I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect ri ca l a nd   Co m p ute E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   8 ,   No .   4 A u g u s t   201 8 ,   p p .   2 0 1 4 ~ 2 0 2 0   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v8 i 4 . p p 2 0 1 4 - 2020          2014       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s co r e . co m/ jo u r n a ls /in d ex . p h p / I JE C E   Na no m et ric  M o d eliz a tion   o G a s S truct u re M ultidi m ensio na   u sing   CO M S O S o ft w a re       I   B o un eb F   K er ro ur   L a b o ra to ry   o f   R e n e wa b le  En e rg y   De v ice s   M o d e li n g   a n d   Na n o sc a le M OD ERNA ,   Un iv e rsit y   o f   Co n sta n ti n e   1 ,   A lg e ria       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   No v   2 0 ,   2 0 1 7   R ev i s ed   Feb   5 ,   2 0 1 8   A cc ep ted   J u l   2 9 ,   2 0 1 8     In   stru c tu re w it h   G a As ,   w h ich   a re   th e   stru c tu re m o st  u se d ,   b e c a u se   o f   th e ir   p h y sic a a n d   e lec tro n ic  p ro p ri e ti e s,  n e v e rth e les s   se e m a   c o m p ro m is e   b e tw e e n   th e   in c re a se   o f   d o p in g   a n d   re d u c e d   m o b il i ty .   T h e   u se   o f   q u a n tu m   h e tero   stru c tu re c a n   o v e rc o m e   t h is  l im it a ti o n   b y   c re a ti n g   a   2 c a rrier  g a s.   Us in g   th e   COMS OL   so f t w a r e   th is  w o rk   p re se n th re e   m o d e ls:  th e   f irst  m o d e l   c o m p u tes   th e   e lec tro n ic  sta tes   fo th e   h e tero j u n c ti o n   A lGa A s/ Ga As   in   1 d im e n sio n ,   t h e   se c o n d   m o d e c o m p u tes   th e   e lec tro n ic  sta t e f o th e   h e t e ro ju n c ti o n   A lG a As / G a A b u in   2 d im e n sio n   ( n a n o w ire)  a n d   th e   t h ir d   m o d e we   p e r m it ted   th e   stu d y   o f   th is  h e tero   ju n c ti o n   (ste e p w ich   in e v it a b ly   in v o lv e th e   re so lu ti o n   o f   th e   sy ste m   o f   e q u a ti o n S c h d in g e r - P o isso n   d u e   to   q u a n t u m   e ff e c ts  th a o c c u a th e   in terf a c e .   T h e   v a li d it y   o f   th is  m o d e c a n   b e   e ffe c tu a ted   w it h   a   c o m p a riso n   o f   o u re su lt w it h   th e   re su lt   o f   d iff e r e n m o d e ls  d e v e lo p e d   in   th e   li tera t u re   o f   th e   re late d   w o rk ,   f ro m   th is  p o in o v ie w   th e   v a li d it y   o f   o u m o d e is  c o n f irme d .   K ey w o r d :   C OM SO L   SOFT W R E   C o n f i n e m e n t   Hete r o j u n ctio n   P o is s o n - s h r o d in g er   eq u atio n   Qu n ti f icatio n   Qu n tu m   w ell   Co p y rig h ©   2 0 1 8   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   B o u n eb   I lh e m ,     Dep ar t m en t o f   E lectr o n ics,    Un i v er s it y   o f   C o n s ta n ti n 1 ,   A l g er ia.   E m ail:  b o u n eb ilh e m @ y ah o o . f r       1.   I NT RO D UCT I O N         T h em er g e n ce   o f   I I I - co m p o u n d   s e m ico n d u cto r s   h as   g iv e n   p r o m is in g   ch o ice  f o r   ch an n e l   m ater ial  o f   f u tu r e.   T h ese  d ev ices  r el y   o n   t h u s o f   h eter o j u n ctio n s   f o r   th eir   o p er atio n   an d   h ig h   elec tr o n   m o b il it y   tr an s is to r s   ( HE MT s )   ar o n o f   th m o s t   m a t u r o n es  o f   t h n e w   g e n er atio n   o f   t h I I I - s e m ico n d u cto r   tr an s is to r s   [ 1 ] .   T h h eter o j u n ctio n s   in   t h ese   d ev ices  ar f o r m ed   b et w ee n   s e m ico n d u cto r s   o f   d if f er e n tco m p o s it io n s   a n d   b an d g ap s ,   e. g .   Ga A s / AlGa As  an d   I n Ga A s /I n P .   T h ese  n o v el  d ev ices  o f f er   p o ten tial   ad v an ta g es   in   m icr o w a v e.   T h Hig h   E lectr o n   Mo b ilit y   T r an s i s to r   ( HE MT )   is   an   i m p o r ta n   d ev ice     f o r     h ig h     s p ee d ,     h ig h     f r eq u e n c y , d i g it al  cir cu it s   an d   m icr o w av e   ci r cu its   w i th   lo w   n o i s ap p lic atio n s .   O n o f   th e   p r o p er ties   o f   th f a m il y   co m p o u n d   s e m ico n d u cto r   I I I - is   i n d ee d   th p r o b ab ilit y   o f   f o r m i n g   h eter o s tr u c tu r es   w it h   g o o d   cr y s tal  in ter f ac ( eg   GaA s / A l AsGa)   [ 1 ] .   T h g as  f o r m ed   b y   elec tr o n s   ac cu m u lated   at  th e   in ter f ac e   o f   t h i s   h eter o   j u n c ti o n   h a s   t w o   i n ter esti n g   p h y s ic al  p r o p er ties t w o - d i m e n s io n al  c h ar ac ter   ( T h 2 DE elec tr o n s )   an d   v er y   h i g h   m o b ilit y ,   e s p ec iall y   at  v er y   lo w   te m p er at u r es [ 1 ] .     T h HE M T   tr an s is to r   is   ess e n tiall y   co n s ti tu ted   o f   a n   AlGa A s /Ga A s   h eter o j u n c tio n ,   th i s   h eter o j u n ctio n   is   co n s id er ed   a s   ab r u p s teep   g r ac to   v er y   n ea r   s tit c h   p ar a m eter s   a n d   al s o   g r ac to   tech n iq u es   o f   g r o w th   u s ed   f o r   th f ab r ic atio n   o f   t h is   h eter o j u n ctio n   [ 2 ] [ 3 ] .   T h s tu d y   o f   t h i s   h et er o j u n ctio n   p ass e s   in ev itab le  b y   t h r eso lu tio n   o f   th s y s te m   o f     o  s s o n        r     n    r    q u  t  o n s     3 ] ,   th is   s y s te m   g lo b all y   n o   li n ea r   d o esn 't  h a v an   a n al y tic  s o l u ti o n   w h at  g i v es  b ac k   n ec es s ar y   n u m er ic  r eso lu tio n   t h at  ca n   b ef f ec t u ated   b y   a   s elf   co n s i s ca lc u l u s .   T h 2 D E elec tr o n s   atta in   g r ea ter   en er g y   a n d   b ec o m h o w it h   th e   m o d er ate  o r   h ig h er   elec tr ic  f ield .   T h er w ill  b a n   en er g y   s ep ar atio n   b et w ee n   t h s u b b an d s ,   an d   th h i g h   m o b ilit y   elec tr o n s   in   th lo w er   s u b b an d   g et  th n ee d ed   en er g y   f r o m   t h ap p lied   elec tr ic  f ield   to   m o v i n t o   th lo w er   e n er g y   ad j ac en s u b b an d .   Hig h er   i n i tial  m o b ilit y   in   t h lo w er   s u b b an d   r esu lts   i n   t h f a s ter   d ec ay   in   m o b ilit y   w it h   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       N a n o metric  M o d eliz a tio n   o G a s   S tr u ctu r e M u ltid imen s io n a l u s in g   C OMS OL  S o ftw a r e   ( B o u n eb   I lh em )   2015   th ap p lied   v o lta g e   [ 2 ] .   He n c w it h   t h ap p lied   elec tr ic  f i eld ,   th elec tr o n s   at   d if f er e n t   s u b b an d s   g et   t h n ee d ed   en er g y   to   m o v f r o m   th eir   in itial  s tate   an d   to   m o v i n to   t h n e x s tate.   T h is   p r o ce s s   m a k es   t h e   g en er ati o n   an d   r ec o m b in a tio n   r ate  m u c h   f a s ter   r esu lti n g   i n   b etter   co n d u ctio n   o f   t h d ev ice   [ 2 ] .       L o w - d i m e n s io n al  q u an t u m   s y s te m s   h a v b ee n   t h s u b j ec o f   n u m er o u s   s tu d ie s   i n   t h e   p ast  t w o   d ec ad es.  T h is   in ter est  i s   f u ele d   b o th   b y   s u r p r is i n g   d i s co v er ies  f r o m   th p o i n o f   v ie w   o f   th p h y s ic s   o f   t h e   co n d en s ed   m a tter   b u also   b y   th s tr o n g   s tak o f   m a n u f ac t u r in g   o f   elec tr o n ic  co m p o n en t s   [1 ] - [ 3 ] .   I n d ee d ,   th p er m a n e n r ed u ctio n   i n   t h s i ze   o f   ar ch itec tu r es   in   m icr o elec tr o n ics  r eq u ir es   in   th e   lo n g   ter m   to   ta k i n to   ac co u n t h q u a n tu m   p h e n o m en w h ic h   co n s id er ab l y   m o d if y   t h p h y s ic .   A   n e w   g e n er atio n   o f   elec tr o n ic   d ev ices i n clu d i n g   th HE MT   tr an s is to r   h as b ee n   d ev elo p ed   tak in g   ad v a n ta g o f   t h ese  q u a n tu m   e f f ec t s .       T h s i m u latio n   e n v ir o n m en u s ed   is   u n d o u b ted l y   o f   p ar a m o u n i m p o r tan ce ,   s in ce   th r elia b ilit y   a n d   ac cu r ac y   o f   t h r esu lts   d ep en d   d ir ec tly   o n   it.   I ni t ial l y ,   we   h a d   b ee n   th i n k i n g   a b o u t   th e   p o s s i bi l i t i e s   of   u s i n g   MA T L A B   to   r u n   o u r   si m u lati o n s .   T h e re   w e re   s e v e r a l   r ea s o ns   f o r   th i s   c o n s id e r a t i o n .   F ir s t   o f   a l l ,   M A T L A B   i s   a   d i s t i n c t i v e l w e l l -   k n o w n   p r o g r a m m i n g   la n g u a g e ,   a nd   is   o n e   w h i c h   i s   hi g h l y   a c c lai m ed   in   th e   s c ien ti f i c ,   e n g i n e e ri n a nd   th e   a c a d e m i c   c om m u ni t y   a s   a   w h o l e .   Mo s t   of   t h e   r e s e a r c h   wo r k   we   h a d   s tu d i e d   f o r   th e   p u r p o s of   th i s   p a p e r   w a s   e mp l o y e d   in   MA T L A B   in   o n e   w a y   o r   th e   o th e r .   D u e   to   i t s   m a s s i v e   p o p u la r i t y c ode   e x a mp l e s   a nd   tu t o r i a ls   w e r e   r ea di l a v a i l a b le   o n l i n e .   T h e   MA T L A B   e n v ir o n m e n t   ca n   s ea m l e ss l y   m a n ip u la t e   m at r ic e a nd   a ls o   c a m e   in   w i th   c om m a n d - l i ne   in t e r f a ce ,   th u s   m a k i n g   it   s u i t a b le  to o l   f o r   i m p le m e nt i ng   n u m e r ic a l   te c h n iq u e s ,   su c h   a s   th F in i te  Di f fe r e n c M e th o d .   Ho we v e r,   si m u lat in g   in   MA T L AB   m e a nt   d e si g n i ng   a nd   c odi n g   e v e r a s p ec t   of   th e   s y s te m   f r o m   s c r a tch ,   a nd   we   f e lt   th a t   th i s   w a s   s o m e w h a t   of   a   r e p e t i t i ve   p r o c e ss   [ 4 ] .   W e   w e re   lo o k i n g   f o r   s i m u latio n   e n v ir o n m e n t   th at   w o u ld   a l l ow   us   to   g e t   s ta r ted   r i g ht   a w a y ,   a nd   w i th   m i ni m a l   e f f o r t.  A l th o u g h   we   w e r e   lo o k i ng   f o r   si m pl i c i t y   a nd   ea se   of   us e ,   we   w e r e ,   in   no   w a y ,   re a d y   to   c o m p r o m i s p e r f o r m a n c e   a n d   a c c u r a te  a p p r o x i m a t i o n s   to   s i m u lat e d   r e s u l t s.       T a k in g   th e   a b o v e   fa c to r s   in t o   c o n s id e r a t i o n ,   t h s ec o n d   si m u latio n   e n v ir o n m e n t   we   p lan n e d   to   r e s o r t   to   w a s   S I L V A C O ®.   At   th f i r st   g la n ce ,   S I L V AC s ee m e d   to   ov e r c o m t h l i m i tatio n s   M A T L AB   e x h ib i ted .   W e   h a d   a ls o   d u g   u p   m a n y   re s ea r c h   p a p e rs   w h e re   S I L V A CO   w a s   e mp l o y e d   to   si m u late  s e m i - c lass ic a l   e le c tr o s tatics   si m u la tio n s .   Ho we v e r,   w f o u n d   t h e n v ir o n m e n t   to   b r a th er   c u m b e r s o m e   a nd   n o t   us e r - f r i e nd l a t   a l l .   On   to p   of   th at,   tu t o r i a ls ,   do c u m en t a t i o n s   or   a n y   o th er   r e s o u r ce s   o n   S I L V A C we r e   r a r e l y   f o u n d.       T h e   th i r d   s i m u l a t i o n   e n v ir o n m e n w e   e x p e r im e nt e d   w it h   w a C OM S O L ®   Mu l t ip h y s ics® .   C OM S O L ®   M u l t ip h y si c   is   a   s o l u t io n   e n g in e   w h ich   s o lv es   p a r ti a l   d if f e r e n t i a l   e qu a t i o n s   v ia   t h f in ite   e le m e nt   m eth o d   ( F E M )   f o r   a   p a r ti c u lar   si m u latio n   [ 4 ] T h is   is   th e   e n v ir o n m e n t   w f i n a l l y   s e t t led   fo r ,   a nd   th e   r e a so n s   a re   ma n y - f o ld .   F ir s t l y ,   a s   t h e   n a me   M u l t ip h y s ic s   s u g g e st s ,   C OM S O L   h a s   t h e   ca p a bi l i t y   to   r u n   mu l t i p le   p h y s ic s   m o d u l e s   f o r   a   s in g le   si m u latio n ,   a nd   a ls o   a l l o w s   “  o u p l i n   ”  b e tw e e n   c o m p atib l p h y s ic s   in t e r fa ce s.   T h is   w a s   s u i t a b le,   s in c o u r   u n d e r l y i n g   m e c h a n i s m   w a s   to   e mp l o y   a   S c h r o d i n g e r - P o is s on   c o u p led   s o lv e r .   P lu s ,   C OM S O L   p r o v i d e d   ma n y   p h y s ic s   in te r f a ce s   a nd   a d d - o n s   r i g ht   o u t   of   t h e   bo x .   Mo r e ov e r,   C OM S O L   h a d   a   m y ri a d   o f   d o c u m e n t a t i o n ,   r a n g i n f r o m   b lo g   p o s ts   to   f u l l - fl e tch e d   v id eo   t u to r i a ls .   T he   do c u m e n t a t i on   th a ca me   in   w it h   th e   s o f t w a re   w a s   h i g h l y   i n f o rm a t i ve   a s   w e l l .   C OM S O L   a ls o   s u p p o r ts   in t e g r a t i on   w it h   v a r io u s   s o f t w a re   su c h   a s   E x ce l   a nd   MA T L A B   w h i c h   is   r e f e r r e d   to   a s   a   L i v e l i nk W hi l e   s ea r c hi n g   f o r   e x is t i n g   r e s ea r c h   d o n e   i n   CO M S O L ,   it   w a s   f o u n d   t h at  s i m u l a t i o n s   a nd   s t u d i e s   h a ve   b ee n   d o n e   to   f i n d   th e   d ep letio n - a l l - a r o u n d   o p e r a t i on   of   n - c h a nn e l   f o u r   g a te   fi e ld   ef f e c t   tr a n s i s to r s   v ia   t h P o is s on - S c h r o d in g e r   e q u a t i o n   [ 5 ] .   T h s tu d y   o f   t h is   ( s teep )   h eter o j u n ctio n   i n e v itab l y   p ass e d   th r o u g h   t h r eso l u tio n   o f   th s y s te m   o f   Sc h r ö d in g er - P o is s o n   eq u atio n s   d u o f   th q u a n tu m   e f f ec ts   th at  o cc u r   at  th e   i n ter f ac e.   T h is   w o r k   is   co n s ac r ea ted   to   Nan o m e tr ic  m o d elis atio n   o f   q u a n t u m   w ell  t h at  h a s   f o r   ai m   to   s o lv th s y s te m   o eq u atio n   P o is s o n   Sc h r ö d in g er   u s i n g   C OM SO L   SOFT W AR E .       2.   P RO B L E M AT I C     T h s tr u ctu r u n d er   in v esti g at co n s is ts   f o r   N - t y p e A lGa A s   la y er   a n d   P - t y p Ga As  b u f f er   la y er .   T h n an a m etr ic  s tr u ct u r h as   b ee n   in v es tig a ted   b y   u s i n g   C OM SO L   SO FT W A R E   in   t h ef f ec ti v e   m as s   ap p r o x im a tio n   a n d   t h e n v el o p w av e   f u n ctio n   v a n i s h e s   at  th e   in ter f ac [5 ] - [ 1 0 ] .   T h p o ten tial   at  t h e   in ter f ac e   o f   h eter o j u n ct io n   v e r if y   s i m u lta n eo u s l y   th e   eq u ati o n   o f   Sch r ö d in g er   a n d   o f   P o is s o n   t h at  is   w h y   we   p r o p o s to   s o lv w it h   r i g o r o u s   w a y   t h s y s te m   o f   eq u ati o n   P o is s o n   Sc h r ö d in g er   g i v e n   b y   t h f o llo w i n g   f o r m u la   [ 1 1 ] - [ 1 3 ] :      0 ) ( ) ( : ) ( ) ( ) ( ) ( 2 : 2 z z V Ep z E z z V z m Es i i i i e     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  8 ,   No .   4 A u g u s t 2 0 1 8   :   2 0 1 4     2 0 2 0   2016   : T h L ap lacie n   o p er ato r m e:    ef f ec tiv m a s s   o f     a n   elec tr o n   Ѱ i ( z) :   W av e   f u n ct io n   as s o ciat ed   w it h   en er g y   le v el  E i   V ( z) T h p o ten tial   ћ   l n  k   s    o n s n   ρ ( z) :   Den s it y   o f   f r ee   elec tr o n   i t is g i v e n   b y :     G a A s in z E n q qN G a A s A l in z E n q qN z i i A i i D 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (     q E lectr o n   ch ar g e   q ND  an d   - q N A F i x e d   ch ar g   ND:  D o n o r s   d o p in g   r ate   NA:   A cc ep to r s   d o p in g   r ate   2 ) ( ) ( z E n q i i M o b iles   ca r r ier     n   ( E i) C ar r ier   d en s it y   ( to   t h en er g y   le v el   o f   n u m b er )   o f   e lectr o n s   o b tai n ed   b y   th e   Dir ac   Fer m d is t r ib u tio n   it is   g i v e n   b y :     T k E E T k m E n B i F B e i e x p 1 l o g ) ( ) ( 2     E F:  E n er g y   le v el  o f   Fer m i   KB : B o ltzm a n   co n s tan t     T A b s o lu te  te m p er at u r     i:   N u m b er   o f   s tate  b o u n d   p o s s ib le          3.   SI M UL AT I O A ND  RE SU L T   3 . 1 .   Str uct ure   As  s h o w n   i n   t h F ig u r 1 ,   T h m o d eled   h eter o j u n ctio n (   1 o r   2 ) is   co m p o s ed   o f   t wo   m ater ial s   GaA et  AlGa A s   ( w h er t h r ate  o f   A i s   s et  to   0 . 3   o )   w h er t h latter   i s   lo ca ted   to   th le f o f   t h e   h eter o j u n ctio n .   T h co n tact  o f   th e s t w o   m ater ial s   ( p ar am etr y   o f   cr y s tal  lattice  v er y   clo s e)   allo w ed   th e   cr ea tio n   o f   p o ten tial  w el i n   th b u f f er   la y er ;   w h er th e n er g y   w il b q u a n ti f ied   in   s eq u en ce   o f   d is cr ete   lev els o f   en er g y .   Fi g u r 2   s h o w   t h 2 g eo m etr y   o f   AlGa As/ Ga A s   h eter o j in ctio n .           Fig u r 1 .   1 g eo m etr y   o f   AlG aAs/Ga As h eter o j in ctio n       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       N a n o metric  M o d eliz a tio n   o G a s   S tr u ctu r e M u ltid imen s io n a l u s in g   C OMS OL  S o ftw a r e   ( B o u n eb   I lh em )   2017       Fig u r 2 .   2 g eo m etr y   o f   AlG aAs/Ga As h eter o j in ctio n       3 . 2 .   P hy s ics   A   P h y s ics   I n te r f a c e   in   C OM S O L   p r o v id e s   a ll   th e   d o m a in s ,   b o u n d a r y   c o n d i t io n s   a nd   th e   a s s o ci a ted   e qu a t i o n s   r e q u ir e d   f o r   m od e l i ng   a   p h y s ic a p h en o m en o n   o r   s y s te m .   C OM S O L   a ls o   h as  t h o p tio n   f o r   c r ea t i n c u s to m   P h y s ics   in t e r f a ce s.   At   t h e   s a me   t i m e,   s o m e   c o m p atib l e   p h y s i c s   in t e r f ac e   ca n   b c o u p led   to   o n e   a n o th e r .   T h e   t w o   p h y s ics   in te r f ac e   th at   we   h a v u s e d   f o r   o u r   s i m u la tio n s     C o e f f ic ien Fo r m   P DE   in t e r f a c e   a n d   a   Po is s o n   eq u ati o n   in ter f ac e.   T o   c o m p u tes  t h e   elec tr o n ic  s tates  in   1 Dd i m e n t io n   ( q u an t u m w ell)   o r   in   2 Dd i m en tio n   ( n an o w ir e) ,   w h av e   u s ed   th C o ef f icie n t   Fo r m   P DE   in ter f ac e   [ 1 4 ] .   T h m o d el  s o lv e s   f o r   an   ei g en v al u e/E i g e n   f u n ctio n ,   f o r   w h ich   y o u   m u s t   in p u t   ap p r o p r iate   p h y s ical  d ata  a n d   co n s tan t s .   U s elec tr o n v o lts   a s   th e n er g y   u n i t a n d   n an o m eter s   a s   th le n g th   u n it  f o r   th g eo m etr y .   T o   co m p u te s   th p o ten tial  en er g y   an d   w av f u n ctio n   f o r   o n b an d   s tate ,   w h a v u s ed   to w   p h y s ic s   th C o ef f icie n Fo r m   P DE   in t er f ac an d   P o is s o n   eq u atio n .   T h m o d el  s o lv e s   f o r   a n   s ta tio n ar y   s tep   s t u d y   w it h   v er y   p r ec is e   in itial  p ar a m e t er s ,   f o r   w h ich   we   m u s in p u ap p r o p r iate  p h y s ical  d a ta  an d   co n s ta n ts .     T h e   F in i te   El e m e n t   M e t h o d   ( F EM)   is   e mp l o y e d   b y   C OM S O L   b e h i n d   th e   s ce ne   in   o r d e r   to   f i n d   a p p r o x i m a t i ons   to   p a r ti a l   d if fe r e nt i a l   e qu a t i o n s .   A l m o s t   a t   a ll  t i m e s ,   a   s i mu l a t i on   d e m a nds   th s o l u t io n   o f   m u lt i p le  p a rt i a l d i f fe r e nt i a l e q u a t i o n s .   I n   ca se   o f   F EM,   a   s in g l e   e qu a t i on   is   a p p r o x i m a ted   b y   a   s e t   of   n u m e r i c a l   m o d el   e qu a t i o n s .   T h is   c on ce pt   is   b e t t e r   k n o w n   a s   d is c re t iz a t i on .   On c e   th e   e qu a t i on   h a s   a   s e t   of   n u m e r ic a l   c o m p o n en ts ,   eac h   ca n   be   s o lv ed   in d i v id u al l y   v ia   n u m e ri ca l   m et h o d s ,   a nd   is   t h en   c o m b i n e d   to   y i e ld   th a p p r o x i m a te  s o l u tio n   t t he   p a r ti a d i f f e r e nt i a eq u a t i o n .   T h e   f in i te   e le m e nt   me t h o d   ca n   be   ob s e rv e d   to   be   e mp l o y e d   e x ten s iv e l y   in   t h e   e n g in e e ri n c om m uni t y   [ 1 5 ] ,   p r i m a ri l y   b e c a u s e   of   t h e   f r e e d o m   it   p r o v id e s   w h i le   c r e a t in g   e a c h   e le m e n t.   T h e   e lem e nt   d is t r ib u tio n   ca n   b u n i f o r m   o r   no n - u n if o r m,   a nd   h e n c e   ca n   b m a n i p u l a ted   to   p r o v id e   r e q u ir e d   r e s o lu t io n .   C OM S O L   p r o v id e s   mu l t i p le   opt i ons   f o r   m an ip u lati n g   t h e   e l e m e n t   m es h   d is t r ib u tio n ,   r a n g i n g   f r o m   n o r m a t e x tr a - f in e   to   co a rs e .     3. 3 .   Resul t s   Th w a v f u n ctio n   ass o ciate d   to   b o u n d   s tate  is   illu s tr ated   o n   th Fi g u r e   3 ,   Fig u r 4   an d   Fig u r 5   w h er w o b s er v ed   t h at   t h q u an t if icatio n   o f   e n er g y   is   lo ca ted   at  s o m ten   A   i n   Ga As  la y er .   C o m p er ed   t h e   m o d el  1 a n d   m o d el  2 D   f o r   h eter o j u n ctio n   AlGa As/ Ga As ,   o n   t h T ab le  1   we   o b s er v e d   th at  t h v al u o f   en er g y   lev e h a v e   th s a m e   v alu e   f o r   E 1 ,E 2 ,E 3   an d   d if f er en f o r   E 4 ,E 5 ,E 6   b ec au s th m o d el   1   co m p u te s   th e   elec tr o n ic  s tates  f o r   q u an t u m   w e ll  A lGa A s /Ga A s   ( co n f i n e m e n 1 D)   an d   th m o d e l   co m p u te s   th e   elec tr o n ic  s tate s   f o r   n a n o w i r A lGa As/ Ga As ( co n f in e m e n t   2 D)   [ 12 ]:       T ab le  1 .   T h Six   L o w es B o u n d   State s   f o r   t h Hete r o j u n ct io n alg aa s / Gaa s   i n   1 D   &2   Si m u latio n     V a r i a b l e   Ei ( 1 D )   Ei ( 2 D)   1   0 . 0 1 9 2 8 8   0 . 0 1 9 2 9 9   2   0 . 0 7 7 1 0 9   0 . 0 7 7 1 4 9   3   4   5   6   0 . 1 7 3 2 9 7   0 . 3 0 7 4 4 1 6   0 . 4 7 8 0 7 2   0 . 6 7 1 7 4   0 . 1 7 3 3 6 8   0 . 2 5 1 1 1 9   0 . 3 0 7 4 6 3   0 . 3 0 8 6 5 2   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  8 ,   No .   4 A u g u s t 2 0 1 8   :   2 0 1 4     2 0 2 0   2018       Fig u r 3 .   W av f u n ctio n   o f   E 1   f o r   th h eter o j u n ct io n   A lGa As/ Ga A s   i n   1 D & 2 d i m e n s io n           Fig u r 4 .   W av f u n ctio n   o f   E 2   f o r   th h eter o j u n ct io n   A lGa As/ Ga A s   i n   1 D & 2 s i m u la tio n             Fig u r 5 .   W av f u n ctio n   o f   E 3   f o r   th h eter o j u n ct io n   A lGa As/ Ga A s   i n   1 D & 2 D   s i m u la tio n       T h Fig u r 6   r ep r esen ts   p o ten t ial  w el l p r o f ile  at  th i n ter f ac e   f o r   u n iq u b o u n d   s tate  E =0 . 0 1 9 2 8 8 ev ,     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       N a n o metric  M o d eliz a tio n   o G a s   S tr u ctu r e M u ltid imen s io n a l u s in g   C OMS OL  S o ftw a r e   ( B o u n eb   I lh em )   2019   Fig u r 6   s h o w s   also   t h d if f er en ce   an d   th i n f lu e n ce   o f   t h d if f er e n n u m er ical  p h y s ical  m o d el s   o n   th s h ap o f   th p o ten tial  w ell.   T h o s d if f er en m o d els  p r o p o s ed   b y   th au th o r s   [ 7 ] - [ 1 0 ]   ar e   b ased   o n   th s el f - co n s is te n t   ca lcu latio n   w h ic h   is   b ased   o n   an   in itial  w el ( tr ian g u lar   in it ial  p o ten tial ) ,   w h ic h   g i v es  t h e   p o te n tial  w ell  t h ap p ea r an ce   o f   p eak .   On   t h o th er   h an d ,   o u r   m o d el  d o es  n o u s an y   f o r m   g i v en   to   th e   p o ten tial    an d / o r   w a v f u n ctio n ,   it  u s es  C OM SO L   m u ltip h y s ics  w h ic h   g i v e s   th co n d u ctio n   b an d s   th s h ap o f   p eak .           Fig ur e   6 . P o t en t i al   ene r g y  f or  one  band  st a t e   c o m p ar ed   w it h   t h liter at u r e       T h w a v f u n c tio n   a s s o ciate d   to   o n e   b o u n d   s tate   is   ill u s tr a ted   o n   t h Fig u r 7   w h er e   w e   o b s er v ed   th at  th e   b i g   p r o b ab ilit y   to   f in d   elec tr o n s   is   also   lo ca ted   at   s o m e   te n   A   w h at  i m p lie s   t h at   th er is   a   p en etr atio n   o f   th w a v e   f u n ctio n   i n   t h p o ten tial  w ell           Fig u r e   7 . W av f u n ctio n       4.   CO NCLU SI O N     Ou r   w o r k   h as  as  m ain   o b j ec ti v th s o l u tio n   o f   Sch r ö d in g er - p o is s o n   s y s te m   w h ic h   i s   g lo b all y   n o n li n ea r   i n   o r d er   to   d ef in t h p o ten tial   at  t h i n ter f ac o f   h eter o j u n ctio n   Ga A s Al/Ga As .   W elab o r ate  c alcu l u s ,   u s i n g   C OM SO L   M UL T YP HYSI C s o f t w ar f o r   r ig o r o u s   r eso lu t io n .   T h is   m o d eli s atio n   th at  w h av m ad ca n   b ap p lied   to   a ll o th er   q u an t u m   h e ter o j u n ctio n   w it h   in v er s io n   o r   ac cu m u lati o n   la y er .             Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  8 ,   No .   4 A u g u s t 2 0 1 8   :   2 0 1 4     2 0 2 0   2020   ACK NO WL E D G E M E NT S     T h au th o r s   th a n k   Dr . S.KE MO UC HE   f o r   h is   in v al u ab le   h e lp   f o r   th is   p r o j ec t,  w h ich   w a s   f u ll y   d o n e    t     E l  tr o n    s   D p  r t m   n t,  Mo DE R N   L  b o r  to r y ,   Un   v  r s  t y   o f   C o n s tan tin 1 ,   A l g e r i a.   W also   th an k   all  th s t a f f   m e m b er s   o f   Mo D E R Na  L ab o r ato r y .       RE F E R E NC E S     [1 ]   T.   S c h w iers j,   M o d e rn e   M icr o w a v e   T ra n sisto rs,  w il e y .     [2 ]   P a u Ha rriso n ,   Qu a n tu m   W e ll , W i re s an d   Do ts,   2 0 0 2 .   [3 ]   G . Ba st a rt,   W a v e   M e c h a n ics   a p p li e d   to   s e m ico n d u c to rs  h e tero stru c tu re s ,   les   é d it i o n d e   p h y siq u e s,  1 9 8 8 .   [4 ]     R.   W .   Pr y o r,   M u l t i p h y s ics   m o d e li n g   u si n g   C O M S O L :   A   F ir st   p rin c ip le s   a p p ro a c h ,   S u d b u r y ,   M A ,   U ni t e S tat e s:  J on e s   a n d   B a rtl e tt   P u b l i sh e rs,  2 0 0 9 .   [5 ]     S J a h a n g ir   a nd   Q.   D.   M.   Kh o s r u,   A   nu m e ri c a l   m o d e l   f o r   so lv i n g   tw o   di m e n sio n a l   P o is s o n -   S c h d in g e r   e q u a t i on   in   d e p letio n   a ll   a ro u n d   op e r a t i on   of   th e   S O I   f o u r   g a t e   tr a n si s to r ,   2 0 0 9   I E EE   I nt e rn a t i on a C o n fer e n c e   o f   E le c tro n   D e v ic e s   a nd   S ol i d - S t a te   Cir c ui t s ( E D SS C ) , D ec .   2 0 0 9 .   [6 ]   Jin g   Hu o ,   X iao sh u   M a Qu a n t u m   P a rti c le  S w a r m   Op ti m iza ti o n   A l g o rit h m   Ba se d o n   D y n a m ic  A d a p ti v e   S e a rc h   S trate g y T EL KOM NIKA   ( T e l e c o mm u n ic a ti o n   Co m p u t in g ,   El e c tr o n ics   a n d   C o n tro l) v o l.   1 3 ,   n o.   1 ,   M a rc h   2 0 1 5 ,   p p .   3 2 1 - 330 .   [7 ]   A.   Ca p p y ,   P ro p riété p h y siq u e e p e rf o r m a n c e p o ten ti e ll e d e c o m p o sa n ts  su b m icro n iq u e à   e ff e d e   c h a m p   . stru c tu re   c o n v e n ti o n n e l   à   g a z   b i d im e n sio n n e l T h è se   d e   d o c to ra t   e n   sc ien c e   p h y siq u e ,   U n iv e rsité  d e sc ien c e e t   tec h n iq u e s d e   L IL L F lan d re s - A r t ro is ,   1 9 8 6 .   [8 ]   S . E.   Be n c h a ib a ,   B . E.   M a rir,   M.   M a rir,   A   n e w   v a riatian a m e th o d   f o   r o     n     r‟s  e q u a ti o n s,a p p li c a ti o n   to   a   q u a n t u m   h e tero stru c tu re 5 th   i n ter n a ti o n a c o n fer e n c e   o n   a d v a n c e d   se mic o n d u c to d e v ice a n d   mi c ro sy ste ms   ( AS OM AM 2 0 0 4 )   S lo mi n ice   Ca stl e S lav a rik a ,   O c to b e r ,   p p .   17 - 2 1 ,   2 0 0 4 .   [9 ]   M.   Be n a b b a s,  B. E .   M a rir,   M .   Ba a z o u z i,   M o   é o n         t ro stru   t u   p u   o m o rp h iq u e   e n   (G a A l As / G a In A s/ G a As R e v u e   d e s sc ien c e s tec h n o lo g ie et  d e v e lo p p e m e n t ,   A ND R U ,   n o .   4 ,   p p .   1 1 4 - 1 2 3 ,   2 0 0 7 .   [1 0 ]   Ilh e m   Bo u n e b M im ia   M a rir  B e n a b b a s M o d e li sa ti o n   o f   a c c u m u latio n   b a rri e o f   n a n o stru c tu re   A l G a As / G a A s ,   2 n d   wse a s in ter n a ti o n a c o n fer e n c e   o n   Na n o tec h n o lo g y U n iv e rsit y   o f   Co m b rid g e ,   UK ,   F e b ru a ry   2 0 - 22,   2 0 1 0 .   [1 1 ]   S u b h ra   Ch o w d h u ry ,   Dh ru b e s Bis w a s P e rf o rm a n c e s Co m p a riso n   o f   S i,   G a A s an d   G a N b a se d   Re so n a n T u n n e li n g   Dio d e   in   P r e se n c e   a n d   A b se n c e   o f   El e c tri c ,   In ter n a ti o n a J o u r n a o N a n o   De v ice s,  S e n so rs   a n d   S y ste ms   ( IJ - Na n o ) v o l.   1 ,   n o .   2 ,   No v e m b e 2 0 1 2 ,   p p .   3 9 - 45 .   [1 2 ]     M d .   A lam g i Ho ss a in ,   A ri f   M a h m u d ,   M a h f u z u Ha q u e   Ch o w d h u ry ,   a n d   M d .   M ij a n u Ra h m a n Ca p a c it a n c e - V o l tag e   Ch a ra c teristics   o f   Na n o w ire   T ri g a te  M OSF ET   Co n sid e r in g   W a v e   F u n c ti o n   P e n e trati o n In ter n a ti o n a l   J o u rn a o El e c trica a n d   C o mp u t e r E n g i n e e rin g   ( IJ ECE ) v o l.   2 ,   n o .   6 ,   De c e m b e 2 0 1 2 ,   p p .   7 8 5 - 791 .   [1 3 ]   M .   Be n a b b a s,   B.   M a rir D.   Ba j o n ,   H.   Ba u d ra n d ,   E x a c t   re so lu ti o n   of   c o u p led   S c h ro d i n g e r - P o i ss o n   e q u a ti o n A p p li c a ti o n   t o   a c c u ra te  d e term in a ti o n   o f   p o ten ti a p r o f il e   in   HE M T S El e c tro n ic  L e tt e r   , v o l .   2 7 ,   p p .   1 8 4 8 - 1 8 5 0 ,   1 9 9 1 .   [1 4 ]   R.   M e ln ik   a n d   M .   W il latz e n ,   Ba n d   st r u c t u r e   of   c o n ic a l   q u a nt u m   d o ts   w it h   we t t i n la y e rs ,   N an o t e c h no l o g y ,   v o l.   1 5 ,   p p.   1 - 8,   20 0 4.   [1 5 ]     O.  C.   Z ien k i e wi c z T he   F in i te  E l e m e n M e t h od ,   M c G r a w - Hil l ,   L on d on   ( 1 9 7 7 ) .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.