I n t e r n a t io n a J o u r n a o f   E le c t r ic a a n d   Co m p u t e r   E n g in e e r in g   ( I J E CE ) Vo l. 6 ,   No . 3 , J u n e 2 0 1 6 ,   p p . 1 3 7 1 ~ 1 3 7 4 I S S N: 2 0 8 8 - 8 7 0 8 , DOI 1 0 . 1 1 5 9 1 / i j e c e . v 6 i 3 . 1 0 7 4 2 1 3 7 1 J o u r n a h o m e p a g e : h ttp : //ia e s jo u r n a l. c o m/o n lin e /in d e x . p h p /I J E C E St udy   o f   T h e T ril inea r Neig hbo rho o M o del  o f P ro c es s   o f F o r m a t io o f   T e m pe ra t ure s Co ili ng   H o t - Ro lled  S t r ip A . M . S h m y r in , A . G . Yu r t s e v , A. M .   K o r n e e v , L . S . Ab d u lla k h L i p e t s k   s t a t e   t e c h n i c a l   U n i v e rs i t y , R u s s ia Ar t ic le   I n f o AB S T RAC T A r tic le   h is to r y : R e c e iv e d F e b 1 0 ,   2 0 1 6 R e v i s e d A p r 6 ,   2 0 1 6 A c c e p te d A p r 2 0 ,   2 0 1 6 T h e   p a p e c o n s i d e rs   t ri l i n e a n e i g h b o rh o o d   m o d e l   o f   p r o c e s s   o f   f o rm a t i o n   o f t e m p e r a t u re ’s   c o i l i n g   h o t - r o l l e d   s t ri p ,   w h e re   t h e   p a ra m e t e r s   a re   t h e   s t a t e , c o n t ro l   a n d   i n f o rm a t i o n .   T h e   m e t h o d s o f   d e t e rm i n i n g   t h e   c o m p o s i t i o n   o f e x t re m u m s   o t h e   g e n e r a l   p a ra m e t ri c   o p e ra t i o n   a re   p re s e n t e d .   E x t re m u m s c o n d i t i o n   f o t h e   e x i s t e n c e ,   w h i c h   h a s   b e e n   t e s t e d   o n   a   c o n c re t e   e x a m p l e ,   i s o b t a i n e d .   T h e   a s s u m p t i o n   a b o u t   t h e   a re a   i n   w h i c h   i t   i s   i m p o s s i b l e   t o   s a y w i t h c e rt a i n t y   a b o u t   t h e   s y s t e m ’s   s t a b i l i t y   i s   s t a t e d .   T h e   h y p o t h e s i s   a b o u t   t h e c o n d i t i o n   o f   t h e   l o s s   o f   t h e   p o s i t i o n   o f   s t a b l e   e q u i l i b ri u m   o f   t h e   s y s t e m   a n d t h e   t ra n s i t i o n   t o   a   n e w   s t a t e . K e y w o r d : E x tr e m u m s H o t - r o lle d s tr ip I d e n tif ic a t io n M ix e d m a n a g e m e n t N e ig h b o r h o o d s y s te m N o r m a liz a tio n P a r a m e tr ic v a r ia b le s Co p y r i g h t   ©   2 0 1 6 In s t i t u t e   o f   A d v a n c e d   E n g i n e e r i n g   a n d   S c i e n c e . A l l   r i g h t s   r e s e r v e d . C o r r e s p o n d in g   A u th o r : A b d u l la k h   L . S . , L ip e ts k   s ta te   te c h n ic a U n i v e r s it y ,   R u s s ia , 3 0   M o s k o v s k a y a   S t. 3 9 8 6 0 0   L ip e ts k ,   R u s s ia . E m a il:  d . 4 8 @ r a m b le r . r u 1 . I NT RO D UCT I O N Ne ig h b o r h o o d   m o d e ls   a r e   a   p r o m i s i n g   d ir e c tio n   i n   t h e   s p h e r e   o f   c o m p le x   s y s te m s   m o d e l in g ,   s i n c e th e   d i f f e r   w it h   t h e ir   d e s c r ip ti o n   v e r s a tilit y   w i th   th e   h e lp   o f   t h e   a m b its   o f   t h e   b o n d s   s tr u c tu r e   b e t w e e n   th e s y s te m s   n o d e s .   Ne ig h b o r h o o d   s y s te m s   t h e o r y   i s   a   u n iv e r s a m e a n s   o f   a   c a te g o r y   o f   d is c r e te   d is tr ib u te d s y s te m s   m o d e li n g s ta tio n a r y   a n d   d y n a m ic ,   c le a r   a n d   ille g i b le ,   w ith   li n e a r   a n d   n o n lin e a r   r e la tio n s h ip s .   T h is th e o r y   i s   a   g e n e r a liz i n g   f o r   m a n y d is c r e te   d is tr ib u te d   s y s te m s ,   t h e   n e i g h b o r h o o d   a p p r o a c h s   u s e   in a p p lic a tio n   ta s k s   c o v e r s   s y s te m s   o f   d if f e r e n t   n a t u r e   a n d   d ir e c tio n - f r o m   te c h n i c a to   e c o n o m ic s . Ne ig h b o r h o o d   m o d e ls - a n   e x tr e m e l y   e f f ic ie n m o d e li n g   m e t h o d   w h ic h   a llo w s   to   r e p r o d u c e   c o m p le x d e p e n d e n c ie s .   A s   a n   e x a m p le ,   p a r a m e tr ic   n e ig h b o r h o o d   m o d e li n g   o f   t h e   p r o c e s s   o f   f o r m a t io n   o f te m p e r a tu r e s   c o il in g   h o t - r o l le d   s tr ip .   M ic r o s tr u c t u r e   o f   h o t - r o lle d   s te e d e p e n d s   o n   t h e   r o lli n g s   e n d te m p e r a tu r e   a n d   c o ili n g s   te m p e r a tu r e .   T o   g e a   f i n e - g r a i n e d   u n if o r m   o f   t h e   m e ta l s   s tr u c tu r e   o f   lo w   c a r b o n s te e l,   its   r o lli n g   m u s b e   f in i s h e d   a a   te m p e r a t u r e   o f   7 6 0 - 9 0 0   C ,   a n d   th e   r o ll  m u s b e   r e e le d   a c o ilin g s te m p e r a tu r e   o f   5 4 0 - 7 2 0 C .   S tr ip s   c o o li n g   a f te r   f i n is h i n g   g r o u p   s ta n d s   is   r e a liz e d   o n   t h e   d e f e r e n t r o lle r .   T h e d e f e r e n r o lle r   o f   h o r o llin g   m ill  is   a   s ig n i f ic a n p a r o f   t h e   w a y   t h r o u g h   w h ic h   t h e   s tr ip   p a s s e s   a f te r   r o llin g   to r e e ls .   T h e   m a i n   f u n c tio n   o f   d e f e r e n r o lle r s   s e c tio n   is   c o o lin g   th e   s tr ip   f r o m   th e   r o lli n g   te m p e r a t u r e   to   a te m p e r a tu r e   s u ita b le   f o r   th e   c o ilin g .   A b o v e   a n d   b e lo w   t h e   s tr ip ,   m o v i n g   o n   th e   r o lle r ,   ta n k s   w it h   w a te r   f o r   th e c o o lin g   a r e   m o u n te d .   T a n k s   a r e   u n ite d   in   h a l f - s e c t io n th e   m i n i m u m   c o n tr o lle d   d e v i c e s   f o r   c o o lin g .   I n te c h n o lo g ic a o b j e c t' s   r e a l   f u n c tio n i n g   c o n d itio n ,   t h e   m a t h e m a tic a m o d e lin g   i s   a n   e f f e c ti v e   m e t h o d   o f in d ir e c tl y   f in d i n g   t h e   o b j e c t’ s   c h a r a c te r is tic s   a n d   its   e le m e n ts ,   its   s ta te   a n d   t h e   r e la tio n s h ip s   b e t w e e n   th e m . M o d e l’ s   d e v e lo p m e n o f   te c h n o lo g ic a p r o c e s s   a n d   it s   c o n tr o s y s te m s   a llo w s   to   id e n ti f y   a d d itio n a l c h a r a c te r is tic s   a n d   th e   o b j e c t’ s   a ttr ib u te s   a n d   th e r e b y   i m p r o v e   th e   m a n a g e m e n t ' s   q u a lit y . Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I S S N : 2 0 8 8 - 8 7 0 8 I J E C E Vo l. 6 ,   No . 3 , J u n e 2 0 1 6 : 1 3 7 1 1 3 7 4 1 3 7 2 2 . RE S E ARCH   M E T H O D L e t s   c o n s id e r   th e   r e a liz a tio n   o f   th e   m e t h o d   o f   th e   tr ili n e a r   n e ig h b o r h o o d   m o d e l’ s   c o n s tr u c tio n   o n th e   c o m p le x   d is tr ib u te d   o b j e c t’ s   e x a m p le te c h n o l o g ic a p r o c e s s   o f   a c c e le r a te d   c o o lin g   o f   t h e   h o s tr ip   o n th e   b r o a d b a n d   h o r o llin g   m ill. I n   g e n e r a f o r m ,   tr ili n e a r   n e i g h b o r h o o d   m o d e lo o k s   li k e   th e   f o llo w in g : , 0 ] [ ] [ ] [ ] , , , [ ] [ ] [ ] , , [ ] [ ] [ ] , , [ ] [ ] [ ] , , [ ] [ ] , [ ] [ ] , [ ] [ ] , [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ g b a g b a g b g b g a g a b a b a g g b b a a a b g b g a g a b g b a Y V X a w Y V a w Y X a w V X a w Y a w V a w X a w a O a O a O xvy a O a O vy a O a O xy a O a O xv a O y a O v a O x x v y v y x y x v y v x ( 1 ) w h e r e [ ] n X a R , [ ] m V a R , [ ] l Y a R - s ta te ,   c o n tr o a n d   in f o r m a tio n   in   th e   s y s te m   n o d e ; [ , ] c n w a R x , [ , ] c m w a R v , [ , ] c l w a R y , [ , , ] c n m w a R x v , [ , , ] c n l w a R x y , [ , , ] c m l w a R v y , [ , , , ] c n m l w a R x v y - m a tr i x   p a r a m e te r s ; [ ] , [ ] , [ ] O a O a O a x v y - n e ig h b o r h o o d s   o f   a s   n o d e   o n   t h e   s ta te , m a n a g e m e n a n d   i n f o r m a tio n   a d e q u a te l y ; 1 2 , , , , , , . . . , n a A A a a a - a   f in i te   s e o f   s y s te m c o m p o n e n t s . M o d e ( 1 )   w it h   a   d e ta ile d   r e c o r d   ta k e s   th e   f o llo w in g   f o r m : [ 1 , 1 ] [ 1 ] [ 1 , 2 ] [ 2 ] ... [ 1 , 2 , 1 , 1 ] [ 2 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 , 2 , 2 , 1 ] [ 2 ] [ 1 ] [ 2 ] 0 ; ... [ 3 , 2 ] [ 2 ] [ 3 , 3 ] [ 3 ] ... [ 3 , 3 , 2 , 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 2 ] [ 3 , 3 , 3 , 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] 0 . x x x v y x v y x x x v y x v y w x w x w x v y w x v y w x w x w x v y w x v y ( 2 ) E s s e n tia c o m p o n e n t s   o f   x   s ta t e ,   v   m a n a g e m e n t,   a n d   th e   t h ir d   p a r a m e te r ,   f o r   w h ic h   t h e   y   i n f o r m a tio n m a y   b e   ta k e n   ( T a b le   1 )   w e r e   d is ti n g u is h   f o r   th e   m o d e l. T a b le   1 .   C o m p o n e n ts   o f   t h e   s t a te ,   c o n tr o a n d in f o r m a tio n . x [ 1 ] C o i l i n g   t e m p e r a t u r e   f o r   t h e   f i r s t   a r e a   o f   t h e   s i t e   s t r i p , ° С x [ 2 ] C o i l i n g   t e m p e r a t u r e   f o r   t h e   s e c o n d   a r e a   o f   t h e   s i t e   s t r i p , ° С x [ 3 ] C o i l i n g   t e m p e r a t u r e   f o r   t h e   t h i r d   a r e a   o f   t h e   s i t e   s t r i p , ° С v [ 1 ] T h e   a m o u n t   о f   i n c l u d e d   h a l f - se c t i o n o f   w a t e r   c o o l i n g   f o r   t h e   f i r st   a r e a   o f   t h e   si t e   st r i p v [ 2 ] T h e   a m o u n t   о f   i n c l u d e d   h a l f - se c t i o n o f   w a t e r   c o o l i n g   f o r   t h e   se c o n d   a r e a   o f   t h e   s i t e   st r i p v [ 3 ] T h e   a m o u n t   о f   i n c l u d e d   h a l f - se c t i o n o f   w a t e r   c o o l i n g   f o r   t h e   t h i r d   a r e a   o f   t h e   si t e   s t r i p y [ 1 ] C o o l i n g   w a t e r   t e m p e r a t u r e ,   ° С y [ 2 ] C o o l i n g   w a t e r   t e m p e r a t u r e ,   ° С y [ 3 ] C o o l i n g   w a t e r   t e m p e r a t u r e ,   ° С L e t s   s ta te   c o m p o n e n ts   v a l u e s   o f   s ta te ,   m a n a g e m e n a n d   in f o r m a tio n   a n d   c o n d u c t   tr ilin e a r n e ig h b o r h o o d   m o d e l’ s   id e n ti f i c a tio n   b a s e d   o n   p r e v io u s l y   d e v e lo p e d   a lg o r ith m s .   S ta te s   v a lu e   a   a c c o r d in g   to te c h n o lo g ic a p a r a m e te r s : x [ 1 ] = 5 8 7 ° С x [ 2 ] = 5 7 3 ° С x [ 3 ] = 5 8 7 ° С . M a n a g e m e n t s   v a l u e   a   a c c o r d i n g   to   te c h n o lo g ic a p a r a m e te r s : v [ 1 ] = 1 5   p ie c e v [ 2 ] = 2 8   p ie c e v [ 3 ] = 1 8   p ie c e . I n f o r m a tio n s   v a l u e   a   a c c o r d i n g   to   te c h n o lo g ic a p a r a m e te r s : y [ 1 ] = y [ 2 ] = y [ 3 ] = 4 0 ° C . Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E I S S N: 2 0 8 8 - 8 7 0 8 S tu d y   o T h e   T r ilin e a r   N e ig h b o r h o o d   M o d e o P r o c e s s   o F o r m u la tio n   o T e mp e r a tu r e ' s . . . .   ( A .   M .   S h y mr in ) 1 3 7 3 Du e   to   th e   d i f f e r e n o r d e r   o f   th e   d a ta s   i n p u th e   n o r m a liz a t i o n   a c c o r d in g   to   th e   f o r m u la   is   p r o d u c e : s x x x , ( 3 ) w h e r e   x n o r m a liz e d   v a l u e , x a r ith m e t ic   m e a n , s v a lu e s   r o o t - m e a n - s q u a r e   d e v ia tio n . Af te r   t h e n o r m a liz a t io n w e   g e t: x [ 1 ] = 0 , 7 0 7 1 1 ; x [ 2 ] = - 1 , 4 1 4 2 1 ;   x [ 3 ] = 0 , 7 0 7 1 1 ; v [ 1 ] = - 0 , 9 5 9 6 2 v [ 2 ] = 1 , 3 7 9 4 5 ;   v [ 3 ] = - 0 , 4 1 9 8 3 ; y [ 1 ] = y [ 2 ] = y [ 3 ] = 1 . W e ll  g e t h a wy [ 1 , 1 ] = w y [ 2 , 2 ] = w y [ 3 , 3 ] = 1 .   A s   a   r e s u lt  o f   t h e   id e n tif ic a tio n   w e   o b ta in : w x [ 3 , 2 ] = 0 . 0 7 2 ,   w x [ 3 , 3 ] = - 0 . 0 3 6 ,   . . . ,   w x v y [ 3 , 3 , 2 , 3 ] = - 0 . 0 5 ,   w x v y [ 3 , 3 , 3 , 3 ] = 0 . 0 1 5 . L e t s   e x p r e s s   n e i g h b o r h o o d   v a r ia b le s   x ,   v   a n d   y   t h r o u g h   p a r a m e tr ic   v a r ia b le   U. L i n e a r   d e p e n d e n c e   a r e   a s f o llo w s : [ 1 ] [ 3 ] 0 . 0 0 1 5 1 . 1 6 1 7; x x U [ 2 ] 0 . 0 0 1 5 1 . 8 6 8 8 ; x U [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 0 . 0 0 7 2 3 . 5 3 8 6 ; v v v U [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 0 . 0 0 0 5 1 . y y y U S u b s ti tu t in g   g i v e n   d e p e n d e n c ie s   in to   th e   s y s te m   ( 1 )   a n d   s u m m i n g   th e   e q u a t io n ,   w e   g e t   a   g e n e r a l p a r a m e tr ic   e q u a tio n   o f   n e i g h b o r h o o d   m o d e l: 7 2 1 0 3 0 , 0 0 2 8 5 1 , 1 1 0 5 6 1 0 2 , 5 2 6 6 1 0 0 , 0 2 5 9 . Z U U U ( 4 ) 3 . RE S U L T S A ND  AN AL Y S I S I n   th i s   s e c tio n ,   it  is   e x p la i n e d   th e   r e s u lts   o f   r e s e a r c h   a n d   a th e   s a m e   ti m e   is   g i v e n   t h e c o m p r e h e n s iv e   d is c u s s io n .   R e s u lt s   c a n   b e   p r e s e n te d   i n   f i g u r e s ,   g r a p h s ,   ta b le s   a n d   o th e r s   t h a m a k e   t h e   r e a d e r u n d e r s ta n d   e a s il y [ 1 ] - [ 4 ] .   T h e   d is c u s s io n   c a n   b e   m a d e   in   s e v e r a s u b - c h a p te r s . On   t h e   a n a lo g y   o f   ( 4 ) ,   le t’ s   e x a m i n e   th e   f u n c t io n 3 2 , ( ) a b V x x a x b x , ( 5 ) W h o s e   f ir s a n d   s e c o n d   d e r iv a tiv e   lo o k s   l ik e   t h e   f o llo w i n g : 2 3 2 0 d V x a x b d x , ( 6 ) 2 2 6 2 0 d V x a d x . ( 7 ) E x c lu d i n g   x   f r o m   t h e   e q u a tio n   ( 6 )   a n d   ( 7 ) ,   w e ll  g e p a r a b o la   e q u a tio n : 2 1 3 b a . ( 8 ) On   c o n d itio n 2 1 3 b a ,   th e   f u n c tio n   ( 5 )   h a s   t w o   c r itic a p o i n ts   c r itic a p o in ts   s u c h   a s   m i n i m u m   a n d m a x i m u m ,   a n d   o n   c o n d itio n 2 1 3 b a - c r itic a p o in ts   a r e   a b s e n t. Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I S S N : 2 0 8 8 - 8 7 0 8 I J E C E Vo l. 6 ,   No . 3 , J u n e 2 0 1 6 : 1 3 7 1 1 3 7 4 1 3 7 4 He r e   is   a   g e n e r a p a r a m e tr ic   e q u a tio n   ( 4 ) to   th e   s ta n d a r d   f o r m : 3 2 7 8 439 , 547 1 , 13 10 1 , 025 10 Z U U U ( 9 ) T h e   c o n d itio n 2 1 3 b a is   r e a liz e d ,   i. e . 7 2 1 1 , 1 3 1 0 ( 4 3 9 , 5 4 7 ) 6 4 4 0 0 , 5 2 2 3 .   T h a t’ s   w h y   t h e f u n c tio n   ( 9 )   h a s   o n e   m i n i m u m   p o in U= 1 7 9 9 , 7   a n d   o n e   m a x i m u m   p o in U= - 2 0 9 2 , 8 .   A t h e   r e v e r s e   tr a n s itio n f r o m   th e   p a r a m e tr ic   v a r ia b le   to   th e   n e ig h b o r h o o d   o n e ,   s u b s tit u ti n g   t h e   U   v a l u e ,   w h i c h   c o r r e s p o n d s   to m i n i m u m   a n d   m a x i m u m   v a l u e s ,   x ,   v   a n d   y   a r e   b e y o n d   th e   p e r m is s ib le   v a l u e s .   T h i s   m e a n s   t h a w h e n o p e r a tin g   i n   t h e   p o s itio n s   o f   s ta b le   ( m i n i m u m )   o r   u n s t a b le   ( m a x i m u m )   b a la n c e ,   w e ll   g e t   th e   m e ta o f u n s a ti s f a c to r y   q u a lit y   a th e   o u tp u t. T h u s ,   w e   c a n   c o n c lu d e   t h a t h e   s y s te m   is   in   a n   a r e a   in   w h ic h   it   is   i m p o s s ib le   to   s a y   w i t h   c e r ta i n t y a b o u th e   s ta b ilit y   o f   th e   s y s t e m .   W o r k in g   t h a w a y ,   c o e f f i c ie n ts   v a l u e s   o f   th e   g e n e r a p a r a m e tr ic   e q u a tio n m a y   c h a n g e ,   w h ic h   e n ta ils   t h e   r is k   o f   r e v e r s e c o n d itio n s   t h a t,   a c c o r d in g   to   [ 5 ] ,   s a y s   a b o u th e   lo s s   o f   th e e q u ilib r iu m   p o s itio n   a n d   th e   p o s s ib ilit y   o f   t h e   s y s te m s   c o n v e r s io n   to   a   n e w   s ta te . 4 . CO NCL U S I O N I n   th is   p a p e r th e   m a t h e m a tic a l   tr ilin e a r   n e i g h b o r h o o d   m o d e o f   te m p e r a t u r e s   f o r m a tio n   o f   h o r o lle d s tr ip s   c o ili n g   i s   o b ta in e d ,   th e   te c h n iq u e   o f   d e te r m in i n g   t h e   c o m p o s itio n   o f   e x tr e m u m s   a c c o r d in g   to   th e f u n c tio n s   c o e f f ic ie n t s   is   p r e s e n te d .   A   h y p o th e s is   o f   t h e   s y s te m s   a r e a s   o f   s ta b ilit y   is   s u g g e s te d .   T h e d e v e lo p e d   m a th e m a tic a n e ig h b o r h o o d   m o d e c a n   ta k e   i n t o   a c c o u n o t h e r   te c h n o lo g ic a l   p a r a m e te r s   o f   t h e r o llin g   p r o c e s s   a n d   s te e l’ s   c h e m ic a c o m p o s i tio n . RE F E R E NC E S [1 ] A . M . S h m y ri n a n d I. A . S e d y k h , Id e n t i f i c a t i o n   a n d Co n t ro l   A l g o r i t h m s   o F u n c t i o n i n g   f o N e i g h b o rh o o d   S y s t e m s Ba s e d   o n   P e t r i   N e t s , A u t o m a t i o n   a n d   R e m o t e   C o n t r o l , v o l / i s s u e :   7 1 ( 6 ) , p p .   1 2 6 5 - 1 2 7 4 , 2 0 1 0 . [2 ] S . L .   Bl y u m i n , e t   a l . , Bi l i n e a N e i g h b o rh o o d   S y s t e m s , M o n o g r a p h .   L i p e t s k ,   L i p e t s k   S t a t e   T e c h n i c a l   U n i v e r s i t y P u b l i s h e r s , p p . 1 3 1 , 2 0 0 6 . [3 ] A . L .   G e n k i n a n d I. V .   N i k u l i n , T h e   U s e   o f   S i m u l a t i o n   i n   t h e   C o n t r o l   S h e e t - Ro l l i n g   Co m p l e x , In f o r m a c i o n n y e T e h n o l o g i i   i   V y c h i s l i t e l ' n y e   S i s t e m y , v o l . 2 , p p .   7 5 - 7 9 , 2 0 1 1 . [4 ] A . M . K o rn e e v , e t   a l . , Cri t e ri o n f o A s s e s s i n g   T h e   E ff e c t i v e n e s s o f   F u n c t i o n i n g o f   Co m p l e x   S y s t e m s   Ba s e d o n T h e   U s e   T h e   A m o u n t o f   In f o rm a t i o n , In t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   A p p l i e d   E n g i n e e r i n g   R e s e a r c h , v o l / i s s u e : 1 0 ( 1 1 ) , p p . 2 7 9 6 1 - 2 7 9 8 0 , 2 0 1 5 . [5 ] J . K .   A l e k s e e v a n d A . P .   S u k h o r u k o v , In t ro d u c t i o n   t o   t h e   T h e o ry   o f   Ca t a s t ro p h e s , L i b ro k o m , p p . 1 7 6 , 2 0 1 3 . Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.