I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m pu t er   E ng ineering   ( I J E CE )   Vo l.   15 ,   No .   6 Decem b er   20 25 ,   p p .   5 2 7 6 ~ 5 2 8 5   I SS N:  2088 - 8 7 0 8 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /ijece. v 15 i 6 . pp 5 2 7 6 - 5 2 8 5           5276       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij ec e. ia esco r e. co m   Stability  ana ly sis  and ro bust con trol o cy ber - phy sica l sy stems:  integra ting J a co bia n lineariza tion,  Ly a puno v   m ethods a nd  linea r quadra tic  r eg ula tor   c o ntrol v ia  LM t echniq ue s       Ra chid  B o uts s a id 1 ,   Ab delj a ba r   Abo ulk a s s im 1 ,   Sa id K ririm 1, 2 ,   E l H a na f i A rj da l 1 Yo us s ef   M o um a ni 3   1 La b o r a t o r y   o f   M a t e r i a l s ,   S i g n a l s,  S y s t e ms,   a n d   P h y s i c a l   M o d e l i n g ,   F a c u l t y   o f   S c i e n c e s A g a d i r ,   I b n   Z o h r   U n i v e r s i t y   C i t é   D a k h l a   A g a d i r M o r o c c o   2 En e r g y   a n d   S u st a i n a b l e   D e v e l o p m e n t   R e se a r c h   T e a m ,   G u e l m i m,   M o r o c c o   3 A d v a n c e d   S y st e m E n g i n e e r i n g   La b o r a t o r y ,   N a t i o n a l   S c h o o l   o f   A p p l i e d   S c i e n c e s,   I b n   T o f a i l   U n i v e r si t y ,   K e n i t r a ,   M o r o c c o       Art icle  I nfo     AB S T RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Ma y   7 ,   2 0 2 5   R ev is ed   J u l 1 4 ,   2 0 2 5   Acc ep ted   Sep   1 4 ,   2 0 2 5       S tab il it y   issu e in   c y b e r - p h y sic a l   sy ste m (CP S a rise   fro m   th e   c h a ll e n g i n g   e ffe c ts  o n o n li n e a d y n a m ics   re l a ti o n   t o   m u lt i - i n p u t,   m u l ti - o u tp u t   sy ste m s.  Th is  re se a rc h   p ro p o se d   a   ro b u st  c o n tro fra m e wo rk   th a c o m b in e s   Ja c o b ian   li n e a riza ti o n ,   L y a p u n o v   sta b il it y   a n a ly sis,  a n d   li n e a q u a d ra ti c   re g u lato r   (LQR)  c o n tro v ia  li n e a m a tri x   in e q u a li ti e (LM Is).  T h e   ro b u st   m e th o d o lo g y   d o e t h e   fo ll o wi n g :   it   a p p l ies   li n e a riza ti o n   o n   t h e   d y n a m ics   o f   th e   CP S i e sta b li sh e t h e   sta b il i ty   o th e   sy ste m   u si n g   L y a p u n o v   fu n c ti o n s   a n d   LM Is;  a n d   it   d e sig n a n   LQ c o n tro ll e r.   T h e   p ro p o se d   fra m e wo rk   wa s   v a li d a ted   t h ro u g h   a   c o m p a riso n   b e twe e n   th e   b e h a v i o o a   li n e a rize d   a n d   n o n li n e a m o d e l.   T h e   a u t o n o m o u v e h icle   a p p li c a ti o n   sh o we d a   se tt li n g   ti m e   o 2 0   se c o n d s;  a n   o v e rsh o o o 3 . 8 1 8 7 % a n d   a   ste a d y - sta te  e rro o f   2 . 6 8 8 × 1 0 .   Th e   p r o p o se d   fra m e wo rk   is  ro b u stl y   d e m o n stra ted   a n d   h a s   a p p li c a ti o n to   a re a in   a u to m a t io n   a n d   sm a rt  in fra stru c tu re .   F u tu re   wo rk   in c lu d e o p ti m izin g   t h e   d e sig n   o we i g h ti n g   m a tri c e a n d   d e v e lo p i n g   a d a p ti v e   c o n tr o fe a tu re s.   K ey w o r d s :   Cy b e r - p h y sic a sy ste m   Ja c o b ian   li n e a riza ti o n   Li n e a m a tri x   i n e q u a li ty   Li n e a q u a d ra ti c   re g u lato r   Ly a p u n o v   sta b i li ty   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   R a c h i d   B o u t s s a i d   L a b o r a t o r y   o f   M a t e r i a ls ,   Si g n al s ,   S y s t e m s ,   a n d   P h y s i c al   M o d e l i n g ,   F a c u lt y   o f   S c ie n c e s ,   I b n   Z o h r   U n i v e r s i t y     B . P   8 1 0 6   C i t é   D a k h l a   A g a d i r ,   M o r o c c o   E m a i l :   r a c h i d . b o u t s s a i d . 5 6 @ e d u . u i z . a c . m a       1.   I NT RO D UCT I O N   C y b er - p h y s ical  s y s tem s   ( C P S)  co m b in c o m p lex   p h y s ical  p r o ce s s es  with   co m p u t atio n   an d   n etwo r k ed   co n t r o l,  e n ab lin g   a p p licatio n s   s u ch   as  au to n o m o u s   v eh icles,  s m ar t   g r id s ,   an d   i n d u s tr ial  au to m atio n   [ 1 ] [ 3 ] .   C PS   b len d   co m p lex   d y n am ics  with   r ea l - tim f ee d b ac k   th at  ca ll  f o r   r ig o r o u s   s t ab ilit y   an aly s is   an d   co n tr o s y n th esis   to   en s u r p er f o r m a n ce   [ 4 ] ,   [ 5 ] .   C o n tr o l   th eo r y   ad v a n ce m en ts   s u ch   as  L y ap u n o v - b ased   ap p r o ac h es  an d   t h u s o f   lin ea r   m atr ix   i n eq u alities   ( L MI s )   in   r ec en t   y ea r s   h a v in cr ea s ed   s tab ilit y   g u ar an tees  u n d e r   n o n lin ea r ities   an d   u n ce r tain ty   in   C PS   [ 6 ] [ 1 0 ] .   T h m u lti - in p u t,  m u lti - o u tp u ( MI MO )   n atu r o f   C PS   r eq u ir es m o r a d v an ce d   an d   s o p h is ticated   m ath em atica l to o ls   to   co n tr o [ 1 1 ] [ 1 3 ] .   W h en   th er ar n o n lin ea r   d y n am ics,  ex ter n al  d is tu r b an ce s ,   an d   p ar am ete r   u n ce r tain ties ,   it  is   d if f icu lt  to   k ee p   C PS   s tab le,   p ar ticu lar ly   wh en   we  ar d ea lin g   with   MI MO   s y s tem s   [ 1 ] ,   [ 4 ] .   C lass ical  l in ea r izatio n   o f ten   ca n n o tak in to   ac co u n t   th co m p lex   b e h av io r s   [ 6 ] ,   w h ils th n etwo r k   its elf   is   lik el y   to   in v o lv d elay s   o r   v u l n er ab ilit ies  [ 3 ] ,   [ 1 4 ] .   T h b ig g est  ch allen g is   d esig n i n g   co n t r o ller s   th at  ca n   ac h iev b o th   s tab ilizatio n   an d   p er f o r m an ce   at  th e   s am tim [ 6 ] ,   [ 1 5 ] .   T h ese  c h allen g es  ar o f   p a r ticu lar   c o n s eq u e n ce   in   ap p licatio n s   lik au to n o m o u s   v eh icles  wh er p r ec is io n   co n tr o m atter s   [ 1 6 ] .   T h e   p u r p o s o f   th is   r es ea r ch   is   to   c r ea te  a   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         S ta b ilit a n a lysi s   a n d   r o b u s t c o n tr o l o f c yb er - p h ysica l sys te ms:  in teg r a tin g     ( R a c h id   B o u ts s a id )   5277   s tr o n g   co n tr o f r am ewo r k   f o r   C PS   b y   u s in g   J ac o b ian   lin e ar izatio n ,   L y ap u n o v   s tab ilit y   an aly s is ,   an d   L QR   co n tr o l c o n s is ten tly   u s in g   th L MI   ap p r o ac h es,  illu s tr ated   v i an   au to n o m o u s   v eh icle  ca s s tu d y .   T h is   wo r k   in tr o d u ce s   n o v el   f r am ewo r k   th at  u n if ies  J ac o b ian   lin ea r izatio n   to   r ep r esen t   n o n lin ea r   C PS   d y n am ics,  L y ap u n o v   f u n ctio n s   to   en s u r s tab ilit y ,   a n d   an   L QR   co n tr o ap p r o ac h   b ased   o n   L MI s   t o   en s u r o p tim al  p e r f o r m an ce .   W h ile  o th er   wo r k s   h a v u s ed   s im ilar   tech n iq u es,  o u r s   is   p r o v id in g   a   u n if ie d   m eth o d   f o r   d ea lin g   with   MI MO   s y s tem ,   an d   d em o n s tr a tiv ely   th r o u g h   an   a u to n o m o u s   v eh icle  m o d el.   Fu r th er m o r e ,   we  p r o v i d ed   n u m er ical  an aly s es  an d   f o u n d   b etter   s tab ilit y   an d   p er f o r m an c wh ile  p r o p o s in g   a   m eth o d   th at  ca n   b h elp f u to   s ca lin g   in   C P ap p licatio n s .   F in ally ,   th f lex ib ilit y   o f   th p r o p o s ed   f r am ewo r k   allo ws ex ten s io n s   to   o th er   d o m ain s   in clu d in g   s m ar t i n f r astr u ctu r e.   T h is   p ap er   is   o r g an ized   in   th e   f o llo win g   way :   r elate d   wo r k   in   s ec tio n   2 m eth o d o l o g y   in   s ec tio n   3 r esu lts   in   s ec tio n   4 d is cu s s io n   o f   f in d i n g s   an d   lim itatio n s   i n   s ec tio n   5 ;   an d   th en   r ec o m m en d atio n s   f o r   f u tu r wo r k   in   s ec tio n   6 .       2.   L I T E R AT U RE   R E VI E W   R ec en wo r k   co n ce r n in g   cy b e r - p h y s ical  s y s tem s   ( C PS ) ,   o n   t o p ics  o f   s tab ilit y   an d   co n tr o o f   C PS   f o r   p u r p o s es  lik au to n o m o u s   v eh icle  an d   s m ar g r id   s y s tem s   ( 2 0 2 2 - 2 0 2 5 ) ,   co n tin u es  to   d ev elo p .     R u b io - Her n an   et  a l.   [ 1 7 ]   a p p l ied   L y ap u n o v   m eth o d s   f o r   s t ab ilit y   o f   C PS   with   r eg ar d s   t o   d elay s ,   an d   C h esi   [ 1 8 ]   ap p lied   th em   C AD  o n   th r esh o ld s   to   r ec o v er   f r o m   ac tu at o r   f a u lts   [ 1 ] ,   [ 5 ] J o u y b ar y   et  a l.   [ 1 9 ]   a p p lied   th e   J ac o b ian   m eth o d   th r o u g h   lin ea r izatio n   to   r o b o tic  C PS ' s   li n ea r ized   d y n am ics  wh ile  Sh eik h s am ad   an d   Pu ig   [ 2 0 ]   e x ten d e d   f ee d b ac k   lin e ar izatio n   to   UAVs,  b u b o t h   g r o u p s   f o u n d   it  d if f icu lt   to   r ep r esen C PS   p er f o r m an ce s ,   wh ich   lay   in   s et  o f   co m p lex   n o n lin ea r ities   [ 4 ] ,   [ 9 ] Ph an   et  a l.   [ 2 1 ]   p r o p o s ed   th at  ad ap tiv e   lin ea r izatio n   ca n   b u s ed   to   d e al  with   th ese  is s u es  [ 1 2 ] .   T r an   et  a l.   [ 2 2 ]   ap p lie d   L QR   co n tr o t o   au t o n o m o u s   v e h icles  f o r   b etter   o p er atio n ,   wh ile  A o u an a n d   Olalla   [ 2 3 ]   ass o ciate d   L QR   with   m ac h in lear n in g   as  s m ar in f r astru ctu r co n tr o m eth o d   [ 6 ] ,   [ 1 0 ]   J ian g   et  a l.   [ 2 4 ]   a n d   So n g   et  a l.   [ 2 5 ]   u s ed   L MI - b ased   L QR   g u ar a n tees  to   p r o tect   C PS   ag ain s cy b er - attac k s ,   an d   to   d ev el o p   m u lti - o b jectiv co n tr o l,  r esp ec tiv ely   [ 7 ] ,   [ 1 6 ] Yan g   et  a l.   [ 2 6 ]   i n co r p o r ate d   L MI s   with   r o b u s t   co n tr o f o r   th ca s o f   MI MO   C PS   [ 2 7 ] Z h ao   et   a l.   [ 2 8 ]   an d   Yan g   et  a l.   [ 2 6 ]   r e p o r ted   ad ap tiv co n t r o an d   s ec u r esti m atio n   f o r   C PS   s ec u r ity   [ 2 ] [ 3 ] .   Alca la   et  a l.   [ 2 9 ] ,   T r an   an d   Vu   [ 3 0 ]   u s ed   L QR   an d   L y ap u n o v   m eth o d s   to   co n tr o l a u to n o m o u s   v eh icles  [ 6 ] ,   [ 3 1 ] .   R ev iew  an aly s is Ma n y   r ec en wo r k s   ad v an ce   C PS   s tab ilit y   an d   c o n tr o b ased   p r im ar ily   o n   L y ap u n o v ,   lin ea r izatio n ,   L Q R ,   an d   L MI s .   Desp ite  th ese  ad v an ce s ,   s tu d ies  h av n o y et  cr ea ted   u n if ied   f r am ewo r k s   f o r   n o n lin ea r   MI MO   s y s tem s .   T h is   p ap er   co m b in es  J ac o b ian   lin ea r izatio n ,   L y ap u n o v   s tab ilit y ,   an d   L MI   b ased   L QR   in   th co n tex t o f   ca s s tu d y   with   an   a u to n o m o u s   v eh icle;  ad d r ess in g   th n o ted   g ap s   f o r   s ca lab le  C PS   ap p licatio n s .       3.   M E T H O   T h is   s tu d y   cr ea tes  an d   d em o n s tr ates  co n tr o l   f r am ewo r k   f o r   c y b er - p h y s ical  s y s tem s   ( C PS )   u s in g   th f o llo win g   th r ee   m eth o d s J ac o b ian   lin ea r izatio n ,   L y a p u n o v   s tab ilit y   an aly s is ,   an d   lin ea r   q u ad r atic  r eg u lato r   ( L QR )   co n tr o v ia  l in ea r   m atr ix   in eq u alities   ( L MI )   in   th co n tex o f   a n   au to n o m o u s   v eh icle  ca s s tu d y .   T h s tu d y   in v o lv es  th r e co m p o n en ts s y s tem   lin ea r izatio n ,   s tab ilit y   an aly s is   an d   co n tr o ller   s y n th esis ,   an d   th ca s s tu d y   to   d em o n s tr ate  s u itab ilit y .     3 . 1 .     Sy s t e m   lin ea riza t io n   T o   en a b le  lin ea r   co n tr o tec h n iq u es,  n o n lin ea r   C PS   d y n a m ics  ar lin ea r ized   u s in g   th J ac o b ian   m atr ix   m eth o d .   T h e   n o n lin ea r   s y s tem   is   g iv en   in   s tate - s p ac f o r m :       ˙ ( ) = ( ( ) , ) , ( ) = ( ( ) , )       ( 1 )     wh er e:     ( )   is   th s tate  v ec to r ,     ( ( ) , )   r ep r esen ts   th n o n lin ea r   s y s te m   d y n a m ics,     ( )   is   th o u tp u v ec to r ,   a n d     ( ( ) , )   is   th n o n lin ea r   o u tp u t f u n ctio n .   T h J ac o b ia n   lin ea r izatio n   a p p r o x im ates  t h s y s tem   a r o u n d   an   eq u ilib r iu m   p o i n ( 0 , 0 )   u s in g   f ir s to r d er   T a y lo r   ex p an s io n .   T h is   lin ea r izatio n   p r o c ess   y ield s   th f o llo win g :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   6 Decem b e r   20 25 :   5 2 7 6 - 5 2 8 5   5278   ( ( ) , ( ) )   ( 0 , 0 ) +   | ( 0 , 0 ) ( ( ) 0 ) +   | ( 0 , 0 ) ( ( ) 0 ) ( ( ) , ( ) )   ( 0 , 0 ) +  | ( 0 , 0 ) ( ( ) 0 ) +  | ( 0 , 0 ) ( ( ) 0 )        ( 2 )     T h r esu ltin g   J ac o b ia n   m atr ic es a r e:       =   | ( 0 , 0 ) , =   | ( 0 , 0 )      ( 3 )     At  th eq u ilib r iu m   p o in t,  we  h av ( 0 , 0 ) = 0   an d   ( 0 , 0 ) = 0 ,   lead in g   to   th lin ea r ized   s y s tem :     Δ ( ) = Δ ( ) + Δ ( ) , Δ ( ) = Δ ( ) + Δ ( )   ( 4 )     wh er e:     Δ ( ) = ( ) 0 ,     Δ ( ) = ( ) 0 ,     Ma tr ices    an d     ar d er iv ed   s im ilar ly   [ 1 2 ] ,   [ 1 3 ] .     3 . 2 .     St a bil it y   a na ly s is   a nd   co ntr o ller  des ig n   Stab ilit y   is   en s u r ed   u s in g   L y ap u n o v   f u n ctio n ,   an d   an   o p tim al  L QR   co n tr o ller   is   s y n t h esized   u s in g   L MI s .   Fo r   th lin ea r ized   s y s tem :     Δ = Δ + Δ      ( 5 )     L y ap u n o v   f u n ctio n   is   d ef in e d   as:     ( Δ ) = Δ Δ       ( 6 )     wh er   is   s y m m etr ic  p o s itiv d ef in ite  m atr ix   s atis f y in g :     ( Δ ) > 0     f o r   all     Δ 0 , ( 0 ) = 0     T h tim d er iv ativ e   alo n g   th s y s tem   tr ajec to r ies is :     ˙ ( Δ ) = Δ ( +  ) Δ +  Δ          ( 7 )     Su b s titu tin g   th L QR   co n tr o l l aw  Δ = Δ   :     ˙ ( Δ ) = Δ ( +  2  ) Δ      ( 8 )     Fo r   asy m p to tic  s tab ilit y ,   we  r e q u ir ˙ ( Δ ) < 0   f o r   all  Δ 0 .   T h L QR   co n tr o ller   m in im izes th q u a d r atic  co s t f u n ctio n :     = 0 ( Δ Δ + Δ Δ )       ( 9 )     wh er   is   s y m m etr ic  p o s itiv s em i - d ef in ite  (   0   )   an d     is   s y m m etr ic  p o s itiv d ef in ite  (   > 0   ).   T h o p tim al  co n tr o l la is   g iv en   b y :     Δ = Δ   ( 1 0 )     with   g ain     g iv en   b y :     = 1     ( 1 1 )     wh er   s o lv es th Alg eb r aic  R icca ti  eq u atio n   ( AR E ) :     +   1 + = 0        ( 1 2 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         S ta b ilit a n a lysi s   a n d   r o b u s t c o n tr o l o f c yb er - p h ysica l sys te ms:  in teg r a tin g     ( R a c h id   B o u ts s a id )   5279   Su b s titu tin g     in to   th L y ap u n o v   d er iv ativ e:     ˙ ( Δ ) = Δ (  1 ) Δ        ( 1 3 )     Sin ce   0   an d   > 0 ,   we  co n clu d th at  ˙ ( Δ ) 0 ,   an d   if   > 0 ,   we  ac h iev asy m p to ti s tab ilit y .   L MI s   ar u s ed   to   f o r m u late   t h co n tr o ller   d esig n   as  a   co n v ex   o p tim izatio n   p r o b lem .   T h s tab ilit y   co n d itio n   is :     Δ ( +  2  ) Δ < 0          ( 1 4 )     Def in =  ,   s o   = 1 .   T h L MI   b ec o m e s :     +   < 0           ( 1 5 )     I n co r p o r atin g   p er f o r m a n ce ,   th L MI   b ec o m es:     +   + < 0           ( 1 6 )     with   co n s tr ain ts   > 0 .   T h co n tr o g ain   is   r ec o v er e d   as:     = 1                ( 1 7 )     T h is   L MI   is   s o lv ed   u s in g   n u m er ical  to o ls   lik MA T L AB 's  C VX   s o lv er   [ 7 ] ,   [ 1 8 ] .     3 . 3 .     Ca s s t ud y   s et up :   a uto n o m o us   v ehicle  m o del   T h f r am ewo r k   is   ap p lied   to   an   au to n o m o u s   v eh icle,   m o d e led   d y n a m ically   to   ac co u n f o r   tire - s lip   u s in g   Pace jk a’ s   tire   m o d el  [ 2 4 ] .   T h d y n am ic  m o d el,   d er iv e d   f r o m   New to n s   s ec o n d   law,   is   g iv en   b y :     {          ̇ =     . s i n ( )   . . + .  +      ̇ =     . co s ( ) +     .                                    ̇ =     . . co s ( )   .                                                           ( 1 8 )     I n   th ese  e q u atio n s ,   l o n g itu d i n al,   later al,   a n d   r o tatio n al  v elo cities  in   th v e h icle’ s   f r a m ar r ep r esen ted ,   r esp ec tiv ely ,   b y   th v a r iab les    ,   an d     in   th ese  f o r m u las.  T h co n tr o l in p u ts   ar δ a n d   a,   wh ich   s tan d   f o r   th f r o n tire s   s teer in g   a n g l an d   lo n g itu d in al  ac ce ler ati o n ,   r esp ec tiv ely .    ,   an d      s tan d   f o r   t h v eh icle’ s   m ass ,   in er tia,   an d   th s ep ar atio n   b etwe en   th e   f r o n an d   r ea r   w h ee ax is   f r o m   t h ce n ter   o f   g r av ity ,   r esp ec tiv ely .      an d      in d icate   th later al  f o r ce s   ac tin g   o n   th f r o n an d   r ea r   tire s .   Mo r eo v er ,   g   s tan d s   f o r   th g r av itatio n al  ac ce ler ati o n   co n s tan t,  an d   µ   f o r   th f r ictio n   co ef f icien t.      an d      ca n   b m o d eled   u s in g   Pa ce jk a’ s   tire   m o d el  [ 3 1 ]   as f o llo ws:     {  = 3 . s in ( 2 .  1 ( 1 . ) ) ;   =    1 (   + .  )  = 3 . s in ( 2 .  1 ( 1 . ) ) ;   =    1 (   + .  )          ( 1 9 )     I n   th is   ca s e,   th e   co n s tan ts   1 2 ,   a n d   3   m u s b ascer tain e d   em p ir ically .   T h e   tire   m o d el   s h o ws  t h at     an d      v ar y   n o n lin ea r   with   α ,   o r   t h s lip   an g le.   On   th o t h er   h an d ,   t h eq u ati o n s   ca n   b m ad s im p ler   b y   ass u m in g   tin y   α ,   th eq u atio n s   ca n   b r e d u ce d   to :     {  =   . (   .  )  =   . (   + .  )             ( 2 0 )     w h er   an d     r ep r esen t th s tiff n ess   o f   th f r o n t a n d   r ea r   w h e el  tire s ,   r esp ec tiv ely .   T a b le   1   d is p la y s   t h e   d eta ils   o f   th e   r ac i n g   v e h i cle   a n d   t h r o u t t h at   we r e m p lo y e d   in   t h is   p r o je ct   [ 6 ] T h s y s tem   is   lin ea r ized   at  a n   o p er atin g   p o in  = [ 0 , 0 , 0 ]   an d    = [ 0 , 0 ] ,   y ield in g   m atr ices    an d     :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   6 Decem b e r   20 25 :   5 2 7 6 - 5 2 8 5   5280   =   |  , =   |             ( 2 1 )     T h lin ea r ized   s tate - s p ac r ep r esen tatio n   is :     Δ   = Δ + Δ Δ   = Δ        ( 2 2 )     wh er e:   Δ = [ Δ Δ Δ ]   an d   Δ = [ Δ Δ ] .       T ab le  1 .   T h d etails o f   th r ac i n g   v eh icle   V a r i a b l e   V a l u e   U n i t   I f   0 . 9 0 2   m   Ir   0 . 6 3 8   m   m   1 9 6   Kg   I   93   K g . m 2   C f   1 7 9 7 4   N / r a d   Cr   2 4 1 8 1   N / r a d   µ   0 . 5   - - - - - - - -   g   9 . 8 1   m/ s 2       3 . 4 .     Sim ula t i o s et up   T h s im u latio n   en v ir o n m en t f o r   th au to n o m o u s   v eh icle  m o d el  was r ea lized   in   MA T L A B   2 0 1 6 .   T h C VX  s o lv er   was  u tili ze d   in   s o lv in g   th lin ea r   m atr ix   in e q u alities   ( L MI )   f o r   d esig n in g   t h lin ea r   q u ad r atic  r eg u lato r   ( L QR )   co n t r o ller   to   g u ar an tee  s tab ilit y   an d   o p ti m u m   s y s tem   p er f o r m an ce .   T h v eh icle  d y n a m ics  wer r ep r esen ted   with   n o n lin ea r   an d   lin ea r ized   s y s tem s ,   w h er th lin ea r ized   s y s tem   wa s   o b tain ed   a b o u a n   o p er atin g   p o in t.   a.   Simu latio n   d u r atio n T h s im u latio n   was  ca r r ied   o u o n   ti m h o r izo n   o f   2 0   s ec o n d s ,   with   tim s tep   o f   0 . 0 1   s ec o n d s   i n   o r d er   to   s tr ik b alan ce   b etwe en   c o m p u tatio n al  s p ee d   a n d   ac cu r ac y   o f   th e   n u m er ical  s o lu tio n .   b.   C o n tr o i n p u ts T h e   v eh icle   s y s tem   was  p er tu r b ed   with   s tep   in p u ts   f o r   s teer in g   an g le  ( δ)   a n d   lo n g itu d i n al  ac ce ler atio n   ( a)   i n tr o d u ce d   at  s p ec if ic  tim in ter v als to   s im u late  r ea l - wo r ld   co n tr o l d is tu r b an ce s .   c.   Nu m e r ic al   i n t eg r a tio n :   T h e   tr a je cto r y   o f   th n o n li n ea r   s y s tem   s ta te   w a s   in t eg r a ted   n u m er ica l ly   b y   MA T L A B 's   o d e4 5   s o lv er ,   wh i ch   i s   s u i tab le  f o r   in teg r at in g   s t if f   d i f f er en t ia eq u at i o n s .   T h s o lv e r   ca l cu l at ed   th e   tr a jec to r y   o f   th e   v eh ic le   s ta te s   ( , , )   b a s ed   o n   th co n t r o l   in p u t s   an d   v eh i cl e   d y n am i c s .   d.   C o n tr o d esig n T h e   L QR   co n tr o ller   was  d esig n ed   b y   m in i m izin g   q u ad r atic  c o s f u n cti o n ,   u s in g   L MI   to   en f o r ce   s tab ilit y   co n s tr ain ts .   T h co n tr o g ai n   m atr ix   was  co m p u ted   to   r eg u late  th s y s tem s   r esp o n s an d   s tab ilize  th v eh icle’ s   m o tio n   b ased   o n   th lin ea r ized   s y s tem .   T h p er f o r m an ce   o f   th c o n tr o ller   was  ev alu ated   b ased   o n   v ar i o u s   m etr ics,  wh ich   i n clu d th e   tr ac k in g   er r o r   ( th d if f e r en ce   b etwe en   th tar g et  an d   ac tu al  v eh icle  s tates),   co n tr o in p u ef f o r ts   ( th s teer in g   an d   ac ce ler atio n ) ,   an d   clo s ed - l o o p   p e r f o r m an ce   ( s u ch   as settl in g   tim e,   o v er s h o o t,   an d   s tead y - s tated   er r o r ) .       4.   RE SU L T S AN D I SCU SS I O N   4 . 1 .     Resul t s   B ef o r th n u m er ical  r esu lts ,   i is   wo r th   m en tio n i n g   th at  we  ap p lied   th r o b u s co n tr o f r a m ewo r k   to   th ca s s tu d y   o f   a n   au to n o m o u s   v eh icle  th at  was  d escr i b ed   in   ( 1 8 ) .   T h L QR   co n tr o ller   was  f o r m u lated     with   L MI   an d   s u b s eq u e n tly   s o lv ed   with   MA T L AB   u s in g   th s em i - d ef in ite  p r o g r am m in g   ( SDP)  s o lv er   f o r   s tab ilit y   an d   p er f o r m a n ce   with in   an   o p tim al  s en s f o r   th e   lin ea r ized   cy b er - p h y s ical  s y s tem s   ( C PS ) .   T h is   s ec tio n   d escr ib es  th n u m er ic al  r esu lts   d er iv ed   f r o m   o u r   s im u latio n s .   T h li n ea r ized   m o d el' s   v alid ity   was   ass es s ed   b y   co m p ar in g   its   b eh av io r   to   th n o n lin ea r   v eh icl d y n am ics  at  th o p er atin g   p o in 0 = [ 10 , 0 , 0 ]   0 = [ 0 , 4 . 905 ] .   T h s y s tem   m atr ices w er e:     = [ 0 0 0 0 21 . 5077 10 . 4005 0 0 . 8442 26 . 308 ] , = [ 0 1 91 . 7041 0 174 . 3285 0 ]                 ( 2 3 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         S ta b ilit a n a lysi s   a n d   r o b u s t c o n tr o l o f c yb er - p h ysica l sys te ms:  in teg r a tin g     ( R a c h id   B o u ts s a id )   5281   T h lin ea r   an d   n o n lin ea r   m o d el  co m p ar is o n s   s h o clo s ag r ee m en am o n g   t h s tate  v ar iab les.  I n   th ca s o f   th e   lo n g itu d in al   v elo city   d ev iatio n   Δ ,   th lin ea r   m o d el  tr ac k s   th e   n o n lin ea r   m o d el  v er y   well  f o r   m o s o f   th s im u latio n ,   ex ce p f o r   s lig h d iv er g en ce   later   in   tim e.   T h is   d iv er g en ce   is   attr ib u ted   to   in h e r en n o n lin ea r ities .   T h is   s u g g ests   t h at  th lin ea r   m o d el  g iv es  an   ac cu r ate  en o u g h   ap p r o x im ati o n   f o r   m o s o f   th s im u latio n .   T h later al  v elo city   d ev iatio n   Δ   ex h ib its   s ig n if ican tr a n s ien r esp o n s f o r   b o th   m o d els;   h o wev er ,   c o n v e r g en ce   is   q u ick ly   ac h iev ed ,   d em o n s tr atin g   th at  th lin ea r   m o d el  r ep r esen ts   th later al  d y n am ics  well,   at   least  f o r   s m all  d ev iatio n s   b ey o n d   th t r an s ien p h ase.   Similar ly ,   th e r is   n o   p r ac tical   d if f er en ce   in   th e   y aw  r ate  d e v iatio n   Δ   f o r   b o th   m o d els  d u r i n g   th e   en tire   cim u latio n ,   i n d i ca tin g   th at  th e   lin ea r   m o d el  p r o v id es a   g o o d   r ep r esen tatio n   o f   y aw  r ate  d y n a m ics with   lo d iv er g en ce .   Ov er all,   th d if f er en ce s   b etw ee n   th n o n lin ea r   an d   lin ea r   m o d els  ar m in o r ,   with   th m o s n o tab le   d if f er en ce   b ein g   th later al  v el o city   er r o r ,   wh ich   r ed u ce s   with   tim e.   Acc o u n tin g   f o r   s u ch   s m all  er r o r s   lead s   to   th co n clu s io n   th at,   g en er ally ,   th lin ea r   m o d el  is   a n   ex ce ll en ap p r o x im atio n   o f   th n o n l in ea r   d y n am ics,  at   least a r o u n d   th e   o p er atin g   p o in t f o r   s m all  p e r tu r b atio n s .   T h L QR   co n tr o ller   m i n im ize s   th q u ad r atic  c o s t f u n ctio n   with   th f o llo win g   weig h tin g   m atr ices:     = [ 200 0 0 0 200 0 0 0 200 ]   = [ 1 0 0 1 ]   ( 2 4 )   T h L MI   o p tim izatio n   p r o b le m   y ield ed   th e   p o s itiv d ef i n ite  L y ap u n o v   m atr ix     :     = [ 4 . 3531 × 10 0 8 . 4472 × 10 11 4 . 2932 × 10 11 8 . 4472 × 10 11 6 . 1357 × 10 0 1 . 2299 × 10 0 4 . 2932 × 10 11 1 . 2299 × 10 0 5 . 0797 × 10 0 ]   ( 2 5 )     T h r esu ltin g   s tate - f ee d b ac k   g ain   m atr ix     was:     = [ 1 . 6687 × 10 11 5 . 7163 × 10 3 1 . 0018 × 10 2 3 . 0464 × 10 1 2 . 3603 × 10 9 2 . 7028 × 10 9 ]     ( 2 6 )     Nu m er ical  s im u latio n s   o f   th clo s ed - lo o p   s y s tem   ac h ie v ed   t h f o llo win g   p er f o r m a n ce   m et r ics:       Settli n g   tim e:  2 0   s ec o n d s ,       Ov er s h o o t : 3 . 8 1 8 7 %,  an d       Stead y - s tate  er r o r 2 . 688 × 10 7 .   T h ese  r esu lts   in d icate   r o b u s s tab ilit y   an d   p r ec is tr ajec to r y   tr ac k i n g   f o r   th e   au to n o m o u s   v eh icle.   T h ese  r esu lts   co n f ir m   th ef f ec tiv en ess   o f   th p r o p o s ed   f r am ewo r k   in   ac h iev in g   s tab le  an d   o p tim al  co n tr o f o r   th C PS   ap p licatio n .     4 . 2 .     Dis cus s io n   T h p r o p o s ed   f r am ew o r k   i n cl u d es  J ac o b ian   lin ea r izatio n ,   L y ap u n o v   s tab ilit y   a n aly s is ,   L QR   co n tr o u s in g   L MI ,   d em o n s tr atin g   s tab ilit y   an d   o p tim ality   f o r   C PS   in   an   au t o n o m o u s   v e h icle  ca s s tu d y .   T h r esu lts   ( s h o wn   in   Sectio n   4 )   s tate  s ettlin g   tim o f   2 0   s ec o n d s ,   a n   o v er s h o o t   o f   3 . 8 1 8 7 %,  an d   s tead y - s tate  er r o r   o f   2 . 688 × 10 7 ,   th u s   v er if y in g   th p r o p o s ed   f r am ewo r k   ca n   ac h iev s tab ilit y   o v er   m o r c o m p lex   ( M I MO   s y s tem s   [ 6 ] .   T h im p licatio n   o f   th ese  r e s u lts   is   th ca p ac ity   o f   th e   f r am ewo r k   f o r   tack lin g   th in tr in s ic  n o n lin ea r ity   an d   u n ce r tai n ty   u n d er ly i n g   C PS   d y n am ics,  e s p ec ially   f o r   a u to n o m o u s   ca r s .   Ap p licatio n   o f   J ac o b ian   lin ea r izatio n   ar o u n d   th o p er atin g   p o in 0 = [ 10 , 0 , 0 ] , 0 = [ 0 , 4 . 905 ] ,   r esu lted   in   a   lin ea r ized   m o d el  th at  r e p r esen ted   th n o n lin ea r   d y n am ics  s atis f ac to r ily ,   as  ca n   b s ee n   f r o m   th e   n e g lig ib le  d ev iatio n   i n   s tate  tr ajec to r ies  in   F ig u r 1 .   T h is   en ab led   th ap p licatio n   o f   lin ea r   co n tr o tech n iq u es,  e. g . ,   L QR ,   f o r   m in im izin g   th q u ad r atic  co s t f u n ctio n   with   weig h tin g   m at r ices in   ( 2 4 ) .   T h e   r e s u l ti n g   L y a p u n o v   m a t r i x   P   a n d   s t a t e - f e e d b a c k   g ai n   K   i n   ( 2 5 )   a n   ( 2 6 ) ,   e n s u r e d   a s y m p t o t ic  s t a b il i t y ,   a s   P   i s   p o s it i v e   d e f i n it e   a n d   s a t is f i es   t h e   L M I   c o n d i ti o n   +     + < 0 .   T h e   l o w   s t e a d y - s t a t e   e r r o r   ( 2 . 688 × 10 7 )   a n d   b o u n d e d   c o n t r o l   i n p u t s   a s   s h o w n   i n   F i g u r e 2   d e m o n s t r a t es  t h p e r f o r m a n c e   a n d   r e s i l i e n c e   o f   t h e   c o n t r o l l e r ,   e v e n   w h e n   c o m p a r e d   t o   t r a d i t i o n a l   f e e d b a c k   l i n e a r i z a ti o n   s c h e m e s   t h a t   d e a l   p o o r l y   w i t h   u n c e r t ain t i e s   [ 4 ] .   R el a ti v e   t o   p r e v i o u s   e f f o r t s   b y   a u t h o r s   l i k e   O l al l e t   a l .   [ 1 ]   w h o   h a d   h i g h e r   o v e r s h o o t   (   5%   )   i n   t h e   PW M   c o n v e r t e r s ,   we   p r e s e n t   a   b et te r   t r a n s i e n t   r e s p o n s e   f o r   C PS   ap p l i c a t i o n s .   I n   p ar ticu la r ,   th a p p r o ac h   f o l lo ws  f r o m   th L y ap u n o v   f u n ct io n   an d   p r o v id es  th e o r etica g u ar an tee  o f   s tab ilit y ,   wh ich   is   in   c o m p lian ce   with   Alm u tair i' s   n o tio n   o f   s tab ilit y   [ 5 ] .   T h e   L MI   f o r m   wh ich   is   s o lv e d   u s in g   MA T L AB ' s   C VX   s o lv e r ,   m ak es  th n o n co n v ex   Alg e b r aic  R icca ti  E x am p le  p r o b lem   ca n   b r ed u ce d   t o   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   6 Decem b e r   20 25 :   5 2 7 6 - 5 2 8 5   5282   co n v ex   o p tim izatio n   p r o b le m   f o r   im p r o v ed   co m p u tatio n   tim [ 7 ] .   T h is   is   esp ec ially   b e n ef icial  in   r ea l - tim e   C PS   ap p licatio n s   with   q u ick   co n v er g en ce   ( 2 0   s ec o n d s   s ettlin g   tim e) ,   as  s ee n   in   th tr aj ec to r y   tr ac k in g   o f   au to n o m o u s   v eh icles.   Ho wev er ,   th f r am ewo r k   h as lim itatio n s .   T h ar b itra r y   s elec t io n   o f   Qan d   R ,   wh ile  ef f ec tiv e ,   m ay   n o t   b o p tim al  f o r   all  C PS   d y n am ics.  As  m en tio n ed   i n   J ian g   et   a l.   [ 2 4 ] ,   f u r th e r   tu n in g   o f   Q   a n d   R   with   r esp ec t o   th s y s tem   ca n   f u r th e r   d ec r ea s o v er s h o o an d   en e r g y   co n s u m p tio n .   Ad d itio n all y ,   J ac o b i an   lin ea r izatio n   is   v alid   o n ly   f o r   s m all  p er tu r b a tio n s   ab o u th o p er atin g   p o i n an d   s o   it  is   o n ly   u s ef u i n   h ig h ly   n o n lin ea r   s itu atio n s   in   v er y   s m all  n ei g h b o r h o o d   ab o u th e   o p e r atin g   p o in [ 1 3 ] .   T h e   au to n o m o u s   v e h icle  m o d el,   b ased   o n   Pace jk a' s   tire   m o d el  [ 3 1 ] ,   ass u m es  s m all   s lip   an g les ,   wh ich   ca n n o b ass u m ed   d u r in g   ag g r ess iv e   m an eu v er s .   T h co n clu s io n s   o f   th is   s tu d y   g e n er alize   n o o n ly   to   a u to n o m o u s   v eh icles  b u also   to   o th er   C PS   d o m ain s s u ch   as  in d u s tr ial  a u to m atio n   o r   s m ar t   in f r astru ct u r e wh er MI MO   s y s tem s   e n co u n ter   th s am e   s tab ilit y   is s u es  [ 2 ] .   B ec au s o f   its   g en er al  f r am ew o r k ,   we   u s ed   L MI s   an d   co u l d   q u ick l y   ap p ly   it  to   o t h er   ap p licatio n s   ju s b y   m o d if y in g   th s y s tem   m atr ices  an d   p er f o r m a n ce   r eq u i r em en ts .   Fo r   ex am p le,   ap p l y in g   ad ap tiv co n tr o m eth o d s ,   as  p r o p o s ed   b y   L u   an d   Yan g   [ 3 ] ,   m ay   im p r o v r esil ien ce   ag ain s cy b er - attac k s   with in   n etwo r k ed   C PS .           Fig u r 1 .   C o m p a r is o n   o f   lin ea r ized   an d   n o n lin ea r   v e h icle  d y n am ics:   lo n g itu d in al  v elo city ,   later al  v elo city ,   an d   y aw  r ate  d ev iatio n s           Fig u r 2 .   State  tr ajec to r ies,  co n tr o l in p u ts ,   an d   tr ac k in g   e r r o r   f o r   th e   L QR - co n tr o lled   s y s te m   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         S ta b ilit a n a lysi s   a n d   r o b u s t c o n tr o l o f c yb er - p h ysica l sys te ms:  in teg r a tin g     ( R a c h id   B o u ts s a id )   5283   Fu tu r wo r k   will  ex am in d e v elo p in g   o p tim al  a n d   R   m atr ices  b ased   o n   th e   s p ec if ics  o f   g iv en   s y s tem ,   p o ten tially   u s in g   iter ativ alg o r ith m s   [ 2 4 ] .   Similar ly ,   ad ap tiv o r   n o n lin ea r   co n tr o ap p r o ac h es  co u ld   b co n s id er ed   f o r   m an ag i n g   s u b s tan tially   h ig h   p er t u r b at io n s   f o r   en h an cin g   r o b u s tn e s s ,   p ar ticu lar ly   f o r   v eh icles  with   h ig h - s p ee d   tr av el  [ 2 5 ] .   Fin ally ,   th ac tu al  p h y s ical  C P p latf o r m s   s h o u ld   r u n   th f r a m ewo r k   g iv en   th at   im p lem en tatio n   will  allo f o r   test in g   th im p lem en tatio n   p r ac ticality   a n d   a d d r e s s   s o m o f   th r ea l - tim co n s tr ain ts   an d   h ar d war lim itatio n s   th at  em er g e   in   C PS .   I n   s u m m ar y ,   th is   s tu d y   u n if ies  J ac o b ia n   lin ea r izatio n ,   L y a p u n o v   m eth o d s ,   an d   L M I - b ased   L QR   co n tr o to   p r o v i d r o b u s an d   ef f icien f r am ewo r k   f o r   C PS   s tab ilit y   an d   p er f o r m an ce .   T h r esu lts   u n d e r s co r i ts   p o ten tial  f o r   au to n o m o u s   v eh icles  an d   b r o a d er   C PS   ap p licatio n s ,   wh ile  h ig h lig h tin g   ar ea s   f o r   f u r th er   r ef in e m en t.       5.   CO NCLU SI O   T h is   s tu d y   f u n ctio n e d   as  r ig o r o u s ly   d ev elo p e d   co n tr o l   f r am ewo r k   f o r   C PS   th at  s u cc ess f u lly   u tili ze d   J ac o b ian   li n ea r izatio n ,   L y ap u n o v   s tab ilit y ,   a n d   L QR   co n tr o b y   u s in g   L MI .   I n   t h ap p licatio n   o f   th e   au to n o m o u s   v eh icle  ca s s tu d y ,   th is   co n tr o f r am ewo r k   y ield ed   s ettlin g   tim o f   2 0   s ec o n d s ,   an   o v er s h o o o f   3 . 8187% ,   an d   s tead y - s tate  er r o r   o f   2 . 688 × 10 7   d em o n s tr atin g   g o o d   tr ac k in g   o f   tr ajec to r y   an d   r o b u s s tab ilit y .   T h ap p r o ac h   was  d esig n ed   to   o v er c o m th e   ch allen g es  o f   n o n lin ea r   MI MO   s y s tem s ,   an d   s till   co n v er g o p tim ally   to   th d esire d   tr ajec to r y   with   s m all  p er t u r b atio n .   T h r esu lts   ex h ib ite d   p r o v id th in ten t   o f   d e v elo p in g   th f r am ewo r k   f o r   au t o n o m o u s   v e h icles  an d   p er h ap s   o t h er   C PS   ap p licatio n s ,   s u ch   as  in d u s tr ial   au to m atio n   a n d   s m ar t in f r astru ctu r e,   alth o u g h ,   th er was so m ar b itra r in ess   o f   a n d   R   m atr ices;  th u s ,   s y s tem   s p ec if ic  tu n in g   wo u ld   n ee d   to   tak p lace   to   en h an ce   o p tim iz atio n .   Fu tu r wo r k   s h o u ld   ex p lo r m eth o d s   to   o p tim ize  th e   m atr i ce s   to   im p r o v e   p er f o r m a n ce   f o r   d if f er en t   C PS   d y n am ics,  as  well  as  m e th o d s   f o r   ad ap tiv e   co n tr o wh ich   m ig h p r o v i d lar g er   r esil ien ce   to   u n ce r tain ty   th r o u g h   r ea l - tim ad a p tin g .   T h is   f r am ewo r k   estab lis h es  s af eg u ar d ed   b asis   f o r   e n h an ce m en in   C PS   co n tr o l,   an d   o f f er s   n ew  av e n u es f o r   im p lem en tatio n   an d   ap p lied   wo r k .       F UNDING   I NF O R M A T I O N   T h is   r esear ch   is   co n d u cted   in d ep en d en tly   an d   is   f u n d e d   b y   th r esear ch er s   th em s elv es.       AUTHO CO NT RI B UT I O NS ST A T E M E N T   T h is   jo u r n al  u s es  th C o n tr ib u to r   R o les  T ax o n o m y   ( C R ed iT )   to   r ec o g n ize  in d iv id u al  au th o r   co n tr ib u tio n s ,   r ed u ce   au th o r s h ip   d is p u tes,  an d   f ac ilit ate  co llab o r atio n .     Na m o f   Aut ho r   C   M   So   Va   Fo   I   R   D   O   E   Vi   Su   P   Fu   R ac h id   B o u ts s aid                               Said   Kr ir im                               Ab d eljab ar   Ab o u lk ass im                               E l H an af i A r jd al                               Yo u s s ef   Mo u m an i                                 C     C o n c e p t u a l i z a t i o n   M     M e t h o d o l o g y   So     So f t w a r e   Va     Va l i d a t i o n   Fo     Fo r mal   a n a l y s i s   I     I n v e s t i g a t i o n   R     R e so u r c e s   D   :   D a t a   C u r a t i o n   O   :   W r i t i n g   -   O r i g i n a l   D r a f t   E   :   W r i t i n g   -   R e v i e w   &   E d i t i n g   Vi     Vi su a l i z a t i o n   Su     Su p e r v i s i o n   P     P r o j e c t   a d mi n i st r a t i o n   Fu     Fu n d i n g   a c q u i si t i o n         CO NF L I C T   O F   I N T E R E S T   ST A T E M E NT   Au th o r s   s tate  n o   co n f lict o f   in t er est.       DATA AV AI L AB I L I T   Data   av ailab ilit y   is   n o ap p li ca b le  to   th is   p ap er   as  n o   n e d ata  wer cr ea ted   o r   an aly ze d   in   th is   s tu d y .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   15 ,   No .   6 Decem b e r   20 25 :   5 2 7 6 - 5 2 8 5   5284   RE F E R E NC E S   [ 1 ]   C .   O l a l l a ,   R .   Le y v a ,   A .   El   A r o u d i ,   a n d   I .   Q u e i n n e c ,   R o b u s t   LQ R   c o n t r o l   f o r   P W M   c o n v e r t e r s:   a n   LM I   a p p r o a c h ,   I EEE   T ra n s a c t i o n o n   I n d u st r i a l   E l e c t r o n i c s ,   v o l .   5 6 ,   n o .   7 ,   p p .   2 5 4 8 2 5 5 8 ,   J u l .   2 0 0 9 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / TI E. 2 0 0 9 . 2 0 1 7 5 5 6 .   [ 2 ]   P .   H e h e n b e r g e r ,   B .   V o g e l - H e u s e r ,   D .   B r a d l e y ,   B .   E y n a r d ,   T.   T o mi y a ma,   a n d   S .   A c h i c h e ,   D e s i g n ,   m o d e l l i n g ,   s i mu l a t i o n   a n d   i n t e g r a t i o n   o f   c y b e r   p h y si c a l   s y st e m s:   m e t h o d s   a n d   a p p l i c a t i o n s ,   C o m p u t e rs  i n   I n d u s t ry ,   v o l .   8 2 ,   p p .   2 7 3 2 8 9 ,   O c t .   2 0 1 6 ,     d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . c o m p i n d . 2 0 1 6 . 0 5 . 0 0 6 .   [ 3 ]   A. - Y .   Lu   a n d   G . - H .   Y a n g ,   I n p u t - to - st a t e   st a b i l i z i n g   c o n t r o l   f o r   c y b e r - p h y s i c a l   sy s t e ms   w i t h   mu l t i p l e   t r a n s mi ssi o n   c h a n n e l s   u n d e r   d e n i a l   o f   serv i c e ,   I EEE   T ra n s a c t i o n o n   A u t o m a t i c   C o n t r o l ,   v o l .   6 3 ,   n o .   6 ,   p p .   1 8 1 3 1 8 2 0 ,   J u n .   2 0 1 8 ,     d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / TA C . 2 0 1 7 . 2 7 5 1 9 9 9 .   [ 4 ]   D .   P .   L o o z e ,   J.  S .   F r e u d e n b e r g ,   J.   H .   B r a s l a v s k y ,   a n d   R .   H .   M i d d l e t o n ,   Tr a d e - o f f a n d   l i mi t a t i o n s   i n   f e e d b a c k   s y st e ms,”   T h e   C o n t r o l   S y st e m s H a n d b o o k :   C o n t r o l   S y s t e m   A d v a n c e d   M e t h o d s ,   p p .   2 1 7 2 5 2 ,   2 0 1 0 ,   d o i :   1 0 . 1 2 0 1 / b 1 0 3 8 4 .   [ 5 ]   A .   A l m u t a i r i ,   H .   El - M e t w a l l y ,   M .   A .   S o h a l y ,   a n d   I .   M .   El b a z ,   Ly a p u n o v   s t a b i l i t y   a n a l y si f o r   n o n l i n e a r   d e l a y   s y st e ms  u n d e r   r a n d o e f f e c t a n d   st o c h a st i c   p e r t u r b a t i o n w i t h   a p p l i c a t i o n i n   f i n a n c e   a n d   e c o l o g y ,   Ad v a n c e i n   D i f f e r e n c e   E q u a t i o n s   v o l .   2 0 2 1 ,   n o .   1 ,   p .   1 8 6 ,   M a r .   2 0 2 1 ,   d o i :   1 0 . 1 1 8 6 / s1 3 6 6 2 - 0 2 1 - 0 3 3 4 4 - 6.   [ 6 ]   H .   A t o u i ,   O .   S e n a me ,   E.   A l c a l a ,   a n d   V .   P u i g ,   P a r a me t e r   v a r y i n g   a p p r o a c h   f o r   a   c o m b i n e d   ( k i n e ma t i c   +   d y n a m i c )   m o d e l   o f   a u t o n o mo u v e h i c l e s,   I FA C - P a p e rs O n L i n e ,   v o l .   5 3 ,   n o .   2 ,   p p .   1 5 0 7 1 1 5 0 7 6 ,   2 0 2 0 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . i f a c o l . 2 0 2 0 . 1 2 . 2 0 2 8 .   [ 7 ]   T.   A l a m o ,   J .   E .   N o r me y - R i c o ,   M .   R .   A r a h a l ,   D .   Li m o n ,   a n d   E.   F .   C a m a c h o ,   I n t r o d u c i n g   l i n e a r   ma t r i x   i n e q u a l i t i e s   i n   a   c o n t r o l   c o u r se,   I FA C   Pr o c e e d i n g s V o l u m e s (I FAC - Pa p e rsO n l i n e ) ,   v o l .   7 ,   n o .   P A R 1 ,   p p .   2 0 5 2 1 0 ,   2 0 0 6 ,   d o i :   1 0 . 3 1 8 2 / 2 0 0 6 0 6 2 1 - 3 - es - 2 9 0 5 . 0 0 0 3 7 .   [ 8 ]   M .   A .   S .   K a m a l ,   S .   T a g u c h i ,   a n d   T.   Y o s h i m u r a ,   Ef f i c i e n t   v e h i c l e   d r i v i n g   o n   m u l t i - l a n e   r o a d u s i n g   mo d e l   p r e d i c t i v e   c o n t r o l   u n d e r   a   c o n n e c t e d   v e h i c l e   e n v i r o n men t ,   i n   2 0 1 5   I EEE   I n t e l l i g e n t   Ve h i c l e s   S y m p o si u m   ( I V) ,   J u n .   2 0 1 5 ,   p p .   7 3 6 7 4 1   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / I V S . 2 0 1 5 . 7 2 2 5 7 7 2 .   [ 9 ]   W .   K a n g ,   A p p r o x i ma t e   l i n e a r i z a t i o n   o f   n o n l i n e a r   c o n t r o l   sy s t e ms ,   S y st e m C o n t r o l   L e t t e rs ,   v o l .   2 3 ,   n o .   1 ,   p p .   4 3 5 2 ,     Ju l .   1 9 9 4 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / 0 1 6 7 - 6 9 1 1 ( 9 4 ) 9 0 0 8 0 - 9.   [ 1 0 ]   A .   D .   Le w i s a n d   D .   R .   Ty n e r ,   G e o m e t r i c   Jac o b i a n   l i n e a r i z a t i o n   a n d   LQ R   t h e o r y ,   J o u rn a l   o f   G e o m e t ri c   Me c h a n i c s ,   v o l .   2 ,   n o .   4 ,   p p .   3 9 7 4 4 0 ,   2 0 1 0 ,   d o i :   1 0 . 3 9 3 4 / j g m . 2 0 1 0 . 2 . 3 9 7 .   [ 1 1 ]   S .   B o y d ,   L .   E l   G h a o u i ,   E.   F e r o n ,   a n d   V .   B a l a k r i s h n a n ,   L i n e a r   m a t r i x   i n e q u a l i t i e s   i n   s y st e m   a n d   c o n t r o l   t h e o ry .   1 9 9 4   d o i :   1 0 . 1 1 3 7 / 1 . 9 7 8 1 6 1 1 9 7 0 7 7 7 .   [ 1 2 ]   M .   V i d y a sa g a r ,   N o n l i n e a r   sy s t e ms   a n a l y s i s,   i n   En g l e w o o d   C l i f f s ,   2 n d   e d . ,   U S A :   P r e n t i c e   H a l l ,   1 9 9 3 .   [ 1 3 ]   S .   S a e e d i n i a ,   Ex t e n d i n g   J a c o b i a n   mat r i x   i n   p r o v i n g   s t a b i l i t y   f o r   n o n l i n e a r   sy s t e ms   w i t h   o n e   e q u i l i b r i u p o i n t   su c h   a s   c o m p r e ss o r ,   a r Xi v   p re p ri n t   a r Xi v : 2 4 1 0 . 2 2 1 9 1 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / s 1 2 5 5 5 - 0 1 7 - 0 5 5 2 - 8.   [ 1 4 ]   H .   K .   K h a l i l ,   N o n l i n e a r   s y st e ms,   3 r d   e d . ,   U S A :   P r e n t i c e   H a l l ,   2 0 0 2 .   [ 1 5 ]   E.   S .   T o g n e t t i ,   M .   J u n g e r s ,   a n d   T.   R .   C a l l i e r o ,   O u t p u t   f e e d b a c k   c o n t r o l   f o r   q u a d r a t i c   sy st e ms:  A   L y a p u n o v   f u n c t i o n   a p p r o a c h , ”  I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   R o b u s t   a n d   N o n l i n e a r C o n t r o l ,   v o l .   3 1 ,   n o .   1 7 ,   p p .   8 3 7 3 8 3 8 9 ,   N o v .   2 0 2 1 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 2 / r n c . 5 4 3 5 .   [ 1 6 ]   M .   C h i l a l i ,   P .   G a h i n e t ,   a n d   C .   S c h e r e r ,   M u l t i o b j e c t i v e   o u t p u t - f e e d b a c k   c o n t r o l   v i a   LM I   o p t i m i z a t i o n ,   I FAC   Pr o c e e d i n g s   Vo l u m e s ,   v o l .   2 9 ,   n o .   1 ,   p p .   1 6 9 1 1 6 9 6 ,   1 9 9 6 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / s 1 4 7 4 - 6 6 7 0 ( 1 7 ) 5 7 9 1 2 - 4.   [ 1 7 ]   J.  R u b i o H e r n a n ,   L.   D e   C i c c o ,   a n d   J.  G a r c i a A l f a r o ,   A d a p t i v e   c o n t r o l t h e o r e t i c   d e t e c t i o n   o f   i n t e g r i t y   a t t a c k a g a i n st   c y b e r p h y s i c a l   i n d u s t r i a l   sy s t e ms ,   T ra n s a c t i o n s   o n   Em e r g i n g   T e l e c o m m u n i c a t i o n s   T e c h n o l o g i e s ,   v o l .   2 9 ,   n o .   7 ,   Ju l .   2 0 1 8 ,     d o i :   1 0 . 1 0 0 2 / e t t . 3 2 0 9 .   [ 1 8 ]   G .   C h e s i ,   L M I - b a se d   r o b u st n e ss   a n a l y si i n   u n c e r t a i n   s y s t e ms,   F o u n d a t i o n s   a n d   T re n d s®  i n   S y s t e m a n d   C o n t r o l ,   v o l .   1 1 ,     n o .   1 2 ,   p p .   1 1 8 5 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 5 6 1 / 2 6 0 0 0 0 0 0 3 0 .   [ 1 9 ]   H .   S .   Jo u y b a r y ,   A .   M p a n d a   M a b w e ,   D .   A r a b   K h a b u r i ,   a n d   A .   El   H a j j a j i ,   A n   L M I - b a sed   l i n e a r   q u a d r a t i c   r e g u l a t o r   ( LQ R )   c o n t r o l   f o r   m o d u l a r   mu l t i l e v e l   c o n v e r t e r s   ( M M C s)   c o n si d e r i n g   p a r a me t e r s   u n c e r t a i n t y ,   I E EE   Ac c e ss ,   v o l .   1 2 ,   p p .   1 1 1 8 8 8 1 1 1 8 9 8 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / A C C ESS . 2 0 2 4 . 3 4 4 2 0 9 0 .   [ 2 0 ]   M .   S h e i k h sam a d   a n d   V .   P u i g ,   Le a r n i n g - b a s e d   c o n t r o l   o f   a u t o n o m o u v e h i c l e u s i n g   a n   a d a p t i v e   n e u r o - f u z z y   i n f e r e n c e   s y st e m   a n d   t h e   l i n e a r   ma t r i x   i n e q u a l i t y   a p p r o a c h ,   S e n s o rs ,   v o l .   2 4 ,   n o .   8 ,   p .   2 5 5 1 ,   A p r .   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 3 3 9 0 / s2 4 0 8 2 5 5 1 .   [ 2 1 ]   M. - S .   P h a n ,   T. - C .   D o ,   V . - Q .   Tr u o n g ,   a n d   T . - V. - A .   N g u y e n ,   C o mp a r a t i v e   a n a l y si o f   S M C - L M I   a n d   LQ R   c o n t r o l l e r f o r   d o u b l e   i n v e r t e d   p e n d u l u m ,   J o u r n a l   o f   M e a s u reme n t ,   C o n t ro l ,   a n d   A u t o m a t i o n ,   v o l .   4 ,   n o .   3 ,   p p .   1 7 ,   2 0 2 3 ,   d o i :   1 0 . 6 4 0 3 2 / m c a . v 4 i 3 . 1 8 4 .   [ 2 2 ]   G .   Q .   B .   Tr a n ,   T. - P .   P h a m ,   O .   S e n a me,   a n d   P .   G á sp á r ,   D e s i g n   o f   a n   LM I - b a se d   P o l y t o p i c   LQ R   c r u i s e   c o n t r o l l e r   f o r   a n   a u t o n o mo u v e h i c l e   t o w a r d r i d i n g   c o mf o r t ,   P e ri o d i c a   Po l y t e c h n i c a   T ra n s p o rt a t i o n   En g i n e e r i n g ,   v o l .   5 1 ,   n o .   1 ,   p p .   1 7 ,     N o v .   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 3 3 1 1 / P P t r . 2 0 0 7 5 .   [ 2 3 ]   N .   A o u a n i   a n d   C .   O l a l l a ,   R o b u s t   L Q R   c o n t r o l   f o r   P W M   c o n v e r t e r s   w i t h   p a r a me t e r - d e p e n d e n t   L y a p u n o v   f u n c t i o n s ,   A p p l i e d   S c i e n c e s ,   v o l .   1 0 ,   n o .   2 1 ,   p .   7 5 3 4 ,   O c t .   2 0 2 0 ,   d o i :   1 0 . 3 3 9 0 / a p p 1 0 2 1 7 5 3 4 .   [ 2 4 ]   Y .   Ji a n g ,   H .   Y a n g ,   a n d   I .   G .   I v a n o v ,   R e a c h a b l e   se t   e st i ma t i o n   a n d   c o n t r o l l e r   d e si g n   f o r   l i n e a r   t i me - d e l a y e d   c o n t r o l   sy s t e m   w i t h   d i s t u r b a n c e s.”   D e c .   2 9 ,   2 0 2 3 ,   d o i :   1 0 . 2 0 9 4 4 / p r e p r i n t s2 0 2 3 1 1 . 1 3 2 7 . v 2 .   [ 2 5 ]   J.  S o n g ,   Y .   S u n ,   Q .   D o n g ,   a n d   X .   Ji ,   A   p a r a me t e r   a d a p t i v e   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   a n d   mo t i o n   c o n t r o l   f r a mew o r k   f o r   a u t o n o m o u s   v e h i c l e ,   Pre p r i n t ,   a rX i v : 2 4 1 1 . 1 7 7 4 5 ,   d o i :   h t t p s : / / d o i . o r g / 1 0 . 4 8 5 5 0 / a r X i v . 2 4 1 1 . 1 7 7 4 5 .   [ 2 6 ]   B .   Y a n g ,   L.   X i n ,   a n d   Z.   L o n g ,   R e sea r c h   o n   se c u r e   s t a t e   e st i ma t i o n   a n d   r e c o v e r y   c o n t r o l   f o r   C P S   u n d e r   s t e a l t h y   a t t a c k s,   Ac t u a t o rs ,   v o l .   1 2 ,   n o .   1 1 ,   p .   4 2 7 ,   N o v .   2 0 2 3 ,   d o i :   1 0 . 3 3 9 0 / a c t 1 2 1 1 0 4 2 7 .   [ 2 7 ]   S .   A sr i   a n d   L.   R o d r i g u e s,   D a t a - D r i v e n   LQ R   u s i n g   r e i n f o r c e m e n t   l e a r n i n g   a n d   q u a d r a t i c   n e u r a l   n e t w o r k s,   Pre p ri n t ,   a rXi v : 2 3 1 1 . 1 0 2 3 5 .   [ 2 8 ]   R .   Zh a o ,   D .   H e ,   a n d   F .   Y o u ,   N e u r a l   n e t w o r k - a d a p t i v e   se c u r e   c o n t r o l   f o r   n o n l i n e a r   c y b e r - p h y si c a l   s y st e ms  a g a i n st   a d v e r sari a l   a t t a c k s,   A p p l i e d   S c i e n c e s ,   v o l .   1 5 ,   n o .   7 ,   p .   3 8 9 3 ,   A p r .   2 0 2 5 ,   d o i :   1 0 . 3 3 9 0 / a p p 1 5 0 7 3 8 9 3 .   [ 2 9 ]   E.   A l c a l a ,   V .   P u i g ,   J .   Q u e v e d o ,   T .   Es c o b e t ,   a n d   R .   C o m a so l i v a s,   A u t o n o mo u s v e h i c l e   c o n t r o l   u s i n g   a   k i n e m a t i c   L y a p u n o v - b a se d   t e c h n i q u e   w i t h   LQ R - L M I   t u n i n g ,   C o n t r o l   E n g i n e e ri n g   Pra c t i c e ,   v o l .   7 3 ,   p p .   1 1 2 ,   A p r .   2 0 1 8 ,     d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . c o n e n g p r a c . 2 0 1 7 . 1 2 . 0 0 4 .   [ 3 0 ]   A. - M .   D .   Tr a n   a n d   T.   V .   V u ,   R o b u st   M I M O   LQ R   c o n t r o l   w i t h   i n t e g r a l   a c t i o n   f o r   d i f f e r e n t i a l   d r i v e   r o b o t s:   A   Ly a p u n o v - c o s t   f u n c t i o n   a p p r o a c h ,   E n g i n e e r i n g ,   T e c h n o l o g y   &   A p p l i e d   S c i e n c e   Re s e a rc h ,   v o l .   1 5 ,   n o .   4 ,   p p .   2 4 7 7 5 2 4 7 8 1 ,   A u g .   2 0 2 5 ,     d o i :   1 0 . 4 8 0 8 4 / e t a sr . 1 1 5 8 3 .   [ 3 1 ]   H .   B .   P a c e j k a ,   T y r e   a n d   v e h i c l e   d y n a m i c s ,   2 n d   e d .   O x f o r d :   B u t t e r w o r t h - H e i n e ma n n ,   2 0 0 5 .         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         S ta b ilit a n a lysi s   a n d   r o b u s t c o n tr o l o f c yb er - p h ysica l sys te ms:  in teg r a tin g     ( R a c h id   B o u ts s a id )   5285   B I O G RAP H I E S O F   AUTH O RS       Ra c h id   B o u tss a id           re c e iv e d   a   m a ste r’s  d e g re e   in   sc ien c e a n d   tec h n o l o g ies ,   sp e c ializin g   in   a u t o m a ti c   c o n tro l ,   sig n a p ro c e ss in g ,   a n d   i n d u strial  c o m p u ti n g   i n   2 0 2 2   fr o m   t h e   F a c u lt y   o S c ie n c e   a n d   Tec h n o lo g y   a Ha ss a n   Un iv e rsity ,   S e tt a t,   M o ro c c o .   He   is  c u rre n tl y   a   Ph . D .   stu d e n a t h e   F a c u lt y   o S c ien c e ,   Ib n   Zo h Un i v e rsity ,   A g a d ir,   M o ro c c o .   His  re se a rc h   in tere sts  in c lu d e   th e   stu d y   o p e r fo rm a n c e   a n d   c o n tro o c y b e r - p h y sic a sy ste m s.  He   c a n   b e   c o n tac ted   v ia  e m a il ra c h id . b o u tssa id . 5 6 @e d u . u iz.ac . m a .         S a id   K r irim           is  a   p ro fe ss o a th e   G u e lmim   Hig h e S c h o o o f   Tec h n o lo g y ,   Ib n   Zo h U n iv e rsit y   in   Ag a d ir,   M o r o c c o ,   in   El e c tri c a a n d   E n e rg y   En g i n e e rin g   De p a rtme n t.   He   re c iev e d   h is  P h . d e g re e   fro m   th e   F a c u lt y   o S c ien c e o th e   Un i v e rsity   S id M o h a m m e d   Be n   Ab d e ll a h ,   M o r o c c o ,   in   2 0 1 4 .   Hi c u rre n re se a rc h   in tere sts  in c lu d e   ti m e   d e lay   sy ste m s,  2 sy ste m with   sa tu ra ti n g   a c t u a to rs ,   H∞   f il terin g ,   2 si n g u lar  sy ste m s.   He   c a n   b e   c o n tac ted   a t   e m a il :   s.k riri m @u iz.ac . m a .         Abd e lja b a r   Abo u lk a ss i m           re c e iv e d   a   P h . D .   in   S o l id - S tate   P h y sic in   2 0 1 6   fr o m   th e   F a c u lt y   o S c ien c e   a Ib n   Z o h Un i v e rsity ,   Ag a d ir,   M o r o c c o .   He   p re v i o u sl y   o b tain e d   a   m a ste r’s  d e g re e   in   P h y sic s,  sp e c i a li z in g   in   M a teria ls  E n g i n e e rin g ,   En e rg y ,   a n d   En v iro n m e n t   i n   2 0 1 1   fr o m   th e   sa m e   in stit u ti o n .   He   is  c u rre n tl y   a   re se a rc h e a t h e   Lab o ra to ry   o M a teria ls ,   sig n a ls,  sy ste m s,  a n d   p h y sic a m o d e li n g   a th e   F a c u lt y   o S c ien c e ,   I b n   Z o h U n iv e rsit y ,   A g a d ir .   His  re se a rc h   fo c u se o n   th e   o p ti m iza ti o n   o p h o to v o lt a ic  a n d   wi n d   e n e rg y   sy ste m s.  He   c a n   b e   c o n tac ted   a e m a il :   a b d e lj a b a r. a b o u l k a ss im@ e d u . u iz.ac . m a .         El  H a n a fi   Ar jd a l           is  a   p ro fe ss o a th e   F a c u lt y   o S c ien c e o I b n   Z o h r   Un i v e rsity   in   Ag a d ir ,   M o ro c c o ,   i n   t h e   P h y si c De p a rtme n t.   He   tea c h e d iffer e n a sp e c ts  o m e c h a n ics ,   h e   o b tai n e d   a   P h . D .   d e g re e   M e c h a n ics   fro m   Ib n   Z o h U n iv e rsit y .   His  re se a r c h   fo c u se o n   th e   th e m a ti c   o re n e wa b le   e n e r g ies .   He   c a n   b e   c o n tac ted   a e m a il :   e . a r jd a l@u iz.ac . m a .         Yo u ss e Mo u m a n i           re c e iv e d   M a ste d e g re e   o f   S c ien c e a n d   Tec h n o lo g y   sp e c ialit y A u to m a ti o n ,   S i g n a P r o c e ss in g ,   a n d   in d u strial   c o m p u ti n g   in   2 0 1 4 ,   fr o m   F a c u lt y   o f   S c ien c e   a n d   Tec h n o lo g y ,   Ha ss a n   Un iv e rsity ,   S e tt a t,   M o ro c c o .   He   is cu rre n tl y   a   P h . D .   S t u d e n t   a Na ti o n a l   S c h o o l   o f   Ap p li e d   S c ien c e s,  Ib n   To fa i Un i v e rsity ,   Ke n it ra   M o ro c c o .   His  re se a rc h   in tere sts  a re   c o n tr o stra te g ies   o win d   p o we s y ste m s He   c a n   b e   c o n tac ted   a t   e m a il :   y o u ss e f. m o u m a n i@u i t. a c . m a .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.