Int ern at i onal  Journ al of Ele ctrical  an d  Co mput er  En gin eeri ng   (IJ E C E)   Vo l.   9 , No .   6 ,  Decem ber   201 9 , p p.   4758 ~ 4766   IS S N: 20 88 - 8708 ,  DOI: 10 .11 591/ ijece . v9 i 6 . pp475 8 - 47 66          4758       Journ al h om e page :  http: // ia es core .c om/ journa ls /i ndex. ph p/IJECE   Bac ks tep pin g  n onlin ea r  c ontrol to   ma ximize en ergy  ca ptu re    in a v ari able  sp eed wind  t urbin e         Ouadi a  El   M aguiri 1 ,   Driss  Mouss aif 2 , El  ala mi   Smm a 3 ,  Farc hi A bdel maj id 4 ,   Az iz   A khi at e 5   1 , 2,3,4 IMM II - lab ,   Facul t y   of   Sci en ce   and Technolo g y ,   Univer si t y   H assan  1 st ,  Moroc co   5 RLSEISE - la b ,   Univer sit y   of   Ha ss an  II,   ENSA M ,   Moroc co       Art ic le  In f o     ABSTR A CT    Art ic le  history:   Re cei ved   Ma r   1 , 2 01 9   Re vised  Jun   15 , 201 9   Accepte d  J un   27 , 201 9       W e  are   conside ri ng  the   proble m   of  m axi m u m   po wer  point   tra ck i ng  MPPT  in   wind  ene rg y   con ver sion  s y st em  (W ECS).  The   p a per   proposes  a   n ew  cont ro l  strat eg y   to  m axi m iz e  the   wind   ae rod y n amic  e ner g y   c apt ur ed  in  var ia bl e   spee d  wind  turbine  with  a   sepa ra te l y   exc i te d   DC - G ene rat or   and  tr ansform ed   to  the   b at t er y   thr ough  a  cont ro lle d  DC - DC  conve rte r.   The   propos ed  strate g y   cont rols  the   stip  spee d  rat io  vi a  the   rotor  angul ar  spee d  to  an  optim um  point   at   wich  the   power  coe ffi ci e nt  is  m axi m al .   The   c ontrol ler  is  designe d  usin g  the   b ac kstepp ing   technique.  A   fo rm al   anal y s is  ba sed  on  l y a punov   stabilit y   is  deve lop ed  to  d esc ribe   the   con trol   s y st em  per form anc es.   In  addi ti on   to   cl osed - loop  g lo bal   as y m p tot i c  stabi lit y ,   it   is  prove d  that  th e   cont rol le r   ac tu al l y   m eets  t he  MP PT  req uire m e nt.   Th e  abo ve  result s  ar e  co nfirmed  b y   sim ula ti ons.   Ke yw or d s :   Ba ckstep ping   c on t ro l     DC - DC con vert er     DC gene rato r     Ly apun ov stab il ity     MPPT     Copyright   ©   201 9   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .    Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   Ou a dia E l   M a guiri ,    Dep a rtm ent o f El ect rical  an d  Me chan ic al  E nginee rin g,   Faculty  of S ci e nce a nd Tec hnology,     Un i ver sit y Ha s san 1 st ,   Sett at - Mor occ o .   Em a il :  Ou adia _elm agu iri@y ahoo.fr       1.   INTROD U CTION   In   isolat ed  places  wh e re  no  el ect ric  gr id  is  avail able,  wind  tur bine s  gen e rators   ( W T G)   an d  photov oltai c  (P V)   a rr ay s  are  us e d  to  pro vid   el ect rici ty .   Ho wev e r  interm ittent  char act eris ti c  of   so la r  an d  wind   energy  create s   a  need   f or   e nergy  bac kup.   Ba tt ery  charg in g  is  an  i nteresti ng   al te r na ti ve  beca us e  of   it s  si m plici t y and   reli abili ty   [1 - 2].    As  sho wn   in  F ig ure  1,   batte r y  char gi ng   a ppli cat ion   of te n  us e  a  ge ner at or  that  conve rts  wind  tur bine   powe r  to  outp ut  volt age  an d  a  DC - DC  co nverter  on  it s  va r iou s  to polo gie s  Buck  ,B oost,   Buck - Bo os t  [ 3]  and   resona nt  DC/D C  conver te r  [ 4] .  Gen e rall y  the  DC  ge ne rato r  is  a  go od   c hoic e  f or   a  ( WT G)   as  it   is  sim ply  to   con t ro l  an d  it s  dynam ic   char act erist ic s  are  ver y  good   [ 5].   On   a no t her   ha nd,  there  is  a  con si der a ble  interest   in   us in g  va riable   sp eed  wind  tur bin es .  I nd ee d,   these  ca n  be   dr ive n  co ns t antly   near   to  the  opti m u m   tip - s pee d  rati o     th rou gh  tur bin e   r otor  s peed  c on t ro l   a s  s how n  i n  Fig ure   1 .  S pecifi cal ly ,  ro t or  s pe e d  m us t  f ollo w   wind - s pee d  va riat ion s   in  l ow  an d  m od erate  vel ociti es  in  orde r  t o  m axi m iz e  aero dy nam ic   eff ic ie ncy.   This sc hem e is  know n  as m ax i m u m  p ow e r p oin t t rac king  ( MPPT)  [ 6].   The  Win d  ge ne rators  power  pro du ct io n  ca n  be  m echan ic al ly   con tr olled  by   changin g   t he   blade   pitch  ang le   [ 7].  H oweve r,   ( W T G )   of   s pecial   const ru ct io n  are  r equ i red,  w hich   is  no t  the  usu al   case,  especi al ly   in   sm a ll - siz e stand - al on e  w i nd e nergy c onversi on syst em s ( WECS).           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Backstep ping   nonline ar co ntr ol to m aximize  ener gy  c ap t ur e   in  a  v ar ia ble s peed wi nd   . ...  ( Oua dia   El Ma gu iri )   4759                                                 Figure  1.   Bl oc k diag ram  o f  th e  pro posed  sys tem       A  c omm on ly   wind  tu rb i ne  con t ro l  m et hods   incl ude  cl a ssica l  te chn iq ues  [8 - 10] ,  w hich  util iz e    a  li near iz ed  wi nd   t urbine  syst e m   m od el .  A nothe r  com m on   con t ro l  m et ho d  is  fu ll   sta te   fe edb ac k  [11]  w hich  is   sensiti ve  to  e r rors  in  m od el ing   a nd  m easur em ents.  In   [ 12] ,  an  a da ptiv e  sli din g  m ode  sp ee d  co ntr ol  is  pro po se d.   Fuzz y  log ic   co ntr ol  [13]  an d  ne ur al   networks  [ 14 ]   ha ve  bee n  in ve sti gated  to  reduc e     the  uncertai nti es  faced  by  cl assic al   con tr ol   m et ho ds.  I n  [ 15 ]   a  MPP T  a lgorit hm   is  us ed  f or   a   pe rm anen t  m agn et ic   synchro ne  generato r  us in g  gradie nt   app r ox im at ion .  As  the p owe r  coeffic ie nt   cp   is  diff ic ult  to  ob ta in   and   is  diff e re nt   fo r  e ver y  tu r bin e,  a n  ob se r ver   for  the  est i m ation   of  po wer   c oeffici en ts  in  a  W ECS   wh e re    a sepa ratel y ex ci te d  ge ner at o r  is u se d  i n [16].   In   this  pa per ,  a  new   c ontrol   strat egy  for  ut il iz ation   of  WECS  in  batte ry  chargin g  a pp li cat io n  is   pro po se d  i n  or der   t o  ob ta in  m axi m u m   power   point  trac king  (MP PT).  A  no nlinear   c on t ro ll er  is  de velo ped  us in g  the  bac kst epp i ng   te c hniqu e.  The  c ontrolle r  desig n  is   base d  on  a  no nlinear  m od el   descr i bing  the  wind   tur bin e,   the  D C  ge ner at or,   th e  boost   co nver te r,   a nd  the  bat te ry.  It  is  f or m al ly   sh own   tha t,  besi des  cl os e d  lo op   asym pto ti c sta bili ty , th e n on l inear contr oller  actual ly   m eet s  the MPPT r eq uir em ent. Th e p ape r  is organ i zed as  fo ll ows:  t he  c ontr olled  syst e m   is  m od el le d  and  gi ve n  a  sta te   sp ace   re pr es entat ion  in  Sec ti on   2,  the  co nt ro ll er   desig ne d  in  S ect ion   3  w here  it s  per f or m ances  are  t heor et ic al ly   analy s ed,   the  c ontr oller  perf or m ances  are   furthe r   il lustrat ed  in  Secti on  4 t hro ugh n um e rical  si m ulati on s, a  c on cl us io n  a nd a  ref e rence  li st end the  pap e r.       2.   SY STE M MO DELL ING   The rot or po w er  of  t he win d  t urbine   P w   is give n by [ 17 - 18 ] ,     P w = 1 2 cp ( λ ) ρπ R 2 ω w in 3   (1)     w he re  ρ   is  the  ai r  de ns it y,  R   is  t he  ra diu s  of   t he   swep t  a rea  of  the  tu rb i ne  r otor,  cp   is  the  power   c oeffici en t   that  is  functi on  of  t he  ti p - s pe ed  rati o  λ   fo r   a   fixe d  blade  pitch  an gle,  ω win   is  the  wi nd  s peed.   The  ti p  sp ee d  rati o  is  def i ned as:     λ = R ω m ω win     (2)     w he re  ω m   is  the  wind  tu r bi ne  r otor  sp ee d.   Figure  2  sho ws  a  ty pical   cur ve   of   cp   versus   λ .  F or   a  par ti cula r   curve  it   is  poss ible  to  obta in  a   poly no m ia l  app r oxim a ti on   f or  the   cp   as  a  func ti on   of  λ .  The   m axi m u m   valu e   of  c p ,  that  is  c pm a x = 0 . 407   is  achieve d  f or   λ opt = 8 . 07 .  This  pa rtic ular  va lue  res ults  in  the  point  of   op tim a l   eff ic ie ncy  whe re th e  w i nd turbine ca ptures t he  m axi m u m  p ow e r.          L c   Gea rbox   v a   DC  Gen e rato r     i b   E b   R b   i L   μ u   C   i a   Ba tt ery      -   Con tr ol  un it   +   T m   J m   T e   J e   ω e   T   T p   ω win     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   6 ,  Dece m ber  2 01 9  :   4758   -   4766   4760       Figure  2. P ow e r  c oeffici ent     ve rsu s  the  ti p  s pe ed rat io        T he p olyno m ial ap pr ox im at io n for     can  be  e xpresse d  as        ( ) = ∑ 4 = 0   (3)     wh e re   the   c oeffici ents    have  a  nu m erical   va lues  c orres pondin g  to   cha rac te risti c  of  us e d  WECS.   T he   orde r   po ly nom ia l  is  ta ken   e qual   to   = 4 .  Since     involv es  a  relat io n  be tween  t he  ro t or  sp ee d  a nd  t he  wind  s pee d,    it  is cle ar th at  for   a certai n  wi nd spee d, the re  is a roto r  s pee d  at   witc h  t he m axi m u m  p ower  po i nt   is  rea ched.   The  m echan ic a l dynam ic  o f  th e  W ECS  can  be desc ribe d by  the foll owin g  s et  o f  equati ons  [15 - 16] .     ̇ + = −     ̇ + = −     =   (4)     w he re  J e   is  the  total   inerti a  of  DC  ge ner at or,  B e   is  the  coeffic ie nt  of  visc ous  fr ic ti on. T e   is  the  el ect ro m agn et ic   tor qu e .  T m   is   the   r otor  t orq ue  a t  the   tur bin e ,   J m   is  the   m o m ent   of   ine rtia ,  B m   is   the   f rict ion al   const ant  of   tur bin e  a nd    is  the  a ngular   velocit y  of  the   DC - Ge near t or  ro t or.  No te   t ha t  no  to rsion  r el at ed  losses   a re  consi der e d he r e. Furt her m or e , th e t ran sm issio n i s ass um ed  ideal .   T he  t ran s m issi on  g ea r ra ti o  is de fine d  a s     =   (5)     Using  (4) - ( 5)   we get  the m echan ic al   e quat io n of t he WECS :     ̇ + = −   (6)     wh e re       = + 2     = + 2   (7)     In  a bove  e qu at ion s ,     den otes t he  scal ed  s um   of  the  ro t or  a nd g e ner at or  i ne rtia s an d    the scal ed  su m   of   ro t or   a nd  ge ner at or   c oeffi ci ent  of   visco us   f rict ion.   Fi nally ,  the  W E CS  m od el   is  obta ined  by  co m bin ing    the d y nam ic s o f  the  D C  ge nerat or   with t hat of the  turbine  a nd is  giv e n by:      = − −      = 1 2    ( )  2 3 − −   (8)     w he re   L a   an d     are  res pecti vely   the   sta tor   wi nd i ng  in duct a nce  a nd  resist ance.     is  the   induced   em f  const ant,     the  f ie ld curre nt a nd    arm at ur e w i nd i ng volt age .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Backstep ping   nonline ar co ntr ol to m aximize  ener gy  c ap t ur e   in  a  v ar ia ble s peed wi nd   . ...  ( Oua dia   El Ma gu iri )   4761   Let   us   int rod uc e  the  sta te   va r ia bles  1 =   an d  2 = .  T hen  ( 8)   yi el ds  the  f ollow i ng  s ta te   sp ace   represe ntati on   of the c om bin at ion   ‘turbin e  – DC G e ne rato r’:     1  = 1 2    ( )  2 3 1 − 2 − 1     2  = 1 − 2 −   (9)     Applyi ng  well   known   ave ra ging  te ch niqu e  [3 - 4],  one  obta ins  the   f ollow i ng   ave rag e   m od el   f or    the Bo os t  DC - DC c onver te r  a s sho wn in   F ig ur e  1 :     3  = − 1 4 + 1 2     4  = − ( 1 − ) [ 4 + ] + 1 3   (10)     w he re  3 x and  4 x   de no te   res pecti ve ly   the  (av e ra ge )  volt age    an d  current  i nput    ;    is  the  a ver a ge  valu e   (over  c utti ng  per i od s )   of   the   bi nar y   co ntr ol .  Re cal l  that   the  co ntin uous  sign al   ,  usual l y  cal le d  duty   r at io,   s ta nd s  a s  the  c on t ro l  in put  of  the  syst e m .  The  ob j ect ive  is   to  achiev e  th e  MPPT  re quirem ent  by  act i ng   on     the  duty   rati o.   The  sta te   eq ua ti on s  ob ta ine d  up   t o  no w  co nst it ute  a  sta te -   sp ace  re presen ta ti on   of  the  w ho le   syst e m  includ i ng the  WECS   com bin ed wit h  the  DC - DC c onve rter a nd th e  b at te ry:     ̇ 1 = 1  ( ) − 1  2 − 2 1 − 3 2   ̇ 2 = 4 1 − 5 2 − 6 3     ̇ 3 = − 7 4 + 7 2   ̇ 4 = − ( 1 − ) [ 4 + ] + 1 3   (11)     w he re       1 =  3 2 , 2 = , 3 = , 4 = ,   5 = , 6 = 1 , 7 = 1       3.   CONTR OLL ER D E SIG N AND  STABIL ITY  ANALY S IS   To faci li ta te  the contr ol d e vel oppm ent p r oce ss,  the  foll owin g  ass um ption s  are c on si der e d:   A1)  al l t he  syst e m  p aram et ers  are  known  and  const ants.   A2)  al l st at es - s pace  ( = 1 . . 5 )   an d  th e  wind s pee d   ( )   ar e m easur able.   A2)  t he win d  s peed   ( )   is co ns ta nt or sl ow ly  ti m e v aryi ng ( i .e   ̇  ( ) ≅ 0 )   The  co ntr ol  ob j ect ive  is  to  en force  the  s peed    of   the  wind  tur bin e  t o  track   it s  ref ere nce  tr ajecto ry ,    = − 1   .  Th e  m axim u m   po we r   po i nt  is  r eached   w he n  =  .  Fo ll owin g    the b ac ks te pp i ng tech nique  [ 19 - 21 ]  the  cont ro ll er is  d esi gned  in  fo ur   ste ps:     St ep 1.     le t us  intr oduce t he  s pe ed  trac king e r ror:     1 = 1 −  2 = 1 − 1 ∗   (12)     In v ie w of   ( 3)   and ( 11)  t he  a bove  er ror u nd e rgoes  t he  (13) :     ̇ 1 = 1 ∑ − 1  2 − 2 1 − 3 2 − ̇ 1 ∗ 5 = 0   (13)     In   (13)   t he  qu antit y   = − 2 2   sta nds  up   as  a  (v i rtu al )  con t ro l  in put  for  the  1 - dy nam ic s.  Let   ∗ de no te     the stabil iz ing  functi on ( ye t t o be  determ ined) asso ci at ed  t o  . I t i s ea sil y see n from  ( 13)  t hat if    = ∗   with:     ∗ = − 1 1 − 1 ∑ − 1  2 + 3 1 + ̇ 1 ∗ 5 = 0   (14)     The n  on e   wou ld  get  ̇ 1 = − 1 1   with  1 > 0   is  a  desig n  pa ram et er.  This  would  cl early   ens ur e   asym pto ti c stabil it y of  (1 3) wi th r es pect the   Ly apun ov fun c ti on :     1 = 0 . 5 1 2   (15)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   6 ,  Dece m ber  2 01 9  :   4758   -   4766   4762   I n ef fect, the  ti m e - der ivati ve of   1   would t he n be:     ̇ 1 = 1 ̇ 1 − 1 1 2 < 0   (16)     As   = − 2 2 ,  is  just  a   vi rtual  co ntr ol  i nput,  one  ca n  no t  set   = ∗ .  Ne vert heless,  t he  a bove   ex pressi on   of   ∗   retai ne d  as  a fi rst stabil iz at ion f un ct io n  a nd a  n e w  e rror i s in tro du ce d:     2 = − ∗   (17)     Using  (14) - (17 ),  it  foll ows  fro m  ( 13 )  t hat the   1 - dynam ic s u nder goes the   ( 18) :     ̇ 1 = − 1 1 + 2   (18)     St ep 2 .    T he  obj ect iv e  now  is   to  en force  the error  v aria ble  to  va nis h. ( 1 , 2 ) .To   th is  end,  le t  us   fi rst  determ ine  the d y nam ic s o f  2 :     ̇ 2 = − 2 ̇ 2 − ̇ ∗   (19)     Ba sed on t he  a ssu m ption   A2 ;  (19) to gethe r wit h (11) an d ( 14)  im plies:     ̇ 2 = − 1 1 − 1 ∑ ( − 1 ) − 2 ̇  2 + 2 1 − 2 ( 4 1 − 5 2 − 6 3 ) 5 = 0   (20)     wh e re i n view  of (5)     ̇ ≅ ̇ 1    (21)     T he   qua ntit y   2 = 2 6 3   ta nds   as   vi rtual  c ontrol   in   ( 20),  le t  2 ∗   de no te s   the   c orr esp ondi ng   sta bili zi ng   fun ct ion  ass ociat e d  to   2 , it i s clea r  that if  2 = 2 ∗ with:     2 ∗ = − 2 2 − 1 − 1 ∑ ( − 1 ) ( − 2 ) ̇  2 + ( 2 4 − 2 )   1 − 2 5 2 5 = 0   (22)     The n  one  w ould  get   ̇ 2 = − 2 2 − 1     with  2 > 0   is  a  desi gn  par am et er.  This  would  cl early   ens ure   asym pto ti c stabil it y of   ( 1 , 2 )   erro rs  w it h res pect th e Lya puno v  f unct ion :     2 = 0 . 5 1 2 + 0 . 5 2 2   (23)     A s    2 = 2 6 3   is  just  a   vi rtual  c on t ro l   input,   one   can   no t   set   2 = 2 ∗ .  Ne vert heless,  t he  a bove   e xpress i on   of  2 ∗   retai ned   as  a first sta bili zat ion   functi on a nd the t hire d  e r ror  is i ntrod uce d:     3 = 2 6 3 − 2 ∗   (24)     U sin g (22) - (24 ),  it  foll ows  fro m  ( 20 )  t hat the   2 - dynam ic s u nder goes the   ( 25) :     ̇ 2 = − 2 2 − 1 + 3   (25)     St ep  3.     Let   us  inv est igate  t he beha vior  of the  erro r  3 , in   view  of (2 4), tim e d erivati ve o f   3   gi ves:     ̇ 3 = 2 6 ̇ 3 − ̇ 2 ∗   (26)     F ro m  ( 22 )   ,it  is  r ea dily  seen  t ha t      ̇ 2 ∗ = − 2 ̇ 2 − ̇ 1 + 2 4 ̇ 1 − 2 5 ̇ 2 − 2 ̇ 1 −   1 ∑ ( − 1 ) ( − 2 ) ( ( − 2 ) ( − 3 ) ̇ + ̈ )  2 5 = 0   (27)   U sin g (11) a nd (22) it  foll ows  f r om  ( 26)  t hat:     ̇ 3 = 2 6 ( − 7 4 + 7 2 ) + 2 ̇ 2 + ̇ 1 − ( 2 4 − 2 ) ̇ 1 + 2 5 ̇ 2 + 1 ∑ ( − 1 ) ( − 2 ) 5 = 0     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Backstep ping   nonline ar co ntr ol to m aximize  ener gy  c ap t ur e   in  a  v ar ia ble s peed wi nd   . ...  ( Oua dia   El Ma gu iri )   4763   ( ( − 2 ) ( − 3 ) ̇ + ̈ )  2     (28)     I n  ( 28),  the   f ollow i ng  qu a nt it y  3 = − 2 6 7 4   act s  a s  virtu al   co ntr ol.  T o   determ ine  a  c orres ponden t   sta bili zi ng   fun ct ion   3 ∗ , let us  conside r  the  qua drat ic  augm ente d  Ly a punov f unct ion can di date:     3 = 0 . 5 1 2 + 0 . 5 2 2 + 0 . 5 3 2   (29)     T i m e - der ivati ve  of  3   al ong  t he t raj ect ory   of  t he  syst e m   ( 1 , 2 , 3 )   is gi ven b y:     ̇ 3 = − 1 1 2 − 2 2 2 + 2 3 + 3 ̇ 3   (30)     T he  a bove  exp ressio n of  ̇ 3   sug gest the  foll owing st abili zi ng   functi on      3 ∗ = − 3 3 − 2 6 7 2 − 2 ̇ 2 − ̇ 1 + ( 2 4 − 2 ) ̇ 1 − 2 5 ̇ 2 − 2 − 1 ∑ ( − 5 = 0 1 ) ( − 2 ) ( ( − 2 ) ( − 3 ) ̇ + ̈ )  2   (31)     wh e re   3 > 0   is a  ne w param et er desi gn. Let  us  i nt rodu ce  the  fo ll ow i ng er ror     4 = 3 − 3 ∗   (32)     C om bin ing   (31 )  a nd (32) yi el ds     ̇ 3 = − 3 3 − 2 + 4   (33)     St ep   4.    The   obj ect ive   no w   is  to   en f or ce   the  e rro r  var i ables  ( 1 , 2 , 3 , 4 )   to  va nish ,   to  t his  e nd ,  le t  us  deter m ine the  dynam ic s o f  4 . Deri ving (3 2)  and usi ng (1 1)  on e  obtai ns :     ̇ 4 = 2 6 7 ( ( 1 − ) [ 4 + ] + 1 3 ) − ̇ 3 ∗   (34)     w ith     ̇ 3 ∗ = − 3 ̇ 3 − 2 6 7 ̇ 2 − 2 ̈ 2 − ̈ 1 + ( 2 4 − 2 ) ̈ 1 − 2 5 ̈ 2 − ̇ 2 − 1 ∑ ( − 1 ) ( − 5 = 0 2 ) ( − 2 ) ( ( − 3 ) ( − 4 ) ̇ 2 + ( − 3 ) ̈ + ⃛ )  2 − 1 ∑ ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 3 ) ̇ ( ( − 5 = 0 2 ) ( − 3 ) ̇ + ̈ )  2   (35)     In   (35), the act ual control in put nam el y    arises for  the f i rst tim e;  w e seek  the stabil iz at ion of  the  fu ll   error sy ste m   ( 1 , 2 , 3 , 4 )   with  resp ect  t o t he  f ollo wing a ug m ented  ly ap u no v functi on  cand i date:     4 = 3 + 0 . 5 4 2   (36)     It is easi ly  ch e cked that , t he  t i m e d erivati ve of   4 is given b y:     ̇ 4 = − 1 1 2 − 2 2 2 − 3 3 2 + 3 4 + 4 ̇ 4   (37)     I t i s easil y che cked that  t he  a bove de rivati ve  sug gests the  foll ow i ng b ac kst epp in g   c ontr ol law     = 1 − [ 3 + ( − 4 4 − 3 + ̇ 3 ∗ ) 2 3 7 ] 1 ( + 4 )   (38)     w he re  4 > 0   is a  ne w desig n para m et er; that i s (37)  bec om es:     ̇ 4 = − ∑ 2 4 = 1 < 0   (39)         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   6 ,  Dece m ber  2 01 9  :   4758   -   4766   4764   The res ults o btained u p  to  no w  a re sum m arized in  the  f ollo wing the orem .   Theorem   (Ma in  resu lt s) .  Co ns ide r  the  syst e m   of   fig.1  an d  desc ribe d  by   the  m od el   (1 1)  in  cl os e  loop   with    the b ac ks te pp i ng contr oller  ( 38); the n o ne h as the  fo ll owin g pro per ti es:   1 -   al l si gn al s a re  bounde d  a nd t he  trac king e rror s   ( 1 , 2 , 3 , 4 )   van is h  asy m pto ti cally   2 -   the   m axi m iz a tio n o f  t he  e nerg y ca ptured  is a chieve d.     Pro of .    the ( 1 , 2 , 3 , 4 )   er r or - syst em  is g iven  the c om pact form     [ 1 2 3 4 ] = [ − 1 − 1 0 0 1 − 2 − 1 0 0 1 − 3 − 1 0 0 1 − 4 ] [ 1 2 3 4 ]   (40)     it  is read il y see n from  ( 39)  tha t     ̇ ≤ − 1 ‖ [ 1   2   3   4 ] ‖ 2   (41)     w ith     1 =  { 1 , 2 , 3 , 4 }   (42)     w he re  ‖ . ‖   denotes   the  Eucli dian   norm ,  these  ens ur e  that  th e  equ il ib rium     ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 )   of    the syst em  ( 11)  is  globall y ex pone ntial ly  sta ble [2 0]. T he  l at te r  ens ur e  the  MPPT  obj ect i ve.       4.   PERFO R MANC ES  EV AL UA TI ON   The  perform a nces  of   t he   pro posed  c on t ro l  desig n  are  il lustrat ed  th rou gh  si m ulati on s.     The  ex pe rim en ta l  set up ,  has  been   sim ulate d  in  Ma tl ab/Si m ul ink   en vir onm ent.  The  inv ol ved   el em ents  have   the foll owin g  c har act erist ic s   a s sho wn in   Tab le  1 :       Table  1.  T he  c h aracte risti cs  of the  in vo l ved  el e m ents   Batter y       Eb= 2 4 V;  R b =0 .6 5 Ω   DC - DC co n verters       L c =1 mH;  C= 4 .7m F;   DC g en era to r     L a =1 1 mH;  R a   =1 . 2 Ω ;     J e =0 .20 8 kg m²     Be=0 .01 1 kg m² ;  Ke= 0 .35 3 ;  If=0 .15 A.   Air den sity   25 . 1   W in d  tur b in e   J m =0 .1kg m² ;  B m =0 .01 5 kg m ² ;  R=0 .5m ;  opt =6 ;   Tra n smis sio n  gear  ra tio   5 . 11       The val ues  of  ( = 0 . . 4 )   in (3) are:      0 = 121 × 10 − 4 ;   1 = − 302 × 10 − 4 ;   2 = 196 × 10 − 4 ; 3 = − 34 × 10 − 4 ;   4 = 2 × 10 − 4         The  c ontrolle r   perf or m ances  will   be  e val uated  i n  pr es ence  of   (tim e - va ryi ng)  wind  velocit y.     The  wi nd  sp ee d  re fer e nce  as  sh ow n  in  F ig ure   3   ta ke s  a  lo w,   m edium   an d  hi gh   value  ( equ al   to  8,   10. 7,   14. 6  and   ste p  to  12 .5 m /s  at   t i m es   0,   200,   400  a nd   500s   res pe ct ively ).   W it h   these  val ues  of  wind  s pee ds ,   blo c k  op ti m iz ation   ge ner at es  t he  optim al   ro tor   s pe ed  r efe ren ce   sh ow n  in   Fig ure   3.  T he  i nd ic at ed  val ues  of  desig n   par am et ers  1 = 75 ;   2 = 20 ;   3 = 18   an d  4 = 15   hav e  bee n  s el ect ed  us in g  a   try - an d - e rror   search  m et hod  and   prov e d  t o  be  su it able.  T he   con tr oller  pe rfor m ances  are   il lustrate d  by  Fig ure  3  an d  F ig ure  4;  they   sh ow   that  the  m achi ne  s peed   perf ect ly   con ve rg e   to  it s  ref e rence .  The  t rack i ng   q ualit y  is  qu it e  sat isfact or y  a s   the  respo ns e  ti m e  (af te r  each   change  in  the   wind   s peed )  is  le ss  than  10s .  The  pe rf ect   MPPT  in  pr e s ence  of   wind  sp ee d  ch ang e s  is   s how n  i n  Fig ure   4 .   T he   sp ee d  rati o    c onve rg es   t o  it s   opti m a l  va lue   = 8 . 07   f or  wh ic h  the  po w er c oeffici ent  (  ) = 0 . 407 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Backstep ping   nonline ar co ntr ol to m aximize  ener gy  c ap t ur e   in  a  v ar ia ble s peed wi nd   . ...  ( Oua dia   El Ma gu iri )   4765         Figure  3.   W i nd   sp ee d  a nd tu rbi ne  r otor s pee d p rofil es             Figure  4.  W i nd sp ee d rati o    an d   powe r  c oeffici ent         5.   CONCL US I O N   In   t his  pa pe r,   a  ne w  s olu ti on  to  M PPT  of   var ia ble  s pee d  sm al l  wind   batte ry - ch ar ger  syst e m   is   dev el op e d.   M P PT  is  achieve d  us in g  the  nonl inear  back ste ppin g  co ntr oller   (38)   base d  on  the  syst e m   no nl inear  m od el   (1 1).  T he  co ntr oller  is  prov e n  to  yi el d  a  glo ba ll y   un i form l y  bo unde d  sta ble  cl os e d - lo op  syst e m   via  ly apu no v - base d  analy sis.  Si m ula ti on   res ults  dem on strat e  the  sat isfact ory   perform ance  of   the  pro pose d  con t ro ll er.         REFERE NCE S     [1]   Z.  Ch en   and  F .   Bla abjerg ,   “ W ind  Ene rg y - The   W orld’s  Fastest  Grow ing  Ene rg y  Source , ”  IE EE   Powe r  Elec tronic s   Soci e ty   N ewsle t t er ,   vol .   18 ,   pp .   1 5 - 19 ,  2006 .   [2]   D.  C.   Phan   and   T.  H.  Tri nh ,   “ Maximum   Powe r  Ex tracti on   Method  for   Doubl y - f ed  Induc ti on   Gene rat or   W ind  Turbi ne , ”  Inte rn ati onal  Journal of  E le c tric al   and   Computer  Eng i nee ring ( IJE C E) ,   v ol .   8 ,   pp .   711 - 722 ,  2018 .   [3]   H.  E .   Fad il   and  F.  Giri,   “ Ba ckst eppi ng  Based   C ontrol   of  PW M  DC - DC  Boost  P ower  Converters , ”   Pro ce ed ings  o f   the   I EE E   ISIE '0 7,   V igo, Spai n ,   p p .   395 - 400 ,  200 7 .    [4]   O.  E .   Maguiri ,   e t  al . ,   “ Adapti ve  cont rol  of  a  cl as s  of  serie   resona nt  DC - DC  conv ert er , ”  IF AC  Sy mpos ium  on   Powe r  Pl ants a nd   Power   Syste ms   Contr ol ,   2009 .   [5]   W .   Li,  e t  al. ,   “ Resea rch   on  W ind  Turbi ne  E m ula ti on  base d   on  DC  Motor , ”  2nd  IEE E  C onf.   on  Industrial   El e ct ronics  and   App li ca ti ons,   IC IEA   2007 ,   pp .   25 89 - 2593 ,  2007 .     0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 8 9 10 11 12 13 14 15 t i m e ( s ) w i n d   s p e e d   ( m / s ) 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 0 50 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 t i m e ( s ) r o t o r   s p e e d   ( r d / s )     o p t i m a l   s p e e d a c t u a l   s p e e d 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t i m e ( s ) t i p   s p e e d   r a t i o 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 5 0 . 5 5 0 . 6 t i m e ( s ) Cp Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  9 , N o.   6 ,  Dece m ber  2 01 9  :   4758   -   4766   4766   [6]   D.  V.  N.   Ananth   and   G.   V.  N .   Kum ar,   “ Ti p  spe e d  rat io   base d   MP PT  al gorit hm   a nd  improved  fi eld  orie nt ed  cont r ol   for  ext r acting  op ti m al   r ea l   power   and  inde p ende n t  re ac t ive  power   cont ro l  for   grid   connect ed   doub l y   fe d   induction   gene ra tor,”  In te r nati onal Journal   of El e ct ri cal   an d  Computer  Eng ine ering ,   vol .   6 ,   pp. 1319 - 1331,   2 016.   [7]   F.   Le sche r ,   et a l . ,   “ Robust Ga in  Sch edul ing   Controll er  for   Pitc h   Reg ula t ed  Vari able S pee d  W ind Tur bine , ”   S tudi es   in  Informati cs  a nd  Control ,  v ol .   14,   pp .   299 - 315 ,   2005.   [8]   T.   Knuds en,   et   al . ,   “ Com par ing  PI  and  robu st  cont rol  pitch  co ntrol lers   on  a  4 00KW   wind  turbi ne  b y   ful l  sca le   te sts , ”   Depa r tment  of  Con trol E n gine er ing, Aal bo rg  Univer sit y ,   A al borg,   Denm ark ,   T ec h .   R ep. R - 97 - 4174,   1997 .   [9]   B.   Boukhezz ar   a nd   H.  Siguerdi dj ane ,   “ Nonlinear  Control   of  Vari a ble - Speed  W ind   Turbi nes  for  Gene ra tor  Torqu e   L imiti ng   and  Po wer  Optimizatio n , ”   J. Sol. Energ y  Eng . ,   v ol .   128 ,   p p.   516,   2006.   [10]   B.   Boukhe zzar,   et   al . ,   “ Multi v ariabl e   cont ro l  str a te g y   for   var i able   spee d,   var ia bl e  pit ch  w ind  turb i nes, ”  Re n ewabl e   Ene rgy ,   vol .   32 ,   pp.   1273 - 1287 ,   2007.     [11]   K.  Stol  and  M.  Bal as,   “ Full - sta t e  fee db ac k  con tr ol  of  a  var i abl e - spee d  wind  turbine:  A  compari son  of  per iodi c  an d  consta nt   Gains , ”   J. of Sol ar  Ene r gy  Eng . ,   vol .   12 3,   pp .   319 - 326 ,   2001.   [12]   A .   M era b et ,   “ A dapt ive  slidi n g  m ode  cont ro l  for  wind   en erg y   exp eri m en ta l  s y stem ,”   En ergie s ,   vo l.  11 ,    pp.   1 - 14 ,   2018 .   [13]   X.  Zha ng ,   e t  a l. ,   “ Fuzz y   cont rol   of  var ia b le   spe e d  wind  turbi n e , ”  Proc.   6 th  Worl d  Congress   on  Inte lligent  Contr ol   and  Aut omat ion ,   pp.   3872 - 3876,   2006.   [14]   F.  Kane ll os  and  N.  Hatz i arg y riou ,   “ A  new  cont rol   sche m e  for  var i abl e  spe ed  wind  turbi ne  using  ne u ral   ne tworks , ”  Proc.   I EEE  P ower  Eng. Soc.  Tr a ns.  Distrib.   Conf . ,   New York ,   N Y ,  2002 ,   pp.   360 - 3 65.   [15]   S.  Morim oto,   et  al. ,   “ Pow er   m axi m iz a ti on  con trol   of   var i able - spee d  wind  g en era t ion  s y s te m   using  per m ane n t   m agne t  s y nchr o nous ge ner a tor , ”  Tr ans.  Inst.   El e c.   Eng. of J apan ,   Part B ,   vol .   123 - B,   pp .   1573 - 15 79,   2003 .   [16]   L .   D,  K.  B  and  M.   J .,   “ Esti m at ion  of  the   power  coe ffi ci e n t  in  a  wind  conve rsion  sy st em , ”   Proceedi ngs  of  the   44t h   IEE E   Confe ren c e  on  D ec ision   an d  Control, and t he  European   Co ntrol  Conf ere nce 2005  Se vil le ,  Sp ain ,   2005 .   [17]   I.   Munte anu,  e t a l. ,   “ Optimal  Con trol   of   W ind  En e rg y   S y st ems , ”  Springer, 2008.    [18]   F.  Senani ,   et   a l. ,  “ A  Co m ple te   Modeli ng  and  Con trol   for  W ind  Tu rbine   Based  of  a  Doubl y   Fed   Ind uct ion  Gen era to r   using  Dire ct   Pow er  Control , ”   Inte rnational   Jou rnal  of  Powe r  El e ct ronics  and   Dr iv e  Syste ms   ( IJP EDS) ,  v ol.   8,     pp.   1954 - 1962 ,   2017.   [19]   J.   Zhou ,   e t  al . ,   “ Adapti ve  b ac ks te pping   cont ro l  of  Separ a tel y   E xci t ed  DC  Moto r  with  Unc ertain ti es , ”   I EE   Proc .   El e ct .   Pow er  Ap pl. ,   vol .   149 ,   pp .   165 - 172 ,  2002 .   [20]   Krs ti c   M. ,   e t al . ,  Nonli near  and   a dapti v e  con trol design ,   John   W ila y   &   Sons ,   Inc ,   1995.   [21]   M.  E .   Azz aoui,   et   al . ,   “ Bac ksteppi ng  Control   of  wind  and  ph otovol taic  h y bri d  Rene wable   E ner g y   S y s te m , ”   Inte rnational   Jo urnal  of Powe r  El e ct ronics  and   Dr iv e  Syst ems ( IJP EDS) ,   v ol .   7 ,   pp.   677 - 686 ,   20 16.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.