I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute E n g in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   8 ,   No .   1 Feb r u ar y   201 8 ,   p p .   4 5 8 ~4 7 1   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v8 i 1 . p p 4 5 8 - 4 7 1          458       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s co r e . co m/ jo u r n a ls /in d ex . p h p / I JE C E   Ana ly tical M o del  o Ca g e Induc tion M a chine De dica t ed t o  t he  Study o the  In ne r Race Bea ring   F a ult       M a ro ua ne  H a dj a m i 1 ,   H ub er t   Ra zik 2 ,   M o ha m e d E l K a m e l O u m a a m a r 3 ,   Ab del m a m e k   K ez za r 4   1 , 3, 4 L a b o ra to ire  d ’é lec tro tec h n iq u e   d e   Co n sta n ti n e ,   p a rtem e n d ’é lec tro tec h n iq u e ,   Un iv e rsité Co n sta n ti n e   1 .   2 5 0 0 0 ,   Co n sta n ti n e ,   A lg e ria   2 L a b o ra to ire Am p è re   CNRS,   UMR  5 0 0 5 ,   U n iv e rsité Cl a u d e   Be r n a rd   Ly o n   1 ,   F ra n c e       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Sep   9 ,   2 0 1 7   R ev i s ed   Dec   2 5 ,   2 0 1 7   A cc ep ted   J an   1 0 ,   2 0 1 8     T h is  p a p e p re se n ts  a   n e w   a n a l y ti c a m o d e f o in n e b e a rin g   ra c e w a y   d e f e c t.   T h e   m o d e is  b a se d   o n   th e   p re se n tatio n   o f   d if fe re n m a c h in e   in d u c tan c e a s   F o u rier  se ries   w it h o u a n y   k in d   o f   re f e re n c e   f r a m e   tran s f o r m a ti o n .   T h e   p ro p o se d   a p p ro a c h   sh o w th a t h is   m o d e is  a b le  to   g iv e   im p o rtan f e a tu re s   o n   t h e   sta te  o f   th e   m o to r.   S im u latio n   b a se d   o n   s p e c tral  a n a ly si o f   sta to c u rre n sig n a u sin g   F a st  F o u rier   T ra n sf o r m   (F F T a n d   e x p e ri m e n tal  re su lt s   a re   g iv e n   to   sh e d   li g h t   o n   t h e   u se f u ln e ss   o f   th e   p ro p o se d   m o d e l.     K ey w o r d :   An al y tical  m o d el    Fau lt d ia g n o s is   I n d u ctio n   m ac h i n e   I n ter   b ea r in g   r ac e w a y   d e f ec t   D y n a m ic  ec ce n tr icit y   Co p y rig h ©   2 0 1 8   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Had j am i M   L ab o r ato ir d élec tr o tech n iq u d C o n s tan tin e ,     Dép ar te m en t d élec tr o tech n iq u e ,   Un i v er s ité  C o n s tan ti n 1 .   2 5 0 0 0 ,     C o n s tan ti n e,   A l g er ia .   E m ail:  M h ad j am i@ y a h o o . f r       1.   I NT RO D UCT I O N     E lectr ic  P o w er   R esear c h   I n s t itu te  ( E P R I )   ca r r ied   o u lar g s u r v e y   o n   f a u lt s   i n   i n d u ct io n   m o to r   in 1 9 8 5 .   B ea r in g   f au l ts   co n ta in   o v er   4 0 % o f   all  m ac h in f ail u r e.   Fo r   th is   r ea s o n ,   th d etec ti o n   o f   b ea r in g   f a u lt s   h as  b ee n   an   i m p o r tan r e s ea r ch   ar ea   [1 - 6] . T h d if f er en f a u l ts   o cc u r r in g   i n   r o lli n g - ele m en b ea r in g   ca n   b e   class i f ied   ac co r d in g   to   th d a m ag ed   ele m e n t a s   [ 7 ] :   a.   Ou ter   r ac e w a y   d ef ec t   b.   I n n er   r ac e w a y   d ef ec t   c.   B all  d ef ec   d.   C ag d ef ec t   B ea r in g   f au lts   a s   all  o t h er   i n d u ctio n   m o to r   f ail u r es  o u g h to   b d iag n o s i n g   as  ea r l y   as   p o s s ib le  in   o r d er   to   p r ev en t th co m p lete  f ail u r o f   t h s y s te m   a n d   u n e x p ec ted   p r o d u ctio n   co s ts .   Fo r   t h at,   th c h alle n g is   to   h av a n   ad eq u ate  m o d el  o f   th i n d u ctio n   m o to r   w h ich   b e h av e s   as t h r ea m o to r ,   an d   is   ab le  to   g en er ate  t h d esire d   s ig n al s   as  w s ee   i n   r ea m o to r s   u n d er   h ea lt h y   o r   f au lt y   s tate  [ 8 ] ,   [ 9 ] ,   o r   in   m o to r - p u m p   s y s te m   [ 1 0 ] .   T h m o d el  f o r   b ea r in g   f a u lt  p r o p o s ed   b y   Sc h o en   h a s   b ee n   a p p lied   in   s e v er al  w o r k s   a s ,   [ 1 1 ] ,   [ 1 2 ] .   B d [ 1 3 ]   co n s id er   th i s   m o d el  in co m p l ete,   an d   ex te n d ed   it  b y   th e   co n s id er atio n   o f   t h to r q u v ar iatio n s ,   an d   t h in tr o d u ctio n   o f   th r ad ial  m o v e m e n o f   th r o to r   ce n ter .   T h f a u lt  i m p ac o n   t h air g ap   len g th   i s   co n s id er ed   b y   a   s er ies  o f   Dir ac   g e n er aliz ed   f u n ctio n s   o f   v ib r atio n s   a n al y s i s   a n d   h a s   b ee n   u s ed   i n   B l ö d t’ s   m o d el  [ 1 3 ] ,   [ 1 4 ] .   I n   th is   ap p r o ac h ,   o n ca n   n o tice  t h at,   f ir s tl y ,   t h s u r f ac o f   t h Dir ac   f u n ct io n   is   eq u al  to   1 ,   b u its   a m p lit u d ten d s   to w ar d s   th e   in f i n ite  o n e,   a n d   th at  m ak e s   th s i m u latio n   o f   in d u ctan ce s   i m p o s s ib le,   a n d   s ec o n d l y ,   it s   tr u t h at   th co n tact  a n g le  is   co n s id er ed ,   b u t   th a n g le  o f   t h d ef ec d o es  n o ex i s t.  T h en ,   f o r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A n a lytica l Mo d el  o f Ca g I n d u ctio n   Ma ch in De d ica ted   to   t h S tu d y   o f th I n n er R a ce   ( Ha d ja mi  M )   459   th ese  t w o   r ai s o n s ,   w co n s id er   th at  t h is   ap p r o ac h   i s   n o h i g h l y   r eliab le.   I n   th is   w o r k   n e w   ap p r o ac h   w it h   tak i n g   i n to   ac co u n t th a n g le  o f   th d ef ec w i ll b p r o p o s ed .   I n   th i s   p ap er ,   o n o f   th f o u r t h   t y p e s   o f   b ea r in g   f au lt s   clas s if ied   ab o v is   s tu d ied ,   n a m el y   th i n n er   r ac b ea r in g   f au l t,  an d   b ec au s th s i m ilar it y   w h ich   e x is t s   b et w ee n   t h is   la s an d   th d y n a m ic  ec ce n tr icit y   f au lt,  n e w   w a y   f o r   f o r m u l atin g   g e n er al  m o d el  is   s u g g ested .   T h m ai n   o b j ec tiv is   to   o f f er   ac cu r ate   m at h e m a tical  f o r m u la s   o f   all  th i n d u c tan ce s   o f   t h m ac h in in   o r d er   to   s i m u late   e f f ic ien tl y   th e   b eh a v io r   o f   th m o to r   u n d er   eith er   h ea l th y   an d /o r   f au lt y   co n d itio n s .     B ea r in g   f a u lt s   ca n   b d iag n o s ed   w ith   h elp   o f   m an y   co n d itio n   m o n ito r in g   m et h o d s   s u c h   as   v ib r atio n   m o n ito r i n g   [ 1 5 ] ,   [ 1 6 ] .   T h is   m et h o d   is   ap p lied   w i th   t h u s o f   b r o ad   b an d ,   n ar r o w   b a n d   an d   th s p ec tr al   an al y s is   o f   th v ib r atio n   en e r g y   o f   m o to r .   B u t h is   m et h o d   h as  d r a w b ac k   o f   h i g h   co s as  it   r eq u ir e s   ex p en s iv ac ce ler o m eter s . T h e r m al  m o n ito r in g   [ 1 7 ] .   T h is   m e th o d   is   d o n b y   m ea s u r i n g   t h e   lo ca an d   th b u lk   te m p er atu r o f   m o to r s i also   ca n   b ac h ie v ed   b y   p ar a m ete r   esti m a tio n .   T h is   m et h o d   h as   d r a w b ac k   t h at  i t   m i g h t   b to o   s lo w   to   d etec f a u lt.  C u r r en t   m o n ito r in g   [ 1 8 - 2 1 ] .   T h m et h o d   u s ed   f o r   d iag n o s is   [ 2 2 ]   is   ac cu r at e   an d   r e m ai n s   o n o f   th m o s t   u s ed ,   b u r eq u ir ex p en s i v s en s o r s   o r   s p ec ialized   to o ls .   F o r   th at,   an d   b ec au s e   th s tato r   c u r r en h ar m o n ic s   m ea s u r e m e n t   ca n   p r o v id t h e   s a m i n d i ca tio n s   w it h o u t   r eq u ir in g   ac ce s s   to   t h e   m o to r ,   in   th i s   p ap er ,   s tato r   cu r r en m o n ito r in g   is   u s ed .       2.   DYNA M I E CCE NT R I CI T AND  I NN E RAC E   B E A RIN G   F AUL T   I n   ( DE ) ,   th ce n ter   o f   t h r o t o r   is   n o at  t h ce n tr e   o f   t h r o tatio n   an d   t h p o s itio n   o f   t h m i n i m u m   air - g ap   r o tates  w it h   t h r o to r   ( Fig 1 ) .   W ith   th s a m m a n n er   u s ed   in .   T h 3 ex p r ess io n   o f   th air   g ap   v ar iatio n   i s   [ 2 3 ] :     r DE d r ecc Dyn l x g x g c o s 1 1 , , 0           ( 1 )     An d   f r o m   t h ap p r o x i m at io n   f o r   th f ir s h ar m o n ic,   o n ca n   g et:     r DE d r g l x g x g ecc D y n c o s 1 1 1 , , 0 1         ( 2 )     Fig u r 1   s h o w s   t h t w o   t y p e s   o f   d y n a m ic  ec ce n tr icit y   ( u n i f o r m   an d   n o n - u n i f o r m )               Fig u r 1 .   No n   u n if o r m   ( le f t)   a n d   u n if o r m   ( r ig h t)   d y n a m ic  air   g ap   ec ce n tr icit y       δ d : is t h r elativ d eg r ee   o f   ec ce n tr icit y .     T h v ar iatio n   o f   δ d   v er s u s   th ax ial  p o s itio n   i s :     x l x d d                   ( 3 )     T h eq u iv alen t le v el  o f   d y n a m ic  ec ce n tr icit y   is   d ef i n ed   as a   f u n ct io n   o f   t h ax ial  p o s itio n   by :     r ex d r d l x x c o s 1 , , '             ( 4 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  8 ,   No .   1 Feb r u ar y   2 0 1 8   :   4 5 8     4 7 1   460   I f   th v ar iatio n   o f   “δ d ”  v er s u s   th ax ia l p o s itio n   x   is   r e m o v ed ,   w r etu r n   to   2 ex p r ess io n     2 .1 .   I nn er   Ra ce   b ea ring   F a ult   B ea r in g   is   an   ar r an g e m e n o f   t w o   co n ce n tr ic  r in g s   w it h   s et  o f   b alls   w h ich   s p i n   in   r ac ew a y s   b et w ee n   t h in n er   r i n g   a n d   o u ter   r i n g   as   s h o w n   i n   F ig u r 2 .   W h en   a   b ea r in g   s p in s ,   a n y   ir r eg u lar it y   i n   t h e   in n er   r ac e w a y   s u r f ac g e n er at es  v ib r atio n   o cc u r i n g   at  p er io d ic  f r eq u en c y ,   ca lled   ( B P FI)   B all  P ass   Fre q u en c y   o f   th i n n er   R ac e,   an d   i s   cr ea ted   w h e n   all  th r o lli n g   e le m e n ts   r o ll  a c r o s s   d e f ec in   th i n n er   r ac as  s h o wn   in   Fi g u r 3 .               Fig u r 2 B ea r in g   g eo m eter y   Fig u r 3 .   D y n a m ic  ec ce n tr icit y   ca u s ed   b y   t h i n n er   r ac e w a y   d e f ec t       0 " , , f ,x θ θ δ r d   is   th eq u i v ale n t te m p o r ar y   le v el  o f   ec ce n tr icit y   a n d   γ   is   th d ef ec an g le.   C ag e s   f u n ctio n   to   m ai n tai n   all  th b alls   at  u n if o r m   p itc h   an d   r o tates  at  t h f u n d a m e n tal  ca g f r eq u e n c y   ω cag e ,   w h ich   i s   g i v e n   b y   [ 2 4 ]     c o s 1 2 1 c b r c a g e D D               ( 5 )     β:   is   t h co n tact  a n g le.     Def ec f r eq u en c y   d ep en d s   u p o n   th b ea r in g   g eo m etr y   an d   s h af s p ee d   ω r I n   p ar ticu lar   f o r   th i n n er   r ac e,   an d   r u n n i n g   at  ce r tai n   r o to r   s p ee d   ω r ,   th p r ed ictab le  ch ar ac ter is tic  f a u lt  f r eq u e n c y   i n t f   is   [ 2 4 ] :     c o s 1 2 i n t c b r ba D D f N f               ( 6)          : T h n u m b er   o f   b alls .   T h co n tact  b et w ee n   t h b all s   an d   th d e f ec t c ar ac ter is ed   b y   th a n g le   γ,   g e n er ates a   te m p o r ar y   s tatic  ec ce n tr icit y .   T h n e w   w a y   f o r   m o d elli n g   t h is   f a u lt  i m p a ct,   is   t h i n tr o d u ctio n   o f   a   d ig ital   s q u ar w a v e     Fig u r 4 .   T h is   s ig n al  is   e x p r es s ed   as c o m p lex   Fo u r ier   s er ies   d ev elo p m en t.     1 in t 2 c o s 2 s i n 1 2 2 sw D           ( 7 )           Fig u r 4 .   Dig ital sq u ar w av s ig n al       E q u atio n s   ( 4 )   to   E q u atio n   (7 )   ca n   b co m b in ed   in to   s i m p li f ie  ex p r ess io n   o f   th eq u i v ale n lev el  o f   th o u ter   r ac b ea r i n g   f au lt.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A n a lytica l Mo d el  o f Ca g I n d u ctio n   Ma ch in De d ica ted   to   t h S tu d y   o f th I n n er R a ce   ( Ha d ja mi  M )   461   1 in t ' in t " 2 c o s 2 s i n 1 1 2 , , r ex d d d l x x     ( 8 )     B y   a n alo g y   w i th   ( 1 )   an d   ( 2 ) ,   th n e w   f o r m u la  o f   t h air   g a p   len g h t,  a n d   th i n v er s o f   t h air   g ap   f u n ctio n   ap p r o x i m ated   f o r   s m all  v ar iatio n s ,   b ec o m r esp e ctiv el y       1 in t ' 0 2 c o s 2 s i n 1 1 2 1 , , r ex d d r ecc D y n l x g x g     ( 9 )     1 in t ' 0 1 2 c o s 2 s i n 1 1 2 1 1 , , r ex d d r g l x g x g ecc D y n   ( 1 0 )             ( Hea lth y   s tate) ,               ( Dy n a m ic  ec ce n tr icit y ) ,                   ( I n n er   r ac b ea r in g   f a u lt)        3.   I NDUC T ANC E S CA L CU L AT I O   A cc o r d in g   to   w i n d in g   f u n ctio n   t h eo r y ,   th e   m u t u al  i n d u cta n ce   b et w ee n   an y   t w o   w in d i n g s   an d   i n   an y   elec tr ic  m ac h in ca n   b d ev elo p ed   b y   [ 2 5 - 2 7 ] :     2 0 0 1 0 , , , , , , , , l r r j r i r ij d x d x g x M x n r x L         ( 1 1 )     x g l d x d x g x n x n x M r l r r j r j r g , , 2 , , , , , , , , 1 2 0 0 1         ( 1 2 )     2 0 0 1 1 , , 2 1 , , l r r d x d x g l x g             ( 1 3 )     w h er θ r   is   th a n g u lar   p o s itio n   o f   t h r o to r   w i th   r esp ec to   t h s tato r   f r a m e,   θ   is   p ar ticu l ar   an g u lar   p o s itio n   alo n g   th s tato r   in n er   s u r f ac e, g - 1 ( θ , θ r , x)   i s   ter m ed   t h in v er s air   g ap   f u n ctio n .   T h ter m s   n( θ , θ r , x ) ,   M( θ , θ r , x )   ar th tu r n   f u n ct i o n   an d   th m o d if ied   w i n d in g   f u n c tio n   in   w i n d i n g s   an d   r esp ec tiv el y . ( th e   m o d i f ied   w i n d in g   f u n ctio n   t h e o r y   is   u s ed   b ec au s th n o n   u n i f o r m it y   o f   t h air   g ap ) .   T h m o d el  eq u a tio n s   o f   th in d u ctio n   m ac h i n ar th s a m as [ 2 8 ] .     3 . 1 .   T urn a nd   Win din g   Ro t o F un ct io ns   3 . 1 . 1 .   H ea lt hy   Co nd it io ns   I n   t h is   ca s e   th e   air   g ap   le n g th   g   i s   u n if o r m   a n d   eq u al   to   g 0   d =0 ) ,   th t u r n   f u n ctio n ,   a n d   t h w i n d i n g   f u n ctio n   o f   t h r o to r   lo o p   k   ( w it h   tak i n g   in to   ac o u n t t h s k e w   an g le  δ r   o f   t h r o to r   b ar s )   a r r esp ec tiv el y :     1 2 1 c o s 2 s i n 1 2 2 , , h r r r r r r rk x l k h h h x n     ( 1 4 )     1 2 1 c o s 2 s i n 1 2 2 , , h r r r r r r rk x l k h h h x n     ( 1 5 )         : T h r o to r   lo o p   o p en in g .     b r n 2                   ( 1 6 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  8 ,   No .   1 Feb r u ar y   2 0 1 8   :   4 5 8     4 7 1   462       : T h n u m b er   o f   r o to r   b ar s .     T h v ar iatio n   in   t h an g le   γ v e r s u s   t h ax ial  p o s itio n   i     x l x r r                   ( 1 7 )     3 . 1 . 2 .   I nn er   Ra ce   b ea ring   F a ult   T h m o d if ied   r o to r   w in d i n g   f u n ct io n      (             )   ca n   b e x p r ess ed   i n d ep en d en tl y   f r o m   t h v al u o f p as:     2 2 1 2 2 2 2 1 r r r r r r ex s h e a lth y rk r rk k c o s si n si n l l N x , , M 2 2 1 2 2 2 2 r r r r r r r ex r s k s i n s i n c o s s i n l l          ( 1 8 )     3. 2 .   T urn a nd   Win din g   Sta t o F un ct io ns   3 . 2 . 1 .   H ea lt hy   Co nd it io ns   As th s a m a s   f o r   th r o to r   ( δd =0 ) ,   th tu r n   an d   th w i n d i n g   f u n ctio n s   ar r esp ec tiv el y   [ 2 8 ] :     1 0 3 2 1 c o s 2 2 h wh t s t sq p q hp s h k p N N n         ( 1 9 )     1 0 3 2 1 c o s 2 2 h wh t s t sq p q hp s h k p N N n           ( 2 0 )        2    , 2 s i n k   , s i n s i n k    , k k k    ,   , 2    , 1 rh dh rh dh wh 0 b r s s e s e e c t s s s e n hp N hp N N N hp p N N N Q N N Q N   ( 2 1 )     w er e,       th s tato r   co il  o p en in g ,     th n u b er   o f   s lo ts   p er   p it ch   tu r n ,       th n u m b er   o f   th c o n d u cto r   p e r   s tato r   s lo t,      th n u m b er   o f   s l o ts   p er   p o le  an d   p er   p h ase,       t n n u m b er   o f   s tato r   tu r n s   i n   s er ies,  an d   p is   th n u m b er   o f   p o le  p air s .     3 . 2 . 2 .   I nn er   ra ce   b ea ring   F a ult   On ca n   n o tice  t h at  t h m o d if ied   w i n d in g   f u n ct io n   M sq   ( θ )   is   d if f er en f r o m   th w in d i n g   f u n ctio n   N sq ( θ )   o n l y   in   t h ca s o f   p =1 .     s p s N M 1                 ( 2 2 )     1 in t 2 0 2 2 1 2 2 0 1 2 c o s 2 s i n 1 2 2 3 2 1 c o s 2 1 2 q l l k N g rl N N ex w d t sq p sq   ( 2 3 )     3. 3 .   Der iv a t io n o f   I nd uct a nces   3 . 3 . 1 .   H ea lt hy   Co nd it io ns   Usi n g   r elat io n   ( 1 2 )   an d   w h e n   t h s k e w i n g   e f f ec t   is   co n s id er ed ,   th d if f er en in d u cta n ce s   h a v e   s i m ilar   f o r m u las  a s   p r esen ted   w it h o u s k e w in g   e f f ec [ 2 8 ] ,   ex ce p th at  t h s tato r - r o to r   m u t u al  in d u ctan ce s   ar m u ltip lied   b y   s k e w i n g   f ac to r   s k e h k f o r   ea ch   h ar m o n ic  co m p o n e n t   h :     2 2 s i n r r s k e hp hp hp k               ( 2 4 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A n a lytica l Mo d el  o f Ca g I n d u ctio n   Ma ch in De d ica ted   to   t h S tu d y   o f th I n n er R a ce   ( Ha d ja mi  M )   463   1 0 2 3 2 1 2 1 c o s h r r r sr h sr h e a lth y s k q h p q k hp s M L     ( 2 5 )     w it h   s k e h wh t sr h k hp k N g rl M 0 0 4     3 . 3 . 2 .   I nn er   ra ce   bea ring   F a ult:     B y   u s in g   ( 1 4 )   o n ca n   o b tain   th d if f er e n f o r m u las  o f   th e   s tato r   an d   r o to r   in d u cta n ce s .   T h s tato r   an d   th s ta to r - r o to r   m u t u al  i n d u ctan ce s   ar d ep en d en t o n   t h v alu o f   p , ( p =1   o r   p 1 ) .       1 in t 0 2 c o s 2 s i n 1 2 2 1 2 b DE r jk n g rl M   r rj r rk r r k j r rj r rk r r k j B B A A c o s c o s c o s c o s c o s c o s ( 2 6 )     w it h :       s k e r r ex r d s k e r ex d s k e x x wh t sr x r r rk r k j rk r k q r r r rk k l l k l l k hp k N g rl M k j p q k 1 1 0 0 0 2 c o s 2 s i n B      , 2 s i n 2 1 A     , 4      2 1 2 1     , 3 2 1       , 2 2 1             (               )             (              )   ar th in d u ctan ce s   g i v e n   i n   th ca s o f   s y m m etr ical  r o t o r   r esp ec tiv el y   [ 2 8 ] .       a.   T h ca s o f   p 1 :                               (              )                 ( 2 7 )     r r r h s k e hp sr hp ex d sr h e a lth y s k q h sr s k q h k hp p q hp k M l l L L 2 1 1 2 3 2 1 c o s 2 1 2 2 0 1 1 1 in t   r r r h s k e hp r sr hp ex r d k hp p q hp k hp hp M l l 2 1 1 2 3 2 1 s i n 2 1 c o s 1 2 2 0 1 1 1   1 in t 0 1 1 1 2 1 1 2 2 3 2 1 c o s 2 s i n 2 1 2 1 h r r r s k e hp sr hp ex d k hp p q hp k M l l    h s k e hp r sr hp ex r d k hp hp M l l 1 1 1 2 1 c o s 1 2 s i n 2 1   r r r k hp p q hp  2 1 1 2 2 3 2 1 s i n in t 0       ( 2 8 )     b .   T h ca s o f   p =1 :   Fo r   th is   ca s e,   o n ca n   u s th i n d u cta n ce s                 (               )                (               )      d ev elo p ed   in   o u r   o ld   w o r k s   cited   p r ev io u s l y ,   w i th   t h s a m m an n er   as  f o r   th ca s o f   p 1   b a d d in g r .   T h s tato r   an d   r o to r   s elf   m a g n etizin g   in d u cta n ce s   ar r esp ec tiv el y   s q i q i L   ( i=1 ,   2 ,   3 )   an d   r j j L   ( j=1 :   n b - 1 ).   T h d if f er en t i n d u cta n ce s   f o r m u las p r esen ted   f o r   th ca s o f   th I n n er   r ac b ea r in g   f a u lt c o n f ir m e   th a t,  w h e n :                                                 (               )       ( Hea lth y   s tate)   [ 2 8 ]                                             (               )   ,                      (               )        ( D y n a m ic  ec ce n tr icit y )   [ 2 9 ]   w ith o u s k e w                                         (       )   ,                      (       )        ( I n n er   r ac b ea r in g   f a u lt)   Fig u r 5   s h o w s   th at   w h en   th r o llin g   ele m en ts   r o ll  ac r o s s   d ef ec in   th e   in n er   r ac e,   a   d y n a m ic   e cc en tr icit y   is   cr ea ted   at  p er io d ic  f r eq u en c y   ca lled   ( B P FI) .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  8 ,   No .   1 Feb r u ar y   2 0 1 8   :   4 5 8     4 7 1   464   Fig u r 6   s h o w s   t h ef f ec o f   th d ef ec an g le  o n   t h ec ce n tr icit y   cr ea ted   b y   t h in n er   r ac b ea r in g   f au lt  o n   th m u t u al  i n d u cta n ce s ,   an d   o n ca n   n o tice  th at   th en lar g i n g   o f   th d ef ec an g le,   i n v o l v es  a n   in cr ea s i n   th d u r atio n   o f   t h f au l t,  an d   i f   th v al u o f   t h d ef ec an g le  is   v er y   s m a ll  ( clo s to   ze r o ) ,   th v ar iatio n   i n   t h in d u ctan ce   w a v ef o r m   is   al m o s t i n v is ib le.               Fig u r 5 .   Mu tu a l in d u ctan ce s   L s1r1   f o r   d y n a m ic  v ar iatio n s ec ce n tr ici t y   ( r ed )   an d   in n er   r ac b ea r in g   f au lt ( b lu e)   Fig u r 6 .   Mu tu a l in d u ctan ce s   L s1r1   w i th   γ   an d   δd   =0 . 3   (l ex =l)       Fin all y ,   th e   Fi g u r e   5   an d   Fi g u r 6   s h o w   th a i n n er   r ac b ea r in g   f au l ca u s es   a n   as y m m etr i ca m u t u al   in d u cta n ce   b et w ee n   s tato r   p h a s es a n d   r o to r   lo o p s .       4.   I NNE RAC E   B E ARI NG   F AUL T   SI G NA T UR E I S T AT O C URR E NT     T o   f in d   in   t h c u r r en o f   t h s t ato r   th d i f f er e n s i g n at u r es   o f   th e   in n er   r ac e w a y   b ea r in g   f a u lt,  a n d   to   u n d er s ta n d   th eir   o r ig i n s ,   it  is   f ir s n ec ess ar y   to   id en ti f y   th h ar m o n ics  i n d u ce d   b y   t h is   d ef ec in   t h r o to r   cu r r en t. Fo r   an   id ea l t h r ee - p h a s s u p p l y ,   t h s tato r s   cu r r en ts   w h ic h   f lo w   i n   t h s tato r   p h ase s   ar o f   th f o r m :     3 2 1 c o s q t L I s sm sq               ( 2 9 )     T h d er iv ativ o f   r o to r   f lu x   in   v ec to r   m atr i x   f o r m   ca n   b w r i t ten   as:     rk T rk sq T st k q h rk I L dt d I L dt d dt d             ( 3 0 )     W h er e:         :   is   th m ai n   v o lta g s u p p l y   p u ls atio n   [       ]   is   th r o to r   lo o p   in d u ctan ce s   m atr i x   [            ]   : is th s tato r   to   r o to r   m u t u al  i n d u cta n ce s   m atr i x   Sin ce   t h s k e w i n g   o f   th r o to r   b ar s   d o es  n o g en er ate  an y   n e w   h ar m o n ics,  s o   t h s t u d y   w il b m ad e   w it h   t h m u t u al  s tato r - r o to r   in d u ctan ce   w it h o u t s k e w i n g   e f f e ct,   an d   w h ic h   ca n   b ex p r ess e d   as f o llo w s :     r r h sr hp ex d sr h e a lth y s k q h sr s k q h k hp p q hp M l l L L 2 1 1 3 2 1 c o s 2 1 2 2 0 1 1 in t   1 in t 0 1 1 2 1 1 2 3 2 1 c o s 2 s i n 2 1 2 1 h r r sr hp ex d k hp p q hp M l l    ( 3 1 )     Af ter   d ev elo p m e n t o f   r o to r   flu x   d er iv ati v an d   s o m s i m p li ficatio n s   w g et:     h rk h rk h rk rk I I I I 1 1 1             ( 3 2 )   w h er e:    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A n a lytica l Mo d el  o f Ca g I n d u ctio n   Ma ch in De d ica ted   to   t h S tu d y   o f th I n n er R a ce   ( Ha d ja mi  M )   465   1 ,.., 1 , 0 1 1 c o s b n k r s h h hp rk rk hp hpk t s I I           ( 3 3 )     1 ,.., 1 , 0 1 1 c o s b n k r s h h hp rk rk hp hpk t s I I           ( 3 4 )     1 ,.., 1 , 0 in t 1 1 3 2 2 1 c o s b n k r s h h hp rk rk hp f k p hp t s I I       ( 3 5 )     A ll  t h h ar m o n ics  i n d u ce d   in   th r o to r   cu r r en h av t h eir   im ag e s   at  th s tato r   cu r r en t.  F r o m   t h er e,   an d   f o llo w i n g   t h s a m p r ev io u s   s tep s ,   w ca n   w r ite  t h d er iv ati v o f   t h s tato r   f l u x   as f o ll o w s :     dt d dt d dt d dt I d L dt d sa sa sa sa s sa 3 2 1           ( 3 6 )     w er e:      dt hp I L d dt d dt hp I L d dt d dt hp I L d dt d rk sr k q h sa rk sr k q h sa rk sr k q h sa 3 3 2 2 1 1        ,        ,   ( 3 7 )     Af ter   d ev elo p m e n t,  w f i n d   t h at  th ter m s   i n   ( 4 0 )   ar alw a y s   n u l ex ce p f o r   th f o llo w   h ar m o n ic   o r d er s   [ 2 9 ] ,   [ 3 0 ]        1 2 n h , 1 1 n h      , 1 n h    , 1 ,.. 2 , 1 b ,.. 2 , 1 b ,.. 2 , 1 b p p p h       ( 3 8 )     T h v o ltag es  i n d u ce d   in   t h s t ato r   p r o d u ce   n e w   s er ie s   o f   h ig h   f r eq u e n c y   in   t h s tato r   cu r r en t,  a n d   th ex p r es s io n   o f   t h ese  co m p o n en t s   ar e:       ,. 3 , 2 , 1 ,., 3 , 2 , 1      1   1 1 2 in t in t k kf f p f s p n f r s b ecc     ( 3 9 )     T h v o ltag es  i n d u ce d   in   t h s t ato r   p r o d u ce   n e w   s er ie s   o f   h ig h   f r eq u e n c y   in   t h s tato r   cu r r en t,  a n d   th ex p r es s io n   o f   t h ese  co m p o n en t s   ar e:       ,. 3 , 2 , 1 ,., 3 , 2 , 1      1   1 1 2 in t in t k kf f p f s p n f r s b ecc     ( 4 0 )     T h T ab le  1   s h o w s   t h n e w   e x p r ess io n   o f   th f r eq u e n cie s   f o u n d   b y   o u r   ap p r o ac h ,   an d   th at  f o u n d   b y   th ap p r o ac h   o f   B lo d t.       T ab le  1 .   Stato r   C u r r en t I n n er   R ac B ea r in g   Fa u lt  Fre q u en c y   I n n e r   r a c e   b e a r i n g   f a u l t   f r e q u e n c y   T h e   B l ö d t   a p p r o a c h     i n t i n t kf f f f r s ecc   T h e   p r e se n t   a p p r o a c h     in t in t 1 1 1 kf f p f s P n f r s b ecc   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  8 ,   No .   1 Feb r u ar y   2 0 1 8   :   4 5 8     4 7 1   466   5.   T E ST   L AB O RATOR   A   te s b en c h   h a v b ee n   s et   u p   at  Am p er L ab o r ato r y   C NR S,UM R   5 0 0 5   o f   C la u d B er n ar d   u n i v er s i t y   L y o n   1 ,   Fra n ce ,   i n   o r d er   to   v alid ate  th p r ev io u s l y   d is cu s s ed   a n al y tical  m o d el.   T h T ested   m ac h i n is   s tar   co n n ec ted   i n d u ctio n   m o to r .   R atin g s   o f   th te s ted   m o to r   ar 5 . 5 k W   th r ee - p h a s in d u ctio n   m ac h i n w it h   4 8   s tato r   s lo ts ,   2 8   r o to r   b ar s ,   an d   2   p air   p o les  f r o m   5   L er o y   So m er   m an u f ac t u r er , L 1 3 2 w it h   a   p r o tectio n   f ac to r   o f   5 5   ( p r o te ctio n   ag ai n s d u s an d   a g ai n s t   w ater   j ets),   n o m i n al  m o to r   s p ee d   is   1 4 4 0 tr   m i n   f o r   1 1 . 4 A   an d   co s φ= 0 . 8 4 .   Stat o r   p h ase  r esis tan ce   1 . 3 1 5 Ω .   I h as  t w o   NUP   2 0 6   t y p r o llin g   b all  b ea r in g s   w it h   1 3   b alls .   T h d ef ec w a s   s i m u lated   o n   a   r o ller   b ea r in g   b y   th ad d itio n   o f   co n ta m in a n ( ce m en p o w d er ) .   T h in n er   r i n g   f a u lt ( s tr ip o n   th e   in n er   r in g )   w as c ar r ied   o u t o n   3   lev els o f   s e v er it y   a s   s h o w n   in   F i g u r 7 .                   Fig u r 7 .   Failu r o n   t h in n er   r in g   o f   th b ea r in g   NUP   2 0 6   ( a - L ev el  1 /3 ,   b -   L ev el  2 /3   an d   c -   L ev el  3 /3 )         Fo r   lo ad   s p ee d   o f   1 4 0 6   t r   m i n   f o r   lev e l ( 1 /3 )   o f   d ef ec tiv b ea r in g ,   1 4 2 3   tr / m i n   f o r   th e   lev el  ( 2 /3 )   , an d   1 4 2 0   tr / m in   f o r   th e   le v e ls   ( 3 /3 )   an d   f o r   1 4 2 0   tr / m i n   t h s af e   b ea r in g   -   B ea r in g   N UP   2 0 6 ,   an d   u s i n g   eq u atio n   ( 5 3 ) ,   it  s ets  t h tab l f o r   th f r eq u e n cies  d etec ted   s m a ll  an g le  d e f au lt  ( γ )   s o   h o le,   o r   lar g er   d ef ec t a n g le  t h er ef o r f o r   o u r   ca s g r o o v in   t h i n n er   r in g .     I n d ee d ,   f o r   an y   m o to r   w al w a y s   d is t in g u is h   v i s ib le  s m a ll  ec ce n tr icit y   r o to r   f r eq u en ci es,  w h ic h   ex p lain   t h ex i s te n ce   o f   s o m e   s p ec if ic  h ar m o n ic s   o f   t h in n er   r ac b ea r in g   f a u lt  e v e n   f o r   h ea lth y   m o to r   as  s h o w n   i n   Fi g u r e s   8   ( a ) ,   ( b ) ,   ( c) ,   Fig u r es   9   ( a ) ,   ( b ) ,   ( c) ,   w h e n   th m o to r   is   test ed   w ith   d ef ec an g le  at  lev el   ( 1 /3 ) .           Fig u r 8 .   ( a)   E x p er im e n tal  F F T   s p ec tr u m   o f   t h s tato r   cu r r en t u n d er   h ea lt h y   co n d itio n   ( B l u e) ,   an d   f a u lt y   co n d itio n   ( R ed ) ,   s = 0 :0 6 1 .   L ev el  ( 1 /3 )   b et w ee n   1 0 0 Hz  an d   1 8 0 Hz  ( Z o o m   o n   ( b )   1 1 3 . 0 3   Hz ,   ( c)   1 7 2 . 2 1   Hz)           Fig u r 9 .   ( a)   E x p er im e n tal  F F T   s p ec tr u m   o f   t h s tato r   cu r r en t u n d er   h ea lt h y   co n d itio n   ( B l u e) ,   an d   f a u lt y   co n d itio n   ( R ed ) ,   s = 0 :0 6 1 .   L ev el  ( 1 /3 )   b et w ee n   1 7 0   an d   2 5 0   ( Z o o m   o n   ( b )   1 8 9 . 5 6   Hz ( c )   2 1 3 . 0 3   Hz)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       A n a lytica l Mo d el  o f Ca g I n d u ctio n   Ma ch in De d ica ted   to   t h S tu d y   o f th I n n er R a ce   ( Ha d ja mi  M )   467   T h is   g r o u p   o f   h ar m o n ic s   is   s u m m ar ized   in   T ab le  2 .         T ab le  2 .   Sp ec if ic  Har m o n ics o f   th I n n er   R ac B ea r in g   Fa u lt   in   S tato r   C u r r en t ( L e v el  1 /3 )   r s ecc f P kf f s P N f 1 1 ) 1 ( in t in t     H e a l t h y   F a u l t y   λ = 1 ,   k = 3   1 7 3 . 9   H z   1 7 2 . 2 1   H z   λ = 3 ,   k = 1 0   1 1 4 . 4 3   H z   1 1 3 . 0 3   H z   2 1 4 . 4 3   H z   2 1 3 . 0 3   H z   1 9 0 . 7 6   H z   1 8 9 . 5 6   H z       T h s p ec tr u m   o f   th f a u lt y   co n d itio n   ca s ( L ev el  1 /3 )   co n ta in s   n e w   h ar m o n ic  co m p o n e n t s   ( 1 6 2 . 3 0   Hz,   2 6 2 . 3 0   Hz,   2 0 2 . 8 3   Hz  an d   3 0 2 . 8 3   Hz)   as illu s tr ated   in   Fi g u r e s   10   (a ) ,   ( b ) ,   ( c)   an d   Fig u r es  11   (a ) ,   ( b ) ,   ( c) .           Fig u r 1 0 .   ( a)   E x p er im en tal  F FT   s p ec tr u m   o f   th s tato r   cu r r en t u n d er   h ea lt h y   co n d itio n   ( B lu e) ,   an d   f a u lt y   co n d itio n   ( R ed )   s = 0 . 0 6 3 .   L ev el  ( 1 /3 )   b et w ee n   1 4 0 Hz  an d   2 2 0 Hz  ( Z o o m   o n   ( b )   1 5 9 . 2 8   Hz,   ( c)   1 9 8 . 4 8   Hz)           Fig u r 1 1 .   ( a)   E x p er im en tal  F FT   s p ec tr u m   o f   th s tato r   cu r r en t u n d er   h ea lt h y   co n d itio n   ( B lu e) ,   an d   f a u lt y   co n d itio n   ( R ed )   s = 0 . 0 6 3 .   L ev el  ( 1 /3 )   b et w ee n   2 3 0 Hz  an d   3 1 0 Hz  ( Z o o m   o n   ( b )   2 5 9 . 2 8   Hz,   ( c)   2 9 8 . 4 8   Hz)       T h is   g r o u p   o f   h ar m o n ic s   is   s u m m ar ized   in   T ab le  3 .       T ab le  3 .   N ew   S p ec i f ic  Har m o n ics o f   th I n n er   R ac B ea r in g   Fau lt i n   S tato r   C u r r en t ( L ev el   1 /3 )   r s ecc f P kf f s P N f 1 1 ) 1 ( in t in t   λ = 2 ,   k = 6   Hz f f f s f r s ecc 28 . 159 2 1 6 ) 1 ) 1 ( 28 ( i n t i n t   Hz f f f s f r s ecc 28 . 259 2 1 6 ) 1 ) 1 ( 28 ( i n t i n t   λ = 4 ,   k = 1 3   Hz f f f s f r s ecc 48 . 198 2 1 13 ) 1 ) 1 ( 56 ( i n t i n t   Hz f f f s f r s ecc 48 . 298 2 1 13 ) 1 ) 1 ( 56 ( i n t i n t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.