TELKOM NIKA Indonesia n  Journal of  Electrical En gineering   Vol. 16, No. 3, Dece mbe r  2 015, pp. 583  ~ 590   DOI: 10.115 9 1 /telkomni ka. v 16i3.937 0        583     Re cei v ed Au gust 24, 20 15 ; Revi sed  No vem ber 1 6 , 2015; Accepte d  No vem ber  30, 2015   Combining Fuzzy Logic and Dempster-Shafer Theory      Andino Ma s e leno * , Md. Mahmud Ha san, Norjaidi  Tuah   ST MIK Pringse w u, Pri ngs e w u,  Lampu ng, Ind ones ia   F a cult y   of Information T e chno log y , Kazak h  B r itish T e chni cal Universit y , Kazakhstan  Comp uter Scie nce Progr am, Univers i ti Brun ei Dar u ssal a m, Negar a Brun ei  Darussa lam   *Corres p o ndi n g  author, e-ma i l : andi nomas el eno @mai l.ru       A b st r a ct  T h is res earch   ai ms to  co mb in e the   math e m a t ical th eory  of  evid ence  w i th t he r u le  b a sed  l ogics  to   refine th e pr ed ictabl e o u tput. Integratin g F u zz y   Log ic  a nd  De mpster-S haf er theory  is ca l c ulate d  fro m  th e   similar i ty of Fu zz y   me mb ership fu nction.  The nov el ty  aspect of this  w o rk is that basic pr ob ab ilit y   assig n m ent is prop osed b a se d on the si mil a rity me as ure  betw een  me mbersh ip functio n . T he simi lari t y   betw een F u zzy me mbers h ip  function  is ca lculate d  to  g e t a  basic  prob ab il ity assig n m ent.  T he De mpste r - Shafer  math e m atic al the o ry  of evide n ce h a s  attrac ted co nsid erab le atte ntion as  a pro m is ing  metho d  of  dea lin g w i th s o me  of the  b a s ic pr obl e m s  a r ising  i n  c o mbi natio n  of evi d e n ce  an d d a ta f u sio n . De mpst er- Shafer th eory  provi des th e a b ility to  de al w i t h ig nora n ce  a nd  miss in g i n fo rmati on. Th e fo und atio n of Fu zzy   logic is  natura l  lan gua ge w h ic h can he lp to  mak e  full us e o f  expert infor m ation.     Ke y w ords :  fu zz y  lo gic, De mp ster-Shafer the o ry, me mb er sh ip functio n , bas ic prob abi lity a ssign ment     Copy right  ©  2015 In stitu t e o f  Ad van ced  En g i n eerin g and  Scien ce. All  rig h t s reser ve d .       1. Introduc tion  Larg e  a m ou n t  of literatu r e  is avail able  o n  Fu zzy Lo gic a nd it s a ppl ication s . Fu zzy Lo gic  can  handl e p r oblem s with i m pre c i s e dat a and give  m o re a c cu rate  results. Profe s sor L.A. Zad eh  introdu ce d the con c ept  of Fuzzy Lo gic [1].  Several  re sea r chers have i n vestigate d  th e   r e lations h ip betw een Fuzzy s e ts  and  Demps t er - S haf er  mathematic al theor y  of  evidenc e  and   sug g e s ted dif f erent  ways  of integrating  them. In tegration withi n   symboli c , rul e -ba s e d  mo d e ls  have bee n u s ed fo r control and  cla ssif i cation p u rpo s e s  [2, 3]. Yager  and Fil e v attempted  to   pre s ent  a Fu zzy infe re nce  system  ba sed on  Fu zzy  Dem p ste r-S hafer m a the m atical th eory of  eviden ce whi c h integ r ated  the proba bil i stic info rmati on in the ou tput [4].  In their works, the   con s e que nt is sh ape d as  a Demp ste r -Shafer beli e f stru cture, wh ere ea ch fo ca l element ha s the   same  me mbe r shi p  fu nctio n .  Binaghi  et al . [3] pro p o s e d  a  structu r e   for  cla ssifi cati on ta sks simil a r  to that of [4], wh ere  the f o cal  elem ent  is a  set re prese n ting the   cla s s label.  Dymova et  al .[5 ]  prop osed a critical an alysi s  of conventi onal ope ra tio n s on intuitio nistic Fu zzy values an d their  appli c ability to the sol u tio n  of multiple  criteri a  de ci sion m a ki ng  probl em s in the intuitionistic   Fuzzy setting . Ghasemi, et al., [6] studie d  the ma in  ch ara c teri stic  of the pro p o s ed  method  whe r e   is that  the  rul e s  of Fu zzy i n feren c e   syst em a r e  co nsi dere d   as evid ences in  whi c h the  firing  le vel  of each  rule  and Fu zzy Naive Bayes  method a r e  e m ployed for  cal c ulatin g the basi c  p r ob ability  assignm ent o f  focal el eme n t. In the Na ive Baye s  cl assifier, all v a riabl es are  assume d to  be  nominal  vari able s , which  mean  that  each vari abl e ha s  a finit e  num be r of  value s  a n d  also   assume s ind epen den ce o f  features. Howeve r, in  la rge d a taba se s, the variab les often take   contin uou s value s  or have  a large nu mb er of nume r ical values.   Walije wski, et  al., [7] concentrated  on t he ro l e  of Fu zzy o perator s, and on the  probl em  of discretizati on of  co ntin uou s attrib utes.  Dutta  et  al. [9] studi e d  Demp ster-Shafer th eory of  eviden ce by  con s id erin g f o cal  elem ent s a s  tria ngul a r  Fu zzy num ber. T he a u th ors have  devi s ed   a method fo r obtaini ng b e lief and pl a u sibility me a s ure from  b a si c proba bili ty assig n me nts  assign ed to  Fuzzy focal  e l ements. Bo u d raa, et  al., [8] estimated  basi c  p r ob abi lity assig n me nts  usin g Fu zzy  membe r ship  function s. Binaghi, et  al.,  [3] presente d  a supe rvised cl assification  model  integ r ating F u zzy reasonin g  a n d  Demp st er-Shafer propa gation of  evi den ce ha s  b een  built on top  o f  conn ectio n i s t tech niqu es to addr ess cl assificatio n   ta sk s  in whi c h vaguen ess  a n d   ambiguity co exist. The ap proa ch i s  the  integrat ion  within a Ne uro-Fu zzy syst em of kno w le dge  stru ctures a n d  inferen c e s  for evidential re a s oni ng  base d  on  Demp ste r-Sh a fer theo ry. The  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 16, No. 3, Dece mb er 201 5 :  583 – 590   584 comm on wea k ne ss of neu ral network, however, is  a probl em of  determin a tio n  of the optimal  size of a network configu r ation, as thi s  ha s  a sign ificant impa ct on  the effectivene ss of  its  perfo rman ce.  The  Demp ster-Shafe r  th eory o r igi nat ed from the   con c e p t of l o we r a nd  up per  prob ability  in duced by  a multivalued mappin g   by De mp ste r  [1 0, 11]. Follo wing  this  wo rk  hi s  stude nt Glen n Shafer [12] furt her extended the the o ry in his bo ok ”A Mathe m atical The o r y of  Evidence ” , a more tho r ou g h  explanation  of belief  function s. Lyu et al.  [13] studied Dem p ste r - Shafer theo ry  for the rea s o n ing with im p r eci s e  co ntext. Yao, et al., [ 14] used  Dempste r-S haf er   theory for the  multi-attribut e deci s ion m a kin g  pro b le ms with in co mplete inform ation by identify all  possibl e foca l elements from the inco mplete  de cisi on matrix, and then calculate the ba si c  prob ability assignm ent of e a ch fo cal  ele m ent and th e  belief fun c tio n  of ea ch d e cision  altern ative.  Yu, et al., [15] use d  Dem p ster-Shafe r   Theo ry  as  an  applie d app roach to sce n a rio fo re ca sting   based o n  im pre c ise p r ob ability. Uphof f, et al., [ 16] studie d  a p p lication  of Dempste r-S haf er  theory to  task m appin g  u nder epi stemi c  u n certai nty.  De mpste r-S hafer mathe m atical th eo ry of  eviden ce im p lies  a type  of  uncertainty  a s soci at ed  wit h  conditio n s  of ambi guity throu gh th e  d a ta   by deali ng  with ig no ran c e  and  mi ssing info rmati on. Thi s   ch a r acte ri stic i s  due  to  usi ng  a   combi nation  of evidence weight from different  sou r ces to obtain a new evide n ce weig ht.      2. Dempster-Shafer Ma th ematical The or y  of Ev ide n ce   It is difficult to avoid u n ce rtainty whe n   attempting to  make mod e l s  of the  real  worl d.  Un certai nty is inhe rent to natural p h enome na,  a nd it is impossible to create a perf e ct  rep r e s entatio n of reality.  Cla ssi c math ematics deal s with ideal  worl ds  whe r e  perfect ge o m etric  figures exist  and can verif y  extr aordinary conditions. The formali s ation of Fuzzy sets started in   the 19 60 s  wit h  the  works o f  Zade h [1] i n  Fu zzy  set s   a nd  Dem p ste r   [11] in  belief f unctio n s. B e li e f   function s  offer  a n on B a yesia n  met hod fo r  qua ntifying su bj ective eval u a tions by u s ing   probability. In the 1970s, it  wa s further  developed by  Shafer,  wh ose book Mathematical  Theory   of Evidence [ 12] re main s  a cl assic in  b e lief functi o n s , or the  so -called T heo ry of  Evidence. This   theory h a s b een  also  call ed the  Dem p ster-Shafe r   Mathemati c al  The o ry of E v idence. In t he  1980 s, the scientific  com m unity worki ng with Artifi cial Intellige n c e got involv ed in u s ing t h e   theory of evidence in appli c ation s . The  Demp ste r-S h a fer theory o r  the theory of belief functio n s   is a mathem a t ical theory of  evidence whi c h can  be int e rp reted a s  a  generalizatio n of prob ability  theory in wh ich the elem ents of the sampl e   sp ace to which non zero pro bability mass is  attributed a r e not singl e  points but  sets. Th e  se ts that get nonzero m a ss are call ed focal  element s. The sum of these probability masses i s  one, however, the ba si c difference bet ween  Demp ste r-Sh a fer math em atical the o ry  of eviden ce  and tra d ition a l pro bability  theory is th at the   focal el eme n ts of a  Demp ster-Shafe r   structur e  may o v erlap one a nother. The Demp ste r-Sh a fer  mathemati c al  theory of eviden ce also p r ovide s  meth ods to re pre s ent and co m b ine wei ghts  o f   eviden ce.     2.1. Repre s e n ta tion of Ev idence   The  Dem p ste r-Shafe r  th eo ry as su me s t hat there i s  a   fixed  set  of m u tually excl usive and  exhau stive elements  call e d  hypot he se s or propo sitio n s a nd sym b olize d  by the  Gree k letter  ϴ ,  r e pr es e n t ed  a s   ϴ  =  {h1 ,  h2 , …,   hn } , wh ere hi is  calle d a hypothe si s or p r op ositi on. A hypothesi s   can  be any  subset of the  frame, in  exa m ple, to sin g l e tons i n  the f r ame  or to  combinatio ns  o f   element s in t he fram e.  ϴ  i s  al so  calle d  frame  of discernme n t. A basi c  p r o babi lity assig n me nt  (bpa ) is rep r e s ente d  by a mass fun c tion  m  : 2 ϴ   →  [0,  1]. Where 2 ϴ  is the power  set of  ϴ .   The b a si c  probability a s signment i s   a  primitiv e of  e v idence the o ry. Gene rally  spe a ki ng,  the term  basi c probability  assignm ent  does not  refer to probabilit y in the cl assical  sense. T h e   bpa,  rep r e s e n ted by  m, d e fines a  map p ing  of the  p o we r  set to  t he inte rval  b e twee n 0  an d 1,  whe r e  the  bp a of th e n u ll  set is 0  and  th e bp as of  all t he  sub s et s of  the  po wer se t is  1. In F u zzy  Logi c, two va lued lo gic often  con s ide r s 0 to b e  false  and  1 to b e   true. Fu zzy L ogic  deal s  wi th   truth values  betwe en 0 a nd 1, and these value s   are con s ide r e d  as the intensity or degre e s of  truth.  The value of  the bpa for  a given set A (rep r e s ent ed as  m( A) ;A  Є   2 ϴ ), expresses th e   prop ortio n  of all relevant a nd available  eviden ce  that  supp orts the  claim that a p a rticul ar el em ent  of  ϴ   (the  univ e rsal  set) bel ong s to th e  set A but to  n o  pa rticul ar subset of A. T he valu e of  m(A)  pertain s o n ly to the set A  and ma ke s  n o  additio nal  claims a bout a n y sub s et s of  A. Any further  eviden ce on the sub s ets  of A would b e   represente d  by another  bpa, in exa m ple  B  ⊂  A , m(B)   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Com b ining F u zzy L ogi c an d Dem p ste r -Shafer The o ry (Andi no Ma sele no)  585 woul d the b p a  for the  su b s et B. Form a lly, th is description of m  can be  rep r e s ented  with the   followin g  two  equatio ns 1 a nd 2:                ( 1 )               ( 2 )     From th e p r i m itive of evid ence theo ry  or m a ss fun c t i on, the u ppe r an d lo we r b ound s of  an interval  can be defined.  This in terval contai ns the  precise proba bility of a set of interest and  is  b oun ded  by  two non  additive conti nuou s mea s ure s  calle d Belief  fun c tio n   an d  Pla u si bility  function. Eviden ce theo ry  use s  two  m easure s   of u n ce rtainty, belief function  and pla u si bi lity  function, expressed   a s   Bel () an d  Pls () respectively. Gi ven a  basic probability assi gnment  m , the  corre s p ondin g  belief functi on mea s u r e  and pla u sibili ty function measure a r e d e termin ed for all  set s   A  Є   2 ϴ  an d  B   Є   2 ϴ  by equation s  3 an d 4:               ( 3 )                ( 4 )     The suppo rt function o r  b e lief,  Bel , is the total belie f of a set and all its sub s ets. The   lower bound  Belief for  a  set A is defined as the  sum  of all the basic probability assignment s of  the pro per  su bset s (B) of t he set of inte rest (A)  ( A  ⊂  B ).  The plau sibili ty function of a pro p o s ition,  Pls, is the su m of the masse s  of all pro positio ns  in  which it is  wh ol ly or partially  contai ned. Th e   plau sibility function is d e fined as the d egre e  to  which the evidence fails to refute A. These two   function s, wh ich h a ve be e n  som e time s referred to   as lo we r an d  uppe r p r ob a b ility functions ,  have the follo wing p r op erti es are given  by equation s   5 and 6:                ( 5 )                ( 6 )     Whe r e  Ā   i s  th e compl e men t ary hypothesis of  A, A  ∪   Ā  =  ϴ  and  A  ∩   Ā  =  ∅ . The plausibility Pls (A)  is defin ed  as the de gree  to whi c h th e  eviden ce fa ils  to  refute  A. This  term is  given by  the  equatio n 7:              ( 7 )     Due to  a la ck of info rmati on, it is m o re   rea s o nable  to present bo und s for th e  result of   uncertainty q uantificatio n, as op po sed t o  a singl e value of pro babi lity. The total  degree of bel ief  in a  given p r opo sition A i s  exp r e s sed  within  an inte rval [ Bel (A);  Pls (A)], which lies in the  unit   interval [0,1].  Deali ng  with  uncertainty i s  a fu ndam ent al issu e in  the  study  of m a n - mad e   com p u t ational  device s  and  system s whi c h can be ma de to act in a manner  whi c h human wou l d be incline d  to   call intellige n t. Dempste r -Shafer math ematical th e o ry of evidence is a n  importa nt tool of  uncertainty modellin g wh en both un certainty orig i n s from h u m an’s la ck of kno w le dge of  the  physi cal  worl d and un cert ainty derives from the natural va riabilit y of the physical  worl d are   pre s ent in the  proble m  und er co nsi d e r ati on.  In de cisi on m a kin g  p r o c e s se s  with h u m an’s la ck of  knowl edge  of t he p h ysi c al  world  and  lack of the  ability of me asu r ing  and  modellin g t he phy sical  worl d, the F u zzy Logi c  and  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 16, No. 3, Dece mb er 201 5 :  583 – 590   586 Demp ste r-Sh a fer math em atical theo ry of evidenc e h a ve gaine d p r omin en ce a s  the method s of  choi ce over traditional probabili stic  m e thod s.  The  fundame n tal  and imp o rta n t  object of t he  mathemati c al  theory of evi den ce i s  the  primit ive fun c tion call ed a  basi c  p r ob abi lity assig n me nt.  In  the ab sen c e of  em piri cal data, experts  in   relat ed field s  pro v ide ne ce ssa r y informatio n.  Ho wever ho w to o b tain  basi c  p r o babi lity assig n me nt is  still an  open i s sue.  The me mbe r ship   function of a  Fuzzy set is  a gene rali zati on of the indi cator fu nctio n  in cla ssi cal  sets. In Fu zzy  Logi c, it represe n ts the d egre e  of truth as an  exte nsio n of valuation. Fuzzy Logi c is a lo gic   operation met hod ba se d on  many-value d  logic rath er t han bin a ry lo gic or t w o-val ued logi c.   Dempster-Shafer m a them atical  theory  of evidence,  a proba bilisti c reasoni ng t e chnique,  is d e si gne d t o  de al  with  uncertainty a nd in com p let ene ss of ava ilable info rma t ion. Dem p st er- Shafer mathe m atical theo ry of evidence  allows  one t o  combi ne ev iden ce from  different source s  and arrive at a degree of b e lief whi c h is  rep r e s ente d  by a belief function that ta ke s into acco unt  all the availa ble evide n ce. The d egree  of belief is   expectin g  a truth value  whi c h is the  rel a tion   betwe en Fu zzy Logi c and  Demp ste r-Sh a fer ma them atical theo ry of evidence.    2.2. Ev idence Combina t ion  Demp ste r-Sh a fer th eory   provide s  a  method  to  combine  the   previou s  me asu r e s   of  eviden ce of  different  sou r ce s. Thi s   rul e  a s sume s t hat the s e  so urces a r e in depe ndent. T h e   combi nation:  m =  m 1   ⊕  m2 , also  called o r thogon al sum ,  is defined a c cordi ng to the Demp ste r ’s  rule  of com b i nation [12]. It can  be a pplie d re petit ively whe n  the  sou r ce s  are  more than two. After  the combi nat ion, a deci s i on can b e  made amo ng the different hypothe se s according to the  deci s io n rule  cho s e n .  To use Dem p ster-Shafe r   mathemati c al  theory  of evi den ce, there  must be th e feasi b le   measures to  determin e  b a si c proba bility assi gn men t. The Fuzzy theory al so  requi re s ba si c  probability assignm ent. Basic probability assi gnment  whi c h is  called the primitive function i s  the  fundame n tal  and imp o rtan t object of the mathemat i c al theo ry of evidence. The memb ership   function of a  Fuzzy set is  a gene rali zati on of the indi cator fu nctio n  in cla ssi cal  sets. In Fu zzy  Logi c, it represe n ts the d egre e  of truth as an  exte nsio n of valuation. Fuzzy Logi c is a lo gic   operation met hod ba sed o n  many-valued  logic rathe r  than bina ry logic or two - val ued logi c. Two- valued l ogi c  often con s ide r s 0 to  be  fal s e  and  1 to  b e  tru e . Fu zzy  Logi c  deal s  with truth val ues  betwe en  0 a nd 1,  and t hese value s  are  con s ide r ed  as the i n tensity o r  d egre e s of truth.   Demp ste r-Sh a fer math em atical the o ry  of eviden ce , a pro babili stic  rea s oni n g  tech niqu e, is  desi gne d to deal with un ce rtainty and in compl e tene ss of available  informatio n. Demp ste r-Sh a fer  mathemati c al  theory of ev iden ce allo ws on e to  co mbine evid en ce fro m  different so urce s  and  arrive  at a d e g ree  of beli e f whi c h i s   rep r ese n ted  by  a  belief fun c tio n  that takes i n to acco unt  all  the available  evidence. The De gre e  of belief is  exp e cting a truth  value whi c h  is the relati on  betwe en Fu zzy Logi c and  Demp ste r-Sh a fer ma them atical theo ry of evidence.      3. Fuzzy  Logic  The  origi nal  motivation fo r Fu zzy L ogi c i s  to  provide the  ba si s for  re aso n in g un der  nonbi nary i n formatio n. Th e en sui ng  re aso n ing  sy stem  often  this is  refe rre d t o  a s  a pproximate   rea s oni ng o r  Fuzzy rea s o n ing. Ho wev e r, this  sh o u l d  not be ta ken to imply that the re sult ing   system i s  a n y  less  exact  than that affo rded  by  crisp  logic. Ind e e d , Fuzzy re a s oni ng mig h t be   con s id ere d  m o re  exact p r e c isely be cau s e it doe s n o t assume  a bi n a ry unive rse. The b a si s fo r  formal  re aso n ing i s   an i n feren c e  p r o c e dure,  it self ba sed   up on an approp riate model   for  ’if -then ’   rule s, or mo dus po nen s. The gen eral  goal is to  infer the deg re e of truth asso ciated with  a  prop ositio n,  B, from the i m plicatio n, A, or  A  →  B . Consi der, ’A’  d enote s  ”sh a rp co rn er” an d  ’B’  ”app ro ach slo w ly” than the  implic atio n ca n naturally ex pre ss by:   premi s e 1  (f act):  x  is A;  premi s e  2  (fact): IF  x  is  A T H EN   y  is B; co nse quen ce   ( c on c l u s io n) : y is  B.   Or  premi s e 1  (f act):  x  is A’;  premi s e  2 (fact): IF  x  is A THEN  y  is B; co nse quen ce  ( c on c l u s io n) :  y  is  B’.  Fuzzy rea s o n i ng Let A and  A’ be Fuzzy  sets o n  the u n iverse X, and B a Fuzzy set on  Y. Implication ,  A ! B, is defined in term s  of  a Fuzzy rel a tion R on th e Carte s ia n p r odu ct, X   Y.   The Fu zzy p r opo sition B induced by the premi s e “x  is  A’”and the Fu zzy rule “if x is A then y is  B”is defin ed i n  the form of the Fuzzy co mpositio n.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Com b ining F u zzy L ogi c an d Dem p ste r -Shafer The o ry (Andi no Ma sele no)  587     Assu me that  the spe c ific  ca se of com positio n ba se d on the Ma x-Min ope rat o r, then  thesp e ci al ca se of th e ab o v e gene ral m odel of F u zzy  rea s o n ing  ca n be d e fined   usin g eq uatio n 8   as:           ( 8 )     By now, i n  a  po sition to   build  som e   reasonin g  e n g ine s . Con s i der the foll o w ing  three   spe c ial ca se s :   1)  Single Rul e  with Single Pre m ise   The premise simplifie s to the sp eci a l ca se of a scala r  thresh old s , or   2)  Single Rul e  with Multiple Premise s   The p r emi s e  simplifie s to the spe c ial  ca se of the  mini mum of two  scala r  threshol ds.  Thus, the  co mpositio nal rule implie s  .  3)  Multiple Rul e s with Multipl e  Premises  The ’max’ op erato r  of equ ation (8 ) no w applie s, thus the are a  of the impli c atio n is  the maximum  of each mini mally thresho l d premi s e.   At this poi nt, the ba sis for  Fuzzy rea s on ing  with  the  remainin g p r o b lem of  esta blishi ng   what the Fu zzy con s eq ue nt actually mean s in pra c tice. Tsu k a m ot o Fuzzy rea s oning a r e mo dels  based  on F u zzy Lo gic. T h e s e  rule s  are e a sy to l earn a nd u s e  an d  can b e  mo difie d  a c cordi ng t o   the situatio n. It helps to m a ke d e ci sio n s  and  c an  be u s ed i n  de ci sio n  analy s is. T s ukam oto Fu zzy  rea s oni ng  do es  map p ing  from  given i n put to  an  out put u s ing  Fu zzy  Logi c. T s ukam oto F u zzy  rea s oni ng ha s a numb e r of  rules b a sed  on  if - th en  co ndition s.  In this metho d , the con s eq uen ce of ea ch Fuzz y rule i s  re pre s e n te d by a Fuzzy set with  a mon o toni c  membe r ship f unctio n . The   rule  ba se  ha s the form a s :  R i : if u is  A i   a nd v i s   B i , then     w is  C i , i  = 1,  2, , n. Whe r e  μ C i  (w) i s  a  monoto n ic f unctio n . As a  re sult, the in ferre d outp u t of  each rule i s  d e fined a s  a crisp value ind u ce d by  the rules mat c hin g  degree (firi ng stre ngth ) . The   overall outp u t  is take n as t he wei ghted  averag e of e a ch  rule s out put. Suppo se , that the set  C i   has a mo noto n ic mem bership functio n   μ C i  (w) an d tha t   α i  is the matchin g  deg ree  of its rule.   For the Fu zzy set input (A’, B’) is given b y  the equatio n 9:           ( 9 )     Then the result of its rule is obtain ed by  the equation  10:                ( 1 0 )     The final resu lt is derive d  from the weigh t ed  avera ge li ke in the foll o w ing  whe n  th ere a r e   two rule s. Thi s  term is give n by the equa tion 11:             ( 1 1 )     Since ea ch  ru le infers a crisp result, the  Tsu k am oto F u zzy model a ggre gate s  ea ch rule s  output by the weighte d  averag e metho d . Therefo r e,  it avoids the time-co n su ming process of  defuzz i fication.      4. Fuzzy  Logic and Demp ster -Sha fer  Mathem atica l  Theor y  of Ev idence  Fuzzy set the o ry propo sed  by Zadeh in  1965 i s  a  kin d  of theoretical rea s o n ing  schem e   for dealin g with imperfe ct data. A Fuzzy set, as th e name impli e s, is a  set without a cri s p   boun dary. T hat is, th e transitio n i s  g r adu al a nd  t h is smo o th  t r an sition  i s  chara c te rized by  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 16, No. 3, Dece mb er 201 5 :  583 – 590   588 membe r ship  function s. Th e Fuzzy inference sy ste m  or Fuzzy m odel is a p o pular  com put in g   frame w ork b a s ed  on the  co nce p ts of Fu zzy set th e o ry, Fuzzy if-then  rule s an d Fu zzy  rea s oni n g .  The ba si c structure of a F u zzy in fere nce system  co n s ist s  of th re e con c e p tual  compon ents which   are  rul e   base ,  databa se  a n d  rea s oni ng  mech ani sm.  A rule  b a se o r  d e ci sio n  m a trix of the  Fu zzy  kno w le dge -b ase,  whi c h  contain s  a  sel e ction  of  F u zzy rule s a nd  a data b a s e,  whi c h  define s  th e   membe r ship f unctio n s u s e d  in the Fu zzy rules  com p ose d  of expe rt IF  < ant ece dent s >  TH EN   <  concl u sions >   rule s. A reasoning me ch a n ism, whi c h p e rform s  the F u zzy rea s oni ng ba sed on  the  rule s and giv en facts to d e rive a rea s onabl e outpu t or con c lu si on. Mathema t ically spea ki ng,  c o ns ider  F to r e pr esent a  Fuzz y s e t in  the  domain of dis c ours e   U .  The Fuzzy s e t F c an  be  defined by th e membe r shi p  function fro m  equation 1 2  as follo ws:               ( 1 2 )     The m e mbe r ship  fun c tion  of a Fu zzy set is  a ge ne ralizatio n of th e indi cato r fu nction  in  cla ssi cal sets. In Fuzzy Logic, it repre s ent s the  de gree of truth  as an exten s ion of valuation.  Prope rties of  membe r ship functio n  are:   1)  The memb ership fun c tion  should b e  stri ctly monotonically incr easi ng, or st rictly  monotoni cally  de cre a si ng,  or  stri ctly m onoto n ica lly increa si n g  then  stri ctly  monotoni cally  de crea sing   with the  in cre a sin g  valu e o f  eleme n ts i n  the  universe  of  discou rse X.  2)  The memb ership fun c tion  sho u ld be  co ntinuou s or pi ece w i s e conti nuou s.   3)  The memb ership fun c tion  sho u ld be diff erentia ble to provide  smo o t h result s.   4)  The me mbe r ship fu nctio n  sho u ld b e   of simpl e  straight segme n ts to ma ke  the  pro c e ss of fu zzy mo dels e a sy and to hi gh accu ra cy.  A new  method to obtain basi c   probabilit y assi gnment is  proposed based on the  simila rity measu r e b e twe en mem bership fun c tion.  Method to  integrat e F u zzy Logi c  and   Demp ste r-Sh a fer mathem atical t heo ry of evidence a s  follows:   1)  Define ling u istic variable a nd Fuzzy ra n ge. Define a  variable  who s e value s  ca n be  expre s sed by  mean s of na tural lang uag e te rms.  Whe n  defining a li ngui stic varia b le,  it is also to sp ecify minimu m and maxim u m values.   2)  Define the  F u zzy rule s. T he Fu zzy rul e s  a r e n early  a se rie s  of if-then  statem ents.  These statem ents are de ri ved by an exp e rt to achieve  optimum re sults.  3)  Define the f o rmul a. Vari ous oth e r  membe r ship  function s such a s  trian gular,  trape zoid al,  Gau ssi an, a n d  si gmoid a l  can b e  u s ed  in  the formulati on of m e mbe r shi p   function s.   4)  Define the in put. The infe ren c e  schem es a r e ba se d  on the com positio nal rul e  of  inference, and the result  is derived from  a set of Fuzzy rules and gi ven inputs.   5)  Cal c ulate m e mbershi p  val ue. Cal c ul ate   informatio n  contai ned i n   a fuzzy set which   is de scribe d by its membe r shi p  value.   6)  Cal c ulate th e  rule.  Cal c ula t e the si milari ty between  F u zzy mem bership fu nctio n   to  get a basi c  probability assi gnment a s  sh own in the e q uation 13.               ( 1 3 )     7)  For a  de ci si on p r oble m , all the p o ssible  re sult s from a  set   m ( ϴ ). Th en , any  prop ositio n is a sub s et of  m ( ϴ ), whic h is  c a lled identific a tion frame.  8)  For a n  id entification f r ame   m ( ϴ ) i s  calle d a fun c tion  m : 2 ϴ   →  [0,  1] (2 ϴ  is the  power  set  of   ϴ ) basic probabilit y assignment  if m sa tisfies the followi ng conditions, as  sho w n i n  the  equatio n 1.  m(A)  i s   called basic possibility assi gnm ent value,  which  pre s ent s the level of trust to prop ositio n  A .  9)  For  an i dentif ication  fram e  m ( ϴ ),  m : 2 ϴ   →  [0, 1] i s  the basi c probability assignm ent  of  ϴ , d e fine  function   Bel  as  Bel  :  2 ϴ   →  [0; 1].  Bel ( A )  is called  belie f func tion, as   sho w n in the equatio n 3 prese n ts the su m of  all the p o ssibilitie s of A, which is al so  the total evaluation of A.  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
TELKOM NIKA   ISSN:  2302-4 046     Com b ining F u zzy L ogi c an d Dem p ste r -Shafer The o ry (Andi no Ma sele no)  589 10)  Given two  bel ief function s  Bel 1 ,  Bel 2 , which a r e th e sa me identification fram e,  m1 ,  m2   are corresponding ba sic  probability assignm ents and their focal  element s are  A1,  A2, …,  Am  an d  B 1,  B 2 ,   …, B n . The combin ation:  m = m 1   ⊕  m2  is defin e d  accordi ng to  the Demp ste r ’s rule of  com b inat ion a s  shown in the e quation 1 4 .         ( 1 4 )       5. Conclusio n   Fuzzy re aso n ing d o e s  th e mappi ng from given in p u t to an outp u t usin g Fu zzy Logi c.  Fuzzy re ason ing mod e ls  h a ve a num be r of rul e s  ba sed on if  th en conditio n s. In fact, these   rule s a r e e a sy to learn  an d use an d ca n be m odified  acco rding  to  the situatio n. It helps to m a ke  deci s io ns a n d  can  be u s ed in de cisi on analy s is.   Demp ster-S hafer math e m atical the o ry o f   eviden ce i s   o ne of th e imp o rtant to ol for de ci si on m a king  un der u n ce rtainty. Dempste r-S haf er  theory ma ke s inferen c e s  from in com p lete and  u n ce rtain  kno w led ge, provided by diffe rent  indep ende nt kn owl edg e  so urce s.  Dempste r-S haf er  th eory  provides expli c it e s timatio n  of  impre c i s ion a nd co nflict b e twee n information  from  different source s and  can  deal with a n y  union s of hyp o theses. De mpste r-Sh a fe r mathem atic al theory of e v idence is a formal fra m e w ork   for plau sibl e  rea s oni ng  whi c h p r ovid es te chni qu es for  ch aracteri zin g  th e eviden ce s b y   con s id erin g  all the  availa ble evid en ce s. Demp st er-Shafer th eo ry has b een   use d  in  de ci sion  makin g . The kno w le dge is unce r tain in  the collect io n of basic ev ents can be  dire ctly used  to  dra w  co ncl u si ons in sim p le  case s,  ho we v e r,  in  many  ca se s the various event s a s soci ated wit h   each oth e r.  Rea s o n ing  u nder un ce rtai nty that u s ed  so me  of ma thematical  ex pre ssi on s, ga ve  them a  different inte rpreta tion which i s   each pi ec e of  eviden ce  ma y sup port  a  subset contain i ng  several hypot heses. Thi s  is a gene rali zation of  the pure proba bilistic frame w ork in which eve r y  finding  corre s pond s to a  value of a  vari able. In thi s  rese arch it i s   Fuzzy Lo gic  and  Demp ste r - Shafer th eory, which resulted in  a 0   % reje ct ion.  Finally, Fu zzy Logi c an d  Demp ste r-Sh a fer  mathemati c al  theory of eviden ce have  shown goo d re sults.       Referen ces   [1]  Z adeh LA. F u z z y  Sets.  Information a nd C ont rol . 196 5; 8: 33 8-35 3.  [2]  Yen Z .  General izing T he Dem p ster-Shafer  T heor y to F u zz y Sets. 1990; 20 : 559-57 0.  [3]  Bina ghi E, Gal l o I, Madel la P .  A Neural M o del for F u zz y  Dempster-S haf er Class ifiers.  Internatio na l   Journ a l of Appr oxi m ate R easo n in g . 200 0; 25: 89-12 1.  [4]  Yager  RR, F i l e v P. Inclu d in g Prob abi listic  Unce rta i nt y i n  F u zz y Lo gic  Contro ller M o deli ng  Usin g   Dempster-S haf er T heor y .   IEEE Transactions on System s ,  Man, and Cy bern e tics . 199 0; 25: 122 1- 123 0.  [5]  D y m o va  L, Sev a stjan o v P. T he op erati ons  o n  intu it ionistic f u zz y  values  in  the frame w o r k  of Dempster- Shafer the o r y .  Know led ge-B a sed Syste m s . 201 2; 35: 132- 143.   [6]  Ghasemi J, G had eri R, M o ll aei  M R K, Ho jj atoles lami S A . A Nov e l Fuzz y  Dempster-S hafer Inference  S y stem for Bra i n MRI Segme n tation.  Infor m ation Sci enc es . 2013; 2 23: 20 5-22 0.  [7]  W a lije w s ki JS,  Sosno w s k i ZA. Genetic T unin g  Fuzz y   Demp ster-Shafer D e cision  Rul e .  Task Quarterly .  200 2; 6: 631-6 40.   [8]  Boudr aa AO,  Bentab et A, S a lze n stein  F, Guillo n  L. Dem p ster-Shafer ’s Basic  Pro b a b il i t y   Assi gnme n t  Based  on F u z z y  Mem bersh i p  F unctio n s.  El ectronic  Letter s  on Co mputer  Vision  an d Image A nalys is .  200 4; 4: 1-9.  [9]  Dutta P, Ali  T .  F u zz y  F o cal  Eleme n ts in Demp ster-Sh a fe r  T heor y  of Ev ide n ce: Case  stud y  i n  Risk   Anal ys is.  Internatio nal J ourn a l of  Co mp uter  Applic ations . 2 011; 34: 4 6 -53.   [10]  Dempster AP. Upper an d lo w e r prob ab iliti e s ind u ced b y  a  multiv alu e d   map p in g.  Ann. Math. Stat .  196 7; 38: 325- 339.   [11]  Dempster AP. A  Gener aliz ati on  of Ba yes i a n  infer ence.  J o u r nal  of the  Roy a l Statistic a l S o ciety . 19 68 ;  30: 205- 24 7.   [12]  Shafer G. A Mathematic al T heor y   of Evide n c e. Ne w  J e rse y : Princet on U n iversit y  Press.  1976.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                             ISSN: 23 02-4 046                     TELKOM NI KA  Vol. 16, No. 3, Dece mb er 201 5 :  583 – 590   590 [13]  L y u  CH, C hoi   MS, Li Z Y , Yo un  HY.  Re aso n in g w i th I m pr ecise  Co ntext  Using  I m prov e d  D e mpster- Shafer T h e o ry . In: 2010 IEEE /W IC/ACM Inte rnatio nal C onf erenc e on W e b Intelli ge nce  and Inte lli gen t   Agent T e chnol og y. T o ronto,   Can ada. 2 010:  475-4 78..  [14]  Yao S, Hua n g  W .   A New  Appro a ch for Multi-attrib ute D e ci sion Making Problem  with Incom p lete  Information B a sed o n  D e mpst er-Shafer T h eo ry . In: Internationa l Co nfere n c e  on M a n agem ent Scie nc e   and Ind u stria l  Engi neer in g (MSIE). Harbin. 2 011: 62 0-6 23.   [15] Yu X, Li M, Ping Z .   Dempster- S hafer T heory  as an Appl ie d A ppro a ch to Scenar io F o reca sting Base d   on Imprec ise  Proba bil i ty . In: IEEE 12th International Confer ence on Computer  and Information  T e chnolog y. C hen gd u, Chin a. 2012: 9 75-9 8 0 .   [16]  Uph o ff C, Gritschne der  DM, Schlichtm ann  U.   Appl icati on  of De mpster-S haf er T heory  to T a sk Map p i n g   und er Episte mi c Uncertai nty . In: IEEE International S y stems  Conf er ence (S y s Con). Orlando, FL, USA.  201 3: 536- 541.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.