Int ern at i onal  Journ al   of El e ctrical  an d  Co mput er  En gin eeri ng   (IJ E C E)   Vo l.   11 ,  No.   1 ,  Febr uar y   2021 , pp.  133 ~ 145   IS S N: 20 88 - 8708 ,  DOI: 10 .11 591/ ijece . v11 i 1 . pp 133 - 145          133       Journ al h om e page :  http: // ij ece.i aesc or e.c om   Param eters estim atio n  of  BLDC m otor bas ed on   ph ysical  approa ch  and we ighted  recursive l east squ are   algorith m       Rania  M ajdoubi 1 ,  Lh ou ss ai ne  M as m oudi 2 ,  M ohamme d  Bakh ti 3 ,    Ab derr ahman e  El ha ri f 4 ,   Bo ua z z a  Jabri 5   1 ,2 , 4,5 LCS L abor a tor y ,   Fa cul t y   of   S ci ence, Moham m ed  V Unive rsit y   in  R aba t ,   Mor occ o     3 L2MC  La bor ator y ,   ENSA M ,   M oulay   Ism ai l   Uni ver sit y   in  M ek n e s ,   M oroc co         Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   A pr   11, 202 0   Re vised  Jun   2 0 , 2020   Accepte d  Aug 4 , 2 020       Brushless  DC   m otors  (BLD C M)  are   widely   used  when  hi gh  pre ci sio n   conve rt ers  are   req uire d .   Model  base d  torque  cont rol  sche m es  rely   o n     a  pre ci se  rep r ese ntation  of  the i r  d y namics,   wh ic h  in  turn  exp ec t  re li ab le  s y stem  par ameters   esti m at ion .   In   thi s  pap er,  we  propose  two  pro ce dure s  fo r  BLDCM  par amete rs  id ent if ication  used  in  an  agr ic u lt ure   m ob il e  robot ’s  whee l .   Th e  first   one  is  base d   o n  the  ph y s ic a l  a pproa ch  or   equ a ti ons  using  expe riment at ion   dat a  to  find  th e  elec tr ical  and   m ec hani c al   p ar amete rs  o f     the   B LDCM.  T he  par amete rs  are   the n   u sed  t o  elabora t e  the  m odel   o f     the   m otor  esta b li shed  in  Park’s   ref ere n ce   fr ame.   Th e  sec ond  proc edur e  is    an  onli ne  id e nti ficat ion  base d  on  rec ursive  le ast  square   al gorit hm .     The   pro ce dur e   is  implement e d  in  a   c losed - loop  sche m e  t o  guar an te e    the   stab il i t y   o f  the   s y s te m ,   and   it   provid e  par a m et er  m at ri ces   obta in ed  b y   tra nsform ing  el e ct ri ca l  equa t ion s ,   esta b li shed  in  Parks  ref ere nc e  fra m e,   an d   m ec hani c al  equation  to   discr et e - t ime  dom ai n.   Fro m   the se  m at ri ces ,   and   using   well   form ula t ed   int ermedi ate  va ria bl es,   a ll   d esir ed  par amete rs  a re  dedu ce d   sim ult ane ousl y .   The   ide n ti fi cation  proc edur es   are  bei ng   ver ifi ed  usin g   sim ula ti on  und er   Matlab - Sim uli n k  software .   Ke yw or d s :   Brushle ss  DC  m oto rs   On li ne  ide ntific at ion   Param et e r s i den ti ficat ion   Par k' s r efe ren c e fr am e   P hysic al   ap pro ach   W ei ghte d rec ursive lea st s qua re   This   is an  open   acc ess arti cl e   un der  the  CC  B Y - SA   l ic ense .     Corres pond in g  Aut h or :   Ra nia  Ma jdou bi ,    LCS La borato r y, Faculty  of  S ci ence,    Moh am m e d  V Un i ver sit y i n  Ra bat ,    4 Ibn Bat outa   Road , P.O . Box  1014 ,  Ra bat ,  Mor occo .   Em a il :  ran ia _m ajd ou bi@ um5.ac.m a       1.   INTROD U CTION   Syst e m s  identific at ion   is  a  m ajor  pre occupa ti on   in  the  m ajo rity   of   sci e ntific   disci plines .   It  ref e rs  to   bo t h  a  sci entifi c  app r oac h  an d  a  set   of   te ch niques  that  re pro du ce  as  fai thf ully   as  po ss ible  the  beh a vi or   of    a  ph ysi cal   syst e m   [1] .  Param et er  identific at ion   is  us e d  to  obta in  a n  accu ra te   m od el   of  a  r eal   syst e m ,  pr ovide s   an  ap pro pr ia te   platfo rm   fo r  f ur t her   de sig n  dev el op m ents  and / or   the  st udy  of   it s  co ntr ol  strat egies.  I nd ee d,    the contr ol  of industrial   proce sses usuall y re qu i res  the  use  of r el ia ble m odel s that are  clo se to  physi cal  re al it y.     On ce   the   m od el   of  a  syst e m   is  set ,  it   is   nece ssary  to   a pp ly   identific at ion  m et ho ds  in   ord er  to   m at ch,  as  accuratel y  as  po ssi ble,  the   beh a viour  of   the  m od el   and  that  of   the  ta rg et ed  syst em .  Id e ntifyi ng   a  s yst e m   consi sts  of   a  de scriptio n  of  its  beh a vior  bas ed  on  the  exp e rim ental  data  a nd   a ny  apr io ri  av ai la ble  know le dge   us e d  to   buil d  a   m at he m a ti cal   m od el   with  ide ntica l  dynam ic  be ha vio r   [ 2,  3] .   In  a uto m at ic  co ntr ol,  t he  sy stem   identific at ion   i s  on e  of  the  fund am ental   and  essenti al   ste ps   pr io r  to  syst em   analy sis   achieved  by  co nd ucted  si m ulati on   or  con t ro l  al gorithm s  synth e sis.   It  ca n  be  groupe d  int o  t w o  m ai n  fam ili es:   N on - pa ra m et ric  identific at ion  and  par am et ric   ide ntific at ion   as  de scribe d  by   I.   Z.   Ma t  in   [ 4] .  T he  m os t  im po rtant  pro blem s  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  11 , No .  1,   Febr uar y  2021  :    13 3  -   145   134   fou nd   i n  m ec hatr on ic   syst e m   is  that  the  char act e risti cs  of   brus hless  d c  m oto rs  (B LDCMs)  a re  of te n  not   avail able  since   the  en gin e   m a nufactu rer   doe sn ’t  c omm un ic at e  add it io nal  detai ls  about  t he  product.  A no t her   pro blem   is  tha t  the  BLDCM s   need   to  be  cal ibrated  du ring   pr e ve ntive  insp ect io n  to  perform   any  c on t rol   op e rati on c orre ct ly   [5] .      In   this  pa per ,  we  f ocus  on  pa ram et ric  identific at ion   becau s e  the  m od el   is  base d  on  the  physi cs  la ws .   We,  t her e f or e,   ha ve  a   set   of  ph ysi cal   para m et ers  to  be   identifie d,  m akin g  non - pa r a m et ric  identif ic at ion   us el ess.  Fortu natel y,  the  pa ram et er  est i m at ion   of  m echatronic   syst em s  has   bee n  a n  i m po rta nt  to pic   in  li te ratur e,  am on g  them   the  t rad it io nal  theo ry  wh ic h  is  de velo ped   in  th e  pap e rs   [6 - 9].   Ma ny  author s  us e   diff e re nt  sens or le ss  te ch niques  [ 10]   to  est i m at e   m oto r  par am et ers.   Ther e f or e,  t he   sensorless  te chn i qu e s   m entioned  in   the  li te ratu re  a r e  cl assifi ed   int o  c ounter - el ect ro m otive  f or ce ,  in duct ion  va r ia ti on ,  obser ve rs  a nd   intel li gen t  m eth ods  a s  detai le d  in   [ 11,  12 ] .   I n  par ti cular ,  va rio us   m et ho ds  hav e   bee n  a ppli ed  to  t he  brus hless  DC  m oto r  f or  t he  ide nt ific at io n  of   m oto r   pa r a m et ers.   Seve r al   stud ie s  us e   the  al ge brai c  id entifi cat ion   m et hod  as  detai le d  by  G.   Ma m ani  and  al l  in  pa pe rs   [ 13,  14] .  K rn et a  a nd  al l  in   [ 15] ,  Ye hia  and  al l  in  [16]   us e     the  rec ur si ve  le ast   sq ua res   al gorithm   m e thod.  Ri j a d  a nd   al l   in  [17]   pro po se  a  ne w  ap pro ach  to  li nea r  c on t ro l  syst e m s  in  cl os ed  lo op  to   id entify   m oto r  pa ram et ers.   Som e  m et ho ds   i den ti fy  m oto r  par am et ers  by   us in g  par ti cula r  signa ls  or   unde r  ce rtai n  load  c ondi ti on s  as  detai le d  in  the  pa pe r   [18] ,  bu t  this  te chn iq ue  is  ha rd   to   be  achie ved   be cause  it   is  diff i cult   to   both ;   id entify   the  m ot or   par am et ers  unde r  m oto r  con t ro l  a nd   to  r esp ond  to   ch an ges  i n  these  par am et e rs.   Othe r  m et ho ds  are   us ed   t o  on li ne  ide ntify  m oto r  par a m et ers  as  deta il ed  i n  pap e rs  [ 19]   an d   [ 20 ] ,  In   on e  m et hod   [ 19] ,  the  accu racy  of   the  identifie d  par am et ers  depends  on  the  ac cur acy   of   the  est im a tio n,  beca us e  r ot or   posit ion   a nd  sp ee d  are  use d  to  identify   the  m oto r  pa ra m et ers,   and   A no t her  m et ho d   [ 20] ,  the  sta tor  resis ta nce  and   bac k  EMF  co ns ta nt  are  identifi ed,   but  the  in du ct a nces  can no t  be   identifie d.  A nd reev   a nd  al l  in   [21]   pro pose  an  al gorithm   wh ic h  is  bas ed   on   t he  a naly sis  of   a   cu rr e nt  tub e  of  el ect ric  m oto r  ph a ses  to   ide ntify  m oto r  pa ra m et ers.   Frolo v  an d  al l  in   [ 22]   us e  op e rati on al   m od e  t o  ide ntify   m oto r  par am eter s.  Anothe r  t echn i qu e  t o  id entify   m oto r  pa ram et ers  is  elab orat ed  by  K at arzyna  in   [23]  that   us es t he geneti c algori thm .     Ba sed  on  the  m et ho ds   m entio ne d  ab ove,  w e  fo rm   the  ob je ct ive  wh ic h  will   be  the  el e ct rical   an d  m echan ic al   pa ram et er  est i m a ti on   of  a  B L D C  m oto r  to  c ontr ol  the   tor qu e  ada pted   to   th e  w heels  of  a  m ob il e   agr ic ultur al   robo t  i n  s of t  s oil   [ 24,  25 ] .  Ther e f or e,   in  this  pa per  tw o  m et ho ds  ha ve  been  ch ose n  f or     the  est i m at ion   of   t hese  par a m et ers  on   w hich  ones  le a ds   to  the  oth e r:   the  fi rst  one  c on ce r ns   the  physi cal   appr oach   th r ough   m oto r  e qu at ion s  in  c onti nuou s - ti m e  with  t he  hel p  of  ex pe rim ental   data,   and   the o the r  on e  is   us in g  the   wei ghte d  recursive   le ast   sq ua re  a lgorit hm   thro ugh  m od el in g  a nd   re gu la ti ng  t he  BL DC  m ot or   t o  ens ur e  the  sta bili ty   of   the  s yst e m .  Hen ce,   this  est i m at io n  is  done  in  di screte - tim e  of   the  inv erse  m od el s   est ablished  in Par ks  fram e u sing  m et ho ds o f  the inp ut erro r  ty pe  m ini m iz i ng the  dif fer e nc e b et wee n  t he  actual   input  an d  t he  i nput  est im at ed   by  the   in ver se   m od el .  This  t echn i qu e   pr ov i des  al s o  a  se nsorless  e stim at i on  of   the ang ular vel ocity  an d t he  torq ue gene rate d by the m oto r .     The  rem ai nin g  of   this  pa per  is  or ga nized   as  fo ll ows:  In   sect ion   2,   we  present  th e  Param et er  identific at ion  m et ho ds   t hat  include   the  physi cal   appr oa ch  m et ho d   a nd   the  onli ne  est i m ation   m e thod.     S ect ion  3  is  a bout  t he  res ult  of  these   m et ho ds.  Hen ce ,  in   th e  physi cal   ap proach,  we  will   identify   t he  el e ct rical   and   m echan ic a l  par am et ers  us ing   e xp e rim ent at ion   set - up   i n  the  case  of   t he  m oto r  without  ta kin g  i nto   acc ount   the  com m utatio n.  On ce  t he  physi cal   identifi cat ion   is  ac hieved,  the   f ound  par am et ers  are   ap plied  to  t he  on li ne   est i m ation   ap proac h  base d  on   the  weigh te d  r ecur si ve  le ast   sq ua re  al gorith m   wh ic h  is  validat ed  unde r  Ma tl ab - Si m ulink  s of t w are. Fi nally , s e ct ion   4  c on cl udes t he pape r  a nd for m ulate  so m e su ggest io ns   for fut ur e  work.       2.   PARA METE RS  I DE NTIFI CA TI ON ME THOD S   2.1.   Ph ys ic al  ap pr oach   met ho d   2.1.1.  BL DC  Mot or  m od el ing     In  the case wh ere co m m utati on  is not ta ken  into  acco un t, t he  m a the m at ical  m od el ing  o f t he  BLD C M   is   si m plifie d  by  the elect rical  an d t he  m echa nical  equati ons .   Ele ct rical  equ at ion   is   pr e sent ed  in  (1) .     =  +   +     (1)   e =                     The  m echan ic a l equ at io n  is   pr esented  in ( 2 ).      − = +     ( 2 )    =                     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Parameters  est imatio n of BL DC moto r  ba se d on …  ( R ania  Majd oubi )   135   Wh e re :   V  is  t he  m oto r  te rm inal  vo lt ag e,    is  the  windin g  current,  e  is  the  bac k - EM F   of   the  m oto r ,   p  is     the  nu m ber  of   pole   pairs   of  the  m oto r,   R  i s  the   te rm inal  resist ance,     is   the  m axi m u m   flu x  pro du ce d  by    the  ro t or  in   a   s ta tor  windin g,  J  is   the   ine rtia   of  the   ro t or,      is   the   m oto r   to rque  pro vid e d  by  the   sta to r,     is   the  loa d  resist ance  t orque  a nd    is  the   vis cous  fr ic ti on  c oeffici ent.   The n,  the  el ect ric al   an d  m echan ic al   par am et ers  can  b e e stim at ed  exp e rim ental l y usin g  t hese e quat ions.     2.1.2.  Es tima ti on   of ele ct ri c al  a nd  mech an i cal p arameter s   a)   Re sist ance es ti m at ion  m et ho d   The  resist ance   R  can  be  dire ct ly   m easur ed  by  m eans  of   a n  oh m m et er.  The  value  i nd ic at ed  by  t his   instru m ent  m us t  be  a da pted   t o  the   sta tor   c ouplin g:  T rian gl e  (∆)  or  Star  ( Y) .   F or  this  re aso n,   t he  c oeff ic ie nt     m us t  be  cal culat ed  to  determ ine  the  ty pe   of  co nnect io n.   Hen ce ,  we  cal culat e   the  repor t  as   m entioned   a s   fo ll ows:     = 2 1     (3)     w he re:   1   is t he  m easur e d resist ance  be tween  phases ,   2   is t he resi sta nc e m easur ed bet ween t w o ph a s es an d  t he  thi rd one.   If    =0 .75, t he  c oup li ng is  Star  and the  resist a nce R is   1 2   If    =0 .5, the  coup li ng is  Tr ia ngle  and t he resi sta nce R is  1     b)   Ind uctance esti m at ion  m et ho d   A   sig nal   or   f un ct ion   ge ne rato r   was  use d  for  t he  est im a ti on .  Th us ,  we  ap plied  a  kn own  am plit ud e  a nd  fr e qu e ncy  v oltage  bet ween   t wo   m oto r  ph as es  and   m easure   the  curre nt  flow i ng   t hroug h  t he  windin gs   us in g  a n  a m per m et er  the m od ule of sta tor  im ped ance     is ex pr e ssed  in  the  (4).     | | = √ 2 + (  ) 2 = 2   (4)   = 2      w he re:   R i s the  value   of the  resist anc e pr evi ou sly  es tim a te d,   V  is t he  am plitu de  of t he vo lt age a pp li e d between  tw o ph a s es,     is t he  c urre nt  m easur ed  whil e ap plyi ng  t he vo lt age  V,     is t he p ulsati on  of the  volt ag e ap plied t o  the  phases  of the   m oto r,     is t he fre quenc y of t he v oltag e ap plied  bet w een tw o p hases .     c)   Ma xim u m   m agn et ic  f lu x  est i m at ion  m et ho d   Accor ding  t o  (1),  to   est im ate  the   c onsta nt   ,  a   ste ady   vo lt age  is   ap plied  t o  the   m oto r.  T hen,    the curre nt  bec om es stea dy   (   = 0 ),  h e nce th e  in du ct ion  term  can be  delet ed  a nd  the (1)  b ec om es:     = +   (5)     d)   Visco us   f r i c t i on   c oe f f i c i e nt   e st im a ti on   m e t ho d   At  a  gi ven  cu rr e nt  a  c on sta nt  an gula r  velocit y  is  achiev ed.   T he n,   we  get     = 0 .  From   the  ( 2 ) ,     we get  the  ( 6 ).         = +   (6)     e)   Mom ent o f  ine rtia  estim at ion  m et ho d   Wh e n  the  m ot or   is  powe red   for  a  per io d  of   tim e  and   then  cut  off,   the  an gu la r  velocit y  char act e risti c  as a fu nction o f  ti m e is def ine d  as  sho wn  in  Figure  1.   And  acc ordi ng to  the  ( 2 ) , we   get the  f ollow i ng equati on:     = −  +   ( 7 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  11 , No .  1,   Febr uar y  2021  :    13 3  -   145   136   Our  m easur em ent  can not  be  done  durin g  tr ansient  ph a se ,   because   the  ti m e  is  ver y  sho rt   (im po ssibl e   for  m easur em e nt),   sim il ar  pu rpose  as  in   t he   ste ady  sta te   becau se     = 0 .   Hen c e  the  m easur em ent  is  do ne   durin g  t he  c oas ti ng   ph a se  wh il e seve ral resist ive to rques  a re  app li ed .           Figure  1 .  P has es of the  ω  c ha racteri sti c as a  functi on  of  ti m e       2.2.     O nli ne e stima tion a pp roa c h   2.2.1.  El ectric al and  mech ani cal BL D C  motor  mo deli ng     The  direct  m od el   of  the  BLDC   m oto r  was  de velo pe d  us in g  MAT LAB  Sim ulin k  software  as   descr i bed  in   F igure  2,  but  th ei r  in ver se   m od el   that  will   be   us e d  in  our   work  is  obta in ed  from   the  m otor   m od el ing  in  th e Par k' s r efe re nce  fr am e : El e ct rical  eq uatio ns   a nd  m echani cal  eq uatio n  a s d esc ribe d   in   [ 26 - 29] .           Figure   2 .  Sim ulati on  of BL D C m oto r  with c lose  lo op  re gula ti on       Tw o  eq uatio ns  will   be  us ef ul   for  the   ide ntif ic at ion   of  the   el ect rical   par a m et ers ,  these  e qu at io ns   a re  pr ese nted   as  fol lows :      = 1 ( − + +   )     ( 8 )        = 1 ( − + −   +  )     (9 )     a nd   to i den ti fy  the m echan ic al  p a ram et ers , we u se  the e quat ion  a s   s how n  i n ( 10 ).   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Parameters  est imatio n of BL DC moto r  ba se d on …  ( R ania  Majd oubi )   137     = 1 (  − )   (1 0 )     Wh e re :     and     a re   the   volt ages  pro j ect ed  in  pa rk’s  re fer e nce  fr am e,    and     a re  the  curre nts  pro j ect ed  i n  park’s re fer e nc e fr am e,     an d     a re th e  d ire ct  in du ct a nce a nd  quad rati c in du ct an ce .   I n o ur case ,   we  suppose  that  t he  m oto r  is  without sal ie nce , t hu s:     = =     The param et ers  to  be  i den ti fi ed  a re th e  elec tric al  p ar am et er s [ R, , , Φ ]  and m ec han ic al   par am et ers  [ ,J] .     2.2.2.  El ectric al and  mech ani cal BL D C  motor  mo dell ing   a)   Param et er  m at r ix esti m a ti on   The  est im a ti on   m et ho d  ide ntifie s  the  unkn own  el ect rical   and   m echan ic al   par am et ers  for  the  m otor   by  m eans  of  a  m at he m at ic a l  m od el   us in g  know n  values  s uch  as  vo lt a ge s,  cu rrents,   el ect ro m otive  tor qu e   an d  angular   v el ocity   as  sho wn   i n  ( 8 ),   ( 9 )  a nd  ( 1 0 ) .  I n  t his  case ,  the  weig hted   recursive   le ast   sq ua res  m et hod  was   chosen .   By  tra ns f or m ing   ( 8 ),  ( 9 )  a nd (1 0 )  i nto   discrete t im e.   The  stat e eq ua ti on s  bec om e:     [ i d ( n + 1 ) i q ( n + 1 ) ω ( n + 1 ) ] = A [ i d ( n ) i d ( n ) ω ( n ) ] + B [ V d ( n ) V q ( n ) C em ( n ) ] + C   f ( i d ( n ) , i q ( n ) , ω ( n ) )   (1 1 )     w he re:   A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 )   as     {             a 11 = 1 − R L d ∆ T a 22 = 1 − R L q ∆ T a 23 = p Φ m L q ∆ T a 3 3 = 1 − f v     J ∆ T a 12 = a 21 = a 13 = a 31 = a 32 = 0 ,     B = ( b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 )     as:     {         b 11 = 1 L d ∆ T b 22 = 1 L q ∆ T b 33 = 1 J ∆ T b 12 = b 13 = b 21 = b 23 = b 31 = b 32 = 0 ,     = (          )     as:     {         c 11 = p L q L d ∆ T c 22 = − p L d L q ∆ T c 12 = c 13 = c 21 = c 23 = c 31 = c 32 = c 33 = 0 ,     f ( i d ( n ) , i q ( n ) , ω ( n ) ) = ( i q ( n ) ω ( n ) i d ( n ) ω ( n ) ω ( n ) 2 )     The   ( 11 )  is t ra ns f or m ed  as  f ol lows :     =     ( 12 )     w he re:   = [ ( + 1 )         ( + 1 )         ( + 1 ) ]   Z p = [ i d ( n )     i q ( n )     ω ( n )     V d ( n )     V q ( n )     C em ( n )     ω ( n ) i q ( n )     ω ( n ) i d ( n )     ω ( n ) 2 ] T   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  11 , No .  1,   Febr uar y  2021  :    13 3  -   145   138   = ( 11 12 13 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 31 32 33 )       is  the  unkn own  m at rix  an d  def i ned   as   a  par am et er  m atr ix,  w hich  incl ud e s  the  el ect r ic al   and   m echan ic al   par am et ers  of   the  m oto r .   The  vect or s     et     are  known .  Where     is  the  re gr ess or,  a nd    i s     the m easur em e nt v ect or.      b)   Motor pa ram eter s esti m ation   In   order   t o  de te rm ine   the  el ect rical   and   m echan ic al   pa ra m et ers,   the  interm ediat e  par am et ers  ar e   form ulate d  f rom   par am e te r  m at rix    as  de fined  in   par a gr aph  a bove.  H ence,   we   obta in  the   fo ll owi ng  equ at io ns :     a = a 11 + a 22 = 2 − R ( L d + L q ) L d L q ∆ T     b = b 11 + b 22 = L d + L q L d L q ∆ T     c = a 22 − a 11 = − R ( L d − L q ) L d L q ∆ T     d = c 11 − c 22 = p ( L d 2 + L q 2 L d L q ) ∆ T     f = a 33 = 1 − f v ∆ T J     g = b 33 = ∆ T J     e = a 23 = p Φ m L q ∆ T       Using  these  int erm ediat e  var ia bles:  a,  b,   c ,  d,  e,  f,   a n d  g,   th e  el ect rical   and   m echan ic al   pa ram et ers  of  the m oto r  ar e  de du ce d  a s  pr es ented  a s foll ow s :     R ̂ = 2 − a b   (1 3 )     L d ̂ = 2   ( 2 − a ) b ( 2 − a − c ) ∆ T     ( 14 )     L q ̂ = 2   ( 2 − a ) b ( 2 − a + c ) ∆ T   ( 15 )     Φ m ̂ = 1 p 2e   ( 2 − a ) b ( 2 − a + c )   ( 16 )     J ̂ = ∆ T g     ( 17 )     f v ̂ = 1 − f g     ( 18 )       3.   RESU LT   A N D  I NTERP RE TATION   3.1.    P hy sic al  ap pr oach re su lt   3.1.1.  E xp eri ment al setup   Fo r  the  est im a ti on   of  the   BLDCM   par am eter s,  an  e xp e ri m ental   set up   is  descr i bed   as   pr ese nted  in   Figure   3 .   This   protoc ol is m ade  up of se ve ra l equ i pm ent li s te d  bel ow:       The br ushle ss  DC m oto r wh e el  + it s contr oller;     A DC ge ne rato r  to  sup ply t he m oto r;     A   sig nal   or   f un ct ion   gen e rato r   to s upply t he   m oto r  phases;     An  o sci ll os c op e to m easur e  volt age;     A  m ultim et er to  m easur e the  re sist ance   /   volt age  betwee n p hases;     A  c urren t  sens or to m easur e c urren t;     A  r otary e nc oder to m easur e a ngular  v el ocity ;   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Parameters  est imatio n of BL DC moto r  ba se d on …  ( R ania  Majd oubi )   139     An acq uisit ion  bo a r d  that al lo ws  c ollec ti ng  t he data  r ecei ve d from  sen sors  for  it s m anipu l at ion   [30] ;     A  c om pu te r  th at  en ables  the  vi su al iz at ion o f data ;     Weig hts that al low  c ha ng i ng the  resist i ve   to r qu e  appli ed  t o t he  w heel;   The  dia gr am   above  s hows  the  ex per im ental   pr ot oco l  to   est i m at e  the  el ect rical   and   m echan ic al   par am et ers  of t he  m oto r.           Figure  2 .  Expe rim ental   set up   to esti m a te  BLDC m oto r para m et ers       3.1.2.   Resul t o f  p ar amet ri c e stima tion     Fo r   this  m oto r  an d  wh il e  app ly in g  the  m et ho d  m entione d  i n  the  s ect ion   2,   the   couplin g  is     sta r - c onnected   because   t he  rati o     is  a bout:   = 2 1 = 0 . 75 1 = 0 . 75 .  Hen ce ,  t he  val ue  of  the   sta to r   resist anc e  is   = 1 2 = 0 . 5   Ω .  From  the ( 4 ) , we  ob ta in  the  e xpressi on of th e inducta nc e L  as sho wn as  fo l lows   :     L = √ V 2 − 4 ( iR ) 2 2i ω     ( 19 )     Hen ce ,  the   va lue  of  the   inducta nce   L  i s  ab ou t  = 0 . 68    .  T o  fin d   the   m a xim u m   m agn e ti c  flux    accor ding  t o  t he   res ult  obta in ed   in   e xp e rim e ntal  set up  c onf igured   in   Fig ure  3,  the   f ollo wing  ch aracte rist ic   (ω /i , V/i )  is  ge ner at e d   as  sho wn in F ig ur e  4 .   Th is  cha racteri sti c  is  fitt ing   by   a   te nd e ncy  li ne  to  est im at e  .   Th us ,  w hile  the  ( 5 )  is  c om par ed  t o  the  regressio n  li ne  ( /   =  0,0 502  /   +   0,7 056),   we   get  =   5 . 02   10 − 2 p ,  The n  = 5 . 02   10 − 2      ( p= 4  in   the  case  of   our  BL DC  m oto r ) .   T he  sam e  proce dure  as   ,  an d  acc ord ing   t o  the  e xperim ental   setu p  config ur e d  in   Fig ure  3 ,   th e  f ollo wing  c har act erist ic   ( , 1 = )   is  obta ined   in  Fi gure   5 .   Thi s   char act e risti c  is  inter po la te d  by  a  te nd e ncy  li ne  (y1   =  1 . 6   10 − 3     +   0,0 005)  a nd  c om par ed  t o  the   ( 6 ) .   He nce,   the  val ue of  th e fr ic ti on c oeff ic ie nt    is   ab out   = 1 . 6   10 − 3   − 1 − 1 .             Figure  4 .  ( ω/i , V/i )  c har act eri sti c o btaine d d ur i ng    the expe rim ent al  setup     Figure  5 .  ( ω , y 1=   ) )  cha racteri s ti c o btaine d  durin g  t he  e xperim ental  setup   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  11 , No .  1,   Febr uar y  2021  :    13 3  -   145   140       To  fin d  the   value   of   J,  t he  m easur em ent  is  done   du rin g  the   coasti ng  phas e  ( becau se   the   durati on  of  the  transiti on   ph a se  is   ver y  sh or t ).   A nd  wh e n  seve ral  resist ive  tor ques  are  app li ed   (sev eral  wei ghts  to     the  8 - inc h  w he el ),   acc ordin g  to  th e  m easurem ents  obta in ed  from   the  ex pe rim ental   set up   see  in   Fig ur e   3 ,    the  an gula r  vel ocity   of  the  w he el   is  quic kly  de creased   w hile   increasi ng  the  resist ive  to rqu e.  He nce,   we   obta in   the ang ular  acc el erati on s  duri ng 1 s  as  de fine d  in  Ta ble 1 as  fo ll ows :       Table  1 .  A ngul ar  velocit y wit h diff e re nt r esi sti ve  tor que a ppli ed  to  the  wh eel   W ei g h t   ( g )   T o r q u e   (Nm )   A n g u l a r  v e l o c it y     ( ra d / s )  a t  T i m e= 1   s   A n g u l a r  d e c el er a t io n       (r a d / s 2 )   0   0   30   - 0 . 5   100g   0 . 2   18   - 0 . 7   200g   0 . 4   10   - 1   300g   0 . 6   4   - 1 . 1       Hen ce   th e  c ha racter ist ic   (   , y2 =   )   is   giv e n  a s  f ollo ws   in   the   Fig ure  6 .   T his  c ha r act erist ic   is   fitt ed  by  a  regressio n  li ne  to   est i m a te   J ,  b y  identify ing   ( 7 )  wit h  the  te nd e ncy  li ne  (y2  =  0,064 4  / +  0,077 9),  we  obta in  = 0 . 0644  2 .   The  ph ys ic al   app r oac h  is  par ti cula rly   accurate  f or  the estim ation   of  th e   el ect rical   and  m echan ic al   par am et ers  of  the  m oto r,   it   sh ows  c om patible   with  th e  value  giv e n  at   the  bib li ogra phy.  Hen ce ,   the se  va lues  are   use d  to   est im a t e   al l  par am et ers  us i ng  wei gh te d  re cur si ve  le ast   s qu a re   al gorithm .           Figure  3 .  (   , 2   )   chara ct erist ic  o btai ned du rin g  the   exp e rim ental  setu p       3.2.      Onli ne es tim at i on   ap p ro ac h   3.2.1. P rel im in ar y  pr ocess     I n  t hi s   s e c ti on ,   w e   a pp l y   i de nt i f i c at i on   t e c hn i qu e   t o  t he   m otor   m od e l i ng   w hi l e   c on t r ol l i ng   t he   c ur r e nt   a nd   t he   a ng ul a r   v e l oc i t y   us i ng  P a r k' s   r e f e r e nc e   f r a m e  i n  or de r   t o  s im pl i f y   r e gu l a t i on   a s   f ou nd   i n   [31 - 3 4] .    T he   r e a l   va l ue s   of   t he s e   pa r a m e te r s   a r e   t a ke n  f r om   t he   ph y s i c al   a pp r oa c h  f o un d  pr e vi o us l y .   S im ul a ti on   a nd   c on t r ol   m od e l in g  a r e   do ne   us i ng   t he   M a t l a b  S im ul i nk   s of t w a r e   p r e s e nt e d   i n  F i gu r e   2 .   The  i den ti ficat ion   is   perform ed  bo t h  on - li ne  an d  in  cl os e d  lo op  to  m ai ntain  t he  sta bili ty   of   the  m oto r' s  beh avi or ,  a s  well   as   it s   dynam ic s  in  transient  sta te s.  The  ide ntific at ion   m et ho d  use d  to  i de ntify  par am et ers   is  known   as   the   i nput   error m et ho d   a nd   il lus trat ed  in  the  sc hem ati c d ia gram  as sh ow n  in  Fig ure  7 .   A s   t he   i nv e r t e r   ge ne r a t e s   no i s e   du r i ng   r un ni ng ,   i t   i s   im por t a nt   t o  f i l t e r  t he   m ea s ur e d   da t a   be f or e     t he   i de nt i f i c at io n  p r oc e s s .   T h e   r ol e   of   pr e - f i l t e r i ng   i s   t w o - f ol d :   T he   f i r s t   on e   i s   t o  e s t im a t e   t he   pa r am et e r s   of     t he   r e gr e s s i on   m at rix  withi n  the  fr e quen cy   bandw i dth  of   i nterest,  a nd   t he  sec ond  on e   is  to  de crease     the  va riance  of  the  est im at or .  T her e f or e,   a  non - cau sal   low - pa ss  filt er   ty pe  Butt er w or t h  wa s  ch ose n  f or  filt ering   th e  m easur e d  in puts  and   outp uts.  F ur t her m or e,  in  order   t o  kee p  inf or m at ion   on  the  syst e m   dyna m ic s,  we  ta ke   the   c utoff  pulsa ti on  of  this   filt er  su c h  as    =  4   et    =4    . Wh ere   the se  pa ram et ers  ar e   def i ned as  fo ll ow s:        is t he  c uto f f p ul sat ion   of  t he fil te r  relat ed  t o  t he  el ect rical  m easur em ents,        is t he  c utoff  pulsat ion o f  th e  filt er r el at ed  t o t he  m echan ic a l  m easur em ents,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Parameters  est imatio n of BL DC moto r  ba se d on …  ( R ania  Majd oubi )   141        is t he p ulsati on  of the c urre nt contr oller,        is t he p ulsati on  of t he  a ngula r veloci ty  contr oller.   The n  the  m eas ur ed   ,   ,   ,    ,   a nd   ,   are  obta ined  fro m  these  f il te red   data.           Figure  4 .  Par a m et ric identific at ion   base d on  input er ror       3.2.2.  Resul t o f appr oac h     To  i den ti fy  t he   pa ram et er  m atr ix     giv e n  in  ( 12)   (t he  in de x  p  de note s  the   el ect rical   an d  m echan ic al   par am et ers) ,  a  weig hted  rec ursive  le ast   s qu a re  al gorithm   is  us e d   [35 - 38] .   λ  is  de fine d  as   the  f orgett ing  f act or,   whose r ole is t o delet e p ast   da ta .     sta rt - up:     L e t' s   w a i t   un t i l  we   ha ve   e no ug h  da t a   t o  m a ke  R ( n= M )   r e ve r s i bl e .   a nd   s e t   w i t h:     { ( ) = − 1 ( ) ( ) ̂ = ( ) ( ) }   ( 13 )       I ni t i a li z e   w i t h  :     { ( 0 ) = 0                 0 > 0 ̂ ( ) = 0       }   ( 14 )       Ca lc ulate   the c orrecti on g ai n:     ( + 1 ) = ( ) λ + P ( n ) Z     (15)       Update P:     ( + 1 ) = 1 ( ( ) − ( + 1 ) ( ) )     (16)       Ou t pu t  Pr e dicti on :     ̂ ( + 1 ) = ( ) ̂   (17)       Updati ng  par a m et ers:     ( + 1 ) = ̂ ( ) ̂ + ( + 1 ) ( ( + 1 ) − ̂ ( + 1 ) )   (18)       Deduce  t he  el ect rical   and   m echan ic al   par a m et ers  with  th e  help  of   the   interm ediat e  var ia bles  ob ta in e d  from  the  com po ne nts  of the  pa ram et er’ s m a t rix     us i ng the  ( 13), ( 14), ( 15), ( 16),   ( 17)  a nd  (18).   S im ulati on  un de r  Sim ulink   giv es  u s ;   Mot or p a ram eter s a re  descr i be d  in  T a ble  2  a s foll ow s:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  11 , No .  1,   Febr uar y  2021  :    13 3  -   145   142     Table  2 .   M otor  p a ram et ers  est i m ation   us in g r ecur si ve  le ast  s qu a re al gorith m   R   L d   L q   ϕ m   J   f v   0 .45   0 .69 8 1   0 .70   1 .3   1 .06 9   1 .79       The  resu lt s  of   t he  se ns orl ess  e st i m ation   of  th e  direct  c urren t ,  qua dr at ic   cu r ren ts  a nd  an gu la r  velocit y   are   sho wn  i n  F igures  8 ,  9   an d  10 . In   th is   pa pe r  we  giv e  a  sa m pl ing   per io d  ∆ T = 2   10 − 3 s   an d   λ= 0.99.   W e  no ti ce  that  bo t h  the   c urren t  a nd  an gula r  velocit y   m easur e d  a nd  est i m at ed  cur ve s   co nve rg e p r od ucin g   a  sm al l  e rror   as   sh ow n  in  the  F igures  1 1 - 1 3.           Figure  5 .  Qua drat ic  cu r re nt m easur e d  a nd est i m at ed  as a fu nc ti on   of tim e           Figure  6 .  D irec t current m easur e d  a nd esti m at ed  as a  fun ct i on   of ti m e           Figure   10 . A ngular vel ocity  m easur e d  a nd est i m at ed  as a fu nc ti on   of tim e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.