Internati o nal  Journal of Ele c trical   and Computer  Engineering  (IJE CE)  V o l.  5, N o . 1 ,  Febr u a r y   201 5,  pp . 11 1 ~ 11 8  I S SN : 208 8-8 7 0 8           1 11     Jo urn a l  h o me pa ge : h ttp ://iaesjo u r na l.com/ o n lin e/ind e x.ph p / IJECE  A Universal Formula for Asym ptotic Stabilization with  Bounded Controls       Muhamm ad Niz a m  Kamar udin a , Abdul Ra shid  Husa in b ,   Mo ha ma d N o h  A h ma d c ,  Z a haruddin   Mohamed d    a F acult y of  El ec tric al  Engin eerin g, Univers i ti  Te knika l  Ma lay s ia   Me la ka (UTe M),  Ha ng Tua h  Jaya ,  76100 Durian  Tunggal, Melaka,  Malay s ia.  b,c,d  Faculty  of  Electr i cal  E ngineer ing, Univ ersiti Teknologi Mala y s ia, UTM Skudai,81310 Johor, Malay s ia.      Article Info    A B STRAC T Article histo r y:  Received Oct 14, 2014  Rev i sed  D ec 19 , 20 14  Accepte d Ja n  7, 2015      Motivated b y  Artstein and Sontag univers al formula, th is brief paper presents   an explicit proo f of the univers al form ula for a s y m ptotic s t abil i zat ion and   as y m ptotic disturbance  rejectio n of  a nonlinear s y stem  with mismatched   uncertainties an d time var y ing  disturbances.  We prove the stability  v i a  Ly apunov stab ility   criteria. We  also prove  that the control  law satisfies small  control prop erty   such that th e magnitude of th e co ntrol signal  can  be bounded   without th e catastropic ef fect to  the  cl osed  loo p  stability .  For  clar ity ,  we  benchmark th e  proposed approach w ith o t her   method namely   a Ly apunov   redesign with n onlinear damping functi on. We  give a numerical example to   verif y  the   results .   Keyword:  Bounded controls   Lyap uno v stabilit y   Nonlinea r syst e m s   Copyright ©  201 5 Institut e  o f   Ad vanced  Engin eer ing and S c i e nce.  All rights re se rve d .  Co rresp ond i ng  Autho r :  M uham m ad Ni zam  Kam a rudi n   Faculty of Elec trical Engineering  Un i v ersiti Tekn ik al Malaysia Melak a  (UTeM) ,  7 610 0 Du rian  Tu ngg al,  Melak a , MALAYSIA  Tel: +6016-2022 457 / Fax :   +606- 5552222  E-m a il :  ni zam k am arudi n @ ut em .edu.m y       1.   INTRODUCTION  Stab ilizin g  syste m s with  u n certain ty an d  ex og en ou s d i st u r b a n ce requ ires  m a ssiv e  co n t ro l en erg y .  Fo r illu stration, it is  easy  to  stab ilize u n s tab l e syste m  b y   forcing  th eir po les to  th e left-h and - si d e  o f  t h e S- p l an e so th at t h e clo s ed - l o op system  stab le. Th eor e tically, p l aci n g  th e cl o s ed - l oop po les  n ear to  ∞  ren d e r  fast converge nce rate but require high ene r gy as trad e- of f .  In som e  i ndu st ri al   cases are DC drive sys t e m s   whe r e the c onstraints are  due to th e  phy si cal  l i m i t a ti on  of t h e m o t o r  dr i v e suc h  as  conve r ter protection,  mag n e tic satu ratio n  and  m o t o r ov erh eating th at  m a k e  th e cu rren t  co mman d  limited  to  an  ad m i ssib l e  set o f   input. For a n other cas e suc h  a s  electric vehic l es whe r e th e co n t ro lled   v a riab le is a sp eed ,   th e m o to r to rqu e   or  vol t a ge  m a y  be b o u n d ed  wi t h i n  al l o wabl e  ra nge s.   There  are  vari ous  atte m p ts to  stab ilize non lin ear  syste m  with  m i s m a t c h ed un certain t y  an d  tim e  vary i n g di st u r bance .  Suc h  at t e m p t s  have b een ad dress e d  i n  [1] - [ 5] . I n  [ 1 ] ,  a no nl i n ear  dam p i ng fu nc t i on i s   augm ent e d t o   t h e n o m i nal  cont rol l e r  du ri n g  t h e Ly ap u n ov  rede si g n  p h ase.  In t h i s   p a per ,  we  begi n wi t h   no rm al  feedba ck co nt r o l  l a w by  usi n g a Ly apu n o v  re des i gn t ech ni q u .  Du ri n g  Ly ap u n o v  re desi g n   p h ase, a   no nl i n ea r dam p i n g f unct i on  i s  used t o  c o m b at  wi t h  unc ert a i n t y  or e x oge n o u s  di st u r bance .  B y   m e ans o f   com p ari ng s q u a re, we t h en i m prove t h e c o nt r o l  l a w com p l e xi t y  by  av o i di ng t h e canc e l l a t i on of a  u s eful   n o n lin ear term . Lastly, we in tro d u ce a "un i v e rsal-lik e"  formu l a to  stab ilize  th e syste m  with  less con t ro l effo rt.  As su ch , m a in  o b j ectiv e o f  t h is p a p e r is to  p r ov id e an  i m p r ov ed  un iv ersal fo rm u l a d u e  to  Artstein  [6] an d  Son t ag   [7-8 ], su ch  t h at it can  b e  app lied  to   no n lin ear system s  with  mis m a t ch ed   u n c ertainties an d  tim e v a rying  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I S SN :  2 088 -87 08  I J ECE Vo l. 5 ,  N o . 1 ,  Febru a ry  2 015   :   11 1  –  11 8  11 2 di st ur ba nces.  The i n t r od uce d  fo rm ul a i s  g e neral i zed , sim p l e , ex pl i c i t ,  and i n  a sense  of "u ni ve rsal ",  i n  ord e r   to  ob tain   g l o b a l asy m p t o tic stab ility an d   g l ob al d i st u r b a nce rej ectio n with  less con t ro l effo rt.  Let  co ncer n si ngl e - i n put - s i n g l e-o u t p ut ,  one - d i m ensi onal  n o n l i n ear  sy st em   of  t h e  fo rm :      ,   (1 )     with state   ∈  an d  cont rol   ∈ .   and    are analytic, sm ooth vector  field s , wh ich  are in fin itely  di ffe re nt i a bl e. A  sm oot h  fu nc t i on  ,  represen ts th e su m  of  u n certain tie s a n d   exo g e n o u s  di st ur ba nces.  F o r   feedbac k  stabil ization, t h e e x istence  of a  control-Lya p uno v  fun c tion  is  n e cessary, as in   Artstein ’s t h eorem:     “ Artstein  th eorem sta t es t h a t   a  d y na mica l system ha s  a   d ifferen tia b l e con t ro l-Lyapu nov  fu n c tion  if  a n d   o n l y if there exists a  regu la r  sta b ilizin g feedb a c k ”  - A r t stein  [6 ]-    Th erefo r e, th ere ex ists a sm o o t h ,  prop er  and   p o s itiv e d e fin ite con t ro l-Ly ap uno v fu nction   :  fo r t h e sy stem   in  eq u a tion (1)  where cond itio n s   0 0 ,  0  fo r   0 , a n d  ⟶ ∞  as  ‖ ‖ ⟶ ∞  are  v a lid .  Recall fro m  [8 ] th at th e ex isten ce  o f  su ch a co n t ro l - Lyapu nov   fun c tio n im p lies  th at th e  syste m  is  asy m p t o tically  con t ro llab l e prov id ed th at  the d e riv a tiv e  o f   :  ne gat i v e  de fi ni t e .  As  s u ch ,  t h ere  m u st  be   a  feed bac k  c ont r o l  l a w:         ,    ,   , 0   (2 )     wh ich   g l ob ally stab ilize th e syste m  in  eq u a ti o n  (1 ).  No te t h at, fo r  stab ility, h i gh  con t ro l  mag n itu d e   ∈  is   requ ired  in  order to  pu sh  syst e m s p o l es to  th e left h a n d   side of the s-plane. Thus,  th e reg u l ar feedb a ck law in  equat i o n  (2 ) i s   un b o u n d ed  i n   m a gni t ude , as  wel l  as hi gh i n  ener gy  c ons u m pti on.  O u r c ont rol   pr o b l e m  no w i s   to  li m it  ∈  with i n          such that the   closed loop sys t e m        (3 )     rem a in  Hu rwitz and   ,  pe ri she d  as  ⟶ ∞  i n   or der  t o   prese r ve a  gl o b a l  di st ur ba nce  reject i o n.       2.   M ETHOD OLOGY - UN IVER SA L FORM U L A  FOR  R O BUST BOU N D E D CONTR O L   C onsi d er  n onl i n ear sy st em  in eq uat i o n ( 1 )  and a  co nt r o l - Ly apu n ov  f u nct i on  : . T h ere  exist  ope rato rs  ∈ ,  ∈ ,  ∈ , and  ∈ , where:        ∙   (4 )        ∙   (5 )      ∙   (6 )      ,    (7 )     There  also exis t a scalar   0  and   0 , su ch  t h at th e  ro bu st  bo und ed  co n t r o l law :     , ,    1 1   , 0   (8 )     satisfies  sm al l  co nt rol   pr ope rt y   fo r  t h e  sy s t em   i n   eq uat i o n (1 ) (see defi ni t i on 1 )   a n d  al so gua rant ee s  t h e   asy m p t o tic stab ility an d  t h e asy m p t o tic d i sturb a n ce  rejection   (wh i ch m ean s ro bu st t o ward   , ).     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J ECE   I S SN :  208 8-8 7 0 8     A Un iversa l Fo rmu l a fo r Asymp t o tic S t ab iliza tion  with  Bou n d e d  C o n t ro ls   ( M uh am m a d  N i zam  K a m a r u di n)   11 3 Definiti on 1 :  Sma ll C o n t ro l Pro p erty   For t h e sy stem in e q uation  1  sa tisfies sma ll co n t ro l  p r op ert y , th ere is  a  kno w n con t ro l - Lya pun o v  fun c tion  : . F o r  every   0 , there  exists  a  0  so  t h a t  for a ll   0  a nd  ‖ ‖  , there is  contr o l  ‖ , , ‖   suc h  t hat     , ,  0 .    In  w h at  follo w s ,  Le mma 1  is  u s efu l  to reach th e stab ility p r o o f  o f  th e rob u st bo und ed contro l law in equatio n  (8 ).     Lemma 1  [1] :  Assume  that  ,    in  eq ua tion (8 ) are rea l  num bers.  And th ere  exists rea l  numb e r   suc h  that   | | , and  0  fo r  ∈ . Th erefore, th ere exists  a   no mi n a l  stabilizin g  fun c tion  ,       with   pro p ert y :     | , |  2 | | ,   (9 )   Proo f  o f  Lemma  1  If  0 , th en  th e  so lu tion   for  ,  is triv ial. Then ,  we assu m e  th at  0 . Since  | , | | , | , the n   0  and   . I f    0 , then   | |  and  0 1 .  W ith   c ont rol  param e ter   1 ,  we can see that   n o m in al stab ilizin g fu n c ti o n   | , |  bou nd ed   by   as    , an d also bou nd ed   b y   i t s  num erat or.   Thi s  y i el d:     ,   1 1       1 1     1 1     2 | | ,   (1 0)     Proo f o f   S t ab il ity:  By  refe rrin g  to  Le mma 1 , t h e  p r oo f of st ab ility fo r th e ro bu st  bo unded  con t ro l  law  in eq u a tion (8 ) is  prese n t e d .  W i t h   c ont rol - Ly ap un o v  fu nct i o n  0.5 : 0 ,  t h e deri vat i v e of   :  al on g  x  ren d e rs        ,        1 1    ,       1 1      ,      1 1       ,      1 1  ‖ ‖         1 1  ‖ ‖ ‖ ‖           1 1      (1 1)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I S SN :  2 088 -87 08  I J ECE Vo l. 5 ,  N o . 1 ,  Febru a ry  2 015   :   11 1  –  11 8  11 4   W ith  Le mma 1 , we  ca n f u rt h e r pr ove   t h at :       2 | | ,    (1 2)   Th is co m p letes  th e  p r oo f  fo r asy m p t o tic stab ility. Wh en  ⟶ ∞ , ter m      vanis h es t o   confirm  the  asym pt ot i c  di st ur ba nce re ject i o n  o f  t h e sy st e m   i n  eq uat i o n ( 1 ) .       3.   N U M E RICAL EX AM PLE  C onsi d er  o n e- d i m e nsi onal   no n l i n ear sy st em :       ,   (1 3)   with state   ∈  an d  cont rol   ∈ . Th e  un certain ty  with ti m e  v a ryin g distu r b a n ce is den o t ed  as    ,   ,   (1 4)     In what   follows, we stabilized  the   system  in  equ a tion (13 )  su ch   th at  th e  state   ∈  i s  asym pt ot i cal ly  stab le toward s p e rtu r b e d  i n itial state   0  an d  al so ac hi eve  t h e asy m pt ot i c  di st u r ba nce  r e ject i o n t o war d   , .  W e   pre s ent  t w o a p pr oac h es ;  a Ly apu n o v   r e desi g n   wi t h  n onl i n ea r  dam p ing  fact o r  a nd t h e p r op ose d   bo u nde d c o nt r o l  i n  e q uat i o n ( 8 ) .     3 . 1 .    Sta b iliza t io n using   L yapuno v   Redesig n  a n d No nlinea r Damping  Functi o n   Firstly, let sta b ilize syste m   in  equ a tio n (13 )   u s ing   d i rect Lyap un ov  tech n i q u e   with   Lyap uno v  redesi gn  an d  n onl i n ea r  dam p i n g  f u nct i o n  as  add r esse d i n  [ 1 ] .  Let  co nsi d e r   sy st em   13  in  a form       , ,    (1 5)     whe r e   i s  a v ect or  of  k n o w n sm oot h  n o n l i n ear f u nct i o n ,  an d   , ,  is th e  v ector of  u n c ertain  n o n lin earities an d d i st u r b a n c e. Then,  th e co n t ro l law rend ers th e cl o s ed -l o o p  system   in pu t-to-state stab ility  for the system   in equation  15  wi th  resp ect to  the d i stu r b a n ce in pu t   , , . Th e functio n    is d e no ted  as a stab ilizing fu n c tion   for t h e no m i n a l syst e m  in  equ a tion (1 5).          | | , 0   (1 6)     Lik e wise,  for  th e system  in   eq u a tion (13 ) , let   ≡ .  We  firstl y  seek     for  the no m i n a l   un pe rt ur be d sy st em  i n  eq uat i on  ( 1 3) . Let  t h ere e x i s t s  a  co nt r o l - Ly ap u n o v   fu nct i o n  0 . 5  s u ch t h at   th e no m i n a l sta b ilizin g  fun c tio n  i n  equ a tion   (17 )   rend ers the d e rivativ e of   al on g   be a ne gat i v e de fi ni t e   fu nct i o n (i .e .   ).         ,  0 (1 7)     There f ore,  co m p ari ng e quat i on  ( 1 4) a n d e q uat i o n  ( 1 5) y i e l ds a  vect o r   of   kn o w n  sm oot h  n onl i n ea r  fu nc t i o n        (1 8)     an d a  robu st st ab ilizin g   fun c tio n          (1 9)     3. 2. C a ncel l a ti on A voi d a nce   C ont r o l  l a w i n  equat i o n ( 1 9 )  i s  a st rai ght  for w ar d de si g n  based  on  di re ct  Ly apun o v  i n spi r ed  by   Artstein . Fun c tio n    elim inates  -t erm  i n  t h e sy st em  equat i on  (1 3 ) ,  w h i c h i s  k n o w n   as a  use f ul   no nl i n ea r t e rm . As  s u ch , by   u s i ng t h e c o m p ari n g s qua re,   we  devi se d a  m e t hod t o  a voi d t h e  cancel l a t i on  of  a  u s efu l  non lin ear term . Let a g ain    ≡ , an d rec a l l  a cont r o l - L y apu n o v  f u nct i on    0 . 5 . W e   the n   o b t ain its d e r i vativ e alon g  x  as fo llows:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J ECE   I S SN :  208 8-8 7 0 8     A Un iversa l Fo rmu l a fo r Asymp t o tic S t ab iliza tion  with  Bou n d e d  C o n t ro ls   ( M uh am m a d  N i zam  K a m a r u di n)   11 5         1 4  1 2   (2 0)     W i t h  that ,   term   in  equ a tion  (1 7) can   b e   redu ced to    0 .25   (2 1)     and  he nce  re du ci ng t h e c ont ro l  com p l e xi t y  of  eq uat i o n  ( 1 9),   as f o l l o w s :     1 4     (2 2)     By su b s titu tin g eq u a tion  (21) in to  equ a tio n  (2 0), th e asym p t o tic stab ilit y c a n  b e  gu aran teed  v i a th e d e ri v a tiv e  of   , as fo llows:      1 2   (2 3)     3. 3. Robus t  B o un ded Contr o l  usin g Unive r sal  F o rmul a   Th is su b s ection  is d e vo ted  to th e app licatio n  of th e  p r op osed  un iv ersal form u l a in  eq u a tio n   (8 ) to  t h e  num eri cal  sy stem  i n  equat i o n ( 1 3).   W i t h  t h e co nt r o l - Ly a p u n ov  f unct i o n  0 . 5 , w e   k now  fr o m  the  st anda rd  f o rm  i n  e quat i o n  ( 1 ) t h at :           1      ,   (2 4)     Th er efo r e, th e  r obu st bou nd ed  co n t r o l law  i s  ob tain ed  as:        2  1  1 √ 1   ,  ,     (2 5)     fo r all  0 ,   0  and   0 .      4.   R E SU LTS AN D ANA LY SIS    Th is section   dep i cts sim u lati o n  resu lts  for  syst em  i n  eq u a t i on  (1 3 )   by   usi n g a  n o r m a l  feed bac k   cont rol   pl u s   n onl i n ea r  dam p i n g  f u nct i o n  i n  eq uat i o n  (2 2)  an d a  p r op os ed  bo u n d e d  co nt r o l  l a w  i n  e quat i o n   (25). Figure  1 shows a stabi lized    fo r  t h e p e rt u b a tion  o f  in itial  state    0 11 . F i gu re 2 s h o w s  t h e  com p arison in  cont rol si gnal.  Figure  3 s h ows  how the c o nt rol signal react  due  to  vari ation  of t h e system state,  .  W e  ca n o b se rve t h at  t h e  si gnal   pr od uce d   by a bounded  cont rol law is  confine d  at   , hence satisfies   sm a ll co n t ro l prop erty in d e fi n itio n   1 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I S SN :  2 088 -87 08  I J ECE Vo l. 5 ,  N o . 1 ,  Febru a ry  2 015   :   11 1  –  11 8  11 6     Fi gu re  1.  St abi l i zed st at e usi n g c ont rol  l a w i n  e quat i o n  ( 2 2 )  an d e quat i o n  ( 2 5 )         Fi gu re  2.  C o nt r o l  si g n al  f o r c o nt r o l  l a w i n  e q uat i o n  ( 2 2) a n d  eq uat i o n  ( 2 5)         Fi gu re  3.  C o nt r o l  si g n al  t r a j ec t o ri es  vers us  s y st em  t r aject or i e s      The co nt r o l  si gnal s  i n   Fi g u r e  2 are  no n p er i odi c. T h ei r m a gni t u de a nd c o n v e r ge nce rat e  are hi g h l y   d e p e nd  o n  h o w far  t h e p e rt urb e d   i n itial  state   0  fro m  th e eq u ilibria. To  an alyse th e  signal q u a n titativ ely,   we c o m put e t h e a v era g e  p o we r a n d e n e r gy   by   usi n g  Eul e r' s ap pr o x i m at i on ( s ee  A ppe n d i x ).   For  t h e   pert ur bat i o n  i n    0 11 , bou nd ed  con t ro l law   r e quir e  on ly  2, 340. 4  Joul e of ene r gy to steer   0   to ward orig in.  Wh ile the  no r m al  cont r o l  re q u i r e  12 ,101  Joule  of e n ergy (see Ta ble 1).        Tabl e  1.  A v era g e e n er gy   pr od uced  by  al l  c o n t rol  l a ws   Control law  Stabilizing  energy (Joule)   Dim i nution  (percentage)   E quation ( 22)   12,101 80. 66%   E quation ( 25)   2,340.4 0 0. 0 2 0. 04 0. 06 0. 08 0. 1 0. 1 2 0. 14 0. 16 0. 1 8 0. 2 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 Ti m e  i n   s e c o n d s S t ab i l i z ed  s t a t e,   x S t a b ilize d  x  u s in g  b o u n d e d c o nt r o l  ( uni v e r s a l   f o r m ul a )   St a b i l i z e d  x  us i n g no r m a l  c o nt r o l w i t h  da m p i n g f unc t i o n 0 0. 02 0. 04 0. 06 0. 08 0. 1 0. 12 0. 14 0. 16 0. 18 0. 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Ti m e  i n   s e c o n d s Co n t r o l s i g n a l N o rm a l  co n t ro l   l a w w i t h  da m p i n g  f unc t i o n B o unde d c o nt r o l   l a w ( u s i ng un i v e r s a l   f o r m ul a ) 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x Co n t r o l s i g n a l ,   u N o rm al  co n t ro l   l a w wi t h  d a m p i n g   fu n c t i o n B o unde d c o nt r o l  l a w ( u s i ng uni v e r s a l   f o r m ul a ) ) D e fi n i t i o n  1   u<  (s e e Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J ECE   I S SN :  208 8-8 7 0 8     A Un iversa l Fo rmu l a fo r Asymp t o tic S t ab iliza tion  with  Bou n d e d  C o n t ro ls   ( M uh am m a d  N i zam  K a m a r u di n)   11 7 5.   CO NCL USI O N     In t h i s  pa pe r,  we  prese n t  a  u n i v er sal  f o r m ul a for b o u nde d c o nt rol l e r w h i c h  i s  r o bust  t o wa r d   unce r t a i n t y  an d di st u r bance .   The p r op ose d   m e t hod i s  u n i v ersal  f o r t h e  sy st em  whi c h  affi ne i n  co nt r o l .  The  appealing feat ure of the propos ed cont ro ller is th at, it  is  fairly easy  to  co n s tru c t, gu aran tee th e asym p t o tic  stab ility an d  the asy m p t o tic d i stu r b a n ce  rej e ctio n ,  as  well as b oun d e d  in   th e con t ro l sign al m a g n itu d e . Th e  n u m erical ex am p l e an d  th e sim u la tio n  in th i s  p a p e r confirm   th e resu lts.      APPE NDI X    Fo r  a con tin uou s sign al in  Fi g u r e  4, w e  can co m put e t h e avera g e e n er gy  and  p o we r by   usi n g E u l e r' s   app r oxi m a t i on. The  ave r ag e e n er gy  f o r a c o n t i nuo us  si g n al   sho w n i n  Fi gu r e  4:      ‖ ‖    (2 6)     T h e  av e r ag e po w e r   f o r  a c o n t in uo us  s i gn a l  in  F i g u r e   4 :       ≅  ∆ ∆     (2 7)     whe r e   is th e n u m b e r of in t e g r al part in  Eu ler's ap prox i m atio n ,     i s  t h e cont r o l  si g n al  du rat i on a n d  ∆ /  is th e  du ration (o r i n terv al)  for each  in teg r al  p a rt i n  seco nd s.          Fi gu re  4.  Eul e r ’ s a p p r oxi m a t i on       ACKNOWLE DGE M ENTS    We ack nowled g e  th e Min i stry o f  Edu c atio n  Malaysia, Un i v ersiti Tek n i k a l Malaysia Melak a   (UTeM )  an d the Un iv ersiti Tek n o l og i Malaysia (UTM ) for research  facilities  and   research   co llab o ration.       REFERE NC ES   [1]   M. N.  Kamarudin,  A. R.  Husain and M. N. Ah mad, "Control of Un certain Non linear Sy stems using  Mixed Nonlinear  Damping Function and Backstep ping Techn i ques " ,  IEEE Int e rnat ional Conferen c e  on Control System, Computing   and Engin eering , pp . 105–109 , 2 012.  [2]   M.T. R a vich and r an and  A.D. M a hindrak ar, "Robust Stabiliz atio n of a C l ass of  Under actu a ted Mechanical  S y stems  Using Time Scaling a nd Ly apu nov Redesign",  IEEE Transacti ons on Industrial Ele c troni cs ,  vol. 58, pp . 429 9– 4313, 2011 .  [3]   M. N.  Kamarudin,  A. R.  Husain and  M.N. Ah mad, "Stabilization of uncer tain  s y stems using backstepp i ng an d  Ly apunov red e sign",  The  4 th  In ternational Gra duate Conferen ce  on Eng i neering Scien ce  &   Humanity , Joho r,  Malay s ia, 2013 .  [4]   H.H. Choi , "An expli c i t  form ula of  lin ear  s l iding s u rfa ces  f o r a  clas s  of  u n cert a in d y n a m i c s y s t em s  with   m i s m atched unc erta inti es ",  Au to matica , vol. 34 ,  pp. 1015–1020 ,  1998.  [5]   H.H. Choi, "A new method for variab le  structu r e contro l s y stem design: A  linear  matrix ineq uality  approach",  Automatica , vo l. 33, pp. 2089–20 92, 1997 .  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I S SN :  2 088 -87 08  I JECE Vo l. 5 ,  N o . 1 ,  Febru a ry  2 015   :   11 1  –  11 8  11 8 [6]   Z. Artst e in , "Sta biliz ation  with  r e lax e d con t rols",   Nonlinear  Analysis, Theory , Methods and App lications , vo l. 7, p p .   1163–1173, 198 3.  [7]   L. Yuandan  and  E.D. Sontag , "A universal fo r m ula for stabilization with boun ded controls",  Sy ste m s &   Contr o l  Letters , vo l. 16,  pp. 393–397 , 19 91.  [8]   E.D. Sontag , "A Universal Construction of  Ar tstein Th eorem  on Nonlinear St abili za tion",  Sys t em and Control  Letters , vo l. 3, p p . 117–123 , 198 9.      BIOGRAP HI ES OF  AUTH ORS       M uhammad Ni zam K a mar udin  was born in Selangor, Malaysia, in 1979 . He receiv ed the  B.Eng (Hons.) Electri cal from  t h e Universiti  T e knologi MARA, Malay s ian in 2 002, and M.Sc  Automation and Control from t h e University   o f  Newcastle Upon Ty ne, United Kingdom in  2007. He is curr entl y  with th e Universiti  Teknik a l Malay s i a  Mel a ka (UTeM). He is the m e m b er  of the Board of Engineers, Malay s ia and Institut e of Engineers ,  M a la y s ia . His  res earch int e res t s   includ e nonlin ear controls and r obust control s y st ems. Before jo ining UTeM, h e  worked as a   techn i cal  engineer at  the magn etr on depa r t ment o f  Samsung El ectronics Malay s ia.        Abdul Rashid  Husain  receiv e d  the B . S c .  degr e e  in  el ectr i c a l  a nd com puter  en gineer ing from  The Ohio State University , Colu mbus, Ohio, U.S. A, in 1997, M.S c . degr ee in Mechatronics from  University  of  Newcastle Upo n  Ty ne, U.K.,  in  2003, and Ph.D. in Electrical Engineering  (Control) from  Universiti T e kn ologi Malay s i a  (U TM) in 2009. Before join ing UTM, he worked  as an engineer in semiconductor  industr y  for seve ral  y e ars specializing in precisio n molding and   IC trimming process. He h a s  taught courses in introdu ction  to electrical engin eer ing ,   microcontroller  based  s y s t em, m odeling and control, and real-tim e control s y s t em . His  res earch  inter e sts include  applic ation of  control in d y namic sy stem, network c ontrol s y s t em , real- tim e   control s y stem, and s y st em  with d e la y.         M o hamad Noh  Ahmad  receive d the Ba che l or d e gree  in E l e c tri c al Eng i nee r ing f r om  Universiti  Teknologi Malay s ia in 1986 , the M.Sc. d e gree  in Contro l Engineer ing from University  o f   Sheffield ,  U.K.  in 1988,  and Ph.D. degr ee  in R obotics from Universiti Tekno lo gi Malay s ia in   2003. Curren t ly he  is Associate Professor with  the Depar t ment of Co n t rol and Mechatronic  Engine ering, Fa cult y of Ele c tr ic al Engine erin g ,  Universiti Tekn ologi Mala ysia .  Since joining   Universiti  Tekn ologi Mal a y s ia, his prim ar y  res ponsibiliti es in clude  resear ch  and teach ing in   Robotics and  C ontrol Eng i neering.  His resear ches involve among others  modeling and  control  of numerous plants such as Ac tiv e Magnetic Bear ing S y stem, Balancing Robot , an d  Direct-Drive  Robot Manipu lator.        Zahar u ddin  M o hame d  is   an As s o ciate P r ofes s o r at the Departm e nt  of Control and  M echatron i cs  E n gineer ing,  F acul t y  o f  E l e c tri cal  E ngineer ing,  Univ ers iti  Tekno logi  M a la y s ia . He  rece ived  B.Eng   in E l ec tric al  and  El ectron i cs   Eng i neer ing from  N a tion a l Univ ers i t y  o f  M a l a y s ia  in 1993, M.Sc and Ph.D. in Con t rol S y stems Engi neer ing from the University  o f  Sheffield, UK  in 1995  and 200 3 respectively .   He was a recipien t of  Islamic Developm ent Ban k  (IDB) Merit  Sc hola r ship for his Ph. D .  study . His re se a r c h   interests includ e command  shaping control of   d y nam i c s y s t em s ,  contro l of  fl ex ible  s t ructur es  a nd m echatron i c   s y s t em s .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.