Int ern at i onal  Journ al of Ele ctrical  an d  Co mput er  En gin eeri ng   (IJ E C E)   Vo l.   10 ,  No.   4 ,  A ugus t   2020 ,   pp.  44 26 ~ 44 35   IS S N: 20 88 - 8708 ,  DOI: 10 .11 591/ ij ece . v10 i 4 . p p4 426 - 44 35          4426       Journ al h om e page :  http: // ij ece.i aesc or e.c om/i nd ex .ph p/IJ ECE   Discr ete  penguin s search  op timizati on alg or i thm to s olve    flow sho p schedu lin g prob lem       Ilya ss  M z il i 1 , M oha mmed E ssa id  Rif fi 2 , F at ih a  Be nz ak r i 3   1 ,2 Depa rtment   of   Com pute r  Sci en ce ,   Facu lty   of   Sc ie nc es,   Chou aï b  Doukkali   Univ er sit y ,   Moroc co   3 Depa rtment of  Mat hematics,  Fa cul t y   of  Sci ence, Choua ïb   Doukkali Unive rsit y ,   Morocc o       Art ic le  In f o     ABSTR A CT    Art ic le  history:   Re cei ved   J un  30 , 2 019   Re vised  Dec   2 6 ,   2019   Accepte d  Fe b 24 , 202 0       Flow  shop  sche duli ng  prob lem   is  one  of  t he  m ost  cl assi ca l  NP - har d  opti m iz ation   pro ble m .   W hic h  aim s  to  find  the  b est  pla nn ing  th at  m ini m iz es   the   m ake span  (t ota l  completion  ti m e)  of  a  set  of  ta sks   in  a  set  o f  m ac hine s  with  c ert a in  co nstrai nts.   In  this   pape r ,   we   pro pose  a  n ew  na t ure   inspir ed  m et ahe urist ic   to   solve  the   f low  shop  sche dul in g  proble m   (FSSP ),   ca lle d   pengui ns  sea r ch   opti m iz a ti on  a lgori thm  (PeSO A)  base d  on  c oll abor at iv e  hunti ng  strateg y  of  pengui ns.T h e  oper a tors  and  par amete r  v al ue s  of  PeSOA  red efi n ed  to   sol ve  th is  proble m .   Th e  p erf orm a nce   of   th e  peng uins  sea rch   opti m iz ation  a lg orit hm   is  te sted  on  a  set  of  benc hm ark s  insta nces   of  F SSP  from   OR - Li bra r y ,   Th e  r esult s  o f  the  te sts   show   that  PeSO A  is  superior   to   som e  othe r  m eta heur isti cs  al gor ithm s,  in  te rm s  of   the  qualit y   o f  th e  soluti ons   found  and the e x ec ut ion  t ime.     Ke yw or d s :   Co m bin at or ia l  op ti m iz ation     Flow   s hop  sc hedulin g  pro bl e m   PeSOA   Ma kesp a n   Me ta heu risti cs   NP - Ha rd   Copyright   ©   202 0   Instit ut e  o f Ad vanc ed   Engi n ee r ing  and  S cienc e .    Al l   rights re serv ed .   Corres pond in g  Aut h or :   Ily ass Mzi li ,    Dep a rtm ent o f C om pu te r  Scie nce, Fa culty   of Sciences ,    Chouaib  Do ukkali U niv e rsity ,    El Jadida , M orocco .   Em a il :  dr .m zili .il ya ss@g m ai l. com       1.   INTROD U CTION   The  Sc he du li ng  is  a  branc h  of   t his  operati on al   researc h  in  pro duct ion   m anag em ent  t hat  ai m s  to   i m pr ove  the   ef fici ency  of  a  c om pan y  in  te r m s  of   pro du ct i on  costs   an d  de li ver y  tim es.  Sche du li ng  pr ob le m s  app ea r  in  al l  areas  of  the  e conom y:   co m pu te rs,   c on st ruct ion   ( pro j ect   m anag em ent),   industry  ( wor kshops   pro blem s,  pr od uction  m anag e m ent),   adm inist rati on   ( sche du le )  .Th e  flo w  s hop  prob le m   scheduli n g  [ 1]  is  on e  of   t he  m os t  diff ic ult  c om bin at or ia l  opti m izati on   prob le m   belo ngin g  to  NP - ha rd  pro bl e m   [2 ]   fam ily ,  it   is  widely   know n  in  the  industr y.  The  so l utio n  to  the  prob l e m   in  find in g  an  orde r  f or   e xecu ti on  of   ta sk s  on   m achines s ubj e ct  to  m any constrai nt s in  an o pti m al  tim e.   Ov e r  the  la st  few   deca des,   na ture  has  been  a  so ur ce  of   in sp irat io n  f or   m any  m et aheu ri sti cs,  wh ic h  has  bee n  intr oduce d  to  s olv e   op ti m iz a ti on   pro blem s.  A  s et   of   these  m e ta heurist ic s  has  been   te ste d  t o  so l ve   discrete  pr ob le m s .  The  resu lt s  of   t hese  te st s  are  not  uni que,  the  qual it y  of   s olu ti ons  var ie s  acc ordi ng   t o     the  char act eri sti cs  and   cat egory  of   m et ho d.  Ge ner al ly ,   m et ho ds   bas ed  on  par ti cl e  popu la ti on  swar m   intel li gen ce  al gorithm s  pr ovidin g  so l ution s  of   good  qual it y,  fo r  e xam ple:  bat  a lgo rithm   (BA)   [ 3,   4],  pa rtic le   swar m   op ti m izati on   ( PS O)   [5] ,  arti fici al   bee  colo ny  ( ABC)   [6 ] ,  cat   s war m   op ti m iz ation   ( CSO)   [ 7,   8],  hunti ng   search   al gorit hm   (H uS)   [9 ] ,   el ep han t  he rd i ng   opti m izati on   ( EH O   [ 10 ] ,   swall ow   swa rm   op ti m iz at ion   (S S O)   [11],  golde n  ba ll   al gorithm   (G BA )   [12,   13 ] ,   c uc koo  sea rch   (C S)   [ 14] ,  chick en  swa rm   al go rithm   (CSA)   [ 15 - 16]   and   flo we r  poll inati on   al gorithm   (F PA)   [17 ] .  In   this  con te xt  we  pro pose d  a  new   m et aheu risti c  of   s wa rm   intel l igence  i ns pi red  by  nat ur e  nom inate   PeS OA ,   to  s olv e  the   f lo w  s hop  sc he duli ng   prob le m   on e  of   the  NP - ha rd   pro blem   in  c om bin at or ia l  op ti m iz ation .   PeSOA  is  an   op t im iz at ion   te chn iq ue  in sp ire d  by   the  hu nting   str at egy  of  pe ngui ns ,  wh ic h  wa s   devel oped  t o  deal  with  opti m iz at ion   prob l e m s  in  the  co nt inu ous   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Discret e p e ngui ns  se ar c h op ti miza ti on  algori thm  t o  s olve fl ow  shop sc hedul ing   pro blem   ( Il yass  M zil i )   4427   case.  Re centl y,  this  al go rit hm   has  been   use d  to  so l ve  di screte  prob le m s   [18 - 20]   be cause  of  the  s at isfie d  resu lt s i n  the  c on ti nu ous case .   In   this  pa per,  we  pro pose  an   adap ta ti on   of   PeSOA  al gorithm   to  so lve  FSSP .  I n  this  one,  we  ada pt     the  par am et ers  val ues  a nd  operat or s   Pe S O A  to  fin d  good - qual it y  so luti on s .  The  pe rfor m ance  of   P eSO A  al gorithm   eval uated  by  a  te st  on   a  set   of   be nch m ark s  of  FSSP   f r om   the  OR - Lib rar y  of   va rio us   siz e s  and     a  com par ison   with  oth e r  m étah eu risti cs.    The  orga nizat io nal  structu re  of  this  pap e r  as   fo ll o w s:  The  seco nd   sect ion   is  con t ai ns   a  sh ort   de scriptio n  of  flo w  shop   sc he duli ng   pro blem .I n  the  thir d  sect ion   PeS O A  al gorithm   are  presente d.I n  the  f ourth  s ect ion ,a da ptati on   of   Pe SOA  to  so lve  t he  F SSP.   T he  ex pe rim ental   resu lt s  and   discuss i on   in  the  fifth   sect ion. Finall y, a  co nc lusio n  a nd p e r sp ect ives.       2.   FLOW S HOP  SCHED ULI NG PR OBL EM SE ARCH     2 . 1.     Present at i on   The  FSSP  is  a n  im po rtant  iss ue  in   pr oduction  sc hedulin g.  This  pro blem   was  first  pro posed  i n  19 54   by  Johnso n   [ 21]   and   cl assi fied  as  a  NP - hard   prob le m .  The   FSSP   is  descr i bed   by  a  set   n  j obs  J  =  { 1, . ..,   n}  not   relat ed,   m us t  be  treat e d  in  m   m achines  in  M  =  { 1,...,  m }.  Each  j ob  j   c on ta in s  a  s equ e nce  of  op erati on s     O  =  {O j i,  j   ∈   {1, . ..,   n}  a nd   i   ∈   {1,... ,  m }}  wh ic h  ha ve  be en  exec ute d  in   a  giv e n  or der.   Fo ll owin g  thi s  orde r,   each  operati on   Oij   m us t  be  per f or m ed  on   a  sp eci fied  m achine  k  f or   a  s pe ci fied  tim e  Pijk .  Eac h  m achi ne  can   on ly   process  one  job   at   a  tim e,  and   eac h  job  has  to  go   th rough  each  m achine  on ce  a nd   only   on ce.  T he  FSSP  consi sts  in  fin ding  a  schedul e  to   per f or m   op erati ons  on  th e  m achines  that  m ini m iz es   the  C m ax  ( m akesp a n) ,    ie  the tim e req uire d  to  p e rform  a ll  j obs.       2 . 2 .    Formul at i on   FSSP   a re  of te n  desig nated  by  the  ,  n,  π  and  m ax  sy m bo l s  wh e re    re presents  the  num ber   of   j obs ;     is t he  num ber   of  m achines,  π = ( 1 ,  2 . ..  )  is a  plan ning  pe rm utati on  of a ll  j obs a nd  m ax  is t he  m akesp an .   Let   t  ( ,  )   ( 1  ≤     ≤  ,   1  ≤     ≤  m )  the  process ing   ti m es  of   jo b    on  t he  m ac hin e  ,  as su m i ng  that  th e  pr e par at io n  tim e  fo r  each  j ob  is  zer o  or  include d  in  t he  w orkin g  ti m e  treatm ent,   ;  π  =  ( 1 ,  2 ,  ... ,  n )  is  a  pl ann i ng   per m utati on   of  al l  jobs.  Π  is   the  overall   plan ning  of  pe rm utati on .     ( ,  )   is  the  c om pleti on  ti m e  of   the   j ob     on   t he  m achine  .Th e  c om pl et ion   tim e  of   the  flo w  s hop  pro blem   planning  π  =  ( 1 ,  2 ,   ... ,  )  is  il lus trat ed     as foll ows   :     ( 1 , 1 ) = ( 1 , 1 ) ,     (1)     ( , 1 ) = ( − 1 , 1 ) + ( , 1 ) ,       =  2,   3,…,  ,    (2)     ( 1 , ) = ( 1 , − 1 ) + ( 1 , ) ,           =  2, 3, … ,   ,    (3)     ( , ) = ma x { ( − 1 , ) , ( , − 1 ) }   + ( 1 , ) ,            =  2,   3,  ,    = 2,  3,   . . . ,  ,    (4)     ∗   = a r g  { m a x ( )  =    ( ,  )} →  m in,  ∀   ∈   Π,     (5)     w he r e  π  *  is  t he   m os t  app r opr ia te   arr an gem e nt  w hich   is  the   pur pose  of  t he   per m utati on   of  fl ow   sho p  prob le m   to f i nd  m ax  ( π *) as t he  m ini m al  co m po ne nt.   We  co ns i der   th e  flow   sho p  sc hedulin g  pr ob l e m :  in  a  car  paint  factor y.  We   cal culat ed  the  durati on  of   paintin g  of  two  cars  ( j obs ),   knowin g  that  car  paintin g  is  a  sequ ence  of  two  oper at io ns ,  de greasi ng   and   paintin g  (m ac hin es ).   T he  F igure  1  prese nt s  the  tim e   req uire d  to  de gr e ase  and   pa int  the  two  cars  1  and   2.     The  pro blem   data  is  tw o  job s ,  tw o  m achine  a nd  the  com p le ti on   ti m e  of   eac h  job   on  eac h  m achine.     The  opti m al  prob le m  so luti on is car2   -   car 1,   the co m pleti on  tim e  ( C m ax)  is 1 2.   The  F ig ure 2  show s the  us e of   a g a ntt cha rt to  calc ulate  the  c om pleti on   tim e   an d  the  p la nning t he  im ple m entat ion   of the   so luti on.         De greasi ng   Painti ng   Ca r1   5   3   Ca r2   4   4     Figure  1. The   processi ng tim e of the  cars  p a int         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  4 ,  A ugus t  2020  :   4426   -   4435   4428   TASK  NA ME   TI M E   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   Deg reasing   Car2   Car1         Pain tin g             Car2     Car1     Figure  2 .  G a ntt cha rt       3.   PeSO A ALG ORI TH M   The  PeS OA   a lgorit hm   is  a  n ew  m et aheu r ist ic   [2 2]  natu re - in sp ire d  ba sed  on  the  co ll abo rati ve   huntin g  beh a vi or   of  pe ngui ns .  The   hu nting  strat egy  of   pe nguins  ba s e  on  c ollabor at e  their  ef f ort s  an d  synch ronize  t he ir  di ves  t o  optim iz e  the  gl ob al   e ne rg y   i n  the  process   of  c ollec ti ve  hu nting   a nd  nutr it ion .  Pengui ns   div i de  int o  gr oups  to  sta rt  hunting.  As  peng uin s  eat   fis h,   t he y  are  di ving  to  ha rv e st  f ood  un ti l   ox y gen rese r ve s ar e  de plete d.   The  huntin g  st rategy  of   pe nguin s;  eac h  gro up  of  peng uin s   sta rts  sear chi ng  in   a  s pecific  po sit io n  a nd   ran dom   le vels,  the  pe ngui n  of   eac h  gro up  looks  for  foo ds   in   ra ndom   way  an d  in divi du al ly   in  it s  gro up,    and   a fter  a n  a ppr ox im at e  nu m ber   of   di ves,  the  pe nguin s  get  bac k  on  t he  ic e  to  sh a r e  with  it s  aff il ia te s.     I f  the  am ou nt o f  f ood  i n  a  posit ion   is  no t  en ough  f or   the g r oup,  p art  of  the   group  m igrates  to  ano t her  p osi ti on.   The gr oup t hat  at e the m os t fish gives  u s  the l ocati on of t he r ic h  f ood re pr es ented by t he   hole  an d t he  le vel .    The  PeS O A  al gorithm   is  per fo rm ed  thr ough   a  set   of   pe ngui n  popula ti on   ( rand om   init ia l  so luti ons ).   In   t he  nex t  st ep,   t he  am ou nt  of  fis h  c onsu m ed  is  the   obj ect ive  f unct ion   relat e d  to  eac h  m e m b er  of     the  popula ti on.  The  op ti m al   value  of   the  obj ect iv e  f un ct i on   pr e sente d  the  locat io n  w her e  th ere  is  a   la rg e   a m ou nt  of  f ood,   w hich  wa s  gr a nted  b y  the   gr ou ps .  T o  find   a  locat io n  of   en ough  f ood  (b e st  so luti ons ) ,   peng uin s  m ov e to a ne w  locat i on ide ntifie d.  This m ov em ent ex presse d  t his for m ula f ollo ws   ;      =  +   × |   −  |   (6)     w he re  ra nd  is  a  rand om   nu m ber   for  distrib ut ion ;  an d  we  ha ve  th ree  s olu t ion ,  X bestlocal   the  best  local   s olu ti on,   X id   the last  s ol ution an d  t he X new   is a  new s olu ti on.T he ps eudo   c ode  of the Pe SOA al gorithm :     Algori thm 1   :  P seudo - code   o f  P eSOA     1.   Generate random population P of the initial solutions  (penguins);   2.   Initialize the probability of existence of fish in the  holes - levels;   3.   While (the stop condition is not satisfied) do   4.   For ea ch i individual of P do   5.   While (RO2> 0) do   6.     -   Take a random step   7.     -   Improve the penguin position using Eq (6);   8.     -   Update quantities of fish eaten for this penguin.   9.   End while   10.   End for    11.   Update quantities of eaten fish in the holes - levels.   12.   Update the best group .   13.   Recalculate the probability of existence of fish in the  holes - levels   14.   Update best -   solution    15.   End while   16.   Return best solution.       4.   APPL Y  PeS O A  TO  FLOW   SHOP  S CHE DU LI NG PR OBL EM   We  a pp li e d  P eSO A  on  FS S P  to  im pr ove  the  res ults  a nd  to   s how  it s  perform ance  against   othe r   m et aheu risti cs.   The  PeS OA   as  al l  m e ta heurist ic s  introdu c ed  init ia ll y  fo r  con ti nu ou s  optim iz at ion ,  PeSOA   sta nd a rd   c on ti nuous  co ding  schem e  cann ot   be  us ed  di re ct ly   to  so lve  discrete  pro bl e m s  li ke  flow   sh op   pro blem ,  we  adap t  t he  al go rithm   par am et ers   an d  the   FS SP  so luti on  form   i n  the   sp a ce  a nd  the   tra ns it ion  from   the curre nt s ol ution t o  a nothe r on e .     4 . 1.     FSSP solu tion   The  posit io n  of   peng uin   prese nts  a  so luti on. Th ere f or e, PeSOA  c onside red  a  pengu i n  in  a   popula ti on  as  a  s olu ti on  i n  the   searc h  s pa ce.   Co ns ide ri ng  an   instanc e  of   FSS P,  for  e xam ple  T able   1  that  c onta ins   4  job s  and 3 m achines,  a nd each  jo b o per at io n  is  as so ci at ed wit h  it s m achine and  processi ng tim e.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Discret e p e ngui ns  se ar c h op ti miza ti on  algori thm  t o  s olve fl ow  shop sc hedul ing   pro blem   ( Il yass  M zil i )   4429   Table  1.   FSS P  instance  (4 × 3)     M1   M2   M3   J1   6   1   4   J2   3   6   2   J3   1   2   1       A  so l ution   of   FSSP   insta nce  is  a  per m utati o n  of  job s  that  can  be  prese nt ed  by  a  series  of   n  intege rs  (Jobs )  S   =  { 1,   2,   3...  n},  eac h  intege r  i  in   th e  series  is  desi gn at e d  th e  in de x  of  jo b  a nd  the  order  of  i  i n  S   is     the  order   of   processin g  of  the se  j obs  in  each   m achine.  In   our  e xam ple,  con side r  an  init ia l  so luti on   of   in sta nce   (4.3)  2 - 1 - 4 - 3  wh ic h  re pr ese nts  the  orde r  of   processi ng  of   the  4  jo bs  on   eac h  m a chine.   For  ex a m ple,    the  m achines  sta rts  processi ng  jo bs   2  an d  e nd s   with  job s  3.   C on si der i ng  Table  1  a nd  the  init ia l  so luti on,   w e   can  desig n  the   Ga ntt  char t  a s  show n  i n  Fi gure  3   of   t he  i niti al   so luti on  (2 - 1 - 4 - 3)   t o  ca lc ulate   the  ob je ct ive  functi on ( Cm ax) o f pro po se d solutio n. The   m akesp a n of  t he  instance  so l ut ion  is  21.       Machin es   Ti m e   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   M1   2   1   4   3                     M2         2   1     4   3                 M3                     2   1   4   3     Figure  3. Ga ntt cha rt of initi al  so l ution 2 - 1 - 4 - 3 (S=  (2 - 1 - 4 - 3))       4 . 2 .    Positi on   u pd ati ng o f  Pe SO A   The  tran sit ion   from  o ne  so luti on  to  a no t her  i n  the searc h  spa ce is an o per a ti on  b ase d  on the notion   of   le ng th  a nd  to polo gy.  T he  le ngth  is  desig nat ed  as  the  c os t  of   s olu ti on,   the   topolo gy  of  pa ssage  is  a  te c hn i qu e   perform ed  by t he op e rato rs of  ( 7 )      =  ⊕   ⊗ (  −  )     (7)     w he re  ra nd   is  a  ran dom   nu m ber   f or   distrib ution ;  an d  we  hav e  th ree  so l ution,  the  best   local   so luti on  (S best ),    the curre nt s ol ution ( S id )  a nd  the n e w sol utio n (S new ).   The o per at io ns i n  (7)   def i ned  as foll ows:   a)   Substr uction o per at i on  −   An  ope rati on  be tween  t wo  s olu ti ons(sc he du li ng)  S 1   an d  S 2 ,  wh ic h  giv es   a  disp la cem ent  ve ct or   Q.  in   this way,  ex tra ct s the  per m utati on s a ppli ed  t o  the  tw o  s olu t ion s  S 2   to  obtai n  S 1 ,  for e xam ple:     Wh et her   S 1   =   {j 1 , j 2,   j 3,   j 4 …  j n - 1,   j n }  a nd S 2 =   {j 2 ,  j 3,   j 1,   j 4 …  j n,   j n - 1 }   Q= S 1  -   S 2    t he n Q =  {( j 1 ,   j 2 ),  ( j 2 ,  j 3 ),   …, ( j n ,   j n - 1 )}     In o t her   w ords S 1  -   S 2= Q       S 1 ⊕ Q=S 2      b)   Additi on ope ra ti on   ⊕   An  operati on   betwee n  tw o  di ff ere nt  var ia bl es,  a  s olu ti on  S 2   an d  a  vecto r  Q ,  giv e  a   sol ution   S new .    Is  a n  a p plica ti on  of  the   pe r m uta ti on s  of   t he  vecto r  Q  t o  the   so l utio n  S 2   f or  obta in   a  ne w  s olu ti on  S new ,    for  e xam ple:     Wh et her   S 2   =  {j 1 , j 2,   j 3,   j 4 , j 5 … ,   j n }  a nd  Q  = {(j 3 ,j 1 ) ,(   j 4 ,j 3 ) ,(   j 2 ,j 5 )}   S new =S 2 ⊕ Q     th en   S new   = {j 4 , j 5,   j 1,   j 3 , j2,…,  j n }     c)   Mult ipli cat ion   op e r at io n  ⊗     An  op e rati on  betwee n  a  real   num ber   r   ( r [ 0 , 1 ] )  and  disp la cem ent  vecto r  Q.  The   m ai n  ro le   of   this   op e rati on  is  to   reduce  the  nu m ber   of   per m utati on s  of  the  vecto r  Q  acc or ding  to  t he  val ue  of  r .   We  co ns ide r   a d is placem ent  v ect or  Q of n   c ouple  of p e rm utati on       Q =   { (c 1 , c 2),   (c 3,   c 4) , (c 5,  c 6) … ,   (c 2n - 1 ,x 2n) }  an d r eal  n um ber   0≤  r  ≤ 1 .    Q’ = r×Q   T hen   m =r ×  n ≤ n,   Q ’   =  {(c 1 ,  c 2),   (c 3,   c 4) … ,   (c 2m - 1 , c 2m ) }       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  4 ,  A ugus t  2020  :   4426   -   4435   4430   The  Fi gure  4  i ll us trat es  the  use   of  the   oper at or s  of  ( 7 )   to   m ov e  it   from   the  c urren t  sol ution   S Id   t o    a n e w  s olu ti on  S new .           Figure  4. Illust rati on of P e SOA  op e rato rs funct ion.       4 . 3 .    The PeSO A _ FSSP  Algori t hm   As  any  al gorithm ,  the  first  st ep  in  the  PeS OA   al gorithm   is  to  init ia l iz e  so m e  necessary  par am et ers  for  good   an d  e ff ic ie nt  operati on   of   the  al go r it h m .  In   the  pr opos e d  al gorit hm ,  a  few   par a m et ers  are  to  be   set.   Steps  of the  pr opos e d  al gorithm  ( PeSOA)  a re  pr ese nted  b e low.    Step   1:  I niti al i zat ion   -   I niti al iz e a po pu la ti on size  p    -   G ene rate ra ndom  p op ulati on P  of t he  init ia l solutio ns   S  ( sche du le s ).   -   I niti al iz e Ro2 an d  the  g l obal  so l ution S gbest   Step  2 : C al cula te  co m pleti on  tim e (C m ax)  fo r  al l sol utio ns  i n  P   Step  3:   Ca lc ula te  S best   the  best sch e dule  in p   Step  4 : F or eac h  s olu ti on  (sc he du le s ),  c al c ul at e h er  n e w ver s ion usi ng  ( 7).    Step  5 : Im pr ov ing   of  popula ti on so l utio ns   usi ng   desce nt m e thod.   Step  6 : U pdat e S best   an d  S gbest   as foll ows:      If   (Cm ax( Sid)  < Cm ax  (S best )) The n           S best =Ji d.     If   (Cm ax  (S best )  < Cm ax  (S gbes t ))  T he n        S gbest   = S best ;     Step  7 : Sto p  it e ra ti on s  if st op  conditi on is sat isfed.    Re turn to St ep 4, othe r wise.      The  s olu ti on  of  the  pro blem  is  the last   S gbest . Fi gure  5  s hows  the  flo wch a rt  of the  pro pose d  al go rithm .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Discret e p e ngui ns  se ar c h op ti miza ti on  algori thm  t o  s olve fl ow  shop sc hedul ing   pro blem   ( Il yass  M zil i )   4431       Figure  5. Flo w char t  of the  pro po s ed  alg or it hm  ( PeSO A _F S SP)       5.   E X PERI MEN TAL RES UL TS A ND DIS CUSSIO N     In   t his  sect ion,   we  eval uated   the  PeS OA   by   31   ben c hm a rk s  i ns ta nces  f ro m   the  OR - L ibrar y  [ 23 ],  us in g  c   la nga ge .  T he  res ults  of  this  e xperi m ent  are  extra ct ed  from   a  com pu te r  with  In te l  (R)  Core  (TM)  2  process or   D ual  CPU  2.00G Hz   M370@ 2.4 0G HZ  2.40   G Hz  and   4.0 0  GB  of  RAM.  Eac h  i ns ta nces  is  te st ed  10   tim es  with  the  program .   Experim ental   resu lt s  and   a naly sis  are  div i ded   i nt o  th ree  par ts.  First,  in  sect io n  1,   we  e valuate  t he  e ff ect   of  im po rtant  pa ra m et ers  on  the   pro posed   al gorithm .  In  sec ti on   2 ,  we  present   the co m pu ta ti on al  r esults o f  the PeS OA  alg or it hm  w hen  a pp li ed  to s om e  instances of th e O R - li br a ry and   fina l   sect ion ;  we   c om par e  our  re su lt s  with  othe r  m et aheu risti cs  to  stu dy  the   perform ance  an d  the  e ff i ci ency   of PeS OA.     5 . 1.     Par amet ers   of  P eSO A _FS S P   The  al gorithm   perform ance  app ea r  in  the  good  set ti ng   of  the  pa ram et e rs.   S o,   at   first   we  m ake     a  regulat ion   of   the  value s  of  the  key  par am eter s  f or   t he  obta ining   a n  ef fecti ve  ada ptati on.  The  F ig ure  6  s how s   the  res ults  of  us e  Hel 1  ( 100  x  10 )  inst an ce  of  OR - li br a ry  to  te st  the  eff ect   of   par am et ers  PeSOA.   This  insta nce  con ta in s  10 0  job s   f or   10 - m achine. We  i ncrea se  the  po pula ti on   siz e  of   t he  al gorithm   ran gi ng  from   10   to  60 ,  an d  m ark ed  the  qual it y  of   the  so luti on   found.   T he  op ti m al   so luti on   a pp ea re d  in  p oi nt  40.  Ther e f or e,   we   set  the  popula ti on size at   40 fo r  this e xperim e nt.   In   F ig ur es   7  an d  8  w e  use d  tw o  insta nce  Hel 1(1 00   x  10)  a nd  Re C7   ( 20  x  10),   t o  fin d  the   good  value   of   par am et er  RO2 .   W e  va r y  the  value s  of  RO 2  f r om   0  to  30  a nd   m ark s  t he  dev ia ti on   of   th e  le ng t h  of     the  so luti on  f ound  ove r  the  le ng t h  of  the  be st  so luti on,  and   ti m e   execut ion s. At  point  10,  we  f ound  good   so luti ons  qual it y i n  reas onable  tim e. So , t he v al ue  of R o2 m us t  be  fi xed it   10 for t his e xp erience.     Cost = le ngt h   of   th e   sol ution   foun d − le ngt h   of   th e   op t ima l   sol ution   (8)     The val ues  of t he param et ers  us e d  in  this e xperim ent are  s how n  in  Ta ble  2.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  4 ,  A ugus t  2020  :   4426   -   4435   4432       Figure  6.  T he  im pact o f  inc re asi n g t he PeS O A pop ulati on   s iz e (M)           Table  2.  T he  P aram et ers  of  P eSO A   Para m eters   Meanin g   Valu e   Gen e   Maxi m u m  nu m b er  of  iter atio n s   1000   M   Po p u latio n  size   40   RO2   o x y g en  r eserve   10       5 . 2.   C omp u t ati on al re sults   The  nu m erical   resu lt s  of   t hi s  ada ptati on   a re  prese nted  i n  T a ble  3.  T he  fi rst  col umn  c on ta ins     the  nam e  of   th e  instance   ‘ I nst ance’,  the   col um n  ‘n ×m ’  re pr ese nts  n  job  for  m   m ac hin e.  T he  c olu m n  ‘ BKS ’   sh ow  the  best   resu lt   pro pos ed  by  the  ot he r  al gorithm s.  The  col um n  ‘Best ’  and   ‘ Wo rst ’  presents  the  best  resu lt s  a nd   th e   worst  res ults  ob ta ine d  by  th e  app li cat io n  of   th e  PeS OA  m et ho d  f or  the  sel ect ed  in sta nce .     The  col um ns   ‘Aver a ge ’  co nt ai n  inform at i on   on   a ver a ge ,  the  colum n  ‘P Da v(%) ’  de no te s  the  per c entage   dev ia ti on  of  th e  aver a ge  of  le ng t h  of  so l utio ns   f ound  ove r  the  le ng t h  of  the  opti m a l  so luti on   i n  10  r un s  an d  the last  co l um n  ‘Tim e’ s hows   the av e ra ge  e xe cution t im e in  seco nds  for  th e 10  runs .     PDav ( % ) = BKS − A v e ra g e BKS × 100%   (9)     Table  3  prese nts  the  com puta ti on al   resu lt s   of   PeS OA   al gorithm   on   31  instances  of  OR - li brary.     The  col um n  ‘P Dav(% )’   w hic h  ta kes  the  value  0.0 0  ndic at ed  in  bold   wh e n  al l  the  so luti on s  fou nd   i n  10  te st s   are  e qu al   with   the  le ngth   of  t he  best  known   so luti on,   an d  t he  value   le ss  t han  0.0 0  in  bold - blu e ,  if   the  a ver a ge   of   s olu ti ons  found  on   al l  the  t est s  is  le ss  than  the  le ng t h  of   the  best  know n  s olu ti on,  in  t his  case  the  s ol utions   fou nd   a re  bette r  than  t he  best  known   s olu ti on.  the  r est ;  26%  of   the  value s,  are  le ss  tha n  0. 5% ,  w hich  m eans   that  the b est   s ol ution  foun d,  on  the   10  te sts,  ap pr ox im at es  l ess  tha n  0.5% o f  t he  best - known   so l utio n  .t he   16%  of   t he  val ues,   are  m or e  0.5%   ,  w hich  m eans  that  the  PeS OA   does  not  r each  the  best - know n  so l utio n  or   nea r   so luti on  to   this   so luti on  i n  the   10   te st.  The   num erical   values  in  T a ble  3  s how  t hat  PeS O A  is  of  gr eat   a bili ty   to  pro vid e  high  qual it y solutio ns i n reaso na ble t i m e.         Figure  7. T he  im pact o f  cha ngin g  the  v al ue    of R O2   for  s olut ion s  Hel1  inst ance     Figure  8. T he  im pact o f  cha ngin g  the  v al ue    of RO 2  f or s ol utions Re C7  in sta nce   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Discret e p e ngui ns  se ar c h op ti miza ti on  algori thm  t o  s olve fl ow  shop sc hedul ing   pro blem   ( Il yass  M zil i )   4433   Table  3.   N um e rical s r es ults o btain   Ins tan ce   m   x  n   BKS   Bes t   W o rst   Av erage   PDav (%)    Ti m e (S)   Car1   1 1  x 5   7038   7038   7038   7038   0 .00   0 .11   Car2   1 3  x4   7166   7166   7166   7166   0 .00   0 .07   Car3   1 2  x 5   7312   7312   7312   7312   0 .00   0 .08   Car4   1 4  x 4   8003   8003   8003   8003   0 .00   0 .08   Car5   1 0  x 6   7720   7720   7720   7720   0 .00   0 .07   Car6   8  x 9   8505   8505   8505   8505   0 .00   0 .07   Car7   7  x 7   6590   6590   6590   6590   0 .00   0 .04   Car8   8  x 8   8366   8366   8366   8366   0 .00   0 .06   Hel1   1 0 0  x 1 0   516   515   516   5 1 5 ,5   - 0 .09   4 0 .58   Hel2   2 0  x 1 0   136   135   136   1 3 5 ,5   - 0 .36   7 .21   ReC 1   2 0  x 5   1247   1247   1247   1247   0 .00   0 .64   ReC 3   2 0  x  5   1109   1109   1109   1109   0 .00   1 .17   ReC 5   2 0  x 5   1242   1245   1245   1245   0 .24   0 .14   ReC 7   2 0  x 1 0   1566   1566   1566   1566   0 .00   2 .26   ReC 9   2 0  x 1 0   1537   1537   1537   1537   0 .00   2 .19   ReC 1 1   2 0  x 1 0   1431   1431   1431   1431   0 .00   1 .97   ReC 1 3   2 0  x 1 5   1930   1930   1936   1933   0 .15   9 .45   Re C1 5   2 0  x 1 5   1950   1950   1950   1950   0 .00   7 1 .58   ReC 1 7   3 0  x 1 5   1902   1902   1902   1902   0 .00   5 .17   ReC 1 9   3 0  x 1 0   2093   2099   2099   2099   0 .29   1 7 .89   ReC 2 1   3 0  x 1 0   2017   2046   2046   2046   1 .44   1 5 .45   ReC 2 3   3 0  x 1 0   2011   2020   2020   2020   0 .45   8 8 .46   ReC 2 5   3 0  x 1 5   2513   2525   2530   2 5 2 7 ,5   0 .57   3 2 5 .23   ReC 2 7   3 0  x 1 5   2373   2379   2384   2 3 8 1 ,5   0 .36   8 0 .30   ReC 2 9   3 0  x 1 5   2287   2298   2298   2298   0 .48   4 3 9 .38   ReC 3 1   5 0  x 1 0   3045   3053   3061   3057   0 .39   8 6 .88   ReC 3 3   5 0  x 1 0   3114   3118   3118   3118   0 .13   1 4 0 .56   ReC 3 5   5 0  x 1 0   3277   3277   3277   3277   0 .00   0 4 .58   Re C3 7   7 5  x 2 0   4951   5062   5080   5071   2 .42   4 6 8 .70   ReC 3 9   7 5  x 2 0   5087   5180   5184   5182   1 .86   1 5 9 .33   ReC 4 1   7 5  x 2 0   4960   5079   5118   5 0 9 8 .5   2 .79   2 3 6 .54       5 . 3 .    Co m pa ri s on  w ith other  me ta h euri stic   To  furthe r  pr e sent  the   pe rfo rm ance  of   t he   pro posed   Pe SOA,  a   com par iso n  was  m ade  betwee n    the  pr opos e d  al gorithm   with  res ults  of  E M,  an d  GA  li ste d  in   the  w ork  of  Y ua n,   Hen e quin,   W a ng,  a nd     Gao   (20 06 )   [24]   an d  PS O - E DA   i n  the  work   of     H ongc he ng   Liu  et   al .   (20 11)   [ 25 ]   a nd  GB A  in  the   wor k    F.  Say oti, M.E. Ri ff i )  ( 2016)   [ 26 ] ,  u si ng   di ff e ren t i ns ta nces   of O R - li br a ry.  The res ults are  li ste d  in T a ble  4.       Table  4.  C om par iso n of PeS O A wit h diff e re nt alg or it hm s: GA, EM,  G B A  and PSO - E D A   Pro b lem   PDav (% )   Ins tan ce   n × m   BKS   PeSOA   EM   GA   PSO - E DA   GBA   Car1   1 1  x 5   7038   0   0   0   0   0   Car2   1 3  x4   7166   0   0   0   0   0   Car3   1 2  x 5   7312   0   0   1 .19   0   0   Car4   1 4  x 4   8003   0   0   0   0   0   Car5   1 0  x 6   7720   0   0   0   0   0   Car6   8  x 9   8505   0   0   0   0   0   Car7   7  x 7   6590   0   0   0   0   0   Car8   8  x 8   8366   0   0   0   0   0   Hel1   1 0 0  x 1 0   516   - 0 .09   -   -   -   2 .92 6 3   Hel2   2 0  x 1 0   136   - 0 .36   -   -   -   1 .76 4 7   R ec1   2 0  x 5   1247   0   4 .41   6 .96   0 .09 6   0 .17 6 4   Rec3   2 0  x 5   1109   0   1 .98   4 .45   0 .03 6   0 .25 2   Rec5   2 0  x 5   1242   0 .24   2 .01   3 .82   0 .24 2   0 .30 5 9   Rec7   2 0 x 1 0   1566   0   3 .70   5 .31   0   0 .88 1 2   Rec9   2 0 x 1 0   1537   0   3 .97   4 .73   0 .20 2   2 .01 0 4   Rec1 1   2 0 x 1 0   1431   0   4 .05   7 .39   0 .12 6   2 .06 1 4   Rec 13   2 0  x1 5   1930   0 .15   4 .87   5 .97   0 .22 3   2 .03 6 2   Rec1 5   2 0  x 1 5   1950   0   3 .79   4 .29   0. 303   2 .31 2 8   Rec1 7   3 0  x 1 5   1902   0   5 .57   6 .08   0 .28 9   2 .35 5 4   Rec1 9   3 0  x 1 0   2093   0 .29   5 .97   6 .07   0 .61 2   2 .88 5 8   Rec2 1   3 0  x 1 0   2017   1 .44   3 .22   6 .07   1 .40 8   2 .64 2 5   Rec2 3   3 0  x 1 0   2011   0 .45   5. 97   7 .46   0 .59 7   3 .02 8 3         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                          IS S N :   2088 - 8708   In t J  Elec  &  C om p  En g,   V ol.  10 , No .  4 ,  A ugus t  2020  :   4426   -   4435   4434   This  com par is on   is  base d  on   the  per c enta ge   dev ia ti on ,  i.e .  the  qual it y  of  so luti on  f ound  com par e d    to  be st - kn own   so l utio n  acc or ding  in   OR - li brary.  W hi ch   is  confirm ed  by  Figure  9  i nd ic at ing   t he  lo wer  cu rv e   associat ed  wit h  PeS OA.  He n ce,  PeS O A  is  m or e  appropri at e  to  be  adap te d  to  so l ve  FSSP   a nd   it   can  give     good  resu lt s.   In   T a ble  4 ,  the   exp erim ental   resu lt s  of  PeS OA   al gorithm   are  com par ed  with  the  res ults  of   the  EM,   GA,  PS O - ED A  an d  GBA  m et hods .  t hese  r esults  cl early   sh ow  that  Pe S OA   out perf orm s   the  oth er  E M,  GA,   PSO - E DA   a nd  GB A  al gori thm s  in  reso l ut ion   of  al l  twenty - tw o  te ste d  instance s  .T he  pro pose d  P eSO A  al gorithm   gets  17 22   Be st  s olu ti ons   w hile  EM   /  G A  /   PS O - ED A  /  GBA   on ly   ge ts  8 20 /  7 20 / 9 20 / 8 22   of  the   bes t  so luti ons   a m on g  22  or  20  insta nces.  F urt her m or e,  we  fin d  that  the  a ve rag e  of   PD a v  (%)   for  the  E M  /  GA   /  PS O - EDA   /   GBA  al gorith m s  is  equ al   to   2,4 75  /  3,489   /0, 206  /   1,1 65,  w hile  our   a lgorit hm   PeSOA  is  e qual   to  0,096.  Figure  9  sho ws  the  st ud y  of   t he  P Dav   ( %)  va riat ion   bet wee n  the  P eSO A  al gorith m   and   the  E M,  G A ,     PSO - E DA  an d  GBA   al gorith m s  fo r  the   tw el ve  in sta nces   of  diff e ren t  s iz es.  I n  F i gure   9,  the  l ow e r  curve     associat ed  with  the  PeS O A  al gorithm   is  b et te r,   in  te rm s   of   the  qual it y  of   the  s olu ti on.  T his  can  e xpla ine d    the  perform ance  and   ef fici ency  of   FS S J  reso luti on  PeSOA  al gori thm   in  te r m s   of   the  qual it y  of     the s olu ti ons  f ound.           Figure   9. The   per ce ntage  d e vi at ion  for t he  P eSO A  a nd o t he r  m et aheu risti cs        6.   CONCL US I O N    In   t his  pa pe r,   we  pr opos e d   a   swar m - intel li gen ce   al g or it hm ,  so - cal le d   P eSO A  to  s olve   flo w  s hop  sche du li ng  pr oble m .  This  adap ta ti on   c on sist s  of   a dd i ng   a  set   of   cha nges   to  the  sta nd a r d  ve rsion  of  P eSO A  reg a rd i ng   po sit ion   re pr ese ntat ion   an d  it s  upda te   equ at ion,  as  well   as  the  op erat or s  of  this   equ at io n.   Be side s,    a  local   search  m echan ism   was  us e d  to  im pr ov e  resear ch  st rategy.  T he  Pe SOA  al gorith m   was  app li ed  on   a  set   of   ben c hm ark   instances  of   F SSP  f ro m   the  OR - Li br a ry.  It   has  bee n  s hown   t hat  the  effe ct iveness  as  well   as   perform ance  of  PeS OA,  ha s  reache d  that  of  t he  othe r  te ch niques  s uch   a s   GA,  EM,  GB A  an d  P SO - E DA   i n  te rm s  of   the  qu al it y  of   so luti ons  an d  th e  com pu ti ng  ti m e.  F uture  w ork  is  to  exte nd   t he  P eSO A  ap plica ti on   for   oth e r  com bin at or ia l  optim iz ation   pr ob le m s  s uch   as o the r  scheduli ng  m od el s,  log ist ic   network   m od el s,  veh ic l e   routin g  m od el s ,  et c.  We   will   al so   try   t o  im pr ove  t he  PeS O A  al gorithm   in  orde r  t o  obta in  e ve n  bette r  r esults   by h y br i dizat ion   with  oth e r  m et hods   or b y m od i ficat ion s  of  the p a ram et ers  or the al gorith m  o per at ors .       REFERE NCE S     [1]   N.  Gupta ,  et   al . ,   "F lowshop  sch edul ing  r ese ar ch   aft er   five   d ecad es, "  European  J ournal  of  Operational   Re search ,  vol.   169 ,   no .   3 ,   p p.   699 - 711 ,   200 6.   [2]   M.  R.   Gar e y ,   et  al .,   "Th e  compl exi t y   of   flowshop  and  jobshop  s che dul ing, "  Mat hemati cs  of   ope rations  research ,  vol.   1 ,   no .   2 ,   pp .   117 - 129,   1976 .   [3]   Y.  Saji,  et  al .,   " Discre te  ba t - ins pire d  al gori thm  for  tra v el l ing  sa l esm an  proble m , "   In  Se cond  Wor ld  Conf ere nce  on   Complex   S yste m s,  2014.   WCCS  2 014,   IE EE ,  pp .   2 8 - 31 ,   2014 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
In t J  Elec  &  C om p  En g     IS S N: 20 88 - 8708       Discret e p e ngui ns  se ar c h op ti miza ti on  algori thm  t o  s olve fl ow  shop sc hedul ing   pro blem   ( Il yass  M zil i )   4435   [4]   M. 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