I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   E l e c t r i c a l   a n d   C o m p u t e r   E n g i n e e r i n g   ( I J E C E )   V o l . 2 ,   N o . 3 ,   J u n e   2 0 1 2 ,   p p .   2 8 5 ~ 2 9 2   I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8             2 8 5       J o u r n a l   h o m e p a g e :   h t t p : / / i a e s j o u r n a l . c o m / o n l i n e / i n d e x . p h p / I J E C E   A   S t u d y   o n   t h e   S u i t a b i l i t y   o f   G e n e t i c   A l g o r i t h m   f o r   A d a p t i v e   C h a n n e l   E q u a l i z a t i o n       J a f a r   R a m a d h a n   M o h a m m e d   D e p a r t e m e n t   o f   Co m m u n i c a t i o n   E n g i n e e r i n g ,   Co l l e g e   o f   E l e c t r o n i c   E n g i n e e r i n g ,   U n i v e r s i t y   o f   M o s u l       A r t i c l e   I n f o     A B S T R A C T   A r t i c l e   h i s t o r y :   R e c e i v e d   M a r   1 9 th ,   2 0 1 2   R e v i s e d   A p r   1 7 th ,   2 0 1 2   A c c e p t e d   A p r   2 6 th ,   2 0 1 2       A d a p t i v e   a l g o r i t h m s   s u c h   a s   L e a s t - M e a n - S q u a r e   ( L M S )   b a s e d   c h a n n e l   e q u a l i z e r   a i m   t o   m i n i m i z e   t h e   I n t e r s y m b o l   I n t e r f e r e n c e   ( I S I )   p r e s e n t   i n   t h e   t r a n s m i s s i o n   c h a n n e l .   H o w e v e r   t h e   a d a p t i v e   a l g o r i t h m s   s u f f e r   f r o m   l o n g   t r a i n i n g   t i m e   a n d   u n d e s i r a b l e   l o c a l   m i n i m a   d u r i n g   t r a i n i n g   m o d e .   T h e s e   d i s a d v a n t a g e s   o f   t h e   a d a p t i v e   a l g o r i t h m s   f o r   c h a n n e l   e q u a l i z a t i o n   h a v e   b e e n   d i s c u s s e d   i n   t h e   l i t e r a t u r e .   I n   t h i s   p a p e r ,   w e   p r o p o s e   a   n e w   a d a p t i v e   c h a n n e l   e q u a l i z e r   u s i n g   G e n e t i c   A l g o r i t h m   ( G A )   w h i c h   i s   e s s e n t i a l l y   a   d e r i v a t i v e   f r e e   o p t i m i z a t i o n   t o o l .   T h i s   a l g o r i t h m   i s   s u i t a b l y   u s e d   t o   u p d a t e   t h e   w e i g h t s   o f   t h e   e q u a l i z e r .   T h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   p r o p o s e d   c h a n n e l   e q u a l i z e r   i s   e v a l u a t e d   i n   t e r m s   o f   m e a n   s q u a r e   e r r o r   ( M S E )   a n d   c o n v e r g e n c e   r a t e   a n d   i s   c o m p a r e d   w i t h   i t s   L M S   a n d   RL S   c o u n t e r   p a r t s .   I t   i s   o b s e r v e d   t h a t   t h e   n e w   a d a p t i v e   e q u a l i z e r   b a s e d   G A   o f f e r   i m p r o v e d   p e r f o r m a n c e   s o   f a r   a s   t h e   a c c u r a c y   o f   r e c e p t i o n   i s   c o n c e r n e d .   K e y w o r d :   C h a n n e l   e q u a l i z a t i o n   A d a p t i v e   a l g o r i t h m s   G e n e t i c   a l g o r i t h m     Co p y r i g h t   ©   2 0 1 2   I n s t i t u t e   o f   A d v a n c e d   E n g i n e e r i n g   a n d   S c i e n c e .     A l l   r i g h t s   r e s e r v e d .   C o r r e s p o n d i n g   A u t h o r :   J a f a r   R a m a d h a n   M o h a m m e d ,     D e p a r t e m e n t   o f   C o m m u n i c a t i o n   E n g i n e e r i n g ,   C o l l e g e   o f   E l e c t r o n i c   E n g i n e e r i n g ,   U n i v e r s i t y   o f     M o s u l ,   M o s u l ,   I R A Q .   E m a i l :   j a f a r r a m @ y a h o o . c o m       1 .   I N T R O D U C T I O N   I n   m o d e r n   d i g i t a l   c o m m u n i c a t i o n   s y s t e m s ,   t h e   t r a n s m i s s i o n   o f   h i g h - s p e e d   d a t a   t h r o u g h   a   c h a n n e l   i s   l i m i t e d   b y   i n t e r s y m b o l   I n t e r f e r e n c e   ( I S I )   c a u s e d   b y   d i s t o r t i o n   i n   t h e   t r a n s m i s s i o n   c h a n n e l .   H i g h - s p e e d   d a t a   t r a n s m i s s i o n   t h r o u g h   c h a n n e l s   w i t h   s e v e r e   d i s t o r t i o n   c a n   b e   a c h i e v e d   b y   d e s i g n i n g   a n   e q u a l i z e r   i n   t h e   r e c e i v e r   t h a t   c o u n t e r a c t s   t h e   c h a n n e l   d i s t o r t i o n .   I n   p r a c t i c e ,   t h e   c h a n n e l   i s   t i m e   v a r y i n g   a n d   i s   u n k n o w n   i n   t h e   d e s i g n   s t a g e   d u e   t o   v a r i a t i o n s   i n   t h e   t r a n s m i s s i o n   m e d i u m .   T h u s ,   w e   n e e d   a n   a d a p t i v e   e q u a l i z e r   t h a t   p r o v i d e s   p r e c i s e   c o m p e n s a t i o n   o v e r   t h e   t i m e - v a r y i n g   c h a n n e l   a n d   a t t e m p t s   t o   r e c o v e r   t h e   t r a n s m i t t e d   s y m b o l s .   T h e   m o s t   f r e q u e n t l y   u s e d   s t r u c t u r e   o f   e q u a l i z e r   i s   a   t r a n s v e r s a l   a d a p t i v e   f i l t e r   w i t h   a n   a p p r o p r i a t e   a l g o r i t h m   s u c h   a s   l e a s t   m e a n   s q u a r e   ( L M S ) ,   r e c u r s i v e   l e a s t   s q u a r e s   ( R L S ) ,   o r   Q R - D e c o m p o s i t i o n - B a s e d   l e a s t   s q u a r e s   l a t t i c e   f i l t e r   ( Q R D - L S L )   [ 1 ] .   T h e   p e r f o r m a n c e s   o f   t h e   R L S   a n d   Q R D - L S L   a l g o r i t h m s   a r e   n o t   d e p e n d e n t   o n   t h e   e i g e n v a l u e   s p r e a d   o f   c o v a r i a n c e   m a t r i x ,   s i n c e   t h e   c o v a r i a n c e   m a t r i x   i s   i n v e r t e d   d i r e c t l y   [ 1 ] .   O n   t h e   o t h e r   h a n d ,   t h e   L M S   a l g o r i t h m   s u f f e r s   f r o m   s l o w   c o n v e r g e n c e   i n   t h e   c a s e   o f   l a r g e   e i g e n v a l u e   s p r e a d   o f   t h e   s a m p l e   c o v a r i a n c e   m a t r i x .   H o w e v e r ,   t h e s e   a d a p t i v e   s i g n a l   p r o c e s s i n g   t e c h n i q u e s   e m p l o y   l a r g e   n u m b e r   o f   i t e r a t i o n s   t o   c a r r y   o u t   c h a n n e l   e q u a l i z a t i o n   a n d   t h e r e b y   m a k e   t h e i r   a p p l i c a t i o n s   i n   r e a l   l i f e   p r o h i b i t i v e   a s   t h e y   a r e   c o m p u t a t i o n a l l y   t o o   e x p e n s i v e   a n d   a r e   u n s u i t a b l e   f o r   a   f a s t   d y n a m i c a l l y   c h a n g i n g   c h a n n e l   a s   t h e y   r e q u i r e   a   l a t e n t   t i m e   t o   c o l l e c t   t h e   t r a i n i n g   d a t a   [ 2 ] .   T h e   c o n v e r g e n c e   r a t e   c a n   b e   a c c e l e r a t e d   b y   u s e   o f   t h e   c o n j u g a t e   g r a d i e n t   ( C G )   m e t h o d   [ 3 ] .   T h e   g o a l   o f   C G   i s   t o   i t e r a t i v e l y   s e a r c h   f o r   t h e   o p t i m u m   s o l u t i o n   b y   c h o o s i n g   p e r p e n d i c u l a r   p a t h s   f o r   e a c h   n e w   i t e r a t i o n .   H o w e v e r ,   t h e   a b o v e   m e n t i o n e d   a l g o r i t h m s   a r e   b a s e d   o n   t h e   s t e e p e s t   d e s c e n t   a l g o r i t h m ,   w h i c h   i s   e a s y   t o   i m p l e m e n t   b u t   d o   n o t   p e r f o r m   s a t i s f a c t o r i l y   u n d e r   h i g h   n o i s e   c o n d i t i o n .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I J E C E     V o l .   2 ,   N o .   3 ,     J u n e   2 0 1 2   :     2 8 5     2 9 2   2 8 6 A n   o n l i n e   e s t i m a t i o n   o f   t h e   c h a n n e l   a n d   o f   t h e   n o i s e   v a r i a n c e   u s i n g   a   n e t w o r k   o f   a d a p t i v e   K a l m a n   f i l t e r s   i s   p r e s e n t e d   i n   [ 4 ] .   O t h e r   c h a n n e l   e q u a l i z a t i o n   a p p r o a c h e s   a r e   b a s e d   o n   n o n l i n e a r   e s t i m a t i o n   u s i n g   N e u r a l   n e t w o r k s   [ 5 ] .   H o w e v e r ,   m o s t   n e u r a l   n e t w o r k s   u s e   t h e   M S E   a s   t h e   c o s t   f u n c t i o n   t o   b e   m i n i m i z e d   b y   t h e   n e t w o r k .   T h e   p r o b l e m s   e n c o u n t e r e d   b y   u s i n g   n e u r a l   n e t w o r k s   i n   e q u a l i z a t i o n   a r e   t h e   s l o w   r a t e   o f   c o n v e r g e n c e   a n d   t h e   p o s s i b i l i t y   t h a t   t h e   n e t w o r k   d o e s   n o t   r e a c h   t h e   o p t i m u m   M S E .   O n   t h e   o t h e r   w o r d s ,   t h e   n e t w o r k   c a n   g e t   s t u c k   i n   a   l o c a l   m i n i m u m .   I n   t h i s   c a s e ,   t h e   n e t w o r k   w i l l   n o t   b e   a b l e   t o   o p t i m i z e   i t s   p a r a m e t e r s   t o   t h e   l e a s t   M S E   e s p e c i a l l y   u n d e r   h i g h   n o i s e   c o n d i t i o n .     I n   t h i s   p a p e r ,   a   G A - b a s e d   a d a p t i v e   e q u a l i z a t i o n   i s   d e v e l o p e d   t o   s o l v e   t h e s e   l i m i t a t i o n s .   G e n e t i c   a l g o r i t h m   i s   b a s e d   u p o n   t h e   p r o c e s s   o f   n a t u r a l   s e l e c t i o n   a n d   d o e s   n o t   r e q u i r e   g r a d i e n t   s t a t i s t i c s .   A s   a   c o n s e q u e n c e ,   a   G A   i s   a b l e   t o   f i n d   a   g l o b a l   e r r o r   m i n i m u m   [ 6 - 7 ] .   M o r e o v e r ,   t h e   G A   w i t h   s m a l l   p o p u l a t i o n   s i z e   a n d   h i g h   m u t a t i o n   r a t e s   c a n   f i n d   a   g o o d   s o l u t i o n   f a s t   [ 8 ] .   T h e   o r g a n i z a t i o n   o f   t h i s   p a p e r   i s   a s   f o l l o w s .   S e c t i o n   I I ,   i n t r o d u c e s   t h e   a d a p t i v e   c h a n n e l   e q u a l i z a t i o n   s y s t e m   m o d e l   a n d   f o r m a l i z e   t h e   p r o b l e m   o f   a d a p t i v e   a l g o r i t h m s .   I n   S e c t i o n   I I I ,   a   c h a n n e l   e q u a l i z e r   b a s e d   o n   G A   a p p r o a c h   i s   p r e s e n t e d .   S i m u l a t i o n   r e s u l t s   a r e   g i v e n   i n   s e c t i o n   I V   a n d   c o n c l u s i o n s   d r a w n   i n   S e c t i o n   V .     2 .   B A C K G R O U N D   T h e   s t r u c t u r e   o f   t h e   a d a p t i v e   c h a n n e l   e q u a l i z e r   b a s e d   o n   L M S   a l g o r i t h m   i s   s h o w n   i n   F i g . 1 .   A s   i l l u s t r a t e d   i n   f i g u r e ,   t h e   r e c e i v e d   s i g n a l   y ( n )   i s   d i f f e r e n t   f r o m   t h e   o r i g i n a l   s i g n a l   x ( n )   b e c a u s e   i t   w a s   d i s t o r t e d   b y   t h e   o v e r a l l   c h a n n e l   t r a n s f e r   f u n c t i o n   C ( z ) ,   w h i c h   i n c l u d e s   t h e   t r a n s m i t   f i l t e r ,   t h e   t r a n s m i s s i o n   m e d i u m ,   a n d   t h e   r e c e i v e   f i l t e r .   T o   r e c o v e r   t h e   o r i g i n a l   s i g n a l   x ( n ) ,   w e   n e e d   t o   p r o c e s s   y ( n )   u s i n g   t h e   e q u a l i z e r   W ( z ) ,   w h i c h   i s   t h e   i n v e r s e   o f   t h e   c h a n n e l s   t r a n s f e r   f u n c t i o n   C ( z )   i n   o r d e r   t o   c o m p e n s a t e   f o r   t h e   c h a n n e l   d i s t o r t i o n .   T h a t   i s ,   w e   h a v e   t o   d e s i g n   t h e   e q u a l i z e r     ) ( 1 ) ( z C z W = ,                                                                                                                                                                                                                                                                                                       ( 1 )     s u c h   t h a t   x ^ ( n )   =   x ( n ) .   A s   s h o w n   i n   F i g . 1 ,   a n   a d a p t i v e   f i l t e r   r e q u i r e s   t h e   d e s i r e d   s i g n a l   d ( n )   f o r   c o m p u t i n g   t h e   e r r o r   s i g n a l   e ( n )   f o r   t h e   L M S   a d a p t i v e   a l g o r i t h m .   D u r i n g   t h e   t r a i n i n g   s t a g e ,   t h e   a d a p t i v e   e q u a l i z e r   c o e f f i c i e n t s   a r e   a d j u s t e d   b y   t r a n s m i t t i n g   a   s h o r t   t r a i n i n g   s e q u e n c e .   T h i s   k n o w n   t r a n s m i t t e d   s e q u e n c e   i s   a l s o   g e n e r a t e d   i n   t h e   r e c e i v e r   a n d   i s   u s e d   a s   t h e   d e s i r e d   s i g n a l   d ( n )   f o r   t h e   L M S   a l g o r i t h m .   A f t e r   t h e   s h o r t   t r a i n i n g   p e r i o d ,   t h e   t r a n s m i t t e r   b e g i n s   t o   t r a n s m i t   t h e   d a t a   s e q u e n c e .   I n   t h e   d a t a   m o d e ,   t h e   o u t p u t   o f   t h e   e q u a l i z e r   x ^ ( n )   i s   u s e d   b y   a   d e c i s i o n   d e v i c e   t o   p r o d u c e   b i n a r y   d a t a .   A s s u m i n g   t h a t   t h e   o u t p u t   o f   t h e   d e c i s i o n   d e v i c e   i s   c o r r e c t ,   t h e   b i n a r y   s e q u e n c e   c a n   b e   u s e d   a s   t h e   d e s i r e d   s i g n a l   d ( n )   t o   g e n e r a t e   t h e   e r r o r   s i g n a l   e ( n )   f o r   t h e   L M S   a l g o r i t h m .   T h e   s i g n a l   s a m p l e s   a t   t h e   e q u a l i z e r   i n p u t   a r e   o f   t h e   f o r m :     ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 n v j n x j h n y N j + - = - =                                                                                                                                                                                                                                                       ( 2 )     w h e r e ) ( n x d e n o t e s   t h e   d a t a   s a m p l e   a t   t i m e   i n d e x   n , ) ( n v i s   t h e   a d d i t i v e   n o i s e   w i t h   t h e   v a r i a n c e 2 v s ,   a n d ) ( j h i s   t h e   c h a n n e l   i m p u l s e   r e s p o n s e .   T h e   d a t a   s a m p l e s   t a k e   o n   v a l u e s   o f 1 ) ( ± = n x ,   a n d   t h e   n o i s e   i s   a s s u m e d   t o   b e   i n d e p e n d e n t .                             F i g u r e .   1   C a s c a d e   o f   c h a n n e l   w i t h   L M S   c h a n n e l   e q u a l i z e r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8       T i t l e   o f   m a n u s c r i p t   i s   s h o r t   a n d   c l e a r ,   i m p l i e s   r e s e a r c h   r e s u l t s   ( F i r s t   A u t h o r )   2 8 7     T h e   e q u a l i z e r   o u t p u t   i s :     ) ( ) ( ) ( ˆ n n n x T x w =                                                                                                                                                                                                                                                                                         ( 3 )     w h e r e   T N n x n x n x n x n ) ] 1 ( ) , . . . 2 ( ) , 1 ( ) , ( [ ) ( + - - - = x   i s   t h e   v e c t o r   o f   d a t a   s a m p l e   a t   t h e   e q u a l i z e r   i n p u t ,   a n d T N n w n w n w n w n ) ] 1 ( ) , . . . 2 ( ) , 1 ( ) , ( [ ) ( + - - - = w i s   t h e   v e c t o r   o f   w e i g h t i n g   c o e f f i c i e n t s   o f   t h e   a d a p t i v e   f i l t e r .     T h e   o u t p u t ) ( ˆ n x i s   u s e d   i n   e s t i m a t i n g   t h e   t r a n s m i t t e d   d a t a   s y m b o l ) ( K n x - ,   w i t h K d e n o t i n g   t h e   d e l a y .   T h e t h n - o u t p u t   e r r o r   s a m p l e   i s :     ) ( ) ( ˆ ) ( K n x n x n e - - =                                                                                                                                                                                                                                                                             ( 4 )     T h e   w e i g h t i n g   c o e f f i c i e n t s   i n   t h e   L M S   a l g o r i t h m   a r e   u p d a t e d   a c c o r d i n g   t o   t h e   f o l l o w i n g   e x p r e s s i o n   [ 1 ] :     ) ( ) ( ) ( ) 1 ( n n e n n H x w w m + = +                                                                                                                                                                                                                                                   ( 5 )     H e r e , m i s   t h e   s t e p   s i z e   w h i c h   c o n t r o l s   t h e   r a t e   o f   c o n v e r g e n c e   o f   t h e   L M S   a l g o r i t h m .   T h e   o u t p u t   m e a n   s q u a r e   e r r o r   ( M S E )   i s :     ) ] ( ) ( ˆ [ ) ( 2 ) ] ( [ ) ( ) ( ) ( ) ] ( [ ) ( 2 2 K n x n x E n n x E n n n n e E n - - + = = T T w w R w e                                                                                                         ( 6 )     w h e r e   = = N n n n N 1 ) ( ) ( 1 x x R .   T h e   a v e r a g e   o u t p u t   M S E   a f t e r t h n - i t e r a t i o n   c a n   b e   e x p r e s s e d   a s :     ) ] ( ) ( [ ) ( ) ( n n E n n T a v r g R V V + = e e                                                                                                                                                                                                                                       ( 7 )     w h e r e ) ( n e i s   t h e   m i n i m u m   M S E   a s   g i v e n   b y   ( 6 )   f o r   o p t i m a l   w e i g h t i n g   c o e f f i c i e n t s   v e c t o r ) ( n o p t w ,   i . e .   W i e n e r   v e c t o r   a n d ) ( - ) ( ) ( n n n o p t w w V = i s   t h e   w e i g h t i n g   c o e f f i c i e n t   e r r o r   v e c t o r .   I n   t h e   s t e a d y   s t a t e ,   t h e   M S E   a b o v e ) ( n e i n   ( 7 )   i s   k n o w n   a s   t h e   e x c e s s   M S E .   T h e   w e i g h t s ) ( n w d o   n o t   r e a c h   t o   t h e i r   o p t i m u m   v a l u e s   d u e   t o   t h e   m e a n   s q u a r e   e r r o r   ( M S E )   b e i n g   t r a p p e d   t o   l o c a l   m i n i m u m .   I n   o t h e r   w o r d s   t r u e   W e i n e r   s o l u t i o n   i s   n o t   a c h i e v e d   b e c a u s e   o f   g r a d i e n t   b a s e d   t r a i n i n g .   T h e   b i t - e r r o r - r a t e   ( B E R )   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   e q u a l i z e r   f u r t h e r   d e g r a d e s   w h e n   d a t a   t r a n s m i s s i o n   t a k e s   p l a c e   t h r o u g h   c h a n n e l s .   O n e   o f   t h e   m a i n   d r a w b a c k s   o f   t h e   a d a p t i v e   a l g o r i t h m s   i s   t h a t   t h e   a l g o r i t h m s   m u s t   g o   t h r o u g h   m a n y   i t e r a t i o n s   b e f o r e   s a t i s f a c t o r y   c o n v e r g e n c e   i s   a c h i e v e d .   T h i s   m e a n s   t h e y   s u f f e r   f r o m   l o n g   t r a i n i n g   t i m e   a n d   u n d e s i r a b l e   e x c e s s   M S E   d u r i n g   t r a i n i n g .   T h e   e x c e s s   M S E   c a n   i n c r e a s e   s i g n i f i c a n t l y   u n d e r   h i g h   n o i s e   c o n d i t i o n   w h i c h   m e a n s   t h a t   t h e   a d a p t i v e   a l g o r i t h m s   b a s e d   o n   s t e e p e s t   d e s c e n t   c a n   g e t   s t u c k   i n   a   l o c a l   m i n i m u m   a n d   t h e r e f o r e   t h e r e   i s   p o s s i b i l i t y   t h a t   d u r i n g   t r a i n i n g   o f   t h e   e q u a l i z e r s ,   i t s   w e i g h t s   d o   n o t   r e a c h   t o   t h e i r   o p t i m u m   v a l u e s   d u e   t o   t h e   e x c e s s   M S E .   T o   p r e v e n t   t h i s   p r o b l e m ,   a   G A   i s   p r o p o s e d   w h i c h   i s   e s s e n t i a l l y   d o e s   n o t   r e q u i r e   g r a d i e n t   b a s e d   t r a i n i n g   a l g o r i t h m   a s   s h o w n   i n   t h e   f o l l o w i n g   s e c t i o n .       3 .   G A - B A S E D   C H A N N E L   E Q U A L I Z A T I O N   T h e   L M S ,   a n d   R L S   b a s e d   c h a n n e l   e q u a l i z e r s   a i m   t o   m i n i m i z e   t h e   I S I   p r e s e n t   i n   t h e   l i n e a r   d i s p e r s i v e   c o m m u n i c a t i o n   c h a n n e l .   T h e s e   a r e   g r a d i e n t   b a s e d   l e a r n i n g   a l g o r i t h m s   a n d   t h e r e f o r e   t h e r e   i s   p o s s i b i l i t y   t h a t   d u r i n g   t r a i n i n g   m o d e   o f   t h e   c h a n n e l   e q u a l i z e r ,   i t s   w e i g h t s   d o   n o t   r e a c h   t o   t h e i r   o p t i m u m   v a l u e s   d u e   t o   t h e   m e a n   s q u a r e   e r r o r   ( M S E )   b e i n g   t r a p p e d   t o   l o c a l   m i n i m u m .   I n   t h i s   s e c t i o n   w e   p r o p o s e   a   n e w   a d a p t i v e   c h a n n e l   e q u a l i z e r   u s i n g   G A   o p t i m i z a t i o n   t e c h n i q u e   w h i c h   i s   e s s e n t i a l l y   a   d e r i v a t i v e   f r e e   o p t i m i z a t i o n   t o o l .   T h i s   a l g o r i t h m   i s   u s e d   t o   u p d a t e   t h e   w e i g h t s   o f   t h e   e q u a l i z e r   a s   e x p l a i n e d   i n   t h e   f o l l o w i n g   s t e p s :     1 .   S i m u l a t e   t h e   s i g n a l s   a s   i l l u s t r a t e d   i n   F i g . 2 .   I n   t h i s   f i g u r e ,   t h e   r a n d o m - n u m b e r   g e n e r a t o r   1   p r o v i d e s   t h e   t e s t   s i g n a l   x ( n )   u s e d   f o r   p r o b i n g   t h e   c h a n n e l ,   w h e r e a s   r a n d o m - n u m b e r   g e n e r a t o r   2   s e r v e s   a s   t h e   s o u r c e   o f   a d d i t i v e   w h i t e   n o i s e   v ( n )   t h a t   c o r r u p t s   t h e   c h a n n e l   o u t p u t .   T h e   G A   b a s e d   a d a p t i v e   e q u a l i z e r   h a s   t h e   t a s k   o f   c o r r e c t i n g   f o r   t h e   d i s t o r t i o n   p r o d u c e d   b y   t h e   c h a n n e l   i n   t h e   p r e s e n c e   o f   t h e   a d d i t i v e   w h i t e   n o i s e .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I J E C E     V o l .   2 ,   N o .   3 ,     J u n e   2 0 1 2   :     2 8 5     2 9 2   2 8 8 R a n d o m - n u m b e r   g e n e r a t o r   1 ,   a f t e r   s u i t a b l e   d e l a y ,   a l s o   s u p p l i e s   t h e   d e s i r e d   r e s p o n s e   d ( n )   a p p l i e d   t o   t h e   G A   b a s e d   e q u a l i z e r   i n   t h e   f o r m   o f   a   t r a i n i n g   s e q u e n c e .   T h i s   s y s t e m   i s   s i m u l a t e d   a s   f o l l o w s :     ·   S i m u l a t e   s o m e   u s e f u l   s i g n a l   t o   b e   t r a n s m i t t e d   b y   u s i n g   r a n d o m   b i p o l a r   ( - 1 , 1 )   s e q u e n c e ,   i . e . ,     % g e n e r a t e   t h e   i n p u t   s e q u e n c e   x ( n ) .   x = r a n d ( 1 , d a t a _ l e n g t h ) ;   i n d e x 1 = f i n d ( x > 0 . 5 ) ;   i n d e x 2 = f i n d ( x < = 0 . 5 ) ;   x ( i n d e x 1 ) = 1 ;   x ( i n d e x 2 ) = - 1 ;   ·   E a c h   o f   t h e   i n p u t   d a t a   s a m p l e s   i s   p a s s e d   t h r o u g h   t h e   c h a n n e l   a n d   t h e n   c o n t a m i n a t e d   w i t h   t h e   a d d i t i v e   n o i s e   o f   k n o w n   v a r i a n c e       ( w h e r e   i t s   v a r i a n c e   i s   d e t e r m i n e d   b y   t h e   d e s i r e d   s i g n a l - t o - n o i s e   r a t i o ) .   T h e   r e s u l t a n t   s i g n a l   i s   p a s s e d   t h r o u g h   t h e   e q u a l i z e r .   I n   t h i s   w a y   N   n u m b e r s   o f   d e s i r e d   s i g n a l s   a r e   p r o d u c e d   b y   f e e d i n g   a l l   t h e   N   i n p u t   s a m p l e s .     % g e n e r a t e   n o i s e   v ( n )   v = s q r t ( 0 . 0 0 1 ) * r a n d n ( 1 , d a t a _ l e n g t h ) ;   % i n p u t   s i g n a l   u = f i l t e r ( c h a n n e l , 1 , x ) + v ;   % d e s i r e d   i n p u t ,   d ( k ) .   T h e   f i l t e r   w i l l   r e s u l t   i n   a   d e l a y   o f   7   s a m p l e s .   d = f i l t e r ( [ z e r o s ( 1 , 7 )   1 ] , 1 , x ) ;   ·   T h e   i m p u l s e   r e s p o n s e   o f   t h e   c h a n n e l   i s   d e s c r i b e d   b y   t h e   r a i s e d   c o s i n e   [ 1 ]   % f i l t e r   l e n g t h   M = 1 1 ;     % c h a n n e l   p a r a m e t e r   W   W = 3 . 5 ;   % c o r r e s p o n d s   t o   h i g h   c h a n n e l   d i s t o r t i o n   %   c r e a t e   a   5   t a p   c h a n n e l   i m p u l s e   r e s p o n s e .   c h a n n e l = [ 0   0 . 5 * ( 1 + c o s ( 2 * p i * ( - 1 : 1 ) / W ) )   0 ] ;                                                                                                                                                                               ( 8 )   w h e r e   t h e   p a r a m e t e r   W   c o n t r o l s   t h e   a m o u n t   o f   a m p l i t u d e   d i s t o r t i o n   b y   t h e   c h a n n e l ,   w i t h   t h e     d i s t o r t i o n   i n c r e a s i n g   w i t h   W .   2 .   L e t   t h e   s t r u c t u r e   o f   t h e   e q u a l i z e r   i s   a   f i n i t e   i m p u l s e   r e s p o n s e   d i g i t a l   f i l t e r   w h o s e   c o e f f i c i e n t s   a r e   i n i t i a l l y   c h o s e n   f r o m   a   p o p u l a t i o n   o f   M   c h r o m o s o m e s .   E a c h   c h r o m o s o m e   c o n s t i t u t e s   N L   n u m b e r   o f   r a n d o m   b i n a r y   b i t s ,   e a c h   s e q u e n t i a l   g r o u p   o f   L - b i t s   r e p r e s e n t   o n e   c o e f f i c i e n t   o f   t h e   a d a p t i v e   m o d e l ,   w h e r e   N   i s   t h e   n u m b e r   o f   p a r a m e t e r s   o f   t h e   m o d e l .   T h e   G A   i s   a n   i t e r a t i v e   u p d a t e   a l g o r i t h m   a n d   e a c h   c h r o m o s o m e   r e q u i r e s   i t s   f i t n e s s   t o   b e   e v a l u a t e d   i n d i v i d u a l l y .   T h e r e f o r e ,   N   s e p a r a t e   s o l u t i o n s   n e e d   t o   b e   a s s e s s e d   u p o n   t h e   s a m e   t r a i n i n g   s e t   i n   e a c h   t r a i n i n g   i t e r a t i o n .   3 .   E a c h   o f   t h e   d e s i r e d   o u t p u t   i s   c o m p a r e d   w i t h   c o r r e s p o n d i n g   c h a n n e l   o u t p u t   a n d   K   e r r o r s   a r e   p r o d u c e d .   T h e   m e a n   s q u a r e   e r r o r   ( M S E )   f o r   a   g i v e n   g r o u p   o f   p a r a m e t e r s   ( c o r r e s p o n d i n g   t o   n t h   c h r o m o s o m e )   i s   d e t e r m i n e d   b y   u s i n g   t h e   r e l a t i o n    =   .   T h i s   i s   r e p e a t e d   f o r   N   t i m e s .   T h e   M S E ( n )   i s   m i n i m i z e d   s u c h   t h a t   t h e   a d a p t i v e   f i l t e r   b a s e d   G A   a p p r o x i m a t e s   t h e   i n v e r s e   o f   c h a n n e l .   4 .   S i n c e   t h e   o b j e c t i v e   i s   t o   m i n i m i z e   M S E   ( n ) ,   n = 1   t o   N ,   t h e   G A   b a s e d   o p t i m i z a t i o n   i s   u s e d .   T h e   G A   o p e r a t e s   o n   t h e   b a s i s   t h a t   a   p o p u l a t i o n   o f   p o s s i b l e   s o l u t i o n s   ( c h r o m o s o m e s )   i s   u s e d   t o   a s s e s s   t h e   c o s t   s u r f a c e   o f   t h e   p r o b l e m .   T h e   G A   e v o l u t i o n a r y   p r o c e s s   c r e a t e s   a   n e w   g e n e r a t i o n   o f   s o l u t i o n s   b y   c r o s s i n g   t w o   c h r o m o s o m e s .   T h e   s o l u t i o n   v a r i a b l e s   o r   g e n e s   t h a t   p r o v i d e   a   p o s i t i v e   c o n t r i b u t i o n   t o   t h e   p o p u l a t i o n   w i l l   m u l t i p l y   a n d   b e   p a s s e d   t h r o u g h   e a c h   s u b s e q u e n t   g e n e r a t i o n   u n t i l   a n   o p t i m a l   c o m b i n a t i o n   i s   o b t a i n e d .   T h e   p o p u l a t i o n   i s   u p d a t e d   a f t e r   e a c h   l e a r n i n g   c y c l e   t h r o u g h   t h r e e   e v o l u t i o n a r y   p r o c e s s e s :   s e l e c t i o n ,   c r o s s o v e r   a n d   m u t a t i o n .   T h e s e   c r e a t e   a   n e w   g e n e r a t i o n   o f   s o l u t i o n   v a r i a b l e s .   T h e   s e l e c t i o n   f u n c t i o n   c r e a t e s   a   m a t i n g   p o o l   o f   p a r e n t   s o l u t i o n   s t r i n g s   b a s e d   u p o n   t h e   " s u r v i v a l   o f   t h e   f i t t e s t "   c r i t e r i o n .   F r o m   t h e   m a t i n g   p o o l   t h e   c r o s s o v e r   o p e r a t o r   e x c h a n g e s   g e n e   i n f o r m a t i o n .   T h i s   e s s e n t i a l l y   c r o s s e s   t h e   m o r e   p r o d u c t i v e   g e n e s   f r o m   w i t h i n   t h e   s o l u t i o n   p o p u l a t i o n   t o   c r e a t e   a n   i m p r o v e d ,   m o r e   p r o d u c t i v e ,   g e n e r a t i o n .   M u t a t i o n   r a n d o m l y   a l t e r s   s e l e c t e d   g e n e s ,   w h i c h   h e l p s   p r e v e n t   p r e m a t u r e   c o n v e r g e n c e   b y   p u l l i n g   t h e   p o p u l a t i o n   i n t o   u n e x p l o r e d   a r e a s   o f   t h e   s o l u t i o n   s u r f a c e   a n d   a d d s   n e w   g e n e   i n f o r m a t i o n   i n t o   t h e   p o p u l a t i o n   [ 6 ] .   5 .   I n   e a c h   g e n e r a t i o n   t h e   m i n i m u m   M S E   i s   s t o r e d   w h i c h   s h o w s   t h e   l e a r n i n g   b e h a v i o r   o f   t h e   a d a p t i v e   m o d e l   f r o m   g e n e r a t i o n   t o   g e n e r a t i o n .   6 .   W h e n   t h e   m i n i m u m   M S E   h a s   r e a c h e d   a   p r e - s p e c i f i e d   l e v e l   t h e   o p t i m i z a t i o n   i s   s t o p p e d .   7 .   A t   t h i s   s t e p   a l l   t h e   c h r o m o s o m e s   a t t e n d   a l m o s t   i d e n t i c a l   g e n e s ,   w h i c h   r e p r e s e n t   t h e   d e s i r e d   f i l t e r   c o e f f i c i e n t s   o f   t h e   e q u a l i z e r .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8       T i t l e   o f   m a n u s c r i p t   i s   s h o r t   a n d   c l e a r ,   i m p l i e s   r e s e a r c h   r e s u l t s   ( F i r s t   A u t h o r )   2 8 9                                             4 .   S I M U L A T I O N   R E S U L T S   I n   t h i s   s e c t i o n ,   w e   s t u d y   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   a   s i m p l i f i e d   a d a p t i v e   e q u a l i z e r   f o r   a n   I T U   V . 2 9   m o d e m   u n d e r   v a r i o u s   c h a n n e l   c o n d i t i o n s .   T h i s   m o d e m   o p e r a t e s   o n   t h e   g e n e r a l   s w i t c h e d   t e l e p h o n e   n e t w o r k   l i n e s .   W e   u s e   t h e   L M S ,   R L S ,   a n d   G A   a l g o r i t h m s   f o r   t h e   a d a p t i v e   e q u a l i z a t i o n   o f   a   l i n e a r   d i s p e r s i v e   c o m m u n i c a t i o n   c h a n n e l .   T h i s   c h a n n e l   p r o d u c e s   u n k n o w n   I S I   ( d i s t o r t i o n )   a s   w a s   i l l u s t r a t e d   i n   s e c t i o n   I I I .   T h e   b l o c k   d i a g r a m   o f   t h e   s y s t e m   u s e d   i n   t h i s   w o r k   w a s   d e p i c t e d   i n   F i g . 2 .   T h e   e q u a l i z e r   h a s   1 1   t a p s .   T h e   i m p u l s e   r e s p o n s e   o f   t h e   c h a n n e l   w a s   d e f i n e d   b y   E q .   ( 8 ) .   I n   t r a i n i n g   m o d e   t h e   c h a n n e l   i n p u t   a f t e r   a   d e l a y   o f   s e v e n   s a m p l e s   p r o v i d e s   t h e   d e s i r e d   r e s p o n s e   f o r   t h e   e q u a l i z e r .   F o r   t h e   L M S   a n d   R L S   a l g o r i t h m s ,   w e   c h o o s e   s t e p - s i z e   = 0 . 0 7 5   a n d   e x p o n e n t i a l   w e i g h t i n g   f a c t o r = 1 .   T h e s e   v a l u e s   o f     a n d     a s s u r e   t h e   c o n v e r g e n c e   o f   t h e   a d a p t i v e   e q u a l i z e r   i n   t h e   m e a n   s q u a r e   f o r   b o t h   c h a n n e l   c o n d i t i o n s   ( i . e .   f o r   b o t h   v a l u e s   o f   W = 2 . 9   a n d   W = 3 . 5 ) .   W h i l e   b i n a r y   c o d e d   G A   p a r a m e t e r s   i n c l u d e   a   p o p u l a t i o n   s i z e   ( M )   o f   4 0 ,   t h e   t o t a l   n u m b e r   o f   b i t s   u s e d   t o   r e p r e s e n t   e a c h   c h r o m o s o m e   =   1 2 0   ( i . e .   1 5   b i t s   p e r   v a r i a b l e ) ,   R m i n   =   - 2 ;   R m a x   =   2   ( w h e r e   R m i n   a n d   R m a x   r e p r e s e n t s   t h e   r a n g e   o r   b o u n d a r y   v a l u e s ) ,   a   p r o b a b i l i t y   o f   c r o s s o v e r   =   0 . 9   a n d   a   p r o b a b i l i t y   o f   m u t a t i o n   =   0 . 0 3 .   T h e   t o u r n a m e n t   s e l e c t i o n   i s   u s e d   w h i c h   i s   f o l l o w e d   b y   t w o - p o i n t   c r o s s o v e r .   T h e   s i m u l a t i o n   r e s u l t   i s   i n   t h r e e   p a r t s :   I n   p a r t   1   t h e   s i g n a l - t o - n o i s e   r a t i o   i s   h i g h   ( S N R = 3 0 d B ) ,   i n   p a r t   2   i t   i s   l o w   ( S N R = 1 0 d B ) ,   a n d   i n   p a r t   3   i t   i s   v e r y   l o w   ( S N R = 0 d B ) .   I n   a l l   p a r t s   o f   t h e   s i m u l a t i o n ,   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   e q u a l i z e r   i s   t e s t e d   u n d e r   d i f f e r e n t   c h a n n e l   c o n d i t i o n s   ( c h a n n e l   w i t h   h i g h   d i s t o r t i o n   w h i c h   c o r r e s p o n d s   t o   c h a n n e l   p a r a m e t e r   W = 3 . 5   o r   l o w   d i s t o r t i o n   c o r r e s p o n d s   t o   c h a n n e l   p a r a m e t e r   W = 2 . 9 ) .     P a r t   1 :   T h e   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   f o r   a   f i x e d   S N R = 3 0 d B   ( e q u i v a l e n t l y ,   v a r i a n c e   = 0 . 0 0 1 )   a n d   d i f f e r e n t   v a l u e s   o f   c h a n n e l   p a r a m e t e r   W   a r e   s h o w n   i n   F i g . 3 .   T h i s   f i g u r e   p r e s e n t s   a   c o m p a r i s o n   o f   t h e   M S E   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   G A   t o   t h r e e   o t h e r   a l g o r i t h m s ,   t h e   o p t i m u m   W e i n e r   S o l u t i o n ,   t h e   s t a n d a r d   L M S   a l g o r i t h m   a n d   t h e   r e c u r s i v e   l e a s t - s q u a r e s   ( R L S )   a l g o r i t h m .   I t   c a n   b e   s e e n   t h a t   t h e   L M S   a l g o r i t h m   c o n s i s t e n t l y   b e h a v e s   w o r s t ,   i n   t h a t   i t   e x h i b i t s   t h e   s l o w e s t   r a t e   o f   c o n v e r g e n c e ,   t h e   g r e a t e s t   s e n s i t i v i t y   t o   v a r i a t i o n s   i n   t h e   p a r a m e t e r   W ,   a n d   t h e   l a r g e s t   e x c e s s   M S E .   A l s o ,   n o t e   t h a t   t h e   R L S   a l g o r i t h m   c o n s i s t e n t l y   a c h i e v e s   t h e   f a s t e s t   r a t e   o f   c o n v e r g e n c e   a n d   t h e   s m a l l e s t   e x c e s s   M S E ,   w i t h   t h e   l e a s t   s e n s i t i v i t y   t o   v a r i a t i o n s   i n   t h e   c h a n n e l   p a r a m e t e r   W .   M o s t   i m p o r t a n t l y ,   h o w e v e r ,   t h e   M S E   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   G A   i s   c l o s e r   t o   t h a t   a d v a n t a g e   o f   t h e   R L S   a l g o r i t h m   t h a n   t h a t   d i s a d v a n t a g e   o f   t h e   s t a n d a r d   L M S   a l g o r i t h m .   N o t e   a l s o ,   f o r   l o w   c h a n n e l   d i s t o r t i o n   ( W = 2 . 9 ) ,   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   G A   i s   v e r y   c l o s e   t o   o p t i m u m   s o l u t i o n .   P a r t   2 :   S N R = 1 0 d B   ( e q u i v a l e n t l y ,   v a r i a n c e = 0 . 1 ) .   F i g . 4   s h o w s   t h e   M S E   p e r f o r m a n c e s   f o r   a f o r e m e n t i o n e d   a l g o r i t h m s   f o r   W = 2 . 9   a n d   W = 3 . 5 .   I n s o f a r   a s   t h e   r a t e   o f   c o n v e r g e n c e   i s   c o n c e r n e d ,   w e   s e e   t h a t   t h e   G A   a n d   R L S   a l g o r i t h m s   p e r f o r m   i n   r o u g h l y   t h e   s a m e   m a n n e r ,   b o t h   r e q u i r i n g   a b o u t   5 0   i t e r a t i o n s   t o   c o n v e r g e .   T h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   L M S   a l g o r i t h m   i s   u n s a t i s f a c t o r y   e s p e c i a l l y   f o r   c h a n n e l   p a r a m e t e r   W = 3 . 5 .   S e e   t h a t   i n c r e a s i n g   t h e   c h a n n e l   p a r a m e t e r   W   h a s   t h e   e f f e c t   o f   s l o w i n g   d o w n   t h e   r a t e   o f   c o n v e r g e n c e   o f   t h e   a d a p t i v e   e q u a l i z e r   a n d   a l s o   i n c r e a s i n g   t h e   s t e a d y - s t a t e   v a l u e   o f   t h e   a v e r a g e   s q u a r e d   e r r o r .   P a r t   3 :   I n   t h i s   c a s e ,   t h e   S N R   m e a s u r e d   a t   t h e   c h a n n e l   o u t p u t   w a s   0 d B .   T h e   M E S   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   G A   a n d   R L S   a l g o r i t h m s   a r e   s h o w n   i n   F i g . 5 .   U n d e r   t h i s   c o n d i t i o n ,   t h e   L M S   a l g o r i t h m   e x h i b i t   v e r y   l a r g e   f l u c t u a t i o n s   a n d   b e c o m e   i n s t a b l e .   T h e   r e s u l t   p r e s e n t e d   i n   F i g . 5   c l e a r l y   s h o w s   t h e   s u p e r i o r   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   G A   o v e r   t h e   R L S   a l g o r i t h m .   T h e   m e a n   s q u a r e d   e r r o r   s i g n a l   i s   m i n i m i z e d   s u c h   t h a t   t h e   G A   a p p r o x i m a t e s   t h e   i n v e r s e   o f   c h a n n e l .   F i g u r e   2 .   S y s t e m   m o d e l   o f   a d a p t i v e   c h a n n e l   e q u a l i z e r   b a s e d   G A   C ha nnel   E qua l i z er  B a s ed - G A   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I J E C E     V o l .   2 ,   N o .   3 ,     J u n e   2 0 1 2   :     2 8 5     2 9 2   2 9 0   F i n a l l y   t h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   e q u a l i z e r s   i s   c o m p a r e d   b y   p l o t t i n g   t h e   B i t - e r r o r - r a t e   ( B E R )   g r a p h s   ( s e e   F i g .   6 ) .   I t   c a n   b e   s e e n   t h a t ,   f o r   l e s s   n o i s y   c h a n n e l   c o n d i t i o n s ,   t h e   L M S   a n d   G A   e q u a l i z e r s   p e r f o r m   a l m o s t   s i m i l a r l y .   H o w e v e r ,   u n d e r   h i g h   n o i s e   c h a n n e l   c o n d i t i o n s ,   t h e   G A   e q u a l i z e r   o u t p e r f o r m s   i t s   L M S   a n d   R L S   c o u n t e r p a r t s .                                                                                                               F i g u r e   3 .   T r a i n i n g   c u r v e s   f o r   t h e   L M S ,   R L S ,   a n d   G A   a l g o r i t h m s   f o r   S N R = 3 0 d B     a n d   d i f f e r e n t   v a l u e s   o f   W ,   ( a )   W = 2 . 9 ,   ( b )   W = 3 . 5   ( a )   ( b )   ( a )   ( b )   F i g u r e   4 .   T r a i n i n g   c u r v e s   f o r   t h e   L M S ,   R L S ,   a n d   G A   a l g o r i t h m s   f o r   S N R = 1 0 d B     a n d   d i f f e r e n t   v a l u e s   o f   W ,   ( a )   W = 2 . 9 ,   ( b )   W = 3 . 5   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8       T i t l e   o f   m a n u s c r i p t   i s   s h o r t   a n d   c l e a r ,   i m p l i e s   r e s e a r c h   r e s u l t s   ( F i r s t   A u t h o r )   2 9 1                                                                                                       5 .   C O N C L U S I O N S   T h e   s t a n d a r d   a d a p t i v e   a l g o r i t h m s   s u c h   a s   L M S ,   a n d   R L S   a r e   a s s o c i a t e d   w i t h   l o c a l   m i n i m a   p r o b l e m   w h e n   t h e y   a r e   u s e d   t o   t r a i n   t h e   w e i g h t s   o f   t h e   e q u a l i z e r s .   T h e   u s e   o f   t h e s e   a l g o r i t h m s   i n   t h e   d e s i g n   o f   a d a p t i v e   e q u a l i z e r   a t   t i m e s   f a i l s   t o   p r o v i d e   s a t i s f a c t o r y   p e r f o r m a n c e .   T o   a l l e v i a t e   t h e s e   l i m i t a t i o n s ,   t h i s   p a p e r   p r o p o s e s   t h e   u s e   o f   d e r i v a t i v e   f r e e   o p t i m i z a t i o n   t e c h n i q u e s   s u c h   a s   G e n e t i c   A l g o r i t h m .   I t   c a n   a l s o   b e   u s e d   w i t h   P a r t i c l e   S w a r m   O p t i m i z a t i o n   ( P S O )   t e c h n i q u e .   T h e   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   G A - b a s e d   c h a n n e l   e q u a l i z e r   i s   o b t a i n e d   a n d   c o m p a r e d   w i t h   s t a n d a r d   a d a p t i v e   a l g o r i t h m s .   I t   i s   f o u n d   t h a t   r e t a i n i n g   t h e   s a m e   B E R   p e r f o r m a n c e ,   t h e   G A - b a s e d   c h a n n e l   e q u a l i z e r   t a k e s   l e s s e r   c o n v e r g e n c e   r a t e   ( i t   r e q u i r e s   a b o u t   5 0   i t e r a t i o n s   t o   ( b )   ( a )   F i g u r e   5 .   T r a i n i n g   c u r v e s   f o r   t h e   L M S ,   R L S ,   a n d   G A   a l g o r i t h m s   f o r   S N R = 0 d B     a n d   d i f f e r e n t   v a l u e s   o f   W ,   ( a )   W = 2 . 9 ,   ( b )   W = 3 . 5   ( b )   ( a )   F i g u r e   6 .   B E R   P e r f o r m a n c e   f o r   t h e   L M S ,   R L S ,     a n d   G A   a l g o r i t h m s   f o r   c h a n n e l   p a r a m e t e r s ,   ( a )   W = 2 . 9 ,   ( b )   W = 3 . 5   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I J E C E     V o l .   2 ,   N o .   3 ,     J u n e   2 0 1 2   :     2 8 5     2 9 2   2 9 2 c o n v e r g e )   a s   c o m p a r e d   t o   t h e   c o n v e r g e n c e   r a t e   o f f e r e d   b y   t h e   s t a n d a r d   L M S   a l g o r i t h m   ( i t   r e q u i r e s   m o r e   t h a n   1 0 0   i t e r a t i o n s   t o   c o n v e r g e ) .       R E F E R E N C E S   [ 1 ]   S .   H a y k i n ,   A d a p t i v e   F i l t e r   T h e o r y ,   F o u r t h   E d i t i o n ,   P e r s o n   E d u c a t i o n   ( S i n g a p o r e ) ,   I n d i a n   Br a n c h ,   I n d i a ,   2 0 0 2 .   [ 2 ]   T .   K .   S a r k a r ,   M .   C.   W i c k s ,   a n d   M .   S a l a z a r - P a l m a ,   S m a r t   A n t e n n a s ,   N e w   Y o r k :   W i l e y ,   2 0 0 3 .   [ 3 ]   H .   Ch e n ,   e t   a l . ,   A d a p t i v e   S p e c t r a l   E s t i m a t i o n   b y   t h e   Co n j u g a t e   G r a d i e n t   M e t h o d ,   I E E E   T r a n s .   O n   A c o u s t i c s ,   S p e e c h   a n d   S i g n a l   P r o c e s s i n g ,   v o l .   A S S P - 3 4 ,   n o .   2 ,   p p .   2 7 2 2 8 4 ,   A p r i l   1 9 8 6 .   [ 4 ]   S .   M a r c o s ,   N e t w o r k   o f   A d a p t i v e   K a l m a n   F i l t e r s   f o r   D a t a   Ch a n n e l   E q u a l i z a t i o n ,   I E E E   T r a n s a c t i o n s   o n   S i g n a l   P r o c e s s i n g ,   v o l .   4 8 ,   n o .   9 ,   p p .   2 6 2 0 - 2 6 2 7 ,   S e p t e m b e r   2 0 0 0 .   [ 5 ]   H a i q u a n   Z h a o ;   X i a n g p i n g   Z e n g ;   Z h e n g y o u   H e ;   L o w - Co m p l e x i t y   N o n l i n e a r   A d a p t i v e   F i l t e r   Ba s e d   o n   a   P i p e l i n e d   Bi l i n e a r   Re c u r r e n t   N e u r a l   N e t w o r k ,   I E E E   T r a n s .   O n   Ne u r a l   Ne t w o r k s ,   v o l .   2 2 ,   n o .   9 ,   p p .   1 4 9 4   1 5 0 7 ,   2 0 1 1 .   [ 6 ]   D . E .   G o l d b e r g ,   G e n e t i c   A l g o r i t h m s   i n   S e a r c h ,   O p t i m i z a t i o n ,   a n d   M a c h i n e   L e a r n i n g ,   A d d i s o n - W e s l e y ,   1 9 8 9 .   [ 7 ]   N .   S u r a j u d e e n - Ba k i n d e ,   X u   Z h u ,   J i n g b o   G a o ,   A . K .   N a n d i ,   H a i   L i n ,     G e n e t i c   A l g o r i t h m   B a s e d   F r e q u e n c y   D o m a i n   E q u a l i z a t i o n   f o r   D S - U W S y s t e m s   w i t h o u t   G u a r d   I n t e r v a l ,     I E E E   I n t e r n a t i o n a l   C o n f e r e n c e   o n   Co m m u n i c a t i o n s   ( I CC) ,   p p .   1 - 5 ,   2 0 1 1 .   [ 8 ]   J .   R.   M o h a m m e d ,   Co m p a r a t i v e   P e r f o r m a n c e   I n v e s t i g a t i o n s   o f   S t o c h a s t i c   a n d   G e n e t i c   A l g o r i t h m s   U n d e r   F a s t   D y n a m i c a l l y   Ch a n g i n g   E n v i r o n m e n t   i n   S m a r t   A n t e n n a s ,   I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   E l e c t r i c a l   a n d   Co m p u t e r   E n g i n e e r i n g ,   v o l . 2 ,   n o . 1 ,   p p .   9 8 - 1 0 5 ,   F e b r u a r y   2 0 1 2 .       B I O G R A P H Y   O F   A U T H O R       F i r s t   a u t h o r s     P h o t o   ( 3 x 4 c m )     J a f a r   R a m a d h a n   M o h a m m e d   r e c e i v e d   t h e   B. S c .   a n d   M . S c .   D e g r e e s   i n   E l e c t r o n i c   a n d   Co m m u n i c a t i o n   E n g i n e e r i n g   f r o m   U n i v e r s i t y   o f   M o s u l ,   I RA Q ,   i n   1 9 9 8 ,   a n d   2 0 0 1 ,   r e s p e c t i v e l y ,   a n d   t h e   P h . D .   d e g r e e   i n   D i g i t a l   Co m m u n i c a t i o n   E n g i n e e r i n g   f r o m   P a n j a b   U n i v e r s i t y ,   I n d i a   i n   N o v .   2 0 0 9 .   H e   i s   c u r r e n t l y   a   S e n i o r   L e c t u r e r   a t   U n i v e r s i t y   o f   M o s u l ,   I RA Q .   H i s   m a i n   r e s e a r c h   i n t e r e s t s   a r e   i n   t h e   a r e a   o f   A d a p t i v e   S i g n a l   P r o c e s s i n g   a n d   i t s   a p p l i c a t i o n ,   D i g i t a l   S y s t e m s   a n d   W i r e l e s s   Co m m u n i c a t i o n s .             Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.