I nte rna t io na l J o urna l o f   E v a lua t io n a nd   Resea rc h in E du ca t io n ( I J E RE )   Vo l.   10 ,   No .   1 ,  Ma r ch   2 0 2 1 ,   p p .   1 1 5 ~ 1 2 5   I SS N:  2252 - 8 8 2 2 ,  DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / ije r e . v 10 i 1 . 2 0 8 1 9           115       J o ur na l ho m ep a g e :  h ttp : //ij ere. ia esco r e. co m   Ass ess ing  studen t s’ err o rs in  ma the ma tical trans la tio n:  F ro m  sy mbo lic t o  verba l and g ra phic re p resentatio ns       Nurra hm a wa t i 1 ,   Cho lis   Sa ’ dija h 2 ,   Su dirm a n 3 ,   M a k bu l M uk s a r 4     1, 2, 3, 4 M a th e m a ti c s E d u c a ti o n   S tu d y   P r o g ra m ,  Un i v e rsitas   Ne g e ri  M a lan g ,  I n d o n e sia     1 M a th e m a ti c s E d u c a ti o n   S t u d y   P r o g ra m ,   Un i v e rsitas   P a sir  P e n g a ra ian ,   In d o n e sia         Art icle  I nfo     AB S T RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J u n   2 9 ,   2 0 20   R ev is ed   Dec   1 0 ,   2 0 20   Acc ep ted   J an   2 7 ,   2 0 2 1       Tran sla ti o n   sk il ls   a re   v e ry   im p o rtan t  p o ss e ss e d   b y   st u d e n ts,  b u t   c u rre n tl y ,   th e re   a re   stil l  m a n y   stu d e n ts  w h o   h a v e   d iffi c u lt y   i n   tran sla ti n g   b e twe e n   re p re se n tatio n s.  T h e   p u rp o se   o f  th is  stu d y   is  t o   a n a ly z e   stu d e n ts'   e rro rs   in   tran sla ti n g   fr o m   sy m b o li c   r e p r e se n tatio n s  to   v e rb a l  a n d   g ra p h ic  re p re se n tatio n s.   Th is   re se a rc h   wa s   d e sc rip ti v e   st u d y   wit h   q u a li tativ e   a p p ro a c h .   Tes ts  a re   g iv e n   t o   ju n i o r  h i g h   sc h o o l  stu d e n ts.  F r o m   th e   re su lt s  o f  d a ta  a n a ly sis,   it   is   o b tain e d   t h a t  i n   tra n sla ti n g   fr o m   sy m b o li c   t o   v e rb a l  f o rm s  (p ro b lem s  in   d a il y   li fe )  th a t  a re   fo ll o wi n g   t h e   g i v e n   sy ste m   o f  e q u a ti o n s,   stu d e n ts   a re   stil l  un a b le  t o   m a k e   r e p re se n tatio n s  c o rre c tl y .   Wh e n   st u d e n ts   a re   a sk e d   to   tran sla te  in t o   g ra p h ica l  fo rm ,   stu d e n ts  a re   stil l  un a b l e   to   d ra w   c o m p lete   g ra p h s  a n d   e r ro rs  m a d e   b y   st u d e n ts  a re   m isin terp re t a ti o n   a n d   imp lem e n tatio n   e rro rs,  s o   th e y   c a n n o t  m a in tain   t h e   se m a n ti c   c o n g ru e n c e   b e twe e n   so u rc e   re p re se n tatio n   a n d   targ e t  re p re se n tatio n .   Ba se d   o n   th is,  it   is   n e c e ss a ry   to   m a k e   a   lea rn i n g   p lan   th a t   c a n   imp ro v e   stu d e n ts ’   a b il it y   to   tran sla te b e twe e n   re p re se n tatio n s .   K ey w o r d s :   Gr ap h ical  r ep r esen tatio n s   Mu ltip le  r ep r esen tatio n s   Sy m b o lic  r ep r esen tatio n s   T r an s latio n   b etwe en   r ep r esen tatio n s   Ver b al  r ep r esen tatio n s   T h is i s  a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Su d ir m an   Ma th em atics E d u ca tio n   Stu d y   Pro g r am   Un iv er s itas   Neg er i M alan g   J l.  Sem ar an g   No   5 ,   Ma lan g ,   6 5 1 4 5 ,   I n d o n esia   E m ail:  s u d ir m an . f m i p a@ u m . a c. id       1.   I NT RO D UCT I O N     R ep r esen tatio n   p lay s   a  p iv o ta l  r o le  in   th e  lear n in g   an d   r ese ar ch   ac tiv ities   o f   m ath em atics  ed u ca tio n   [1 - 8] .   Acc o r d in g   to   Natio n al  C o u n cil  o f   T ea ch er   o f   Ma th em atics  ( NC T M )   [ 2 ] ,   th er e  ar e  th r ee   r ep r esen tatio n al  g o als  f o r   s ch o o l  m ath e m atics,  n am ely :   1 )   cr ea tin g   an d   u s in g   r e p r esen t atio n s   to   o r g a n ize,   r ec o r d ,   an d   co m m u n icate   m at h em atica l  id ea s ;  2 )   ch o o s in g ,   ap p ly in g ,   an d   tr a n s lat in g   b et wee n   m ath em atica l  r ep r esen tatio n s   to   s o lv e  p r o b lem s ;  an d   3 )   u s in g   r ep r esen tat io n s   to   m o d el   an d   in ter p r et  p h y s ical,   s o cial,   an d   m ath em atica l  p h en o m en a.   B a s ed   o n   th ese  th r ee   o b jectiv es,  th e  ab ilit y   o f   r ep r esen tatio n   is   v er y   im p o r tan t   p o s s ess ed   b y   s tu d en ts .   No t  o n ly   h a v e  r ep r esen tatio n   ca p ab ilit ies,  b u t  s tu d en ts   ar e  also   ex p ec ted   to   h av e  m u ltip le   r ep r esen tatio n   ca p a b ilit ies   [ 2 ,   4 ,   7 ,   9 - 1 9 ] .   Ain s wo r th   [ 2 0 ]   s tates  th at  in   a  p r o ce s s   o f   p r o b lem   f o r m u latio n ,   s tu d en ts   m u s t  h av e   m u ltip le  r ep r esen tatio n   s k ills   to   ar ticu la te  th e  s am e  p r o b lem   in   v ar io u s   f o r m s   o r   v iews.  B lak e  an d   Scan lo n   [ 1 0 ]   an d   H wan g ,   et  a l.   [ 1 1 ]   s tate d   th at  s t u d en ts ’   m u ltip le  r ep r esen tatio n   s k ills   ar e  th e  k e y   to   s u cc ess f u l  m ath em atica l p r o b lem - s o lv in g .   B ased   o n   th is ,   th e  ab ilit y   o f   m u ltip le  r e p r e s en tatio n s   is   also   v er y   im p o r tan t   f o r   s tu d en ts   t o   h a v e,   f o r   ex a m p le  i n   th e   p r o b le m - s o lv in g   p r o c ess .   I n   ter m s   o f   s o lv in g   p r o b lem s ,   s o m etim es  s tu d en ts   h av e  to   tr an s late  o th er   f o r m s   o f   p r o b le m s   to   f ac ilit ate  th e  p r o b lem - s o lv in g   p r o ce s s .   So ,   tr an s latin g   b etwe e n   r ep r esen tatio n s   is   v er y   im p o r tan t in   m at h em atics lea r n in g   ac tiv ities .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 8 2 2   I n t   J   E v al  &   R es E d u c ,   Vo l .   10 ,   No .   1 ,  Ma r ch   202 1 :   1 1 5   -   1 2 5   116   So m e  ex p er ts   ag r ee   th at  th e   ab ilit y   to   tr an s late  b etwe en   r ep r esen tatio n s   is   v er y   im p o r tan t  f o r   s tu d en ts   [ 2 ,   6 ,   1 5 ,   1 7 ,   1 8 ,   2 0 - 3 3] .   T h is   is   b ec au s e  th is   ab ilit y   is   o n e  o f   t h e  f ac to r s   th at  in f l u en ce   m ath e m atics  lear n in g   a n d   s u cc ess   in   s o lv in g   p r o b lem s   [ 1 7 ,   2 7 ,   3 3 ,   3 4 ] .  I n   g e n er al,   th e   ter m   tr an s latio n al  an d   tr an s latio n al   p r o ce s s es  r ef er   t o   p s y c h o lo g ical,   in tellectu al,   o r   co g n itiv e  p r o ce s s es  th at  ar e   class if ied   in   tr an s f o r m in g   in f o r m atio n   en co d ed   in   o n e  m ath em atica l   r ep r esen tatio n   ( s o u r ce )   to   an o th er   ( ta r g et)   [ 3 4 ] .  R eg ar d in g   th e   tr an s latio n   p r o ce s s ,   m an y   r esear ch er s   ag r ee   th at  th e  p u r p o s e  o f   tr an s latio n   is   to   m ain tain   s em an tic  co n g r u en ce ,   n a m ely   th e  m ath em atica l  m ea n in g   b etwe en   s o u r ce   r ep r esen tatio n   a n d   tar g et  r ep r esen tatio n   [ 3 5 ] .  T ea ch er s   n ee d   to   k n o w   h o w  s tu d en ts '   ab ilit ies  tr an s lat e  b etwe en   r e p r esen tatio n s .   Ho wev er ,   s o m etim es   teac h er s   d o   n o t  r ea lize  th e  im p o r tan ce   o f   u s in g   v ar i o u s   r ep r esen tatio n s   in   th eir   lear n in g   [ 4 ,   3 6 ] ,   an d   d o   n o t   p ay   atten tio n   to   t h e  f o r m s   o f   r ep r esen tatio n   d ev el o p ed   b y   s tu d en ts ,   wh eth er   s tu d e n ts   ar e  ab le  o r   n o t  to   m ak e   r ep r esen tatio n s   o th e r   th a n   th e   co n ce p ts   lear n ed .   T h e  teac h er   s h o u ld   k n o w  in   w h ich   p r o ce s s   s tu d en ts   h av e   d if f icu lty   in   th e  tr an s latio n   p r o ce s s   an d   wh er e  th e  er r o r   l ies.   L esh ,   et  a l.   [1 3]   f o u n d   th at  tr an s latio n   d is ab ilit y   was  a  s ig n if ican t  f ac to r   i n   in f l u en cin g   m ath em atics  lear n in g   an d   p r o b lem - s o lv in g   p er f o r m an ce .   T o   d iag n o s e  s tu d en t  lear n in g   d if f icu lties   o r   to   id en tify   wh at  will  b e  d o n e  f o r   th e  n e x t  lear n in g ,   th e  t ea ch er   ca n   p r o v id e   q u esti o n s   b y   p r esen tin g   id e as  in   o n e   r ep r esen tatio n   m o d e  an d   ask in g   s tu d en ts   to   m ak e  illu s tr atio n s ,   d escr ip tio n s ,   o r   p r esen t th e  s a m e  id ea s   in   o th er   m o d es.   Sev er al  s tu d ies r elatin g   to   s tu d en t r ep r esen tatio n s   an d   ab ilit ies in   tr an s latin g   b etwe en   r ep r esen tat io n s   [5 - 7 ,   1 2 ,   2 1 ,   3 0 ,   3 2 ,   3 7 - 4 8 ]   f o r   ex am p le,   th e  r esear ch   r e s u lts   o f   Z h e  [ 5 ]   f o u n d   th at  m an y   s tu d en ts   h ad   o b s tacle s   in   u n d er s tan d in g   a n d   tr an s latin g   m ath em atica l  la n g u ag e.   Fo r   ex am p le,   th ey   ca n n o t  tr u l y   u n d er s tan d   m ath em atica l  lan g u a g e,   ca n n o t  u n d er s tan d   t h e  r elatio n s h ip   b etwe en   m ath em atica l  lan g u ag es,  a n d   ca n n o t   tr an s late  g r ap h ic  lan g u ag e   in t o   v e r b al  la n g u a g e,   o r   v er b al  l an g u ag e   in to   s y m b o lic  lan g u a g e.   T h ese  o b s tacle s   d ir ec tly   af f ec t  th e   m ath em atic al   r ep r esen tatio n   o f   s tu d e n ts .   Ng   an d   L ee   [ 4 5 ]   s tate  th at  s tu d en ts   f ac e   o b s tacle s   in   r ep r esen tin g   wo r d   p r o b lem   ( v er b al  r e p r esen tatio n )   in to   f o r m al  s y m b o lic  alg e b r aic  f o r m s .   T h e  r esu lts   o f   th e   Ser t  [ 4 9 ]   a n aly s is   in d icate   th at  s tu d en ts   f ee l  d if f icu lties   in   v e r b al  r e p r esen tatio n .   Fu r th er m o r e ,   o n e  o f   th e  r esu l ts   o f   r esear ch   b y   B o s s é ,   et  a l.   [ 5 0 ]   s tate d   t h at  g en er ally   s tu d en ts   ca n   tr an s late  f r o m   s y m b o lic  to   g r ap h ical  f o r m s ,   an d   s tu d en ts   a r e  r a r ely   ab le  to   tr an s late  f r o m   s y m b o lic  to   v er b al  f o r m s .   Ozy ild ir im ,   et  a l.   [ 2 5 ]   r esear c h   r esu lts   s h o w  th at  s tu d en ts   h a v e  g r ea t d if f icu lties   in   th e  p r o ce s s   o f   tr an s latio n al  r ep r esen tatio n ,   b o th   in   tr a n s latin g   f r o m   tab u lar   to   alg eb r a ic  f o r m s ,   v er b al  al g eb r a   an d   v er b al  alg e b r a,   a n d   d iag r am s   to   a lg eb r a .   Gü r b ü z   an d   Şah in   [ 4 6 ]   s tate d   th at  th e  m o s t  d if f icu lt  tr a n s latio n   f o r   s tu d en ts   is   t o   tr an s late  v er b al  r ep r esen tatio n s ,   tab les,  eq u atio n s   in to   g r ap h s .   Fu r th er m o r e,   th e  r esu lts   o f   r es ea r ch   b y   Hattik u d u r ,   et  a l .  [ 4 3 ]   s h o w  th at  s tu d en ts   f in d   it  d if f icu lt  to   c o n s tr u ct   im ag es  b ec au s e  th ey   h a v e   m is co n ce p tio n s   ab o u t   g r ap h i cs,  s u ch   as  h eig h t   an d   s lo p e ,   r ea d i n g   a n d   co m p ilin g   g r a p h s   o f   p o in ts   ( ea ch   s ep ar ately ) .   T h is   d ef icien cy   m ay   ar is e  with   a  l ac k   o f   k n o wled g e  ab o u t  th e  c o n ce p t  o f   o n e  r ep r esen tatio n   to   an o th er   r ep r esen tatio n ,   o r   co n f u s io n   b etwe en   th e  p r o ce s s   o f   g r ap h ics  an d   g r a p h ics  as  a  p r o d u ct.   J o h ar   an d   L u b is   [ 4 8 ]   r e v ea led   t h at  th e  e r r o r   in   r e p r esen tatio n   g en er all y   o cc u r s   d u e   to   t h e  s tu d en ts   a r e  n o t   f am iliar   wit h   th e  p r o b lem   r eq u ir in g   r ep r ese n tatio n   to   s o lv e  it.    Ad u - Gy am f i ,   et  a l.   [ 2 1 ]   in v es tig ated   s tu d en ts '   tr an s latio n al  task s   b etwe en   n u m er ical,   s y m b o lic,   an d   g r ap h ical  m ath em atica l  r ep r es en tatio n s   an d   f o u n d   th r ee   co m m o n   ty p es  o f   er r o r s   th at  em er g ed   an d   ca lcu lated   th e  f r eq u en cy   o f   ea ch   ty p e   o f   er r o r .   C o m m o n   er r o r s   th at   ar i s e  ar e  im p lem e n tatio n   er r o r ,   i n ter p r etatio n   er r o r ,   an d   p r eser v atio n   er r o r .   A n o th er   r esu lt  o f   th e   r esear ch   b y   B o s s é ,   et  a l.   [ 3 8 ]   r elate d   to   a n a ly zin g   th e   ac tiv ities   o f   s tu d en ts   in   th e  p r o ce s s   o f   tr an s latin g   alg eb r aic   lin g u is tics ,   d eter m in in g   th e  ty p es  o f   m is tak es  m ad e,   an d   r ec o g n izin g   th e   f r e q u en c y   o f   er r o r s   th at   o cc u r .   B o s s é ,   et  a l.   [ 2 3 ]   co n d u cte d   r esear c h   f o cu s in g   o n   th e  p r o ce s s   o f   tr an s latin g   s tu d en ts   f r o m   g r ap h s   to   s y m b o ls   b ased   o n   s t u d en ts '   m ath em atica l  ab ilit y   l ev els.  Fu r th er m o r e,   Du r u   an d   Ko k l u   [ 4 1 ]   also   r es ea r ch ed   th e   tr an s latio n   b etwe en   m o d es  o f   tex t  r ep r esen tati o n   an d   alg eb r a.   T h e   r esu lts   o f   h is   r esear ch   r e v ea l ed   th at  s tu d en ts   f in d   d if f icu l ty   in   tr an s latin g   f r o m   te x t  m o d e  in to   al g eb r a ic  eq u atio n s   u s in g   s y m b o ls ,   b es id es,  s tu d en ts   also   f in d   d if f ic u lties   to   tr an s late  f r o m   s y m b o lic  m o d es  in to   th e  tex t  b ec au s e  o f   wea k n ess es  i n   r ea d in g   co m p r eh e n s io n .   C lem en t  [ 3 9 ]   r esear ch   r esu lts   s ta te d   th at  s tu d en ts   in   ter tiar y   in s titu tio n s   h av e  d i f f ic u lty   in   m ak i n g   th e  f o r m   o f   e q u ality   o f   th e  g i v en   wo r d   p r o b le m .   B ak er ,   et  a l.   [ 3 7 ]   r esear ch   r es u lts   f o cu s   o n   te s tin g   s tu d en t  p er f o r m a n ce   o n   "in ter p r etin g ,   g en er atin g ,   an d   s elec tin g "   ex ter n al   r ep r esen tatio n s   f o r   d ata   an aly s is .   A cc o r d in g   to   th e   r esu lts   o f   th e   s tu d y ,   th e  o v er all   p er f o r m an ce   o f   s tu d e n ts   in   th e  in ter p r etatio n   o f   g r ap h ics  is   m o d er ate,   b u t  in   th e  s elec tio n   an d   m an u f ac tu r e  o f   g r ap h ics,  s tu d en t  p er f o r m an c e  is   n o t   g o o d .   Gag atsi s   an d   S h iak alli  [ 2 4 ] ,  in   t h eir   r esear ch ,   ask ed   s tu d en ts   to   m ak e  g r ap h ical  s k etch es  an d   wr ite  alg eb r aic  ex p r ess io n s   th at  co r r esp o n d   to   th e  v er b al  r ep r esen tatio n s   p r esen ted .   Fu r th er m o r e,   ask i n g   s tu d en ts   to   wr ite  v e r b al  a n d   alg eb r aic   r ep r esen tatio n s   th at   co r r esp o n d   to   t h e  g r ap h ical   r ep r esen tatio n s   g iv en .   Acc o r d in g   to   th e   r esu lts   o f   h is   r esear ch ,   it  is   ev i d en t   th at  e v er y   tim e  a   g r ap h ical  r e p r esen tatio n   is   in v o lv ed   in   a   tr an s latio n   task ,   th e  p er ce n tag e  o f   s u cc ess   is   lo w er .   B ased   o n   th ese  r esu lts ,   it   ap p ea r s   th at  m an y   s tu d e n ts   h av e  d if f icu lty   tr an s latin g   b etwe en   r ep r esen tatio n s   an d   th e   s tu d y   f o cu s es  o n   wh ich   tr an s latio n s   ar e  m o s t  p r o b lem atic  f o r   s tu d en ts .   Me an wh ile,   r esear ch   r elatin g   to   wh at  f o r m s   o f   er r o r s   m ad e  b y   s tu d e n ts   h as  n o t  b ee n   m u ch   s tu d ied   in - d ep th ,   esp ec ially   in   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E v al  &   R es E d u c     I SS N:  2252 - 8 8 2 2       A s s es s in g   s tu d en ts ’   err o r s   in   ma th ema tica l tra n s la tio n :   F r o m  s ymb o lic  to   ve r b a l   and   …  ( N u r r a h ma w a ti )   117   tr an s latin g   f r o m   s y m b o lic  f o r m s   to   f o r m s   o f   v er b al  an d   g r ap h ic  r ep r esen tatio n s .   I n   th is   s tu d y   s tu d en t   p er f o r m an ce   ag ain s t  th e  tr an s l atio n s   th at  h av e  b ee n   p r o d u ce d   is   ass e s s ed .   Fu r th er m o r e,   in   p r ev io u s   s t u d ies,  it  was  also   s ee n   th at  m o s t  o f   t h ese  s tu d ies  ex am in ed   h o w  s tu d en ts   tr an s late  f r o m   v e r b al  to   s y m b o lic  f o r m s ,   wh er ea s   r esear ch   o n   s tu d en ts '   er r o r s   in   tr an s latin g   f r o m   s y m b o lic  to   v er b al  an d   g r ap h ic  f o r m s   h as  n o t  b ee n   s tu d ied .   E v e n   th o u g h   th e  a b ilit y   o f   s tu d e n ts   to   m ak e   g r a p h ical  r ep r esen tatio n s   is   v er y   i m p o r tan t  i n   lear n i n g   m ath em atics  an d   s o lv in g   p r o b lem s   [ 4 3 ,   51 ,   5 2 ]   as  well  as  th e  ab ilit y   o f   s tu d e n ts   to   m ak e  v er b al  s itu atio n s   i n   th e  co n tex t  o f   ev e r y d a y   life   is   also   im p o r tan t  [ 5 0 ] .   I n   th e  co n te x t  o f   th is   s t u d y ,   th er e  ar e  u n a n s wer ed   q u est io n s   ab o u t  th e  q u ality   o f   m ak in g   an d   tr an s latin g   b etwe en   r ep r esen t atio n s ,   an d   th e   q u esti o n s   o f   t h is   s tu d y   ar e   wo r t h   an s wer in g .   No t   m an y   s tu d ies   h av e  b ee n   r e p o r te d   th at  d is cu s s   th e  q u ality   o f   r ep r esen tatio n s   th at  h av e  b ee n   m ad e  b y   s tu d en ts ,   esp ec ially   in   I n d o n esia.  T h e  p u r p o s e  o f   th is   s tu d y   is   to   d eter m in e  th e  d if f icu lties   an d   an aly ze   f o r m s   o f   s tu d en t  er r o r s   in   tr an s latin g   f r o m   s y m b o lic  r e p r esen tatio n s   to   v er b al  a n d   g r ap h ic  r e p r esen tatio n s   as  well  as  wh at  f ac to r s   in f lu en ce   th e  s tu d en ts '   ab ilit y   to   tr an s late  b etwe en   r ep r esen tatio n s .   T h e  r esu lts   o f   th is   s tu d y   ar e   im p o r tan t  f o r   th e   r ev iew  o f   le ar n in g   in   th e  class r o o m   th at  i s   wh at  th e  teac h er   m u s t  d o   s o   t h at  s tu d e n ts   ca n   tr an s late  b etwe en   r ep r e s en tatio n s .   On   th e   o t h er   h an d ,   th e  f in d in g s   o f   th is   s tu d y   ar e  c o n s id er ed   to   co n tr i b u te  in   d ev elo p in g   a   lear n in g   ap p r o ac h   th at   ca n   im p r o v e  s tu d en ts '   ab ilit ies  in   tr an s latin g   b etwe en   r ep r esen tatio n s .       2.   RE S E ARCH   M E T H O D   T h is   r esear ch   is   a  d escr ip tiv e   s tu d y   with   a   q u alitativ e   ap p r o ac h .   T h e   test   was  g iv en   to   7 3   g r ad e   8   s tu d en ts   f r o m   two   ju n io r   h i g h   s ch o o ls   in   R o k an   Hu lu   R eg e n cy ,   R iau ,   I n d o n esia .   I n   th is   s tu d y ,   th e  a b ilit y   to   tr an s late  b etwe en   r ep r esen tatio n s   is   a  m atter   in   th e  f o r m   o f   s y m b o lic  r ep r esen tatio n s   an d   th en   s tu d en ts   ar e   ask ed   to   tr an s la te  th em   in to   o th er   f o r m s   o f   r ep r esen tatio n ,   n am ely   th e  g r ap h ics  an d   v e r b al.   T h e  q u esti o n s   p r esen ted   ar e  r elate d   to   t h e  m ater ial  o f   th e  two - v ar iab le  lin e ar   eq u atio n   s y s tem   ( T VL E S),   wh er e  th is   m ater ial   is   m ater ial  th at  s tu d en ts   h av e  l ea r n ed   b e f o r e.   T h e  q u est io n s   g iv en   ar e  p r esen ted   in   Fig u r e  1 .           Fig u r e  1 .   R esear ch   in s t r u m e n t s       I n   th e  f ir s t  p r o b lem ,   s tu d e n ts   ar e  ask ed   to   d eter m in e  th e  co m p letio n   o f   th e  g iv e n   eq u atio n   s y s tem .   Nex t,  s tu d en ts   ar e  ask ed   to   s o lv e  th e  s ec o n d   p r o b lem ,   wh ich   is   m ak in g   a  v er b al  r ep r esen t atio n   o f   th e  s y s tem   o f   eq u atio n s   g iv en   to   th e  f ir s t  p r o b lem .   T h e  v er b al  r ep r es en tatio n   r ef er r e d   to   in   th is   s t u d y   is   to   m ak e  th e   p r o b lem   s itu atio n   r elate d   to   d aily   life   f o llo win g   th e  p r o b le m   o f   th e  eq u atio n   s y s tem   p r esen ted .   I n   th e  th ir d   p r o b lem ,   s tu d e n ts   ar e  ask ed   to   p r esen t  th e  g iv en   eq u atio n   s y s tem   in   th e  f o r m   o f   g r ap h ical  r ep r esen tatio n .   T h e  f o cu s   o f   th is   r esear ch   is   o n   q u esti o n s   ( b )   an d   ( c ) ,   n am el y   h o w  s tu d en ts   tr an s late  f r o m   s y m b o lic  to   v e r b al   r ep r esen t atio n   an d   h o w  s tu d en ts   tr an s late  f r o m   s y m b o lic  to   g r ap h ic  r e p r esen tatio n .   T h e  test   is   g iv en   to   f in d   o u t  h o w  s tu d en ts '  m ath em atica l  tr a n s latio n   s k ills   an d   wh at  ar e  th e  f o r m s   o f   s tu d en t  er r o r   i n   d o in g   th e   tr an s latio n .   I n   th e   tr an s latio n a l  q u esti o n s   p r esen ted   in   th is   s tu d y ,   th e  s o u r ce   r ep r esen tatio n s   ar e  s y m b o lic  r ep r esen tatio n s   wh ile  th e  tar g et  r ep r esen tatio n s   ar e  v er b al  an d   g r ap h ical.   Af ter   th e  test ,   s ev er al  s tu d en ts   ar e  in ter v iewe d   to   f in d   o u t  m o r e   ab o u t  th e   an s wer s   th at  h av e   b ee n   wr itten   a n d   wh eth er   s tu d en ts   h av e   ev er   s o l v ed   q u esti o n s   lik e  th e  q u esti o n s   p r esen ted   in   th is   r esear ch .   Data   an aly s is   in   th i s   s tu d y   u s es  d escr ip tiv e  an aly s is   an d   co n ten t  an aly s is   m eth o d s .   T h e  s tep s   in   th e  an aly s is   o f   th is   r esear ch   d at a  ar e:  1 )  All  s tu d en ts   ' an s w er s   ar e  id en tifie d   an d   class if ied   b ased   o n   t h e  ch ar ac te r is tics   o f   s tu d en ts '   an s wer s ;  2 )  B ased   o n   th ese  cla s s if icatio n s ,   th e  n ex t  is   th e  s tu d en ts '   an s wer   er r o r s   in   tr an s latin g   b etwe en   r ep r esen tatio n s   in   th e  a n aly s is ,   3 )  Se v er al  s tu d en ts   in ter v iewe d   r el ated   to   th e   an s wer s   th at  h av e   b ee n   wr itten ;  4 )  M ak e  co n clu s io n s   b ased   o n   th e   s tu d en ts '   er r o r s   in   tr an s latin g   f r o m   s y m b o lic  to   v er b al  an d   g r a p h ic  f o r m s .   G iv e n   th e   e q u a ti o n   sy ste m   a s fo ll o ws :   { 2 + 3 = 18 + = 8 .     b.   Lo o k   fo r   th e   s o lu t io n   o f   th e   e q u a t io n   s y ste m   a b o v e !   c.   M a k e   a   wo rd   p r o b lem   in   e v e ry d a y   li fe   t h a t  fit s t h e   p r o b lem   o f  t h e   e q u a ti o n   sy ste m   a b o v e !   d.   Dra w a g ra p h   fr o m   th e   sy ste m   o f  e q u a ti o n s a b o v e ,   if   ,   is a rea l  n u m b e r!     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 8 2 2   I n t   J   E v al  &   R es E d u c ,   Vo l .   10 ,   No .   1 ,  Ma r ch   202 1 :   1 1 5   -   1 2 5   118   I n   an aly zi n g   th e   s y m b o lic  r ep r esen tatio n   to   v e r b al  r e p r esen t atio n ,   th e  a n s wer s   g en er ated   b y   s tu d en ts   ar e  s ee n   wh eth er   s tu d e n ts   ca n   m ak e  a  p r o b lem   s itu atio n   th a t  is   b y   th e  s y s tem   o f   e q u atio n s   p r esen ted   in   th e   p r o b lem ,   wh eth er   s tu d en ts   ca n   m ain tain   s em an tic  co n g r u e n ce   b etwe en   s o u r ce   a n d   ta r g e t  r ep r esen tatio n s   o r   n o t.  I f   n o t,  th e n   wh at  f o r m s   o f   s tu d en t  er r o r   will  b e  a n aly ze d   h er e .  W h ile   th e  an al y s is   o f   s tu d en t  er r o r s   in   tr an s latin g   f r o m   s y m b o lic  r ep r esen tatio n s   to   g r ap h ical  r e p r esen tatio n s ,   th e  d ef in itio n   o f   er r o r   u s ed   is   th e  d ef in itio n   ac co r d in g   to   Ad u - G y am f i ,   et  a l.   [ 2 1 ] .   T h e   f ir s t  er r o r   is   an   im p lem en tatio n   er r o r ,   wh ich   is   th e  ty p e   o f   er r o r   th at  u s u ally   o cc u r s   wh en   a  s tep   in   an   alg o r ith m   is   r u n   in co r r ec tly .   T h e  g e n er a l  d escr ip tio n   o f   th is   b eh av io r   is   th at  "stu d en ts   m ak e  co m p u tatio n al  er r o r s . "  T h e  s ec o n d   er r o r   is   in ter p r etatio n   er r o r ,   ie  s tu d en ts   m is ju d g e,   ch ar ac te r ize,   o r   r u l e  o u t  th e  attr ib u tes  o r   p r o p e r ties   o f   th e  s o u r ce   o r   tar g et  r ep r esen tatio n .   T h e  g en er al  d escr ip tio n   o f   m is in ter p r etatio n   is   "stu d en ts   d o   n o t  u n d er s tan d   h o w  ap p ly i n g   o r   in t er p r etin g   th e  t r aits "   th at  d ef in e  th e  s o u r ce   an d /o r   t ar g et  r ep r esen tatio n .   T h is   ca n   o cc u r   at  an y   tim e  d u r i n g   th e  tr an s latio n   p r o ce s s   an d   s o m etim es  in v o lv es  "t r an s itio n al  r ep r esen tatio n s . "   T r an s itio n al  r ep r esen tatio n s   ar e  in ter m e d iar y   r ep r esen tatio n s   th at  a r e  cr ea te d   wh en   a  s tu d e n t  is   m o r e  co m f o r tab le  m o v in g   to   tar g et  r ep r esen tatio n s   th r o u g h   s ev er al  o th er   r e p r esen tatio n s   t h at  ar e   d if f e r en t  f r o m   th e   s o u r ce .   T h e   th ir d   ty p e  o f   er r o r   is   p r eser v atio n   e r r o r .   Her e  s tu d en ts   co r r ec tly   m ai n tain   th e  s em an tic  c o n g r u en ce   b etwe en   s o u r ce   a n d   ta r g et  r ep r esen tatio n s   f o r   attr ib u tes  o r   attr ib u tes  th at  ar e  s elf - r ec o g n ized ,   b u t  f ail  to   en s u r e  th at  th e  attr ib u te  o r   o th er   r elev an t  tr aits   ar e   also   tr an s lated   co r r ec tly .   T h is   u s u ally   h ap p en s   wh en   th e  k ey   attr ib u te  o f   th e  s o u r c e  r ep r esen tatio n   is   u n k n o wn ,   b u t  th e  k ey   is   n o t  p r o p er l y   en co d ed   in   th e  tar g e t  r ep r esen tatio n .   T h e  g en er al  d escr ip tio n   o f   th is   s itu atio n   is   th at   "th e  s tu d en t  d i d   n o t  v er if y   th at  all  k ey   attr ib u te s   o f   th e  s o u r ce   an d   tar g et  r ep r esen tatio n s   wer e   co r r ec tly   co d ed . "       3.   RE SU L T S  A ND  D I SCU SS I O N   T h e  r esu lts   o f   s tu d en t  a n s wer s   r elate d   to   th e  f ir s t  p r o b lem ,   n am ely   s tu d en ts   ar e  ask e d   to   d eter m in e   th e  co m p letio n   o f   th e  T VL E S   g iv en .   T h e   r esu lts   o f   s tu d e n t  an s wer s   in d icate   th at  s tu d en ts   ca n   d eter m in e  th e   co m p letio n   o f   th e  T VL E S  g iv en ,   ie  th e  co m p letio n   o b tain ed   is   ( 6 , 2 ) .     3 . 1 .     S t ud ent s ’  er ro rs   in t ra ns la t i ng   f ro m   s y m bo lic  t o   v er ba l r epre s ent a t io n s   I n   th e  s ec o n d   p r o b lem ,   s tu d en ts   ar e  ask ed   to   tr an s late  th e  g iv en   e q u a tio n   s y s tem   in t o   a  v er b a l   r ep r esen tatio n .   Stu d en ts   ar e   ask ed   to   cr ea te  p r o b lem - r elate d   s itu atio n s   in   ev er y d ay   life .   B a s ed   o n   t h e  an s wer s   th at  h av e  b ee n   wr itten   b y   s tu d en ts ,   th er e  ar e  s o m e  er r o r s   m ad e  b y   s tu d en ts .   T h e  f ir s t  er r o r   is   a  p r o b lem   s itu atio n   o r   a   wo r d   p r o b lem   w r itten   b y   s tu d en ts   is   n o t  lo g ica l.  E x am p les  o f   s tu d e n t  r esp o n s e  er r o r s   ar e  s h o wn   in   F ig u r e   2 .           Fig u r e  2 .   E x am p les o f   illo g ica l a n s wer s   o f   s tu d en ts   to   th e  w o r d   p r o b lem   ( S3 2 )       B ased   o n   Fig u r e  2 ,   it  ca n   b e  s ee n   th at  in   m ak in g   a  p r o b lem   s itu atio n   o r   a  wo r d   p r o b lem   in   d aily   life ,   s tu d en ts   r elate   it  to   th e  p r ice  o f   an   item ,   n am ely   t h e  p u r ch as e  o f   b o o k s   a n d   p en s .   Fo r   t h e  p u r ch ase  o f   2   b o o k s   an d   3   p e n s   p u r c h ased   f o r   1 8   an d   th e  p u r ch ase  o f   1   b o o k   a n d   1   p e n   p u r ch ased   f o r   8 .   Stu d en ts   ca n   in d ee d   d o   th e  tr an s latio n   b y   th e   g iv e n   eq u atio n   s y s tem ,   b u t  th e   p r o b le m   s itu atio n   p r esen te d   b y   s tu d e n ts   is   n o t  lo g ical.   I f   it  is   r elate d   to   s tu d en ts '   d aily   liv es,  n a m ely   i n   I n d o n esia,  t h er e  is   n o   p r ice   o f   b o o k s   a n d   p e n s   th at  ca n   b e  p u r ch ased   at  p r ices  as  wr itte n ,   s o   th e  an s wer s   wr itten   b y   th ese  s tu d en ts   ar e  n o t  lo g ic al.   So   in   m ak in g   a   p r o b lem   s itu atio n   in   d aily   life ,   s tu d en ts   m u s t  n o t  o n ly   p ay   atten tio n   to   th e  g iv en   eq u atio n ,   b u t  s tu d en ts   m u s t  also   p ay   atten tio n   to   th e  co n te x t o f   th e  p r o b lem   cr ea ted ,   wh e th er   lo g ical  o r   n o t.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E v al  &   R es E d u c     I SS N:  2252 - 8 8 2 2       A s s es s in g   s tu d en ts ’   err o r s   in   ma th ema tica l tra n s la tio n :   F r o m  s ymb o lic  to   ve r b a l   and   …  ( N u r r a h ma w a ti )   119   T h e  r esu lts   o f   t h e  in ter v iew  s h o wed   t h at  wh e n   s tu d e n ts   we r e  ask ed   to   r ea d   an d   r e - u n d er s tan d   th e  s itu atio n   o f   th e  p r o b lem   t h ey   h ad   wr itten ,   th e  s tu d e n t  r ea liz ed   th at  wh at  h e  h a d   wr itten   w as  n o t  lo g ical.   W h en   ask ed   to   c r ea te  a   s itu atio n   f r o m   p r o b lem s   o th er   t h a n   p r o b le m s   r elate d   to   d eter m in i n g   t h e  p r ice  o f   g o o d s ,   th e   s tu d en t  d o es  n o t  y et  h av e  a n   id ea   to   cr ea te  an o t h er   p r o b le m   s itu atio n .   B ased   o n   th is   it  is   s ee n   th at  s tu d en ts   f ee l  it  is   d if f icu lt  t o   m ak e   a  p r o b lem   s itu atio n   o th er   th an   p r o b lem s   r elate d   to   d eter m in i n g   t h e  p r ice   o f   g o o d s .   T h e  s ec o n d   er r o r   in   m ak in g   r ea l  wo r d   p r o b lem s   r elate d   t o   d aily   life   is   th e   m is m atch   b etwe en   th e   wr itten   p r o b lem   a n d   th e   eq u atio n   g iv e n .   T h e  e r r o r   ca n   b e   s ee n   in   Fig u r e  3 .           Fig u r e  3 .   E x am p les o f   s tu d en t  r esp o n s es in   cr ea tin g   p r o b le m   s itu atio n s   in   d aily   life   ( S4 6 )       B ased   o n   Fig u r e  3 ,   it  ca n   b e  s ee n   th at  in   m ak in g   wo r d   p r o b l em s ,   s tu d en ts   also   m ak e  q u esti o n s   ab o u t  th e  p r ice  o f   an   item .   T h e  an s wer s   th at  h av e  b ee n   wr itten   b y   s tu d en ts   ca n   b e  s aid   to   b e  l o g ical  an d   co m p lete,   b u t  n o t  f o llo win g   t h e  p r o b le m   o f   th e  g iv en   e q u atio n   s y s tem .   W h en   s tu d en ts   ar e  ask ed   to   cr ea te  a  p r o b lem   s itu atio n   o th er   th a n   th e  p r ic e  o f   an   item ,   s tu d en ts   also   d o   n o t  y et  h a v e  an   i d ea   to   c r ea te  a   p r o b lem   s itu atio n .   T h e  th ir d   e r r o r   th at   s tu d en ts   m ak e  in   cr ea tin g   p r o b le m   s itu atio n s   is   th at  th e   wo r d   p r o b le m   wr itten   b y   s tu d en ts   ha s   n o th in g   to   d o   with   th e   eq u atio n   s y s tem   g iv en .   E x a m p les  o f   s tu d en t  r esp o n s e   e r r o r s   ar e   s h o wn   in     Fig u r e  4 .           Fig u r e  4 .   Oth er   ex am p les o f   s tu d en ts '   an s wer s   in   cr ea tin g   p r o b lem   s itu atio n s   in   d aily   life       Fig u r e  4   s h o ws   th at  t h e  p r o b l em   s itu atio n   g e n er ated   b y   s tu d en ts   h as  n o th in g   to   d o   with   t h e  eq u atio n   s y s tem   p r esen te d   in   th e  p r o b l em .   T h is   m ea n s   th at  s tu d en ts   ar e  also   n o t  ab le  to   p r esen t  v er b al  r ep r esen tatio n s   ap p r o p r iately .   T h e  r esu lt  o f   t h e  in ter v iew  s h o ws  th at  th e  s tu d en ts   s u d d en ly   r ea lize  th at   th e  wo r d   p r o b lem   m u s t  b e  in   lin e  with   th e  eq u atio n   s y s tem   p r esen ted   in   t h e  task .   I t  is   m en tio n ed   wh en   th e y   ar e  ask ed   to   co n v e y   wh at  is   k n o wn   an d   ask ed   ab o u t  th e  p r o b lem .   T h is   s h o ws  th at  s tu d en ts   d o   n o t  r ea d   in   d etail  th e  in s tr u ctio n s   o f   th e  q u esti o n s   g iv en .   W h en   s tu d en ts   ar e  r eq u ested   to   m ak e   o th er   wo r d   p r o b lem s ,   th ey   a r e  s til l  n o t  ab le  to   m ak e  r ep r esen tatio n s   co r r ec tly .   I n   ad d itio n ,   th e  f o u r th   er r o r   th at  s tu d en ts   m ak e  wh en   tr an s latin g   in to   v er b al   r ep r esen tatio n   is   s h o wn   in   Fig u r e  5 .     An i  b o u g h t   2   a p p les an d   3   o ran g e s  fo r  IDR 1 8 , 0 0 0   An d   1   a p p le an d   1   o ra n g e   fo r   ID R 8 , 0 0 0 ,   wh a t  is  th e   p rice   o f  1   a p p le  an d   1   o ran g e?   Th e   p rice   o f  3   c lo th e s  a n d   2   s h irt s  is   IDR   2 3 0 , 0 0 0 ,   w h il e   th e   p rice   o f   1   sh irt   a n d   3   sh ir ts  is  IDR   2 1 0 , 0 0 0 .   De termin e  th e   p rice :   a .   T - sh irt   p rice s   b .   P rice   o f  c lo t h e s   c .   Th e   p r ice   o f  2   c lo t h e s a n d   5   s h i rts   d .   T h e   p rice   o f   6   c l o t h e s a n d   6   sh i rts   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 8 2 2   I n t   J   E v al  &   R es E d u c ,   Vo l .   10 ,   No .   1 ,  Ma r ch   202 1 :   1 1 5   -   1 2 5   120       Fig u r e  5 .   An o th er   e x am p le  o f   s tu d en ts '   er r o r s   in   cr ea tin g   p r o b lem   s itu atio n s   in   d aily   life   ( S 2 1 )       I n   Fig u r e  5 ,   it  ca n   b e  s ee n   th at   th e  q u esti o n s   wr itten   b y   s tu d e n ts   d o   n o t r ep r esen t  a  p r o b lem   s itu atio n   th at  is   b y   th e   co n ce p t  o f   a  t wo - v ar iab le  li n ea r   eq u atio n   s y s tem .   I n   f ac t ,   th e   s am e  s y m b o l  ca r r ies  th e   s am e  m ea n in g ,   th e  s tu d e n ts   in ter p r e ted   d if f er en tly .   T h is   ca u s es  an   er r o r   in   th e  m ea n in g   o f   th e  s y m b o l.  T h e  r esu lts   o f   th e  s tu d en t' s   an s wer s   s h o w  th at  s tu d en ts   d o   n o t  u n d e r s tan d   th e  T VL E S  co n ce p t  s o   th at  s tu d en ts   h a v e  d if f icu lty   i n   wr itin g   p r o b lem s   in   e v er y d ay   life .   T h e  r esu lts   o f   th e   in ter v iews  s h o wed   th at  s tu d en ts   d id   n o t  u n d er s tan d   t h e  co n ce p t o f   th e  two - v ar iab le  lin ea r   e q u atio n   s y s tem   well.     B ased   o n   th e  a n s wer s   p r esen t ed   in   Fig u r e  2   to   Fig u r e   5 ,   it  was  s ee n   th at  ea ch   s tu d e n t  h a d   a  d i f f er en t   an s wer   in   m ak in g   a  wo r d   p r o b lem   f o llo win g   th e  g iv en   eq u atio n   s y s tem .   Ho wev er ,   in ter esti n g ly ,   all  s tu d en ts   cr ea te  p r o b lem   s itu atio n s   r elate d   to   d eter m in in g   th e  p r ice  o f   an   item .   So m e  s tu d en ts   m ak e  a  p r o b lem   s itu atio n   in   ev er y d ay   life   illo g ically ,   an d   s o m e  s tu d e n ts   m ak e   a  p r o b l em   s itu atio n   in   ev er y d ay   life   l o g ically   b u t  n o t  y e t   b y   th e  p r o b lem   o f   a   lin ea r   s y s tem   o f   two   v ar iab les  g iv en ,   th e n   s o m e  s tu d en ts   m ak e  a   p r o b l em   s itu atio n   th at  is   n o t  s o m eth in g   to   d o   with   th e   eq u atio n   s y s tem   p r esen ted   b y   th e  p r o b lem ,   th e  n ex t  er r o r   is   a  wo r d   p r o b lem   wr itten   b y   s tu d en ts   n o t  d escr ib in g   a  p r o b lem   r elate d   to   th e  t wo - v ar iab le  lin ea r   e q u atio n   s y s tem .   No t  y et  s ee n   s tu d en ts   ca n   m ak e  a  lo g ical,   co m p lete,   an d   c o r r ec t  wo r d   p r o b lem   th at  is   f o llo win g   th e  p r o b lem   s y s tem   o f   eq u atio n s   g i v en .   I t  is   s ee n   th at  in   m a k in g   a   p r o b lem   s itu atio n   in   d aily   life   th at  is   b y   t h e  g iv e n   eq u atio n   s y s tem ,   s tu d en ts   ar e   less   ab le  o r   h av e  d if f icu lty   to   m ak e   a   wo r d   p r o b lem   r elate d   to   th e   g iv en   eq u atio n   s y s tem .   T h ese  r esu lts   ar e  f o llo win g   t h e  r esu lts   o f   r esear ch   b y   Ozy ild ir im ,   et  a l.   [ 2 5 ] ,   t h at  s tu d e n ts   s till   ex p er ien ce   d if f icu lties   in   th e   p r o ce s s   o f   tr an s latio n ,   o n e   o f   wh ich   is   f r o m   v e r b al  t o   alg e b r a   an d   alg eb r a   to   v er b al.   Acc o r d in g   to   Stacey   an d   Ma cGr eg o r   [ 5 3 ] ,   s tu d en ts   h a v e  p r o b lem s   i n   e x p lain in g   r e p r e s en tatio n s   in   wo r d s .   Ser t  [ 4 9 ]   s tated   th at  s tu d e n ts   f ee l d if f icu lties   in   v er b al  r ep r es en tatio n .   B ased   o n   th e  r esu lts   o f   s tu d e n ts '   an s wer s   i t  ap p ea r s   th at  i n   m ak in g   a  wo r d   p r o b lem   in   d aily   life ,   s tu d en ts   f ai l  in   m ak in g   co n n ec tio n s   b etwe en   r ep r esen tatio n s .   All  s tu d en ts   r ep r esen t  a  s y s tem   o f   eq u atio n s   g iv en   i n   v er b al   f o r m   b y   m a k i n g   q u esti o n s   r elate d   to   d eter m in in g   th e   p r ice  o f   a n   item .   So   in   s tu d en t   th in k in g ,   wh en   s tu d en ts   ar e  ask ed   to   m ak e  a  wo r d   p r o b lem   r elat ed   to   T VL E S,  th en   th e  th in g   m o s t  s tu d en ts   r em em b er   is   h o w  to   d eter m in e  t h e  p r ice  o f   a n   item .   Yet  in   cr ea tin g   a   p r o b lem   s itu atio n   in   d aily   life ,   it  is   n o t  o n ly   in   th e   f o r m   o f   th e  p r ice   o f   an   item .    Stu d en ts   also   d o   n o t  s ee m   t o   b e  ab le  to   u n d er s tan d   th e  r ela t io n s h ip   b etwe en   th e   co m p letio n   o f   th e  s y s tem   o f   e q u atio n s   o b tain e d   an d   r elate   it   to   cr ea te  p r o b lem   s itu atio n s   i n   d aily   life .   T h is   is   co n s is ten t  with   th e  o p in io n   o f   Ain s wo r th   [ 9 ]   wh ich   s tates  th at  s o m e  r esear ch e r s   s h o w  th at  m o s t  s tu d en ts   f ail   to   u n d er s tan d   th e  im p o r tan ce   o f   co n n ec tio n s   b etwe en   d if f er en t  ty p es  o f   r e p r esen tatio n s ,   a n d   also   in   lin e  with   th e  o p in io n   o f   B o s s é ,   et  a l.   [ 5 0 ]   s tatin g   th at  s tu d en ts   r ar el y   ca n   tr an s late  f r o m   s y m b o lic  to   v er b al  f o r m .   B ased   o n   th e  r esu lts   o f   in ter v iews  co n d u cted   with   s ev er a l  s tu d en ts ,   it  ap p ea r s   th at  s tu d en ts   ar e  in d ee d   n o t  ac cu s to m ed   to   b ei n g   g iv e n   s u ch   q u esti o n s .   Usu ally ,   s tu d en ts   ar e  p r esen te d   w ith   p r o b lem s   in   th e  f o r m   o f   a  wo r d   p r o b lem ,   th e n   s tu d en ts   ar e  ask ed   to   s o lv e   th ese  p r o b lem s .   T h er e f o r e,   i n   t r an s latin g   f r o m   s y m b o lic  r ep r esen tatio n   to   v er b al  r ep r esen tatio n ,   s tu d e n ts   s till   ex p er ien ce   d if f icu lties .   Stu d en ts   wer e  n o t   ab le   to   m ain tain   th e  ap p r o p r iaten e s s   o f   m ea n in g   b etwe en   s y m b o lic  r ep r esen tatio n   an d   v er b al  r ep r esen tatio n .   T h is   is   p o s s ib le  b ec au s e  s tu d en ts   a r e  n o t  ac cu s to m ed   to   u s in g   v a r io u s   r ep r esen tatio n s   in   th eir   lear n in g   s o   f ar .   T h is   is   co n s is ten t  with   th e  o p in io n   o f   B o s s é ,   et  a l.   [ 2 2 ]   th at  o n e   o f   th e   f ac to r s   t h at  in f l u en ce   s tu d en ts   in   tr a n s latin g   is   teac h er   ex p ec tatio n s   an d   lear n in g   ex p er ien ce s .   Fu r th er m o r e,   Gag atsi s   an d   Sh iak alli  [ 2 4 ]   s tate  th at  m id d le  s ch o o l  s tu d en ts   ar e  r ar el y   ask ed   to   p r o d u ce   alg eb r aic  ex p r ess io n s   b ased   o n   g r a p h s   o r   to   wr ite  ap p r o p r iat e   v er b al  ex p r ess io n s   o f   alg e b r ai c  ex p r ess io n s   an d   v ice  v er s a.     3 . 2 .     Su dents’   er ro rs in t ra ns la t ing   f ro m   s y m bo lic  t o   g ra p hica l r epre s ent a t io ns     I n   th e  th ir d   p r o b lem ,   s tu d en ts   ar e  ask ed   to   tr an s late  f r o m   s y m b o lic  f o r m   to   g r ap h ical  r ep r esen tatio n .   T h e  eq u atio n   s y s tem   p r esen ted   is   th e  s am e   as  th e  f ir s t  an d   s ec o n d   q u esti o n s .   Sev er al  ty p e s   o f   er r o r s   m ad e  b y   s tu d en ts   in   tr an s latin g   f r o m   s y m b o lic  r ep r esen tatio n s   to   g r a p h ical  r ep r esen tatio n s   ar e  p r esen ted   in   Fig u r e   6 .   M r.   Um a r  b o u g h t  2   a p p les   +   3   o r a n g e s fo r  IDR   1 8 , 0 0 0   Ro m i  b u y s  1   stra wb e rry   +   1   g ra p e   fo r  ID R   8 , 0 0 0   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E v al  &   R es E d u c     I SS N:  2252 - 8 8 2 2       A s s es s in g   s tu d en ts ’   err o r s   in   ma th ema tica l tra n s la tio n :   F r o m  s ymb o lic  to   ve r b a l   and   …  ( N u r r a h ma w a ti )   121       Fig u r e  6 .   E x am p les o f   s tu d en t  an s wer   er r o r s   in   m a k in g   g r ap h   r ep r esen tatio n s   ( S6 8 )       B ased   o n   Fig u r e  6 ,   it  ca n   b e   s ee n   th at  in   m ak in g   a  g r ap h   o f   th e  g iv e n   eq u atio n   s y s tem ,   s tu d en ts   m ak e  tr an s itio n al  r ep r esen tatio n s   in   th e  f o r m   o f   n u m er ical  r ep r esen tatio n s .   W h en   v iewe d   f r o m   th e  r esu ltin g   tr an s itio n al  r ep r esen tatio n   it  ap p ea r s   th at  s tu d en ts   ar e  wr o n g   in   d eter m in in g   th e  v al u e  o f   ,   wh en   = 0 ,   s o   th e  er r o r   is   ca lled   an   im p lem e n tatio n   er r o r .   Acc o r d in g   t o   Ad u - Gy am f i ,   et  a l.   [ 2 1 ] ,   it is   s tated   th at  s tu d en ts   h ad   im p lem en tatio n   e r r o r s   wh en   th ey   m ak e   co m p u tatio n al  e r r o r s .   Fu r th er m o r e,   i f   f u r th e r   att en tio n   is   p aid ,   s tu d en ts   also   m ak e  in ter p r etati o n   er r o r s ,   n am ely ,   s tu d en ts   ar e  wr o n g   in   wr itin g   s eq u e n tial  p air s   wh ich   ar e  th e   in ter s ec tio n   p o in ts   o f   th e  a x i s   a  an d   b ,   s o   s tu d e n ts   also   ex p er ien ce   e r r o r s   in   d r awin g   g r ap h s ,   th is   er r o r   is   ca lled   m is in ter p r eta tio n .   So ,   t h e  f ir s t  t y p es  o f   er r o r s   th at  s tu d en ts   m ak e   ar e   er r o r s   o f   i m p lem en tatio n   an d   m is in ter p r etatio n .   A n o th e r   ex a m p le  o f   s tu d en t e r r o r   in   tr a n s latin g   a  s y s tem   o f   two - v ar iab le   lin ea r   eq u atio n s   to   a  g r ap h   is   p r esen ted   in   Fig u r e  7 .           ( a)   An s wer   S3 2   ( b )   An s wer   S2 4     Fig u r e  7 .   Misin ter p r etatio n   o f   d r awin g   g r ap h s   T VL E S       I n   Fig u r e   7 ,   it  ca n   b e   s ee n   th a t  in   d r awin g   a   g r ap h   o f   a  s y s t em   o f   lin ea r   eq u atio n s   th e  tw o   v ar ia b les  ar e  p r esen ted ,   s tu d en ts   o n ly   d escr ib e  th e  g r ap h   in   th e  f o r m   o f   o n e  eq u atio n .   Stu d en ts   h av e  n o t  b ee n   ab le  to   co m p letely   d escr ib e   th e  g r a p h   o f   th e  g iv en   e q u atio n   s y s tem ,   s o   th e  er r o r   m a d e   b y   s tu d e n ts   is   a   m is in ter p r etatio n .   T h er e  s h o u l d   b e  two   eq u atio n s   illu s tr ated ,   b u t  s tu d en ts   o n ly   d r aw  a  g r ap h   f o r   o n e  eq u atio n ,   n am ely   + = 8 .   So ,   th e  tr an s latio n s   p r o d u ce d   b y   s tu d en ts   ar e  n o t  s em an tically   co n g r u en t.  B ased   o n   th is   it  Mi si n t e r p re t a t i o n   I m p l e m e n t a t i o n   e rro r   Tr a n s i t i o n a l   r e p r e s e n t a t i o n   G r a p h   r e p r e se n t a t i o n   g e n e r a t e d   b y   s t u d e n t s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 8 2 2   I n t   J   E v al  &   R es E d u c ,   Vo l .   10 ,   No .   1 ,  Ma r ch   202 1 :   1 1 5   -   1 2 5   122   ap p ea r s   th at  s tu d en ts   m ak e  m is in ter p r etatio n s .   Stu d en ts   d o   n o t  r ea lly   u n d er s tan d   h o w  to   d r aw  a  g r ap h   o f   a   two - v ar iab le  lin ea r   eq u atio n   s y s tem .   I n   th e  f ig u r e,   it  ca n   b e  s ee n   th at  s tu d en ts   d o   n o t  n ee d   tr an s itio n al   r ep r esen tatio n   in   d r awin g   g r ap h s .   An o th er   e x am p le  o f   s tu d en t e r r o r   in   d r awin g   g r a p h s   is   as f o llo ws .   Fig u r e  8   s h o ws  th at,   wh en   d r awin g   a  g r ap h   o f   a  two - v ar ia b le  lin ea r   eq u atio n   s y s tem ,   s t u d en ts   o n ly   d r aw  p o in ts   wh ich   ar e  th e  in ter s ec tio n   p o in ts   o f   th e  eq u atio n   s y s tem .   T h is   s h o ws  th at  s t u d e n ts   d o   n o t  r ea lly   u n d er s tan d   h o w  to   d r aw  g r a p h ics,  s o   s tu d en ts   o n ly   d escr ib e  th e  co m p letio n   o f   th e  e q u atio n   s y s tem .   T h e  er r o r   is   ca lled   m is in ter p r etatio n ,   s o   th e   an s wer s   wr itten   b y   s tu d en ts   ar e   n o t   co n g r u e n t  s em an tically .   T h e   n e x t  m is tak es m ad e  b y   s tu d en ts   ar e   p r esen ted   in   Fig u r e  9 .           Fig u r e  8 .   An o th er   e x am p le  o f   m is in ter p r etatio n   o f   d r awin g   g r ap h s   ( S1 2 )           ( a)   An s wer   S4 5   ( b )   An s wer   S1     Fig u r e  9 .   E x am p le s   o f   m is in ter p r etatio n   o f   d r awin g   g r ap h       B ased   o n   th e  s tu d en ts '   an s we r s   in   Fig u r e  9 a,   it  ap p ea r s   th at  th e  s tu d en t  is   r ev er s ed   in   m ak in g   th e   n am e  o f   th e  ax is ,   s o   th at  th e  s tu d en t  m ak es  an   in ter p r etat io n   er r o r .   I n   Fig u r e  9 b ,   s tu d en ts   also   m ak e  an   in ter p r etatio n   er r o r ,   wh ich   s h o u ld   b e   th e   co o r d in ate   p o i n t  wr itten   ( 7 , 1 )   n o t  ( 1 , 7 ) ,   as  well  as   f o r   o t h e r   co o r d in ate  p o in ts .   B ased   o n   t h e  an aly s is   o f   s tu d en ts '   an s we r s   in   tr an s latin g   f r o m   s y m b o li c  r ep r esen tatio n s   to   g r ap h ical  r e p r esen tatio n s ,   it  ap p ea r s   th at  s tu d en ts   ar e  s till   ex p er ien cin g   o b s tacle s   to   tr an s late  th e  eq u atio n   s y s tem   in to   g r ap h ical   f o r m .   Ma n y   s tu d e n ts   wh o   d r aw   th e  g r ap h   ar e   n o t   co m p lete  an d   s o m e  s tu d e n ts   d o   n o t   u n d er s tan d   well  ab o u t  h o w  to   m ak e  a  g r ap h ,   f o r   ex am p le,   s o m e  g r ap h s   ar e  in co m p lete  o r   th e  n am in g   o f   th e   ax is   is   s o m etim e s   r ev er s ed .   T h is   is   co n s is ten t  with   th e  o p in io n   o f   Hattik u d u r ,   et  a l.   [ 4 3 ]   wh ich   s tate d   th at  s tu d en ts   f in d   it  d if f icu lt  to   c o n s tr u ct  im ag es  b ec au s e  th e y   h av e  a  m is u n d er s tan d in g   a b o u t  g r ap h ics,  th is   d ef icien cy   m a y   ar is e  with   a  l ac k   o f   k n o wled g e  o f   c o n ce p t s   f r o m   o n e  r ep r esen tatio n   to   an o th er .   L ik ewise,   Mc C o y  [ 5 4 ]   n o tes th at  s tu d en ts   f ail  to   m ak e  s y m b o lically   eq u iv alen t r ep r esen tatio n s   co r r ec tly   in   r elatio n s h ip s   p r esen ted   in   tab u lar   o r   g r a p h ic al  f o r m ats.  I n   ad d itio n ,   Du n h a m ,   et  a l.   [ 5 5 ]   a n d   Kier an   [ 5 6 ]   f o u n d   th e  in ab ilit y   o f   s tu d e n ts   to   m ai n tain   s em an tic  co n g r u en ce   b etwe en   s o u r c e  an d   tar g et   r ep r esen tatio n s   in v o lv in g   tr an s latio n s   f r o m   an d   to   tab les,  v e r b al  d escr ip tio n s ,   an d   g r ap h ical  r e p r esen tatio n s ,   th is   b ei n g   a  f r eq u e n t  o cc u r r en ce   am o n g   s tu d en ts .   R esear ch   r esu lts   f r o m   Gü r b ü z   an d   Şah in   [ 4 6 ]   f o u n d   th at  th e   m o s t  d if f icu lt   tr an s latio n   f o r   s tu d en ts   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E v al  &   R es E d u c     I SS N:  2252 - 8 8 2 2       A s s es s in g   s tu d en ts ’   err o r s   in   ma th ema tica l tra n s la tio n :   F r o m  s ymb o lic  to   ve r b a l   and   …  ( N u r r a h ma w a ti )   123   was  to   tr an s late  v e r b al   r ep r es en tatio n s ,   tab les,  a n d   eq u atio n s   in to   g r ap h s .   Ho wev er ,   it  is   a  b it  d if f er e n t  f r o m   th e  r esu lts   o f   th e  r esear ch   b y   B o s s é ,   et  a l.   [ 5 0 ]   s tated   th at  g en er ally ,   s tu d en ts   ca n   tr an s late  f r o m   s y m b o lic  to   g r ap h ic  f o r m s .   I n   tr an s latin g   f r o m   s y m b o lic  f o r m   to   v er b al  f o r m   an d   g r ap h i c  f o r m ,   it  ca n   b e  s ee n   th at  s tu d en ts   s til l   h av e  d if f icu lty   in   tr a n s latin g   a  ce r tain   r ep r esen t atio n ,   s o   th at  th e  ab ilit y   o f   s tu d en ts   in   tr an s latin g   f r o m   o n e   r ep r esen tatio n   to   v ar io u s   o th er   f o r m s   o f   r ep r esen tatio n   is   n o t   s o   g o o d .   As  r ev ea led   b y   Min ar n i ,   et  a l.   [5 7]   th at   s tu d en ts '   u n d er s tan d in g   an d   r ep r esen tatio n   ab ilit y   is   s till   l o w.   Ain s wo r th   [ 9 ]   s tated   th at  th er e  is   s u f f icien t  ev id en ce   th at   s tu d en ts   f in d   it  d if f icu lt  to   tr a n s late  b etwe en   r ep r esen tatio n s .   So   th at   th is   is   ex p ec ted   to   b e  o f   co n ce r n   f o r   teac h e r s   to   p ay   a tten tio n   to   th e  tr an s latio n al  a b ilit ies  o f   s tu d en ts ,   esp ec ially   in   tr an s latin g   f r o m   s y m b o lic  r ep r esen tatio n s   to   v er b al  an d   g r a p h ic  r ep r esen tat io n s   o f   th e  s am e  co n ce p t.   I n   ad d itio n ,   teac h er s   n ee d   to   p ay   atten tio n   an d   m ak e  s u r e  th at  th e  s tu d en ts   co m p r eh en d   th e  c o n ce p t  s o   t h a t  th e  s tu d en ts   ca n   tr an s late  o n e  r ep r esen tatio n   t o   o th er   p r esen tatio n s   wh en   t h ey   ar e  ask ed   to   d o .   I n   o th e r   wo r d s ,   wh en   th e  co n ce p t  is   p er f ec tly   u n d er s tan d ab le,   th e  s tu d en ts   will  b e  ea s y   to   tr an s late  it  to   v ar io u s   r ep r esen tatio n s .   T h e   ef f ec t d o es n o t sto p   h er e ,   th is   s k ills   also   h elp   th e  s tu d en ts   to   s o lv e  r elate d   p r o b lem .   B ased   o n   th is ,   th e  teac h er   m u s t r ea lize  th e  im p o r tan ce   o f   d ev elo p in g   th e  tr an s latio n   s k ills   o f   s tu d en ts   in   m ath em atics   lear n in g ,   b ec a u s e  th e  ab ilit y   o f   s tu d en ts   to   tr an s late  b etwe en   r ep r esen tatio n s   h as  to   d o   with   h o w  th e  lear n i n g   p r o ce s s   is   ca r r ied   o u t  b y   t h e  teac h er .   T o   d ev elo p   t h e  tr an s latio n   s k ills   o f   th e  s tu d e n ts ,   th e   teac h er   m u s t  i n tr o d u ce   th e   u s e  o f   m u ltip le  r e p r esen tatio n s   in   th eir   lear n in g .   W h en   th e   teac h er   teac h es  in   m an y   way s   o r   m a n y   r ep r esen t atio n s ,   s tu d en ts   will  g et  k n o w led g e  o f   v ar io u s   r ep r esen tatio n s   in   t h eir   t h in k in g   [ 5 8 ] ,   s o   t h at  it  will  f ac ilit ate  s tu d en ts   to   tr an s late  b etwe en   r ep r esen tatio n s .   Ketter lin - Gell er ,   et   a l.   [ 5 9 ]   s tated   in   th eir   r esear ch   th at  u s in g   m u ltip le  r ep r esen tatio n s   h elp ed   s tu d en ts   to   im p r o v e   s tu d en ts '   tr an s latio n al  s k ills   in   alg eb r a.   Ain s wo r th ,   et  a l.   [ 2 6 ]   s tated   th at  o n e  o f   th e  task s   f o r   lear n in g   with   m u ltip le  r ep r esen tatio n s   is   th at   s tu d en ts   s u cc ee d   in   tr an s latin g   b etwe en   r ep r esen tatio n s .   T h er ef o r e ,   lear n in g   n ee d s   to   b e  g iv en   in v o l v in g   v ar io u s   r e p r esen tatio n s .   NC T M   [ 2 ]   ar g u es   th at  o n e  o f   th e  m o s t  ef f ec tiv e  t h in g s   i n   s ec o n d a r y   s ch o o l   m ath em atics  teac h in g   is   to   u s e  m u ltip le  r ep r esen tatio n s   an d   to   g u i d e  s tu d en ts   in   tr an s latin g   b etwe e n   r ep r esen tatio n s .   T h e  f in d in g s   in   t h is   s tu d y   ar e   ex p ec ted   to   b e  a   co n s id er atio n   f o r   teac h er s   in   d ev elo p in g   lea r n in g   t h at  ca n   im p r o v e  s tu d e n ts '   ab ilit y   to   tr an s late  b etwe en   r ep r esen ta tio n s ,   in   ac co r d an ce   with   th e  r esu lts   o f   th is   s tu d y   wh ich   ar e  r elate d   to   tr an s latin g   f r o m   s y m b o lic  r ep r esen tatio n s   o f   v er b al  an d   g r ap h i c  r ep r esen tatio n s .   Fu r th er m o r e ,   th e  au th o r s   h o p e  th at  th e  cu r r icu lu m   ca n   d e v elo p   an d   ass is t  s tu d en ts   in   g ain in g   s k ills   an d   k n o wled g e   ab o u t  r ep r esen ta tio n   tr an s latio n   in   t h e  f u t u r e.   Mo r eo v er ,   well - estab lis h ed   p lan n i n g   an d   co o r d in atio n   o f   teac h e r   ed u c atio n   an d   m ath em atics  co u r s es  f o r   teac h e r s   at  th e   ter tiar y   lev el  ar e   th e  n ex t  im p o r tan t  s tep s   th at  n ee d   t o   b e  tak en   to   d is cu s s   r ep r esen tati o n   tr an s latio n   co m p r eh en s iv el y .   As  r ev ea led   b y   Mo r r is   [ 6 0 ]   th at  th e  s k ills   to   an aly ze   s tu d en t le ar n in g ,   in clu d in g   an aly s is   o f   th e  u s e  o f   s tu d en t r ep r esen tatio n s ,   m u s t b e  tau g h t e x p licitly   to   th e  teac h er .       4.   CO NCLU SI O N    I n   tr an s latin g   f r o m   s y m b o lic  r ep r esen tatio n s   to   v er b al  r ep r esen tatio n s ,   th er e  ar e  s o m e  er r o r s   m ad e   b y   s tu d en ts ,   n am ely   p r o b lem   s itu atio n s   m ad e  b y   s tu d en ts   illo g ically ,   p r o b lem   s itu atio n s   m ad e  b y   s tu d en ts   ar e   lo g ical  b u t  n o t  f o llo win g   th e   s y s tem   o f   eq u atio n s   p r esen ted ,   p r o b lem   s itu atio n s   m ad e  b y   s tu d en ts   ar e  n o t   th er e  is   r elatio n   to   th e  e q u ati o n   s y s tem   p r esen ted ,   an d   th e   last   is   th e  p r o b lem   s itu atio n   p r esen ted   d o es  n o t   d escr ib e  th e  co n ce p t  o f   th e  g iv en   eq u atio n   s y s tem .   B ased   o n   th is ,   s tu d en ts   h av e  n o t  b e en   ab le  to   m ain tain   s em an tic  co n g r u e n ce   b etwe e n   s y m b o lic  an d   v er b al  r ep r es en tatio n s .   L ik ewise,   in   tr an s latin g   in to   g r a p h ical   f o r m ,   er r o r s   ar e  m a d e  b y   s tu d en ts   o f   im p lem en tatio n   e r r o r s   an d   in ter p r etatio n   er r o r s .   Stu d en ts   also   h av e  n o t   b ee n   ab le  t o   co m p letely   m ain tain   th e  s u itab ilit y   o f   m ea n in g   in   d escr ib in g   th e  g r ap h s   o f   t h e  g iv en   s y s tem   o f   eq u atio n s .   B esid es,  s tu d en ts '  lack   o f   u n d er s tan d i n g   o f   c o n ce p ts   in v o lv in g   v ar io u s   r ep r esen tatio n s   also   b ec o m es  a  co n s tr ain t  f ac to r   i n   tr an s latin g   r ep r esen tatio n s ,   b ec au s e  s tu d en ts   ar e  n o t  ac cu s to m ed   to   b ein g   in tr o d u ce d   to   th e  u s e  o f   v ar i o u s   r ep r esen tatio n s   i n   m ath e m atics  lear n in g .   T h er ef o r e,   ef f o r t   is   n ee d ed ,   s o   t h at  s tu d en ts   ca n   d ev elo p   tr an s lati o n al  s k ills   in   class r o o m   lear n in g   p r ac tice  b o th   wh e n   u n d e r s tan d in g   co n ce p ts   an d   s o lv in g   p r o b lem s .       ACK NO WL E DG E M E NT S    T h is   wo r k   was su p p o r ted   b y   th e  B ea s is w a   Un g g u la n   Do s en   I n d o n esia - Da l a m  N eg eri   ( B U DI - DN)   in   co llab o r atio n   with   Lemb a g a   P en g elo la   Da n a   P e n d id ika n   ( L PDP).         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 8 2 2   I n t   J   E v al  &   R es E d u c ,   Vo l .   10 ,   No .   1 ,  Ma r ch   202 1 :   1 1 5   -   1 2 5   124   RE F E R E NC E S   [1 ]   B.   L.   Ch a n g ,   J.  G .   Cro m ley ,   a n d   N.  Tran ,   “ Co o r d i n a ti n g   M u lt ip le Rep re se n tatio n s i n   a   Re fo rm   Ca lcu lu s T e x tb o o k , ”   In t.   J .   S c i.   M a t h .   Ed u c . ,   v o l.   1 4 ,   n o .   8 ,   p p .   1 4 7 5 - 1 4 9 7 ,   2 0 1 6 .   [2 ]   NCTM ,   Prin c i p le a n d   S t a n d a r d s  fo r S c h o o l  M a th e m a ti c s .   Re sto n ,   Va ,   2 0 0 0 .   [3 ]   J.  Oliv e   a n d   G .   Ca g lay a n ,   “ Lea r n e rs’  Difficu lt ies   with   Qu a n ti tati v e   Un it s  In   Al g e b ra ic  Wo r d   P r o b lem   a n d   Th e   Tea c h e r’s In terp re tatio n   o f  Th o se   Difficu lt ies , ”   In t.   J .   S c i.   M a t h .   E d u c . ,  v o l.   6 ,   n o .   2 ,   p p .   2 6 9 - 2 9 2 ,   2 0 0 8 .   [4 ]   D.  A.  S ty l ian o u ,   “ Tea c h e rs’  c o n c e p ti o n s  o f  re p re se n tati o n   i n   m id d le  sc h o o l  m a th e m a ti c s,”   J o u rn a l  o f  M a th e ma ti c s  E d u c a ti o n ,  v o l .   1 3 ,   n o .   4 ,   p p .   3 2 5 - 3 4 3 ,   2 0 1 0 .   [5 ]   L.   Zh e ,   “ S u r v e y   o f  P rima ry   S tu d e n ts  ’  M a th e m a ti c a l  Re p re se n tatio n   S tat u s  a n d   S t u d y   o n   th e   Tea c h in g   M o d e l  o f   M a th e m a ti c a l  Re p re se n tatio n , ”   J o u rn a l   o f   M a th e ma t ics   E d u c a ti o n ,   v o l.   5 ,   n o .   1 ,   p p .   6 3 - 7 6 ,   2 0 1 2 .   [6 ]   M .   Br o wn ,   M .   J.   B o ss é ,   a n d   K.   Ch a n d ler,   “ S t u d e n t  e rr o rs  i n   d y n a m ic  m a th e m a ti c a l  e n v iro n m e n ts,”  In t .   J .   M a t h .   T e a c h .   L e a rn . ,   v o l.   1 7 ,   n o .   1 ,   p p .   1 - 2 7 ,   2 0 1 6 .   [7 ]   I.   S .   P u tra,   M .   M a sriy a h ,   a n d   R.   S u laim a n ,   “ S tu d e n ts’  Tran sl a ti o n   Ab il i ty   o f   M a t h e m a ti c a l  Re p re se n tatio n s   (S y m b o li c   a n d   Visu a l)  Ba se d   o n   Th e ir  Lea rn i n g   S ty les , ”   J .   Ph y s.  Co n f.   S e r.,   v o l.   1 1 0 8 ,   n o .   1 ,   2 0 1 8 .   [8 ]   F .   Ul u so y   a n d   Z.   Ar g u n ,   “ S e c o n d a ry   sc h o o l   stu d e n ts’  re p re se n tatio n s  f o r   so l v in g   g e o m e tri c   wo rd   p ro b lem s  i n   d iffere n t  c li n ica l  i n terv iew s,”   In t e rn a ti o n a l  J o u rn a l  o f  Ed u c a ti o n   in   M a th e ma t ics ,   S c ien c e   a n d   T e c h n o lo g y ,   v o l.   7 ,   n o .   1 ,   p p .   7 3 - 9 2 ,   2 0 1 9 .   [9 ]   S .   E.   Ain s wro t h ,   “ De sig n in g   Eff e c ti v e   m u lt i - re p re se n tati o n a l  Lea rn in g   E n v ir o n m e n ts,”  P h D  T h e si s  a n d   tec h n ica l   re p o rt  n u m b e r  4 7 ,   ES RC Ce n t.   R e s.  De v .   In str.   Train .   Un i v .   No tt in g h a m ,   1 9 9 9 .   [1 0 ]   C.   Blak e   a n d   E.   S c a n lo n ,   “ Re c o n sid e rin g   sim u lati o n s  i n   sc ien c e   e d u c a ti o n   a t  a   d istan c e :  F e a tu re s  o f  e ffe c ti v e   u se , ”   J o u rn a l  o f  Co m p u ter   Assiste d   L e a rn in g . ,   v o l.   2 3 ,   n o .   6 ,   p p .   4 9 1 - 5 0 2 ,   2 0 0 7 .   [1 1 ]   W.   Y.  Hw a n g ,   N.  S .   Ch e n ,   J.  J.  Du n g ,   a n d   Y.  L.   Ya n g ,   “ M u lt ip l e   Re p re se n tatio n   S k i ll s  a n d   Cre a ti v it y   Ef fe c ts  o n   M a th e m a ti c a l  P ro b lem   S o lv in g   u sin g   a   M u lt ime d ia  W h it e b o a rd   S y ste m , ”   J o u rn a l  o f  E d u c a ti o n a l   T e c h n o lo g y   &   S o c iety ,   v o l.   1 0 ,   n o .   2 ,   p p .   1 9 1 - 2 1 2 ,   2 0 0 7 .   [1 2 ]   S .   In a y a h ,   “ Im p ro v e d   p ro b lem   so lv i n g   sk il ls  a n d   m a th e m a ti c a l  m u lt ip le  re p re se n tatio n s  u sin g   a   q u a n tu m   lea rn in g   m o d e l   (in   Ba h a sa ) , ”   KAL AM AT I KA  J .   Pen d id ik.   M a t. ,   v o l.   3 ,   n o .   1 ,   p p .   1 – 1 6 ,   2 0 1 8 .   [1 3 ]   R.   Les h ,   T.   P o st,  a n d   M .   Be h r,   “ Re p re se n tatio n s  a n d   Tran sla ti o n s  a m o n g   Re p re se n tati o n s  in   M a th e m a ti c s  Lea rn in g   a n d   P r o b lem   S o lv in g , ”   1 9 8 7 .   [O n li n e ].   Av a il a b le:  h tt p : // ww w.ce h d . u m n . e d u /ci/rati o n a l n u m b e rp r o jec t/ 8 7 _ 5 . h tml.   [1 4 ]   Y.  H.  Li n ,   M .   Wi lso n ,   a n d   C.   L.   Ch e n g ,   “ An   i n v e sti g a ti o n   o f  t h e   n a tu re   o f  t h e   in fl u e n c e s  o f  it e m   ste m   a n d   o p ti o n   re p re se n tatio n   o n   st u d e n t   re sp o n s e s  to   a   m a th e m a ti c s  tes t, ”   E u ro p e a n   J o u r n a l   o f   Psy c h o l o g y   o f   Ed u c a ti o n ,   v o l .   2 8 ,   n o .   4 ,   p p .   1 1 4 1 - 1 1 6 1 ,   2 0 1 3 .   [1 5 ]   D.  A.  S t y li a n o u ,   “ An   e x a m in a t i o n   o f  m id d le  sc h o o l   stu d e n t’  re p re se n tatio n   p ra c ti c e s  in   m a th e m a ti c a l  p ro b lem   so lv i n g   th r o u g h   th e   len s  o f  e x p e rt  wo rk :  T o wa rd s  a n   o r g a n izin g   sc h e m e , ”   Ed u c a ti o n a l  S tu d ies   i n   M a th e ma ti c s ,    v o l.   7 6 ,   p p .   2 6 5 - 2 8 0 ,   2 0 1 1 .   [1 6 ]   D.  J.  Wi t h in   a n d   P .   Wh it in ,   “ M a k in g   S e n se   o f  F ra c ti o n s  a n d   P e rc e n tag e s,”   T e a c h .   C h il d .   M a t h . ,   v o l .   1 8 ,   n o .   8 ,     p p .   4 9 0 - 4 9 6 ,   2 0 1 2 .   [1 7 ]   Niz a ru d d i n ,   M u h taro m ,   a n d   Y.   H.  M u rti a n t o ,   “ Ex p lo ri n g   o f   M u lt i   M a th e m a ti c a l  Re p re se n tatio n   Ca p a b il it y   i n   P ro b lem   S o l v in g   o n   S e n io r   Hig h   S c h o o l  S t u d e n ts,”  Pro b l.   Ed u c .   2 1   Ce n t u ry ,   v o l.   7 5 ,   n o .   6 ,   p p .   5 9 1 – 5 9 8 ,   2 0 1 7 .   [1 8 ]   R.   Ka n g   a n d   D.   Li u ,   “ Th e   Im p o rtan c e   o f   M u lt i p le  Re p re se n tati o n s  o f  M a th e m a ti c a l  P r o b lem s:  Ev id e n c e   fro m   Ch in e se   P re se rv ice   El e m e n tary   Tea c h e rs’  An a ly sis  o f   a   Lea rn in g   G o a l, ”   In t.   J .   S c i.   M a th .   E d u c . ,   v o l.   1 6 ,   n o .   1 ,     p p .   1 2 5 - 1 4 3 ,   2 0 1 8 .   [1 9 ]   Z.   P e h li v a n   a n d   F .   As lan - t u tak ,   “ A  Lo o k   in to   Tu r k ish   P re se rv ice   Tea c h e rs’  Tran sla ti o n   S k il ls :  Ca se   fo r  M o d e l   Re p re se n tatio n s,”   El e v e n t h   Co n g re ss   o f  th e   E u ro p e a n   S o c iety   f o r  Res e a rc h   in   M a t h e ma ti c s  E d u c a ti o n ,   Utre c h t   Un iv e rsity ,   Utre c h t ,   F e b .   2 0 1 9 .   [2 0 ]   S .   Ain sw o r th ,   “ Th e   fu n c ti o n s  o f  m u lt ip le rep re se n tatio n s,”   C o mp u t.   Ed u c . ,   v o l .   3 3 ,   n o .   2 - 3 ,   p p .   1 3 1 - 1 5 2 ,   1 9 9 9 .   [2 1 ]   K.  Ad u - G y a m fi,   L.   V.   S ti ff,   a n d   M .   J.   B o ss é ,   “ Lo st   i n   Tran sla ti o n :  E x a m in in g   Tran sla ti o n   Err o rs   As so c iate d   w it h   M a th e m a ti c a l  Re p re se n tatio n s,”   S c h .   S c i.   M a th . ,   v o l.   1 1 2 ,   n o .   3 ,   p p .   1 5 9 - 1 7 0 ,   2 0 1 2 .   [2 2 ]   M .   J.  Bo ss é ,   K.  Ad u - G y a m fi,   a n d   M .   Ch e e th a m ,   “ Tran sla ti o n s  Am o n g   M a t h e m a ti c a l  Re p re s e n tatio n s:  Tea c h e rs   Be li e fs an d   P ra c ti c e s,”   In t.   J .   M a t h .   T e a c h .   L e a rn . ,   v o l.   1 5 ,   n o .   6 ,   p p .   1 - 2 3 ,   2 0 1 1 .   [2 3 ]   M .   Bo ss é ,   K.  Ad u - G y a m fi,   a n d   K.  Ch a n d ler,  “ S t u d e n ts’  Diffe re n t iate d   Tran sla ti o n   P ro c e ss e s,”   In t.   J .   M a t h .   T e a c h .   L e a rn . ,   n o .   8 2 8 ,   M a r.   2 0 1 4 .   [2 4 ]   A.  Ga g a tsi s a n d   M .   S h iak a ll i,   “ Ab il it y   to   tran sla te fro m   o n e   re p re se n tatio n   o f  th e   c o n c e p t  o f  fu n c ti o n   to   a n o th e r  a n d   m a th e m a ti c a l  p ro b lem   so l v in g , ”   Ed u c .   Psy c h o l. ,   v o l.   2 4 ,   n o .   5 ,   p p .   6 4 5 - 6 5 7 ,   2 0 0 4 .   [2 5 ]   F .   Oz y il d iri m ,   S .   Ip e k ,   a n d   O.   Ak k u s,  “ S e v e n t h   G ra d e   S tu d e n t’s  Tra n sla ti o n a l  S k il ls   a m o n g   M a th e m a ti c a l   Re p re se n tatio n s,”   I n t.   J .   L e a rn . ,   v o l.   1 6 ,   n o .   3 ,   p p .   1 9 7 - 2 0 6 ,   2 0 0 9 .   [2 6 ]   S .   Ain sw o rt h ,   P .   Bib b y ,   a n d   D.  Wo o d ,   “ Wh a t  We L e a rn   W h e n   W e   En g a g e   in   De sig n , ”   J .   L e a r n .   S c i. ,   v o l.   1 1 ,   n o .   1 ,   p p .   2 5 - 6 1 ,   2 0 0 2 .   [2 7 ]   F .   Ka ra   a n d   L.   I n c ik a b i,   “ S i x th   g ra d e   stu d e n ts’  sk il ls  o f   u si n g   m u l ti p le  re p re se n tati o n s  i n   a d d it io n   a n d   s u b trac ti o n   o p e ra ti o n s  in   fra c ti o n s , ”   In t.   El e c t ro n .   J .   El e m.  E d u c . ,   v o l.   1 0 ,   n o .   4 ,   p p .   4 6 3 - 4 7 4 ,   2 0 1 8 .   [2 8 ]   R.   M .   P a n a su k ,   “ Tax o n o m y   f o r  a ss e ss in g   c o n c e p tu a l   u n d e rsta n d i n g   i n   Al g e b ra   u sin g   m u lt i p le  re p re se n tatio n s,”   Co ll e g e   S tu d e n t  J o u rn a l ,   v o l.   4 5 ,   n o .   2 ,   p p .   2 1 9 - 2 3 2 ,   2 0 1 1 .   [2 9 ]   R.   M .   P a n a su k   a n d   M .   L.   Be y ra n e v a n d ,   “ Alg e b ra   S tu d e n ts’  A b il it y   t o   Re c o g n ize   M u lt i p le  Re p re se n tatio n s  a n d   Ac h iev e m e n t, ”   In t.   J .   M a th .   T e a c h .   L e a r n . ,   2 0 1 0 .   [3 0 ]   D.  Ra h m a wa ti ,   P .   P u rwa n to ,   S .   S u b a n j i,   E.   Hi d a y a n to ,   a n d   R .   B.   An wa r,   “ P ro c e ss   o f  m a th e m a ti c a l  re p re se n tatio n  tran sla ti o n   fro m   v e rb a l  i n to   g ra p h ic,”  In t.   E lec tro n .   J .   M a th .   E d u c . ,   v o l.   1 2 ,   n o .   4 ,   p p .   3 6 7 - 3 8 1 ,   2 0 1 7 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.