I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute r  E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   9 ,   No .   4 ,  A u g u s t   201 9 ,   p p .   2 3 6 5 ~2 3 7 6   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 ,  DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v9 i 4 . p p 2 3 6 5 - 2376          2365       J o ur na l ho m ep a g e :  h ttp : //ia e s co r e . co m/ jo u r n a ls /in d ex . p h p / I JE C E   A new  chao tic  sy ste m  w ith  line   of   e quilibri a :   dy na m ics,   p a ss iv e control a nd  circu it  desig n       A ce ng   Sa m ba s 1 ,  M us t a f a   M a m a t 2 ,   Ay m a n Ali  Ara f a 3   G a m a l M   M a h m o ud 4 ,   M o ha m a d Af endee  M o ha m e d 5 ,  W .  S .  M a da   Sa nja y a 6   1 De p a rt m e n t  o f   M e c h a n ica l  En g i n e e rin g ,   Un iv e rsitas   M u h a m m a d iy a h   T a si k m a la y a ,   In d o n e sia   2 ,5 F a c u lt y   o f   In f o r m a ti c s a n d   Co m p u ti n g ,   Un iv e rsiti   S u lt a n   Zai n a l   A b id in ,   K u a la T e re n g g a n u ,   M a la y sia   3 De p a rt m e n t  o f   M a th e m a ti c s,  F a c u lt y   o f   S c ien c e ,   S o h a g   Un iv e rsity ,   Eg y p t   4 De p a rtme n t  o f   M a th e m a ti c s,  F a c u lt y   o f   S c ien c e ,   A ss iu t  Un iv e rsit y ,   Eg y p t   6 De p a rtme n t  o f   P h y sic s,  Un iv e rsi tas   Isla m   Ne g e ri  S u n a n   G u n u n g   Dja ti   Ba n d u n g ,   In d o n e sia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J an   9 ,   2 0 1 8   R ev i s ed   Ma r   7 ,   2 0 1 9   A cc ep ted   Ma r   1 1 ,   2 0 1 9       A   n e w   c h a o ti c   s y ste m   w it h   li n e   e q u il ib ri u m   is   in tro d u c e d   in   t h is   p a p e r.   T h is  s y ste m   c o n sists   o f   f i v e   ter m s  w it h   t w o   tran sc e n d e n tal  n o n li n e a rit ies   a n d   tw o   q u a d ra ti c   n o n li n e a rit ies .  V a rio u s  to o ls  o f   d y n a m ic a l  s y ste m   su c h   as   p h a se   p o rtraits ,   L y a p u n o v   e x p o n e n ts,  Ka p lan - Yo rk e   d im e n sio n ,   b if u rc a ti o n   d iag ra m   a n d   P o in c a rè   m a p   a re   u se d .   It  is  in tere stin g   t h a t  th is  sy s tem   h a s  a   li n e   o f   f ix e d   p o i n ts  a n d   c a n   d i sp lay   c h a o ti c   a tt ra c to rs.  Ne x t,   th is  p a p e r   d isc u ss e s  c o n tr o l  u sin g   p a ss iv e   c o n tro l  m e th o d .   O n e   e x a m p le  is  g iv e n   to   in su re   t h e   th e o re ti c a l  a n a ly sis.   F in a l ly ,   f o r  th e   n e w   c h a o ti c   s y ste m ,   a n   e lec tro n ic  c irc u it   f o r  re a li z in g   th e   c h a o ti c   sy ste m   h a s  b e e n   imp lem e n ted .   T h e   n u m e ric a l  si m u latio n   b y   u sin g   M ATLA B  2 0 1 0   a n d   im p le m e n tatio n   o f   c ircu it   sim u latio n s  b y   u sin g   M u lt i S IM   1 0 . 0   h a v e   b e e n   p e rf o r m e d   in   th is stu d y .   K ey w o r d s :   C h ao tic  s y s te m   D y n a m ica l s y s te m   E lectr o n ic  cir cu it   L i n e  eq u ilib r i u m   P ass iv e  co n tr o l   Co p y rig h t  ©   2 0 1 9   In stit u te o f  A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e .    Al l  rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   A ce n g   Sa m b a s ,     Dep ar t m en t  o f   Me ch a n ical  E n g in ee r i n g ,   Un i v er s ita s   Mu h a m m ad i y a h   T asik m ala y a,   T am an s ar i G o b r as  Stre e t  K m   2 . 5 ,   T asik m ala y a,   W es t   J av a,   I n d o n esia .   E m ail:  ac e n g s @ u m ta s . ac . id       1.   I NT RO D UCT I O N   Dis co v er i n g   c h ao tic  attr ac to r   i s   an   i m p o r tan t  i s s u e  i n   ch ao ti c  s y s te m s .   W e  ca n   cla s s i f y   t wo   k in d s   o f   ch ao tic  attr ac to r s :  s el f - ex cite d   attr ac to r s   an d   h id d en   attr a cto r s   [1 - 2 ] .   T h e  ch ao tic  s y s t e m   s u c h   a s   L o r en z   s y s te m   [ 3 ] ,   R ̈ s s ler   [ 4 ] ,   L ̈   [ 5 ] ,   C h e n   [ 6 ] ,   R u c k lid g e  [ 7 ]   Sp r o tt  [ 8 ]   etc,   b elo n g s   to   t h e  s el f - e x cited   attr ac to r s .  T h e  ch ao tic   s y s te m s   w it h   h id d en   attr ac to r s   ar e  d iv id ed   in t o   th r ee   p ar ts :  ( a )   s y s te m   w it h   n o   eq u ilib r ia  [ 9 ]   ( b )   s y s te m   w i th   s tab le  eq u ilib r ia  [ 1 0 ]   an d   ( c)   s y s te m   w it h   i n f in ite  n u m b er   o f   eq u ilib r ia  [ 1 1 ] .   Hid d en   attr ac to r s   h av e   b ee n   u s ed   in   ap p lied   m o d els  s u c h   a s   a  m o d el  o f   th e  p h ase - lo c k ed   lo o p   ( P L L )   [ 1 2 ] ,   ai r cr af t  f li g h t  co n tr o l  s y s te m s   [ 1 3 ] ,   d r illi n g   s y s te m   ac tu ated   b y   i n d u ct io n   m o to r   [ 1 4 ] ,   L o r en z – lik e  s y s te m   d e s cr ib in g   co n v ec ti v e  flu id   m o tio n   in   r o tati n g   ca v it y   [ 1 5 ]   an d   a  m u lt ilev e l D C / DC   co n v er ter   [ 1 6 ] .     Mo tiv ated   b y   t h e  m aj o r   w o r k   of   J af ar i   an d   Sp r o tt,  r esear ch e r s   f o cu s ed   o n   ch ao tic  s y s te m s   w it h   li n e   o f   eq u ilib r ia.   T h e  n in e  s i m p le   ch ao tic  fl o w s   w it h   lin e   o f   eq u ilib r ia  w er e  p r o p o s ed   by   J af ar i   an d   Sp r o tt   [ 1 7 ] .   Fi v e  n o v el  c h ao tic  s y s te m   w it h   a  lin e   o f   eq u ilib r ia   an d   t w o   p ar allel  lin es  w er e  p r o p o s ed   b y   L i a n d   Sp r o tt [ 1 8 ] .   L i  a n d   Sp r o tt  h av e  p r esen te d   ch ao tic  s y s te m s   w it h   a  li n e  o f   eq u il ib r ia  an d   t w o   p er p en d icu lar   li n es  o f   eq u ilib r ia  b y   u s in g   s i g n u m   f u n ct io n s   an d   ab s o lu te – v alu e   f u n ctio n s   [ 1 9 ] .   I n   ad d itio n ,   L i  e t  al  r ep o r ted   a  h y p er ch ao tic   s y s te m   w it h   a n   i n f in i te  n u m b er   o f   eq u ilib r i a   a n d   cir cu i t  d esi g n   [ 2 0 ] .   H y p er ch ao s   a n d   h o r s e s h o e   in   a  4 D  m e m r is ti v e  s y s te m   w i th   a  li n e  o f   eq u ilib r ia  w er e  p r o p o s ed   in   [ 2 1 ] .   T h e  s i m p lest   4 - D  ch ao tic  s y s te m   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   4 ,  A u g u s t 2 0 1 9   :   2 3 6 5   -   2376   2366   w it h   li n e  o f   eq u ilib r ia,   b y   ap p ly in g   a  s tate  f ee d - b ac k   co n tr o l  to   R ̈ s s ler   eq u atio n   w as  r ep r esen ted   b y   Si n g h   an d   R o y   [ 2 2 ] .     Var io u s   co n tr o l  m e th o d s   h a v e  b ee n   u s ed   f o r   co n tr o llin g   c h ao tic  s y s te m s   s u c h   a s   ad ap tiv e   co n tr o l  [ 2 3 ] ,   s lid in g   m o d e  co n tr o l  [ 2 4 ] ,   ac tiv e  co n tr o l  [ 2 5 ] ,   p ass iv e  co n tr o l  [ 2 6 ] ,   P e co r a – C ar r o ll  co n tr o l  [ 2 7 ] ,   i m p u l s i v e  co n tr o l  [ 2 8 ] ,   f u zz y   co n tr o l  [ 2 9 ] ,   o p tim al  co n tr o l  [ 3 0 ] ,   d ig ital  r ed esig n   co n tr o l  [ 3 1 ]   an d   m a n y   o t h er s   [ 3 2 - 33] .   T h e  co n ce p t o f   p ass iv it y   t h eo r y   h as b ee n   f o u n d   to   b e  a  n ice  to o l in   i n   v ar io u s   d o m ain s   o f   s cie n ce   an d   en g i n ee r i n g   s u c h   as  r o b o tic  [ 3 4 ] ,   s ig n al  p r o ce s s in g   [ 3 5 ] ,   p er m a n en t - m a g n et  s y n c h r o n o u s   m o to r s   c h ao tic   s y s te m   [ 3 6 ] ,   h o p f ield   n eu r al   n et w o r k   [ 3 7 ] ,   n u clea r   s p in   g en er ato r   s y s te m   [ 3 8 ] ,   s y n ch r o n izatio n   [ 3 9 ] ,   co m p a s s - li k e  b ip ed   r o b o t   [ 40 ]   an d   co m p lex it y   [ 41 ].   T h is   p ap er   in tr o d u ce s   a  n e w   c h ao tic  s y s te m   w ith   li n e   of   eq u ilib r i a .  Ou r   n ew   ch ao tic  s y s te m   h as  f i v e   ter m s   w it h   t w o   tr a n s ce n d en ta l  n o n li n ea r it ies  a n d   t w o   q u ad r atic  n o n li n ea r it ies .  B asic   p r o p er ties   of   th e   n e w   ch ao tic  s y s te m   ar e   a n al y ze d ,   in clu d i n g   s u c h   as   eq u ilib r i u m   p o in t s ,   L y ap u n o v   e x p o n en ts ,   Kap lan - Yo r k e   d i m en s io n ,   b if u r ca tio n   d iag r a m   an d   P o in ca r ́   m ap .   Fi n all y ,   p as s i v e  co n tr o l a n d   cir cu it d es i g n .   T h e   r est   of   o u r   p a p er   is   o r g a n ized   as   f o llo w s .   I n   Sect io n   2 ,   d escr ip tio n   of   t he   n e w   c h a o tic  s y s te m   w it h   li n e   of   eq u ilib r ia   is   p r esen t ed .   I n   ad d itio n ,   th e  d y n a m ics  p r o p er ties   o f   th e  n e w   ch ao tic  s y s te m   ar e   in v e s ti g ated .   Stab ilit y   a n al y s i s   o f   th e  s y s te m   i s   p r esen ted   in   Sectio n   3 .   So m e  d ef in i tio n s   an d   th eo r e m s   o f   p ass iv e  co n tr o l  ar e  p r esen ted   in   Sectio n   4   an d   co n tr o l  o f   th i s   ch ao tic  s y s te m   u s i n g   p ass iv e  co n tr o l  is   d escr ib ed   in   s ec tio n   5 .   I n   Sect io n   6 ,   a  n e w   elec tr o n ic   i m p le m en tatio n   o f   t h e  n e w   c h ao tic  s y s te m   is   d escr ib ed   an d   ex a m in ed   i n   Mu ltiS I M.   F i n all y ,   co n clu s io n s   ar e   d r a w n   in   Sectio n   7 .       2.   DYNA M I CAL ANA L YS I S  O F   A  NE W  CH AO T I C  SYS T E M   WI T H   L I NE   OF   E Q U I L I B R I A   I n   th i s   p ar t,  in s p ir ed   b y   th e   m et h o d   an d   s tr u ct u r e  p r o p o s ed   in   [ 1 9 ] ,   w e  p r ese n t  a  n e w   c h ao tic     s y s te m   a s :     2 , | | | | , | | , x y z y x x y y z a x b y                     ( 1 )     w h er e  ,, x y z ar e  s tate  v ar iab les  a   an d   b   ar e  p o s itiv e  s y s te m   p ar a m eter s .   Her e  th e  p ar a m eter     is   a  co n tr o l  p ar am eter   to   co n tr o l th e  a m p li tu d e  an d   f r eq u e n c y   o f   all  v ar iab les.   T h e   n e w   c h ao tic  s y s te m   ( 1 )   ex h ib its   c h ao tic   b eh a v io r   as  s h o w n   i n   Fi g u r e  1     1 . 6 , 0 . 8 , ab                    ( 2 )     an d   w ith   t h e   i n itial   co n d it io n s     (0 ) 0 . 2 , (0 ) 0 . 2 , (0 ) 0 . 2 . x y z               ( 3 )     T h e  f o u r t h   o r d er   R u n g e – K u t ta  m e th o d   i s   u s ed   f o r   e m p l o y i n g   t h e   n u m er ical  s i m u la ti o n s .   Mo r eo v er   t h e  L y ap u n o v   ex p o n e n t s   o f   t h e  n e w   s y s te m   ( 1 )   ar e  ca lcu la ted   u s in g   W o l f   alg o r it h m   [ 4 2 ] .     1 2 3 0 . 1 1 0 2 6 , 0 , - 1 . 6 6 1 0 3 L E L E L E               ( 4 )     As  s ee n   i n   Fi g u r e  2   ( a) .   A   p o s itiv e   L y ap u n o v   ex p o n e n t   r ev e als   th e   p r esen ce   of   c h ao tic   s y s te m .   Si m u latio n   i s   r u n   f o r   5 0 . 0 0 0   s ec o n d s .     T h e  Kap lan - Yo r k e  d i m en s io n   o f   th e  n e w   ch ao tic  s y s te m   ( 1 )   is   ca lcu la ted   as       0 6 6 . 2 | | 2 D 3 2 1 KY LE LE LE               ( 5 )     T h er ef o r e,   s y s te m   ( 1 )   is   r ea ll y   ch ao tic  w ith   f r ac tio n a l d i m e n s io n .     a.   Fix   a = 1 . 6   an d   v ar y   b :   Fo r   th is   ca s e  b = 0. 46 ,  th e  L y ap u n o v   ex p o n e n ts   f o r   s y s te m   ( 1 )   ar e:  LE 1 = 0 . 0 2 3 0 ,   LE 2 = - 0 . 0 1 6 9 ,   LE 3 = - 2 . 4 4 5 8 .   It   is   clea r   th at  ( 1 )   h as  ch ao tic   attr ac to r s   f o r   b ≥ 0. 46 .   Fo r   b   =  0 . 4 5 ,   th e  L y ap u n o v   ex p o n e n t s   f o r   s y s te m   ( 1 )   ar e:  LE 1 = 0 . 0 2 2 3 ,   LE 2 = - 0 . 0 2 8 4 ,   LE 3 = - 2 . 4 8 4 7 .   T h u s ,   p er io d ic  b eh av io r   ca n   b e  s ee n   i n   t h e   s y s te m   f o r   b   <  0 . 46 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   n ew ch a o tic  s ystem  w ith   lin e  o f e q u ilib r ia :   d yn a mics,  p a s s ive  co n tr o l a n d   circu it d esig n   ( A ce n g   S a mb a s )   2367   b.   Fix   b = 0 . 8   an d   v ar y   a   Fo r   a = 0 . 1 ,   th e  L y ap u n o v   e x p o n en t s   f o r   s y s te m   ( 1 )   ar e:  LE 1 = 0 . 0 0 6 3 ,   LE 2 = - 0 . 0 0 5 3 ,   LE 3 = - 0 . 1 0 7 2 .   It   is   clea r   th at  ( 1 )   h as   ch ao tic  a ttra cto r s   f o r   a ≥ 0. 1   an d   f o r   a = 0 . 0 9 ,   th e  L y ap u n o v   e x p o n en t s   f o r   s y s te m   ( 1 )   ar e:   LE 1 = 0 . 0 0 4 8 ,   LE 2 = - 0 . 0 0 7 8 ,   LE 3 = - 0 . 1 0 4 8 .   T h u s ,   p er io d ic  b eh av io r   ca n   b e  s ee n   i n   th e  s y s te m   f o r   a < 0. 09 .   T h e  b if u r ca tio n   d iag r a m   a n d   L y ap u n o v   ex p o n e n t  s p ec tr u m   o f   n e w   ch ao tic  s y s te m   ( 1 )   f o r   a= 1 . 6 ,   b= 0 . 8   an d   in itia l   co n d itio n s   x ( 0 )   =   0 . 2 ,   y ( 0 )   =   0 . 2 ,   z( 0)   =   0 . 2   ar e  p lo tted   in   Fig u r es  2 ( b )   a n d   2 ( c) ,   r esp ec tiv el y .   As  s h o w n   i n   Fi g u r es  2 ( b )   an d   2 ( c) ,   th e  s y s te m   ( 1 )   h as  p er io d ic  b eh av io r   o r   c h ao tic  b eh a v io r   b y   v ar y i n g   th e   v al u e  o f   th e  p ar a m eter   b .   W h en   th e  v al u e  o f   b < 0 . 4 6 ,   s y s te m   ( 1 )   ex h ib its   p er io d ic  s tate  an d   w h en   b≥ 0 . 4 6 ,   th e  s y s te m   ( 1 )   s h o w s   c o m p lex   b e h av io r .   I n   ad d itio n ,   th e  P o in ca r e ́   m ap   o f   th e  s y s te m   ( 1 )   in   Fig u r e  2 ( d )   also   r efl ec ts   p r o p e r ties   o f   ch ao s .           ( a)     ( b )         ( c)   ( d )     Fig u r e  1 .   Nu m er ical  s i m u latio n   r esu lts   u s i n g   M A T L A B ,   f o r   a = 1 . 6   an d   b = 0. 8,   in   ( a)   x - y   p lan e,   ( b )   y - z   p lan e,   ( c)   x - z   p lan e   an d   ( d )   x - y - z   p lan e           ( a)   ( b )     Fig u r e  2   C o m p lex   a n al y s i s   o f   n e w   ch ao tic  s y s te m   ( 1 )   u s in g   MA T L A B   f o r   a   =  1 . 6     ( a)   T h e  L y ap u n o v   ex p o n e n ts   o f   th e  n e w   s y s te m   ( 1 )   ( b )   B if u r ca tio n   d iag r a m   o f   th e  n e w   c h a o tic  s y s te m   ( 1 )   w it h   b   as v ar y i n g   p ar a m e ter   - 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 - 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 S i g n a l   x S i g n a l   y P h a s e   S p a c e   o f   t h e   n e w   c h a o t i c   s y s t e m - 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 - 1 2 - 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 S i g n a l   y S i g n a l   z P h a s e   S p a c e   o f   t h e   n e w   c h a o t i c   s y s t e m - 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 - 1 2 - 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 S i g n a l   x S i g n a l   z P h a s e   S p a c e   o f   t h e   n e w   c h a o t i c   s y s t e m - 1 5 - 1 0 -5 0 5 - 1 0 -5 0 5 10 - 1 0 -5 0 5 10 s i g n a l   z P h a s e   S p a c e   o f   t h e   o f   t h e   3 D   n e w   c h a o t i c   s y s t e m s i g n a l   y s i g n a l   x 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 - 2 5 - 2 0 - 1 5 - 1 0 -5 0 5 b z Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   4 ,  A u g u s t 2 0 1 9   :   2 3 6 5   -   2376   2368       ( c)   ( d )     Fig u r e  2   C o m p lex   a n al y s i s   o f   n e w   ch ao tic  s y s te m   ( 1 )   u s in g   MA T L A B   f o r   a   =  1 . 6     ( c)   L y ap u n o v   s p ec tr u m   o f   s y s t e m   ( 1 )   w h en   v ar y i n g   th e  p ar am eter   b  ( d )   P o in ca r e  m ap   o f   s y s te m   ( 1 )       3.   E Q UI L I B RIUM   AND  ST A B I L I T Y   T h e  eq u ilib r iu m   p o in ts   o f   t h e  n e w   ch ao tic  s y s te m   ( 1 )   ar e  o b tain ed   b y   s o lv i n g   t h e   f o llo w in g     s y s te m .     2 | | 0 | | | | 0 0 by x a y y x x yz                   ( 6 )     S y s te m   ( 1 )   h as  a  lin e  eq u i lib r iu m   ( 0 , 0 , ) z Ez   an d   f o u r   n o n tr iv ia l  f ix ed   p o in ts   w h ich   ar e  ( ± , ± , 0 )   an d   ( ± , ∓ , 0 ) .  T h e  J ac o b ian   m a tr ix   o f   t h e  s y s te m   ( 1 )   is   g i v en   b y     0 * * 2 ) ( * 0 )) ( * | (| ) ( * | | 0 y b x s i g n a y s i g n y y x s i g n x x y z J             ( 7 )     T h e  ch ar ac ter is ti c  eq u atio n   ca n   b e  w r itte n   as     32 22 * ( x ) * ( x ) 2 2 ( x ) 0 x x s i g n z x a y x z s i g n b y x a x y b x y a y x s i g n       ( 8 )     I t is cle ar   th at   t h e  eig e n v a lu e s   f o r   s y s te m   ( 1 )   at  th e  li n e  eq u il ib r iu m z E ar e   λ 1   =  λ 2   =  λ 3   = 0 .   S y s te m   ( 1 )   h as  f o u r   eq u ilib r iu m   p o in ts   at  E 1, 2  ( ± 2 ,   ± 2 ,   0 ) ,   E 3 , 4  ( ∓ 2 ,   ∓ 2 ,   0 )   w it h   a= 1 . 6   an d   b = 0 . 8 .   T h e   eig en v al u es   at  E 1   ar e     i 48 04 6 . 1 55 74 4 . 0 , 11 48 8 . 5 3 , 2 1             ( 9 )     Her e  λ 1   is   an   n e g ati v e  r ea l  n u m b er ,   w h ile   λ 2  a n d   λ 3  ar e  a  p ai r   o f   co m p le x   co n j u g ate  ei g en v alu es  w it h   p o s itiv e  r ea l  p ar ts .   T h u s ,   th e   eq u ilib r iu m   E 1   is   a  s a d d le - fo cu s   p o in t,  w h ich   i s   u n s tab l e.   Fo r   th e  s ec o n d   eq u ilib r iu m   E 2   ( - 2 ,  - 2 ,   0 ) ,   th e  eig en v al u es  ar e  id en tical  to   th o s e  o f   E 1 .   Si m ilar l y ,   f o r   th e  eq u ilib r iu m   E 3, 4 ,   T h e  eig en v alu e s   ar e     1 2 , 3 - 4 . 9 3 0 5 6 , 0 . 4 6 5 2 7 9 2 . 7 5 1 6 7 i              ( 10 )     w h ic h   also   ar e  u n s tab le.       -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 z ( n ) z ( n + 1 ) P o i n c a r e   M a p   a n a l y s i s   f o r   a   n e w   c h a o t i c   s y s t e m Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   n ew ch a o tic  s ystem  w ith   lin e  o f e q u ilib r ia :   d yn a mics,  p a s s ive  co n tr o l a n d   circu it d esig n   ( A ce n g   S a mb a s )   2369   4.   T H E   T H E O RY  O F   P ASS I V E   CO NT RO L   C o n s id er   th e  f o llo w i n g   d i f f er en tial :     ̇ = ( ) + ( ) , = ( ) ,                                       ( 1 1 )     w h er e  ∈ ℝ   is   s ta te  v ar iab le,   Λ ( )      Υ ( )   ar e  th e  s m o o t h   v ec to r   f ield s ,   Θ ∈ ℝ   is   th e  co n tr o l  f u n ctio n ,   >   an d   Δ ( )   is   a  s m o o t h   m ap p in g .   Def i n itio n   1   [ 2 6 ,   4 3 ]   I f   th e  m atr i x   Υ Δ ( 0 ) = Δ  Υ ( )   is   n o n s i n g u lar ,   s y s te m   ( 1 1 )   is   s aid   to   h av e  r elativ e  d eg r ee   [ 1 ,   1 ,   . . . ,   1 ]   at  = 0   .   Def i n itio n   2   [ 2 6 ,   4 3 ]   Sy s te m   ( 1 1 )  is   s aid   to   b e  C r - p ass i v e  if   th er e  ex i s ts   a  C r   - p o s iti v e  r ea l  v alu e d   f u n ctio n   ( ) , ( 0 ) = 0 ,   ca lled   s to r ag e  f u n ctio n ,   s u c h   th at  ∀     ≥   0 ,   th e  f o llo w i n g   d is s ip atio n   in eq u alit y   h o ld s :       ( ) − ( 0 ) ≤ ∫ ( ) 0 ( )  .               ( 1 2 )     T h e  p ar am etr ic  v er s io n   o f   t h e  n o r m al  f o r m   o f   s y s te m   ( 1 1 )   ca n   b e  w r itte n   as  f o llo w s :     ̇ = 0 ( ) + ( , ) , ̇ = ( , ) + ( , ) ,                                                                             (1 3 )     w h er e  a  n e w   co o r d in ate  o f   t h e  s y s te m   ( 1 3 )   is   ( , ) ,   lo ca ll y   d ef i n ed   in   t h e  n ei g h b o r h o o d   o f   th e   o r ig in ,   ∈ ℝ − m   an d   ( , )   is   n o n s in g u lar   f o r   all  ( , )   in   th e  n ei g h b o r h o o d   o f   th e  o r ig in   [ 2 6 ,   4 3 ] .   R e m ar k   1   Setti n g   = 0   in   s y s te m   ( 1 3 ) ,   y ield s   th e  ze r o   d y n a m ic  s y s te m :       ̇ = 0 ( ) ,                                                                                              (1 4 )   w h er e  th e  s tab ilit y   o f   ze r o   d y n a m ics i s   a  n ec e s s ar y   co n d itio n   f o r   p ass iv i t y   co n tr o l d esi g n .   Def i n itio n   3   [ 2 6 ,   4 3 ]   Su p p o s e  Υ Δ ( 0 )   is   n o n s i n g u lar ,   th e n   s y s te m   ( 1 1 )   is   s aid   to   b e  m i n i m u m   p h a s e  if   its   ze r o   d y n a m ics   is   a s y m p t o ticall y   s tab le.   I n   o t h er   w o r d s ,   th er e  ex is ts   t h e  f u n ctio n   ( )   ( ca lled   L y ap u n o v   f u n ctio n   o f   ₀ ( ) )   w h ic h   i s   p o s itiv e - d ef i n ite  a n d   d if f er en tiab le  i n     s u c h   th a t:      ( )  0 ( ) ≤ 0 ,                     ( 1 5 )     ∀     in   a  n eig h b o r h o o d   o f   = 0 .   T h eo r em   1   [ 2 6 ,   4 4 ]   I f   th e  s y s te m   ( 1 1 )   is   a  m i n i m u m   p h ase  s y s te m ,   th e  s y s te m   ( 1 2 )   w i ll  b e  eq u iv ale n t  to   a   p ass i v e  s y s te m   a n d   as y m p to tical l y   s tab ili ze d   at  an   eq u ilib r iu m   p o in t  if   w e   let  t h e  lo ca l   f ee d b ac k   co n tr o l a s   f o llo w s :     = − 1 ( , ) ( − ( , ) − (  ( )  ( , ) ) −  + ) ,                                 (1 6 )     w h er e    is   a  p o s itiv e  r ea l  v alu e  an d     is   an   e x ter n al  s ig n al  v ec t o r   th at  is   co n n ec ted   w i th   t h e  r ef er en ce   i n p u t .   S y s te m   ( 1 7 )   af ter   co n tr o l a s   s h o w n   in   F ig u r e  3 .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   4 ,  A u g u s t 2 0 1 9   :   2 3 6 5   -   2376   2370       Fig u r e  3 .   S y s te m   ( 1 7 )   af ter   co n tr o l       5.   T H E   CO N T RO L   O F   SYS T E M   ( 1 )   USI NG   P AS SI V E   C O NT RO L   T o   c o n tr o l s y s te m   ( 1 ) ,   w e  ad d   th e  co n tr o l  f u n ct io n   to   t h e  f ir s t   eq u atio n .   So ,   th e  co n tr o ll er   s y s te m   ca n   b e  w r itte n   as :     ̇ 1 = 2 3 + ,                       ̇ 2 = 1 | 1 | − 2 | 2 | , ̇ 3 = | 1 | − 2 2 .                                                                                                                             (1 7 )     T h e  m ai n   g o al  is   to   d esig n   t h e   ap p r ec iate  co n tr o ller   f u n ctio n     to   s tab ilize  s y s te m   ( 1 7 ).   T h eo r em   2   I f   w e  ch o o s e  t h e  co n tr o ller   as f o llo w s     = − 2 3 − 2 | 1 | − 1 + ,                                                                    (1 8 )     w h er e    is   a  p o s itiv e  r ea l  co n s ta n t,  th e n   th e  ch ao tic  s y s te m   ( 1 7 )   w ill  b e  as y m p to t i ca ll y   s tab ilized   at   th e  f ix ed   p o in t.   P r o o f.  C lear l y ,   Υ Δ ( 0 ) = 1 ,   w h er e     Δ = 1 ,       Υ = [ 1 , 0 , 0 ] ,                   ( 1 9 )     s o   ac co r d in g   to   d ef in itio n   1 ,   s y s te m   ( 1 7 )   h av e  r elativ e  d eg r ee   [ 1 ,   1 ,   . . . ,   1 ] .   L et  1 = 2 , 2 = 3 , = 1 ,   th e  (1 7 )   ca n   b e  r ew r itte n   as :     ̇ 1 = | | − 1 | 1 | , ̇ 2 = | | − 1 2 ,       ̇ = 1 2 + .                                                                                           ( 20 )     C o m p ar in g   ( 20 )   b y   (1 3 )   o n e  h as     0 ( ) = [ − 1 | 1 |         − 1 2   ] , ( , ) = [ | |            ( ) ] ,         ( , ) = 1 2 ,                                                             ( , ) = 1 .                                                                                                                                  ( 21 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   n ew ch a o tic  s ystem  w ith   lin e  o f e q u ilib r ia :   d yn a mics,  p a s s ive  co n tr o l a n d   circu it d esig n   ( A ce n g   S a mb a s )   2371   L et     ( ) = 1 2 1 2 ,                    ( 2 2 )     w it h   ( 0 ) = 0 ,   th en   w e  h av e     ̇ ( ) =  ( )  ̇ =  ( )  0 ( )                           = [ 1         0 ] [ − 1 | 1 |         − 1 2   ] = − 1 2 | 1 | ≤ 0 .                                                                   ( 2 3 )     R eg ar d in g   to   d ef i n itio n   3 ,   s y s t e m   ( 1 7 )   is   m in i m u m   p h ase  s y s te m .   C o n s eq u e n tl y ,   b ased   o n   t h eo r e m   1 ,   o n e  ca n   d esig n   th e  co n tr o ller   as     = − 1 2 − 1 | | − + ,                 ( 2 4 )     N a m el y     = − 2 3 − 2 | 1 | − 1 + .                 ( 2 5 )     R e m ar k   [ 2 6 ]   t h e  attr ac to r s   o f   th e  n e w   ch ao tic  s y s te m   ( 1 7 )   af ter   co n tr o l  ar e  co n v er ted   to   n o n - tr i v ial   eq u ilib r iu m   E 1   p o in t  if   β = 2γ + 2 | 2 | .   Fo r   th e  n u m er ical  s i m u latio n ,   th e  f o u r th - o r d er   R u n g e - K u tta  m e th o d   is   u s ed   to   s o lv e  th e  s y s te m   o f   d if f er en tial   (1 7 ) ,   w i th   s tep   s ize  eq u al  0 . 0 0 1   in   n u m er ical  s i m u latio n s .   B y   tak i n g   γ   eq u als  to   0 . 2   an d   th e  in itial  co n d itio n s   o f   (1 7 )   ar e  u 1 ( 0 ) = 1 , u 2 ( 0 ) = 3 , u 3 = 0 . 4 .   A s   e x p ec ted ,   o n e  ca n   o b s er v e  th at  th e  tr aj ec to r ies  o f   th e  n e w   ch ao tic  s y s te m   ( 1 7 )   as y m p to tica ll y   s tab ilized   at  eq u ilib r iu m   p o in t  E 1   as illu s tr ated   in   F ig u r e  3 .       6.   CIRCU I T   D E S I G N  O F   T H E   NE W  CH AO T I C  SYS T E M   C h ao s   p h e n o m e n o n   is   w id el y   ap p lied   in   t h e  f ield   o f   e n g i n ee r in g .   Sp ec if ica ll y ,   elec tr o n i c  cir cu it s   [ 4 4 - 50 ] ,   s ec u r e  co m m u n icati o n   [ 51 ] ,   r o b o tic  [ 52 ] ,   r an d o m   b its   g e n er ato r   [ 53 ] ,  an d   v o ice  en cr y p tio n   [ 5 4 ].   I n   t h is   s ec tio n ,   w e   d escr ib e  a   p o s s ib le   cir cu it   t o   i m p le m en t   n e w   c h ao tic  s y s te m   w i th   li n e   of   eq u il ib r ia   ( 1 )   as   p r esen ted   in   Fi g u r e  4 .   T h e   cir cu it  co n s i s ts   o f   t w e n t y - o n e  r esis to r s ,   t h r ee   ca p ac ito r s ,   th r ee   i n te g r ato r s   ( U1 A - U3 A ) ,   th r ee   in v er ti n g   a m p li fi er s   ( U4 A – U6 A ) ,   f o u r   o p er atio n al  am p li f ier s   ( U7 A - U1 0 A )   f o r   ab s o lu te   n o n li n ea r it y ,   w h ic h   ar e   i m p le m en ted   w i th   t h e   o p er atio n al   a m p li fi er   T L 0 8 2 C D.   T h e  cir c u it  h a s   t w o   d io d es  ( D1   ( 1 N4 1 4 8 ) ,   D2 ( 1 N4 1 4 8 ) ,   w h ic h   p r o v id e  t h e  s ig n al   | Y | ,   t w o   d io d es  ( D3   ( 1 N4 1 4 8 ) ,   D4 ( 1 N4 1 4 8 )   w h ic h   p r o d u ce   th e  s ig n al  | X |   a n d   f o u r   m u lt ip lier s   ( AD6 3 3 J N) .   In   th i s   s t u d y ,   a   li n ea r   s ca li n g   is   co n s id er ed   as   f o llo w s :     2 2 | | | | 2 | | 2 2 by x a z y y x x y yz x                   ( 2 6 )     B y   ap p l y i n g   Kir ch h o f f ’ s   cir c u it  la w s ,   th e  co r r esp o n d in g   cir c u ital  eq u at io n s   o f   th e  d esi g n e d   cir cu it  ca n   b e  w r itte n   as     2 5 3 4 3 3 2 2 2 1 1 1 | | 1 | | 1 | | 1 1 y R C x R C z y y R C x x R C y yz R C x               (2 7 )     W e  ch o o s e  th e  v alu e s   o f   th e  c ir cu ital  ele m en t s   as:  R 1  =  R 2  =  R 3  =  2 0   k Ω ,   R 4  =  R 5  =  2 5   k Ω ,   R 6  =  R 7  =  R 8   =  R 9   =  R 10   =  R 11   =  R 12   =  R 13   =  R 14   =  R 15   =  R 16   =  R 17   =  R 18   =  R 19   =  R 20   =  R 21   =  1 0   k Ω ,   C 1   =  C 2   =  C 3  =  1 0   n F   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   4 ,  A u g u s t 2 0 1 9   :   2 3 6 5   -   2376   2372   In   s y s te m   (2 7 ),   th e   v ar iab les  x ,   y   an d   z   co r r esp o n d   to   th e   v o ltag es   in   t h e   o u tp u t s   of   th e   i n teg r ato r s   U1 A - U 3A .   T h e  s u p p lies   o f   a ll  ac ti v e  d ev ice s   ar e  ±15   v o lt .   T he   Mu lti SIM   p r o j ec tio n s   of   c h ao tic   attr ac to r s   w it h   l in e  eq u ilib r ia   ar e   d escr ib ed   in   Fig u r es  5   ( a - c) .  T h e  n u m er ical  s i m u latio n s   w i th   M AT L A B   s ee   F ig u r e   1   ar e  s i m ilar   w it h   t h e  cir cu ita l o n es   s ee   Fig u r e  5 .                 Fig u r e  4 .   Sch e m atic  o f   t h e  p r o p o s ed   n e w   c h ao tic  s y s te m   b y   u s i n g   Mu l tiS I M         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   n ew ch a o tic  s ystem  w ith   lin e  o f e q u ilib r ia :   d yn a mics,  p a s s ive  co n tr o l a n d   circu it d esig n   ( A ce n g   S a mb a s )   2373     ( a)       ( b )     ( c)     Fig u r es 5 .  T h e  p h ase  p o r tr aits   o f   n e w   c h ao tic  s y s te m   ( 1 )   o b s er v ed   o n   th e   o s cillo s co p e  in   d i f f er en t p lan e s   ( a)   x - y   p la n e,   ( b )   y - z  p lan e  a n d   ( c)   x - z  p lan e  b y   Mu l tiS I M       7.   CO NCLU SI O N   A   n e w   ch ao tic   s y s te m   w it h   lin e  o f   eq u i lib r ia  h a s   b ee n   i n v e s ti g ated .   T h e  p r o p o s ed   n e w   c h ao tic   s y s te m   h a s   r ich   d y n a m ics  a s   co n f ir m e d   b y   ei g e n v a lu e  s tr u ctu r e,   c h ao tic  attr ac to r s ,   L y ap u n o v   e x p o n e n ts ,   b if u r ca tio n   d iag r a m   a n d   P o in c ar é  m ap .   I n   ad d itio n ,   t h e  p o s s i b ilit y   o f   p as s i v e  co n tr o l  o f   a  n e w   c h ao tic  s y s te m   w it h   li n e  o f   eq u ilib r ia  h as  b ee n   an al y ze d   an d   co n f ir m ed .   Mo r eo v er ,   elec tr o n ic  c ir cu it  h as  b ee n   im p le m e n ted   an d   test ed   u s in g   th e   Mu ltiS I M  s o f t w ar e.   C o m p ar i s o n   o f   t h e  o s cil lo s co p e  o u tp u t   an d   n u m e r ica l  s i m u latio n s   u s i n g   M A T L A B ,   s h o w ed   g o o d   q u alitativ e  ag r ee m e n t  b et w e en   th e  ch ao tic  s y s te m   a n d   cir cu it  d esi g n .   F u r th er   an al y s es   li k e  en g i n ee r i n g   ap p l icatio n   o n   r o b o tic,   r an d o m   b it s   g e n er ato r   an d   s ec u r e  co m m u n icatio n   s y s te m   ar e   in ter esti n g   is s u e s   f o r   f u t u r e  wo r k .       ACK NO WL E D G E M E NT S     T h e  au th o r s   th a n k   t h e  Go v er n m e n t  o f   Ma la y s ia  f o r   f u n d i n g   t h i s   r esear ch   u n d er   th e  F u n d a m en tal  R esear ch   Gr an t  Sc h e m e  ( FR GS/1 /2 0 1 8 /I C T 0 3 /UNI SZA /0 2 /2 )   an d   also   Un iv er s iti  S u l tan   Z ain a l  A b id in ,   T er en g g an u ,   Ma la y s ia.       RE F E R E NC E S     [1 ]   G .   A .   L e o n o v ,   e t  a l. ,   “ Hid d e n   Os c il latio n s in   Dy n a m ic a l  S y ste m s , ”   T ra n s.  S y st.  Co n tr,   6 ,   5 4 - 6 7 ,   2 0 1 1 .   [2 ]   G .   A .   Leo n o v ,   e t  a l. ,   “ Hid d e n   A tt ra c to r  in   S m o o th   C h u a   S y ste m s , ”  Ph y sic a   D:  No n li n e a r  P h e n o me n a ,   v o l.   2 4 1 ,   1 4 8 2 - 1 4 8 6 ,   2 0 1 2 .   [3 ]   E.   N.  L o re n z ,   “ De term in isti c   No n p e rio d ic F lo w , ”  J o u rn a l  o f  t h e   a t mo sp h e ric   sc ien c e s ,   v o l.   2 0 ,   1 3 0 - 1 4 1 ,   1 9 6 3 .   [4 ]   O.  E.   Rö ss ler,  “ A n   Eq u a ti o n   f o r  Co n ti n u o u s C h a o s , ”  P h y sic s L e tt e rs   A ,   v o l.   5 7 ,   3 9 7 - 3 9 8 ,   1 9 7 6 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   4 ,  A u g u s t 2 0 1 9   :   2 3 6 5   -   2376   2374   [5 ]   J.  L ü   a n d   G .   Ch e n ,   “ A  Ne w  Ch a o ti c   A tt ra c to r  Co in e d , ”  In ter n a t io n a l  J o u rn a l  o f  Bi f u rc a ti o n   a n d   c h a o s ,   v o l.   1 2 ,   p p .   6 5 9 - 6 6 1 ,   2 0 0 2 .   [6 ]   G .   Ch e n   a n d   T .   Ue ta,  “ Ye t  A n o th e r  Ch a o ti c   A tt ra c to r , ”  In ter n a ti o n a l  J o u rn a l  o f  Bi f u r c a ti o n   a n d   c h a o s ,   v o l.   9 ,     p p .   1 4 6 5 - 1 4 6 6 ,   1 9 9 9 .   [7 ]   A .   M .   Ru c k li d g e ,   “ Ch a o s  In   M o d e ls  o f   Do u b le  Co n v e c ti o n , ”  J o u rn a l  o f  F lu i d   M e c h a n ics ,   v o l.   2 3 7 ,   p p .   2 0 9 - 2 2 9 ,   1 9 9 2 .   [8 ]   J.  C.   S p ro tt ,   “ A   Ne w   Clas s o f   Ch a o ti c   Circu it , ”  Ph y sic s L e tt e rs   A ,   v o l.   2 6 6 ,   1 9 - 2 3 ,   2 0 0 0 .   [9 ]   S .   J a f a ri,   e t  a l. ,   “ El e m e n tar y   Qu a d ra ti c   Ch a o ti c   F l o w s  w it h   n o   Eq u il i b ria , ”  Ph y sic s  L e tt e rs   A ,   v o l.   3 7 7 ,     p p .   6 9 9 - 7 0 2 ,   2 0 1 3 .   [1 0 ]   X .   W a n g   a n d   G .   Ch e n ,   “ A   Ch a o ti c   S y ste m   w it h   On ly   On e   S ta b le  Eq u il ib r iu m , ”  Co mm u n ica ti o n s  in   No n li n e a r   S c ien c e   a n d   Nu me ric a l   S im u la t io n ,   v o l.   1 7 ,   p p .   1 2 6 4 - 1 2 7 2 ,   2 0 1 2 .   [1 1 ]   P .   Zh o u   a n d   F .   Ya n g ,   “ H y p e rc h a o s,  Ch a o s,  a n d   Ho rse sh o e   in   a   4 D  No n li n e a r  S y ste m   w it h   a n   In f i n it e   Nu m b e r  o f  Eq u il ib ri u m   P o in ts ,”   N o n l in e a r D y n a mic s ,   v o l.   7 6 ,   p p .   4 7 3 - 4 8 0 ,   2 0 1 4 .   [1 2 ]   N.  V .   K u z n e tso v ,   “ Hid d e n   At tr a c to rs   i n  F u n d a me n ta l  Pro b lem s  An d   E n g i n e e rin g   M o d e ls:  A  S h o rt   S u rv e y , ”   In   A ET A   2 0 1 5 :  Re c e n t  A d v a n c e s in   El e c tri c a l  E n g in e e rin g   a n d   Re l a ted   S c ien c e ,   p p .   1 3 - 25 ,   2 0 1 5 .   [1 3 ]   B.   R.   A n d riev sk y ,   e t  a l. ,   “ Hid d e n   Os c il la ti o n s  i n   Ai rc ra ft   Fl i g h t  C o n tro l  S y ste m  W it h   In p u t  S a tu ra ti on , ”   5 t h   IF A C   W o rk sh o p   o n   P e ri o d ic C o n tr o l  S y ste m s,  p p .   7 5 - 79,   2 0 1 3 .   [1 4 ]   G .   A .   L e o n o v ,   e t  a l. ,   “ Hid d e n   Os c il latio n s  i n   M a t h e m a ti c a l  M o d e l  Of   Drill in g   S y ste m   Ac tu a ted   B y   In d u c ti o n   M o to r   W it h   A   W o u n d   Ro t o r, ”   No n li n e a r Dy n a mic s ,   v o l .   7 7 ,   2 7 7 - 2 8 8 ,   2 0 1 4 .   [1 5 ]   G .   A .   Leo n o v ,   e t  a l. ,   “ Hid d e n   A tt ra c to r  A n d   Ho m o c li n ic Orb it   In   Lo re n z - L ik e   S y ste m   De s c rib in g   Co n v e c ti v e   F lu id   M o ti o n   I n   R o tatin g   Ca v it y , ”  Co mm u n ica ti o n s  in   No n li n e a r  S c ien c e   a n d   Nu me ric a l  S imu la ti o n ,   v o l.   2 8 ,   p p .   1 6 6 - 1 7 4 ,   2 0 1 5 .   [1 6 ]   Z.   T .   Zh u su b a li y e v   a n d   E.   M o se k il d e ,   “ M u lt ista b il it y   a n d   Hid d e n   A tt ra c to rs  In   A   M u lt il e v e l  Dc / Dc   Co n v e rter , ”  M a th e ma ti c s a n d   Co mp u ter s in   S i mu la ti o n ,   v o l.   1 0 9 ,   p p .   32 - 4 5 ,   2 0 1 5 .   [1 7 ]   S .   Ja fa ri  a n d   J.  C.   S p ro tt ,   “ S im p le  c h a o ti c   f lo w s  w it h   a   li n e   e q u il ib riu m , ”  Ch a o s,  S o li t o n s  &   Fra c ta l s ,   v o l.   5 7 ,     p p .   79 - 8 4 ,   2 0 1 3 .   [1 8 ]   C.   L i  a n d   J.  C.   S p ro tt ,   “ Ch a o ti c   F lo w s  w it h   A  S in g le  No n q u a d ra ti c   T e r m , ”  Ph y sic s   L e tt e rs   A ,   v o l.   3 7 8 ,     p p .   1 7 8 - 1 8 3 ,   2 0 1 4 .   [1 9 ]   C.   L i,   e t  a l. ,   “ Co n stru c ti n g   Ch a o ti c   S y ste m s  w it h   T o tal  Am p li tu d e   Co n tr o l , ”  I n ter n a ti o n a l  J o u rn a l   o f   Bi f u rc a ti o n   a n d   Ch a o s ,   v o l.   2 5 ,   1 5 3 0 0 2 5 ,   2 0 1 5 .   [2 0 ]   C.   L i,   e t  a l. ,   “ Bistab il it y   In   A   H y p e rc h a o ti c   S y ste m   W it h   a   L in e   Eq u il i b riu m , ”   J o u rn a l   o f   Exp e rime n ta l  a n d   T h e o re ti c a l  Ph y sic s ,   v o l.   1 1 8 ,   p p .   4 9 4 - 5 0 0 ,   2 0 1 4 .   [2 1 ]   Q.  L i,   e t  a l. ,   “ Hy p e rc h a o s  a n d   Ho rse sh o e   In   A   4 d   M e m ris ti v e   S y ste m   W it h   A   L in e   O f   Eq u il ib ria  A n d   It s   Im p le m e n tatio n ” .   I n tern a ti o n a l  J o u rn a l  o f   Circu it   T h e o ry   a n d   A p p li c a ti o n s,  v o l.   4 2 ,   p p .   1 1 7 2 - 1 1 8 8 ,   2 0 1 4 .     [2 2 ]   J.  P .   S i n g h   a n d   B.   K.  R o y ,   “ T h e   S im p les t  4 - D  Ch a o ti c   S y ste m   w it h   L in e   O f   Eq u il ib ria,  C h a o t ic  2 - T o ru s  a n d   3 - T o ru s Be h a v io u r , ”  No n li n e a r Dy n a mic s ,   v o l.   8 9 ,   p p .   1 - 1 8 ,   2 0 1 7 .   [2 3 ]   S .   V a id y a n a th a n ,   “ A   No v e l  3 - D  Je rk   Ch a o ti c   S y ste m   w it h   Th re e   Qu a d ra ti c   No n li n e a rit ies   A n d   Its   A d a p ti v e   Co n tr o l , ”  Arc h ive s o f  Co n tro l   S c i e n c e s ,   v o l.   2 6 ,   p p .   19 - 4 7 ,   2 0 1 6 .   [2 4 ]   S .   V a id y a n a th a n   a n d   S .   S a m p a th ,   “ A n ti - S y n c h ro n iza ti o n   Of   F o u r - W in g   Ch a o t ic  S y ste m s  V ia  S li d i n g   M o d e   Co n tr o l , ”  I n ter n a t io n a l  J o u rn a l  o f  Au t o ma ti o n   a n d   C o mp u ti n g ,   v o l .   9 ,   p p .   2 7 4 - 2 7 9 ,   2 0 1 2 .   [2 5 ]   N.  Big d e li   a n d   H.  A .   Zi a z i,   “ De sig n   o f   F ra c ti o n a l  Ro b u st  A d a p ti v e   In telli g e n t  Co n tro ll e r   F o r  Un c e rtain     F ra c ti o n a l - Ord e r  C h a o ti c   S y ste m s  Ba se d   On   Ac ti v e   Co n tro l   T e c h n iq u e , ”  No n li n e a r  Dy n a mic s ,   v o l.   8 7 ,     p p .   1 7 0 3 - 1 7 1 9 ,   2 0 1 7 .   [2 6 ]   G .   M .   M a h m o u d ,   e t  a l. ,   “ P a ss iv e   Co n tr o l  o f   n - Dim e n sio n a l  C h a o ti c   Co m p lex   No n l in e a r  S y ste m s , ”  J o u rn a l  o f   Vi b ra ti o n   a n d   C o n tro l ,   v o l.   1 9 ,   p p .   1 0 6 1 - 1 0 7 1 ,   2 0 1 3 .   [2 7 ]   L .   M .   P e c o ra   a n d   T .   L .   Ca rro ll , ”   S y n c h ro n iza ti o n   i n   Ch a o ti c   S y ste m s , ”  Ph y sic a l  Rev iew   L e tt e rs ,   v o l.   6 4 ,     p p .   8 2 1 - 8 2 5 ,   1 9 9 0 .   [2 8 ]   X .   L i  a n d   S .   S o n g ,   “ S tab il iza ti o n   o f   De la y   S y ste m s:  D e la y - De p e n d e n t  Im p u lsiv e   Co n tro l , ”  IEE E  T ra n sa c ti o n s  o n   Au to m a ti c   Co n tro l ,   v o l.   6 2 ,   p p .   4 0 6 - 4 1 1 ,   2 0 1 7 .   [2 9 ]   Y.  L i,   e t   a l. ,   “ A d a p ti v e   F u z z y   Co n tro l  De sig n   f o r  S to c h a stic  No n li n e a r  S w it c h e d   S y ste m s   W it h   A rb it ra ry   S w it c h in g s A n d   Un m o d e led   Dy n a m ics , ”  IEE E  T ra n sa c t io n s   On   C y b e rn e ti c s ,   v o l.   4 7 ,   p p .   4 0 3 - 4 1 4 ,   2 0 1 7 .   [3 0 ]   Q.  W e i,   e t  a l. ,   “ O ff - P o l icy   Irl  Op ti m a l  T ra c k in g   Co n tro l  f o r  Co n ti n u o u s - T im e   Ch a o ti c   S y ste m s , ”  S tu d ies   in   S y ste ms ,   De c isio n   a n d   C o n tro l ,   v o l.   1 0 3 ,   p p .   2 0 1 - 2 1 4 ,   2 0 1 8 .   [3 1 ]   T .   H.  Ch ien   a n d   Y.  C.   Ch e n ,   “ A n   On - L in e   T ra c k e r  f o r  a   S to c h a sti c   Ch a o ti c   S y ste m   Us in g   Ob se rv e r/Ka lma n   F il ter   Id e n ti f ica ti o n   C o m b in e d   w it h   Dig it a l  Re d e sig n   M e th o d , ”  Al g o rith m s ,   v o l.   1 0 ,   p p .   25 - 3 6 ,   2 0 1 7 .   [3 2 ]   G .   M .   M a h m o u d ,   e t  a l. ,   “ Ch a o s  Co n tr o l  o f   In teg e r  a n d   F ra c ti o n a l  Ord e rs  o f   Ch a o ti c   B u rk e – S h a w   S y ste m   Us in g   T i m e   De l a y e d   F e e d b a c k   Co n tro l , ”  Ch a o s,   S o li t o n s &   Fra c ta ls ,   v o l .   1 0 4 ,   p p .   6 8 0 - 6 9 2 ,   2 0 1 7 .   [3 3 ]   G .   M .   M a h m o u d ,   e t  a l. ,   “ Co n t ro ll in g   Hy p e rc h a o ti c   Co m p lex   S y st e m s  w it h   Un k n o w n   P a ra m e ters   Ba se d   On   A d a p ti v e   P a ss iv e   M e th o d , ”  C h i n e se   Ph y sic s B ,   v o l.   2 2 ,   0 6 0 5 0 8 ,   2 0 1 3 .   [3 4 ]   W .   L i,   e t  a l. ,   “ S tab le  Kin e m a ti c   T e leo p e ra ti o n   Of   W h e e led   M o b il e   Ro b o ts  W it h   S li p p a g e   Us in g   T i m e - Do m a in   P a ss iv it y   Co n tro l , ”  M e c h a tr o n ics ,   v o l.   3 9 ,   p p .   1 9 6 - 2 0 3 ,   2 0 1 6 .   [3 5 ]   L .   X ie,  “ P a ss iv it y   A n a l y sis  a n d   P a ss if ica ti o n   F o r  Un c e rtain   S ig n a l  P r o c e ss in g   S y ste m s , ”  IEE E  T ra n sa c ti o n s  o n   S ig n a l   Pro c e ss in g ,   v o l.   4 6 ,   p p .   2 3 9 4 - 2 4 0 3 ,   1 9 9 8 .   [3 6 ]   Q.  Do n g - li a n ,   e t  a l . ,   “ P a ss iv e   Co n tr o l  f   P e rm a n e n t  M a g n e t  S y n c h ro n o u s  M o t o r  Ch a o ti c   S y ste m s , ”  J o u rn a l  o f   Z h e ji a n g   Un ive rs it y - S c ien c e   A ,   v o l.   6 ,   p p .   7 2 8 - 7 3 2 ,   2 0 0 5 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.