I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   7 ,   No .   5 Octo b e r   2 0 1 7 ,   p p .   2 7 3 1 ~2 737   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v7 i 5 . pp 2 7 3 1 - 2 737          2731       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s jo u r n a l.c o m/o n lin e/in d ex . p h p /I JE C E   RCS of  Chiral Ell iptic  Cy lin der E mbedded i n Infi nite   Chira l Mediu m           A - K .   H a m id W.   O ba id   De p a rtme n o f   El e c tri c a a n d   Co m p u ter E n g in e e rin g ,   Co l leg e   o f   En g in e e rin g ,   Un iv e rsity   o f   S h a rjah ,   S h a rjah ,   UA       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J an   2 9 ,   2 0 1 7   R ev i s ed   J u n   10 ,   2 0 1 7   A cc ep ted   A u g   11 ,   2 0 1 7       T h is  p a p e p re se n ts  a n   a n a ly ti c   s o lu ti o n   to   th e   sc a tt e rin g   p r o p e rti e o f   c h iral  e ll ip ti c   c y li n d e e m b e d d e d   in   in f in it e   c h iral  m e d iu m   d u e   to   in c i d e n p lan e   w a v e .   T h e   e x t e rn a e lec tro m a g n e ti c   f ield a we ll   a th e   in tern a l   e lec tro m a g n e ti c   f ield a re   w rit ten   in   term M a th ieu   f u n c ti o n a n d   e x p a n sio n   c o e ff icie n ts.   In   o rd e to   o b tain   b o th   t h e   in tern a a n d   e x tern a u n k n o w n   f ield   e x p a n sio n   c o e f f icie n ts,   th e   b o u n d a r y   c o n d it i o n a re   a p p li e d   rig o r o u sly   a th e   su rf a c e   o f   d iff e re n c h iral/ch iral  m a teria l.   Re su lt a re   p lo tt e d   g ra p h ica ll y   f o r   th e   n o rm a li z e d   sc a tt e rin g   w id th f o e ll ip ti c   c y li n d e rs  o f   d if fe re n siz e a n d   c h iral  m a teria ls  t o   sh o th e   e ff e c ts  o f   th e s e   p a ra m e ters   o n   sc a tt e rin g   c ro ss   w id th s.  It  is  sh o w n   n u m e rica ll y   b y   a d d in g   th e   e x tern a c h iral  m a teria to   e ll ip ti c   c y li n d e p ro v i d e s m o re   p a ra m e ters   to   c o n tro th e   RC S .   K ey w o r d s :   C h ir al/c h ir al,   E llip tic  c y li n d er ,   Ma th ie u   f u n ctio n s ,   R ad ar   cr o s s   s ec tio n ,   Scatter in g   Co p y rig h ©   2 0 1 7   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   A - K.   Ha m id ,     Dep ar t m en t o f   E lectr ical  an d   C o m p u ter   E n g in ee r i n g ,   Un i v er s it y   o f   S h ar j ah ,   B o x   2 7 2 7 2 ,   Sh ar j ah ,   UA E .   E m ail:  Ak h a m id l@ S h ar j ah . ac . ae       1.   I NT RO D UCT I O N     I is   w e ll  k n o w n   t h at   r ec ip r o ca an d   is o tr o p ic  c h ir al  m ed iu m   i s   c h ar ac ter ized   b y   d i f f er en p h as e   v elo cities   f o r   r i g h t -   an d   lef t - ci r cu lar l y   p o lar ized   ( R C P   an d   L C P )   w a v es.  I n   a   lo s s le s s   is o tr o p ic   ch ir al  m ed i u m ,   lin ea r l y   p o lar ized   w a v u n d er g o e s   r o tatio n   o f   its   p o lar izatio n   w h ile  it  p r o p ag ates.  N u m er o u s   d ev elo p m en t s   lin k ed   to   ch ir al  m ed ia  o v er all  ar d escr ib e d   in   [ 1 - 1 1 ] ,   an d   s o m a n al y t ical  an d   n u m er ical   s o lu tio n s   to   s ca tter i n g   f r o m   v a r io u s   t y p es o f   ch ir al  o b j ec ts   ar g iv e n   i n   [ 1 2 - 2 1 ] .   T h ellip tic  cy li n d er   is   g eo m etr y   t h at  h as  b ee n   ex ten s i v el y   an al y ze d   in   th liter at u r d u to   its   ab ilit y   to   cr ea te  c y li n d r ical  c r o s s   s ec tio n s   o f   d if f er e n s h a p es  b y   c h an g i n g   th e   ax ia r a tio   o f   t h ellip s e.   Fu r t h er m o r e,   s in ce   t h ellip ti cy lin d r ical  co o r d in ate  s y s te m   is   o n o f   th co o r d in ate  s y s te m s   in   w h ic h   t h e   w a v eq u atio n   is   s ep ar ab le,   s o lu tio n s   to   p r o b lem s   in v o lv in g   ellip tic  c y li n d er s   ca n   b o b tain ed   in   ex ac f o r m .   I n   th i s   p ap er ,   w p r esen s o l u tio n   to   t h p r o b le m   o f   s ca t ter in g   o f   r ig h t - cir cu lar l y   p o lar i ze d   ( R C P )   p lan w a v f r o m   ch ir al  elli p tic  cy l in d er   o f   ar b itra r y   ax ial   r atio   p lace d   in   d is tin ct  in f i n ite  ch ir al  m ed iu m ,   w h ile  in   [ 2 1 ]   th e   ch ir al   c y l in d er   w a s   e m b ed d ed   in   f r ee   s p ac e.     B o th   ch ir al   m ed ia  in   th is   p r o b le m   ar is o tr o p ic.   T h p r esen s o lu tio n   w ill  r e q u ir ex p an d i n g   th f ield s   i n   t w o   d if f er en ch ir al  r e g io n s ,   an d   th s o lu tio n   o b tain ed   w ill  th er e f o r s u p p ly   m o r p ar a m eter s   to   co n tr o th e   n o r m alize d   b is ta tic  s ca t ter in g   w id t h   w h e n   co m p ar ed   to   th at   i n   [ 2 1 ] .         2.   T H E O RY   C o n s id er   R C P   p lan w a v t h at  is   p r o p ag ati n g   in   an   in f i n ite   is o tr o p ic  ch ir al  m ed iu m ,   b ei n g   i n cid en t   o n   an   in f i n itel y   lo n g   ellip tic   c y li n d er   at  a n   a n g le   i   w i th   r esp ec to   th e   m in u s   x - a x is   o f   C ar tesi a n   co o r d in ate  s y s te m   lo ca ted   at  th ce n ter   o f   cr o s s   s ec tio n   o f   th c y li n d er   w ith   i ts   z - ax i s   al o n g   t h ax i s   o f   t h e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   5 Octo b er   2 0 1 7   :   2 7 3 1     2 7 3 7   2732   c y li n d er ,   w h ic h   i s   m ad u p   o f   d i f f er e n c h ir al  m ater ial   an d   o f   m aj o r   ax i s   le n g t h   2 a   an d   m in o r   a x i s     len g th   2 b .   Fo r   R C P   p lan w av o f   a m p l itu d e , 0 E th in c id en t e lectr ic  f ield   ca n   b w r itte n   as     )] ( c o s e x p [ ) ˆ ˆ ( 1 0 i R i i jk j z E E                                                                                                                        ( 1 )     w h er e ˆ is   a   u n i v ec to r   in   t h d ir ec tio n   o f   in cr ea s in g   , 1 R k is   th wav en u m b er   o f   t h i n cid en p la n w av e ,   an d ) , ( ar th p o lar   co o r d in ates  o f   an   o b s er v atio n   p o i n w it h   r esp ec to   th ab o v m e n tio n ed   C ar tesi a n   co o r d in ate  s y s te m .   I n   ac co r d an ce   w it h   t h Dr u d e - B o r n - Fed er o v   ( DB F)  co n s tit u ti v r elat i o n s   t h at  h a v b ee n   u s ed   in   t h i s   p ap er   [ 2 2 ] ,   th w a v en u m b er   o f   t h r i g h t c ir c u lar l y   p o lar ized   w av i s   g i v e n   b y     1 1 1 0 1 1 0 1 1 r r r r R k k k                                                                                                                                              ( 2 )     w h er 0 k   is   th e   w a v e n u m b er   in   f r ee   s p ac e,   1   is   th ch ir alit y   p a r a m eter   o f   th e x ter n al  c h ir al   m ed iu m ,   an d   1 r   an d   1 r   ar th r elati v p er m ea b ilit y   an d   r elati v p er m itti v i t y   o f   th e x ter n al  ch ir al  m ed iu m .     T h in cid en t e lectr ic  f ield   in   ( 1 )   ca n   n o w   b ex p a n d ed   in   ter m s   o f   ellip tical  v ec to r   w a v f u n ctio n s   as     )] , ( ) , ( [ 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 , 0 i r M r N E R om em R om em m om em c c A                                                                              ( 3 )        in   w h ic h                  ) c o s , ( ) ( 8 1 1 0 i R om em R om em m om em c S c N j E A                                                                                   ( 4 )   w h er e                 dv v c S c N R om em R om em 2 2 0 1 1 ] ) c o s , ( [ ) (                                                                                         ( 5 )     w it h , 1 1 F k c R R ) c o s , ( v c S qn f o r   q = e , o   b ein g   t h e   a n g u lar   Ma th ie u   f u n c tio n   o f   o r d er   n   an d   ar g u m e n ts   c   an d   v c o s an d   F   b ein g   t h s e m i - f o ca len g t h   o f   t h e   c y li n d er .   ) , ( ) ( r c i qm Ξ   f o r   q = e , o ,   an d   N M, Ξ   ar e   d ef in ed   i n   [ 2 3 - 2 4 ]   in   ter m s   o f   an g u lar   a n d   r ad ial  Ma th ieu   f u n ctio n s ,   w it h   r   d es ig n ati n g   t h ellip tic  co o r d in ate   d y ad   ) , ( .   T h s u m m a tio n   o v er   m   in   ( 3 )   s tar ts   f r o m   0   f o r   e v en   ( e )   f u n ctio n s   a n d   f r o m   1   f o r   o d d   ( o f u n ctio n s ,   a n d   is   t h s a m f o r   th o th er   f ield   ex p a n s io n s   g i v en   b elo w   to o .   Ma x w el l’ s   eq u atio n s   ca n   n e x b e   u s ed   to   ex p an d   t h in cid e n m ag n et ic  f ie ld   in   ter m s   o f   ellip ti ca l v ec to r   w a v f u n ctio n s   as     )] , ( ) , ( [ 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 , 0 1 i r M r N H R om em R om em m om em c c A Z j                                                                           ( 6 )     w h er 1 1 0 1 r r Z Z ,   w ith   0 Z   d en o tin g   th e   f r ee   s p ac w a v i m p ed an ce .   As   t h e ll ip tic  c y li n d er   is   m ad e   u p   o f   a n   is o tr o p ic  ch ir al  m a t er ial  an d   is   s u r r o u n d ed   b y   a n o th er   is o tr o p ic  ch ir al  m ed iu m ,   th s ca tter ed   an d   tr an s m itted   elec tr o - m ag n etic   f ield s   w ill   h a v b o t h   co - p o lar   an d   cr o s s - p o lar   co m p o n en ts .   T h s ca tter ed   f ield s   ca n   h en ce   b w r itte n   a s   s xp s cp E E E s 1 s xp s cp / ) ( Z j E E H s w it h   co -   an d   cr o s s - p o lar   f ield s   s cp E s xp E   ex p r ess ed   in   ter m s   o f   ellip tical   v ec to r   w a v f u n ctio n s   as     )] , ( ) , ( [ 1 ) 4 ( 1 ) 4 ( 1 , 0 r M r N E s cp R om em R om em m om em c c B                                                                             ( 7 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708                                                      R C S   o f Ch ir a l E llip tic  C ylin d er E m b ed d ed   in   I n fin ite   C h ir a l Med i u   ( A - K .   Ha mid )   2733   )] , ( ) , ( [ 1 ) 4 ( 1 ) 4 ( 1 , 0 r M r N E s xp L om em L om em m om em c c C                                                                               ( 8 )     w h er e qm B   an d   qm C   f o r   q = e , o   ar th e   u n k n o w n   f ield   e x p an s io n   co ef f icien ts ,   , 1 1 F k c L L   w it h   th e   w av e - n u m b er   1 L k   f o r   th le f t - cir cu lar l y   p o lar ized   w a v g i v e n   b y     1 1 1 0 1 1 0 1 1 r r r r L k k k                                                                                                           ( 9 )     T h f ield s   tr an s m it ted   in s id th ch ir al  ellip tic  c y li n d er   ca n   also   b ex p r ess ed   as  c xp c cp E E E c 2 c xp c cp / ) ( Z j E E H c w it h   c cp E c xp E   ex p r ess ed   in   ter m s   o f   ellip tical  v ec to r   w av f u n ct io n s   as     )] , ( ) , ( [ 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 , 0 r M r N E c cp R om em R om em m om em c c D                                                                          ( 1 0)     )] , ( ) , ( [ 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 , 0 r M r N E c xp L om em L om em m om em c c G                                                                            ( 11)     w h er e qm D   an d   qm G   f o r   q = e , o   ar th e   u n k n o w n   f ield   ex p a n s io n   co ef f icien ts , F k c R R 2 2 an d   , 2 2 F k c L L   w it h   e x p r ess io n s   f o r   2 R k an d   2 L k   o b tain ed   f r o m   ( 2 )   an d   ( 9 ) ,   r esp ec tiv el y ,   b y   c h a n g i n g   th s u b s cr ip 1   in   th ese   E q u a tio n s ,   to   2 .   T h u n k n o w n   e x p an s io n   co e f f icien ts   ca n   b o b tain ed   b y   i m p o s in g   t h b o u n d ar y   co n d itio n s   co r r esp o n d in g   to   th co n ti n u it y   o f   th ta n g en t ia f ield   co m p o n e n ts   at  t h s u r f ac s   o f   th e   ch ir al  ellip tic  c y lin d er   [ 2 5 ] ,   w h ich   m a y   b ex p r ess ed   m a th e m atica ll y   as     s s | ξ | ξ ˆ ˆ ) ( c s i E E E                                                                                             ( 1 2 )     s s | ξ | ξ ˆ ˆ ) ( c s i H H H                                                                                             ( 1 3 )     w h er ξ ˆ   is   th o u t w ar d   u n i n o r m al  to   th s u r f ac o f   t h elli p tic  c y li n d er .   Su b s tit u ti n g   th e   ab o v d ev elo p ed   ex p r ess io n s   i n to   th f ield s   o f   ( 1 2 )   an d   ( 1 3 ) ,   an d   ap p ly in g   th o r th o g o n al  p r o p er ty   o f   th an g u lar   Ma t h ie u   f u n ctio n s ,   y ield       ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( )] , ( ) , ( [ 1 2 2 ) 1 ( 1 2 2 ) 1 ( 1 1 1 ) 4 ( 1 1 ) 4 ( 1 ) 1 ( R L qmn s L qm m qm R R qmn s R qm m qm R L qmn s L qm m qm R qn s R qn qn s R qn qn c c M c R G c c M c R D c c M c R C c N c R B c R A                                                                        ( 1 4 )     ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( )] , ( ) , ( [ 1 2 2 )' 1 ( 2 1 1 2 2 )' 1 ( 2 1 1 1 1 )' 4 ( 1 1 1 1 )' 4 ( 1 )' 1 ( R L q m n s L qm m qm L R R R q m n s R qm m qm R R R L q m n s L qm m qm L R R qn s R qn qn s R qn qn c c M c R G k k c c M c R D k k c c M c R C k k c N c R B c R A                                                                       ( 1 5 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   5 Octo b er   2 0 1 7   :   2 7 3 1     2 7 3 7   2734      ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( )] , ( ) , ( [ 1 2 2 ) 1 ( 2 1 1 2 2 ) 1 ( 2 1 1 1 1 ) 4 ( 1 1 ) 4 ( 1 ) 1 ( R L qmn s L qm m qm R R qmn s R qm m qm R L qmn s L qm m qm R qn s R qn qn s R qn qn c c M c R G Z Z c c M c R D Z Z c c M c R C c N c R B c R A                                                                        ( 1 6 )     ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( )] , ( ) , ( [ 1 2 2 )' 1 ( 2 2 1 1 1 2 2 )' 1 ( 2 2 1 1 1 1 1 )' 4 ( 1 1 1 1 )' 4 ( 1 )' 1 ( R L q m n s L qm m qm L R R R q m n s R qm m qm R R R L q m n s L qm m qm L R R qn s R qn qn s R qn qn c c M c R G Z k Z k c c M c R D Z k Z k c c M c R C k k c N c R B c R A                                                                        ( 1 7 )     f o r   q = e, o   w h er e ) , ( ) ( s i qn c R is   t h r ad ial  Ma th ie u   f u n ctio n   o f   o r d er   n   a n d   k i n d   ( i )   o f   ar g u m e n t s   c   an d   s an d   ) , ( c c M n qm is   g i v e n   b y     dv v c S v c S c c M qn qm q m n 2 0 ) c o s , ( ) c o s , ( ) , (                                                                    ( 1 8 )     T h s u m m atio n s   o v er   m   in   ( 1 4 )     ( 1 7 )   r u n s   f r o m   0   to   N ma x - 1   f o r   ev en   ( e )   f u n ctio n s ,   an d   f r o m   1   to   N ma x   f o r   o d d   ( o )   f u n c tio n s ,   w h er N ma x   is   th e   n u m b er   o f   ter m s   n ee d ed   to   o b tain   co n v er g e n s o lu tio n .   I n   ( 1 4 ) - ( 1 7 ) ,   n =0 , 1 , …, N ma x - 1   o r   n = 1 , 2 , …, N ma x ,   ac co r d in g   to   w h e th er   q = e   o r   q = o .   T h s y s te m   o f   eq u atio n s   i n   ( 1 4 ) - ( 1 7 )   ca n   b ex p r ess ed   in   m atr ix   f o r m   a n d   s o lv ed ,   to   o b tain   th u n k n o w n   f ield   ex p an s io n   c o ef f icie n t s .   Usi n g   as y m p to tic  ex p r ess io n s   o f   th e   r ad ial  Ma th ieu   f u n ctio n s   o f   t h f o u r th   k in d   a n d   th eir   f ir s d er iv ativ e s ,   w ca n   w r ite  t h co -   a n d   cr o s s   p o lar   s ca tter ed   elec tr ic  f ield s   in   t h f ar   zo n as     ) ( ) e x p ( ) ˆ ˆ ( 1 1 s cp B R R jk k j j z E                                                                           ( 1 9 )     ) ( ) e x p ( ) ˆ ˆ ( 1 1 s xp C L L jk k j j z E                                                                          ( 2 0 )     W h er e     o e q R qm qm m m B c S B j , 1 1 , 0 ) c o s , ( ) (                                                                             ( 2 1 )     ) ( C is   o b tain ed   f r o m   ( 2 1 ) ,   b y   ch an g i n g   B   to   C   an d   R 1   to   L 1 .   E x p licit  ex p r ess io n s   f o r   th n o r m alize d   b is tatic  ec h o   w id t h   o f   th r i g h t -   an d   le f t - p o lar ized   w av e s   ca n   th en   b w r itte n   as             2 ) ( B R R   ,     2 ) ( C L L                                                                                      ( 2 3 )     W h en   , i   ( 2 3 )   y ield s   t h e x ac t n o r m al ized   co -   an d   cr o s s - p o lar   b is tatic   ec h o   w id t h s .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708                                                      R C S   o f Ch ir a l E llip tic  C ylin d er E m b ed d ed   in   I n fin ite   C h ir a l Med i u   ( A - K .   Ha mid )   2735   3.   RE SU L T A ND  AN AL Y SI S     Nu m er ical  r es u lts   ar p r esen ted   as  n o r m alize d   ec h o   p att er n   w id th s   f o r   is o tr o p ic  ch ir al  ellip tic   c y li n d er s   o f   d i f f er en t   ax ia r atio s ,   e m b ed d ed   in   a n o th er   is o tr o p ic  ch ir al  m ed iu m   o f   d if f er en r elat iv e   p er m i tti v ities   a n d   c h ir alit y   p a r a m eter s .   First,  w ch o s th p ar am eter s   , 0 . 1 1 r , 0 . 1 1 r 0 . 0 1 0 k   f o r   th ex ter io r   r eg io n ,   , 16 . 0 0 a k   , 0 . 4 2 r   , 0 . 2 2 r   , 15 . 0 2 0 k   an d   a x ial  r atio   a / 1 . 0 0 1   f o r   th c y li n d er ,   an d   o 180 i .   T o   v alid ate  th a n al y s i s   an d   t h s o f t w ar u s ed   f o r   ca lcu lati n g   t h r es u lts ,   w co m p u ted   th e   n o r m alize d   ec h o   p atter n   w id t h s   f o r   t h ab o v c h ir al  c y li n d er   w h en   it  i s   e x cited   b y   a   p lan w a v t h at  i s   tr an s v er s m a g n etica ll y   ( T M)   p o lar ized   in   th ax ial  z - d ir ec tio n ,   th at  i s   o b tain ed   b y   s u m m in g   r i g h t -   a n d   lef t - cir cu lar l y   p o lar ized   in cid en w a v es  o f   eq u a f ield   a m p li tu d es.  T h r esu lts   ar in   g o o d   ag r ee m en w i th   t h o s e     in   [ 15 ]   f o r   a n   a n alo g o u s   c h ir a cir cu lar   c y l i n d er   i n   f r ee   s p ac e,   v er i f y i n g   t h ac c u r ac y   o f   th an al y s i s   a n d   t h at   o f   th s o f t w ar u s ed   f o r   th ca lcu latio n s .         Fig u r 1 .   No r m alize d   co - p o lar   an d   cr o s s   p o lar   b is tatic  s ca tter in g   w id t h s   a g ai n s t t h s ca tter i n g   a n g le,   f o r   ch ir al  ellip tic  c y lin d er   o f   a x i al   r atio   a / = 1 . 0 0 1 ,   w it h   , 16 . 0 0 a k   , 0 . 4 2 r   , 0 . 2 2 r   an d   , 15 . 0 2 0 k   an d   lo ca ted   in   f r ee   s p ac e,   w h e n   it is   e x cited   b y   T p o lar iz ed   p lan w a v in cid e n t a t t h an g le  180 o i .         Fig u r 2   d is p la y s   t h n o r m ali ze d   r ig h t -   a n d   lef t - p o lar ized   ec h o - w id t h   p atter n s   f o r   ch i r al  ellip tic   c y li n d er   o f   ax ial  r atio   2 ,   w i th   p ar a m eter s   , 16 . 0 0 a k , 0 . 4 2 r , 0 . 2 2 r   an d   , 15 . 0 2 0 k   w h en   it   is   e m b ed d e d   in   ch ir al  m ed i u m   h av in g   p ar a m eter s   , 0 . 1 1 r   , 0 . 1 1 r   an d   , 1 . 0 1 0 k   an d   ex cited   b y   R C P   p lan w av in cid e n t a t t h a n g le  180 o i I n   th is   f i g u r e,   t h d o m i n an t r ig h t - p o lar ized   ec h o - w id th   m ag n i t u d e   d ec r ea s es  g r ad u all y   a s   th s ca t ter in g   a n g le  i n cr ea s es  f r o m   0 o   to   1 8 0 o ,   b u th co r r esp o n d in g   lef t - p o lar ized   o n e   in cr ea s es  f ir s f r o m   0 o   to   1 2 0 o ,   an d   th en   d ec r ea s e s .   Fig u r 3   s h o w s   th r ig h t -   an d   lef t - p o lar ized   ec h o - w id th   p atter n s   f o r   th ch ir al  ellip tic  c y li n d er   in   Fig u r 2 ,   w h e n   i is   p lace d   in   ch ir al  m ed iu m   w h ich   is   s i m ilar   to   th at   in   Fi g u r 2 ,   b u w i th   5 . 2 1 r .   W h e n   co m p ar ed   w ith   t h p lo ts   in   Fig u r 2 ,   w s ee   th at  as  t h e   s ca tter in g   an g le  in cr ea s e s   f r o m   0 o   to   1 8 0 o ,   th e   r ed u ctio n   o f   t h r i g h t - p o lar iz ed   ec h o - w id t h   m a g n it u d is   m u c h   h i g h er .   A l s o   th lef t - p o lar ized   ec h o - w id th   m ag n it u d i s   m u c h   lo w er   f o r   a ll scatter i n g   an g le s ,   t h o u g h   its   b eh av io r   is   s o m e w h a t si m i lar   to   th at  o f   t h s a m e   in   Fi g u r 2 .     0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 - 9 . 5 -9 - 8 . 5 -8 - 7 . 5 -7 - 6 . 5 -6 - 5 . 5 -5   ( d e g )   ( )/   d B     c o - p o l a r i z e d c r o s s - p o l a r i z e d Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   5 Octo b er   2 0 1 7   :   2 7 3 1     2 7 3 7   2736       Fig u r 2 .   No r m alize d   r i g h t -   a n d   lef t - p o lar ized   b is tatic  s ca tter in g   w id th s   ag ai n s t t h s ca tter i n g   a n g le  f o r   ch ir al  ellip tic  c y lin d er   o f   a x ial   r atio   2 . 0 ,   an d   h av i n g   t h s a m e   p ar am eter s   a s   th o s f o r   Fig u r e   1,   b u t lo ca ted   in   ch ir al  m ed i u m   w it h   p ar a m et er s   , 0 . 1 1 r , 0 . 1 1 r   an d   , 1 . 0 1 0 k   w h en   i t is e x cited   b y   R C P   p lan w av in cid en t a t a n   i n cid en t a n g le  o f   1 8 0 o .         Fig u r 3 .   No r m alize d   r i g h t -   a n d   lef t - p o lar ized   b is tati s ca tter in g   w id th s   ag ai n s t t h s ca tter i n g   a n g le  f o r   th ch ir al  ellip tic  c y lin d er   i n   Fi g u r e   2 ,   w h e n   it is   p lace d   in   c h ir al  m ed iu m   w h ic h   is   s i m i lar   to   th at  i n   Fi g u r e   2 ,   b u w ith   , 5 . 2 1 r   an d   illu m i n ated   b y   R C P   p lan w a v in cid e n t a t 1 8 0 o .       4.   CO NCLU SI O N     An   ex ac s o lu tio n   to   t h p r o b le m   o f   s ca tter in g   o f   R C P   p lan w av b y   ch ir al  ell ip ti c y li n d er   p lace d   in   an o th er   ch ir al  m ed i u m ,   p r ese n ted   u s i n g   th m et h o d   o f   s ep ar atio n   o f   v ar iab les.  R esu lts   h av b ee n   p r esen ted   as  n o r m alize d   b is ta tic   r ig h t -   an d   lef t - p o lar ized   ec h o - w id t h   p atter n s   f o r   ch ir al  ellip tic  c y li n d er s   o f   d if f er e n ax ial  r atio s   an d   ch i r al  m ater ia ls ,   to   s h o w   th e f f ec ts   o f   t h ese  o n   s ca tter i n g .   I is   s ee n   th at  t h p r esen ce   o f   t w o   d i f f er e n c h i r al  m ater ial s   co u ld   s i g n if ican t l y   i n f l u en ce   th e   le f t -   a n d   r ig h t - p o lar ized   p atter n   w id t h s .       ACK NO WL E D G E M E NT S     P r o f .   A - K.   Ha m id   w o u ld   lik to   ac k n o w led g t h s u p p o r g iv e n   b y   t h U n i v er s it y   o f   S h ar j ah ,   Sh ar j ah ,   Un ited   A r ab   E m ir ate s .     0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 -8 -6 -4 -2   ( d e g )   ( ) i / i   ( d B )     R i g h t - p o l a r i z e d ( i = R ) L e f t - p o l a r i z e d ( i = L ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 - 3 0 - 2 5 - 2 0 - 1 5 - 1 0 -5 0   ( d e g )   ( ) i / i   ( d B )     R i g h t - p o l a r i z e d ( i = R ) L e f t - p o l a r i z e d ( i = L ) Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708                                                      R C S   o f Ch ir a l E llip tic  C ylin d er E m b ed d ed   in   I n fin ite   C h ir a l Med i u   ( A - K .   Ha mid )   2737   RE F E R E NC E S     [1 ]   D .   L .   J a g g a rd ,   A .   R.   M ick e lso n ,   a n d   C.   H.  P a p a s,  On   e lec tro m a g n e ti c   w a v e in   c h iral  m e d ia,”  A p p l.   P h y s.,   v o l.   1 8 ,   p p .   2 1 1 - 2 1 6 ,   1 9 7 9 .   [2 ]   N.  En g h e ta an d   P .   P e let,   M o d e in   c h ir o - w a v e g u id e s,” Op t.   L e tt . ,   v o l.   1 4 ,   p p .   5 9 3 - 5 9 5 ,   Ju n e   1 9 8 9 .   [3 ]   C.   Ef ti m iu   a n d   L .   W .   P e a rso n ,   G u id e d   e lec tro m a g n e ti c   w a v e s   in   c h iral  m e d ia,”  Ra d io   S c i. ,   v o l.   2 4 ,   p p .   3 5 1 - 3 5 9 ,   M a y - Ju n e   1 9 8 9 .   [4 ]   N.  En g h e ta  a n d   S .   Ba ss iri ,   On e -   a n d   tw o - d ime n sio n a d y a d ic  G re e n ’s  f u n c ti o n i n   c h iral  m e d i a ,   IEE T ra n s.  A n ten n a s P r o p a g a t. ,   v o l.   3 7 ,   p p .   5 1 2 - 5 1 5 ,   A p r.   1 9 8 9 .   [5 ]   N.  En g h e ta  a n d   D.   L .   Ja g g a rd ,   El e c tro m a g n e ti c   c h iralit y   a n d   it a p p li c a ti o n s,’  ’  IEE A n ten n a P r o p a g a t.   S o c .   Ne w sle tt e r,   v o l.   3 0 ,   p p .   6 - 1 2 ,   Oc t.   1 9 8 8 .   [6 ]   S .   Ba ss iri ,   C.   H.  P a p a s,  a n d   N.  En g h e ta,  El e c tro m a g n e ti c   w a v e   p ro p a g a ti o n   th r o u g h   a   d iele c tri c - c h ir a in terf a c e   a n d   th ro u g h   a   c h iral  sla b ,   J.   Op t.   S o c .   Am .   A ,   v o l.   5 ,   p p .   1 4 5 0 - 1 4 5 9 ,   S e p t.   1 9 8 8 .   [7 ]   W .   S .   W e ig lh o f e r,   Iso tro p ic ch ir a m e d ia an d   sc a lar He rtz p o ten ti a ls,   J.  P h y s.  A ,   v o l.   2 1 ,   p p .   2 2 4 9 - 2 2 5 1 ,   1 9 8 8 .   [8 ]   D.  L .   Ja g g a rd ,   X .   S u n ,   a n d   N.  En g h e ta,  Ca n o n ica so u rc e a n d   d u a li ty   in   c h iral  m e d ia,”  I EE T ra n s.  A n ten n a s   P r o p a g a t. ,   v o l .   3 6 ,   p p .   1 0 0 7 - 1 0 1 3 ,   Ju ly   1 9 8 8 .   [9 ]   A .   Lak h tak i a ,   V .   V .   V a ra d a n ,   a n d   V .   K.  V a ra d a n ,   F iel d   e q u a ti o n s,  H u y g e n s’s   p rin c ip le,   in teg r a e q u a ti o n s,  a n d   th e o re m f o ra d iatio n   a n d   sc a tt e rin g   o f   e lec tro m a g n e ti c   wa v e s in   iso tro p ic ch i ra m e d ia,” J.  Op t.   S o c .   Am .   A ,   v o l.   5 ,   p p .   1 7 5 - 1 8 4 ,   F e b .   1 9 8 8 .   [1 0 ]   A .   Lak h tak ia,  V .   V .   V a ra d a n ,   a n d   V .   K.  V a ra d a n ,   Ra d iati o n   b y   a   stra ig h th in - w ire  a n ten n a   e m b e d d e d   i n   a n   iso tro p ic ch iral  m e d ia,’’  IEE T r a n s.  El e c tro m a g n .   Co m p a t. ,   v o l.   3 0 ,   p p .   8 4 - 8 7 ,   F e b .   1 9 8 8 .   [1 1 ]   B.   N.  Kh a ti a n d   A .   R.   S e b a k ,   S lo a n ten n a   o n   a   c o n d u c ti n g   e ll ip t ic  c y li n d e c o a ted   b y   n o n c o n f o c a c h iral  m e d ia,   P r o g .   El e c tro m a g .   Re s.  (P IER),   v o l.   9 3 ,   p p .   1 2 5 1 4 3 ,   2 0 0 9 .   [1 2 ]   M .   S .   Klu sk e n a n d   E .   H.  Ne wm a n ,   " S c a tt e rin g   b y   a   m u lt il a y e c h iral  c y li n d e r, "   IEE T ra n s.  A n ten n a P r o p a g a t. ,   v o l.   3 9 ,   p p .   9 1   -   9 6 ,   1 9 9 1 .   [1 3 ]   A .   Z.   El sh e rb e n i,   M .   H .   A S h a rk a wy ,   a n d   S .   F .   M a h m o u d ,   El e c tro m a g n e ti c   sc a tt e rin g   f ro m   a   2 - c h iral  stri p   sim u late d   b y   c ircu lar  c y li n d e rs  f o u n if o rm   a n d   n o n - u n if o rm   c h iral it y   d istri b u ti o n ,   I EE T ra n s.  A n t e n n a s P ro p a g a t,   v o l.   5 2 ,   p p .   2 2 4 4 - 2 2 5 2 ,   2 0 0 4 .   [1 4 ]   S .   A h m e d   a n d   Q.  A .   Na q v i,   El e c tro m a g n e ti c   sc a tt e rin g   f ro m   a   c h iral  c o a ted   n ih il it y   c y li n d e r,   P r o g re ss   in   El e c tro m a g .   Re s.  L e tt . ,   v o l.   1 8 ,   p p .   4 1 - 5 0 ,   2 0 1 0 .     [1 5 ]   R.   G .   Ro jas ,   " In teg ra e q u a ti o n f o E M   sc a tt e rin g   b y   h o m o - g e n e o u s/in h o m o g e n e o u tw o - d i m e n sio n a c h iral  b o d ies " ,   IEE   P ro c .   M icro w a v e   An ten n a P r o p a g . ,   v o l.   1 4 1 ,   p p .   3 8 5 - 3 9 2 ,   1 9 9 4 .   [1 6 ]   M .   A .   A l - Ka n h a a n d   E.   A rv a s,  El e c tro m a g n e ti c   sc a tt e rin g   f ro m   a   c h iral  c y li n d e o f   a rb it ra r y   c ro s se c ti o n ,   IEE E   T ra n s.  A n ten n a s P ro p a g . ,   v o l.   4 4 ,   p p .   1 0 4 1 1 0 4 9 ,   Ju l.   1 9 9 6 .   [1 7 ]   A .   S e m ich a e v sk y ,   A .   Ak y u rtl u ,   D.    Ke rn ,   D.  H.  W e rn e r,   a n d   M .   G .   Bra y ,   No v e BI - F D T a p p ro a c h   f o th e   a n a l y si o f   c h iral  c y li n d e rs an d   sp h e re s,” I EE T ra n s.  A n ten n a P ro p a g a t. ,   v o l.   5 4 ,   p p .   9 2 5 - 93 2 ,   2 0 0 6 .   [1 8 ]   S .   S h o u k a t,   S .   A h m e d ,   M .   A sh ra f ,   A .   S y e d   a n d   Q.   Na q v i,   S c a tt e rin g   o f   e lec tro m a g n e ti c   p lan e   w a v e   f ro m   a   c h iral  c y li n d e p lac e d   i n   a   c h iral  m e ta m a teria l,   J.  El e c tro m a g .   W a v e A p p li c . ,   v o l .   2 7 ,   p p .   1 1 2 7 - 1 1 3 5 ,   2 0 1 3 .     [1 9 ]   B.   N.  Kh a ti r,   M .   A l - Ka n h a l ,   a n d   A .   S e b a k ,   El e c tro m a g n e ti c   w a v e   sc a tt e rin g   b y   e ll ip ti c   c h iral  c y li n d e r ,   J.   El e c tro m a g .     W a v e A p p li c . ,   v o l.   2 0 ,   p p .   1 3 7 7 1 3 9 0 ,   2 0 0 6 .   [2 0 ]   A - K.  Ha m id ,   EM   sc a tt e rin g   b y   a   lo ss y   d iele c tri c - c o a ted   n ih il it y   e ll ip ti c   c y li n d e r,   A p p l.   Co m p .   E lec tro m a g .   S o c .   (A CES Jo u rn a l,   v o l .   2 5 ,   p p .   4 4 4 - 4 4 9 ,   2 0 1 0 .   [2 1 ]   A - K.  Ha m id ,   " S c a tt e rin g   b y   c h ira lo ss y   m e ta m a teria e ll ip ti c   c y li n d e rs”   A p p l.   Co m p .   E lec tro m a g .   S o c .   Jo u rn a l,   v o l.   2 7 ,   p p .   6 0 3 - 6 0 9 ,   2 0 1 2 .   [2 2 ]   I.   V .   L in d e ll ,   A .   H.  S ih v o la,  S .   A .   T re t y a k o v ,   a n d   A .   J.  V ii tan e n ,   El e c tro ma g n e ti c   W a v e in   Ch ira a n d   Bi - is o tro p ic   M e d ia ,   A rtec h   Ho u se ,   Bo st o n ,   U S A ,   1 9 9 4 .   [2 3 ]   A. - K.  H a m id   a n d   F .   R.   Co o ra y ,   S c a tt e rin g   f ro m   a   c h irall y   c o a te d   DB  e ll ip ti c   c y li n d e r,   A ËU,   v o l.   6 8 ,   p p .   1 1 0 6 - 111 1 ,   2 0 1 4 .   [2 4 ]   A. - K.  Ha m id   a n d   F .   R .   Co o ra y ,   Tw o - d ime n sio n a sc a tt e rin g   b y   a   h o m o g e n e o u g y ro tro p ic - ty p e   e ll ip ti c   c y li n d e r,   A d v a n .   El e c tro m a g . ,   v o l.   5 ,   p p .   1 0 6 - 1 1 2 ,   De c .   2 0 1 6 .   [2 5 ]   A. - K.  Ha m id ,   S c a tt e rin g   b y   a   c h iral  e ll ip ti c   c y li n d e p lac e d   in   a n o th e in f in it e   c h iral  m e d iu m ,   A p p l.   Co m p .   El e c tro m a g .   S o c .   Co n f . ,   F lo re n c e ,   M a rc h ,   2 0 1 7                Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.