In te r n ation a l Jou rn al  o f E v al u a t i on   a n d   R e se arc h  in   Ed u c ation   ( IJERE )   V o l.  8 , N o. 1, Mar c h  201 9,  pp.  29~3 8   ISSN : 2252- 88 22,  D O I :   10.11 59 1 /ijer e . v8i 1. 162 90      29     Jou rn a l  h o me pa ge :  ht tp: //i a e score . com / j o u r na l s / i n d e x . p hp/IJ ERE   Misconc e ptions of prim ary sc ho ol students about the subject   of fr a ctions       Ya s e mi n  Deri n g ö l   D e partm e n t  o f El em entary  Ed u cat ion , I s t anbul U n i versity-Cerra hp aş a,   T u r key      Art i cl e In fo     ABSTRACT    A r tic le hist o r y :   Re ce i v e d  N ov  7,  201 8   Re vise d Jan  4,  201 9   Ac ce p t ed  J an  18 ,  2 0 19      Th is   s t u d y   w as  c o ndu cted   w i t h  th e   aim   of  i n v estig ati ng  th e  curr ent   kn ow ledg e  of  P ri mary   T eachers   and   Prim ary  Pre-serv ice  Teac h e rs  on   t he   m i s c on c e p t i o n s   o f   prim ary  s c ho ol   s t u d e nts  ab ou t  t h e  s u b j ect   o f   fr act ions.  The  qualitative  resear ch  m ethod  of   c ase  study  was   used  t o  conduct  t he  r esear ch .   Th e  dat a   w er e  c o l l ected   w ith   s em i-s t ru c t u r ed  f o r m s   t h a t  were  d e vel o p e d  b y   th e  research er  t o   coll ect  t he  v iews   o f   P r im ary  Teach ers  and   P r i m a ry  P re- serv ice  T eacher s  on  th e  to p i c.  T he  p artic i p an ts  s t a ted   th at,  re gardi n g   th e   subj ect  o f   f r actions,  primary  sc hool  st udent s  had  diff i c ulties  the  most  i n  repres enti ng   f racti ons   b y  m odels ,   t h e  co ncept s   o f   den o mi nato r  a nd   nu m e rator,   w hen   t h ey   n eed   t o  rank   fract io ns,   when   t h e y  ne ed   t o  so lve   pro b l e ms,   reading  and   w r itin g  co n c e p ts   t ha t   ex pres s  f r a c t i o n s ,   d i s t in gu is h i n g   ty pes   of  f racti o n s   –   c o n v e rti n g   th ese,  s h o win g   a   g i v en   f racti o n   o n  nu mb er  li nes and   op erations  on   f r acti o n s ,  and  th ey h ad miscon cept i o n s  ab out the s e.   K eyw ord s :   Fr actio n   Mi scon cep tio n    P r i m a r y scho ol  stu den t   Ma them at ics    Teacher s     Co pyri gh t © 2 019 In stit u t e  of Advanced  En gi neeri n g  an d   Scien ce.    All  rights   res e rv ed.  Corres pon d i n g  Au th or:   Y a se min D e ringö l,   Dep a rtm e nt of Elem en tary Ed u cati on,   Ist a nbul   Un i v ersit y -Cerrahpaşa ,  Be yaz ıt,  I stanb u l,  T urke y.   Em ail:  dya sem i n @ ista n b u l .e du. tr       1.   I N TR OD U C TI O N   Instruc t io n  t h a t   i s  s u it a b l e   f or   t he  s truc t u r e   o f  m a them a t ics  s h o u l d   h av e   the  pur pose   of  h e l pin g   stude n t s  un d e r s ta nd   m athe ma tic s-r e late d  c o nce p t s   a n d   o p e rati ons   a nd   e sta b l i s h   lin ks  a mong   o pera ti ons   [ 1] .  Conc e p tua l   c o m prehe n sio n   i s   hav i ng  k now l e dge   r e l a t e d   t o   ba sic   i de as  a n d   r e l a tio nsh i ps  r egar ding  a   subje c t .  O p er atio na l  c o m p re he nsio n   is   t he  s ymb o l i sm  t ha t  is   u se d  w h i l e  p erformin g  ma t h em atic al   ope rati ons.  Conc e p tua l   c o m prehe n s i o n   i s  a n   i m p orta nt  c om po ne nt  o f  opera ti o n al  c a p ab i l i t y  in  l ea rni n g  m a t h e m a tic s  [ 2 ].   The  gener a l  o b jec t iv es  o f  th e  Turk ish  Ma t h em atic s  Curri cul u m   i n c l u d e  st ude n t s’  c apa b i l itie s  t o   u n d e r stan d   ma them at i c al c once p ts, use d  the se c once p ts in t h e i r  da i l y l i ves   a n d   exp r es s  c o nc ept s   w it h   th ei r  di ffe rent   w ays  of  r epre se n t a t ion  [3].  H ow ever ,  studen t s  ca nn ot  a lw ay s  fo rm   c or re ct  c on c e pt s,   a nd  un f o rt una te ly,  t h e y   k e e p   inc o rre ct  c onc ept s   t hrou g hou t  t h eir  li ves.   S om e  of  t hese  m isco n ce p tio n s   a r e   uni qu e  t o   s tu de nts,  w hi l e   s om e  a r e  c a u s ed   by  t h e  i n st ru ct ion   met h o d s  u s ed   b y   t e ach e r s.  T e a c h e r s  sho u l d   f irst  b e   awa r e  that  t he y   lea d   t o   misco n c e p t ion s   i n  t h e i r st ude nt s a n d  als o  k n o w   t h e   re ason s   of  t h e se  m isc o nce p tio ns [ 4].  Whe n   s t ude n t s  lear n   a   m a t h em atics-r e late d   subj e c t   i n c o rr ectl y   o r   i n co m p lete l y ,  t h e y   e x p erie nc e   pro b lem s   a n d   the s e  pr ob le m s   a r e   r e f lec t e d   i n  t h e i r   fu ture  e duca t i o n   live s ,   an d  if  t he se   i ss ue s  a r e  not   overc ome ,   i ncom ple t e  or   i nc orre ct  l ea rn in gs  t urn  i n t o   m isc once p ti o n s  [5 ].   A   m isc once p t i on  is  ‘ a  pro duc t  o f   inc o m p le t e   c o m prehe n s i o n ,   and  in  m os t  ca se s,  it  is  a n  inc o rre ct   a p p l i cati o n  o f   a   r ul e   or  a   m athe m a tica l   gene ra liza t io n.’  The   be st  c l u e s   t o  u n d e r s ta nd   w he the r   s om eth i ng   i s  a  mi sco n cept i o n   o r   o n l y  a   mi st ak e  a r e   t h e  fre que nc y  a n d   con s is t e ncy   o f   t he   m i s tak e   ( S poone r,  2 0 0 2 ,   cite d  i n   [ 6 ]).  I t   i s   und e r sto o d   t h at   t h e   u nderl yi ng  rea s ons  f or  m i s c o n c ep t i o n s  are   not  h a v i ng  lear ne d  conce p t  k now l e d ge  a n d   m athem a tica l   o pera t i o n   kn ow le d g e  t o   a n  e x te n t   t ha t  t h e y   w o u l d  c o mplem e n t   e a c h   othe r,  s tud e n t s’   i nab i lit y  to  a cqu i re  k n o w l e dge  a nd  sk i l ls  r e l a t e d   t o  pr ob lem - sol v in g  t o   t he  r equ i re d  de gre e ,  and  s h o rtc o m i n g s  of  s t u den t s  s u ch  a s  usi ng  t h e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
          IS S N : 225 2- 882 2   Int.  J .   Eval. & R es. Educ.  Vol.  8, No. 1, March  2 019 :   29  - 3 8  30 inc o rre ct  r u l e s   a n d   p er form i ng  o p er at ions   car elessl y  [7] .   M isco nc e p t i on s  lea d   s tude nts   to  d eve l op   n e g at i v e   att itu des  tow a rds m a the m a tic s  [8].  F r actio ns  a nd   oper a ti ons  w it h  fr ac ti o n s  are   am on g  the  t o p  s u b j e c t s  i n   m a t hem a t i c s   b eca use  of  b o t h  t h ei r  st ru ct u r e   an d  t h e i r  re l a ti ons h i p  w i t h   o t h e r   s u b j ect s  [9 ].   T he  s u b j ect   o f  frac t i ons   i s  hi g h l y   i m p orta nt   d ue   t o   i t s   r e l at ionshi p s   t o   s ubj ect s   l i k e   rat i ona l   n u m b e r s ,   r a t io   a nd   p ropo rti o n ,   d e c i m al s,  p e r c e n t ag e s   a nd  pro b ab i lit y  [1 0 ] ,   [11].   F r a c tio ns,   w h ic h  c o n s t i t u te  one   o f  t h e   har d est   t o pi c s   f or  s t u de nts  a nd  te ac he rs,  ar e   am ong   d iff i c u lt  m a t h em ati cal   c o n c e p t s  c h il d r e n   e nc ou n t er  i n  pr i m a r y   s c h ool   [ 11]- [ 21].  O n e   m a i n   r e a so n   t h a t   stude n t s  fin d   f ra ctio n  o p er ati ons  d ifficu l t   i s  tha t   t he y   m e m o ri ze   f o r m u lae  and  a l gor it hms  in st e a d  o f   un dersta n d i n g  frac tio ns,   whi l e  ano t her   is  t ha t  t h ey  p er cei v e   t h e  de n o m i n a tor  an d  t h e  n u m e r ator  i n  frac tio n  as  tw o  se par a te   i nte g ers  [2 2].  Ea ch  p iec e   o f   i n f orm a ti o n   i n   ma t h e m a t ic s  g e n e ra lly  h a v e   t h r e e   d i f f er en t  w a ys  o f  expre ssi on  as   v e r ba l,  num e r ica l   a nd  v i su a l .   The   a b il it y  o f   s t u d e n ts   t o  m a k e   t ra ns iti ons  a m o n g   t hese   expre ssi ons  d e p en ds  on  the i r   leve l  o f   c om p r ehe n s i o n .   F r actio ns  ha ve  f o u r   di ffere n t   w a ys  o f  ex pr ess i o n   a s  verba l ,  sym b ol i c ,  o b j e c t ive   an d  m o del.  I t i s  i mporta n t   i n   t h e   s ub j ect   o f   f r a c t i on s   an d  op e r a t i o n s   w i t h   f r ac ti on s  t h at   s tud e nt s  a r e   a b l e  t o  mak e  s t r on g  c onn e c t i o n s   a mo ng  t h e se   e x p re ssi o ns. In  t h i s  se nse ,  it ma y be s ta ted   t h a t   there   ar e se rious pro blem s i n  the  t ra nsi t i on b e tw een  v i s ua l   exp re ssi on a n d   the  othe r w a ys of  expre ssio n  [9].   In  T urke y,   t he   s ub j e c t   o f  frac t i o ns  i s  intro duc e d   b e g inn i ng  w i t h  the   f i r s t   yea r s  o f   p ri m a ry  s choo l .   The  P r im ary  S c ho o l   M at hem a tic s  Curric u l u m  cons ists  o f  four  l ea r n i n g   f i e ld s  as  ‘ N u mb er s  and  O p e r at io ns’ ,   ‘G e o me t r y’,  ‘Mea sur e m e nt’  a n d  ‘D a t a   P r oce s s i n g ’.   W h ile   a ll  fie l d s   o f  le arn i n g   a re   i nc lu de d  in  a ll   c lass   leve ls,  some   s ub-f i e l d s   a re   i ntr o d u ce d  a f te r  a  ce r t a i n  gra d e.  I n  the  pr im ar y  schoo l  ma t h e m a tic s  cur r icu l u m   (1 st -4 th   g ra des),   the  su b j e c t   o f  frac t i o ns  i s di s c usse d  u nder   t h e  fr act io ns  s u b -fie l d   w ith in the   f ie ld  o f  ‘N um bers  a n d  Op era t i ons ’.  T h e   s ub j ect  o f   fra ct io n s   i s  d i st ri but ed   a lon g   t h e  gra d es  a s  t h e  fo l l owi n g:   r ais i n g   a wa rene ss   on   w h o l e   a n d   h al f  fr act io ns  i n  the   1s t  grade ;   i n t ro d u ci n g   t he   r ela t io ns hip s   o f  t h e  w h o l e  a nd  t h e   ha l f   w i t h   t h e   quar t e r   g ra de  a nd  i n tr od uc ti on  t o   d i v i s i o n   (grou p i ng,   d i v i d i n g  int o   p ie ces)   in  t he  2 nd   g rade ;   intr o duc in g   f r ac t i on -re l a t e d   t e rms  by   e mp h a si z i n g   th e   wh ol e-pi ec e  re l a tio ns hi p  a nd  r e inforc in g  t h e   un de rst a n d in g   on  t h e  rela tio ns hip  be tw e e n  t h e   n u m e r a tor  an d  t h e   de n o mi nat o r  b y   d i s c u ss i ng  t h e  c o n c ep t  of  u ni t  frac t i o n s  in  t he   3 rd   grade ;   d e f i n in g / u s in g  pro p er ,  com p o u nd  a n d   m i xed  fra c t i o n s,   p e r form in g   a d d i t i on  a nd  sub t ra ct ion  oper a tio ns   o n   f r ac t i o n s   a n d   s ol vin g   s u i t a bl e   p r o b l e ms  [ 3 ] .  Al t h o ugh  t h e s e   a r e  no t   in  t he   p r i m a r y   s c h o o l   c u rricul u m ,   stude n t s  ar e  expe c t e d   t o  u n d e r st a nd  c o mp ou n d   a n d   m i x e d   f ra ct ion s  an d   co nv ert   th ese  t o   e a c h   othe r,  r a n k   fra c ti o n s,   p e rform   a dd iti o n   a nd   s u b t ra ct ion  opera t i o n s  w i t h   t he se   f ract i o n s ,  ma k e   s en se   o f  th e s e  op e r at ion s ,  and  at t he  s am e tim e,  s ol ve  p rob l em s.  S e vera l   stu d ie s   ha ve  r ep orte d  t h at   s t u den t s  have   d ifficu l t y   i n   lea r ni ng  the   c o ncep t  of   f r acti o ns  a n d   fra c ti o n -rela t e d  o p e r at i ons  [ 1 4 ] ,   [ 17],   [18] ,  [23]- [ 32].  A s   s tu de nts  th in k  t h e   c h ara c ter i s t ic s  of  frac tio ns  a re  t h e   sa me   a s  tho s e  o f   o th er  n u m be rs,  t h ey  t ry   t o  app l y  t h e  sa m e   r u l e ,   a n d   t h i s  l e a d s   t o  t h e  d e v e l o p m e n t   o f   t h e i r   mi sc on ce pti o ns  [ 3 3 ] ,  [ 3 4 ] .  In   t h e   p ri ma ry   s c h ool   m a t h e ma ti c s   c u rric u l u m ,   f r acti ons  a re  a fter  t he  i nt r o du c tio n  o f   i nt eg ers.  H o w e v er,  f r a c t io n s   h a v e  d i f f eren t   c h ara c t e ris t i c s.   W hile  o pera tio ns  w ith   f ra ction s   c o n c e p tua l l y   rese mble  t h o se   w it h  i n t e gers,  the y   a re   d iffe re nt  t o  in te ger   ope rat i o n s  d u e   t o   t he i r   num ber s   o f  opera t i ona l   st e p s.  T e ach i n g  fra c t i ons  i n  m a them at ics  c l asses  re q u i r es  c a r e  a nd  at t e ntio n  bec a u se  o f  the i r   c o m p le x i t y   a n d   conc e p tua l   r ic hne ss.  U nderst a nd i n g   fr act i o ns  a nd  re l a te d  conc e p ts  w el l  in  p rima ry  s c h oo l  a n d  ga i n in g  s k i l l s   of  p erf o rm i n g  opera t i o n s  w i t h   f ra c t i o ns  f a s t  b y   unde rsta n d i n g   t hem   w i l l   n o t   o nl y  m a ke   t h i s  e n j oya b l e   sub j ec t  of  m a t hem a ti c s   m ea ni n g f u l  for  stu d e n ts  a nd   c on trib u t e  to  t heir  succe s s   i n   usi ng  fra c tio n s   i n  o t her  cla s s e s,   but   it   w i l l  o n l y   s e t  a  s olid  p r e l i mi nar y  lea rn i n g  b a sis for  adva nc e d   mat h emati c s   su bj ec ts [ 35 ].   A n o t her  rea s on  for  m i sc o n c e pt i ons  i n  st u d e n t s   i s  the   ins t ruct io na l  a ppr oac h   o f  the i r  t e a c he rs  [ 3 6 ],  [3 7].   M o re over ,   k n o w i ng   a b out  the   m isco nc ept i on s of stu d e nts i s  very impor ta nt a ls o for   tea c h er s to   d i v ersify  and  use  the i r   ins t ruc t i o n   tec h ni q u es  [ 3 8 ] .   A s  a   re sul t   o f  t h e  i n t er vie w s  t h e y   h el d  wi t h   t e ache r s  an d  s t u d en ts,   [3 9] repor t e d   t w o r easo n s f o r the   ver y  l ow  a c c e s si bi lit y le ve ls  o f t h e t a rg e t ed  o ut co me s  in t h e   f ra ct ion s  un i t   a s   the  m i sc o n ce p t i o ns  o f  t h e  st ude n t s  a nd  t h e  lea r ni n g -tea c h i ng  pr o c ess   th a t   i s  ca rri ed   o ut   b y   th e   t e ach e r s  wi t h out   t akin g   t h e   stud ent s ’  pre l i m in a r y   k nowl e dg e  int o   acc o unt .  H e nce,   it  i s   i m p orta n t   f or  t e a c h e r s  to  k n o w   abo u t   m i s c onc ept i o n s   a nd  t a ke  t he  p r eca u t i ons  t ha t  are   nec e ssar y  to  a vo i d   t hem   in  s tu d e nt s.  T hi s  i s   b ec ause  teac hers  m a y   p reve nt  t he  l i k ely  m i sta k e s   o r  m i sconce p t i o n s  of  s tude n t s  if  t hey  k now   a bo u t   m isc onc e p t i on s   and  t h e i r  re asons   [ 40].   Lik e w i se ,  if  t e a c h e r s  de term in e  t h e  lea r n i n g   diffic u lties  a nd  m i sco n ce ptio ns  o f  stude n t s i n  t he sub jec t  of fra c t i ons a n d  p r e fe r an in s truc t i o n   strate gy base d   on t h ese ,  l e a rn i ng o f   frac t i o ns m ay   take  p la ce   o n  a  conc e p t u a l   l e v e l   [ 29].  Thus,  it  is  i m porta n t   t h at  t e a c h e r s  an d  pros pec t i v e  te ac h e rs  k n o w   a bou t   the   misco n c e p t i o n s  o f   s tu de nt s.   W he n  the  l i te rature   o n  m i s c once p t i o ns  w as  r evie w e d,  n o  s t u dy  w a s  fo un d  t o   in ves tiga t e   t h e  vi e w s o f   b o t h  te ac hers a nd pr osp e c t ive   tea c h e rs   on the  i s s u e .            Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int.  J . Eva l . & Re s . Educ .   IS S N :   2252- 88 22       M i sc onc e p ti on s  of   pr i m ary  sc ho o l  st ude n t s a b o u t   the s u b j ec t   of f r a c t i o n s:  vie w s of . .. (Yas em in D e ring ö l )  31 2.   RESEARCH  M ETH O D    2.1.   Desi g n   Thi s   s t udy ,  wh i c h   a i me d   to   r e v ea l  a n   e xi st ing   si tu at ion ,   w as  i n   t he  f orm   o f   a   d e s crip t i ve   c ase  st u dy.   In t h i s  st u dy, w hic h  w as  c on duc te d w i t h  th e   a i m  of  e x am i n i n g th e   c u rren t  k now l e d g e of   p rim a r y   t ea ch er s and   prima r y  pre- service   tea c h e r s  on  the  misc onc e p t i on s  of  p r i m a r y   s c hool  s tude n t s  i n   t he  s ub j e c t   o f  frac tions,   t h e   qua l i t a ti ve  r ese a rc h  m e th od  of  m u l tip le  cas e   stud y  w a s  u s ed.   Th e  prob le m   w i t h   t h e   g e n e r al iza b ili ty  o f  c a se   stud ies  m a y  b e   o ve rcom e  b y   c a re fu l l y   des i gne d  mu l t i p le  c a s e  st u d i es  [ 4 1 ].  T hi s  s t ud y  ut iliz e d   o pe n- end e d   que st ions  t o  c o l l e c t   t he  v ie w s   o f  prima r y  te a c her s   a n d   t he   p rim ary   p r os pec t iv e   t e ach e r s  o n   d e t ermi ning   t he  mi sc on ce pti o ns i n   th e su bj e c t   o f  fra ct ion s .    2.1.   Sa mp le  The  sa mp le  c ons iste d  o f   2 6  pr i m ar y  tea c h ers  e m pl oye d  at  t hree   d iff e rent  p rim a ry  s chool s  in  Ist a nb ul ,  Tu rke y   a n d   73   3 rd   a nd  4 th   y e a r   p ri ma ry   p re - s er v i c e   t e ac h e rs   e n r o l l e d   at   a   f a c ult y   o f   ed u c a t i on  i n   t h e   sam e   p rovi nc e   and  w e re  d o i ng  inte rns h ip  w i t h i n   t he   s c ope  o f  th e   ‘ Teac hi ng  P r a c ti c e ’   course.   The   dem ogra p h i c  i n f o rm ation  o f   t he  for m  t e ac h e rs is pr ovide d bel o w .    A m ong   t he  p r i m a r y   t ea cher s  w ho  pa r tic i p at ed  i n  the   st u d y ,  5  w e r e  1 st   g r a de,   2  w e re  2 nd   gr ade,   1 0   wer e   3 rd  gra d e  and   9   were   4 th   g r a de  t ea c h er s.   1 5  of  t he  t ea c h er s  ha d  1- 1 0   y e a rs,   5  had  1 1 -2 0   y ea rs,  3   h a d  21- 30 ye ars a n d a n o t her   3  had 3 1 -4 0  year s of  p rofe ss io na l e x p e rien c e   s h o w n   i n Ta ble  1.       Ta ble   1.  D esc r i p ti ve  c ha rac t e r is t i cs  o f t h e  pri m a r y  t e ache r s  Gr ad e s   f   Y e a r s  o f   p r o f es si on al   e x p er i e n c e   f  1 st  g r ad e    5   1 - 1 0   Y ear s   1 5   2 nd   gr a d e  2  11- 20  Ye a r s  5  3 r d   g r a de  1 0   21- 30  Ye a r s  3  4 th   g ra d e     9  31-40  Y e a r s  3  T o ta l   26     26       2.1.   Da ta   c o l l e ction  The  da t a   w er e  c o llec t e d   b y  t w o  sem i -st r uct u red  form s  t h a t   w ere   prepa r ed  by  the   rese arc h er  a s  data   col l ec t i o n  t oo ls .   T e acher Form :   T h i s  form   i s  a  m easur e m ent  instrum e n t   t ha t  wa s  prepa r ed  t o  lea rn   a bo ut  t h e   mi sc on ce pti o ns  o f   st ud en ts  d e t e r min e d  by  th e   t e a c h ers  as  a   r e s u lt  o f   t h e i r  e x p e rience .  In  t his   for m ,   the  prima r y  te a c he rs  w er e  a s ked  a bou t  the i r  de m ograp hic   infor m a t i o n   a nd   t o   p r ov id e   th ree   situ a t i o n s   und er  t he  q u e sti o n  ‘wh a t   a r e  th e   mi sc o n c ept i on s   you r  stud e n t s   h a v e   ab out   t h e  sub j ec t   of  f ra c tio ns  b ase d   o n   y our   e x p e ri e n c e ? ’  t o re v e a l  t h e  mi s c o n cept i o n s  t hat   t h ey  th ough t   t h e ir st ude n t s ha d.   Prospe c tive T e ac he r F o rm :  The  prosp e ct ive   t e ac her  for m   w a s   a dap t e d   f o r   t he  p ros p ec t i ve  t e ache r s,   and  the  part ici p an ts  w er e  a s ke d  t o   p ro vi de  t hree   s itua t i o ns   u n d er   t h e   q ue st io n  ‘w hat  a r e  t h e   m i sc onc e p t i o n s   prima r y  sc ho o l   s t u de nts  h a ve  a bo u t  the  s ub je c t   o f  fra c t i ons  b a s e d  on  y o u r obs er vat i on s ?   In  o rder   t o  ac hie v e   c o nt e n t   val i d it y  for  t h ese  form s  tha t   w er e  devel o p e d  b y   t he   r esea rche r,  a s  repor t e d  b y   [ 4 2 ]  op ini o ns  o f  th r ee  a c a d e m i c s  w ho  a r e  e xpe rts  i n   t he  s u b jec t   o f  m a t h e m atics  a nd  pri m ary  educ a t i o n   w e re   r e ceive d.   T he  f orm s   w e r e  o r ga n i zed   b y   exa m ina t io n  base d  on   t he  e xper t   o p i nio n s     and  fi nal i z e d .     2.1.   Da ta   a na ly si s   The   pur p o se   o f  a n al ys i s   i n   qua l i ta t i ve  s t u d i es  i s  t o   d i s co ve r  pat t ern s ,  view s,   e xpla n at ion s   a n d   me anin gs  [ 4 3 ],  [ 44] .  The  da ta   a bo u t   t he  m i s c once p ti o n s  of  p r i m a r y   s c h o o l  st ude n t s  t h at  w er e  obt a i ne d  i n   t he   stud y  b y   t he  o pen- e nde d  for m s  that  w er e  app l ied  w i t h   b o t h  teac h e r s  an d  p r o s p e c tiv e  t e a c h e rs  w ere   an al y zed  w ith  t he  m eth od  of  ‘ d e scri p t i v e   a n al ys i s ’   [ 41].  The  w r it t e n  ex p la na t i o n s   p rov i ded  to  r espo nd  to  t he   ope n- ende d  q u e s tio ns  w er e  c ont e n t - a n al yze d .  The   respo n ses  of  t he   t ea c h er s  a nd  th e   pros pec t i v e  t e ac he rs  w ere  i n t e rp ret e d  wi th   d e s cript i on s  by   t he   r ese a rc hers,  a n d  s i m i l a ri t i e s  a n d   d i f f er ence   i n   t h e  c o mm ent s   w er e  reve ale d .   The   simi lari ties   a n d  di ffe re nc es  t hat   w e re   d e t e r mine d   w as  n a m ed  by  vari ou s  c o des  a n d  ta bu la ted   base d  on   t he ir  freq u e n c y   o f  occ u r r enc e .  In  o r d e r   t o   i n c r ea se   t h e  rel i a b i lit y   o f   t he   s tu d y ,  t h e  de term ined   ca t e g o ries   a nd   c o d es  w er e  s e pa rate ly   e xa m i ne d   b y   tw o  ex perts   e x pe rienc e d   i n  q u al it a tiv e  resea r ch  a nd   a   ma them at i c s  e duca t or  o t h er  t han   the   r e sear cher ,  and   the   c a teg o r ie s  w e re  g i v e n   t he ir  f ina l   s ha pe.   I n c l u d i n g   direc t   q u o t e s  fr om  t he  v ie w s   o f  part ic ipa n t s   a n d   e x p l ai n i ng  t h e   r e s u l ts  b ase d   o n  t h e s e   is  a lso  a n   i mpor tan t   iss u e   for  the   relia b i lit y  of  a   s t udy  [41] .  Th is  s t u d y   u se d  t h i s   s t r at eg y  a n d   i n c l ud ed  d i r ec t   q u o t es   from  the  respo n ses  o f   t h e   p artic i p an ts.  The   pa r t i c ipa n ts’   view s  w e re  p re sen t ed  b y  a s si gn i ng  c o d e s   for  t h e  tw o  ty pes  o f   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
          IS S N : 225 2- 882 2   Int.  J .   Eval. & R es. Educ.  Vol.  8, No. 1, March  2 019 :   29  - 3 8  32 part ici p a n t s   a s  P T   f or   t he   p r i m a r y   t e ache r s  and  P P T  for  th e  pri m a ry  p re -service   t e a c h e r s.  T he   a nal y s i s   of  t he   d e m o g r ap hic  in f o rm atio n   in  th e  stu dy  was a ch iev e d   b y   SPSS 1 6 . 0 .         3.   RESULT   AND  DI SC USSI ON  Th is  s e c tio n  o f   t he  a rt ic le  p re se n t s  the  r e s p ecti v e  v i ew s  o f   t h e  pr i m ar y  te ache r s  a n d  t h e  pr im ary  pros pec t i v e  te a c he rs  o n  t h e   m i sc onc e p tio ns  t hat  t h e y   t h o u g h t  w e re  p r e se n t   i n  prima r y  sc ho o l   s t u de nt s   i n   t he  sub j e c t   o f  fr act io ns.The  prim a ry teac hers w ere   a s ked  t h e   q u e st i on   ‘ wh at   a re   t h e   m i s c o n c ep tio ns  y ou r  st ud ent s   have  ab o u t t h e  sub j e c t  of  fra c t io ns  b ase d   o n yo ur  e xper i e n c e ? ’  and the  responses ar e  shown in Tabl e  2.       Ta b l e   2.  Pr i m a ry tea cher ’s r espo nses t o t h e  q u es tio n  ‘what  are   the  misconc e p t i on s yo ur  stude n t s  ha ve  a b o u t   the  sub j e c t  of  fra cti o n s   b a s ed  on y o u r e xperi enc e ? ’   C a t e gor i e s     f   S howing  w ith m ode ls   1 4   C onc e p ts  o f  the   num e r ator  a n d   t h e   d enom i n a t or  13   Ra nking  13   P r oble m   S olvi ng   10   C onc e p t   of  f r a c t i o ns  a nd  re l a t e d  rea d ing  a nd  w r iting   8   D i sti n g u i s hin g   t y p e s   o f  f r a c tions a nd  c onve rsion   8   Re pre s e n t a ti on   on t h e   nu m b e r   lin e     7   Op er ati o n s     5       Acc o rdi n g l y,   t he  t ea c h er s  sta t e d   t ha t  t h e  s t u d en ts  h ad  d i f fi cul t y   m ost l y   i n  sh ow ing  w i t h   m ode ls,  in   conc e p ts  o f  t h e  n u me rator  a n d   the   de nom i n at or,  w h en  t he y  nee d e d   t o   r a nk,  w he n  the y   n ee de d  to   s o l v e   pro b lem s ,  in  r e a di n g   a nd  w r it i n g   a t   t he   s a m e   t i m e   i n   co nc ep ts   t ha t  e x pre s s  fra c t i o ns  a n d   i n   d i s tin g u i s hi ng  ty pes  of  f ra cti ons  a n d   c o n v e r ti ng  t h e m   t o  e a c h  o t her,   a nd  the y   had  m i sc once p ti o n s  i n   t hese  i ssue s   ( Table   2 ) .  S o m e   t e a c h e r  v i e w s  o n   t h e s e   a r e   l i s t e d   b e l o w   i n  t h e  o r d e r  f r o m   t h e  m o st  freque n t l y   s t a te d  m i sc onc ep t i on   t o  the le a s t fre q ue nt ly  s ta ted o n e :   ‘They  m a ke  m ista kes  i n   s how ing  w ith  m ode ls’ (P T 3).  ‘S t ude nt s  fi nd  it   d i f ficu l t  t o di vi de a  w hole  into  u nit frac t i o n   pie ces’  (P T 17).  ‘They see   t h e  n u m e r a t o r and the  den o m i na tor   in the fra c t i on as  sep a ra t e ,  a n d   t h ey   c a nnot   n o t i c e   tha t  t hese  n umbe rs a re rela t e d ’ ( P T  9).  ‘They  c o nfuse  the  c o n c e p t s   o f  gre a tnes s-sm allne s s.   T he y  ca nno t  dec i de   u p on  w h ic h  fr act i on  i s   grea ter  as they  stil l ca n n o t   c o m prehe n d the  na t u ral n u m b er   a nd  pi e ce- w h o l e   su b-ti tle s’  (P T  13) .  ‘They  fa ll   i n t o  a  mi sco n ce pti o n   b y   c o n s i der i n g   t he  n a t ura l   numb er  v a l u e s  whi l e   r an ki n g   fr a c ti o n s’   ( P T  3) .   ‘A s  the i r   c onc ept u a l   k n o w l e dge  a b o u t   f r acti o ns  a r e   n o t   i nter na l i zed ,  s t u d e nt s  ma y   exp e ri e n ce  con f usi o n in a lgor i t hm i c  o pe rati o n s  or forge t   e a sil y ’ (P T 9).  ‘Wh ile  c om par i n g  tw o   f ra ct io ns,   the y  sa y  th e   o n e  w it h lar g er  n u mbers is greater ’  (PT  7 ) .   ‘In   t h e   c as e  tha t   t h e   g reat n e ss  o f   t h e  f r ac ti on   i s  d e p e nd en t  on   a   w hole ,   s t ude n t s  are   no t  aw a r e  t h at   t h e  w h o l e s  w i l l  no t  h av e  th e   s a m e   g r e a t ne s s ,  s o   t h e y  m ak e  m i st a k es i n r a nk in g’ (P T  12)   ‘They  d o  no t  u nde rs t a n d  spec i f i c   pro b lem s ’  (P T  12).  ‘They  perf orm   oper a tio ns  f ro m   m e m o ry  w hile  s o l v i ng pr o b le ms’  (P T 14).   ‘N ot  b e i ng   a ble   t o   n ot ic e  fra c t i o n s   in  d iffer e n t   w h o l es  m a y   e xp ress  dif f ere n t    greatness’ ( PT  25 ) .  ‘They  c a n no t  co nc ei ve  t h a t  the   n u me rator  a n d  the   de nom ina t or   r e p r es ent   a  wh ol e   together’  (P T   6).  ‘They  m i g h t   n o t   c om pre h e nd  the  piece - w ho le  r ela t i o n s h i p  b e tw e e n   t he   num era t or   a nd  t h e   den o m i na tor ’  (P T   24).  ‘They  c a n n o t  conce i ve   t ha t   pie c e s   c o n st i t u t e  t h e  w hole   a nd  t h e   nume r ator  i s  a  p i ec e  of  t he   w h o l e,  a nd  t h e y  ca n n o t   r ea li z e  tha t   b o t h  are   r e late d’  ( P T  3).  ‘Th e y   h a v e  d iff i cul t y   in  u nd erst and i ng  t h e  co n cept s  o f   pi ece-wh ole’  ( P T   17).  ‘Mista kes  i n   s how in g  t h e  w h o l e   b y   d ivi d i ng  it   i n t o  p i e c e s  and  f ail u re  t o   d r a w   e ac h  p i ec e  ide n ti c a l l y ’   (PT 6) .  ‘Th e y   c a nn ot   r ea d   fra ct ion s   c o rrec t ly   a s  th ey   d o  not   f ul ly   u nd e rst a n d   t he  conc e p ts of  n u m e r ator  and  de n o min a t o r’  (P T  4) .   ‘They  m a ke  m ista kes  w h ile  co nve r tin g  fra c tions  i n t o e a c h  o ther’  ( PT   4 ) .   ‘P roper  fra c ti o n s  are   e a sier  t o  unders tan d   t ha n com p o u nd a n d   m i xe d o n es ’ (P T 18).  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int.  J . Eva l . & Re s . Educ .   IS S N :   2252- 88 22       M i sc onc e p ti on s  of   pr i m ary  sc ho o l  st ude n t s a b o u t   the s u b j ec t   of f r a c t i o n s:  vie w s of . .. (Yas em in D e ring ö l )  33 ‘F ail u r e   t o  de te rm ine  t h e   i n ter v al s w h ile  s ho wi n g   on t h e  n u m b er   l i n e ’  ( P T   1 8 ) .  ‘F ail u r e   t o  sho w   c om pou nd o r   p roper  fra c tio ns on  the  n u mb e r  lin e’  ( P T  21).  ‘Whe n  t h ey  a r e   a sked  t o  s h o w   a   c om pou nd   f ra cti on  o n   t he   num ber  line,   t he y  d o   s o  by   f irst ly  con v er ti ng  it t o   a  m ixed  f rac t ion’  ( P T  20).  ‘They  m i g h t  miss  t h e in te ge r pa rt w hi le sh o w in g m i xed fra c tio ns  on  t h e num b er  line’ (P T   12).  ‘Ther e   a r e   p roblem s  i n   a ddi t i on  a n d  su b t ra ctio n  a s   t he y  d o   no t  se e  fr acti o ns  a s  a n   e n t iret y  or  a   numbe r a n d pe r f orm   sepa rate  oper a ti ons’  (P T 5).   ‘ Trying t o  per form  ope rat i o n s   a s in  n at ural  n um ber s ’ (P T 13) .  ‘U sing t h e  rule s in na t u r al n u m bers  w hil e  pe r form in g   opera tio ns ’  (PT   11).  ‘Thi nk ing  t h a t  add i tio n  is  a d d i n g  n um era t or s  and  den o mi na tor s   s epar ate l y’ (PT  1 ).  The  prim ary  p r ospe c t i v e  teac hers  w e r e  a s ke d  the   q u est i o n   ‘ w h a t   a r e  t h e  mi sc o n cept i o n s   p ri ma ry  sch o o l   s tu de nt s  ha ve  a b o u t  th e   s ub jec t   o f  fr a c ti o n s  base d  o n   y o ur   o b s er va tio ns ? ’   a n d   t he   r espo nses  a re   s ho w n   in Ta b le  3.       Tab l e  3.  P rim a ry  p rospec tive  t e ac her’s  r espo nses  t o  th e   q u e s t i o n ‘w ha t ar e the   m i sc o n cep ti o n s  prim ary  sc h ool  s t ude n t s   ha ve a bo u t   t he  sub jec t   o f frac t i o ns ba s e d  on  yo ur  obser va t i ons ? ’   Ca t e gor i e s     f   C once p t   of   fra c tio ns  a nd  re lat e d  r e a d i n g  a nd  writi ng  76   Ra nking  40   O p er at i o n s   3 5   Re pre s e n t a tion  on the   nu m b e r   l in e  25   Re pre s e n t with m o d e l s   C once p ts   o f num e r a t or a nd  de no m i n a t o r   16  14   Dis tinguishin g  ty pe s  of   f r a c t ions a nd  c o n v e r sion  10   Problem   s olvi ng    3       A s   a   r esult of t he i r  tea ch i ng o b serva t i o ns for   t hre e  sem es ters,  the  p r i m a r y  pr o s p e c t i ve  tea cher s   s t a t e d   tha t   p rim a r y   s cho o l   s t u den t s   ha d  di ff i c ult y   i n  the  c o nce p t   of  f ra ct ions   a nd  rela te d  re adi n g  a n d  w r i t i ng,   rank in g  fr ac ti ons,  fr ac ti o n   opera tio ns,  r e pre s en tat i on   o n  t h e  n um ber   l i ne ,  w h e n   t he y  nee d   t o  r e presen t   fra c ti o n s  w i t h   m odel s ,  i n   t he  c once p t s   o f  nu me rator  and  de nom in a t or ,  i n  di s t i ng u i sh i ng  ty pe s  o f   f ra ct i ons  a n d   con v er sio n ,   a n d  wh i l e  so l v in g  pr ob lem s ,  an d  t h e y   m ay  h a v e  m i sc o nce p t i ons   o n  the s e  i s sues  ( Tab l e  3).   S o me   pros pec t i v e  t e ache r   v iew s   on  the s e  a r e  l i s t e d   b e l ow   i n  t h e   orde r  fr om  t he   m ost  freq u e n tly   s tat e d   misco n c e p t ion  to t he  l e a s t  fr e que n t l y  sta te d one :   ‘S t ude nt s  trea t   frac tio ns  a s  i n t e gers,   t h e y   c on side r  t h e   n u me ra tor  a n d   the  de nom ina t or  a s   separ a te  n umb e r s  (P P T   3 ).  ‘Wh ile   e x p re ssi ng   frac t i ons   w it h  s h a p e s ,  the y   c a n n o t  draw   i de n t ic al   l i n es  o r   s quar e s .   T hi s   show s  t h a t   t he re   i s  a  prob le m   in  d i v id in g  the   fr act i o n   i n to   i de n t i c a l  p i e c e s   i n  t h e  s u b j e c t   o f   piece -wh o l e’  ( PP T 16) .  ‘They  ca n not  u nd e r s t an d t h e  conc e p ts  o f  w h ole   and  p i e c e ’  ( P P T  3 ).   ‘ S t ude n t s  ma y  re flect  t he ir  g ener al izat i o n s   on  nat u ral  n u m ber  onto  frac tio ns  a nd  co ns i d e r   t h e   nume r at or  a nd  t h e   de n o m i nat o r a s  sepa r ate numbe rs’  (PP T  29).   ‘Co n side rin g   t h e  num er at or a nd t h e de nom i n at or  a s se para t e  na t u ral nu m b ers’  ( PPT 3 3 ) .   ‘They  m a ke  m ista kes  w h ile  ve r bal l y  ex pre s si ng a   frac t i o n’  ( P P T  46) .  ‘S t ude nt s  ca nn ot   c o n c e i ve  t ha t  ide n tic al  p ie c e s  re present  a  w h o le,   and  t hus,   t h e y   c an n o t  div i d e   who l e in t o  id e nt ica l   p i e ces’   (P PT  48).  ‘W hi l e   c o m p a ri ng   f ra cti o n s ,  st ud en t s   g enera l i z e   th ei r  pre l i m in a r y   i n f orm a ti on  on  nat u ral  numbe rs i n frac tio ns’  (PP T  7) .   ‘A ssum i n g   t ha t  the frac tio n  w ith  h i gher   n u m b ers is  g r eate r  as i n na t u r a l n u m bers’ (P P T  59) .  ‘ W h i l e  r a n k i n g  f r a c t i o n s  w i t h  e q u a l   n u m e r a t o r s ,   t h e y  t h i n k  t h e   on e   with   l a r g e r  d e no mi nat o r  i s   grea ter’  (P P T  18).  ‘They  m i g h t  n ot t h i n k  o f  a  fra ctio n  as pie ce s  o f  a  w hole  in  c om paris o ns’ (PP T  63).  ‘They  separ a t e ly a d d  n ume r a t or s  and  d e nom ina t ors  i n   a d d itio n  op era t i o n s ’ (P PT 3 ) .   ‘In  opera t i o n s on  fra c t i on s,  th e y  act l ike  the y  ar e   n atura l  nu m ber s ’   (P P T   71).   ‘In  opera ti on s  o n   f rac tio ns,  t h ey  g e n e r alize   op er at i o ns  i n  n a t u ral  n u m b er   t o  th i s     subj ect’  (P P T   43).   ‘They  ma ke  m is t a kes  i n   r e p resen t a t i on  on  t h e  num ber   l i n e ,  e s pec ia ll y  re prese n t i n g   o pe r a ti ons   l i k e a d d itio n   an d   s ubt rac t i o n ’  ( PPT 4 2 ) .   ‘They  c o nfuse  the  numbe r  o f   p i e ce s  t o   d i v i d e  in terva l s  w h i l e  sh ow in g  fr acti o ns  o n  t h e  n u m b er  line ’  ( PP T 17)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
          IS S N : 225 2- 882 2   Int.  J .   Eval. & R es. Educ.  Vol.  8, No. 1, March  2 019 :   29  - 3 8  34 ‘They  ha ve  di f fic u lt y i n  show in g e s pe c i a l l y  m i x e d  frac t i o n s  on  t h e  numbe r line’  (P P T   7 2 ) .  ‘They  ha ve  di f fic u lt y i n  show in g  c o m p ou n d  a nd m i xe d fr ac ti o n s o n the  n u m be r line’  (P P T  58).  ‘They   m a ke   m ista ke s   i n   r epr e se nta t io n  b y   m o d e l s,   e spec ia ll y   sh o wing  mi x e d   f r actions ’  (PPT   69).  ‘F ail i ng  to  d i v i d e  int o   i de n tic a l  piec e s  w hi le  r epre se ntin g  fra ctio ns  w i t h  a m odel’  ( P P T  5) .   ‘They ca n for m  inacc urate d i spla ys as   t h e y  ca n n o t  c on ver t  com p o u n d   f r a cti o ns in t o m i x e d ones   w h i l e   re prese n tin g t h e m   w i t h  mode ls’  (P P T  13).  ‘They  ha ve  di f fic u lt y i n  di s ti n g u i s h in g  the   de nom i n a t or a n d  the   n u m er ator’  (PPT  7 2 ) .  ‘They  m a ke  m ista kes  i n   c o n v e r t i ng a   c o mpo u nd frac t i on  in t o  a  m i xe d frac tio n’  ( PP T 39).  ‘They  m a ke  m ista kes  i n   c o n v e r t i ng a   m i xed f r ac t i on  in to a  c o m po u nd frac t i on’  ( PP T 3).  ‘They  ha ve  di f fic u lt y i n  re f le c t i n g pr o b l e ms   on sha p es  f or  s o l u tion ’   (PPT  6 2 ) .   ‘They  ca n not  s ol ve  p ro b l em s’ (PP T 1).  O n e  re su l t   o f  the   s t ud y  w a s  the   s t ate m e n ts   t hat   pr ima r y  sc h o o l   stu d e nts  ‘c o n fu se d  fra c t i on s  w i th  t h ei r  kno wl ed ge   o n  int e g e rs.’  I t   w a s  f oun d  th a t   a   s i gni fi can t   p a r t   of  m i s co n cept i o n s   i n  st ud e n ts  w ere   ca u s ed  by  s t ude n t s’  g e n era l i z at i o n of obs erva ti on s  t h at  a re   v a l i d   i n  i nt e g ers  for  fra c ti o n s  [35] .  A n   a t t e n t i ve  e duc a tio n   proce s s  m a y l e ad  s tu de nts   to un d ersta n d  a n d   l e arn fra c t i o n s  to   th e   req u i r ed  d ept h   a n d   p r ev en t   mi scon cep ti o n s  ca use d   b y  s u ch   g ene r a liza tio n s .  In  f a c t,  i t   w a s  ob ser v e d   t ha t  m ost   m i sc onc ept i o n s   w e r e   c a use d   b y  i n a tte nt i v e   appr oa ches   t o  fr acti o n  instru c t i o n.  T here   a re   f in d i ngs  t ha t  s u g g e s t e d  t h a t   a n  e a r l y  a n d  h a s t y   t r a n s i t i o n   t o   repr esenta t i o n   o f  frac t i o ns  i n  the  c l a s sr oom   w ith  a bstra c t  sym b o l s  w i t h o u t   d e p e nde nce   on  st u d en t  e xpe rie n c e   and  a ba s i c   con c ept u a l  fram e wor k  lea d s   t o  m i sc onc ep t i on s  (Bezuk   &   B i e ck,  199 3;  c i t e d  in [ 3 5]).  Ac co rd ing   to   t h e   v i e ws  o f   t h e  p r i m ary   t e a c h ers  a n d   t h e  p r i m ary   pro s pec t i v e  tea c h ers,   a not her  situa t io n  am on g  prima r y  sch o o l  s t ude n t s  w a s  tha t   t he y  ha d   mista kes  ‘w hi le  s h o w i n g   f ra cti o ns  w i t h  m o d e l s ’ .   It   i s  a  kno wn  f ac t  th at   v i s ua l   re p r e s e n t a tio n s   o r  sh ape s   a f f ect   c ompr ehen si o n   o f  m a them a tica l   c o n ce p t s   pos it ive l y.  F racti ons  a nd  o p e r ations   w ith  frac t i o ns  a re  a   t op  s ubj ec t   amo n g   t h o s e   wh ere  u s i n g  s h a p es  i s  th e   most  i m porta nt   [ 9].   S h ape s   t h a t  ar e  draw n   a nd  m o de ls  t ha t  ar e  u sed  i n   r el atio n  t o   a   p rob l em   p r o vide s  e a se  o f  rea c hi ng  the  corr ect  s o l u t i o n  b y   m aki n g  it   e a s ier   to  u n d er st a n d   [ 45 ].  A s  u s i n g   a  se t   of  m o d e l s  a nd  ma nip u la t i ve  t oo ls  i n  i n t r o d u c t i o n   t o  frac tions   m akes  f r a cti o ns   t an gib l e  fo r  p r i m a r y   a n d  s eco nd a r y  scho ol  stude n t s  w ho  a r e   st i l l  in  t he i r   t a n g i bl e   o p era t i o n  s t age ,   i t   le ads  to   e asier  le a r ni ng  o f   t he  c once p t  of  f ra ct ion s   and st ude n t s t o  perform   f r acti on-re la ted o p e r ati o ns  m ore ea si ly  [2 2 ]. D avi s , H unt i n g a nd P e a r n V e rgna u d  a n d   Ki e r en   r ec o m men d ed  t h e   u se   o f  sc h e mas   t h a t   s ho w  t h e  c h a r a c t eri s tics   o f  rational  n um bers  a nd   f r a ctions   (geom e tric a l   m ode l s )   an d  em pha size  tha t   u s i n g   e s p ec i a lly  s che m a s  of  d iv id i ng  a  w h ol e  in t o   p i e ce s  i s   h i g hly   impor ta nt  f or  e st a b lis hm en t  of  k n o w l e d ge  on  rat i ona l  nu m b ers  [2 2].  In  m any  stud ies,   a s  in  t he   c a s e   of  t h i s   stud y,   s t u den t s  ex pe rie n ce d   d i ffic u l t y   i n  e x pressi n g   t he   f r a c t i o n s  o n   g i v e n   m o d el s  a n d   re achi n g  the   corr ect   answ e r  in pr o b le ms of fin d i n g   the  mode l   th a t  is sui t a b l e  for  a   give n frac t i o n [1 0],  [46-4 8 ].    Ba se d  on  t h ei r  e xperie n c e s  and  o b se rva t io ns,  the   p a rtic i p an ts  s ta te d  t h at   s tu de nts  c o n f use d   t h e   den o m i na tor   a nd  t h e  n u m e ra tor ,   t he  c onc e p t   of  f r act io ns  w as  n o t  f u l l y  e s t a b l i s h e d  a n d  e s p e c i a l l y  t h e  w h o l e - piece   r ela t i onshi p  w a s  n o t  u nde rs t o o d ,   a n d   stu d e n ts  h a d   d iffic u lt y   in   w ri ti ng   a nd   r ea di ng   fra c t ion s .  W h ile  p r ov idi n g   stude n t s  wi th   k nowl e dg e   o n   e x p re ssi ng   a   f ra c tio n  in   w ritin g,  t he   que sti o n s   o f  how   m an y  i d ent i ca l  piece s  t h e  w h o l e  is  d iv ide d   i n t o   a n d  how   m a ny  o f   t hese   p ie ces  a re   c o l o r ed/ s el ec t e d   sho u l d   b e   ans w e r ed ,  a n d   the   answers  th ese  answer s  sh ou ld  b e  re pres ente d  w i t h   s y m bol s  [4 9].  S t ude n t s  t h i n k   t h e   num era t or   a nd  t h e   den o m i na tor   a r e   se para te  v a l ues.   T he  m ai n   rea s on  fo r   t h i s   i s  th at  s t ude nt  u se   t he ir  k now l e d g e  on   n at ural   numbe rs  w he n   th e y   e nc o u n t e r   f r actio ns  [ 2].   The   r eason  for  th is  m i sc on ce pti on  i s   t ha t,  w hile  f ra ct io ns  a r e   tau g h t,  t he ir  r e p re sen t at i on  w ith  s ym bo ls  i s  i n tro d u ce d  w i t hou t  s e t t i n g  t h e  c o n c e p t u a l  b a s i s  f o r  t h e  s y m b o l s   [3 5].   Th is  a gree s  w i t h   t he  r e s ult  fou n d   b y  [2 6]  t ha t  s t u d e n t s   f i n d  i t   d iffic u lt   t o  s o l v e  s o me   f ra ct io n  pr o b l e m s  as  t he y  ca nn ot  f u l ly   u n d ersta n d  piec e - w h o l e  re l a t i o n s h i p s.   A lth oug h  ‘pi e c e -wh o l e’  i s  th e  mo st   b a s i c   c on c e p t   in  f ra ct i o ns  [ 37]   a nd  it  i s   i n  t h e  na t u r e   o f  fr ac t i o n s  [11],   so me   s t u de nt s  e xper i enc e   d i f fi cul t y  i n   l e a rn i ng  th is   conc e p t  [ 5 1],  [52]   i n v es t i ga te d  t h e  mis t a k es  o f  fo ur th- a n d   f ift h - g r a d e  stu d e n ts  i n   fra ct ions  a nd   f o und   t hat   the  stude n t s  h a d  p r ob lem s   i n   t h e   pr inc i p l e  o f   i den t ica l   p ie ces   i n  t he   p iece - w ho le  r ela t i o n s h i p.  I n  t h e  q u a l i ta t i ve  st u d y   by   [ 53 ]  wi th   p ri mary   s ch ool   s tud e nt s ,   t h e   s tu d e nt s  tho ugh t   of  f ra ct i ons  l ike  t h e y   a re  i nt e g ers,   e xpr essed  the  c o nce p t s   o f  the  n u me rator   and  t h e  de n o m i n a t o r   a s  se p a ra t e   n um ber s ,  and  c o nfuse d   t he se  w i t h  eac h  o t her.  Sev e ral   s t ud i e s  rep o r t e d   fi nd in g s   t h a t   st ud e n t s   c on fu se   nume r at or s  and   d e nom i n a t ors  [7 ],   [ 26] ,  [45] -[5 7 ].   I n   order   t o   over c om e  th e s e   d i ffic ul ti es,  firs tly   t he  p iec e -w ho le  r e l a t i o ns hi p   sho u l d   b e  ta ug ht  t o  stu d e n t s   w hi le   teac h i ng  frac t i ons  a n d   a   b a s is  s ho u l d  be  f o r m e d  in  s t ude n t s  re g ard i n g   t h e   c once p t  of  f r a cti ons  [ 50].  Ba yku l   argue d  t h at  m o d e l s  sh ou l d   a l s o  be  u sed  in  t e a c hi n g   f r act i o n -rel a t e d   c onc e p t s   [ 1].   D oğa n - Te mur  e m pha size d   tha t   f or  g ood  d e ve l opm en t  of  a   c o n c e p t   o f  frac t i o ns,  e duc a t ion  proc es ses  s hou ld   b e   ca rrie d   o u t   b y  us i n g  re al- life si tua t i o n s ,   tan g i b l e t o ols a nd  eq u i pme n t   and  mode ls,  ra t h e r tha n   t eac h i ng  ru les to  s tu d e nt s [5 8 ] .   A c c o rdi n g   t o   t he  e x p erienc e s   a n d   o bser v a tions   o f  t h e  pr im ar y  t e ac hers   a nd   t he   p r i m a ry  p ros p ec ti ve   teac hers,   it  is  b el ie ved   t h a t   t he  b asi s   o f  th e  m i sc o n cep t i ons  o n  r a n k i ng  frac tio ns  i s  t h a t   s t ude n t s  thi n k  of  fra c ti o n s  as  i f  t h e y   a r e   i n t e g e r s.   A s  t h e   qua nt i t y  repr ese n t e d  by   a   n u m b e r  i s   p ro po rti o nal   to   i t s   g re a t ne ss  in  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int.  J . Eva l . & Re s . Educ .   IS S N :   2252- 88 22       M i sc onc e p ti on s  of   pr i m ary  sc ho o l  st ude n t s a b o u t   the s u b j ec t   of f r a c t i o n s:  vie w s of . .. (Yas em in D e ring ö l )  35 i n t e g e rs,  t h i s   i s  mi st ak en ly   g e n era l i z ed   f o r   f rac t ion s ,  an d   so m e   t h in k  t h a t   f ra c t i ons  w it h  l a rger  n umb e rs  a r e   grea ter [3 5],   Doğa n- Tem u r r e por ted  t h a t  s tu den t s m a d e  mi s ta kes  i n  sever al s ub jec t s s u c h  as ran k i ng frac t i o ns,   equ i vale nc y  in  f ra ct io ns  a n d   m i xin g   d e n o m inat ors  a n d   nume r a t ors   [ 5 8 ].  B i b er   s tate d  tha t ,   w h il e   ra nk in g   fra c ti o n s,   s tu d e nt s  rank  de no m i n a t o rs  a mon g s t   eac h  o t her ,   r ank  num era t or s  a m ongs t  e a c h   o ther ,  and   t h e n ,  t h e y  a p p l y  t h e s e  o p e r a t i o n s   t o  t h e   f r a c t i o n s  [ 4 5 ] .  S e v e r a l  o t h e r  s t ud ie s  a l so   r e p o r te d   t h at   s t u d e nt s  had  mi sc on ce pti o ns  a b out   r an ki ng   f rac t io n s   [ 7 ] ,  [3 1 ] ,  [ 4 8 ] ,  [ 5 5 ] -[ 6 1].   In  o rder   t o  pr eve n t  t h i s   m isc o nce p t i o n ,  i t   sh ou ld   b e   shown   t h at   t h e   qua n tit ies   re p r e s e n t e d   by   e qui v a l e nt   f rac t i o ns  a re  t he   s am e  by   u si n g   t a n g i ble   an d   pic t oria l m a ter i a l s  i n   t he c la ssroom  [ 3 5 ].   The  pr i m ar y  te a c hers  a n d   t he   p r i m a ry  p r o sp ec t i ve   t eac hers  s ta te d  tha t   p ri ma ry  s c h o o l   s t ude n t s  ha d   di ffic ul t y   i n  fr ac tio n  pr o b le m s   a n d   m a d e   m i sta k e s .  The y   w rote  t h a t  th e r e   were   i ssu e s   e sp ec i a lly   i n  t h e  p a rt s  w h i l e   u n d er sta n d i ng  t h e  pro b l e m s,   s tu den t s  ma de  m ist a ke  i n  th e   so l u t i on s  of  t he  p ro ble m s.   S oylu  o b s e rved   tha t ,  i n   f ra ct io n  pro b lem s ,  st ude n t s  e x perie n c e d   d i fficu l t y   i n  un dersta n d i n g  the   pr ob l e m ,   a nd  t h ere f ore ,   deter m i n i n g  t h e  ope rat i ons  a nd  order  of  o pe rati ons  i n  the   prob l em s  [2 9].   Başgü n   f ou nd  t h at  s tu de n t s  ma de  mista k e s   i n a p pl y i n g   c o n c e p t s   a bo ut frac t i o ns i n pr oble m s  [6 2].   The  s t a t em en t s   o f  the  part ic i p an ts  s u gge ste d   t ha t  st u d en ts   c ou l d  n o t  d i s t i n g u i s h  ty pes  of  f ra ctio ns   a n d  h a d  di ffi cu lty   i n   co nv e r ti ng   t h e m  int o   e a c h   ot h e r.  A s  in   t h i s   s tu d y ,  the   te ac hers  w ho   p a r tic i p ate d   i n  t h e   st u d y   by   D e m i r i   rep o r t e d  th at   s t u d e nt s  h a d  mi sc on ce pti ons  a bou t   c o n v e r ti n g   f r act io ns  i nt o  d i ffere nt  t yp e s .  ‘Re p rese nti ng  f r ac t i on s   on   t he  n u m b e r  l i n e ’  i s   o n e   o f   th e   pro b l em s  ex pe ri ence d   by   s tude nts  [1 0].   In  a c t iv itie s  of  d ra w i ng  a  num b e r  l i ne   m odel   tha t   i s  use d   t o  e x pr ess  fra c t i o n s,   t he   n ec ess ity   t o  di vide   t he   w h o l e   i nt o   i d e n t i c a l   p i e c e s   s h o u l d  b e   e m p h a s i z e d   w i t h  c a r e .  A s   i n  t h e  c a s e   o f   t h e   a r e a  m o d e l ,  s h o w i n g  f r a c t i o n s  o n   t h e   numbe r  l i n e   a l s o  requ ire s   c are f u l   c o n s i dera t i o n   o f  t h e  n u m b e r  o f  piec e s   t o  be  s how n   i n   a   w ho l e   a nd  the  numbe r  o f   p i e ces  a mong  the s e   to  b e  se l e c t ed.   There   sho u l d  be  n o   h urr y   t o  t r a n si tio n  t o   s ymb o l s  so  t hat  th e   sha p e- relate d  m e a n ing   o f   f ra ctio ns  o n  t h e   n u m b er  l i n e  is  not   n e g l e c t ed  [ 6 3 ],   D oğa n-Te mur   co nd uct e d   in t e rv iew s   w it h  prima r y  teac hers,   an d  the   t e a c hers  s tate d   t h a t   s t ude n t s  ma de  m ista ke s   most   f r e q u e n t l y   in   rank in g  fra c t i ons,   sh ow i n g   fra c ti o n s  o n   t he  numbe r  lin e,   p rob l e m s ,   rea d in g  th e  fr a c ti o n ,  fr act i o n   r u l e s,  equ i vale nc y  in   f ra cti o ns  a nd   c on fusin g   n um era t or s  a n d  de nomi n a t ors  [5 8 ] .   K u tluca   s ta te d  t h a t   i t  is  i mpor tan t   to   u se  t ra nspa rent   frac t i o n  c a r ds,   w h ic h  a r e  t a n g i b l e   ma t e ri als ,  t o   p rovi d e   s t u d e nt s  w i th  s ki ll s  of  c o m pa ri ng   fra c ti o n s,   r anki ng,  i den t ifica t i on,  a d d i t i on  a n d  su btra c tio n,   m ult i pl ica tio n  and  di visi o n   o pe rat i o n s  [ 64].  Man y   ot her  st u d i es  a lso  repor t e d  t h at  s tu de nt s  e x perie n c e d  pr o b le ms  w h ile   s h o w i ng  fra c t i o n s   o n  t h e  numb e r  li ne   [6],  [7],  [57],   [ 63] , [65]-[67] .  Final l y ,  prim ary  teac hers  a n d   t he  p rima ry  p r o sp ect i v e  teac hers  st a t e d   t h a t   st ud en ts   m a d e  mi st ak es  i n  add i tio n an d su btra c tio n o p era tio ns. S c huma c her   a nd Ma lo n e  prep a r ed pr o blem s  t o  de t e r m i ne   t he m i s ta ke s o f   fo urt h -gr a de  s tude nts  i n   t he  s ub jec t   o f  fra c tio ns,   a nd  i t   w as  f o u n d   t ha t  t h e  s t ude n t s   pe rform e d  a d di t i o n   opera tio ns  b y   add i ng   t he   n u m er ators  an d  d e nom i n a t ors  se para t e ly   [ 6 8 ] .   T h e   s a m e  m i s t a k e  w a s  a l s o   f o u n d  i n   t h e  st ud y  by   O k ur  a nd   Ç ak m a k-Gü ler  t h a t   w a s   c a r r i e d  o u t  w i t h   f i f t h - g r a d e   s t u d e n t s  [ 6 9 ] .  T h e  s t u d y  b y   Idri sand  Narayanan   r eve a l e d   t ha t ,   w hi le   s tu den t s  co u l d  perfor m   a dditi o n   a n d   s ubtr a c t i on   o p e ra ti ons  w i t h   f r a c t i ons   t h a t   had  e q ual  de no m i na tor s ,  t h e y   h a d   d iffic u lt y  in  o pera ti ons  w i t h  fra c t i o n s   t h a t  ha d  di ffere n t  de n o m i n a t o r s   [ 4 7 ] .   M i sc o n c e p t i ons of st ude n t s in  add i t i o n an d  s u b t ra ct ion o p era t i o ns ha v e be en rep or t e d b y   s ev e r al  o th e r   s t u di es  [6],   [ 1 0 ],   [ 4 5 ],   [ 5 5 ],  [ 7 0 ] ,   [ 71 ] .   A s  addi tio n  a nd  su b t ra ct i o n  i n   f ra ct io ns  r equ i re  a   c ommon  de nom in a t or ,  it  i s   nec e ssary  t o  h a ve  c ompr ehe nde d  bas i c  fra c t i o n-r e late d  c once p ts  in   o rd e r   t o  pe rform   t he se   o pera t i o n s  by   un dersta n d i n g   t h em .  Tha t   i s,  it  is  h ig hl y  di ffic ult  t o   l ear n  a n d  te a c h  a d d i ti on  i n   frac t i o n s   w it hou t  un dersta n d i n g  w h a t   f ra c t i o ns  m e a n  and  w h at  e qu iva l e n t  fra ctions   a re   [ 35] .  There f ore ,   t he re  i s  a  nee d   f or  a   com m on  de no mina tor  to  a d d   fr acti o n s .   If  the  de nom i n a t o r s  ar e   no t  e qua l,  t he  f rac t ion s   s ho ul d  be  c on v e rte d   in to  e q u i va le n t   f ra ct i o n s   t o  ma ke  t he  d e n omina t ors  eq u a l .   T h i s  is  h o w   m isc once p ti ons  i n  ad d iti o n   a n d   sub t r act i on w i l l   n o t  be  enc o un ter e d,  o r  i t  w i l l   be  to ove rc om e  m i sconce p ti o n s if  t he y e x ist  [2].    The  s t ud y  b y   M o ss  a nd  Cas e   t h a t   w a s  c o nd uc t e d   w i th   t he   a im   o f   d et ermi ni ng   w h e t h er  o r  n o t   pros pec t i v e  pri m ary  a n d   se c o ndar y   s c h ool  m athem a t i cs  t e a c h ers  a re  a w a re   o f   the   mist a k es  o f  s t ude n t s   i n   t he  sub j e c t   o f  fr acti o ns  r eve a l e d   tha t   m ost  pro s pec tive   t e ac he rs  w e r e  a w a r e  o f   t h e   m i s t a k e s  o f   s t u d e n t s  [ 7 2 ] .   Wh i l e  the   p r o s pe c t i v e  teac h e rs  w e r e  aware  of  t he  m ista kes  o f   t h e   st ud ent s ,  th e y   c ou ld   p rovi d e   s up erf i ci al  rea s ons  f or  t h e   m ista kes.   F or  s o l v i ng  t h e   mista k es  o f  st ude n t s,   t he y   rec o mm ende d  stra t e g i e s   o f   v e rba l   exp l a n a t i o ns,  a r ea   m odels,  da i l y-l i fe   e xa mples,   r e p et iti on  o f   p rel i mi nar y   k n o w l e d ge,   tea c h i ng  s t a n dard   so l u t i o n s,  a sk i ng  lea d in g  q u e s tio ns,  usi ng  e a sy  e xam p l e s,  u s i n g   o p p o si te   e xam p le s,  e xe r c ises  a n d   p rac t ic e s ,  lead i ng s t u d e n t s  to n o t i ce  t h ei r m i st a k e s  a nd  incre a s i n g  st u de n ts ’ mo t i vat i on .               Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
          IS S N : 225 2- 882 2   Int.  J .   Eval. & R es. Educ.  Vol.  8, No. 1, March  2 019 :   29  - 3 8  36 4.   CONCL U S ION  Conse que n tly,   th is  s tu d y   s h o w e d  th a t   p r i m a r y   t e ache r s  an d   t h e   p r i ma ry  p rosp ect i v e  tea c h ers  di d  n o t   have   m uc h  di ffi c u l t y  i n   i de nti f yi n g   t he   m is conc e p tio ns  o f  st u d e n t s  r e gar d in g  o p er ati o n s   i n  fra c t i ons.   It  i s   bel i e v ed   t ha t,  i n  order  to   m in i m iz e  misco n c e p t i on s  in   s tu de nt s,   t he  c onc e p t  of   frac t ion s   s hou ld   b e   in t r o duc e d   st arti ng   w i t h   i d e nti cal   p i e ce   p rob l ems  an d  d e v e lo pin g   t h e   c on c e pt   w i t h   st u d e nt -c e n te re d   a c t i vi ti e s   b y  u s i ng  vari ous  m et h o d s  w i ll  be  a p p r opr i a te.  I t   w i l l  als o   c o n tr ib u t e   gr ea tly  t o  the  fie l d  t o   c o n d u c t   q ual i ta tive   s t ud ies  tha t  i nv o l v e  th e   a naly sis o f   t h e  m i s take s pri m ary  schoo l st u d e n t s  m ak e   i n  t h e   s ub j e ct  of   f r a ct ion s .      REFE RENCES   [1]   Baykul,   Y., "E l em entary  M a t hem a tics   Teachi n g (6-8 clas s es ) , "   Ankara: Pegem  Publishi ng ,   2 009.  [2]   Van  d e   W alle,  J .   A ,  Karp,  K .   S ,   &  Bay - W i l l ia ms,  J.  W .,   " El e m en t ary   and   Mid d le   S ch oo l  M a th em ati c s  Teach in g   De ve lo pme n ta l l y   (Tra ns.  Ed.   S.   D u r muş) ,"   Anka r a : Nobel  Pub lishing ,   2 0 14.   [3]   Mathematics Cu rri culum. "M ill î   Eği tim Bakanlı ğ ı ,"  Ankara ,  T u rk ey , 20 1 8 .   [4]   Sad i ,   A., "M i nsc o pti o n   in Nu m b e rs,"   UGR U  Jo urna l ,   v o l . 5 , pp . 1 -7 ,   2 0 0 7 .   [5]   Yılm az,  Z ,  and   Y e nilm ez,  K .,  " 7   th  a n d  8 th   G rad e s   S t u d en ts ’M isco ncep ti ons   A bo ut   D ecı m a l  Num b ers  (Th e   C ase  o f   Uş ak),"  Afyon K o catepe Universi ty  J o urna l o f  S c ie n c e , vo l . 8( 1 ) , p p .   2 91 -3 12 ,   2 0 0 8 .   [6]   Ö n a l ,   H ,  a n d  Y o r u l m a z ,  A . ,  " T h e   E r r o r s  M a d e   B y  P r i m a r y  S c h o o l   F ourt h   G raders   o n   F r act io ns , "   J o ur na l of  Re se a r c h  in  Ed u c atio n a n d  So c i e t y , vo l .   4(1 ) ,   pp .  9 8 -1 13 , 20 1 7 .   [7]   Ers oy,   Y .  and   A r dah a n ,   H .,   " Teach in g  of   f ractio ns   i n  elem entary   s cho o ls   II:  O rg a n izi n g   ev ent s   f or  d i a gno sis,"  [On l i n e]   [ Availab l e],   h t t p ://w ww. m atd e r. org.tr/index. php ? o p t i o n =com _co n t e n t &v iew = art i cl e&catid =8: m atem a t i k - ko ses i -m akal eleri&i d =6 4:il kog reti m - o kull a rin d a-kes i rl eri n -o gre t i m i - i i - ta n i y a - y on e l i k - e tk in li k l e r - d u z e n le me & I te m i d = 38 ,   2 0 03.  [8]   Yen ilmez,   K ,  and   Y a şa,  E,  " P r i m ary  S c h ool  S tud e nts’  M i s concep ti o n s   ab out  G eom e try , "  J o urna l o f  Ulud a ğ   Universit y  Educati o n   Facult y ,  vol .  21 (2),   p p .   461-4 8 3 ,  2 00 8.   [9]   İpek ,  A .   S ,  Iş ı k ,  C,   &   A lb ayrak,   M .,  " C o n cept u al   P erf o rm ances  o f   P r os pecti v e  P r im ary  Teaeher s   on   O perati on s  with  F raction , "   Jo ur na l o f  Ka z ı m Ka ra bekir  Ed uca t i on  Fa c u lt y ,   vol .  1,   p p .   5 37 -54 7 ,   2 00 5.  [10]    Demiri,  L .,  " Research ing   Teac h e rs  a n d   P re-S ervi ce  Teache r s ’ kn o wl edg e   o f  S t ud ents ’  Mis c on cept i on s  ab o u t  F r act io ns,"   M a s ter' s  Thesis,  M a rm ar a  U n i versity Instit u t e o f   Ed uca t i onal  Scien ces ,   Is tan bul,  Turk e y ,   201 3.   [11]   Gabriel,   F ,  Co ch é,  F ,  S z ucs,   D ,  Caret t e,  V ,  Rey ,   B ,   &  Co nten t,  A.,   "A  c ompone nti a l  vi ew   o f   children's  difficulties  in  l e a r ning   f ra c tio ns,"   D evelop men t a l  Psycho l o g y ,   v o l . 71 5 (4 ) , 1-1 2, 20 1 3 .   [12]   An th ony , G,  a n d   D i ng,  L .," Teachi ng  and  L e arn i n g   F ractio n s :  Les so n s   f ro m   A l tern ativ e  Exam ple  S p ace s, "  Curriculum  M a tt ers , vo l .   7,  pp .  1 5 9 -1 74 , 20 1 1 .   [13]   Bot t ge  B .  A,   M a  X,  G ass a way   L,  B u t l e r  M,  &   T ol and  M.  D .,  "Detec t i n g   a n d   C o rrectin g  Fract ions   C om putation   Error Pa tt e r ns , "   E xcept i on al Ch i l d r en ,   vol.   8 0 ( 2),   p p .   37 -255 ,  2 014.   [14]   New s tead ,   K ,   a nd  M u rray,   R . ,   " You n g   St uden t ’s  C on st ruct ion  of  F racti on,"  Proceed in gs  of t h e  2 2 0 0   Con f eren ce of  T h e  in te r n a t i o na l G r o u p  fo r  th e   Ps y c h ol og y  of  Ma th e m a t i c s  E d u c a t i o n ,  vo l.   3 ,  p p .   29 5-30 2,   S tel l l e nbo sh :  S o uth  Af r i ca, 1 99 8 .   [15]   Pu rno m o l ,  Y .   W ,  W i d o w at i ,   C ,  Aziz,  T .   A ,   &  P r amud i a ni ,   P.,  "F ra ct ion s   D ivi s ion  Knowledge  of   Elementary  S c ho ol  S tu den t :  T h e  Case  o f   Lala, "   Th e  4 th  Int e rna t i o n a l  Co n f erence  on  R e sea r ch,  Implem ent a t i o n ,  an d Edu c ation  of  M a th ematics  an d  Scien ce ( 4 th  ICRIEMS),  p p . 1 -8 , 20 1 7 .   [16]   S a x e ,   G .  B ,   T a y l o r ,   E ,  V ,   M c I n t o s h ,   C ,  &  G e a h a r t ,  M . ,   " R e - P r e s e nt ing   F r actio ns   w ith  S t a nd ard  No tat i ons:   A  De ve lo pme n t A n a l ysis,"   J o urna l fo r  Re se arc h   in  Mathematics Education ,   vol.  3 6 ,   pp .   1 37-1 5 7 ,   2 0 0 5.   [17]   Ol ku n,  S ,  an d  To lu k-Ucar,   Z .,  "Act ivity -Based  M at hem a ti cs  T each ing  in  P r i mary  E ducat ion , "  Ankara: An ı   Publish i ng , 2 01 2.  [18]   Ün lü ,  M,  a nd   E rtek in ,   E.,  " W hy  do   P re-S ervice  T eachers  P o s e   M ul t i p lic a tio n  Prob le m s   I ns te a d   o f  D i v i sion   P r ob lems  in   F r acti ons ? , "  Pr oced ia-S oci a l  an d  B e ha vior al Sci e nces ,   vol.   46,   pp.   4 9 0 -49 4 ,   2 01 2.  [19]    Tan ner,  K .,   " Wo rki ng  with   S tud e nts  to   H elp   T h em   U n d erst and   F r a ct ion s , "   Aus t ralian Pri m ary M a t h emat i c s   Clas sr oo m , vo l .   1 3 ( 3), p p.  28 - 31 ,   20 08 .   [20]   Tz ur,  R.,  " A n  Inte gra t e d   S tud y   of  C h i ldre n ’ s  Co nstru c tio n  o f   I m p r op er  F racti o n s   a nd  th e  Teach ers  Rol e   i n   Pro m o ting   Th a t   L e a r ning ,"   J o ur na l for   Re se arc h   in  Mathe ma tic s Edu c at io n , v ol . 3 0, p p.  39 0 -4 1 6 ,   19 99 .   [21]   Yo un g-Lo veri dge,   J,   T ay lo r,   M . ,   Häw e ra ,   N,   &   S harm a,   S . ,   " Y e a r   7-8  Students’   Solut i on  S trat e g i e s  f o r  A  Task   İnvol v ing   Additi on  o f   Unlike  Fr act ions, "   I n  F i n d ings  from  the  N um eracy   D eve l op ment  P rojects:  2 00 6   p p .  6 7 -8 4 ,   W e lli ngt on : M i n i st ry  of E d u c ati o ,  2 00 7.   [22]   Ş i a p ,   İ ,  a n d  D u r u ,  A ,   " T h e  A b i l i t y  t o   U s e   G e o m e t r i c a l  M o d e l s  i n   F ractions , "   Ka st amo n u  Educat io n Jo ur nal ,   vo l.  12(1 ) ,  p p .  8 9 -9 6,   2 0 04.   [23]   Dav i s,   E .  G .,  "Teachi n g   an d   Class r oo m   E x p e riment s  Deali n g   with  F r actio ns   a n d   P ropo rti o n a l  Reason in g, "  Jour na l  o f  Ma the m a tic al   Be h a v i or , vo l .   2 2 , pp . 1 07 -11 1 .   2 00 3.  [24]   De  C ast r o,  B . ,   " C o g n iti ve  M o d els :   T he  M is si n g   L in k  t o   L e a rn in g  F r acti o n   Mu lt ipli catio n   an d  Di v i s i on,"   Asi a   Pa cif i c E duca t i o n   Revi ew ,  vo l.   9 (2 ),   p p .   1 01 -112 , 2 00 8.   [25]   Işı k ,   C,   a nd   K ar,   T. ,   "An a ly zing  P r o b lems   P os e d   by  7 th   G rade  S tudent s  f o r  Ad dition  Operation  wi t h   F ract ions, "   El ement a ry Education  Online ,  vol .  11 (4),  p p .   1021 -10 3 5 ,   2 0 1 2 .   [26]   Ko caoğl u,   T ,   an d   Y e nil m ez,   K . ,   " 5   th   G ra de   S tu d e nts’  M ista ke s  a n d   M i sc on c e p ti on s  in   S o l ving   P rob l e m s  about  Fractions,"  Jou r n a l  o f   Di c l e U n iversi ty Zi ya Gökalp Education  F a cult y ,   vol.   14,   pp.   7 1-8 5 ,  201 0.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
Int.  J . Eva l . & Re s . Educ .   IS S N :   2252- 88 22       M i sc onc e p ti on s  of   pr i m ary  sc ho o l  st ude n t s a b o u t   the s u b j ec t   of f r a c t i o n s:  vie w s of . .. (Yas em in D e ring ö l )  37 [27]   M o s s ,  J,  a n d   C as e ,   R .,  "Dev elop in g  Ch il dren’s   U n d erst and i n g   o f  The  Ratio n a l   Num b ers:   A   N ew  M od el  a n d   Experi m e ntal   C u rri cul u m,"  Journal   for  R e search i n  Mathe m a t ics E d ucation ,   vol.  30 (2 ),   p p.  122 -14 7 ,  199 9.   [28]   Ol ku n,  S ,  a nd  To lu k ,   Z . ,   " Act i v i t y -Bas ed   M at hem a ti c s   T eachi n g   i n   P r im ary  Ed ucat ion "   An k a ra :   An ı  P ubli s h i ng , 2 00 3.   [29]   S o y l u,   Y .   and  S oyl u,   C . ,   "Learni ng   D ifficulti es  o f   5 th   C las s   i n  Pri m ary  E ducation  at   F racti on:   O rd erin g,   A dd ing,   S u b t racti o n ,   M ult ı i p li cati o n   in   F ract ion   an d  Pro b l e m s   R el ated   t o  F r a c t io n,"   J o u r na l  of  Erzinc a n  Edu c ation  Fac u l t y ,  v o l.   7 (2 ), p p.  10 1 - 1 1 7 , 20 0 5 .   [30]   S o y l u,   Y . ,   "Stu d e n t s   M a de  M istakes   an d  H a ve  M i s u nderstan d i n gs   R el ated  t o   Th e  F r acti o n s ,  and   Th e  A b i lit y  o f   Teach er  C an di dat e s  To  P redi ct  T he  S t uden t s ’ m i s t akes ,"  J o ur n a l o f  Con t e m p o r ary  Ed uc a t io n,   v o l .   33 (356 ),    pp .   3 1-39 ,  2 0 0 8 .  [31]   S t a f y l id ou ,  S ,   a nd   V os ni a d ou,   S . ,   " Th e  D e velo pm en t  o f   S tu d e n t s ’ und erst and i ng   o f   th e  N u meri ca l   Valu e  of  Fractions,"  L e arni ng  an d  In st ruc t io n ,  v o l . 14 , p p.  5 03 -51 8 , 2 00 4 .   [32]   Ti ro s h ,  D . ,  " E n h ancin g   P ros p ec t i ve  T e ach ers’  K n o w l edg e   o f   Chi l d re n’s  Co nc e p tio n s :   T h e   C a s e   of  D iv i s io n  o f   Fractions,"  Journal for  R e search   in  Mat h ema tics Education ,  vo l.  3 1(1 ) ,   p p.  5 -25 , 2 000 .   [33]   Bus h ,  S.  B ,  and   Karp,   K.  S . ,   " P r ereq ui sit e   A l g eb ra   a nd  A s s o ci at ed  M i s co nceptio n s   of   M id d l e  Grad e  S t ud ent s :  A  Revi ew,"  T h e  J o ur na l o f  M a t h emati c a l   Beh a vi or ,  v o l. 3 2,  p p.  61 3 - 6 32 , 20 1 3 .   [34]   S i e g l e r ,  R . S ,   F a z i o ,   L . K ,   B a i l e y ,   D . H ,  &  Z h o u ,  X . ,  " F r a c t i o n s :   Th e  New   F r on ti e r   f o r   T h e ori e s  of   N u m eri c a l   De ve lo pme n t,"   T r end s  in  Cognitive S c ien ces , vo l . 17 ( 1 ) , p p.  13 - 1 9 , 20 1 3 .   [35]   Al acacı,  C.,  "Mis concep ti ons   o f  S t u d en ts   a b o u t   F racti ons,"  ( Ed.   B in gö lb a l i ,   E .   v e   Ö z m a n ta r   M .   F . ) ,   M a th e m a t ic a l   Ch a l le n g e s  a nd  S olu t io n   Su gg e s t i on s,  An k a ra :  Pe g e mA   Pu bl ish i n g , 20 1 0 .   [36]    Ak s u,  M .,  "S tuden t   P erfo rm ance  in   D eal in g  w ith  F racti ons,"  Th e  Jo ur na l of Ed uca tio nal Res e ar c h ,  v o l.  9 0( 6) ,    pp .   3 75-3 8 0 ,   1 9 9 7.   [37]   Charal a m b o u s   C .   Y,   a nd   P itt a -P a n tazi ,  D.,  " R ev isi t i n g   A  Th eoret ical  M od el  o n  F r a c t i o n s:  I m p li cati ons   f o r   t each in g   and   Res e a r ch , "   In  Ch ick,  H . L. &   Vin cent, J.  L .   ( E d s .) , Pr oceed ing s  o f   t h e 29 th  Con f er e n ce o f   th e In tern atio nal   Gr ou p f o r  th e Psycho l og y  of  M a th ema tics  E ducati o n ,  v o l.   2 ,   pp.   233-2 4 0 ,   2 0 0 5 .   [38]   Kilpatr i ck,  J ,   S w a f f o rd ,  J,  &   F in dell ,   B. ,  " A ddi n g   it  up:  H el p i ng   c h ild ren  learn   math em ati c s .   N a t io nal  Acad em y  o f   S c ien c e s ," Nat ional  Research Co u n c il ,  Na t i o nal A c adem y   Pr ess ,   W a s h i ngto n ,  D C ,   2 001 .  [39]   H ı dı r o ğ l u,   Ç .   N. ,   " E v a l u a t i o n   of   F ract ions  U n it  of   S ec ondary  S c hoo l  5 th   G rades ’   M athem a tics   Curricul u m , "  Mast e r 's Thes i s,  P a mukkal e  University Ins titu te of   Educational Sci e nces , Den izli, T urk e y ,  2 01 6 .   [40]   Özdemi r,  B ,  G,  B ayraktar,   R,   &   Y ılm az,  M .,   " Expl anat ions  o f   Pri m a ry  a nd   M i d d l e  S c ho ol   M at h e m a ti cs  T e ach er s  on  Mis con c ep ti o n ,"  J o urn a l  o f  Tr ak y a  Univ e r sity   Ed uc at io n  Fac u lty ,   v o l .  7 ( 2),  p p .   28 4-3 05,   2 0 1 7 .   [41]   Yıldır ım,   A.  a nd  S i m şek,  H .,   " Q u al itativ e  res earch   m et hod s  in   s ocial   s c ien ces  ( 5 th  E d . ) , "   A n ka ra Se cki n  Publications,  20 0 5.   [42]   Balcı ,  A, "R e search  Met h o d s,  T ech niqu e s  a n d  Pr i nc ip le s in   S o c ia l Sciences, "   A n ka ra: PegemA  P ublishi ng , 20 0 5 .   [43]   Bü yü kö z t ürk ,   Ş ,  Kı lıç ,   Ç .   E ,   Ak gü n,  Ö .   E,   K a r a d e n iz ,  Ş ,   &   D e m ir e l .  F .,  " S ci en t i fi c   Res earch  M eth o d s ,"  Ankar a :  Pegem P ubl ish i n g , 20 1 2 .   [44]   Creswe l l ,   J.  W .,  " Q ualitative  Res ear ch  M ethods  ( Trans.   E ds :   Büt ü n ,   M .  &  D e m i r ,   S .  B ) . "   Ank a r a :    Si yas a l Boo k ,   20 14 .  [45]   Bibe r,  A ,   Ç,  T un a ,   &   A k t a ş ,  O.,  " S tu de n t s’  M isc o nc e p tio n s   o f  Fr acti ons   a n d   its  E ff ect  o n  S o lving   F r acti o n s   Pro b le m s , "   Tr akya  Un iversit y  Jo u r n a l of Ed ucation ,   vol.  3(2),   p p .   1 52-1 6 2 ,   2 013.  [46]   A k s o y ,   N .   C ,  a n d   Y a z l i k ,   D .  O . ,  S t u d e n t  E r r o r s   i n   F r a c t i o n s   a n d   P o s s i bl e  Causes   o f   Th e s e  Errors .  J o urn a l  of   Ed uca t io n a nd Tra i nin g  Stu d i e s ,   v o l .   1 1(5),   p p .   219 -2 33 ,   2 017 .  [47]   Idri s,   N ,  and  N a rayan a n,  L .   M . ,  "Error  Pat t erns  i n   Add ition   and   S ubt racti o n   of   F ract io n s   a mon g   F o r m  Two   Stud e n ts, "   Jo ur n a l of  M a t h em a tics Education,  vo l .   4(2 ) ,   pp . 3 5-5 4 ,  2 01 1.   [48]    Kurdal,  C . ,   " Studen t’ s  Err o r s   on  Ratı ̇ o  a n d   P r op o r tı ̇ o n s   D o n e   i n   Dy n a mic  and   In te rr ac t i ve  M a t h e mat i cs   Envi r o n m ent s ,"  Master's Thesis,  B a yb urt Univer s i ty ,  Bay b u r t,   T urk e y.   201 6.   [49]   Pe se n, C. ,   " S t u d e n ts’ M i sc o n c e ptio n s  a bo ut  Fra c tio ns , "   E d u c ation a nd  Scien c e , vo l . 1 43 (32 ) ,   pp . 7 9-8 8 , 2 00 7.   [50]   M eert,   G ,   Gré g o i re,   J,   & amp,   &   N o ë l,   M .   P. ,   "Com paring   t he  m ag n i t u d e  of   t wo   f racti ons   w ith  c o mmo nc o m po n e nts:   W h i c h   r e p re se nta t io ns   a re   u se d  by   1 0 - a n d  12 -y ear-olds? , "   J o urna l  of Ex pe rime n t a l  Ch i l d   Ps ychol og y , vo l .   1 0 7 ,   p p . 2 44 -25 9 , 2 01 0.   [51]   Chi nnap p an ,   M. ,   "Ch ild ren’s   Mapp in gs   o f   P a rt-who le  C on st ruct  o f   F racti o n s ,"  In   P .  Clar ks o n  et al .  (E d s .),  Co nfe r e n c e  of th e   Ma th e m a tic s  Ed uc a tion  Re s e arc h   Gro u p  of  Au stra la sia ,  M e lb ou rne ,   p p .   2 4 1-2 48,   S yd ney :   M a th ematics   Educat ion   Research   G ro up   o f  A u stral i a,  J ul,   2 005.  [52]   Loc ,   N .  P ,   T on g,  D .  H . ,   &   Ch a u ,  P.  T .,  " I d e nti f y i ng   t he   C on c e p t   “ Fract io n”  o f   P r im ary  S c hool   S t u d e n t s:   T he  İnvest igation   i n  Viet n am,"  E duc a t i o n a l Res e arch an d Review ,   vol.   1 2(8 ) ,  pp .  5 3 1 - 53 9.   2 01 7.  [53]   N d a lic ha k o ,  J.  L .,  " A n a ly si s  of   P upils’  Di ffi culti e s   i n  Sol v i n g   Q u e stio ns  R elat ed  t o   F r acti ons:  Th e  Case  o f   P r im ary   S c ho ol Leavi n g   Ex amin atio n   in Tanzan ia,"  Cr eati ve Ed uca t i o n ,   v o l. 4 (9),  p p.  69 - 73 , 20 1 3 .   [54]   Karaağ aç,   K .  an d  Kö se,  L.,  "E xamin a ti on  of  P re-S ervi ce  an d  In-S ervi ce  T e achers’  K n o w l e d g e   o f   St ud ent s ’  M i s c oncep ti ons  o n  th e  To pi c   of   F racti o n s , "   J o urna l o f  S a k ary a  Uni versit y  Educa t ion  Faculty ,   v o l.   30,    pp .   7 2-92 ,  2 0 1 5 .  [55]   Mohyuddi n ,   R .  G,  a nd  K halil,   U . ,   " Mi sc oncepti ons  o f   Student s   i n   L earn i n g   M at hem a ti cs  a t  P r i m ary   L e v e l, "  Bu ll etin  of E d u c ati on an d Resea r ch ,   vol.   3 8 ( 1),   pp.   1 3 3 -16 2 ,  20 1 6 .   [56]   Wo ng,   M ,   and  E v an s,   D . ,   "Student s’  C on cept u al  U nd erstan di ng   o f   Equivalent  F r acti o ns,"  Pr ocee di ng s of th e 30 th   an nu al co nf eren ce o f  th e  M a th ematics   Edu c ation Res e ar ch Gr o u p of   Au st ralasia  J .  W a t s o n   &   K .  Beswick  ( Ed s).   M a th ematics :  E s s ent i a l   R es earch,  Es s e ntial P r actic e-v o l . 2 , pp .  82 4 -8 33 , 20 0 7   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
           ISS N :   225 2- 8 8 2 2   In t .   J .   E v a l .  &   R e s .   E d u c .  V o l.  8 ,   N o .   1 ,  M ar c h  2 0 1 9 :   2 9   -  3 8   38 [57]   Yetim,   S .   a nd  A lkan  R . ,   " Common   M istakes   an d  M i sco n cep ti ons  o f   7 th   G rad e   S t uden t s   a b ou t  the  Rati onal  N u m b ers  and   P l acem ent   of   t h e   R ati onal   Num b e r s  o n   t he  N u m b e r  L i n e, "   M A N A S J o urna l of Sc i e nc e  Re se arc h e s ,  v o l .   1 1,  pp.   8 7 - 1 0 9,   201 0.   [58]   D o ğ a n-T e mu r,  Ö .,  "Op i n i ons  o f   Teach ers  o f   F o u rt h  an d  F i fth   Grad e  Abo u t   Teach ing   F r acti ons:  A  P h eno m enog rahi c Research, "   Du mlup ı nar Univer sity Jo ur nal of Soci a l  Sc i e nces ,   v o l.  29,   p p ,   2 03 -212 ,   2 01 5.  [59]   A l t ı p a rm a k ,   K,   a nd   Ö züd oğru ,   M . ,   " Erro r  an d  Mis c oncep ti on :  Re la ti on   o f   F r act ion  an d  P a rt-W h o l e , "   International   Jo ur na l of  H u man  Sci e nces,   v o l .  12 (2 ),   p p .   146 5-1 4 8 3 ,   201 5.   [60]   G ö k k u r t ,   B ,  Ş a h i n,   Ö .  So y l u,  Y ,  &  S o yl u ,   C .,   " Ex ami n i n g   P r e-S e r v i ce  Teachers '   P edag og ical   C o n ten t   K n o wled ge   on  F racti ons   i n   Terms  o f   S tud e nts’E rrors,"  Intern at io na l  O n lin e  Jo urn a l  o f  Ed ucatio na l  Scien ces ,  v o l.  5 (3) ,     p p .   71 9-73 5,   2013 .   [61]   Orhun,  N .,  "A  C ognitive  Gap  between   F ormal   Ari t h m etic  a nd  V i s ua l  Rep r esen tation   i n   F ractional   O p erati o n s ,"   Jo ur na l of In on u  U n i versity  Edu c at io n  F a cult y , v ol. 8 (14 ) ,   pp . 9 9-1 1 1 , 20 0 7 .   [62]   Baş g ü n ,   M.   a n d   E rs oy,   Y . ,   " N um bers   a n d   A rithm e t i c  I:  S om e  D i ffi culties  an d  M i s c oncep ti ons  i n  Teach in g   F r act io ns  a nd  D ecim a l  Num b ers , "   IV.   Science Ed uca t io n Con g r e s s   Pa per ,   p p .   604-6 0 8 ,   A nk ara:   M E B  P ublish i ng,   2 00 0.  [63]   P e s e n,   C . ,   " S t udents ’ Learn i ng   D iff i c u lties   an d  M i sco n cept i o n s   i n  P o in ti ng   t h e   F ract ion s   o n   T h e  N u m b er  L i n e,"   Jo ur na l of In on u  U n i versity  Edu c at io n  F a culty ,   v o l .   1 5 ( 9),  p p .   157-1 68,   2 0 0 8 .   [64]   K u tlu ca,  T ,  and   Ku tl uca,  S .,  " Th e  us e  o f   c oncrete  m ateri a ls   i n   t h e  t eachi ng  of   f ract ions, "   Ora l  p r es ent a t i o n   pre s e n te d  in  Tu r k ish Co mpu t e r  a n d  Ma the m a t ic s   Ed uc at io n S y mp osiu m ,   Karad e niz  Techn i cal  Univ e rsit y ,  20 13.  [65]   L e mmo,  A ,  Bra n chetti,  L ,  Ferrett i,  F ,  Ma ff i a ,  A ,   &   M art i gnone,   F.,  "Student s’   D i ffi cul t i e s  Dealing  with  N umber  Line :  A  Qu a l i t a tive   Ana l ys is  o f  a   Que s tion   f ro m  Na t i on a l   S ta nd a rdi zed  A s s es sm ent,"  Qu ader n i  di  Ricer ca in   Di da tt ic a  (M a t h e m a t i c s ) ,  vo l .   5( 2 ) ,  p p . 1 49 -15 6 ,   2 01 5.  [66]   Ok ur,  M ,   a nd   Ç a k ma k - Gü le r,   Z , "   6   th  a n d   7 th   G rade  S eco nd ary  S c h o o l   S tu dent s’  M is con cepti ons  a bo ut   F racti o n s,"  Erzinc a n  Un iv e r si ty  J o urna l o f   E d u c atio n  Fac u l t y , vo l .   18 (2 ), p p.   9 2 2 -9 5 2 , 20 1 6 .   [67]   Ö zcan,  Z .   Ç ,  Kılıç,   Ç,   a nd  O balar,   S .,   " W o rked-Out  Q ues t ions   S u p p o r te d  Wi th   S e l f- Ex pla n a t ıo n   Prom pt s  Fo r   De t e r m in a t io n  A n d   E l i m in a t i o n   of   S tu de n t s   M i st a k e s   i n   M a t h e m a t i cs,"  Jou r n a l of M e hm et Ak i f  E r s o y Un iver sity   E d ucation F a culty ,   v o l .   4 5 , p p.  1 -2 2, 2 01 8.   [68]   S c h u m acher,   R.  F ,  and   M a lo ne,  A .   S .,   " Erro r  P a ttern s  w i t h   F ract ion   Cal c ulat io n s   a t   F o urth   G rade  a s  a  F u nct i o n   o f  S t ud ents’M ath e m a tics  Achiev e m e nt Stat u s, "   Elem ent a r y  Sch ool Jo urn a l ,   v o l .  118(1 ) ,   p p.  1 05 -127.   201 7.   [69]   T r iven a, V ,  Nin g s ih ,  A.  R . , &  Ju p r i ,   A .,  " M i s co n cepti o n   o n  Add i ti on  and  S ubtraction   of   F r acti on a t  P rim a ry S ch oo l  S t ud ents  i n  Fif t h - Grad e.  I nt ernation a l  Co nf erence  on   M ath e matic s  and  S c i e nce  Ed ucat ion   (ICM S c E ),"  Jour na l of  P h ys ics :  Con f eren ce Ser i es  89 5  ( 2 01 7 )  0 1 2 1 3 9 ,  20 17 .  [70]   O j o s e,  B .,   " S t u d ents ’  Mis c o n cep ti ons  i n  Mathe m atics:  A nalys i s  o f  Rem e d i es  a n d   W h a t  Res e arch   S ays, "   Oh io   Jo ur na l of S c hool   M a th ematics ,  v ol .  72 ,   pp .   3 0 - 3 4 ,  2 01 5.   [71]   Ro se,  "M .  B,   L earners ’erro rs  a nd   M i s co ncept i o n s   Ass o cia t ed  w ith   C o m m o n   F r acti o n s ,"  M aster’s   T hesis,  Un i v ersity  o f  Jo h a nn esbu rg, 20 1 1 .  [72]     E roğlu ,   D .,  " Ex am ining   P r os p ect ive  Ele m en tary   M athem a tics  Teac h e rs’Kno wle d ge   A bo ut  S tu d e nt s’  M ista ke s   Rel a ted to Fract ions ,"  M as ter's Thesi s ,  Mi ddl e  E a st T echn i ca l U n ivers i t y ,   A n k ara,   T urk e y,   201 2 .       BIOGRAPH Y   O F  AUTHOR      In   2 002   S he  g radu ated   f rom   Is ta n bul   U niv e rsity   E l e m e ntary   M a th e ma tic s  D e pa rt me nt   an d  i n   2 00 3 ,   s h e   c om pl eted   h i s   u nd ergradu a te  e d u cat io n  at   t h e   s am e  u n i v ersity .   Bet w een   2 00 3  an d  20 15 ,  S h e  wo rked   a s  a  research   a s s i s t a nt  a t   Is t a n bul  U n i versi t y,  H a san   A l i   Y ü cel   F acul t y   of   E du c a ti on ,  Elem en tary  E ducat io n  Depa rtm e nt.   Since  20 15 ,   s h e  has  be en  w ork i n g   a s   an   A s s istan t   P rof e ss or  i n  the  Depart men t   o f  P r i m a r y  S c h o o l   T eachi n g ,   t e ach in g  mat h em atics,  c las s ro om   e d u c a t i on ,  t eacher   t r a i ning   a nd   h igh e r-ord e r   th in k i ng   s k i l l s .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.