I nte rna t io na l J o urna l o f   Adv a nces in Applie d Science s   ( I J AAS)   Vo l.   6 ,   No . 3 Sep tem b er   2 0 1 7 ,   p p .   18 5 ~ 1 9 2   I SS N:  2252 - 8814          185       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s jo u r n a l.c o m/o n lin e/in d ex . p h p /I J AAS   Identif ica tion o a  Non - Linea Sy st e m  U sing  Volt err a  Series  M o del w ith  Ca lcula ted  K ernels  by  Leg endre  O rthog o na Funct io n       Va hid   M o s s a deg h ,   M a h m o o d G ha n ba ri   De p a rtme n o f   El e c tri c a En g in e e rin g ,   A li a b a d   Ka to u l   Bra n c h ,   Isla m ic  Az a d   U n iv e rsit y ,   A li a b a d   Ka to u l ,   Ira n       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J u n   5 ,   2 0 1 7   R ev i s ed   A u g   1 5 ,   2 0 1 7   A cc ep ted   A u g   2 2 ,   2 0 1 7       M o d e li n g   a n d   id e n ti f ica ti o n   o f   n o n - li n e a sy ste m h a v e   g a in e d   lo ts  o a tt e n ti o n e sp e c ially   in   in d u strial   p ro c e ss e s.  M o st   o f   th e   a c tu a sy ste m h a v e   non - li n e a b e h a v io a n d   th e   f irst  a n d   sim p les so lu ti o n   in   m o d e li n g   su c h   s y ste m is  to   li n e a rize   th e m   w h ic h   in   m o st  c a se th e   re su lt   o f   li n e a riza ti o n   is   n o sa ti sf a c to r y .   In   th is  p a p e r,   m o d e li n g   o f   n o n - l in e a sy st e m is  in v e stig a t e d   u sin g   Vo lt e rra   se ries   m o d e b a se d   o n   L e g e n d re   o rth o g o n a l   f u n c ti o n .   Ex p a n sio n   o f   V o lt e rra   se ries   k e rn e ls  b y   L e g e n d re   o rth o g o n a l   f u n c ti o n s   c a u se a   re d u c ti o n   in   th e   n u m b e o f   m o d e p a ra m e ters ;   h e n c e ,   c o m p lex it y   o f   c a lcu latio n w o u ld   b e   d e c re a se d .   Be sid e s,  i f   th e   f re e   p a ra m e ter  i se lec t e d   p ro p e rly   in   th e se   o rth o g o n a f u n c ti o n s,  e rro is  re d u c e d   a n d   c o n v e rg e n c e   sp e e d   o f   p a ra m e ter is  in c re a s e d   w h ich   lea d to   a n   in c re a se   in   id e n ti f ica ti o n   a c c u ra c y .   In   th is  p a p e r,   id e n t if ica ti o n   o f   n o n - l in e a sy ste m   is  p re s e n ted   w it h   V o l terra   se ries   e x p a n d e d   b y   Leg e n d re   f u n c ti o n   a n d   P S a lg o rit h m   is  u se d   to   c a lcu late   th e   o p ti m u m   f r e e   p a ra m e ters   o f   L e g e n d re   f u n c ti o n .   F i n a ll y ,   in   o rd e r   to   v a li d a te  th e   e ff ica c y   a n d   a c c u ra c y ,   th e   p ro p o se d   a lg o rit h m   is  imp lem e n ted   o n   a   n o n - li n e a sy ste m   i. e .   h e a e x c h a n g e w it h   a c tu a d a ta.   K ey w o r d :   Hea t e x ch a n g er   s y s te m   I d en tif icat io n   o f   n o n - li n e ar   s y s te m   L e g en d r o r th o g o n a l f u n c tio n   Op ti m izatio n   Vo lter r s er ies   Co p y rig h ©   201 7   In s t it u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Ma h m o o d   Gh a n b ar i   Dep ar t m en t o f   E lectr ical  E n g i n ee r in g ,     A liab ad   Kato u l   B r an c h ,   I s la m i A za d   Un iv er s it y ,     A lia b ad   Kato u l,  I r an .   E m ail:  g h a n b ar i@ al iab ad iau . a c. ir       1.   I NT RO D UCT I O N   I n   all  b r an c h es   o f   s cien ce ,   m o d eli n g   a n d   id en ti f icat io n   i s   u s ed   to   id en ti f y   a n d   an al y ze   w h at  i s   h ap p en in g   in   r ea lit y .   I n   t h las t f o u r   d ec ad es,  m o d eli n g   o f   n o n - lin ea r   s y s te m s   is   tu r n ed   i n to   an   ac t iv r e s ea r ch   s u b j ec b ec au s o f   th n ec es s it y   o f   p r o d u cin g   a cc u r ate  m o d els  in   d if f er en s cien ce s   [ 1 ] .   I n   th eo r y   o f   n o n - lin ea r   s y s te m s ,   t h ter m   " n o n - lin ea r "   is   th d ef i n itio n   o f   c lass   o f   s y s te m s   i n   w h ich   li n ea r   ap p r o x i m atio n   is   n o s u f f icie n t h en   m o r ef f ic ien an d   e f f ec tiv n o n - li n ea r   m o d el  i s   n ec e s s ar y   f o r   th e   s y s te m   [ 1 ] .   T h er ar e   ap p r o p r iate  an d   ef f icie n m et h o d s   ac ce s s ib le  f o r   m o d eli n g   a n d   id en ti f y i n g   th e   lin ea r   s y s te m s ,   b u t h er ar a   f e w   m et h o d s   f o r   id en ti f icatio n   an d   m o d elin g   o f   n o n - l in ea r   s y s te m s   a n d   r esear ch es  ar s till   u n d er   s tu d y   ab o u t   th ese   is s u e s   [ 2 ] .   So m o f   t h es m et h o d s   f o r   n o n - li n ea r   s y s te m s   ar No n - li n ea r   L ea s t   Sq u a r es  m et h o d ,   W ien er   s er ies,  W av elet s ,   Neu r al  n et wo r k s ,   Fu zz y   L o g ic,   Ge n etic  Alg o r ith m ,   Ka u tz  m eth o d ,   No n - li n ea r   T im Ser ies   An al y s i s   m e th o d ,   Mu lt ip le  Scales  m eth o d ,   KB m et h o d ,   Ho m o to p y   An al y s i s   m et h o d   an d   Har m o n ic   B alan ce   m e th o d .   Ho w ev er ,   t h ese  m e th o d s   co v er   li m ited   p ar o f   n o n - li n ea r   s y s te m s   [ 2 - 3 ] .   On o f   th e   m o s t   co m p r e h en s iv m et h o d s   in   m o d eli n g   th n o n - lin ea r   s y s t e m s   is   t h Vo lter r s er ies.  Vo lter r s er ies  is   p o w er f u m at h e m at ical  a n al y zin g   to o i n   m o d eli n g   a n d   id en ti f icatio n   o f   n o n - lin ea r   s y s t e m s   [ 4 ] .   Sin ce   th e   m o d eli n g   b y   Vo lter r s er ie s   d o es  n o r ef er r ed   to   th h id d en   s tate  v ar iab le s   o f   t h s y s te m ,   i is   ab le  to   id en ti f y   th d y n a m ic  b eh a v io r   o f   t h s y s te m   w i th o u m ea s u r in g   t h s tate  v ar iab les  [ 5 ] .   T h is   s er ies   is   t h r es u lt  o f   th e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8814   IJ AA S   Vo l.  6 ,   No .   3 Sep tem b er   201 7 :   1 8 5     1 9 2   186   w o r k s   o f   an   I talia n   m a th e m ati cian   n a m ed   Vito   Vo lter r in   th last   1 9 th   ce n tu r y   [ 7 ,   8 ] .   T h er ar lo ts   o f   b o o k s   an d   ar ticles  in   liter at u r es  d ea lin g   w it h   t h id en ti f icatio n   o f   s y s te m s   u s i n g   Vo lter r s e r ies  m o d el  i n   w h ic h   th e y   tr y   to   id en ti f y   a   ce r tain   s y s te m   o r   p r ese n a   d if f er e n m et h o d   to   ca lcu late   t h k er n el s   o f   th is   s er ie s .   So m o f   th ap p licatio n s   o f   th is   m o d el  is   i n   m o d elin g   o f   r esp ir at o r y   r esp o n s e,   r en a au to - r eg u latio n   an d   n e u r al   p last icit y   [ 4 ] .   T h er ar liter atu r es  i n   t h ese  is s u e s   li k [ 9 ]   in   w h ic h   d if f er en k i n d s   o f   Vo lter r s er ies  to   id en ti f y   n o n - li n ea r   s y s te m   ar in v esti g ated .   I n   [ 2 ] ,   th ap p licatio n   o f   Vo lter r s er ie s   i n   id en t if ica tio n   a n d   m o d eli n g   th s y n c h r o n o u s   g e n er ato r   is   p r esen ted .   T h id en tif icatio n   ac cu r ac y   o f   th n o n - l in ea r   s y s te m   b ased   o n   Vo lter r s er ies  in   f r eq u e n c y   d o m a in   i s   in v esti g ated   in   [ 1 0 ] .   A   n o n - lin ea r   a n al y tic  an d   n u m er ical  s t u d y   o f   in te g r al - d i f f er en tial  eq u atio n   f o r   Vo lter r s er ies  is   d is cu s s ed   in   [ 1 1 ]   w h ile  [ 1 2 ]   p r esen t s   th s e lectio n   o f   g en er al  o r th o g o n al  b ases   f o r   s ec o n d - o r d er   Vo lter r f ilter .   I n   t h is   p ap er ,   s ec tio n   2   p r ese n ts   Vo lter r s er ie s   a n d   in   s ec t i o n   3 ,   th e   w a y s   o f   ca lc u lati n g   t h k er n el s   o r   f ac to r s   o f   Vo lter r s er ies  ar illu s tr ated .   Sectio n   3 - 1   d is cu s s es  t h o r th o g o n al  f u n cti o n   an d   s ec tio n   3 - ex p r ess es  t h ex p a n s io n   o f   k e r n els  w it h   o r th o g o n a f u n c tio n s .   Hea ex ch a n g er   s y s te m   i s   d escr ib ed   in   s ec tio n   4   an d   th r esu lt s   o f   t h s i m u lat io n   ar p r o v id ed   in   s ec tio n   5 .       2.   VO L T E RRA  SE R I E S   Vo lter r s er ies  is   o n o f   th m et h o d s   f o r   id en tif icat io n   o f   n o n - li n ea r   s y s te m s   as  b lack - b o x .   T h m ai n   ad v an tag o f   th i s   s er ies  i s   its   g e n er alit y   w h ic h   to o   m a n y   n u m b er s   o f   n o n - l in ea r   s y s te m s   ca n   b m o d eled   b y   t h at  [ 1 3 ] .   Vo lter r s er ies  p r o v id es  m o d el  f o r   b eh a v io r   o f   n o n - l in ea r   s y s te m   lik T a y lo r   s er ies,  b u th er e   is   d if f er en ce   b et w ee n   th e s t w o   s er ie s .   T h r esu lted   m o d e b y   T a y lo r   s er ies  i s   ex tr e m el y   d ep en d ed   o n   th in p u i n   ce r tai n   ti m w h ile  i n   t h Vo lter r s er ies  t h o u tp u o f   n o n - lin ea r   s y s te m   is   d ep e n d ed   o n   th i n p u in   al in s ta n t s   o f   ti m [ 6 ] .   C o n v o lu tio n   i n teg r al  i s   u s ed   f o r   m o d elin g   lin ea r   s y s te m   b et w e en   in p u an d   o u tp u t,   w h ile  Vo lter r s er ies  is   u s ed   to   id en tify   a n d   m o d el  th n o n - lin ea r   s y s te m   w h ic h   is   g en er aliza tio n   to   th e   co n v o lu tio n   i n te g r al  [ 2 ] .   Mo d el  r esp o n s is   eq u al  to   [ 1 4 ] :     ... 3 2 1 0 y y y y y                             ( 1 )     No m e n c l a tu r e   Co n sta n t   : y   Ou tp u t   : u   in p u t   : N   S e o f   n a tu ra n u m b e rs   :   Orth o g o n a f u n c ti o n   : l   L a g u e rre   o rth o g o n a f u n c ti o n   : P   L e g e n d re   p o ly n o m ial   Va r ia b les   : M   m e m o r y   o f   th e   s y ste m   : L   d e g re e   o f   s y st e m   : a   P o le  o rth o g o n a f u n c ti o n   : p   Ex p a n sio n   o f   o rt h o g o n a f u n c ti o n s   : h   Ke rn e o f   Vo lt e rra   : n   S a m p le   : t   ti m e   (se c )   : ,   Co e ff icie n t   : e   e rro r   : U   Da ta M a tri x   :   P a ra m e ter v e c to r   Ind ice s   : , , j i k   De g re e     w h er y 0   is   co n s ta n v al u ( f o r   ex a m p le  th av er a g o f   th s ig n al)   an d   th f ir s ter m   is     ca lcu lated   b y :     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
IJ AA S   I SS N:  2252 - 8814       I d en tifi ca tio n   o a   N o n - Lin ea r   S ystem  u s in g   V o lter r a   S eries   Mo d el    ( V a h id   Mo s s a d eg h )   187   0 1 1 1 1 1 ) ( ). ( ) ( m m n u m h n y                             ( 2 )     An d   h i g h   o r d er   ter m s   ar e   ca lc u lated   b y   th f o llo w i n g   eq u ati o n s :     0 0 2 1 2 1 2 2 1 2 ) ( ). ( ). , ( ) ( m m m n u m n u m m h n y                         ( 3 )     ) ( ). ( ). ( . ) , , ( ) ( 3 2 1 0 0 0 3 2 1 2 3 1 2 3 m n u m n u m n u m m m h n y m m m                   ( 4 )     No w ,   t h Vo lter r s er ies eq u at io n   is   ch a n g ed   in to   eq u atio n   ( 5 )   b y   s u b s tit u ti n g   y i s   i n   eq u at i o n   ( 1 ) :     0 0 2 1 2 1 2 0 1 1 1 0 1 2 1 ... ) ( ). ( ). , ( ) ( ) ( ) ( m m m m n u m n u m m h m n u m h y n y                 ( 5 )     h n   i s   r an k   n   k er n el   o f   Vo lter r a.   I n   f ac t,  h 1 ( t)   s h o w s   i m p u ls f u n c tio n   o f   li n ea r   s y s te m   a n d   h 1 ( t)   i s   i m p u l s f u n ctio n   o f   o n e - d i m en s io n al  n o n - li n ea r   s y s te m .   I n   p r ac tice,   s o m li m ita tio n s   h a v to   b c o n s id er ed   s u c h   as  to o   m a n y   n u m b er   o f   u n k n o w n s ,   li m i ted   n u m b er   o f   in p u a n d   o u tp u d ata  an d   th f ac th at  r eg r e s s io n   m atr i x   is   n o p r o p er .   T h ese  d ef icie n cies  ca u s th i n d e f in it s er ies  o f   eq u atio n   ( 5 )   to   ch an g in to   li m i ted   s er ies o f   eq u atio n   ( 6 )   w h ich   m ea n s   li m ited   d eg r ee   an d   m e m o r y :     1 0 1 0 2 1 2 1 2 1 0 1 1 1 0 1 2 1 ) ( ). ( ). , ( ) ( ) ( ) ( M m M m M m m n u m n u m m h m n u m h y n y                 ( 6 )     is   m e m o r y   o f   th s y s te m   a n d   L   is   d e g r ee   o f   s y s te m .   P r o p er   s elec tio n   o f   th e s p ar a m et er s   is   v er y   ef f ec tiv in   s p ee d   an d   ac cu r ac y   o f   t h id en ti f ica tio n .   I n   eq u atio n   ( 6 )   th er is   al w a y s   ) 1 ( 0 M   an d   n u m b er   o f   p ar a m eter s   i s   eq u al   to   [ 1 5 ] :     1 2 ) 1 ( M M M                               ( 7 )     I n   o r d er   t o   m o d el  th s y s te m   b ased   o n   Vo lter r s er ies,  k er n els  h av to   f u l f ill  t h f o llo w in g     f ea t u r es [ 1 6 ] :   Fo r   ca u s al  m o d el:       ) , . . . , 1 ( 0 0 ) , . . . , , ( ) , . . . , 1 ( 0 0 ) , . . . , , ( 2 1 2 1 n i k k k k H n i g i if n n i if n n                       ( 8 )     Fo r   s tab le  m o d el:     0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 1 ) , . . . , , ( ... ) , . . . , , ( ... n k k n n n t t n n n n k k k H g                           ( 9 )     W h er g n   is   th n - d i m e n s io n al   co n tin u o u s   i m p u ls r esp o n s an d   H n    n - d i m en s io n a d is cr ete  i m p u l s e   r esp o n s e.   Deta iled   in f o r m at io n   ab o u t V o lter r s er ies an d   its   ch ar ac ter is tic s   is   g iv e n   i n   [ 1 4 ] .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8814   IJ AA S   Vo l.  6 ,   No .   3 Sep tem b er   201 7 :   1 8 5     1 9 2   188   3.   CALCU L A T I N G   T H E   K E R NE L S O F   VO L T E RRA  SE RIE S     On o f   t h p r o b lem s   o f   s y s te m   id en ti f ica tio n   w it h   Vo lter r a   s er ies  is   t h esti m atio n   o f   k e r n els  b y   p air   o f   in p u a n d   o u tp u w h ic h   h a v n o is e.   C alcu la tio n   o f   Vo lter r s er ies  f ac to r s   ( k er n el s )   i s   t h m ain   is s u e   i n   s o lv i n g   th e   eq u atio n   an d   id en tify i n g   th s y s te m s   u s i n g   th i s   s er ies.  T h er ar m a n y   m e th o d s   f o r   t h is   p u r p o s s u c h   as  r ec u r s iv al g o r ith m   [ 1 4 ] ,   Gau s s ian   i n p u m et h o d   [ 1 4 ] ,   Gr a d ien t - b ased   s ea r c h   [ 1 7 ] ,   cr o s s - co r r elatio n   m et h o d   [ 1 8 ] ,   m et h o d   o f   Hilb e r s p ac r e p r o d u cin g   k er n el   [ 1 9 ] ,   an d   etc.   I n   ad d itio n ,   b y   e x p an s io n   o f   Vo lter r a   s er ies  w it h   s o m o r t h o g o n al   f u n ct io n s ,   it  is   p o s s ib le  to   r ed u ce   th n u m b er   o f   p ar am eter s   a n d   b etter   ap p r o x im a tio n   o f   th e m .   T h m ai n   i m p o r tan ce   o f   s u ch   m et h o d   is   th at  if   w r e w r ite  k er n el s   o f   Vo lter r s er ies   as  an   e x p an s io n   o f   o r th o g o n a f u n ct io n ,   s er ie s   is   c h a n g ed   i n to   li n ea r   r eg r es s io n   eq u a ti o n   w h ic h   h as  lo w er   n u m b er   o f   p ar am eter s   w i th   r esp ec to   th m ai n   s er ies  [ 1 5 ] .   T h m a in   r ea s o n   f o r   u s in g   k er n el  ex p an s io n   b y   o r th o g o n al  f u n ct io n s   i n   m o d el in g   an d   id e n ti f icatio n   o f   t h s y s te m   is   to   p r o v id s i m p ler   m o d el.   C o m b in atio n   o f   d ata  an d   k n o w led g ab o u d y n a m ics  o f   th s y s te m   b y   id en ti f icatio n   p r o ce s s es  is   v er y   i m p o r ta n in   u s i n g   m o d el  w i th   o r t h o g o n al  f u n c ti o n s .   B y   d o in g   th is ,   n u m b er   o f   p ar a m eter s   t h at  h as  to   b ev alu ated   ar r ed u ce d   an d   co n s eq u en tl y   th e ir   ev al u atio n   er r o r   is   d ec r ea s ed   w h i ch   t h en   it  i n cr ea s e s   t h ac c u r ac y   o f   th m o d el.   An o th er   ad v an tag e   o f   t h i s   p r o ce d u r is   t h at   i f   o r th o g o n al  f u n ctio n s   ar c h o s e n   co r r ec tl y ,   t h e y   ca n   in cr ea s e   t h e   co n v er g e n ce   s p ee d   in   id en ti f i ca tio n   r elate d   s u b j ec ts   [ 2 0 ] .   N u m b er   o f   k er n els  i s   co n s id er ed   s y m m etr icall y   f o r   r ed u cin g   th n u m b er   o f   p ar a m eter s :     ) , . . . , , ( ) , . . . , , ( 2 1 ! 1 2 1 n n n n sy m n k k k h k k k h                       ( 1 0 )     3 . 1 .   O r t ho g o na l F un ct io ns     Set   N n n } {   is   o r th o g o n al  i n   r an g [ a,   b ]   if :     b a if if j i j i d j i dx x x 0 0 ) ( ) (                         ( 1 1 )     B esid es,  s et  n } n= 0    is   o r th o g o n al  to   w ei g h in g   f u n ctio n   w ( x )   in   [ a,   b ]   if :     b a if if j i j i d j i dx x w x x 0 0 ) ( ) ( ) (                       ( 1 2 )     On o f   t h o r th o g o n a f u n c t io n   w h ic h   is   w id el y   u s ed   in   liter atu r es  is   t h L ag u er r o r th o g o n al   f u n ctio n   th a t is ex p r es s ed   in   t h L ap lace   d o m ain   [ 2 1 - 2 4 ] :     N i a s a s a s a s l i i , 2 ) ( 1                           ( 1 3 )     L e g en d r p o l y n o m ial  i s   c alcu lated   i n   th co n ti n u o u s   ti m d o m ain   w it h   th e   f o llo w in g     eq u atio n   [ 2 1 - 2 4 ] :     0 ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( 5 . t i t i e p e i t P                       ( 1 4 )     L e g en d r p o l y n o m ial  i s   tr u e   in   o r th o g o n al  co n d itio n   o f   eq u atio n   ( 1 2 )   w it h   r e s p ec t o   w ei g h i n g   f u n ctio n   e - x .   L e g e n d r f u n ctio n s   ar ca lcu la ted   in   L ap lace   d o m a in   b y   co n s id er in g   ) 2 1 ( i a i   :     1 0 2 ) ( i k k k i i i a s a s a s a s P                           ( 1 5 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
IJ AA S   I SS N:  2252 - 8814       I d en tifi ca tio n   o a   N o n - Lin ea r   S ystem  u s in g   V o lter r a   S eries   Mo d el    ( V a h id   Mo s s a d eg h )   189   L e g en d r o r th o g o n al  f u n ctio n s   o p er ate  b etter   in   ap p r o x i m at io n   o f   s y s te m s   w it h   o n d o m i n an p o le   o r   tim co n s ta n t e s p ec iall y   i n   h ig h   f r eq u en c ies co m p ar i n g   to   L ag u er r o r th o g o n al  f u n c tio n s   [ 2 2 ] .   L e g en d r f u n ctio n s   h av e   an   a d j u s t m e n p ar a m eter   n a m ed   p o le  th at  co r r ec an d   o p ti m a s elec tio n   o f   th is   p o le  w o u ld   lead   to   q u ic k er   co n v er g e n ce   a n d   in cr ea s e s   th e   ac cu r ac y   o f   th e   s y s te m .   T h er ar lo ts   o f   m et h o d s   f o r   ca lc u lati n g   t h o p ti m u m   p o le  o f   o r th o g o n al   f u n ctio n s   s u c h   a s   m i n i m izi n g   th co s f u n ctio n   [ 2 5 ] ,   Gr a m - Sc h m id o r t h o g o n aliza t io n   m et h o d   [ 2 6 ] ,   em p l o y i n g   co s f u n ct io n   g r ad ien [ 2 7 ] .   I n   th is   p ap er ,   P SO  alg o r ith m   i s   u s ed   f o r   o p ti m al  p o le  d eter m i n atio n   b y   m in i m i zin g   th cr iter io n   f u n ctio n   o f   e r r o r   s q u ar e s   s u m   o f   eq u atio n   ( 1 6 ) .     1 0 2 )) ( ˆ ) ( ( N n n y n y J                           ( 16 )     w h er ) ( n y   is   t h ac tu al  o u tp u t a n d   ) ( ˆ n y   t h esti m ated   o u tp u t a t in s tan t n .     3. 2 E x pa ns io n o f   K er nels   w it h O rt ho g o na l F un ct io ns     No w ,   i f   t h k er n e ls   i n   eq u atio n   ( 6 )   ar co n s id er ed   as a n   e x p an s io n   o f   o r th o g o n a f u n ctio n s   ac co r d in g   to   eq u atio n   ( 1 7 )   an d   r ew r ite  t h e m ,   eq u atio n   ( 1 8 )   is   r esu l t ed   f o r   s ec o n d - o r d er   Vo lter r [ 2 0 ,   1 5 ]:     n j j i p i p i i i n n p i i p i i i i p i i i m m m h m m m m h m m h j n n 1 1 1 .... 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 ) ( ... ) , . . . . . , ( ... ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1                       ( 1 7 )     p i p i p i i i i i i i n S n S n S Y n Y 1 1 1 0 1 1 2 2 1 2 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ                         ( 18 )   1 0 1 1 1 ) ( ) ( ) ( M m k k m n u m n S                           ( 19 )     W h er th e   f ac to r s   ar co n s i d er ed   s y m m etr ica ( 1 2 2 1 i i i i ) ,   an d   ) ( n i   is   th e   v alu e   o f   i th   o r th o g o n al  f u n ctio n s   i n   p o in n .   Vo lter r a   s er ies  is   lin ea r   to war d   its   f ac to r s   w h ic h   th i s   c h ar ac ter is tic  lead s   to   f o r m u l atio n   an d   ca lcu latio n   o f   its   f ac to r s   b y   r e g r ess io n .   A cc o r d in g   to   t h b ef o r e - m en tio n ed   d is cu s s io n ,   eq u atio n   ( 1 8 )   ca n   b w r itte n   as a   li n ea r   r eg r es s io n :     e U y                               ( 20 )     W h er y   is   o u tp u t s   v ec to r ,     f a cto r s   v ec to r ,   an d   e   n o is o r   er r o r   o f   th m o d el  an d   U   k n o w n   m atr i x   o f   S   v a lu e s .   On m et h o d   to   s o lv th lin ea r   r eg r ess io n   eq u atio n s   is   least  s q u ar m et h o d   th at  o n   th b asi s   o f   it,  th b est p ar am eter s   w h ic h   m i n i m i ze   th er r o r   ar ca lcu lated   b y   e q u atio n   ( 2 1 )   [ 1 5 ] :     y U U U T T LS 1 ) ( ˆ                             ( 2 1 )     I n   s o m ce r tai n   co n d itio n s ,   le ast  s q u ar es  m et h o d   is   n o ef f e ctiv to   s o lv th lin ea r   r e g r es s io n   d u e   to   i m p r o p er   co n d itio n   o f   d ata  m a tr ix   in   eq u atio n   ( 2 1 ) .   T h e r ar s o m r ea s o n s   f o r   th i s :   1 .   I n p u t is n o t e x citi n g   e n o u g h   an d   n o t a b le  to   ex cite  all  th m o d e s   o f   t h s y s te m   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8814   IJ AA S   Vo l.  6 ,   No .   3 Sep tem b er   201 7 :   1 8 5     1 9 2   190   2 .   T h co n s id er ed   r an k   o f   m o d el  is   m o r th a n   ac t u al  r an k   o f   s y s te m   3 .   Sy s te m   is   id e n ti f ied   in   clo s e d - lo o p   o p er atio n .   Fo r   co m p en s atin g   th is   p r o b le m   in   leas s q u ar m et h o d ,   in v er s i n g   U T U   i s   n o all o w ed   a n d   alter n ati v el y   o t h er   tech n iq u es  ar em p lo y ed .   I n   th i s   p ap er   S VD  is   ch o s e n   f o r   th is   p u r p o s e .   B esid e s ,   eq u atio n   ( 2 2 )   is   cr iter io n   f o r   f ea s ib ili t y   as s es s m en t   o f   m o d el  u n d er   th n a m o f   r e s id u al  o f   n o r m alize d   o u tp u er r o r   [ 28 ]:     M n M n db n y n J 1 2 1 2 ) ( ) ( l o g 10                         ( 22 )     w h er ) ( n   is   th er r o r   b etw ee n   ac tu al  an d   esti m ated   o u tp u t,  ) ( n y   v al u o f   ac tu al  o u tp u at  in s ta n n .   I f   id en ti f icatio n   i s   p er f o r m ed   s u c ce s s f u l l y ,   t h is   r esid u al  h a s   to   b co n tain ed   o f   n o is en er g y   ad d ed   to   th d ata.       4.   H E AT   E XCH AN G E SYS T E M     C ase  s t u d y   o f   t h is   r esear ch   is   n o n - li n ea r   h ea ex c h an g er   s y s te m .   Hea ex c h an g er s   ar u s ed   in cr ea s i n g l y   in   m o s o f   t h i n d u s tr ial  p r o ce s s es  a s   a n   i m p o r tan p ar o f   h ea a n d   en er g y   r e g en er atio n   s y s te m s   s u c h   as  cr u d o il  p r eh ea ti n g ,   n atu r al  g as  p r o ce s s i n g ,   p o w er   p lan ts ,   r ef r i g er atio n ,   e x o th er m ic  an d   en d o th er m ic   re ac tio n s   an d   etc.   T h er ar d if f er en k in d s   o f   h ea e x ch a n g er s   s u c h   as  S h ell  an d   t u b h e at  ex ch a n g er ,   p late   h ea ex c h an g er ,   r eg en er ati v h ea ex c h an g er   an d   etc.   T h u n d er   s t u d y   h ea e x ch a n g er   is   o n o f   th m o s t   ap p licab le  h ea ex ch a n g er s   w h ich   is   u s ed   in   o i r e f in er ie s   an d   ch e m ical  p r o ce s s es  [ 2 9 ] .   A s   s h o w n   in   F ig u r 1 ,   w ater   is   h ea ted   b y   p r ess u r iz ed   an d   s atu r ated   s tea m   w it h   co p p er   tu b e.   I n   th m e n ti o n ed   s y s te m ,   in p u t   v ar iab les  ar th v al u o f   f l u id   f lo w ,   te m p er at u r o f   s te a m   an d   in p u f lu id   w h ile  o u tp u v ar iab le  is   t h e   te m p er atu r o f   o u tp u f lu id .   I n   o r d er   to   id en tify   t h u n d er   s tu d y   s y s te m ,   i n p u a n d   o u tp u d ata  ar n ee d ed   w h ic h   ar m ea s u r ed   b y   r ese a r ch   ce n ter   in   r ea co n d itio n   [ 3 0 ] .   A cc o r d in g   to   th is   d ata,   w h ich   i s   co m p o s ed   o f   4 0 0 0   s am p les  o f   i n p u an d   o u tp u w i th   s a m p li n g   ti m o f   1 ,   id en tif icatio n   is   p er f o r m ed .   I is   clar if ied   th a t   in p u i s   t h v al u o f   f l u id   f l o w   an d   o u tp u i s   th te m p er atu r o f   o u tp u f lu id   an d   in   th p r o ce s s   o f   d ata   m ea s u r e m e n t,  te m p er atu r o f   s tea m   an d   i n p u f l u id   ar co n s id er ed   co n s tan a n d   n o m i n al.   Fig u r 1   s h o w s   t h h ea t e x c h a n g er   o f   s atu r ated   f l u id   s tea m .           Fig u r 1 .   Hea E x ch a n g er   o f   S atu r ated   Flu id   Stea m       5.   SI M UL AT I O N   As  m e n tio n ed   in   s ec t io n   3 - 1 ,   at  f ir s t,  v alu e s   o f   L   ( d eg r ee   o f   s y s te m ) ,   p   ( n u m b er   o f   s e n ten ce   o f   o r th o g o n al  f u n ctio n s )   ( m e m o r y   o f   s y s te m )   a n d   ( p o le  o f   o r th o g o n a f u n c tio n )   w h er b y   t h e m   s q u ar s u m   o f   er r o r s   is   ca lcu lated   f r o m   eq u atio n   ( 1 6 ) .   I n   th is   p ap e r ,   P SO  alg o r ith m   i s   u s ed   to   ca lcu late  th f r e e   p ar am eter s   o f   t h s y s t e m   i n   w h ic h   th e   r an g o f   f r ee   p ar a m eter s   is   co n s id er ed   4 0 0 10 , 5 0 , 14 1 M a p   f o r   L =3 .   I f   t h r es u lted   er r o r   is   n o f u l f ill in g ,   d eg r ee   o f   m o d el  h as  to   b in cr ea s ed .   I n p u an d   o u t p u d ata  o f   s y s te m   ar ca teg o r ized   in to   t w o   g r o u p s o n f o r   lear n in g   w h ic h   th e   m o d el  i s   ex tr ac ted   f r o m   it  an d   th s ec o n d   o n f o r   ex p er i m en tin g   t h m o d el.   Op ti m u m   v al u o f   f r ee   p ar am eter s   b ased   o n   th ex p an s io n   b y   o r th o g o n al  L ag u er r e   f u n ctio n   a n d   o r th o g o n al  L eg en d r e   f u n ctio n   ar e   g iv e n   i n   T ab le  1   f o r   2 5 0 0   lear n in g   a n d   5 0 0   s am p li n g   d ata.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
IJ AA S   I SS N:  2252 - 8814       I d en tifi ca tio n   o a   N o n - Lin ea r   S ystem  u s in g   V o lter r a   S eries   Mo d el    ( V a h id   Mo s s a d eg h )   191   T ab le  1 .   Op tim u m   Va lu o f   Fre P ar am eter s   B ased   o n   th E x p an s io n   b y   Di f f er en   L a g u er r an d   L eg e n d r Fu n cti o n s   f o r   L =3   O r t h o g o n a l   F u n c t i o n   T h e   o p t i m a l   v a l u e s w i t h   P S O   a l g o r i t h m   L a g u e r r e   a=1   P = 1 0   M = 2 0 0   L e g e n d r e   a = 0 . 2 4   P = 8   M = 2 0 0       No w ,   f ea s ib ili t y   o f   t h m o d el  is   test ed   u s i n g   t h s a m p lin g   d a ta.   Ou tp u t v al u o f   th m o d el  an d   ac tu al   o u tp u o f   t h s y s te m   w o u ld   b lik Fig u r 2   b y   p u t tin g   o p tim u m   v al u o f   T ab le  1   in   Vo lter r a   s er ie s   o f   eq u atio n   ( 1 8 ) .   Fig u r 3   s h o w s   th er r o r   o f   id en tif ied   m o d el  o u tp u t a n d   ac tu al  s y s te m .   T ab le  2   p r esen ts   n u m er ical  v a lu o f   n o r m a lized   o u tp u t   er r o r   ac co r d in g   to   eq u atio n   ( 2 2 )   an d   s u m   o f   er r o r   s q u ar es  ac co r d in g   to   eq u atio n   ( 1 6 )   in   o r d er   to   p e r f o r m   n u m er ical  co m p ar is o n   f o r   r esu lts   o f   id en ti f ied   h ea t e x c h a n g er   s y s te m   u s i n g   t h ex p an s io n   b y   o r t h o g o n al  L ag u er r an d   L eg e n d r f u n c tio n s .       T ab le  2 Nu m er ical  co m p ar is o n   u s in g   t h ex p a n s io n     b y   o r th o g o n al  L a g u er r an d   L eg en d r f u n ctio n s   O r t h o g o n a l   F u n c t i o n   r e si d u a l   o f   n o r mal i z e d   o u t p u t   e r r o r   ( d B )   S u m o f   s q u a r e d   e r r o r s   L a g u e r r e   - 1 2 4 . 6 0 6 4   1 7 . 8 5 2 2   L e g e n d r e   1 2 7 . 6 4 5 6   1 3 . 1 7 0 8       As  s h o w n ,   th p r o p o s ed   m et h o d   w h ic h   is   th e x p an s io n   o f   th Vo lter r a   s er ies  m o d el  b y   L eg e n d r o r th o g o n al  f u n ct io n   h as  lo w e r   p r ed ictio n   an d   s u m   o f   s q u ar es  er r o r   co m p ar in g   to   t h co n v en t io n al  m et h o d s   w it h   L a g u er r o r th o g o n a f u n ctio n .   B esid es,  as  s h o w n   i n   T ab le  1   f o r   ex p an s io n   w it h   L eg en d r o r th o g o n a l   f u n ctio n ,   w ith   le s s   n u m b er   o f   o r th o g o n al  f u n c tio n   s e n te n ce s   ( th at  s h o w s   th s i m p lic it y   o f   th m o d el)   b etter   s o lu tio n   is   ac q u ir ed   co m p ar i n g   to   t h L ag u er r o r th o g o n al  f u n ctio n .   T h is   v al id ates  t h s u p er io r it y   o f   t h e   p r o p o s ed   m et h o d   w ith   r esp ec to   th co n v e n tio n al  m e th o d .             Fig u r e   2 .   Ou tp u t o f   th I d en ti f ied   Mo d el  A n d   A ctu a Ou tp u t f o r   Op ti m u m   Val u es o f   T ab le  1       Fig u r 3 .   T h E r r o r   o f   I d en tif ied   Mo d el  Ou tp u t a n d   A ct u al  O u tp u t       6.   CO NCLU SI O N   I n   th is   p ap er ,   it  w as  tr ied   to   b u ild   p o w er f u an d   co m p r eh en s iv m o d el  to   id en ti f y   n o n - li n ea r   s y s te m s   b ased   o n   Vo lter r s er ies  an d   L e g en d r o r th o g o n al  f u n ctio n .   Ker n e ls   o f   Vo lter r s er ies  w er r e w r itte n   as  an   e x p an s io n   o f   o r th o g o n al   f u n ctio n s   to   d ec r ea s t h co m p lex i t y   a n d   i n cr ea s t h id en ti f icatio n   ac cu r ac y .   Op ti m u m   v al u f o r   p o le  o f   o r t h o g o n al  f u n ctio n s ,   ex p a n s io n   n u m b er   o f   o r th o g o n a f u n c tio n s   an d   also   th e   m e m o r y   o f   t h s y s te m   w er c alcu lated   b y   P SO  al g o r ith m .   C o n s id er in g   t h f ea tu r e s   o f   L eg en d r o r th o g o n al   f u n ctio n ,   id en ti f icat io n   w a s   p er f o r m ed   u s in g   t h is   f u n ctio n   a n d   th r esu lts   w er co m p ar ed   t o   th co n v en t io n al   L a g u er r f u n ctio n   a n d   it  w as  o b s er v ed   th at  id en ti f icat io n   w i th   ex p a n d ed   Vo lter r s er ies  b y   L eg e n d r f u n ctio n   h as  le s s   er r o r   an d   m o r ac cu r ac y   w it h   les s   n u m b er   o f   o r t h o g o n al   f u n ctio n   s e n ten ce s .   B esid es,  in   o r d er   to   i m p r o v th r esu lt  o f   id en ti f i ca tio n ,   th er ar r ec o m m e n d atio n s   s u ch   as  u s i n g   o th er   o r th o g o n al  f u n ct io n s ,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8814   IJ AA S   Vo l.  6 ,   No .   3 Sep tem b er   201 7 :   1 8 5     1 9 2   192   u s i n g   d if f er en o p ti m iza tio n   m et h o d s   to   b etter   tu n t h p a r a m eter   o f   t h o r th o g o n al  f u n ctio n s   t h at  w il b p er f o r m ed   i n   th f u tu r r esear ch es.       RE F E R E NC E   [1 ]   S u leim a n   W,   M o n i n   A Ne w   m e t h o d   f o id e n ti fy in g   f in it e   d e g re e   V o l terra   se ries .   Au to m a ti c a   2 0 0 8 ;   44 ( 2 ):  4 8 8 - 4 9 7 .   [2 ]   F a rd   D,  Ka rra ri  M.,  M a li k   O   P .   S y n c h ro n o u G e n e ra to M o d e Id e n ti f ica ti o n   f o Co n tro A p p li c a ti o n   u sin g   V o l te rra   S e ries .   IEE T ra n s .   En e rg y   Co n v e rs   2 0 0 5 ;   20   ( 4 ):8 5 2 - 8 5 8 .   [3 ]   Ch e n g   M ,   P e n g   Z K ,   Zh a n g   WM ,   M e n g   G .   W a v e let  b a sis e x p a n sio n - b a se d   Vo lt e rra   k e rn e f u n c ti o n   i d e n ti f ica ti o n   th ro u g h   m u lt il e v e e x c it a ti o n s.   N o n li n e a r Dy n a mic s   2 0 1 4 7 6 (2 ): 9 8 5 - 9 9 9 .   [4 ]   A s y a li   M   H,  Ju u so la  M .   Us e   o f   M e ix n e f u n c ti o n in   e stim a ti o n   o f   V o lt e rra   k e rn e ls  o f   n o n li n e a s y ste m w it h   d e lay .   IEE T ra n s.  B io me d   En g   2 0 0 5 ;   52 (2 ) :2 2 9 - 2 3 7 .   [5 ]   M in u   K,  Je ss y   Jo h n   C.   V o l terra   Ke rn e Id e n ti f ica ti o n   b y   W a v e let  Ne t w o rk a n d   it A p p li c a ti o n to   No n li n e a r   No n sta ti o n a ry   T i m e   S e ries .   J o rn a o I n fo rm a ti o n   a n d   Da t a   M a n a g e me n t   2 0 1 2 ;   1 ( 1 ) :4 - 9.   [6 ]   P a rk e r   S ,   He e m str a   D,  Do y le  III  F   J,   P e a rso n   R   K.  T h e   i d e n ti f ica ti o n   o f   n o n li n e a r   m o d e ls  f o p ro c e ss   c o n tr o l   u sin g   tailo re d   p lan t - f rien d ly   in p u t   se q u e n c e s.  J o u r n a l   o f   Pro c e ss   Co n tro l   1 1   2 0 0 1 ;   1 1 (2 ): 2 3 7 - 2 5 0 .   [7 ]   V o l terra   V .   T h e o ry   o F u n c ti o n a a n d   o In teg r a a n d   I n t e g ro - d if fer e n ti a E q u a ti o n s.  Do v e r ,   e d it io n   2 ,     Ne w   Yo rk ,   1 9 5 8 .   [8 ]   V o l terra   V .   S o p ra   le F u n zi o n c h e   Dip e n d o n o   d e   Al tre   F u n zi o n i .   Re n d .   R . A c a d e m ia d e 1 8 8 7 ;4 ( 3 ), 1 4 1 - 1 4 6 .   [9 ]   S c h m id A ,   Biag io la  S   I,   C o u s se a u   E,   F ig u e ro a   J   L .   Vo lt e rra - t y p e   m o d e ls  f o n o n li n e a sy ste m s   id e n ti f ica ti o n .   A p p li e d   M a th e ma t ica M o d e ll in g ,   S c ien c e Dire c t,   2 0 1 4 ;   3 8 (9 ): 2 4 1 4 - 2 4 2 1 .   [1 0 ]   V it a li y   P ,   A lek sa n d F ,   S e rg e y   P ,   Yu riy   G .   Id e n ti f ic a ti o n   A c c u ra c y   o No n li n e a S y ste m   Ba se d   o n   V o l terra M o d e l   in   F re q u e n c y   Do m a in .   AA S RI   Co n fer e n c e   o n   I n telli g e n S y ste ms   a n d   C o n tr o l,   S c ien c e Dire c t ,   2 0 1 3 ; 4 :2 9 7 - 3 0 5 .   [1 1 ]   G u e b b a H,  A iss a o u M   Z,   De b b a I,   Kh a ll a   B.   A n a l y ti c a a n d   n u m e rica stu d y   f o a n   in teg ro - d if f e re n ti a n o n l in e a V o l terra   e q u a ti o n .   Ap p li e d   M a th e ma ti c s a n d   C o mp u ta ti o n ,   2 0 1 4 2 2 9 : 3 6 7 3 7 3 .   [1 2 ]   Kib a n g o u   A   Y,  F a v ier   G ,   Ha s sa n M   M .   S e lec ti o n   o f   g e n e ra li z e d   o rth o n o rm a b a se s   f o s e c o n d - o rd e Vo lt e rr a   fi lt e rs .   S i g n a Pr o c e ss in g ,   2 0 0 5 ; 8 5 (1 2 ):2 3 7 1 2 3 8 5 .   [1 3 ]   M a h m o o d i   S,   M o n taz e ri  A ,   P o sh tan   J,   Ja h e d   M o tl a g h   M   R ,   P o sh tan   M.   V o l terra - L a g u e rr e   m o d e li n g   f o NMP C .   S ig n a P ro c e ss in g   a n d   Its  A p p li c a ti o n s IS S PA ,   2 0 0 7 :1 - 4.   [1 4 ]   Do y le F   J,  P e a rso n   K,  Og u n n a i k e   B.   Id e n ti fi c a ti o n   a n d   Co n tro l   Us in g   V o lt e rr a   M o d e ls.   S p rin g e r   2 0 0 1 .   [1 5 ]   M o o d H.  M o d e l in g   a n d   Id e n ti fi c a ti o n   o N o n li n e a S y ste ms   Us in g   Vo lt e rr a   S e rie a n d   b a se d   o n   Or th o g o n a B a si s   Fu n c ti o n .   M .   S c .   T h e sis ,   S h a rif   Un iv e rsity   o f   Tec h n o lo g y   El e c tri c a En g in e e rin g   F a c u l ty ,   Ira n ,   2 0 0 8 .   [1 6 ]   d a   S il v a   S .   No n li n e a M e c h a n ica S y ste m   Id e n ti f ic a ti o n   Us in g   Di sc re rte - T i m e   V o lt e rra   M o d e ls  An d   Ka u tz  F il ter .   Pro c e e d in g o t h e   9 th   Br a zili a n   Co n fer e n c e   o n   Dy n a mic s C o n tro l   a n d   t h e ir  Ap p li c a t io n s ,   2 0 1 0 : 2 9 9 - 3 0 5 .   [1 7 ]   S u leim a n   W ,   M o n i n   A.   Ne M e th o d   f o r Id e n ti fyi n g   F in it e   De g re e   Vo lt e rr a .   A u to m a ti c a ,   2 0 0 8 ; 4 4 ( 2 ) :4 8 8 - 4 9 7 .   [1 8 ]   L e e   W ,   S c h e tze n   M .   M e a su re m e n o f   th e   W ien e k e rn e ls  o f   a   n o n   li n e a sy ste m   b y   c ro ss   c o rre latio n .   I n t   J.Co n tr o l,   1 9 6 5 ;2 ( 3 ):2 3 7 - 2 5 4 .   [1 9 ]   Do d d   T   J,  Ha rriso n   F .   A   n e w   s o lu ti o n   to   Vo lt e rra   se ries   e stim a ti o n .   Pro c .   IF AC  W o rld   Co n g re ss ,   2 0 0 2 .   [2 0 ]   Ro sa   A ,   Ca m p e ll o   G   B,   Am a ra la  W   C.   Ch o ice   o fre e   p a ra me ter in   e x p a n sio n o d isc re te - ti me Vo lt e rr a   mo d e ls  u si n g   K a u tz  fu n c ti o n s .   A u to m a ti c a ,   2 0 0 7 ; 4 3 ( 6 ): 1 0 8 4 1 0 9 1 .   [2 1 ]   G h a n b a ri  M ,   Ha e ri   M .   P a ra m e tri c   id e n ti f ica ti o n   o f   f ra c ti o n a l - o rd e s y ste m s u sin g   a   f ra c ti o n a L e g e n d re   b a sis .   Pro c .   IM e c h E,   Pa rt I J .   S y ste ms   a n d   C o n tro E n g i n e e ri ng ,   2 0 1 0 :2 2 4 (I 3 ) :2 6 1 - 2 7 4 .   [2 2 ]   G h a n b a ri  M .   S y ste m Id e n ti fi c a ti o n   B a se d   o n   Fra c ti o n a Or th o g o n a F u n c ti o n s.  Ph . D.  t h e sis ,   Isla m ic  A z a d   Un iv e rsit y   O f   S c ien c e   a n d   Re se a rc h   Of   Teh ra n ,   Ira n ,   2 0 0 9 .   [2 3 ]   Ca rin A ,   Ce c c h S ,   G a sp a rin M ,   S icu ra n z a   G . L .   In tro d u c in g   L e g e n d re   n o n li n e a f il ters ,   in   P ro c .   Of   IEE E   In ter n a t io n a C o n fer e n c e   o n   Ac o u stic,  S p e e c h   a n d   S i g n a Pro c e ss i n g   ( ICAS S P) ,   Italy ,   2 0 1 4 .   [2 4 ]   Nik o lao u   M ,   Ha n a g a n d V .   No n li n e a rit y   Qu a n ti f ic a ti o n   a n d   it A p p li c a ti o n   to   No n li n e a S y st e m   Id e n ti f ica ti o n ,   J o u rn a l:  Ch e mic a l   En g i n e e rin g   C o mm u n ic a ti o n -   CHEM   ENG  C OM M UN   ,   v o l.   1 6 6 ,   n o .   1 ,   p p .   1 - 3 3 ,   1 9 9 8 .   [2 5 ]   Rica rd o   G   B,   C a m p e ll o a   B, Wag n e C,   Am a ra lb   D,  F a v ier   G .   No te  o n   th e   Op ti ma Exp a n s io n   o V o lt e rr a   M o d e ls  Us in g   L a g u e rr e   Fu n c ti o n s .   A u to m a ti c a ,   2 0 0 6 ; 4 2 ( 4 ):6 8 9 6 9 3 .   [2 6 ]   Kib a n g o u a   A   Y,  F a v iera   G ,   H a ss a n ib   M   M .   S e lec ti o n   o f   G e n e ra li z e d   Orth o n o rm a Ba se f o S e c o n d - Or d e r   Vo lt e rr a   Fi lt e rs .   El se v ier ,   S ig n a Pro c e ss in g ,   2 0 0 5 ;   8 5 (1 2 ):2 3 7 1 2 3 8 5 .   [2 7 ]   Ha c io g lu   R,   W il li a m so n   G   A .   Re d u c e d   Co m p lex it y   V o lt e rra   M o d e ls  f o No n li n e a S y ste m   Id e n ti f ica ti o n .   EURA S IP  J o u rn a o n   Ap p li e d   S i g n a Pro c e ss in g ,   2 0 0 1 4 :2 5 7 2 6 5 .   [2 8 ]   G h a n b a ri  M , Ha e ri  M .   Or d e a n d   p o le  lo c a to e stim a ti o n   i n   f ra c ti o n a o rd e rsy ste m u sin g   Bo d e   d i a g ra m .   S ig n a l   Pro c e ss in g   2 0 1 1 9 1 ( 2 ): 1 9 1 - 2 0 2 .   [2 9 ]   T ru o n g   N.  No n li n e a Id e n t if ica t io n   o f   a   L iq u id - sa tu ra ted   S tea m   He a E x c h a n g e ru sin g   W S DP  M o d e ls.   1 1   t h   In ter n a t io n a C o n fer e n c e   o n   C o n t ro l,   A u to m a ti o n   a n d   S y ste ms   in   K INT EX ,   Ko re a ,   2 0 1 1 :6 1 _ 6 5 .   [3 0 ]   DA IS Y,  Da ta b a se   fo t h e   I d e n ti fi c a ti o n   o f   S y ste ms ,   Pro c e ss   I n d u stry   S y ste ms L i q u i d - sa t u ra t e d   ste a h e a t   e x c h a n g e r ,   a v a il a b le o n li n e   a f tp :/ /f tp . e sa t. k u leu v e n . b e /p u b / S IS T A/d a ta/p ro c e ss _ i n d u stry /e x c h a n g e r. d a t. g z .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.