Internati o nal  Journal of Ele c trical   and Computer  Engineering  (IJE CE)  V o l.  5, N o . 2 ,  A p r il  201 5, p p .  25 9 ~ 27 0  I S SN : 208 8-8 7 0 8           2 59     Jo urn a l  h o me pa ge : h ttp ://iaesjo u r na l.com/ o n lin e/ind e x.ph p / IJECE  Recursive Least-Squares Estimati on for the Joint Input-State  Estimation of Linear Discrete  Time Systems with Unknown  Input      Ta lel. Bessao u di 1 , Fa yç al . B e n Hmi d a 2   Unité d e  r ech erche en  Commande, Surveillance  et Sûreté  d e  fon c tionnement d e s Sy stèm es (C3S)  Tunis University - ESSTT, 5  av .  Taha Hussein BP 5 6 -1008, Tun i s,  Tunisia  1 bessaouditalel@ y a hoo .fr,  2 fa ycal .benhm id a@e sstt.rnu.tn       Article Info    A B STRAC T Article histo r y:  Received Sep 9, 2014  Rev i sed  Jan  3, 2 015  Accepte d  Ja n 15, 2015      This  paper  pr es ents  a r ecur s ive le as t-s quar e s  approa ch t o  es tim ate   simultaneously   the state and  the unknow n in put of lin ear  time var y ing  discrete time s y stems with unk nown  input. Th e method is based on the  assumption that no prior knowledge abou t th e  d y namical  evolu tion of th e  input is availab l e. Th e join t in put  and state  estimation are o b tain ed b y   recursive least-s quares formulation b y  apply i ng  the inv e rsion  lemmas. The  proposed filter i s  equivalen t  to recursive thr ee  step filt er. To il lustrat e  th e  performance of  the proposed  fi lter an  example is  given.  Keyword:  In fo rm ation fo rm ulas   In ver s i o n l e m m a   Least-squa res   State estim a tion  U nkn own  input esti m a t i o n   Copyright ©  201 5 Institut e  o f   Ad vanced  Engin eer ing and S c i e nce.  All rights re se rve d .  Co rresp ond i ng  Autho r :  Talel Bessaou di,   Un ité  d e   rech erch e en Co mman d e , Surv eillan ce et Sûreté de fo n c tionn emen t d e s Systèmes (C 3 S )  Tu ni s U n i v e r si t y -ESSTT,  5  a v .  Taha  H u ssei n  B P   5 6 - 1 00 8,   Tu ni s, T u ni si a  Em a il: b e ssao u d italel@yah o o . fr      1.   INTRODUCTION  During the  last deca des, t h e  pr oblem  of unknown input  filtering ha s recei ved growing at tention  due   to  its ap p licatio n s  i n  env i ro nmen tal state es ti m a tio n  [1 ], [2]. Th e un kno wn  inp u t  filtering  prob lem  h a s treated  in  th e literature b y   d i fferen t   ap pro ach es. Th e  first ap pro a ch  assu m e s th at th e m o d e l fo r d y n a m i cal ev o l u t i on  of t h e  u n k n o w n  i n put  i s  avai l a bl e.  Whe n  t h e  pr ope rt i e s of t h e u n k n o w n i n put  are  k n o w n,  t h e augm ent e d  st at e  Kalm an  filter ( A SKF) is a solu tio n .  To  redu ce co m p u t atio n  co sts of th e ASKF, Fried l an d   [2 ] propo sed  th e  two  stag e Kal m an  filter wh ere th e estim at i o n   of th e state an d unk nown in pu t are  d e co up led. Th e seco nd  approach treats the case  wh en  no t h a v e  a  pr io r   kn ow ledge ab ou t th e  d y n a m i cal ev o l u tio n   f o r  th e  unk now n  in pu t.  Kitan i d i s [1 ] was th e fi rst to so l v e t h e prob le m  using the linea r  unbi ased  m i nim u m - va ri ance.  Dar oua c h   et al, [3 ] ex ten d  Kitan i d i s’s filter u s in g  a param a terizin g  t ech n i q u e  to   o b tain  an  o p tim a l  filter (OEF).  Hsieh  [4 ]  h a s  d e v e lop e d an  eq u i v a len t  to Kitan i d i s’s  filter  n o t ed   b y  rob u s t - two   stag e  Kalm an  filter (RTSKF). Later,  Hsieh [5 ] d e v e lo p e d  an   o p t i m al  m i n i m u m   v a rian ce  filter (OM V F) to   solv e th e p e rfo r man ce of  d e grad ation  p r ob lem   en co un tered   in  (OEF). Gillij n s  & De  Moo r   [6 ]  has treated  th e  p r ob lem   to  esti m a te th e state  in  th e  p r esen ce  of  u n k nown inp u t   wh ich  affects only th e syste m s m o d e l. Th ey  dev e lop e d a  recu rsi v e  filter wh ich  is  o p tim al in  th e sen s e  o f  m i n i m u m - v a rian ce. Th is  filter h a s b e en  ex tend ed   b y  th e sam e  au thors [7 ] for jo i n t  in pu t and  state esti m a t i o n  to   lin ear d i screte-ti m e s y st e m s with   d i rect  feed throu gh  whe r e the state and the   u nkn own  inp u t esti m a tio n  are in terconn ect ed . Th is filter  is called  recursiv e three step filter (RTSF)  an d  i s   li mited  to  d i rect feed throug h  m a trix  h a s fu l l  ran k . Ch e ng  et  al , [8]  pr op ose d  a recu rsi v e op tim a l  filt er with   g l ob al op ti m a l ity in  th e sen s e o f   u n b i ased   min i m u m - v a rian ce ov er all un b i ased  estim a t o r s,  bu t th is filter is  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I S SN :  2 088 -87 08  IJEC E V o l .  5, No . 2, A p ri l  20 15   :    25 9 – 2 7 0   26 0 li mited to estimate the state. Recently , the  case of an arbi trar y  rank has been  solved  by  Hsieh (2009)  in  the  designe d   opti m al filter [9],  known as ER TSF  (E xten d RTSF).  Ot her m e thods   are proposed  by Gi llijns  a n d  B a rt  de M o or i n   [1 0] ,  [1 1]  an d  [1 2]  w h i c h  u s e l east  -s qua re s (LS )  t e c hni q u e a n d  t h e i n f o rm ati on f o rm ulas.   In t h i s  pa per ,  we pre s ent  an  un bi ase d  m i ni m u m - vari ance est i m a ti on of t h e st at e and t h e un kn o w n   in pu t. Th ese esti m a tes   are obt ai ned  by  sol v i n g t h e i n f o r m at i on form ul as usi n g t h e w e i ght ed l east - s qua res   m e t hod.  T h e a dva nt age  o f  t h i s   m e t hod i s  t o   pr ovi de a  di rect  est i m a t e  of t h e  st at e an d  u n k n o w n  i n p u t  i n  a   si ngl e  bl oc k  wi t h  a si m p l e  cal cul a t i on.   The  pape r i s  o r ga ni zed as  f o l l o w. Sect i o n  2,  prese n t s  t h e  pr obl em  un de r co nsi d e r at i o n  and s o m e   p r elim in aries. In  section  3 ,  we  set up   t h e d e sign  of  th e filter eq u a ti o n   b y  recursiv ely so l v ing  t h e  weig h t ed  least-squ a res  prob lem .  An  ill u s trativ e ex amp l e is p r esen te d  in  section  4 .   Fin a lly, in   sect i on  5 we c oncl ude  o u r   obt ai ne d res u l t s .      2.   PROBLEM AND PRELE MINARIES    2. 1 Pr obl em  F o rmul a ti o n   C onsi d er  t h e l i near  st oc hast i c  di scret e -t im e sy ste m  with  unk nown inp u t  i n  th e  fo llowing   form :     1 kk k k k k x Ax G d w + =+ +  (1 )     kk k k k k yC x H d v =+ +  (2 )     whe r e  n k x Π is the state vector,  m k d Π is th e u nkn own   in pu t v ector  an d   p k y Πis the m eas urem ent  vector. The  process noise  n k w Π and the m e asurem ent nois e   p k v Πare assum e d to be m u tuall y   u n c or r e lated  zer o s- m ean  wh ite r a nd o m  sig n a ls with   non sin g u l ar  cov a r i an ce m a tr ice s   0 T kk k Qw w éù =³ êú ëû   and 0 T kk k RE v v éù => êú ëû    respectively. The m a trices  ,, kk k A GC   and  k H  are known and  have  appropri ate   dim e nsion.  We  assum e  that  () , kk A C  is o b se r v a b l e ,  pm  and t h e initial state is unc orre lated with the  white   noises pr ocess e s  k w and  . k v   The  initial state   0 x   is a Gaussia n  ra nd om  var i able with  00 ˆ Ex x ,    00 00 0 ˆˆ T Ex x x x P      where  . E d e no tes th e exp ectatio n   operato r.  Also, we assu m e  th at   11 kk k rank C G r a nk G  ,  th e d i rect feed throug h  m a tri x   k H  has  an arbitrary rank .  Th e ob j ecti v e o f  th is p a p e r is to  d e sig n  an   op ti m a l recu rsive filter wich  esti m a tes b o t h  the syste m  state k x   and  th e unk now n in pu t  k d   b a sed   on th e in itial estimate  0 ˆ x  a n d the s e que nce  of m e asurem ent  01 , , ..., k y yy . N o   pri o r k n o wl e d ge ab out  t h e d y n am i cal  evol u t i on o f   k d  is assumes to be available. Now  we deri ve a Recursive   Least Square  (RLS)  proce d ure that propa g a t es a one  st ep  ahead predicte d state estim a te. For sim p licity of  deri vations ,  we use a  stoc ha stic approac h   .We ass u m e  that an estim ate  /1 ˆ kk x   is available  with covaria n ce   matrix    /1 /1 /1 ˆˆ T kk k k k k kk PE x x x x        an d  we seek  fo r a weig h t ed  least sq u a re  (WLS) th at allo ws to   esti m a te  / ˆ kk x base d on   /1 ˆ kk x   and the   ne wly available  measurem ent k y .   The e r ror estimation  /1 kk x - % i s  gi ve n  by :     /1 /1 ˆ :. kk k k k xx x -- =- %  (3 )     Usi n g (1 ), ( 2 )  and   ( 3 ) ,  we obt ai n  t h e f o l l o wi ng   eq uat i o n:     /1 / 1 1 ˆ 00 0. 0 kk n k kk kk k k k kk n k k xI x x yC H d v AG I x w                (4 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J ECE   I S SN :  208 8-8 7 0 8       Recu rsive  Lea s t-Sq ua res Estima tion  f o r t h e  Jo in t  Inpu t-S t ate Estima tion   of Lin e ar  Discrete …   (T. Bessao ud i)  26 1 So,  t h e c o rres p on di n g   WL S  p r o b l e m  i s  gi ve n  by     1 2 /1 ,, 1 ˆ 00 mi n 0 0 kk k kk k kk k k xd x kk n k xx I yC H d AG I x           k W   (5 )     whe r e  k W de not es t h e  wei ght i n g  m a t r i x .  From  (5 ) t h e i n t e r p ret a t i o n o f  an M V U ( U nbi ase d  M i ni m u m - Vari ance ) est i m at or i s   obt ai ne d  by  c h o o si ng  11 1 /1 ,, kk k k di a g P R Q  k W . Th e  p r o p o s ed so l u tio n of th e LS  p r ob lem  (5 ) is  g i v e n  in the fo llo wi n g  fo rm:      // 1 ˆ ˆ kk k k k k k dy C x  M  (6 )     // 1 / 1 / ˆ ˆˆ ˆ () k k kk k k k k k k kk xx K y C x H d    (7 )     1/ / / ˆ ˆˆ kk k k k k k k x Ax G d   (8 )     Whe r e t h e  gain m a trices  mp k  M  and  np k K  still h a v e  to b e   d e term in ed  later.       2 . 2   Preliminaries  Th e  fo llowing   le mmas are essen tial for later  d e v e l o p m en ts.  Lemma  A.1   (The ma trix  in ve rsi on l e m m a     [1 1] ):   Let nn A    , nm B  ,  mn C  and  mm D    b e  real  m a trice s . If A , 1 DC A B  and  D are  no n- si ng ul ar,  t h e n   1 AB D C   is no n- singu lar, and   11 11 1 1 1 . A B D C A AB D C AB C A      The  follo win g  fo rm ula pr o v ides a m a nne r  to in vert a   22   b l o c k m a trix  b a sed   o n  th e m a trix  inv e rsion  le mma,     1 1 1 1 11 1 0 . 0 AB D C AB I B D CD CA I DC A B             Ind e ed , th e d i ag on al en tries of th e  first m a tr ix  on  th e righ t  h a n d   sid e   o f  t h e eq u a lity sign  can  b e  co m p u t ed  u s ing  t h e m a tri x  inv e rsion  lemma.   Lemm a A . 2:   Let nn A  ,  nm B  and  mm C   be  re al  m a trices.  If A ,  C  ar e non - s i n gular  th en ,   11 11 1 . TT A BC B A B A B C B B C           3.   FILTER DE SIGN  Th e calcu lation  of th e  o p tim a l   m a trices  k M   and  k K is ad d r essed  in  th e su b s ection  3.1   wh ich  cal l th e  measurem ent update,   yields an estim a t e of  k x   an d u nkno wn   i n pu t k d . T h e t i m e updat e  o f  t h e st at e  est i m a ti on i s   p r esent e d i n  s u b s ect i on  3. 2.     3. 1.    Mea s ure ment Up da te   The m easurement update is derive d from  (5) by  ex tracting   th e ro ws th at  dep e nd   on ly on   k x   and k d .  This yield,    2 /1 , ˆ 0 min kk kk k kk kk xd xx I CH yd       1, k W  (9 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I S SN :  2 088 -87 08  IJEC E V o l .  5, No . 2, A p ri l  20 15   :    25 9 – 2 7 0   26 2 Whe r e   11 /1 , kk k dia g P R 1, k W   d e no tes th e  weigh ting m a trix .  No w we  de ri ve an e xpl i c i t  up dat e  f o rm ul a by  sol v i n g t h e p r obl em  st at e and u n k n o w n i n p u t   esti m a t i o n s . Fi rstly, no te th at  (9) is eq ui val e nt  t o  t h e l east - s qua res  p r o b l e m    mi n 2,k k 2 kk k W X Y- A X   (1 0)     W h er e    k A 0 kk I CH    ,  /1 ˆ kk k x y    k Y ,     k k x d    k X   and  11 /1 (, ) kk k di ag R P  2, k W  (1 1)     Using t h e  Gauss-Markov t h eorem   [13], the  solution is  written as:     ˆ -1 TT kk 2 , k k k 2 , k k X= A W A A W Y  (1 2)     Usin g (1 1)   the  cova riance   m a trix -1 T k2 , k k AW A   follows as     -1 T k2 , k k AW A 1 11 1 /1 11 TT kk k k k k k k TT kk k k k k PC R C C R H HR C H R H        (1 3)     In  t h e next section we will  determin ate an  unbiased estimate of t h e st ate and  unknown input  by seeking a  solution t o  the  equation  (13).   Lemma 3.1:   T h e  exp r e s s i o n  of  th e e r r o r  cov a r i an c e  m a tr i x   / d kk P  is gi ven  by :      1 1 / , dT kk k k k PH R H   (1 4)      and the e r ror c ova riance  m a tr ix of t h e  state i s  gi ven in t h e followi ng form  :     // 1 / dT T kk kk k k k k k k k PP K R H P H K   (1 5)     whe r e     /1 T kk k k kk RC P C R    (1 6)      1 /1 T kk k k k K PC R  (1 7)       Proof:   Note t h at,  / kk P and  / d kk P  can  be ide n tifi e d as error c o variance m a trices of  / ˆ kk x  and  / ˆ kk d , that  is,  // / T k k kk kk PE x x    ,  // / dT k k kk kk PE d d    .  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J ECE   I S SN:  208 8-8 7 0 8       Recursive Least-Squares  Estimation  f o r  t h e Joint Input-St ate  Estim atio n o f   Linea r  Discre te  …   (T.  Bessao ud i)  26 3 Whe r e t h e inve rse  of  / kk P   and  / d kk P  are give n, respecti v ely, by     11 1 1 1 1 // 1 1 () , TT kk kk k k k k k k k k k T kk k PP C R C C R H H R H HR C     (1 8)      1 11 / 1 11 1 /1 . dT T kk k k k k k k TT kk k k k k k k PH R H H R C PC R C C R H       (1 9)      The n ,  by  a pply i ng lem m a  A.1  the equati on (13) is  rewritten as follows:       1 11 1 /1 / 11 / 1 11 1 11 1 /1 0 0 TT kk k k K k k k k k TT d kk k k k k k TT kk k k k k TT kk k k k k k K PC R C C R H P HR C H R H P IC R H H R H HR C P C R C I                 (2 0)     Ap ply i ng the  m a trix inversi on lem m a   A.1  to the info rm ation fo rm ulas (18 )  an d ( 1 9 ) , the err o r co v a riance  matrix  / d kk P  and  / kk P  ar e give n i n  t h e f o llowi ng  f o rm s:     1 1 11 1 1 /1 / 1 TT T kk k k k k k k k k k d kk T kk k H R H H RC P C RC P CR H         (2 1)       11 11 1 1 1 11 1 1 1 /1 1 11 TT T kk k k k k kk k TT T T k k kk k k k k kk k k k k TT kk k k k k HR H H R H HR C PC R C C R H H R H H R C CR C H R H           (2 2)    1 /1 TT kk k k k k k HR C P C H    (2 3)     1 1 T kk k HR H    (2 4)      // 1 / dT T kk kk k k k k k k k PP K R H P H K   (2 5)      1 11 /1 / 11 1 1 () T kk k k k kk TT kk k k k k k k k PC R C P CR H H R H H R C          (2 6)      1 1 11 1 1 T kk k k k TT T T kk k k k k k k k k k k k k PP C R H HR H H R C P C R H HR C P     (2 7)     11 / Td T kk k k k k k k k k k PP C R H P H R C P    (2 8)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I S SN:  2 088 -87 08  IJEC E V o l. 5, No . 2, A p ril 20 15   :   25 9 – 2 7 0   26 4 /1 / Td T T kk k k k k k k k k k PK R K K H P H K   (2 9)     w h er e    1 11 /1 T kk k k k k PP C R C      (3 0)     11 /1 TT kk k k k k k PC R P C R   (3 1)     /1 T kk k k k CP R K    (3 2)     The gain  m a tri x   k K  that m i nim i z e  the e r ror covariance is  gi ve n  by    1 /1 . T kk k k k K PC R    (3 3)     Setting the Derivate of     (25) with respect  t o k K , we  get     / / Td T T kk kk k k k k k k P RK H P H K K     (3 4)     Let re place the   / d kk P by  e q uation  ( 1 4) ,  we  notice t h at  / 0 kk k P K ,  therefore the gain  k K  m i nim i ze the trace  of  the m a trix covariance  / kk P .  Lemma 3.2:   An unb iased esti m a te o f  th e  un kno wn  in pu t  k d   can be obtai ne d  in   the f o llowi ng   f o rm :      // 1 ˆ ˆ kk k k k k k dy C x  M  (3 5)     whe r e     1 / . dT kk k k k PH R M   (3 6)      We c o nsider the m i nim u m - variance  unbiase d  state estim ation  / ˆ kk x  give n in  th e f o llowi ng  f o r m :    // 1 1 / ˆ ˆˆ ˆ () kk kk k k k k k k k xx K y C x H d    (3 7)     Proof:    The e q uation  ( 1 2 )  ca n  be  writ ten  as follows      1 11 1 / /1 11 / 11 /1 /1 1 ˆ ˆ ˆ . 0 TT kk kk k k K k k k TT kk kk k k k T kk k k kk T k kk x PC R C C R H d HR C H R H PC R x y HR                      (3 8)     Substituting  (20)  in (38), we obtain     1 / / /1 /1 ˆˆ k k kk kk k k xP P x    (3 9)     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J ECE   I S SN:  208 8-8 7 0 8       Recursive Least-Squares  Estimation  f o r  t h e Joint Input-St ate  Estim atio n o f   Linea r  Discre te  …   (T.  Bessao ud i)  26 5  11 1 1 1 // () , TT T T k k kk k k kk k k k k kk k PC R P C R H H R H H R y   and  estim ation o f   un k n o w n i n p u t is  give n i n  th e   follo win g  fo rm :    11 1 1 1 // / / 1 11 /1/1 ˆ () () . dT d T T kk k k k k k k k k k k kk k k k T kk k k k k d P HR y P HR C P C R C Px C R y       (4 0)     Let us apply the le mma  A.1  a nd  A. 3  to t h e e quatio n  (3 9) a n d ( 4 0 ) , t h e estim ate of the u n k n o w n i n p u t is  give n  by :       11 // / 11 1 1 1 /1 /1 /1 ˆ ˆ () ( ) . dT dT kk kk k k k k k k k k TT kk k k k k kk k k k d P HR y P HR C PC R C P x C R y       (4 1)     w h er e     11 1 1 1 // 1 / 1 / 1 11 /1 ˆ () ˆ . dT T kk k k k k k k k k kk k k TT kk k k k k k k P H RC P C RC P x HR H H R C x      (4 2)       1 11 1 1 1 // 1 1 // 1 . dT T T kk k k k k k k k k k k k k dT T kk k k k k k k k PH R R C P C R C C R y PH R C P C y          (4 3)       11 // 1 ˆ ˆ TT kk k k k k k k k k k dH R H H R y C x     (4 4)     Rem a rk 3. 1:   to evaluate t h e  perform a nce  of the  filter in case where  H k  ha s an arbitrary  rank we  use the   heu r istic exte n s ion  p r ese n ted  in [ 9 ]  by   re placing e q uatio n ( 1 4)  an d  (3 6 )   by :    11 // ,† dT d T kk k k k k k k k k PH R P H R H    M  (4 5)     whe r e †  the M o o r-Pe n rose  is  ge neralized   in ver s e   1 † TT M MM M   The state estim ation  / ˆ kk x  is gi ven  in the  followi ng  form :      1 / / /1 /1 11 1 1 1 // ˆˆ () kk kk k k k k TT T T kk k k kk k k k k k k k k k xP P x PC R P C R H H R H H R y     (4 6)     Using t h e inve rsion lem m a  A. 1  and   A. 3  we can  show  that:    11 // 1 / 1 / 1 / 1 / 1 11 1 1 /1 /1 ˆˆ ˆ ˆ () . T k k kk kk kk k k k k k k k TT T kk k k k k k k k k k k k PP x x P C R C x PC R H H R H H R C x          (4 7)      11 1 1 1 / 11 1 1 /1 /1 1 () () . TT T kk k k k k k k k k k k TT T k k kk k k k k k k kk k T kk k PC R R H H R H H R y PC R y PC R H H R H HR y         (4 8)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I S SN:  2 088 -87 08  IJEC E V o l. 5, No . 2, A p ril 20 15   :   25 9 – 2 7 0   26 6 1 // 1 / 1 / 1 11 1 1 /1 / 1 11 1 1 /1 / 1 1 ˆˆ ˆ ˆ () () . T kk kk k k k k k k k TT T k k kk k k k k kk k k k TT T kk k k k k k k k k k k k T kk k xx P C R C x PC R H H R H H R C x PC R y PC R H H R H HR y             (4 9)     11 // 1 / 1 / 1 ˆˆ TT kk k k k k k k k k k k k k x IP C R C x P C R y      (5 0)    11 1 1 /1 / 1 ˆ () TT T kk k k k k k k k k k k k k PC R H H R H H R y C x         3. 2. T i me  Up d a te   Firstly , we e x tr act fr om  (4)  t h e equation that  depe nds  on  1 k x .    1 kk k k k k x Ax G d w   (5 1)     Second substituting  k x  and  k d   for their L S  estim ates  / ˆ kk x   and  / ˆ kk d   obtained  d u ri ng  the m easurem ent  up date (4 1)   an d (5 0) .  T h e n , we obtain     // 1 / / ˆ ˆ () k k k k kk k k kk kk k A xG d x A x G d w + += - + + % %  (5 2)     The c o r r es po n d in g L S   pr oble m   is give n  by     1/ ˆ ˆ mi n kk k k k k xA x G d  3, k W    (5 3)     Whe r e  3, k W de notes  the weighting m a trix  which we  c h oose       1 // // T k k k k kk k k kk k k k k EA x G d w A x G d w          3, k W    (5 4)     From  eq uation   (5 3)     1/ / / ˆ ˆˆ kk k k k k k k x Ax G d   (5 5)     The e r ror estim ation  1/ kk x   is give n by     1/ 1 1 / ˆ kk k k k xx x    (5 6)     // kk k k k k k A xG d w     (5 7)     In  co nse que nc e, the c o varia n ce m a trix o f   1/ ˆ kk x  is give n  by :    1/ 1 / 1/ T kk kk kk PE x x       (5 8)      // // T xd k kk k k kk k dx d T kk k k k A PP A GQ PP G             (5 9)     I t  fo llo ws fro m (3 5)  th at  / kk d  is  given  by :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J ECE   I S SN:  208 8-8 7 0 8       Recursive Least-Squares  Estimation  f o r  t h e Joint Input-St ate  Estimation of  Linear Discre te  …   (T.  Bessao ud i)  26 7  // 1 kk k k k k k k k k dI M H d M C x v   (6 0)   // / / T xd x d k k kk kk kk PP E x d    .     Using  (56) a n d (60), it  follows that      // x dd kk k k k k PK H P   (6 1)       4.   ILLUSTRAT I VE E X AMPLE   To show the  propose d  re sults, th e n u m e rical  exam ple given  by  Da ro uac h ,  Zasadzin ki a n d  B outay e b   (2003) is consi d ere d , whe r e the pa ram e ters  of system s  (1) and ( 2 ) are giv e n as follo ws, t h e pa ram e ters  of the   sy stem  (1) a n d  (2 ) a r e  give n  b y :     0 000 5 0 0 084 0 0 5 1 7 0 806 9 k .. A ..       10 01 k ,C ,   0 0 129 0 1 250 4 0 k . G .    0 0 036 0 034 2 0 0 342 0 324 9 k .. ,Q ..    00 1 0 00 1 6 k . R. .     W i t h out loss  of  gene rality, the initial stat e and its es tim ate are both assum e d to be zero, and the initial   cova riance  is   g i ven by () 0 10 , 2 0 0 Pd i a g = . The  u n k n o w n  i n p u t  are  give n  by     [] [ ] [ ] [ ] [] [] 55 2 0 5 7 0 44 3 0 4 6 5 ss s k ss s uk uk uk d uk uk uk é ù -- + - ê ú = ê ú -- + - ê ú ë û     whe r e  [ ] s uk   is  the unit-step function. In  th is e x am ple,  we assum e  that the  sim u la tion tim e is 100 tim e step.    1 10 00 k H      ,  2 10 10 k H       3 10 01 k and H     Case  1 :   1 kk H H           Figure  1. Act u al and estim a t e d   value  of the  state     0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 -0 . 5 0 0. 5 1 Ti m e 1s t  e l em en t  o f  s t at e ac t u a l e s ti m a te d 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 Ti m e 2n d e l em e n t  o f  s t at e Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                        I S SN:  2 088 -87 08  IJEC E V o l. 5, No . 2, A p ril 20 15   :   25 9 – 2 7 0   26 8     Figure  2.   Actual and estim a t e d   value  of the  input       Case 2 :   2 kk H H           Figure  3. Act u al and estim a t e d   value  of the  state           Figure  4. Act u al and estim a t e d   value  of the  input                           0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 -2 0 2 4 6 Ti m e 1s t  e l em en t  o f   i n pu t ac t u a l e s ti m a te d 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 0 1 2 3 4 Ti m e 2n d e l em ent  of  i n p u t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0 . 5 0 0. 5 1 Ti m e 1 s t  e l em en t  o f   s t at e ac t ual e s ti m a te d 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 2n d e l em e n t  o f  s t at e 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -2 0 2 4 6 Ti m e 1s t  e l em en t  o f   i n pu t ac t ual es t i m a t e d 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -2 0 2 4 6 Ti m e 2n d e l em e n t  o f  i n pu t Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.