I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m p ute E ng in ee ring   ( I J E CE )   Vo l.   8 ,   No .   3 J u n e   201 8 ,   p p .   1 4 9 8 ~ 1 5 1 2   I SS N:  2 0 8 8 - 8708 DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j ec e . v8 i 3 . p p 1 4 9 8 - 1512          1498       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ia e s co r e . co m/ jo u r n a ls /in d ex . p h p / I JE C E   Selection o f   D ig it a F ilter  f o M ic r o pro cess o P ro tec tion  R ela y s       Denis   B .   So lo v ev   V lad iv o st o k   Bra n c h   o f   Ru ss ian   C u sto m s Ac a d e m y F a Eas tern   F e d e ra Un iv e rsity ,   Ru ss ia       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J a n   15 ,   2 0 1 8   R ev i s ed   Mar   13 ,   2 0 1 8   A cc ep ted   Mar   28 ,   2 0 1 8     T h e   a rti c le co n sid e rs so m e   issu e re late d   to   re p lac e m e n o f   e le c tro m e c h a n ica l   re la y u se d   f o p ro tec ti o n   o f   p o w e f a c il it ies   w it h   m icro p ro c e ss o re la y s.  On e   o f   th e   u rg e n p ro b lem c o n n e c ted   w it h   i m p le m e n tatio n   o f   m icr o p r o c e ss o o v e rc u rre n p ro tec ti o n is  h o w   to   u se   c u rre n tra n sd u c e rs  o t h e th a n   u s u a c u rre n tran sf o rm e rs  a n d   in   p a rti c u lar  Ro g o w sk c o il th a b e c o m e   m o re   a n d   m o re   w id e sp re a d .   In   th e   a rti c le   a r e   c o m p a re d   t w e lv e   m e th o d o f   s y n th e sis  o f   a   d ig it a f il ter  b a sin g   o n   th e   a n a lo g   p ro t o ty p e     se c o n d - o rd e i n teg ra ti n g   f il ter.  T h e   b il in e a f il ter   a n d   Bo x e r - T h a ler  f il ters   a re   a n a l y z e d   in   re sp e c to   th e ir  u se   in   m icro p ro c e ss o re lay s .   Ba sin g   o n   t h e   re se a rc h   re su lt a   tec h n iq u e   f o se le c ti o n   o f   p a ra m e t e rs  o f   d ig it a in teg ra ti n g   f il ters   f o m i c ro p ro c e ss o re la y is   p ro p o se d .   S im u latio n   r e su lt sh o w   th a Bo x e r - T h a ler  a n d   b i li n e a r   f il ters   h a v e   b e tt e a c c u ra c y   d u rin g   tran sie n c u rre n m e a su re m e n ts  th a n   th e   a n a lo g   f il ter.  T h e   stu d y   a ll o w c o n c lu d in g   t h a i n   m a n y   c a se t h e   d ig it a l   se c o n d - o r d e b il in e a f il ter  is  t h e   b e st  c h o ice   f o u se   in   m icro p r o c e ss o re la y s.   K ey w o r d :   C u r r en m ea s u r e m e n t   D ig ital  f il ter s   D ig ital  m ea s u r e m en ts   E lectr ic  v ar iab les co n tr o l   M o d elin g   P r o tectiv r elay i n g   Co p y rig h ©   2 0 1 8   In stit u te o A d v a n c e d   E n g i n e e rin g   a n d   S c ien c e   Al rig h ts  re se rv e d .   C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Den is   B .   So lo v e v ,   T r ain in g   ce n ter ,   Vlad iv o s to k   B r an ch   o f   R u s s ia n   C u s to m s   Aca d em y ,   E n g i n ee r i n g   s ch o o l,  Far   E aste r n   Fed er al  Un i v er s it y ,   8 ,   Su k h an o v   St.,   Vlad iv o s to k ,   6 9 0 9 5 0 ,   R u s s ia .   E m ail:  s o lo v ev . d b @ d v f u . r u       1.   I NT RO D UCT I O N   P r esen tl y   m icr o p r o ce s s o r - b as ed   p r o tectiv r ela y i n g   i s   b ec o m in g   m o r an d   m o r w id es p r ea d   an d   co n tin u es  to   f o r ce   o u co n v e n tio n al  r ela y i n g   eq u ip m en t.  I i s   co n f ir m ed   b y   t h f ac th at  f o r   th last   1 0   y ea r s   m icr o p r o ce s s o r - b ased   r ela y in g   h a s   b ee n   th m a n d ato r y   s u b ject  f o r   all  s tu d e n ts   i n   t h p er tain i n g   f ield s .     T h tr an s itio n   to   d ig ita r ela y i n g   i s   in e v itab le  [ 1 ] ,   [ 2 ] .   I is   k n o w n   t h at  s u c h   lar g i n ter n ati o n al  r ela y   v en d o r s   as  A B B ,   Gen er al  E l ec tr ic,   Sie m e n s ,   A l s to m   m a y   s o o n   s to p   th p r o d u ctio n   o f   elec tr o m ec h a n ic al  r ela y s .   T h is   f ac is   m ai n l y   e x p lain ed   b y   t h ar g u m e n th a it  is   m u ch   m o r p r o f itab le  to   m a n u f ac t u r co m p lex   m icr o p r o ce s s o r - b ased   r ela y s   t h an   t h eir   elec tr o m ec h a n ical  o r   s o lid - s tate  co u n ter p ar ts   [ 1 ] - [ 3 ] .     I s h o u ld   b n o ted   th at  tr an s it io n   to   m icr o p r o ce s s o r - b ased   s y s te m s   i s   ex p lai n ed   b y   m o d er n   r eq u ir e m en ts   o f   m ai n   p u r ch a s er s   o f   p r o tectiv s y s te m s   ( lar g in d u s tr ial  en ter p r is es).   Fo r   ex a m p le,   e n er g y   a n d   r eso u r ce - s a v i n g   e f f ic ien c y   i m p r o v in g   p r o g r a m s   ar n o w   i n t r o d u ce d   in   th e   R u s s ia n   Fed er atio n ,   in   ac co r d an ce   w it h   t h s tr ateg y   o f   d ev elo p m en t o f   lar g i n d u s tr ial  e n ter p r is es.  I n cr ea s in g   e n er g y - s a v in g   s u g g e s ts   in teg r atio n   o f   au to m ated   u tili t y   m eter i n g   s y s te m s   at  e n ter p r is es.  I n   co n n ec tio n   w i th   h i g h   co s ts   o f   o r g an izi n g   a n   au to m ated   m eter in g   s y s te m   i n   d is tr ib u tio n   n et w o r k s   o f   la r g in d u s tr ial  en ter p r is es,  th e   cu s to m er s   m ai n   r eq u ir e m en to   s u ch   s y s te m   is   ex ec u tio n   o f   n o o n l y   i ts   in h er en f u n ctio n s ,   b u als o   p o w er   eq u ip m e n t   m o n ito r i n g   a n d   p r o tectio n   s y s t e m   f u n ctio n s .     An   a u to m ated   m eter i n g   an d   m o n ito r i n g   ( p r o tecti o n )   s y s te m   i s   d is tr ib u ted   in f o r m a tio n   s y s te m   t h at   m o n ito r s   a n d   co n tr o ls   o p er atio n   an d   p o w er   co n s u m p t io n   o f   d ev ices   in v o l v ed   in   e n ter p r is p r o ce s s es.  A n   i m p o r tan f u n ctio n   o f   s u c h   s y s te m s   is   p o s s ib ilit y   o f   u s in g   MP - b ased   p r o tectio n s   ag ain s p r o b a b le  em er g e n c y   co n d itio n s .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       S elec tio n   o f D ig ita l F ilter   fo r   Micr o p r o ce s s o r   P r o tectio n   R ela ys ( Den is   B .   S o lo ve v)   1499   Dig ital   p r o tectio n   an d   d iag n o s tic  s y s te m s   en ab le  s i g n i f ica n r ed u ctio n   o f   p o w er   eq u ip m en p o s t - e m er g e n c y   d o w n ti m e,   w h ic h   is   ac h iev ed   t h r o u g h   i m m ed iate  n o tif ica tio n   o f   t h ch ie f   p o w er   en g i n ee r   an d   elec tr ical  r ep air   s er v ices o f   t h e   en ter p r i s ab o u t th ca u s es o f   th ex i s ti n g   e m er g e n c y   s it u ati o n .   Mo s s p ec ialis t s   p o in o u th at  tr an s it io n   to   d ig ita m e th o d s   o f   in f o r m at io n   p r o ce s s i n g   in   r ela y   p r o tectio n   d ev ices  d id   n o lead   to   d ev elo p m en o f   a n y   n e w   elec tr ical  in s ta llatio n   p r o tectio n   d esig n   p r in cip les,   b u s ig n i f ica n tl y   i m p r o v ed   r ela y   p er f o r m a n ce .   T h latter   m ak e s   d ig ital  d ev ices  co m p e titi v o n   t h r ela y   p r o tectio n   m ar k et  [ 4 ] - [ 6 ] .   T h m ain   ad v a n tag e   o f   MP - b ased   p r o tectio n   s y s te m s   is   th p o s s ib ilit y   o f   r ec o r d in g   an d   t h en   r ep r o d u cin g   f o r   an al y s is   o f   e m er g e n c y   s it u atio n s ,   co n d iti o n s   i m m ed iate l y   p r ec ed in g   t h e m er g en c y   a n d   d u r in g   it.  D ig i tal  r ela y   p r o tectio n   d ev ice s   e n ab le  tr an s m it tin g   all  in f o r m at io n   ab o u t   th eir   s tate  to   r e m o te   d is p atch   o p er ato r   s tatio n s   o v er   s p ec ial   co m m u n icat io n   ch an n el s   as   w el l   as  c h a n g i n g   co n f i g u r atio n   o f   p r o tectio n   s ets  a n d   o p er atio n   s etti n g s   u s i n g   co n n ec ted   co m p u ter .   Mo d er n   MP - b ased   p r o tectio n   d ev ice s   ar m o r e   s e n s it iv e   th a t h eir   elec t r o m ec h a n ical  co u n ter p ar ts .   B esid es,  o n e   s m all - s ized   d ig ital   r ela y   ca n   r ep lace   a   w h o le  g r o u p   o f   co m m o n   ele ctr o m ec h a n ical  r ela y s .   T h is   is   esp ec iall y   tr u f o r   co m p l ex   p r o tectio n s ,   f o r   ex a m p le,   r e m o te  o n e s .   All  t h is ,   to g et h er   w it h   h i g h   r eliab ilit y ,   m a k es  it  p o s s ib le  to   s ig n i f ica n tl y   r ed u ce   d am a g ca u s ed   b y   p o w er   i n ter r u p tio n s .       2.   SPECI AL   F E AT URE O F   SI G NA L   CO NVE RSI O N   I N   M P - B ASE P RO T E C T I O NS   Mo s MP - b ased   p r o tectio n s   h av o n l y   a n alo g   in p u ts   o f   v o ltag an d   cu r r en cir cu i ts   [ 7 ] ,   [ 8 ] .   Sig n al   f r o m   t h p r o tecte d   cir cu it  is   r e ce iv ed   f r o m   t h s y m m etr ical  c o m p o n en f ilter   o r   d ir ec tl y   f r o m   p r i m ar y   c u r r en t   co n v er ter s ,   w h ich   ar m o s t l y   cu r r en tr an s f o r m er s   ( C T )   ( o w i n g   to   w h ich   MP - b ased   s y s te m s   h a v s o m e   d r a w b ac k s ) .   An alo g   s i g n a ls   a r co n v er ted   to   d ig ital   o n es  b y   m ea n s   o f   a n   a n alo g /d i g ita co n v er ter   ( A D C ) ,   w h ic h   i s   t h m o s v u l n er ab le  p o in o f   t h w h o le  MP - b a s ed   p r o tectio n   s y s te m   a s   i c an   d is to r o r   b lo ck   in f o r m atio n   tr a n s m it ted   b y   C T   o r   o th er   p r im ar y   cu r r e n t c o n v er ter s .     A p r ese n t,  th er ar h u n d r ed s   o f   m o d els  o f   MP - b ased   p r o tectio n   d ev ices  p r o d u ce d   b y   d o ze n s   o f   d if f er e n m a n u f ac t u r er s   o n   t h e   p o w er   elec tr o n ics  m ar k et.   A l m o s t e v er y   t y p e   o f   MP - b ased   p r o tectio n   u n its   h a s   its   o w n   en clo s u r th a s i g n i f i ca n tl y   d i f f er s   f r o m   e n cl o s u r es   o f   an o th er   t y p e.   W h at  r e m ai n s   t h s a m is   o n l y   th n u m b er   an d   t y p o f   b asic  s tan d ar d   u n it s   en ab li n g   h i g h - p er f o r m an ce   o p er atio n   o f   MP - b a s ed   p r o tectio n   an d   in s tr u m en s y s te m s .     B ased   o n   th a n alo g - to - d ig i t al  s i g n al   co n v er s io n   p r i n cip l e,   o n ca n   d i s ti n g u is h   t h r ee   s tr u ct u r al  d iag r a m s   o f   MP - b ased   r ela y   p r o tectio n   I E Ds  f o r   d is tr ib u ti o n   n et w o r k s   o f   i n d u s tr ial  e n t er p r is es  ( Fig u r e   1 )     [3 ] - [ 5 ] ,   [ 9 ] - [ 1 1 ] .             an alo g /d ig ital c o n v er ter   ( A D C ) ; 2     ce n tr al  m icr o p r o ce s s o r ; 3     R A M - t y p m e m o r y   u n i t; 4     Har d   Dis k - t y p R OM ; 5     f le s h - m e m o r y - t y p p r o g r a m m ab le  m e m o r y   d ev ices; 6     Wi - f i a n d   E th er n et  tech n o lo g y - b ased   s ig n al  tr an s m is s io n   d ev ice ; 7     lo g ical  in p u t s /o u tp u ts ; 8     d i g ital/a n alo g   co n v er ter   ( D A C )     Fig u r 1 .   Stru ct u r al  d iag r a m s   o f   s i g n al  co n v er s io n   in   MP - b ased   p r o tectio n s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  8 ,   No .   3 J u n 2 0 1 8   :   1 4 9 8     1512   1500   Sin ce   MP - b ased   p r o tectio n   u n it s   ar m u lti f u n c tio n al   ( ac as  s ev er al  p r o tectio n   d ev ices   s i m u lta n eo u s l y ) ,   ADC  ca n   h a v s e v er al  d o ze n s   o f   co n n ec te d   p r im ar y   co n v er ter s   ( f r o m   o n to   h ig h   n u m b er   o f   C T s )   th at  ta k m ea s u r e m e n ts   f o r   ea ch   p r o tectio n   k i n d   w it h   f u r t h er   an alo g   s i g n a s a m p li n g   i n   ADC  a n d   its   tr an s m is s io n   f o r   p r o ce s s in g   to   th ce n tr al  MP - b ased   d ev ice.       T h m o s w id el y   s p r ea d   d esig n   v er s io n   o f   MP - b ased   p r o tec tio n   s y s te m s   is   t h v ar ian w h er A DC   u n i i s   a n   i n te g r al  s tr u ct u r al  c o m p o n en t   o f   th e   r ela y   p r o tectio n   I E a n d   m ak e s   a   s i n g le  wh o le  w it h   it  ( h av in g   s i n g le   en c lo s u r e) ,   F ig u r e   1 ( a ) .   W ith   s u c h   v er s io n ,   i m p ac t   o f   e x ter n a elec tr o m a g n etic  r ad iati o n   o n   cu r r en t   cir cu its   i n cr ea s e s ,   w h ic h   ca n   l ea d   to   d is to r tio n   o f   th s i g n al   r ec eiv ed   f r o m   i n s tr u m en C T   b y   ADC  u n it  an d ,   co n s eq u e n tl y ,   to   p r o tectio n   s y s te m   m al f u n ct io n .     P lacin g   A DC   i n   d ir ec p r o x im it y   to   p r im ar y   i n s tr u m en co n v er ter s   ( C T ) ,   Fig u r e   1 ( b ) ,   m a k es  it   p o s s ib le  to   p r ev en C T   s ec o n d ar y   s id v o lta g i n cr ea s e s   in   c ase  o f   ac cid en tal  d is co n n ec tio n   o f   c u r r en t c ir c u it s   as  r esu lt  o f   a n   e m er g e n c y   o r   i m p r o p er   ac tio n s   o f   p er s o n n el.   Ho w e v er ,   u s o f   a n   ex te n d ed   d ig ital  ch an n el   ( w h ich   i s   m o s o f te n   r ep r esen t ed   b y   co ax ial  ca b le  o r   s h ield ed   t w is ted   p air )   in   co n d itio n s   o f   d is tr ib u tio n   n et w o r k s   o f   lar g i n d u s tr ial  e n ter p r is es  d o es  n o s ee m   p o s s ib le  as  p r o tectio n   ag ain s m ec h an ica d a m a g o f   th d ig ita l c o m m u n icat io n   ch a n n el  ca n n o t b en ab led .     D o u b le - co n v er s io n   cir cu itr y   ( Fig u r e   1 ( c ) )   u s es  A D C   an d   f u r th er   d ig ita s ig n al  co n v er s i o n   b ac k   to   an alo g   o n f o r   elec tr o m ec h a n ical  p r o tectio n   d ev ices  b y   m ea n s   o f   d ig ital /an alo g   co n v er ter s   ( DA C ) .   Su c h   cir cu itrie s   b ec a m w id s p r ea d   at  en ter p r is es  w it h   lar g n u m b er   o f   k i n d s   o f   p r o tectio n   d ev ices  in   u s e.   T h m ai n   ai m   o f   u s i n g   d o u b le - co n v er s io n   cir cu itr y   i s   to   e n ab le  r ec o r d in g   o f   p r e - e m er g e n c y   a n d   e m er g e n c y   p o w e r   s y s te m   co n d itio n s   ( f o r   f u r t h er   an al y s is ) ,   e v en   if   t h p r o tectio n   th a o p er ated   is   o f   elec tr o m e ch an ica t y p e.   T h e   ma i n   d r a w b ac k   o f   th i s   s y s te m   is   its   h ig h   co s t c a u s ed   b y   s i m u ltan eo u s   u s o f   D AC   an d   A D C   u n it s .     I n   d esig n   ter m s ,   MP - b ased   r ela y   p r o tectio n   u n i ts   r ep r esen a   s et  o f   p lan ar   p r in ted   cir cu it  b o ar d s   th at  ar ass e m b led   lik P C .   T h er is   m o t h er b o ar d ,   w it h   co n n e cto r s   f o r   th w h o le  s et  o f   s ta n d ar d   b o a r d s ,   o n   th en clo s u r b o tto m   o r   s id e w all.   Su c h   cir c u it  b o ar d   also   co n tain s   s y s te m   b u s   u s ed   as  i n ter co n n ec ti n g   lin k   f o r   in f o r m atio n   tr a n s m i s s io n   b et w ee n   MP - b ased   u n it c o m p o n en t s .     An   MP - b ased   p r o tectio n   u n it,  b y   all  m ea n s ,   co n ta in s   th f o ll o w i n g   u n its   ( Fi g u r e   1 )   a.   A   m icr o p r o ce s s o r - co n tai n i n g   b o ar d   b.   A   b o ar d   en ab lin g   r ec o r d in g   o f   p r o ce s s es th at  ta k p lace   in   m e m o r y   o f   v o latile  an d   n o n - v o l atile  t y p es;    c.   A   s y s te m   o f   tr an s m itti n g   s ig n a ls   u s in g   w ir ele s s   co m m u n icati o n s ;   d.   A   s y s te m   o f   lo g ical  i n p u ts /o u t p u ts   u s ed   f o r   p r o g r a m m in g   m p - b ased   p r o tectio n   o p er atio n   m o d e s   e.   Ou tp u ts   o f   co n tr o l sig n a f o r   r ela y s   u n d er   co n tr o l.   A cc o r d in g   to   m an y   s p ec ialis t s   [ 1 ] ,   [ 11 ] - [ 2 2 ] ,   in cr ea s ed   r eq u ir e m e n t s   ar i m p o s ed   o n   q u alit y   o f   t h e   s ig n al  r ec ei v ed   b y   MP - b ased   p r o tectio n   r ela y s .   T h s i g n al  s h o u ld   n o t c o n tai n   n o is e,   it  s h o u ld   s ta y   o n l y   w ith i n   its   ce r tain   f r eq u e n c y   r a n g e.   Dig ital  p r o tectio n s   th a tr an s m it  i n f o r m atio n   to   ADC  u n i n o d ir ec tl y   f r o m   p r im ar y   co n v er ter s   b u f r o m   f i lter s   o r   d ig ital   f ilter s   h a v g r ea ad v an tag e.   U s o f   t h latte r   en ab les  r ed u ci n g   n eg at iv i m p ac t o f   p o w er f u l e l ec tr o m a g n etic  f ield s   an d   e n s u r in g   s tab le  o p er atio n   o f   p r o tectio n   s y s te m s .   I n   s o m p u b lica tio n s   [1 ] ,   [ 3 ] - [ 1 4 ]   s u g g esti o n   i s   m ad t h at  f o r   m icr o p r o ce s s o r   r elay s   it   i s   d esira b le   to   u s m o r p er f ec cu r r e n tr an s d u ce r s   th a n   cu r r e n tr an s f o r m er s ”.   A n   e x a m p le  o f   s u ch   c u r r en tr an s d u ce r   is   th R o g o w s k co il  [ 1 ] - [ 2 1 ] .   I n   t h is   ca s th er i s   n o   n ee d   f o r   an   in te g r ati n g   f il ter .   I ca n   b r ea lized   in   th e   m icr o p r o ce s s o r   s o f t w ar as a   d ed icate d   p r o g r am .       3.   DIGIT AL   F I L T E B AS I C S   T h th eo r y   o f   d ig ital  f ilter s   was  d ev elo p ed   s o o n   af ter   ap p ea r an ce   o f   th f ir s co m p u ter s   [ 2 2 ]   an d   w a s   in cl u d ed   in to   co u r s b o o k s   [ 2 3 ] ,   [ 2 4 ] .   Dig ital  f ilter s   ca n   b d iv id ed   in to   r ec u r s iv an d   n o n - r ec u r s i v o n es   [ 2 5 ] ,   [ 2 6 ] .   A   n o n - r ec u r s i v f i lter   s u m s   u p   ce r tain   n u m b e r   o f   in p u v al u e s .   T h er ef o r i ts   tr an s f er   f u n ctio n   w il h av e   n u m er ato r   o n l y .   I n   r ea d e v ice  t h d ela y   li n e   h as   f i n ite  n u m b er   o f   ele m e n ts ,   s o   t h i m p u l s r esp o n s w ill  al s o   b f in i te.   T h er ef o r n o n - r ec u r s i v f il te r s   also   h av a n o t h er   n a m   f ilter s   w i th   f i n ite   i m p u l s r esp o n s ( FIR  f ilter s ) .   T h n u m b er   o f   in p u v alu e s   u s ed   to   o b tain   th o u tp u s ig n al   is   ca lled   th o r d er   of   f ilter .   A   r ec u r s iv f ilter   s u m s   u p   ce r tain   n u m b er   o f   i n p u v alu e s   an d ,   in   th g en er al  ca s e,   an o t h er   n u m b e r   o f   o u tp u v al u es.  I n   t h is   ca s e   t h tr a n s f er   f u n ctio n   w il h av e   b o th   n u m er ato r   an d   d en o m i n a to r .   Div is io n   o f   t h n u m er ato r   p o l y n o m ial  b y   d e n o m in at o r   p o l y n o m ial  y ield s   a n   in f i n ite  s er ies  o f   ter m s ,   s o   th p u l s r esp o n s o f   th f ilter   is   i n f in ite.   T h er ef o r r ec u r s iv f il ter s   also   h a v a n o th er   n a m   f ilter s   w it h   in f i n ite   i m p u l s r esp o n s e   ( I I R   f ilter s )   [ 2 3 ] .   I n   th is   ar tic le  o n l y   I I R - f ilter s   w i ll  b co n s id er ed   an d   r ef er r ed   to   as  d ig ital  f ilter s ”.   Fo r   a   g iv e n   f r eq u en c y   r e s p o n s s u c h   f ilter s   ar s i m p ler   th an   FI R - f ilter s   as  t h latter   r eq u ir m u c h   lar g er   n u m b er   o f   d ela y   a n d   m u ltip licatio n   ele m e n ts   [ 2 7 ] .   Fo r   ex a m p le,   in   [ 2 8 ]   is   s h o w n   t h at  to   o b tain   th d e s ir ab le  f r eq u en c y   r esp o n s s o m e ti m e s   o n n ee d s   FIR - f ilter s   o f   v er y   h i g h   o r d er   ( s ev er al  h u n d r ed   o r   th o u s a n d ) .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       S elec tio n   o f D ig ita l F ilter   fo r   Micr o p r o ce s s o r   P r o tectio n   R ela ys ( Den is   B .   S o lo ve v)   1501   T w o   g r o u p s   o f   d ig ital  f ilter   s y n t h esi s   ar k n o w n d ir ec m et h o d s   an d   m et h o d s   b ased   o n   u s o f   an alo g   p r o to t y p e.   I n   [ 2 9 ]   is   s h o w n   t h at  a m o n g   a n alo g   i n te g r atin g   f ilter s   t h b est  p r o p er ties   h a s   th s ec o n d   o r d er   f ilter   h a v i n g   t w o   eq u a r ea p o les.  A l s o   ar g iv e n   r ec o m m e n d atio n s   h o w   to   p r o v id th e   r eq u ir ed   ac cu r ac y   a n d   s u f f icie n t d ec a y   r ate  f o r   tr an s ie n ts   i n   t h f ilter   i ts elf .   T h er ef o r in   t h ca s u n d er   co n s id er atio n   it  is   q u ite  r ea s o n ab le  to   ch o o s t h s ec o n d   g r o u p   m et h o d s .     Fre q u en c y   r esp o n s c u r v e s   o f   d ig ital  f i lter s   ar e   p er io d ic  ( in   co n tr ast  to   th o s o f   a n alo g   f i lt er s ) .   T h eir   p er io d   is   e q u al  to   th an g u la r   f r eq u en c y   o f   q u an t izatio n ,   2 T д  ,   w h er T   is   th p er io d   ( in ter v al)   o f   q u an tizat io n .   T h er ef o r it  i s   i m p o s s ib le  to   cr ea te  d ig ita f il ter   th a is   ab s o lu te   id e n t ical  to   th e   an a lo g   p r o to ty p e.   T h er ar d if f er en t   m et h o d s   o f   s y n t h e s izi n g   d ig ital  f ilter   to   s o m ex te n co r r esp o n d in g   to   its   an alo g   co u n ter p ar t.       4.   ANALY SI S O F   DI G I T AL   F I L T E R S F O M I CRO P RO CE SS O RE L AYS   4 . 1 .   M e t ho ds   o f   s y nthesizing   a   dig it a l f ilte r   Du r in g   elab o r atio n   o f   m ater ial   f o r   th is   ar ticle   1 2   m et h o d s   o f   s y n t h esizi n g   d i g ital  f ilter   b a s in g   o n   it s   an alo g   p r o to t y p ( s ec o n d   o r d e r   in teg r ati n g   f i lter )   w er co m p ar ed .   T h ab o v m et h o d s   in c l u d th f o llo w in g :   a.   Me th o d   w i th   s tan d ar d   z - tr a n s f o r m   a s   d escr ib ed   in   [ 2 4 ] ,   [ 3 0 ] ;   b.   Me th o d   w i th   m atc h ed   z - tr a n s f o r m   a s   d escr ib ed   in   [ 3 0 ] ;   c.   A   g r o u p   o f   m e th o d s   w it h   b ili n ea r   z - tr an s f o r m   [ 3 1 ] ,   [ 3 2 ] .   I w a s   f o u n d   t h at  at  eq u al  q u an tizatio n   p er io d   T   th m ea s u r e m e n er r o r s   o f   t h f ilter s   s y n t h e s ized   u s i n g   t h f ir s t   t w o   m et h o d s   ar lar g er   t h an   t h o s o f   f ilter s   s y n t h e s ized   u s i n g   t h las g r o u p   o f   m eth o d s .   T h i s   s h o r tco m i n g   is   e x p lai n ed   b y   o v er lap p in g   o f   id en tical  f r eq u en c y   r esp o n s es  s h if ted   b y   д .   T h last   g r o u p   o f   m et h o d s   d o es n o t h a v s u c h   d r a w b ac k .     I f   b ilin ea r   tr an s f o r m   m e th o d   is   u s ed   ea ch   ter m   o f   th n u m er ato r   an d   th d en o m i n ato r   o f   in itial   tr an s f er   f u n ct io n   ( co r r esp o n d in g   to   t h an alo g   p r o to t y p e)   is   d iv id ed   b y n s ,   w h er n   is   t h f il t er   o r d e r .   I n   th is   ca s n e g ati v p o w er s   o f   s   w il o cc u r   b o th   i n   t h n u m e r ato r   an d   th d e n o m i n ato r .   T h en   th e   f o llo w i n g   s u b s t itu t io n   is   m ad e:     1 1 11 , e x p ( ) 1 2 1 Tz s z s T z z                ( 1 )     o r                                 2 2 sT z s th T    ,                   ( 2 )     w h er s - 1   i s   L ap lace   tr a n s f o r m   o f   i n te g r atio n ,   z - 1   is   L ap lace   t r an s f o r m   o f   d ela y   b y   q u a n tiza tio n   p er io d   T ,   an d     z     th v ar iab le  o f   L a u r en tr an s f o r m   [ 30 ]   ( n o w   t h i s   tr an s f o r m   i s   ca lled   z - tr an s f o r m ”) .   I ca n   b s ee n   t h a t   eq u atio n   ( 1 )   d escr ib es  th o p er atio n   o f   n u m er ical  i n te g r atio n   b y   m et h o d   o f   tr ap ez o id s .   Su b s tit u ti n g   sj   an d   sj zz in   ( 2 )   w ill  y ield :     2 ta n 2 T z T      or     2 a r c ta n 2 T z T    ,           ( 3 )     w h er ω   is   t h a n g u lar   f r eq u en c y   o f   t h an a lo g   p r o to t y p e,   an d   z   is   t h a n g u lar   f r eq u e n c y   o f   t h d i g ital   f ilter .   I ca n   b s ee n   t h at  t h f r eq u en c y - r e s p o n s c h ar ac ter is t ic  b ec o m e s   m o r an d   m o r f la tten ed   w it h   g r o w t h   o f   an g u lar   f r eq u en c y z .   A N y q u is f r eq u e n c y   [ 23 ] ,   [ 30 ]   th at  is   eq u al  to   T   ( t w o   ti m e s   s m alle r   th an   t h e   q u an tizat io n   an g u lar   f r eq u e n c y )   th i s   ch ar ac ter is t ic  r ea ch e s   th v a lu o f   t h an a lo g   p r o to ty p r esp o n s at   in f in ite  f r eq u e n c y   ω .   T h er is   n o   aliasin g   in   th is   ca s e;  h o wev er   an o th er   s h o r tco m in g   ar is es  d u to   n o n lin ea r   d ef o r m atio n   o f   f r eq u e n c y   s ca l e.       I n   t h lo w   f r eq u e n c y   d o m ai n   w h e n   ω   is   m u c h   s m a ller   t h an   N y q u i s f r eq u e n c y   t h ar c tan g e n t   is   ap p r o x im a tel y   eq u a to   its   ar g u m e n t,  s o   ω z     ω .   I n   th is   ca s th f r eq u e n c y   r e s p o n s e s   o f   d ig ital  an d   an alo g   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  8 ,   No .   3 J u n 2 0 1 8   :   1 4 9 8     1512   1502   f ilter s   al m o s co in c id e.   T h en   as  th f r eq u e n c y   r i s es  t h f r eq u en c y   r esp o n s o f   th d ig i tal  f i lter   b ec o m es  m o r e   an d   m o r co m p r e s s ed ”  as c o m p ar ed   w it h   its   a n alo g   p r o to t y p e.     I n   ea r l y   d ig i tal  eq u ip m en t h q u a n tizatio n   f r eq u e n c y   w a s   lo w .   As  r es u lt  t h a cc u r ac y   o f   ca lcu latio n   o f   m u ltip le  i n te g r als  h a v in g   L ap lace   tr an s f o r m s   d escr ib ed   as  s - n   w as  al s o   lo w .   T h er ef o r th er e   ap p ea r ed   s o m m et h o d s   i n   wh ich   ter m s   s - n   w er n o ca lc u l ated   as  n - f o ld   m u lt i p licatio n   o f   th r i g h ter m   o f   E q u atio n   ( 1 ) .   I n s tead ,   o th er   ( m o r co m p le x )   e x p r ess io n s   e m p lo y in g   n u m er ical  m eth o d s   o f   m u ltip le   in te g r atio n   w er u s ed .       4 . 2 .   Use o f   bo x er - t ha ler  m et ho a nd   z - t ra ns f o r m   Am o n g   s u ch   m eth o d s   t h m o s k n o w n   o n is   B o x er - T h aler   m e th o d   [ 33 ] .   I n   [ 2 8 ]   is   g iv en   tab le  o f   m u ltip le  i n te g r ato r   tr an s f er   f u n ctio n s   ac co r d in g   to   t h i s   m eth o d   f o r   o r d er s   u p   to   f i v in cl u s i v e.   I n   [ 34 ] , [ 35 ]   ar e   p r o v id ed   r esu lts   o f   s tu d y   o f   s ec o n d - o r d er   d ig ital  i n teg r ato r s   d er iv ed   f r o m   tr an s f er   f u n c tio n   2 1 2 W s s in u s i n g   b ilin ea r   tr an s f o r m   2 Hz in ,   B o x er - T h a ler   tr an s f o r m   2 Hz i n B T ,   an d   R ag az zin i - B er g e n   tr an s f o r m   [ 36 2 Hz i n R B :     2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 0 1 4 ( ) , ( ) , ( ) . 2 2 2 2 2 2 4 1 2 6 1 1 1 1 1 1 z T T z z T z z H z H z H z in in B T in R B z z z   ( 5 )     J u d g in g   b y   th f r eq u e n c y   r esp o n s es  R a g az zin i - B er g e n   t r an s f o r m   i s   in f er io r   to   B o x er - T h aler   tr an s f o r m   i n   ter m s   o f   t h f r eq u en c y   r a n g w it h   ac ce p tab le  ac cu r ac y .   A t   an   a llo w ab le  er r o r   o f   1 th u p p er   b o u n d ar y   o f   th i s   r an g f o r   s e co n d - o r d er   in teg r ato r   d er iv ed   u s i n g   R a g az zi n i - B er g e n   tr an s f o r m   i s   o n l y   2 ti m e s   h i g h er   th a n   f o r   s i m ilar   in teg r ato r   d er iv ed   u s in g   t h b ilin ea r   tr an s f o r m .   Fo r   th s ec o n d - o r d er   in teg r ato r   d er iv ed   f r o m   B o x er - T h aler   tr an s f o r m   t h is   f ac to r   is   eq u al  t o   5   i.e .   it  is   3 . 5   tim e s   h ig h er   th an   f o r   R ag az zi n i - B er g en   tr an s f o r m .   T h er ef o r t h latter   tr an s f o r m   is   n o t c o n s i d er ed   b el o w .   T o   o b tain   th s y s te m   f u n ctio n   o f   th e   d ig ital   in teg r ati n g   f il ter   let  u s   u s t h s ec o n d - o r d er   tr an s f er   f u n ctio n   [ 2 2 ] .   Selectin g   th p lu s   s i g n   b e f o r th r i g h m e m b er   o f   t h is   f o r m u la  w w i ll   o b tain   th tr a n s f er   f u n ctio n   o f   t h f i lter   in   n o r m al ized   f o r m :     2 . 2 2 () sa Ws sa                 ( 6 )     w h er 1 a a   is   r elati v v al u o f   n Ws   p o le  m o d u l u s   [ 3 0 ] .   T h lo w er   i s   a,   t h lo w er   i s   t h m ea s u r in g   er r o r ,   b u t its   m i n i m u m   v al u e - b ased   co n s tr ai n t i s   i m p o s ed   o n   s e lectio n   o f   th i s   p o le.   T h m atter   is   th at   t h f ilter   tr an s f er   f u n c tio n   p o les ar in v er s v alu e s   w it h   r esp ec t to   its   T   ti m co n s ta n ts .   I m ea n s   t h at  1 . a T [ 3 0 ] .   Un li k in   ca s o f   B o x er - T h ale r   m et h o d   if   th b ili n ea r   z - tr an s f o r m   i s   u s ed   th o p er atio n   o f   r ed u ctio n   to   ex p r ess io n   w it h   n eg at iv p o w er s   o f   s ca n   b eli m in a ted .   T h en   b asin g   o n   [ 24 ] ,   [ 30 ] ,   w o b tain :     1 21 , 1 1 z s T z                   ( 7 )     w h er T is   t h r elativ v al u o f   t h q u an tizatio n   p er io d     , 1 TT                   ( 8 )     w h er 1 is   t h an g u lar   f r eq u e n c y   o f   t h f ir s h ar m o n ic  o f   m e asu r ed   cu r r en ( 100 1  r ad /s   f o r   th ca s co n s id er ed ) .   A f ter   s u b s t itu tio n   o f   ( 7 )   in to   ( 6 )   an d   f u r t h er   s i m p lif icatio n   th n o r m alize d   s y s t e m   f u n ctio n   o f   th e   s ec o n d - o r d er   f ilter   is   o b tain ed :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       S elec tio n   o f D ig ita l F ilter   fo r   Micr o p r o ce s s o r   P r o tectio n   R ela ys ( Den is   B .   S o lo ve v)   1503   12 0 1 2 . 2 12 0 1 2 m m z m z Hz n n z n z                 ( 9 )     T h f ac to r s   o f   t h n o m in ato r   an d   d en o m i n ato r   o f   th e   s y s te m   f u n ctio n   ar d eter m i n ed   b y   t h e   f o llo w in g   e x p r ess io n s :     2 2 2 2 2 ; 4 ; 2 2 . 0 1 2 m T T a m T a m T T a         ( 1 0 )     2 2 2 2 2 2 4 4 ; 8 2 ; 4 4 . 0 1 2 n T a T a n T a n T a T a     ( 1 1 )     I f   B o x er - T h aler   m et h o d   is   u s e d   th n o m i n ato r   an d   t h d en o m i n ato r   ar d iv id ed   b y   2 s ,   th at  y ield s :     12 2 . 2 1 2 2 12 s a s Ws a s a s                ( 1 2 )     Su b s ti tu t io n   o f   1 s w it h   1 1 1 2 1 Tz z   an d   2 s w i th   2 1 2 1 1 0 2 1 12 1 T z z z     in   ( 9 )   y ield s   th e   s y s te m   f u n ctio n   o f   t h s ec o n d - o r d er   d ig ital  f ilter ,   2 Hz BT .   A f ter   s i m p li f ica ti o n   th i s   f u n ctio n   w il l b o f   th f o r m :     12 0 1 2 . 2 12 0 1 2 m m z m z B T B T B T Hz BT n n z n z B T B T B T               ( 1 3 )     T h f ac to r s   o f   th n o m in a to r   an d   d en o m in a to r   o f   f u n ctio n   2 Hz BT ar d eter m i n ed   b y   ex p r ess io n s :     2 2 2 6 2 ; 2 0 ; 6 2 . 0 1 2 m T T a m T a m T T a B T B T B T       ( 1 4 )     2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ; 2 4 1 0 ; 1 2 1 2 . 0 1 2 n T a T a n T a n T a T a B T B T   ( 1 5 )     B asin g   o n   f u n c tio n s   ( 9 )   an d   ( 1 3 )   ca n   b f o u n d   t h d if f er en ce   eq u atio n s   d e ter m i n i n g   co n v er s io n   o f   th i n p u t   s i g n al  i n to   t h o u tp u o n e.   T h f r eq u e n c y   c h ar ac ter is tics   co r r esp o n d in g   to   tr an s f er   f u n ct io n   ( 6 )   o f   th an a lo g   f ilter   an d   s y s te m   f u n ct io n s   ( 9 )   an d   ( 1 3 )   o f   th d ig ital  f ilter s   h a v d if f er en ce s   as  w ell  as  t h er r o r s   o f   m ea s u r e m en ts   w it h   t h ese  f il ter s .       4 . 3 .   Sig na l sa m pli ng   a nd   qu a ntiz a t io n in dig it a l f ilte rs   Dig ital  f ilter s   h a v s p ec if ic  f ea t u r es  r elate d   to   s a m p lin g   o f   th in p u s i g n al  an d   its   a m p litu d e   q u an tizat io n   [ 22 ] - [ 2 8 ] ,   [ 37 ] - [ 3 9 ] .   T h f ir s t o n is   il lu s tr ated   b y   Fig u r 2 .   An   an alo g - to - d i g ital  co n v er te r   ( A DC )   co n tai n s   s a m p le - a n d - h o ld   cir cu it  th at  o p er ates  as  s w itch   d r iv en   b y   s h o r p u l s es  o cc u r r in g   w it h   p er io d   T .   W h en   th e   s w itc h   is   clo s ed   p u ls w it h   a m p lit u d eq u al  to   th in s tan tan eo u s   v o lta g o n   t h ADC  i n p u ( th i n   l i n in   Fi g u r 2 ( a ) )   ap p ea r s   o n   th o u tp u o f   th s a m p le - an d - h o ld   cir cu it.  T h d u r atio n   o f   s u c h   p u l s es i s   eq u al  to   th s a m p lin g   p er io d   o f   th in p u t a n alo g   s i g n al.   T h A D C   also   co n tai n s   q u a n tizer   co n v er ti n g   th s a m p le   i n to   n u m b er   w it h   f in ite  r eso l u tio n .   T h e n   th s eq u en ce   o f   n u m b er s   co m es  to   th e   m icr o p r o ce s s o r   p er f o r m i n g   th f u n ctio n   o f   d i g ital  f ilter   [ 30 ] .   T h is   s eq u en ce   o f   n u m b er s   is   s h o wn   in   Fi g u r 2 ( b )   as  th th ick   li n cu r v e.   B y   th i n s ta n t h n e x p u ls d r iv i n g   th e   s a m p li n g - a n d - h o ld   cir cu i ap p ea r s   th a n alo g   s i g n al  c h an g e s .   T h is   ch a n g ca u s es   A D C   e r r o r   to   ap p ea r .   On ca n   s ee   th at  t h er is   b o th   ab s o lu te  v al u er r o r   an d   p h ase  er r o r   as  th f ir s h ar m o n ic  o f   t h e   A D C   o u tp u s i g n al   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  8 ,   No .   3 J u n 2 0 1 8   :   1 4 9 8     1512   1504   lag s   i n   p h a s b eh i n d   th i n p u s ig n al.   T h g r ap h   o f   t h is   er r o r   is   s h o w n   i n   Fi g u r 2 ( b ) .   I t c o n s tit u tes a  s eq u en ce   o f   p u l s es  li m i ted   b y   s i n w a v en v e lo p e.   Sin ce   i n   Fig u r 1 th i n p u t   s i g n al  h a s   u n it y   am p lit u d th i s   g r ap h   r ep r es en ts   th ADC r elati v er r o r .               ( а)     ( b)     ( а)   T h in   li n   in itial  s ig n al,   t h ick   li n   A D C   o u tp u t si g n a l;  er r o r   in   A DC   o u tp u t”  s ig n al;   (b n   is   th p u l s n u m b er     Fig u r 2 .   Sa m p li n g   o f   s i n w a v s i g n a w it h   u n it y   a m p li tu d e         A cc o r d in g   to   Fig u r 2   th m o r is   th d er iv ativ o f   th i n p u s ig n al  at  t h in s tan o f   th s w i tc h   o p er atio n   ( in   t h s a m p le - a n d - h o ld   cir cu it)   th e   m o r ar e   th e   p ea k   v a lu e s   o f   t h er r o r   d u to   q u an tizatio n   o f   th is   s ig n al.   C o n s eq u e n tl y   t h p ea k   o f   er r o r   c o r r esp o n d s   to   ze r o - cr o s s in g   o f   t h in p u s i g n a l.  I f   p er io d   T   is   s h o r th f ir s r e m ar k ab le  li m it  is   v alid   [ 40 ] - [ 43 ] ,   s o   th is   m ax i m u m   er r o r   is   eq u al  to   n o r m aliz ed   s am p li n g   p er io d   1 TT   T h s a m p li n g   p er io d   s h o u ld   b ch o s e n   s o   th at   t h N y q u is t   f r eq u e n c y   i s   at   least   t h r ee   ti m es   h ig h er   th an   t h an g u lar   f r eq u e n c y   o f   th h i g h est - o r d er   h ar m o n ic  i n   th cu r r en to   b m ea s u r ed .   Hen ce   th f o llo w i n g   ca lcu latio n   f o r m u la  ca n   b d er iv ed :     1 1 1         , 1 3 3 3 m a x m a x m a x 1 Т Т Т n n n         ( 1 6 )     w h er   m a x n is   t h h i g h e s h ar m o n ic   o r d er .   As  in d icate d   i n   [ 24 ] ,   [ 30 ] ,   [ 44 ] ,   m a x n 4 0 .   T h er ef o r th co n d itio n   0 , 0 0 8 3 T m u s b m et.   Selectio n   o f   T ca n   b m ad m o r p r ec is b y   s t u d y i n g   th i n f l u en ce   o f   t h i s   p ar a m eter   o n   th ad d itio n al  er r o r   r elativ to   th a n alo g   p r o to t y p e.     4 . 4 .   Co m pa riso n o f   f re qu ency   re s po ns e s   o f   a na lo g   a nd   dig it a l f ilte rs   L et  u s   co m p ar t h f r eq u e n c y   r esp o n s es  o f   t h an alo g   p r o to ty p a n d   th e   s ec o n d - o r d er   d i g ital  f ilter .   T o   o b tain   th f r eq u en c y   ch ar ac ter is t ic  o f   th a n alo g   f ilter   w s h o u ld   m ak s u b s t itu t io n   sj in   ( 6 ) .   T o   o b tain   th f r eq u e n c y   c h ar ac ter is tic  o f   t h d i g ital  f ilter     s u b s titu te  a an d   T   f o r   th eir   n u m er ical  v alu e s   i n   ( 1 0 )   an d   ( 1 1 )   f o r   t h b ili n ea r   f ilt er   o r   in   ( 1 4 )   an d   ( 1 5 )   f o r   B o x er - T h aler   f il ter .   T h en   w e   m a k s u b s tit u tio n   1 e x p z j T    in   ( 9 )   f o r   th f ir s f ilter   t y p o r   in   ( 1 3 )   f o r   th s ec o n d   t y p e.   T h ca lcu latio n s   w er m a d f o r   t w o   v al u es  o f   p ar a m eter a 0 , 0 0 5 5     f o r   th e   lar g est  s tep - r e s p o n s er r o r   o f   5 an d   0 , 0 0 2 7     f o r   th lar g est  s tep - r esp o n s er r o r   o f   2 , 5 %.  I n   Fig u r 3 ( a )   ar s h o w n   t h e   d ep en d en cies  o f   b ili n ea r   f i lte r   f r eq u en c y   r esp o n s r elati v e   er r o r   v s .   th r elativ f r eq u e n c y   at  a 0 , 0 0 2 7 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       S elec tio n   o f D ig ita l F ilter   fo r   Micr o p r o ce s s o r   P r o tectio n   R ela ys ( Den is   B .   S o lo ve v)   1505   ( T h ey   al m o s t   co in cid w i th   th s i m ilar   d ep en d en cie s   f o r   a 0 , 0 0 5 5 ) .   T h an alo g   f il ter   f r eq u en c y   r e s p o n s i s   u s ed   as r ef er e n ce .               ( а)     ( b)     Fig u r 3 ( a)   R elativ er r o r s   o f   b ilin ea r   f ilter   f r eq u en c y   r esp o n s f o r   g iv e n   T at  a 0 , 0 0 2 7 ( b )   r elativ d if f er e n ce   o f   f r eq u en c y   r esp o n s e s   f o r   b ilin ea r   f ilter   an d   B o x er - T h aler   f ilter   f o r   g i v e n     T at  a 0 , 0 0 2 7         T h is   f ig u r co n f ir m s   th v al id it y   o f   co n d itio n   0 , 0 2 6 T at  40   th f il ter   er r o r   at  0 , 0 5 T   is   to o   lar g ( 3 6 %,)   at    0 , 0 2 T it  d r o p s   to   5 , 4 %,  an d   at  0 , 0 1 T   it  is   o n l y   1 , 3 %.  T h is   is   d u to   t h f ac t h at   th N y q u is t f r eq u e n c y   r i s es  w i th   r ed u ctio n   o f   T   f ar t h er   an d   f ar th er   f r o m 40 .   As  ca n   b s e e n   f r o m   Fig u r 3 ( b )   th f r eq u en c y   r esp o n s es   o f   th b ili n ea r   f ilter   a n d   B o x er - T h aler   f ilter   al m o s co in cid   th d if f er en ce   is   n e g li g ib l y   s m a ll  an d   is   n o ticea b le  o n l y   at  v er y   l o w   f r eq u e n cie s .   A t   a 0 , 0 0 5 5   th o r d in ates  o f   th e   g r ap h s   r is ap p r o x i m atel y   f iv ti m e s   b u e v en   in   t h is   ca s th d i f f er e n ce   i s   s m al l.  Fo r   co r r ec ca lcu latio n   o f   t h c h ar ac ter is tic s   s h o w n   in   Fi g u r 3 ( b )   w n ee d   at  least  1 8   s ig n i f ican t   d ec i m al  p lace s   at   0 , 0 2 T an d   at  least 1 9   s ig n i f ica n t d ec i m a l p lace s   at  0 , 0 1 T .   I n   Fig u r e   4 ( а )   illu s tr ates  t h e   f u n d a m e n tal  d i f f er e n ce   b etw ee n   th f r eq u e n c y   r esp o n s e   o f   an alo g   f ilter s   ( th ick   li n e)   a n d   d ig i tal  f ilter s   ( t h i n   li n e) .   T h g r ap h   o f   f r eq u en c y   r e s p o n s e   o f   b ilin ea r   f i lter   co r r esp o n d s   to   T 0 , 0 2   an d   a 0 , 0 0 2 7 .   I is   v er y   c lo s to   t h g r ap h   co r r esp o n d in g   to   t h d if f er en co m b in at io n   o f   p ar am eter s ,   T 0 , 0 2   an d   a 0 , 0 0 5 5 .   T h f r eq u en c y   r esp o n s o f   a n alo g   f ilter s   s i m ilar   to   th f il ter s   co n s id er ed   g o es  to   ze r o   at  in f in i te   f r eq u en c y .   I n   th i s   ca s th m ain   b r an c h   o f   t h f r eq u en c y   c h ar ac ter is tic  co r r esp o n d s   to   v alu es  o f     r an g i n g   f r o m   ze r o   to   t h N y q u is t   f r eq u en c y .   T h is   f r eq u e n c y   r an g e   i s   ca lled   N y q u i s i n ter v al”  [ 30 ] .   T h clo s er   is   th e   f r eq u en c y   to   t h N y q u i s f r eq u en c y   t h lo w er   is   th f r eq u e n c y   r e s p o n s o f   th e   d ig ita f i lter   r elativ to   t h e   an alo g   p r o to t y p e.   A t N y q u is f r eq u en c y   i s   r ea ch es z er o   as s h o w n   in   F ig u r 4 ( b )   ( th ick   an d   th i n   lo w er   li n es).   A t   f u r t h er   i n cr ea s o f   f r eq u e n c y   t h f r eq u en c y   r e s p o n s o f   t h d i g ital   f ilter   r is e s .   T h f r eq u en c y   r esp o n s c u r v e   in   t h r a n g e   N д    w h er t h a n g u lar   s a m p li n g   f r eq u en c y   2 N д  is   “m ir r o r   r ef lectio n ”  o f   th m ai n   b r an c h   co r r esp o n d in g   to   t h in ter v al  0 N     r elativ to   lin N  .   A s   t h e   f r eq u en c y   r esp o n s at  th N y q u is f r eq u e n c y   i s   ze r o   th er is   n o   aliasin g   b et w e e n   th m ai n   b r an ch   o f   th e   ch ar ac ter is tic s   a n d   it s   “m ir r o r   r ef lectio n ”.   T h m ai n   i n ter v a o f   th e   f r eq u en c y   ch ar ac ter is t ic  co r r esp o n d in g   to   th i n ter v al  N д    h a s   a n   in f i n it n u m b er   o f   co p ies   s h i f ted   ( r elativ e   to   t h is   i n ter v al)   b y   ,1 nn д .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8708   I n t J   E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.  8 ,   No .   3 J u n 2 0 1 8   :   1 4 9 8     1512   1506         ( а)     ( b)     Fig u r 4 ( a)   Fre q u en c y   r esp o n s o f   a n alo g   f ilter   a n d   d ig ital  b ilin ea r   f il ter s   at  a 0 , 0 0 2 7   f o r   g iv e n   T   ( b )   r elativ d if f er en ce   o f   f r eq u en c y   r esp o n s es  f o r   b ilin ea r   f il t er   an d   B o x er - T h aler   f ilter   at  a 0 , 0 0 2 7     f o r   g i v en   T       I n   Fig u r 5   ar s h o w n   t h in it ial  p ar o f   th m ai n   b r an ch   o f   th f ilter   f r eq u e n c y   r esp o n s cu r v an d   th g r ap h   o f   1   r ep r esen tin g   t h f r eq u en c y   r e s p o n s o f   id ea in te g r ato r   ( th ic k   lin e) .   C o m p ar is o n   o f     F ig u r e   5 ( а )   an d   Fig u r 5 ( b )   al lo w s   to   co n clu d t h at  t h lar g er   is   th v alu o f   a   th ea r lier   th d if f er en ce   o f   d ig ital  f ilter   f r eq u e n c y   r esp o n s b ec o m e s   n o ticea b le.   T h d e r iv ati v o f   th m ea s u r ed   cu r r en is   co n v er ted   in t o   th o u tp u t   s i g n a o f   t h d ig ita b ilin ea r   in te g r ati n g   f ilter   b y   s o f t w ar ac co r d in g   to   t h f o llo w i n g   e x p r ess io n   co r r esp o n d in g   to   f o r m u la  ( 9 )     1 21 2 1 0 0 1 2 1 , 21 0 y k m y k m y k m y k out in in in n n y k n y k o u t o u t n         ( 1 7 )     w h er e yj in is   th j - t h   s a m p le  o f   t h an a lo g   i n p u t   s i g n al  t h at  i s ,   in   th ca s u n d er   co n s id er atio n ,     t h e   n o r m alize d   d er iv ati v o f   m e asu r ed   cu r r en d i d ,   an d   yj out   is   j - th   ter m   o f   th f ilter   o u tp u s ig n al  s eq u en ce .   T h f ac to r s   i n   ex p r e s s io n   ( 1 7 )   ar ca lcu lated   u s i n g   f o r m u las ( 1 0 )   an d   ( 1 1 ) .   T h f i r s t ( co r r esp o n d in g   to   b eg in n in g   o f   m ea s u r e m en t)   t w o   m e m b er s   o f   th s eq u en ce   ar f o u n d   u s i n g   t h f o llo w in g   f o r m u las:     0 1 0 0 1 0 1 0 0 , 1 00 m m y m y n y out in in y y y o u t o u t in nn       ( 1 8 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:  2 0 8 8 - 8708       S elec tio n   o f D ig ita l F ilter   fo r   Micr o p r o ce s s o r   P r o tectio n   R ela ys ( Den is   B .   S o lo ve v)   1507         ( а)     ( b)     Fig u r 5 .   ( a)   Fre q u en c y   r esp o n s o f   id ea l a n alo g   i n te g r ato r   ( th ic k   lin e)   a n d   o f   b ilin ea r   d ig i t al  f ilter s   ( t h i n   lin e)   f o r   T 0 , 0 2 : a a 0 , 0 0 5 5   an d   ( b )   at  a 0 , 0 0 2 7         As  s h o w n   in   [ 22 ] ,   th lar g es er r o r   o f   th an alo g   f ilter   o cc u r s   d u r in g   m ea s u r e m e n o f   tr an s ien t   cu r r en t a 25   an d   2  .   T h er ef o r f o r   d eter m in at io n   o f   d i g ital  f ilter   ca lcu latio n   er r o r   let  u s   u s th e   f o llo w in g   f o r m u la  f o r   n o r m a li ze d   r ef er en ce   cu r r en t:         c o s e x p 2 5 i  .                 ( 1 9 )     T h en   th d er i v ati v o f   t h i s   cu r r en t,  i.e .   th n o r m al ized   in p u o f   th in te g r at i n g   f ilter ,   is   d es cr ib ed   b y   th f o r m u la     1 s in e x p 2 5 25 di y in d  .             ( 2 0 )     Ma k i n g   t h s u b s tit u tio n   ,0 j T j N  ,   w h er is   th q u an ti t y   o f   i n p u t   s eq u en ce   m e m b er s ,   w w i ll  o b tain   ar r a y   yj in   o f   in p u t   d is cr ete  v al u es.  Us in g   t h is   ar r ay   a n d   th t w o   in i tial  v a lu e s   ca lcu lated   w it h   ( 1 8 )   ac co r d in g   to   r o u tin ( 1 7 )   th ar r ay   o f   o u tp u t d is cr et v alu e s ,   yj out ,   is   ca lcu la ted .     I n   th e   s a m w a y   a s   w it h   ar r a y yj in th ar r a y   o f   m ea s u r ed   cu r r en ij   is   cr ea ted   b asi n g   o n   ex p r ess io n   ( 1 9 ) .   Dif f er e n ce s   i j y j out i f o r m   t h ar r a y   o f   er r o r s   o f   c u r r en m ea s u r e m e n w i th   th e   s ec o n d - o r d er   b ilin ea r   f ilter .   T h cu r v o f   th i s   er r o r   ca lcu lated   f o r   0 , 0 0 5 5 a   at   0 , 0 1 T is   s h o w n   i n   Fig u r 6 ( a )   w h i le  th at  at  0 , 0 2 T   in   Fi g u r 6 ( b ) .   T h ese  cu r v es  ar ca lc u lated   u s i n g   1 1   s ig n i f ican d ec i m al  p lace s .   Dep en d en cies  o f   m a x i m u m   f u ll   er r o r   an d   n u m b er   o f   p er io d s   elap s ed   f r o m   t h b eg i n n i n g   o f   t h tr an s ien t   v s .   n u m b er   o f   s ig n i f ica n d ec i m al   p lace s   at  0 , 0 2 T   ar s h o w n   in   T ab l 1 .   A ls o   ar s h o w n   t h co r r esp o n d in g   v al u es  f o r   th s ec o n d - o r d er   an alo g   f ilter .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.