I n te r n ati o n al   Jo u r n al   o El e c tr i c a l   an d   C o m p u te r   En gi n e e r i n g   (I JEC E )   V o l .   10 ,   N o .   1 F e b r ua r y   2020 ,   p p .   881~ 8 90   IS S N :   2088 - 8708 D O I :   10. 1 1591 / i j e c e . v 10 i 1 . pp881 - 8 90       881       Jou r n al   h o m e pa ge ht t p: / / i j e c e . i ae s c or e . c om / i nd e x . php / IJ E CE   A   c o m p a r a t i v e   st u d y   o f   t h r e e   v a l i d i t i e c o m p u t a t i o n   m e t h o d f o r   m u l t i m o d e l   a p p r o a c h       S am i Tal m o u d i   B e n   A ou n 1 ,   A b d e n n ac e r   Be n   M e s s ao u d 2 ,   M o u fi d Lah m ar i   K s o u r i 3   1 H i g he r   I ns t i t u t e   o f   A ppl i e d   S c i e nc e s   a nd   T e c hno l o gy   of   M a t e u r ,   U ni v e r s i t y   of   C a r t ha g e ,   T un i s i a   2 , 3 N a t i o na l   E ng i ne e r i ng   S c ho o l   o f   T uni s ,   U ni v e r s i t y   of   T uni s   E l   M a na r ,   T un i s i a       A r ti c l e   I n fo     A B S TR A C T     Ar t i c l e   h i s t or y :   R e c e i v e J a 22 ,   2 019   R e v i s e S e 3 0 ,   201 9   A c c e pt e O c t   7,   20 19       T he   m ul t i m o de l   a pp r o a c of f e r s   a   v e r y   s a t i s f a c t o r y   r e s ul t s   i m o d e l l i ng ,   di a g no s e   a nd  c o nt r o l   o f   c o m pl e s y s t e m s .   I t he   m o de l l i ng   c a s e ,   t hi s   a ppr o a c pa s s e s   by   t hr e e   s t e ps :   t he   d e t e r m i na t i o o f   t he   m o de l s   l i br a r y ,   t he   v a l i d i t i e s   c o m put a t i o a nd  t he   e s t a b l i s hm e n t   o f   t he   f i na l   m o de l .   I t hi s   c o nt e xt ,   t hi s   p a pe r   f o c us e s   o t he   e l a bo r a t i o o f   a   c o m pa r a t i v e   s t u d y   be t w e e t hr e e   r e c e n t   m e t ho ds   o f   v a l i d i t i e s   c o m put a t i o n.   T hus ,   i t   hi g hl i g ht   t he   m e t ho t ha t   o f f e r s   t he   be s t   pe r f o r m a nc e s   i t e r m   o f   pr e c i s i o n.   T o   a c hi e v e   t h i s   g o a l ,   w e   a pp l y ,   t he s e   t hr e e   m e t ho ds   o t w o   s i m u l a t i o e x a m p l e s   i n   o r de r   t o   c om pa r e   t h e i r   pe r f o r m a nc e s .   Ke y w or d s :   M o de l l i n g   M ul t i m o de l   a pp r o a c h   V a l i d i t i e s   c o m put a t i o n   C opy r i gh t   ©   2020   I n s t i t ut e   o f   A dv anc e E ng i ne e r i ng   and   S c i e nc e   A l l   r i gh t s   r e s e r v e d .   Cor r e s pon di n g   Au t h or :   S a m i a   T a l m o udi   B e A o un,     N a t i o n a l   E n gi n e e r i ng  S c h o o l   of   T u n i s L R 11E S 20   L A CS ,   U n i v e r s i t y   of   T uni s   E l   M a na r,   1002,   T u n i s ,   T u n i s i a .   E m a i l :   s a m i a _t a l m o udi @ y a h o o . f r       1.   I N TR O D U C TI O N   T h e   e s t a b l i s h m e n t   o f   a   m a t h e m a t i c a l   m o de l   i s   t h e   f i r s t   c o nc e r n s   o f   r e s e a r c h e r s   f o r   a pp l i c a t i o of    t h e   a dv a n c e t e c hni que s   of   a n a l y s e s ,   m o n i t o r i n g ,   p r e di c t i o n ,   c o n t r o l   a n d i a g n o s e   of   c o m pl e s y s t e m s   [1,   2].   T h e   m ul t i m o de l   a pp r o a c h   h a s   p r o v e a   v e r y   s a t i s f a c t o r y   r e s ul t s   a n a   po t e n t i a l   b e n e f i t   i n   b o t h   m o de l l i n a nd  i de nt i f i c a t i o n   o f   c o m pl e x,   n o nl i n e a r   a n d/ o r   i l l - de f i n e s y s t e m s ,   c o m pa r e t o   a   ˝s i ngl e   m o de l   a pp r o a c h ˝ .   In de e d,   t h e   ˝s i n gl e   m o de l   a pp r o a c h ˝  c o n s i s t s   i n   de t e rm i ni ng  o n e   m o de l   t ha t   de s c r i b e s   t h e   c o m po r t m e nt   of   t h e   s y s t e m   i n   a l l   i t s   o pe r a t i ng  r e gi o n s .   T hi s   m i s s i o n   i s   v e r y   di f f i c ul t   a n c a s o m e t i m e s   b e   i m po s s i b l e   w h e t h e   s y s t e m   i n c l ude s   s e t - po i nt   c ha n ge s   o r / a n t h e   c o - e xi s t e n c e   of   m ul t i pl e   o pe r a t i ng  m o de s   [3,   4] .   A l t h o ug h,   t h e   m u l t i m o de l   a pp r o a c c o n s i s t s   o pa rt i t i o n i n g   t h e   g l o b a l   s y s t e m ’s   f ul l   r a nge   o pe r a t i o i nt o   m ul t i p l e   s m a l l e r   ra n ge s .   T o   e a c h   ra n ge   i s   a s s o c i a t e a   l o c a l   m o de l   t ha t   de s c ri b e s   t h e   s y s t e m   be h a v i o r   i n   t hi s   s pe c i f i c   ra n ge .   T h e   s e t   of   t h e   l o c a l   m o de l s   fo r m s   t h e   c a l l e m o d e l s - l i b ra r y   o r   m o de l s - b a s e .   A   c o e ff i c i e n t   c a l l e v a l i di t y   i s   a s s o c i a t e t o   e a c h   l o c a l   m o de l   o f   t h e   m o de l s - l i b ra r y .   V a l i d i t y   e s t i m a t e s   e a c h   l i b ra r y - m o de l   c o n t ri b ut i o n   i n   t h e   r e p r o duc t i o n   o t h e   r e a l   p r o c e s s   b e h a v i or.   S e ve r a l   v a l i di t i e s '   c o m put a t i o n   m e t h o ds   h a v e   b e e n   p r o po s e i n   t h e   l i t e ra t u r e   [5 - 13] .   T h e s e   m e t h o ds   de p e n f i r s t l y   o n   t h e   w a y   t h e   l i b ra r y - m o d e l s   w e r e   de t e r m i n e d   a n s e c o n dl y ,   o n   t h e   i n f o r m a t i o n   a v a i l a b l e   o n   t h e   s y s t e m .   W e   di s t i n gu i s h   t w o   m a j o r   c l a s s e s   of  v a l i di t i e s .   F i r s t l y   t h e   pr i or i   v a l i d i t i e s   w h i c h   c a n   b e   de t e r m i n e o ff l i n e   by   e xpl o i t i n t h e   pr i or i   k n o w l e dg e   a v a i l a b l e   o n   t h e   s y s t e m .   S e c o n dl y ,   t h e   a   pos t e r i or i   v a l i d i t i e s   w h i c m us t   b e   c a l c ul a t e o n l i n e   b y   c o n s i de r i ng  t h e   m e a s u r e s   c a rr i e o ut   a t   e a c h   i n s t a nt .   T h e   pr e s e nt   pa pe r   i s   i nt e r e s t e by   a   pos t or i or i   v a l i di t y .   T h e   m a j o r i t y   of   m e t h o ds   b e l o n gi n g   t o   t h e   l a s t   c l a s s   a r e   b a s e o n   t h e   r e s i due s   c o m put a t i o a n d   a r e   e s t a b l i s h e by   m e a s u r i n o m l i n e ,   a t   e a c h   i n s t a nt ,   t h e   di s t a n c e   b e t w e e n   t h e   pr o c e s s   o ut put   a nd  t h o s e   of  t h e   v a r i a o us   m o de l of   t h e   b a s e .   T h e s e   m e t h o ds   a r e   s u i t a b l e   w h e n   t h e r e   i s   o v e r l a ppi ng  b e t w e e n   da t a   o f   t h e   d i f f e r e n t   m o de l s   o f   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2 088 - 87 08   Int   J   E l e c   &   Co m E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   1 F e b r ua r y   2020  :     88 1   -   8 90   882   t h e   t h e   m o de l s ' b a s e   [ 14].   B e s i de s ,   t h e s e   m e t h o ds   a r e   l i m i t e a n d   c a nn o t   b e   us e f ul   w i t h   p r e s e n c e   o f   c o m pl e a n d/ o r   i l l ‐de f i n e s y s t e m .   T o   ov e r c o m e   t h e s e   pr o b l e m s ,   B e n   M e s s a o ud  a n a l l .   H a v e   pr o po s e r e c e n t l y ,   t hr e e   n e w   m e t h o ds   of  c o m put a t i o n   v a l i d i t i e s .   I n   f a c t ,   t h e   f i r s t   m e t h o i s   b a s e d   o n   a   l o c a l   c r i t e r i o n   o pt i m i z a t i o n   L CO   [15].   T h e   s e c o n m e t h o us e s   a   h i e r a r c hi c a l   s t ruc t u ri n H S   t o   c o m put e   v a l i d i t i e s   [16 ].   I t h e   t h i r d   m e t h o d,   v a l i di t i e s   b a s e o n   o pt i m a l   c o m put a t i o n   O C,   a r e   o bt a i n e by   o pt i m i z i n a   c o n s t ra i n e l e a s t   s qua r e pr o b l e m   [6].   I n   t h e   p r e s e n t   p a pe r,   w e   f oc us   o ur   s t udy   t o   c o m pa r e   t h e   l a s t   t hr e e   m e t h o ds   a n t o   de t e r m i n e   t h e   o n e   l e a ds   t o   t h e   b e s t   m o d e l   t ha t   c a n   de s c r i b e   pe r f e r c t l y   t h e   r e a l   p r o c e s s .   In   o r de r   t o   c o m pa r e   pe r f o r m a n c e s   a s s um e b y   t h e   t hr e e   p r o po s e m e t h o d s   o f   v a l i di t i e s   c o m put a t i o n ,   w e   c o n s i de r   t w o   n um e r i c a l   s i m ul a t i o n   e x a m p l e s .   I t h e   s e c o n pa rt   o f   t h e   pa pe r,   w e   pr e s e nt   t h e   ge n e r a l   s t ruc t u r e   o f   t h e   m ul t i m o da l   a pp r o a c h.   T h e   t h i rd  s e c t i o n   di s c us s e s   t h e   t hr e e   c o n s i de r e c a l c ul a t i o n   v a l i di t i e s   m e t h o ds .   T w o   e xa m pl e s   o n u m e r i c a l   s i m ul a t i o a r e   gi v e n   i s e c t i o n   f o ur .   W e   f i ni s h   t h i s   w o r by   a   c o n c l us i o n.       2.   G EN ER A L   S TR U C TU R O F   M U LTI M O D EL   A P P R O A C H     T h e   ge n e r a l   s t r uc t u r e   o t h e   m u l t i m o de l   a pp r o a c h   i s   p r e s e nt e i n   F i gu r e   1.   I t   i s   f o r m e by   t hr e e   uni t s :   t h e   m o de l s   l i b ra r y   un i t ,   t h e   de c i s i o n   u ni t   a n t h e   o ut pu t   u ni t   [ 12 17,   18] .     2. 1 .   M o d e l s   l i b r a r y   u n i t   T h i s   u ni t   c a n   c o nt a i d i f fe r e nt   t y pe s   o f   m o d e l s   (e i t h e r   i n pu t - o ut put   m o de l s   o r   s t a t e   s pa c e   m o de l s ).   T h e s e   m o de l s   a r e   di s t i n gu i s h e w i t h   r e s pe c t   t o   f o ur   f e a t u r e s :   P a r t i t i o n   s t ra t e g y ,   s ub m o de l   s t r uc t u ra l   i de nt i f i c a t i o n ,   t ra n s i t i o n   b e t w e e n   m o de l s   a n d   m e t h o o f   r e a l i z a t i o [19 - 21].     2. 2 .   D e c i s i o n   u n i t   T h i s   u n i t   i s   r e s po n s i b l e   o f   c o m put i n g   m o de l s   v a l i d i t i e s   v i .   I t   i s   a   f un d a m e n t a l   u ni t   a s   i t   de t e rm i n e s   t h e   de gr e e s   o f   c o n t ri b ut i o n   o f   e a c h   l o c a l   m o de l   o f   t h e   l i b r a ry   i n   t h e   c o m po s i t i o n   o f   t h e   o ut put   o f   t h e   o r i gi na l   s y s t e m .   It   i s   a s s um e t ha t   t h e   c o n t r i b ut i o n   o f   a l l   l o c a l   m o de l s ’  s u m   i s   e qua l   t o   a n y w h e r e   a c r o s s   t h e   o pe r a t i n g   s pa c e   [11 ,   21] .     [ 0 , 1 ]   ;   = 1 , 2 , ,   (1)     = 1 = 1     (2)     W h e r e   L   r e p r e s e n t   t h e   n u m b e r   o f   l i b r a r y ’  m o de l s           F i gu r e   1 .   G e n e ra l   s t r uc t u r e   o f   s y s t e m   m o de l l i ng  by   m ul t i m o de l   a p p r o a c h       2. 3 .   O u tp u u n i t   T h e   o ut put   u ni t   c o m put e s   t h e   m ul t i m o de l   o ut put      by   e xpl o i t i n g   o ut put s   o b t a i n e by   m o de l s - li b ra r y   un i t   a n d   t h e   de c i s i o n   u ni t   a s   f o l l ow s :      ( ) = ( ) = 1 ( )   (3)     W h e r e   y i   i s   t h e   o ut put   o f   t h e   m o de l     o f   t h e   m o de l s - l i b r a r y   a n d   L   i s   t h e   n u m b e r   o f   l i b ra r y ’  m o de l s .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m E n g     IS S N :   2088 - 8708       A   c om par at i v e   s t ud y   o f   t hr e e   v al i di t i e s   c om pu t at i on  m e t h ods   f or   m ul t i m o de l   . . .   ( Sam i a   T al m oudi   B e n   A o un )   883   3.   V A LI D I TI ES   C O M P U TA TI O N   3. 1 .   Th e   f i r s t   M e th o d V al i d i ti e s   c o m p u tati o n   b l o c al   c r i te r i o n   o p ti m i z ati o n   LC O   T h i s   m e t h o d   i s   p r e s e n t e d   by   B e n   M e s s a o ud  a n d   a l   i [15] .   I t hi s   m e t h o d,   t h e   v a l i di t y     c a b e   e s t i m a t e d,   a t   e a c h   i n s t a n t   b y   m i n i m i z i ng  t h e   c ri t e r i o n   g i v e n   by   t h e   (4),   w h i c h   r e p r e s e n t   a n   e qua l i t y   c o n s t ra i n e d   o pt i m i z a t i o p r o b l e m   [16]:     = 1 2 2 ( ) ( ( ) ( ) ) 2 = 1 s ub j e c t   t o :   ( ) = 1 = 1     (4)     W h e r e :   L   i s   t h e   n u m b e r   o f   l i b ra r y ’  m o de l s .     ( )   i s   t h e   o ut pu t   o f   th   l o c a l   m o de l ,     ( )   i s   t h e   m e a s u r e o ut pu t   o f   t h e   n o nl i n e a s y s t e m .   T h e   s o l ut i o n   o f   t h e   o pt i m i z a t i o c ri t e r i o n   a b ov e   i s   gi v e n   by   t h e   f o l l ow i n g   e xp r e s s i o n :     ( ) = 1 2 ( ) 1 2 ( ) = 1   ;   = 1 , ,   (5)     W h e r e   ( )   r e pr e s e nt s   t h e   r e s i d ue   a t   t h e   i n s t a nt   k   a nd  i s   b a s e o n   t h e   o n l i n e   c o m put a t i o o   t h e   di f f e r e n c e   b e t w e e n   t h e   p r o c e s s   o ut put   a n d   t h o s e   of   t h e   v a ri o us   m o de l s     o f   t h e   b a s e   a t   t h e   i n s t a nt   k     a s   b e l ow :     = | |   ;   = 1 , ,   (6)     3. 2 .   Th e   S e c o n d   M e th o d V al i d i ti e s   c o m p u tati on   b as e d   o n   an   h i r ar c h i c   s t r u c tu r e   H S   T h i s   m e t h o i s   de s c r i b e by   B e n   M e s s a o ud  a n a l .   i [16]   a n i s   s um m a ri z e d   a s   f o l l o w s :   L e t   us   a s s um e   t h a t   a t   i n s t a nt   ,   t h e   r e s i due s ’  c a l c ul a t i o us i n g   t h e   (6)  gi v e s   a s c e n di n g   v a l ue s     ( 1 2 ).   T h e   s e c o n m e t h o f o v a l i di t i e s   c o m put a t i o i s   b a s e o a   qu a s i - hi e ra r c h i c a l   s t ruc t u r i ng  w h o s e   v a l i di t i e s   a r e   c a l c ul a t e d   by   t h e   f o l l ow i n g   e qua t i o n :      = = 1   ;   = 1 , ,   (7)     W h e r e :     = 1 = 1   ;   = 1 , ,   (8)     In   t h e   ge n e r a l   c a s e   a n f o r   e a c h   i n s t a nt   k,   t h e   b a s e - m o de l s ’  v a l i di t i e s   a r e   c o m put e by   us i n g   t h e   f o l l ow i n a l go r i t h m :   S te p   1:   C r e a t e   a   t a b l e   c o n t a i n i ng  a l l   b a s e - m o de l s ’  o ut put s :      = [ 1   2 ]     S te p   2:   Ca l c ul a t e   t h e   c o rr e s po n di n g   r e s i due s   by   (6).     S te p   3:   C r e a t e   a   t a b l e   c o n t a i n i ng  a l l   t h e   o b t a i n e r e s i due s :      = [ 1   2 ]     S te p   4 :   A rra n ge    i a s c e n di ng   o r de i nt o      a nd  c r e a t e   a   t a b l e    fo r   t h e   c o rr e s po n d i n g   i ndi c e s   of      S te p   5:     fo r   i   = 1   t o   2      [ ]                 Ca l c ul a t e     by   (7)   E nd       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2 088 - 87 08   Int   J   E l e c   &   Co m E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   1 F e b r ua r y   2020  :     88 1   -   8 90   884   1 = 1 .  [  [ 1 ] ] + 2 .  [ [ 2 ] ]         (9)   1   fo r   i   = 3   t o   L    [ ]     = | |   Ca l c ul a t e        a n by   (7)    if   i   = = L     S T O P !   e l s e       + 1 = . +   .  [  [ ] ]   (10)     e n d   + 1   e n d   S te p   6 :   C a l c ul a t e   t h e   v a l i di t i e s   o f   t h e   di f f e r e n t   m o de l s   f r o m   t h e   f o l l ow i n g   l o o p:     fo r   i   = 1   to   L   fo r   j = to   L     i    [ ] = =   i   if   = =   1     = ( 2 = 1 )   (11)     e l s e   i f   j   = =   L     =     e l s e       = ( 2 = 1 )               (12)     En d   i f     En d   i f   En d   fo r   En d   fo r     3. 3 .   Th e   Th i r d   M e th o d v al i d i ti e s '   o p ti m al   c o m p u tati o n   O C   T h e   t hi r p r o po s e m e t h o o f   v a l i di t i e s   c o m put a t i o n   v i   i s   b a s e o n   t h e   o pt i m i z a t i o n   o f   a   c o n s t r a i n e l e a s t   s q u a r e s   p r o b l e m   [6] .   T h e   f o r m u l a t i o o f   t h e   qua d r a t i c   p r o g r a m m i n g   i s   a s   f o l l o w s :     v 1 2 v Gv + c v              : { Dv = Fv e     (13)     W h e r e D = ( 1 1 1 ) 1 × = 1 F = ( I × I × )   a nd  e = (       1 1 0 0 )       2 × 1   =   a n d   = .   (14)     T h e   a c t i v e - s e t   m e t h o i s   c h o s e n   f o r   s o l v i n t h e   p r o b l e m   a b ov e   [17].   T h e   de t a i l s   o f   v a l i di t i e s '   co m put a t i o n   b y   t h i s   m e t h o a r e   g i v e n   by   t h e   f o l l ow i n a l go ri t hm :   S te p   1   D e t e r m i n e   a i ni t i a l   f e a s i b l e   po i nt   0   by   s o l v i n g   t h e   l i n e a r   p r o g ra m m i ng  p r o b l e m   b e l ow   (16),   a n d   by   us i n t h e   s i m pl e x   m e t h o d:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m E n g     IS S N :   2088 - 8708       A   c om par at i v e   s t ud y   o f   t hr e e   v al i di t i e s   c om pu t at i on  m e t h ods   f or   m ul t i m o de l   . . .   ( Sam i a   T al m oudi   B e n   A o un )   885     ( , )      : { + =   ;   = 1 + + 1 + 1   ;   = 1 , , 2 0                                                                                                                                           (1 5 )     w h e r e :   = ( 1 1 1 ) ( 2 + 1 ) × 1 ,   = ( ̃ )   f o r   = 1   a n   + 1 = 1   f o r   = 1 , , 2   w i t h   ̃   i s   a i n i t i a l   e s t i m a t e   o f   t h e   v e c t o r     .   S te p   2   D e t e r m i n e   t h e   w o r ki n s e t   0 w h i c c o n t a i n s   t h e   i n de xe s   r e pr e s e nt i n g   t h e   e qua l i t y   a n d   a c t i v e   i n e qua l i t y   c o n s t ra i nt s :     0 = { | d v 0 = } { | f v 0 = }                                                                                                                                                                         (1 6 )     fo r   = 0 , 1 , 2 ,     do     F i nd  t h e   s e a r c di r e c t i o   a n t h e   L a g ra n ge   m ul t i p l i e r s   λ l   a n d     by   s o l v i n g   K K T - e qua t i o n s   (K a r us h - K u hn - T uc ke r o f   t h e   qu a d r a t i c   s ub p r o b l e m :     1 2  + ( )      : { = 0   ;   = 0   ;                                                                                                                                                                                                   (1 7 )       if   = 0   th e n       if   μ l 0   th e n         S T O P W i t =   i s   t h e   o pt i m a l   s o l ut i o n ;       e l s e           F i nd  t h e   m o s t   n e g a t i v e   c o m po n e n t   o f   :     0 = { | < 0 ,   }                                                                                                                                           (1 8 )   + 1 = ;       R e m o ve   c o n s t r a i n t   c o rr e s po n di n g   t o   t h e   m o s t   n e ga t i v e   c o m po n e n t   o f     f r o m     t h e   w o r ki n s e t :   + 1 \ { 0 }   ;       e n d   i f     e l s e   { p 0 }       Co m put e   t h e   s t e p - l e n gt   t h a t   gu a ra n t e e s   t h e   s a t i s f a c t i o n   o f   a l l   c o n s t ra i nt s   f r o m :       = ( 1 , f v f p |   a nd   f p < 0 )                                                                                                                                 ( 19 )     U pda t e :   + 1 + ;   U pda t e   :     i = 1   th e n         + 1 ;       e l s e         A dd  o n e   c o n s t ra i nt   t o   t h e   w o r ki ng  s e t :   W l + 1 W l { j 0 }   w h e r e       = 0 f 0 v f 0 p   f or   f 0 p < 0         e n d   i f     e n d   i f   e n d   fo r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2 088 - 87 08   Int   J   E l e c   &   Co m E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   1 F e b r ua r y   2020  :     88 1   -   8 90   886   4.   S I M U LA TI O N   EX EM P LES     T o   c o m pa r e   t h e   pe r f o r m a n c e s   of fe r e by   t h e   t hr e e   c o n s i de r e c o m put a t i o n   v a l i d i t i e s   m e t h o ds ,     w e   pr o po s e   t w o   n u m i c a l   s i m u l a t i o e xa m pl e s .     4. 1 .   Ex e m p l e   1   T h i s   f i r s t   e xa m pl e   i s   a   di s c r e t e   s y s t e m   w i t t i m e   v a r y i n g   p a ra m e t e r s   1 ( ) , 2 ( ) , 1 ( )   a n d   2 ( )   de s c r i b e by   t h e   (21)   [ 11 ,   2 2,   23] .   T h e   v a ri a t i o l a w s   of   t h e   pr o c e s s   pa ra m e t e r s   a r e   g i v e n   b y   F i gur e   2.     ( ) = 1 ( ) ( 1 ) 2 ( ) ( 2 ) + 1 ( ) ( 1 ) + 2 ( ) ( 2 )     (2 0 )     By   a ppl y i n t h e   m ul t i m o de l   a pp r o a c h,   T a l m o udi   e t   a l .   [1 8]  h a s   e s t a b l i s h e t h e   f o l l ow i n g   m o d e l s - l i b ra r y   t r a n s f e r   f u n c t i o n s :     1 ( 1 ) = 0 . 18104 1 + 0 . 071832 2 1 1 . 1657 1 + 0 . 2073 2   (2 1 )     2 ( 1 ) = 0 . 10423 1 + 0 . 1325 2 1 1 . 2806 1 + 0 . 3258 2   (2 2 )     3 ( 1 ) = 0 . 018301 1 + 0 . 20512 2 1 1 . 3801 1 + 0 . 4 2 93 6 2   (2 3 )           F i gu r e   2 .   E v o l ut i o n   o f   pa ra m e t r e s   v a r i a t i o l a w s       A f t e r   de t e rm i ni n t h e   l i b r a r y - m o de l s ,   w e   c o m put e   t h e   v a l i di t i e s   de gr e e s   of   e a c h   m o de l   o f   t h e   l i b r a r y   by   us i n t h e   t hr e e   m e t h o ds   de s c r i b e a bov e .   T h e   e vo l ut i o n s   of   v a l i di t i e s   de gr e e s   ob t a i n e by   us i n L CO ,   H S   a n O C   m e t h o ds   a r e   p r e s e nt e d,   r e s pe c t i v e l y ,   i n   F i g u r e s   3 ,   4   a n 5 .   T h e s e   F i gu r e s   s h o w   t ha t   O m e t h o gi v e s   t h e   be s t   r e s ul t s   i n   t e rm   o f   pr e c i s i o n .   Inde e d,   i t   i s   c l e a r,   f r o m   t h e   c o n s i de r e s y s t e m   (2 0 ),   t ha t   a t   e a c h   r a n ge   of  t i m e ,   t h e r e   i s   o n l y   o n e   t r a n s f e r   f un c t i o n   t ha t   i s   t o t a l l y   v a l i d.   O r,   O nl y   t h e   O m e t h o de m o n s t ra t e s   t h i s   f e a t ur e   i n   F i gu r e   5 .   L CO   a n H S   m e t h o ds   gi v e   f o r   e a c h   r a n ge   o t i m e   o n e   m o de l   h a v i n a   v a l i d i t y   de gr e e   n e a t o   1   b ut   n o t   e qua l   t o   1 .   T h e   m ul t i m o de l   o ut put   i s ,   t h e n ,   o b t a i n e b y   t h e   f us i o o f   t h e   di f f e r e n t   m o de l s   o ut put s   1 ( )   ,   y 2 ( k )   a n y 3 ( k )   w e i ght e by   t h e i r e s pe c t i v e   v a l i di t y   de gr e e s   c o m put e by   t h e   di f f e r e n t   p r o po s e m e t h o ds :     ( ) = 1 L C O ( ) 1 ( ) + 2 L C O ( ) 2 ( ) + 3 L C O ( ) 3 ( )   (2 4 )     ( ) = 1  ( ) 1 ( ) + 2  ( ) 2 ( ) + 3  ( ) 3 ( )   (2 5 )     ( ) = 1  ( ) 1 ( ) + 2  ( ) 2 ( ) + 3  ( ) 3 ( )   (2 6 )     W h e r e :     , ,   a r e   m u l t i m o de l   o uput s   us i n g   r e s pe c t i v e l y   L CO ,   H S   a n d   O m e t h o ds .       v 1 L C O ( k )   ,   v 2 L C O ( k )   a nd  v 3 L C O ( k )   a r e   v a l i d i t i e s   f o r   L CO   m e t h o d.     v 1 HS ( k )   ,   v 2 HS ( k )   a n d   v 3 HS ( k )   a r e   v a l i di t i e s   f o r   H S   m e t h o d.     v 1 O C ( k )   ,   v 2 O C ( k )   a n d   v 3 O C ( k )   a r e   v a l i di t i e s   f o r   O C   m e t h o d.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m E n g     IS S N :   2088 - 8708       A   c om par at i v e   s t ud y   o f   t hr e e   v al i di t i e s   c om pu t at i on  m e t h ods   f or   m ul t i m o de l   . . .   ( Sam i a   T al m oudi   B e n   A o un )   887   F i gu r e   6   s h o w s   t h e   e vo l ut i o n s   o f   t h e   r e l a t i v e   e rr o r s   o b t a i ne w h e n   w e   a ppl y   t h e   t hr e e   c o n s i de r e v a l i di t i e s   c o m put a t i o n   m e t h o ds .   I t   i s   c l e a r   t ha t   O m e t h o off e r s   t h e   b e s t   pr e c i s i o n   by   c o m pa r i s o n   t o   t h e   t w o t h e m e t h o ds .             F i gu r e   3 .   V a l i di t i e s   e v o l ut i o n   o f   L CO   m e t h o d     F i gu r e   4 .     V a l i d i t i e s   e v o l ut i o o f   H S   m e t h o d             F i gu r e   5 .     V a l i d i t i e s   e v o l ut i o o f   O m e t h o d     F i gu r e   6 .   R e l a t i v e   e rr o r s   e v o l ut i o n s       4. 2 .   Ex e m p l e   2   T h e   s e c o n c o n s i de r e e xa m p l e   i s   a u n c e r t a i c o m pl e s y s t e m   r e pr e s e nt e by   t h e   f o l l ow i n e qua t i o n   [6 ,   20 ,   18 ]:     ( ) + ( ) ̇ ( ) = ( ) ( )   ;   [ 0 , 1 ]   (2 7 )     W h e r e :   ( ) = 36 ( ) ( ( ) 1 ) + 10     a n d   ( ) = 15 10 ( ) .   It   i s   c l e a r   t h a t   t h e   c o n s i de r e d   s y s t e m   i s   n o nl i n e a r.   I n de e d,   t h e   ga i n   a n t h e   t i m e   c o n s t a n t   v a r y   w i t h   T h i s   n o n l i n e a r i t y   a ppe a r s   m o r e   i n   F i gu r e s   7   a n 8 .   T h e   l a s t   F i gu r e s   s h o w s   t h e   e vo l ut i o n   o f   t h e   t i m e   c o n s t a nt   a n t h e   g a i v a r i a t i o n s .     T h e   m i n i m a l   a n d   m a x i m a l   v a l ue s   o f   r e s pe c t i v e l y   t h e   g a i a nd  t h e   t i m e   c o n s t a n t   a r e :       = 1 ;    = 10 ;   = 5 ;    = 15 ;     (2 8 )     By   us i n t h e   K ha r i t o n o v ' s   a l ge b ra i c   a pp r o a c [9] ,   w e   ob t a i t h e   f o l l ow i n m o de l s '   l i b ra r y :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2 088 - 87 08   Int   J   E l e c   &   Co m E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   1 F e b r ua r y   2020  :     88 1   -   8 90   888   1 ( ) = 1 1 + 15 ; 2 ( ) = 1 1 + 5 3 ( ) = 10 1 + 15 ; 4 ( ) = 10 1 + 5   ( 29 )     T h e   s y s t e m   (2 7 a n t h e   f o ur   t r a n s f e r   f un c t i o n s   ( 29 a r e   i m pl a n t e i n   t h e   M a t l a b   S i m u l i nk  e n v i r o nm e n t .   M a t l a b   di s c r e t i z e   t h e s e   e qua t i o n s   by   us i n t h e   B o ga c ki - S ha m p i n e   m e t h o w i t h   s a m p l i n t i m e       e qua l   t o   0 . 1   .             F i gu r e   7 .   T h e   c o n s t a n t   t i m e   v a r i a t i o n     F i gu r e   8 .   T h e   g a i v a r i a t i o n       T h e   F i gu r e   9   s h ow s   t h e   e vo l ut i o n s   o f   t h e   pr o c e s s   a n t he   m ul t i m o de l   s t a t e s   ob t a i n e by   us i n   t h e   t hr e e   c o m put a t i o n   v a l i di t i e s   m e t h o ds   a n by   a ppl y i n a   uni t   s t e a t   t h e   i n pu t .   It   i s   c l e a r   t h e   m ul t i m o de l   s t a t e   f o r   O m e t h o c o i n c i de s   pe r f e c t l y   w i t h   t h e   pr o c e s s   s t a t e .   A l t h o ugh   t h e   t w o t h e r   s t a t e s   r e l a t i v e   t o   L CO   a n H S   m e t h o ds   f o l l ow s   t h e   pr o c e s s   s t a t e   b ut   w i t h   a n   e rr o r   re l a t i v e l y   i m po r t a n t .   T h e s e   e r r o r s   a r e   r e p r e s e n t e i n   F i gu r e   10   w h i c h   s h o w s   t h a t   t h e   r e l a t i v e   e r r o r   c o rr e s po n d e n t   t o   O m e t h o i s   e qua l   t o   a t   e v e r y   i n s t a n t .   T h e   o t h e r e l a t i v e   e rr o r s   a r e   r e l a t i v e l y   i m po rt a nt .             F i gu r e   9 .   P r o c e s s   a n d   m ul t i m o de l   s t a t e s     F i gu r e   10 .     R e l a t i v e   e rr o r s   e v o l ut i o n s       W h e r e :   x   r e p r e s e n t s   t h e   p r o c e s s   s t a t e     i s   t h e   m ul t i m o de l   s t a t e   o b t a i n e by   us i ng  L CO   m e t h o d,        i s   t h e   m ul t i m o de l   s t a t e   o b t a i n e by   us i ng  H S   m e t h o d,      i s   t h e   m ul t i m o de l   s t a t e   o b t a i n e by   us i ng  O C   m e t h o d .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int   J   E l e c   &   Co m E n g     IS S N :   2088 - 8708       A   c om par at i v e   s t ud y   o f   t hr e e   v al i di t i e s   c om pu t at i on  m e t h ods   f or   m ul t i m o de l   . . .   ( Sam i a   T al m oudi   B e n   A o un )   889   5.   C O N C LU S I O N   O n   o ur   r e s e a r c h,   w e   a r e   i n t e r e s t e by   e xpl o i t i n t h e   m ul t i m o de l   a pp r o a c h   f o r   m o de l l i n c o m pl e x,   n o n - l i n e a r   o r/ a nd  u n c e rt a i n   s y s t e m s .   T hi s   pa pe r   p r e s e n t s   a   l a r ge   c o m pa r a t i v e   s t udy   of   t hr e e   v a l i di t i e s   c o m put a t i o n   m e t h o ds .   T h e s e   m e t h o ds   a r e   r e c e n t l y   pr o pos e d   by   Be n   M e s s a o ud   a n a l .   W e   a r e   s uc c e e de t pr o v e   t ha t   t h e   m e t h o b a s e o n   r e s o l v i n a n   o pt i m i z a t i o n   pr o b l e m   by   us i n t h e   a c t i v e   s e t   m e t h o i . e   O C   m e t h o d,   g i v e s   t h e   b e s t   r e s ul t s   o f   m o de l l i n w i t a   go o p r e c i s i o n .       R EF ER EN C ES     [ 1]   M a r w a   H a nna c h i ,   I kbe l   B e nc he i k A hm e d,   a n d   D h a o S o uda n i ,   " D i s c r e t e - ti m e   I nv e r s i o M o de l   C o nt r o l   o f     a   D o ubl e - da m pe r   S y s t e m   w i t U nc e r t a i P a r a m e t e r s , "   I n t e r na t i on al   J ou r na l   o f   R obo t i c s   an A ut om at i o ( I J R A ) v o l .   6( 3 ) ,   p p.   16 8 - 177 ,   S e p   201 7 .   [ 2]   D a na   D e hg ha ni ,   A z l i   Y a hy a ,   N o r   H i s ha m   K h a m i s ,   a nd   A l i   I dha m   A l z a i di " E D M   P r o c e s s   t h r o ug M a t h e m a t i c a l   M o de l , "   I nt e r n at i on al   J o ur n al   o f   P ow e r   E l e c t r oni c s   an D r i v e   Sy s t e m   ( I J P E D S) ,   v o l .   10 ( 2 ) pp .   874 - 88 1 ,   20 19 .   [ 3]   A hm e S a ï d   N o ur i ,   M o ha m e d   M i ho ub ,   a nd   R i d ha   B e n   A bde nno ur ,   " M ul t i m o de l   d i s c r e t e   s l i di ng   m o de   c o nt r o l   f o r   no n - s t a t i o na r y   s y s t e m s , "   I n t .   J .   M o de l l i ng ,   I de n t i f i c a t i o a nd   C on t r ol ,   v o l .   3( 4 ) ,   p p.   36 8 - 375 ,   2008 .   [ 4]   A hm e R hi f ,   Z o hr a   K a r do us ,   a n N a c e u r   B e nH a d j   B r a i e k ,   " A   s l i di ng   m o de   m ul t i m o de l   c o nt r o l   f o r   a   s e n s o r l e s s   pho t o vo l t a i c   s y s t e m , "   J our nal   o f   Sc i e nt i f i c   &   I ndu s t r i al   R e s e ar c h , v ol .   7 1,   pp .   418 - 42 4,   20 12 .   [ 5]   A bda l l a S a l e m ,   A l i   S g ha ï e r   T l i l i   a n N a c e ur   B e nh a dj   B r a i e k ,   " O t he   pl o t y t o pi c   a nd  m ul t i m o de l   s t a t e   o bs e r v e r s   o f   i nduc t o r   m o t o r , "   J ou r na l   of   A u t om a t i on   &   Sy s t e m s   E n gi ne e r i n g , v o l .   2 ,   n o.   4,   2 008 .   [ 6]   B e M e s s a o ud  A bde nna c e r ,   T a l m o udi   S a m i a ,   a nd  M o uf i da   K s o ur i . " M u l t i m o de l   a pp r o a c f o r   m o de l l i ng   o f   no nl i n e a r   s y s t e m s :   v a l i di t i e s '   o pt i m a l   c o m put a t i o n , "   I n t e r na t i ona l   j our na l   f or   C om pu t a t i o an M a t he m at i c s   i n   E l e c t r i c al   an E l e c t r on i c   E ng i ne e r i ng ,   v o l .   37 ( 1 ) ,   pp .   153 - 17 5.   [ 7]   C ha dl i   M . ,   " St ab i l i t y   and  c on t r o l   o f   s y s t e m s   de s c r i be by   m u l t i m ode l   ( i F r e nc h) , "   T s e   d e   do c t o r a t ,   I ns t i t ut   N a t i o na l   P o l y t e c hni que   de   L o r r a i n e ,   2 002 .   [ 8]   H .   G ha r s a l l a o u i " R e c on f i gur at i on  o f   c on t r o l   l aw s   and  ac t i v e   ac c o m m odat i on  o f   ope r at i ng  m ode s   f o r   f l at   s y s t e m s   ( i F r e n c h) ,"   T s e   de   do c t o r a t ,   E c o l e   c e nt r a l e   de   L i l l e   e n   c o t ut e l l e   a v e c   l é c o l e   na t i o na l e   d i ng é ni e ur s     de   T uni s ,   2 010 .   [ 9]   Na w e l   M e ns i a   a nd  M o uf i da   K s o ur i ,   " A da pt i v e   N e ur a l   I nt e r na l   M o de l   C o nt r o l   f o r   C o m pl e P r o c e s s   w i t D e l a y ,   I nt e r na t i o na l   C o nf e r e nc e   o C o m m uni c a t i o ns , "   C om pu t i ng   an C o nt r o l   A pp l i c a t i ons   ( C C C A ) ,   p p.   1 - 7 ,   2 011 .   [ 10]   R .   O r j ue l a ,   B .   M a r x ,   J .   R a g o t ,   a nd  D .   M a qu i n ,   " S t a t e   e s t i m a t i o o f   no nl i ne a r   s y s t e m s   ba s e o he t e r o g e ne o us   m ul t i p l e   m o de l s :   s o m e   r e c e nt   t h e o r e t i c a l   r e s u l t s , "   3r I F A C   W or k s ho on  A dv a nc e F uz z y   and  N e ur a l   C on t r o l ,     v o l .   3 ( 1 ) ,   pp .   97 - 102 200 7 .   [ 11]   T a l m o udi   S ,   B e a b de nno ur   R ,   A bde r r a hi m   K ,   a nd   B o r ne   P . ,   " A   S y s t e m a t i c   D e t e r m i n a t i o A ppr o a c of     a   M o de l s   B a s e   f o r   U nc e r t a i n   S y s t e m s :   E xpe r i m e nt a l   V a l i da t i o n, "   S y s t e m s ,   M a a nd   C y be r ne t i c s ,   v o l .   6 ,   200 2.   [ 12]   V e r du l t   V ,   L j ung   L ,   a nd  V e r ha e g e M . ,   " I de nt i f i c a t i o o f   c om po s i t e   l o c a l   l i ne a r   s t a t e - s p a c e   m o de l s   us i ng     a   p r o j e c t e d   g r a di e nt   s e a r c h, "   I nt e r n at i on al   J o ur n al   o f   C ont r o l ,   v o l .   75 ( 1 6/ 1 7 ) pp .   1 385 - 139 8,   20 02 .   [ 13]   S a ï d a   B e do ui ,   M a j da   L t a i e f ,   a nd  K a m e l   A bde r r a h i m . ,   " N e w   m e t ho f o r   t he   s y s t e m a t i c   de t e r m i na t i o o f     t he   m o de l s   ba s e   o f   t i m e   v a r y i ng   de l a y   s y s t e m , "   I nt e r na t i ona l   J our nal   o f   C om p ut e r   A pp l i c at i o ns v o l .   4 6( 1 ) ,     pp.   13 - 19 ,   201 2 .   [ 14]   E l f e l l y ,   N ,   D i e ul o t ,   J . Y ,   a nd  B o r n e   P. ,   " A   ne ur a l   a p pr o a c o f   m u l t i m o de l   r e p r e s e n t a t i o o f   c o m pl e p r o c e s s e s ,"   I nt e r n at i on al   J o ur n al   o f C om pu t e r s C om m u ni c at i on s & C ont r o l ,   v o l .   3( 2 ) ,   pp .   149 - 16 0,   20 08.   [ 15]   B e M e s s a o ud  A bde nna c e r ,   T a l m o udi   S a m i a ,   a nd  M o uf i da   K s o ur i . " M ul t i m o de l   A ppr o a c h:   V a l i di t i e s   c om put a t i o by   l o c a l   c r i t e r i o o pt i m i z a t i o n, "   I n t e r na t i ona l   c onf e r e nc e   of   adv a nc e s y s t e m s   and  e l e c t r i c   T e c hnol o gi e s   14 - 17   J a nua r y   201 7 ,   H a m m a m e t ,   T uni s i a .   [ 16]   B e M e s s a o ud  A bde n na c e r ,   T a l m o udi   S a m i a ,   a nd  M o uf i da   K s o ur i . " A   ne w   s t r a t e g y   o f   v a l i di t i e s   c o m put a t i o f o r   m ul t i m o de l   a p pr o a c h:   E xpe r i m e n t a l   v a l i da t i o n, "   I n t e r na t i ona l   J our nal   o f   A dv anc e C om pu t e r   Sc i e nc e   and  A ppl i c a t i ons   ( I J A C SA ) ,   v o l .   8 ( 7 ) ,   J u l   201 7.   [ 17]   S hw e t a   G oy a l ,   S a c h i M i s h r a ,   a n A na m i ka   B ha t i a ,   " A   c o m pa r a t i v e   a ppr o a c be t w e e d i f f e r e n t   o pt i m i z e   r e s u l t   i n   hy br i e ne r gy   s y s t e m   us i ng   H O M E R , "   I nt e r n at i ona l   J our nal   of   E l e c t r i c al   a nd  C om p ut e r   E n gi ne e r i ng  ( I J E C E )   vol .   9( 1 ) ,   p p.   14 1 - 147 ,   F e b .   2 019 .   [ 18]   M .   L t a i e f ,   A .   M e s s a o ud,   a nd  R .   B e A bde n no ur ,   " O p t i m a l   s y s t e m a t i c   de t e r m i na t i o o f   m o de l s   b a s e   f o r   m ul t i m o de l   r e p r e s e n t a t i o n:   r e a l   t i m e   a ppl i c a t i o n, "   I n t e r na t i ona l   J o ur na l   of   A ut om at i on  and  C om p ut i ng ,   v o l .   11( 6) ,   pp.   64 4 - 652 ,   D e c   2014 .   [ 19]   V .   D .   S .   M a r t i ns ,   M .   R o dr i g ue s ,   a n M .   di a g ne ,   " A   m ul t i - m o de l   a ppr o a c t o   S a i nt - V e n a nt   e qua t i o ns :     A   s t a bi l i t y   s t udy   b y   L M I s , "   I n t e r nat i o nal   J ou r na l   o f   A p pl i e M a t he m at i c s   and   C om pu t e r   Sc i e nc e ,   v o l .   2 2( 3 )   pp.   53 9 - 550 2 012 .   [ 20]   D e l m o t t e   F ,   " M u l t i - m o de l   a n a l y s i s   ( i F r e nc h) ,”   T s e   de   doc t or at U ni v e r s i t é   d e s   s c i e nc e s   e t   t e c hn i que s   de   L i l l e ,   1997 .   [ 21]   S .   E l   F e i a nd   A .   A de ni r a n ,   " M o de l i ng   a n i de n t i f i c a t i o o f   no nl i ne a r   s y s t e m s :   a   r e v i e w   o f   t he   m ul t i m o de l   a ppr o a c h - pa r t   2, "   I E E E   T r an s ac t i ons   o f   s y s t e m s ,   m an ,   and   c y be r n i t i c s :   s y s t e m s ,   v o l .   47 ( 7 ) ,   J ul   20 17 .   [ 22]   R .   O r j ue l a ,   B .   M a r x ,   J .   R a g o t ,   a n D .   M a qui n,   " N o nl i n e a r   s y s t e m   i de n t i f i c a t i o us i n g   he t e r o g e ne o us   m ul t i p l e   m o de l s , "   I n t e r na t i ona l   J ou r na l   of   A pp l i e M at he m at i c s   an C om pu t e r   S c i e nc e ,   v o l .   2 3( 1 ) ,   p p.   10 3 - 115 2 013 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            IS S N :   2 088 - 87 08   Int   J   E l e c   &   Co m E n g ,   V o l .   10 ,   N o .   1 F e b r ua r y   2020  :     88 1   -   8 90   890   [ 23]   T a l m o udi   S ,   A bde r r a h i m   K ,   B e a bd e nno ur   R ,   a n K s o ur i   M . ,   " M ul t i m o de l   a p pr o a c us i ng   ne ur a l   ne t w o r ks     f o r   c o m pl e s y s t e m s   m o de l i ng   a nd  i de nt i f i c a t i o n, "   N on l i ne ar   D y nam i c s   and   Sy s t e m s   T he or y v o l .   8 ( 3 )   pp.   29 9 - 316 ,   2 008 .       B I O G R A P H I ES   O F   A U T H O R S         S am i T a l m o u d i   h a s   r e c e i v e he r   P h. D .   d e g r e e   i e l e c t r i c a l - a u t o m a t i c   e ng i ne e r i ng   f r o m   N a t i o na l   S c hoo l   o f   E ng i ne e r i ng   o f   T uni s   i n   200 5.   F r o m   20 05  t o   20 15,   s he   w a s   a a s s o c i a t e   pr o f e s s o r   i n   t he   E l e c t r o n i c   D e pa r t m e n t ,   a t   t h e   H i g he r   I ns t i t u t e   o f   S c i e nc e s   a nd  T e c hno l o gy   of   M a t e u r ,   T u ni s i a .   A c t ua l l y ,   s he   i s   a a s s o c i a t e   p r o f e s s o r   i U ni v e r s i t y   of   T a buk,   A r a bi a   S a o udi t e .   S he   i s   i n t e r e s t e d   w i t h   m ul t i m o de l   a nd   m ul t i c o nt r o l   a p pr o a c he s ,   n e u r a l   n e t w o r k s ,   f r a c t i o na l   s y s t e m s   m o de l i ng ,   a nd  num e r i c a l   c o nt r o l   o f   c o m pl e s y s t e m s .         A b d e n n ac e r   B e n   M e s s ao u d   r e c e i v e h i s   E ng i ne e r i ng   D i p l o m a   i E l e c t r i c   a nd  A ut o m a t i c   E ng i ne e r i ng ,   i 2 002 ,   a n M a s t e r   de g r e e   i A ut o m a t i c   C o nt r o l   a nd  I nt e l l i g e n t   T e c hn i que s ,   i n   2009 ,   f r o m   N a t i o na l   S c ho o l   of   E ng i ne e r s   o f   G a be s   ( E N I G ) ,   T u ni s i a .   H e   h a s   o v e r   13  y e a r s   o f   i ndu s t r i a l   e xpe r i e nc e .   C u r r e nt l y ,   he   i s   pur s u i ng   hi s   P hD   t h e s i s   a t   L a bo r a t o r y   o f   A na l y s i s   C o nc e pt i o a nd  C o nt r o l   S y s t e m s   ( L A C S )   a t   N a t i o na l   E ng i ne e r i ng   S c hoo l   of   T uni s   ( E N I T ) ,   T uni s i a .   H i s   r e s e a r c i n t e r e s t s   i nc l ude   m u l t i m o de l   a p pr o a c a nd   m o de l l i ng   o f   f r a c t i o na l - o r de r   s y s t e m s .         M o u f i d K s o u r i   i s   a   pr o f e s s o r   a t   t h e   N a t i o na l   S c ho o l   of   E ng i ne e r i ng   o f   T uni s .   S h e   r e c e i v e he r   P h. D .   de g r e e   i E l e c t r i c a l   E ng i ne e r i ng   f r o m   t he   U ni v e r s i t y   o f   S c i e nc e   a nd  T e c hno l o gy   of   L i l l e   i n   1998 .   H e r   r e s e a r c i n t e r e s t s   i nc l ud e   I de nt i f i c a t i o a nd   c o nt r o l   o f   no n - l i ne a r   s y s t e m s   a n i ndu s t r i a l   a ppl i c a t i o ns   o f   a dv a nc e c o nt r o l .   S he   i s   t he   a ut ho r   o r   c o - a ut ho r   of   m o r e   t ha 30  p a pe r s   i n   i nt e r na t i o na l   c o nf e r e nc e s   a nd  j o ur na l s .   S h e   ha s   a l s o   publ i s he d   a   bo o e nt i t l e C o m m a nde   num é r i qu e   de s   p r o c e s s us .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.