I n te r n ati o n al   Jo u r n al   o El e c tr i c a l   an d   C o m p u te r   En gi n e e r i n g   (I JEC E )   Vo l.   10 ,   N o .   2 A p r i l   2020 ,   p p.   1122 ~ 113 4   IS S N :   2088 - 8708 D O I :   10. 1 1591 / i j e c e . v 10 i 2 . pp1122 - 1134             1122       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i j e c e . i ae s c or e . c om / i nd e x . php / IJ E CE   T r a v e l i n g   w a v e   b a s e d   f a u l t   l o c a t i o n   f o r   p o w e r   t r a n sm i ssi o n   l i n e s   u si n g   m o r p h o l o g i c a l   f i l t e r a n d   c l a r k e   m o d a l   c o m p o n e n t s       El m ah d i   K h o u d r y,   A b d e l az i z   B e l fq i h ,   Jam al   B o u k h e r o u a a,   F ai s s a l   E l m ar i am i   T e a m   o f   E l e c t ri c   N e t w o r ks   a n d   S t a t i c   Co n v e r t e r s .   L a b o r a t o ry   o f   E n e r gy   a n E l e c t r i c a l   S y s t e m s ,   N a t i o n a l   H i g h e S c h o o l   of   E l e c t ri c i t y   a n M e c ha ni c s   (E N S E M ).   H a s s a II  U ni v e r s i t y ,   M o r o c c o       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T   Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e A ug  15 ,   201 9   R e v i s e O c t   15 ,   2 019   A c c e pt e O c t   23 ,   2 019       T hi s   a r t i c l e   p r e s e n t s   a   f a s t   a nd  a c c ur a t e   f a u l t   l o c a t i o a ppr o a c f o r   p o w e r   t r a ns m i s s i o l i ne s   b a s e o t he   t he o r y   of   t r a v e l i ng   w a v e s .   I f a c t ,   w h e n   f a ul t s   o c c ur ,   t h e y   g i v e   r i s e   t o   t r a ns i e n t   v o l t a g e s   a nd   c ur r e nt s   t ha t   p r o pa g a t e   a t   a   s pe e c l o s e   t o   t ha t   o f   l i g ht   a l o ng   t he   t r a n s m i s s i o l i n e   a s   t r a v e l i ng   w a v e s .   M o r e o v e r ,   a c c o r di ng   t o   t he   s u pe r po s i t i o t he o r e m ,   e a c o f   t he s e   t r a ns i e n t s   i s   a   c o m bi na t i o o f   a   s t e a dy - s t a t e   qua n t i t y   a nd  a i nc r e m e nt a l   qu a nt i t y .   T he s e   t r a ns i e n t   s i g na l s   m e a s ur e a t   bo t e n ds   o f   t h e   l i n e   a r e   f i r s t   t r a ns f o r m e t o     t he   C l a r k e   ( 0 - α - β   c o m p o ne nt s )   c o m po ne nt s   i o r d e r   t o   c a t e g o r i z e   t he   t y pe   of   f a ul t s ,   a nd  t h e m ul t i - s c a l e   m o r pho l o g i c a l   g r a di e n t   f i l t e r s   a r e   u s e t o   e xt r a c t   e qui v a l e n t   qua n t i t i e s   t o   t he   i nc r e m e n t a l   q ua n t i t i e s   t o   f o r m   w ha t   a r e   c a l l e d   c ha r a c t e r i s t i c   s i g na l s .   T he s e   l a t t e r   w i l l   b e   us e t o   i de n t i f y   t he   f a ul t   l o c a t i o n   a c c o r di ng   t o   t he   p r o po s e a l g o r i t hm .   Ke y w or d s :   Cl a r ke   t ra n s f o r m a t i o n   F a ul t   l o c a t i o n   M ul t i - s c a l e   m o r p h o l o gi c a l   G ra di e n t   a l go ri t hm   P ow e r   t r a n s m i s s i o n   l i n e s   T r a v e l i n g   w a v e s   C opy r i gh t   ©   20 20   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e   A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   E l m a h d i   K h o ud r y ,     L a bo r a t o r y   of   E n e r gy   a nd  E l e c t r i c a l   S y s t e m s ,   N a t i o n a l   H i g h e S c h o o l   of   E l e c t ri c i t y   a n M e c ha ni c s   (E N S E M ),   Ro a E l   J a di d a ,   K m   7 ,   B P :   8118 ,   O a s i s - C a s a b l a n c a ,   M o r o c c o .   E m a i l :   e . k h o ud r y @ gm a i l . c o m       1.   I N TR O D U C TI O N   F a ul t s   i t ra n s m i s s i o n   l i n e s   a f fe c t   t h e   c o n t i n u i t y   of   e l e c t ri c a l   po w e r   s uppl y ,   da m a ge   e l e c t r i c a l   de v i c e s ,   e n da n ge r   t h e   h u m a n   pe r s o nn e l   t ha t   m a y   be   e xpos e t l i v e   pa rt s   a n s o m e t i m e s   c a n   e v e n   c a us e   na t u ra l   di s a s t e r s   s uc h   a s   f i r e s .   T h e r e f o r e ,   a   ra pi a n p r e c i s e   f a ul t   l o c a t i o n   w o ul b e   o gr e a t   i n t e r e s t   t o   pow e r   ut i l i t y   c o m pa ni e s   t ha t   w o ul b e   a b l e   t o   r e s t o r e   qui c kl y   a n a c c ur a t e l y   t h e   w e l l - f un c t i o ni n o f   t r a n s m i s s i o l i n e s   by   f i xi n t h e   p r o b l e m s   i de n t i f i e a t   t h e   f a ul t   po i nt s   [1].   A m o n t h e   m o s t   us e m e t h o ds   i n   f a ul t   l o c a l i z a t i o n ,   t h e r e   i s   t h e   o n e   b a s e o n   t h e   f a ul t   i m pe da n c e   a n d   i t   us e s   e s s e n t i a l l y   t h e   R M S   v a l ue s   of   vo l t a ge s   a n c u rr e nt s   a t   t h e   f un d a m e nt a l   f r e que n c y   [2 - 6 ] .   T h i s   m e t h o i s   s i m pl e ,   b ut   i t s   p r e c i s i o n   de pe nds   o n   t h e   a s s um p t i o n s   m a de   a b o ut   t h e   r e l a t i o n s h i b e t w e e n   t h e   R M S   v a l ue s   of   vo l t a ge s   a n d   c urr e nt s   a t   t h e   f a ul t   po i n t   a n t h o s e   a t   t h e   e n o f   t h e   t ra n s m i s s i o n   l i n e .   A rt i f i c i a l   I n t e l l i ge n c e   i s   a l s o   o n e   of   t h e   m e t h o ds   us e i f a ul t   l o c a l i z a t i o n ,   a n d   i t   i s   b a s e o n   m a c h i n e   l e a rni n a l go r i t h m s   a ppl i e t o   h i s t o ri c a l   da t a   [7 - 10 ] .   A l t h o ug h   i t   s e e m s   pr o m i s i n g,   t hi s   a pp r o a c h   r e qu i r e s   a   h uge   a m o u n t   o f   da t a   t h a t   a r e   n o t   a l w a y s   a v a i l a b l e   a n t h e r e f o r e   ha v e   t b e   ge n e r a t e a c c o r di n t o   t h e   l e a rni n t h e o r y   pa r a d i gm s .   T h e   f a ul t   l o c a t i o n   m e t h o pr o po s e i n   t h i s   a r t i c l e   i s   b a s e o n   t h e   t h e o r y   of   t r a v e l i n w a v e s   [11 ].   T h i s   l a t t e r   c o m b i n e w i t h   t h e   m o r p h o l o gi c a l   f i l t e r s   [12 ] ,   a n t h e   Cl a rke   m o da l   t r a n s f o r m a t i o n   y i e l s a t i s f a c t o r y   r e s ul t s ,   i n   t e r m s   b o t h   o f   s pe e a n a c c ur a c y   i l o c a t i ng  f a ul t s   o n   o v e r h e a d   po w e r   t ra n s m i s s i o n   l i n e s .             Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m E n g     IS S N :   2088 - 8708       T r av e l i ng   w av e   bas e d   f aul t   l oc a t i o f or   p ow e r   t r ans m i s s i on  l i ne s   ( E l m ahdi   Kh oudr y )   1123   2.   F A U LT  C H A R A C TER I ZA TI O N   BY   TH C LA R K E   M O D A C O M P O N EN TS   B e i n r e pr e s e nt e b y   i t s   di s t r i b ut e p a r a m e t e r s   [13 ,   14 ] ,   t h e   t r a n s m i s s i o n   l i n e   i s   s ub j e c t e t o   t w r e gi m e s   w h e n   e xpo s e t o   a   f a ul t   c o n di t i o n,   t ha t   i s ,   t h e   s t e a dy - s t a t e   r e gi m e   t h a t   i s   c a us e by   t h e   o r i g i na l   s o ur c e s   a n d   t h e   f a u l t   i n c e pt i o r e gi m e   w h e r e   t h e   i n c r e m e nt a l   qu a n t i t i e s   a r e   c a us e by   a   f i c t i o us   s o ur c e   e xe r t e a t   t h e   f a ul t   l o c a t i o    a n d   a t   t h e   f a ul t   i n c e pt i o t i m e    = 0   [14,   15 ] .   T h e r e f o r e   w e   ob t a i n     t h e   f o l l ow i n e xp r e s s i o n s   f o r   a l l   0 :     ̃ ( , ) = ( , ) + ( , )   (1)     ̃ ( , ) = ( , ) + ( , )   (2)     W h e r e   { ,      }   r e p r e s e n t e   t h e   p ha s e s   , ,   ̃ ( , )   a n d   ̃ ( , )   a r e   t h e   po s t - f a ul t   v o l t a ge   a nd  t h e   po s t - f a ul t   c u rr e n t   r e s pe c t i v e l y ;   ( , )   a n d   ( , )   a r e   t h e   s t e a dy - s t a t e   v o l t a ge   a n d   t h e   s t e a dy - s t a t e   c urr e n t   r e s pe c t i v e l y ;   ( , )   a n ( , )   a r e   t h e   i n c r e m e nt a l   v o l t a ge   a n t h e   i n c r e m e n t a l   c u rr e n t   r e s pe c t i v e l y .   In   w ha t   f o l l ow s ,   w e   w i l l   f o c us   o n   t h e   c ha ra c t e ri z a t i o n   o f   t h e   i n c r e m e n t a l   q ua nt i t i e s   by   t h e   Cl a r ke   m o da l   c o m po n e nt s   s i n c e   t h e y   c a rr y   t h e   t r a n s i e n t   i n f o r m a t i o n   t hr o ug h o ut   t h e   f a ul t   c o n di t i o n.     T o   t h i s   e n d ,   l e t   us   c o n s i de r,   i n   t h e   f a ul t   i n c e pt i o r e gi m e ,   t h e   r e p r e s e n t a t i o n   o f   t h e   po rt i o o f   a   t ra n s m i s s i o n   l i n e   t h a t   c o nn e c t s   b us e s     a n d   ,   a n d   w h o s e   l e n g t i s   .   A s   s h o w n   i F i g u r e   1 ,   t h e   o ri gi na l   s o u r c e s   a r e   s h o rt - c i r c ui t e a nd  a   f a u l t   h a s   o c c ur r e d   a t   a   d i s t a n c e     f r o m   t h e   e n d     a t   t h e   f a ul t   po i n t   .           F i gu r e   1 R e pr e s e nt a t i o o f   a   t ra n s m i s s i o l i n e   i t h e   f a ul t   i n c e pt i o n   r e gi m e       N o t   o n l y   t h e   m u t ua l   c o upl i n g   a nd  c a p a c i t a n c e   b e t w e e n   e a c pa i r   o f   pha s e s   c a us e   a   t ra v e l i n w a v e   o n   a   c e r t a i p ha s e   t o   ge n e ra t e   a l s o   t r a v e l i n g   w a v e s   p a s s i n g   t hr o ug h   t h e   o t h e p ha s e s ,   b ut   a l s o   c a us e   t ra v e l i n g   w a ve s   t o   di s t o r t   t h e m s e l v e s   a s   t h e y   t r a v e l   a l o n t h e   c o n duc t o r   [16 ].   T h e r e f o r e ,   t o   a na l y z e   t h e   pr o pa g a t i o n   o t r a v e l i n w a v e s   i n   t hr e e - p h a s e   s y s t e m s ,   w e   h a v e   pe r f o r m e d   t h e   Cl a r ke   m o da l   t ra n s f o r m a t i o n   [17 t de c o m po s e   t h e   t ra v e l i n w a v e s   o n   e a c h   p ha s e   i nt o   t hr e e   m o da l   de c o upl e t r a v e l i n w a v e s .   T h e   l i n e a r   c o m b i na t i o n s   r e l a t i ng  t h e   p ha s e   c o m po n e n t s   t o   t h e   m o da l   c o m po n e n t s   a r e   g i v e n   b y   t h e   f o l l ow i n e xpr e s s i o n s :       [ 0 ( , ) ( , ) ( , ) ] = 1 3 [ 1 1 1 2 1 1 0 3 3 ] [ ( , ) ( , ) ( , ) ]   (3)     [ 0 ( , ) ( , ) ( , ) ] = 1 3 [ 1 1 1 2 1 1 0 3 3 ] [ ( , ) ( , ) ( , ) ]   (4)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2088 - 8708   Int   J   E l e c   &   Co m E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   2 A p ri l   2020   :     1122   -   1134   1124   W h e r e     a n   a r e   t h e   s ub s c r i pt s   us e f o r   t h e   a e r i a l   m o de s   of   t h e   m o da l   i n c r e m e n t a l   qu a nt i t i e s   a n 0   is   t h e   s ub s c r i pt   us e d   f o r   t h e   g r o un m o de   o t h e   m o da l   i n c r e m e n t a l   q u a n t i t i e s .   F r o m   (3)  a nd  (4)  i t   t u rn s   o ut   t ha t   t w o   f a ul t   c a t e go r i e s   c a b e   di s t i ngui s h e d:     Ca t e go r y   :   F o t h e   f a ul t s   b e l o n gi n t o   t hi s   c a t e go r y ,   w e   h a v e   0 ( , ) 0   a nd  ( , ) 0 .   T h i s   c a t e go r y   c o m pr i s e s   s i n g l e   l i n e - to - g r o un (S L G f a ul t s   (A G ,   B G ,   CG a n l i n e - to - l i n e - to - g r o und  (L L G f a ul t s   (A B G ,   B CG ,   CA G ).     Ca t e go r y    :   F o t h e   f a ul t s   b e l o n gi n g   t o   t h i s   c a t e go r y ,   w e   ha v e   0 ( , ) = 0   a nd  s o m e t i m e s   e ve n   ( , ) = 0 .   T hi s   c a t e go r y   c o m pri s e s   l i n e - to - l i n e   (L L f a u l t s   (A B ,   B C,   CA ) ,   l i n e - t o - l i n e - to - l i n e   (L L L f a ul t   (A B C)  a nd  l i n e - to - l i n e - to - l i n e - to - g r o un d   (L L L G f a ul t   (A B CG ) .     In de e d,   l e t   us   c o n s i de r,   f o r   i n s t a n c e ,   t h e   s i m pl i f i e di a g r a m   o f   l i n e - to - l i n e   f a ul t   (B C)  s h o w n   i   t h e   F i gu r e   2 :           F i gu r e   2 .   S i m p l i f i e di a g ra m   o f   l i n e - to - l i n e   f a u l t   (B C)  a t   t h e   f a ul t   po i nt   F       W e   h a v e   t h e a t   t h e   f a ul t   po i n t   F :      ( ) = 0   (5)      ( ) =  ( )   (6)     T h e   Cl a r ke   m a t r i b e i ng  i n v e r t i b l e ,   w e   ob t a i n   f r o m   r e l a t i o n s   (4),   (5)   e t   (6 t h e   f o l l ow i n e xp r e s s i o n s :      0 ( ) +  ( ) = 0   (7)     2  0 ( )  ( ) = 0   (8)     F r o m   ( 7)  a n d   (8)   w e   de duc e   t h a t :      0 ( ) =  ( ) = 0   (9)       3.   P R O P O S ED   A P P R O A C H   F O R   F A U LT  LO C A TI O N   A c c o r di n t o   t h e   t ra v e l i n w a v e   t h e o r y   [18 - 20 ],   t h e   v o l t a ge   a n c u rr e n t   w a v e s   pr o duc e by   t h e   f a ul t   po i n t   F   t ra v e l   a l o n b o t s i de s   o f   t h e   l i n e   a t   s pe e   de pe n d i n g   o t h e   m o de   { 0 , , }   c o n s i de r e d   a s   s h o w n   i n   F ig u r e   3 .   T h us ,   w e   ha v e :     T w o   fo r w a r w a v e s   (  ( /   ) ,  ( / ) / 2 =  ( / ) / m o v i n t o w a r ds     t h e   e nd   .     T w o   b a c k w a r w a v e s   (  ( + / ) ,    ( + / ) / 2 =  ( + / ) / m o v i n g   t o w a r ds   t h e   e nd     T h us ,   t h e   m o da l   i n c r e m e n t a l   qu a n t i t i e s   c a n   b e   e xp r e s s e a s   f o l l ow s :     ( , ) = { 0      0 < }  ( ) + { < 0      0 < }   Δ  ( + )   (10)     ( , ) = { 0      0 < } ( ) 2 + { 0      0 < } Δ ( + ) 2   (11)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m E n g     IS S N :   2088 - 8708       T r av e l i ng   w av e   bas e d   f aul t   l oc a t i o f or   p ow e r   t r ans m i s s i on  l i ne s   ( E l m ahdi   Kh oudr y )   1125   W h e r e     i s   t h e   s u rge   i m pe da n c e   o f   t h e   po rt i o    o f   t h e   t ra n s m i s s i o l i n e ,   a nd   { . }   t h e   i ndi c a t o f un c t i o n   t h a t   i s   e qua l   t o   w h e i t s   a rgum e n t   i s   t rue .           F i gu r e   3 .   P r o pa g a t i o n   o f   m o da l   w a v e s   a l o n t h e   t ra n s m i s s i o l i n e   po rt i o R S   i t h e   f a u l t   i n c e pt i o n   r e gi m e       F r o m   e xp r e s s i o n s   (10)   a n d   (11 w e   de duc e   t h e   v a l ue s   o f   t h e   m o da l   i n c r e m e nt a l   q ua nt i t i e s   a t   t h e   e n ds     a n d     t ha t   a r e   r e s pe c t i v e l y   di s t a n t   by     a n d     f r o m   t h e   f a u l t   po i nt     c o n s i de r e a s   t h e   o r i g i n   o f   t h e   x - a xi s .     ( ) = ( 1 + )  ( )   (12)     ( ) = ( 1 + )  ( )   (13)     ( ) = ( 1 )  ( )   (14)     ( ) = ( 1 )  ( )   (15)     W h e r e     a n d     a r e   t h e   r e f l e xi o n   c o e ff i c i e n t s   a t   t h e   e n ds     a nd    r e s pe c t i v e l y .   T h us ,   w e   de duc e   t ha t   t h e   a rr i v a l   t i m e   o f   t h e   f i r s t   m o da l   i n c r e m e n t a l   v o l t a ge   w a ve   f r o n t   a n d   t h e   f i r s t   m o da l   i n c r e m e n t a l   c u rr e n t   w a ve   f r o n t   f r o m   t h e   f a ul t   l o c a t i o n   t o   t h e   e nd    i s   = / .   W e   de duc e   a l s o   t h a t   t h e   a rr i v a l   t i m e   o f   t h e   f i r s t   m o da l   i n c r e m e n t a l   v o l t a ge   a n d   c u rr e n t   w a v e   f r o n t s   f r o m   t h e   f a ul t   l o c a t i o t o   t h e   e nd    i s   = ( ) /   a s   s h o w n   i n   F i g u r e   4   a n d   F ig u r e   5 .   T h e r e f o r e ,   f o t h e   f a ul t s   b e l o n gi n g   t o   c a t e go r y   ,   w e   c o n s i de o nl y   t h e   a rri v a l   t i m e s   o f   t h e     a n 0   c o m po n e n t s   o f   t h e   m o da l   i n c r e m e nt a l   q ua nt i t i e s   a t   t h e   e n .           F i gu r e   4 .   A rri v a l   t i m e s   o f   t h e     a nd  0   c o m po n e nt s   o f   t h e   m o da l   i n c r e m e n t a l   qu a n t i t i e s   a t   t h e   e nd      0 = 0   (16)     =     (17)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2088 - 8708   Int   J   E l e c   &   Co m E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   2 A p ri l   2020   :     1122   -   1134   1126   F r o m   ( 16)  a n d   (17 w e   ob t a i n   :     = 0 1 0 1   (18)     a n c o n c e rni n t h e   f a ul t s   b e l o n gi n t o   c a t e go r y    ,   w e   c o n s i de r   o n l y   t h e   a rr i v a l   t i m e s   o f   t h e     c o m po n e n t   o f   t h e   m o da l   i n c r e m e nt a l   qu a nt i t i e s   a t   t h e   e n ds     a nd  .           F i gu r e   5 .   A rri v a l   t i m e s   o f   t h e     c o m po n e nt   o f   t h e   m o da l   i n c r e m e nt a l   q ua nt i t i e s   a t   t h e   e n ds     a nd          =     (19)     =   (20)     F r o m   ( 19)  a n d   (20 we   ob t a i n   :     = + ( ) 2   (21)       4.   M U LTI - S C A LE   M O R P H O LO G I C A G R A D I EN A L G O R I T H M   In  t h i s   s e c t i o w e   w i l l   p r e s e nt   t h e   l e v e l     m ul t i - s c a l e   m o r p h o l o gi c a l   g ra di e n t s   [21 ]   o f   t h e   m o da l   vo l t a ge s   a n d   c u rr e nt s   ( ̃ [ ] , ̃ [ ] , ̃ [ ] , ̃ [ ] )   t ha t   w i l l ,   f r o m   n o w   o n ,   r e p r e s e nt   a n r e p l a c e   t h e   m o da l   i n c r e m e nt a l   v o l t a ge s   a n d   c u rr e nt s   ( Δ , Δ , Δ   , Δ )   [ 22 - 24 ] .   T o   t h i s   e n d ,   l e t   us   c o n s i de r   a   di g i t a l   s i g n a l   [ ]   w h o s e   l e n gt h   i s   ,   a nd  t h e   l e v e l     dy a di c   l e n g t h   = 2 1 1   of   t h e   o pe r a t o r s     a n ,   w h e r e   1   i s   t h e   l e v e l   1   l e n g t o f   t h e   o pe ra t o r s     a n d      t o   b e   pr e s e t .   T h e   l e v e l     m u l t i - s c a l e   m o r p h o l o gi c a l   g r a di e n t   o f   [ ]   c a b e   p r e s e n t e a s   f o l l ow s :     A l go r i t h m   A 1   1.   S t a r t .   2.   G e t   [ ]   a n .   3.   0 [ ] = [ ] .   4.   D e t e r m i n e   1   a n d   .   5.   = 1 .   6.     <   :   6. 1 .   Co m put e   + [ ]   us i n g   (22) .     6. 2 .   Co m pu t e   + [ ]   us i n g   (23)   .   6. 3 .   Co m put e   [ ]   us i n g   (24) .     6. 4 .   Co m put e   [ ]   us i n g   (25) .     6. 5 .   Co m put e   + [ ]   us i n g   (26) .     6. 6 .   Co m put e   [ ]   us i n g   (27) .     6. 7 .   Co m put e   [ ]   us i n g   (28)     7.   E n d   .   8.   E n d.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m E n g     IS S N :   2088 - 8708       T r av e l i ng   w av e   bas e d   f aul t   l oc a t i o f or   p ow e r   t r ans m i s s i on  l i ne s   ( E l m ahdi   Kh oudr y )   1127   W h e r e :   + [ ]   i s   t h e   l e v e   f l a t   po s i t i v e   di l a t i o n:       + [ ] = { ma x 1 { 1 [ + ] }   1 + 1   1 [ ]   + 2   (22)     + [ ]   i s   t h e   l e v e l     f l a t   po s i t i v e   e r o s i o n :     + [ ] = { 1 [ ]   1 1 mi n 1 { 1 [ + ] }     (23)     [ ]   i s   t h e   l e v e l     f l a t   n e ga t i v e   di l a t i o n :     [ ] = { 1 [ ]   1 1 ma x 1 { 1 [ + ] }     (24 )     [ ]   i s   t h e   l e v e l     f l a t   n e ga t i v e   e r o s i o n :     [ ] = { mi n 1 { 1 [ + ] }   1 + 1   1 [ ]   + 2   (25)     + [ ]   i s   t h e   l e v e l     f l a t   po s i t i v e   g r a d i e n t :     + [ ] = + [ ] + [ ]   (26)     [ ]   i s   t h e   l e v e l     f l a t   n e ga t i v e   g r a d i e nt :     [ ] = [ ] [ ]   (27)     [ ]   i s   t h e   l e v e l     f l a t   g ra di e n t :   [ ] = + [ ] + [ ]   (28)       5.   P R O P O S ED   F A U LT  L O C A TI O N   A L G O R I T H M   B e fo r e   pr e s e n t i n t h e   p r o po s e a l go r i t hm ,   w e   w i l l   f i r s t   p re s e n t   t h e   a l go r i t hm   by   w h i c h   w e   c a n   de t e c t   t h e   s a m pl e   i n de    c o rr e s po n di ng   t o   t h e   l o c a l   m o dul us   m a x i m um   o f   t h e   c h a ra c t e r i s t i c   s i g na l   | ̃ [ ] ̃ [ ] | .   F o r   a   g i v e n   m o de   { ,      0 }   a n  {      } > 0   b e i n t h e   e m pi ri c a l   t hr e s h o l o t h e   c h a ra c t e ri s t i c   s i g na l   a b o ve   w h i c h   t h e   pr e s e n c e   o t h e   f a ul t   i n c e pt i o n   r e gi m e   i s   i n di c a t e d,   w e   ha v e   t h e   f o l l ow i n a l go r i t hm :     A l go r i t h m   A 2   1.   S t a r t .   2.   = 1 ,  = 0     3.     | ̃  [ ] ̃  [ ] |   3. 1   = + 1   4.   E n .   5.     =       6.       | ̃  [ + 1 ] ̃  [ + 1 ] | > | ̃  [ ] ̃  [ ] |   6. 1     = + 1     7.   E n .     8.      ̃  [ ] ̃  [ ] < 0 :   9.    ,  =   10.   E n  .   11.   E n d.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2088 - 8708   Int   J   E l e c   &   Co m E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   2 A p ri l   2020   :     1122   -   1134   1128   It   s h o ul b e   n o t e d   t h a t   s t e o f   a l go r i t hm   A 2   w i l l   b e   us e i n   a l go r i t h m   A t o   v e r i fy   w h e t h e r   t h e   f a ul t   i s   i n t e rna l   o r   e x t e rna l   [25 ] .   T h e   f a ul t   i s   i n t e rna l   w h e n,   f o r   a n y   m o de   m ,   ̃ [  , ] ̃ [  , ] <   a n d   ̃ [  , ] ̃ [  , ] < F i na l l y ,   t h e   p r o po s e a l go ri t hm   i s   pr e s e nt e by   a l go ri t hm   A 3:     A l go r i t h m   A 3   1.   S t a r t .   2.   D e f i n e   t h e   s a m pl i n g   r a t e     i M H z .   3.   = 0   4.     = 1 + 600      ( 1200 + 600 )     4. 1   F o r   a l l   m o de s   ,   c o m put e   a nd  s t o r e   ̃ [ ] , ̃ [ ] , ̃ [ ] , ̃ [ ]   us i n g   (3)   a nd  (4 ).   5.   E n  .   6.   F o r   a l l   m o de s   m ,   e xt ra c t   ̃ [ ] , ̃ [ ] , ̃ [ ]      ̃ [ ]   f r o m   ̃ [ ] , ̃ [ ] , ̃ [ ]      ̃ [ ]   r e s pe c t i v e l y   us i n g   a l go r i t hm   A 1 .   7.   F o r   a l l   m o de s   m ,   ru n   a l go r i t h m   A 2   f o r   n o de s     a n d     t o   o b t a i n   t h e   i n di c e s    ,   e t    ,   c o r r e s po n di ng  r e s pe c t i v e l y   t o   t h e   l o c a l   m o dul us   m a x i m a   o f   | ̃ [ ] ̃ [ ] |   a n | ̃ [ ] ̃ [ ] |   8.       , +  , = 0   or    , +  , = 0 :   8. 1   = + 1   8. 2   go   b a c t o   s t e 4.   9.   E n  .   10.         0 , = 0   a n d    , 0 :   10. 1   O b t a i n     by   r e m p l a c i n g          w i t ,    ,   r e s pe c t i v e l y   i r e l a t i o (21)   .     11.   E n    .   12.         0 , 0 :     12. 1   O b t a i n     by   r e pl a c i ng  0        w i t h   0 ,    ,   r e s pe c t i v e l y   i r e l a t i o n   ( 18).     13.   E n    .   14.   E n d.       6.   S I M U LA TI O N   R ES U LTS   A ND  DISCUSSIO NS     T o   a s s e s   t h e   e ff i c i e n c y   o f   t h e   pr o po s e m e t h o f o r   f a ul t   l o c a t i o n ,   w e   c o n s i de r e a   t r a n s m i s s i o n   l i n e   o n   w h i c h   i n t e rna l   f a ul t s   w e r e   s i m ul a t e o n   t h e   po r t i o    a s   s h o w n   i n   F ig u r e   6 .   T h e   v o l t a ge   a n d   c u rr e nt   s i g n a l s   o b s e r v e a t   e n ds     a n   w e r e   s a m p l e a t   a   ra t e   o f   1M H z   a n t h e n   p r o c e s s e t hr o ug h   a l go r i t hm   A 3 .   A s   s t a t e i s t e 4   o f   a l go ri t hm   A 3,   w e   r e ga rde a   1200      t i m e - b a s e w i n do w   w h o s e   s l i di n g   i nt e r v a l   i s   600    .   I n   r e g a r ds   t o   a l go ri t hm   A 1 ,   w e   t oo 1 = 8 ,   w h i c h   i s   e qui v a l e n t   t o   a   s l i di ng  s ub - w i n do w   t h a t   c o ve r s   a   pe r i o o f   8      a nd  m o v e s   c o n t i n uo us l y   by   o n e   s a m pl e   i n s i de   t he   m a i n   w i n do w   [25 ].             F i gu r e   6 .   S i m u l a t i o m o de l       T o   ve r i fy   t h e   pe r f o r m a n c e   of   t h e   pr o po s e a ppr o a c h ,   w e   a na l y z e t h e   i n f l ue n c e   of   t h e   f a ul t   t y pe ,     t h e   f a ul t   r e s i s t a n c e ,   t h e   f a ul t   i n c e pt i o n   a n gl e ,   a nd  t h e   s a m pl i n ra t e   o t h e   f a u l t   l o c a t i o n   e rr o r   %   gi v e n   by   t h e   f o l l ow i n e xp r e s s i o n :     % = | ̂ | × 100   (29)     W h e r e :       :   T h e   a c t u a l   d i s t a n c e   b e t w e e n   e n   a nd  t h e   f a ul t   po i nt .     ̂   :   T h e   e s t i m a t e di s t a n c e   b e t w e e n   e nd    a nd  t h e   f a ul t   po i n t .       :   T h e   l e n g t h   o f   t h e   po rt i o n    .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m E n g     IS S N :   2088 - 8708       T r av e l i ng   w av e   bas e d   f aul t   l oc a t i o f or   p ow e r   t r ans m i s s i on  l i ne s   ( E l m ahdi   Kh oudr y )   1129   B e fo r e   gi v i n g   a   num e r i c a l   e xa m pl e ,   i t   s h o ul d   b e   n o t e d   t ha t   = = 2 . 9304 10 5    . 1   a n d   0 = 2 . 2263 10 5    . 1 .   T h us ,   a s   s h o w n   i F i g u r e   7 ,   f o a   f a ul t   b e l o n gi n g   t o   c a t e go r y     t h a t   a c t u a l l y   o c c urr e a t   25      f r o m   e n d   ,   w e   ha v e   a c c o r di n t o   t h e   b l ue   g ra p = 4 . 237    ,   a n d   t o   t h e   r e g ra p 0 = 4 . 264    .   T h e r e fo r e ,   w e   ob t a i a c c o r di n g   t o   a l go r i t hm   A a n d   (18) :           F i gu r e   7 .   C ha ra c t e ri s t i c   s i g n a l :   m o de     (b l ue a n d   m o de   ( r e d )       ̂ = ( 4 . 264 4 . 237 ) 10 3 1 . 0792 10 6 25 . 0185        W e   h a v e   c o n s e que n t l y   f r o m   (29),   % = 0 . 012   % .   W e   w o ul pr o c e e i t h e   s a m e   m a nn e f o r   t h e   f a ul t s   b e l o n gi n g   t o   c a t e go r y      by   t a ki ng  i n t o   a c c o un t   t h e i r   s pe c i f i c   f a ul t   l o c a t i o pa ra m e t e r s .       6. 1 .     I n fl u e n c e   o th e   f au l typ e   In   o r de r   t o   s t udy   t h e   e ff e c t   of   f a ul t   t y pe   o n   t h e   f a ul t   l o c a t i o n   e rr o r,   w e   s i m ul a t e a l l   t y p e s   o f   f a ul t s   (S L G ,   L L G ,   L L ,   L L L ,   L L L G a l o n t h e   po r t i o n    ,   w hi l e   f i x i n t h e   f a ul t   r e s i s t a n c e   i 2   Ω   a n d   t h e   f a ul t   i n c e pt i o a n g l e   i 90° .   T h e   di s t r i b ut i o n   o f   f a ul t   l o c a t i o e rr o r s   o b t a i n e d   by   a l go r i t hm   A 3   i s   r e p r e s e nt e i   t h e   F i gu r e   8 .           F i gu r e   8 .   D i s t r i b ut i o n   o f   t h e   f a ul t   l o c a t i o e rr o r s   a c c o r di n t o   t h e   f a u l t   t y pe         W e   ob s e r ve   t h a t   t h e   di s t r i b ut i o n   o f   f a ul t   l o c a t i o n   e rr o r s   i s   t he   s a m e   w i t h i n   t h e   s a m e   c a t e go r y   b ut ,   o n   t h e   c o n t ra r y ,   i t   di f f e r s   f r o m   o n e   c a t e go r y   t o   a n o t h e r .   I nde e d,   S L G   a n d   L L G   f a ul t s   t h a t   b e l o n t o   c a t e go r y     ha v e   t h e   s a m e   f a ul t   l o c a t i o e rr o r   w h a t e v e r   t h e   di s t a n c e   c o n s i de r e d,   a n d   t h e   s a m e   t hi n f o r   L L   a n L L L (G f a ul t s   t h a t   b e l o n g   t o   c a t e go r y    .   N e v e r t h e l e s s ,   t h e   f a ul t   l o c a t i o e rr o r s   o f   c a t e go r y     f a ul t s   a r e   hi g h e t ha n   t h e   f a ul t   l o c a t i o n   e rr o r s   o f   c a t e go r y      f a ul t s ,   a n d   t ha t   c o m e s   dow n   t o   t h e   t r a de - o ff   b e t w e e n   t h e   f a ul t   l o c a t i o a c c ur a c y   a n d   t h e   f a u l t   l o c a t i o ra pi d i t y .   A l t h o ug i t   i s   l e s s   p r e c i s e ,   t h e   l o c a t i o o f   c a t e go r y     f a ul t s   i s   f a s t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2088 - 8708   Int   J   E l e c   &   Co m E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   2 A p ri l   2020   :     1122   -   1134   1130   s i n c e   i t   i s   b a s e o n   s i n gl e - e n de f a ul t   l o c a t i o n   t e c hni que s   t ha t   r e qui r e   o n l y   o n e   m e a s u r e m e n t   po i nt   (e nd  );   w h e r e a s   t h e   l o c a t i o n   o f   c a t e go r y      f a ul t s   i s   m o r e   p r e c i s e ,   b ut   i s   l e s s   ra pi d   s i n c e   i t   i s   b a s e o n   do ub l e - e n de f a ul t   l o c a t i o t e c hn i q ue s   t ha t   r e qu i r e   t w o   m e a s u r e m e n t   po i nt s   (            )   e xc ha n g i n g   i n f o r m a t i o w i t a   r e f e r e n c e   po i n t   (    )   o a   S CA D A   s y s t e m   w i t a   c e rt a i l a t e n c y   t ha t   s h o ul d   b e   r e duc e us i ng  e ff i c i e n t   i nt e rn e t   b a s e c o m m un i c a t i o n   p r o t o c o l s   [ 26 ,   27 ].   O ut   of   t h i s   a na l y s i s ,   w e   c o n c l ude   t ha t   t h e   p r o po s e d   f a ul t   l o c a t i o n   a p p r o a c h   i s   s e n s i t i v e   t o   t h e   f a ul t   c a t e go r y ,   b ut   w i t hi n   t h e   s a m e   c a t e go r y ,   i t   i n s e n s i t i v e   t o   t h e   t y pe s   of   f a ul t s   a n d   t o   t h e   p h a s e s     i n v o l v e i t h e   f a u l t   p r o c e s s .   In  o t h e w o r ds ,   w ha t e v e r   t h e   p h a s e s   a f fe c t e d,   t h e   f a ul t s   b e l o n gi n g   t o   t h e   s a m e   c a t e go r y   gi v e   t h e   s a m e   f a ul t   l o c a t i o e rr o r   di s t ri b ut i o n.       6 . 2 .     I n fl u e n c e   o th e   fau l r e s i s tan c e   T o   s t ud y   t h e   i m p a c t   o f   t h e   f a ul t   r e s i s t a n c e ,   w e   c o m pa r e t h e   di s t r i b ut i o n   o f   t h e   f a ul t   l o c a t i o n   e rr o r s   a l o n g   t h e   po r t i o n      o f   bo t h   f a u l t   c a t e go r i e s   us i ng  t w o   di ffe r e nt   f a ul t   r e s i s t a n c e s   ( 2   Ω      100   Ω ) .   A s   s h o w n   i n   F i gu r e s   a n 10 ,   w i t h i n   t h e   s a m e   c a t e go r y ,   t h e   pr o po s e f a ul t   l o c a t i o n   a l go ri t hm   i s   i n s e n s i t i v e   t o   t h e   f a ul t   r e s i s t a n c e   s i n c e   t h e   di s t r i b ut i o n   o f   t h e   f a ul t   l o c a t i o n   e rro r s   r e m a i n s   t h e   s a m e   f o r   a n y   f a ul t   r e s i s t a n c e .   In   a ddi t i o n,   t h e   p r o po s e a l go r i t hm   i s   v e r y   pr e c i s e   s i n c e   fo r   bo t h   c a t e go r i e s   t h e   o b s e r v e e rr o r s   a r e   s m a l l e t h a 0 . 6%   .           F i gu r e   9 .   D i s t r i b ut i o n   o f   t h e   f a ul t   l o c a t i o e rr o r s   o f   c a t e go r y     f a ul t s   a c c o r di n g   t o   t h e   f a ul t   r e s i s t a n c e           F i gu r e   10 .   D i s t r i b ut i o o f   t h e   f a ul t   l o c a t i o e rr o r s   o f   c a t e go r y      f a ul t s   a c c o r di n g   t o   t h e   f a ul t   r e s i s t a n c e       6 . 3 .     I n fl u e n c e   o th e   fau l i n c e p t i o n   an gl e   F o r   t h e   pu r po s e   of   s t ud y i n t h e   i n f l ue n c e   of   t h e   f a ul t   i n c e pt i o n   a n g l e   o n   t h e   f a ul t   l o c a t i o n   e rr o r ,   f a ul t s   o f   b o t h   c a t e go r i e s   ha v e   b e e n   t ri gge r e a l o ng   t h e   po r t i o n      a t   f a ul t   i n c e pt i o a n gl e s   60° , 30°   a n d   .   F r o m   F i gu r e s   11  a n d   12 ,   i t   a ppe a r s   t ha t ,   w i t hi n   t h e   s a m e   f a ul t   c a t e go r y ,   t h e   di s t ri b ut i o n   o f   t h e   f a u l t   l o c a t i o e rr o r s   do e s   n o t   v a r y   f r o m   o n e   f a ul t   i n c e pt i o n   a n g l e   t o   a n o t h e r.   M o r e o v e r ,   t h e   m a xi m u m   e rr o r   c o n c e rn i ng  c a t e go r y     f a ul t s   i s   a b o ut   0 . 5   %   a n d   t h e   m a xi m um   e rr o r   o f   c a t e go r y      f a ul t s   i s   a b o ut   0 . 07   % It   c a b e   c o n c l ude t h a t   t h e   p r o po s e m e t h o f o r   f a ul t   l o c a t i o n   i s   p r e c i s e   a n d   i n s e n s i t i v e   t o   f a ul t   i n c e pt i o n   a n gl e s .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m E n g     IS S N :   2088 - 8708       T r av e l i ng   w av e   bas e d   f aul t   l oc a t i o f or   p ow e r   t r ans m i s s i on  l i ne s   ( E l m ahdi   Kh oudr y )   1131       F i gu r e   11 .   D i s t r i b ut i o o f   t h e   f a ul t   l o c a t i o e rr o r s   o f   c a t e go r y     f a ul t s   a c c o r di n g   t o   t h e   f a ul t   i n c e pt i o n   a n g l e             F i gu r e   12 .   D i s t r i b ut i o o f   t h e   f a ul t   l o c a t i o e rr o r s   o f   c a t e go r y      f a ul t s   a c c o r di n g   t o   t h e   f a ul t   i n c e pt i o n   a n g l e       6 . 4 .     I n fl u e n c e   o th e   s am p l i n r at e   In  o r de r   t o   s t udy   t h e   i m p a c t   o f   t h e   s a m p l i n g   ra t e   o t h e   d i s t r i b ut i o n   o f   t h e   f a u l t   l o c a t i o e rr o r s ,     w e   us e s a m pl i ng  ra t e s   o f   1     a n d   0 . 5     w h i l e   ke e pi ng,   f o r   t h e   f a ul t s   o f   bo t h   c a t e go ri e s ,   t h e   f a ul t   r e s i s t a n c e   a t   2   Ω   a n d   t h e   f a ul t   i n c e pt i o a ngl e   a t   90° A c c o r di n t o   F i gu r e s   13  a n d   14 ,   i t   c a b e   o bs e r v e t ha t ,   fo r   b o t h   f a ul t   c a t e go r i e s ,   t h e   f a ul t   l o c a t i o n   p r e c i s i o n   de c r e a s e s   w i t h   t h e   de c r e a s e   o f   t h e   s a m p l i n ra t e .   I n de e d,   t h e   f a ul t   l o c a t i o e rr o r s   c o rr e s po n di n g   t o   t h e   s a m p l i n g   r a t e   0 . 5     a n r e p r e s e nt e by   t h e   r e b a r s   a r e   m uc hi g h e r   t h a t h o s e   c o r r e s po n di ng  t o   t h e   s a m p l i ng  ra t e   1     an r e p r e s e nt e by   t h e   b l ue   b a r s .   W e   de duc e   t h a t   t h e   p r o po s e f a ul t   l o c a t i o a l go r i t hm   i s   v e r y   s e n s i t i v e   t o   t h e   s a m p l i n g   ra t e   a nd  t h a t   t h e   h i g h e i s   t h e   s a m pl i ng  ra t e ,   t h e   b e t t e i s   t h e   f a ul t   l o c a t i o p r e c i s i o n.             F i gu r e   13 .   D i s t r i b u t i o o f   t h e   f a ul t   l o c a t i o e rr o r s   o f   c a t e go r y     f a ul t s   a c c o r di n g   t o   t h e   s a m pl i ng  ra t e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.