I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   E l e c t r i c a l   a n d   C o m p u t e r   E n g i n e e r i n g   ( I J E C E )   V o l . 1 ,   N o . 1 ,   S e p t e m b e r   2 0 1 1 ,   p p .   7 1 ~ 8 4   I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8             7 1       R e c e i v e d   J u l y   2 9 th ,   2 0 1 1 ;   R e v i s e d   A u g   2 8 th ,   2 0 1 1 ;   A c c e p t e d   S e p   1 6 th ,   2 0 1 1   A C P T D F   f o r   M u l t i - t r a n s a c t i o n s   a n d   A T C   D e t e r m i n a t i o n   i n   D e r e g u l a t e d   M a r k e t s       J i t e n d r a   K u m a r   a n d   A s h w a n i   K u m a r ,   M e m b e r   I E E E   D e p a r t m e n t   o f   E l e c t r i c a l   E n g i n e e r i n g   N a t i o n a l   I n s t i t u t e   o f   T e c h n o l o g y ,   K u r u k s h e t r a ,   H a r y a n a ,   I N D I A   e - m a i l :   a s h w a _ k s @ y a h o o . c o . i n       A b s t r a c t   A v a i l a b l e   t r a n s f e r   c a p a b i l i t y   i n   t h e   t r a n s m i s s i o n   n e t wo r k   h a s   b e c o m e   e s s e n t i a l   q u a n t i t y   t o   b e   d e c l a r e d   we l l   i n   a d v a n c e   f o r   i t s   c o m m e r c i a l   u s e   i n   a   c o m p e t i t i v e   e l e c t r i c i t y   m a r k e t .   I t s   f a s t   c o m p u t a t i o n   u s i n g   D l o a d   f l o b a s e d   a p p r o a c h   i s   u s e d   wo r l d wi d e   f o r   o n   l i n e   i m p l e m e n t a t i o n .   M a n y   a u t h o r s   h a v e   p r o p o s e d   t h e   A T c a l c u l a t i o n   b a s e d   o n   D C/ A l o a d   f l o a p p r o a c h .   I n   t h i s   p a p e r ,   A P T D F   b a s e d   a p p r o a c h   h a s   b e e n   p r o p o s e d   f o r   m u l t i - t r a n s a c t i o n   c a s e s   u s i n g   p o we r   t r a n s f e r   s e n s i t i v i t y   a n d   J a c o b i a n   c a l c u l a t e d   wi t h   t h r e e   d i f f e r e n t   m e t h o d s .   T h e   m e t h o d s   c a n   b e   i m p l e m e n t e d   f o r   a n y   n u m b e r   o f   t r a n s a c t i o n s   o c c u r r i n g   s i m u l t a n e o u s l y .   T h e   r e s u l t s   h a v e   b e e n   d e t e r m i n e d   f o r   i n t a c t   a n d   l i n e   c o n t i n g e n c y   c a s e s   t a k i n g   m u l t i - t r a n s a c t i o n / s i m u l t a n e o u s   a s   we l l   a s   s i n g l e   t r a n s a c t i o n   c a s e s .   T h e   m a i n   c o n t r i b u t i o n s   o f   t h e   p a p e r   a r e :   ( i )   A T d e t e r m i n a t i o n   f o r   m u l t i - t r a n s a c t i o n s   e n v i r o n m e n t ,   ( i i )   A T d e t e r m i n a t i o n   a n d   c o m p a r i s o n   wi t h   t h r e e   a p p r o a c h e s   o f   P T D F   c a l c u l a t i o n s ,   ( i i i )   L O D F s   wi t h   l i n e   c o n t i n g e n c y   c a s e s   f o r   m u l t i - t r a n s a c t i o n   e n v i r o n m e n t   a n d   t h e r e b y   A T d e t e r m i n a t i o n .   T h e   r e s u l t s   h a v e   a l s o   b e e n   o b t a i n e d   wi t h   D m e t h o d   f o r   c o m p a r i s o n .   T h e   p r o p o s e d   m e t h o d   h a v e   b e e n   a p p l i e d   f o r   I E E E   2 4   b u s   R T S .       Ke y wo r d s :   A v a i l a b l e   t r a n s f e r   c a p a b i l i t y ,   A l o a d   f l o w ,   A p o we r   t r a n s f e r   d i s t r i b u t i o n   f a c t o r s   ,   l i n e   o u t a g e   c o n t i n g e n c y ,   l i n e   o u t a g e   d i s t r i b u t i o n   f a c t o r s ,   m u l t i - t r a n s a c t i o n s ,   s i m u l t a n e o u s   t r a n s a c t i o n s .       1 .   I n t r o d u c t i o n   T h e   b u l k   p o w e r   t r a n s a c t i o n s   a r e   l i m i t e d   b y   t h e   t r a n s m i s s i o n   s y s t e m   s e c u r i t y   a n d   s t a b i l i t y ,   a n d   i t   i s   t h e   r e s p o n s i b i l i t y   o f   t h e   s y s t e m   o p e r a t o r s   ( S O s )   t o   c o n t r o l   t h e   p o w e r   t r a n s a c t i o n s   a n d   o v e r l o a d i n g   o f   t h e   t r a n s m i s s i o n   n e t w o r k   b e y o n d   t h e i r   t h e r m a l   l o a d i n g   a n d   m e g a v o l t - a m p e r e s   ( M V A )   l i m i t s .   F o r   t h i s ,   S O   h a s   t o   u p d a t e   r e a l - t i m e   i n d e x   t e r m e d   a s   a v a i l a b l e   t r a n s f e r   c a p a b i l i t y   ( A T C ) .   A   1 9 9 6   r e p o r t   o f   N o r t h   A m e r i c a n   E l e c t r i c a l   R e l i a b i l i t y   C o u n c i l   ( N E R C )   e s t a b l i s h e s   a   f r a m e w o r k   f o r   d e t e r m i n i n g   A T C   o f   t h e   i n t e r c o n n e c t e d   t r a n s m i s s i o n   n e t w o r k s   f o r   a   c o m m e r c i a l l y   v i a b l e   w h o l e s a l e   m a r k e t   [ 1 - 2 ] . T h e   a s s e s s m e n t   o f   t r a n s m i s s i o n   s y s t e m   l o a d a b i l i t y   p l a y   a   v i t a l   r o l e   i n   b o t h   o p e r a t i o n a l   p l a n n i n g   a n d   r e a l   t i m e   o p e r a t i o n   i n   o r d e r   t o   t h e   b e s t   u t i l i z a t i o n   o f   t h e   a v a i l a b l e   s y s t e m   c o m p o n e n t s   w i t h   r e g a r d   t o   s y s t e m   s e c u r i t y .   T h e   s y s t e m   l o a d a b i l i t y   d e t e r m i n a t i o n   f o r   t h e   s e c u r e   o p e r a t i o n   o f   t h e   s y s t e m   w i t h   l i n e   t h e r m a l   l i m i t s ,   s t e a d y   s t a t e   s t a b i l i t y   l i m i t ,   t r a n s i e n t   s t a b i l i t y   l i m i t s ,   a n d   v o l t a g e   s t a b i l i t y   l i m i t s   h a s   b e e n   w e l l   r e p o r t e d   i n   t h e   l i t e r a t u r e .   T h e   w e l l - k n o w n   t e c h n i q u e s   o f   m a x i m u m   l o a d a b i l i t y   d e t e r m i n a t i o n   f o c u s   o n   q u a n t i f i c a t i o n   o f   t h e   d i s t a n c e   o f   t h e   s y s t e m   s t a t e   f r o m   t h e   m a x i m u m   l o a d a b i l i t y   b o u n d a r y .   T h e   m e t h o d s   t o   q u a n t i f y   t h e   s y s t e m   s e c u r i t y   a r e   c o n t i n u a t i o n   p o w e r   f l o w   b a s e d ,   d i r e c t   m e t h o d s   a n d   e n e r g y   m e t h o d s   [ 3 - 8 ] .   T h e   e l e c t r i c   p o w e r   i n d u s t r i e s ,   a l l   o v e r   t h e   w o r l d ,   h a v e   b e e n   c h a n g i n g   t o   a   n e w   d e r e g u l a t e d   e n v i r o n m e n t   d u e   t o   m a n y   f o r c e s   t o   c r e a t e   c o m p e t i t i v e   e l e c t r i c i t y   m a r k e t s   [ 9 - 1 0 ] .   W i t h   t h e   i n t r o d u c t i o n   o f   c o m p e t i t i o n   i n   t h e   p o w e r   i n d u s t r y ,   t h e r e   h a s   b e e n   a   s e a r c h   f o r   t h e   b e t t e r   u t i l i z a t i o n   o f   t h e   t r a n s m i s s i o n   f a c i l i t i e s .   T h u s ,   t h e   t r a n s f e r   c a p a b i l i t y   a c r o s s   t h e   t r a n s m i s s i o n   s y s t e m   i s   o f t e n   u s e d   a s   a   b a s i s   t o   d e t e r m i n e   t h e   q u a n t i t y   o f   f i r m   t r a n s m i s s i o n   s e r v i c e   a v a i l a b l e   t o   r e s c h e d u l e   e n e r g y   d e l i v e r y .   I n   d e r e g u l a t e d   e l e c t r i c i t y   m a r k e t s ,   A T C   o f   a   t r a n s m i s s i o n   s y s t e m   h a s   e m e r g e d   a s   a   n e w   m e a s u r e .   U n d e r   t h e   U .   S .   F e d e r a l   E n e r g y   R e g u l a t o r y   C o m m i s s i o n   ( F E R C )   o r d e r s   8 8 8   a n d   8 8 9 ,   w h i c h   e s t a b l i s h e d   o p e n   a c c e s s   n o n d i s c r i m i n a t o r y   t r a n s m i s s i o n   s e r v i c e s   p o l i c y   a n d   o p e n   a c c e s s   s a m e   t i m e   i n f o r m a t i o n   s y s t e m   ( O A S I S ) ,   A T C   i s   r e q u i r e d   t o   b e   p o s t e d   o n   O A S I S   t o   m a k e   c o m p e t i t i o n   r e a s o n a b l e   a n d   e f f e c t i v e   [ 1 1 ] .   S u c h   i n f o r m a t i o n   w i l l   h e l p   p o w e r   m a r k e t e r s ,   s e l l e r s   a n d   b u y e r s   i n   r e s e r v i n g   t r a n s m i s s i o n   s e r v i c e s .   U t i l i t i e s   m u s t   t h e r e f o r e ,   d e t e r m i n e   t h e i r   A T C   a d e q u a t e l y   t o   e n s u r e   t h e   s e c u r i t y   o f   t h e   s y s t e m   w h i l e   s e r v i n g   a   w i d e   r a n g e   o f   t r a n s m i s s i o n   t r a n s a c t i o n s .   A T C   h a s   t o   b e   c o n t i n u o u s l y   u p d a t e d   a n d   p o s t e d   f o l l o w i n g   c h a n g e s   i n   t h e   s y s t e m   c o n d i t i o n s   o r   s c h e d u l e d   p o w e r   t r a n s f e r s   b e t w e e n   t h e   a r e a s   [ 1 1 ] .   T h e r e   a r e   v a r i o u s   s o u r c e s   o f   u n c e r t a i n t i e s   i n v o l v e d   i n   t h e   A T C   c a l c u l a t i o n   [ 1 2 ] .   T h e s e   u n c e r t a i n t i e s   c a n   b e   a t t r i b u t e d   t o   w e a t h e r   c o n d i t i o n s ,   f o r c e d   a n d   s c h e d u l e d   t r a n s m i s s i o n   o u t a g e s ,   a n d   g e n e r a t i o n   u n a v a i l a b i l i t y .   A   n u m b e r   o f   s o f t w a r e   t o o l s ,   s u c h   a s   c o n t i n u a t i o n   p o w e r   f l o w   ( C P F L O W )   [ 1 4 ] ,   t r a n s m i s s i o n   a n d   v o l t a g e   l i m i t a t i o n   p r o g r a m   ( T V L I M )   [ 1 3 ]   a n d   T R A C E   [ 1 5 ]   h a v e   b e e n   d e v e l o p e d   f o r   t r a n s f e r   c a p a b i l i t y   c a l c u l a t i o n .   T h e   d y n a m i c s   o f   t h e   s y s t e m ,   w h e n   s u b j e c t e d   t o   s m a l l   a n d   l a r g e   d i s t u r b a n c e s ,   h a s   t o   b e   s t u d i e d   a n d   a n a l y z e d   f o r   d e t e r m i n a t i o n   o f   A T C   [ 1 6 - 1 8 ] .   H o w e v e r   t h e s e   m e t h o d s   a r e   t i m e   i n t e n s i v e   f o r   o n   l i n e   i m p l e m e n t a t i o n .   T h e   o t h e r   m e t h o d s   b a s e d   o n   P o w e r   T r a n s f e r   D i s t r i b u t i o n   F a c t o r s / O u t a g e   F a c t o r s   ( P T D F s ) ,   ( L O D F s )   u s i n g   D C   l o a d   f l o w   a n d   A C   l o a d   f l o w   a p p r o a c h   f o r   A T C   d e t e r m i n a t i o n   u s i n g   t h e   s e n s i t i v i t y   b a s e d   a p p r o a c h e s   h a s   b e e n   r e p o r t e d   i n   [ 1 6 - 2 8 ] .   T h e   D C   l o a d   f l o w   b a s e d   m e t h o d s   u t i l i z i n g   D C   p o w e r   t r a n s f e r   d i s t r i b u t i o n   f a c t o r s   a r e   r e p o r t e d   f o r   A T C   c o m p u t a t i o n   i n   [ 2 1 ] .   T h e   A C P T D F s   b a s e d   a p p r o a c h   w i t h   l i n e   c o n t i n g e n c y   c a s e s   h a s   b e e n   p r e s e n t e d   i n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I J E C E     V o l .   1 ,   N o .   1 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 1   :     7 1     8 4   7 2 [ 2 8 ] .   M a n y   a u t h o r s   u t i l i z e d   s e n s i t i v i t y   b a s e d   m e t h o d s   f o r   c o m p u t a t i o n   o f   A T C   [ 2 2 - 2 7 ] .   T h e   m e t h o d s   w e r e   p r e s e n t e d   f o r   b i l a t e r a l   t r a n s a c t i o n s   c a s e s .       B a s e d   o n   t h e   l i t e r a t u r e   s u r v e y ,   a u t h o r s   h a v e   d e t e r m i n e d   A T C   f o r   s i n g l e   t r a n s a c t i o n   c a s e s   w i t h   d i s t r i b u t i o n     f a c t o r s   b a s e d   a p p r o a c h ,   h o w e v e r ,   s i m u l t a n e o u s   o r   m u l t i - t r a n s a c t i o n s   c a s e s   h a v e   n o t   b e e n   a c c o u n t e d   f o r   A T C   d e t e r m i n a t i o n   w i t h   i n t a c t   c a s e   a s   w e l l   a s   l i n e   c o n t i n g e n c y   c a s e s   u s i n g   p o w e r   t r a n s f e r   d i s t r i b u t i o n   f a c t o r s   d e t e r m i n e d   u n d e r   i n t a c t   a n d   l i n e   c o n t i n g e n c t   c a s e s .   S i n c e   i n   a   m u l t i - l a t e r a l   d e r e g u l a t e d   e l e c t r i c i t y   m a r k e t   e n v i r o n m e n t ,   m u l t i - t r a n s a c t i o n s   c a n n o t   b e   a v o i d e d   f o r   A T C   d e t e r m i n a t i o n   a s   i t   w i l l   n o t   g i v e   a c c u r a t e   s i g n a l   t o   t h e   I S O   f o r   i t s   q u a n t i f i c a t i o n   a n d   r e s e r v a t i o n   f o r   f u r t h e r   c o m m e r c i a l   a c t i v i t y .   I n   t h i s   p a p e r ,   P T D F s   b a s e d   a p p r o a c h   u s i n g   A C   l o a d   f l o w   h a s   b e e n   p r o p o s e d   f o r   A T C   d e t e r m i n a t i o n   i n   c a s e   o f   m u l t i - t r a n s a c t i o n s   e n v i r o n m e n t .   T h e   l i n e   o u t a g e s   h a v e   a l s o   b e e n   c o n s i d e r e d   f o r   A T C   d e t e r m i n a t i o n   i n   m u l t i - t r a n s a c t i o n   c a s e s .   T h e   r e s u l t s   h a v e   a l s o   b e e n   o b t a i n e d   f o r   s i n g l e   t r a n s a c t i o n s   c a s e s .   T h r e e   a p p r o a c h e s   h a v e   b e e n   i m p l e m e n t e d   b a s e d   o n   A C   l o a d   f l o w   f o r   p o w e r   t r a n s f e r   d i s t r i b u t i o n   f a c t o r s   a n d   l i n e   o u t a g e   d i s t r i b u t i o n   f a c t o r s   c a l c u l a t i o n s   a n d   t h e r e b y   A T C   d e t e r m i n a t i o n .       T h e   m a i n   c o n t r i b u t i o n s   p r o p o s e d   i n   t h e   p r e s e n t   w o r k   a r e :   ( i )   A T C   d e t e r m i n a t i o n   f o r   m u l t i - t r a n s a c t i o n   c a s e s ,   ( i i )   A T C   d e t e r m i n a t i o n   a n d   c o m p a r i s o n   w i t h   t h r e e   a p p r o a c h e s   o f   P T D F   c a l c u l a t i o n s   b a s e d   o n   A C   l o a d   f l o w ,   ( i i i )   L O D F s   w i t h   l i n e   c o n t i n g e n c y   c a s e s   f o r   m u l t i - t r a n s a c t i o n   e n v i r o n m e n t   a n d   t h e r e b y   A T C   d e t e r m i n a t i o n .   T h e   p r o p o s e d   a p p r o a c h   c a n   b e   i m p l e m e n t e d   f o r   a n y   n u m b e r   o f   t r a n a c t i o n s   o c c u r r i n g   s i m u l t a n e o u s l y   i n   t h e   n e t w o r k .   T h e   r e s u l t s   h a v e   a l s o   b e e n   o b t a i n e d   f o r   m u l t i - t r a n s a c t i o n s   u s i n g   D C P T D F   b a s e d   a p p r o a c h   f o r   l i n e   i n t a c t   a n d   c o n t i n g e n c y   c a s e s   f o r   c o m p a r i s o n .   T h e   r e s u l t s   h a v e   b e e n   o b t a i n e d   f o r   I E E E   R T S   2 4   b u s   s y s t e m   [ 3 0 ] .         2 .   M e t h o d o l o g y   f o r   A T C   D e t e r m i n a t i o n   i n   C a s e   o f   m u l t i - t r a n s a c t i o n s   F o r   a   t r a n s a c t i o n   a m o n g   t h e   b u y e r   a n d   s e l l e r   b u s e s   b y   P m n   ,   i f   t h e   c h a n g e   i n   t h e   t r a n s m i s s i o n   l i n e   q u a n t i t y   i s   P ij   ,   t h e   A C   p o w e r   t r a n s f e r   d i s t r i b u t i o n   f a c t o r s   c a n   b e   d e f i n e d   a s ,     m n i j m n i j P P A C P T D F D D = ,                   ( 1 )     F o r   P T D F   c a l c u l a t i o n   u s i n g   A C   l o a d   a p p r o a c h ,   t h e   p o w e r   f l o w   s e n s i t i v i t y   a n d   J a c o b i a n   o f   p o w e r   i n j e c t i o n   e q u a t i o n s   i s   r e q u i r e d .   T h e   J a c o b i a n   c a n   b e   c a l c u l a t e d   u s i n g   N - R   l o a d   f l o w   b a s e d   a p p r o a c h .   T h e   p o w e r   f l o w   e q u a t i o n s   i n   p o l a r   f o r m   c a n   b e   r e p r e s e n t e d   a s :       ( ) = + - = R n j j i i j i j j i i Y V V 1 c o s d d q   ( 2 )   ( ) = + - = n j j i i j i j j i i Y V V Q 1 s i n d d q   ( 3 )     W h e r e   n   b e   t h e   t o t a l   n o   o f   b u s e s   P a n d   Q i   a r e   t h e   r e a l   a n d   r e a c t i v e   p o w e r   i n j e c t e d   a t   a n y b u s   i     j i V V , a r e   t h e   v o l t a g e   m a g n i t u d e s   a t   t h e   b u s e s ,   r e s p e c t i v e l y   j i d d ,     a r e   t h e   v o l t a g e   a n g l e s   a t   t h e   b u s e s   i   a n d   b u s   j   i j i j Y q , a r e   t a k e n   f r o m   Y b u s .   U s i n g   T a y l o r   s e r i e s   e x p a n s i o n ,   t h e   c h a n g e   i n   p o w e r   f l o w s   a t   a n y   b u s   i   c a n   b e   f o r m u l a t e d   i n   t e r m s   o f   J a c o b i a n   a s :     D D = D D R V J J J J Q d 4 3 2 1                 ( 4 )     w h e r e             [ ] [ ] [ ] [ ] V Q J Q J V P J P J = = = = 4 3 2 1 ; ; ; d d   ( 5 )     T h e   c h a n g e   i n   t h e   a n g l e   a n d   v o l t a g e   m a g n i t u d e   c a n   b e   d e t e r m i n e d   a s :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8       A C P T D F   f o r   M u l t i - t r a n s a c t i o n s   a n d   A T C   D e t e r m i n a t i o n   .   ( J i t e n d r a   K u m a r )   7 3     D D R = D D - Q J J J J V 1 4 3 2 1 d     ( 6 )     U s i n g   N - R   l o a d   f l o w   a n a l y s i s   b u s   v o l t a g e   m a g n i t u d e s   a n d   a n g l e s   c a n   b e   e v a l u a t e d .   F o r   c a l c u l a t i o n   o f   A C P T D F s ,   J a c o b i a n   a n d   p o w e r   f l o w   s e n s i t i v i t y   c a n   b e   c a l c u l a t e d .     T h e   p o w e r   f l o w   s e n s i t i v i t y   c a n   b e   d e t e r m i n e d   u s i n g   t h e   p o w e r   f l o w   e q u a t i o n s   f o r   r e a l   p o w e r .   T h e   r e a l   p o w e r   f l o w   ( P ij   )   i n   a   l i n e - k ,   c o n n e c t e d   b e t w e e n     b u s e s   i   a n d   j ,   c a n   b e   w r i t t e n   a s :                               c o s ) c o s ( 2 i j i j i i j i j i j j i i j Y V Y V V P q d d q - - + =   ( 7 )     W h e r e ,   V i   a n d   d i   a r e   t h e   v o l t a g e   m a g n i t u d e   a n d   a n g l e   a t   b u s - i .   Y ij   a n d   ſ ij   a r e   m a g n i t u d e   a n d   a n g l e   o f   i j th   e l e m e n t   o f   [ Y Bu s ] .   U s i n g   T a y l o r s   s e r i e s   a p p r o x i m a t i o n   a n d   i g n o r i n g   h i g h e r   o r d e r   t e r m s ,   c h a n g e   i n   r e a l   p o w e r   f l o w   c a n   b e   w r i t t e n   a s :         j j i j i i i j j j i j i i i j i j V V P V V P P P P D + D + D + D = D d d d d   ( 8 )       T h e   s e n s i t i v i t y   c o e f f i c i e n t s   a p p e a r i n g   i n   ( 7 )   c a n   b e   o b t a i n e d   u s i n g   t h e   p a r t i a l   d e r i v a t i v e s   o f   r e a l   p o w e r   f l o w   ( 6 )   w i t h   r e s p e c t   t o   v a r i a b l e s   d d d d   a n d   V   a s :       ) s i n ( i j i j i j j i i i j Y V V P d d q d - + =   ( 9 )   ) s i n( i j i j i j j i j i j Y V V P d d q d - + - =   ( 1 0 )   i j i j i i j i j i j j i i j Y V Y V V P q d d q c o s 2 ) c o s ( - - + =   ( 1 1 )   ) c o s ( i j i j i j i j i j Y V V P d d q - + =   ( 1 2 )     T h e   s e n s i t i v i t y   o f   p o w e r   f l o w   e q u a t i o n   c a n   b e   w r i t t e n   i n   t h e   c o m p a c t   m a t r i x   f o r m   a s :       D D D D R R R R = D R + + n g n n i j g i j n i j i j i j V V V V M M 1 2 1 2 , . . . . . , . . . . . , d d d d   ( 1 3 )   W h e r e       R R R R + n i j g i j n i j i j V V , . . . . . , . . . . . , 1 2 d d   i s   l i n e   p o w e r   f l o w   s e n s i t i v i t y   c o r r e s p o n d i n g   t o   a n g l e   a n d   v o l t a g e   m a g n i t u d e .     F o r   a   s i n g l e   t r a n s a c t i o n   c a s e   b e t w e e n   s e l l e r   b u s   m   a n d   b u y e r   b u s   n ,   t h e   c h a n g e   i n   p o w e r   t r a n s a c t i o n s   c a n   b e   s u b s t i t u t e d   a t   p o s i t i o n   o f   b u s   m   a n d   b u s   n   a s :       t n t m R - = D R R + = D R   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I J E C E     V o l .   1 ,   N o .   1 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 1   :     7 1     8 4   7 4 [ ] t t t t n i j g i j n i j i j i j A C P T D F V V R = R - R + R R R R = D R - + * 0 0 0 , . . . . . , . . . . . , 1 1 2 M M J d d   ( 1 4 )     S o ,   A C P T D F s   f o r   t h e   t r a n s a c t i o n   b e t w e e n   s e l l e r   b u s   m   t o   b u y e r   b u s   n   c a n   b e   r e p r e s e n t e d   a s :     [ ] - + R R R R = - + 0 1 0 1 0 , . . . . . , . . . . . , 1 1 2 , M M J n i j g i j n i j i j m n i j V V A C P T D F d d           ( 1 5 )     A C P T D F s   a r e   o b t a i n e d   f o r   e a c h   l i n e   f o r   p a r t i c u l a r   t r a n s a c t i o n   b e t w e e n   s e l l e r   a n d   b u y e r   b u s .   N o w   c o n s i d e r i n g   t h e   d i f f e r e n t   w a y s   t o   d e t e r m i n e   J a c o b i a n   m a t r i x   a n d   l i n e   f l o w   s e n s i t i v i t i e s ,   A C P T D F s   c a n   b e   e v a l u a t e d .   I n   t h e   p r e s e n t   w o r k ,   t h r e e   d i f f e r e n t   m e t h o d s   h a v e   b e e n   c o n s i d e r e d   f o r   A C P T D F s   d e t e r m i n a t i o n   a n d   a r e   c a t e g o r i z e d   a s :         1 .   N - R   J a c o b i a n   b a s e d   a p p r o a c h   ( J N - R )   2 .   R e d u c e d   J a c o b i a n   b a s e d   a p p r o a c h   ( J r e d )   3 .   D e c o u p l e d   N e w t o n   R a p h s o n   b a s e d   a p p r o a c h   ( J d e c )     ( A )   N - R   J a c o b i a n   b a s e d   A p p r o a c h     T h i s   a p p r o a c h   i s   d i s c u s s e d   i n   t h e   p r e v i o u s   s e c t i o n   a n d   A C P T D F s   c a n   b e   o b t a i n e d   u s i n g   l i n e   f l o w   s e n s i t i v i t y   m a t r i x   a n d   N - R   J a c o b i a n   m a t r i x .   T h e   p o w e r   f l o w   c h a n g e   c a n   b e   e x p r e s s e d   c o r r e s p o n d i n g   t o   l i n e   f l o w   s e n s i t i v i t i e s   w i t h   a n g l e   a n d   v o l t a g e   a n d   c h a n g e   i n   a n g l e   a n d   v o l t a g e s   c a n   b e   o b t a i n e d   f r o m   N - R   a p p r o a c h   a s :     [ ] t t t t n i j g i j n i j i j i j A C P T D F V V R = D R - D R + R R R R = D R - - + * 0 0 0 , . . . . . , . . . . . , 1 1 2 M M R N J d d   ( 1 6 )   [ ] - + R R R R = - - + 0 1 0 1 0 , . . . . . , . . . . . , 1 1 2 , M M R N J n i j g i j n i j i j m n i j V V A C P T D F d d   ( 1 7 )   B o t h   J a c o b i a n   a n d   l i n e   f l o w   s e n s i t i v i t y   f a c t o r s   a r e   t a k e n   w i t h o u t   c o n s i d e r i n g   a n y   a s s u m p t i o n s .     ( B )   R e d u c e d   J a c o b i a n   b a s e d   a p p r o a c h   I n   t h i s   m e t h o d   t h e r e   a r e   s o m e   m o d i f i c a t i o n s   m a d e   i n   J a c o b i a n   c a l c u l a t i o n   a n d   l i n e   f l o w   s e n s i t i v i t y   f a c t o r s .   T h e   a s s u m p t i o n s   t a k e n   a r e :   1 .   C h a n g e   i n   t h e   r e a c t i v e   p o w e r   i n j e c t i o n   o n   b u s e s   i s   z e r o ) 0 ( = D i Q .   2 .   C h a n g e   i n   r e a l   p o w e r   f l o w   w i t h   r e s p e c t   t o   v o l t a g e   i s   n e g l i g i b l e .   ) 0 ( = i i j V P   T h e   n e w   r e l a t i o n s h i p   b e t w e e n   c h a n g e s   i n   p o w e r   i n j e c t i o n   t o   a n g l e   c a n   b e   e x p r e s s e d   a s :     i i i V J J D + D = D R 2 1 d   ( 1 8 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8       A C P T D F   f o r   M u l t i - t r a n s a c t i o n s   a n d   A T C   D e t e r m i n a t i o n   .   ( J i t e n d r a   K u m a r )   7 5   i i V J J D + D = 4 3 0 d   ( 1 9 )     P u t   t h e   v a l u e   o f   i V D   i n   e q u a t i o n   ( u s i n g   r u l e s   m a t r i x   m u l t i p l i c a t i o n )     i r e d i i J J J J J d d D = D - = D R - ] [ ] [ 3 1 4 2 1   ( 2 0 )     J r e d   i s   c a l l e d   r e d u c e d   J a c o b i a n   m a t r i x .       H e n c e ,   A C P T D F s   f o r   a n y   t r a n s a c t i o n   b e t w e e n   s e l l e r   b u s   m   a n d   b u y e r   b u s   n   c a n   b e   w r i t t e n   a s :     [ ] - + R R = - 0 1 0 1 0 , . . . . . , 1 2 , M M r e d J n i j i j m n i j A C P T D F d d   ( 2 1 )     ( C )   D e c o u p l e d   N e w t o n - R a p h s o n   b a s e d   a p p r o a c h   I n   a   d e c o u p l e d   N - R   m e t h o d ,   w i t h   a s s u m p t i o n s   o f   n e g l i g i b l e   v a r i a t i o n   o f   r e a l   p o w e r   f l o w   w i t h   v o l t a g e   a n d   n e g l i g i b l e   r e a c t i v e   p o w e r   v a r i a t i o n   w i t h   a n g l e ,   t h e   p a r t i a l   J a c o b i a n   m a t r i x   J 2   a n d   J 3   c a n   b e   n e g l e c t e d .   S o ,   A C P T D F s   f o r   t h e   t r a n s a c t i o n   s e l l e r   b u s   m   t o   b u y e r   b u s   n   c a n   b e   w r i t t e n   a s     [ ] - + R R = - 0 1 0 1 0 , . . . . . , 1 2 , M M 1 J n i j i j m n i j A C P T D F d d   ( 2 2 )     T h e   A C P T D F s   t h u s   o b t a i n e d   w i t h   t h r e e   d i f f e r e n t   a p p r o a c h e s   c a n   b e   u t i l i z e d   f o r   A T C   c o m p u t a t i o n .       ( D )   A T C   d e t e r m i n a t i o n   f o r   S i m u l t a n e o u s / m u l t i - l a t e r a l   t r a n s a c t i o n s   I n   a   d e r e g u l a t e d   m a r k e t   e n v i r o n m e n t   n u m b e r   o f   t r a n s a c t i o n s   c a n   o c c u r   s i m u l t a n e o u s l y   a s   m o r e   a n d   m o r e   p a r t i c i p a n t s   a r e   i n v o l v e d   i n   t h e   t r a d i n g   o f   p o w e r .   W h e n   A T C   i s   d e t e r m i n e d   f o r   m o r e   t h a n   o n e   t r a n s a c t i o n s   o c c u r r i n g   s i m u l t a n e o u s l y   i n   a   s y s t e m ,   A T C   i n   s u c h   a   c a s e   i s   c a l l e d   a s   s i m u l t a n e o u s   o r   m u l t i - t r a n s a c t i o n   A T C .   T h e   p r o c e d u r e   f o r   s i m u l t a n e o u s   A T C   i s   s i m i l a r   a s   d i s c u s s e d   f o r   s i n g l e   t r a n s a c t i o n s   c a s e   w i t h   a   c h a n g e   i n   t h e   p o w e r   i n j e c t i o n   m a t r i x .   I n   t h e   s i m u l t a n e o u s   A T C   c a s e ,   t h e   p o w e r   i n j e c t i o n   m a t r i x   c a n   b e   m o d i f i e d   b a s e d   o n   t h e   t r a n s a c t i o n s   o c c u r r i n g   b e t w e e n   m a n y   s e l l e r s   a n d   b u y e r s   a s :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I J E C E     V o l .   1 ,   N o .   1 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 1   :     7 1     8 4   7 6 - + - + = D 0 0 0 t t t t P P P P M M P       ( 2 3 )   D e p e n d i n g   o n   t h e   n u m b e r   o f   t r a n s a c t i o n s ,   t h e   e n t r y   a t   t h e   c o r r e s p o n d i n g   s e l l e r   a n d   b u y e r   b u s e s   c a n   b e   a d d e d   i n   t h e   p o w e r   t r a n s a c t i o n   c o l u m n   m a t r i x .   O n c e   t h i s   i s   k n o w n ,   t h e   c h a n g e   i n   f l o w s   c a n   b e   d e t e r m i n e d   a s   o b t a i n e d .   T h e   A C P T D F s   w i t h   s i m u l t a n e o u s   t r a n s a c t i o n s   c a n   b e   c a l c u l a t e d   a s :     [ ] - + - + R R = - 0 1 1 0 1 1 0 , . . . . . , 1 2 , M M J n i j i j m n i j A C P T D F d d   ( 2 4 )     T h e   A C P T D s   c a n   b e   d e t e r m i n e d   f o r   s i m u l t a n e o u s   t r a n s a c t i o n   c a s e   c o n s i d e r i n g   a l l   t h e   a b o v e   d i s c u s s e d   m e t h o d s .       3 .   L i n e   O u t a g e   D i s t r i b u t i o n   F a c t o r s   T h e   p r e - o u t a g e   s t a t e   o f   a   p a r t   o f   a n   i n t e r c o n n e c t e d   p o w e r   s y s t e m   n e t w o r k ,   w h e r e   a   l i n e - l   c o n n e c t e d   b e t w e e n   b u s - r   a n d   b u s - s   i s   s h o w n   i n   F i g .   1 .   F i g u r e   2   s h o w s   t h e   p o s t   o u t a g e   s t a t e   o f   t h e   p o w e r   s y s t e m   n e t w o r k   w i t h   a   l i n e - l   t o   b e   c o n s i d e r e d   a s   o u t   o f   s e r v i c e .   T h e   s i m u l a t i o n   o f   a   l i n e   o u t a g e   w i l l   r e q u i r e   m o d i f i c a t i o n   o f   [ Y Bu s ]   p a r a m e t e r s   t o   e x c l u d e   t h e   p a r a m e t e r s   o f   t h e   l i n e - l ,   w h i c h   c h a n g e s   t h e   J a c o b i a n   m a t r i x .   T h i s   i n v o l v e s   a   t i m e   i n t e n s i v e   p r o c e s s .   A   l i n e   o u t a g e   h a s   b e e n   a p p r o x i m a t e l y   s i m u l a t e d   b y   c o n s i d e r i n g   t w o   f i c t i t i o u s   g e n e r a t o r s   a t   b u s - r   a n d   b u s - s   a n d   a   f i c t i t i o u s   l i n e   b e t w e e n   t h e   b u s e s   h a v i n g   t h e   s a m e   p a r a m e t e r s   a s   t h e   o r i g i n a l   l i n e   t o   r e t a i n   t h e   o r i g i n a l   [ Y Bu s ]   a n d   a l s o   t h e   e l e m e n t s   o f   J a c o b i a n   a n d   p o w e r   f l o w   s e n s i t i v i t y   m a t r i x ,   [ 2 8 ] .   T h u s ,   r e t a i n i n g   a   f i c t i t i o u s   l i n e   w i t h   t h e   s a m e   p a r a m e t e r s   a s   t h a t   o f   a n   o r i g i n a l   l i n e   [ Y Bu s ]   r e m a i n s   u n a f f e c t e d .   T h e   p o w e r   f l o w   i n   t h i s   f i c t i t i o u s   l i n e   i s   c o n s i d e r e d   a s   t h e   p r e - o u t a g e   p o w e r   f l o w   i n   t h e   a c t u a l   l i n e .       P s r   Q s r   P r s   Q r s   Bu s - r   Bu s - s       F i g   1   P r e - o u t a g e   S t a t e   o f   t h e   P o w e r   S y s t e m   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8       A C P T D F   f o r   M u l t i - t r a n s a c t i o n s   a n d   A T C   D e t e r m i n a t i o n   .   ( J i t e n d r a   K u m a r )   7 7     B u s - s   B u s - r   S r s   S s r   S r s   S s r     F i g   2   P o s t - o u t a g e   S t a t e   o f   t h e   P o w e r   S y s t e m       T h e   p o w e r   i n j e c t e d   d u e   t o   t h e   f i c t i t i o u s   s o u r c e s   h a s   b e e n   t a k e n   s a m e   a s   t h e   l i n e   f l o w s   a t   t h e   t w o   e n d s   i n   o r d e r   t o   m a k e   t h e   n e t   p o w e r   f l o w   t o   b e   z e r o   t h u s ,   s i m u l a t i n g   t h e   l i n e   o u t a g e   c o n d i t i o n .   T h e   c h a n g e s   i n   t h e   b u s   p o w e r   f r o m   p r e - o u t a g e   t o   p o s t   o u t a g e   s t a t e   a t   b u s - r   a n d   b u s - s   f o r   o u t a g e   o f   t h e   l i n e - l   a r e   r e p r e s e n t e d   a s :         , 0 0 s r s r s r P P P P = D = D   ( 2 5 )         , Q 0 0 r s r s r s Q Q Q = D = D   ( 2 6 )     C o n s i d e r i n g   ( 2 5 )   a n d   ( 2 6 )   a s   e l e m e n t s   i n   t h e   p o w e r   i n j e c t i o n   m i s m a t c h   v e c t o r ,   t h e   c h a n g e   i n   a n g l e s   a s   w e l l   a s   v o l t a g e   m a g n i t u d e   c a n   b e   c o m p u t e d   u s i n g   ( 6 ) .   K n o w i n g   t h e s e   c h a n g e s ,   n e w   a n g l e   a n d   v o l t a g e   m a g n i t u d e   c a n   b e   c o m p u t e d   t o   d e t e r m i n e   t h e   l i n e   f l o w s   a n d   t h u s   t h e   c h a n g e   i n   t h e   l i n e   f l o w s .   K n o w i n g   t h e   c h a n g e   i n   l i n e   f l o w s ,   L O D F s   c a n   b e   d e f i n e d .   N o w   w i t h   h e l p   o f   P T D F s   a n d   L O D F s ,   A T C   c a n   b e   e v a l u a t e d   f o r   a n y   o u t a g e d   l i n e s   r - s .         4 .   A T C   D e t e r m i n a t i o n   f o r   I n t a c t   S y s t e m   A T C   c a n   b e   d e t e r m i n e d   u s i n g   a l l   t h e   t h r e e   m e t h o d s   e x p l a i n e d   i n   p r e v i o u s   s e c t i o n s .   M e t h o d o l o g y   r e m a i n s   s a m e   f o r   c a l c u l a t i o n   o f   A T C .   T h r e e   m e t h o d s   p r o v i d e   d i f f e r e n t   J a c o b i a n   a n d   l i n e   f l o w   s e n s i t i v i t y   f a c t o r s   w h i c h   a r e   u s e d   f o r   c a l c u l a t i o n   o f   A C P T D F s .   R e a l   p o w e r   f l o w s   i n   b a s e   c a s e   o b t a i n e d   f r o m   N - R   a p p r o a c h   a n d   l i n e   l i m i t s   a s   a   g i v e n   d a t a   a r e   u t i l i z e d   f o r   A T C   d e t e r m i n a t i o n .   N o w   m a x m n i j P -   f o r   a n y   t r a n s a c t i o n   s e l l e r   b u s   m   t o   b u y e r   b u s   n   c a n   b e   o b t a i n e d   a s :     < - - = ¥ > - = - 0 ; 0 ; 0 ; , , m a x , , , m a x m a x m n i j m m i j i j i j m n i j m n i j m n i j i j i j m n i j A C P T D F A C P T D F P L i m i t A C P T D F ( i n f i n i t e )     A C P T D F A C P T D F P L i m i t P   ( 2 7 )     W h e r e     i j P i s   t h e   r e a l   p o w e r   f l o w   t h r o u g h   a n y   l i n e   i - j .     m a x i j L i m i t   i s   t h e r m a l   l i m i t   o f   a n y   l i n e   i - j .     m a x , m n i j P   i s   t h e   m a x i m u m   a l l o w a b l e   t r a n s a c t i o n   ( b i l a t e r a l ,   s i m u l t a n e o u s / m u l t i - l a t e r a l   t r a n s a c t i o n )     a m o u n t   f r o m   b u s / z o n e   m   t o   b u s / z o n e   n   c o n s t r a i n e d   b y   t h e   l i n e   f l o w   l i m i t   f r o m   b u s / z o n e   i   t o   b u s / z o n e   j .   F o r   t h e   g i v e n   t r a n s a c t i o n ,   t h e   A T C   c a n   b e   d e f i n e d   a n d   o b t a i n e d   a s :     { } l m n i j m n N i j P A T C Î = m a x , m i n     ( 2 8 )     w h e r e ,   N l   i s   t h e   t o t a l   n u m b e r   o f   l i n e s   i n   t h e   s y s t e m .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I J E C E     V o l .   1 ,   N o .   1 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 1   :     7 1     8 4   7 8 A T C   D e t e r m i n a t i o n   w i t h   L i n e   C o n t i n g e n c y   A c c o r d i n g   t o   A T C   p r i n c i p l e s ,   r e a s o n a b l e   l e v e l   o f   u n c e r t a i n t i e s   s h o u l d   b e   a c c o m m o d a t e d   i n   A T C   c a l c u l a t i o n s   [ 1 ] .   L i n e   o u t a g e   a s   c o n t i n g e n c y   c a s e s   s h o u l d   b e   c o n s i d e r e d   f o r   A T C   c a l c u l a t i o n s   a s   i t   i s   l i m i t e d   b y   t h e   e f f e c t   o f   c o n t i n g e n c i e s .   A C L O D F s   a n d   A C P T D F s   c a n   b e   c o m b i n e d   t o g e t h e r   t o   c a l c u l a t e   a v a i l a b l e   t r a n s f e r   c a p a b i l i t y .   T h i s   i s   t h e   m a x i m u m   i n c r e a s e   i n   t h e   t r a n s a c t i o n   a m o u n t   f r o m   a   b u s / z o n e   t o   a n o t h e r   b u s / z o n e   u n d e r   ( n - 1 )   c o n t i n g e n c y   c o n d i t i o n .   C o n s i d e r   a   t r a n s a c t i o n   f r o m   z o n e   m   t o   z o n e   n   a n d   t h e   o u t a g e   o f   t h e   l i n e   f r o m   b u s / z o n e   r   t o   b u s / z o n e   s   ( l i n e - r s ) .   T h e   c h a n g e   i n   t h e   f l o w   o n   t h e   l i n e - r s   d u e   t o   t h e   g i v e n   t r a n s a c t i o n   i s :     n e w m n m n r s n e w r s P A C P T D F P * = D ,         ( 2 9 )     W h e n   t h e   o u t a g e   o f   l i n e - r s   i s   c o n s i d e r e d ,   t h e   p a r t   o f   t h e   f l o w   a p p e a r s   o n   a n y   l i n e   i j .   T h u s ,   t h e   c h a n g e   i n   f l o w   i n   t h e   l i n e   i j   r e s u l t i n g   f r o m   o u t a g e   o f   t h e   l i n e - r s   a l o n g   w i t h   a   n e w   t r a n s a c t i o n   f r o m   b u s / z o n e   m   t o   b u s / z o n e   n   i s   g i v e n   b y :     ( ) n e w m n m n r s r s i j m n i j n e w r s i j P A C P T D F A C L O D F A C P T D F P * * + = D , , , ,     ( 3 0 )     T h e   A T C   f r o m   b u s / z o n e   m   t o   b u s / z o n e   n ,   w i t h   o u t a g e   o f   l i n e   r s   i s   g i v e n   a s   [ 2 1 ] :     Î * + - = l m n r s r s i j m n i j i j i j r s m n N i j A C P T D F A C L O D F A C P T D F P P A T C . , , 0 m a x , m i n       ( 3 1 )                       A l l   p o s s i b l e   c o m b i n a t i o n s   o f   l i n e s   o u t a g e s   a n d   l i m i t i n g   l i n e s   s h o u l d   b e   c h e c k e d .   T h e n ,   A T C   c a n   b e   e v a l u a t e d   a s :     ) , m i n ( , , r s m n m n A T C A T C r s mn A T C =       ( 3 2 )     T h e   s t e p s   f o r   c a l c u l a t i o n   o f   A T C   c a n   b e   s u m m a r i z e d   i n   t h e   f l o w   c h a r t   s h o w n   i n   F i g .   3 .           F i g . 3 .   F l o w   c h a r t   f o r   A T C   d e t e r m i n a t i o n   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I J E C E     I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8       A C P T D F   f o r   M u l t i - t r a n s a c t i o n s   a n d   A T C   D e t e r m i n a t i o n   .   ( J i t e n d r a   K u m a r )   7 9   5 .   R e s u l t s   a n d   D i s c u s s i o n s   A v a i l a b l e   t r a n s f e r   c a p a b i l i t y   h a s   b e e n   o b t a i n e d   f o r   d i f f e r e n t   t r a n s a c t i o n s   t a k e n   a s   s i n g l e   a n d   s i m u l t a n e o u s / m u l t i - t r a n s a c t i o n s   f o r   i n t a c t   a s   w e l l s   a s   w i t h   l i n e   c o n t i n g e n c i e s   f o r   I E E E   2 4   b u s   R T S .   T h e s e   t r a n s a c t i o n s   h a v e   b e e n   c a t e g o r i z e d   a s :   T 1 :   t r a n s a c t i o n   b e t w e e n   s e l l e r   b u s   2 3   t o   b u y e r   b u s   1 5 .   T 2 :   t r a n s a c t i o n   b e t w e e n   s e l l e r   b u s   1 0   t o   b u y e r   b u s   3   T 3 :   t r a n s a c t i o n   b e t w e e n   s e l l e r   b u s e s   2 3   a n d   1 0   t o   b u y e r   b u s   1 5   b u s   3 ( s i m u l t a n e o u s   t r a n s a c t i o n s )   T 4 :   t r a n s a c t i o n   b e t w e e n   s e l l e r   b u s e s   2 3 ,   1 0 ,   2 1   t o   1 5 ,   3 ,   6   ( m u l t i - t r a n s a c t i o n s )     A C P T D F s   c o m p u t e d   f o r   t h r e e   m e t h o d s   f o r   t r a n s a c t i o n s   T 1   t o   T 3   a r e   s h o w n   i n   F i g s .   4   t o   6 .   I t   i s   o b s e r v e d   t h a t   t h e   A C P T D F s   a r e   d i f f e r e n t   f o r   d i f f e r e n t   t r a n s a c t i o n s .   T h i s   i s   d u e   t o   t h e   c h a n g e   i n   p o w e r   f l o w   s e n s i t i v i t y   a n d   J a c o b i a n   e l e m e n t s   b a s e d   o n   t h e   t r a n s a c t i o n s .   S o m e   l i n e s   h a v e   v e r y   h i g h   v a l u e s   o f   P T D F s   a s   o b s e r v e d   i n   f i g u r e s   4   t o   6 .   T h e   r e s u l t s   o f   A T C   d e t e r m i n a t i o n   w i t h   t h e   t h r e e   m e t h o d s   h a v e   b e e n   o b t a i n e d   b a s e d   o n   t h e   m e t h o d   d i s c u s s e d   i n   t h e   s e c t i o n   o f   m e t h o d l o g y   a n d   t h e   a l g o r i t h m i c   s t e p s   p r o v i d e d   i n   F i g .   3 .           F i g   4 .   A C P T D F s   w i t h   N - R   J a c o b i a n   b a s e d   a p p r o a c h       F i g .   5 .   A C P T D F s   w i t h   r e d u c e d   J a c o b i a n   b a s e d   a p p r o a c h     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                                I S S N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I J E C E     V o l .   1 ,   N o .   1 ,     S e p t e m b e r   2 0 1 1   :     7 1     8 4   8 0   F i g . 6 . D e c o u p l e d   N - R   b a s e d   a p p r o a c h       T h e   A T C s   a r e   d e t e r m i n e d   f o r   d i f f e r e n t   t r a n s a c t i o n s   u s i n g   t h r e e   A C   l o a d   f l o w   b a s e d   a p p r o a c h e s .   T h e   A T C   v a l u e s   f o r   a l l   t r a n s a c t i o n s   a r e   g i v e n   i n   T a b l e   1 .   T h e   A T C   v a l u e s   a r e   a l s o   s h o w n   i n   F i g .   7 .   I t   i s   o b s e r v e d   f r o m   T a b l e   a s   w e l l   a s   f r o m   F i g .   7 ,   A T C   i s   o b s e r v e d   t o   b e   l o w e r   f o r   s i m u l t a n e o u s / m u l t i - t r a n s a c t i o n s   c a s e s .       T a b l e   1 .   A T C   ( p . u )   w i t h   d i f f e r e n t   A C   m e t h o d s   T r a n s a c t i o n s   A T C ( p . u )   J N - R   J r e d   J d e c   T 1   7 . 5 7 8 5   7 . 8 2 1 9   7 . 8 3 0 6   T 2   2 . 8 3 4 2   4 . 0 9 9 7   3 . 4 0 1   T 3   2 . 7 6 2 9   3 . 8 4 3 2   3 . 2 4 3 2   T 4   1 . 1 1 8 3   1 . 1 3 6 2   1 . 0 9 7 6 9         F i g .   7 .   A T C s   ( p . u )   f o r   d i f f e r e n t   A C   m e t h o d s       A T C s   f o r   t r a n s a c t i o n s   T 1 ,   T 2 ,   a n d   T 3   w i t h   N - R   J a c o b i a n   b a s e d   a p p r o a c h   a r e   f o u n d   t o   b e   l o w e r   c o m p a r e d   t o   r e d u c e d   J a c o b i a n   a n d   d e c o u p l e d   J a c o b i a n   b a s e d   a p p r o a c h ,   h o w e v e r ,   f o r   t r a n s a c t i o n   T 4 ,   t h e   v a l u e s   o f   A T C   i s   f o u n d   h i g h e r   t h a n   d e c o u p l e d   J a c o b i a n   b a s e d   m e t h o d .     T h e   m e t h o d   b a s e d   o n   J N - R   i s   m o r e   a c c u r a t e   t h a n   o t h e r s   a s   i n   t h i s   c a s e   t h e r e   a r e   n o   a s s u m p t i o n s   i n v o l v e d .   A T C   f o r   t r a n s a c t i o n s   T 1 ,   T 2 ,   T 3   a n d   T 4   a r e   f o u n d   i n   c l o s e   a g r e e m e n t   w i t h   o t h e r   m e t h o d s .   A T C   v a l u e s   f o r   t r a n s a c t i o n   T 4   a r e   o b s e r v e d   l o w e r   m o s t   c o m p a r e d   t o   a l l   o t h e r   t r a n s a c t i o n s .   T h e   c o m p a r i s o n   o f   A T C s   o b t a i n e d   w i t h   D C   m e t h o d   a n d   a l l   A C   m e t h o d s   a r e   g i v e n   i n   T a b l e   2 .   I t   i s   o b s e r v e d   t h a t   A T C   o b t a i n e d   w i t h   t h r e e   d i f f e r e n t   a p p r o a c h e s   f o r   P T D F s   c a l c u l a t i o n s   a r e   d i f f e r e n t   a n d   c l o s e l y   m a t c h i n g   t h e i r   r e s u l t s   f o r   a l l   t r a n s a c t i o n s   c a s e s .   I t   i s   o b s e r v e d   f r o m   T a b l e   t h a t   A T C   v a l u e s   o b t a i n e d   w i t h   J r e d   a p p r o a c h   a r e   i n   c l o s e   a g r e e m e n t   w i t h   D C   m e t h o d .   S i n c e   D C   m e t h o d   i s   b a s e d   o n   a s s u m p t i o n s ,   t h e   v a l u e s   m a y   n o t   g i v e   a c c u r a t e   i n f o r m a t i o n   t o   t h e   I S O   f o r   b e t t e r   m a r k e t   o p e r a t i o n .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.