Int ern at i onal  Journ al of Ele ctrical  an d  Co mput er  En gin eeri ng   (IJ E C E)   Vo l.   8 , No .   6 ,  Decem ber   201 8 , p p.   489 2 ~ 490 1   IS S N: 20 88 - 8708 ,  DOI: 10 .11 591/ ijece . v8 i 6 . pp 489 2 - 490 1          4892       Journ al h om e page :  http: // ia es core .c om/ journa ls /i ndex. ph p/IJECE   Appl ying of Dou ble Se asonal AR IMA Mo del for E lectri ca l   Powe r Demand F orecasti ng at PT . PLN G resik Ind onesia       Ismit  Mado 1 , Adi S oepri jan to 2 ,  Suhar ton o 3   1 ,2 Depa rt m ent of   Elec tr ical  Engi n ee ring ,   Inst it ut   T eknol ogi   Sepulu h  Nopem ber ,  Ind onesia     3 Depa rtment of  Stat isti cs ,   Inst it u t  T eknol ogi   Sep uluh  Nopem ber ,  Indone sia   1 Depa rtment of  El e ct ri ca l   Eng in ee ring ,  Univ ersitas Borne o  Ta r ak an ,  Indon esia       Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   J a n   11 , 2 01 8   Re vised  Ju l   8 ,   201 8   Accepte d  J ul   29 , 2 01 8       The   pre d ic t ion  of  the   use  of  e l ec tr ic   power  is  ver y   important   t o  m ai nta in  a  bal an ce   be tween  the   suppl y   an d  demand  of  elec tr ic   power  in   the   power   gene ra ti on  s y s tem .   Due  to  a  f lu ct ua ti ng  of  el e ctrical  power  d emand  in  th e   el e ct ri ci t y   lo ad  c ent er ,   an  accurat e  fore c asti ng  m et hod  is  req uire d  to  m ai nta in   the   eff icien c y   an d  reliab i li t y   of  p ower  generation   s y stem  cont inu ousl y .   Such   condi ti ons  gre at l y   aff ec t  the   d y n amic  stabi l ity   of   power  gene rati on  sy st ems .   The   objecti v e  of  thi s  rese arc h  is  to  propose  Doub le   Seasona l  Aut ore gre ss ive  Inte gra te d  Movi ng  Avera ge  (DS ARIM A)   to  pre dict  el e ct r ic i t y  loa d.   Half   hourl y   lo ad  da ta   for  of  thr ee   y e ar s  per iod  at   PT .   P LN  Gresik  Indo nesia   powe r   pla nt  uni t  ar e  used  as  c ase   stud y.   The   p ara m eter s  of  DS A RIMA  m odel   are  esti m at ed   b y   us ing  least  squar e s  m et hod.   Th e  result   show s  th at   th e  b est  m odel   to  pre dic t  th ese   d a ta   is  subs et  DS ARIMA  with   orde r   ( [ 1 , 2 , 7 , 16 , 18 , 35 , 46 ] , 1 , [ 1 , 3 , 13 , 21 , 27 , 46 ] ) ( 1 , 1 , 1 ) 48 ( 0 , 0 , 1 ) 336   with  MA PE  about   2. 06% .   T hus,  future   r ese a rch   coul d  b e  do ne  b y   using  the s e  pre di ct iv e   result s a s m ode l s of  opti m al c on t rol  par amete rs o n  the power  s y st em side .   Ke yw or d:   DSARIMA  m od el   E le ct rical  p ow er  dem and   F oreca sti ng   L east  squar e s  m et ho d   T i m e - series pa tt ern   Copyright   ©   201 8   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .    Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   Ism i t M ado ,    Dep a rt m ent o f El ect rical  En gi neer i ng,   In sti tut Te knol og i  Sepulu h N op em ber ,   Ar ie f  Rahm an Hakim  Road ,   Keputi h  Ca m pu s, Su koli lo  60111, S ur a baya,  Indo nesia .   Em a il :  is m itm a do@ gm ail.co m       1.   INTROD U CTION   Pr e dicti on   of  el ect rical   po wer  dem and   is  an  i m po rtant  first   ste p  in  plann i ng   of   po wer   pl ant  syst e m   op e rati on  [1] .   Plann i ng  of   po wer  pla nt  syst e m   op erati on  is  about  buil ding  a  pla n  for  t he  pr e par at io n  of  powe r  plant  syst e m   op erati on  f or   a  certai n  tim e  pe rio d.   Ba sed  on   the  issues  to  be   addresse d,   th e  pow er  pla nt  syst e m   op e rati on  pla n  is  div ide d  into sev eral  ty pes  of  tim e  per iod  pl an,   i.e.  a nnual p la n,  quarterly  p la n,   m on thly  p la n,   week ly   plan  a nd  daily   pla n.  The  operati on  plan  of  the   powe r  plant  syst e m   al so   inclu des  m anag erial ,   m ai ntenan ce,   a nd  ope rati on s   in  syst em s  and   equ i pm ent  to  e ns ure  good  ec onom ic   value  of  fina ncin g,  s yst e m   reli abili ty , an d serv ic e  qual it y.    Re fer ri ng   t o  the  pro blem s  s olv in g  in  pow er  syst e m   op er at ion ,  power   predict io n  is  cl assifi ed  int o  three  cat e gori es,  i.e.   lo ng - t erm ,  m ediu m - te rm   a nd   s hort - te rm   pr e dicti on s .  L ong  te rm   el ect rical   powe r   pr e dicti on sa re r equ i red   for  pe ak  loa d  capaci ty   plann in g  a nd  syst em   m a intenance  sc he dule   [2] ,   m ediu m - ter m   pr e dicti on s  a re   required   for  pl ann i ng   a nd   operati on   of   the  powe r  plant  syst e m   [3] ,  and   s hort - te rm   pr edi ct ion s   are  need e d for  con t ro ll in g  a nd sch e duli ng the  pow e r plant sy stem   [4] .   On e   of   t he  c oncer ns  in  t he  powe r  plant  s yst e m   op erati on  is  t he  qual it y  of  el ect rical   pow er.   T he   e le ct ric  power   gen e rated  s hall   be  al ways  e qual   to  the  el ect ric  powe r  co nsu m ed  by  the  el e ct ric  power  use r.   I f   the  powe r  that  is  distribu te d  is  gr eat er  tha n  r equ i red,  then  t her e  will   be  wastage  of   e nergy.  A nd   if  the  pow e r   pro du ce d  is   sm al le r  than   re quired ,  it   will   occ ur  over   loa d  w hich  will   af fect  the  occ urren c e  of  powe r  ou t ages .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Ap plying of  D ouble  Se asonal  ARIMA  Model  for Elect ric al  Power  De man d  F or ec as ti ng ... (Is mit Ma do)   4893   In   fact,  t he  us e   of  el ect rical   energy  te nds  t o  change  at   a ny  tim e  in  accor da nce  with  the   needs  of  c onsum ers.   Ther e f or e,  it   is  necessary  to  predict   the  use   of   el ect rical   po wer   that  is  abl e  to  m ai ntain  a  balance  betwe en  the   su pply  a nd con su m ption   of  el ect rical  p owe r i n  the  powe r pl ant syst em .   Fluctuati ons  i n  loads   m ean  sm al l  distur ba nc es  in  the   dy na m ic al   sta bility   stud ie s  of  po w er  ge ne rati on  syst e m s.  This  pro blem   occu rs  after  the  first   s wing  w he n  c on t ro l  e qu i pme nt  su c h  as  govern or   a nd   e xc it at ion   syst e m s  hav e  worked .  Dyna m ic   sta bili ty   st ud ie s   in  plant   syst e m s  are  sti ll   bein g  dev el oped    [5 ] , [6] .   A naly sis  of  sm al l  sign al   sta bili ty   of   powe r  syst em s  with  pro bab il ist ic   un ce rtai nt y  on  re ne wab l e  ene rg y  ge ne rati on  equ i pm ent b ec om es the top ic   of the c urre nt s tud y   [7] .   The  tim e  serie s  pr e dicti on   m od el   is  an  acc ur at e  ch oice  and   grow i ng  co ntinuo us ly   to  this  day  for   powe r  pr e dicti on  an d  f or eca sti ng   [8] - [ 10 ] .   The   stu dy  of  tim e  series - ba sed   forecast in g  of  el ect rical   pow e r   consum ption   e vo l ved   i nto   tw o  pa rts,  i.e.  pre dicti on   m od el s   base d  on  sta ti sti cal   m a the m a ti cal   m od el s  suc h  as   m ov ing   ave ra ge ,  ex pon e ntial   s m oo thi ng,  re gr essi on,  an d  ARIMA  B ox - J enk i ns ;  an d  ar ti fici al   intelli gen ce - base d  pre dicti on  m od el s  suc h  as  ne ur al   netw orks ,  ge netic   al gorithm s,  si m ulated   a nn eal in g,  gen et ic   pro gr am m ing , classi ficat ion , an d  hybri d.  Som e  tim e  series  researc h  based  o n  s ta ti sti cal   m at hem atics  as  i n  [ 8] ,   [11] - [ 15] .  The  app li cat io n  of   the  Box - Je nk i n s  ARIM A  m od el   is  de velo ped   th r ough  a  seaso nal  patte r n   [ 16 ] - [22] .F or   m od el s  based   on  arti fici al   intel li ge nce  has  al s o  be com e  the  at ten ti on   of   resear cher s  as  in  [23 ] - [27] .  The  hybri d  m od el   has  al s o  been  de velo pe d  to  obta in  t he   best  data  in  e le ct rical   load  pr e dicti o n  stu dy   as  in   [28] - [ 36] .    This  stu dy  pro po s es  a  D oubl e  Seaso nal  AR IMA  ( DSARI MA)  m et ho d  f or   pr e dicti ng   or  f or ecast i ng   powe r  dem and  m od el   in  PT.  PLN   Gr esi k  I ndonesi a  ba sed  on   t hr ee  ye ars  load  trai ni ng  and   te sti ng  data   (d ai ly   data  eve ry  half  hour) .  The  pr e dicti on   res ults  are  us e d  as  ref e ren ce  pa ram et ers  fo r  op ti m u m   con trol  in   i m pr ovin g  the   sta bili ty   of   el ect rical ly   gen erated  syst em s   in  our  res ear ch .   Tim e  seri es  m et ho d  bas ed  on   sta ti sti cal  m a the m at ic al  m od el   is  cho sen  bec ause  of  it s  su p erior it y  to  proc ess  data  w hich   is  no t  sta ti on a ry  an d  no t  li nea r.   Sta ti sti cal   m at hem at ic al   m od els  are  al so   ca pa ble  of  ge ne ra ti ng   data  t hat  is  no t  incl ud e d  in  t he   trai ning  proces s.       2.   FORE CASTI NG MET HO DS   2.1.   AR I M A Mod el   ARIMA  m et ho d  or   c omm on ly   ref err e d  to  a s  Box - Jen ki ns   m et ho d  is  a  m od el   inte ns ivel y  dev el ope d  by G eo r ge  Bo x and  Gwil yn Je nk i ns  in  19 70. Th is f or ecast in g  m od el  sti ll d om inate s  m any areas o f resear ch  to   date.  U nfor t unat el y,  ARIMA   m od el   can  only   be  app li ed  for  sta ti on ary  tim e - series  data.  If   the  data  i s  no t   sta ti on ary,  the n  to  m ake  the  data  beco m es  sta ti on ary  it   is  n ecessa ry  to  do   the  diff e re ntiat ion   pro cess  [ 37] .Th e   auto regressive   (A R)  m od el  ind ic at es a con ne ct ion   betwee n a value at th e present ti m e  ( )   with a v al ue  in t he   pr e vious  ti m e  ( − ) ,   plu s   a  rand om  value .  Wh il e  t he  m ov in g  a ve rag e   (MA )  m od el   sho ws  t he  dep e ndence   of  the curre nt ti m e v al ue   ( )   w it h  t he  resid ual v al ue  at  the  pre vio us t im e  ( − )   with   = 1 , 2 , … .   The  ARIM A  m od el   ( , , )   is  a   com bin at ion   of  AR ( )   and  M A ( )   m od el s,  wi th  d th - order  diff e re ntiat ion   process   w he n  t he  data  patte r n  is  no t   sta ti on a ry.  Gen e ral  for m   of   the   AR I MA  m od el   ( , , )   is  as f ollows:     ∅ ( ) ( 1 − ) ̇ = ( )     ( 1)     wh e re  B   is  the   backshift  opera tor  a nd    is t he r andom  p r ocess  v al ue s,  a nd     ∅ ( ) = ( 1 − ∅ 1 − . . . − ∅ )     ( ) = ( 1 − 1 − . . . − )     Gen e rali zat ion  of   the  ARI MA  m od el   fo r  data  that  has  a  seas on a l  patte rn   is  e xpresse d  by   ARIMA ( , , ) ( , , )   an d f orm ulate d  as foll ow s  [ 37 ] :      ∅ ( ) Φ ( ) ( 1 − ) ( 1 − ) ̇ = ( ) Θ ( )       ( 2)     wh e re  s   is t he  s easo nal p e rio d, an d     ∅ ( ) = 1 − ∅ 1 − ∅ 2 2 − . . . − ∅     Φ ( ) = 1 − Φ 1 − Φ 2 2 − . . . − Φ    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  8 , N o.   6 ,  Dece m ber  2 01 8   :   489 2   -   490 1   4894   ( ) = 1 − 1 − 2 2 − . . . −     Θ ( ) = 1 − Θ 1 − Θ 2 2 − . . . − Θ      Shor t - te rm   po wer   c on s um pti on   data  by  co ns um ers  has  a   doub le   seas onal   patte rn,  i.e.  daily   and  week ly   seas on.  T he  AR I MA  m od el   with  a  doub le   season al   patte rn   is  e xpress ed  by  ARIMA  ( , , ) ( 1 , 1 , 1 ) 1 ( 2 , 2 , 2 ) 2   an d has t he  f ol lowing  ge ner al  for m   [38] :     ∅ ( ) Φ 1 ( 1 ) Φ 2 ( 2 ) ( 1 − ) ( 1 − 1 ) 1 ( 1 − 2 ) 2 ̇ = ( ) Θ 1 ( 1 ) Θ 2 ( 2 )       (3)     wh e re  1   an d  2   are  d if fer e nt seas onal  p e rio ds .     2.2.   AR I M A  B ox - Jenk ins   Mo d e l Proced ure   The pre dicti on  proce dure  of AR IMA  B ox - Je nk i ns  m od el  th rou gh f ive  stag es of it erati on, a s foll ows:   i.   Pr e par at io n of  data, incl udin g chec king  of d a ta  stat ion ary.   ii.   Id e ntific at ion o f  AR IMA  m od el  throug h  a utoc orrelat ion f unct ion  a nd p a rtia l autoc orrelat ion f unct ion.   iii.   Estim at ion  o f   ARIMA  m od el  p a ram et ers:  p ,  d ,  and  q .   iv.   Determ inati on   of A RIM A  m od el  equati ons.   v.   Pr e d ic ti on .     2.3.   Le as t  Sq u ares  Estima tio n   On e   m et ho d  th at   can b e u se d  to  est im a te   ARIMA  m od el  p a ram et ers  is  the  le ast   sq ua res  m et hod  [39] .  Fo r   AR   ( 1),   c a rr ie d ou t by  i nc lud in g  no n - ze ro  m ean  par am et er,  μ.  This   pa ram et er  is  further  est im a te d  by   le ast   sq ua res .  Co ns i der   t he  first - or der   case  w her e   − = ∅ ( − 1 − ) + :  The  eq uatio n  is  a  regressio n  m od el   with  − 1   as the p re dictor varia ble  and     as th e re s pons e  var ia ble.   L east  squar es  est i m at ion   the n processe d by  m ini m iz ing  the  su m  o f  s quare s of  diff e re nce s     ( − ) − ∅ ( − 1 − )      ( 4)     Since  on ly   1 , 2 , … ,   are  observe d,  t hen w e ca n o nly s um  f ro m   = 2   to  = . L et  it     ( ∅ , ) = ∑ { ( − ) − ∅ ( − 1 − ) } 2 = 2     ( 5)     This  eq uatio n  is  cal le d  the  co nd it io nal  su m   sq ua re d  f un ct i on.  Acc ordin g  to  the  basic  pri nciple  of  the   le ast   sq uar e s  m et ho d,   we  c an  est i m at e  ∅   and     by  the  resp ect ive  val ues  th rou gh   pa ram et er  values   1 , 2 , … , .   Co ns ide r  t he e qu at io n   ⁄ = 0 . We  hav e      = ∑ 2 [ ( − ) − ∅ ( − 1 − ) ] ( − 1 + ∅ ) = 2 = 0     ( 6)     or, sim plifyi ng  and s olv i ng fo r  ,     = 1 ( − 1 ) ( 1 − ∅ ) [ ∑ = 2 − ∅ ∑ − 1 = 2 ]     ( 7)     Now, f or lar ge  n ,     1 − 1 ∑ = 2 = 1 − 1 ∑ − 1 = 2 = ̅     Th us , re gardless o f  th e  value of   ∅ , equati on ( 7 )  re duces t o     ̂ = 1 1 − ( ̅ − ∅ ̅ ) = ̅     ( 8)     then  it  ca n be  wr it te n,  ̂ = ̅   Nex t  we rec onsider  m ini m iz i ng the e quat io n  ( ∅ , ̅ ) . W e  h a ve     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Ap plying of  D ouble  Se asonal  ARIMA  Model  for Elect ric al  Power  De man d  F or ec as ti ng ... (Is mit Ma do)   4895    ∅ = ∑ 2 [ ( − ̅ ) − ∅ ( − 1 − ̅ ) ] ( − 1 − ̅ ) = 2     ( 9)   Sett ing  this  equal t o  ze r o  a nd so l ving fo r  ∅   yi el ds     ∅ ̂ = ∑ ( − ̅ ) ( − 1 − ̅ ) = 2 ∑ ( − 1 − ̅ ) 2 = 2     ( 10)     Exce pt  f or  one   te rm   m issi ng   i n  the   denom inator  ( − ̅ ) 2 ,  this   is  th e  sam e  as  1 .  T he   lone   m issi ng  te rm   is  neg li gi ble  f or   sta ti on ary  prosse s,  a nd  th us   the  le as t  sq ua res  a nd   m et ho d - of - m ome nts  est i m at o rs  ar e   near ly  ide ntica l, especial ly  fo r  la r ge  sam ples.    Fo r  the  gener al   AR( p )  proc e ss,  the  m e thods  us e d  to  obt ai n  e qu at io ns   ( 7 )  an d  ( 8 )  ca n  easi ly   be   exten ded  to   yi el d  the   sam e  r esult,  nam el y  ̂ = ̅ .   T o  ge ner al iz e   the   est im a ti on   ∅ ’s ,  we  ca n  be   co ns i der e d  thr ough a sec ond - order eq uation.  S o, we   re pl ac e     by  ̅   in t he c onditi on al  sum - of - squa res f un ct io n,     ( ∅ 1 , ∅ 2 , ̅ ) = ∑ [ ( − ̅ ) − ∅ 1 ( − 1 − ̅ ) − ∅ 2 ( − 2 − ̅ ) ] 2 = 3     ( 11)     Sett ing   ∅ 1 ⁄ = 0 , w e  h a ve     − 2 ∑ ( − ̅ ) − ∅ 1 ( − 1 − ̅ ) − ∅ 2 ( − 2 − ) = 3 = 0     ( 12)     Wh ic h we ca n rew rite  as     ∑ ( − ̅ ) ( − 1 − ̅ ) = 3 = ( ∑ ( − 1 − ̅ ) 2 = 3 ) ∅ 1 + ( ∑ ( − 1 − ̅ ) ( − 2 − ̅ ) = 3 ) ∅ 2     ( 13)     The  s um   of   t he   la gg e d  pro du ct s  by   ∑ ( − ̅ ) ( − 1 − ̅ ) = 3   is  ve ry  near ly   the   num erator  of  1 .   W e  can  div ide  both  sides   of  the  equ at io n  by  ∑ ( − ̅ ) 2 = 3   then ,  e xcep ts  f or   e nd  ef fects,   wh ic h  ar e  ne gligible   unde r  the  stat ion a ry  ass um pti on, we  ob ta in     1 = ∅ 1 + 1 ∅ 2     ( 14)     W it h  the  sam e appr oach f or d i ff e ren ti at ion eq uations   ∅ 2 ⁄ = 0 , obtain ed     2 = 1 ∅ 1 + ∅ 2     ( 15)     These   tw o  e qu at ion s  are   cal le d  Y ule - Walker  eq ua ti ons  f or  the  AR( 2)  m od el .   F or  MA (1),  = − − 1 ;  if the  M A  m od el  is in ver ti ble then     = − − 1 − 2 − 2 − 3 − 3 − ⋯ +     ( 16)     T he n  the  least   sq ua res  can  b e   done by sel ect ing  a  value    that  m ini m iz es.     ( ) = ∑ ( ) 2 = ∑ [ + − 1 + 2 − 2 + 3 − 3 + ⋯ ] 2   (17)     It  is  ob vi ous  that  the  le ast   s qu a res  pr ob le m   in  equ at ion   (17)   is  nonli ne ar  in  the  par a m et er.  W e  will   no t  be  able  t o  m ini m iz e  ( )   by  ta kin g  a   de riv at ive  with  re spe ct   to  θ,  set ti ng  it   to  zer o,   a nd   so l ving.  T o  address  these i ssu es,  consi der evaluati ng  ( )   for  a sin gle  giv e n value  of   . Rew rite   first - orde r e qu at io n  a s     = + − 1     ( 18)     Using   this   eq ua ti on ,   1 , 2 , … ,   can   be   cal culat ed  rec ur si vely   if   we  hav e   t he  i niti al   val ue   0 .   A   com m on  ap pr oxim a ti on  is to  s et   0 = 0 . W e c an  obt ai n     1 = 1 2 = 2 + 1 3 = 3 + 2 ⋮ = + − 1 }             ( 19)     Fo r  h i gher - ord er m ov in g  a verage m od el s, w e can  c om pu te   = ( 1 , 2 , … , )   rec ur si vely  f r om   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  8 , N o.   6 ,  Dece m ber  2 01 8   :   489 2   -   490 1   4896     = + 1 − 1 + 2 − 2 + ⋯ + −     ( 20)     W it h  0 = − 1 = ⋯ = − = 0 .  Th e  s um   of   squares  i s  m ini m iz ed  jointl y  in  1 , 2 , … ,   us in g  a   m ul ti var ia te   num erical   m e tho d.   F or  a  ge ne ral  ARM A  m od el :  the  c ondit ion al   s um   of s quares   can   be   de fine d   m uch  as in  t he  MA  case,  w e  c on si der  = ( ∅ , )   and w i sh  t o  m ini m iz e   ( ∅ , ) = ∑ 2 , so     = − ∅ − 1 + − 1     ( 21)     To  obta in  1 ,  we  now   ha ve  a n  a dd it io nal  pro ble m ,  nam el y  0 .  On e   a ppro ac h  is  t o  set   0 = 0   or  to   ̅   if  our  m od el   c on ta in s  a  no nz ero   m ean.  H oweve r,   a  bette r   appr oach   is  t o  be gin   t he  re cur si on   at   = 2 ,  th us   avo i ding  0   al to gethe r,  an d  si m pl y  m ini m ize,   ( ∅ , ) = ∑ 2 = 2 .   F or  ge neral   ARMA ( , )   m od el ,  we  com pu te     = − ∅ 1 − 1 − ∅ 2 − 2 − ⋯ − ∅ − + 1 − 1 + 2 − 2 + ⋯ + −   (22)     W it h  = − 1 = ⋯ = + 1 − = 0   a nd  th en  m ini m iz e  ( ∅ 1 , ∅ 2 , … , ∅ , 1 , 2 , … , )   num erical ly   to  ob ta in  the  co ndit ion al  least  s qu a res  e stim ates  of all  p a ram et ers.     2.4.   Measuri n g Ac curac y  Le vel  of   Predi cti on   Results   Ba sic al ly ,  m ea su ri ng   t he  acc ur acy   of  pre dicti on   res ults  can  be  done  by  var io us   sta ti sti cal   analy sis   m et ho ds ;  s uch  as  the  r oo t  m ean  of  s qu a re  error   (RMSE) ,   the  m ean  of   a bs ol ute  er ror  ( MAE)  value  a nd   t he   m ean  of   abs ol ute  per ce ntage   err or  (MA PE).  In   this  resea r ch,   we  use d  MAPE  as  sta ndar d  m easur em ent  of   pr e dicti on r es ul ts acc ur acy .  MAPE  is  d e fine d as f ollo ws  [40 ] :      = ∑ | − ̂ | = 1 × 100%     ( 23 )     wh e re     an d  ̂   are  the act ual  valu e an d pr e dicti on  value, w hile  n   is t he nu m ber   of   predict io n values .     2.5.   Data Se t   This  st ud y  us e s  el ect rical   po wer  dem and   i n  th e  loa d  c en te r  data   (take n  eve ry  hal f  hour)  at   pow e r   plant  un it   of  P T.  PL N  Gresi k  Ind onesi a  on  Jan uar y  1,   2009  -   De cem ber   31,  2011.  Whe re,  data  f r om   J anu a r y   1,   20 09   -   Dec e m ber   24,  2011  is  us ed  f or   f or ecast in g  an d  data  fr om   Dece m ber   25   -   31,  20 11   is  us e d  for   te sti ng .       3.   RESU LT S   A ND  DI SCUS S ION   3.1.   Model  Fit ting  an d  Iden tific ati on Par ame te r   Ex plo rati on   of   el ect rical   power  co nsum pti on  data  is   do ne   thr ough  ti m e   series  plo t  on   Jan uar y  1,  2009  -   Decem ber   24,  2011.  The  data  patte rn   is  ver y  fluct uate  as  s how n  in  Fig ur e  1.  T his  co ndit ion   m ay   be   influ e nce d  by   the  integrated  powe r  distri bu ti on  syst em   in  Java - Ma dura - Ba li   interconnecti on  syst e m   in   Ind on esi a.  F rom   the p ic tu re it sh own  t hat the  d at a  has n ot been stat io nar y.             Figure  1. Ele ct rical  pow e r dat a eve ry h al f  ho ur on Ja nuary  1,   2009  -   Dece m ber  2 4,  2011   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Ap plying of  D ouble  Se asonal  ARIMA  Model  for Elect ric al  Power  De man d  F or ec as ti ng ... (Is mit Ma do)   4897   Figure  2  s hows  that  the  ACF  coe ff ic ie nt  is  sign ific a ntly   diff ere nt  from   zero   and   the  PA CF   coeffic ie nt  is  cl os e  to  zer o  aft er  the  first  la g.   Ba sed  on  these   two  points,  it   sh ows  that  the av era ge  data  ha s  no t   been   sta ti onar y  and   there  i s  a  season al   patte rn e d  tre nd.  T her e fore,  it   is  necessary  to  process  1 st   le vel   diff e re ncin g   ( = 1 ) .             Figure  2 .   The   ACF a nd P AC F of        The  plo ts  of   ACF  a nd   PA C F  in  Fig ure  3  hav e  t hro ugh  a  diff e re ntiat ion   pr ocess  s o  t hat  the  non - seaso nal  co ndit ion s  hav e   be en  sta ti on a ry  i n  the  m ean  va lue.  Ba se d  on  the  ACF  pl ot  it   shows  th at   the   autoc orrelat ion  values  of   th e  sta ti on ary  data   go   dow n  to  ze ro   a fter  the  sec ond  la g  a nd  th e  third   la g,  w hi le   for   the  seaso nal  da ta   it  is  still   no t  sta ti on ary  in  th e  m ean  value.  Th e  ACF p lot  al so   shows  t he  existe nce  of  an oth e r   seaso nal p at te r n wh ic h  is a  we ekly  seasonal   patte rn on la g 336, 6 72 a nd s o on.             Figure  3 .   The   ACF a nd P AC F of    after   = 1 , 1 = 1   and  1 = 48           Figure  4: L oad d em and  se ries  after   = 1 ,  1 = 1 ,  1 = 48 ,  2 = 1 , a nd  2 = 336   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  8 , N o.   6 ,  Dece m ber  2 01 8   :   489 2   -   490 1   4898   The  ACF  plo t  of   t he  loa d  data  patte rn  in  Fi gure  5  ha s  bee n  sta ti on a ry  in  the  m ean  value   after  go i ng   thr ough  a  seco nd   orde r  dif fe r entia ti on   pr oce ss  (w it h  2 = 1 ).  For   non - seaso nal  patte rn s  base d  on   ACF  a nd   PA CF  plo ts,   th e  load  te nds  to   decr ea se  gra dual ly   esp eci al ly   after  the  first   la g  s o  that  the   non - seas on al   m od el   assum ption   is   the  ARMA ( 1 , 1 )   m od el .  Wh il e   the   daily   seaso nal  patte rn  ( 1 = 48 )   sho ws   that  t he  plo t   of  th e   ACF dat a p at te rn  te nd s t o  be  interru pted  a fter th e lag  48 and the  P ACF  pa tt ern  in dicat es the d at a  patte rn  te nd s   to  decr ease   gradu al ly ,  t hen  t he  as su m ption  of  t he  daily   s easo nal  m od el   is  MA ( 1 ) 48 m od el . Fo r   the   week l y   seaso nal  patte r n   ( 2 = 336 )   it   sh ows  th at   ACF  an d  P ACF  plo ts  al ong  la g  336,   67 2,   a nd  so  on  t end   t o  f al l  gr a dual ly , th en  the ass um ption   of the  wee kly seaso nal m od el  is  MA ( 1 , 1 ) 336 m od el .             Figure  5 .   The   ACF a nd P AC F of    after   = 1 , 1 = 1 , 1 = 48 , 2 = 1   and  2 = 336       Ba sed  on  the  i den ti ficat io n  of  AC F  a nd  P A CF  patte r ns ,   th e  assum ption   of   an  ap pro pr i at e  ARIMA   m od el   is  a  double   seas onal   A RIMA  m od el   ( 1 , 1 , 1 ) ( 0 , 1 , 1 ) 48 ( 0 , 0 , 1 ) 336 .H owe ver,  if   w hite  noise   is  de te ct ed  in   the  te st  data,  it  is  necessary  to  ad d  or  substi tute  the  order   of   diff e re ntiat i on   process .  I n  this  stud y,  Stat ist ic al   An al ysi s Syste m  ( SA S)   pro gra m m ing  to ols  are  us ed  to  a na ly ze load data   of do ub le  sea s on al   ARIM A m od e ls.     3.2.   DSARI M A M od el  P ar amet e r Estima tio n   The  AR  an d  MA  coe ff ic ie nt s  in  the  DSA RIMA  m od el   are  est im a te d  by  the  le ast   squares  m et hod.   The  i niti al  estim at e o btaine d has  been u sed   as the initi al  v a lue of the  it erati ve  est im a ti on   m et ho d. T hrough   the   double   seas o na l  ARIM A  m od el   ( 1 , 1 , 1 ) ( 0 , 1 , 1 ) 48 ( 0 , 0 , 1 ) 336 ,  the   init ia l  data   of   the   A R  an d  M A   co eff ic ie nt s   wer e  obtai ne d as f ollows:   Ba sed  on  Tabl e  1,  t o  m eet   the  w hite  no ise   c rite rion,  p - val ue   m us t  be   great er  t han  fa ult  t ol eran ce   = 5% ,  wit h  al pha   sign i ficance  le ve l  le ss  tha n  0.0 001.I n  a ddit ion ,   the  m od el   has   an   im pr ov em ent  patte rn  with   3  MA  pa ram et er s  i.e.   MA ( 1 , 1 ) ,  MA ( 2 , 1 )   dan   M A ( 3 , 1 ) ,  so   t hat  these  th ree   par am et ers  shou l d  be   inclu de d  in   the  m od el   est i m at ion .  Wh il e  the  resid ual  a ssu m ption   te st  that  inclu des  the  assum ption  of   w hite  no is e  m us t   m eet  the cr it eria o f  in de pende nt and  norm al  d ist rib ution   ( 0 , 2 ) .   The  Lju ng - Bo x  te st  is  us e d  to  c hec k  t he   resi du al   i nd e pende nce  as sum pt ion   with  t he  fo ll owi ng   hypothesis:     0 ∶   1 = 2 = . . . = = 0   1 ∶   at  least  one  1 w hich  is  not e qual  to  zer o for  = 1 , 2 , …   , .     with  a  fau lt   tol eran ce   of  5%  t hen  0   is  rej ect e d  if  p - val ue  < ,  wh ic h  m eans  the  re sid ual  do es  not  m eet   th e   wh it e  no ise  ass um ption .   Ba sed  on  the  final  re su lt   of  AR  a nd  MA   coe ff ic ie nt  pa ram et er  est i m a ti on   in   Ta ble  2,   it   ca n  be   plo tt ed  the  res idu al   norm al   p roba bili ty   to  determ ine  wh et her   resi du al   ha s  fu lfil le d  w hi te   no ise   assu m pt ion  with  li m i t  of  ± 1 . 96 √ ⁄ ≈ ± 0 . 009 .   By   it erati ng   t he   ad diti on   of  AR  a nd  M A  pa ram et ers,   the  best  it erati on   value   has   be en  obta ined   wh ic h  has  f ul fill ed  w hite  no ise   ass um pt ion ,   i.e.   do uble   seaso nal  A RIMA  ( [ 1 , 2 , 7 , 16 , 18 , 35 , 46 ] , 1 , [ 1 , 3 , 13 , 21 , 27 , 46 ] ) ( 1 , 1 , 1 ) 48 ( 0 , 0 , 1 ) 336 .           Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Ap plying of  D ouble  Se asonal  ARIMA  Model  for Elect ric al  Power  De man d  F or ec as ti ng ... (Is mit Ma do)   4899   Table  1 .   A n O utput S AS   of  m od el  w it h  CL S ite rati ve   The ARI NA   P roce d u re  Co n d itio n al L east Sq u ares  Esti m atio n   Para m ater   Esti m at e   Stan d ard Erro r   t Value   Ap p rox  Pr  >  | t |   Lag   MA1, 1   - 0 .35 1 8 4   0 .01 8 9 9   - 1 8 .53   <.00 0 1   1   MA2, 1   0 .95 7 3 4   0 .00 1 3 0 0 7   7 3 6 .02   <.00 0 1   48   MA3, 1   - 0 .04 5 2 6   0 .00 4 5 1 0 3   - 1 0 .03   <.00 0 1   336   AR1 ,  1   - 0 .14 5 7 8   0 .02 0 0 6   - 7 .27   <.00 0 1   1   Variance  Esti m ate   1 3 0 .7053   Std  E rr o r  E sti m ate   1 1 .43 2 6 4   AIC   4 0 1 9 4 6   SBC   4 0 1 9 8 1   Nu m b e r  o f  Resid u als   5 2 1 2 7   * AIC and  SBC d o  no t inclu d e log  det er m in an t           Au to co rr elatio n  Ch eck o f  Resid u als   To Lag   Ch i - Sq u are   DF   Pr>Ch iSq   Au to co rr elatio n s   6   1 5 3 .39   2   <.00 0 1   - 0 .00 2   - 0 .01 9   - 0 .04 1   - 0 .01 7   - 0 .02 3   - 0008   12   2 7 4 .15   8   <.   0001   - 0 .03 3   - 0 .02 7   - 0 .01 4   - 0 .00 9   - 0 .01 4   - 0 .00 7   18   3 4 2 .13   14   <.00 0 1   - 0 .00 9   - 0 .00 9   - 0 .00 8   - 0 .01 7   - 0 .01 6   - 0 .02 3   24   4 2 2 .74   20   <.00 0 1   - 0. 023   - 0 .01 8   - 0 .02 0   - 0 .01 1   - 0 .01 3   - 0 .00 3   30   4 7 3 .05   26   <.00 0 1   - 0 .00 9   - 0 .00 8   - 0 .01 7   - 0 .00 8   - 0 .01 7   - 0 .01 4   36   4 8 9 .03   32   <.00 0 1   - 0 .01 1   - 0 .00 9   - 0 .00 2   0 .00 0   - 0 .01 0   0 .00 0   42   4 9 7 .60   38   <.00 0 1   - 0 .00 7   - 0 .00 8   0 .00 2   - 0 .00 5   - 0 .00 4   0 .00 3   48   8 0 4 .03   44   <.00 0 1   0 .00 1   0 .00 2   0 .00 6   0 .01 8   0 .00 4   0 .06 0       Table  2 .   A n O utput S AS   of  m od el   Co n d itio n al L east  Sq u ares E sti m atio n   Para m eter   Esti m at e   Stan d ard Erro r   T  Valu e   Ap p rox  Pr > | t |   Lag   MA1,1   0 .95 1 3 1   0 .01 2 9 2   7 3 .64   <.00 0 1   1   MA1,2   - 0 .07 2 6 9   0 .00 6 4 8 2 6   - 1 1 .21   <.00 0 1   3   MA1,3   0 .01 3 5 7   0 .00 3 0 7 8 6   4 .41   <.00 0 1   13   MA1,4   0 .01 0 5 3   0 .00 2 8 6 2 0   3 .68   0 .00 0 2   21   MA1,5   0 .01 7 2 7   0 .00 2 5 8 8 4   6 . 67   <.00 0 1   27   MA1,6   0 .05 0 7 4   0 .00 4 5 4 7 8   1 1 .16   <.00 0 1   46   MA2,1   0 .97 1 5 5   0 .00 1 0 8 9 0   8 9 2 .14   <.00 0 1   48   MA3,1   - 0 .05 3 2 0   0 .00 4 4 7 7 4   - 1 1 .88   <.00 0 1   336   AR1 ,1   1 .13 3 0 0   0 .01 4 0 2   8 0 .80   <.00 0 1   1   AR1 ,2   - 0 .28 0 5 6   0 .00 7 8 4 2 2   - 3 5 .78   <.00 0 1   2   AR1 ,3   - 0 .01 8 6 9   0 .00 2 5 3 3 2   - 7 .38   <.00 0 1   7   AR1 ,4   - 0 .01 0 5 2   0 .00 3 2 9 8 3   - 3 .19   0 .00 1 4   16   AR1 ,5   - 0 .01 0 2 4   0 .00 3 2 2 6 0   - 3 .18   0 .00 1 5   18   AR1 ,6   - 0 .00 6 8 8 9 3   0 .00 2 1 6 0 9   - 3 .19   0 .00 1 4   35   AR1 ,7   0 .07 3 9 5   0 .00 4 9 7 6 8   1 4 .86   <.00 0 1   46   AR2 ,1   0 .04 0 5 1   0 .00 4 9 4 8 9   8 .19   <.00 0 1   48   Variance  Esti m ate   1 2 7 .2317   Std  E rr o r  E sti m ate   1 1 .27 9 7   AIC   4 0 0 5 5 4   SBC   4 0 0 6 9 5 .7   Nu m b e r  o f  Resid u als   5 2 1 2 7   * AIC and  SBC d o  no t inclu d e log  det er m in an t         Au to cp rr elatio n  Ch eck o f  Resid u als   To Lag   Ch i - Sq u are   DF   Pr>Ch iSq   Au to co rr elatio n s   6   .   0   .   - 0 .00 0   - 0 .00 0   0 .00 0   0 .00 5   - 0 .00 4   0 .00 4   12   .   0   .   - 0 .00 6   - 0 .00 2   0 .00 6   0 .00 3   - 0 .00 7   - 0 .00 4   18   1 2 .54   2   0 .00 1 9   0 .00 4   0 .00 0   - 0 .00 2   - 0 .00 2   - 0 .00 3   - 0 .00 2   24   1 6 .38   8   0 .03 7 3   - 0 .00 4   - 0 .00 4   0 .00 1   0 .00 5   - 0 .00 1   0 .00 4   30   2 3 .11   14   0 .05 8 6   - 0 .00 4   - 0 .00 6   0 .00 1   0 .00 8   - 0 .00 3   - 0 .00 2   36   2 7 .18   20   0 .13 0 4   - 0 .00 3   - 0 .00 3   0 .00 1   0 .00 1   - 0 .00 3   0 .00 7   42   3 1 .53   26   0 .20 9 3   - 0 .00 4   - 0 .00 4   0 .00 6   - 0 .00 2   0 .00 7   - 0 .01 1   48   3 9 .26   32   0 .17 6 5   0 .00 3   0 .00 3   0 .00 6   - 0 .00 6   0 .00 7   - 0 .00 1       3.3.   Model  Testin g an d  Measuri ng   of  F orecast ing Le vel A cc urac y   Fo r  acc ur acy   m easur em ent,  te sti ng   us es   the  MAPE  proce dure.  Ba sed  on  the  com par ison   of   pr e dicti on loa d data  with act ua l l oad   data,  th e ave rag e  d at a  accuracy  of 2,0 6%  is  obta ined .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  8 , N o.   6 ,  Dece m ber  2 01 8   :   489 2   -   490 1   4900   3.4.   Predi ction   Ba sed  on  the   final  resu lt   of  par am et er  est i m ation   in  Table  1  we  ge t  the  ARIMA  coe ff ic ie nt   par am et ers  as   fo ll ows:   AR ( 1 , 1 )   =   1.1 33,   AR ( 1 , 2 )   =   - 0.2 8056,   AR ( 1 , 3 )   =   - 0.0 1869,   A R ( 1 , 4 )   =   - 0.010 52,  AR ( 1 , 5 )   =   - 0.010 24,   AR ( 1 , 6 )   =   - 0.0 0688 93,  AR ( 1 , 7 )   =   0.0 7395,   AR ( 2 , 1 )   =   0.040 51  MA ( 1 , 1 )   =   0.9 5131,   MA ( 1 , 2 )   =   - 0.0 7269,  M A ( 1 , 3 )   =   0.01357,  MA ( 1 , 4 )   =   0.010 53,  MA ( 1 , 5 )   =   0.017 27,  MA ( 1 , 6 )   =   0.0 5074,   MA ( 2 , 1 )   =   0.971 55, MA ( 3 , 1 )   =   - 0.0 532.   Thro ugh  the   par am et er  of  this  pr e dicti on  m od el   we   ge t  the  e quat io n  for   D SA R I MA  m od el   ( [ 1 , 2 , 7 , 16 , 18 , 35 , 46 ] , 1 , [ 1 , 3 , 13 , 21 , 27 , 46 ] ) ( 1 , 1 , 1 ) 48 ( 0 , 0 , 1 ) 336   as foll ows:     ( 1 − ) ( 1 − 48 ) ( 1 − 1 . 133 + 0 . 281 2 + 0 . 019 7 + 0 . 011 16 + 0 . 010 18 + 0 . 007 35 − 0 . 074 46 ) ( 1 − 0 , 041 48 ) ̇ = ( 1 − 0 . 951 + 0 . 073 3 − 0 . 014 13 − 0 . 011 21   − 0 . 017 27 − 0 . 051 46 )   ( 1 − 0 . 972 48 ) ( 1 + 0 . 053 33 6 )           Figure  6.  The   ou t - sam ples o f  actual  dat a an d on e - ste p ahe ad ou t - sam ple f oreca sts       4.   CONCL US I O N     Stat ist ic al   analy sis  base d  on  DS ARIMA   m od el   is   s uitable   with  el ect rical   powe r  c ha racteri sti cs  with   con ti nu ous  an d  fluctuati ng   l oa d  patte rn s .  T he   load  cha nges   are  al ways  un exp ect e d  at   a ny   tim e  dep en din g  on  el ect rical   po w er  dem and   in   the  load  ce nt er.  W it h   t he  s ta ti sti ca l  analysis  m od el ,  pre dicti on s  a re  a ble  to  gen e rate  data  that  is  not  incl uded   in  the   data   trai ning  proce ss.  T hro ugh   th e  best  m od el   a ssu m ption ,  t he  m od el  in  this  stud y  w as  able  to  pr e di ct   with  the  aver age  acc ur acy   of   MAP E  of   2.06%.   F ur the r   researc h  that  can  be   dev el op e d  is  the  patte r n  of  el ect rical   po wer   dem and   on   a  la rg e - sca le   area  su ch  as  Java - Ma dur a - Ba li ,  Ind on esi a ele ct rici ty  n et wor k i ntercon necti on.       REFERE NCE S     [1]   G.  J.  Tsekour as,   et   al. ,   “ A  non - li ne ar  m ult iva ri a ble   reg ression  m odel   for  m idt erm  ene rg y   fore c asti ng  of  power  s y stems , ”  Elec tr.   Powe r S yst. Res. ,   vol /i ss ue :   77 ( 12 ) ,   pp .   1560 – 15 68,   2007 .   [2]   P.  E.   McSharr y ,   et   al. ,   “ Probabil isti c  for ecasts  of  the   m agni tude  and  ti m ing  of  pea k  elec tri c ity   demand, ”  IE E E   Tr ans.  Powe r Sy st. ,   vo l /i ss ue:   20 ( 2 ) ,   pp .   1166 – 11 72,   2005 .   [3]   E.   G .  Rom era,  “ Monthl y   El e ct r i c  Ene rg y   Dem a nd  Forec asti ng  Based  on  Tre nd   Ext ra ct ion , ”  I E EE   Tr ans.  Power   Syst. ,   vol /i ss ue:   2 1( 4 ) ,   pp .   1946 – 1953,   2006 .   [4]   J.  W .   Tay lor  an d  P.  E.   McShar r y ,   “ Short - t erm  loa d  fore c asti ng  m et hods:  An  eva luation  base d  o n  Europe an  da ta,”   IEE E   Tr ans.  Po wer  Syst. ,   vo l /i ss ue:   22 ( 4 ) ,   pp .   22 13 – 2219,   2007 .   [5]   F.  W .  Berna l,   et   al. ,   “ Sm al l - signa l  ana l y sis  of  power  sy st em  sw in g  m odes   as  aff ec te d  b y   wind  turb ine - gen era to rs , ”   2016  IEEE Pow er  and  En ergy   C onfe renc e  at   Il linois ,   P ECI  2016 ,   2016 .   [6]   K.  K.  Al - Dalwi   and  A.  M.  Vur al,  “ Modeli ng  and   sim ula ti on  of  B azy an   Gas  Pow er  Plant , ”  2017  4 t h  Inte rnationa l  Confe renc e  on   E le c tric al   and  El e ct ronics  Engi ne e ring,  ICE EE 201 7 ,   2017 .   [7]   Y.  Zh ou ,   e t  al . ,   “ The   Stocha st ic  Response  Surfac e  Method   for  S m al l - signal  Stab il ity   S tud y   of   Pow er  S y st em  wit h   Probabil isti c  Unce rt ai nt ie s  in  Corre lated  Photovolt aic  and  Loa d , ”   IEE E  Tr ansacti ons  on  Powe r  S yste ms ,   vo l.   99 ,   p p.   1 ,   2017 .   [8]   H.  Hahn,   et   a l. ,   “ El ectric  loa d   fore ca st ing  m ethods :  Tool s  for   dec ision   m aki n g, ”  Eur.   J .   Ope r.  Re s. ,   vol /i ss ue:   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Ap plying of  D ouble  Se asonal  ARIMA  Model  for Elect ric al  Power  De man d  F or ec as ti ng ... (Is mit Ma do)   4901   199 ( 3 ) ,   pp .   902 – 907,   2009 .   [9]   M.  M.  Nia,   et   al. ,   “ Stocha sti c  appr oac h  to  a  r ai n  attenuation  ti m e  seris  sy n th esiz er  for  he av y   rai n  r egi ons,”   Inte rnational   Jo urnal  of El e ct ri c al  and  Comput er  Engi n ee ring   ( IJE CE) ,   vol / issue:   6 ( 5 ) ,   pp .   2379 – 2 386,   2016 .   [10]   S.  Kam ley ,   et   al. ,   “ Perform an ce   fore ca sting  of  share   m ark et  using  m ac hine  le arn ing  techni ques:  A  rev ie w, ”     Inte rnational   Jo urnal  of El e ct ri c al  and  Comput er  Engi n ee ring   ( IJE CE) ,   vol / issue:   6 ( 6 ) .   pp .   3196 – 3 204,   2016 .   [11]   A.  T.   Lor a,   e t  al . ,   “ Ti m e - seri es  pre diction:   Appli ca t ion  to  the   sho rt - te rm   elec tr ic   e ner g y   d emand, ”  Curr .   Top.  Arti f.  Inte ll. ,   pp.   577 – 586,   2004 .   [12]   H.  M.  Al - 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