I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   7 ,   No .   4 A u g u s 201 7 ,   p p .   1 8 3 3 ~ 1 8 3 8   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v7 i 4 . p p 1 8 3 3 - 1838          1833       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s jo u r n a l.c o m/o n lin e/in d ex . p h p /I JE C E   Desig n of a Sel ect iv e F ilte r b a sed  o n 2D   Photo ni c Cr y sta ls  M a terials       L a lla m   F a ra h 1 B a da o ui  H a djir a 2 Abri  M eha dji 3     1,   2 S T IC  L a b o ra to ry ,   F a c u lt y   o f   Tec h n o l o g y ,   Un iv e rsit y   o f   T l e m c e n ,   A lg e ria   3 T e le c o m m u n ica ti o n s L a b o ra to ry ,   F a c u lt y   o f   Tec h n o lo g y ,   Un iv e rsi ty   o f   T le m c e n ,   A l g e ria          Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J u n   9 ,   2 0 1 6   R ev i s ed   No v   2 0 ,   2 0 1 6   A cc ep ted   Dec   1 1 ,   2 0 1 6       Tw o   d ime n sio n a f in it e   d if f e re n c e te m p o ra d o m a in   (2 D - F DT D)  n u m e rica l   sim u latio n a re   p e r f o r m e d   in   c a rtes ian   c o o rd i n a te  s y ste m   to   d e ter m in e   th e   d isp e rsio n   d iag ra m o f   tran sv e rse   e lec tri c   (T E)  o f   a   tw o - d im e n sio n   p h o to n ic  c r y sta (P C)  w it h   tri a n g u lar  latti c e .   T h e   a i m   o th is  w o rk   is  to   d e si g n   a   f il ter  w it h   m a x i m u m   sp e c tral   re sp o n se   c lo se   to   th e   f re q u e n c y   1 . 5 5   μm .   T o   a c h iev e   th is  f re q u e n c y ,   se lec ti v e   f il ters   P a re   f o rm e d   b y   c o m b in a ti o n   o f   t h re e   w a v e g u id e W 1 A   w h e re in   th e   a ir  h o les   h a v e   o f   d iffere n n o rm a li z e d   ra d ii   re sp e c ti v e l y   r 1 /a = 0 . 4 4 ,   r 2 /a = 0 . 2 8 8   a n d   r 3 /a =   0 . 3 2 9 2   ( a:   is   th e   p e r io d icity   o th e   latti c e   w it h   v a lu e   0 . 4 8   μm ).   Be st  re sp o n se   is  o b tain e d   w h e n   w e   in se rt   th re e   sm a ll   c y li n d rica c a v it ies   ( w it h   n o rm a li z e d   ra d iu o f   0 . 1 7 b e tw e e n   th e   tw o   h a lf - p lan e s o f   p h o t o n ic cry sta stro n g   late ra c o n f in e m e n t.   K ey w o r d :   2 p h o to n ic  cr y s tal s   2D - FDT D   B an d   f ilter s   W av eg u id e     Co p y rig h ©   2 0 1 7   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e .     Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   L alla m   Far a h ,     Dep ar t m en t o f   P h y s ics,    A b u   B ek r   B elk aid   Un i v er s it y ,   P B : 1 1 9   Un iv er s it y   o f   T le m ce n ,   1 3 0 0 0 ,   A lg er ia.   E m ail:   f a. lalla m 7 2 @ g m a il.c o m       1.   I NT RO D UCT I O N     P h o to n ic  cr y s tals   ( P C s )   ar p er io d ic  d ielec tr ic  n an o s tr u ct u r e s   m ater ials   a n d   h av e   m an y   ap p licatio n s :   T h ey   also   h a v ap p licatio n s   in   m ed i ca i m a g i n g   f ield ,   s o lar   ce lls   an d   d ev elo p p m e n o f   ch e m ical  a n d   b io lo g ical  m icr o   s e n s o r s ,   s p ec tr o s co p y   a n d   elec tr o m a g n e ti s h ie ld in g   [ 1 ] ,   [ 2 ] .   T h n an o p h o to n ic   s tr u ct u r es   o f f er   e x ce p tio n al   p o ten tia f o r   th e   d ev elo p m e n t   o f   n e w   ar ch itectu r es   o f   p h o to v o ltaic   s o lar   ce lls   in   t h i n   la y er s   an d   h ig h   e f f ic ien c y .   Am o n g   t h p r o m i s i n g   ap p licatio n s   o f   P C s ,   w m en tio n ed   s el ec ti v f ilter   b ased   o n   2 D   C P s   [ 3 ].   T h P C s   h av d iel ec tr ic  i n d ex   w h ich   v ar ies  ac r o s s   th w a v elen g t h   t h at  i s   to   b co n tr o lled ,   o n   o n o r   m o r s p atial  d ir ec tio n s .   An alo g o u s   to   elec tr o n s   in   s e m ico n d u cto r s ,   th p h o to n   p r o p ag atio n   ca n   b e   d escr ib ed   u s in g   b an d   s tr u ct u r in   w h ic h   tr an s m is s io n   b a n d s   ar s ep ar ated   b y   b a n d   g a p s ,   en er g y   r an g es  at   w h ic h   lig h ca n n o ex is t   i n s id th p h o to n ic  cr y s tals   [ 4 ] .   Mo s o f   th r esear ch   o n   P C s   f o cu s e s   o n   th u s o f   b an d   g ap s .   T h in s er tio n   o f   d e f ec ts   i s   t h ea s ie s w a y   to   ch a n g t h p r o p er ties   o f   p h o to n ic  cr y s tal s   an d   e x p lo it   th e m   f o r   th r ea lizatio n   o f   a m az in g   p h o to n ic  co m p o n e n ts   f o r   in teg r ated   o p tics .   Def ec t s   ca u s t h ap p ea r an ce   o f   m o d es  w it h in   th e   b an d   g ap .   Def ec t s   ar r ea lized   b y   r e m o v al,   ad d itio n   o r   m o d i f icatio n   o f   p atter n   i n   o n o r   m o r p ar allel  r o w s   o f   t h cr y s tal  in   ΓK  d i r ec tio n   o f   B r illo u i n   f ir s t   zo n [ 5 ] .   Hen ce ,   ca n   b d esig n ed   ( W 1 A w a v e g u id b y   cr ea tin g   b et w e en   t h t w o   h alf - p la n es  o f   p h o to n ic  cr y s ta s tr o n g   la ter al  co n f i n e m en t,  w h e n   s in g le  f u l l r o w   o f   air   c y li n d er s   h o les is   r e m o v ed   in   t h P C s .   T h aim   o f   t h i s   w o r k   is   to   d esig n   w a v e g u id w it h   m ax i m u m   s p ec tr al  r esp o n s cl o s to   th e   f r eq u en c y   1 . 5 5   μ m .   T h is   n a n o s tr u ctu r is   co m p o s ed   b y   s u p er p o s itio n   o f   t h r ee   w av e g u id es  W 1 A   w i th   d if f er e n r ad ii.  T h is   k i n d   o f   f il ter   h as  b ee n   alr ea d y   s t u d ied   in   r ef .   [ 6 ] .   T h n e w   i n   t h i s   p ap e r   is   t h i n s er tio n   o f   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   4 A u g u s t   2017     1 8 3 3     1 8 3 8   1834   n u m b er   o f   d ef ec t s   b et w ee n   th t w o   h a lf - p la n es  o f   p h o to n ic  cr y s tal  s tr o n g   later al  co n f i n e m e n t,  i n   o r d er   to   i m p r o v th r esp o n s o f   t h f i l ter .   I n   th is   p ap er ,   th s i m u lat io n   w a s   b ased   o n   t h m et h o d   o f   f i n ite  d i f f er e n ce   ti m d o m a i n   ( FDT D)   [ 7 ] .   2 - n u m er ical  s i m u latio n s   ar e   p er f o r m ed   in   C ar te s ia n   co o r d in ate  s y s te m   to   d eter m in th d is p er s io n   d iag r a m s   o f   tr an s v er s elec tr ic  ( T E )   o f   t w o - d i m en s io n   P C   w i th   tr ian g u lar   lattice ,   o p er atin g   as   f ilter .       2.   RE S E ARCH   M E T H O D     T h FDT D   is   u s ed   to   n u m er icall y   m o d eli n g   2 p h o to n ic  cr y s ta co n tai n in g   air   h o les  w it h   tr ian g u lar   lattice.   I is   o n o f   th m o s w id el y   u s ed   n u m er ical  m et h o d s   f o r   co m p u t in g   t h s o lu t io n   o f   elec tr o m ag n etic  p r o b le m s ,   i n c lu d in g   p h o to n ic  s tr u ct u r es.   I p r o v id es  u s   w it h   s i m p le  wa y   to   d is cr etize   th Ma x w ell s   eq u atio n s   w i th o u r eq u ir in g   a   co m p le x   m at h e m a tical  f o r m u latio n ,   a n d   it  d o es  n o r eq u ir an y   s y m m etr y   i n   t h s tr u ctu r b ein g   m o d elled ,   m o r eo v er   FDT ca n   b u s ed   f o r   t h i n h o m o g e n eo u s   s tr u ct u r m at er ials   i n   t w o   o r   th r ee   d i m e n s io n   f o r m s   [7 - 10] Fu r t h er m o r e,   it  co m p u te s   th s o lu tio n   i n   t h ti m d o m a in ,   f r o m   w h ic h   t h f r eq u e n c y   b eh a v io u r   o f   t h e   elec tr o m ag n etic  b a n d   g ap   ele m en ts   ca n   b ex tr ac ted   o v er   a   w id f r eq u e n c y   r a n g e.   T h el ec tr o m a g n etic  f ield   is   r ep r esen ted   b y   M ax w e ll e q u atio n s   g iv e n   b y   t h f o llo w i n g   r elatio n s :     {                        (          )                (            )                                (                     )                     ( 1 )     ε  an d   µ  r ep r esen t r esp ec tiv el y   th p er m itt iv it y   a n d   p er m ea b il it y   o f   t h m ater ial.     T h FDT D   m et h o d   is   u s ed   h e r to   d is cr etize   th eses   eq u at io n s   ( 1 )   w it h   ti m s tep   Δ t,  s p atial  s tep s   Δ x   an d   Δ y   w h ic h   ar th e   d is ta n ce   b et w ee n   t w o   n e ig h b o r in g   g r i d   p o in ts ,   r esp ec ti v el y   alo n g   th x   a n d   y   d ir ec tio n s   in   th x y - co o r d in ate  s y s te m Fo r   th T E   m o d e,   t h n u m er i ca s ch e m o f   th t w o - d i m en s io n al  FDT m eth o d   [ 1 1 ]   is :         (                   )                                       (     (                   )       (                   )     )         (                   )                                         (     (                   )       (                   )     )         ( 2 )       (                   )                                       (     (                   )       (                   )           (                   )       (                   )     )       I n   o r d er   to   ac h iev th n u m e r ical  s tab ilit y   o f   t h s c h e m e   [ 6 ] ,   th ti m s tep   v al u m u s s atis f y   th e   r elatio n   o f   th f o llo w i n g   cr iter io n :               (       )     (       )                   ( 3 )     W h er c :   is   th v elo cit y   o f   lig h i n   f r ee   s p ac e. A ls o   i n   o u r   co m p u tat io n ,   th v al u es  o f   Δ x   an d   Δy r esp ec t t h r elatio n :                                            ( 4 )     W h er ε r is   th e   r elativ e   p er m itti v i t y   o f   t h d ielec tr ic  m atr i x   a n d       is   th e   w av e len g t h   o f   th d esire d   m o d e.   T h co m p u tatio n al  d o m ai n   h a s   r ec ta n g u lar   s h ap in   t h x - y   p la n e.   T h s p atial   d is cr etiza tio n   i n   t h e   FDT s i m u la tio n   is   c h o s en   to   b Δ x   Δ y   0 . 0 4   μ m A   m o d u lated   Gau s s ian   p u l s is   u s ed   to   p r o v id w id e - b an d   ex cita tio n   at  an y   d esire d   p o s itio n   in s id th co m p u ta tio n al  d o m ain   co m p r i s in g   th e   C P . Sin ce   th d ata  s to r ag in   co m p u ter   is   li m ite d   b y   th s ize  o f   its   m e m o r y ,   it  is   n o p o s s ib le  to   h an d le  an   o p en   r eg io n   p r o b lem   d ir ec tl y .   T o   m iti g ate  t h i s   p r o b le m ,   t h p er f ec tl y   m atch ed   la y er   ( P ML )   tec h n iq u [ 1 2 ] ,   [ 1 3 ]   is   w id el y   u s ed   i n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708         Desig n   o f a   S elec tive  F ilter   b a s ed   o n   2 P h o to n ic  C r ysta ls   Ma teri a ls   ( La lla F a r a h )   1835   th FDT s i m u latio n s it  e x h ib its   a n   ac c u r ac y   le v el  t h at  is   s i g n if ican t l y   b etter   t h a n   m o s o th er   ab s o r b in g   b o u n d ar y   co n d itio n s   ( A B C s )   [ 1 4 ] ,   [ 1 5 ].   Her w co n s id er   o n l y   t h co n d itio n s   o f   ab s o r p tio n - t y p w all   th a t   s i m u late  a   f in ite   d o m ai n   co n t ain i n g   th e n tire   s tr u ct u r s t u d y   b y   i n v e s ti g ati n g   th e   lo w es r ef lectio n   d ig ita l   in ter f ac e s .     T h ad o p ted   tw o - d i m e n s io n al  fin ite   d if f er en ce   ti m d o m ai n   s i m u lat io n   p r o ce s s   i s   s h o w n   i n   Fi g u r 1   in   x yz   co o r d in ate  s y s te m .   A cc o r d in g   to   t h Fi g u r 1 ,   t w o   lo ca ted   d etec to r s   ar u s ed   to   co m p u te   th e   r ef lectio n   at  th e   i n p u t   an d   tr an s m is s io n   at  t h o u tp u t   o f   t h s tr u ct u r e.   Ga u s s ia n   s o u r ce   i s   e m p l o y ed   f o r   e x citatio n   ( s o u r ce ) .   T h s tr u ctu r is   s u r r o u n d ed   b y   f o u r   s u r r o u n d in g   a b s o r b in g   w alls .                                       Fig u r 1 .   T w o   d i m e n s io n al  fin ite  d if f er e n ce   ti m d o m ai n   s i m u latio n   p r o ce s s       3.   RE SU L T A ND  AN AL Y SI S     I n   th f o llo w i n g ,   n u m er ical  s i m u latio n   is   d o n f o r   th f ir s to p o lo g y   w h ich   is   t h co m b in atio n   o f   th r ee   k i n d s   o f   w a v e g u id es  W 1 A   co u p led   in   ca s ca d ar r an g e m en w ith i n   t h s a m ce ll  o f   P C   w it h   tr ian g u lar   lattice  a n d   w it h o u t   ca v ities   in s id th e   t w o   h al f - p la n es   o f   p h o to n ic   cr y s tal  s tr o n g   l ater al  co n f in e m e n t   ( Fig u r e2 ) .   E ac h   w av e g u id p o s s ess e s   n u m b er   o f   h o les  n =1 5   ( to tal  n u m b er   o f   h o les  4 5 ) .   T h n o r m alize d   s ize  o f   h o les ar r esp ec ti v el y   r 1 /a   0 . 4 4 ,   r 2 /a   0 . 2 8 8 ,   r 3 /a   =   0 . 3 2 9 2   an d   th latt ice  co n s ta n t a   0 . 4 8 μ m .     T h air   cy li n d er s   h o les  h av i n g   ar e m b ed d ed   in   d ielec tr ic   m atr i x   d o p ed   I NP /GA I NASP /I NP r ef r ac tiv i n d ex   o f   m atr i x   is   n 3 . 2 4 .   T h ese  air   r o d s   ar a r r an g ed   in   th x   d ir ec tio n   an d   s u p p o s ed   in f in i tel y   lo n g   in   t h z   d ir ec tio n .     T h tr an s m i s s io n   co ef f icie n v er s u s   w a v elen g t h   f o r   th T E   p o lar izatio n ,   d er iv ed   f r o m   th FDT s i m u lat io n   co r r esp o n d in g   to   t h f ir s t   to p o lo g y   i s   p lo tted   i n   Fig u r 3 ( a ) .   W o b s er v th a th r esp o n s o f   t h f ilter   is   p ea k ed   ar o u n d   1 . 5 5   μ m .   T h m ax i m al   q u a n tit y   o f   tr a n s m i s s io n   co m p u ted   i s   7 7 %.  Oth er s   p ea k ap p ea r   v er y   clo s o f   th i s   f r eq u en c y   w it h   co ef f icien o f   tr an s m i s s io n   o f   v al u 8 0 r an g e d   in   th f r eq u e n c y   b an d   [ 1 . 5 4 - 1 . 5 7 ]   μ m   ( Fi g u r 3 ( b ) ).           Fig u r 2 .   Mo d elin g   s c h e m o f   P C   w it h   co m b i n a tio n   o f   t h r ee   g u id es  W 1 A   w it h   tr ian g u lar   lattice  an d     w it h o u ca v it ies   P h ot on ic  s t r u c t u r e   x   Abs o r b in gwall   T r an s m i s s ion   L oc at e d   d e t e c t or   ( 2)   Re f l e c t ion   L oc at e d   d e t e c t or   ( 1 )   S ou r c e   Y   Z   Abs o r b in g   Wall   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   4 A u g u s t   2017     1 8 3 3     1 8 3 8   1836     Fig u r 3 .   C o m p u ted   tr an s m is s io n   co ef f icien ts   f o r   th th r ee   s i m u lated   s elec ti v f ilter   ( w ith o u t c av i ties ) .   r 1 /a =0 . 4 4 ,   r 2 /a= 0 . 2 8 8   an d   r 3 /a 0 . 3 2 9 2   ( a :   is   th p er io d ic  lattice  o f   v al u 0 . 4 8   μ m)       An o th er   t w o - d i m e n s io n al  P C   f ilter   is   s i m u lated   in   o r d er   to   eli m i n ate  u n w a n ted   p ea k s   an d   f ilter   th e   d esire d   f r eq u en c y ,   b ased   o n   t h s a m f ir s to p o lo g y   w i th   t h th r ee   W 1 A   b u w ad d   th r ee   s m all  c y li n d r ical   h o le s   w it h   n o r m alize d   r ad iu s   o f   0 . 1 7   b etw ee n   th t w o   h alf - p la n es  o f   p h o to n ic  cr y s tal  s tr o n g   later al   co n f i n e m en t.  A l th p r ev io u s   g eo m etr ical  p ar a m eter s   ar u n ch a n g ed   ( Fig u r 4 ) .   W r ep o r in   th Fi g u r 5   th tr a n s m i s s io n   co ef f icie n v er s u s   w av e len g t h   f o r   th e   T E   p o lar izatio n .   A cc o r d in g   to   t h is   p lo t,  it  ca n   b s ee n   ap p ar en tl y   th at  m ax i m u m   s p ec tr al  r esp o n s ( 8 0 %)  o cc u r s   clo s to   th f r eq u en c y   1 . 5 5   μ m .   A   s ig n i f ica n t   i m p r o v e m en w a s   o b s er v ed   r eg ar d in g   th d is ap p ea r an ce   o f   u n w an ted   p ea k s   ar o u n d   t h d esire d   f r eq u en c y   b u t   s lig h t d ec r ea s o cc u r s   i n   th a m p lit u d o f   ap p ea r in g   m o d es .           Fig u r 4 .   Mo d ellin g   s c h e m o f   P C   w it h   co m b in at io n   o f   t h r e g u id es W 1 A   w it h   tr ian g u la r   lattice    an d   h av in g   t h r ee   ca v itie s           Fig u r 5 .   C o m p u ted   tr an s m is s io n   co ef f icien ts   f o r   th th r ee   s i m u lated   s elec ti v f ilter   w it h   th r ee   ca v ities   h av i n g   n o r m alize d   r ad iu s   o f   0 . 1 7 .   r 1 /a =0 . 4 4 ,   r 2 /a= 0 . 2 8 8   an d   r 3 /a 0 . 3 2 9 2     ( a   is   th p er io d i lattice  o f   v al u 0 . 4 8   μ m)         ( a)     ( b )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I SS N:  2 0 8 8 - 8708         Desig n   o f a   S elec tive  F ilter   b a s ed   o n   2 P h o to n ic  C r ysta ls   Ma teri a ls   ( La lla F a r a h )   1837   T h m a g n etic  f ield   p atter n   in s id th s elec tiv f ilter   co r r es p o n d in g   to   t h s ec o n d   to p o lo g y   w i th   a   s p ec tr al  r esp o n s clo s to   f r eq u en c y   o f   1 . 5 5 μ m   is   r ep o r ted   in   Fig u r e   6 (a - c)   f o r   d if f er en t   s tep   ti m iter atio n s   1 5 0 0 ,   4 5 0 0   an d   6 5 0 0 .   T h ese  f i g u r es  s h o w   t h li g h t - g u id in g   p r o p ag atio n   o f   th e   elec tr o m ag n et ic  f ield   i n s id e   th e m p t y   r o w   alo n g   t h e   w a v eg u id ( co n f i n e m e n t) .   W ca n   o b s er v th a o n p ar o f   elec tr o m a g n etic  e n er g y   is   tr an s m i tted   in til  t h e n d   o f   P C   w it h   f r eq u e n c y   b elo n g u i n g   t h g ap ,   an d   t h o th er   p ar o f   en er g y   w it h   n o   allo w ed   f r eq u e n c y   is   r e f lecte d   b y   t h ad d ed   in clu s io n s   e m b e d d ed   in   d ielec tr ic  m atr i x   i n   em p t y   r o w .           ( a)         ( b )         ( c)     Fig u r 6 .   Si m u lated   d is tr ib u t io n   o f   m a g n etic  f ield .   ( a)   1 5 0 0 ,   ( b )   4 5 0 0 ,   ( c)   6 5 0 0   s tep   tim i ter atio n s       4.   CO NCLU SI O N     A   n o v el  s elec ti v f i lter s   b ase d   o n   tw o - d i m e n s io n al  p h o to n ic  cr y s ta w i th   tr ian g u lar   lattice  w it h   air   h o les  i n   d ielec tr ic  s u b s tr ate  w a s   p r o p o s ed .   T h is   d ev ic co n s is ts   o f   t h r ee   w av e g u id es  W 1 A   p lace d   i n   ca s ca d w it h   d if f er e n r o ad   o f   r ad ii  r esp ec tiv el r 1 /a =0 . 4 4 ,   r 2 /a =0 . 2 8 8   an d   r 3 /a 0 . 3 2 9 2 .   An   i m p r o v e m en is   o b s er v ed   w h en   w ad d   n u m b er   d ef ec ts   in   t h e m p t y   r o w .   Fro m   o u r   co m p u ta tio n   t h is   C P   ca n   b co n ce iv ed   f o r   ac h ie v i n g   f r eq u e n c y   o f   1 . 5 5   μ m   w h ic h   i s   s u itab le  o p tic al  d ev ices  w it h   tr an s m is s io n   m a x i m u m   i n   o r d er   to   8 0 %.   I n   o r d er   to   im p r o v m o r th s elec tiv it y   o f   t h i s   f il ter ,   o th er s   s i m u latio n s   w it h   n e w   d es ig n   w i ll b d o n later .   T h is   s t u d y   w il l b co m p leted   w h en   co m p ar i s o n   w it h   e x p er i m e n tal  d ata  is   d o n e .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I J E C E     Vo l.  7 ,   No .   4 A u g u s t   2017     1 8 3 3     1 8 3 8   1838   RE F E R E NC E S     [1 ]   L .   J y lh ä ,   I.   Ko l m a k o v ,   S .   M a slo v sk i,   S .   T re t y a k o v ,   M o d e li n g   o f   I so tro p ic  Ba c k w a rd   w a v e   M a teri e ls  Co m p se d   o f   Re so n a n S p h e re s ,   J o u rn a o f   Ap p li e d   P h y sic s pp   9 9 ,   0 4 3 1 0 2 ,   2 0 0 6 .   [2 ]   F .   D .   M a h a d ,   A b u   S a h m a h   M .   S u p a ’a t,   D .   F o rsy th ,   T .   S u n ,   A .   Iz a m   A z m i,   Ch a ra c teriz a ti o n   o f   Erb iu m   Do p e d   P h o t o n ic Cry sta F ib e r , ”  T EL KO M NIKA v o l.   1 4 ,   n o . 3 ,   p p .   8 8 0 - 8 8 6 ,   2 0 1 6 .   [3 ]   R.   D.  M e a d e ,   A . De v e n y i,   J.  D.  Jo a n n o p o u l o s,  O.  L .   A lerh a n d ,   D.  A .   S m it h   e K.  Ka sh ,   No v e A p p li c a ti o n o f   P h o t o n ic b a n d   G a p   M a teria ls:  L o w   L o ss   b e n d s an d   C a v it ies ,   J o u rn a l   o f   Ap p li e d   P h y sic s 7 5 ,   p p .   4 7 5 3 ,   1 9 9 4 .   [4 ]   E.   Ya b lo n o v it c h ,   In h ib i ted   S p o n tan e o u s E m issio n   in   S o l id - S tate   P h y sic s an d   El e c tro n ics ,   Ph y s.  Rev .   L e tt . ,   5 8 ,   p p .   2 0 5 9 - 2 0 6 2 ,   1 9 8 7 .     [5 ]   J.  D.   Jo a n n o p o u l o s,  R.   D.  M a e d e ,   J.  N.  W in n ,   P h o t o n ic  c ry sta l s:  M o d e ll i n g   th e   ro w   o f   li g h t,   Prin c e to n   Un iv.   Pre ss ,   1 9 9 5 .     [6 ]   H.  Ba d a o u a n d   M .   A b ri,   Ne w   D e sig n   o f   In teg ra ted   2 D P h o to n ic  Cr y sta Na rro w   Ba n d   F il ters   Us in g   th e   F DT D - 2 M e th o d ,   Fre q u e n z ,   6 8 ( 1 1 1 2 ):  p p .   5 1 1 - 5 1 8 ,   2 0 1 4 .     [7 ]   A .   T a f lo v e ,   A d v a n c e in   Co m p u tatio n a El e c tro d y n a m i c s:  T h e   F in it e - Diff e r e n c e   T i m e - Do m a in   M e th o d ,   No rw o o d ,   M A A rtec h   Ho u se ,   1 9 9 8 .   [8 ]   Ha o ,   Y.,   C .   J.   Ra il to n ,   A n a ly z in g   El e c tro m a g n e ti c   S tru c tu re w it h   Cu rv e d   B o u n d a ries   o n   C a rtes ian   F DT M e sh e s, IEE T ra n s.  M icr o wa v e   T h e o ry   tec h .   4 6 ,   p p .   8 2 - 8 8 ,   1 9 9 8 .   [9 ]   L u e b b e rs,  R.   e t   a l. ,   F re q u e n c y - De p e n d e n F in it e - Dif f e re n c e   T i m e - Do m a in   F o rm u latio n   f o Disp e rsiv e   M a teria ls,   IEE T ra n s.  E lec tro ma g n .   Co m p a t .   3 2 ,   p p .   2 2 2 - 2 2 7 ,   1 9 9 0 .   [1 0 ]   Ba o h e   Yu a n ,   Qi  X u ,   L in f e i   L iu ,   X iy in g   M a ,   In v e stig a ti o n   Ef f e c ts  o F il li n g   Ra te  o n   th e   Ba n d G a p o Tw o   Dim e n sio n a P h o t o n ic Cry sta ls,   T EL KOM NIKA , v o l.   1 4 ,   n o.   3 A ,   p p .   2 7 - 3 2 ,   2 0 1 6 .   [1 1 ]   V .   L iu ,   Y .   J. P .   Be re n g e r,   A   P e rf e c M a tch e d   L a y e f o th e   A b so rp ti o n   o f   El e c tro m a g n e ti c   w a v e s,”   J .   Co mp u t .   Ph y s. ,   1 1 4 ,   p p .   1 8 5 - 2 0 0   1 9 9 4   [1 2 ]     Jia o ,   Da v id   A .   B.   M il ler,   S .   F a n ,   De sig n   M e th o d o lo g y   f o Co m p a c P h o t o n ic - Cry sta l - b a se d   W a v e len g th   Div isio n   M u lt i p lex e rs, "   Op ti c s L e tt e rs ,   3 6   (4 ),   2 0 1 1 .   [1 3 ]   J.  C.   V e i h l,   R.   M it tra,  A n   Ef f i c ien I m p le m e n tatio n   o f   Be re n g e rs   P e rf e c tl y   M a tch e d   L a y e (P M L f o F in it e - d if fe re n c e   T i m e - d o m a in   m e sh   T r u n c a ti o n , "   IEE M icr o w a v e   Gu id e d   W a v e   L e tt . ,   6 ,   p p .   9 4 9 6 ,   1 9 9 6 .   [1 4 ]   B.   En g q u ist,   A .   M a jd a ,   A b so rb i n g   Bo u n d a ry   Co n d it i o n f o t h e   Nu m e ric a S im u latio n o f   W a v e s ,   M a th .   C o mp .,  3 1 ,   p p .   6 2 9 - 6 5 1   1 9 7 7 .   [1 5 ]   G .   M u r,   A b so rb in g   Bo u n d a ry   Co n d it i o n f o th e   F in i te  d if f e r e n c e   A p p ro x im a ti o n   o f   th e   T i m e - d o m a in   El e c tro m a g n e ti c - f i e ld   E q u a ti o n s, "   IEE T r a n s.  El e c tro ma g n .   Co mp a t ,   2 3 ,   p p .   3 7 7 - 3 8 2   1 9 8 1 .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.