I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   9 ,   No .   4 A u g u s t   201 9 ,   p p .   2 9 1 0 ~2 9 1 7   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v9 i 4 . p p 2 9 1 0 - 2917          2910       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s co r e . co m/ jo u r n a ls /in d ex . p h p / I JE C E   s tatisti ca a ppr o a ch t o   s pectr u m   s ensing   u sing   b a y es  f a cto r and p - v a lues         Dee pa   N.   Reddy 1 Y.   Ra v ind er 2     1 De p a rtme n o f   El e c tr o n ics   a n d   T e lec o m m u n ica ti o n   E n g in e e rin g ,   J S P M ’s Raja rsh ri  S h a h u   Co ll e g e   o f   En g in e e rin g ,   S a v it r ib a P h u le  P u n e   U n iv e rsity ,   In d ia   1 De p a rtme n o f   El e c tr o n ics   a n d   C o m m u n ica ti o n   E n g in e e rin g ,   B. M . S   In stit u te o f   T e c h n o lo g y   a n d   M a n a g e m e n t,   In d ia   2 De p a rtme n o f   El e c tro n ics   a n d   T e lec o m m u n ica ti o n   E n g in e e rin g ,   P u n e   In st it u te  o f   Co m p u ter T e c h n o lo g y ,   S a v it rib a P h u le  P u n e   Un iv e rsity ,   In d ia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Sep   10 ,   2 0 1 8   R ev i s ed   A p r   4 ,   2 0 1 9   A cc ep ted   A p r   9 ,   2 0 1 9       T h e   se n sin g   m e th o d w it h   m u lt ip le  re c e iv e   a n ten n a in   th e   C o g n it iv e   Ra d io   (CR)  d e v ice ,   p ro v id e   a   p ro m isin g   so lu ti o n   f o re d u c in g   th e   e rro ra tes   in   th e   d e tec ti o n   o f   th e   P rim a r y   Us e (P U)   sig n a l.   T h e   re c e iv e d   S ig n a l   to   No ise   Ra ti o   a th e   CR  re c e iv e is  e n h a n c e d   u sin g   th e   d iv e rsit y   c o m b i n e rs.  T h is  p a p e r   p ro p o se s a   sta ti stica a p p ro a c h   b a se d   o n   m in im u m   Ba y e f a c to rs an d   p - V a lu e a d iv e rsit y   c o m b in e rs  in   th e   sp e c tru m   se n sin g   sc e n a rio .   T h e   e ffe c o th e se   sta ti stica m e a su re in   s e n sin g   th e   sp e c tru m   in   a   CR  e n v iro n m e n is   in v e stig a ted .   T h ro u g h   e x ten siv e   M o n te Carlo   sim u latio n s it   is sh o w n   th a th is   n o v e sta ti stica a p p ro a c h   b a se d   o n   Ba y e fa c to rs  p ro v id e a   p ro m isin g   so lu ti o n   to   c o m b in e   t h e   tes sta ti st ics   f ro m   m u lt ip le rec e iv e a n ten n a s a n d   c a n   b e   u se d   a a n   a lt e rn a ti v e   to   t h e   c o n v e n ti o n a h y p o t h e sis  tes ti n g   m e th o d f o r   sp e c tru m   se n sin g .   T h e   Ba y e sia n   re su lt p ro v id e   m o re   a c c u ra te  re s u lt w h e m e a su rin g   th e   stre n g th   o f   th e   e v id e n c e   a g a in st t h e   h y p o th e sis.   K ey w o r d s :   B ay e s   f ac to r s     Div er s it y   c o m b i n er s   Me ta - a n al y tic  ap p r o ac h   P r o b ab ilit y   o f   d etec tio n   p - v al u e   Sp ec tr u m   s en s i n g   Co p y rig h ©   2 0 1 9   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Dee p N.   R ed d y ,     Dep ar t m en t o f   E lectr o n ics a n d   T elec o m m u n icatio n     E n g i n ee r in g ,   J SP M’ s   R aj ar s h r i S h ah u   C o lle g o f   E n g i n ee r in g ,     Sav itrib ai  P h u le  P u n U n i v er s it y ,   P u n e - 411046,   I n d ia .   E m ail:  r ed d y d ee p a2 6 8 0 @ g m a il.c o m       1.   I NT RO D UCT I O N   Sp ec tr u m   s e n s in g   i n   C o g n i tiv R ad io   ( C R )   i s   a   b in ar y   h y p o th esi s   te s ti n g   p r o b le m .   I is   th d ec is io n   o n   t h Si g n al  ab s e n t,   n o is e - o n l y   ( n u l l)   h y p o th e s is   d en o ted   b y   H 0   an d   th e   s i g n al - p r esen t   ( alte r n ate)   h y p o th e s is   d en o ted   b y   H 1 .   E n er g y   Dete ct io n   ( E D)   is   v er y   s i m p le  tec h n iq u t h at  d ec id es  o n   h y p o th esis   H 0   o r   H 1   u s i n g   th av er ag e n er g y   in   t h o b s er v atio n s   a s   th d ec is io n   s ta tis tic.   T h th r esh o ld   ch o s en   f o r   E is   d ep en d en o n   th n o is p o w er .   T h is   m ak e s   th p er f o r m an ce   o f   t h E D   s en s iti v to   u n ce r tain t y   i n   t h n o is v ar ian ce ,   esp ec iall y   at   lo w   Si g n al  to   No is R at io   ( SNR )   [ 1 ] .   Div er s it y   tech n iq u e s   ar e m p lo y ed   to   m itig ate  th e f f ec t o f   s m al s ca le  f ad in g   a n d   h e n ce   p r o v id i m p r o v e m e n i n   t h e   r ec eiv ed   SNR   to   ac h ie v h i g h er   p r o b ab ilit y   o f   d etec tio n   [ 2 3] .   Fro m   th s t u d ies,  t h m ax i m a r atio   co m b i n i n g   ( M R C ) ,   eq u al  g ai n   co m b i n i n g   ( E G C ) ,   an d   s elec tio n   co m b i n i n g   ( SC )   ar t h m o s co m m o n l y   u s ed   d iv er s it y   co m b in er s .   T h ese  d iv er s it y   co m b i n in g   tec h n iq u e s   n o   dou b t p r o v id i m p r o v e m e n t i n   th r ec ei v SN R   b u t t h e y   d e m an d   t h lear n i n g   o f   t h c h an n el  s tate  i n f o r m atio n   ( C SI) .   Hen ce   th is   i n cr ea s es t h i m p le m e n tat io n   co m p le x it y   [ 3 - 7 ] .   Sev er al  d iv er s it y   co m b i n in g   tech n iq u es  w er p r o p o s ed   in   th liter at u r w h ic h   w o u l d   m it i g ate   th i m p ac o f   t h c h an n el  e s ti m atio n   er r o r   o n   t h p er f o r m an ce   o f   d i v er s it y   r ec ei v er s .   T h n o n - co h er e n co m b i n i n g   s c h e m es  w h ic h   d o   n o n ee d   t h C SI  ar i n v esti g a ted   in   [ 1 7 ] .   Un d er   th i s   ca te g o r y   t h s q u ar la Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   s ta tis tica l a p p r o a ch   to   s p ec t r u s en s in g   u s in g   b a ye s   fa cto r   a n d   p - v a lu es ( Dee p a   N .   R ed d y)   2911   co m b i n er   ( S L C )   a n d   s q u ar e   la w   s elec t io n   ( S L S)  ar s tu d ied   w h ic h   p r o d u ce s   th e   d ec i s io n   s tat i s tic  u s in g   th o u tp u ts   o f   t h s q u ar e - la w   d ev ices  av a ilab le  in   ea c h   o f   t h d iv er s it y   b r an c h .   I n   [ 8 ]   th u s o f   e v o lu tio n ar y   alg o r ith m s   o n   r ec ei v er   d iv er s it y   b ased   o n   t h i m p er ialis t ic   co m p etiti v al g o r ith m   ( I C A )   is   p r o p o s ed .   I is   s h o w n   th at  t h i s   co m b in er   d o es   n o t d e m an d   t h C SI,   an d   it p r o v id es s u p er io r   p er f o r m an ce   c o m p ar ed   to   MRC .   T h Go o d n ess   o f   f i tes b ase d   s en s in g   ( Go FT )   u s i n g   An d er s o n   Dar li n g   ( A D)   an d   J ar q u e   B er ( J B )   test s   c h ec k   f o r   t h d is tr ib u ti o n   o f   te s s ta tis t ic  u n d er   n u ll  h y p o t h es is   a n d   is   i n d ep en d en o f   t h n o is e   d is tr ib u tio n   [ 9 - 1 1 ] .   T h ese  s tatis tical  m eth o d s   w er p r i m ar il y   m ea n to   m ea s u r th s tr e n g th   o f   ev id en ce   f o r   d r a w in g   an   ac c u r ate  d ec is io n   in   h y p o t h esi s   test i n g   b ased   o n   s am p le.   T h u s o f   th e s s t atis tical  m eth o d s   i n   s p ec tr u m   s e n s i n g   is   i n v e s ti g at ed   in   p r ev io u s   s t u d ies  b u t h e   s tu d ies  d o   n o f o cu s   o n   r ec ei v er   d iv er s it y   u s i n g   m u ltip le  an te n n as a t t h C R   d ev ice.         I n   th i s   p ap er   t w o   b en ch m ar k s   co in ed   as  p - Val u a n d   Min i m u m   B a y es  f ac to r   ( MB F)  ar u s ed   i n   d ec is io n   m ak i n g   i n   h y p o th e s i s   test i n g .   T h f ir s m e tr ic,   p - Valu i s   v ie w ed   as  a n   i n d ex   o f   th “stre n g t h   o f   ev id en ce ”  a g ai n s H 0 ,   w it h   s m all  p   in d icati n g   a n   u n lik e l y   h y p o t h esi s   [ 1 2 ]   an d   i s   w id e l y   u s ed   i n   m ed ica l   r esear ch   a n d   d ec is io n - m a k in g U s i n g   th e   p - V a lu e   th e   co m p atib ilit y   o f   t h d ata  w it h   t h e   n u ll  h y p o t h esi s   i s   m ea s u r ed .   T h s ec o n d   m etr ic   is   th B ay e s   f ac to r   an d   is   o f ten   r ef er r ed   to   as  th s tr en g t h   o f   ev id en ce ”  o r   “w ei g h o f   e v id en ce ”.   T h Min i m u m   B a y e s   f ac to r   p r o v i d es  th e   s m alle s a m o u n t   o f   e v id en ce   th a ca n   b s tated   f o r   th n u ll  h y p o t h esi s .   T h s o u n d   th eo r etica f o u n d a tio n   o f   th MB a n d   its   i n ter p r etatio n   allo w s   its   u s a g i n   b o th   in f er e n ce   a n d   d ec is io n   m a k in g .   T h ey   h a v s tr aig h t f o r w ar d   i n ter p r etatio n   as  t h s tr en g t h   o f   th e v id en ce   in   f a v o r   o f   H 1   r elativ to   H [ 1 3 - 1 6 ] .   T h is   w o r k   is   t h f ir s o f   its   k i n d   i n   w h ic h   t h u s o f   p - v alu e s   a n d   Min i m u m   B a y e s   f ac to r s   ar p r o p o s ed   in   t h co n tex o f   s p ec tr u m   s en s i n g .   T h p ap er   is   o r g an ized   as  f o llo w s Sectio n   2   g i v es   t h o v er v ie w   o f   b li n d   s e n s i n g   s ch e m e s   f o r   p r i m ar y   u s er   d etec tio n ,   Sect io n   3   d is cu s s es t h p r o p o s ed   m et h o d ,   Sectio n   4   d is cu s s e s   t h r esu lts   an d   Sectio n   5   co n clu d es t h p ap er .       2.   SYST E M   M O DE L   AND  P R O B L E M   F O R M UL AT I O N   C o n s id er   th s ce n ar io   o f   Sin g le  I n p u Mu ltip le  Ou tp u ( SIM O)   s y s te m   w i th   o n tr an s m it  an te n n a   an d   m u lt ip le  r ec eiv er   a n te n n a s .   Ass u m e   t h at  ea c h   C R   co n t ain s   a n te n n a s .   T h e   M   d iv e r s it y   b r a n ch e s   ar e   ass u m ed   to   b s u f f icie n tl y   f ar   f r o m   ea ch   o th er .   Hen ce   t h is   s tu d y   ta k es  f u l ad v an ta g o f   t h is   as s u m p tio n   th a t   th r ec ei v ed   s i g n als   ar s tat is ticall y   i n d ep en d en a n d   th co r r elatio n   a m o n g   t h e m   i s   co n s id er ed   to   b e   n eg l ig ib le.   C o r r esp o n d in g   to   t h s i g n al  r ec eiv ed   i n   th i th   an ten n o f   t h C R   d ev ice  th h y p o th eses   H 0   an d   H 1   ar d ef in ed   as     H 0 :   x i [ k ] =v i [ k ]     H 1 :   x i [ k ] =h   s [ k ] +v i [ k ]                                                               ( 1 )     w h er e,   h   is   th am p li tu d g ain   o f   th ch a n n el,   i   is   th e   an ten n in d ex   ( i =1 , 2 , . . M )   a ea ch   C R ,   s [ k ]   is   th tr an s m itted   s i g n a l b y   P an d   v i [ k ]   is   th A W GN  n o i s co m p o n en t.      2 . 1 .   E x i s t ing   bli nd   s e ns i ng   m et ho ds   2 . 1 . 1 .   Sq ua re   la w   det ec t o r     E n er g y   d etec to r   ( E D)   o r   Sq u ar la w   d etec to r   i s   t h m o s co m m o n l y   u s ed   m e th o d   f o r   h y p o t h esi s   test i n g   i n   C R   en v ir o n m e n t.   E ac h   in d iv id u al  b r an ch   at  t h e   r ec eiv er   is   p r o v id ed   w it h   an   en er g y   d etec to r   to   p r o v id th i n s tan ta n eo u s   i n d iv id u al  b r an c h   en er g y   m ea s u r e m en t s .   T h en er g y   o f   t h r ec eiv ed   s ig n al  at  t h i th   b r an ch   is   Y i   a n d   N   is   t h s a m p l s ize.   T h d ec is io n   s tatic  Y i   is   co m p ar ed   ag ai n s t a   f i x ed   th r e s h o ld   λ.         =   | [ ] | 2 = 1                    ( 2 )     T h s i m p le  h y p o t h es is   tes tin g   p r o b lem   is   f o r m u lated   in   E q u a tio n   ( 3 )   as         1 > < 0         λ                               ( 3 )             T h e   o p e r a t i o n   i n   E q u a t i o n   ( 2 )   i s   e x e c u t e d   u s i n g   a   s q u a r e   l aw   d e v i c e   p r o v i d e d   a t   e a c h   d i v e r s i t y   b r a n c h   o f   t h e   C R   r e c e i v e r .   T h e   f o l l o w i n g   c o n v e n t i o n a l   s q u a r e   l a w   c o m b i n i n g   t e c h n i q u e s   a r e   u s e d   t o   f o r m   a   b e t t e r   e s t im a t e   o f   t h e   p r i m a r y   u s e r   s i g n a l   [ 7 ] .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   4 A u g u s t 2 0 1 9   :   2 9 1 0   -   2917   2912   a.   S qu a r e - l a s e l ec t i o n   T h e   en er g y   v ec to r s   f r o m   M   d iv er s it y   b r an c h es,  Y 1 ,   Y 2,   ·   ·   ·   ,   Y M   a r u s ed   i n   S L S.  T h b r an ch   w it h   th h i g h est e n er g y   is   c h o s e n .   T h test   s tatis t ic  is   g iv e n   as      =    ( 1 , 2 , . . )                                                                                                                    ( 4 )     b.   S qu a r e   la w   co m bin i ng   T h e   e n e r g y   v e c t o r s   f r o m   M   d iv e r s i ty   b r an ch e s ,   Y 1 ,   Y 2,   ·   ·   ·   ,   Y M   a r e   g a th e r e d   an d   c o m b in e d   i n   SL C   t o   m ak e   a   c o m b in e d   d e ci s i o n .   T h e   t e s t   s ta t is ti c   is   a s      = = 1                                                                                                                                                 ( 5 )                                       2 . 1 . 2 .   G o o dn es s   o f   f it   t ests ba s ed  s ens ing   An o th er   b li n d   s e n s i n g   m et h o d   is   th g o o d n ess   o f   f it  tes t s   ( Go FT ) .   T h ese  test s   ar b l in d   n o n - p ar am etr ic  h y p o th e s is   te s ti n g   m et h o d ,   w h ic h   d ec id es  o n   th n u ll  h y p o th e s is   i f   th r ec ei v ed   s a m p les  f o llo w   th n o i s C u m u lati v Di s tr i b u tio n   Fu n ctio n   ( C DF)   d en o ted   as  F 0 .   L et   x [ k ]   d en o te  th s et  o f   d is cr ete  ti m v ec to r   o b s er v atio n s   k =1 ,   2 …. N .   L et  t h e   i th   co m p o n en o f   x [ k]   b d en o ted   as  x i [ k ] ,   i=1 ,   2 …M T h s i g n a d etec tio n   in   n o is is   t h er ef o r g iv e n   as a   s i m p le   h y p o t h esi s   t esti n g   p r o b le m   in   [ 9 - 1 1 ]   an d   i s   ex p r ess ed   as     Dec id o n   H 0 if   ( ) = 0 ( )     Dec id o n   H 1 if   ( ) 0 ( )   ( 6 )     w h er e,   F n ( x )   is   t h e m p ir ical  C DF o f   t h r ec eiv ed   s a m p le T h p o p u lar   g o o d n ess   o f   f it te s ts   ar e :     a.   Anderso da rling   ( AD)   t est   T o   test   th n o r m alit y   o f   r an d o m   s a m p le  x [ k ]   th e   An d er s o n   Dar lin g   test   s tati s tic  f o r m u l ated   in   [ 1 7 is   g i v e n   as:     A n 2 = ( 2k 1 ) ( ln z k ln z ( N + 1 k ) )  = 1                         ( 7 )     w h e n   t h m ea n   an d   v ar ian c o f   t h s a m p le  ar u n k n o w n   t h ad j u s ted   A s tatis ti as  g iv e n   i n   [ 18   is     A = A n 2 ( 1 + 0 . 75 + 2 . 25 2 )                                                       ( 8 )       w h er z k =F 0 (y k )   is   t h ass u m ed     d is tr ib u tio n ,   d en o tes  th s a m p le  s ize,   ln   is   th n at u r al  lo g ar ith m   w it h     = ( ̆ )     w h er ̌ =   an d   2 = ( ̌ ) 2 ( 1 ) T h e   s p ec tr u m   s e n s in g   p r o b le m   i s   ex p r ess ed   as:     H 0 :   A     λ cv     H 1 :   A   λ cv                                                                                                                                                                                                                                                       ( 9 )     w h er e,   λ cv   is   cr itical  v a lu e.   I f   A   ex ce ed s   th cr itical  v al u th e n   H 0   is   r ej ec ted .   A   tab le  o f   th r es h o ld s   f o r   d if f er e n t v a lu e s   o f   P f   is   g iv e n   in   [ 1 9 ].     b.   K o l m o g o ro v - s m ir no v   ( K S)  t est   I n   th KS te s t t h d is ta n ce   b etw ee n   F n   ( x )   an d   F0   ( x )   is   g iv e n   b y :     D n   m ax |   ( ) 0 ( ) |                                                                                                                                               ( 1 0 )     w h er e   F n ( x )   i s   th e m p ir ical  d i s tr ib u tio n .   I f   t h s a m p les  u n d e r   test   ar co m in g   f r o m   F0   ( x ) ,   th en ,   D co n v er g es   to   0 .   I f   th v al u o f   D e x ce ed s   th cr itical  v al u th e n   H 0   i s   r ej ec ted .   A   tab le  o f   th r es h o ld s   f o r   d if f er e n v al u e s   o f   P f   is   g i v e n   in   [ 2 0 ].     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   s ta tis tica l a p p r o a ch   to   s p ec t r u s en s in g   u s in g   b a ye s   fa cto r   a n d   p - v a lu es ( Dee p a   N .   R ed d y)   2913     bera T h J a r q u an d   B e r ( J B )   test   is   an o th er   g o o d n es s - of - f it   test   to   ch ec k   f o r   n o r m al  d is tr ib u ti o n .   I u s e s   th s k e w n e s s   a n d   k u r to s is   to   d eter m in e   w h e th er   th e   s a m p le   d ata  is   f r o m   n o r m al   d is tr ib u tio n   [2 1 ] .   T h e   JB  test   s tati s tic  i s   th co m b i n atio n   o f   t h s q u ar es o f   n o r m a lized   s k e w n es s   an d   k u r to s i s   an d   is   g iv e n   as  f o llo w s :     = 6 ( 1 2 + ( 2 3 ) 2 4 )                                                                           ( 1 1 )     w h er e,   1   is   t h s k e w n es s   a n d   2   i s   th e   k u r to s i s   a n d   N   i s   t h n u m b er   o f   s a m p le s .   T h e   cr itical  v alu e s   o f   t h J B   t est  f o r   d if f er e n s a m p le  s izes  ar g iv e n   in   [ 2 1 ] .   T h e   p r im ar y   u s er   s i g n a is   d ec lar ed   p r esen if   t h J ar q u B er a   test   s tatis tic  i s   g r ea ter   t h an   t h cr itical   v a lu e   an d   is   d ec l ar ed   as  n o i s o th er w i s e.   T h e   s p ec tr u m   s en s i n g   p r o b lem   u s in g   J B   test   ca n   b ex p r ess ed   as     H 0 J   ≤  λ cv                                       H 1 J   λ cv                                                                                   ( 1 2 )     2 . 2 .   Sig nifica nce  o f   s t a t is t ica m e a s ures   2 . 2 . 1 .   p - v a lue   Fis h er   j u s ti f ied   t h at  t h - V a l u e   ca n   b v ie w ed   a s   an   in d e x   o f   th “stre n g t h   o f   ev id e n ce ”  ag ain s H 0 w it h   s m all   i n d ic atin g   an   u n l ik el y   h y p o t h esi s   [ 1 2 ] .   T h e   tes s tat is tic   is   u s ed   to   d eter m i n e   th e   p - Va lu e   u s i n g   th f o r m u la  m e n tio n ed   in   T ab le  1   as  g iv e n   in   [ 18 ]   an d   th in ter p r etatio n   o f   th test   r esu lt s   ar g i v en   in     T ab le  2 .         T ab le  1 .   T h p - v alu f o r m u la  f o r   An d er s o n   da r lin g   tes t   A D   st a t i st i c   p - V a l u e   F o r mu l a   A   > 1 5 3 . 4 6 7   = 0   0 . 6 < A     1 5 3 . 4 6 7   = ( 1 . 2 9 3 7 5 . 709 + 0 . 0186 2 )   0 . 3 4   <   A     0 . 6 0   = ( 0 . 9 1 7 7 4 . 2 7 9 1 . 38 2 )   0 . 2 0   <   A     0 . 3 4   = 1 ( 8 . 318 + 42 . 7 9 6 59 . 9 3 8 2 )   A   0 . 2 0   = 1 ( 13 . 4 3 6 + 1 0 1 . 14 223 . 73 2 )       T ab le  2 .   Dec is io n   t ab le   M e t h o d   C o n d i t i o n   D e c i si o n   C l a ssi c a l     t e st   i f (   t e st   s t a t i s t i c   >   C r i t i c a l   v a l u e   )   H 0   i s re j e c t e d   C l a ssi c a l     t e st   i f   ( t e st   s t a t i s t i c   <   C r i t i c a l   v a l u e )   H 0   c a n n o t   b e   r e j e c t e d   V a l u e   ( p   - V a l u e   <   α)   H 0   i s re j e c t e d   p - V a l u e   ( p   - V a l u e   >   α)   H 0   c a n n o t   b e   r e j e c t e d       T h e   s tep s   in v o l v ed   in   h y p o t h e s is   tes tin g   u s i n g   p - Val u es   g i v e n   in   [ 1 2 ]   ar as  f o llo w s :   a.   Def i n th n u ll a n d   alter n ati v e   h y p o th e s es.   b.   C o m p u t e   th te s t sta tis tic  f r o m   th s a m p le  d ata.     c.   Dete r m i n th p - Val u e   u s in g   t h test   s tatis tic  o b tain ed   f r o m   s tep   2 .   d.   Fix   t h s i g n i f i c an c e   le v el  α =0 . 0 5   an d   in ter p r et   th r esu lt s   u s i n g   T ab le  2 .     2 . 2 . 2 .   B a y es  f a c t o r   m et ho d   T h ter m   B ay e s   f ac to r   ( B F)   is   also   ca lled   as  lik elih o o d   r atio .   T h B ay es  f ac to r   is   o f ten   r ef er r ed   t o   as   th s tr en g t h   o f   e v id e n ce ”  o r   “w e ig h o f   e v id en ce ”.   B ay e s   f ac to r s   s h o w   th at   p - V alu e s   g r ea tl y   o v er s tate  t h e   ev id en ce   a g ain s t h n u ll  h y p o t h esi s T h B ay es  f ac to r s   h a v d ir ec in ter p r etatio n   as  th s tr en g th   o f   th ev id e n ce   in   f a v o r   o f   H 1   r elativ to   H 0.     T h u s o f   B a y es  f ac to r s   ca n   av o id   th m is i n ter p r etatio n s   th at  ar is f r o m   d ep en d en c y   o n   th p - Va lu in   d ec is io n s   [ 1 3 1 4 ] .   Min im u m   B a y e s   f ac to r s   h av t h a d v an ta g th a th e y   d o   n o d ep en d   o n   th p r io r   p r o b ab ilit y .   T h p r o o f   o f   th m i n i m u m   B a y e s   f ac to r   as  f u n cti o n   o f   th p - Valu i s   g iv e n   i n   [ 1 4 ] .   Fig u r 3   s h o w n   C ateg o r izatio n   o f   B a y es  Facto r s   B F<1   in to   lev els o f   ev id e n c ag ain s t H 0 .     ( ) = {         < 1 1           }                       ( 1 3         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   4 A u g u s t 2 0 1 9   :   2 9 1 0   -   2917   2914   T ab le  3 .   C ateg o r izatio n   o f   b a y es f ac to r s   B F<1   in to   le v els o f   ev id en ce   a g ain s t H as  g iv e n   i n   [ 1 4 ]                   3.   P RO P O SE M E T H O D   T h b lo ck   d iag r am   o f   th p r o p o s ed   m et h o d   is   g iv e n   in   Fi g u r e   1 .   T h is   p ap er   a d o p ts   th f o llo w in g   s tatis t ical  m et h o d s   to   i n te g r at th e   s tat is tical   m ea s u r es  f r o m   i n d ep en d en te s ts   [ 2 2 - 25 to   h a v a n   o v er al ass es s m en t o n   th d etec tio n   o f   th p r i m ar y   u s er   s i g n al  ac ti v it y .             Fig u r 1 .   B lo ck   d iag r a m   o f   t h p r o p o s ed   m et h o d       3 . 1 .   p - v a lue ba s ed  div er s it y   co m bin er   T h M   in d ep en d en s a m p les  x i [ k ]   i =1 ,   2 M     ar r ec eiv ed   f r o m   M   d iv er s it y   b r an c h es  o f   th C R   r ec eiv er .   T h test   s tati s tic s   ( A 1 ,A 2 …. A M )   an d   it s   co r r esp o n d in g   p - V a lu e s   (p 1 ,p 2 …. . p M )   ar co m p u ted T h is   s tu d y   ad o p ts   th f o llo w i n g   s t atis tical  m eth o d s   to   in te g r ate  th - Valu e s   f r o m   i n d ep en d en test s   [ 2 2 2 3 to   h av a n   o v er all  as s es s m e n t o n   th d etec tio n   o f   t h p r i m ar y   u s er   s ig n al  ac ti v it y .     3 . 1 . 1 .   F is her’ s   t est   A   p o p u lar   m et h o d   o f   co m b i n i n g   t h p - V al u es  i s   th Fi s h er s   m et h o d   [ 2 2 ] .   L et  p 1,   p 2 ,   …,   p M   b th e   s ig n i f ica n ce   p r o b ab ilit ies  o f   th test   s tatis t ic  A   o r   J   f r o m   t h i th   s a m p le  r ec eiv ed   f r o m   ea c h   d iv er s it y   b r an c h   o f   th C R   r ec eiv er .   T h j o in ass ess m en o f   t h n o r m a lit y   is   b a s ed   o n   th M   v al u es  o f   th s ta tis tic.   T h d if f er en t   s ig n i f ica n ce   p r o b ab ilit ies  o b tain ed   f r o m   M   d i v er s it y   b r an c h es  ar co m b in ed   u s i n g   Fi s h er 's  m et h o d   as  g i v en   b elo w .     = 2  ( = 1 )                                                                                 ( 1 4 )     3 . 2 .   B a y es F a ct o ba s ed  div er s it y   co m bi ner   Fro m   th v al u es   (p 1 ,p 2 …. . p M )     th eir   co r r esp o n d in g   Mi n i m u m   B a y es  f ac to r s   ar co m p u ted   f r o m   ( 1 3 ) .   I n   th co n te x o f   s p ec tr u m   s e n s i n g   th f o llo w in g   m eth o d   i s   p r o p o s ed   to   in teg r ate  th e s s tatis t ical  m ea s u r e s   f r o m   i n d ep en d en test s   [ 24 to   h av an   o v er all  a s s es s m en o n   th d etec tio n   o f   t h p r i m ar y   u s er   s i g n a ac tiv i t y .    T h m eth o d   p r o p o s ed   f o r   co m b in i n g   t h d ata  i s   b y   ca lc u l atin g   t h e   p r o d u ct  o f   t h B a y es  f ac to r   ca lc u lated   f r o m   M   i n d ep en d en s a m p le s   an d   is   d ef i n ed   as th Gr o u p   B a y es  Facto r   ( GB F)  as g i v e n   in   [ 2 4 ].      =  , ( ) = 1                                                                            ( 1 5 )     w h er e,   th e   s u b s cr ip ts   i,j   r ef er   to   th h y p o t h esi s   m o d el s   b ein g   co m p ar ed ,   an d   t h b r ac k ete d   s u p er s cr ip r ef er s   to   th M - t h   s a m p le.   Sin ce   t h m ea s u r ed   d ata  is   tr ea ted   as  co n d itio n all y   i n d ep en d en s a m p l es,  th p r o b ab ilit ies  ar m u lt ip lied .   S t r e n g t h   o f   Ev i d e n c e   B a y e s fac t o r   W e a k   1   t o   1 / 3   M o d e r a t e   1 / 3   t o   1 / 1 0   S u b s t a n t i a l   1 / 1 0   t o   1 / 3 0   S t r o n g   1 / 3 0   t o   1 / 1 0 0   V e r y   st r o n g   1 / 1 0 0   t o   1 / 3 0 0   D e c i si v e   < 1 / 3 0 0   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   s ta tis tica l a p p r o a ch   to   s p ec t r u s en s in g   u s in g   b a ye s   fa cto r   a n d   p - v a lu es ( Dee p a   N .   R ed d y)   2915     Alg o rit h m   1 .   Sta t is t ica l a pp r o a ch  t o   s pect ru m   s e ns i ng   1.   Ob tain   M   o b s er v atio n   s a m p les   f r o m   ea ch   o f   th d i v er s it y   b r an ch e s   o f   t h C R   n o d e.     2.   L et  Z i ,   ( i=1 M )   b t h o b s er v atio n   v ec to r .   So r t th o b s er v at io n s   f r o m   ea ch   b r an c h   in   a s ce n d in g   o r d er .   3.   C alcu late  th AD  test   s tatis t ic  u s i n g   E q u atio n   ( 7 )   an d   ( 8 ) .   L et  A i     ( i =1 M )   d en o te  th test   s tatis t ic  o b tain ed   f o r   M   d iv er s it y   b r an c h es.   4.   Usi n g   t h f o r m u la  g i v en   i n   T a b le  1   ca lcu late  th p - Val u p 1   p 2 , p   an d   th eir   r esp ec tiv MB Fs     u s i n g   E q u atio n   ( 1 3 ) .   5.   T h MB Fs   an d   p - Valu e s   f r o m   M   d iv er s it y   b r an ch e s   ar co m b in ed   u s i n g   E q u atio n   ( 1 4 )   an d   ( 1 5 )   t o   o b tain   th n e w   d ec i s io n   s tatis t ic.   6   R ej ec t n u ll H y p o th e s is   i f   t h n e w   d ec is io n   s tati s tic  i s   less   t h a n   th p r ed ef i n ed   s i g n i f ica n ce   l ev el.       4.   RE SU L T A ND  AN AL Y SI S   4 . 1 .   M o nte   ca rlo   s i m ula t io ns          T h e   p er f o r m a n ce   a n al y s i s   o f   s p ec tr u m   s en s in g   u s in g   r ec e iv er   d iv er s it y   i n   C R   en v ir o n m e n t   ar e   ca r r ied   o u u s in g   1 )   C o n v e n ti o n al  H y p o t h esi s   T esti n g   a n d   2)   Statis tical   H y p o t h esi s   tes ti n g .   T h s tati s tical   h y p o t h esi s   test i n g   is   ca r r ied   o u t u s i n g   t h f o llo w i n g   t w o   m e th o d s   1 )   p - Valu e s   2 )   Min i m u m   B a y es  Facto r .   T h d etec tio n   p r o b ab ilit y   i s   u s ed   as  s tan d ar d   o f   m ea s u r e m en to   d eter m i n t h s en s i n g   ac cu r ac y .   T h f o llo w i n g   a s s u m p t io n s   ar m ad in   t h s i m u latio n s .     a.   T h s y s te m   m o d el  h as Si n g le  I n p u t M u ltip le  Ou tp u t.   b.   T h p r im ar y   tr a n s m itter   s ig n al   is   s in u s o id al  p ilo t si g n a l o f   k n o w n   f r eq u en c y .   c.   A d d iti v W h ite  Ga u s s ian   No i s w it h   μ =0   an d   σ 2   =1 .   d.   Fo r   th H y p o th e s is   H 1   to   b d ec lar ed   tr u ( s ig n a l   is   p r esen t)     Me th o d   1 : I f   th p - Val u e s   is   le s s   t h an   t he   s i g n i f ican ce   le v el  α   =0 . 0 5     Me th o d   2 : I f   th m in i m u m   B ay es  f ac to r   is   les s   th a n   1 /1 0 0   Fig u r e   2   p r o v id es  co m p ar is o n   o f   th Go o d n ess   o f   f i tes ts   in   th co n te x o f   p r i m ar y   u s er   s i g n a l   d etec tio n   i n   co g n i tiv e   r ad io .   T h C o n v e n tio n a m et h o d   o f   h y p o th e s is   te s tin g   in   C R   en v ir o n m e n is   co m p ar ed   w it h   th s tati s tical  m et h o d   o f   h y p o t h esi s   test i n g .   T h n u m b er   o f   s a m p le s   i n   t h test   is   ta k e n   as  1 0 0 .   T h test s   in c lu d th e   th e   co n v en t io n al   en er g y   d etec to r ,   An d er s o n   Dar l in g   te s t,   Ko l m o g o r o v - S m ir n o v   T est  an d   J ar q u an d   B er T est.  E n er g y   d etec to r     s h o w s   b etter   p er f o r m an ce   co m p ar ed   to   th o th er   test s .   B u A D   test   p r o v id es  b etter   d etec tio n   p er f o r m a n ce   co m p ar ed   to   th o th er   n o r m ali t y   tes ts .   T he   s tatis t ical  m ea s u r e   co in ed   as p - Val u an d   B a y es  Facto r   ar u s ed   as st atis tical  m ea s u r es i n   h y p o th e s is   te s ti n g   i n   Fi g u r e s   3 - 6 .             Fig u r 2 .   Sp ec tr u m   s e n s in g   u s in g   Go o d n ess   o f   f it te s ts   w h e n   th p r i m ar y   u s er   is   p r ese n t       T h f o llo w i n g   o b s er v atio n s   ar m ad e :   a.   I is   o b s er v ed   th at  t h p - Val u m et h o d   o v er s tates  t h ev id e n ce   ag ai n s th n u ll  h y p o th e s i s   th a n   t h MB F   m et h o d .   b.   T h d iv er s it y   i m p r o v es t h d etec tio n   p r o b ab ilit y   i n   th lo w   S NR   r eg i m es  u s in g   b o th   t h m e th o d s .   c.   T h e   s t a t i s t i c a l   m e t h o d s   p r o v i d e   d e t e c t i o n   p r o b a b i l i t y   c l o s e   t o   t h e   c o n v e n t i o n a l   s q u a r e   l a m e t h o d s   o f   c o m b i n i n g .     -20 -15 -10 -5 0 5 10 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1 S ig n a l t N ois e   R a t io P r o b a b i l i t o f   d e t e ct i o n     E D   T e s t J T e s t A D   T e s t KS   T e s t Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  9 ,   No .   4 A u g u s t 2 0 1 9   :   2 9 1 0   -   2917   2916         Fig u r 3 .   P r im ar y   U s er   d etec tio n   o f   Sin u s o id al  P ilo s ig n al  w it h   M= 1   , α =0 . 0 5   an d   N= 1 0 0   Sam p les   u s in g   An d er s o n   Dar l i n g   Stati s tic         Fig u r 4 .   P r im ar y   U s er   d etec tio n   o f   Sin u s o id al  P ilo s ig n al  w it h   M= 1   , α =0 . 0 5   an d   N= 1 0 0   Sam p les   u s in g   J ar q u B er a   Statis tic           Fig u r 5 .   P r im ar y   U s er   d etec tio n   o f   Sin u s o id al  P ilo s ig n al  w it h   M= 3   ,   P f   =0 . 0 5   an d   N= 1 0 0   Sam p les   u s i n g   C o n v en t io n al  Sq u ar L a w   d i v er s it y   co m b i n i n g   tech n iq u es     Fig u r 6 .   P r im ar y   U s er   d etec tio n   o f   Sin u s o id al  P ilo s ig n al  w it h   M= 3   ,   α   =0 . 0 5   an d   N= 1 0 0   Sam p les   u s i n g   s tatis t ical  ap p r o ac h   a) Min i m u m     B a y es Fac to r   m eth o d   b )   p -   Valu Me th o d       Giv e n   b elo w   i s   d eta iled   illu s tr atio n   to   s u p p o r t p o in t 1   o f   th o b s er v atio n :   I f   th MB F= 0 . 2 6 2 7 8 8 =1 /3 . 8   w it h   p - v al u e= 0 . 0 7 0 5 5 2   th en   b ased   o n   th o b s er v ed   ev id en ce ,   th r esu lt   is   th at  t h H 1   ( th alter n ativ h y p o th e s is )   is   3 . 8   ti m es  as  l ik el y   as  H 0   ( th e   n u ll   h y p o t h esi s ).   Sin ce   M B F/p - V al u =0 . 2 6 2 7 8 8 /0 . 0 7 0 5 5 2   it  ca n   b s ee n   th at   Fis h er s   p - V al u s tates  t h a m o u n o f   e v id en ce   ag ain s H 0   as  3 . 7   ti m es  a s   m u c h   a s   t h MB d o es.  T h i s   m ea n s   th a t h ex a g g er atio n   o f   th s tati s tical   s ig n i f ica n ce   b y   Fi s h er   p - Val u is   al m o s 4   ti m es  a s   m u c h   as  th at  o f   MB F .   T h er ef o r it   ca n   b s tated   th at   Fis h er s   p - V al u p r o v id es  less   ac cu r ate   r esu lt s   as a   m ea s u r o f   th s tr e n g th   o f   ev id e n ce   ag ain s t H 0   [ 1 4 ] .       5.   CO NCLU SI O N     I n   t h i s   p ap er   n o v el  Stati s tic al  ap p r o ac h   f o r   th h y p o t h esi s   test i n g   p r o b lem   i n   s p ec t r u m   s e n s i n g   en v ir o n m e n is   p r o p o s ed .   T h Min i m u m   B a y es  f ac to r s   an d   p - Valu es  ar e   p r o p o s ed   f o r   co m b i n i n g   t h d ata  r ec eiv ed   f r o m   s ec o n d ar y   u s er   eq u ip p ed   w it h   m u ltip le   an t en n a s .   T h e f f ec o f   t h ese  s tat is tical  m ea s u r es   i n   s en s in g   t h s p ec tr u m   i n   C o g n i tiv R ad io   en v ir o n m en i s   in v e s ti g ated .   A   b allp ar k   f i g u r o f   th m er it s   o f   th ese  d i v er s it y   co m b i n i n g   m eth o d s   ar p r o v id ed   in   t h is   s tu d y .   R e s u lts   s h o w   t h at  p - V al u es  m a g n if ies   th ev id e n ce   ag ai n s t h n u ll  h y p o t h esi s .   T h B ay es  f ac to r   h as  s tr aig h t f o r w ar d   in ter p r eta tio n   as  th s tr en g t h   o f   t h ev id en ce   i n   f a v o r   o f   H 1   r elativ to   H 0 .   A ls o   th a lg o r it h m   p r o p o s ed   i m p r o v es t h d et ec tio n   o f   th e   P in   lo w   SNR   r eg i m es.   T h r o u g h   ex ten s i v Mo n te  C ar lo   s i m u l atio n s   i is   s h o w n   th a B a y e s   Facto r s   p r o v id es  a   p r o m i s in g   s o lu tio n   to   co m b i n t h test   s tat is tic s   f r o m   m u ltip le  r ec ei v er   a n te n n a s   a n d   ca n   b u s ed   as   a n   alter n ati v to   th co n v e n tio n a h y p o th e s is   tes tin g   m e th o d s   f o r   s p ec tr u m   s e n s in g .   Hen ce   t h is   n o v el  s tati s tica l   ap p r o ac h   u s i n g   b a y e s   f ac to r s   p r o v id m o r ac cu r ate   an d   r el ev a n t   tes r es u lt s   w h e n   m ea s u r in g   t h s tr en g th   o f   th ev id e n ce   ag ai n s t th h y p o t h esi s .   -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1 S ig n a l t N ois e   R a t io P r ob a b il it of  D e t e c t ion     Min im u m   Ba ye s   fa c t or   t e s t p -va lu e   t e s t -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1 S ig n a l t N ois e   R a t io P r ob a b il it of  D e t e c t ion     Min im u m   Ba ye s   fa c t or   t e s t p -va lu e   t e s t -25 -20 -15 -10 -5 0 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1   S i g n a l   t o   N o i se   R a t i o P r o b a b i l i t o f   D e t e ct i o n       S LS   S LC -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1 S ig n a l t N ois e   R a t io P r ob a b il it of  D e t e c t ion     MB F   M=3 p -va lu e   M=3 MB F   M=1 p -va lu e   M=1 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A   s ta tis tica l a p p r o a ch   to   s p ec t r u s en s in g   u s in g   b a ye s   fa cto r   a n d   p - v a lu es ( Dee p a   N .   R ed d y)   2917   RE F E R E NC E S   [1 ]   S.  A tap a tt u ,   e a l .,   E n e rg y   d e t e c ti o n   b a se d   c o o p e ra ti v e   sp e c tru m   se n si n g   in   c o g n it iv e   ra d i o   n e tw o rk s ,”   IEE T ra n sa c ti o n o n   W ire les s Co mm u n ica ti o n s ,   v o l .   1 0 ,   p p .   1 2 3 2 - 1 2 4 1 ,   2 0 1 1 .   [2 ]   Yu c e k   T . e a l. ,   A   su rv e y   o f   sp e c tru m   se n sin g   a lg o rit h m f o c o g n it iv e   ra d io   a p p li c a ti o n s,”   IEE c o mm u n ic a ti o n s   su rv e y &   tu to ria ls,   v o l.   1 1 ,   p p .   1 1 6 - 30,   2 0 0 9 .   [3 ]   M ietz n e J . e a l. ,   M u lt i p le - a n t e n n a   tec h n i q u e f o w irele ss   c o m m u n ica ti o ns - a   c o m p re h e n siv e   li tera tu re   su rv e y ,   IEE c o mm u n ica ti o n s s u rv e y &   tu to ri a ls ,   v o l .   1 1 ,   p p .   87 - 1 0 5 ,   2 0 0 9 .   [4 ]   W a n g   P . e a l. ,   M u lt ian ten n a - a ss isted   sp e c tru m   se n sin g   f o c o g n it iv e   ra d io ,   IEE T ra n s a c ti o n s   o n   Veh icu l a r   T e c h n o l o g y v o l/ issu e 5 9 ( 4 ),   p p .   1 7 9 1 - 8 0 0 ,   2 0 1 0 .   [5 ]   Dig h a m   F F . e a l. ,   On   th e   e n e rg y   d e te c ti o n   o f   u n k n o w n   sig n a ls  o v e fa d in g   c h a n n e ls,”  IEE t ra n sa c ti o n o n   c o mm u n ica t io n s ,   v o l.   5 5 ,   p p .   21 - 2 4 ,   2 0 0 7 .   [6 ]   A n n a v a jj a la   R . e a l. ,   P e rf o r m a n c e   a n a l y sis   o li n e a d iv e rsit y - c o m b in in g   sc h e m e s   o n   Ra y lei g h   fa d in g   c h a n n e ls   w it h   b in a ry   sig n a li n g   a n d   G a u ss ian   w e ig h ti n g   e rro rs , ”  IEE T ra n sa c ti o n o n   W ire les Co mm u n i c a ti o n s,   v o l.   4,   pp.   2 2 6 7 - 7 8 ,   2 0 0 5 .   [7 ]   He ra th   S P . e a l . ,   On   th e   e n e rg y   d e te c ti o n   o f   u n k n o w n   d e term in isti c   sig n a o v e Na k a g a m i   c h a n n e ls  w it h   se l e c ti o n   c o m b in in g ,   IEE Ca n a d ia n   c o n fer e n c e   o n   th e   El e c trica l   a n d   Co m p u ter   E n g i n e e rin g ,   p p .   7 4 5 - 7 4 9 ,   2 0 0 9 .     [8 ]   Ak b a ri  M . e a l. ,   Re c e iv e d iv e rsit y   c o m b in in g   u sin g   e v o lu ti o n a ry   a l g o rit h m in   ra y lei g h   f a d in g   c h a n n e l ,   T h e   S c ien t if ic W o rld   J o u r n a l ,   2 0 1 4 .   [9 ]   A rsh a d   K . e a l. ,   Ro b u st  s p e c tru m   se n sin g   b a se d   o n   sta ti stica t e sts,”   IET   Co mm u n ic a ti o n s,   v o l .   7 ,   p p .   8 0 8 - 1 7 ,   2 0 1 3 .   [1 0 ]   Ca rv a lh o   F B . e a l. ,   C o g n it iv e   sp e c tru m   s e n sin g   b a se d   o n   sta ti stica tes ts  in   fa d in g   c h a n n e ls,”  Co mm u n ic a ti o n s   ( L AT INCOM ),   7 t h   IEE L a ti n - A me ric a n   Co n fer e n c e ,   p p .   1 - 6 ,   2 0 1 5 .   [1 1 ]   H.  W a n g ,   e a l. ,   S p e c tru m   se n sin g   in   c o g n i ti v e   ra d i o   u si n g   g o o d n e ss   o f   f it   tes ti n g ,”   IEE T ra n sa c ti o n o n   W ire les s Co mm u n ica ti o n s ,   v o l/ issu e 8 ( 11 ),   2 0 0 9 .   [1 2 ]   Be rg e J O . ,   Co u ld   F ish e r,   Je f fre y a n d   Ne y m a n   h a v e   a g re e d   o n   tes ti n g ?   S ta ti stica S c ien c e ,   v o l.   1 8 ,   p p .   1 - 3 2 ,   2 0 0 3 .   [1 3 ]   Ka tk H A . ,   In v it e d   c o m m e n tary e v id e n c e - b a se d   e v a lu a ti o n   o f   p   v a lu e a n d   Ba y e f a c to rs ,   Ame r ica n   J o u rn a o f   Ep id e mi o lo g y ,   v o l.   1 6 8 ,   p p .   3 8 4 - 3 8 8 ,   2 0 0 8 .   [1 4 ]   He ld   L . e a l . ,   Ho w   th e   m a x i m a e v id e n c e   o f   p - v a lu e a g a in st   p o i n n u ll   h y p o th e se d e p e n d o n   sa m p le  siz e ,   T h e   Ame ric a n   S t a ti sticia n ,   v o l.   7 0 ,   p p .   3 3 5 - 4 1 ,   2 0 1 6 .   [1 5 ]   G o o d m a n   S N . T o w a rd   e v id e n c e - b a se d   m e d ica sta ti stics .   1 T h e   P   v a lu e   fa ll a c y ,   An n a ls  o i n te rn a me d icin e ,   v o l.   1 3 0 ,   p p .   9 9 5 - 1 0 0 4 ,   1 9 9 9 .   [1 6 ]   S .   N.  G o o d m a n ,   T o w a rd   e v id e n c e - b a se d   m e d ica s tatisti c s.   2 T h e   Ba y e s   f a c to r ,”   An n a ls  o i n t e rn a me d icin e ,   v o l.   1 3 0 ,   p p .   1 0 0 5 - 1 0 1 3 ,   1 9 9 9 .   [1 7 ]   Ro m e u   J L . ,   A n d e rso n - Da rli n g a   g o o d n e ss   o f   f it   tes f o sm a ll   sa m p les   a s su m p ti o n s,”   RA S T AR T ,   2 0 0 3 .   [1 8 ]   R .   B .   D ' A g o s t i n o   a n d   S tep h e n M .   A. ,   G o o d n e ss - of - f it   tec h n iq u e s ,”   S tatisti c s:  T e x b o o k a n d   m o n o g ra p h ,   Bo c a   Ra to n ,   F lo ri d a CRC  P re ss ,   1 9 8 6 .   [1 9 ]   S tep h e n M A . EDF   sta ti stics   f o g o o d n e ss   o f   f it   a n d   s o m e   c o m p a riso n s,”   J o u rn a o t h e   Ame ric a n   st a ti stica l   Asso c ia t io n ,   v o l.     6 9 ,   p p .   7 3 0 - 7 ,   1 9 7 4 .   [2 0 ]   S.  F a c c h in e tt i ,   A   p ro c e d u re   t o   f in d   e x a c c rit ica v a lu e o f   K o lm o g o ro v - S m irn o v   tes t ,”   S ta ti st ica   Ap p li c a t a ,   v o l.   21 p p .   3 3 7 - 3 5 9 ,   2 0 0 9 .   [2 1 ]   T .   T h a d e wa ld   a n d   H .   n i n g ,   Ja rq u e Be ra   tes a n d   it c o m p e ti to rs  f o tes ti n g   n o r m a li t y a   p o w e r   c o m p a riso n ,”   J o u rn a o A p p l ied   S ta ti st ics ,   v o l.   3 4 ,   p p .   87 - 1 0 5 ,   2 0 0 7 .   [2 2 ]   Bh a n d a ry   M . e a l. ,   Co m p a riso n   o f   se v e ra tes ts  f o c o m b in in g   se v e ra in d e p e n d e n tes ts,”  J o u r n a l   o f   M o d e r n   Ap p li e d   S ta ti st ica M e th o d s,  v o l.   1 0 ,   2 0 1 1 .   [2 3 ]   W h it lo c k   M C . Co m b in i n g   p r o b a b i li ty   f ro m   in d e p e n d e n tes ts:   th e   w e ig h ted   Z m e th o d   is  su p e rio to   F ish e r' a p p ro a c h ,   J o u rn a o e v o l u ti o n a ry   b io l o g y ,   vol 1 8 ,   p p .   1 3 6 8 - 73,   2 0 0 5 .   [2 4 ]   S tep h a n   K E . ,   e a l. ,   Ba y e sia n   m o d e se lec ti o n   f o g ro u p   st u d ies .   Ne u ro im a g e ,   v o l.   4 6 ,   p p .   1 0 0 4 - 1 7 ,   2 0 0 9 .   [2 5 ]   P e tt i tt   A N . T e stin g   th e   n o rm a l it y   o f   se v e ra in d e p e n d e n sa m p les   u sin g   t h e   A n d e rso n - Da rli n g   sta t isti c ,   Ap p li e d   S ta ti st ics ,   p p .   1 5 6 - 6 1 ,   1 9 7 7 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.