m i n ates  h ig h   f r eq u en c y   c h atter i n g   in   s y s te m   tr aj ec to r ies  ( F ig u r e   1   an d   Fig u r e   4 )   an d   o f f er s   s m o o th   co n tr o s ig n al  as  s h o w n   i n   Fig u r e   2 .   Ho w e v er ,   th s tab ilizi n g   s tat b y   b ac k s tep p i n g   s t ill  h a v i n g   lo w   f r eq u en c y   o s cillatio n   d u r in g   s tead y   s tate.   Mo r eo v er ,   s tab ilizin g   u s i n g   b ac k s tep p in g   r eq u ir m as s i v en er g y   d u r in g   t h tr an s ie n p ar t   ( Fig u r 2 ) .   A s   s u c h ,   it  is   d esira b le  to   b o u n d   th co n tr o la w   w it h o u h a v i n g   ca tas tr o p h ic  ef f ec to   th clo s ed - lo o p   s y s te m .   T h r est  o f   th is   p ap er   i m p r o v th co n tr o la w   i n   eq u atio n   ( 1 9 )   s u ch   th a th co n tr o la w   s atis f ie s   s m all  co n tr o p r o p er ty   a n d   b o u n d ed   w ith in   ad m i s s ib le  s et  o f   in p u ts .   T o   ass i s o u r   d es ig n ,   w ex p lo it  d efin itio n   1   an d   Lemma   1 .     5 . 1   B o un ded ba c k s t epp ing   W ith       (                     an d   f r o m   E q u atio n   ( 7 ) ,   w ca n   ea s il y   o b tain   t h s tab ilizi n g   f u n ct io n   f o r         - s u b s y s te m   i n   eq u atio n   ( 1 1 a)   b e :       (                                             ( 2 3 )     an d   w ith       (             (                         (                 ,   th s tab ilizi n g   f u n c t io n   f o r   u n p er t u r b ed   s y s t e m   i n         0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 T i m e   ( s e c ) x 1 B a c k s t e p p i n g   w i t h   L y a p u n o v   r e d e s i g n V a r i a b l e   s t r u c t u r e   c o n t r o l 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 - 3 0 0 - 2 5 0 - 2 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 50 100 T i m e   ( s e c ) C o n t r o l   s i g n a l   ( u ) 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 - 2 0 0 0 - 1 5 0 0 - 1 0 0 0 - 5 0 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 T i m e   ( s e c ) C o n t r o l   s i g n a l   ( u ) - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 - 1 2 - 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 x 1 x 2 V a r i a b l e   s t r u c t u r e   c o n t r o l B a c k s t e p p i n g   w i t h   L y a p u n o v   r e d e s i g n C h a t t e r i n g Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I SS N :   2088 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   2 A p r il 2 0 1 9   :     1 0 9 0   -   1099   1096   E q u atio n   ( 1 1 )   is   d ef in ed   as         (                         *         (            (               ) (       (       ) +           ( 2 4 )     Via  b ac k s tep p in g   an d   L y ap u n o v   r ed esig n ,   w r ea c h   th b o u n d ed   co n tr o l la w :                           [                         ]             * (            (               )     +     (            (        (                    ( 2 5 )     5 . 2   P r o o f   o f   s t a bil it y   Wi th   s a tu r atio n - lik e   f u n ctio n   in   E q u a tio n   ( 1 8 ) ,   co n s id er   a g ain   t h d er i v ativ e   o f   L y ap u n o v   f u n ctio n       (             b e:       ̇   (                                             *         (           (               )         [           ]     (     +                                                    [              ]                                                [ (   (       )         (             (                      (       ]                                                  (               (                          (                                                                       ( 2 6 )     Hen ce ,   co m p letes  t h p r o o f .   T h ad v an tag o f   t h is   co n tr o is   th at  t h n u m b er   o f   co n tr o p ar am eter s   h as b ee n   r ed u ce d   as tab u lated   in   T ab le  1 :       T ab le  1 .   C o n tr o P a r am eter s     K 1   K 2           N o r mal   C o n t r o l   i n   ( 1 9 )   2   23   0 . 0 5   0 . 0 5   B o u n d e d   C o n t r o l   i n   ( 2 5 )   N o t   r e q u i r e d   23   0 . 0 5   0 . 0 5       Fo r   p er tu r b atio n   in     (       [       ] ,   Fig u r e   5   s h o w s   s m o o t h   b o u n d ed   co n tr o s ig n al  w h er t h a m o u n t   o f   co n tr o en er g y   i s   b o u n d ed   w it h i n                           u n i as  co m p ar ed   w ith   th u n b o u n d ed   o r   n o r m al   co n tr o o f                    ( co m p ar is o n   c h ar t   is   s h o w n   in   Fi g u r e   6 ) .   Fi g u r e   7   s h o w s   t h at  b o u n d ed   co n tr o la w   eli m i n ates  s m all  f r eq u e n c y   o s cilla tio n   i n   th s tab ilizi n g   s tate,   w h ic h   i s   t h d r a w b ac k   o f   th e   n o r m a l   b ac k s tep p in g   co n tr o la w   in   ( 1 9 ) .   Ov er all  s y s te m   tr aj ec to r i es  i n   F ig u r e   8   s h o w s   b o th   co n tr o la w s   g u ar a n te e   as y m p to tic  s t ab il it y   u p o n   p er t u r b atio n   i n   i n itial   s tate s .   Ho wev er ,   n o r m al   co n tr o l d o es  n o s atis f y   s m all   co n tr o p r o p er ty   as  b o u n d ed   co n tr o d o es.  A n o t h er   ad v an ta g es  o f   t h r esu lti n g   b o u n d ed   co n tr o la w   is   t h at  th co n tr o l   s ig n al  is   f air l y   s m o o th   alt h o u g h   th s o lu tio n   co n v er g e n ce   r ate  s lig h tl y   s l u g g i s h .         Fig u r 5 .   B o u n d ed   co n tr o l sig n al  in   E q u atio n   ( 2 5 )   0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 - 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 -8 -6 -4 -2 0 T i m e   ( s e c ) B o u n d e d   c o n t r o l   s i g n a l   ( u ) Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       N ew r o b u s t b o u n d ed   c o n tr o l f o r   u n ce r ta in   n o n lin ea r   s ystem  u s in g   ( Mu h a mma d   N iz a m   K a ma r u d in )   1097     Fig u r 6 .   C o n tr o l si g n al  -   co m p ar is o n   b et w ee n   n o r m al  co n tr o l in   E q u ati o n   ( 1 9 )   an d   b o u n d ed   co n tr o l in   E q u atio n   ( 2 5 )           Fig u r 7 .   Stab ilizin g   x 1   -   co m p ar is o n   b et w ee n   n o r m al  co n tr o l i n   E q u atio n   ( 1 9 )   an d   b o u n d ed   co n tr o in   E q u atio n   ( 2 5 )     Fig u r 8 .   S y s te m   tr aj ec to r ies  -   co m p ar is o n   b et w ee n   n o r m al  co n tr o l i n   E q u atio n   ( 1 9 )   an d   b o u n d ed   co n tr o in   E q u atio n   ( 2 5 )     6.   P E RF O RM ANCE INDI CE S   Steer in g   p er tu r b ed   s tate s   to war d   o r ig in   r eq u ir m as s i v en er g y .   As  s u c h ,   it  i s   i m p o r tan t   to   o b s er v e   th a m o u n o f   en er g y   an d   a v e r ag p o w er   p r o d u ce d   b y   b o th   n o r m al  co n tr o la w   i n   ( 1 9 )   an d   b o u n d ed   co n tr o l   la w   i n   ( 2 5 ) .   T h en er g y   o f   b o th   co n tr o l si g n al s   ar co m p u ted   b y   t h ar ea   u n d er   th s q u ar ed   s ig n al s   as         (         (                                ( 2 7 )     a nd                  (                 (                              ( 2 8 )     Af ter   t h s tab ilizatio n   ta k es   p lace ,   co n tr o s i g n al   ( 1 9 )   an d   ( 2 5 )   d ec ay   i n   t h s tead y   s tat an d   ap p r o ac h in g   ze r o .   T h ti m a v er ag o f   e n e r g y   ( e n er g y   p er   u n it  ti m e)   i s   c o n s id er ed   as  s i g n al  p o w er   o f   b o th   co n tr o s i g n a in   ( 1 9 )   an d   ( 2 5 ) .   I n   th is   ca s e,   E u ler ' s   ap p r o x i m a tio n   ca n   b ex p lo ited   to   c o m p u te  th av e r ag p o w er   o f   t h e   co n tr o l sig n al.   T h er ef o r e,   av er ag p o w er   f o r   b o th   co n tr o l si g n als ar e       (                (                                           ( 2 9 )     a nd     0 0 . 5 1 1 . 5 - 3 0 0 - 2 5 0 - 2 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0 50 100 T i m e   ( s e c ) C o n t r o l   s i g n a l   ( u ) N o r m a l   c o n t r o l B o u n d e d   c o n t r o l 0 5 10 15 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 T i m e   ( s e c ) x 1 S t a b i l i z a t i o n   u s i n g   b o u n d e d   c o n t r o l S t a b i l i z a t i o n   u s i n g   n o r m a l   b a c k s t e p p i n g   c o n t r o l ( O s c i l l a t i o n   i n   s t a b i l i z i n g   s t a t e ) - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 - 1 2 - 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 x 1 x 2 S t a b i l i z a t i o n   u s i n g   b o u n d e d   c o n t r o l s S t a b i l i z a t i o n   u s i n g   n o r m a l   c o n t r o l s Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I SS N :   2088 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   2 A p r il 2 0 1 9   :     1 0 9 0   -   1099   1098             (                        (                                         ( 3 0 )     w h er     is   th n u m b er   o f   in te g r al  p ar in   E u ler ' s   ap p r o x i m atio n ,           is   th co n tr o s ig n al  d u r atio n   a n d         (               is   t h d u r atio n   ( o r   in ter v al)   f o r   ea ch   in te g r al  p ar in   s ec o n d s .   W ith     (       [       ]   an d   s i g n a l   in ter v a                 s ec o n d s ,   T ab le  2   tab u lates   th e   en er g y ,   p o w er   an d   th i n itial   co n tr o m ag n it u d f o r   b o th   co n tr o ller s   w ith in        s ec o n d s   o f   s tab ilizatio n   p r o ce s s .       T ab le  2 .   P er f o r m a n ce   in d ice s   f o r   co n tr o ller s   ( 1 9 )   an d   ( 2 5 )     T o t a l   En e r g y   ( Jo u l e )   A v e r a g e   P o w e r   ( w a t t )   I n i t i a l   c o n t r o l   mag n i t u d e   ( u n i t )   N o r mal   C o n t r o l   i n   ( 1 9 )   2 8 0 6 6 0   8 . 6 6 6 3   x   1 0 - 4   |   |         B o u n d e d   C o n t r o l   i n   ( 2 5 )   6 2 3 . 9 5 5   4 . 2 0 2 9   x   1 0 - 4   |            |                7.   DIS CU SS I O N   T h is   ar ticle  p r esen ted   d id ac ti ap p r o ac h   to   s tab ilize  u n ce r tain   n o n l in ea r   n u m er ical  s y s te m .   T h e   co n tr o ller   h as  b ee n   d ev elo p ed   u s i n g   b ac k s tep p in g   tec h n iq u an d   L y ap u n o v   r ed esig n .   T h er ef o r e,   th co n tr o l   la w   is   co n tin u o u s   a n d   d o es  n o r eq u ir h i g h   f r eq u en c y   s w itc h i n g   w h ich   n o r m a ll y   n o t   s u itab le  f o r   s o m e   ap p licatio n   th at  r eq u ir co n ti n u o u s   co n tr o s i g n als.  I n   s o m ap p licatio n ,   th co n tr o s i g n al   h as  to   b b o u n d ed   w it h i n   ad m i s s ib le  s et  o f   i n p u t s .   As  s u ch ,   t h i m p r o v e m e n h as  b ee n   m ad to   p r o d u ce   r o b u s co n tr o l a w   t h at   is   allo w ed   to   b b o u n d ed   w i th o u ca ta s tr o p h ic  e f f ec t s   to   s y s te m   p er f o r m an ce   a n d   s tab ilit y .   Fo r   b o u n d ed   co n tr o la w ,   t h n u m b er   o f   co n tr o p ar a m eter s   th a n ee d   to   b d ef i n ed   h a v b ee n   r ed u ce d .   B o u n d ed   co n tr o ller   co n s u m e s   les s   en er g y   a s   w ell   as  less   a v er ag p o w er   f o r   s t ab ilizatio n   p r o ce s s .   T o   s tab ilize  th s y s te m   w i t h     (       [       ] ,   b o u n d ed   co n tr o ller   r eq u ir es  o n l y   6 2 3 . 9 5 5   jo u le  en er g y   w it h   a v er ag p o w er   4 . 2 0 2 9   x   1 0 - 4   w a t t   as  co m p ar ed   to   n o r m al  co n tr o ller   w h ich   r eq u ir 2 8 0 6 6 0   jo u le  an d   8 . 6 6 6 3   x   1 0 - 4   w att   r es p ec tiv el y .   B o u n d ed   co n tr o ller   p r o d u ce s   in itial   co n tr o ar o u n d   |            |            u n it s   w h ich   is   lo w er   t h a n   th e   s i g n al  p r o d u ce d   b y   n o r m al  co n tr o ller ,   i.e   |   |         u n its .       ACK NO WL E D G E M E NT S   W ac k n o w led g t h C e n ter   f o r   R o b o tics   an d   I n d u s tr ial  Au to m atio n ,   U n i v er s iti  T ek n ik al   Ma la y s i a   Me lak ( UT eM )   FOR   r esear ch   f ac ilit ie s ,   r esear ch   co llab o r atio n   an d   r esear ch   g r an f u n cd i n g   Vo te  No :   FR GS /1 /2 0 1 5 / T K0 4 /FKE/0 3 / F0 0 2 5 9   an d   PJ P /2 0 1 5 /FKE( 2 1 C ) S0 1 6 4 1 .       RE F E R E NC E S   [1 ]   J.  M o re n o ,   Ex p e rim e n tal  Co m p a riso n   o f   S a tu ra ted   V e l o c i ty   Co n tro ll e rs  f o DC  M o t o rs,”   J o u r n a o El e c trica l   En g i n e e rin g ,   v o l.   5 9 ,   p p .   2 5 4 - 2 5 9 ,   2 0 0 8 .   [2 ]   S .   M .   M a d a n i - Esf a h a n i,   M .   Ha c h e d ,   e t   a l . ,   Esti m a ti o n   o f   slid i n g   m o d e   d o m a in o f   u n c e rtain   v a riab le  stru c t u re   s y ste m s w it h   b o u n d e d   c o n tr o ll e rs ,   IEE T r a n sa c ti o n s   o n   Au to ma t ic Co n tr o l ,   v o l .   3 5 (4 ) ,   p p .   4 4 6 - 4 4 9 ,   1 9 9 0 .   [3 ]   H.  H.  Ch o a n d   M .   J.   Ch u n g ,   Esti m a ti o n   o f   th e   a sy m p to ti c   sta b il it y   re g io n   o f   u n c e rtain   sy ste m w it h   b o u n d e d   slid in g   m o d e   c o n tro ll e rs,”   IEE T ra n sa c ti o n o n   Au t o ma ti c   C o n tro l ,   v o l.   3 9 ( 1 1 ),   p p .   2 2 7 5 - 2 2 7 8 ,   1 9 9 4 .   [4 ]   H.  H.  Ch o i ,   A n   a n a ly sis  a n d   d e sig n   m e th o d   f o u n c e rtain   v a riab le  stru c tu re   s y ste m w it h   b o u n d e d   c o n tr o ll e rs,”   IEE T ra n sa c ti o n o n   Au t o ma t ic Co n tro l ,   v o l.   4 9 (4 ) ,   p p .   6 0 2 - 6 0 7 ,   2 0 0 4 .   [5 ]   B.   Erk a a n d   H.  De m irel,   P e rf o rm a n c e   e v a lu a ti o n   o f   a   f u z z y   v a r iab le  stru c tu re   sa telli te  a tt it u d e   c o n tr o ll e u n d e r   se n so d a ta d e lay , ”  T u rk ish   J o u r n a o El e c trica En g in e e rin g   &   Co mp u ter   S c ien c e s ,   v o l.   2 2 ,   p p .   5 1 7 - 5 2 8 ,   2 0 1 4 .   [6 ]   W .   Yu n - ji e ,   H.  Yu e - y a n g   a n d   L .   X iao - d o n g ,   De sig n   M e th o d   o f   A c ti v e   Di stu rb a n c e   Re jec ti o n   V a riab l e   S tru c tu re   Co n tr o S y ste m , ”  M a th e ma ti c a P ro b lem s in   En g in e e rin g ,   v o l .   2 0 1 5   p p .   1 - 9 ,   2 0 1 5 .   [7 ]   K.  W .   Gw a k   a n d   G .   Y.  M a sa d a ,   No n li n e a Op ti m a Co n tro o f   a n   In p u t - C o n stra in e d   a n d   E n c lo se d   T h e r m a P r o c e ss in g   S y ste m ,”   In ter n a ti o n a J o u rn a o C o n tr o l,   Au t o ma ti o n ,   a n d   S y ste ms ,   v o l.   6 ( 2 ),   p p .   1 6 0 - 1 7 0 ,   2 0 0 8 .   [8 ]   H.  Ja y a k o d y   a n d   J.  Ka t u p it iy a ,   A   g a in   a d a p ti v e   V a riab le  S tr u c tu re   C o n tr o m e th o d o lo g y   f o r   se c o n d   o r d e r   n o n li n e a d y n a m ic  s y ste m s , ”  IE EE   5 3 rd   An n u a Co n fer e n c e   o n   De c isio n   a n d   Co n tro ( CDC) ,   L o A n g e le s,  Ca li f o rn ia,  USA ,   p p .   4 3 9 1 - 4 3 9 7 ,   2 0 1 4 .   [9 ]   C.   Je a n g - L in   a n d   T .   Ju i - Ch e ,   D y n a m ic  Ou tp u F e e d b a c k   S li d in g   M o d e   Co n tro ll e r   De sig n   F o C h a tt e rin g   Av o id a n c e , ”  J o u rn a o M a ri n e   S c ien c e   a n d   T e c h n o lo g y ,   v o l.   2 2 (3 ),   p p .   2 7 7 - 2 8 4 ,   2 0 1 4 .   [1 0 ]   H.  H.  Ch o i,   A   n e w   m e th o d   f o v a riab le  stru c tu re   c o n tro l   sy ste m   d e sig n A   li n e a m a tri x   in e q u a li ty   a p p ro a c h ,   Au to m a ti c a ,   v o l.   3 3 ,   p p .   2 0 8 9 - 2 0 9 2 ,   1 9 9 7 .   [1 1 ]   F ,   L iao   a n d   L .   L i ,   Ro b u st  p re v iew   c o n tro f o u n c e rtain   d isc re te - ti m e   s y ste m b a se d   o n   L M I , ”  O p ti ma C o n tr o l   Ap p li c a ti o n a n d   M e th o d s ,   v o l.   3 8 (1 ),   2 0 1 7 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       N ew r o b u s t b o u n d ed   c o n tr o l f o r   u n ce r ta in   n o n lin ea r   s ystem  u s in g   ( Mu h a mma d   N iz a m   K a ma r u d in )   1099   [1 2 ]   M .   Niz a m   Ka m a ru d in ,   S .   M d .   R o z a li   a n d   A .   Ra sh id   Hu sa in ,   Ob se rv e r - b a se d   o u tp u f e e d b a c k   c o n tro w it h   li n e a r   q u a d ra ti c   p e rf o rm a n c e , ”  Pro c e d ia   En g in e e rin g ,   v o l.   5 3 ,   p p .   2 3 3 - 2 4 0 ,   2 0 1 3 .   [1 3 ]   C.   P .   T a n   a n d   C.   Ed w a rd s,  A n   L M a p p ro a c h   f o d e sig n i n g   slid in g   m o d e   o b se rv e rs,”   In ter n a ti o n a J o u r n a o f   Co n tro l ,   v o l.   7 4 ,   p p .   1 5 5 9 - 1 5 6 8 ,   2 0 1 0 .   [1 4 ]   S .   M d .   R o z a li ,   M .   Niz a m   Ka m a ru d i n ,   M .   F u a ' a d   Ra h m a a n d   A .   Ra sh id   Hu sa in ,   A s y m p to ti c   T r a c k in g   P o siti o n   Co n tr o f o No n li n e a S y ste m s u sin g   Ba c k ste p p in g T e c h n iq u e , ”  Pro c e d ia   E n g i n e e rin g ,   v o l.   5 3 ,   p p .   2 5 5 - 2 6 3 ,   2 0 1 3 .   [1 5 ]   M u h a m m a d   Niz a m   K a m a ru d in ,   A b d u Ra sh id   Hu sa i n ,   M o h a m a d   No h   A h m a d ,   Zah a ru d d in   M o h a m e d ,   Un iv e rsa F o rm u la  f o As y m p to ti c   S tab il iza ti o n   w it h   Bo u n d e d   C o n tr o ls , ”  In ter n a ti o n a J o u rn a l   o El e c trica a n d   Co mp u t e r E n g in e e rin g ,   v o l.   5 ( 1 ),   p p .   1 1 1 - 1 1 8 ,   2 0 1 5 .   [1 6 ]   K.  B.   Ng o ,   R.   M a h o n y ,   e a l. ,   In teg ra to b a c k ste p p in g   d e sig n   fo m o ti o n   s y ste m w it h   v e lo c it y   c o n stra in t,   5 th   Asia n   C o n tro C o n fer e n c e .   2 0 0 4 .   [1 7 ]   C.   W e n ,   J.  Zh o u ,   e a l . ,   Ro b u st  A d a p ti v e   Co n tro o f   Un c e rtain   No n li n e a S y ste m s   in   th e   P re se n c e   o In p u S a tu ra ti o n   a n d   Ex tern a Dist u rb a n c e ,   IEE T ra n sa c ti o n s o n   A u t o ma ti c   Co n tro l ,   v o l.   5 6 (7 ),   p p .   1 6 7 2 - 1 6 7 8 ,   2 0 1 1 .   [1 8 ]   R.   R.   G u p ta  a n d   V .   V .   C h a lam ,   Ly a p u n o v   Re d e sig n   Of   M o d e R e f e re n c e   A d a p ti v e   Co n tro l   S y ste m s,”   J o u rn a l   o f   th e   In stit u ti o n   o El e c tro n ics   a n d   T e lec o mm u n ica ti o n   En g in e e rs ,   v o l.   2 5 ( 1 1 ),   p p .   4 5 6 - 4 6 1 ,   1 9 7 9 .   [1 9 ]   H.  Ka n g ,   G .   V a c h tse v a n o a n d   F .   L .   L e w is,   Ly a p u n o v   Re d e si g n   F o S tru c tu ra Co n v e rg e n c e   I m p ro v e m e n In   A d a p ti v e   Co n tro l,   I EE T r a n s a c ti o n o n   Au t o ma t ic Co n tro l ,   v o l.   3 5 ( 2 ),   p p .   2 5 0 - 2 5 3 ,   1 9 9 0 .   [2 0 ]   M .   N.  Ka m a ru d in ,   A .   R.   Hu sa i n   a n d   M .   N.  A h m a d ,   Co n tro l   o f   Un c e rtain   No n li n e a S y ste m u sin g   M ix e d   No n li n e a Da m p in g   F u n c t i o n   a n d   Ba c k ste p p in g   T e c h n iq u e s,”   IE EE   In ter n a ti o n a Co n fer e n c e   o n   Co n tro S y ste m,   Co mp u t in g   a n d   En g in e e rin g ,   p p .   1 0 5 - 1 0 9 ,   2 0 1 2 .   [2 1 ]   G .   M o n tas e ri  a n d   M .   J.  Ya z d a n p a n a h ,   A d a p ti v e   c o n tro o f   u n c e rt a in   n o n li n e a s y ste m u sin g   m ix e d   b a c k ste p p in g   a n d   L y a p u n o v   re d e sig n   tec h n iq u e s,”   Co mm u n ica ti o n in   N o n li n e a S c ien c e   a n d   N u me ric a S im u l a ti o n ,   v o l .   1 7 (8 ):   3 3 6 7 - 3 3 8 0 ,   2 0 1 2 .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.