I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   A d v a n c e s   i n   A p p l i e d   S c i e n c e s   ( I J A A S )   V o l .   8 ,   N o .   2 ,   J u n e   2 0 1 9 ,   p p .   1 1 7 ~ 1 2 4   I S S N :   2 2 5 2 - 8 8 1 4 ,   D O I :   1 0 . 1 1 5 9 1 / i j a a s . v 8 . i 2 . p p 1 1 7 - 1 2 4       1 1 7       J o u r n a l   h o m e p a g e :   h t t p : / / i a e s c o r e . c o m / o n l i n e / i n d e x . p h p / I J A A S   E n h a n c e d   p e r f o r m a n c e   o f   P I D   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l l e r     f o r   p o w e r   s y s t e m s         D o l a   G o b i n d a   P a d h a n ,   S u r e s h   K u m a r   T u m m a l a     E E E   D e p a r t m e n t ,   G o k a r a j u   R a n g a r a j u   I n s t i t u t e   o f   E n g i n e e r i n g   a n d   T e c h n o l o g y ,   I n d i a         A r t i c l e   I n f o     A B S T R A C T     A r t i c l e   h i s t o r y :   R e c e i v e d   S e p   8 ,   2 0 1 8   R e v i s e d   M a r   2 7 ,   2 0 1 9   A c c e p t e d   A p r   2 9 ,   2 0 1 9       A   n o v e l   c o n t r o l   s t r u c t u r e   f o r   d e s i g n i n g   a   P I D   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l l e r   f o r   p o w e r   s y s t e m s   i s   p r e s e n t e d .   T h e   c o n t r o l l e r   w i t h   a   s i n g l e   t u n i n g   p a r a m e t e r   i s   d e s i g n e d   b a s e d   o n   a   d e s i r e d   c l o s e d - l o o p   c o m p l e m e n t a r y   s e n s i t i v i t y   f u n c t i o n   a n d   P a d e   a p p r o x i m a t i o n .   C o m p a r a t i v e   a n a l y s i s   d e m o n s t r a t e s   t h a t   p r o p o s e d   P I D   c o n t r o l l e r s   i m p r o v e s   t h e   s e t t l i n g   t i m e   a n d   r e d u c e s   o v e r s h o o t   e f f e c t i v e l y   a g a i n s t   s m a l l   s t e p   l o a d   d i s t u r b a n c e s .   A l s o ,   t h e   p e r f o r m a n c e   a n d   r o b u s t n e s s   o f   t h e   c o n t r o l l e r s   h a v e   b e e n   a n a l y z e d   a n d   c o m p a r e d .   S i m u l a t i o n   r e s u l t s   s h o w   s i g n i f i c a n t l y   i m p r o v e d   p e r f o r m a n c e s   w h e n   c o m p a r e d   w i t h   r e c e n t   r e s u l t s .   K e y w o r d s :   C o m p l e m e n t a r y   s e n s i t i v i t y   K h a r i t o n o v ’ s   t h e o r e m   L o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l   ( L F C )   P I D   C o p y r i g h t   ©   2 0 1 9   I n s t i t u t e   o f   A d v a n c e d   E n g i n e e r i n g   a n d   S c i e n c e .     A l l   r i g h t s   r e s e r v e d .   C o r r e s p o n d i n g   A u t h o r :   D o l a   G o b i n d a   P a d h a n ,     E E E   D e p a r t m e n t ,   G o k a r a j u   R a n g a r a j u   I n s t i t u t e   o f   E n g i n e e r i n g   a n d   T e c h n o l o g y ,   S u r v e y   N o .   2 8 8   N i z a m p e t   R o a d ,   K r i s h n a j a   H i l l s ,   B a c h u p a l l y ,   K u k a t p a l l y ,     H y d e r a b a d ,   T e l a n g a n a   5 0 0 0 9 0 ,   I n d i a .   E m a i l :   d g . p a d h a n @ g r i e t . a c . i n       1 .   I N T R O D U C T I O N     F r e q u e n c y   d e v i a t i o n   i n   P o w e r   S y s t e m   d u e   t o   v a r i a t i o n   b e t w e e n   g e n e r a t i o n   a n d   l o a d   s h a l l   b e   r e c t i f i e d   w i t h i n   a   f r a c t i o n   o f   s e c o n d s   r e s u l t i n g   i n   s t a b i l i t y   a n d   s e c u r i t y .   L o a d   F r e q u e n c y   C o n t r o l   ( L F C )   o f   a n   e x t e n s i v e   p o w e r   f r a m e w o r k   c a n   b e   a l l u d e d   a s   t h e   i s s u e   o f   c o n t r o l l i n g   t h e   r e c u r r e n c e   b y   d i r e c t i n g   t h e   c r e a t e d   u n i t s   w i t h   r e a c t i o n   t o   c h a n g e   i n   s t a c k   [ 1 ] .   F o r   f r a m e w o r k   s o u n d n e s s ,   L F C   m u s t   f u r n i s h   r e c u r r e n c e   w i t h   z e r o   e n d u r i n g   s t a t e   m i s t a k e s   a n d   t i e - l i n e   t r a d e   v a r i e t i e s ,   h i g h   d a m p i n g   o f   r e c u r r e n c e   m o t i o n s   a n d   d i m i n i s h i n g   o v e r s h o o t   o f   t h e   u n s e t t l i n g   i n f l u e n c e .   T h e   o b j e c t i v e s   s p e c i f i e d   a r e   c o n v e y e d   e f f e c t i v e l y   i n   p a s t   w o r k s   b y   v a r i o u s   c r e a t o r s   u t i l i z i n g   F u z z y   r a t i o n a l e   P I   a n d   P I D   c o n t r o l l e r s   [ 2 ,   3 ] ,   i d e a l   c o n t r o l   [ 4 ,   5 ] .   V a r i a b l e   s t r u c t u r e   c o n t r o l   [ 6 ,   7 ] ,   v e r s a t i l e   a n d   s e l f - t u n i n g   c o n t r o l   [ 8 ,   9 ] .   D o w n   t h e   l i n e ,   d i f f e r e n t   t u n i n g   r u l e s   h a v e   p i c k e d   u p   t h e   c o n s i d e r a t i o n   f o r   t h e   p r e v i o u s l y   m e n t i o n e d   g o a l s   i n   w h i c h   I n t e r n a l   M o d e l   C o n t r o l   ( I M C )   [ 1 0 ]   i s   o n e   a m o n g   t h e m .   T h e   L F C   P I D   c o n t r o l l e r   c o n f i g u r a t i o n   u t i l i z i n g   L a u r e n t   a r r a n g e m e n t   i s   c l a r i f i e d   b y   P a d h a n   a n d     M a j h i   [ 1 1 ] .   D o u b l e   P I   c o n t r o l l e r   t u n i n g   u t i l i z i n g   s w a m   e n h a n c e m e n t   c a l c u l a t i o n   i s   i n t r o d u c e d   i n   [ 1 2 ] .   T h e   t w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m   i n t e r n a l   m o d e l   c o n t r o l   s c h e m e   s u g g e s t e d   b y   T a n   [ 1 0 ]   c o n s i s t s   o f   t w o   c o n t r o l l e r s   w i t h   t w o   t u n i n g   p a r a m e t e r s   w h e r e   s i m u l t a n e o u s   t u n i n g   o f   t h e   t w o   p a r a m e t e r s   i s   d i f f i c u l t .   I n   p r a c t i c e ,   a   s i m p l e   c o n t r o l   s t r u c t u r e   w i t h   a   f e w e r   n u m b e r   o f   t u n i n g   p a r a m e t e r s   i s   d e s i r a b l e .   T h e   p r o p o s e d   c o n t r o l   s t r u c t u r e   ( s e e     F i g u r e   1 )   f o r   L F C   d e s i g n   c o n s i s t s   o f   o n l y   o n e   c o n t r o l l e r   ( G c ) .   K a s i r e d d y   e t . a l   d e s i g n e d   a   P I D   c o n t r o l l e r   f o r   L F C   t h r o u g h   r e d u c e d   m o d e l   o r d e r   [ 1 3 ] .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I S S N :   2 2 5 2 - 8 8 1 4   I n t .   J .   o f   A d v .   i n   A p p l .   S c i .   V o l .   8 ,   N o .   2 ,   J u n e   2 0 1 9 :   1 1 7   –   1 2 4   1 1 8     F i g u r e   1 .   P r o p o s e d   c o n t r o l   s t r u c t u r e       I n   F i g u r e   1 ,   G   a n d   G m e − θ m   r e p r e s e n t   t h e   p o w e r   s y s t e m   d y n a m i c s   a n d   i t s   m o d e l ,   r e s p e c t i v e l y .   F o r   L F C ,   c o n t r o l l e r   d e s i g n   i s   i n c o n v e n i e n t   b e c a u s e   G   r e s u l t s   i n   h i g h e r   o r d e r   p l a n t   m o d e l s ,   w h i c h   a r e   a p p r o x i m a t e d   b y   l o w e r   o r d e r   t r a n s f e r   f u n c t i o n s   w i t h   t i m e   d e l a y   u s i n g   a   r e l a y - b a s e d   i d e n t i f i c a t i o n   m e t h o d .     T h i s   p a p e r   h a s   b e e n   a l i e n a t e d   i n t o   6   s e c t i o n s .   M o d e l i n g   o f   p o w e r   s y s t e m   d y n a m i c s   w i t h   n e c e s s a r y   d e r i v a t i o n s   d i s c o u r s e   i n   s e c t i o n   2 .   I n   s e c t i o n   3 ,   t h e   P I D   c o n t r o l l e r   d e s i g n   m e t h o d   i s   d i s c u s s e d   f o l l o w e d   b y   S e c t i o n   4   i n   w h i c h   t h e   s i m u l a t i o n   r e s u l t s   a r e   p r e s e n t e d .   S e c t i o n   5   d e a l s   w i t h   R o b u s t n e s s   a n a l y s i s   a n d   p e r f o r m a n c e   o f   a   p o w e r   s y s t e m   u s i n g   K h a r i t o n o v ’ s   r e c t a n g l e s   f o l l o w e d   b y   c o n c l u s i o n s   i n   s e c t i o n   6 .       2 .   M O D E L I N G   O F   P O W E R   S Y S T E M   D Y N A M I C S     F i g u r e   2   s h o w s   s i n g l e   a r e a   p o w e r   s y s t e m s   w i t h   a   l i n e a r   m o d e l .   F r o m   F i g u r e   2   i t   c a n   b e   n o t i c e d   t h a t   t h e   p o w e r   i s   s u p p l i e d   t o   t h e   s i n g l e   a r e a   b y   a   s i n g l e   g e n e r a t o r .   T h e r e   a r e   t w o   t y p e s   o f   t u r b i n e   u s e d   f o r   a   g e n e r a t i o n :   ( a )   n o n - r e h e a t e d   ( N R T )   a n d   r e h e a t e d   ( R T ) .           F i g u r e   2 .   S i n g l e   a r e a   p o w e r   s y s t e m       T h e   p l a n t   m o d e l   u s e d   f o r   L F C   w i t h o u t   d r o o p   c h a r a c t e r i s t i c s   i s     g t p G   =   G G G                     ( 1 )     W h e r e   G g ,   G t ,   a n d   G p   a r e   t h e   d y n a m i c s   o f   t h e   g o v e r n o r ,   t u r b i n e ,   a n d   l o a d   &   m a c h i n e ,   r e s p e c t i v e l y .   F o r   a   r e h e a t e d   t u r b i n e ,     r t r T c T s 1 G   =   T s 1 T s 1     W h e r e   T r   i s   a   c o n s t a n t   a n d   c   i s   t h e   p o r t i o n   o f   t h e   p o w e r   g e n e r a t e d   b y   t h e   r e h e a t   t u r b i n e   i n   t h e   t o t a l   g e n e r a t e d   p o w e r .   F o r   n o n - r e h e a t e d   t u r b i n e   T r   =   0 .   T h e   p l a n t   m o d e l   u s e d   f o r   L F C   w i t h   d r o o p   c h a r a c t e r i s t i c   i s     g t p g t p G G G G   =   1 G G G / R                 ( 2 )     F r o m   ( 1 )   a n d   ( 2 )   c a n   b e   r e p r e s e n t e d   b y   t h e   s e c o n d - o r d e r   t r a n s f e r   f u n c t i o n   m o d e l     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t .   J .   o f   A d v .   i n   A p p l .   S c i .   I S S N :   2 2 5 2 - 8 8 1 4       E n h a n c e d   p e r f o r m a n c e   o f   P I D   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l l e r   f o r   p o w e r   s y s t e m s   ( D o l a   G o b i n d a   P a d h a n )   1 1 9 m s 1 2 k e G   =   T s 1 T s 1                 ( 3 )     S t a t e   s p a c e   e q u a t i o n s   i n   t h e   J o r d a n   c a n o n i c a l   f o r m   b e c o m e     m x ( t ) A x ( t ) b u ( t )                 ( 4 )     y ( t ) c x ( t )                   ( 5 )     W h e r e     1 1 2 2 1 0 T 1 k A ;   b   =   ;   c   =   1 1 1 1 T T 0 T     W h e n   a   r e l a y   t e s t   i s   p e r f o r m e d   w i t h   s y m m e t r i c a l   r e l a y   o f   h e i g h t   ± h ,   t h e n   t h e   e x p r e s s i o n   f o r   t h e   l i m i t   c y c l e   o u t p u t   f o r   0   ≤   t   ≤   θ m   i s     A t 1 A t y ( t ) c e x ( 0 ) c A e I b h               ( 6 )     L e t   t h e   h a l f   p e r i o d   o f   t h e   l i m i t   c y c l e   o u t p u t   b e   τ .   T h e n   t h e   e x p r e s s i o n   f o r   t h e   l i m i t   c y c l e   o u t p u t   f o r     θ m   ≤   t   ≤   τ   i s     m m A ( t ) A ( t ) 1 m y ( t ) c e x ( ) c A e I b h             ( 7 )     T h e   c o n d i t i o n   f o r   a   l i m i t   c y c l e   o u t p u t   c a n   b e   w r i t t e n   a s     y ( 0 ) c x ( 0 ) y ( ) 0                 ( 8 )     S u b s t i t u t i o n   o f   t   =   τ   i n   ( 7 )   a n d   u s e   o f   ( 6 )   g i v e s   t h e   i n i t i a l   v a l u e   o f   t h e   c y c l i n g   s t a t e s     m 1 A ( ) A 1 A x ( 0 ) I e A 2 e e I b h             ( 9 )     W h e n   t p   i s   t h e   t i m e   i n s t a n t   a t   w h i c h   t h e   p o s i t i v e   p e a k   o u t p u t   o c c u r s   a n d   t p   ≥   θ m ,   t h e n   t h e   e x p r e s s i o n   o f   t h e   p e a k   o u t p u t   A p   b e c o m e s     p m p m A ( t ) A ( t ) 1 p m A c e x ( ) A e I b h           ( 1 0 )     a n d   t h e   e x p r e s s i o n   f o r   t h e   p e a k   t i m e   b e c o m e s     1 2 / T 1 2 p m / T 1 2 T T 1 e t l n T T 1 e               ( 1 1 )     S u b s t i t u t i o n   o f   A ,   b ,   a n d   c   i n   ( 9 )   a n d   ( 1 0 )   g i v e     2 m 1 1 1 m 2 2 / T ( ) / T / T / T ( ) / T / T 1 2 T 1 e 2 e e 1 T 1 e 2 e e 1 0   ( 1 2 )     1 2 1 2 1 2 1 2 T T / T / T T T T T p A k h 2 1 e 1 e 1           ( 1 3 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I S S N :   2 2 5 2 - 8 8 1 4   I n t .   J .   o f   A d v .   i n   A p p l .   S c i .   V o l .   8 ,   N o .   2 ,   J u n e   2 0 1 9 :   1 1 7   –   1 2 4   1 2 0 T h e   ( 1 1 - 1 3 )   a r e   s o l v e d   s i m u l t a n e o u s l y   t o   e s t i m a t e   θ m ,   T 1   a n d   T 2   f r o m   t h e   m e a s u r e m e n t s   o f   ,   A p   a n d   t p .   T h e   r e l e n t l e s s   s t a t e   g a i n   k   i s   t h o u g h t   t o   b e   k n o w n   f r o m   t h e   e a r l i e r   o r   c a n   b e   a s s e s s e d   f r o m   a   s t a g e   f l a g   t e s t .   C a r e   h a s   b e e n   t a k e n   t o   e x p l a i n   t h e   a r r a n g e m e n t   o f   n o n - d i r e c t   c o n d i t i o n s ,   s o   i n t e r m i n g l i n g   m a y   n o t   o c c u r   t o   a   f a l s e   a r r a n g e m e n t .       3 .   P I D   C O N T R O L L E R   D E S I G N     T h e   n o m i n a l   c o m p l e m e n t a r y   s e n s i t i v i t y   f u n c t i o n   f o r   l o a d   d i s t u r b a n c e   r e j e c t i o n   c a n   b e   o b t a i n e d   a s     c c G G T   =   1 G G                   ( 1 4 )     T o   r e j e c t   a   s t e p   c h a n g e   i n   t h e   l o a d   o f   t h e   p o w e r   s y s t e m ,   t h e   a s y m p t o t i c   c o n s t r a i n t   s h o u l d   b e   s a t i s f i e d   s o   t h a t   t h e   c l o s e d   l o o p   i n t e r n a l   s t a b i l i t y   c a n   b e   a c h i e v e d   [ 3 ] .     1 2 1 1 s , T T l i m 1 T 0                   ( 1 5 )     T h e   d e s i r e d   c l o s e d - l o o p   c o m p l e m e n t a r y   s e n s i t i v i t y   f u n c t i o n   i s   p r o p o s e d   a s     m 2 2 1 s 4 s s 1 T e s 1               ( 1 6 )     W h e r e   β   i s   t h e   o n l y   t u n i n g   p a r a m e t e r   f o r   o b t a i n i n g   t h e   d e s i r e d   p e r f o r m a n c e   o f   t h e   p o w e r   s y s t e m .   A s   t h e r e   a l w a y s   e x i s t s   a   t r a d e - o f f   b e t w e e n   t h e   n o m i n a l   p e r f o r m a n c e   a n d   r o b u s t   p e r f o r m a n c e ,   β   m u s t   b e   t u n e d   a c c o r d i n g   t o   t h e   d e s i r e d   c h o i c e .   α 1   a n d   α 2   c a n   b e   o b t a i n e d   f r o m   ( 1 5 )   a n d   t h e   c o n s t r a i n t   a s     m 1 m 2 4 4 / T / T 2 2 1 2 1 2 1 2 1 T 1 e 1 T 1 e 1 T T T T   a n d     m 2 4 / T 2 2 2 2 1 2 T 1 e 1 T T             ( 1 7 )     U s i n g   ( 1 4 ) ,   ( 1 5 )   a n d   s e c o n d   o r d e r   P a d e ´   a p p r o x i m a t i o n   f o r   t h e   t i m e   d e l a y   t e r m ,   w e   g e t     2 2 2 1 2 1 c 2 2 1 o o o 6 s s 1 l s l s 1 G m m k m s s s 1 m m               ( 1 8 )     W h e r e       2 1 m 1 6 T 6 T 4 l 6     2 1 2 1 m 2 m m 2 6 T T 4 T 4 T l 6   0 m 1 m 6 2 4 6   2 2 1 m 2 m 1 m m 3 6 6 1 6 2   2 2 3 2 m 2 m m m 2 4 2 4 2 4     T h e   ( 1 8 )   c a n   b e   w r i t t e n   i n   t h e   f o r m   o f   a   P I D   c o n t r o l l e r   w i t h   l e a d / l a g   f i l t e r   a s     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t .   J .   o f   A d v .   i n   A p p l .   S c i .   I S S N :   2 2 5 2 - 8 8 1 4       E n h a n c e d   p e r f o r m a n c e   o f   P I D   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l l e r   f o r   p o w e r   s y s t e m s   ( D o l a   G o b i n d a   P a d h a n )   1 2 1 2 2 1 c c d 2 2 2 1 a s a s 1 1 G K 1 T s T s b s b s 1             ( 1 9 )     W h e r e       1 c 0 6 K k m     i 1 T       2 d 1 T       2 2 a l       1 1 a l       2 2 0 m b m     1 1 0 m b m       4 .   S I M U L A T I O N   R E S U L T S     C o n s i d e r   a   p o w e r   s y s t e m   w i t h   a   n o n - r e h e a t e d   a n d   a   r e h e a t e d   t u r b i n e   w h o s e   m o d e l   p a r a m e t e r s   a r e   g i v e n   b y   K P   =   1 2 0 ,   T P   =   2 0 ,   T T   =   0 . 3 ,   T G   =   0 . 0 8 ,   R   =   2 . 4 ,   T r   =   4 . 2   a n d   c   =   0 . 3 5   [ 1 1 ] .   T h e   i d e n t i f i e d   m o d e l s   a n d   c o n t r o l l e r   s e t t i n g s   ( s e e   T a b l e   1 )   f o r   t h e   p o w e r   s y s t e m   w i t h   n o n - r e h e a t e d   a n d   r e h e a t e d   t u r b i n e s   a r e   o b t a i n e d   u s i n g   ( 1 1 - 1 3 ,   1 7 ) .   T h e   N y q u i s t   p l o t s   o f   t h e   i d e n t i f i e d   a n d   a c t u a l   m o d e l s   a r e   s h o w n   i n   F i g u r e   4   t o   i l l u s t r a t e   t h e   a c c u r a c y   o f   t h e   i d e n t i f i c a t i o n   m e t h o d .   T o   g e t   s t a b l e   a n d   r o b u s t   r e s p o n s e ,   β   v a l u e s   i n   T a b l e   1   a r e   o b t a i n e d   f r o m   e x t e n s i v e   s i m u l a t i o n   s t u d i e s .   F i g u r e   3   a n d   F i g u r e   5   s h o w   t h e   f r e q u e n c y   c h a n g e   o f   t h e   p o w e r   s y s t e m   f o l l o w i n g   a   l o a d   d e m a n d   Δ P d   =   0 . 0 1 .   T h e   s t a b i l i t y   r o b u s t n e s s   i s   t e s t e d   b y   c h a n g i n g   t h e   p a r a m e t e r s   o f   t h e   s y s t e m   b y   5 0 % .   F r o m   t h e   s i m u l a t i o n   r e s u l t s ,   i t   i s   e v i d e n t   t h a t   t h e   p r o p o s e d   m e t h o d   g i v e s   s i g n i f i c a n t l y   i m p r o v e d   p e r f o r m a n c e s   t h a n   t h e   T a n ’ s   m e t h o d .       T a b l e   1 .   C o n t r o l   p a r a m e t e r s   f o r   i d e n t i f i e d   m o d e l   M o d e l   T y p e   I d e n t i f i e d   M o d e l   C o n t r o l   P a r a m e t e r s   N R T   ( W D )   0 . 4 6 2 6 s 1 2 0 e 2 8 . 4 9 5 2 s 1 0 . 2 2 0 2 s 1   K c = 2 . 0 2 4 5 ,   T i = 0 . 5 0 0 5 ,   T d = 0 . 1 3 3 2 ,   a 1 = 2 9 . 0 2 3 8 ,   a 2 = 1 5 . 1 6 6 1 ,   b 1 = 2 8 . 6 9 8 2 ,   b 2 = 5 . 7 7 2 3 9 ,   β = 0 . 0 1   N R T   ( D )   0 . 0 5 s 2 2 5 0 e 2 . 0 2 8 s 1 2 . 7 6 5 s 1 0 6 . 2   K c = 0 . 7 1 9 2 ,   T i = 0 . 2 0 7 5 ,   T d = 0 . 1 1 5 9 ,   a 1 = 0 . 9 2 1 2 ,   a 2 = 0 . 1 4 1 1 ,   b 1 = 0 . 1 5 1 5 ,   b 2 = 0 . 0 2 3 4 ,   β = 0 . 0 7   R T   ( W D )   0 . 5 4 1 s 1 2 0 e 2 3 . 2 1 3 7 s 1 0 . 9 0 5 7 s 1   K c = 3 . 6 5 4 9 ,   T i = 0 . 5 7 9 7 ,   T d = 0 . 2 3 5 5 ,   a 1 = 2 4 . 4 8 0 1 ,   a 2 = 2 9 . 7 7 2 5 ,   b 1 = 2 4 . 0 8 8 4 ,   b 2 = 2 0 . 2 6 8 1 ,   β = 0 . 0 1   R T   ( D )   0 . 0 3 5 s 2 2 3 5 . 3 e 1 . 7 9 s 1 6 . 9 s 1 0 0   K c = 1 . 0 6 1 9 ,   T i = 0 . 2 1 0 7 ,   T d = 0 . 1 8 2 8 ,   a 1 = 1 . 1 5 4 ,   a 2 = 0 . 1 3 2 3 ,   b 1 = 0 . 1 9 7 3 ,   b 2 = 0 . 0 2 3 1 ,   β = 0 . 0 6 5           ( a )   N o m i n a l   s y s t e m s         ( b )   P a r a m e t e r s   o f   t h e   s y s t e m   c h a n g e   b y   5 0 %     F i g u r e   3 .   F r e q u e n c y   d e v i a t i o n   o f   t h e   c l o s e d   l o o p   s y s t e m   w i t h   n o n - r e h e a t e d   t u r b i n e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I S S N :   2 2 5 2 - 8 8 1 4   I n t .   J .   o f   A d v .   i n   A p p l .   S c i .   V o l .   8 ,   N o .   2 ,   J u n e   2 0 1 9 :   1 1 7   –   1 2 4   1 2 2     F i g u r e   4 .   N y q u i s t   p l o t s   f o r   t h e   p o w e r   s y s t e m   w i t h   n o n - r e h e a t e d   t u r b i n e           F i g u r e   5 .   F r e q u e n c y   d e v i a t i o n   o f   t h e   c l o s e d   l o o p   s y s t e m   w i t h   r e h e a t e d   t u r b i n e       5 .   R O B U S T N E S S   A N A L Y S I S   A N D   P E R F O R M A N C E   I n   t h i s   s e c t i o n ,   R o b u s t n e s s   o f   t h e   s y s t e m   h a s   b e e n   a n a l y z e d   u s i n g   K h a r i t o n o v ’ s   T h e o r e m .   C l o s e d - l o o p   c h a r a c t e r i s t i c   e q u a t i o n C L ( s ) a n d   d e n o m i n a t o r   o f   t h e   c l o s e d - l o o p   t r a n s f e r   f u n c t i o n   T ( s )   a r e   t h e   p o l y n o m i a l s   t h a t   m a k e   t h e   c o n t r o l   s y s t e m   s t a b l e .   C o n s i d e r i n g   t h e   f o r w a r d - p a t h   a n d   f e e d b a c k - p a t h   t r a n s f e r   f u n c t i o n s   G ( s )   a n d   H ( s ) ,   c h a r a c t e r i s t i c   e q u a t i o n   i s     C L ( s ) =   1 + G ( s ) H ( s )   =   0   n n 1 C L n n 1 1 0 ( s ) a s a s . . . . . . a s a             ( 2 0 )     F o r   s i m p l i c i t y ,   a s s u m e   t h a t   t h e   l e a d i n g   c o e f f i c i e n t   a n   i s   c o n s t a n t   a n d   t h e   c o e f f i c i e n t s   h a v e   b e e n   n o r m a l i z e d   s o   t h a t   a n   =   1 .   T h e   p o l y n o m i a l   c o e f f i c i e n t s   c a n   t h e n   b e   e x p r e s s e d   a s     m i n m a x i i i a a , a ,               i = 0 , 1 . . . . . . . n - 1             ( 2 1 )     s o ,   t h e   c h a r a c t e r i s t i c   e q u a t i o n   b e c o m e s     n n 1 C L n 1 1 0 ( s ) s a s . . . . . . a s a             ( 2 2 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t .   J .   o f   A d v .   i n   A p p l .   S c i .   I S S N :   2 2 5 2 - 8 8 1 4       E n h a n c e d   p e r f o r m a n c e   o f   P I D   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l l e r   f o r   p o w e r   s y s t e m s   ( D o l a   G o b i n d a   P a d h a n )   1 2 3 A c c o r d i n g   t o   K h a r i t o n o v ’ s   T h e o r e m ,   a n   n t h - d e g r e e   i n t e r v a l   p o l y n o m i a l   f a m i l y   d e s c r i b e d   b y     ( 1 a )   a n d   ( 1 b )   i s   r o b u s t l y   s t a b l e   i f   a n d   o n l y   i f   e a c h   o f   t h e   f o u r   K h a r i t o n o v   p o l y n o m i a l s   i s   s t a b l e ,   t h a t   i s ,   a l l   t h e   r o o t s   o f   t h o s e   p o l y n o m i a l s   h a v e   s t r i c t l y   n e g a t i v e   r e a l   p a r t s .     F o r   t h e   s y s t e m     1 2 0 G ( s ) 0 . 0 8 s 1 0 . 3 s 1 2 0 s 1     T h e   c h a r a c t e r i s t i c   e q u a t i o n   i s     3 2 C L ( s ) 0 . 4 8 s 7 . 6 2 4 s 2 0 . 3 8 s 1 2 1 0           ( 2 3 )     F o r   ± 1 0 %   v a r i a t i o n s   i n   t h e   c o e f f i c i e n t s   o f   t h e   p o l y n o m i a l ,   T h e   i n t e r v a l s   o f   t h e   p o l y n o m i a l   w i l l   b e c o m e     3 2 1 0 a 0 . 5 2 8 , 0 . 4 3 2             a 8 . 3 8 6 4 , 6 . 8 6 1 6             a 2 2 . 4 1 8 , 1 8 . 3 4 2             a 1 3 3 . 1 , 1 0 8 . 9                 F i g u r e   6   s h o w s   K h a r i t o n o v ’ s   r e c t a n g l e s   r o t a t e   a r o u n d   t h e   o r i g i n   i n   a   c o u n t e r - c l o c k w i s e   d i r e c t i o n   t o   s a t i s f y   t h e   m o n o t o n i c   p h a s e   i n c r e a s e   p r o p e r t y   o f   H u r w i t z   p o l y n o m i a l s .   F o r   c l a r i t y ,   t h e   g r a p h   i s   z o o m e d   i n   F i g u r e   7   t o   s h o w   t h e   z e r o - e x c l u s i o n   p o i n t .   A s   t h e   K h a r i t o n o v ’ s   r e c t a n g l e s   d o   n o t   p a s s   t h r o u g h   t h e   o r i g i n ,   i t   i s   c o n c l u d e d   t h a t   t h e   c l o s e d   l o o p   s y s t e m   g u a r a n t e e s   t h e   r o b u s t   s t a b i l i t y .           F i g u r e   6 .   R e s p o n s e   o f   t h e   s y s t e m   w i t h   ± 1 0 %   v a r i a t i o n s   i n   t h e   c o e f f i c i e n t s   o f     p o l y n o m i a l   o n   t h e   c o m p l e x   p l a n e           F i g u r e   7 .   R e s p o n s e   o f   t h e   s y s t e m   s h o w i n g   z e r o   e x c l u s i o n   p o i n t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
            I S S N :   2 2 5 2 - 8 8 1 4   I n t .   J .   o f   A d v .   i n   A p p l .   S c i .   V o l .   8 ,   N o .   2 ,   J u n e   2 0 1 9 :   1 1 7   –   1 2 4   1 2 4 T a b l e   2   s h o w s   i t   i s   o b s e r v e d   t h a t   t h e   p r o p o s e d   m e t h o d   g i v e s   l e s s   I n t e g r a l   A b s o l u t e   E r r o r   ( I A E ) ,   I n t e g r a l   S q u a r e d   E r r o r   ( I S E )   a n d   I n t e g r a l   T i m e   A b s o l u t e   E r r o r   ( I T A E )   a s   c o m p a r e d   t o   T a n ’ s   m e t h o d ,   s o   c l o s e d   l o o p   p e r f o r m a n c e   i s   i m p r o v e d .   I f   w e   c o m p a r e   t h e   t o t a l   v a r i a t i o n s   o f   t h e   c o n t r o l   s i g n a l s ,   t h e   r e s u l t s   o f   b o t h   m e t h o d s   a r e   a l m o s t   s a m e .   T h u s ,   w i t h   s a m e   c o n t r o l   s i g n a l s ,   t h e   p r o p o s e d   m e t h o d   g i v e s   c o m p a r a t i v e l y   f e w e r   e r r o r s .       T a b l e   2 .   V a r i o u s   e r r o r s   a n d   t o t a l   v a r i a t i o n s   T y p e   o f   M o d e l   I n t e g r a l   T i m e   A b s o l u t e   E r r o r   I n t e g r a l   A b s o l u t e   E r r o r   I n t e g r a l   S q u a r e d   E r r o r   T o t a l   v a r i a t i o n s   N R T   ( W D ) - T a n   0 . 5 1 6 4   0 . 1 0 6 1   0 . 0 0 1 4 9 4   0 . 0 1 9 9   N R T   ( W D ) - P r o p o s e d   0 . 5 1 4 7   0 . 1 0 0 8   0 . 0 0 1 1 8 4   0 . 0 1 2 7   N R T   ( D ) - T a n   0 . 5 3 0 3   0 . 1 0 6   0 . 0 0 1 3 6 3   0 . 0 2 1 4   N R T   ( D ) - P r o p o s e d   0 . 5 2 1   0 . 1 0 0 7   0 . 0 0 1 1 7 5   0 . 0 1 8 9   R T   ( W D ) - T a n   2 . 0 0 2   0 . 2 0 0 7   0 . 0 0 2 2 5 4   0 . 0 7 3 5   R T   ( W D ) - P r o p o s e d   2 . 0 5 8   0 . 2 0 6 1   0 . 0 0 2 2 7 3   0 . 0 7 9 0 6   R T   ( D ) - T a n   2 . 0 0 6   0 . 2 0 0 7   0 . 0 1 2 2 3   0 . 0 7 2 9   R T   ( D ) - P r o p o s e d   1 . 9 6 6   0 . 2 0 0 6   0 . 0 0 2 2 6 4   0 . 0 7 9 7       6 .   C O N C L U S I O N   T h e   L o a d   F r e q u e n c y   C h a r a c t e r i s t i c s   o f   a   s i n g l e - a r e a   p o w e r   s y s t e m   w i t h   n o n - r e h e a t e d   a n d   r e h e a t e d   t u r b i n e s   h a v e   b e e n   d e l i b e r a t e d .   T h e   p r o p o s e d   m e t h o d   i s   f l e x i b l e   a n d   g i v e s   s a t i s f a c t o r y   p e r f o r m a n c e   i n   n o m i n a l   a s   w e l l   a s   t h e   p e r t u r b e d   c a s e .   T h e   p r o p o s e d   P I D   c o n t r o l l e r   w i t h   a   n e w   c o n t r o l   s t r u c t u r e   a n d   a   s i n g l e   t u n i n g   p a r a m e t e r   ( β )   g a v e   b e t t e r   p e r f o r m a n c e   t h a n   T a n ’ s   c o n t r o l l e r .   B y   s h o w i n g   t h e   z e r o   e x c l u s i o n   p o i n t   b y   K h a r i t o n o v ’ s   r e c t a n g l e s ,   i t   g u a r a n t e e s   t h e   r o b u s t   s t a b i l i t y   f o r   c l o s e d   l o o p   p o w e r   s y s t e m s .   T h e   p r o p o s e d   s c h e m e   c a n   e a s i l y   b e   e x t e n d e d   t o   m u l t i - a r e a   p o w e r   s y s t e m s .       R E F E R E N C E S     [ 1 ]   R .   K .   C a v i n ,   M .   C .   B u d g e ,   a n d   P .   R a s m u s s e n ,   “ A n   o p t i m a l   l i n e a r   s y s t e m   a p p r o a c h   t o   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l , ”   I E E E   T r a n s .   P o w e r   A p p .   S y s t e m s ,   v o l .   9 0 ( 6 ) ,   p p .   2 4 7 2 - 2 4 8 2 ,   1 9 7 1 .   [ 2 ]   C .   E .   F o s h a   a n d   O .   I .   E l g e r d ,   “ T h e   m e g a w a t t - f r e q u e n c y   c o n t r o l   p r o b l e m :   A   n e w   a p p r o a c h   v i a   o p t i m a l   c o n t r o l   t h e o r y , ”   I E E E   T r a n s .   P o w e r   A p p .   S y s t e m s ,   v o l .   8 9 ( 4 ) ,   p p .   5 6 3 - 5 6 7 ,   1 9 7 2 .   [ 3 ]   N .   N .   B e n g i a m i n   a n d   W .   C .   C h a n ,   “ V a r i a b l e   s t r u c t u r e   c o n t r o l   o f   e l e c t r i c   p o w e r   g e n e r a t i o n , ”   I E E E   T r a n s .   P o w e r   A p p .   S y s t e m s ,   v o l .   1 0 1 ( 2 ) ,   p p .   3 7 6 - 3 8 0 ,   1 9 8 2 .   [ 4 ]   M .   A .   S h e i r a h   a n d   M .   M .   A b d - E I - F a t t a h ,   “ I m p r o v e d   l o a d   f r e q u e n c y   s e l f - t u n i n g   r e g u l a t o r . , ”   I n t .   J .   C o n t r o l ,     v o l .   3 9 ( 1 ) ,   p p .   1 4 3 - 1 5 8 ,   1 9 8 4 .   [ 5 ]   P .   K u n d u r ,   P o w e r   S y s t e m   S t a b i l i t y   a n d   C o n t r o l .   M c G r a w   H i l l ,   N e w   Y o r k   1 9 9 4 .   [ 6 ]   C .   T .   P a n   a n d   C .   M .   L i a w ,   “ A n   a d a p t i v e   c o n t r o l l e r   f o r   p o w e r   s y s t e m   l o a d - f r e q u e n c y   c o n t r o l , ”   I E E E   T r a n s .   P o w e r   S y s t e m s ,   v o l .   4 ( 1 ) ,   p p .   1 2 2 - 1 2 8 ,   1 9 8 9 .   [ 7 ]   J .   T a l a q   a n d   F .   A l - B a s r i ,   “ A d a p t i v e   f u z z y   g a i n   s c h e d u l i n g   f o r   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l , ”   I E E E   T r a n s .   P o w e r   S y s t e m s ,   v o l .   1 4 ( 1 ) ,   p p .   1 4 5 - 1 5 0 ,   1 9 9 9 .   [ 8 ]   M .   F .   H o s s a i n ,   T .   T a k a h a s h i ,   M .   G .   R a b b a n i ,   M .   R .   I .   S h e i k h ,   a n d   M .   A n o w e r ,   “ F u z z y - p r o p o r t i o n a l   i n t e g r a l   c o n t r o l l e r   f o r   a n   A G C   i n   a   s i n g l e   a r e a   p o w e r   s y s t e m , ”   P r o c .   4 t h   I n t .   C o n f .   E l e c t r i c a l   a n d   C o m p u t e r   E n g i n e e r i n g ,   D h a k a ,   B a n g l a d e s h ,   p p .   1 2 0 - 1 2 3 ,   2 0 0 6 .   [ 9 ]   S .   M a j h i ,   “ R e l a y   b a s e d   i d e n t i f i c a t i o n   o f   p r o c e s s e s   w i t h   t i m e   d e l a y , ”   J o u r n a l   o f   p r o c e s s   c o n t r o l ,   v o l .   1 7 ,     p p .   9 3 - 1 0 1 ,   2 0 0 7 .   [ 1 0 ]   W .   T a n ,   “ U n i f i e d   t u n i n g   o f   P I D   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l l e r   f o r   p o w e r   s y s t e m s   v i a   I M C , ”   I E E E   T r a n s a c t i o n s   o n   P o w e r   S y s t e m s ,   v o l .   2 5 ( 1 ) ,   p p .   3 4 1 - 3 5 0 ,   2 0 1 0 .   [ 1 1 ]   D .   G .   P a d h a n   a n d   S .   M a j h i ,   “ A   N e w   C o n t r o l   S c h e m e   f o r   P I D   L o a d   F r e q u e n c y   C o n t r o l l e r   o f   S i n g l e - a r e a   a n d   M u l t i - a r e a   P o w e r   S y s t e m s , ”   I S A   T r a n s a c t i o n s ,   v o l .   5 2 ,   p p .   2 4 2 – 2 5 1 ,   2 0 1 3 .   [ 1 2 ]   M .   E l s i s i ,   M .   S o l i m a n ,   M .   A .   S .   A b o e l e l a ,   a n d   W .   M a n s o u r ,   “ D u a l   P r o p o r t i o n a l   i n t e g r a l   c o n t r o l l e r   o f   T w o - A r e a   L o a d   F r e q u e n c y   c o n t r o l   b a s e d   g r a v i t a t i o n a l   s e a r c h   a l g o r i t h m , ”   T e l k o m n i k a   I n d o n e s i a n   J o u r n a l   o f   E l e c t r i c a l   E n g i n e e r i n g   a n d   C o m p u t e r   S c i e n c e ,   v o l .   1 5 ( 3 ) ,   p p .   3 9 7 - 4 0 6 .   2 0 1 5 .   [ 1 3 ]   I d a m a k a n t i   K a s i r e d d y ,   A b d u l   W a h i d   N a s i r ,   a n d   A r u n   K u m a r   S i n g h . ,   “ N o n - i n t e g e r   I M C   b a s e d   P I D   d e s i g n   f o r   l o a d   f r e q u e n c y   c o n t r o l   o f   p o w e r   s y s t e m   t h r o u g h   r e d u c e d   m o d e l   o r d e r , ”   I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   E l e c t r i c a l   a n d   C o m p u t e r   E n g i n e e r i n g ,   v o l .   8 ( 2 ) ,   p p .   8 3 7 - 8 4 4 ,   2 0 1 8 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.