I AE S In t er na t io na l J o urna l o f   Ro bo t ics a nd   Aut o m a t io ( I J RA)   Vo l.  1 5 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 ,   p p .   33 ~ 42   I SS N:  2722 - 2 5 8 6 DOI 1 0 . 1 1 5 9 1 /i jr a . v 1 5 i 1 . pp 33 - 42           33       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij r a . ia esco r e. co m   Experime ntal v a li da tion o a  t ra jecto ry  t ra cking  cont ro ller f o a   two - whe eled mo bile robo t       B o ua lem   K a ze d 1 ,   Abderre za k   G ues s o um 2   1 El e c t r i c a l   a n d   R e m o t e - C o n t r o l   S y st e ms La b o r a t o r y   ( LA B   S ET),  D e p a r t m e n t   o f   A u t o ma t i c a n d   El e c t r i c a l   En g i n e e r i n g ,   F a c u l t y   o f   Te c h n o l o g y ,   U n i v e r s i t y   o f   B l i d a ,   B l i d a A l g e r i a   2 S i g n a l   P r o c e ss i n g   a n d   I mag e   La b o r a t o r y   ( LA TSI ) ,   D e p a r t me n t   o f   El e c t r o n i c s,  F a c u l t y   o f   Te c h n o l o g y ,   U n i v e r si t y   o f   B l i d a ,   B l i d a ,   A l g e r i a         Art icle  I nfo     AB S T RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Au g   18 2 0 2 5   R ev is ed   No v   15 2 0 2 5   Acc ep ted   Dec   15 2 0 2 5       On e   o th e   m o st  imp o r tan a n d   c h a ll e n g i n g   p ro b lem o a n y   k in d   o f   a u to n o m o u m o b il e   r o b o is   th e   a b il it y   to   a c c u ra tely   c o n tro it s   o n b o a rd   a c tu a to rs,  e n a b li n g   it   t o   fu lfi ll   a   sp e c ifi e d   tas k .   In   t h e   c a se   o a   tw o - wh e e led   m o b il e   ro b o t ,   th is  c a n   o n ly   b e   a c h iev e d   t h ro u g h   a   p a ir  o a d e q u a t e   ste e rin g   c o n tro sig n a ls.  T h e   m a in   g o a l   o t h is  p a p e is  to   d e sig n   a   n o n li n e a m u lt iv a riab le co n tro ll e a ll o win g   a   se lf - m a d e   m o b il e   ro b o p ro t o ty p e   to   trac k   a   p re sc rib e d   traje c to r y .   T h e   b a sic   p rin c i p le  o t h is  c o n tro l   a p p r o a c h   u se th e   Ly a p u n o v   t h e o ry   a a   p rima ry   to o t o   d e riv e   two   ste e rin g   c o n tro law s,   m a k in g   a   t h re e - sta te  e rro v e c to c o n v e r g e   to   z e ro .   Tu n in g   t h e   p ro p o se d   c o n tro ll e p a ra m e ters   is  c a rried   o u t   u si n g   a n   e q u i v a len t   d y n a m ic   sim u late d   m o d e l.   Th is   c o n tro ll e r   is  th e n   a p p li e d   t o   g e n e ra te  t h e   re su lt in g   c o m m a n d   sig n a ls  to   t h e   a c tu a ro b o t .   Th is  is  a c h iev e d   th r o u g h   a   re a l - ti m e   h ig h - sp e e d   se rial  c o m m u n ica ti o n   b e twe e n   a   sta ti o n a ry   p e rso n a c o m p u ter   (P C),   o n   wh ich   a   M ATLAB/S im u li n k   v e rsio n   o t h is  c o n tr o ll e is  p e rfo rm in g ,   a n d   a n   on b o a rd   M icro c h i p   1 6   b it d sPI C3 3 F J 6 4 M C 8 0 2   m icro c o n tro ll e r   ru n n in g   a   firmw a re   th a tak e c a re   o a ll   th e   d a ta  e x c h a n g e   wit h   th e   c o n n e c t e d   P a n d   a   se o f   two   p ro p o rti o n a l   i n teg ra l   d e ri v a ti v e   (P ID)  c o n tr o ll e rs  e n s u rin g   th a t   th e   ro tati o n a sp e e d o th e   ro b o wh e e ls  a re   k e p v e ry   c lo se   to   th o se   re q u ired   b y   t h e   m a in   c o n tro ll e r,   r u n n in g   o n   th is  P C.   T h e   p e rfo rm a n c e   o th e   p ro p o se d   c o n tro ll e is  e v a lu a te d   u si n g   tw o   d iffere n t   sh a p e d   t ra jec to ries .   Th e se   tes ts  sh o th a th e   ro b o is   a b le  to   g ra d u a ll y   f o ll o t h e   re q u ir e d   p a t h   with   m in ima late ra e rro r.   Th e   ro b u st n e ss   o th is  c o n tro l ler  is  d e m o n stra ted   th ro u g h   it c a p a b i li ty   t o   re jec t   e x tern a d ist u rb a n c e tr ig g e re d   d u rin g   t h e se   e x p e rime n tal  tes ts.   K ey w o r d s :   Har d war in   th l o o p   L y ap u n o v   th e o r y   Mo b ile  r o b o t   R ea l - tim co n tr o l   T r ajec to r y   tr ac k in g     T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   B o u alem   Kaz ed   Dep ar tm en t o f   Au to m atics a n d   E lectr ical  E n g in ee r in g ,   Facu lty   o f   T ec h n o lo g y ,   Un i v er s ity   o f   B lid a   R o u te  d So u m aa ,   B lid a,   Alg er ia   E m ail:  k az ed _ b o u alem @ u n iv - b lid a. d z       1.   I NT RO D UCT I O N   T r ajec to r y   tr ac k i n g   is   o n o f   th m o s s tu d ied   to p ics  r elate d   to   m o b ile  r o b o tics .   T h is   is   p r o b ab l y   m o tiv ated   b y   th e   lar g e   n u m b e r   o f   ap p licatio n s   f o r   in d u s tr ial   an d   s o cial  n ee d s   in   r ea l - wo r l d   life .   T h is   p ap er   is   m ea n to   ad d   an o t h er   co n tr ib u tio n   to   th is   f ield   b y   g o in g   t h r o u g h   d etailed   ex p lan atio n   o f   th o v e r all  s y s tem   m o d elin g   an d   co n tr o l.  T h b a s ic  p r in cip le  o f   th p r esen wo r k   wh ich   was  f ir s in tr o d u ce d   in   [ 1 ] ,   h as  b ee n   ex ten s iv ely   r eu s ed   in   th liter a tu r e,   as in   [ 2 ] [ 1 0 ]   an d   m a n y   o th er s .   T h m ain   c o m m o n   f ea t u r o f   th ese  p a p er s   is   th f ac th at   th ey   wer a ll  b ased   o n   th e   s am th r ee   tu n in g   p ar am eter s   co n tr o ller .   Usi n g   th is   s am e   m ath em atica m o d el,   th e   au t h o r s   o f   [ 1 1 ] [ 1 7 ]   h av e   p r o p o s e d   d if f er en t   co n tr o s tr ateg ies  t o   ac h iev th e   s am Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 2 5 8 6   I AE I n J   R o b   &   A u to m Vo l .   1 5 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 :   33 - 42   34   task .   T h is   was  also   th ca s in   [ 1 8 ]   w h er th a u th o r s   h a v c o m b in ed   n eu r al  n etwo r k   to   a d ap th k in em atic  co n tr o ller   p ar am eter s   t o   th o s o f   a   r ef e r en ce   m o d el   s u b s y s tem ,   in clu d i n g   a   lin ea r   q u a d r at ic  r eg u lato r   ( L QR ) .   An o th er   c o n tr o llin g   a p p r o ac h   h as  b ee n   a d o p ted   in   [ 1 9 ] .   I n   th is   p ar ticu lar   ca s e,   th e   p r o p o s ed   co n t r o ller   was   co m p o s ed   o f   two   d is tin ct  p r o p o r tio n al  in teg r al  d e r iv ativ ( PID )   co n tr o ller s ,   r esp ec tiv ely   f o r   th tr an s latio n al  an d   r o tatio n al  m o tio n   o f   th r o b o t.  B ased   o n   th s am m o d el  th au th o r s   o f   [ 2 0 ]   h av u s ed   s lid in g   m o d e   co n tr o ller   to   tr ac k   lin ea r   an d   c ir cu lar   s h ap ed   tr ajec to r ies.  lin ea r   q u ad r atic  r eg u lato r   ( L Q R )   b ased   co n tr o ller   h as  also   b ee n   u tili ze d   in   [ 2 1 ] .   lear n in g   m ec h an is m   to   u p d ate  th f ee d f o r war d   ac tio n   o f   t h m ain   co n tr o ller   h as  b ee n   d esig n ed   to   g r a d u all y   m in im ize  th tr ac k in g   er r o r   b etwe en   th r o b o an d   th p r escr ib ed   tr ajec to r y   [ 2 2 ] .   T h au t h o r s   o f   [ 2 3 ]   h a v p r o p o s ed   n e u r al  n etwo r k - b ased   co n tr o ller   to   en h an ce   t h p er f o r m an ce   o f   a   g en etic  alg o r ith m   ( GA)   o p tim i ze d   n o n lin ea r   PID   co n tr o ller   p ar am eter s .   An o th e r   ap p r o ac h   u s in g   f u zz y   l o g ic   b ased   s lid in g   m o d co n tr o tec h n iq u h as  b ee n   p r o p o s ed   i n   [ 2 4 ] .   T h p r o b lem   o f   tr ajec to r y   tr ac k in g   f o r   ca r - lik Au to n o m o u s   Veh icle  h as  b ee n   th f o cu s   o f   th wo r k   p r esen ted   in   [ 2 5 ] .   I n   th is   s tu d y ,   th co n tr o s tr ateg y   was  b ased   o n   “lin ea r   p a r a m eter   v ar y in g ”  ( L PV)   s y s tem   f o r   wh ich   t h p ar a m eter s   o f   m o d el  p r ed ictiv co n tr o ller   ( MPC )   wer o p ti m ized   th r o u g h   a   p ar ticle   s war m   o p tim izatio n   ( PS O)   te ch n iq u e.   T r ajec to r y   tr ac k in g   in   3 s p ac is   also   o n o f   th m o s attr ac tin g   to p ics  in   th liter atu r e,   a m o n g   th m an y   p r o p o s ed   co n tr o llin g   a p p r o ac h es  th au th o r s   o f   [ 2 6 ]   h av d esig n ed   n eu r al  f u zz y   b ased   PID   c o n tr o ller   to   m a k an   u n m an n ed   ae r ial  v eh icle  ( U AV)   f o llo p r ed ef in e d   tr aj ec to r y .   Aim in g   to   s o lv th s am p r o b lem ,   th e   au th o r s   in   [ 2 7 ]   h av e   ad o p ted   “Su p er   twis tin g   s lid in g   m o d co n tr o ller ”  co m b in ed   with   a   f u zz y   PID   s u r f ac e   to   ad ju s th g ain   p ar am eter s   an d   th er eb y   r e d u cin g   th ch atter in g   ef f ec in d u ce d   b y   th is   k in d   o f   co n tr o l   tech n iq u e .   As  p r e v io u s ly   m en t io n ed ,   th m ain   f o cu s   o f   th e   p r esen wo r k   is   to   d esig n   a   co n t r o ller   e n ab lin g   th e   m o b ile  r o b o to   f o llo p r e s cr ib ed   tr ajec to r y ,   in   an   o b s t ac le - f r ee   en v ir o n m e n t.  T h e r e f o r e,   th is   is   o n l y   p ar tial  s o lu tio n   to   th m o r g lo b al  p r o b lem   o f   m o tio n   p lan n in g ,   wh ich   in clu d es  p ath   p lan n in g ,   to   g e n er ate  a   s u cc ess io n   o f   way p o in ts   th at  th r o b o s h o u ld   g o   th r o u g h ,   in clu d in g   th e   tim s am p les  at  wh ich   th r o b o is   s u p p o s ed   t o   r ea ch   th ese  way p o in ts .   Path   p lan n in g   is   th e r ef o r an o th er   im p o r tan p r o b lem   th at  h as  b ee n   tak e n   ca r o f   i n   m an y   r esear c h   wo r k s .   T h is   was  th ca s in   [ 2 8 ] ,   w h er th a u th o r s   h av s u g g ested   “Bi d ir ec tio n al   r ap id ly - e x p lo r in g   r an d o m   tr ee   s tar ”,   in teg r ated   with   “Dy n am ic  win d o ap p r o ac h ”  an d   a n   “Ad ap tiv m o n te  C ar lo   lo ca lizatio n ”  tech n iq u e .                   I n   th is   p ap er ,   u s in g   s im p le  g eo m etr ic  h o m o g en e o u s   tr an s f o r m atio n   p r o p e r ties ,   an   er r o r   d y n am ic   m o d el  will  b d er iv ed   an d   u s ed   to   o b tain   a   two - co m p o n e n t   n o n lin ea r   co n tr o s ch em e   f o r   b o th   th e   lin ea r   an d   an g u lar   s p ee d s   o f   th m o b ile  r o b o t.  As  f o r   an y   o th er   co n tr o ller ,   th en d   g o al  o f   its   d esig n   is   to   im p lem en a   cu s to m ized   v e r s io n   o f   it   o n   a   r ea h ar d war e   p latf o r m .   I n   th p ar tic u lar   ca s o f   a   m o b ile  r o b o t,  t h is   co u l d   p r o v to   b v er y   tim e - co n s u m in g ,   esp ec ially   wh en   tr y in g   to   tu n th u n k n o wn   p ar am eter s .   T h is   is   ca u s ed   b y   th f ac t th at  we  n ee d   t o   u p d ate   th f ir m war o f   th o n b o a r d   s y s tem   ev er y   tim c h an g o f   t h ese  p ar am eter s   is   r eq u ir ed .   On o f   th k ey   f ea tu r es  o f   th p r esen wo r k   is   to   a d d r ess   th is   p r o b lem   u s in g   h a r d war e - in - t h e - lo o p   ar ch itectu r e,   allo win g   to   d eb u g   th e   co n t r o llin g   p ar t   o n   a   s tatio n ar y   PC ,   wh ile  leav in g   u n ch an g ed   th f ir m war e   r u n n in g   o n   t h m o v i n g   r o b o t.  W h at  m ak es th is   d ep lo y m en ev en   f aster   is   th ab ilit y   to   ca r r y   o u t th c o n tr o ller   tu n in g   p h ase  u s in g   r o b o d y n am ic  m o d el  as  p ar o f   co m p lete  s im u latio n   p r o g r am ,   b ef o r r e p lacin g   th is   m o d el  with   th c o n n ec ted   h ar d war p latf o r m .     T h co n ten o f   th is   p ap e r   ca n   b s u m m ar ize d   as  f o llo ws;   I n   s ec tio n   2 ,   c o m p r e h en s iv a n d   d etailed   d escr ip tio n   o f   th e   k in em atic  m o d el  is   g iv e n .   T h r esu ltin g ,   n o n lin ea r   s tate  s p ac m o d el  i s   th en   u s ed   t o   d esig n   co n tr o ller   f o r   s teer in g   t h r o b o to war d s   th d esire d   p ath .   T h r esu lts   o f   s o m illu s tr ativ ex am p les,  u s ed   t o   test   th p er f o r m an ce   o f   th p r o p o s ed   co n tr o ller ,   will b d is c u s s ed   in   s ec tio n   3 .   T h m o s t i m p o r tan t f ea tu r es o f   th p r o p o s ed   co n tr o l sy s tem   w ill b s u m m ar ized   in   s ec tio n   4       2.   M O DE L I NG   AN CO NT R O L   2 . 1 .     P a t h f o llo wing   s t ra t e g y     On o f   th e   m o s p o p u lar   m eth o d s   u s ed   to   m ak a   r o b o tr ac k   p r e d ef in ed   tr ajec to r y ,   c o n s is ts   of   d esig n in g   co n tr o ller   ca p ab le   o f   d r iv in g   th is   r o b o to war d s   an o th er   v ir tu al  r o b o th at  is   p er f ec tly   f o llo win g   th tar g et  o r   d esire d   tr ajec to r y .   T h is   ap p r o ac h   is   illu s tr ated   i n   Fig u r e   1 ,   wh er e,   in   th is   ca s e   th v ir t u al  r o b o is   d esig n ated   b y   th e   letter   B ,   wh er ea s   th co n t r o lled   r o b o is   lab eled   r o b o A .   T o   ac h iev e   th is   g o al,   we   f ir s n ee d   to   ex p r ess   th p o s tu r ( p o s itio n   an d   o r ien tatio n )   o f   r o b o B   r elativ to   th f r am attac h ed   to   r o b o A .   I n   t h e   f o llo win g ,   we  will  u s e   th n o tatio n      to   d ef in e   tr a n s f o r m at io n   o f   a   m o v in g   ( M)   f r a m w ith   r esp ec to   a   f ix ed   ( F)  f r am e.   C o n s id er in g   th at  th p o s tu r es  o f   r o b o an d   B   ca n   b r ep r esen ted   b y   th eir   r esp ec tiv e   tr an s f o r m atio n s   in   t h wo r ld   o r   f ix ed   f r am ( 0 )   we  h av e:     0 = [ c os 1 s in 1 1 s in 1 c os 1 1 0 0 1 ]     ( 1 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I AE I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:   2722 - 2 5 8 6       E xp erimen ta l v a lid a tio n   o f a   t r a jecto r tr a ck in g   co n tr o ller   fo r   a   tw o - w h ee led   mo b ile  r o b o ( B o u a lem  K a z ed )   35   0 = [ c os 2 s in 2 2 s in 2 c os 2 2 0 0 1 ]   ( 2 )           Fig u r 1 .   Sam p le  p o s tu r es o f   th ac tu al  ( g r ey )   a n d   v i r tu al  r o b o t ( g r ee n )       T h tr an s f o r m atio n   m atr ix   0   m o v es  an d   r o tates  th f r a m ( 0 )   f r o m   ( 0 , 0 , 0 )   to   th p o s tu r ( 2 , 2 , 2 ) .   T h e   f ix e d   f r am e’ s   tr a n s f o r m atio n   m atr i x   ca n   b wr itten   as  0 0 = ,   with     b ein g   th e   id e n tity   m atr ix .   R ewr itin g   0   as  0 = 0 0 0   ex p r ess es  th f ac th at  0   ca n   b v iewe d   as  an   o p er at o r   ap p lied   o n   th f r am ( 0 )   to   m o v e   it  an d   p lac es  it  o n   f r am ( 2 ) ,   attac h ed   t o   r o b o B .   I f   we  ch an g th e   s tar tin g   p o s tu r e   an d   m ak it  o n   f r am ( 1 )   wh ic h   is   attac h ed   to   r o b o A 0 0   will  b r ep lace d   b y   0 ,   th er ef o r 0   ca n   also   b e   ex p r ess ed   as  0 = 0 ,   if   we  p r e - m u ltip ly   b o th   s id es b y     ( 0 ) 1   we  g et:     = ( 0 ) 1 0 = [ c os 1 s in 1 1 c os 1 1 s in 1 s in 1 c os 1 1 s in 1 1 c os 1 0 0 1 ] [ c os 2 s in 2 2 s in 2 c os 2 2 0 0 1 ]        = [ c os ( 2 1 ) s in ( 2 1 ) ( 2 1 ) c os 1 + ( 2 1 ) s in 1 s in ( 2 1 ) c os ( 2 1 ) ( 2 1 ) c os 1 ( 2 1 ) s in 1 0 0 1 ]   ( 3 )     W ca n   ea s ily   n o tice  th at  th m atr ix   o b tain e d   in   ( 3 )   r e p r esen ts   h o m o g e n eo u s   tr a n s f o r m a tio n   with   an   an g u lar   r o tatio n   o f   = ( 2 1 )   ar o u n d   th z   ax is ,   p er p en d ic u lar   an d   p o in t in g   o u o f   th p ag e,   an d   two   tr an s latio n s   = ( 2 1 ) c os 1 + ( 2 1 ) s in 1   an d   = ( 2 1 ) c os 1 ( 2 1 ) s in 1 ,   alo n g   th   an d     ax is   r esp ec tiv ely .   T a k in g   th d er iv ativ es o f   th ese  lin ea r   an d   an g u lar   p o s itio n s ,   we  g et:     ̇ = ( ̇ 2 ̇ 1 ) c os 1 ( 2 1 ) ̇ 1 s in 1 + ( ̇ 2 ̇ 1 ) s in 1 + ( 2 1 ) ̇ c os 1   ̇ = ( ̇ 2 ̇ 1 ) s in 1 ( 2 1 ) ̇ 1 c os 1 + ( ̇ 2 ̇ 1 ) c os 1 ( 2 1 ) ̇ s in 1   ̇ = ̇ 2 ̇ 1   ( 4 )     I n   m atr ix   f o r m   eq u atio n   ( 4 )   ca n   b wr itten   as ( 5 ) ,     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 2 5 8 6   I AE I n J   R o b   &   A u to m Vo l .   1 5 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 :   33 - 42   36   [ ̇ ̇ ̇ ] = [ ̇ 1 s in 1 ̇ 1 c os 1 0 ̇ 1 c os 1 ̇ 1 s in 1 0 0 0 0 ] [ 2 1 2 1 2 1 ] + [ c os 1 s in 1 0 s in 1 c os 1 0 0 0 1 ] [ ̇ 2 ̇ 1 ̇ 2 ̇ 1 ̇ 2 ̇ 1 ]     ( 5 )     w h ich   ca n   f u r th er   b ex p r ess ed   as ( 6 ) .     [ ̇ ̇ ̇ ] = [ ̇ 1 s in 1 ̇ 1 cos 1 0 ̇ 1 cos 1 ̇ 1 s in 1 0 0 0 0 ] [ ] + [ cos 1 s in 1 0 s in 1 cos 1 0 0 0 1 ] [ ̇ 2 ̇ 2 ̇ 2 ] [ cos 1 s in 1 0 s in 1 cos 1 0 0 0 1 ] [ ̇ 1 ̇ 1 ̇ 1 ]   ( 6 )     Fro m   Fig u r e   1 ,   ̇ 1   an d   ̇ 1   ca n   b e   r e p lace d   as  f o llo ws  ̇ 1 = 1 c os 1   an d     ̇ 1 = 1 s in 1 ,   th e   a n g u lar   s p ee d   o f   th r o b o t a r o u n d   t h v er tical  a x is   z ,   ̇ 1   will b d en o ted   as  Ω 1 .   Usi n g   th ese  ex p r ess io n s   th last   ter m   o f   ( 6 )   b ec o m es   ( 7 ) .     [ cos 1 s in 1 0 s in 1 cos 1 0 0 0 1 ] [ ̇ 1 ̇ 1 ̇ 1 ] = [ ̇ 1 cos 1 + ̇ 1 s in 1 ̇ 1 s in 1 + ̇ 1 cos 1 ̇ 1 ] = [ 1 cos 1 cos 1 + 1 s in 1 s in 1 1 cos 1 s in 1 + 1 s in 1 cos 1 ̇ 1 ] = [ 1 0 Ω 1 ]   ( 7 )     Similar ly   n o tin g   th at  ̇ 2 = 2 c os 2   an d     ̇ 2 = 2 s in 2   eq u atio n   ( 6 )   ca n   b r ed u ce d   to       [ ̇ ̇ ̇ ] = ̇ 1 [ s in 1 c os 1 0 c os 1 s in 1 0 0 0 0 ] [ ] [ 1 0 Ω 1 ] + [ c os 1 s in 1 0 s in 1 c os 1 0 0 0 1 ] [ 2 c os 2 2 s in 2 Ω 2 ]   ( 8 )     W h ich   ca n   b r ewr itten   as:      [ ̇ ̇ ̇ ] = ̇ 1 [ s in 1 c os 1 0 c os 1 s in 1 0 0 0 0 ] [ ] [ 1 0 Ω 1 ] + [ 2 c os 1 c os 2 + 2 s in 1 s in 2 2 s in 1 c os 2 + 2 c os 1 s in 2 Ω 2 ]       An d   th en :     [ ̇ ̇ ̇ ] = ̇ 1 [ s in 1 c os 1 0 c os 1 s in 1 0 0 0 0 ] [ ] [ 1 0 Ω 1 ] + [ 2 c os ( 2 1 ) 2 s in ( 2 1 ) Ω 2 ]       Fro m   th th ir d   co lu m n   o f   th t r an s f o r m atio n   m atr ix   ( 3 ) ,   we  h av e:        = ( 2 1 ) c os 1 + ( 2 1 ) s in 1 = c os 1 + s in 1   = ( 2 1 ) c os 1 ( 2 1 ) s in 1 = c os 1 s in 1     Fin aly   th er r o r   d y n am ics o f   r o b o A   r elativ to   r o b o B   ca n   ex p r ess ed   as:      [ ̇ ̇ ̇ ] = Ω 1 [ 0 ] [ 1 0 Ω 1 ] + [ 2 c os 2 s in Ω 2 ] = [ Ω 1 1 + 2 c os Ω 1 + 2 s in Ω 2 Ω 1 ]     ( 9 )     Fo r   m o r co n v en ie n ce   let  u s   d ef in th s tate  v ec to r     = [ 1 2 3 ] = [ ] T h is   g iv es u s   th f o llo win g   s tate  s p ac s y s tem   in   ( 1 0 ) .     { ̇ 1 = Ω 1 2 1 + 2 c os 3 ̇ 2 = Ω 1 1 + 2 s in 3 ̇ 3 = Ω 2 Ω 1   ( 1 0 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I AE I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:   2722 - 2 5 8 6       E xp erimen ta l v a lid a tio n   o f a   t r a jecto r tr a ck in g   co n tr o ller   fo r   a   tw o - w h ee led   mo b ile  r o b o ( B o u a lem  K a z ed )   37   2 . 2 .   Co ntr o d esig   T o   m a k e   r o b o t   A   t r a c k   t h e   d e s ir e d   t r a j e c t o r y ,   t h e   l i n ea r   a n d   a n g u l a r   s p e e d s   1   a n d   Ω 1 ,   n e e d   t o   b e   p r o p e r l y   e v a l u a t e d .   T o   t h is   e n d ,   l e t   u s   d e f i n e   t h e   p o s it i v e   d e f i n it e   f u n c ti o n     ( 1 1 )   a s   a   L y a p u n o v   f u n c t i o n   c a n d i d a t e .     = 1 2 ( 1 2 + 2 2 ) + 1 c os 3   ( 1 1 )     T h ter m   ( 1 c os 3 )   in s u r es  t h at    is   alwa y s   p o s itiv d ef in ite   with   r esp ec t o   th e   o r ien tatio n   3 ;   ( 1 , 2 , 3 ) > 0       ( 1 , 2 , 3 ) ( 0 , 0 , 0 )        ( 0 , 0 , 0 ) = 0   ,   th d er iv ativ e   o f     is   o b tain ed   as  ( 1 2 ) .     ̇ = 1 ̇ 1 + 2 ̇ 2 + ̇ 3 s in 3   ̇ = 1 ( Ω 1 2 1 + 2 c os 3 ) + 2 ( Ω 1 1 + 2 s in 3 ) + ( Ω 2 Ω 1 ) s in 3   ̇ = 1 ( 2 c os 3 1 ) + ( 2 2 + Ω 2 Ω 1 ) s in 3   ( 1 2 )     I f   we  ch o o s ( 2 c os 3 1 ) = 1 1 ,   an d   ( 2 2 + Ω 2 Ω 1 ) = 2 s in 3 ,   with   1 , 2 > 0   s o m tu n in g   p ar am eter s ,   we  g et  co n tr o l la ws   in   ( 1 3 ) .     { 1 = 1 1 + 2 c os 3                     Ω 1 = 2 2 + Ω 2 + 2 s in 3     ( 1 3 )     W ith   th ese  ch o ices ( 1 2 )   r e d u c es to   ( 1 4 ) .     ̇ = 1 1 2 2 s in 2 3       ( 1 4 )     Fro m   ( 1 4 )   we  ca n   o b s er v t h a ̇ ( 0 , 2 , 0 ) = 0   wh ich   m ea n s   th at  ̇   is   n eg ativ s em i - d ef in ite.   I n   t h is   p ar ticu lar   ca s e,   co n s id er i n g   t h f ac th s ec o n d   ter m s   o f   th s y s tem   d escr ib ed   b y   th d if f er en tial  eq u atio n s   ( 1 0 )   ar e   tim e - v ar y in g ,   we  o n ly   n ee d   to   p r o v e   th at  th is   s y s tem   is   m ar g i n ally   o r   l o ca lly   s tab le .   T h is   c o m es  f r o m   th f ac th at  th m o s im p o r ta n r o le  o f   th co n tr o ller   is   to   d r iv th ac tu al  r o b o t o war d s   t h tar g et  tr ajec to r y ,   k ee p in g   it  v e r y   clo s to   th v ir tu al  r o b o t.   T h e r ef o r e ,   if   w co u ld   p r o v e   th at  t h c o n tr o ller s   ( 1 3 )   p r o v id e   a   lo ca lly   s tab le  s o lu tio n   f o r   t h s y s tem   ( 1 0 )   th is   p r o b lem   wo u l d   th en   b e   s o lv ed .   Usi n g   th L y ap u n o v   th eo r y   a n d   th B ar b alat’ s   lem m [ 2 9 ]   a   s u f f icien co n d itio n   is   to   p r o v th at  th s ec o n d   d er iv ati v o f   th p r o p o s ed   L y ap u n o v   f u n ctio n     is   b o u n d e d .   Fro m   ( 1 4 )   we  h av e:     ̈ = 2 1 1 ̇ 1 2 2 ̇ 3 c os 3       R ep lacin g   ̇ 1   an d   ̇ 3   f r o m   ( 1 0 )   an d   u s in g   1 an d   Ω 1   d ef in ed   in   ( 1 3 )   we  g et   ( 1 5 ) .     ̈ = 2 1 1 ( ( 2 2 + Ω 2 + 2 s in 3 ) 2 1 1 ) 2 2 ( 2 2 2 s in 3 ) c os 3   ( 1 5 )     E x ce p f r o m   th c o n s tan ts   1   an d   2   all  elem en ts   o f   ( 1 5 )   d e p en d   o n   th s tate  v ar iab les  1 , 2   an d   3 .   As  alr ea d y   m en tio n e d ,   ̇ 0   th is   m ea n s   th at  t h L y ap u n o v   f u n ctio n     d ef in e d   i n   ( 1 1 )   is   n o n   in cr ea s in g   o r   b o u n d ed ,   th er ef o r 1 , 2   an d   3   ar b o u n d e d ,   wh ich   i n   tu r n   p r o v es t h at  ̈   is   also   b o u n d ed .           3.   RE SU L T S AN D I SCU SS I O NS   3 . 1 .   I m ple m ent a t io n det a ils   T h o v er all  ar c h itectu r o f   t h ad o p ted   c o n tr o l   s y s tem   is   s u m m ar ized   in   Fig u r 2 .   Fro m   th is   b lo d iag r am   we  ca n   s ee   th at,   in   ad d itio n   to   th p r o p o s ed   m ai n   co n tr o ller ,   we  also   h av t wo   PID   co n tr o ller s   s p ec if ically   d esig n ed   to   m ak th le f an d   r ig h t   r o b o w h ee ls   r o tate  with   th a n g u lar   s p ee d s     an d   r eq u ir ed   b y   th i n v er s k i n em atics  b lo c.   I s h o u ld   b n o ted   t h at  th ese  PID   co n tr o ller s   h a v e   b ee n   t u n ed   tak in g   in to   ac co u n th ac tu al  r o b o d y n am ics,  in clu d in g   th wh ee ls   attac h ed   to   th s h af o f   th d r iv in g   DC   g ea r m o to r s .   T h m ea s u r ed   a n g u lar   s p ee d s      an d    ,   o b tain e d   f r o m   th ac tu al  r o b o o r   its   eq u iv alen t   m o d el  ar th en   f ed   to   th f o r war d   k in em atics  b lo c,   wh ich   in   tu r n   d eliv er s   th m ea s u r ed   lin ea r   an d   an g u lar   s p ee d s   1   an d   Ω 1   o f   th e   r o b o ch as s is .   T h ese  two   s ig n als  ar th en   u s ed   to   cl o s th o u te r   lo o p   m ak in g   th e   wh o le  s y s tem   wo r k   as d escr ib ed .     3 . 2 .     E x perim ent a l r esu lt s   Af ter   f ew  tr ial - an d - er r o r   s ettin g s   in   s im u latio n ,   t h p r o p o s ed   co n tr o ller   p ar am eter s   1 an d   2   h av e   b ee n   s et  to   t h v al u es  lis ted   in   T ab le  1 .   T h p e r f o r m an ce   o f   t h is   co n tr o ller   h as  th e n   b ee n   test ed   th r o u g h   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 2 5 8 6   I AE I n J   R o b   &   A u to m Vo l .   1 5 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 :   33 - 42   38   s ev er al  s ce n ar io s ,   am o n g   wh i ch   th r esu lts   o f   a n   ex am p le  u s in g   L is s ajo u s   cu r v ty p tr ajec to r y ,   d e f in ed   b y   th p ar am etr ic  eq u atio n s 2 ( ) = 2 ( cos 50 1 ) + 0 . 25   an d   2 ( ) = 2 s in 25 ,   ar s h o wn   in   Fig u r es  3   an d   4.     v is u al  in s p ec tio n   o f   th eses   p lo ts   s h o ws  th at  th is   tr ac k in g   ex p er im en h as  b ee n   s u cc ess f u lly   ac h iev e d .   Af ter   less   th an   2 0   s ec o n d s ,   th e   ac tu al  r o b o tr ajec to r y   was  n ea r ly   s u p er im p o s ed   o n   th e   r ef e r en c p ath   d r aw n   b y   th e   v ir tu al  r o b o t.  T h is   ca n   b v er i f ied   in   th s ec o n d   p lo t o f   Fig u r 3 ,   in   wh ich   th later al  er r o r   is   s h o wn   to   b v er y   clo s to   ze r o .   As  ca n   b o b s er v ed   in   Fig u r 4 ,   th e   ac tu al  r o b o tr ajec to r y   h as  b ee n   s lig h tl y   d ev iated   f r o m   th e   r ef er en ce   p at h   af ter   th p o s itio n   in d icate d   b y   th ( - 2 . 4 , 1 . 2 3 )   co o r d in ates.  T h is   is   th r esu lt  o f   an   ex ter n al   d is tu r b an ce   ca u s ed   b y   m an u al  h ar d   p u s h   o n   th r i g h t w h ee l,  p r ev en tin g   it f r o m   r o tatin g   f r ee ly   d u r i n g   s h o r t   p er io d ,   s tar tin g   at  th e   7 0   s ec o n d   tim e   s am p le.   Fro m   th t wo   last   p lo ts   o f   Fig u r 3 ,   o n ca n   s ee   th at  t h e   co n s eq u en ce s   o f   s lo win g   d o wn   th e   r ig h t   wh ee h as  d i r ec ef f ec t   o n   th e   lef wh ee l ,   m ea n in g   t h at  th e   p r o p o s ed   o u ter   lo o p   co n tr o ller   h as b ee n   ab le  to   p o s itiv ely   r e ac t a g ain s t th is   u n ex p ec ted   p e r tu r b atio n ,   allo win g   th r o b o t to   b b ac k   o n   th r ef er en ce   p ath   f ew  s ec o n d s   later .   T h is   is   also   d u to   th im p o r tan t r o le  p lay ed   b y   th two   PID   co n tr o ller s ,   wh ic h   ar r esp o n s ib le  f o r   m atch in g   th m ea s u r ed   r o tatio n al  s p e ed s   o f   b o th   w h ee ls   with   th o s co m p u ted   b y   th e   m ain   co n tr o ller .   T h is   ca n   also   b v er if ied   i n   th last   two   p lo ts   o f   Fig u r 3 ,   wh ich   s h o ws th at  th ese  r eq u ir em en ts   ar ef f ec tiv ely   f u lf illed .           Fig u r 2 .   B lo c k   d iag r am   o f   th co m p lete  co n tr o l sy s tem       T ab le  1 .   PID   an d   tr ajec to r y   co n tr o ller s   p ar am ete r s         1   2   0 . 0 1 2 7   0 . 1 5 7 3   0   0 . 1   2 . 5       tim p lo ts   o f   th ac tu al  a n d   v ir tu al  r o b o p o s tu r es     later al  er r o r   r esp o n s e           r ig h t w h ee ls   s p ee d s   lef t w h ee ls   s p ee d s         Fig u r 3 .   R ea l - tim d ata  ac q u i r ed   d u r in g   t h tr ac k in g   o f   L i s s ajo u s   ty p tr ajec to ry   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I AE I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:   2722 - 2 5 8 6       E xp erimen ta l v a lid a tio n   o f a   t r a jecto r tr a ck in g   co n tr o ller   fo r   a   tw o - w h ee led   mo b ile  r o b o ( B o u a lem  K a z ed )   39       Fig u r 4 .   E x p er im e n tal  r esu lts   f o r   L is s ajo u s   ty p tr ajec to r y   tr ac k in g   with   e x ter n al  d is tu r b an ce s       I n   a   s ec o n d   test ,   wh er e   r o b o t   h as  b ee n   m o v in g   o n   0 . 2 5 - m eter   g r id   m ar k ed   s u r f ac e,   th e   s n ap s h o ts   s h o wn   in   Fig u r 5   h av b ee n   s elec ted   f r o m   1 5 0   s ec o n d s   v id eo   r ec o r d ed   d u r in g   th is   ex p er im en t.  Fig u r 6   g iv es  m o r d etailed   v iew  o f   s o m o f   th s ig n als  ac q u ir ed   d u r in g   th is   p r o ce s s .   Fo r   th is   ex am p le,   th r o b o t   r ef er en ce   tr ajec to r y   is   h y p o tr o ch o id   d ef in e d   b y   th p ar am etr ic  eq u atio n s 2 ( ) = 0 . 36 c os 0 . 2 + 0 . 164 c os 0 . 3   an d   2 ( ) = 0 . 36 s in 0 . 2 0 . 164 s in 0 . 3 .   As  ca n   b n o ticed   in   Fig u r 5 ,   th is   tr ac k in g   ex p er im en s h o ws  th at  af ter   an   in itial  tr an s itio n   o f   ab o u 6 0   s ec o n d s ,   d u r in g   wh ich   th r o b o h as  alm o s co m p leted   th f ir s r o u n d ,   p as s in g   th r o u g h   th p o s itio n s   lab eled   0   to   7 ,   th later al  er r o r   2   h as  b ee n   g r ad u ally   d ec r ea s in g   m ak i n g   th e   r o b o t m o v v e r y   clo s t o   th tar g et  t r ajec to r y .   Fr o m   th u p p e r   p a r o f   Fig u r 6 ,   we  ca n   s ee   h o th r o b o p o s itio n   an d   o r ien tatio n   g et  clo s er   to   th o s o f   th v ir tu al  r o b o d u r in g   t h is   s am p le  test .   T h e   s ec o n d   p ar o f   Fig u r 6   s h o w s   th o u tp u t   o f   th p r o p o s ed   co n tr o ller   1   an d   1 ,   af ter   h av in g   b ee n   lim ited   th r o u g h   a   p air   o f   s atu r atin g   b l o cs.  T h ese  h av e   b ee n   in s er ted   to   a v o id   lettin g   t h r o tatio n al   s p ee d s   o f   th e   lef t   an d   r ig h g ea r e d   m o t o r s   s h af ts   ex ce ed   th eir   lim it  o f   |  | = 9 . 9    /  ,   th is   is   th ca s wh en   th e   v o ltag e   ap p lied   to   th m o to r s   r ea ch   th n o m in al  v alu o f   ± 12     .   Fro m   th e   f o r war d   k in em atics  eq u atio n s   o n ca n   ea s ily   g et  th co r r esp o n d in g   m ax im u m   v alu es  o f   th lin ea r   an d   an g u lar   s p ee d s   o f   th r o b o ch ass is ,   th ese  ar e   g iv en   b y 1  = 0 . 5   /    an d   Ω 1  = 5 . 5    /    r esp ec tiv ely .           Fig u r 5 .   Hy p o tr o c h o id   t r ajec to r y   tr ac k in g : sam p le  r o b o p o s tu r es   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 2 5 8 6   I AE I n J   R o b   &   A u to m Vo l .   1 5 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 :   33 - 42   40       Fig u r 6 .   Hy p o tr o c h o id   t r ajec to r y   tr ac k in g : tim p l o ts   o f   k e y   p ar am eter s       Fro m   th s ec o n d   p lo ts   in   Fig u r 6   we  ca n   also   n o tice   th at  th lin ea r   s p ee d   o f   th r o b o i s   v ir tu ally   co n s tan d u r in g   s ev er al  p o r tio n s   o f   t h ch o s en   tr ajec to r y .   T h ese  co r r esp o n d   to   th p h ases   wh er t h s h ap e   o f   th tr ajec to r y   is   clo s to   a   s tr a ig h lin e,   o n   th o th er   h an d   th is   b ec o m es  v er y   clo s to   ze r o   wh en   th r o b o h as   to   g o   th r o u g h   s h ar p   V - t u r n s ,   in   wh ic h   ca s its   a n g u lar   s p ee d   g ets  m u ch   h ig h e r .   T o   a v o id   th e   u n d esira b le  s u d d en   ch a n g es  ca u s ed   b y   th e   tr an s itio n   o f   2   b etwe en   +   to   - ,   as  at  ar o u n d   3 8   s ec ,   th co n tr o s ig n al  Ω 1   is   k ep at  th s am v alu wh e n   | 2 | < 0 . 3    ,   th is   is s u h as  also   b ee n   m en tio n ed   in   [ 3 0 ] Ω 0   is   th e   u n wan ted   s teer in g   co m m an d   wh ich   wo u ld   h a v b ee n   a p p lie d   with o u th is   lim itin g   m ec h a n is m ,   in   ca s wh ich   an   o v er c o n s u m p ti o n   p o wer   w o u ld   o cc u r   b esid es  s o m ex p e cted   m ec h an ical  d a m ag o f   th m o to r   r ed u ctio n   g ea r s ,   ca u s ed   b y   th s u d d e n   ch an g o f   th r o tatio n al  d ir ec ti o n   o f   th r o b o wh ee ls .   T h s et  o f   p lo ts   s h o wn   o n   th th ir d   r o o f   Fig u r 6   co n f i r m s   th b o u n d ed n ess   o f   th L y ap u n o v   f u n ctio n   ,   its   d er iv ativ ̇   an d   th t h r ee   s y s tem s   s ta tes  1 2 ,   an d   3 .   zo o m ed   v iew  o f   th E u clid ea n   d is tan ce   b etwe en   th v ir tu al  an d   ac tu al  r o b o t ,   d esig n ated   ρ   in   Fig u r e   1 ,   to g et h er   with   th later al   d is tan ce   2   an d   th e   o r ien tatio n   er r o r   3   is   p lo tted   o n   th e   lo wer   p ar o f   Fig u r e   6 .   T h is   g i v es  u s   m o r d etailed   in f o r m ati o n   o n   th clo s en ess   b etwe en   t h ac tu al  r o b o a n d   th d esire d   tr ajec to r y .   C o n s id er in g   th f ac th at  th m ain   g o al  o f   th is   wo r k   is   to   m ak th ac tu al  r o b o t   m ain tain   its   p o s itio n   o n   th e   d esire d   tr ajec to r y   an d   n o n ec e s s ar ily   v er y   clo s to   th v ir tu al  r o b o t,  th e   m o s im p o r tan t v ar iab le  th at  s h o u l d   b lo o k ed   at   is   th d is tan ce   2 .   Fro m   th ab o v p lo ts   we  ca n   n o tice  th at  ev en   if   th ac tu al  r o b o is   alwa y s   m o r o r   less   b eh in d   th v ir tu a r o b o t,  th later al  d is tan ce   2   is   co n tin u o u s ly   d ec r ea s in g ,   an d   h as r ea c h ed   v alu o f   less   th an   1 . 2   m m   ju s b ef o r t h en d   o f   th is   s am p le  t est .       4.   CO NCLU SI O N   T h m ain   f o cu s   o f   th is   p a p e r   is   o r ien ted   to war d s   th d esig n   an d   im p lem en tatio n   o f   a   n o n lin ea r   m u ltiv ar iab le  co n tr o ller ,   s p ec if ically   ad ap ted   to   m ak n o n h o lo n o m ic  m o b ile  r o b o f o llo p r ed ef in e d   tr ajec to r y .   T h r esu lts   o b tain e d   f r o m   th f ir s ex p er im en tal  test   h as  s h o wn   th at  th r o b o was  ab le  to   r em ain   v er y   clo s to   th e   tar g et  tr aje cto r y ,   with   m i n o r   d ev iatio n   o cc u r r e n ce   af ter   s u d d en   e x ter n al  d is tu r b a n ce   p u r p o s ely   ac tiv ated   d u r i n g   th e   r o b o m o v em en ts .   Kn o win g   th at,   f r o m   th e   th eo r etica p o in t   o f   v iew,   th is   k i n d   o f   m ec h an ical  p er tu r b atio n s   is   v er y   d if f icu lt  to   p r e v en t,  th b est  m eth o d   to   ass ess   th p er f o r m an ce   o f   s u ch   a   co n tr o ller   is   to   r ely   o n   th ac q u ir ed   d ata  m ea s u r e d   f r o m   t h ac tu al  h ar d war s y s tem .   T h s ec o n d   ex p er im en tal  test   h as  s h o wn   th at  t h tim t ak en   b y   th e   r o b o was  q u ite  l o n g er   co m p ar ed   to   th e   p r ev io u s   test .   T h is   ca n   b e   ex p lain ed   b y   t h f ac t h at  d u r i n g   th e   in itial  tr an s itio n ,   th e   c o n tr o ller   ac tio n   h as  g iv en   h i g h er   p r io r ity   to   th e   o r ien tatio n   s teer in g   p ar t,   d r iv in g   th e   r o b o t   tr ajec to r y   to   b e   p ar allel  t o   th e   r e f er en ce   p at h .   W ith   th e   h elp   o f   s o m o p tim izatio n   tech n iq u es   th k in em atic  c o n tr o ller   co e f f icien ts   1   an d   1   co u ld   p r o b ab ly   en h an ce   th p er f o r m an ce   o f   th p r o p o s ed   c o n tr o ller   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I AE I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:   2722 - 2 5 8 6       E xp erimen ta l v a lid a tio n   o f a   t r a jecto r tr a ck in g   co n tr o ller   fo r   a   tw o - w h ee led   mo b ile  r o b o ( B o u a lem  K a z ed )   41   F UNDING   I NF O R M A T I O N   T h is   wo r k   is   p ar tially   s u p p o r ted   b y   th e   Alg er ian   Min is tr y   o f   Hig h e r   E d u ca tio n   an d   Scien tific   R esear ch   th r o u g h   th PR FU p r o ject  n o .   A0 1 L 0 8 UN0 9 0 1 2 0 2 2 0 0 0 1 .       AUTHO CO NT RI B UT I O NS ST A T E M E N T   T h is   jo u r n al  u s es  th C o n tr ib u to r   R o les  T ax o n o m y   ( C R ed iT )   to   r ec o g n ize  in d iv id u al  au th o r   co n tr ib u tio n s ,   r ed u ce   au th o r s h ip   d is p u tes,  an d   f ac ilit ate  co llab o r atio n .     Na m o f   Aut ho r   C   M   So   Va   Fo   I   R   D   O   E   Vi   Su   P   Fu   B o u alem   Kaz ed                               Ab d er r ez ak   Gu ess o u m                                 C     C o n c e p t u a l i z a t i o n   M     M e t h o d o l o g y   So     So f t w a r e   Va     Va l i d a t i o n   Fo     Fo r mal   a n a l y s i s   I     I n v e s t i g a t i o n   R     R e so u r c e s   D   :   D a t a   C u r a t i o n   O   :   W r i t i n g   -   O r i g i n a l   D r a f t   E   :   W r i t i n g   -   R e v i e w   &   E d i t i n g   Vi     Vi su a l i z a t i o n   Su     Su p e r v i s i o n   P     P r o j e c t   a d mi n i st r a t i o n   Fu     Fu n d i n g   a c q u i si t i o n         CO NF L I C T   O F   I N T E R E S T   ST A T E M E NT   T h au th o r s   d ec lar th at  th e y   h av n o   co n f licts   o f   in ter est r e lev an t to   th is   s tu d y .       DATA AV AI L AB I L I T Y   T h d ata  th at  s u p p o r th f in d in g s   o f   th is   s tu d y   ar av ailab le  f r o m   th co r r esp o n d in g   au t h o r ,   [ B K] ,   u p o n   r ea s o n ab le  r eq u est.       RE F E R E NC E S   [ 1 ]   Y .   K a n a y a ma,   Y .   K i m u r a ,   F .   M i y a z a k i ,   a n d   T.   N o g u c h i ,   A   st a b l e   t r a c k i n g   c o n t r o l   me t h o d   f o r   a n   a u t o n o m o u mo b i l e   r o b o t ,   i n   Pro c e e d i n g o f   t h e   1 9 9 0   I EE I n t e r n a t i o n a l   C o n f e re n c e   o n   R o b o t i c a n d   A u t o m a t i o n ,   M a y   1 9 9 0 ,   v o l .   3 8 1 ,   p p .   3 8 4 3 8 9 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / r o b o t . 1 9 9 0 . 1 2 6 0 0 6 .   [ 2 ]   L.   X i a o - F e n g ,   Z .   R e n - F a n g ,   a n d   C .   G u o - P i n g ,   A   n e w   n o n - t i m e - b a se d   t r a c k i n g   c o n t r o l   f o r   m o b i l e   r o b o t ,   I n t e rn a t i o n a l   J o u r n a l   o f   Ro b o t i c   En g i n e e r i n g ,   v o l .   5 ,   n o .   1 ,   2 0 2 0 ,   d o i :   1 0 . 3 5 8 4 0 / 2 6 3 1 - 5 1 0 6 / 4 1 2 5 .   [ 3 ]   S .   Y i g i t   a n d   A .   S e z g i n ,   Tr a j e c t o r y   t r a c k i n g   v i a   b a c k s t e p p i n g   c o n t r o l l e r   w i t h   P I D   o r   S M C   f o r   m o b i l e   r o b o t s ,   S a k a r y a   U n i v e rs i t y   J o u rn a l   o f   S c i e n c e ,   v o l .   2 7 ,   n o .   1 ,   p p .   1 2 0 1 3 4 ,   2 0 2 3 ,   d o i :   1 0 . 1 6 9 8 4 / sa u f e n b i l d e r . 1 1 4 8 1 5 8 .   [ 4 ]   X .   G a o ,   L .   Y a n ,   a n d   C .   G e r a d a ,   M o d e l i n g   a n d   a n a l y s i i n   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l   f o r   w h e e l e d   mo b i l e   r o b o t w i t h   w h e e l   sk i d d i n g   a n d   sl i p p i n g :   D i s t u r b a n c e   r e j e c t i o n   p e r sp e c t i v e ,   A c t u a t o rs ,   v o l .   1 0 ,   n o .   9 ,   2 0 2 1 ,   d o i :   1 0 . 3 3 9 0 / a c t 1 0 0 9 0 2 2 2 .   [ 5 ]   P .   P e t r o v   a n d   I .   K r a l o v ,   Ex p o n e n t i a l   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l   o f   n o n h o l o n o m i c   w h e e l e d   mo b i l e   r o b o t s ,   Ma t h e m a t i c s ,   v o l .   1 3 ,   n o .   1 ,   2 0 2 5 ,   d o i :   1 0 . 3 3 9 0 / m a t h 1 3 0 1 0 0 0 1 .   [ 6 ]   E.   J.   H w a n g ,   H .   S .   K a n g ,   C .   H .   H y u n ,   a n d   M .   P a r k ,   R o b u st   b a c k st e p p i n g   c o n t r o l   b a s e d   o n   a   L y a p u n o v   r e d e s i g n   f o r   S k i d - S t e e r e d   W h e e l e d   M o b i l e   R o b o t s ,   I n t e rn a t i o n a l   J o u r n a l   o f   A d v a n c e d   Ro b o t i c   S y s t e m s ,   v o l .   1 0 ,   n o .   1 ,   2 0 1 3 ,   d o i :   1 0 . 5 7 7 2 / 5 5 0 5 9 .   [ 7 ]   H .   A i t h a l   a n d   S .   Ja n a r d h a n a n ,   Tr a j e c t o r y   t r a c k i n g   o f   t w o   w h e e l e d   m o b i l e   r o b o t   u s i n g   h i g h e r   o r d e r   sl i d i n g   mo d e   c o n t r o l ,   i n   2 0 1 3   I n t e r n a t i o n a l   C o n f e re n c e   o n   C o n t r o l ,   C o m p u t i n g ,   C o m m u n i c a t i o n   a n d   M a t e ri a l s ,   I C C C C 2 0 1 3 ,   2 0 1 3 ,   p p .   1 4 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / I C C C C M . 2 0 1 3 . 6 6 4 8 9 0 8 .   [ 8 ]   Z.   C a o ,   Y .   Zh a o ,   a n d   Q .   W u ,   A d a p t i v e   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l   f o r   a   n o n h o l o n o mi c   m o b i l e   r o b o t ,   C h i n e s e   J o u rn a l   o f   Me c h a n i c a l   E n g i n e e r i n g   ( E n g l i sh   E d i t i o n ) ,   v o l .   2 4 ,   n o .   4 ,   p p .   5 4 6 5 5 2 ,   2 0 1 1 ,   d o i :   1 0 . 3 9 0 1 / C J M E . 2 0 1 1 . 0 4 . 5 4 6 .   [ 9 ]   Y .   K o u b a a ,   M .   B o u k a t t a y a ,   a n d   T .   D a mak ,   A d a p t i v e   s l i d i n g - mo d e   c o n t r o l   o f   n o n h o l o n o m i c   w h e e l e d   m o b i l e   r o b o t ,   i n   S T 2 0 1 4   -   1 5 t h   I n t e r n a t i o n a l   C o n f e re n c e   o n   S c i e n c e s   a n d   T e c h n i q u e o f   Au t o m a t i c   C o n t r o l   a n d   C o m p u t e r   E n g i n e e ri n g ,   2 0 1 4 ,   p p .   3 3 6 3 4 2 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / S TA . 2 0 1 4 . 7 0 8 6 7 5 9 .   [ 1 0 ]   C .   Y .   C h e n ,   T.   H .   S .   Li ,   Y .   C .   Y e h ,   a n d   C .   C .   C h a n g ,   D e s i g n   a n d   i m p l e me n t a t i o n   o f   a n   a d a p t i v e   sl i d i n g - m o d e   d y n a mi c   c o n t r o l l e r   f o r   w h e e l e d   m o b i l e   r o b o t s ,   Me c h a t r o n i c s ,   v o l .   1 9 ,   n o .   2 ,   p p .   1 5 6 1 6 6 ,   2 0 0 9 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . m e c h a t r o n i c s. 2 0 0 8 . 0 9 . 0 0 4 .   [ 1 1 ]   S .   F a d l o ,   A .   A .   E l ma h j o u b ,   a n d   N .   R a b b a h ,   O p t i ma l   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l   f o r   a   w h e e l e d   m o b i l e   r o b o t   u si n g   b a c k s t e p p i n g   t e c h n i q u e ,   I n t e rn a t i o n a l   J o u r n a l   o f   E l e c t r i c a l   a n d   C o m p u t e r   E n g i n e e ri n g ,   v o l .   1 2 ,   n o .   6 ,   p p .   5 9 7 9 5 9 8 7 ,   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 1 1 5 9 1 / i j e c e . v 1 2 i 6 . p p 5 9 7 9 - 5 9 8 7 .   [ 1 2 ]   J.  Zh a n g ,   Q .   G o n g ,   Y .   Z h a n g ,   a n d   J.  W a n g ,   F i n i t e - t i me   g l o b a l   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l   f o r   u n c e r t a i n   w h e e l e d   mo b i l e   r o b o t s ,   I EEE  A c c e ss ,   v o l .   8 ,   p p .   1 8 7 8 0 8 1 8 7 8 1 3 ,   2 0 2 0 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / A C C ESS . 2 0 2 0 . 3 0 3 0 6 3 3 .   [ 1 3 ]   R .   K u b o ,   Y .   F u j i i ,   a n d   H .   N a k a m u r a ,   C o n t r o l   Ly a p u n o v   f u n c t i o n   d e s i g n   f o r   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   p r o b l e ms   o f   w h e e l e d   m o b i l e   r o b o t ,   I F AC - P a p e rsO n L i n e ,   v o l .   5 3 ,   n o .   2 ,   p p .   6 1 7 7 6 1 8 2 ,   2 0 2 0 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . i f a c o l . 2 0 2 0 . 1 2 . 1 7 0 4 .   [ 1 4 ]   M .   G .   A b d a l n a sser ,   M .   El sa ma n t y ,   a n d   A .   A .   I b r a h i m ,   Tr a j e c t o r y   t r a c k i n g   o f   w h e e l e d   m o b i l e   r o b o t   t h r o u g h   s y st e m i d e n t i f i c a t i o a n d   c o n t r o l   u s i n g   d e e p   n e u r a l   n e t w o r k ,   E n g i n e e ri n g   R e se a rc h   J o u r n a l ,   v o l .   1 8 3 ,   n o .   3 ,   p p .   1 1 7 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 2 1 6 0 8 / e r j . 2 0 2 4 . 3 0 4 9 5 3 . 1 0 7 5 .   [ 1 5 ]   H .   H u a n g   a n d   J.  G a o ,   B a c k st e p p i n g   a n d   n o v e l   sl i d i n g   m o d e   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l l e r   f o r   w h e e l e d   mo b i l e   r o b o t s,   Ma t h e m a t i c s ,   v o l .   1 2 ,   n o .   1 0 ,   p .   1 4 5 8 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 3 3 9 0 / m a t h 1 2 1 0 1 4 5 8 .   [ 1 6 ]   Z.   A n w a r   A l i ,   D .   W a n g ,   M .   S a f w a n ,   W .   J i a n g ,   a n d   M .   S h a f i q ,   Tr a j e c t o r y   t r a c k i n g   o f   a   n o n h o l o n o mi c   w h e e l e d   mo b i l e   r o b o t   u si n g   h y b r i d   c o n t r o l l e r ,   I n t e r n a t i o n a l   J o u rn a l   o f   M o d e l i n g   a n d   O p t i m i z a t i o n ,   v o l .   6 ,   n o .   3 ,   p p .   1 3 6 1 4 1 ,   2 0 1 6 ,   d o i :   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 2 5 8 6   I AE I n J   R o b   &   A u to m Vo l .   1 5 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 :   33 - 42   42   1 0 . 7 7 6 3 / i j m o . 2 0 1 6 . v 6 . 5 1 8 .   [ 1 7 ]   J.  Li ,   P .   M i a o ,   L .   S h a o ,   H .   Li u ,   a n d   X .   C h e n ,   Tr a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l   o f   p h o t o v o l t a i c   c l e a n i n g   r o b o t   b a s e d   o n   L y a p u n o v   t h e o r y   a n d   B a r b a l a t   l e mm a ,   i n   P ro c e e d i n g s   o f   t h e   3 0 t h   C h i n e s e   C o n t r o l   a n d   D e c i si o n   C o n f e re n c e ,   C C D C   2 0 1 8 ,   2 0 1 8 ,   p p .   2 7 0 5 2 7 0 9 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / C C D C . 2 0 1 8 . 8 4 0 7 5 8 4 .   [ 1 8 ]   N .   H a ssa n   a n d   A .   S a l e e m,   N e u r a l   n e t w o r k - b a se d   a d a p t i v e   c o n t r o l l e r   f o r   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   o f   w h e e l e d   m o b i l e   r o b o t s ,   I E EE   Ac c e ss ,   v o l .   1 0 ,   p p .   1 3 5 8 2 1 3 5 9 7 ,   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / A C C ESS . 2 0 2 2 . 3 1 4 6 9 7 0 .   [ 1 9 ]   T. - S .   Ji n   a n d   H . - H .   Ta c k ,   P a t h   f o l l o w i n g   c o n t r o l   o f   m o b i l e   r o b o t   u s i n g   L y a p u n o v   t e c h n i q u e s   a n d   P I D   c o n t r o l l e r ,   I n t e rn a t i o n a l   J o u rn a l   o f   Fu zz y   L o g i c   a n d   I n t e l l i g e n t   S y st e m s ,   v o l .   1 1 ,   n o .   1 ,   p p .   4 9 5 3 ,   2 0 1 1 ,   d o i :   1 0 . 5 3 9 1 / i j f i s . 2 0 1 1 . 1 1 . 1 . 0 4 9 .   [ 2 0 ]   L.   Y a n g   a n d   S .   P a n ,   A   S l i d i n g   m o d e   c o n t r o l   m e t h o d   f o r   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l   o f   w h e e l e d   m o b i l e   r o b o t ,   J o u rn a l   o f   Ph y s i c s:   C o n f e r e n c e   S e ri e s ,   v o l .   1 0 7 4 ,   p .   1 2 0 5 9 ,   2 0 1 8 ,   d o i :   1 0 . 1 0 8 8 / 1 7 4 2 - 6 5 9 6 / 1 0 7 4 / 1 / 0 1 2 0 5 .   [ 2 1 ]   N .   U d d i n ,   Tr a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l   s y st e d e s i g n   f o r   a u t o n o m o u t w o - w h e e l e d   r o b o t ,   J U R N AL   I N FO T EL ,   v o l .   1 0 ,   n o .   3 ,   p .   9 0 ,   2 0 1 8 ,   d o i :   1 0 . 2 0 8 9 5 / i n f o t e l . v 1 0 i 3 . 3 9 3 .   [ 2 2 ]   E.   K a y a c a n   a n d   G .   C h o w d h a r y ,   Tr a c k i n g   e r r o r   l e a r n i n g   c o n t r o l   f o r   p r e c i s e   m o b i l e   r o b o t   p a t h   t r a c k i n g   i n   o u t d o o r   e n v i r o n me n t ,   J o u rn a l   o f   I n t e l l i g e n t   a n d   Ro b o t i c   S y st e m s:   T h e o ry   a n d   A p p l i c a t i o n s ,   v o l .   9 5 ,   n o .   3 4 ,   p p .   9 7 5 9 8 6 ,   2 0 1 9 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / s 1 0 8 4 6 - 0 1 8 - 0 9 1 6 - 3.   [ 2 3 ]   T.   B e h a r u   A r e g a ,   Y .   M e r s h a   T e sf a ,   a n d   C .   M .   A b d i ssa ,   T h r e e - w h e e l e d   m o b i l e   r o b o t   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l   u s i n g   n o n l i n e a r   P I D   c o n t r o l l e r   b a s e d   n e u r a l   n e t w o r k   c o m b i n e d   w i t h   b a c k st e p p i n g   c o n t r o l l e r ,   I EEE  Ac c e ss ,   v o l .   1 3 ,   p p .   1 0 0 1 6 7 1 0 0 1 8 2 ,   2 0 2 5 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / A C C ESS . 2 0 2 5 . 3 5 7 7 2 6 9 .   [ 2 4 ]   Y .   A .   W e n d e ma g e g n ,   W .   A y a l e w   A sf a w ,   C .   M .   A b d i ssa ,   a n d   L.   N .   L e m ma,   E n h a n c i n g   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   a c c u r a c y   i n   t h r e e - w h e e l e d   mo b i l e   r o b o t u s i n g   b a c k st e p p i n g   f u z z y   sl i d i n g   m o d e   c o n t r o l ,   E n g i n e e r i n g   R e se a rc h   Ex p re ss ,   v o l .   6 ,   n o .   4 ,   p .   4 5 2 0 4 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 0 8 8 / 2 6 3 1 - 8 6 9 5 / a d 7 9 b 9 .   [ 2 5 ]   C .   A .   K e d i r   a n d   C .   M .   A b d i ss a ,   P S O   b a se d   l i n e a r   p a r a me t e r   v a r y i n g - mo d e l   p r e d i c t i v e   c o n t r o l   f o r   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   o f   a u t o n o mo u v e h i c l e s,   E n g i n e e ri n g   R e se a rc h   E x p r e ss ,   v o l .   6 ,   n o .   3 ,   p .   3 5 2 2 9 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 0 8 8 / 2 6 3 1 - 8 6 9 5 / a d 7 2 2 e .   [ 2 6 ]   N .   W .   M a d e b o ,   C .   M .   A b d i ss a ,   a n d   L.   N .   L e mm a ,   E n h a n c e d   t r a j e c t o r y   c o n t r o l   o f   q u a d r o t o r   U A V   u si n g   f u z z y   P I D   b a se d   r e c u r r e n t   n e u r a l   n e t w o r k   c o n t r o l l e r ,   I EEE  A c c e ss ,   v o l .   1 2 ,   p p .   1 9 0 4 5 4 1 9 0 4 6 9 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / A C C ESS . 2 0 2 4 . 3 5 1 6 4 9 4 .   [ 2 7 ]   E.   A .   G e d e f a w ,   C .   M .   A b d i ssa ,   a n d   L.   N .   Le mm a ,   A n   i m p r o v e d   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l   o f   q u a d c o p t e r   u si n g   a   n o v e l   sl i d i n g   mo d e   c o n t r o l   w i t h   f u z z y   P I D   su r f a c e ,   PLo S   O N E ,   v o l .   1 9 ,   n o .   1 1   N o v e m b e r ,   p .   e 0 3 0 8 9 9 7 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 3 7 1 / j o u r n a l . p o n e . 0 3 0 8 9 9 7 .   [ 2 8 ]   W .   A y a l e w ,   M .   M e n e b o ,   C .   M e r g a ,   a n d   L.   N e g a sh ,   O p t i ma l   p a t h   p l a n n i n g   u si n g   b i d i r e c t i o n a l   r a p i d l y - e x p l o r i n g   r a n d o t r e e   st a r - d y n a m i c   w i n d o w   a p p r o a c h   ( B R R T* - D W A )   w i t h   a d a p t i v e   M o n t e   C a r l o   l o c a l i z a t i o n   ( A M C L)   f o r   m o b i l e   r o b o t ,   E n g i n e e r i n g   Re se a rc h   Ex p ress ,   v o l .   6 ,   n o .   3 ,   p .   3 5 2 1 2 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 0 8 8 / 2 6 3 1 - 8 6 9 5 / a d 6 1 b d .   [ 2 9 ]   K .   J.  Å s t r ö m   a n d   B .   W i t t e n mark ,   A d a p t i v e   c o n t r o l ,   2 n d   e d .   A d d i so n - W e s l e y   L o n g m a n   P u b l i s h i n g   C o . ,   I n c ,   1 9 9 4 .   [ 3 0 ]   I .   A .   H a ssan ,   I .   A .   A b e d ,   a n d   W .   A .   A l - H u ssa i b i ,   P a t h   p l a n n i n g   a n d   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   c o n t r o l   f o r   t w o - w h e e l   m o b i l e   r o b o t ,   J o u rn a l   o f   Ro b o t i c a n d   C o n t r o l   ( J R C ) ,   v o l .   5 ,   n o .   1 ,   p p .   1 1 5 ,   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 8 1 9 6 / j r c . v 5 i 1 . 2 0 4 8 9 .       B I O G RAP H I E S O F   AUTH O RS       Bo u a le m   K a z e d           re c e iv e d   t h e   In g .   d ’e tat   d e g re e   i n   e lec tro n ics   e n g in e e rin g   fr o m   th e   Na ti o n a P o ly tec h n ics   o f   Alg iers   in   1 9 8 5 ,   a n   M P h i d e g re e   fro m   th e   c o n tr o e n g in e e ri n g   d e p a rtme n o f   th e   u n iv e rsity   o f   S h e ffield ,   UK ,   in   1 9 8 8   a n d   a   P h d e g re e   fro m   t h e   Un i v e rsity   o Bl id a ,   wh e re   h e   h a b e e n   tea c h in g   d iffere n t   g ra d u a te   a n d   p o stg ra d u a te  c o u rse i n   e lec tro n ics   a n d   c o n tr o e n g i n e e rin g   sin c e   1 9 8 9 .   Dr.   Ka z e d   h a a ls o   su p e rv ise d   m o re   th a n   1 6 0   fin a y e a p ro jec ts  re late d   t o   Re a l - Ti m e   Da ta  Ac q u isit i o n ,   Co n tr o l   S y ste m a n d   Ro b o ti c s.  He   h a b e e n   in v o l v e d   i n   m a n y   c o n fe r e n c e a n d   o th e a c ti v it ies   re late d   to   e d u c a ti o n a r o b o ti c s.  His   re se a rc h   in tere sts  in c lu d e   re a l - ti m e   c o n tro l   sy ste m s,  m o b il e   a n d   i n d u str ial  r o b o ti c s.  He   c a n   b e   c o n tac ted   a k a z e d _ b o u a lem @u n i v - b li d a . d z .           Abd e r r e z a k   G u e ss o u m           re c e iv e d   a   BS   d e g re e   in   e lec tro n i c fro m   Na ti o n a l   P o ly tec h n ics   o Al g iers ,   in   1 9 7 6 .   He   th e n   we n t o   G e o rg ia  In stit u t e   o Tec h n o lo g y   i n   Atla n ta,   USA,   wh e re   h e   o b tain e d   a   m a ste r’s  in   e lec tri c a e n g in e e ri n g   i n   1 9 7 9 ,   a   m a ste r’s  in   a p p li e d   m a th e m a ti c s   in   1 9 8 0   a n d   a   P h i n   e lec tri c a e n g in e e rin g ,   in   1 9 8 4 .   He   wo r k e d   a a n   As sista n t   P ro fe ss o i n   t h e   S c h o o o C o m p u ter  S c ien c e   a Ja c k so n   S tate   Un iv e rsity ,   M issis sip p i,   USA,   d u ri n g   1 9 8 4 - 1 9 8 5 .   S i n c e   1 9 8 8 ,   h e   h a b e e n   with   t h e   Un i v e rsité  d e   Bli d a ,   a a   p ro fe ss o i n   t h e   d e p a rtme n o El e c tro n ics .   P r o f.   G u e ss o u m   is  t h e   h e a d   o th e   Dig it a S ig n a a n d   Im a g e   P ro c e ss in g   Re se a rc h   Lab o ra t o ry .   His  c u rre n re se a rc h   in tere sts  in c lu d e   d ig i tal  a n d   a d a p ti v e   fil ter  d e sig n ,   n e u ra n e two r k s,  g e n e ti c   a lg o rit h m s,  ro b u st  a n d   i n tell ig e n c o n tro l,   m e tah e u risti c   o p ti m iza ti o n   a n d   f u z z y   lo g ic.  He   is  th e   a u t h o r   o m o re   th a n   a   h u n d re d   sc ien ti fic  a rti c les .   He   c a n   b e   c o n tac ted   a t   g u e ss o u m _ a b d e rre z a k @u n iv - b li d a . d z .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.