I n t ern a t i o n a l  J o u rn a l  o f  E l ect ri ca l  a n d  C o m p u t er E n g i n eeri n g  ( I J E C E )   V o l.   8 ,  No .   5 O c t obe r   20 1 8,  p p.  29 88~ 2 993   I S S N :  2088 - 8708 D O I :  10. 11 591/ i j ece . v8 i 5 . pp 298 8 - 2993     2988       Jou r n al  h om e p age h ttp : //ia e s c o r e . c o m/ j our nal s / i nde x . php/ I J E C E   B B 8 4  w it B o t h Sev era l Clo ning   a n I nt er cept - r es en d At t a c k s       M us t a pha  D e h m a ni ,  E l  M e h di  Sa l m a ni ,   H a mi d  E z - Z ah r aou y,   A bde l i l a h B e ny o us s e f   L ab o r at o i r e d e M at i èr e C o n d e n s ée et  S ci en ces   I n t er d i s ci p l i n ai r es ,   F acu l t é d es  S ci en ces ,   U n i v er s i t é M o h am m ed  V - A g d al ,  M o r o cco       A rt i cl e I n f o     AB S T RAC T   A r tic le  h is to r y :   R ecei v ed   D ec 1 1 ,  201 7   Re v i se d   A pr  25 ,  201 8   A ccep t ed   J ul  9 ,  201 8       T he   g oa l  of  t he  pr ot oc ol  Q K D  B B 84 i s  t o a l l ow  a  t r a ns m i t t e r  a nd a   r e cei v er   w hi c h us e s   a  qua nt um  c ha nne l  t o e x c ha ng e  t he i r   k e y s  a nd t o de t e c t  t he   pr es en ce o f  ea v es d r o p p i n g  at t ack s .   I n  t h p r es en t  r es ear ch ,  w e i n v e s t i g at e t h e   ef f ect  o f  s e v er al  ea v es d r o p p er s  w i t h  b o t h  i n t er cep t - r e s e nd a n d c l o ni ng   a tta c k s .  W e  w ill p r o p o s e  th e   di f f e r e nt  p os s i bl e  c a s e s  of  t he   pos i t i o n i ng  of  t he   eav e s d r o p p er s  an d  t h ei r  s t r at eg i es  o f  at t ac k s ;  al s o   w w i l l  cal cu l at e t h m ut ua l  i nf or m a t i on f or  e a c h c a s e .  T he   e x pl i c i t  e x pr e s s i ons  of  t he  m ut ua l   i nf or m a t i on a nd qua nt um  e r r or  c l e a r l y  s how  t ha t  t he  s e c u r ity  o f  th e   e x c ha ng e d i nf or m a t i on de pe nds   on t he  n um be r s  of  t he  e a v e s dr oppe r s  a nd   t h ei r  at t ack s  p ar a m et er s  o n  t h e q u an t u m  ch an n el .   Ke y wo rd :   C lo n i n g  a tta c k s   E a v e s dr oppe r s   I n t er cep t - r es e n d  at t ack s   Q u a n t um  c r y pt o g r a phy   Q ua nt u m  e r r o r   C opy r i g ht   ©  201 8   I ns t i t ut e  o f  A d v anc e d E ngi ne e r i ng  an Sc i e nc e   A l l  ri g h t s re se rv e d .   Co rre sp o n d i n g  Au t h o r :   M u s t ap h a D eh m a n i ,   L ab o r at o i r e d e M at i èr e C o n d en s ée et  S ci e n ces  I n t er d i s ci p l i n ai r es ,     F acu l t é d es  S c i en ce s ,  U n i v er s i t é Mo h a m m ed  V - A g d al ,  R ab a t ,  M o r o cco .   E m a il:  de hm a n i 01@ y a h oo. f r       1.   I NT RO D UCT I O N   T he  t he o r y  o f  i n f o r m a t i o i n t r odu c e d by  C l a ud e   S ha n no n i n  t he  f o r t i e s  [ 1 ] , [2 ]   is  s tr o n g l y   e x p lo ite d   i n  qu a n t um  i nf or m a t i o n  s pe c i a l l y  t h e  c r y pt og r a phy .   T h e   f i e l d of  qu a n t um  i n f or m a t i on i s   a l w a y s  v e r y   y o ung   a n d i t  de v e l ops   w i t h  g r eat  s p e ed  b y  co m p ar i n g   w i t h  t h e o t h er  ax es  o f  r es ear ch   t h eo r et i cal   a nd   ex p er i m en t al .   T h i s  i s  p o s s i b l e as  a r es u l t  o f  t h e e x p er i m e n t s  o f  q u a n t u m  o p t i cs :  S c h r ö d i n g er ' s  cat s   can  b cr eat ed  an d   obs e r v e d [ 3 ] , [4 ] , [5 ] .   T h es e d ev el o p m en t s  cer t ai n l y  s ee m ed  i m pos s i bl e  be f or e  t h e   f o und e r s  o f  q ua nt u m   m e c ha ni c s .   M an y   s ci e n t i f i c d ecep l i n s   u s q u a n t u m   f u n d am en t al s  t o   d ev el o p   i t s   t ec h n i q u es  an d   al g o r i t h m s   [6 ].   T h e r e  is  a ls o  a  d e s ig n  to o l f o r  q u a n tu m  c o m p u te r s ,  s in c e  th e  in v e n tio n  o f  q u an t u m  er r o r  c o r r ect o r  co d es   [7 ] .   T h i s   g i v e s   u s   m or e   h ope  s i n c e   m uc h i s  t o be  don e  i n t h i s   v a s t   f i e l d of  qu a n t um  i n f or m a t i on t h e or y .   I n d eed  t h e q u an t u m cr y p t o g r ap h y   h as  b eco m e a  n ece s s i t y   w i t h  t h i s  d ev el o p m e n t   a nd   B B 8 4  is  th e   f ir s t   pr ot oc ol  t o h a v e  b ee n  i m a g i n ed  an d  i m p l e m en t ed  [ 8 ] .  T he  i nf or m a t i on i s  c ode d on   t h e  pol a r i z a t i on  of  s i ng l e   ph ot on s ,  c h oos i ng  t w n on - i n de pe n de n t  pol a r i z a t i on ba s e s t o  en s u r s af et y . T h i s  pr ot oc ol  h a s  u nd e r go ne   s ev er al  v ar i a n t s  [ 9 ] , [ 10] ,  an d   h as  b een  i m p l e m e n t ed   m a n y   t i m es . F ur t he r m or e ,  t he  qua nt um   k e y - p o l i c y  a t t r i b u t e - b as ed  en cr y p t i o n  s ch em e was   d e v e llio p e d  b y   u s i n g  th e  q u tr its   [1 1 ].   B B 84  pr ot oc ol   w a s  i m pl e m e n t e d f a i r l y  qu i c k l y ,  f i r s t  i n  t h e   f or m  o f   a  de m ons t r a t i on  o f  pr i n c i pl e   t he n   m or e  ope r a t i on a l  de v i c e s  [ 12] , [ 13] .  Q ua nt u ke y   di s t r i bu t i on ,  of t e n  s i m pl y  c a l l e d qu a n t um  c r y pt og r a phy ,  i s   cu r r en t l y  t h e o n l y  d o m ai n  o f  q u an t u m  i n f o r m at i o n   w h er e co m m er ci al  s y s t e m s  ar e a v ai l ab l e. T he  d e ve l o p m e nt   o f  cr y p t o g r ap h i c s y s t e m s   i n  t h e p r es en ce o f   n o i s e h a s  al s o  s t i m u l at ed  r es ear ch  i n t o  cl a s s ic a l i n f o r m a tio n   pr oc e s s i n g a l g or i t hm s  us e f u l  i n qu a n t um   c r y pt og r a phy ,   s u c h a s  r e c on c i l i a t i o n  a n d pr i v ac y  en h a n ce m en t   a l g or i t hm s  [ 14] , [ 15] , [ 16] .   O t h e r  k e y  di s t r i bu t i o n  pr ot oc ol s  h a v e  be e n  pr opos e d,   e i t h e r  w i t h  qu bi t s   [ 12] ,   o r  m o r e r e cen t l y   w i t h   c on t i nu ou s   v ar i ab l es .  O t h er   cr y p t o g r ap h i c ap p l i cat i o n s   h a v e b een   s t u d i ed ,  s u c h  a s  s ec r et  s h ar i n g  o r  t h e   B y z a n t i n e  c h or d pr obl e m .  T he   m or e  s pe c i f i c  e x pl oi t a t i on  of  qu a n t um  e n t a ng l e m e nt   h as   al s o  l ed  t o   d en s c odi n g  [ 17] ,  q ua nt u m   te le p o r ta tio n  [ 1 8 ]   an d  o t h er  ap p l i cat i o ns ,  al s o  r ecen t l y  a n e w   s t ad y  o f   Q ua nt u m   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt  J  E l e c &  C o m p  E ng   I S S N :  2088 - 8708     B B 84 w i t h B ot Se v e r al  C l oni ng an d I nt e r c e pt - R es en d  A t t a c ks   ( M u s t apha D e hm ani )   2989   pa s s w or d s h a r i ng  s c h e m e   us i n t r us t e d s e r v e r s   i s  pu bl i s h e d [ 19] .   I n a  p r e vi o u s   w o r k,   w e  ha ve  p r e s e nt e d  t he   qu a n t um   k e y  di s t r i but i on  w i t h s e v e r a l   i n t er cep t  an d  r es en d  a t t ack s  [ 2 0 ]   a nd   w i t h   s e v er al  cl o n i n g  at t ack s  [ 2 1] an d   w e h a v e i n v e s t i g at ed  t h e cas es  o f  q u an t u m   k e y  d i s t r i b u t i o n   w i t h   s ev er al  at t ac k s  v i a a d ep o l ar i zi n g   ch an n el   [ 22]   [ 23]   a n d  p a r tia ll y no n - o r th o g o n a l b a s is   s ta te s  [ 2 4 ] .   O ur  a i m  i n t hi s  p a p e r  i s  t o   s t ud y  t he   e f f ect  o f   t w g r ou ps  o f  e a v e s dr oppi n g s t r a t e gy ;   i n t er cep t - r e s e n d a nd c l on i ng   a tta c k s   o n t he  b e ha vi o ur  o f  t he   m ut ua l   i nf or m a t i on be t w e e n   h on e s t   pa r t i e s  a n d t h e  qu a n t um  e r r or  r a t e   w i t h i n  t h e  B B 84 pr ot oc ol .   T h e p ap er  i s   o r g a n iz e d  a s  f o llo w s .  T h e  p r o to c o l is  d e ta ile d  i n   s e c t i on  2.   S e c t i on  3 i s  de v ot e d t t h e  r e s u l t s  a n d di s c us s i o n ,   w h i l e s ec t i o n  4  i s  r es er v ed   f o r  t h e co n cl u s i o n .       2.   R ES EA R C H  M ETH O D   T h e  qu a n t um   k e y  di s t r i bu t i o n   ( Q K D )  c a n  us e  s e v e r a l  ph ot on  pr ope r t i e s  f or  t h e  pu r pos e  of  e n c odi ng  i nf or m a t i on s u c h a s  pol a r i z a t i on ,  ph a s e ,  q u a nt um  c or r e l a t i on s  or   w a v e l e ng t h .  T h e  onl y  r e qu i r e m e nt  o q ua nt u m   s t a t e s  i s   t ha t  t he b e l o ng t o  m ut ua l l y no n - o r th o g o n a l H i lb e r t s p ace b as i s.   W e u s e t h e p o l ar i zat i o n   c o d i ng a nd   w e co n s i d er  t w o   b as es :  t h f i r s t  cal l ed  r ect i l i n ear  i s  r ep r es en t ed   b y  t h e H o r i zo n t al  an d  V er t i cal   p o la r iz a tio n H , V an d  t h s eco n d  i s  cal l ed   d i ag o n al  a n d  i s   g en er at ed  b y   45°   of   p o la r iz a tio n A a nd 135 ° D     ( ) V H A + = 2 2   a nd   ( ) V H D = 2 2     T h e s e  f o u r  s ta te s  s a ti s f y  t h e  f o llo w i n g  r e la tio n s :     0 = = D A V H   1 = = = = D D A A V V H H 2 1 2 2 2 2 = = = = D V A V D H A H     A l l   m eas u r e m e n t s   m ad e i n  t h e d i ag o n al  ( r ect i l i n ear )  b as e  f o r  p h o t o n s  p r ep ar ed  i n  t h e  r ect i l i n ear   ( d i ag o n al )  b as e   w i l l  gi ve  r a nd o m  r e s u lt s   w it h  e q u a l  p r o b a b il itie s .   O n t he   o t he r  ha nd ,  m e a s ur e m e nt s  m a d e   i a   b a s e  id e n tic a l to  t h a t o f  p r e p a r a tio n  o f  t h e  s ta te s   w ill  p r o d u ce d et er m i n i s t i c r es u l t s .   A f ir s t,  b o th  p a r tie s   w h o   w i s h  t o  co m m u n i cat e,  t r ad i t i o n al l y  cal l ed   A l i ce a n d  B o b  ag r ee t h at ,   f o r  ex a m p l e,   ( H , A )  r ep r es en t  t h e " 0 va l ue  o f   t he   b i t ,   a nd   ( V , D )   h av "1 ".   Al i ce,   t h s en d er   g en er at es   a   s e q ue nc e   o f   r a nd o m   b i t s   t ha t   s he   w a n ts  to  tr a n s m it  r a n d o m l y;   i n d ep en d en t l y   f o r  each  b i t  s h c h oos e s  i t s  c odi ng  ba s e,  r ect i l i n ear  o r   d i ag o n al .   S u b s eq u e n t l y ,  B o b  r ecei v es  t h es e p h o t o n s  an d   u s es  a f i l t er  t o  r ead  t h e m .  N e v er t h el e s s ,   s om e  ph ot ons   w i l l  be   u s e l e s s ;  i t  i s  t h e  ph ot o n s  t h a t   h a v e  be e n  pol a r i z e d i n   a  di f f e r e n t  ba s e .  T h e s e  ph ot ons   m us t   n ot  be   t a k e i n t o  acco u n t  i n  t h k e y .  T o   d o  t h i s ,  a ch an n el ,   w h i c h  ca n  b e p u b l i c,  i s  u s ed  b et w ee n  A l i ce an d  B o b  t o   de t e r m i n e   w hi c h  ph ot ons  a r e   u se l e s s.   I o ur  w o r k w e  s ho e s  t o   s t ud y w h e n N +S   e a v e s dr oppe r s     i E ( i  =  1 ,… .., N +S ),   w er e p l ace d  b et w ee n   A l i ce a n d  B ob.   T h es e av es   dr oppe r s   f or m  t w o g r ou ps ,  e a c h   gr o up w ill a d o p t a  s tr a te g y  o f   a tta c k s ;   c l o ni ng o r  i nt e r c e p t - r es en d   at t ack s ,   acco r d i n g  t o  t h m o d el  r ep r es en t ed   i n F i g ur e  1   a nd  F i gu r e  2.       A lic e Q ua nt um   C ha nn e l                                      Bob               E 1        E 2                        E k E k + 1                    E               E N +1              E N +k E N +k +1                       E N+ S -    E N+ S     T he N eav es   dr oppe r   s wi t h   c l oni n g   a tta c k s   T he S eav es   dr oppe r   s wi t h   i n t er c ep t - r es en d   a tta c k s       F i g ur e  1 .   M ode l  of   N   cl o n i n g  at t ack s   f o l l o w ed  b y   S   i n t er cep t - r e s en d  at t ac k s       A c c or di ng  t F i gur e  1 ,   A l i ce  s en d  a  p h o t o n  p o l ar i zed   w h i c h  r ep r es en t s   r a n do m l y  1 or  0,   w i t h e qu a l   pr oba bi l i t y  1/ 2,  t o B ob.   B e t w e e n  t w o  g r ou p s  of  e a v e s dr oppe r s  i s  pl a c e r  on t h e  qu a n t um  c ha n n e l ,  t h e   f i r s t  on e   u s e  c lo n in g  a tta c k .   E ach  eav e s d r o p p er   ) ,..., 1 ( N i E i =   c l o ne  w i t a n  ope r a t or   U   d ef i n ed  as     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SSN :   20 88 - 8708   I nt  J  E l e c &  C o m p  E ng,   V o l.   8 , N o 5 O c t o be r  201 8   :   2 988   -   2993   2990      0 0 0 0   ( ) i i E A E A U = a nd i i E A E A U 1 1 ) 0 1 (      =     i E w il l u s e  U  in  t h e  b a s e   y   w h ic h   w ill b e  d e f i n e d  a s   f o llo w s :       [ ] 2 / , 0 1 0 ) s in( 0 1 ) cos ( ) 0 1 ( 0 0 ) 0 0 (     π θ θ θ + = = i yE yA i yE yA i yE yA yE yA yE yA i i i i i U U     i θ is  th e  c lo n in g  a n g le ,  a n d  it d e f in e d  th e   f o r c e  o f  a tta c k s .       A l i c Q ua nt um  C ha nn e l Bob               E 1        E 2                        E k E k + 1                    E               E N +1              E N +k E N +k +1                       E N+ S -    E N+ S     T he N eav es   dr oppe r   s wi t h   i n t er c ep t - r es en d   a tta c k s            T he S eav es   dr oppe r   s wi t h   c l on i ng   a tta c k s     F i g ur e  2 .   M ode l  of   N   i n t er cep t - r es en d  at t ac k s   f o l l o w ed  b y S   c lo n in g  a tta c k s       T h e s eco n d  g r o u p  u s e i n t er cep t - r es en d  at t ack s .   E ach  eav es   dr oppe r   ) ,..., 1 ( S N N i E i + + =   in te r c e p ts ,   w it h  p r o b a b ility i ω ,  th e  p h o to n  e m itte d  b y  th e  e a v e s   dr o ppe r 1 i E ,  m e a s u r e s  its  p o la r iz a tio n  s ta t e   a nd   r e s e nd s   i t ,  i i t s   m ea s u r e d  p o l ar i zat i o n   s t at e,  t o  t h e eav es d r o p p er 1 + i E .   H o we v e r ,   i t he   s e c o nd  f i g ur e   (F i g u re  2 )   t he  r o l e s  o f  t he  gr o up s  o f   ea v es   dr oppe r s   ar e r ev er s ed ,  i e   A l i ce  s en d  a p o l ar i s e d  p h o t o n  an d  each   eav es d r o p p er   ) ,..., 1 ( N i E i = f r o m t h e  f i r s t  g r ou p i n t e r c e pt s  t h e  ph ot on   w i t h  pr oba bi l i t y i ω an d  each   eav es d r o p p er   ) ,..., 1 ( S N N i E i + + = f r o m t h e   s e c on g r ou p u s e  t h e  c l on i ng  ope r a t or  U  d ef i n ed  ab o v e .       3.   R ES U LT S   A ND AN AL Y S I S   I n  t h i s   s ect i o n   w e cal cu l at e t h q u a n t u m  e rro er r Q   a nd  t h m u t u al  i n f o r m at i o n  b et w een   A l i c e an d   Bo b a n b et w ee n   A l i ce an d  t h m t h  ea v es d r o p p er s  d ef i n ed  a s  f o l l o w :     )) 0 / 1 ( ( ) 0 / 1 ( )) 0 / 0 ( ( ) 0 / 0 ( 1 ) , ( 2 2 AB AB AB AB P Log P P Log P B A I + + =   )) 0 / 1 ( ( ) 0 / 1 ( )) 0 / 0 ( ( ) 0 / 0 ( 1 ) , ( 2 2 m m m m AE AE AE AE m P Log P P Log P E A I + + =   W ith   ) 0 / 0 ( 1 ) 0 / 1 ( AB AB P P =   a nd   ) 0 / 0 ( 1 ) 0 / 1 ( m m AE AE P P =     ) / ( A x y P   is  t h e  c o n d itio n a l   pr oba bi l i t y  t h a t  B ob or   m E   r ecei v e a p h o t o n  p o l ar i zed  h o r i zo n t al l y   ( v e r tic a ll y )   y   =   0, w i t h  r e s pe c t  t h a t   A l i c e  s e n d a  ph ot on pol a r iz e d  h o r iz o n ta ll y  ( v e r tic a ll y )   X A   =   0, 1.   A ll th is   c o n d itio n a l p r o b a b ilitie s  d e p e n d   o n  t h e   m o d e ls  a tta c k s  d e s c r ib e d   in   th e  p r e v io u s  s e c tio n ; I n  f a c t,   w e   w i ll   s t u d y  t h e  qu a n t um  k e y  di s t r i bu t i on a n d t h e  t w o c a s e s   w i l l  b e  di s t i ngu i s h e d i f  t h e   g r ou p of  c l oni ng  a tta c k s  i s   p la c e d  f ir s t o r  la s t.   T h e  l os t  i n f or m a t i on  be t w e e n   A l i c e  a nd B ob c or r e s pon ds  t o  t h e  m a x i m um  i nf or m a t i on  co p i ed  b y  t h e en t i r e eav es d r o p p er s :     [ ] ) , ( ) , ( , 1 i m i E A I M ax E A I = =     T h e  e r r o r  p r o b a b ility   er r P   i s  gi ve b y :     = = + = B A j i j i x x B A AB B A AB er r x x P x x P P , 0 0 0 0 1 ) , ( ) , ( ω θ ω θ     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt  J  E l e c &  C o m p  E ng   I S S N :  2088 - 8708     B B 84 w i t h B ot Se v e r al  C l oni ng an d I nt e r c e pt - R es en d  A t t a c ks   ( M u s t apha D e hm ani )   2991   T he  q ua nt u m  e r r o r   er r Q   is  th e  v a l u e  o f  th e  e r r o r  p r o b a b ility   er r P   f o r  wh i c h ) , ( ) , ( E A I B A I = .  H o w ev er ,  f o r er r er r Q P < ) , ( ) , ( B A I E A I < ,   wh i l e  f o r   er r er r Q P > ) , ( ) , ( B A I E A I >       3. 1.   Q ua nt u m   K e y  D i s t r i but i o i n t he   P res en ce  o f  N  C l on i n g A t t ac k s  F ol l ow e d   by  S  I n t ercep t - R e s e nd  A tta c k s   B a s e d   o F i gur e   1,   t he   q u a n t u m   e rro er r Q   a n d   th e   m u tu a in f o r m a t io n   ) , ( B A I   b et w ee n   A l i ce a n d   B ob a r e cal cu l at ed  acco r d in g  t o  c o n d itio n a l p r o b a b ility :     2 / ) cos ( 1 ) 1 ( 2 1 2 ) 1 / 1 ( ) 0 / 0 ( 1 , 1 ,..., 1 1 0 1 1 + + = = = = = + = = + N i S i i k j S k l i i S k k S k S AB AB i k l j P P θ ω ω   I f  al l  eav es d r o p p er s  co l l ab o r at e b et w een  t h e m   a n d  u s e t h e s a m e cl o n i n g  an g l θ a n d  id e n tic a a tta c k   p r o b a b ilitie s ω ) 0 / 0 ( AB P w i ll b e :     ( ) ) ( cos 1 ) 2 1 ( 1 4 1 ) 1 / 1 ( ) 0 / 0 ( θ ω N S AB AB P P + + = =     S i n ce  b o t h   t y p es   o f   at t ac k s   a ct   o n   t h q ua nt u m   s t a t e s   v i he c ul a t e d   o t he   c ha n ne l ,   t he   c o nd i t i o na l   p r o b a b i l i t i es  b et w een   A l i ce a n d  B o b  ar e d i f f er en t  co m p ar e d  t o  t h o s e p u b l i s h ed  i n  t h e ca s e o f  s e v er al  at t ac k s   of  i nt e r c e pt  a n d r e s e n d on l y   [ 20]  or  c l on i n g  on l y  [ 21] .   H o we v e r t he   m ut ua l   i n f o r m a t i o n ) , ( m E A I b et w ee n   A l i ce  an d  eac h  eav e s d r o p p er   m E is  c a lc u la te d   acco r d in g  to  c o n d itio n a l p r o b a b ilit y ) 0 / 0 ( m AE P .   I n  f a c t,  th i s   p r o b a b i l i t y  ch a n g es  acco r di n g t o t h e  pos i t i on  of  t h e  e a v e s dr oppe r :     I N m   2 / ) s in( ) cos ( 1 ) 1 / 1 ( ) 0 / 0 ( 1 1 + = = = m m i i AE AE m m P P θ θ A nd ( ) ) s in( ) cos ( 1 2 1 ) 1 / 1 ( ) 0 / 0 ( 1 θ θ + = = m AE AE m m P P   i f  al l  eav es   dr oppe r s m E ( wi t h N m < ha ve  t h e   s a m e  c l o ni n g a ngl e θ .     T h es e r es u l t s   f i t  p er f ect l y   w i t h  t h o s f o u n d  i n  t h e cas e o f  s ev er al  cl o n i n g   a tta c k s   [ 21]   E ls e  if N m > :   I n t hi s   cas e t h e t w o  t y p es  o f  at t ac k s   w i l l  o cc u r ,  an d  t h i s   w i l l  cl ear l y  ap p ear  i n  t h f o r m u l as  o f  co n d i t i o n al   p r o b a b i l i t i es  b et w ee n   A l i ce a n d  ev er y  ev eas   dr oppe r .     2 / ) cos ( 2 2 1 1 ) 1 / 1 ( ) 0 / 0 ( 1 1 1 + = = = = n i m m i i AE AE i m m P P θ ω ω     Al s o ,   2 / ) ( cos 2 2 1 1 ) 1 / 1 ( ) 0 / 0 ( 1 + = = θ ω ω N m AE AE m m P P if  a ll e a v e s   dr oppe r s   ch o o s e i d en t i cal  at t ac k   p ar am et er s θ a nd   ω .     3. 2.   Q ua nt u m   K e y  D i s t r i but i o i n t he   P res en ce  o f  N  I n t ercep t - R e s e nd A t t a c ks  F o l l o w e by  S  C l o ni ng   A tta c k s     I n  t h i s  cas an d  acco r d i n g  t o  t h m ode l   of  F i gu r e  2 ) 0 / 0 ( AB P   is   w r itt e n  in  t h e   f o r m :     2 / ) cos ( 1 ) 1 ( 2 1 2 ) 1 / 1 ( ) 0 / 0 ( 1 , 1 ,..., 1 1 0 1 1 + + = = = = = + = = + S i N i i k j N k l i i N k k N k N AB AB i k l j P P θ ω ω     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
              I SSN :   20 88 - 8708   I nt  J  E l e c &  C o m p  E ng,   V o l.   8 , N o 5 O c t o be r  201 8   :   2 988   -   2993   2992   A n d  i N i ω ω = i   a nd θ θ = j S j N <   ( ) ) ( cos 1 ) 2 1 ( 1 4 1 ) 0 / 0 ( θ ω S N AB P + + =     T h e  pos i t i on  of   each  eav es   dr oppe r   m E   w it h  its   s tr a te g y  o f  a tta c k  is  a  d e c is i v e  e le m e n t f o r  th e   c a lc u la tio n  o f  th e  c o n d itio n a l   p r o b a b ilitie s ) 0 / 0 ( m AE P a nd  s ub s e q ue nt l y   t he  m ut ua l   in f o r m a tio n ) , ( m E A I .     If   N m A ll e a v e s   dr oppe r s   u s e i n t er cep t - r e s e n d  a tta c k s  a n d  th e   c o n d itio n a l p r o b a b ilitie s   w ill  b e  id e n tic a t o t h os e  pu bl i s h e d i n  a  pr e v i o u s   w or k  [ 20]     = = + = = + + + = =               1 , 1 ,..., 1 1 1 0 1 1 ) 1 ( 2 1 2 2 1 ) 1 / 1 ( ) 0 / 0 ( m i i k j m k l i i m k k m k m m AE AE k l j m m P P ω ω ω     Al s o + = = 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 ) 1 / 1 ( ) 0 / 0 ( m AE AE m m P P ω ω i ω ω = i N i     H o we v e r  i N m > :   T h e  s ta te  a r r iv in g  a t th e   eav e s   dr oppe r   m E u n d er w en t  b ef o r e N  i n t er cep t - r e s e nd   at t ack s  a n d   a ll  m E (  wi t h   N m > )  c ho o s e  t o  us e  t he  c l o ni ng a t t a c ks .     2 / ) s in( ) cos ( ) 1 ( 2 1 2 1 ) 1 / 1 ( ) 0 / 0 ( 1 1 , 1 ,..., 1 1 0 1 1 + + = = = = = + = = + m i k l j m m m i N i i k j N k l i i N k k N k N AE AE P P θ θ ω ω     I n d e e d  in  th is  la s t c a s e  if  a ll  ) ,..., 1 ( N i E i =   h a v e  a n  id e n tic a l a tta c k  p r o b a b ilit y   ω ω = i a n d  a ll  ) ,..., 1 ( S N N j E j + + = ha ve   a i d e nt i c a l  c l o ni n a ng l e θ θ = j ,  th e   c o n d itio n a p r o b a b ilit y   ) 0 / 0 ( m AE P   w i ll  b e ( ) ) s in( ) cos ( 1 ) 2 1 ( 1 2 1 ) 1 / 1 ( ) 0 / 0 ( 1 θ θ ω + + = = m N AE AE m m P P       4.   CO NCL U S I O N   W e  ha ve   s t ud i e d  t he  q ua nt u m  ke y d i s t r i b ut i o n o f  B B 8 4  p r o t o c o l  i n t he  p r e s e nc e   o f  s e ve r a l   eav es d r o p p er s   w i t h  t w o  d i f f er en t  at t ack   s t r at eg i es  cl o n i n g  a n d  i n t er cep t - r es en d  at t a ck s  b as ed  o n  t h e   cal cu l at i o n s  o f  t h e q u an t u m   er r o r   er r Q   a nd  t he   m ut u a l  i nf or m a t i on   ) , ( B A I   b et w ee n   A l i ce a n d   B o b  an d   ) , ( m E A I   b et w ee n   A l i ce  a n d   each  eav es d r o p p er   m E   a nd   W h av d et ai l ed  al l   t h cas e s  acco r d i n g   t o   t h e   e a v e s dr oppi n g   p o s it io n  w i th  th e   a tta c k s   t yp e   u s e d I t  i s  cl ear  t h at  t h e a t t ack s p ar a m et er s   i ω   a nd   j θ ,  t he   n um be r   of   t he e a v e s dr oppe r s ,   a nd   t he i r   p o s i t i o ni n o t he   q ua nt u m   c ha n ne l a c t   s t r ong l y   on   t h e   i nf or m a t i on  s e c ur i t y o f  t he  q ua nt u m   ke y  d i s t r i b ut i o n       R EF ER EN C ES   [ 1]   C.   S ha nn on .  " A  M a t he m a t i c a l  T he or y  o f  C o m m uni c a t i on" ,   B e l l  Sy s t e m  T e c hni c al  J our nal ,  1 94 8, vo l .   27 ,  p p.  6 23 - 656 ,     [ 2]   C .  S ha n no n,  " C om m uni c a t i on i n  t he   P r e s e nc e  of  N oi s e " ,   P r o c . I R E ,  19 49,   vo l .   3 7,  pp .   10 - 2 1.   [ 3]   A .  O ur j oum t s e v ,  H .  J e ong ,  R .  T ua l l e - Bro u ri ,  a n d   P .  G ra n g i e r ,  “ G e ne r a t i on  of  op t i c a l  S c hr ödi ng e r  c a t s  f r o m  phot on   n u m b er  s t at es ,   N at ur e ,   20 07 ,  vo l .   44 8,  pp .   78 4 - 78 6.   [ 4]   A .  O u r jo u m ts e v ,  R .  T u a lle - B r our i ,  J .  L a ur a t ,  a nd  P .  G r a ng i e r ,  “ G e ne r a t i ng  O pt i c a l  S c hr ö di ng e r  k i t t e ns  f or  qua nt um   i nf or m a t i on pr oc e s s i ng ,   S ci en c e ,   vo l .   31 2,  pp .   83 - 8 6,  20 06 .   [ 5]   S . G l e y z e s , S . K u h r , C . G u e r l i n ,  J . B e r n u , S . D e l é g l i s e , U .B . H o f f , M . B r u n e , J .M .R a i m o n d , a n d  S . H a r o c h e ,”   Q ua nt um  j um ps  of  l i g ht  r e c or di n g  t he  bi r t h a n d de a t h  of  a  ph ot on  i n a  c a v i t ,   N at ur e ,  v o l.   44 6,  pp .   29 7 - 30 0,  200 7.   [ 6]   S W u,  “ A  Q ua nt um  C ha os  C l ona l  M ul t i obj e c t i v e E v o l u t i o n ar y  M et h o d  R eas ear ch I ndone s i an J o ur n al  of   E l ect r i ca l  E n g i n eer i n g  a n d  C o m p u t er  S ci en ce ,   V ol .  3 ,  N o.  1,  p p.   22 6 - 2 34,  2 016 .   [ 7]   A . R .  C a l de r ba nk  a nd P . W .  S hor ,  “ G ood qua nt um  e r r or - co r r ect i n g  co d es  ex i s t ,   P h ys i ca l  R evi ew   A ,  vo l .   54 ,  pp .   109 8 - 11 05,  19 96 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I nt  J  E l e c &  C o m p  E ng   I S S N :  2088 - 8708     B B 84 w i t h B ot Se v e r al  C l oni ng an d I nt e r c e pt - R es en d  A t t a c ks   ( M u s t apha D e hm ani )   2993   [ 8]   C .  B en n et t  et  G .  B r as s ar d .   Q ua nt um  C r y pt og r a phy  :  P u bl i c  K e y  D i s t r i but i on  a nd C oi n T os s i ng I E E E   C o n f . o n   C om put e r s ,   Sy s t e m s  an d Si gn al   P r oc e s s i ng,  B an gal or e ,  I nd i a  p.  175  19 84 .   [ 9]   C . H .  B e nne t t .  “ Q ua nt um  c r y pt ogr a phy  us i ng  a ny  t w o non or t hog o na l  s t a t e s ,   P h ys .  R ev.  L et t ,  vo l .   6 8,  pp .   31 21 - 312 4,  19 92 .   [ 1 0]   D .  B r us s ,  “ O pt i m a l  E a ve s dr oppi ng  i n Q ua nt um  C r y pt og r a phy   w i t h S i x  S t a t e s ,   P h ys .  R ev.  L et t ,  V o l.   8 1,   N o.  14 ,   pp.   30 18 30 21 ,  1 99 8.   [ 1 1]   G .  M og os  “ Q ua nt um  K e y - P o lic y  A ttr ib u t e - B a s e d E nc r y pt i o n” ,   I n done s i an  J our nal  of  E l e c t r i c al  E ngi ne e r i ng  an d   C om put e r  Sc i e nc e ,  V ol .   7,   N o.   2,  pp.  54 - 55 0,  20 17   [ 1 2]   N .  G i s i n,   G .  R i bor dy , W .  T i t t e l ,  a nd H .  Z bi n de n,  “ Q ua n t um  c r y pt og r a phy ,   R evi ew  o f  M o d er n  P h ys i cs ,  vo l .   74,  no .   1,  p p.   1 45 - 19 5,  20 02 .   [ 1 3]   P .  G r a ng i e r ,   J .  R a r i t y ,   a nd A .   K a r l s s on,  “ Q ua nt um  i nt e r f e r e nc e  a nd c r y pt og r a phi c  k e y s :  nov e l  phy s i c s  a nd   a dv a nc i ng  t e c hnol og i e s  ( Q U I C K ) T he  E ur ope an  P hy s i c al  J our n a l  D ,  vo l .   1 8,  no .   2,  pp .   13 9 - 13 9,  2 002 .   [ 1 4]   U . M .  M a u r er ,  “S ecr et  k ey  a g r ee m en t  b y  p u b l i d i s cu s s i on  f r om  c om m on i nf or m a t i on ,   I E E E   T r a ns a c t i ons  on   I nf or m a t i on T he or y ,  v ol .   3 9,  pp.   733 74 2,  19 93   [ 1 5]   G .  B r as s ar d  an d   L .  S al v ai l ,  “ S ecr et - ke y r e c o n c ilia tio n  b y  p u b lic  d is c u s s io n I n A dv a nc e s  i n c r y pt ol o gy   E ur oc r y pt 9 3,   num be r  76 5 i n L e c t ur e  N ot e s  i n  C om put er  S ci e n ce ,  pa g e s  410 42 3,  19 93 .     [ 1 6]   C.  Be n n e t t ,  G .  Bra s s a rd ,   C .  C r ép eau ,  an d  U .  M .  M au r er ,   “G en er al i zed  p r i v ac y   a m p l i f i c at i o n ,   I E E E  T r ans ac t i ons   on I nf or m at i o n T he or y ,  v o l.   41 ,  no .   6,  pp .   19 15   19 35,  1 99 5.   [ 1 7]   C .  B e nne t t  a nd  S .  W i e s ne r ,  “ C om m uni c a t i on v i a  o ne -   a n d  t wo - p ar t i cl e o p er at o r s  o n  E i n s t ei n - P odo l s ky - R os e s t at es ,   P h ys i ca l  R evi ew  L et t er s ,  vo l .   69  pp .   28 81   28 84,  1 99 2.   [ 1 8]   C.  Be n n e t t ,  G .  Bra s s a rd ,  C.  Cré p e a u ,  R.   J o zs a,  A .  P er es ,  a n d  W . K .  W oot t e r s ,  “ T e l e por t i ng  a un k now n qua nt um   s t at e v i a d u al  cl as s i cal  an d  E in s te in - P od o l s ky - R os e n c ha nne l s ,   P h ys i ca l  R evi ew  L et t er s ,  vo l .   70,  pp.   18 95 18 99 ,   199 3.   [ 1 9]   G .  M og os ,  “ Q ua nt um  pa s s w or d s ha r i ng  s c he m e  us i ng  t r us t e d s e r v e r s ,   I nt e r nat i on al  J our n al  of   I nf or m at i o &   N et w o r k S ecu r i t y ( I JI N S )   V ol .   2,  N o.   3,   pp .  2 03 - 20 6,  20 13 .   [ 2 0]   H.   E z - Z a hr a ouy  a nd A .  B e n y ous s e f ,   Q u a n tu m   k e y  d is tr ib u t io n  w ith  s e v e r a l in te r c e p ts  a n d   r es en d  at t ack s I n t . J M od.  P hy s .  B ,  vol .   23,   p p.  47 55 - 47 6 5,  20 09 .   [ 2 1]   M . D e h m a n i , H . E z - Z a hr a ouy  a n d A .  B e n y ous s e f ,  “ Q ua nt um  C r y p t og r a phy   w i t h S e v e r a l  C l oni ng  A t t a c k s ,   J our na l   of   C om put e r  Sc i e nc e ,  vo l .   6,  pp .   68 4 - 68 8,  201 0.   [ 2 2]   M . D e h m a n i , H . E z - Z a hr a ouy  ,  M .   E r r a hm a ni  a nd A .  B e ny ous s e f ,  “ Q ua nt um  K e y  D i s tr ib u tio n  w ith  S e v e r a l   C l oni ng  A t t a c ks  v i a  a  D e pol a r i z i ng  C ha nne l P h ys .  S cr ,  vo l .   8 6,  20 1 2.   [ 2 3]   M . D e h m a n i , H . E z - Z a hr a ouy  a nd A .   B e n y ous s e f  “ Q ua nt um  k e y  di s t r i but i on w i t h s e v e r a l   c l oni ng  a t t a c ks  v i a   a   de pol a r i z i ng  c ha nne l ,   J our n al   of  R us s i a n L as e r   R es ea r ch ,  vo l .   36  N o.   3,  pp .   2 28 - 23 6,  20 15 .   [ 2 4]   M . D e h m a n i , H . E z - Z a hr a ou y  a nd A .  B e n y ous s e f ,   Q ua nt um  k e y  di s t r i but i on w i t h s e v e r a l  i nt e r c e pt s  a nd r e s e nd   a tta c k s   w ith  p a r tia lly  n o n - o r th o g o n a l b a s is   s ta te s .  O p tik   -   I nt e r nat i on al  J o ur n al  f or  L i gh t  a nd   E l e c t r on   O p tic s ,   v ol .  1 25,   pp .   6 24 - 6 27,  2 01 4.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.