TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol.12, No.6, Jun e  201 4, pp. 4705 ~ 4 7 1 6   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 12i6.549 0          4705     Re cei v ed  De cem ber 2 9 , 2013; Re vi sed  March 8, 201 4; Acce pted  March 21, 20 14   Robust Centralized Fusion Kalman Filters with  Uncertain Noise Variances       Wen - juan Qi,  Peng Zhang , Zi-li Deng*  Dep a rtment of Automatio n , Heilo ng jia ng U n i v ersit y   Harbi n , Chi an, 150 08 0   *Corres p o n g d i ng auth o r, e-mail: dzl@ hlj u .ed u .cn       A b st r a ct   T h is pa per stu d ies th e pr ob le m  of the  desi g nin g   the r o b u st loca l a nd c ent rali z e d  fusi on  Kal m a n   filters for mult isens or system w i th uncert a in n o is e var i ances. Usi ng  the mi ni max r obust esti mati on   princi pl e, the central i z e d fusi o n  robust ti me-v aryin g   Kal m a n  filters are pres ented  b a se d o n  the w o rst-cas e   conserv a tive s ystem w i th th e cons ervative  upp er  bo un d  of nois e  vari ances. A Ly ap unov  appr oac h i s   prop osed  for the ro bustn ess  ana lysis a nd t heir r obust  acc u racy re latio n s  are  prove d . It is prov ed th at th e   robust  accurac y  of rob u st ce n t rali z e d  fuser  is  hig her t han  th ose of r o b u st l o cal K a l m an fi lters. Speci a l l y, the   corresp ond in g steady-state ro bust loca l an d central i z e d fusi on Kal m an filt ers are als o  pr opos ed a nd th e   conver genc e i n  a re ali z at io n  betw een ti me -varying  an d  steady-state K a l m a n  filters i s  prove d  by t h e   dynamic  err o r system  analysis  (D ESA) method  and dynam ic   varianc e error  system  analysis   (DVES A)   meth od. A Mon t e-Carlo si mul a tion exa m ple s how s the robus tness and  accu racy relati ons.      Ke y w ords :   mu ltise n sor i n formatio n  fusio n , central i z e d f u sio n , uncert a i n  no ise var i an ce, mi ni max r o bus t   Kal m a n  filter       Copy right  ©  2014 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion  The aim  of th e multisen sor informatio n f u sio n  is ho w  to com b ine th e local e s tim a tors o r   local me asurements to o b t ain the fused  estimators , who s e a c curacy is hig her  than that of each   local  estimat o r [1]. For th e ce ntrali zed  fusion  optim al Kalman filter, all the lo cal mea s u r em ent  data are  ca rri ed to the fusi on ce ntre to o b tain  a glob al ly optimal fused state e s timation [2].    The da rwba ck of th e Kalm an filter i s  th a t  it only suita b le to h andl e  the  state e s timation  probl me s for system s wit h  exact mod e l para m et ers and n o ise varian ce s. Howeve r, in many  appli c ation  problem s, there  exist un ce rta i nties of the   model p a ram e ters an d/or  noise varia n ces.  Und e r  the s e  uncertaintie s  the  pe rform a nce of  t he Ka lman filter  will  deg rade  [3], and a n  inexa c t  model m a y cause the filte r  to diverge.  This h a s  mot i vated the de signi ng of th e rob u st Kal m an   filters, whi c h  guarante to h a ve a minima l upper b oun d of the actu al filtering error varia n ces  for   all admissibl e  unce r taintie s .      In order to d e sig n  the rob u st Kalman filter s for the systems with t he model pa rameters  uncertaintie s ,  two importa nt appro a che s  are t he Ri ccati equatio n approa ch [4-6] and the linear  matrix ineq ua lity (LMI) app roa c h [7 -9]. T he di sadvant age of the s e  two ap pro a ch es i s  that onl y  model  pa ram e ters a r e  un certain  whil e t he n o ise  va ri ances a r e  assume d to  be   exactly kno w n .   The  rob u st K a lman filte r in g proble m s for  system s  with u n certai n noi se  varia n ce s  are  sel dom   con s id ere d  [1 0, 11], and th e rob u st info rmation fu si on  Kalman filter are al so  sel d om re se arch ed   [12, 13].  In this pap er,  using th e mi nimax rob u st  estimation p r inci ple, the l o cal a nd  cen t ralize d   fusion  rob u st  time-varying  and  steady-state Ka lma n  filters a r e p r ese n ted b a se d on the  wo rst- ca se con s ervative system with the  con s ervativ e  uppe r bo und of noi se varian ce s. The  conve r ge nce  in a reali z a t ion betwe en  the ti me-va r ying an d st eady-state K a lman filters is   rigo rou s ly proved by the dynam ic e r ror sy stem a nalysi s  (DES A) method [ 14] and dyn a mic  variance error sy stem analysi s  (DVESA) me thod [15]. Furthermor e, a Ly apunov equation  approa ch i s   pre s ente d  fo r the  rob u stn e s s an alysi s ,  whi c h i s   different from th e  Ri ccati eq ua tio n   approa ch  an d the  LMI ap proa ch.  The   con c e p t of th e ro bu st a c cura cy is give n an d the  ro bust   accuracy  rela tions a r e  pro v ed, it is pro v ed that  the  robu st a c curacy of  the  ce ntralized fu se r i s   highe r than th at of the local  robu st Kalman filter.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4705 – 4 716   4706 The remain d e r of thi s  pa per i s  o r ga ni zed  as foll o w s. Se ction  2 gives th e  probl em  formulatio n.  The  rob u st  centrali zed  fu sion time -varyi ng Kalm an fil t ers are  pre s ented i n  Se ct ion   3.  The rob u st local and  ce ntralized fusi on stea dy -sta te Kalman filters  are p r e s e n ted in Secti on  4. The  ro bu st accu ra cy a nalysi s  i s  giv en in   Sectio n 5. T he  si mulation  exa m ple i s  give n in  Section 6. Th e con c lu sio n  is pro p o s ed in  Section 7.       2. Problem Formulation   Con s id er the  muiltisen so r linear di sce r et time-varyi ng syste m  with un ce rtai n noise  var a inc e .     1 x tt x t t w t                                                                                                            (1)       ,1 , , ii yt H t x t t t i L                                                                                            (2)    Whe r e  t repres ents  the  disc rete time,  n x tR  is th e  state, i m i yt R is the   measurement  of the th i su bsy s t e m,   r wt R is the in put noise,  t is the com m on  disturban ce  noise,   i m i tR is the measurement  noise of the th i subsy s tem, t , t an d H t are kno w n   time-varying matrices with  approp riate  di mensi o n s .  L is the numb e r of  sen s ors.   Assump tion 1.   wt ,   t and i t are  u n co rrelated  white noi se s  wi th ze ro m ean s an d  unkno wn un certain a c tual varian ce s Qt , Rt an d  i Rt at time t , res p ec tively,   Qt , Rt and i Rt are kno w n con s e r vative uppe r bou n d s of  Qt , Rt and i Rt , s a tis f ying:      ,, ii Q t Q t Rt Rt R t R t   , 1, , iL , t                                                           (3)    Assump tion  2.  The initial state 0 x  is ind epen dent of  wt ,  t and  i vt and h a s   mean value  and un kno w n  uncertain a c t ual varian ce  0| 0 P whi c h s a t i sf ie s:      0| 0 0 | 0 PP                                                                                                                                       (4)    Whe r e 0| 0 P is a kn own  con s e r vative upper b ound of  0| 0 P .  Assump tion  3.  The  system (1 ) an d  (2) i s  u n ifo r mly co mplet e ly observab l e and  compl e tely co ntrollabl e.  Defining:       ,1 , , ii vt t t i L                                                                                                                (5)    Whe r e  i vt are  white noi se s with zero mean s and  the con s e r va tive and act ual  varian ce s are  given as:        ii v Rt R t R t   ,  ii v Rt R t R t   , 1, , iL                                                    (6)      ij v Rt R t ,   ij v Rt R t , ij                                                                                               (7)    From (3), we have:      ii vv Rt Rt , 1, , iL , t                                                                                                         (8)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Rob u st Centralize d  Fusi on  Kalm an Filte r s  with Un ce rtain Noi s e Va riances (We n -j uan Qi)  4707 3. Robus t Ce ntralized Fu sion Time-v a r y i ng Kalman Filters   Introdu ce the  centralized fu sion me asure m ent equatio n:    cc c yt H t x t v t                                                                                                                    (9)    With the defin ition:       T TT 1 ,, cL y t yt yt   ,    T TT ,, c H tH t H t ,    T TT 1 ,, cL v t vt vt    (10 )     And  c vt has the  conservative a nd actu al vari ance matri c e  c R and  c R  as :    i i i v c v v RR R R R RR RR R              ,    i i i v c v v RR R R R RR RR R                                                           (11)    Therefore fro m  (3) a nd (8 ),  accrodi ng to t he Lemma 1  and Lem ma 2  in Appendix, we obtai n:      cc Rt Rt                                                                                                                                           (12)    Based  on th e wo rst-case  con s e r vative  system  (1 )  and  (9) with  Assu mption s 1-3  and   con s e r vative uppe r boun d s    Qt and c Rt , the gl obally o p tima l ce ntrali zed  f u se d time -va r ying   robu st Kalma n  filters are gi ven as:       ˆˆ |1 | 1 cc c c c x tt tx t t K t y t                                                                                   (13)    =1 cn c c tI K t H t t                                                                                                     (14)       1 TT =| 1 | 1 cc c c c c c Kt P t t H t H t P t t H t R t                                                    (15)     TT 1| | cc P tt t P t t t t Q t t                                                                    (16)    The fused co nse r vative filtering e r ror va rian ce  | c Pt t is given as:       || 1 cn c c c Pt t I K t H t P t t                                                                                              (17)    It can be re written as the L y apunov eq u a tion:          T T TT |1 | 1 11 1 cc c c n c c nc c c c c Pt t t P t t t t H t t Q t t I K tH t K tR t K t                                (18)    With the i n itial values ˆ 0| 0 , c x and 0| 0 0 | 0 c PP , where n I is the  nn identity  matrix.  The act ual predictio n and f iltering e rro rs are obtai ned  as:       ˆ 1| 1 1 | 1 | cc c x tt x t x t t t x t t t w t                                                 (19)    ˆ || | 1 cc n c c c c c x t t x t xt t I K t H t xt t K t v t                                    (20)  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4705 – 4 716   4708   Substituting (19) into (20)  yields:         |1 | 1 1 cc c n c c c c x tt t x t t I K t H t t w t K t v t                      (21)    The a c tual  fuse d filterin g  error vari an ce  Τ | Ε || cc c Pt t x t t x t t  , acc o rding to  (21),  we  have:           T T TT |1 | 1 11 1 cc c c n c c nc c c c c Pt t t Pt t t t H t t Q t t I K t H t K tR tK t                                (22)    With the initial value   0| 0 0 | 0 c PP .  Theorem 1.  For m u ltise n s or un ce rtain  system   (1 ) and (9)  with Assu mption s  1-3,  the   actual  central i zed  fusi on  time-varyin g   Kalm an filters  with the con s ervative uppe r boun d  Qt , c Rt and 0| 0 c P are robu st in the sen s e  that for all a d missible  act ual varia n ces    , c Qt R t and  0| 0 c P satisfying (3),  (4) an d (12 ) , for arbit r ary time t , we have:       || cc P tt P t t                                                                                                                                 (23)    And | c P tt is the m i nimal upp er bound of | c P tt for all admissi ble un certai n t ies of noise  varian ce s. We call the a c tual fuse d Kalman filter s a s  the robu st ce ntralized fusi on Kalman filters.   Proof.  Defin i ng  || | cc c P tt P t t P tt  , subtract ing (22 )  fro m  (18) yiel ds the  Lyapun ov eq uation.       T |1 | 1 cc c c c P tt t P t t t U t                                                                           (24)             T T T 11 1 1 cn c c n c c cc c c Ut t t t Q t Q t t I K t H t K t Rt Rt K t         (25 )     Applying (3 ), (12 )  and (25 )  yields that 0 c Ut , a nd from (4) we have:      0 | 0 0 |0 0 | 0 0 |0 0 | 0 0 cc c PP P P P                                                                  (26)    Hen c e f r om  (24 ) , we  hav e  1|1 0 c P . Applying t he math emat ical in du ction  method yiel ds  |0 c Pt t , for all time t , i.e.  the ineq uality (23) h o lds. Ta king    , cc Q t Q t Rt Rt  an d   0| 0 0 | 0 PP , then compa r ing (1 8) with  (22), we h a ve || cc P tt P t t . For arbitra r y other  uppe r bou nd * | c P tt , we have  * || | cc c P tt P t t P t t   which yields that | c P tt is the minima l  uppe r bou nd  of  | c P tt . The proof  is com p leted .   Corollar y  1.   For un ce rtain   multisen sor system   (1 ) a nd (2) with  A s sumption s  1 - 3 and  con s e r vative uppe r bo und s   Qt and i v Rt , similar to the rob u st  centralized f u sio n  time-va r ying  Kalman filters, the robu st local time -va r ying Kalman filters a r e give n by:     ˆˆ |1 | 1 ii i i i x tt t x t t K t y t   , 1, , iL                                                                   (27)  =1 in i tI K t H t t    ,  T1 =| 1 i ii K tP t t Ht R t                                 (28)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Rob u st Centralize d  Fusi on  Kalm an Filte r s  with Un ce rtain Noi s e Va riances (We n -j uan Qi)  4709 T |1 ii iv Rt H t P t t H t R t                                                                                       (29)      TT 1| | ii P tt t P t t t t Q t t                                                                    (30)     || 1 in i i Ptt I K t Ht Ptt                                                                                              (31)    The co nserv a tive local filtering e r ror v a rian ce | i P tt ca n b e  rewritten a s  the Lyapu n o v  equatio n [2].           TT T T |1 | 1 1 1 1 i ii i i n i ni i v i Ptt t P t t t t t t Q t t I K tH t K tR tK t               (32)    With the initial values   0| 0 0 | 0 i PP . And  the actual  filtering e r ror va rian ce s are given by the   Lyapun ov eq uation s .           TT T T |1 | 1 1 1 1 i ii i i n i ni i v i Pt t t Pt t t t t t Q t t I K tH t K tR tK t                 (33)    Similarly, the local time -varying Ka lman filters a r e al so  robu st, i.e.,      || ii P tt P t t ,  1, , iL                                                                                                              (34)      4. Robus t Lo cal and Ce ntralized Fusio n Stead y - sta t e Kalman Fi lters   Theorem 2.  For multisensor  un ce rtain time -inv ariant  sy ste m  (1 ) a n d  (9 )  with   Assu mption  1 and 3,  wh ere   t  , t , H tH ,  ,, ii Qt Q R t R R t R   ,and    Qt Q ,  Rt R  ,  ii Rt R  are all th e  con s tant m a trice s , t hen th e  actual  centra lized fu sio n   steady-state  Kalman filters are given by:     ˆˆ |1 | 1 ss cc c c c x tt x t t K y t                                                                                                (35)    = cn c c IK H ,  1 TT = cc c c c c c KH H H R                                                                        (36)    TT cc Q     ,    = cn c c c PI K H                                                                                      (37)    The predi ctio n error vari an ce c satisfie s th e steady-stat e  Riccati eq u a tion:     1 TT T T = c c c c cc c c cc HH H R H Q                                                                     (38)    Whe r e the  superscri pt s  denote s  “ste ady-state ”,  th e fuse d co nservative filteri ng erro r   var i anc e   c P is given as:      T TT T cc c c n c c n c c c c c PP H Q I K H K R K                                                       (39)  The fused act ual filtering e r ror vari an ce  c P is given a s :    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4705 – 4 716   4710   T TT T cc c c n c c n c c c c c PP H Q I K H K R K                                                       (40)    The a c tual  centrali zed fu sion ste ady-st a te Ka lman fi lters  (35 )  a r e  rob u st in th e se nse  that for all admissi ble un ce rtainties of no ise varia n ces  Q and  i v R satisfying  (3) an d (8 ), we have:     cc PP                                                                                                                                                       (41)    And c P is the min i mal uppe r bo und of  c P .  Proof.  As t  , taking  the limit  operation s  fo r (13)-( 18 ),  (2 2)  a nd (2 3), we obtain   (3 5 ) - ( 4 1) . T a k i ng , cc QQ R R  , from (39 )  a nd (40 ) , we  have cc P P . I f c P is arbitrary othe r uppe r  boun d of c P  for  all admi s sible Q and c R sat i sf y i ng , cc QQ R R , then  we  h a ve cc c PP P  , which  yields that c P is minimal up pe r boun d of  c P . The pro o f is co mpleted.   Similarly, the actual lo cal  steady-s tate Kalman filters are given by:      ˆˆ |1 | 1 ss ii i i i x tt x t t K y t  , 1, , iL                                                                                 (42)    = in i IK H ,  1 TT = i ii i v KH H H R  , in i i PI K H                                               (43)    The predi ctio n error vari an ce i satisfie s th e steady-stat e  Riccati eq u a tion.     1 TT T T = i ii i i v i HH H R H Q                                                                       (44)    The co nserv a tive and actual local filteri ng e r ror varian ce s satisfy the steady-state   Lyapun ov eq uation s .     T TT T i ii i i n i n i i v i P P Q I KH KR K                                                             (45)      T TT T i ii i i n i n i i v i P P Q I KH KR K                                                           (46)    The act ual lo cal ste ady-state Kalman filters (42 )  are  robu st, i.e.,    ii PP ,  1, , iL                                                                                                                                 (47)    And i P is the min i mal uppe r bo und of i P .   Theorem 3.   Und e r th e co ndition s of T heorem 2,  an d assu me th at the mea s u r eme n ts i yt , 1, , iL are bou nde d, then the robu st time-v ar ying an d steady-state  Kalman filters ˆ | i x tt and ˆ | s i x tt ,  ˆ | c x tt and ˆ | s c x tt given by  (27 )   an d (42),  (1 3)  and  (3 5) hav e ea ch  othe r  the conve r ge nce in a reali z ation, such that:    ˆˆ || 0 s ii xt t x t t    , as t  , i.a.r                                                                                           (48)     ˆˆ || 0 s cc xt t x t t    , as t  , i.a.r                                                                                    (49)    Whe r e the  n o tation “i.a.r”  denote s  the  conve r ge nce  in a re alizatio n [15], and  we have   the conve r ge nce of varia n c e s .  | ii P tt P ,  | ii P tt P , as t  , 1, , iL                                                                  (50)    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Rob u st Centralize d  Fusi on  Kalm an Filte r s  with Un ce rtain Noi s e Va riances (We n -j uan Qi)  4711 | cc P tt P ,  | cc P tt P , as t                                                                                         (51)    Proof.  According to the compl e te ob serva b ility and compl e te controllability  of each   sub s ystem, t he time-varyi ng local Kalm an filt ers (27)  have the co n v ergen ce that  [16]:     |1 ii Pt t  , as t  , 1, , iL                                                                                              (52)    From (28 )  an d (31 ) , we ha ve:     ii t ,  ii K tK , | ii P tt P , as t  , 1, , iL                                                 (53)    Setting   ii i tt   , ii i K tK K t  in (2 7), ap plying  (53) yiel ds 0 i t  0 i Kt , as t  . Subtra cting  (42 )  from (2 7), a n d definin g   ˆˆ || s ii i tx t t x t t  , we   have:      1 ii i i tt u t                                                                                                                      (54)    With   ˆ 1| 1 ii i i i ut t x t t K t yt   . Noting that i t is uniforml y   asymptoticall y  stable [1 7], and ii K ty t is b oun ded, ap plyin g  Lemm a  4  to (27 )  yield s  the   boun dedn ess of  ˆ | i x tt . Hen c e we have 0 i ut . Applying Lemma  4 to (54), noti ng that i is  a stabl e ma trix, so it is also  uni fo rmly asympto t ically stabl e ,  hence 0 i t , i.e.  the   conve r ge nce (48 )  hold s . The co nverg e n c e of (4 9) can  be proved  si milarly.   From (33 )  an d (46 ) , definin g | ii i tP t t P  yield the Lyapun ov equat ion.     T 1 ii i i i tt U t                                                                                                            (55)            T TT TT T T 1| 1 1| 1 i i in i n i i v i ni n i i v i i i i ii i i i Ut t Q I K t H K t R K t Q I KH KR K P t t t tP t t t t                       (56)    From (33),  noting that i t is uniformly a s ymptotically  stable, appl ying  ii K tK ,  0 i t  and L e mma  3 yields  1| 1 i Pt t is boun ded. F r om  (56 )  yie l ds that 0 i Ut .  Applying Lem ma 3 to (55 )  yields 0 i t , as t  , i.e.,  | ii P tt P   holds. Sim ilarly, we can   prove (51) h o l ds. The p r oof  is com p leted .       5. The Accurac y  Anal y s is   Defini tion 1.  The t r ace tr | P tt of the up pe r b ound | P tt of the a c tual filteri n g  error  var i anc e s | P tt for all admi ssi ble  unce r taintie s  is call ed the  robu st a c cura cy or gl obal a c cura cy   of a robu st Kalman filter, a nd  tr | P tt is called a s  its actu al accuracy.   From this d e finition, the smaller tr | P tt or  tr | P tt means the high er robu st accuracy   or actu al accura cy. The ro bust a c cura cy gives the lowe st boun d o f  all possi ble actual a c cura cie s   yielded from t he un certai nties of noi se varian ce s.   Theorem 4.  For m u ltise n s or un ce rtain  system  (1 ) and (2)  with Assu mption s  1-3,  the   accuracy co mpari s o n  of the local and f u se d rob u st  Kalman filters is given by:    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4705 – 4 716   4712   || , ii P tt P t t 1, , iL                                                                                                            (57)      || | , cc i P tt P t t P tt  1, , iL                                                                                          (58)    tr | t r | ii P tt P t t , tr | t r | t r | cc i P tt P t t P tt  , 1, , iL                                     (59)    ,, 1 , , , ii c c i P P PPP i L                                                                                                            (60)    tr t r ii PP , 1, , , iL tr tr tr cc i PPP                                                                                          (61)    Proof.  Acc o rding to the   ro bustn ess  (23 )  and  (3 4),  we  have  (57 )  a n d  the first in e quality  of  (58).  The   se con d  in equ ality of (58 )   h a s  bee n p r ov en in  [18]. Ta king  the trace  ope ration s f o r   (57 )  and  (58 )  yields the ine qualitie s (59 ) .  As  t  , taking th e limit operati ons fo r (57 ) , (58) a nd  (59 )  yields (6 0) and  (61 ) . The pro o f is co mpleted.   From the ine qualitie s (59 ) , we can see  that all admissi ble actu al trace s  tr | i P tt  and  tr | c P tt  are glob ally controlled by  the upper b ound tr | i P tt and  tr | c P tt , res p ec tively, and   the robu st a c cura cy  of th e cent ralized  ro bu st fuser is hig her th an that  of e a ch  lo cal  ro b u st  Kalman filter.      6. Similation Example  Con s id er a th ree - sen s or ti me-inva r iant trac kin g  syste m  with uncert a in noi se vari ances.       1 x tx t w t   ,   ,1 , 2 , 3 ii yt H x t t t i                                         (62)    2 0 0 0 1 0. 5 , 01 T T         , 2 H I                                                                                                 (63)    Whe r e 0 0.25 T is the sampl ed pe ri od,     T 12 , x tx t x t is the sta t e,  1 x t and  2 x t are  the  po sition a nd vel o ci ty of target  at  time 0 tT . wt ,  t and i t are ind epe nde n t  Gau ssi on   white noi se s with ze ro me an  a nd un kno w n un ce rtain actual   vari an ce s Q , R and   i R r e spec tively.    In the s i mulation, we tak e 1 Q , 0. 8 Q , dia g ( 1 .5 , 2 .5 ) R ,  di a g ( 1 , 2 ) R , 1 di a g ( 3 .6 , 2 . 5 ) R ,  1 di a g ( 3 ,1 . 8 ) R , 2 dia g ( 8 , 0 .36 ) R , 2 di a g (6 , 0 . 2 5 ) R , 3 diag ( 0 .5 , 2 .8 ) R , 3 diag ( 0 . 3 8 , 2 ) R , the  initial values    T 00 0 x , 0 , 2 0 | 0 d iag ( 1. 1 , 1.2 ) , 0 | 0 P PI .  The comp ari s on s of the fi ltering e r ror v a rian ce m a tri c e s  an d their trace s  of the  robu st  steady-state  local a nd  ce ntralized fu si on Kalman  fi lters a r e  sho w n in T able  1 and T able  2.  These matri c es an d their trace s  veri fy the accuracy re lations (60 ) -(61).   The traces  of the con s erva tive and a c tu al ro bu st filtering e rro r  va ri ances are  co mpared  in Figu re  1.  We  se e that  the tra c e s  of  the lo cal  an d fused  rob u s t time-va r yin g  Kalma n  filters  quickly  conv erge  to th ese of th e  co rresp ondi ng  st eady-state K a lman  filters,  whi c h   sho w  the  robu st accu ra cy relation s (59) an d (6 1)  hold.             Table 1. The  Con s e r vative and Actual A c cura cy Co m pari s on of  i P and i P 1, 2 , 3 , ic   1 P   2 P   3 P   c P   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Rob u st Centralize d  Fusi on  Kalm an Filte r s  with Un ce rtain Noi s e Va riances (We n -j uan Qi)  4713 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.2   0.4   0.6   0.8   1 1.2   1.4   1.6   1.8   t/ st ep 2 tr P 1 tr P 2 tr P 3 tr P 1 tr P tr c P 3 tr P tr c P 0.8247 0.3416 0.34 16 0.3750      1.0554 0.3278 0.3278 0.3405      0.4360 0.2383 0.238 3 0.3233   0.3771 0.1 956 0.1956 0.2 805   1 P   2 P   3 P   c P   0.6442 0.2 6 69 0.2669 0.2 9 56      0.7994 0.2 5 45 0.2545 0.26 89      0.3119 0.1 770 0.1770 0.2 495   0.2726 0.1 478 0.1478 0.2191       Table 2. The  Con s e r vative and Actual A c cura cy Co m pari s on of  tr i P , tr i P , 1, 2 , 3 , ic   1 tr P , 1 tr P   2 tr P , 2 tr P   3 tr P , 3 tr P   tr c P , tr c P   1.1998,0.939 8   1.3959,1.068 3  0.7593,0.561 3  0.6576,0.491 7                                         Figure 1. The  Traces of the  Con s ervative  and Actual L o cal a nd Fu sed Kalman Fil t ers      In orde r to v e rify the abo ve theoreti c al  accuracy  rel a tions, ta king 20 0 Monte Carl o  simulatio n  ru ns, the mean  squa re erro r (MSE) value s  at time t of local or fu sed robu st Kalma n   filters are defi ned a s :               Τ 1 1 ˆ ˆ MS E | | jj jj j t x tx t t xt xt t   , 1, 2 , 3 , c                            (64 )     Whe r e  j x t  or   ˆ | j x tt den otes the  th j reali z ation of  x t or ˆ | x tt .  Acco rdi ng to the erg odi city [19], we have :     MS E t r tP ,  as   , t   , 1, 2 , 3 , c                                                                (65)    The MSE curves of the local and fuse d time-v arying robu st Kalman filters are  shown in  Figure 2, whi c h verify the accuracy rela tions  (5 9) a n d  (61), an d verify the ergodi city (65).                 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                               ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 12, No. 6, June 20 14:  4705 – 4 716   4714 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 1. 6 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 MSE1 MSE2 MSE3 MSEc                                         Figure 2. The  Compa r i s on  of  MS E t and  tr P , 1, 2 , 3 , c       7. Conclusio n   For  multisen sor system with  un certai n  noise vari ances, u s ing  the minima x robust  estimation  pri n cipl e, the l c oal an d centralize d  fu si on  robu st Kalm a n  time-va r yin g  Kalman  filters  are  pre s e n te d. Base d on   the Lyapu no v equation   a ppro a ch, thei r robu stne ss  are  prove d  a n d   their ro bu st a c cura cy rel a tions a r e al so  proved.  It is  proved th at the ro bu st accru a ci es  of the   centralized fu sion K a lman   filters a r e  hig her th an  tho s e of the lo cal  rob u st Kalm an filters. Th e  conve r ge nce  probl em  of th e robu st lo ca l and   c entrali zed  fusi on ti me-varyin g   a nd  steady -sta te   Kalman filters is proved by  the dynamic  error  sy stem  analysi s  (DE SA) method  and the dyna mic   varaince error system  anal ysis (DVESA) method. Thi s  extens i on of this paper t o  system s wi th   uncertain n o i s e varia n ces  and mod e l pa ramete rs i s  u nder  study.      Ackn o w l e dg ements   This wo rk i s   sup porte d by  the  Natural  Scien c e  Fou ndation  of  Ch ina u nde r g r a n t NSF C - 6087 4063, the Innovatio n and Scie ntific Re sea r ch Fou ndati on of grad u a te stude nt of  Heilo ngjian g  Province und er grant YJS C X201 2-263 HL J.      Referen ces   [1]  Hall DL, Linas JL.  An introd uc tion to multise n s or data fusio n , Proceedi ng of  IEEE.1997; 85 (1): 6-23.   [2]  Li XR, Z hu YM, Han CZ .  Optimal li near  esti mation fu sion, Part I:  Unifie d fusio n  rules,  IE EE  T r ansactio n s o n  Information T heory , 20 03; 4 9 (9): 219 2-2 2 3 0 .  [3]  Sri y an and a H.  A simple m e th od for the co nt rol of div e rge n c e in Ka lman fi lter alg o rithms,  Internatio nal   Journ a l of Co ntrol . 197 2; 16(6) : 1101-1 1 0 6 .  [4]  Le w i s F L ,  Xi e LX, Po pa D.  Optima l an d r obust esti mati on.  Seco nd E d itio n. CRC Pr ess, Ne w  York .  200 8.  [5]  Lu  X, Z h a ng  H, W ang W .  Rob u st Kalm a n  filter i ng for  discrete-tim e  s y stems  w i t h   measur emen t   del a y ed.  IEEE Transactions on Circuits and  System s-II: Express Briefs.  2 007; 54( 6): 522 -626.   [6]  Xi on g K, W e i   CL, Li u  LD. R o bust Ka lman  fil t erin g  for d i scr ete-time  non lin ear s y stems  w i th par ameter   uncerta inties,  Aerosp ace Sci ence a nd T e ch nol ogy , 20 12; 18(1): 15- 24.   [7]  Jin  XB, Bao J, Z hang J L .  Centrali z e d fus i on estimation for unc ertain m u ltisensor  system  based  on LM I   meth od,  Proce edi ng of the IEEE conferenc e  on Mec hatro ni cs and Autom a tion. 200 9; 238 3-23 87.   [8]  Yang F ,  Li Y.  Rob u st set-membershi p  filteri ng  for s y stems   w i th missi ng  measur ement: a line a r matri x   ine qua lit y  ap pr oach,  IET  Sign al Process,  20 12; 6(4): 34 1-3 47.   [9]  Qu XM, Z h o u   J.  T he optima l  robust fin i te-h orizo n   Kalm an  filterin g for m u ltipl e  se nsors   w i t h  d i fferent   stochastic fail u r e rates,  Appli e d Mathe m atics  Letters , 201 3; 26(1): 80- 86.   1 tr P   2 tr P   1 tr P   3 tr P   tr c P   2 tr P   3 tr P   tr c P   t/s te p   MSE   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.