I n te r n ati o n al   Jo u r n al   o f  El e c tr i c a l   an d   C o m p u te r   En gi n e e r i n g   (I JEC E )   V o l .   10 ,  N o .   4 ,  A ugus t   20 20 ,   pp .   430 5 ~ 4312   IS S N :   2088 - 8708 ,  D O I :   10. 1 1591 / i j e c e . v 10 i 4 . pp 4305 - 4312             4305       Jou r n al   h o m e pa ge :  ht t p: / / i j e c e . i ae s c or e . c om / i nd e x . php / IJ E CE   On   so m e   t y p e s   o f   s l i g h t   h o m o g e n e i t y       S am e r   A l   G h o u r ,  N ah e d   A l   K h at i b   D e pa r t m e n t   o f   M a t he m a t i c s   a nd  S t a t i s t i c s ,   J o r da n   U n i v e r s i t y   o f   S c i e nc e   a nd  T e c hno l o gy ,   J o r da n       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T     Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e d  S e p   6 ,   20 19   R e v i s e d  F e b   21 ,   202 0   A c c e pt e d  F e b   29 ,   202 0       A s   a   g e ne r a l i z a t i o n   o f   t he   c o nc e pt   S L H   s pa c e ,   w e   i n t r o duc e   t h e   c o nc e pt   o f   s l i g ht l y   s t r o ng l y   l o c a l l y   ho m og e ne o us   ( S S L H )   s pa c e s .   A l s o ,   w e   i nt r o duc e     t he   c o nc e pt s   o f   s l i g ht l y   de ns e   s e t   a s   w e l l   a s   s l i g ht l y   s e pa r a b l e   s p a c e ,   a nd  us e   t he m   t o   i nt r o duc e   t w o   ne w   t y pe s   o f   s l i g h t l y   c o unt a bl e   de ns e   ho m og e ne o us   s pa c e s .   S e v e r a l   r e s u l t s ,   r e l a t i o ns h i p s ,   e xa m p l e s   a nd   c o unt e r - e xa m pl e s   c o n c e r ni ng   t he s e   c o nc e pt s   a r e   o bt a i n e d.   Ke y w or d s :   Cl o pe n   s e t s   S l i g h t   c o n t i n uo us   S l i g h t   h o m o ge n e i t y   C opy r i gh t   ©   2020   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e d  E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e .    A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   S a m e r   A l   G h o u r ,    D e pa rt m e n t   o f   M a t h e m a t i c s   a n d   S t a t i s t i c s ,   J o r da n  U n i v e r s i t y   o f   S c i e n c e   a n d   T e c hn o l o gy ,   Ir b i d   22110 ,   J o r da n .   E m a i l :   a l go r e @ j us t . e du . j o       1.   I N TR O D U C TI O N     T hr o ug h o ut   t hi s   pa pe r  by   a   s p a c e   w e   m e a n  a   t o po l o gi c a l   s pa c e .   L e t   ( , )   b e   a   s pa c e .   ( , )   i s   h o m o ge n e o us   [1]   i f   f o r   a n y   t w o   po i n t s   , ∈   t h e r e   e xi s t s   a   h o m e o m o r phi s m   : ( , ) → ( , )   s uc h   t h a t   ( ) = .  ( , )   i s   s t r o n gl y   l o c a l l y   h o m o ge n e o us   (a b b r e v i a t e d:   S L H )  [2]  i f     h a s   a   b a s e     s uc h  t ha t   f o r   e a c h   ∈   a nd   po i n t s   , ∈ ,   t h e r e   e xi s t s   a   h o m e o m o r p hi s m   : ( , ) → ( , )   s uc h   t ha t   ( ) =   a nd     | −   e qua l   t o   t h e   i de n t i t y .   A   s e pa ra b l e   s pa c e   ( , )   i s   c o unt a b l e   de n s e   h o m o ge n e o us   (a b b r e v i a t e d:   CD H )  [3]  i f  gi v e n   a n y   t w o   c o un t a b l e   de n s e   s ub s e t s   ,   of   ,   t h e r e   i s   a   h o m e o m o r p h i s m   : ( , ) → ( , )   s uc h   t ha t   ( ) = .   [4 - 17 ]   a r e   s o m e   r e c e n t   w o r ks   r e l a t e d   t o   t h e   a b o ve   c o n c e pt s .   L e t   : ( , ₁ ) → ( , ₂ )   b e   a   f un c t i o n.   T h e n    i s   s l i g h t l y   c o n t i n uo us   [18]   i f   t h e   i n v e r s e   i m a ge   o f   e v e r y   c l o p e n   s ub s e t   of   ( , ₂ )   i s   a   c l o pe n   s ub s e t   of  ( , ₁ ) .    i s   s l i g ht l y   h o m e o m o r p h i s m   [ 19]  i f     i s   a   b i j e c t i o n   a n d     a n d   ⁻ ¹   a r e   s l i g ht l y   c o n t i n uo us .   T h e r e   a r e   s o m e   pa pe r s   i n  t h e   l i t e r a t u r e   w h e r e   t h e   de f i n i t i o n  o f   a   h o m o ge n e o us   s pa c e   i s   m o di f i e d  i n  t h e   m a nn e r   t ha t     t h e   r o l e   o f   h o m e o m o r p h i s m s   i s   g i v e n  t o   p r e h o m e o m o r p h i s m s   ([20]   a n d   [21])   o r   s e m i h o m e o m o r p h i s m s   [22 ].     In  [19] ,   t h e   a ut h o r s   us e d  s l i g ht l y   h o m e o m o r p h i s m s   t o   i nt ro duc e   s l i gh t l y   h o m o ge n e o us   s pa c e s   a n d  s l i g ht l y   c o un t a b l e   de n s e   h o m o ge n e o us   s pa c e s .   In   t h i s   pa pe r,   w e   w i l l   us e   s l i g ht l y   h o m e o m o r phi s m s   t o   i n t r o duc e   s l i g h t l y   s t r o n g l y   h o m ge n e o us   s pa c e s   a nd  t w o   n e w   t y p e s   of  s l i g ht l y   c o un t a b l e   de n s e   h o m o ge n e o us   s pa c e s .   T hr o ug h o ut   t h i s   pa pe r,   f o r   a n y   s pa c e   ( , )   a n d   ⊆ ,  | |   w i l l   de n o t e   t h e   c a rdi na l i t y   of     a n d       w i l l   de n o t e   t h e   s ub s pa c e   t o po l o g y   o n     r e l a t i v e   t o   .   M o r e o ve r ,   f or  a   s ub s e t     of  ℝ   w e   w r i t e   ( , )   t o   de n o t e     t h e   s ub s pa c e   t o po l o g y   o n   A   r e l a t i v e   t o   t h e   us u a l   t o po l og y .   F o r  a   n o n - e m p t y   s e t   ,     w i l l   de n o t e     t h e   di s c r e t e   o n  .   P R O P O S I TI O N   1. 1.   [19]   If   : ( , ₁ ) → ( , ₂ )   i s   a   b i j e c t i v e   f un c t i o n  s uc h  t ha t   ( , ₁ )   a n d  ( , ₂ )   a r e   b o t h   c o n n e c t e d,   t h e n     i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r phi s m .   P R O P O S I TI O N   1 . 2.   [19 ]  E v e r y   h o m e o m o r phi s m   i s   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m .   P R O P O S I TI O N   1 . 3.   [23 ]  E v e r y   c o n n e c t e d  S L H   s pa c e   i s   h o m o ge n e o us .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2088 - 8708   Int   J   E l e c   &   Co m p  E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   4 ,  A ugus t   2 020   :     43 04   -   4311   4306   P R O P O S I TI O N   1 . 4 .   [19]   If   : ( , ₁ ) → ( , ₂ )   i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m   s u c h  t ha t   ( , ₁ )   a nd   ( , ₂ )   a r e   z e r o   di m e n s i o na l   s pa c e s ,   t h e n     i s   a   h o m e o m o r p h i s m .   D e f i n i t i o n  1. 5 .   [19]   A   s pa c e   ( , )    i s   s a i d   t o   b e   s l i g h t l y   h o m o ge n e o us   i f   f o r   a n y   t w o   po i n t s   , ∈ ,   t h e r e   e xi s t s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m   : ( , ) → ( , )   s uc h   t ha t   ( ) = .   A   s ub s e t   of   a   s pa c e   ( , ) ,   w h i c h   ha s   t h e   f o r m   ,   = { ∈ :   t h e r e   i s   a   s l i g h t   h o m e o m o r p hi s m   : ( , ) → ( , )   s uc h   t ha t   ( ) = }   i s   c a l l e d  t h e   s l i g ht l y   h o m o ge n e o us   c o m po n e n t   o f     a t   .   D e f i n i t i on  1. 6 .   [19]  A   s e pa r a b l e   s pa c e   ( , )   i s   s a i d  t o   b e   s l i g ht l y   c o un t a b l e   de n s e   h o m o ge n e o us   (a b b r e v i a t e d:   S CD H )  i f   gi v e n   a n y   t w o   c o un t a b l e   de n s e   s ub s e t s   ,   of   ,   t h e r e   i s   a   s l i g h t   h o m e o m o r p hi s m   : ( , ) → ( , )   s uc h  t ha t   ( ) = .   P R O P O S I TI O N   1 . 7.   [24 ]  E v e r y   z e r o - di m e n s i o na l   CD H   s pa c e   i s   S L H .   P R O P O S I T I O N   1 . 8.   (a )   [19]   E v e r y   CD H   s pa c e   i s   S CD H   but   n o t   c o n v e r s e l y .   (b )  [4]  E v e r y   z e r o - di m e n s i o na l   S CD H   s pa c e   i s   CD H .   P R O P O S I TI O N   1 . 9.   [19 ]  E v e r y   z e r o - di m e n s i o na l   s l i g h t l y   h o m o ge n e o us   s pa c e   i s   h o m o ge n e o us   P R O P O S I TI O N   1 . 10 .   [2 4]  E v e r y   z e r o   di m e n s i o n a l   h o m o ge n e o us   s pa c e   t ha t   i s   ₀   i s   S L H .   P R O P O S I TI O N   1. 1 1.   [ 19]  If   : ( , ₁ ) → ( , ₂ )   i s   a   s l i g h t   h o m e o m o r p hi s m ,     i s   a   c l o pe n   s ub s e t   of     a nd  ( )   i s   a   c l o pe n   s ub s e t   of   Y ,   t h e n   t h e   r e s t r i c t i o n   f u n c t i o n  o n   ,  | : ( , ( ₁ ) ) → ( ( ) , ( ₂ ) ( ) )   i s   a   s l i g h t   h o m e o m o r p h i s m .   P R O P O S I TI O N   1. 12 .   [1 9]   L e t   ( , )   b e   a   s pa c e   a n d     b e   a   c l o pe n  s ub s e t   o f   .   If   ₁ : ( , ) → ( , )   a n d   ₂ : ( − , − ) → ( − , − )   a r e   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m s .   T h e n   ₁ ∪ ₂ : ( , ) → ( , )   i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m .   P R O P O S I TI O N   1 . 13 .   [ 19]   L e t     b e   a   n o n - e m pt y   c l o pe n   s ub s e t   o f   a   s pa c e   ( , ) .   If      i s   a   s l i g ht l y   h o m o ge n e o us   c o m po n e n t   o f   x ∈ X   a n d   ⊆  ,   t h e n     i s   o pe n  i n  .   P R O P O S I TI O N   1 . 14 .   [2 3]  ( ℝ , )   i s   a   CD H   s pa c e .   P R O P O S I TI O N   1 . 15 .   [2 3]  ( ℚ   , )   i s   CD H .   D e f i n i t i on   1. 16.   [25 ]  L e t   { ( , ) : ∈ }   b e   a   c o l l e c t i o n  o f   s pa c e s   s uc h   t ha t   ∩ = ∅   fo r   a l l   ≠ .    L e t   = ⋃   b e   t o p o l o gi z e d  by   { ⊆ : ∩ ∈   fo r   a l l   ∈ } .   T h e n  ( , )   i s   c a l l e d  t h e   d i s j o i n t   s u m   o f  t h e   s pa c e s   ( , ) , ∈ .   P R O P O S I TI O N   1 . 17 .   [19]   L e t   { ( , ) : ∈ }   b e   a   c o l l e c t i o n  o f   s l i g h t l y   h o m o ge n e o us   s pa c e s   w i t h  ∩ = ∅    a nd  ( , )   i s   s l i g ht l y   h o m e o m o r p h i c   t o   ( , )   f o r   a l l   , ∈ .   T h e n  t h e   di s j o i n t   s um   of    t h e   s pa c e s   { ( , ) : ∈ }   i s   s l i g h t l y   h o m o ge n o us .   P R O P O S I TI O N   1 . 18 .   [1 9]  E v e r y   c o n n e c t e d  s p a c e   i s   s l i g h t l y   h o m o ge n e o us .       2.   S LI G H TL Y   S TR O N G L Y   L O C A LL Y   H O M O G EN EO U S   S P A C ES   D e f i n i t i o n  2 . 1.   A   s p a c e   ( , )   i s   s a i d   t o   b e   s l i g ht l y   s t r o n g l y   l o c a l l y   h o m o ge n e o us   (S S L H )  i f   f o r   a l l   ∈   a n d     a n  o pe n   n e i g h b o rh o o d  of   ,   t h e n  t h e r e   i s   a n   o pe n  s e t     i n    w i t h   ∈ ⊆   s uc h  t ha t   i f   ∈ ,   t h e r e   e xi s t s   a   s l i g h t   h o m e o m o r p h i s m   ℎ : ( , ) → ( , )   s uc h  t ha t   ℎ ( ) =   a n d   ℎ ( ) =   f o r   a l l   ∈ − .   TH E O R EM   2 . 2 .   B e i ng  " S S L H "   i s   a   t o po l o gi c a l   p r o pe rt y .   P r oo f.   L e t   ( , ₁ )   b e   a n   S S L H   s pa c e   a n d  l e t   ( , ₂ )   b e   a n y   s pa c e   h o m e om o r p hi c   t o   ( , ₁ ) .   L e t   ₀ ∈   a n d   l e t     b e   a n  o pe n   s ub s e t   o f     w i t h   ₀ ∈ .   L e t   : ( , ₁ ) → ( , ₂ )   b e   a   h o m e o m o r p hi s m .   T h e n  ⁻ ¹ ( ₀ ) ∈ ⁻ ¹ ( ) ,   w hi c h  i s   o pe n  i n  .   S i n c e   ( , ₁ )   i s   S S L H ,   t h e r e   i s   a n  o pe n   s e t     of    w i t h   ⁻ ¹ ( ₀ ) ∈ ⊆ ⁻ ¹ ( )   s uc h   t h a t   i f   ∈ ,   t h e n   t h e r e   i s   a   s l i g h t   h o m e o m o r p h i s m   ℎ : ( , ₁ ) → ( , ₁ )   s uc h   t h a t   ℎ ( ⁻ ¹ ( ₀ ) ) =   a nd   ℎ ( ) =   fo r   a l l   ∈ − .   T a ke   = ( ) .   T h e n     i s   o pe n   i n     w i t h   ₀ ∈ .   L e t   ₁ ∈ .   T h e n   ⁻ ¹ ( ₁ ) ∈   a nd  s o   t h e r e   i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p hi s m   ℎ : ( , ₁ ) → ( , ₁ )   s uc h  t ha t   ℎ ( ⁻ ¹ ( ₀ ) ) = ⁻ ¹ ( ₁ )   a n d   ℎ ( ) =   f o r   a l l   ∈ − .   D e f i n e   : ( , ₂ ) → ( , ₂ )   b y   ( ) = ( ∘ ℎ ∘ ⁻ ¹ ) ( ) .   T h e n    i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m   s uc h  t ha t   ( ₀ ) = ₁   a nd  i f   ∈ − = ( − ) ,   t h e n  ℎ ( ⁻ ¹ ( ) ) = ⁻ ¹ ( ) ,   w hi c h  i m p l i e s   ( ) = .   TH E O R EM   2 . 3 .   E v e r y   c o n n e c t e d  s pa c e   i s   S S L H .   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a   c o n n e c t e d  s pa c e .   L e t   ∈   a nd    b e   a n  o pe n   n e i g hbo rh o o d  of   .   T a ke   = .   L e t   ∈ .   D e f i n e   : ( , ) → ( , )   by   ( ) = ,  ( ) =    a nd   ( ) =   f o r   ∈ − { , } .   S i n c e   ( , )   i s   c o n n e c t e d,   b y   P r o po s i t i o n   1 . 1 ,     i s   a   s l i g h t   h o m e o m o r p h i s m .   A l s o ,   ( ) =   a n d   ( ) =   f o r   a l l   ∈ − .  H e n c e   ( , )   i s   S S L H .   T h e   f o l l ow i n g  e x a m p l e   s h o w s   t h a t   t h e   c o n v e r s e   o f   T h e o r e m   2. 3   i s   n o t   t r ue   i n  ge n e ra l .   E xa m pl e   2 . 4 .   Co n s i de r   t h e   s e t   = { , , }   w i t h  t h e   t o po l o g y   = { ∅ , , { } , { , } } .   T h e n  ( , )   i s     a   d i s c o n n e c t e d  S S L H   s pa c e .   E xa m pl e   2. 4 ,   a l s o   i s   a n  e xa m p l e   o f   S S L H   s pa c e   t h a t   i s   n o t   s l i ght l y   h o m o ge n e o us .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m p  E n g     IS S N :   2088 - 8708       O n  s om e   t y pe s   of   s l i ght   hom og e n e i t y   ( Sam e r   A l   G h our )   4307   TH E O R EM   2 . 5 .   E v e r y   S L H   s pa c e   i s   S S L H .   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a n  S L H   s pa c e .   L e t   ∈   a nd  l e t     b e   a n  o pe n  n e i g hbo rh o o d  of   .   T h e n   t h e r e   e xi s t s   a n  o pe n   n e i g h b o rh o o d    of     s uc h  t ha t   ∈ ⊆   a n d   f o r   e v e r y   ∈ ,   t h e r e   i s   a   h o m e o m o r p h i s m   : ( , ) → ( , )   s uc h   t h a t   ( ) =   a n d  ( ) =   f o r   a l l   ∈ − .   By   P r o p o s i t i o n   1 . 2 ,   f   i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m .   T h e r e f o r e ,   ( , )   i s   S S L H   T h e   s pa c e   ( [ 0 , 1 ] , )   i s   c o nn e c t e d  a nd  b y   T h e o r e m   2. 3,   i t   i s   S S L H .   O n  t h e   o t h e r  h a nd,   by   P r o po s i t i o n   1. 3   i t   i s   n o t   S L H .   S o ,   t h e   c o n v e r s e   o f   T h e o r e m   2. 5  i s   n o t   t r ue   i n   ge n e r a l .   H ow e v e r ,   w e   ha v e   t h e   fo l l ow i n g   r e s ul t .     TH E O R EM   2 . 6 .   L e t   ( , )   b e   a   z e r o   d i m e n s i o na l   s pa c e .   If   ( , )   i s   S S L H ,   t h e n   i t   i s   S L H .   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a   z e r o   di m e n s i o n a l   S S L H   s pa c e .   L e t   ∈   a n d     a n   o pe n  n e i g h b o rh o o d  of   .   T h e n  t h e r e   e xi s t s   a n   o pe n   n e i g h b o rh o o d    of     s uc h   t ha t   ∈ ⊆ ,   a n d  f o r   ∈ ,   t h e r e   i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m   : ( , ) → ( , )   s uc h  t ha t   ( ) =   a n d   ( ) =   f o r   ∈ − .   B y   P r o po s i t i o n   1 . 4 ,     i s   a   h o m e o m o r p h i s m   a n d   t h e   r e s ul t   f o l l o w s .   TH E O R EM   2 . 7 .   E v e r y   z e r o   di m e n s i o n a l   S CD H   s pa c e   i s   S S L H .   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a   z e r o   di m e n s i o n a l   S CD H   s pa c e .   T h e n   b y   P r opo s i t i o n s   1 . 7   a n d   1 . 8  (b ),   a nd  T h e o r e m   2. 7 ,   i t   f o l l o w s   t h a t   ( , )   i s   S S L H .   TH E O R EM   2 . 8 .   E v e r y   z e r o   di m e n s i o n a l   s l i g h t l y   h o m o ge n e o us   ₀   s pa c e   i s   S S L H .   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a   z e r o   di m e n s i o na l   s l i g ht l y   h o m o ge n e o us   ₀   s pa c e .   T h e n  by   P r o po s i t i o n   1 . 9   i t   i s   h o m o ge n e o us .   T hus ,   by   P r o po s i t i o n   1 . 10   ( , )   i s   S L H .   H e n c e   by   T h e o r e m   2 . 5 ,   ( , )   i s   S S L H .   A ut h o r s   i n  [19 ]  s h o w   t h a t   t h e   s p a c e   ( ℚ , )   i s   n o t   S CD H .   O n  t h e   o t h e r  ha n d ,   i t   i s   w e l l   k n o w n  t ha t   ( ℚ , )   i s   a   z e r o   di m e n s i o na l   ₀   s p a c e   a n d   h o m o ge n e o us .   T h e r e f o r e ,   b y   T h e o r e m   2. 8,   i t   i s   S S L H .   S o ,   S S L H   s pa c e s   a r e   n o t   S CD H   i n  ge n e ra l .   TH E O R EM   2 . 9.   L e t   ( , )   b e   a n   S S L H   s pa c e .   T h e n   e v e r y   s l i ght l y   h o m o ge n e o us   c o m po n e nt   o f   ( , )   i s     a   c l o pe n  s ub s e t   of   .   P r oo f.   L e t   ∈ .   L e t   ∈    a nd  l e t     b e   a n  o pe n   s ub s e t   of     w i t h   ∈ .   T h e n   t h e r e   e xi s t s   a n  o pe n   s e t     s uc h   t ha t   ∈ ⊆   a n d   f o r   ∈   t h e r e   i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p hi s m   : ( , ) → ( , )   s uc h   t h a t   ( ) =   a n d  ( ) =   f o r   a l l   ∈ − .   T hus ,   ∈ ⊆    a nd  s o      i s   o pe n .   T h e r e f o r e ,   s l i g ht l y   ho m o ge n e o u s   c o m po n e n t s   a r e   o pe n.   O n  t h e   o t h e r  h a nd,   s i n c e   s l i g ht l y   h o m o ge n e o us   c o m po n e n t s   f o r m   a   p a r t i t i o n  o f   ,   t h e y   a r e   c l o pe n   s ub s e t s   o f   .   TH E O R EM   2 . 10 .   E v e r y   c l o pe n   s ub s pa c e   of   a n   S S L H   s pa c e   i s   S S L H .   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a n   S S L H   s pa c e   a n d   l e t   ( ,   )   b e   a   c l o pe n   s ub s pa c e   of   ( , ) .   L e t   ∈   a nd    b e   a n   o pe n   s ub s e t   of   ( ,   )   s uc h  t ha t   ∈ .   T h e n    i s   o pe n   i n    a n d   h e n c e   t h e re   e xi s t s   a n  o pe n   s e t   ⊆   w i t h   ∈ ⊆ ,   a nd  i f   ∈ ,   t h e r e   e xi s t s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m   ℎ : ( , ) → ( , )   s uc h   t ha t   ℎ ( ) =   a n d   ℎ ( ) =   f o r   a l l   ∈ − .   S i n c e   ℎ ( ) = ,   w e   c a n   de f i n e   : ( ,   ) → ( ,   )   t o   b e   t h e   r e s t r i c t i o n   o f   ℎ   t o   .   T h e n   b y   P r o po s i t i o n   1 . 11 ,     i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p hi s m .   M o r e o v e r ,     ( ) =   a n d   ( ) =   f o r   a l l   ∈ − .   C O R O LLA R Y   2 . 11 .   L e t   ( , )   b e   a n  S S L H   s pa c e .   If      i s   a   s l i g h t l y   h o m o ge n e o us   c o m po n e n t   o f   (X , τ) ,   t h e n     i s   S S L H .         P r oo f.   L e t      b e   a   s l i g ht l y   h o m o ge n e o us   c o m po n e nt .   A c c o r di ng  t o   T h e o r e m   2 . 9 ,   i s   c l o pe n  i n  X .   H e n c e ,   by   T h e o r e m   2 . 10 ,      i s   S S L H .   TH E O R EM   2 . 12.   L e t   { ( , ) : ∈ }   b e   a   f a m i l y   o f   S S L H   s pa c e s   s u c h   t ha t   ∩ = ∅   f o r   a l l   ≠ .  T h e n  t h e   di s j o i nt   s u m   s p a c e   ( ⋃ { : ∈ } , )   i s   S S L H .   P r oo f.   L e t   ∈ ⋃ { : ∈ }   a n d     b e   a n  o pe n  s ub s e t   o f   ⋃ { : ∈ }   s uc h  t h a t   ∈ .   T h e n  t h e r e   e xi s t s   ∈ ,   s uc h   t h a t   ∈ .   L e t   = ∩ .   T h e n    i s   o pe n  i n  ⋃ { : ∈ }   s uc h  t ha t   ∈ .   S i n c e     i s   S S L H ,   t h e r e   e xi s t s   a n  o pe n  s e t     s uc h  t ha t   ∈ ⊆ ⊆   s uc h  t ha t   f o r  e v e r y   ∈ ,   t h e r e   e xi s t s   a   s l i g h t   h o m e o m o r p h i s m   ℎ : ( , ) → ( , )   s uc h   t h a t   ℎ ( ) =   a n d   ℎ ( ) =   f o r   ∈ − .   N o t e   t ha t     i s   o pe n  i n  ⋃ { : ∈ }   a n d   ∈ ⊆ .   L e t   ∈ ,   t h e n  t h e r e   e xi s t s   a   s l i g h t   h o m e o m o r p h i s m   ℎ : ( , ) → ( , )   s uc h   t ha t   ℎ ( ) =   a nd  ℎ ( ) =   f o r   ∈ − .   D e f i n e   ℎ : ( ⋃ { : ∈ } , ) → ( ⋃ { : ∈ } , )   by   ℎ ( ) =   ℎ ( )   i f   ∈   a n d   ℎ ( ) =   i f   ∈ ⋃ { − : ∈ } .   T h e n  by   P r o po s i t i o n   1 . 12 ,   h   i s   a   s l i g h t   h o m e o m o r phi s m .   A l s o   ℎ ( ) =   a n d   ℎ ( ) =   fo r   a l l   ∈ ⋃ { − : ∈ } .  T h us ,   ( ⋃ { : ∈ } , )   i s   S S L H .       3.   S LI G H TL Y   D EN S E   S ETS   D e f i n i t i o n  3. 1.   L e t   ( , )   b e   a   s p a c e .   A   s ub s e t   ⊆   i s   s a i d   t o   b e   s l i ght l y   de n s e   i f   f o r   e v e r y   n o n - e m p t y   c l o pe n   s e t   ⊆ , ∩ ≠ ∅ .   TH E O R EM   3 . 2 .   L e t   ( , )   b e   a   s p a c e .   T h e n  e v e r y   de n s e   s ub s e t   of    i s   s l i g h t l y   de n s e .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2088 - 8708   Int   J   E l e c   &   Co m p  E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   4 ,  A ugus t   2 020   :     43 04   -   4311   4308   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a   s pa c e   a nd   l e t     b e   a   de n s e   s ub s e t   o f   .   L e t     b e   a   c l o pe n  s ub s e t   o f   .   T h e n  ∩ ≠ ∅ .   H e n c e ,     i s   s l i g ht l y   de n s e .   T h e   c o n v e r s e   o f   T h e o r e m   3. 2   i s   n o t   t r ue   i n  ge n e r a l   a s   t h e   f o l l ow i n g  e x a m p l e   s h o w s .   E xa m pl e   3. 3 .   Co n s i de r   t h e   s pa c e   ( ( 0 , 1 ) ∪ ( 2 , 3 ) , ) .   L e t   = { ( 1 / 2 ) , ( 5 / 2 ) } .   S i n c e   t h e   o n l y   pr o p e r   c l o pe n   s e t s   i n  ( ( 0 , 1 ) ∪ ( 2 , 3 ) , )   a r e   ( 0 , 1 ) , ( 2 , 3 )   a n d   ∩ ( 0 , 1 ) ≠ ∅ , ∩ ( 2 , 3 ) ≠ ∅ ,   i t   f o l l o w s   t h a t     i s   a   s l i g h t l y   de n s e   s e t .   O n   t h e   o t h e r  ha n d ,     i s   n o t   de n s e   b e c a us e   ∩ ( ( 1 / 4 ) , 1 ) = ∅ .   T h e   f o l l ow i n g  t h e o r e m   gi v e s   us   a   s uf f i c i e n t   c o n di t i o n   o n   s l i g ht l y   de n s e   s e t s   t o   b e   de n s e .   TH E O R EM   3 . 4 .   L e t   ( , )   b e   a   z e r o   di m e n s i o n a l   s pa c e   a n d   l e t   ⊆ .   T h e n    i s   de n s e   i n    i f f   i t   i s   s l i g ht l y   de n s e   i n  .   P r oo f.   ⇒ )  T h e o r e m   3. 2 .     ⇐ )  S uppo s e   t ha t     i s   a   s l i g ht l y   de n s e   s ub s e t   of   .   L e t     b e   a   n o n - e m pt y   o p e n   s ub s e t   o f   .   T a ke   ∈   a n d   t a ke   a   c l o pe n   b a s i c   o pe n   s e t     s uc h   t ha t   ∈ ⊆ .   S i n c e     i s   s l i g h t l y   d e n s e ,   ∩ ≠ ∅ .   T h us ,   ∩ ≠ ∅   a n d  h e n c e     s   de n s e .   TH E O R EM   3 . 5 .   T h e   s l i g h t l y   c o n t i nuo us   i m a ge   o f   a   s l i g h t l y   de n s e   s e t   i s   s l i g ht l y   de n s e .   P r oo f.   L e t   : ( , ₁ ) → ( , ₂ )   b e   a   s l i ght l y   c o n t i nuo us   f un c t i o n   a n d  l e t     be   a   s l i g h t l y   de n s e   s u b s e t   of  ( , ₁ ) .   T o   s h o w   t ha t   ( )   i s   s l i g ht l y   de n s e ,   l e t     b e   a   n o n - e m pt y   c l o p e n   s ub s e t   o f   .   T h e n  ⁻ ¹ ( )   i s   a   n o n - e m pt y   c l o p e n   s ub s e t   o f   .   S i n c e     i s   s l i g h t l y   de n s e ,   ⁻ ¹ ( ) ∩ ≠ ∅   a n d   s o   ∩ ( ) ≠ ∅   a nd  h e n c e   ( )   i s   s l i g h t l y   de n s e .   TH E O R EM   3 . 6 .   Let  ( , )   b e   a   s pa c e   s uc h   t ha t   f o r   a l l   ∈ ,     i s   n o t   o pe n .   T h e n  −    i s   s l i g h t l y   de n s e   i n  ( , ) .   P r oo f.   S uppo s e   t o   t h e   c o n t ra r y   t ha t   f o r   s o m e   ∈ ,     i s   n o t   s l i g ht l y   d e n s e ,   t h e n  t h e r e   e xi s t s   a   n o n - e m pt y   c l o pe n   s e t   ⊆   s uc h  t h a t   ∩ ( −  ) = ∅ .   T h e n  ⊆  .   T h e r e fo r e ,   by   P r o po s i t i o n  1 . 13,   i t   f o l l ow s   t h a t      i s   o pe n,   a   c o n t ra d i c t i o n.   D e f i n i t i on   3 . 7 .   F o r  e v e r y   f i ni t e   n o n  z e r o   c a rd i n a l   n u m b e r   ,   de n o t e   t h e   s e t   { ⊆ :   is   sl i g h t l y   d e n se   a n d   | | = }   by   ,   a n d   de n o t e   t h e   s e t   { ⊆ :   is   sl i g h t l y   d e n se   a n d   | | = ℵ ₀ }   by   ∞ .   TH E O R EM   3 . 8 .   L e t   ( , )   b e   a   s p a c e .   T h e n  t h e   f o l l o w i n g  a r e   e qu i v a l e nt :   (i )  ( , )   i s   c o nn e c t e d.   (i i )     i s   s l i g h t l y   de n s e   f o r   a l l   ⊆ .   (i i i )  { }   i s   s l i g ht l y   de n s e   f o r   a l l   ∈ .   (i v )  ₁ ≠ ∅ .   P r oo f.   (i )  ⇒   ( i i )   L e t     b e   a   s ub s e t   of     a n d   l e t     b e   a   n o n - e m p t y   c l o pe n   s e t   i n   .   T h e n  =   a nd  s o   ∩ ≠ ∅ .   T h e r e fo r e ,     i s   s l i g ht l y   de n s e .   (i i )   ⇒   ( i i i )  O b v i o us .   (i i i )  ⇒   (i v )  O b v i o us .   (i v )  ⇒   (i )   S uppo s e   t o   t h e   c o n t ra r y   t ha t   t h e r e   e xi s t s   a   n o n - e m pt y   c l o pe n   p r o pe r   s ub s e t   ⊆ .   T a ke   ₀ ∈   s uc h   t h a t   { ₀ } ∈ ₁ .   T h e n   { ₀ } ∩ ≠ ∅   a n d   { ₀ } ∩ ( − ) ≠ ∅ ,   a   c o n t ra di c t i o n.   TH E O R EM   3 . 9.   L e t   ( , )   b e   a   di s c o nn e c t e d  s pa c e .   S upp o s e   t h a t   f o r   a l l   - t o n s   ⊆ , ∈ . The n   | | ≤ 2 − 2 .   P r oo f.   T a ke   a   n o n - e m pt y   p r o pe r   c l o pe n  s ub s e t   ⊆ .   C l ai m .   | | ≤ − 1   a n d   | − | ≤ − 1 .   P r oo f  o f  c l ai m .   If   | | ≥ ,   t a ke   - t o n s   ⊆ .   B y   h y po t h e s i s ,     i s   s l i g ht l y   de n s e   a n d   s o   ∩ ( − ) ≠ ∅ ,   a b s ur d .   S i m i l a rl y ,   w e   c a n   s e e   t ha t   | − | ≤ − 1 .   T h e r e f o r e ,   | | ≤ 2 − 2 .   C O R O LLA R Y   3 . 10 .   L e t   ( , )   be   a   di s c o nn e c t e d  s pa c e .   S uppo s e   t ha t   f o r   a l l   2 - t o n s   i n  , ₂ ∈ ₂ .   T h e n   | | = 2   a n d   =  .   P r oo f.   By   T h e o r e m   3 . 9,   | | ≤ 2 .   S i n c e   ( , )   i s   di s c o nn e c t e d,   | | = 2   a n d   =  .   C O R O LLA R Y   3 . 11 .   If   X   i s   a   s e t   w i t h  | | > 2   a n d   τ   i s   a   t o po l o g y   o n   ,   t h e n  ( , )   i s   c o nn e c t e d   i f f   { , } ∈ ₂   f o r   a l l   , ∈   w i t h   ≠ .   P r oo f.   ⇒ )  T h e o r e m   3. 8 .   ⇐ )  Co r o l l a r y   3. 10.   T h e   f o l l ow i n g   e xa m pl e   s h o w s   t ha t   i f   ₂ ≠ ∅ ,   t h e n  i t   i s   n o t   n e c e s s a r i l y   t r ue   t ha t   { , } ∈ ₂   f o r   a l l   , ∈   w i t h   ≠ .   E xa m pl e   3. 1 2.   L e t   = { , , }   a n d   = { ∅ , , { } , { , } } . The n   { , }   i s   s l i g ht l y   de n s e   b ut   { , }   i s   n o t .     C O R O LLA R Y   3 . 13 .   L e t   ( , )   b e   a   s pa c e   s uc h   t h a t   f o r   a l l   - t o n s   ⊆ , ∈ , a n d   | | > 2 − 2 .  T h e n   ( , )   i s   c o nn e c t e d.   D e f i n i t i o n   3. 14 .   A   s p a c e   ( , )   is   s a i d   t o   b e   s l i g ht l y   s e pa ra b l e   i f   i t   c o n t a i n s   a   c o un t a b l e   s l i g ht l y   de n s e   s ub s e t .   P R O P O S I TI O N   3 . 15 .   A   s pa c e   ( , )   i s   s l i g ht l y   s e pa r a b l e   i f f   ≠ ∅   f o r   so me   ∈ ℕ ∪ { ∞ } .   P R O P O S I TI O N   3 . 16 .   E v e r y   c o n n e c t e d  s pa c e   i s   s l i g h t l y   s e p a r a b l e .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m p  E n g     IS S N :   2088 - 8708       O n  s om e   t y pe s   of   s l i ght   hom og e n e i t y   ( Sam e r   A l   G h our )   4309   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a   c o nn e c t e d  s pa c e .   T h e n   by   T h e o r e m   3 . 8 ,   ₁ ≠ ∅   a nd  s o   by   P r o p o s i t i o n   3 . 15 ,   i t   f o l l ow s   t h a t   ( , )   i s   s l i g ht l y   s e pa ra b l e .   T h e   di s c r e t e   s pa c e   o n   a n y   c o un t a b l e   s e t     w i t h   | | > 1   i s   a   s l i g h t l y   s e pa ra b l e   di s c o nn e c t e d  s pa c e .   T h i s   s h o w s   t h a t   t h e   c o n v e r s e   o f   P r o pos i t i o n  3. 16  i s   n o t   t r ue   i n  ge n e ra l .   P R O P O S I TI O N   3 . 17 .   E v e r y   s e pa r a b l e   s pa c e   i s   s l i g ht l y   s e pa r a b l e .   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a   s e pa r a b l e   s pa c e .   C h o o s e   a   c o un t a b l e   de ns e   s ubs e t   ⊆ .   T h e n   by   T h e o r e m   3 . 2  i t   fo l l ow s   t ha t     i s   s l i g ht l y   de n s e .   T h e r e f o r e ,   ( , )   i s   s l i g ht l y   s e pa ra b l e   s pa c e .   T h e   s pa c e   ( ℝ ,  )   w h e r e      i s   t h e   c o c o un t a b l e   t o po l o g y   o n   ℝ ,   s h o w s   t h a t   t h e   c o n v e r s e   of  P r o po s i t i o n   3. 1 7  i s   n o t   t r ue   i n   ge n e r a l .   P R O P O S I TI O N   3. 18.   L e t   ( , )   b e   a   z e r o   di m e n s i o n a l   s pa c e .   T h e n  ( , )   i s   s e pa r a b l e   i f f   ( , )   s l i g h t l y   s e pa ra b l e   s pa c e .   P r oo f.   ⇒ )  P r o po s i t i o n  3 . 17.     ⇐ )  L e t     b e   a   c o un t a b l e   s l i g ht l y   de n s e   s ub s e t   of   .   T h e n   by   T h e o r e m   3 . 4,     i s   de n s e .   TH E O R EM   3 . 19 .   T h e   s l i g h t l y   c o n t i nuo us   i m a ge   o f   a   s l i g ht l y   s e pa r a b l e   s p a c e   i s   s l i g h t l y   s e pa r a b l e .   P r oo f.   L e t   : ( , ₁ ) → ( , ₂ )   b e   a   s l i g h t l y   c o n t i n uo us   f u n c t i o n  w i t h  ( , ₁ )   i s   s l i g h t l y   s e pa r a b l e .   L e t     be     a   c o unt a b l e   s l i g ht l y   de n s e   s ub s e t   o f   .   T h e n  b y   T h e o r e m   3 . 5   ( )   i s   s l i g ht l y   de n s e .   F u rt h e rm o r e ,   ( )   i s   c o un t a b l e   a n d   h e n c e   ( , ₂ )   i s   s l i g h t l y   s e pa r a b l e .   C O R O LLA Y   3 . 20 .   B e i ng  " s l i g ht l y   s e pa r a b l e "   i s   a   s l i g h t l y   t o po l o gi c a l   p r o pe r t y .   C O R O LLA R Y   3 . 21.   B e i ng  " s l i g ht l y   s e pa r a b l e “   i s   a   t o po l o g i c a l   p r o pe r t y .   TH E O R EM   3 . 22 .   A   c l o pe n   s ub s pa c e   o f   a   s l i g ht l y   s e pa ra b l e   s pa c e   i s   s l i g h t l y   s e pa r a b l e .   P r o o f.   Let  ( , )   b e   a   s l i g h t l y   s e pa r a b l e   s pa c e .   L e t     b e   a   c l o pe n  s ub s e t   of   .   L e t     b e   a   c o un t a b l e   s l i g h t l y   de n s e   s ub s e t   o f   ( , ) .   T h e n   ∩   i s   a   s l i g ht l y   de n s e   s ub s e t   o f   ( , ) .   I n de e d,   l e t     b e   a   n o n - e m p t y   c l o p e n  s ub s e t   o f   ( , ) .   S i n c e     i s   c l o pe n  i n  t h e   c l o pe n  s ub s pa c e   ( , ) ,   U   i s   c l o pe n  i n  (X , τ) .   T h e r e f o r e ,   ∩   i s   c l o pe n   i n   (X , τ)   a nd  ∩ ( ∩ ) ≠ ∅ .   H e n c e   ( ∩ ) ∩ ≠ ∅ .   T h e r e f o r e ,   ∩   i s   a   s l i g ht l y   de n s e   s ub s e t   o f  ( , ) .   TH E O R EM   3 . 23 .   L e t   { ( , ) : ∈ }   b e   a   f a m i l y   o f   s pa c e s   s uc h   t ha t   ∩ = ∅   f o r  a l l   ≠ .   If   f o r  a l l   ∈ , ( , )   c o n t a i n s   a   n o n - e m p t y   s l i ght l y   de n s e   s e t   ,   t h e n   ⋃ { : ∈ }   i s   s l i g ht l y   de n s e   i n   t h e   di s j o i n t   s um   s pa c e   ( ⋃ { : ∈ } , ) .   P r oo f.   L e t     b e   a   n o n - e m p t y   c l o pe n   s e t   i n  t h e   di s j o i n t   s u m   s pa c e   ( ⋃ { : ∈ } , ) .   T h e n  t h e r e   e xi s t s   ∈   s uc h   t h a t   ∩ ≠ ∅ .   S i n c e     i s   s l i g ht l y   de n s e   i n  , ∩ ( ∩ ) ≠ ∅ .   T h us ,   ( ⋃ { : ∈ } )   ∩ ≠ ∅ .   C O R O LLA R Y   3 . 24 .   L e t   { ( , ) : ∈ ℕ }   b e   a   c o unt a b l e   f a m i l y   o f   s pa c e s   w i t h  ∩ = ∅   f o r   ≠ .    If   fo r   a l l   ∈ ℕ ,  ( , )   i s   s l i g h t l y   s e pa r a b l e   s p a c e s ,   t h e n  t h e   di s j o i nt   s um   s p a c e   ( ⋃ { : ∈ ℕ } , )   i s   s l i g h t l y   s e pa r a b l e .   P r oo f.   F o r   e v e r y   ∈ ℕ ,   c h o o s e   a   c o un t a b l e   s l i g ht l y   de n s e   s e t   ⊆ .   T h e n  ⋃ { : ∈ ℕ }   i s   c o unt a b l e .   M o r e ov e r ,   B y   T h e o r e m   3 . 23 ,   i t   f o l l ow s   t h a t   ⋃ { : ∈ ℕ }   i s   s l i g ht l y   de n s e .   T hus ,   ( ⋃ { : ∈ ℕ } , )   i s     a   s l i g h t l y   s e pa r a b l e   s pa c e .   TH E O R EM   3. 25 .   L e t   { ( , ) : ∈ }   b e   a   f a m i l y   of   s pa c e s   a n d   l e t   ( { : ∈ } ,  )   b e   t h e   p r o duc t   s pa c e .   If   ( { : ∈ } ,  )   i s   s l i g h t l y   s e pa r a b l e ,   t h e n   f o r   a l l   ∈ , ( , )   i s   s l i g ht l y   s e pa ra b l e .   P r oo f.   L e t   ∈ .   S i n c e   t h e   p r o j e c t i o n   : ( { : ∈ } ,  ) → ( { : ∈ } ,  )   i s   c o n t i n uo us ,   i t   i s   s l i g h t l y   c o n t i nuo us .   T h e r e f o r e ,   by   T h e o r e m   3 . 19 ,   i t   f o l l ow s   t ha t   ( , )   i s   s l i g h t l y   s e pa r a b l e .   A s   de f i n e d,   a   s pa c e   ( , )   i s   c a l l e d  e xt r e m a l l y   di s c o n n e c t e d  i f   t h e   c l o s ur e   o f   e ve r y   o pe n   s e t   i s   o pe n.   TH E O R EM   3 . 26 .   Let  ( , ₁ )   a n d   ( , ₂ )   b e   t w o   e xt r e m a l l y   di s c o nn e c t e d  s pa c e s .   T h e n  t h e   p r o duc t   s p a c e   ( × ,  )   i s   s l i g ht l y   s e pa ra b l e   i f f   bo t h   ( , ₁ )   a n d   ( , ₂ )   a r e   s l i g ht l y   s e pa ra b l e .   P r oo f.   ⇒ )  T h e o r e m   3. 2 5.   ⇐ )  L e t     a nd    b e   c o un t a b l e   s l i g ht l y   de n s e   s e t s   i n    a n d   ,   r e s pe c t i v e l y .   T h e n  ×   i s   c o un t a b l e .   L e t     b e   a   n o n - e m p t y   c l o pe n   s ub s e t   of   × .   T a ke   ( , ) ∈   a n d  t a ke   ∈ ₁ , ∈ ₂   s uc h   t ha t   ( , ) ∈ × ⊆ .   T hus ,   ×   ⊆   a n d   h e n c e   × ⊆ .   S i n c e   ( , ₁ )   a n d   ( , ₂ )   a r e   e xt r e m a l l y   di s c o nne c t e d   s pa c e s ,     a n d    a r e   c l o pe n .   T h e r e f o r e ,   ∩ ≠ ∅   a n d   ∩ ≠ ∅   a n d   s o   ( × ) ∩ ≠ ∅ .       4.   TWO   T Y P ES   O F   S LI G H TL Y   C O U N TA BLE  D EN S E  H O M O G EN EO U S   S P A C ES   D e f i n i t i o n   4. 1 .   A   s pa c e   ( , )   i s   s a i d   t o   b e   s l i g ht l y   c o un t a b l e   de n s e   h o m o ge n e o us   of   t y pe   (2)  (S CD H (2))  i f       (i )  ( , )   i s   s l i g ht l y   s e pa ra b l e .     (i i )  F o r   a n y   t w o   c o un t a b l e   s l i g h t l y   de n s e   s e t s     a nd    i n   ,   t h e r e   e xi s t s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m   ℎ : ( , ) → ( , )   s uc h  t ha t   ℎ ( ) = .   TH E O R EM   4 . 2 .   If   ( , )   i s   S CD H (2),   t h e n  e v e r y   s l i g h t l y   de n s e   s ub s e t   of     di ff e r e n t   f r o m     i s   i n f i n i t e .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2088 - 8708   Int   J   E l e c   &   Co m p  E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   4 ,  A ugus t   2 020   :     43 04   -   4311   4310   P r oo f.   S uppo s e   t o   t h e   c o n t r a r y   t ha t   t h e r e   e xi s t s   a   f i n i t e   s l i g ht l y   de n s e   s e t   ⊂ .   T a ke   ₀ ∈ − , l e t   = ∪ { ₀ } .   T h e n   A   a n d   B   a r e   t w o   c o un t a b l e   s l i g h t l y   de n s e   s e t s   i n  ( , ) ,   a nd  s o   t h e r e   e xi s t s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m   ℎ : ( , ) → ( , )   s uc h  t ha t   ℎ ( ) = ,   a   c o nt r a di c t i o n .   C O R O LLA R Y   4 . 3.   L e t   (X , τ)   b e   a   c o nn e c t e d  s pa c e .   T h e n   ( , )   i s   S CD H (2)  i f f   | | = 1 .   P r oo f.   ⇒ )  S uppo s e   t o   t h e   c o n t r a r y   t ha t   | | > 1 .   T a ke   ₀ ∈ .   T h e n   { ₀ }   i s   a   s l i g ht l y   de n s e   s ub s e t   of     di f fe r e nt   f r o m   .   T h i s   c o nt r a d i c t s   T h e o r e m   4. 2 .   ⇐ )  T ri v i a l .   In  s pi t e   o f   t ha t   e v e r y   de n s e   s e t   i s   s l i g h t l y   de n s e ,   e ve r y   s e pa r a b l e   s pa c e   i s   s l i g h t l y   s e pa ra b l e   a n d   e ve r y   h o m e o m o r p h i s m   i s   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m .   A   CD H   s pa c e   n e e d  n o t   t o   b e   S CD H (2)  i n   ge n e r a l   a s   w e   w i l l   s e e   i n   t h i s   e xa m pl e .   E xa m pl e   4. 4 .   Co n s i de r  t h e   s pa c e   ( ℝ , ) .   By   P r o po s i t i o n   1. 1 4,   ( ℝ , )   i s   CD H .   H ow e v e r ,   Co r o l l a r y   4. 3   s h o w s   t ha t   ( ℝ , )   i s   n o t   S CD H (2).     TH E O R EM   4 . 5 .   A   z e r o   di m e n s i o n a l   s p a c e   i s   CD H   i f f   i t   i s   S CD H (2).   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a   CD H   z e r o   di m e n s i o na l   s p a c e .   T h e n   b y   P r o pos i t i o n   3 . 18 ,   ( , )   i s   s l i g ht l y   s e pa r a b l e .   L e t   A   a nd     b e   t w o   c o un t a b l e   s l i g h t l y   de n s e   s ub s e t s   of   .   T he n   b y   T h e o r e m   3 . 4   t h e y   a r e   c o un t a b l e   de n s e   s e t s   o f   t h e   CD H   s pa c e   ( , )   a nd  s o   t h e r e   e xi s t s   a   h o m e o m o r p hi s m   : ( , ) → ( , )   s uc h  t h a t   ( ) = .  By   P r o po s i t i o n   1. 2   i t   f o l l o w s   t ha t   f   i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r phi s m ,   a n d   t h e n  ( , )   i s   S CD H (2).     Co n v e r s e l y ,   s uppo s e   t ha t   ( , )   i s   a   z e r o   di m e n s i o na l   S CD H (2).   T h e n  by   P r o p o s i t i o n   3. 1 8,   ( , )   i s   s e pa ra b l e .   L e t     a n d     b e   t w o   c o un t a b l e   de n s e   s ub s e t s   o f   ( , ) .   T h e n   b y   T h e o r e m   3 . 2,     a n d     a r e   c o un t a b l e   s l i g ht l y   de n s e   s ub s e t s   o f   ( , ) .   S i n c e   ( , )   i s   S CD H (2),   t h e r e   e xi s t s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m   ℎ : ( , ) → ( , )   s uc h  t h a t   ℎ ( ) = .   By   P r o po s i t i o n   1 . 4 ,   i t   f o l l ow s   t h a t   h  i s   a   h o m e o m o r p h i s m .   H e n c e   ( , )   i s   CD H .   E x am p l e   4 . 6 .   Co n s i de r  t h e   s pa c e   ( ℚ   , ) .   By   P r o po s i t i o n  1. 15,   ( ℚ   , ) i s   CD H ,   a n d   s i n c e   i t   i s   z e r o   di m e n s i o na l ,   by   t h e   T h e o r e m   4. 5   i t   i s   S CD H (2).   LEM M A   4 . 7 .   L e t   ( , )   b e   a   s p a c e .   If     i s   t h e   o nl y   s l i ght l y   de n s e   s e t   i n  ,   t h e n  =  .   P r oo f.   Let  ∈ .   S i n c e     i s   t h e   o nl y   s l i g h t l y   de n s e   s e t ,   − { }   i s   n o t   s l i g ht l y   de n s e .   T hus ,   t h e r e   e xi s t s     a   n o n - e m pt y   c l o pe n   s e t   ⊆   s uc h  t ha t   ∩ ( − { } ) = ∅ .   T h e r e f o r e ,   = { }   a nd  h e n c e   =  .   TH E O R EM   4 . 8 .   L e t   ( , )   b e   a   S CD H (2)  s pa c e .   T h e n    i s   c o un t a b l e   i f f   =  .   P r oo f.   ⇒ )  L e t     b e   a   s l i g ht l y   de n s e   s ub s e t   of   .   T h e n  t h e r e   e xi s t s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p hi s m   : ( , ) → ( , )   s uc h   t ha t   ( ) = = ( )   a n d   s o   = .   T h us ,   t h e   o n l y   s l i g h t l y   de n s e   s ub s e t   of   ( , )   i s   ,   a n d   h e n c e   by   L e m m a   4. 7 ,   =  .   ⇐ )  S uppo s e   t o   t h e   c o n t ra r y   t ha t     i s   u n c o unt a b l e .   T a ke   a   c o unt a b l e   s l i g h t l y   de n s e   s e t   ⊆ .   T h e n  = ,    a   c o n t ra d i c t i o n.   E xa m pl e   4. 9 .   T h e   s p a c e   ( ℚ , )   i s   n o t   a   di s c r e t e   s p a c e .   S i n c e   ℚ   i s   c o unt a b l e ,   b y   T h e o r e m   4. 8 ,   i t   f o l l ow s   t h a t   ( ℚ , )   i s   n o t   S CD H (2).   TH E O R EM   4 . 10 .   L e t   ( , )   b e   a   z e r o   d i m e n s i o n a l   s p a c e .   T h e n  ( , )   i s   S CD H (2)  i f f   i t   i s   S CD H .   P r oo f.   ⇒ )  B y   T h e o r e m   4. 5 ,   ( , )   i s   CD H .   T h us   b y   P r o po s i t i o n   1 . 8  (a ),   ( , )   S CD H .   ⇐ )  By   P r o po s i t i o n   4 . 5   (b ),   ( , )   i s   CD H .   T hus   by   T h e o r e m   4 . 5   ( , )   i s   S CD H (2).   T h e   s p a c e   ( ℝ , )   i s   CD H   a n d   h e n c e   S CD H ,   a l s o ,   w e   s h o w   t ha t   ( ℝ , ) i s   n o t   S CD H (2).   S o ,   i n  T h e o r e m   4 . 2 . 10 ,   t h e   c o n di t i o n   " z e r o   d i m e n s i o na l "   c a nn o t   b e   dr o ppe d.   C O R O LLA R Y   4 . 11.   F o r  a   z e r o   di m e n s i o na l   s pa c e   ( , ) ,   t h e   f o l l ow i n g  a r e   e qui v a l e nt :   a)   ( , )   i s   CD H .   b)   ( , )   i s   S CD H .   c)   ( , )   i s   S CD H (2).   TH E O R EM   4 . 12 .   B e i n g  " S CD H (2)"  i s   a   s l i g ht l y   t o po l o gi c a l   p r o pe rt y .   P r oo f.   L e t   ( , ₁ )   b e   a   S CD H (2)  a n d   l e t   ( , ₂ )   b e   a n y   s pa c e   s l i g h t l y   h o m e o m o r phi c   t o   ( , ₁ ) .   L e t   : ( , ₁ ) → ( , ₂ )   b e   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m .   T h e n   b y   T h e o r e m   3. 1 9,   ( , ₂ )   i s   s l i ght l y   s e pa ra b l e .   L e t   ₁   a n d  ₂   b e   t w o   c o un t a b l e   s l i g h t l y   de n s e   s e t s   i n   .   T h e n   b y   T h e o r e m   3 . 5,   ⁻ ¹ ( ₁ )   an d  ⁻ ¹ ( ₂ )   a r e   c o unt a b l e   s l i g h t l y   de n s e   s e t s   i n  .   S i n c e   ( , ₁ )   i s   S CD H (2),   t h e r e   e xi s t s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m   ℎ : ( , ₁ ) → ( , ₁ )   s uc h   t ha t   ℎ ( ⁻ ¹ ( ₁ ) ) = ⁻ ¹ ( ₂ ) .   D e f i n e   : ( , ₂ ) → ( , ₂ )   by   ( ) = ( ∘ ℎ ∘ ⁻ ¹ ) ( ) ,   t h e n     i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m   t a ke s   ₁   t o   ₂ .   T h e r e fo r e ,   ( , ₂ )   i s   S CD H (2).     C O R O LLA Y   4 . 13 .   B e i ng  " S CD H (2)"  i s   a   t o po l o gi c a l   p r o pe rt y .   TH E O R EM   4. 1 4.   L e t   { ( , ) : ∈ ℕ }   b e   a   f a m i l y   of   S CD H (2)  s pa c e s   w i t h   ∩ = ∅   fo r   ≠ .   T h e n   t h e   di s j o i nt   s u m   s p a c e  ( ⋃ { : ∈ ℕ } , )   i s   S CD H (2).   P r oo f.   S i n c e   f o r   e a c h  ∈ ℕ ,  ( , )   i s   s l i g ht l y   s e pa ra b l e ,   b y   Co r o l l a r y   3 . 24 ,   ( ⋃ { : ∈ ℕ } , )   i s   s l i g h t l y   s e pa ra b l e .   L e t   ₁   a nd  ₂   b e   t w o   c o un t a b l e   s l i g ht l y   de n s e   s e t s   i n   ⋃ { : ∈ ℕ } ,   t h e n  f o r   = 1 , 2 , . . . . ₁ ∩   a n d  2 ∩   a r e   c o un t a b l e   s l i g ht l y   de n s e   s e t s   i n     a n d   s o   t h e r e   i s   a   s l i g h t   h o m e o m o r phi s m   : ( , ) → ( , )   s uc h  t ha t   ( ₁ ∩ ) = ₂ ∩ .   D e f i n e   ℎ : ( ⋃ { : ∈ ℕ } , ) → ( ⋃ { : ∈ ℕ } , )   s uc h  t ha t   i f   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m p  E n g     IS S N :   2088 - 8708       O n  s om e   t y pe s   of   s l i ght   hom og e n e i t y   ( Sam e r   A l   G h our )   4311   ∈ ,   t h e n  ℎ ( ) = ( ) .   T h e n  ℎ   i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r phi s m   s uc h  t ha t   ℎ ( ₁ ) = ₂ .   I t   f o l l o w s   t ha t   ( ⋃ { : ∈ ℕ } , )   i s   S CD H (2).   D e f i n i t i o n   4. 15 .   A   s p a c e   ( , )   i s   s a i d   t o   b e   s l i g ht l y   c o un t a b l e   de n s e   h o m o ge n e o us   o f   t y p e   (3)  (S CD H (3))  i f     (i )  ( , )   i s   s l i g ht l y   s e pa ra b l e .   (i i )   If   ∈ ℕ ∪ { ∞ }   a n d   , ∈ ,   t h e n  t h e r e   e xi s t s   a   s l i g h t   h o m e o m o r p hi s m   : ( , ) → ( , )   s uc h  t ha t   ( ) = .   TH E O R EM   4 . 16 .   E v e r y   c o n n e c t e d  s p a c e   i s   S CD H (3).   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a   c o n n e c t e d  s pa c e .   T h e n   b y   T h e o r e m   3 . 16 ,   ( , )   i s   s l i g ht l y   s e pa ra b l e .   L e t   ∈ ℕ ∪ { ∞ }   a n d  l e t   , ∈ .   C h o o s e   a   b i j e c t i o n   : ( , ) → ( , )   w i t h  ( ) = .   S i n c e   ( , )   i s   c o n n e c t e d,     i s     a   s l i g h t   h o m e o m o r p h i s m   a n d   h e n c e   ( , )   i s   S CD H (3).   TH E O R EM   4 . 17 .   E v e r y   S CD H (2)  s pa c e   i s   S CD H (3).   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a   S CD H (2).   T h e n   ( , )   i s   s l i g ht l y   s e pa ra b l e .   L e t   ∈ ℕ ∪ { ∞ }   a n d  l e t   , ∈ .   T h e n   ,   a r e   c o unt a b l e   s l i g ht l y   de n s e   s ub s e t s   of   ( , ) ,   a nd  h e n c e   t h e r e   i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r phi s m   : ( , ) → ( , )   s uc h  t ha t   ( ) = .   T h e   c o n v e r s e   o f   T h e o r e m   4 . 17   i s   n o t   t r ue   i n  ge n e ra l .   F o r  e xa m pl e ,   ( ℝ , )   i s   S CD H (3)  b ut   n o t   S CD H (2).   TH E O R EM   4 . 18 .   E v e r y   z e r o   di m e n s i o n a l   CD H   s pa c e   i s   S C D H (3).   P r oo f.   L e t   ( , )   b e   a   z e r o   d i m e n s i o na l   CD H   s pa c e .   T h e n  by   T h e o r e m   4 . 5   ( , )   i s   S CD H (2)  a nd   by   T h e o r e m   4 . 17   i t   i s   S CD H (3).   S i n c e   t h e   s pa c e   ( ℚ   , )   i s   z e r o   d i m e n s i o na l   a n d  CD H   s pa c e ,   by   T h e o r e m   4 . 18   i t   i s   S CD H (3).   TH E O R EM   4. 1 9.   Let  ( , )   b e   a   s pa c e   s uc h  t h a t   a l l   s l i g ht l y   de n s e   s e t s   i n    h a v e   t h e   s a m e   c a r di na l i t y ,   t h e n  ( , )   i s   S CD H (2)  i f f   i t   i s   S CD H (3).   P r oo f.   ⇒ )  T h e o r e m   4. 1 7.   ⇐ )  L e t     a n d     b e   t w o   c o un t a b l e   s l i g h t l y   de n s e   s e t s   i n  .   T h e n  | | = | |   a nd   s i n c e   ( , )   i s   S CD H (3),     w e   ge t   t h e   r e s ul t .   E x am p l e   4. 2 0.   L e t   = { , , }   a n d  = { ∅ , , { } , { , } } .   T h e n  ( , )   i s   a   S CD H (3)  s pa c e .   A l s o ,   S i n c e     i s   c o un t a b l e   a n d   ≠  ,   by   T h e o r e m   4 . 8   i t   i s   n o t   S CD H (2).   S i n c e   ( , )   i s   z e r o   di m e n s i o na l ,   b y   T h e o r e m   4. 5   i t   i s   n o t   CD H .   TH E O R EM   4 . 21 .   B e i n g  " S CD H (3)"  i s   a   s l i g ht l y   t o po l o gi c a l   p r o pe rt y .     P r oo f.   L e t   ( , ₁ )   be   a   S CD H (3)  a n d   l e t   ( , ₂ )   b e   a n y   s pa c e   s l i g h t l y   h o m e o m o r phi c   t o   ( , ₁ ) .   L e t   : ( , ₁ ) → ( , ₂ )   b e   a   s l i g ht   h o m e o m o r p h i s m .   T h e n   b y   C o r o l l a r y   3. 20,   ( , ₂ )   i s   s l i ght l y   s e pa r a b l e .   L e t   ₁   a n d   ₂   b e   t w o   c o un t a b l e   s l i g ht l y   de n s e   s e t s   i n    s uc h  t ha t   | ₁ | = | ₂ | .   T h e n  by   T h e o r e m   3. 5   ⁻ ¹ ( ₁ )   a n d  ⁻ ¹ ( ₂ )   a r e   c o un t a b l e   s l i g ht l y   de n s e   s e t s   i n     w i t h  | ⁻ ¹ ( ₁ ) | = | ⁻ ¹ ( ₂ ) | .   S i n c e   ( , ₁ )   i s   S CD H (3),   t h e r e   e xi s t s   a   s l i g ht   h o m e o m o r phi s m   ℎ : ( , ₁ ) → ( , ₁ )   s uc h   t h a t   ℎ ( ⁻ ¹ ( ₁ ) ) = ⁻ ¹ ( ₂ ) .   D e f i n e   : ( , ₂ ) → ( , ₂ )   by   ( ) = ( ∘ ℎ ∘ ⁻ ¹ ) ( ) .   T h e n  g   i s   a   s l i g ht   h o m e o m o r p hi s m   t a ke s   ₁   t o   ₂ .   T h us ,   ( , ₂ )   i s   S CD H (3).   C O R O LLA Y   4 . 22 .   B e i ng  " S CD H (3)"  i s   a   t o po l o gi c a l   p r o pe rt y .       R EF ER EN C ES   [ 1]   W .   S i e r pe n s k i ,   " S ur   un i   pr o pr i t ' t e '   t o po l og i que   d e s   e n s e m b l e s   d e ' n o m br a bl e   d e ns e   e n   s o i , "   F undam e nt a   M a t he m at i c ae ,   v o l .   1 ,   pp .   11 - 28 ,   1 920 .   [ 2]   L .   F o r d  J r . ,   " H o m e o m o r phi s m   g r o ups   a n d  c o s e t   s pa c e s , "   T r an s a c t i ons   o f   t he   A m e r i c a n  M a t he m at i c a l   S oc i e t y ,    v o l .   77,   p p.   49 0 - 497 ,   1 954 .   [ 3]   R .   B e nne t t ,   " C o unt a bl e   d e ns e   ho m og e ne o us   s p a c e s , "   F undam e nt a   M a t he m at i c ae ,   v o l .   7 4,   pp .   189 - 19 4,   19 72 .   [ 4]   S .   A l   G ho ur ,   " S L H   f uz z y   s pa c e s , "   A f r i c an   D i as por a   J our nal   o f   M at he m at i c s ,   v o l .   2,   pp .   61 - 67 ,   2004 .   [ 5]   S .   A l   G ho ur   a nd   A .   F o r a ,   " M i n i m a l i t y   a nd  ho m o g e ne i t y   i n  f uz z y   s pa c e s , "   J our nal   o f   F uz z y   M at he m at i c s ,   v o l   12,   pp.   72 5 - 737,   2 004 .   [ 6]   S .   A l   G ho ur ,   A .   A l - O m a r i ,   a nd   T .   N o i r i ,   " O n  ho m o g e ne i t y   a nd  ho m o g e ne i t y   c o m p o ne nt s   i n   g e ne r a l i z e d  t o po l o g i c a l   s pa c e s , "   F i l om at ,   v o l .   27 ,   no .   6,   pp .   10 97 - 1105 ,   201 3.   [ 7]   M .   H r uš á k   a nd   J .   v a n   M i l l ,   " N e a r l y   c o unt a bl e   de n s e   ho m og e ne ous   s p a c e s , "   C anad i an   J ou r na l   o f   M a t he m at i c s ,    v o l .   66,   no .   4 ,   pp.   7 43 - 758 ,   2014 .   [ 8]   J .   v a n  M i l l ,   " C o unt a b l e   de ns e   ho m og e ne o us   r i m c o m pa c t   s pa c e s   a nd  l o c a l   c o nne c t i v i t y , "   F i l om at ,   v o l .   29 ,   no .   1,     pp.   17 9 - 182,   2 015 .   [ 9]   S .   A l   G ho ur   a nd   A .   F o r a ,   " O n  C D H   f uz z y   s pa c e s , "   J our nal   o f   I nt e l l i ge nt   and   F uz z y   Sy s t e m s ,   v o l .   30 ,   no .   2 ,     pp.   93 5 - 941,   2 016 .   [ 10]   S .   A l   G ho ur   a nd  A .   A z a i z e h,   " F uz z y   h o m o g e ne o us   bi t o po l o g i c a l   S pa c e s , "   I n t e r na t i o nal   J ou r na l   o f   E l e c t r i c al   and   C om pu t e r   E ng i ne e r i ng   ( I J E C E ) ,   v o l .   8,   no .   1 ,   pp .   2 088 - 870 8,   20 18 .     [ 11]   S .   A l   G ho ur   a nd   R .   A l - D e i a ke h,   “ n - ho m og e ne o us   a nd   LH   g e ne r a l i z e d  t o po l o g i c a l   s p a c e s , "   I r an i a n   J ou r na l   o f   Sc i e nc e   a nd   T e c hno l og y ,   T r ans ac t i o ns   A :   Sc i e nc e ,   v o l .   4 2,   pp .   73 - 7 9,   201 8.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                IS S N :   2088 - 8708   Int   J   E l e c   &   Co m p  E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   4 ,  A ugus t   2 020   :     43 04   -   4311   4312   [ 12]   S .   A l   G ho ur ,   " H o m og e ne o us   c o m p o ne nt s   o f   a   C D H   f uz z y   s pa c e , "   I n t e r na t i ona l   J our nal   o f   E l e c t r i c a l   and   C om put e r   E ng i ne e r i ng   ( I J E C E ) ,   v o l .   9,   no .   4 ,   pp .   2 691 - 269 4,   20 19 .   [ 13]   S .   A l   G ho ur ,   " D e n s e l y   ho m o g e ne o us   f uz z y   s pa c e s , "   I nt e r n at i ona l   J our na l   o f   E l e c t r i c al   a nd   C om pu t e r   E ng i ne e r i ng   ( I J E C E ) ,   v o l .   9 ,   no .   4 ,   pp .   3 256 - 326 1,   2 019 .   [ 14]   S .   A l   G ho ur   a nd   A .   A z a i z e h,   " F uz z y   n - s - ho m o g e ne i t y   a nd   f uz z y   w e a k   n - s - ho m og e ne i t y , "   I nt e r n at i on al   J our nal   of   E l e c t r i c al   an d  C om put e r   E ng i ne e r i ng   ( I J E C E ) ,   v o l .   9 ,   no .   6 ,   pp .   53 95 - 5399 ,   2019 .   [ 15]   S .   A l   G ho ur   a n d  A .   B i n - S a a do n ,   " O n  s o m e   g e ne r a t e d  s o f t   t o po l o g i c a l   s p a c e s   a nd   s o f t   ho m o g e ne i t y , "   H e l i y on ,    v o l .   5 ,   no . 7 ,     p p.   1 - 10 ,   2019 .   [ 16]   P .   S i ni ,   " H e r e di t a r i l y   ho m og e ne o us   g e ne r a l i z e d   t o po l og i c a l   s pa c e s , "   I r an i an   J our nal   of   M a t he m at i c a l   Sc i e nc e s   and   I nf or m a t i c s ,   v o l .   14 ,   no .   2 ,   pp .   9 - 18,   2 019 .   [ 17]   S .   L a z a a r   a nd   H .   S a b r i ,   " T he   t o po l og i c a l   g r o up  o f   a ut o ho m e o m o r p hi s m s   o f   ho m o g e ne o us   f unc t i o na l l y   A l e xa nd r o f f   s pa c e s , "   T o po l ogy   P r oc e e di ng s ,   v o l .   55,   p p.   24 3 - 264,   2 020 .   [ 18]   S i ng a l   a nd   R .   J a i n ,   " S l i g h t l y   c o nt i nuo us   m a pp i ng s , "   J our nal   of   t he   I n di a n   M at he m at i c al   S oc i e t y   ( N . S . ) ,   v o l .   64 ,     pp.   19 5 - 203,   1 997 .   [ 19]   S .   A l   G ho ur   a nd   N .   A l   K ha t i b ,   " O n  s l i g ht   ho m o g e ne o us   a nd   c o unt a b l e   d e ns e   ho m og e ne o us   s pa c e s , "   M a t e m at i č k i   V e s ni k ,   v o l .   63 ,   no .   2 ,   pp .   133 - 144 ,   201 1.   [ 20]   S .   A l   G ho ur ,   " M i n i m a l i t y   a nd  p r e ho m o g e ne i t y , "   A c t a  M a t he m a t i c a  U n i v e r s i t at i s   C om e ni a nae   ( N . S . ) ,   v o l .   7 2,     pp.   23 7 - 244,   2 003 .   [ 21]   S .   A l   G ho ur ,   " C o m po ne nt s   a nd   l o c a l   p r e ho m o g e ne i t y , "   A c t a   M a t he m at i c a   U n i v e r s i t at i s   C om e ni anae   ( N . S. ) ,    v o l .   73,   p p.   18 7 - 196 ,   2 004 .   [ 22]   S .   A l   G ho ur ,   K .   Z o ubi   a nd  A .   F o r a ,   " S e m i ho m og e ne o us   t o p o l og i c a l   s pa c e s , "   P ubl i c a t i one s   M a t he m at i c ae   D e br e c e n ,   v o l .   67 ,   pp .   131 - 143 ,   200 5.   [ 23]   M .   Y a s s i e n ,   " H o m o g e ne o us   s pa c e s , "   M a s t e r ' s   T he s i s ,   D e pa r t m e nt   o f   M a t he m a t i c s ,   Y a r m o uk  U n i v e r s i t y ,     I r bi d - J o r da n,   19 95 .   [ 24]   J r .   F i t z pa t r i c k  a nd   H .   Z ho u,   " A   s ur v e y   o f   s o m e   ho m o g e ne i t y   pr o pe r t i e s   i n  t o po l o gy , "   A nnal s   of   t he   N e w   Y or k   A c ade m y   o f   Sc i e nc e s ,   v o l .   5 52 ,   no .   1 ,   pp .   28 - 35,   1 989 .   [ 25]   R .   E ng e l k i ng ,   " G e ne r a l   t o po l ogy , "   H i l de r m a n - B e r l i n ,   1989 .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.