Int ern a ti onal  Journ al of Ele ctrical  an d  Co mput er  En gin eeri ng   (IJ E C E)   Vo l.   10 ,  No.   4 ,  A ugus t   2020 ,   pp.  4136 ~ 41 44   IS S N: 20 88 - 8708 ,  DOI: 10 .11 591/ ijece . v10 i 4 . pp 4136 - 41 44          4136       Journ al h om e page :  http: // ij ece.i aesc or e.c om/i nd ex .ph p/IJ ECE   A steep est des cent al gorith m for th e o ptim al cont rol of    a cascad ed hydro power sy stem       Olaleka n O gunbiyi 1 , C ornel ius T. Th om as 2 , O lud are  Y.  Og u ndep o 3 , Is aa c  O. A . Om ei z a 4 ,    Jimo h Aka nni 5 , B. J. Ol uf e agb a 6   1 El e ct ri ca l   and   C om pute r  Engi n e eri ng  Dep art m en t,   K war a  Sta te Unive rsit y ,   Nig eria   2 El e ct ri ca l   and   I nform at ion  Eng i nee ring   Depa r tment, Achieve rs U nive rsit y ,   Nig eria   3 El e ct ri ca l   and   E le c troni c   Eng ineeri ng,   Feder al Unive rsit y   of  Pet r o le um   Resourc e s,  Niger i a   4 El e ct ri ca l   and   I nform at ion  Eng i nee ring ,   La ndm a rk  Un ive rsit y ,   Ni ger ia   5,6 El e ct ri ca l   and   El e ct roni cs  Eng i nee ring   Depa r tment, Unive rsi t y   o f  Ilori n ,   Nig eria       Art ic le  In f o     ABSTR A CT   Art ic le  history:   Re cei ved   Ja n 1 3 , 2 019   Re vised  Feb 1 2 ,   2020   Accepte d  Fe b 25 , 202 0       Optimal  power  gene ra ti on  al on g  the   ca sca d ed   Kainj i - Jebba   h y droe lectr i c   power  s y stem  h ad  bee n  v er y   di ffic ul t  to  a chiev e.   Th e  rese r voir s  oper at ing   hea ds  are   bei ng   aff ec t ed  b y   po ss ibl e  var iation  in  impoundm ent s  upstrea m ,   stocha sti c  fa ct or s tha t  ar e  we at he r - rel a te d ,   av ai l ab il ity   of   the t urbo - al t ern at ors   and  power  generat ed  a t  an y   ti m e.   Propos ed  in  thi s  pape r,   is  an   al gorit hm     for  solving  the  opti m al   relea s e  of  wate r  on   the   ca sc ade d  h y dropower     s y stem  base d  o n  stee pest  d esc e nt  m et hod.   Th e   unique ness  of  t his  work  is     the   conv ersion  of  the   infi ni te   d imensio nal   con t rol  proble m   to   a  finite  on e,    the   in troduc t ion   of  cleve r  te chn i ques  for  choosi ng  the   st ee pest   desc ent   st ep  size   in  ea ch   i te r at ion   and  the  no nli ne ar  pen alt y   embedde d  in   th e   proc edur e.  The   con trol   a lgo rit hm   was  implemente d  in  an  Ex ce l  VBA ®  envi r onm en t  to  solve  the   form ula t ed  La gr ange   proble m   withi n  an  accura c y   of  0. 03%.   It  i s   rec om m ende d  for  use  in  s y ste m   studie s  and  cont rol  design  fo r  the   opti m a l   power  gen era t io n  in the   ca sc aded h y dropower  s ystem.   Ke yw or d s :   Hydro powe r   Inflo ws   Op e rati ng  head   Perfo rm a nce  ind ex   Stee pest  desce nt   Copyright   ©   202 0   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .    Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   Olal ekan O gunbiy i,    Dep a rtm ent o f El ect rical  an d  Com pu te r  E ng i neer i ng,   Kw a ra S ta te   U niv e rsity ,   P.M.B  1530, Il or i n,   Kwara  Stat e, N ige ria.   Em a il : biy ikan@ gm ai l.co m       1.   INTROD U CTION   Hydro powe r  ge ner at io n  in  N igeria  is  cur re ntly   pr ovide d  at   three  m ajo r  locat ion s  [ 1].  Tw o  of   thes e   sta ti on s  are  l oc at ed  on  the  Ri ver   Nige r,   ope rated  in  casca de .  They  a re  the   Kain j i  hy droe le ct ric   power   s ta ti on   (KHEP S)  a nd   t he  Jeb ba hyd roel ect ric p ower  sta ti on   (J HEPS ).   T hey are th e  Kain j i  hydr oelect ric p ower st at ion   ( K HEPS )   a nd  t he  Jeb ba   hy dro el ect ric  powe r   sta ti on   (J HEP S ).  The   K HEP S   w hich   is   locat ed  at   0 9 0 5 1 ′ 4 5 ′′ , 0 4 0 3 6 ′ 4 8 ′′   with  a n  i ns ta ll   capaci ty   of  760  M W  form   eig ht   unit s  of  tur bo al te r nato rs.  The  JHE PS  is   locat e d  103  km   downs tream   of   the  K HEP S   on     0 9 0 0 8 ′ 0 8 ′′ , 0 4 0 4 7 ′ 1 6 ′′ .  It  w as  com m issi on ed  on  A pri l  13,   1985,   with  a  rated  ca pacit y of   57 8.4  M W   from  six  (6) fi xe d blade   [2,  3] .   The  Je bba  Re s ervoir  de pends   on  discha rg e   and  s pill   from   the  KHEPS ,  t his  ar ra ng em ent  im po ses    the n ee d for  be tt er w at er m anag em ent if the un it s at Je bba a re to   operate e f fici ently  all  the year.  T he op e r at or s  of   the  J HE PS   face  serio us   chall enges  tha t  inv ol ve  bala ncin g  co nf li ct ing   nee ds   in volving   t he  oper at ion al   safety   of  the  s ta ti on s  a nd   t he   dem and   re quirem ents  fr om   an  e ner gy - sta r ved  el ect rici ty  gr i d  [2,  4].   Pra ct ic al   ob s er vation  of   operati ons  re ve al s  the  s erio us   c halle nges  confro nting  th e  JHE PS  op e r at or s  as   they   t ry  to  perform   the  f un ct io ns  of  a   re gu la to r  t ha t  was  om itted  in  the   fi xed  van e   de sig ns   of  th e  J HE PS   tur bo    al te rn at ors  [ 5,  6].  T hese  op e r at ion al   pr ob le m s  are  pr esent   in  each   HE PS   in  one  for m   or   the  oth e r,   a nd  it   is  on ly   because   of the  robust  nat ur e  of the  tu rbo  al te r nato rs  th at   m ajo r  cata strop hes have  no t  ye t occurre d   [ 7].   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       A steepest   desc ent a l gorit hm for  t he op ti m al  con tr ol  …  ( Ol al ekan   O gunbiy i )   4137   Nonetheless ,  there  is  evide nc e  of   su c h  pro bl e m s  lurk i ng   i n  the  possibil it ie s  wh en  on e  ob s er ves  that  on e  t urbo   al te r nato r   cat ast rop hical ly   fail ed  at   JHEP S  a nd   a no t her   at   K HE PS.   Bot h  cases   sh are  the f eat ure  that  no  local   regula tor  was  i nclu de d  in   the  i niti al   desig n.    F or  e xam ple,  the  use   of  F ran ci s   T urbines   at   a  ve ry  lo w   head  sc hem e   as  t he  KHE PS  posed   es pe ci al   prob le m s  that  m eant  po or   pe rform ance  an d  ul tim a te l y  cat ast ro phic   fa il ur e.  I n  the  J HEP S  case ,  th e  nar r ow  oper at ing   hea d  de m and ed  by  the  fixed   van e  Kap la n  tur bin es  pose d a ve ry seri ou s   chall enge to  th e operat or s   [ 8].   The  la tt er  pr oble m ,  ho wev e r ,  le nd s  it sel f  to  the  ap plica tio n  of   o ptim a l   con tr ol  m et ho ds.  I nd ee d,   this  is  the  pro blem   add resse d  in  t his  rese arch.  It  is  pos ed  as  a n  op ti m al   con trol  pr ob le m   to  dete rm ine   the  infl ow  int o  the  JHE PS  reserv oir  s o  t hat  the  op e rat ing   hea d  fall s   within  a   sp e ci fied  ra nge   [ 9,   10] .   This  w ork   c onsidere d  the  determ inati on   of   op ti m al   con tro l  la w  for  the  r el ease  of   water  from   KH EP S  suc h  that  the  reservo i r  head  at   JHEPS  rem ai ns   relat ively   const ant.  T he   optim al   con t ro l  al gorithm   is  to  be  inco rpor at e d  i nt o  a  real - ti m e e m bed ded  c ontr oller.    Unfortu n at el y,  the  desig n  of  su c h  a  syst e m   that  ensures  th e  op ti m al  us e  of   hydro powe r   resour ces  t o  m axi m iz e  po w er  ge ne rati on  within  a  ca sca ded  syst em   is  chall eng i ng.  T he   pro blem   m us t  be  pr op e rly   pose d  in  a  sta nd a r d  f orm   bef ore  it   can   be  s olv e d  [ 11,   12 ] .  So l utions   of   optim al   con tr ol  pro blem s   are  oft en  a nal yt ic al l y  intract able   a nd co m pu ta ti on al ly  co m plex  [9,  13 ] .     Du e   to  t he  c om plexit y  of   sy stem s  and   a ppli cat ion s,  a naly ti cal   m e tho ds  are  ra rely   us e d  to  c om pu te   the  so luti ons  to  optim al   con trol  pro blem s.   Nu m erical   so lut ion s  are  m os tl y  us ed  in  de te rm ining   optim al   con t ro l   [14,   15] .  I n  m os t  cases,  the  num erical   m et ho ds  are  highly   so phist ic at ed,   an d  t hey  do  ta sk    com pu te rs  [ 16,  17 ] .  T her e  hav e  bee n  nu m ero us   nu m erical   pr oce dure s  dev el op e d  over  the  ye ars ,   these   proce dures  ca n  be   cl assifi ed   into  tw o  cat e gories,  t he  di r ect   m et ho ds   a nd   i ndirect   m e thods   [18].  T he   direct   m et ho d  of   co m pu ti ng   optim al   con tr ol  invo lves  the  discr e ti zat ion   of   the  sta te   and   the  c on t ro l  in  s uch   a  way  that  the  pro blem   is  conve rted   to  a   no nlinear   optim iz at ion   pro blem   or   no nlinear   p r ogra m m ing   pro blem   [1 7,   19,  20 ] .   T he  in direct  m et ho d app li es  cal c ulus  of v ariat io n  t o  set  up n ecess ary  co ndit ion s  that  m us t  be  sa ti sfied   by the  opti m a l con t ro l.       2.   STE EPE ST D ESCENT  SO LUTION  OF   AN OPTI M A L CO NTR OL  PROB LE M   The  ste epest  d escent  al gorith m   is   gen erall y  us ed  f or   dete r m ining   the  m i nim u m   of   a  diff e ren ti able   functi on  an d  he nce,  em plo ye d  as  a  direct  m et ho d  of   so l ving  opti m al   c o nt ro l  prob le m   in  this  w ork  [ 21 - 23 ] .   Give n  a  pe rfor m ance  ind e x   ( ℎ , )   that  is  differentia ble,  t he   ste epest  des cent  directi on   is  the  path   opposit e   ∇ ( ) .  The   search  sta rts  at   a  diff e re ntiable   po i nt   = 0 ( )   an d  de creases  afte r  e ach  it erati on   unti l  it  reaches  the m inim u m  p oin t w it h   ∗ ( ) , such  that:     ∗ = ∂ ∗        ∗ ( ) ≈ 0   (1)     Stee pest  desce nt  al gorithm   is   ver y  fast  i n  m ov i ng   a  s ol utio n  f ro m   any  local   po int  within   the  feasibl e   reg i on  to  t he  vi ci nity   of   the   point  of  co nver gen ce   [ 2 1 ,  2 4 ,  2 5 ] .   I f  a  s uitab le   m et ho d  of  s olu ti on  is  unkn own ,   ste epest  desce nt  is  guara nteed  to  it erate  to wards  the  m inim u m   po int  but   char act erise d  by  slow   c onve rg e nce .   Nu m erous  rese arch es  on   this  m et ho d  ha ve  be en  on  the  determ inati on   of   appr opriat e  ste p  siz e  and   m e ans  of   sp ee ding it  up [2 6].     2.1 .   St ateme nt   of the pr ob le m    T he  optim al   con tr ol  so l ve d  in   this  w ork   is  th e  determ inati on   of  the   co ntr ol   sign al   ( )   ( ge nerat ed  by   the  c on t ro l   Sys tem )  to  be   rele ased   f ro m   K H EPS   (actuat or)   that   will   f orce   the   ope rati ng  head  ℎ ( )   of   JH EP S   (Contr olled Pla nt)  t o  f ollo w  a  pr e def i ned tra je ct or y  within a  g ive n  ti m e  (       0 →       ) .     T he  syst em   is   the  dy nam ic a l  m od el   f or   t he  J HEP S   op erati ng   hea d  de scribe d  by  th e  nonlinea r  di ff e re ntial  h ea d 3.1   [8,  27 ] :     ℎ ( )  = −   2 1 √ 2     ℎ 1 2 ⁄ ( )   +   1 1 ( ( ) − ( ) − ( ) )   (2)     = +  +    (3)     ( ) = ( ) − ( ) − ( )   (4)     Hen ce , th e  syst e m   m od el  can   be writt en  i n d st and a rd form  as;     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  4 ,  A ugus t  2020  :   4136   -   4144   4138   ℎ ̇ ( ) = ( ℎ ( ) , ( ) ,   ) ;    0 ≤ ≤   (5)     wh e re:     : t i m e   ℎ   : Op e rati ng  he ad  a nd the  sta te  v a riable       :   Con tr ol si gn a l     : Nu m ber   of op erati ng unit s ( i ntege r nu m ber   1  to  6)   1   : Eff ect ive  S urface are a  of  t he  r ese rvoir   2   : Eff ect ive  area  of the  scroll  c asi ng     : Accel erati on  du e  to g rav it y     : Inflo w  int o  J HEP S     : Eva porati on l os s  on J HEPS     : Spill way d isc harge  from  JH EPS     : Total  d isc harge  from  K HEPS ta il race      : Spill way d isc harge  from  K H EPS      : Inflo w fr om  c at chm ent area b et wee n KHE PS  a nd JHEPS     : Nonli nea r  f un ct ion     2.2.   P erfo r ma nce i ndex  ‘ J’   Perfo rm a nce in dices can be se le ct ed  to r eflec t t he  aspect of  t he  syst em ’s  beh avi our  that i s co nsi der e d  as   vital .  As  a  r esult,   a  pe rform ance  ind e x  wh ic h  accom m od at es  and   a ppr opriat el y  pen al iz es  de viati on   from     a  sp eci fie d  hea d  a nd   e nsure s  that  the  c on tr ol   do es   not  re quire  values   out side  the  ca pa bili ty   of   K HEP S   was   sel ect ed.   A  quadr at ic   perfor m ance  in dex  was  sel ect e d  c on sist in g  of  th e  integ ral  of   t he  s quare   er ror  f r om     the  desire d  operati onal   hea d  an d  the  s quare  dev ia ti on   fr om   the  m a xim u m   dischar ge  possible.  Give n    a   pe rfor m ance  ind e x   ( ℎ , , )   that i s d i ff e ren ti able:     =   min =  ∫ { ℎ ( ℎ ( ) − ℎ ( ) ) 2 } 0    (6)     Subj ect  t o  t he  s yst e m  co ns trai nts:     ℎ ̇ ( ) = ( ℎ ( ) , ( ) ,   )    ;    0 ≤ ≤       ℎ ( 0 ) =   ℎ 0   (7)     ℎ ( ) = ℎ ( )   (8)     Nonlinea r pena lt ie s o n  : [  ( ) ,  ( ) ] ,     wh e re   ℎ ( )  re pr e se nts the  d esi red  final  value f or   the stat e an d     is a  po sit ive  we igh in g sca la r  c on sta nt.      2.3.   S olut i on o f op timal c ontrol  using steep est desc ent  a l go ri th m    A  s olu tion   of  t he  op ti m al   con trol  usi ng  ste e pest  de scent  a ppr oac h  wa s  ear li er  rev ie wed.  The  ste e pest  desce nt  di recti on  is  the   pa th  opposit e   ∇ ( ) .  T he  search   sta rts  at   a  diff e ren ti a ble  point   ( )   an d  de crease s   after eac h  it era ti on   un ti l i t rea ches t he  m ini m um  p oin t   ∗ ( ) . Whe re:     ∗ = ∂ ∗        ∗ ( ) ≈ 0   (9)     i f   (   )   is a u nit v e ct or  al ong  t he  i ncr easi ng gra dient,     ( ( ) ) =    [        ( ) ] ‖        ( ) ‖   (10)     t hen ,  m ov ing   i n  the  d i recti on     − (   ) ,     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       A steepest   desc ent a l gorit hm for  t he op ti m al  con tr ol  …  ( Ol al ekan   O gunbiy i )   4139     + 1 ( ) =   ( ) −   ( )   (11)       is  the  op ti m u m   ste epest  desce nt  ste p  siz e.  A n  opti m u m   val ue  of    m us t  be  determ ined  be ca us e   a  l arg er  value  of     resu lt s  in  t he  local   m ini m u m   of     bein g  ov e rs ho t.  A  s m al le r  value  f or     will   req ui r e  m uch   tim e  an d  it erati ons   f or  the   sea rc h.  He nce ,    m us t  be   determ i ned  s uc h  a s  t o  m ov e   to wa rd s     the  m ini m u m   at   the  sm al le s t  com pu ta ti onal   tim e,  this  is  an oth e r  op ti m iz at ion .  As   sh ow n  in   ( 12)   giv e s    an  a ppr ox im ate  en d of t he  se arch i n  t he pres ent d i recti on :     + 1 ( ) =   ( ) −   (  )        ( ) ‖        ( ) ‖   (12)     An in novative  appr oach to  fin ding the  opti m um     is  by u si ng the  qu a dr at ic  ap pr oach .     ( ) = + + 2   (13)                    ( ) = 2 + = 0   (14)     (  ) =   − 2   (15)     Hen ce ,     [ + 1 ( ) ] =   [ ( ) ] −   (  ) [      1 ( ) ,               2 ( ) ,             3 ( ) ,           4 ( ) ] √ (       1 ( ) ) 2   +   (       2 ( ) ) 2 + (      3 ( ) ) 2 + (       4 ( ) ) 2     (16)     The   com pu ta ti on   was  car rie d  out  num eric al ly   in  an  EX CEL  VBA ®  pro gr am m ing   env i ronm ent.    The  A dam s - m ou lt on  num erical   integrato r   with  ste epes t  descen t  te chn i qu e  was  e m plo ye d  in  so lvin g    the syst em   m o del and t he  c om pu ta ti on  of c on t ro ls.     2.4.   A lg orithm  f or  t he  nu meri c al  so luti on   of th e o p timal c ont rol usin g   th e  s teepes t  desce n t alg orithm   Set u p: D ecl a r e a contr ol  vector  ( ) ( )   by u si ng a  f in it e p a rtit ion  of the ti m e inte rv al   [ 0 , ] .     [ 0 , ] = 0 < 1 < 2 < 3 <     ( ) ( ) = [ 1 ( ) ( ) , 2 ( ) ( ) , 3 ( ) ( ) , 4 ( ) ( ) ]     Step  1:    Let   = 0   Set t he  init i al  c onditi on  ℎ ( = 0 ) ( ) = ℎ 0     Gu es s  values  for  ( = 0 ) ( )   from   0 →   .   Step  2:    Nu m erical ly   in te gr at e  ( ℎ ( ) , ( ) , )   fr om     0 →     to  obta in   ℎ ( ) ( ) .  The  nu m erical   integrati on  is   c a r r i e d   o u t   u s i n g   a n   A d a m s – M o u l t o n   t e c h n i q u e   w i t h   A d a m s – B a s h f o r t h   a s   p r e d i c t o r   a n d   R u n g e - K u t t a   for  sta rtin g.   Step  3:    Com pu te  the  pe rfor m ance in de x  ( )       ( ) = ( 1 ( ) ( ) , 2 ( ) ( ) , 3 ( ) ( ) , 4 ( ) ( ) )       The  T ra pezo i da l ru le   was  em plo ye d i n  t his c om pu ta ti on   S te p 4:  Sele ct   a p e rturbati on  value     ∆   and co m pu te   ( ) ;       = 1 , 2 , 3 , 4       1 ( ) = ( 1 ( ) ( ) + ∆ , 2 ( ) ( ) , 3 ( ) ( ) ,   4 ( ) ( ) )       2 ( ) = ( 1 ( ) ( ) , 2 ( ) ( ) + ∆ ,   3 ( ) ( ) , 4 ( ) ( ) )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  4 ,  A ugus t  2020  :   4136   -   4144   4140     3 ( ) = ( 1 ( ) ( ) , 2 ( ) ( ) , 3 ( ) ( ) + ∆ , 4 ( ) ( ) )       4 ( ) = ( 1 ( ) ( ) , 2 ( ) ( ) , 3 ( ) ( ) ,   4 ( ) ( ) + ∆ )     Step  5:  Com pute  the app roxi m at e g rad ie nt  vecto r      .        = ≈ − ∆ ;       = 1 , 2 , 3 , 4     Step  6:  Com pute  the no rm  o f t he  gra dient  ‖  ‖ .       ‖ ( )                   ( )   ( ) ) ‖ =   √   ( ( ) 1 ( ) ( ) ) 2 + ( ( ) 2 ( ) ( ) ) 2 + ( ( ) 3 ( ) ( ) ) 2 + ( ( ) 4 ( ) ( ) ) 2     Step  7:  Com pute  the unit  vector  ( ( ) ( ) )       z ( ( ) ( ) ) = [ ( )                   ( )   ( ) ) ] ‖ ( )                   ( ) ( ) ) ‖     Step  8:  Dete rm ine the  opti m u m  step      ( )   Sele ct  a set of t hr ee  Fib onacci  num ber s    1 , 2        3   su c h  as  to o btain     ψ 1 ( + 1 ) ( ) = ( ) ( ) −   ψ 1 ( ) z ( ( ) ( ) )          ψ 1 ( )       ψ 2 ( + 1 ) ( ) = ( ) ( ) −   ψ 2 ( ) z ( ( ) ( ) )          ψ 2 ( )       ψ 3 ( + 1 ) ( ) = ( ) ( ) −   ψ 3 ( ) z ( ( ) ( ) )          ψ 3 ( )       Step  9:  S olv e  f or the c onsta nt s    a nd        [ ] = [ ( ψ 1 − ψ 2 ) ( ψ 1 2 − ψ 2 2 ) ( ψ 2 − ψ 3 ) ( ψ 2 2 − ψ 3 2 ) ] − 1 [ ( ( ψ 1 ) − ( ψ 2 ) ) ( ( ψ 2 ) − ( ψ 3 ) ) ]     Step  10 :  C om pu te   (  )       ψ (  ) ( ) = − 2     Step  11 : C om pu te  the c ontr ol  vecto r       [ ( + 1 ) ( ) ] = [ ( ) ( ) ] − ψ (  ) ( ) [ ( ) 1 ( ) ( ) ,       ( ) 2 ( ) ( ) ,       ( ) 3 ( ) ( ) ,       ( ) 4 ( ) ( ) ] √ ( ( ) 1 ( ) ( ) ) 2 + ( ( ) 2 ( ) ( ) ) 2 + ( ( ) 3 ( ) ( ) ) 2 + ( ( ) 4 ( ) ( ) ) 2     Step  12 :  C hec k i f       ‖ ∇ ( ( + 1 ) ‖ − ‖ ∇ ( ( ) ‖ ≤ 10 −    an d    ∗ ∗ ≈ 0 ,    w her e  n is a  posit ive consta nt.     If  t his is tr ue, t hen   ∗ ( ) = ( + 1 ) ( )   an d ou t put  ℎ ∗ ( )   el se    le t  = + 1 ,  ( ) ( ) = ( + 1 ) ( )   an d retu r n t o  ste p 2         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       A steepest   desc ent a l gorit hm for  t he op ti m al  con tr ol  …  ( Ol al ekan   O gunbiy i )   4141   3.   RESU LT S   A ND AN ALYSIS   The  res ults  obta ined  f r om   the  com pu ta ti on   of   op ti m al   con trol  us i ng   the  ste epest   desce nt  al gorithm   are  pr es ente d  in  case  1  to  case  5.   A  nota ti on  is  us ed  f or   s pecifyi ng  oper at ing   co nd it io ns  under   a  case  bein g  consi der e d,  the  for m at  is as f ol lows : ( num ber  of m achines,  s ta rting   hea d  (m ),   num ber  of  da ys , p e nalty ).   -   Ca se 1 :  ( 5 , 25 . 8 , 1 ,    )   Applyi ng   t he   sta te d  op e rat ing   c onditi ons   into  the  ste epest  desce nt   al go rit hm   and   ass um in g     a  co nver gen ce   crit erion  of  10 − 5   for  the   gra dient  l ed  t o  c onve rg e nce  a fter  15  it e rati on s   with  ℎ ( )   tr ajecto ries  as  show n  i n  F i gure  1.   T he  tr ajecto ries  ex hi bit  so m e  ov er s hoot  becau se   the  inter val  of   6  hrs  us e d  to  s pecify    the contr ols  preven t t he  a dju s t m ent o f  th e co ntr ol w it h  t he p recisi on that  w ou l d gu a ra ntee the  desire d  te r m inal  value  near ly   preci sel y.  It  is  evide nt  that  ope ra tor s  us i ng  pr oto c ols  ba sed  on   t his  res ult  will   be  able  t o  m or e  pr eci sel y  con t r ol  and   m anag e   their  plants.  T he  res ults  dem on st rate  the  use   of   the  optim al   con tr ol  appr oach   and  prov i de   de penda ble  m et ho ds  f or  operati on s   with  a   ne gl igible  de viati on  of  0 . 03%   of  the   optim u m   head  ℎ ∗ ( )     from  the set va lue   ℎ ( ) .    Figure  2  prese nts  the   co ntr ol   that  is  requir ed  to   produce   the  nee ded  he ad  tra j ect ory   of  Fig ur e   1.    The  fiftee nth   i te rati on s  produced   th e  desir ed  opti m a l  con tr ol.  The  c ontrol  la w  sta rts  with  a  high   in flo w  in     the  fir st  6  ho urs  of  the  day  ( 1 )  a nd  re duces  to  the   m ini m u m   value  in  the   seco nd  6  hours  of  the  day  ( 2 ).    The  c on tr ol  increase s  li gh tl y  in  the  rem ai nin g  12  ho ur s  t o  m ov e  the  hea d  to  t he  opti m u m   l evel.     The  i nput  pa ra m et ers  are:  ℎ ( 0 ) = 25 . 8   , ℎ ( ) = 26 . 1   , 1 ( 0 ) = 2 ( 0 ) = 3 ( 0 ) = 4 ( 0 ) = 1000   3 ⁄ .  This  ge ner at e d  an   out pu t  with:          = 15 , ℎ ∗ ( ) = 26 . 10869   , 1 ∗ ( ) = 7127 . 522 3 ⁄ , 2 ∗ ( ) = 470 . 5617 3 ⁄ , 3 ∗ ( ) = 1626 . 928   3 ⁄ , 4 ∗ ( ) = 1714 . 475   3 ⁄ ,   (    ) = 501 . 4565 , ‖  ‖ = 0 . 042747      (  ) = 0 . 0 0 5 3 6 28 .             Figure  1. Re ser vo i r head  v e rs us  ti m e (case 1)     Figure  2. O ptim u m  co ntro l  ( case 1 )       Plots  showi ng   the  perf or m ance  an d  c har act erist ic s  of   the  ste epest  desce nt  al gorithm   a re  show n  i n  Figures  3  to  6.  The  plo t  in  Fi gure  3  prese nts  the  su cc essiv e  it erati on s  determ ined  by  us i ng   a  unidirect i on a l   search   al on g  th e  desce nt on  th e  gradie nt v ect or  to  t he  l ocal m ini m u m .  A  pe culia r  f eat ure of  this  al gorith m   can   be  obser ve d  by   stu dying   1 ( )        2 ( ) .  W hile  1 ( )   ke pt  i ncrea sing  afte r  e ver y   it erati on,   2 ( )   only   increases  for t he  f irst t wo it era ti on s a nd it  d ec reases ti ll  the a ll ow able t olera nce level .   A  neces sary  co nd it io n  f or   a  c on t ro l  to  be  op tim u m   is  that  t he   pe rfor m anc e  ind e x  at   the  la st  it erati on  m us t  be  m ini m um .  This  ca n  be   obser ve d  i n  Figure  4  t hat  the  perform ance  ind e x  kee ps   decr easi ng  ti ll   the  la st   it erati on .  If  the  c urve  dif f ers  f r om   this  ex pected  be hav i our,  the n  the  c on t ro l  is  no t  opti m u m ,  and     the  tra j ect or ie s   m ay   no t  be  a s  seen  in   Fig ure  1.  It  ca n  be   obser ved  th at   the  first  th r ee  it erati on s  r edu c e     the p e rfo rm ance ind e x g reatl y, this is a  uniq ue   cha racteri sti c   of stee pe st des cent m et ho d.   Figures  5  an d  6  sho w  the  va riat ion   of   the   norm   of   gr a di ent  and   t he  ste epest  desce nt   ste ps   siz e.     The  st opping  crit eria  in  the   al gorithm   are   that  the  nor m   of   gr a dient   m us t  be  ap pro xim at e ly   zero   a nd     the  ste epest  de scent  ste p  siz e  sh oul d  al so   be  ver y  sm al l  a nd   insig nificant.  It  is  on ly   the n  that  the  co ntr ol   can  be  ass um ed  to  be  op ti m u m .  A s  co uld  be   see n  duri ng  the  im plem entat ion ,  the  gr a dient  at t ai ns   the   lo west   value   and   t he  ste p  siz e  becam e  s o  sm all  that  t he  cha nges  c om pu te d  we re   within  the  er ror  of  com pu t at ion .   This m eans th a t t he  hea d  i n Fi gure  1  a nd c ontrol in  Fig ur e  2 are  optim u m .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  4 ,  A ugus t  2020  :   4136   -   4144   4142         Figure  3 .   Co ntr ol in pu t  ve rsus  it erati on   (case  1)         Figure  4 .   Per f orm ance ind e x versus it erati on ( case  1)         Figure  5 .   N orm  o f  gr a dient  versu s  it erati on     Figure  6 .   St eep est  d esce nt ste ps   ver s us i te rati on       -   Ca se 2 :  ( 5 , 25 . 8 , 1 ,  > 0       = 3000   3 ⁄ )   It  is  possi ble  to  m od ify   the   pro blem   su ch  that  the  c on t rol   is  pe naliz ed.  The   pe nalty   is  to  im po se     a  m axi m u m   and   m ini m u m   va lue  on  the   co nt ro l.  The  c ontr ol   is  no t  al lo wing  to  be  negat iv e  or   e xcee d  a  va lue.  Diff e re nt  sim ulati on   f or  pen a li zed  opti m a l  con t ro ls  is   pre sented   in  ca se s  2   an d  3 .   Fig ur es   7   an d  8   presents     the  res ults  of  t he   case   ( 5,  25. 8,  1,    > 0       = 3000   3 ⁄   .   The   e f fect  is   that   the   ove rsho ot  on   the  sta te   trajector y  is  rem ov ed,   an d  it   ta kes   m or e  it erati ons.    The  opti m u m   con trol  lo oks  m or e  ap propriat e   than  t he results  prod uced with  cases  wh e re t he  contr ol is Un pen al iz e d.             Figure  7 .   Re ser vo i r head  v e rs u s ti m e (case  2 )     Figure  8.   O ptim u m  co ntro l  ( case  2 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       A steepest   desc ent a l gorit hm for  t he op ti m al  con tr ol  …  ( Ol al ekan   O gunbiy i )   4143   T h e   i n p u t   p a r a m e t e r s   a r e :   ( 0 ) = 25 . 8   , ℎ ( ) = 26 . 1   , 1 ( 0 ) = 2 ( 0 ) = 3 ( 0 ) = 4 ( 0 ) = 1000   3 ⁄ .   T h i s   g e n e r a t e d   a n   o u t p u t   w i t h :          = 54 , ℎ ∗ ( ) = 26 . 0905   ,   1 ∗ ( ) = 30 0 0 3 ⁄ , 2 ∗ ( ) = 30 0 0 3 ⁄ , 3 ∗ ( ) = 3000 3 ⁄        4 ∗ ( ) = 11 4 8 . 7 4767   3 ⁄ .   Ca se 3 :   ( 3 , 25 . 8 , 1 ,  > 0       = 3000   3 ⁄ )   The  res ults  in  Fig ur es  9   and   10   are  f or   th e  case  with  three  operati ng  m ac hin es  w hile      > 0       = 3000   3 ⁄ .  T he  al gorith m  co nv e r ges  af te r  one it erati on and the o ptim al  co ntro l  reduces   gr a dual ly   after   eve ry  quarter   of  ti m e.   The  i np ut   p a ram et ers  are:   ℎ ( 0 ) = 25 . 8   , ℎ ( ) = 26 . 1   , 1 ( 0 ) = 2 ( 0 ) = 3 ( 0 ) = 4 ( 0 ) = 1000   3 ⁄ .   This   ge ne rated  a n  outp ut  with :         = 2 , ℎ ∗ ( ) = 26 . 1 774 1   ,   1 ∗ ( ) =   3000   3 ⁄ , 2 ∗ ( )   = 26 9 7 . 7157 3 ⁄ , 3 ∗ ( ) =   1996 . 9178 3 ⁄        4 ∗ ( ) = 13 1 2 . 0 8281 6 3 ⁄ .             Figure  9 .   Re ser vo i r head  v e rs us  ti m e (case  3 )     Figure  10 .   O ptim u m  co ntro l  ( case 3 )       4.   CONCL US I O N   The  wor k  has   consi der e d  t he  dev el op m ent  of  an  opti m a l  con tr ol  proce dur e  for  the  casca ded   K HEPS   and   J HEPS .  T her e  ca n  be  num ero us   opti m al   con trol  pr ob le m ,  bu t  th e  prob le m   so lved  is  the  La gr a nge  pro blem   fo r  the  opti m a l  release   for  in flo ws  into  JHE P s  su c h  that  it s  op e rati ng  hea d  rem ai ns   relat ively  const ant  at   26 . 1   m .   The   c on t ro l   al gorithm   is  base d  on   t he   ste epest   de scent,  a   m et ho d  that   ens ur e     the  determ inati on   of   a  l oca l  op ti m u m   fo r  a  co nvex  pro blem .  The  qu a drat ic   li ne  was  em plo ye d  f or     the  determ inatio n  of  optim um  ste epest  descen t  ste p  siz e.  W he n  the  con t ro l  is  penal iz ed,   the  al go rithm   conve rg es  fast e r.   T he  co ntr ol   al go rithm   was  i m ple m ented  in  an  E xcel  VBA ®  en vir onm ent  to  ensure  that    the  opti m u m   h ead  fall s  within  0 . 03% .  It  is  rec omm end ed   f or   use   in  syst em   st ud ie s ,  decisi on  m aking   a nd   con t ro l  desig n for the  opti m al  powe r ge ner at ion  i n  the  casc aded hy dr opower  syst em       ACKN OWLE DGE MENTS   We  ack olwe dg e  the  Tran sm i ssion   C om pan y  of   Nige ria  ( TCN)  Nati on a l  con tr ol  Ce ntr e  Osho gbo,    for  pro vid in g  r el evan t  data  use d  i n  the   c ouses  of  t his  re s earch .  We  a re  aso  gr at e fu l  t o  the  m anag em ent  of   Ma instream  En erg y s olu ti on  f or grantin g  ac c ess the t wo h y dro power sta ti on s .       REFERE NCE S     [1]   A.  S.  Sam bo,   B.   Garba ,   I.   H.  Za rm a,   and  M .   M.  Gaji ,   “ Elec t ric ity   Gen erati o n  and  the   Prese nt  Chal l eng es  i n    the   Nig eri an   Po wer  Sect or , ”   J ou rnal  Ene rgy   Po wer  Engi n ee ring ,   vol .   6 ,   no .   7 ,   pp .   1 – 17 ,   2012 .   [2]   M.  A.  Am inu  and  U.  G.  Kangi wa,   “ Perform anc e  Ev al ua ti on  a nd  Eff iciency   I m prove m ent   for  Jebba ,   Kain ji   a nd   Shiroro  H y dro  P ower  Schemes,”  3rd  IEE E  In te r nati onal  Conf er enc e  on   Adaptiv e  Scienc e  and  T ec hnolog y  ( ICAST   2011) ,   Abuja, pp .   115 - 118 ,   2011 .   [3]   C.   T.   Thomas,  M.  F.  Akorede ,   O.  Ogunbi y i ,   B.   J.  Olufe agba ,   a nd  J.  S.  Sam uel ,   “ A   study   of  en erg y   conv ersion  at  the   Jebb a  H y dr oel e ct ri c  power   stat ion , ”   2017   IEEE  3rd  Int e rnational   Conf e renc e  on   Elec tro - Technol ogy   fo r   Nati onal  D ev e lo pment  ( NIGERCON) ,   Ow err i,   pp.   82 8 - 833 ,   2017.   [4]   O.  M.  Bamigbola   and  Y.  O.  Ade rint o,   “ On Opti m al   Control   Model  of  Elec tr ic   Pow er  Gene rating   Sy st ems , ”  Jour nal   Re s. Phys. Sc i. ,   vol.   5 ,   no .   1 ,   pp .   59 – 70,   2015 .   [5]   T.   S.  Abdulkadi r ,   A.  W .   Sala m i,   A.  R.   Anw ar,   and  A.  G.  Kare em,  “ Modell ing  of  H y dropow er  Re servoir   Vari able s  for  Ene rg y   Gen e rat ion:  Neura l  Network  Approac h, ”  E thi opian   Jo urnal  of  Environm ent al  Stud ie s  a nd  Manage ment ,   vol.   6 ,   no .   3 ,   pp .   310 – 316,   Ma y   2 013.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  4 ,  A ugus t  2020  :   4136   -   4144   4144   [6]   C.   T.   Thomas,  O .   Ogunbi y i,   M.  F.  Akorede ,   and  J.  B.   Olufe agb a,   “ Assess m ent   of  Fail ure   a nd  R ep ai r  Beha v iours  of  the   Jebba   H y dr o el e ct ri c  Pow er  Stat ion , ”  E lektri ka  Journal  of  E le c tric al  Engi ne ering ,   vol .   17,   n o.   3,   pp .   13 – 19,   Dec .   2018 .   [7]   C.   T.   Thomas,  M.  F.  Akorede ,   O.  Ogunbi y i ,   B.   J.  Olufe agba ,   a nd  J.  S.  Sam uel ,   “ A   study   of  en erg y   conv ersion  at   the   Jebb a  H y dr oel e ct ri c  power   stat ion , ”   2017   IEEE  3rd  Int e rnational   Conf e renc e  on   Elec tro - Technol ogy   fo r   Nati onal  D ev e lo pment  ( NIGERCON) ,   Ow err i,   pp.   828 - 833,   2017.     [8]   O.  Ogunbi y i ,   C.   T.  Thomas,   I.  A.  O.  Om eiza ,   J.  Akanni ,   and   B.   J.   Olufe agb a ,   “ D y n amica l   C o ntrol   Mode l  of     the   C asc ade d   Ka inj i - Jebb a  H y dro power  Opera ti ng   Hea d, ”  FUO Y E   Journal  o f  Eng i nee ring   and   Tec hnol ogy ,   vol .   4,   no.   1 ,   pp .   140 - 1 44,   Ma y   2019.   [9]   S.  Guo,  X.  Li,  P.  Li u ,   and   F.  Guo,  “ Optimal  Opera ti on   of  Ca sca de  H y dropo wer  Plant s, ”  in   2009  Asia - Pa ci f ic  Powe r and Ener gy  Eng ine ering   Confe renc e ,   W uhan,   pp .   1 - 4 ,   200 9.   [10]   A.  Aja y i ,   e t  al . ,   “ Major  Fact or s  Affec ti ng  El e ct ri ci t y   Gene r ati on,   Tra nsm ission  and  Distribut i on  in  Niger ia , ”  Et hiop .   J .   Environ.  Stud .   Manag . ,   vol. 1, no. 3 ,   2 013.   [11]   S.  A.  A.  Moos avi an,   A.  Gh af ari,  A.  Sali m i,   and   N.  Abdi,   “ Non - li ne ar  Multi obj e ct iv e  Optimizati on  for  Control   of  H y dropower  Pla nts  Network, ”  2 008  IEE E/ASME   Inte rnational   C onfe renc e  on  Ad vanc ed  Int elligent  Me chat roni cs ,  Xian,   pp .   1278 - 1 283,   2008 .   [12]   G.  Robert  and  F.  Micha ud ,   “ A  Sim ple   M ult i - Objec t ive   Con tr ol  for  C asc ade d   H y dro  Pow er   Plant s,”   in  I FAC   Proce ed ings V ol umes ,   vol .   44 ,   n o.   1 ,   pp .   4960 – 4 963,   Jan .   2011 .   [13]   A.  F.  Ribe iro ,   M.  C.   M.  Gued es,   G.  V.  Sm irnov,   and  S.  Vil el a ,   “ On  the   Optimal  Control   of  a  Casca d e  o f    H y dro - e le c tric  P owe r  Stat ions,”  El e ct ric   Pow er  S yste ms   Re sear ch ,   vol .   88 ,   pp .   121 – 129,   Jul.   2012.   [14]   F.  R.   Paiva,  “ Num eri ca l  Me tho ds  for  Optimal  Control   and  Mo del   Predictiv e  Control , ”  Program a  Doutoral  em   Mate máti ca  Ap licada ,  2014 .   [15]   R.   Steng el a nd  O.  Contro ,   “ Princi pl es  for  Opt imal  Co n trol   of   D ynamic  S y s te m s!   Tra j ec tor y   of the   S y stem! , ”  2015 .   [16]   J.  L.   Schu lt z ,   D.   G.,   and   Me lsa,   “ Stat e  Funct ions   and  Li n ea r  Con trol   S y st ems , ”   Mc Gr aw  Hill   Te xt ;  F irst  Edi t ion ,  Jan. 1967.   [17]   V.  M.  B ecerra,  “ Optimal  Contro l , ”   S chol arped ia ,  vol.   3 ,   no .   1 ,   200 8.   [18]   O.  Vo n  Str y k,   “ Nu m eri ca l  Sol uti on  of  Optimal  Control   Prob le m s  b y   Dire ct  Coll ocation , ”  Optimal  Control ,    vol.   111 ,   pp .   129 – 143,   1993 .   [19]   S.  S.  R ao,  “ Enginee ring   Op ti m izati on:   Th eor y   an d  Prac t ic e , ”   Wi ley  4  edition ,   Jul.   2009.   [20]   J.  T.   Bet ts ,   “ Prac tical   Methods  f or  Opti m al   Cont rol  Us ing  Nonline ar  Program m ing, ”   Soc ie t y  fo r  Industrial  and   Appl ie d   Math emati cs ,   2001.   [21]   D.  E .   Kirk ,   “ Opt imal  Contro l  Th e or y :  An  Introdu ct ion , ”  Dove r  Pu bli cation ,   New  York,  1998.   [22]   C.   Y.  T .   Ma,   D .   K.  Y.  Yau,   N.   K.  Yip,   N.  S.  V.   Rao,   and   J.  Ch en,   “ Stoc hastic  Stee pest  Desc en t  Optimization  o f   Multi ple - Obj ecti ve  Mobil e  Senso r  Covera g e,”  20 10  IEEE  30t h  In te rnational   Conf ere nce  on  Distri bute d  Comput in g  Syste ms ,   Genov a ,   pp .   96 - 105 ,   20 10.   [23]   H.  Schät tler  an d  T.   J.  Ta rn,   “ Desce nt  Algorithm s   for  Optim al   Periodi c  Ou t put  Feedba ck  C ontrol , ”  in  IEEE   Tr ansacti ons on Automati c   Contr ol ,   vo l. 37, no. 1 2,   pp .   1893 - 190 4,   De c. 1992.   [24]   K.  S.  Sriniva s  a nd  K.  Vaisa kh,   “ Applic at ion  of  Stee pest  Desc en t  and   Diffe r ent i a l  Evol ut ion  Met hods  for   Optimal   Control   of   Pow e r  S y stems , ”  Imp erial   Journal   o f   Inte rdiscip li nary   Res earc h  ( IJI R) ,   vol.   3,   no .   1 ,   pp.   2257 – 2263 ,   2017.   [25]   H.  Zha o,   Y.  Zh ang,   J.  Hu,  and  Z.   Chen,   “ Esti m at ion  of  Init i al   Guess   of   Stee pe st  Desce nt  Method  for  Nea r  Fiel d  Phase  Ret r ie va l,”  2017  Asia - Pa c if ic  Int ernati ona l  Symposium  on  El e ct rom agnet i c   Compatibi l it y   ( AP EMC) ,   Seoul ,   pp.   306 - 308 ,   20 17.   [26]   W .   J.  Grant ham,   A.  O,  and  Chin gcua nco ,   “ L y ap unov  Stee pest  D esc ent   Contro l  o f  Constrai ned  L i nea r  S y st ems , ”   IEE E   Tr ansacti o ns on  Aut omat ic  Control ,   vo l .   29,   no.   8,   pp.   740 - 7 43,   Aug.   1984.   [27]   O.  Og unbi y i,  C.   T.  Thomas,  I .   O.  A.  Om ei z a,  J.  Akanni ,   and  B .   J.  Oluf ea gb a,  “ A  Nonline ar   Co ntrol   Model   and   Opera ti on al   Support  S y stem  for  the   Kainji  H y droe lectr i c  Pow er  S y stem, ”  Ni gere rian  Journal   of  Technol og y ,    vol.   38 ,   no .   2 ,   pp .   449 – 455 ,   2019 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.