I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m pu t er   E ng ineering   ( I J E CE )   Vo l.   15 ,   No .   6 Decem b er   20 25 ,   p p .   5 1 3 0 ~ 5 1 4 3   I SS N:  2088 - 8 7 0 8 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /ijece. v 15 i 6 . pp 5 1 3 0 - 5 1 4 3           5130       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij ec e. ia esco r e. co m   Fraction a l f u zzy  ba sed   sta tic  v a r c o mpens a tor   co ntr o   for  da mping  enha ncement  of  in ter - a rea o scilla tions       T a rik   Z a ba io u,  K ha did j a   B ena y a d   La b o r a t o i r e   G é n i e   Él e c t r i q u e   P o l y t e c h   C o n st a n t i n e   ( LG EPC ) D é p a r t e me n t   d’ É l e c t r o n i q u e ,   É l e c t r o t e c h n i q u e   e t   A u t o ma t i q u e   ( E EA ) Éc o l e   N a t i o n a l e   P o l y t e c h n i q u e   d e   C o n st a n t i n e ,   C o n st a n t i n e ,   A l g e r i a       Art icle  I nfo     AB S T RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J an   1 6 ,   2 0 2 5   R ev is ed   J u l 2 8 ,   2 0 2 5   Acc ep ted   Sep   1 6 ,   2 0 2 5       Ov e ti m e ,   t h e   in se rti o n   o f   flex i b le  a lt e rn a ti n g   c u rre n t   tran sm issio n   s y ste m   (F ACTS c o m p o n e n ts  i n   th e   p o we g rid   b e c a m e   p rimo r d ial  to   m a in tain   th e   o v e ra ll   sy ste m   sta b il i ty .   Th is  p a p e p ro p o se d   a n   in n o v a ti v e   a p p ro a c h   c a ll e d   h y b rid   a u x il iar y   d a m p in g   c o n tr o b a se d   wid e - a re a   m e a su re m e n ts  fo th e   sta ti c   v a c o m p e n sa to (S VC).   T h e   p re se n ted   c o n tro ll e is  a   fra c ti o n a l - o r d e r   fu z z y   p ro p o rt io n a in teg ra d e ri v a ti v e   (F OFP ID).  Its  p rin c i p a tas k   is  to   d a m p   in ter - a re a   lo w freq u e n c y   o s c il latio n s (L F Os a n d   t o   imp r o v e   th e   p o we r   sy ste m   sta b il it y   o v e t h e   tran sie n t   d y n a m ics .   Th e n ,   a   m e tah e u risti c   g re y   wo lf   o p ti m iza ti o n   (G WO)  m e th o d   is  a p p li e d   t o   a d ju st   t h e   c o n tro l ler’s   g a in s.  T h e   S VC - b a se d   F OFP ID  c o n tro sc h e m e   is  imp lem e n ted   in   a   two - a re a   fo u r - m a c h in e   tes sy ste m   e m p lo y i n g   t h e   ro t o s p e e d   d e v iatio n o g e n e ra to rs  a in p u si g n a l.   c o m p a ra ti v e   a n a ly sis  o f   t h e   e lab o ra te d   c o n tro ll e with   th e   in teg e P ID an d   t h e   fra c ti o n a l - o r d e P ID (F OPID)  is p e rfo rm e d   to   e m p h a siz e   it e ffe c ti v e n e ss   u n d e r   a   t h re e - p h a se   p e rt u rb a ti o n .   F u rt h e rm o re ,   a   l o a d   v a riatio n   e ffe c tes is  c o m p lete d   to   a tt e st  t h e   c o n t ro stra teg y   r o b u st n e ss .   Ba se d   o n   d y n a m ic  sim u latio n   re s u lt a n d   p e rfo rm a n c e   in d ice s,  th e   su g g e ste d   c o n tro ll e sh o ws   i ts  ro b u st n e ss   a n d   p ro v id e i n c re a se d   e fficie n c y   fo i n ter - a re a   o sc il latio n s d a m p in g .   K ey w o r d s :   Au x iliar y   d am p in g   c o n tr o ller   Flex ib le  alter n atin g   cu r r en tr an s m is s io n   s y s tem   Fra ctio n al - o r d e r   f u zz y   PID   co n tr o ller   Po wer   s y s tem   Static v ar   co m p en s ato r   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   T ar ik   Z ab aio u   L a b o r at o ir n i É le ct r i q u Po l y t ec h   C o n s ta n t in ( L GE PC ) ,   p ar te m e n t   d’ É le ct r o n i q u e ,   É le ct r o te ch n i q u e   et  Au to m a ti q u ( E E A ) ,   É c o le   Nati o n al P o l y t ec h n i q u e   d C o n s ta n ti n e   C o n s tan tin e,   Alg er ia   E m ail: tz ab aio u @ g m ail. co m       1.   I NT RO D UCT I O N   Su s tain in g   th s tab ilit y   o f   th e   elec tr ic  en er g y   s y s tem s   h as  b ec o m an   ess en tial  o b lig atio n   d u to   th e   s ig n if ican in cr ea s in   elec tr ici ty   co n s u m p tio n   ac r o s s   v ar io u s   s ec to r s .   Oscill ato r y   s tab ilit y ,   m ajo r   co n ce r n   in   in ter co n n ec ted   p o wer   g r id s ,   c o n tr ib u tes  to   s tab ilit y   an aly s is   an d   co n tr o [ 1 ]   b y   ad d r ess in g   th d am p in g   o f   in ter - ar ea   lo f r eq u e n cy   o s cillatio n s   ( L FOs ) ,   ty p ically   o cc u r r in g   with in   0 . 1   to   1   Hz  [ 2 ] .   T h ese  o s cillatio n s   ar ca u s ed   b y   d ef au lts ,   f lu ct u a tio n   in   lo ad   d em an d ,   g en er atio n   alter in g   a n d   d is tu r b an ce s   [ 3 ] T h e r ef o r e ,   th er e   is   s tr o n g   in ce n tiv to   d e v elo p   en h an ce d   m eth o d s   f o r   e f f e ctiv d am p i n g   o f   in ter - ar ea   o s cillatio n s   to   av o id   in s tab ilit y   an d   b lack o u ts   ca u s ed   b y   u n d am p ed   s win g s .   T h f ast  g r o wth   o f   p o wer   elec tr o n ics  h as  in d ee d   r esu lted   in   th in co r p o r atio n   o f   f lex i b le  a lter n atin g   cu r r en t r an s m is s io n   s y s tem   ( FAC T S)  elem en ts   in   p o wer   n etwo r k s   [ 4 ]   FAC T d ev ic es  eq u ip p ed   with   ap p r o p r iate  au x iliar y   d am p in g   co n tr o ller   ( ADC)  ca n   ac tiv el y   co u n ter ac in ter - ar ea   o s cillatio n s   b y   m o d u latio n   o f   ac tiv a n d   r ea ctiv p o wer ,   ad ju s tin g   v o ltag lev els,  a n d   o p tim izin g   p o wer   f lo d is tr ib u tio n .   T h is   h elp s   en h an ce m e n o f   p o wer   o s cillatio n s   d am p in g   a n d   o v e r all  s y s tem   s tab ilit y   [ 5 ] .   O n   th wh o le,   s tatic  v a r   co m p en s ato r   ( SVC )   is   an   es s en tial  s h u n p ar o f   FAC T co n tr o ller s   th at  co n tr ib u te  t o   th s tab ilit y   an d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         F r a ctio n a l fu z z b a s ed   s ta tic  va r   co mp en s a to r   co n tr o l fo r   …  ( Ta r ik  Za b a io u )   5131   ef f icien cy   o f   p o wer   n etwo r k s .   SVC   h elp s   en s u r elec tr ic al  s y s tem s   well  o p er atin g   b y   r eg u latin g   v o ltag e   lev els  an d   r ed u ci n g   tr a n s m is s io n   lo s s es.  I also   p r o v id e s   o s cillatio n s   d am p in g   wh e n   co n n ec te d   to   an   ad d itio n al  r eg u lato r   [ 6 ] .   I n d ee d ,   s ev er al  co n v en tio n al  s o lu tio n s   h av b ee n   test ed   to   d esig n   SVC   ty p d am p in g   co n tr o ller .   A   f r eq u e n tly   ap p lied   a p p r o ac h   in v o lv es  lin ea r   co n tr o tech n iq u es,  s u ch   as  th d esig n   o f   lead - lag   [ 7 ]   an d   p r o p o r tio n al  i n teg r al  d er iv ativ ( PID )   [ 8 ]   c o n tr o ller s .   An o th er   co n v en tio n al   s tr ateg y   r elies  o n   th ap p licatio n   o f   a   lin ea r   q u a d r atic  r e g u lato r   ( L QR )   [ 9 ] .   I n   ad d itio n ,   r o b u s co n tr o m eth o d s   h a v b ee n   e m p lo y ed   in clu d in g   μ - s y n th esis   [ 1 0 ] ,   p o ly n o m ial  c o n tr o [ 1 1 ]   a n d   lo o p   s h ap i n g   [ 1 2 ] .   Fu r th er m o r e ,   co n s id er ab le  am o u n o f   r esear c h   h as  ex a m in ed   in tellig en a p p r o ac h es  to   d ev el o p   m o r ef f icien co n tr o s tr ateg ies.  Kar p ag am   et   a l [ 1 3 ]   in v esti g ated   th ap p licatio n   o f   th f u zz y   lo g ic   tech n iq u in .   Ab d u lr a h m an   a n d   R ad m an   [ 1 4 ]   co m b in ed   th s tr en g th s   o f   f u zz y   l o g ic  an d   n eu r al  n etwo r k s   to   cr ea te  p o wer f u an d   ad a p tiv e   co n tr o s y s tem   in .   d ec en tr alize d   r o b u s co n tr o tech n iq u to   en h an ce   th d y n am ic   r esp o n s o f   t h n etw o r k   a n d   m itig ate  elec tr o m ec h an ical  s win g s   h as  b ee n   ap p lied   b y   [ 1 5 ] .   B esid es,  au th o r   in   [ 1 6 ]   ex p l o r ed   d ee p   r ein f o r ce m e n lear n in g   ( R L )   al g o r ith m   to   d esig n   co m p lem e n tar y   co n tr o ller   f o r   SVC   in   o r d er   to   g u ar a n tee  an   ad a p tiv p a r am eter   a d ju s tin g   an d   s y s tem   r o b u s tn ess .   Ad d itio n ally ,   n ew   o p tim izatio n s   s tr ateg ies  h av e   b ee n   a p p lied   t o   co o r d in ate   SVC   an d   p o wer   s y s tem   s tab ilizer   ( PS S)  f o r   o p tim al   d am p in g   o f   th e   L FOs   [ 1 7 ] .   m ajo r   p ar o f   r ec e n s tu d ies  is   f o cu s ed   o n   f r ac tio n a l - o r d er   p r o p o r tio n al  in te g r al   d er iv ativ e   ( FOPID)   co n tr o ller s   [ 1 8 ] .   Ov e r all,   th ese  class   o f   co n tr o ller s   o f f er   im p r o v ed   p er f o r m a n ce   a n d   g r ea r o b u s tn ess   f o r   L FOs   d am p in g   u s in g   FAC T d ev ices  as  d em o n s tr a ted   b y   FOPID - b ased   t h y r is to r - co n t r o lled   s er ies   ca p ac ito r   ( T C SC )   [ 1 9 ] ,   FOPID  ty p s tatic  s y n ch r o n o u s   s er ies  co m p en s ato r   ( SS SC )   [ 2 0 ] [ 2 2 ]   a n d   f r ac tio n al  PI  co n tr o ller   a p p lied   t o   u n if ied   p o wer   f lo co n tr o ller   ( UPFC )   [ 2 3 ] .   Mo r eo v e r ,   a n   FOPID - SVC   in   co o r d in atio n   with   FOPID - PS is   r ep o r ted   in   [ 2 4 ]   t o   m iti g ate  lo w - f r e q u en c y   o s cillatio n s   u s in g   a   s in g le - m ac h in in f i n ite  b u s   ( SMI B )   n etwo r k .   T h is   co n tr o s ch em h as  s h o wn   g o o d   r esu lts   f o r   d a m p in g   lo c al  s win g s   b u n o v er if ied   f o r   in ter - r eg i o n al  m o d es  th at   r ep r esen a   v ital  co n ce r n   in   s tab ilit y   an d   r eliab ilit y   o f   p r esen t   in ter co n n ec ted   p o wer   g r id s .   H en ce ,   wid e - ar ea   FOPID  ty p e   SVC   is   in tr o d u ce d   as  f ir s p u r p o s in   t h is   wo r k   to   am elio r ate  th d am p in g   o f   i n ter - ar ea   L FOs   in   m u lti - g e n er ato r s   n etwo r k .   Alter n ativ ely ,   an   h y b r i d   co n t r o tech n iq u th at  m er g es  th e   b en ef its   o f   f u zz y   lo g ic  an d   f r ac tio n al  ca lcu lu s   r ev ea ls   an   o r ig in al  co n tr o ller   s ch em ca lled   f r a ctio n al - o r d e r   f u zz y   PID   ( FOFP I D)   [ 2 5 ] ,   wh ic h   attr ac ted   co n s id er ab le  r esear c h   co n ce r n   in   p o wer   an d   en er g y   s y s tem   en g in ee r in g   [ 2 6 ] [ 2 9 ] I n v esti g atio n   o f   cu r r en liter atu r h as  r ev ea led   th at  th FOF PID - b ased   SVC   co n tr o ller   h as  n o b ee n   s u f f icien tly   ex am in ed   f o r   in ter - ar ea   L FOs   d am p in g   s tu d y .   T h is   in s p ir ed   u s   to   d ev el o p   FOFP I u s in g   r em o te  s ig n als - b ased   p h aso r   m ea s u r em en t u n its   ( PMU)   [ 3 0 ] ,   [ 3 1 ]   f o r   in ter - a r ea   o s cillatio n s   d am p in g   m itig atio n .     Ad d itio n ally ,   v ar io u s   o p tim iz atio n   alg o r ith m s   h av e   b ee n   ap p lied   b y   m an y   r esear c h er s   to   o b tain   th e   g ain s   o f   f r ac tio n al  c o n tr o ller s .   T h e   m o s p o p u lar   a n d   ef f icie n tech n i q u es  ar e   an t   lio n   o p ti m izer   ( AL O)   [ 3 2 ] m o d if ied   s alp   s war m   alg o r ith m   ( MSSA)   [ 3 3 ] g r ey   wo lf   o p t im izer   ( GW O)   [ 2 2 ] ,   a n d   m o th   f lam o p tim izatio n   ( MFO)   [ 2 4 ] .   T h er ef o r e,   in   th is   wo r k ,   th GW alg o r ith m   is   ad o p ted   a n d   im p lem e n ted   f o r   tu n in g   t h e   p ar am eter s   o f   th d ev el o p ed   c o n tr o ller s .   Mo r eo v er ,   in teg r al  tim ab s o lu te  er r o r   ( I T AE ) - o b jectiv f u n ctio n   is   u s ed   as  p e r f o r m an ce   in d e x   in   t h is   wo r k .   I t   i s   co n s id er e d   t o   b th b est  cr iter ia   to   o p tim ize  t h r e g u lato r s   g ain s   [ 3 4 ] .   R eg ar d in g   th a b o v e   m o tiv atio n s ,   th is   s tu d y   aim s   t o   e n h an ce   in ter - ar ea   o s cillatio n s   d am p in g   in   in ter co n n ec ted   p o wer   g r id   b y   d esig n in g   r o b u s SVC - b ased   FOFP I co n tr o ller   th at  u tili ze s   wid e - ar ea   m ea s u r em en ts .   T h m aj o r   h ig h lig h ts   o f   th is   r esear ch   a r lis ted   in   th is   way :   a.   Usi n g   o f   s p ee d   d ev iatio n s   d if f er en ce   o f   all  g e n er ato r s   f r o m   d is p er s ed   ar ea s   o f   m u lti - m ac h in n etwo r k   as   in p u t c o n tr o l sig n al.   T h ese  m e asu r em en ts   o f f er   h ig h est o b s er v ab ilit y   o f   in te r - ar ea   o s cillatio n s   m o d es.   b.   Dev elo p m en o f   wid e - a r ea   FOPID  b ased - SVC   to   im p r o v t h d am p i n g   o f   in ter - a r ea   L FOs .   c.   C alcu latio n   o f   f r ac tio n al  o r d e r   o p er ato r s   ( in teg r al  an d   d er i v ativ e)   b y   C h ar e f s   ap p r o x im atio n   alg o r ith m   u s in g   MA T L AB   s o f twar an d   im p lem en tatio n   o f   FOPID  co n tr o ller   b y   Simu lin k   b lo c k .   d.   C o m b in in g   th e   ef f icien c y   o f   f u zz y   lo g ic  co n t r o ller   ( FLC)  with   f lex ib ilit y   an d   ad d itio n al   p er f o r m an ce   o f   f r ac tio n al  ca lcu lu s   ( FC )   b ased   co n tr o s ch e m e,   h y b r i d   G W O - o p tim ized   f r ac tio n al - o r d e r   f u zz y   PID   ty p e   SVC   d am p in g   co n tr o ller   is   d e s ig n ed   an d   test ed   to   r estra in   in ter - ar ea   o s cillatio n s .   e.   I n tr o d u ctio n   o f   th d ec a y   r at io   in d ex   ( DR I )   as  p er f o r m an ce   m ea s u r to   q u an tify   p o wer   o s cillatio n s   s p ee d   d ec r ea s in g .   T o   ac h iev th is   g o al,   th p a p er   is   o r d er ed   i n   th is   way s ec tio n   2   d is cu s s es  th p o wer   s y s tem   in v esti g atio n   an d   SVC   m o d elin g .   Sectio n   3   p r esen ts   th co n tr o s tr ateg y   in clu d in g   th d esig n   o f   th d am p in g   co n tr o ller s .   T h o p tim izatio n   f o r m u latio n   an d   p e r f o r m an ce   cr iter ia  ar elab o r ated   in   s ec tio n   4 ,   f o llo wed   b y   th im p lem en tatio n   o f   GW alg o r ith m   in   s ec tio n   5 .   Sectio n   6   p r o v id es  th o p tim izatio n   an d   s im u latio n   r esu lts   to g eth er   with   th eir   ex p l an atio n s .   Fin ally ,   s ec tio n   7   p r e s en ts   th co n clu s io n   d e r iv ed   f r o m   th is   s tu d y .         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   6 Decem b e r   20 25 :   5 1 3 0 - 5 1 4 3   5132   2.   O VE RA L L   S YST E M   DE SC RIPT I O N   2 . 1 .       P o wer   s y s t em   inv estig a t ed   T h co n f ig u r atio n   s h o wn   in   F ig u r 1   illu s tr ates  th test   p o wer   n etwo r k   ex am in e d   in   th is   s tu d y .   T h s y s tem   is   m ad u p   o f   two   s y m m etr ical  ar ea s   in ter - co n n ec ted   b y   two   tie - lin es   o f   2 0 0   k m   len g th .   E ac h   r e g i o n   h as   t wo   s y n c h r o n o u s   g en e r at o r s   r ate d   2 0   k V/ 9 0 0   M VA,   ar r a n g e d   G 1   a n d   G2   f o r   ar ea   1 ,   G 3   a n d   G 4   f o r   a r ea   2 .   E v er y   g en er ato r   is   d escr ib ed   b y   its   two - ax is   m o d el  an d   s u p p l ied   with   in ter n al  r e g u lato r s .   Po wer   s y s tem   s tab ilizer s   ( P S Ss )   ar in s tal led   f o r   o n ly   o n g en er ato r   in   ea ch   ar ea   ( G1   f o r   ar ea 1   an d   G3   f o r   ar ea   2 )   to   d a m p   lo ca m o d es  wh ile  o th er   g e n er ato r s   ( G2   an d   G4 )   ar with o u s ta b ilizer s .   An   SVC   o f   ± 200   M VAR   r atin g   is   p o s itio n ed   at  b u s   8   to   d am p   in ter - ar ea   o s cillatio n s .   T h test   s y s tem   is   av ailab le  in   Simscap E lectr ical  with in   MA T L AB /Si m u lin k   s o f twar an d   its   p ar am eter s   ar g iv e n   in   [ 3 5 ] .           Fig u r 1 .   T wo - ar ea   f o u r - m ac h in p o wer   n etwo r k   with   SVC   [ 3 5 ]       2 . 2 .     St a t ic  v a r   co m pens a t o m o del   T h s tatic  v ar   co m p e n s ato r   b elo n g s   to   th e   s h u n ca te g o r y   o f   FAC T eq u ip m en t’ s .   th y r is to r   co n tr o lled   r ea cto r   ( T C R )   is   j o in ed   in   p ar allel  with   FC   b an k   [ 3 6 ]   to   f o r m   th s tr u ct u r o f   th SVC   as   p r esen ted   in   Fig u r e   2 .   T h m ain   r o le  o f   SVC   is   v o ltag co n tr o in   elec tr ic  p o we r   n etwo r k ,   an d   ca n   co n tr ib u te  to   d am p   in ter - ar ea   o s cillatio n s   b y   ad d itio n al  co n tr o eq u ip m en t.  Fig u r 3   d ep ic ts   th S VC   m o d el   with   an   ADC.  T h s u p p lem en tar y   co n tr o s ig n al     is   ad d ed   to   th s u m   o f   th SVC   b u s   m ag n itu d v o ltag e   _    an d   th SVC   r ef er en ce   v o ltag _     d en o tes  th eq u iv alen s u s ce p tan ce   o f   SVC .   T h g ain      an d   tim e   co n s tan    d escr ib t h co m p en s ato r   f i r in g   r eg u lat o r   wh ich   ca n   b ex p r ess ed   b y   th n e x t   eq u atio n   [ 3 7 ] .     ̇  = 1  (  ( _  + _  +  )  )   ( 1 )             Fig u r 2 .   C ir cu it d iag r am   o f   SVC     Fig u r 3 .   C o n tr o l b lo c k   s ch em o f   SVC   with   an   ADC   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         F r a ctio n a l fu z z b a s ed   s ta tic  va r   co mp en s a to r   co n tr o l fo r   …  ( Ta r ik  Za b a io u )   5133   3.   SUG G E S T E CO NT RO L   S T RA T E G Y   T h f r am ewo r k   o f   th is   s tu d y   i s   f o cu s ed   o n   th im p r o v in g   o f   in ter - ar ea   L FOs .   T h s o lu tio n   to   s atis f y   s u ch   co n s tr ain is   b y   a d d in g   a   co m p lem en tar y   r e g u lato r   t o   SVC   in ter n al  co n tr o u s in g   g l o b al  m ea s u r em e n ts   th at  o f f er   h ig h est  o b s er v ab ilit y   o f   in ter - ar ea   s win g s   as  co n tr o in p u t.  T h m ain   p r o p o s ed   s tr ateg y   is   b ased   o n   f r ac tio n al - o r d er   f u zz y   PID ,   th en   c o m p ar e d   with   th class ical  PID   an d   f r ac tio n al - o r d er   PID .   T h e   g e n er al   co n tr o s tr u ctu r is   p r esen ted   in   Fig u r 4   an d   th in p u s ig n al  is   b ased   o n   s p ee d   d e v ia tio n s   d if f er en ce   o f   g en er ato r s   f r o m   s ca tter ed   a r ea s   as e x p r ess ed   b y   ( 2 ) .      = 1 2   ( 2 )       an d     ar th s p ee d   d ev iatio n   o f   th   an d     g en er ato r   r esp ec tiv ely .           Fig u r 4 .   I n ter - ar ea   p o wer   n et wo r k   with   SVC   ty p d am p i n g   co n tr o ller       3 . 1 .     SVC - P I co ntr o ller   T h co n v e n tio n al  PID   co n tr o ll er   p r esen ted   in   Fig u r 5   is   r an k ed   as th m o s t w id ely   u s ed   r eg u lato r   in   in d u s tr ial  p r o ce s s es.  T h PID   o u tp u t   f o r m u la  c o n s is ts   o f   th r ee   ter m s   b ased   o n   its   co n tr o g ain s p r o p o r tio n al   ( ) ,   in teg r al  ( )   an d   d e r iv ativ ( )   as e x p r ess ed   in   ( 3 ) .        ( ) = ( + + )  ( )   ( 3 )           Fig u r 5 .   PID   co n tr o ller   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   6 Decem b e r   20 25 :   5 1 3 0 - 5 1 4 3   5134   3 . 2 .     SVC - F O P I co ntr o ller   Po d lu b n y   [ 3 8 ]   p r o p o s ed   a   g en er aliza tio n   o f   t h in teg e r - o r d er   PID   to   n ew   o n e   d esig n ated   f r ac tio n al - o r d er   PID   as  d ep icted   in   Fig u r 6 .   FOPID  co n tr o ller s   ar estab lis h ed   b y   f r ac tio n al  ca lcu lu s   [ 3 9 ]   wh ich   b ec o m p o p u lar   p ar o f   m at h em atica an aly s is   o v er   th e   p ast  f ew  d ec ad es.  I t   is   in ten d ed   f o r   t h co m p u tatio n   o f   n o n - in teg er   d er iv atio n   a n d   i n teg r atio n   o p er ato r s .   T o   im p lem en t h ese  co n tr o ller s   b o th   in   s im u latio n   an d   in   h ar d war im p lem en tatio n ,   an   a p p r o x im atio n   with   in teg er   o r d er   tr an s f er   f u n ctio n s   is   n ee d ed .   I n   th is   wo r k ,   th ap p r o x im atio n   alg o r ith m   p r o p o s ed   b y   C h ar ef   et  a l.   [ 4 0 ]   h as  b ee n   u s ed   f o r   ca lcu latio n   o f   f r ac tio n al  o r d er   o p er ato r s .   T h tr an s f er   f u n ctio n   o f   th is   s o r t o f   co n t r o l stru ctu r is   ex p r ess ed   in   ( 4 ) .       an d      s y m b o lize   in   o r d er ,   th p r o p o r tio n al,   in te g r al,   an d   d er iv ativ g ai n s .     an d     r ep r esen in teg r ato r   an d   d if f er en tiato r   o r d er s   r esp ec tiv ely   ( 0 < , < 1 ) .     ( ) =  +  +    ( 4 )     Fig u r 7   s h o ws  th ar r an g e m e n o f   th f r ac tio n al  co n tr o ller     in   th p lan ( , ) No tin g   f r o m   ( 4 )   th at   f o r   = = 1   th e   f r ac tio n al  c o n tr o ller   b ec o m es  th e   class ical  PID .   T h i n ter est  in   th is   k in d   o f   co n tr o ller   is   j u s tifie d   b y   b et ter   f lex ib ilit y ,   s in ce   p lu s   th e   th r ee   tr a d itio n al  p ar am eter s   o f   PID   co r r e cto r   ad ju s tm en t,  it  h as  two   o th er   g ain s ,   th o r d er   o f   in teg r atio n     an d   t h o n o f   d if f er e n tiatio n   .   T h ese  two   f ac to r s   ca n   b u s ed   to   f u lf ill a d d itio n al  ch ar ac te r is tics   s u ch   as p r ec is co n tr o l a n d   r o b u s tn ess   [ 4 1 ] ,   [ 4 2 ] .             Fig u r 6 .   FOPID  co n tr o ller     Fig u r 7 .   Gr a p h ic  illu s tr atio n   i n   λ - µ  p lan e       3 . 3 .     SVC - F O F P I co ntr o lle r   B en ef itin g   f r o m   th ca p ab ilit y   o f   f u zz y   PID   f o r   d ea lin g   with   co m p lex   n o n lin ea r   s y s tem s   alo n g   with   th f lex ib ilit y   an d   r o b u s tn ess   o f   FOPID,   h y b r id   ty p FOFP I co n tr o ller   is   in tr o d u ce d   in   th is   wo r k .   T h e   ad o p ted   co n tr o s tr ateg y   is   b ased   o n   Ma m d an f u zz y   in f e r en ce   class .   R o to r   s p ee d   d ev iatio n   (  )   an d   its   f r ac tio n al  o r d er   d e r iv ativ ( ̇ =  )   ar th in p u ts   an d   t h au x iliar y   s ig n al  (  )   is   g en er ated   as  o u tp u o f   th FOFP I as  d ep icted   i n   Fig u r 8 .   T h e r r o r   in p u (  )   in clu d es  th s p ee d   d ev iatio n s   d if f er en ce   o f   r em o te  g en e r ato r s .   T h FLC  i n teg r al  o u t p u h as  f r ac tio n al   o r d er   c o ef f icien ( )   an d      r ep r esen tin g   in p u ts   s ca lin g   f ac to r s   with      an d      o u t p u o n es  a r o p tim ized   b y   th e   GW alg o r ith m   as  well  as  th e   f r ac tio n al  o r d er   o p er ato r s     an d   .           Fig u r 8 .   FOFP I co n tr o ller   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         F r a ctio n a l fu z z b a s ed   s ta tic  va r   co mp en s a to r   co n tr o l fo r   …  ( Ta r ik  Za b a io u )   5135   T h u s ,   f iv Gau s s ian   s y m m etr ical  lin g u is tic  v ar iab les  n am ely   ( n eg ativ b ig ,   n eg ativ s m all,   ze r o ,   p o s itiv s m all,   an d   p o s itiv b ig )   ar s elec ted   as  m em b er s h ip   f u n ctio n s   f o r   b o th   in p u ts   an d   o u tp u as  r ep r esen ted   in   Fig u r es  9   an d   1 0   r esp ec tiv ely .   T h ex tr ac tio n   o f   th p r o p o s ed   in p u t - o u tp u r u les  is   b a s ed   o n   th p r i n cip le  o f   ac ce ler atio n / d ec eler atio n   co n tr o l   o f   th s y s t em .   E x a m in in g   th e   ca s with   (  )   an d   ( ̇ )   ar p o s itiv b ig   ( PB ) .   T h is   s ig n if ies  th at  th d if f er en ce   o f   s p ee d   d ev iatio n s   in cr ea s es,  an d   th er ef o r ( 1 + 2 )   o f   g en er ato r s   ( 1 , 2 )   in   ar ea   1   is   g r ea ter   th an   ( 3 + 4 )   o f   g en er at o r s   ( 3 , 4 )   in   ar ea   2 .   C o n s eq u en tly ,   th s y s tem   d ec eler ates  an d   th tr an s m itted   ac tiv p o wer   f lo b etwe en   th two   ar ea s   i s   d ec r ea s ed .   At  th is   m o m en t,  b y   ap p l y in g   an   a u x il iar y   s ig n al  (  ) ,   th s tatic  v ar   co m p en s ato r   ( SVC )   in jects  r ea ctiv p o wer   an d   p r o v id es   p o s itiv s u s ce p tan c (  )   at  th e   o u t p u o f   th v o lta g r e g u lato r   in   Fig u r 3 .   I n   th co n tr ar y   s itu atio n   k n o wn   as  ac ce le r atio n ,   (  )   an d   ( ̇ )   ar e   tak en   as  n e g ativ b ig   ( NB ) ,   th is   m ea n s   th at   th s p ee d   d ev iatio n s   ( 1 + 2 )   is   lo wer   th an   ( 3 + 4 ) .   Hen ce ,   th o u tp u s ig n al  (  )   is   u s ed   s u ch   as  SVC   ab s o r b s   r ea ctiv e   p o wer   ( i n d u ctiv m o d e )   a n d   s u p p lies   n e g ativ s u s ce p tan ce   to   th e   p o we r   g r i d .   W h en   (  )   an d   its   d er iv ativ a r ze r o   ( Z ) ,   th g en e r ato r s   ar r o tatin g   with   eq u al  s p ee d ,   n o   p o wer   o s cillatio n s   s i tu atio n .   T h u s ,   th SVC   s u p p lem en tar y   co n tr o is   n o n ec ess ar y   an d   th o u tp u is   ze r o .   Usi n g   s im il ar   in ter p r etatio n s ,   5 × 5   r u le  b ase  m atr ix   ca n   b estab lis h ed   an d   lis ted   in   T ab le  1 .   Mo r eo v er ,   th in f er en ce   p r o c ess   is   m ad o n   th e   m in - m ax   tech n iq u a n d   d ef u z zif icatio n   o n   th e   ce n ter   o f   g r a v ity .               Fig u r 9 .   Me m b er s h ip   f u n ctio n   f o r   o u tp u t     Fig u r 1 0 .   Me m b er s h ip   f u n cti o n   f o r   in p u ts       T ab le  1 .   FOFP I co n tr o ller   r u le  b ase           NB   NS   Z   PS   PB   NB   NB   NB   NB   NS   Z   NS   NB   NB   NS   Z   PS   Z   NB   NS   Z   PS   PB   PS   NS   Z   PS   PB   PB   PB   Z   PS   PB   PB   PB       4.   P E RF O RM A NCE C RI T E R I A   4 . 1 .       O bje ct if   f un ct io n   T o   im p r o v th o p er atin g   c o n d itio n s   o f   t h d am p in g   c o n tr o ller   an d   in cr ea s its   p e r f o r m a n ce ,   p ar am eter s   tu n in g   is   in ev itab l e.   Fo r   th is   aim ,   I T AE   is   ap p r o v ed   as o b jectiv c r iter io n   a n d   ex p r ess ed   b y   ( 5 )     = | |   0   ( 5 )     wh er    is   s im u latio n   tim an d   = 1 2     an d     ar th    an d      s p ee d   g en er ato r   f r o m   d is tin ct  zo n es.   I n   th is   s tu d y ,   f o r   m u lti - g en e r ato r s   s y s tem   th f itn ess   f u n ctio n   is   d ef in e d   b y   ( 6 )     = | ( 1 + 2 ) ( 3 + 4 ) |  0   ( 6 )       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   6 Decem b e r   20 25 :   5 1 3 0 - 5 1 4 3   5136   T h u s ,   th p r o b lem   f o r m u latio n   is   s tated   as:   Min im ize    s u b ject  to     PID   co n tr o ller     ( , , ) { _ _  _ _  _ _          FOPID  co n tr o ller     (  ,  ,  , , ) {          _   _   _   _   _   _          FOFP I co n tr o ller     ( ,  ,  ,  , , ) {         _ _   _   _   _   _   _   _        T h lim its   o f   th o p tim ized   s ettin g s   ar g iv en   b y   { , , ,  ,  ,  , ,  ,  ,  } [ 0 , 100 ]   an d   { , } [ 0 , 1 ] .     4 . 2 .     P er f o r m a nce  m e a s ure  ind ices   W ith   th aim   o f   ass ess in g   t h s u p r em ac y   o f   th e   d ev elo p ed   FOFP I co n tr o ller ,   c o m p ar ativ e   an aly s is   b ased   tr an s ien p er f o r m an ce   i n d ices  ( s ettlin g   tim e,   o v er s h o o a n d   u n d e r s h o o t)   is   co n s id er ed .   I n   ad d itio n ,   a n   in d icato r   ca lled   d ec ay   r atio   i n d ex   ( DR I )   is   in tr o d u ce d   in   th is   s tu d y ,   p r esen ted   b y   ( 7 ) .   I g iv es  a   m ea s u r o f   h o r ap i d ly   th p o wer   o s cillatio n s   ar d ec r ea s in g .   Min im izin g   I T AE   an d   o th er   p er f o r m an ce   in d ices  ar a   g o o d   in d icatio n   o f   d y n am ic  r esp o n s im p r o v em en t.   So ,   th p o wer   s y s tem   r esp o n s b ec o m e s   f aster   an d   th o s cillatio n s   d am p in g   is   in cr ea s ed .      =     ( 7 )     wh er F OS   is   th f ir s t o v e r s h o o t a n d   S OS   is   th s ec o n d   o v er s h o o t.       5.   O P T I M I Z AT I O CO M P U T AT I O N   Var io u s   alg o r ith m s   f o r   o p tim izin g   s war m   in tellig en ce   h av b ee n   in tr o d u ce d   b y   s im u latin g   th e   b eh av io r   o f   liv in g   b ein g s   in   n atu r e.   On o f   th o p tim izatio n   ap p r o ac h es  is   GW O   [ 4 3 ]   wh ich   is   ad ap ted   u s in g   MA T L AB   en v ir o n m en f o r   o u r   ap p licatio n .   T h is   tech n iq u e   is   in s p ir ed   b y   wo lf   ty p ca l led   g r ey   wo lf   wh ich   h as  s p ec ial  h ier ar c h y   a n d   g r ea o r g a n izatio n .   T h o p tim i za tio n   alg o r ith m   d e p en d s   o n   t h s o cial  h ier ar c h y   an d   th h u n tin g   m ec h a n is m   o f   th g r ey   wo lv es.     So cial  h ier ar ch y T h p ac k   is   s h ar ed   o n   f o u r   le v els  as  d ep icted   in   Fig u r 1 1 ( a) Alp h ,   B eta  ,   Delta    an d   Om eg   in   th b ase.   T h e   s tr o n g est  wo lf   is   th alp h lea d er   an d   t h d o m in atio n   d ec r e ase  f r o m     t o   .     Hu n tin g   m ec h a n is m T h p r i n cip al  s tep s   o f   wo lf   h u n tin g   p r esen ted   b y   [ 4 4 ]   a r as  f o llo ws:   tr ac k in g ,     en cir clin g ,   an d   attac k in g   th p r ey .   C o m p ar ed   to   o th e r   k n o wn   m etah eu r is tic  alg o r ith m s ,   GW is   ch ar ac ter ized   b y   its   s i m p licity ,   its   ea s o f   ap p licatio n   an d   m ai n ly   its   u s o f   n o   s p ec if ic  in p u p ar am ete r s   to   o p er ate.   T h g e n er al  ev o lu tio n   s tep s   o f   th u s ed   alg o r ith m   ar s u m m ar ize d   b y   th f o llo win g   f lo wch a r t illu s tr ated   in   Fig u r 1 1 ( b ) .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         F r a ctio n a l fu z z b a s ed   s ta tic  va r   co mp en s a to r   co n tr o l fo r   …  ( Ta r ik  Za b a io u )   5137         Fig u r e   11 .   GW alg o r ith m   [ 4 3 ] : ( a)   s o cial  h ier a r ch y   o f   g r ey   wo lv es  an d   ( b )   f lo d iag r am       6.   O P T I M I Z AT I O AND  S I M UL A T I O R E SU L T S   I n   th co n tex t o f   ass ess in g   th p er f o r m a n ce   o f   th p r o p o s ed   FOFP I co n tr o ller   to   m itig ate   in ter - ar ea   L FOs   an d   em p h asizin g   its   s u p er io r ity   o v er   o t h er   r e g u lato r s ,   th is   wo r k   co v e r s   two   ca s s t u d ies.  No te  th at  th e   f r ac tio n al  co n tr o ller s   [ 4 0 ]   a r im p lem en ted   u s in g   MA T L AB /Si m u lin k   an d   t h m ain   co n f i g u r atio n   em p lo y ed   b y   th GW alg o r ith m   is   4 0   s ea r ch   ag en ts   an d   1 0 0   iter atio n s .       6 . 1 .     Ca s 1 :   Six - cy cle  t hree - ph a s f a ult    Fo r   th f ir s test ,   a   s ix - cy cle  th r ee - p h ase  f au lt  is   o cc u r r e d   in   th ce n ter   o f   th tr an s m is s io n   lin e   b etwe en   b u s es  7   a n d   8   o f   t h test   s y s tem .   T h d is tu r b an ce   i s   s tar ted   at  th tim t = 1   s   an d   d elete d   af ter   0 . 1   s   th r o u g h   th b r ea k er s   cir cu its .   T h v alu es  o f   th f itn ess   f u n c tio n   an d   th o p tim u m   co n tr o ll er s   g ain s   ac q u ir ed   af ter   o p tim izatio n   with   t h G W m eth o d   ar n o ticed   in   T a b le  2 .       T ab le  2 .   C o n tr o ller s   g ain s   an d   I T AE   o p tim al  v al u es f o r   ca s 1     C o n t r o l l e r   C a se  1     P a r a me t e r s   I TA E   P I D         J   1 0 0 . 0 0   0 . 3 8 7 0   1 6 . 3 2 7 6   0 . 4 0 5 1   F O P I D                J   3 9 . 4 7 2 3   0 . 1 5 8 7   9 9 . 8 5 9 6   0 . 1 2 8 9   0 . 1 9 5 5   0 . 3 5 5 6   F O F P I D                  J   5 . 3 8 0 2   5 9 . 7 0 7 3   2 . 6 0 9 0   5 7 . 7 6 0 9   0 . 1 8 5 0   0 . 3 2 1 4   0 . 3 2 2 9     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   6 Decem b e r   20 25 :   5 1 3 0 - 5 1 4 3   5138   T h o b tain e d   co n v er g en c cu r v is   illu s tr ated   in   Fig u r 1 2 .   I is   ap p ar en t,  t h at  th I T AE   h as  its   m in im al  v alu J =   0 . 3 2 2 9   f o r   t h GW O - b ased   FOF PID   co n tr o ller   v er s u s   J =   0 . 3 5 5 6   f o r   FOPID  an d   J 0 . 4 0 5 1   f o r   PID .   Hen ce ,   th e   d ev el o p e d   FOFP I h as  th e   b est  ef f icien cy   in   r e d u cin g   th e   o b jectiv f u n ctio n   v alu e   an d   s co r es e x tr d esire d   o s cillatio n s   d am p in g   in   co m p ar is o n   wit h   th PID   an d   FOPID.     Af ter   co m p u ter   s im u latio n ,   th d y n am ics  p er f o r m a n ce   o f   th test   p o wer   g r id   is   p r o v id ed   i n     Fig u r es  1 3   an d   1 4 .   T h ese  f ig u r es  s h o th r esp o n s es  o f   th r o to r   s p ee d   d if f e r en ce   b etwe e n   g en er ato r s   o f   ar ea   1   ( G1   an d   G 2 )   an d   th o s o f   a r ea   2   ( G3   an d   G4 ) .   T h d is tu r b an ce   p r o d u ce s   p o o r   i n ter - ar ea   lo f r eq u e n cy   o s cillatio n   ( f   0 . 6 3   Hz) .   No ticea b ly ,   th FOFP I co n tr o ller   ef f ec tiv ely   an d   r ap id ly   atten u ate  th d am p in g   o f   th u n d esira b le  o s cillatio n .   D esp ite  th ass ets  o f   th FOPID  n o ticed   b y   t h liter atu r e,   t h n o v el  f r ac ti o n al - o r d er   f u zz y   PID   g iv es h ig h e r   p er f o r m an ce s .           Fig u r e   12 .   Ob jectiv f u n ctio n   v ar iatio n   g r ap h   f o r   ca s 1             Fig u r 1 3 .   Sp ee d   d if f er en ce   o f   G1 - G3   -   ca s 1     Fig u r 1 4 .   Sp ee d   d if f er en ce   o f   G2 - G4   -   ca s 1       T h v ar i o u s   tr an s ien p er f o r m an ce   in d e x es  n o te d   s ettlin g   tim ( ST) ,   o v er s h o o ts f ir s o v er s h o o ( FOS),   s ec o n d   o v er s h o o ( SO S),   an d   u n d er s h o o ( US)   e x tr ac ted   f r o m   th e   p r ev io u s   f ig u r es  ar m en tio n ed   in   T ab le  3 .   T h e   s ettlin g   tim ( ST)   o f   s p ee d   d ev iatio n   ( w1 - w3 )   with   th e   SVC - b ased   FOFP I is   d etec ted   at   3 . 9 4 5 6   s ,   wh ich   is   less   th an   o th er   s ettlin g   tim es  o b tain e d   with   FOPID  ( 4 . 6 4 3 5   s )   a n d   PID   ( 5 . 5 9 1 4   s ) .   Fu r th er m o r e ,   th f ir s t a n d   s ec o n d   o v e r s h o o ts   ar ( FOS =  4 . 3 9 5 8 ,   4 . 6 0 5 7 ,   4 . 7 7 4 3 )   an d   ( S OS =   0 . 9 3 6 8 ,   1 . 6 1 1 9 ,   2 . 3 8 3 2 )   f o r   th FOFP I D,   F O PID   an d   PID ,   r esp ec tiv ely .   T h u n d er s h o o is   d ec r ea s ed   to   lo wer   v alu o f   4 . 2 4 6 2   g iv en   b y   th e   FOFP I an d   v a r ies  at  4 . 9 5 1 4   an d   5 . 1 1 8 3   f o r   th e   FOPID  an d   PID ,   s u b s eq u en tly .   T h s am r em ar k s   ar c o n d u cte d   f o r   s p ee d   d e v iatio n   ( w 2 - w4 ) ,   f o r   all  tr an s ien m ea s u r es,  th FOFP I D   ac h iev em en is   s u p er io r   to   th FOPID  an d   PID   co n tr o ller s .   Fro m   th is   co m p ar ativ s tu d y ,   it  is   co n clu d ed   th at   th d esig n ed   GW O - FOFP I p er f o r m s   b etter   in   ter m   o f   m in im izin g   th s ettlin g   tim e,   l o wer in g   o v er /u n d er   s h o o ts   an d   th er e f o r p r o v id es  ef f ec tiv d am p in g   o f   in ter - ar e lo L FOs .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         F r a ctio n a l fu z z b a s ed   s ta tic  va r   co mp en s a to r   co n tr o l fo r   …  ( Ta r ik  Za b a io u )   5139   T ab le  3 .   T r a n s ien t p ar am eter s   o f   s p ee d   d i f f er en ce   f o r   ca s 1       w1 - w3             w2 - w4       C o n t r o l l e r   S ( s)   F O S   ( × )   S O S   ( × )   US ( × )     C o n t r o l l e r   S ( s)   F O S   ( × )   S O S   ( × )   US ( × )   P I D   5 . 5 9 1 4   4 . 7 7 4 3   2 . 3 8 3 2   5 . 1 1 8 3     P I D   5 . 4 5 7 6   6 . 8 6 4 1   3 . 3 0 2 1   5 . 7 7 7 6   F O P I D   4 . 6 4 3 5   4 . 6 0 5 7   1 . 6 1 1 9   4 . 9 5 1 4     F O P I D   4 . 3 7 4 8   6 . 8 6 4 5   2 . 5 1 8 7   5 . 0 4 4 5   F O F P I D   3 . 9 4 5 6   4 . 3 9 5 8   0 . 9 3 6 8   4 . 2 4 6 2     F O F P I D   3 . 6 1 3 5   6 . 8 6 1 6   1 . 0 6 1 8   4 . 7 4 2 7       6 . 2 .     Ca s 2 :   L o a d v a ria t io   I n   th s ec o n d   s ce n a r io ,   th r o b u s tn ess   v er if icatio n   o f   th d esig n ed   co n tr o ller   is   p er f o r m ed   b y   ch an g in g   lo ad   co n d itio n s .   Fo r   th at,   test   is   ca r r ied   o u b y   in cr ea s in g   th lo ad   L 9   at  b u s   9   b y   2 0   f r o m     1 7 6 7   MW  to   2 1 2 0 . 4 0   MW  a t = 1   s   [ 4 5 ] T h m in im alize d   v alu es  o f   th o b tain ed   I T A E   cr iter ia  an d   th e   GW O - o p tim ized   p ar am eter s   o f   th PID ,   FOPID,   an d   FOFP I co n tr o ller s   ar p r o v i d ed   in   T ab le  4 .     Fig u r 1 5   illu s tr ates  th v ar ia tio n   o f   o b jectiv f u n ctio n .   I is   ev id en th at  th FO FP I d i s p lay s   th b est  f itn ess   v alu J = 0 . 4 0 4 1   c o m p ar ed   to   FOPID  an d   PID   with   J = 0 . 4 3 0 5   a n d   J = 0 . 5 5 0 1 ,   r esp ec tiv ely .   R ed u cin g   I T AE   is   g o o d   s ig n   o f   p o wer   o s cillatio n s   d im in u ti o n   an d   s y s tem   d y n am ic   r esp o n s am elio r atio n .       T ab le  4 .   C o n tr o ller s   g ain s   an d   I T AE   o p tim al  v al u es f o r   ca s 2     C o n t r o l l e r   C a se  2     P a r a me t e r s   I TA E   P I D         J   1 0 0   0 . 4 2 9 6   3 . 2 5 4 2   0 . 5 5 0 1   F O P I D                J   9 2 . 2 7 0 6   8 2 . 8 2 3 8   8 3 . 9 2 8 5   0 . 4 3 5 3   0 . 1 4 5 4   0 . 4 3 0 5   F O F P I D                 J   0 . 4 6 3 5   6 7 . 3 1 1 0   9 2 . 9 8 4 7   9 6 . 0 4 7 0   0 . 1 1 9 3   0 . 2 4 7 6   0 . 4 0 4 1           Fig u r 1 .   Ob jectiv f u n ctio n   v ar iatio n   g r a p h   f o r   ca s 2       T h r o to r   s p ee d   d if f er e n ce   o f   g en er ato r s   f r o m   s ca tter ed   r e g io n s   ar s h o wn   in   Fig u r es  1 6   an d   1 7 .   Du r in g   th e   lo ad   v ar iatio n ,   th p o wer   s y s tem   b ec o m es  ex p o s to   g r e at  p o o r ly   d am p ed   in ter - ar ea   s win g s .   E v id en tly ,   t h s y s tem   eq u ip p e d   with   th FOFP I r etu r n s   to   its   s tead y   s tate  an d   ca n   s u p p r ess   o s cillatio n s   a s   r ap id ly   an d   m o r ef f icien tly   th an   with   o th er   c o n tr o ller s .   T h o b tain ed   v alu es  o f   tr an s i en p er f o r m a n ce   p ar am eter s   ( s ettlin g   tim e,   o v er s h o o an d   u n d er s h o o t )   o f   ca s 2   ar lis ted   in   T ab le   5 .   I t is ap p ar en t th at  f o r   s p ee d   d if f er en ce   ( w1 - w 3 ) ,   th litt le   s et tlin g   tim 3 . 0 0 1 1   s   is   o b tain ed   with   th e   FOFP I s tr ateg y ,   co m p a r ed   t o   FOPID  ( 3 . 1 9 9 5   s )   a n d   PID   ( 4 . 7 1 7 0   s ) .   T h r esu lts   r ev e al  ap p r o x im ately   a   s im ilar   f ir s t o v er s h o o t   ( FOS).   Ho wev er ,   th e   r ec o m m en d e d   co n tr o l   s ch em e   ex h ib its   th e   lo wer   s ec o n d   o v e r s h o o ( SOS  0 . 0 1 5 1 ) ,   s u r p ass in g   th f in d in g s   o f   FOPID  ( 0 . 0 9 0 4 )   a n d   PID   ( 0 . 2 6 8 5 ) .   Ag ain ,   th e   u n d er s h o o is   f u r th e r   r ed u ce d   to   s m all  am o u n 0 . 6 9 5 4   u s in g   FOFP I co m p ar ed   t o   th e   v alu es  attain ed   b y   FOPID  ( 0 . 8 0 0 2 )   an d   PID   ( 0 . 9 0 1 1 ) .   T h s am r e m ar k s   f o r   s p ee d   d e v iatio n   ( w2 - w4 ) ,   th e   r esu lts   in d icate   th s u p r em ac y   o f   th FOFP I with   g o o d   en h an ce m e n t o f   t r an s ien t p er f o r m an ce   m e asu r es.    Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.