I AE S In t er na t io na l J o urna l o f   Ro bo t ics a nd   Aut o m a t io ( I J RA)   Vo l.  1 5 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 ,   p p .   2 1 0 ~ 2 2 1   I SS N:  2722 - 2 5 8 6 DOI 1 0 . 1 1 5 9 1 /i jr a . v 1 5 i 1 . pp 2 1 0 - 2 2 1           210       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij r a . ia esco r e. co m   M o deling  and sim ula tion o a n acti v e quarter - ca r su spens io sy stem using  a sy nerg etic co ntrolle r       Da o   T ro ng   Dung 1 ,   T ro ng   Ng hia   L e 2 ,   Alex a nd D.   L uk y a no v 3 ,   Ng uy en  Xua n Chiem 1   1 D e p a r t me n t   o f   A u t o m a t i o n   a n d   C o m p u t i n g   T e c h n i q u e s,  Le   Q u y   D o n   Te c h n i c a l   U n i v e r si t y ,   H a n o i ,   V i e t n a m   2 R e s e a r c h   C e n t e r   f o r   Te c h n i c a l   Q u a l i t y   A ss u r a n c e   a n d   Te c h n o l o g y   Tr a n sf e r ,   Le   Q u y   D o n   Te c h n i c a l   U n i v e r s i t y ,   H a n o i ,   V i e t n a m   3 D e p a r t me n t   o f   A u t o m a t i z a t i o n   o f   P r o d u c t i o n   P r o c e sses,   D o n   S t a t e   Te c h n i c a l   U n i v e r s i t y ,   R o st o v   o n   D o n ,   R u ssi a       Art icle  I nfo     AB S T RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Oct   21 20 25   R ev is ed   Feb   9 20 26   Acc ep ted   Feb   21 20 26       Th is  p a p e p re se n ts  th e   m o d e li n g   a n d   sim u lat io n   o a n   a c ti v e   q u a rter - c a r   su sp e n sio n   sy ste m   (AQ CS S )   d e s ig n e d   to   e n h a n c e   o p e ra ti o n a p e r fo rm a n c e   a n d   ri d e   c o m fo rt  a c ro ss   v a rio u r o a d   c o n d it io n s.  F irst,   a   d y n a m ic  q u a rter - c a m o d e wa d e v e lo p e d ,   in c o r p o r a ti n g   a ll   th e   c o m p o n e n ts  o f   AQ CS S   a n d   ro a d - in d u c e d   stim u li ,   b a se d   o n   th e   Eu ler Lag ra n g e   m e th o d .   S u b se q u e n t ly ,   a   sy n e rg e ti c   c o n tr o ll e is  d e sig n e d   b y   se lec ti n g   a   m a n if o l d   t h a m e e ts  th e   sy ste m ’s  tec h n ica re q u irem e n ts.  Th e   p ro p o se d   c o n tro ll e r   e n su re a   b a lan c e   be twe e n   ri d e   c o m fo rt   a n d   ro a d - h o l d in g   p e rfo rm a n c e   b y   lev e ra g in g   th is   m a n ifo ld   d e sig n .   T h is  c o n tr o fra m e wo rk   e n a b les   flex i b le  a d j u stm e n o t h e   d a m p in g   fo rc e   i n   re a ti m e   a c c o rd i n g   to   th e   sy ste m   sta tes   a n d   e x tern a l   e x c it a ti o n s.   T h e   sta b il it y   o f   t h e   c lo se d - lo o p   sy ste m   is   rig o ro u sly   e sta b li sh e d   th ro u g h   Ly a p u n o v   a n a ly sis.   N u m e rica sim u latio n a re   c a rrie d   o u t   i n   M ATLAB  t o   a ss e ss   th e   p ro p o se d   c o n tro law   b y   b e n c h m a rk i n g   i a g a in st   a   p a ss iv e   su sp e n sio n   c o n fig u ra ti o n   a n d   a   slid in g   m o d e   c o n tro a p p ro a c h ,   th e re b y   d e m o n stra ti n g   it s e ffe c ti v e n e ss .   K ey w o r d s :   Activ s u s p en s io n   s y s tem   L y ap u n o v   s tab ilit y   No n lin ea r   co n tr o ller   Sli d in g - m o d c o n tr o ller   Sy n er g etic  ap p r o ac h   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Ng u y en   Xu a n   C h iem   Dep ar tm en t o f   Au to m atio n   an d   C o m p u tin g   T ec h n i q u es,  L Qu y   Do n   T ec h n ical  Un iv e r s ity   Han o i,  Vietn am   E m ail:  ch iem n x @ m ta. ed u . v n       1.   I NT RO D UCT I O N   W ith   th r ap id   ad v an ce m en o f   au to m o tiv tech n o lo g y ,   m o d er n   v e h icle  s u s p en s io n   s y s tem s   h av g ain ed   in cr ea s in g   atten tio n   as  m ea n s   to   en h an ce   r id e   co m f o r t   an d   v e h icle  h a n d lin g   p er f o r m a n ce .   Am o n g   v ar io u s   s u b s y s tem s ,   th s u s p en s io n   s y s tem   p lay s   cr u cial  r o le  in   en s u r in g   s m o o th   r id q u ality ,   r o ad - h o ld in g   ca p ab ilit y ,   an d   o v e r all  v eh icle   s tab ilit y .   T h is   s y s tem   h as  attr ac ted   s ig n if ican r esear ch   in ter est,  as  p r esen ted   in   s tu d ies   [ 1 ] [ 2 7 ] ,   d u e   to   its   ab ilit y   to   ad ap t   d y n am ic  ch a r ac t er is tics   in   r ea tim th r o u g h   t h u s o f   ad v an ce d   s en s o r s   an d   m icr o p r o ce s s o r s   f o r   s ig n al  ac q u is itio n   an d   p r o ce s s in g .   Su ch   ca p ab ilit y   allo ws  th s u s p en s io n   s y s tem   to   ad ju s its   b eh av io r   ac co r d in g   to   d if f er en r o ad   c o n d itio n s ,   th er eb y   co n s id er ab ly   im p r o v i n g   v e h icle  p er f o r m an ce .   I n   g en e r al,   th p er f o r m a n ce   r eq u ir em en ts   f o r   a ctiv v eh icle  s u s p en s io n   s y s tem s ,   as  d is cu s s ed   in   s tu d ies  [ 1 ] [ 4 ] ,   in clu d e:  i )   R id co m f o r t     is o latin g   t h v eh icle  b o d y   f r o m   s h o c k s   an d   v i b r atio n s   in d u ce d   b y   r o ad   ir r e g u lar ities   to   en s u r e   p ass en g er   co m f o r t;  ii )   R o a d   h o ld i n g - elim in atin g   wh ee l   h o p   t o   m ain tain   co n tin u o u s   tire - r o ad   co n tact;  an d   iii )   Su s p en s io n   tr av el  lim itatio n   co n s tr ain ed   b y   th m e ch an ical  s tr u ctu r e .   Ho wev er ,   as   r ep o r ted   in   [ 3 ] ,   i is   n o t   f ea s ib le  to   s im u ltan eo u s ly   s atis f y   all  th r ee   p e r f o r m a n ce   cr iter ia   at  th eir   o p tim al  lev els,  s in ce   th ese  o b jectiv es  ten d   to   b m u tu all y   co n f lictin g .   T o   m ee th ese   r eq u ir em e n ts ,   b o th   p ass iv an d   ac tiv s u s p en s io n   s y s tem s   h av b ee n   d ev elo p ed .   W h ile  p ass iv s u s p en s io n   s y s tem s   r ely   s o lely   o n   s p r in g s   an d   d a m p er s   with   f i x ed   p ar am eter s ,   r esu ltin g   in   lim ited   v ib r atio n   is o latio n   p er f o r m an ce ,   ac tiv e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I AE I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:   2722 - 2 5 8 6         Mo d elin g   a n d   s imu la tio n   o f a n   a ctive   q u a r ter - ca r   s u s p en s io n   s ystem   u s in g   ( Da o   Tr o n g   Du n g )   211   s u s p en s io n   s y s tem s   ca n   g e n er ate  co n t r o llab le  f o r ce s   t h at  allo d y n am ic  ad ju s tm en o f   s u s p en s io n   ch ar ac ter is tics   to   b etter   ad ap t t o   v ar y i n g   o p er atin g   co n d itio n s .   No wad ay s ,   au to n o m o u s   m o b ile  r o b o ts   ar r ap id ly   ad v an c in g   an d   b ein g   d ep l o y ed   ac r o s s   v ar io u s   d o m ain s   s u ch   as  m ilit ar y   an d   in d u s tr ial  ap p licatio n s   Platfo r m s   lik e   au to n o m o u s   m o b i le  r o b o ts   ( AM R s ) ,   u n m an n ed   g r o u n d   v eh icles   ( UGVs) ,   an d   r em o te - s en s in g   r o b o ts   ar ty p ically   r e q u ir ed   to   n av ig ate   u n s tr u ctu r ed   e n v ir o n m en ts ,   wh er ch allen g in g   ter r ain s ,   u n e v en   g r o u n d ,   an d   s tr o n g   d y n a m ic  ex citatio n s   ar e   co m m o n .   C o n s eq u en tly ,   v ib r a tio n s   in d u ce d   b y   r o u g h   ter r ain   s ev er ely   af f ec t m o tio n   s tab ilit y ,   s en s o r   ac cu r ac y ,   ac tu ato r   life s p an ,   a n d   p ay lo ad   s af ety .   T h er ef o r e,   i n teg r atin g   an   ac tiv s u s p en s io n   s y s tem   i n to   m o b ile  r o b o tic   p latf o r m s   h as  b ec o m a n   ess en tial  r eq u ir em en t o   en h a n c s tr u ctu r al  d u r a b ilit y ,   en v ir o n m en tal  p er ce p tio n   ca p ab ilit y ,   an d   o v er all  s y s tem   p er f o r m an ce   [ 5 ] ,   [ 6 ] .   Nu m er o u s   s tu d ies  h av p r o p o s ed   an d   ap p lied   v ar io u s   co n tr o s tr ateg ies  f o r   ac tiv s u s p en s io n   s y s tem s .   Fo r   in s tan ce ,   PID   co n tr o l,  as  p r esen ted   b y   R am   et   a l.   [ 4 ] ,   ac h ie v ed   s atis f ac to r y   p er f o r m a n ce   b u was  lim ited   to   s m all  o p er atin g   r an g es  an d   was  s ig n if ican tly   in f l u en ce d   b y   n o n lin ea r   c o m p o n e n ts .   I n   r esear ch   [ 7 ] ,   [ 8 ] ,   lin ea r   q u ad r atic  r eg u lato r   ( L QR ) - b ased   ad ap tiv co n tr o was  d ev elo p ed h o wev e r ,   its   p er f o r m an ce   r em ain ed   lim ited   d u to   th u s o f   lin ea r   co n tr o ller .   Neu r al  n etwo r k b ased   c o n tr o s tr at eg ies,  p r esen ted   in   [ 9 ] ,   [ 1 1 ] ,   d em o n s tr ated   g o o d   s y s tem   p er f o r m an ce   u n d e r   m o d el  u n ce r tain ties ,   b u t h ey   s u f f er ed   f r o m   lo n g   r esp o n s tim es  an d   wer e   d if f icu lt  to   im p lem e n in   e m b ed d e d   s y s tem s .   Ad ap tiv e   co n tr o l   b ased   o n   b ac k s tep p in g ,   as  p r o p o s ed   b y   C h en   et  a l.   [ 1 2 ] ,   y ield e d   im p r ess iv r esu lts   b u was  co n s tr ai n ed   b y   th p h y s ical   lim its   o f   th s y s tem .   Var io u s   s lid in g   m o d co n tr o ( SMC )   s ch em es  an d   th eir   m o d if icatio n s   h av b ee n   r ep o r ted   in   [ 1 3 ] [ 1 6 ] ,   [ 2 5 ] ,   p r o d u cin g   f av o r ab le  r esu lts ,   alth o u g h   th s y s tem   r esp o n s es  at  eq u ilib r iu m   s till   ex h ib ited   o s cillatio n s .   R o b u s co n tr o ap p r o ac h es  wer d ev elo p ed   in   [ 1 7 ] [ 1 9 ] h o wev er ,   im p r o v em e n ts   in   co n tr o q u ality   an d   r esp o n s ti m ar s till   r eq u ir ed .   A d d itio n ally ,   f u zz y   l o g ic b ased   c o n tr o laws  h av s h o wn   p r o m is in g   o u tco m es  i n   [ 2 0 ] ,   [ 2 1 ] ,   y et  th e   s y s tem   r esp o n s tim r em ain s   r elativ ely   lo n g .   Ad ap tiv c o n tr o co m b in ed   with   r ein f o r ce m e n lear n in g ,   p r o p o s ed   b y   Kim b al l   et  a l.   [ 2 2 ] ,   d e m o n s tr ated   g o o d   p er f o r m an ce   b u f ac ed   ch allen g es  in   s atis f y in g   th p h y s ical  co n s tr ain ts   o f   th s y s tem .   Ma ch in lear n in g b as ed   ap p r o ac h es  ca n   allev iate  th ese  lim itat io n s   b y   ex p lo itin g   m ea s u r e d   f ee d b ac k   s ig n als  to   r ef in eith er   th p lan m o d el  o r   th e   co n tr o p o licy   its elf ,   as  r e p o r t ed   in   [ 2 2 ] .   I n   p ar ticu lar ,   s tu d y   [ 2 2 ]   c o m p ar e d   s ev er al  lear n in g - d r iv en   co n tr o l   s tr ateg ies  f o r   th is   s y s tem ,   in clu d in g   ad a p tiv s ch em es,  s tab ilit y - o r ien ted   o n lin lear n in g ,   an d   r ein f o r ce m e n lear n in g   m eth o d s   th at   s ee k   p er f o r m an ce   im p r o v em en t   th r o u g h   r e p ea ted   in te r ac tio n   with   th s y s tem .   Fu r th er m o r e ,   s ev er al  wo r k s   h av in v esti g ated   L y a p u n o v - b ased   co n tr o laws  th at  ex p l icitly   ac co u n f o r   p h y s ical  co n s tr ain ts   [ 2 3 ] ,   [ 2 5 ] .   Fro m   n o n lin ea r   co n tr o p er s p ec tiv e,   m o s ex is tin g   s tu d ie s   r ely   o n   d esig n in g   s u itab le  L y ap u n o v   ca n d id a te  f u n ctio n   to   en s u r clo s ed - lo o p   s tab ilit y .   T r ad itio n al  co n tr o ller s   b ased   o n   q u ad r atic   L y ap u n o v   f u n ctio n s   h av e   p r o v e n   ef f ec tiv i n   m a n y   s ce n ar io s h o wev er ,   th e y   e n co u n ter   lim itatio n s   wh en   ap p lied   to   s y s tem s   with   s tr ict  s tate  co n s tr ain ts .   T o   ad d r ess   th is   is s u e,   b a r r ier   L y ap u n o v   f u n cti o n   ( B L F) - b ased   ap p r o ac h   h as  b e en   d e v elo p ed   f o r   c o n s tr ain ed   n o n lin ea r   co n tr o p r o b lem s ,   a s   p r esen ted   i n   [ 2 4 ] T h k e y   f ea tu r o f   th is   m eth o d   is   th u s o f   a   ca n d id ate  L y ap u n o v   f u n ctio n   th at   ap p r o a ch es  in f in ity   as  t h s y s tem   s tate  n ea r s   th co n s tr ai n b o u n d ar y ,   th e r eb y   en s u r in g   th at  th c o n s tr ain ts   ar n e v er   v io lated .   T h e   B L F - b ased   ap p r o ac h   en a b les  th d e s ig n   o f   m o r e   s tab le  an d   r o b u s t   co n tr o laws,  ev en   wh e n   th i n itial  s y s tem   s tate s   ar clo s to   th co n s tr ain t b o u n d ar ies.  Alth o u g h   th af o r em e n tio n ed   s tu d ies h av s u cc ess f u lly   r ed u ce d   s y s tem   o s cillatio n s ,   m o s t h av n o t e x p licitly   in co r p o r ated   th p h y s i ca l c o n s tr ain ts   am o n g   t h s y s tem   s tate  v ar iab les.   An o th er   wid el y   ad o p ted   ap p r o ac h   f o r   c o n tr o llin g   co m p lex   m ec h atr o n ic  s y s tem s   is   th e   ap p l icatio n   o f   s y n er g etic  co n tr o th e o r y ,   as  p r esen ted   in   th liter atu r [ 2 8 ] [ 3 0 ] .   T h co r co n ce p in v o lv es  d esig n in g   a   co n tr o f r a m ewo r k   ca p ab le  o f   “in teg r atin g ”  m u ltip le  s u b   c o n tr o ller s ,   ea ch   r esp o n s ib le  f o r   a   s p ec if ic  o b jectiv with in   th clo s ed - lo o p   s y s tem ,   b ased   o n   th d y n am ics  o f   in d iv id u al  co n tr o lo o p s   [ 2 8 ] ,   [ 2 9 ] .   I n   s y n er g is tic   co n tr o th eo r y ,   d esire d   v alu es a r ex p r ess ed   as  in v ar ian ts   th a ca n   b e   co n s tr u cte d   b ased   o n   th p h y s ical  n atu r e   o f   th s y s tem ,   n o ju s o n   m ath em atica m o d els;   th is   is   a n   ad v an tag o v er   o t h er   co n tr o m eth o d s .   Sev er a l   s tu d ies  h av p r o p o s ed   s y n er g etic  co n tr o ller s   f o r   ac tiv s u s p en s io n   s y s tem s   an d   r ep o r ted   p r o m is in g   r esu lts .   Fo r   in s tan ce ,   in   s tu d y   [ 3 0 ] ,   s y n er g etic  co n tr o ller   was  d ev elo p ed   b ased   o n   p ar ticu l ar   m an if o ld   wh ile   ac co u n tin g   f o r   th p h y s ical  c o n s tr ain ts   o f   th s y s tem .   Ho wev er ,   an   in - d ep th   a n aly s is   o f   th o v er all  s y s tem   s tab ilit y   u n d er   th is   co n t r o l la w   h as n o t y et  b ee n   co n d u cte d .   T h is   p ap er   f o cu s es  o n   th m o d elin g   an d   s im u latio n   o f   an   ac tiv q u ar ter - ca r   s u s p en s io n   s y s tem   ( AQCS S)   em p lo y in g   s y n e r g etic  co n tr o s tr ateg y .   T h s y s t em   d y n a m ics  ar d er i v ed   v ia  th E u ler L ag r an g e   f o r m u latio n ,   wh ich   ex p licitly   ac co u n ts   f o r   t h co u p lin g   a m o n g   th m ec h an ical  elem en ts   as  well  as  r o ad - in d u ce d   d is tu r b an ce s .   T h s y n er g etic  co n tr o ller   p r o p o s ed   in   th is   s tu d y   is   d esig n ed   b ased   o n   th s elec tio n   o f   a   n o v el  m an if o l d   ca p ab le  o f   s atis f y in g   th s y s tem s   tech n ical  r eq u ir em en ts .   T h is   ap p r o ac h   o f f er s   th ad v an tag e   o f   in teg r atin g   tech n ical  r eq u ir em en ts   in to   th co n tr o law,   t h er eb y   s ig n if ica n tly   en h a n cin g   th s tab ilit y   o f   th ac tiv s u s p en s io n   s y s tem   u n d er   v ar io u s   o p er atin g   c o n d itio n s .   T h s y s tem   s tab ilit y   u n d er   t h p r o p o s ed   co n tr o law  is   r ig o r o u s ly   p r o v e n   u s in g   L y ap u n o v s   m eth o d ,   a n d   MA T L AB   s im u latio n   r esu lts   d em o n s tr ate  th at  th e   p r o p o s ed   co n tr o ller   s ig n if ica n tly   o u tp er f o r m s   tr ad itio n al  p a s s iv s u s p en s io n   s y s tem s .   T h r em ain d er   o f   th p ap er   is   o r g an ize d   as  f o llo w s Sectio n   2   p r esen ts   th m o d elin g   m eth o d o lo g y   f o r   th e   co n s tr ain ed   ac tiv Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 2 5 8 6   I AE I n J   R o b   &   A u to m Vo l .   1 5 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 :   210 - 2 2 1   212   s u s p en s io n   s y s tem Sectio n   3   d etails  th s y n th esis   o f   t h co n s tr ain ed   s y n er g etic  co n tr o lle r ,   s tab ilit y   an aly s is   u n d er   ex ter n al  d is tu r b an ce s ,   an d   th d esig n   o f   an   SMC   co n tr o ller Sectio n   4   p r o v id es  s im u latio n   s ce n ar io s   to   v alid ate  th ef f ec tiv e n ess   o f   th p r o p o s ed   co n t r o l la w;  an d   S ec tio n   5   co n clu d es th p ap er .       2.   DYNA M I M O DE L I NG   I n   th is   s tu d y ,   th e   AQCS is   il lu s tr ated   in   Fig u r 1 ,   wh ich   is   wid ely   ad o p ted   in   r esear ch   [ 1 ] [ 7 ] .   T h m o d el  co n s id er s   two   m ass es:   T h s p r u n g   m ass   = + ,   r ep r esen tin g   th v eh icle  b o d y   m ass   ( m to g eth er   with   th p ass en g er s   an d   p ay lo a d   ( )   an d   th u n s p r u n g   m ass   mᵤ   a s s o ciate d   with   th wh ee l - ax le  ass em b ly .   T h s u s p en s io n   s y s tem   co n s is ts   o f   s p r in g d am p er   u n it  d e f in ed   b y   th p ar am et er s   k 1s k 2s c 1s ,   an d   c 2s .   Her e,   k 1s   an d   k 2s   d en o te  th lin ea r   an d   cu b ic  s tiff n ess   co ef f icien ts ,   wh ile  c 1s   an d   c 2s   d e n o te  th lin ea r   an d   cu b ic  d am p i n g   co e f f icien ts ,   r esp ec tiv ely ,   wh ich   to g eth e r   d escr ib th n o n lin ea r   c h ar ac ter is tics   o f   th e   s u s p en s io n   s y s tem .   T h tire   i s   m o d eled   with   s tiff n ess   k t   an d   d am p in g   c t n e v er th eless ,   in   n u m er o u s   s tu d ies  [ 1 ] ,   [ 2 ] ,   it  is   co m m o n ly   s im p lifie d   as  p u r ely   lin ea r   el asti elem en r ep r esen ted   o n ly   b y   th s tiff n ess   p ar am eter   k t .   T h co n tr o l   v ar i ab le  u   r ep r esen ts   th e   f o r ce   g e n er ated   b y   t h ac tiv s u s p e n s io n   ac tu ato r ,   ac tin g   o n   th e   s p r u n g   m ass ,   wh ile  a n   eq u al  a n d   o p p o s ite  r ea ctio n   f o r ce   - u   ac ts   o n   th e   u n s p r u n g   m ass .   T h s y s tem   s tates  ar r ep r esen ted   b y   t h v er tical  d is p lace m en ts   o f   th s p r u n g   m ass   z s ,   th u n s p r u n g   m a s s   z u ,   an d   th r o a d   ex citatio n   z r .       m s m u F d F s u z s z u z r F t F b     Fig u r 1 .   Mo d el  o f   an   AQCS S       I n   p r ac tical  s y s tem s ,   eith er   el ec tr ic  m o to r   ac tu ato r s   o r   h y d r au lic  ac tu ato r s   ar co m m o n ly   em p lo y e d   to   g en er ate  t h co n tr o f o r ce   ,   wh ich   ac ts   s im u ltan eo u s ly   o n   b o th   th s p r u n g   m ass   ( )   an d   th u n s p r u n g   m ass   ( [ 3 1 ] ,   [ 3 2 ] .   T h e   d is p lace m en ts   o f   t h s p r u n g   a n d   u n s p r u n g   m ass es  ar ty p ically   m ea s u r ed   u s in g   co m m er cial  lin ea r   v ar iab le   d if f er en tial  tr a n s f o r m er s ,   lin ea r   p o ten tio m eter s ,   o p tical  e n co d er s ,   u ltra s o n ic   s en s o r s ,   o r   laser - b ased   s en s o r s   in   lab o r ato r y - s ca le  p latf o r m s .   T h v el o cities  o f   th ese  m ass es  ar o b tain ed   eith er   f r o m   d ir ec v elo city   s en s o r s ,   ac ce ler o m eter s ,   o r   in d i r ec tly   esti m ated   f r o m   t h m ea s u r ed   d is p lace m en t   s ig n als d escr ib ed   ab o v [ 3 1 ] [ 3 3 ]   T h to tal  k in etic  en er g y   o f   th q u ar ter - ca r   m o d el  is   o b tain ed   b y   s u m m in g   th co n tr ib u tio n s   o f   th e   s p r u n g   a n d   u n s p r u n g   m ass es,  an d   is   wr itten   as   ( 1 ) .     = 1 2 ̇ 2 + 1 2 ̇ 2     ( 1 )     Fo r   m o d elin g   c o n v e n ien ce ,   th tire   is   ass u m ed   to   m ain tain   co n tin u o u s   co n tact  with   th r o ad .   C o n s eq u e n tly ,   th p o ten tial  e n er g y   f o r m u lat io n   ac co u n ts   f o r   th e   elastic  d ef o r m atio n   o f   th e   s p r in g ,   i n clu d in g   th c u b ic   n o n lin ea r   s tiff n ess   ef f ec t th at  o cc u r s   d u r in g   c o m p r ess io n ,   a n d   is   ex p r ess ed   as   ( 2 ) .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I AE I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:   2722 - 2 5 8 6         Mo d elin g   a n d   s imu la tio n   o f a n   a ctive   q u a r ter - ca r   s u s p en s io n   s ystem   u s in g   ( Da o   Tr o n g   Du n g )   213   = 1 2 1 ( ) 2 + 1 4 2 ( ) 4 + 1 2 ( ) 2     ( 2 )     T h s y s tem   L ag r an g ia n   is   d ef in ed   as  = ,   wh er   an d     r ep r esen th k in etic  an d   p o ten tial  en er g ies,  r esp ec tiv ely .   T h d a m p in g - r elate d   en er g y   lo s s   is   m o d eled   u s in g   th R ay leig h   d i s s ip atio n   f u n ctio n     = 1 2 1 ( ̇ ̇ ) 2 + 1 4 2 ( ̇ ̇ ) 4 + 1 2 ( ̇ ̇ ) 2     ( 3 )     Fo r   ea ch   g en er alize d   co o r d in ate   = [ , ] ,   th E u ler L ag r an g eq u atio n   with   d is s ip atio n   ter m     an d   ex ter n al  f o r ce s   is   g iv en   b y   ( 4 ) :      (  ̇ )  +  ̇ =     ( 4 )     Her e,   Q i   r ep r esen ts   th g e n er a lized   ex ter n al  f o r ce s ,   in clu d i n g   th co n tr o l in p u u   in   th p r e s en t f o r m u latio n .   Af t er   s u b s tit u t in g     a n d   ,   th e   g o v e r n i n g   eq u ati o n s   o f   t h e   ac t iv e   q u a r te r - ca r   s u s p e n s i o n   ar e   o b t ain e d   in   t h e   f o r m   o f   t h e   d i f f er en tia e q u ati o n s   o f   ( 5 ) ,     { ̈ + + = ̈ + ( ) + ( ̇ ̇ ) =   ( 5 )     w h er e     = 1 ( ) + 2 ( ) 3 ;   = 1 ( ̇ ̇ ) + 2 ( ̇ ̇ ) 2 ;     ( 6 )     I n   th AQCS S,  th v er tical  r o ad   p r o f ile    is   p r ac tically   d if f i cu lt to   m ea s u r e,   an d   d esig n in g   r eliab le  o b s er v er   f o r   s u c h   a n   u n m ea s u r a b le  d is tu r b an ce   is   in h e r en tly   ch allen g in g .   C o n s eq u en tly ,   d u r in g   t h s y n th esis   o f   th e   co n tr o law,   th ter m   in v o lv in g   th is   v ar iab le  is   r eg ar d ed   as  an   ex ter n al  d is tu r b a n ce .   L et  t h s tate  v ar iab les  b d ef in ed   as:   1 = , 2 = ̇ , 3 = , 4 = ̇ .   T h en ,   th e   s y s tem   ( 5 )   ca n   b e   r ep r esen ted   i n   s tate - s p ac f o r m     as   ( 7 ) ,     {         ̇ 1 = 2 ̇ 2 = ( + ) 1 ( + ) ̇ 3 = 4 ̇ 4 = 1 ( + 3 4 + ( ) )     ( 7 )     w h er ( ) = + ̇ .   T h g o al  o f   th is   s tu d y   is   to   s y n th esize  co n tr o l la u   in   th s y s tem   ( 7 )   b ased   o n   m an if o ld   co m p o s ite  co n tr o l th e o r y   t h at  en s u r es th e   AQCS S m ee t s   th f o llo win g   r eq u ir em en ts :       T h m ain   c o n tr o o b jectiv is   th at  th co n tr o ller   m u s s tab ilize  th v er tical  m o ti o n   o f   th s p r u n g   m ass     with in   th m ec h an ical  lim its   o f   th s y s tem   wh en   th er is   ch an g in   th s y s tem   p ar am eter s   an d   th e   im p ac t o f   v a r io u s   ty p es  o f   r o a d   s u r f ac d is tu r b an ce s :      ( ( ) ) 0     ( 8 )       Def in th e   r elativ e   s u s p en s io n   d ev iatio n   ( R SD)   as  t h s u s p e n s io n   d e f lectio n   n o r m alize d   b y   th e   m ax im u m   v ib r atio n - s p ac lim it   z m ax .   T h is   q u an tity   m u s t satis f y    < 1 ,   wh ich   ca n   b ex p r ess ed   as   ( 9 )      = < 1     ( 9 )       C o n tin u o u s   tire r o a d   co n tact  m u s b m ain tain ed   wh ile  av o id in g   ex ce s s iv tire   lo ad s .   A cc o r d in g l y ,   th e   r elativ tire   f o r ce   ( R T F),   d ef i n ed   as  th tire   d y n a m ic  lo ad   n o r m alize d   b y   th s tatic  lo ad ,   s h o u ld   s atis f y    < 1 :      = ( ) + ( ̇ ̇ ) ( + ) < 1     ( 1 0 )       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 2 5 8 6   I AE I n J   R o b   &   A u to m Vo l .   1 5 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 :   210 - 2 2 1   214   3.   SYNT H E S I S O F   CO NT RO L   L A WS F O AN  AC T I V E   Q UARTE R - CAR  SU SPEN SI O SYST E M     3 . 1 .     Sy nerg et ic  co ntr o l la des ig n   I n   s y n er g etic  co n tr o th e o r y ,   t h s et  o f   co n tr o o b jectiv es  o r   p er f o r m a n ce   cr iter ia  is   d ef i n ed   in   th f o r m   o f   a   s y s tem   o f   in v ar ian t s .   Fo r   elec tr o m ec h an ical  s y s tem s ,   s tu d ies   [ 2 8 ] ,   [ 2 9 ]   d is tin g u is h ed   th r ee   m ai n   ty p es o f   in v a r ian ts : te ch n o lo g i ca l,  elec tr o m ag n etic,   a n d   en e r g y   in v ar ia n ts .   T h tech n o lo g ic al  in v ar ian t d ef i n es  th tar g et  s tatic  o r   d y n am ic  c o n d itio n   o f   th s y s tem   ass o ciate d   with   g iv en   tech n o l o g i ca task   to   ac h ie v e   m ec h an ical  m o tio n .   T h e   elec t r o m ag n etic   in v a r ian is   s elec ted   to   en s u r e   th e   s tab le  o p er ati o n   o f   elec tr ical   an d   m ag n etic  v ar iab les  with in   th ac tu ato r .   Fin ally ,   th en er g y   in v ar ian ex p r ess es  th r elatio n s h ip s   b etwe en   s y s tem   v ar iab les  th at  r ef lect  o p tim al  en er g y   co n v er s io n   c o n d itio n s ,   p a r ticu lar ly   th o s m in im izin g   en er g y   lo s s es d u r in g   o p e r atio n .   T h ch o ice  o f   in v ar ia n ts   is   es s en tial  f o r   co n tr o s y s tem   s y n th esis   an d   is   b ased   o n   th tec h n o lo g ical   r eq u ir em e n ts   an d   th n u m b er   o f   p h y s ical  co n tr o in p u ts .   Fo r   an   ac tiv q u ar te r - ca r   s u s p e n s io n   s y s tem ,   th ese   co n tr o ch an n els  co r r esp o n d   to   th v er tical  d is p lace m en am p litu d es  o f   th two   m ass   ce n ter s ,   mₛ   an d   mᵤ .   Fo r   th is   s y s tem ,   th in v ar ian m an if o ld   m u s ac cu r ately   r ef lect  t h r eq u ir em e n ts   im p o s ed   o n   t h co n tr o law  an d   m u s ex clu d a n y   s tate  v ar iab l es  th at  ar n o d ir ec tly   m ea s u r ab le.   B ased   o n   th a b o v e   an al y s is ,   to g eth er   with   th co n tr o r e q u ir em e n ts   f o r   t h s y s tem   p r esen ted   in   s ec tio n   2 ,   an d   r ely in g   o n   th in v a r i an m an if o ld b ased   s y n er g etic  co n tr o l th eo r y ,   o n ca n   s elec t th f o r m   f o r   s y s tem   as in   ( 7 ) .     = 2 + 1 ( 1 + 2 2  (  + 1 3  ( 1 3 ) ) )   ( 1 1 )     wh er k 1 , k 2   > 0   a r p o s itiv c o n s tan ts .   W h en   th s y s tem   o p er ates o n   th m an if o l d   d ef i n ed   b y   ( 1 1 ) ,   i. e. ,   wh en   ψ =0 ,   it f o llo ws th at:      2 + 1 ( 1 + 2 2  (  + 1 3  ( 1 3 ) ) ) = 0 1 2  (  + 1 3  ( 1 3 ) = 2 1 1 1 2 )     Acc o r d in g ly ,   b y   ap p ly i n g   th i n v er s o f   t h tan h   f u n ctio n ,   we   o b tain   ( 1 2 ) .     1 3 =  ( 2 + 1 1 1 2 )     ( 1 2 )     Sin ce   th h y p er b o lic  tan g e n f u n ctio n   is   b o u n d e d ,   f r o m   th e   R SD  r eq u ir em en ( 9 )   it  ca n   b in f er r e d   th at  th e   d am p in g   tr a v el  is   lim ited   b y   t h m ax im u m   allo wab le  v alu e    .   Ass u m in g   2   is   s m all   p o s iti v co n s tan t   an d   as th s y s tem   ev o lv es  o n   m an if o ld   ψ=0 ,   we  o b tain   ( 1 3 ) .     2 1 1   ( 1 3 )     Fro m   ( 1 3 ) ,   co m b in ed   with   th e   f ir s eq u atio n   o f   th e   s y s tem   ( 7 ) ,   we   g et  a   f ir s t - o r d er   d if f er e n tial  eq u atio n   in   1 I is   ea s y   to   p r o v t h at  with   k 1 >0 1 →0   wh en   t→∞   s at is f ies  co n d itio n   ( 8 ) .   Sin ce   th is   eq u atio n   is   au to n o m o u s ,   ac co r d in g   t o   ( 1 2 ) ,   we  ca n   co n clu d th at  wh e n   co n d itio n   ( 9 )   is   s atis f ied ,   th d is p lace m en o f   th e   s u s p en d ed   m ass   m s   b ec o m es n eg lig ib le  r eg ar d less   o f   th ch a n g in   th e   r o ad   s u r f ac e.   Fo llo win g   th an aly tical  d esig n   o f   a g g r e g ated   r eg u lato r s   m eth o d o l o g y   f o r   co n tr o ller   s y n th esis ,   th in v ar ian t m an i f o ld   ( 9 )   s atis f ies th d if f er en tial c o n s tr ain t:     1 0 T  +=      ( 1 4 )     wh er T 1 >0   is   d esig n   tim co n s tan th at  g o v er n s   th c o n v er g en ce   s p ee d   o f   th s y s tem   tr ajec to r ies  to war d   th m an if o ld   ψ =0 .   B ased   o n   th s o lu tio n   o f   ( 1 2 )   an d   tak in g   in to   ac co u n th p lan m o d el  ( 7 ) ,   an d   u n d er   th e   ass u m p tio n   th at   = 0 ,   th s y n er g eti co n tr o l la ca n   b d e r iv ed   a s   ( 1 5 ) .     ̇ 2 + 1 ( ̇ 1 + 2 ( 2 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 + 1 = 0 )     ( 1 5 )     Su b s titu tin g   in to   th s ec o n d   e q u atio n   o f   s y s tem   ( 7 ) ,   we  o b ta in   ( 1 6 ) .     1 ( + ) + 1 ( ̇ 1 + 2 ( 2 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 + 1 = 0 )       ( 1 6 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I AE I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:   2722 - 2 5 8 6         Mo d elin g   a n d   s imu la tio n   o f a n   a ctive   q u a r ter - ca r   s u s p en s io n   s ystem   u s in g   ( Da o   Tr o n g   Du n g )   215   Hen ce ,     = + 1 ( 2 + 2 ( 2 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 1 )       ( 1 7 )   +              W b eg in   b y   ass ess in g   th s tab ilit y   o f   th e   s p r u n g   m ass   d y n am ics  m s   g o v e r n ed   b y   c o n tr o law  ( 1 7 )   an d   th f ir s two   eq u atio n s   in   ( 7 ) .   L y a p u n o v   ca n d id ate  i s   th en   in tr o d u ce d   to   en s u r th at  th tr ajec to r ies  co n v er g to   th m an if o l d   ψ= 0 .     = 0 . 5 2       ( 1 8 )     T ak in g   th tim d er iv ativ e,   th ese  y ield s   ( 1 9 ) .     ̇ = ( ̇ 2 + 1 ( 2 + 2 ( 2 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 ) )     ( 1 9 )     Su b s titu tin g   ( 1 7 )   an d   ( 7 )   i n to   ( 1 9 ) ,   we  o b tain   ( 2 0 ) .     ̇ = ( 1 ( 1 ( 2 + 2 ( 2 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 ) 1 ) + 1 ( 2 + 2 ( 2 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 ) )     ( 2 0 )     Hen ce ,     ̇ = 1 ( 2 + 2 ( 2 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 ) 1 2   ( 2 1 )     W h en   th er is   n o   v ar iatio n   in   th m ass   = 0 ,   we  o b tain   ̇ = 1 2 0 ,   an d   t h u s   th s y s tem   is   g lo b ally   asy m p to tically   s tab le.   W h en   0 ,   ap p ly in g   th Yo u n g s   in eq u ali ty ,   we  h av e   ( 2 2 ) .     ̇ 2 1 1 2 2 + 1 2 ( 2 + 2  ( 2 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 ) 2     ( 2 2 )     I t is ea s y   to   o b s er v th at,   u n d e r   < 2 1 / 1 ,   s u f f icien t c o n d itio n   to   en s u r ̇   is   g iv en   b y   ( 2 3 ) .     ( 2 + 2  ( 2 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 ) 2 2 1       ( 2 3 )     T h is   i m p lies   t h at   w h e n   x   is   s u f f ic ie n tl y   f a r   f r o m   th o r ig in   wi th   p o s iti v e   ,   we  o b t ai n   ̇ 0 .   C o n s eq u e n t ly th s p r u n g - m ass   s u b s y s tem   m s   is   s tab ilized   in   n eig h b o r h o o d   o f   t h eq u ilib r iu m   p o in t,  n am ely   with in   b all   o f   r ad i u s     ce n ter ed   at  t h o r ig i n .   T h s ec o n d   s tep   is   to   estab li s h   th s tab ilit y   o f   s y s tem   ( 7 ) .   T o   en s u r all  th n ec ess ar y   asy m p to tically   s tab le  s tate s   o f   th s y s tem ,   th L y ap u n o v   f u n ctio n   is   co n s tr u cted   b ased   o n   th V s   f u n ctio n   i n   th f ir s t step ,   an d   ad d s   th p o s itiv d e f in ite  co m p o n en o f   x 4 .     = + 0 . 5 4 2       ( 2 4 )     T ak in g   th tim d er iv ativ e,   th ese  y ield s   ( 2 5 ) .     ̇ = ( ̇ 2 + 1 ( 2 + 2 ( 2 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 ) ) + 4 ̇ 4       ( 2 5 )     Su b s titu tin g   ( 7 )   a n d   ( 1 3 )   i n to   ( 2 0 ) ,   we  o b tain   ( 2 6 ) .     ̇ = ̇ + 1 4 ( 3 4 + 1 ( 2 + 2 ( 2 4 ) 2 ( 1 3 ) 2 ) + 1 + ( ) )       ( 2 6 )     B y   s im p lific atio n ,   we  o b tain   ( 2 7 ) .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 2 5 8 6   I AE I n J   R o b   &   A u to m Vo l .   1 5 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 :   210 - 2 2 1   216   ̇ = ̇ ( + 1 2 2 ( 1 3 ) 2 ) 4 2 + 3 + 1 ( 2 + 2 2 2 ( 1 3 ) 2 ) + ( ) 4     ( 2 7 )     B ased   o n   th an aly s is   in   th f ir s s tep ,   th s u s p en d ed   m ass   s y s tem   m s   i s   a s y m p to tically   s tab le,   i.e . x 1 0   an d   x 2 0 .   As a  r esu lt,  e q u atio n   ( 2 7 )   ca n   b e   r ec ast in to   th f o r m   o f   ( 2 8 ) .     ̇ = ̇ ( + 1 2 2 3 2 ) 4 2 + 3 + ( ) 4       ( 2 8 )     B y   ap p ly in g   t h Yo u n g s   in eq u ality ,   we  o b tain   ( 2 9 ) .     ̇ = ̇ ( + 1 2 2 3 2 1 ) 4 2 + 1 ( 3 + ( ) ) 2       ( 2 9 )     Un d e r   t h p r ac tic al  co n d it io n   t h at   t h e   r o a d   s u r f a ce   ir r e g u l ar i ti es  a r e   b o u n d e d ,   x 3   is   co n s t r ai n ed   ac c o r d i n g   t o   ( 9 )   wh e n   t h e   i n v a r ia n t   m a n i f o ld   ( 8 )   is   s a tis f ie d ,   i. e. ,   ( 3 + ( ) ) 2 < .   T o   en s u r e   ̇ 0 ,   th is   i m p lies   t h a     ( 3 + ( ) ) 2 ( 1 + 1 2 2 3 2 ) 4 2     ( 3 0 )     I is   s tr aig h tf o r war d   to   o b s er v th at  wh en   4   is   s u f f icien tly   f ar   f r o m   t h o r i g in ,   co n d itio n   ( 3 0 )   h o l d s .   T h is   im p lies   th at  s y s tem   ( 7 )   u n d er   c o n tr o law  ( 1 7 )   will  m o v to war d   n eig h b o r h o o d   o f   t h o r ig i n   wh en   it  is   o u ts id th e   r eg i o n   Δ .   On ce   th tr ajec to r ies  en te r   Δ ,   t h s y s tem   will  r em ain   with in   th is   r eg io n   an d   all  s tate  v ar iab les  will  co n v er g e   to   ze r o .   Mo r eo v e r ,   with   a   s u f f icien tly   s m all  Δ ,   th e   s tead y - s tate  t r ac k in g   er r o r s   s till   s atis f y   th r eq u ir ed   p e r f o r m a n ce   s p ec if icatio n s   an d   co n t r o o b jectiv es.  I n   o r d er   to   p r o v id an   ad d itio n al  co m p ar is o n   a n d   ass ess   th p r o p o s ed   co n tr o l la ( 1 7 ) ,   we  d es ig n   SMC   f o r   s y s tem   ( 7 ) .         3 . 2 .     Sli di ng   m o de  co ntr o l la des ig n   T h d esig n   o f   th SMC   co n tr o ller   f o r   s u s p en s io n   s y s tem s   h a s   b ee n   p r esen ted   i n   v ar i o u s   s tu d ies  [ 2 5 ] Sli d in g - m o d co n tr o is   r o b u s n o n lin ea r   co n tr o ap p r o ac h   ca p a b le  o f   m ain tain in g   s tab le  co n tr o p er f o r m an ce   ev en   in   th p r es en ce   o f   d is tu r b an ce s   an d   p ar a m eter   u n ce r tain ties .   T h e   m ain   id ea   o f   SMC   is   to   co n s tr u ct  s lid in g   s u r f ac s u ch   th at,   o n ce   th s y s tem   tr ajec t o r ies r ea ch   an d   r em ain   o n   th is   s u r f ac e,   th s y s tem   ex h ib its   th d esire d   d y n am ic s   an d   s tab ilit y   i s   g u ar an teed .   T h SMC   d esig n   m eth o d   u s ed   in   th is   s ec tio n   f o llo ws  th ap p r o ac h   r e p o r ted   in   [ 2 5 ] .   T h e   co n tr o o b jectiv o f   t h ac tiv s u s p e n s io n   s y s tem   is   to   en s u r e   th a t   th ac tu al  s u s p en s io n   d ef lecti o n   y=x 1 - x 3   q u ick ly   an d   ac cu r ately   tr ac k s   its   d esire d   r ef er e n ce   y d .   B ased   o n   th s y s tem   eq u atio n s   in   ( 7 )   a n d   f o llo win g   th ab o v e - m e n tio n e d   s tu d y ,   th o u tp u t r ac k in g   e r r o r   o f   th s y s tem   is   d ef in ed   as:       = 1 + 3   ( 3 1 )     T h co n tr o ller   s lid in g   s u r f ac e   s   is   d ef in ed   as:     = ̈ + 2 ̇ + 1     ( 3 2 )     wh er c 1 > 0   an d   c 2 > 0   ar p o s itiv co n s tan ts   en s u r in g   asy m p t o tic  s tab ilit y   o n   th s lid in g   s u r f ac e.   T h s lid in g - m o d co n tr o in p u is   co m p o s ed   o f   two   p a r ts th eq u iv alen ter m      an d   th s witch in g   ter m    .   T h eq u i v alen co n tr o co m p en s ates  th n o m in al  d y n am ics  s o   th at  th m o tio n   r em ain s   o n   th e   s lid in g   m an if o ld it  is   o b tain e d   b y   en f o r cin g   ̇ = 0 .   I n   co n tr ast,  t h s witch in g   c o n tr o l   d r i v es  th tr ajec to r ies  to war d   th m a n if o ld ,   en s u r in g   th r ea ch in g   co n d itio n .   Acc o r d in g ly ,   t h SMC   law  is   g iv en   b y   ( 3 3 ) :     =  +        ( 3 3 )     T h co m p o n en ts   o f   th co n tr o l   law  in   ( 3 3 )   ar g i v en   b y   ( 3 4 )      = 1 ( + 2 ̈ + 1 ̇ + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 )    = 1  ( )      ( 3 4 )     I n   th is   f o r m u latio n ,   th v ar ia b le  5   is   in tr o d u ce d   t o   r ep r esen th s tate  o f   th e   ac tu ato r ,   an d   th p a r am eter s     ( = 1 5 )   ar also   d eter m in e d   ac co r d in g   to   th ex p r ess io n s   p r o v i d ed   in   th s am s tu d y   [ 2 5 ]   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I AE I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:   2722 - 2 5 8 6         Mo d elin g   a n d   s imu la tio n   o f a n   a ctive   q u a r ter - ca r   s u s p en s io n   s ystem   u s in g   ( Da o   Tr o n g   Du n g )   217   4.   NUM E RIC AL   S I M UL A T I O RE SU L T S AN D I SCU SS I O   T o   v alid ate   th e   p r o p o s ed   co n tr o s tr ateg y ,   we   co m p a r t h r ee   ca s es  in   s im u latio n t h p ass iv s u s p en s io n   s y s tem   ( PS S),   s li d in g   m o d co n tr o ( SMC ) ,   a n d   s y n er g etic  co n tr o (  . ) .   T h e   q u ar ter - ca r   m o d el  p a r am eter s   u s ed   in   th s im u latio n s   ar g iv en   in   T ab le   1   [ 3 ] .   C o n tr o ller   p ar am ete r s   ar tu n ed   f o llo win g   th s tab ilit y   co n d itio n s   d er i v ed   ea r lier .   All  p r o p o s ed   c o n tr o ller   p a r am eter s   T 1 k 1 ,   an d   k 2   ar p o s itiv co n s tan ts .   Acc o r d in g   to   t h an aly s is   o f   ( 1 1 )   an d   ( 1 4 ) ,   k 2   is   s m all  p o s itiv co n s tan t a n d   is   th er ef o r c h o s en   as  k 2 = 0 . 0 0 5 .   T h p a r am eter   k 1 =3 0   m ain ly   a f f ec ts   th s ettlin g   tim o f   th e   s y s tem ,   an d   it  is   s elec ted   to   en s u r f ast   s tab ilit y   in   ac co r d an ce   with   ( 1 1 ) .   Similar ly ,   T 1 = 10   is   c h o s en   to   g u ar an tee   an   ap p r o p r iate  s ettlin g   tim f o r   th e   o v er all  s y s tem ,   t h er eb y   en s u r in g   its   s tab ilit y .   Fo r   th SM C   co n tr o ller   s elec ted   ac co r d in g   to   th e   r ef er e n ce d   s tu d y ,   th e   p ar a m eter s   ar e   ch o s en   as  f o llo ws:   K= 2 ,   c 1 = 8 ,   c 2 = 4   an d   th r em ain in g   p a r am e ter s   ar co m p u ted   u s in g   th f o r m u las  th at  d ep e n d   o n   t h s y s tem   p ar am eter s   r ep o r ted   i n   [ 2 5 ] .   T h s im u l atio n   p r o g r am   was   im p lem en ted   in   MA T L AB   u s in g   th f o r war d   E u ler   m et h o d   with   s am p lin g   tim o f    = 0 . 001   .         T ab le  1 .   AQCS S m o d el  p ar am eter s   P a r a me t e r   V a l u e   U n i t s     6 0 0   kg     60   kg   1   1 8 0 0 0   N / m   2   1 0 0 0   N / m 3   1   2 5 0 0   N s/ m   2   2 2 0 0   Ns 2 /m 2     1 0 0 0   N s/ m     2 0 0 0 0 0   N / m   z m a x   0 . 1 5   m       4 . 1 .     Scena rio   1     Ro a d dis t urba nce:   B um p inp ut   Fo r   th f ir s s im u latio n   s ce n ar io ,   b u m p - ty p r o ad   p r o f ile  i s   u s ed   as  th ex citatio n   an d   is   d escr ib ed   by   ( 3 5 ) :     ( ) = {         ( ) ;                                            ( 3 . 5 ) 3 + ( 3 . 5 ) 2 + ( ) ;   3 . 5 < 5 ( 6 . 5 ) 3 + ( 6 . 5 ) 2 + ( ) ;   5 < 6 . 5 ( 8 . 5 ) 3 ( 8 . 5 ) 2 + ( ) ;   8 . 5 < 10 ( 11 . 5 ) 3 ( 11 . 5 ) 2 + ( ) ;   10 < 11 . 5     ( 3 5 )     wh er = 0 . 0592 = 0 . 1332 ,   an d   ( ) = 0 . 002 (  ( 2  ) +  ( 7 . 5  ) )   ( )   r ep r esen ts   s in u s o id al  d is tu r b an ce .   T h s im u latio n   r esu lts   o f   th e   s u s p en s io n   s y s tem ' s   r esp o n s ar illu s tr ated   in   Fig u r e   2 .   T h tim e - d o m ain   r esp o n s o f   t h s u s p en s io n   m ass   d is p lace m e n is   co m p ar ed   in   Fig u r 2 ( a) .   Acc o r d in g   to   th e   o s cillatio n   r esp o n s es  s h o wn   in   th f ig u r e,   t h PS s h o ws  th lar g est  d is p lace m en am p litu d o f   th s u s p en s io n   m ass ,   r ea ch in g   ap p r o x im ately   ± 0 . 12   .   I n   co n t r ast,  th s y s tem   u s in g   th SMC   co n tr o ller   m ain tain s   th am p litu d e   with in   ± 0 . 02   ,   wh ile  th e   s y s tem   with   th e    .   co n tr o ller   co n tin u es  to   r ed u ce   th am p litu d to   ap p r o x im ately   ± 0 . 017   .   T h is   d em o n s tr ates  th at  th e   p r o p o s ed   ac tiv co n tr o s ch e m  .   s ig n if ican tly   r ed u ce s   th v ib r atio n   am p litu d o f   th s u s p e n s io n   m ass .   R eg ar d in g   th w o r k in g   s p ac o f   th e   AQCS S,  th s y s tem   m u s m ai n tain   its   d ef lectio n   with in   p er m is s ib le  lim its .   As  illu s tr ated   in   Fig u r e   2 ( b ) ,   th e   R SD  o f   th AQCS with   th  .   co n tr o ller   is   with in   ± 0 . 6 ,   wh ile  th R SD  o f   th SMC   co n t r o ller   is   alwa y s   with in   ± 0 . 7 .   T h is   r esu lt  s h o ws  th at  b o th   co n tr o ller s   en s u r th co n d itio n   ( 9 ) .   T h is   m ea n s   th at  th e   s y s tem   en s u r es  s af o p er atio n   with in   its   m ec h an ical   lim its .   Fig u r 2 ( c)   s h o ws  th at   th e   R T o f   PS S,  SMC ,   an d    .   ar all  less   th an   1   ( 1 0 ) ,   in d icatin g   th at  th co n tact  b etwe en   th tire   an d   th r o ad   s u r f ac is   well  m ain tain ed ,   th u s   im p r o v in g   s tab ilit y   an d   s af ety   d u r in g   c o n t r o l.  Ho wev er ,   t h R T o f   th  .   co n tr o law  h as  th h ig h est  v alu at  ce r tain   tim es,  in d icatin g   th at  th is   co n tr o law  ex h ib its   s tr o n g   r esp o n s to   d is tu r b an ce s ,   en a b lin g   t h s y s tem   to   q u ick ly   r etu r n   to   its   in itial  p o s itio n .   T h e   co n tr o s ig n als  o f   th e   AQCS S   ac co r d in g   to   th SMC   an d    .   co n tr o laws  ar p r esen ted   in   Fi g u r 2 ( d ) .   B o th   c o n tr o s tr ate g ies  g en er ate  two   m ain   co n tr o p u ls es  with   an   am p litu d o f   ap p r o x im ately   ± 1900     wh en   r o ad   d is tu r b an c es  o cc u r .   Nev er th eless ,   co m p ar e d   with   SMC ,   th  .   s ch em ac h iev e s   s im ilar   p er f o r m a n ce   with   m ar g in ally   r ed u ce d   c o n tr o l a m p litu d e,   s u p p o r tin g   th ef f ec tiv en ess   o f   t h p r o p o s ed   m et h o d .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 7 2 2 - 2 5 8 6   I AE I n J   R o b   &   A u to m Vo l .   1 5 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 :   210 - 2 2 1   218     0 5 10 15 -0 . 5 0 0 . 5 T i m (s ) RSD     R S D ( P S S ) R S D ( S M C ) R S D ( S yn . C )     ( a)   ( b )       0 5 10 15 -0 . 1 0 0 . 1 0 . 2 T i m (s ) RT F     R T F ( P S S ) R T F ( S M C ) R T F ( S yn . C )     0 5 10 15 -2 0 0 0 -1 0 0 0 0 1000 2000 T i m (s ) u   (N )     u( P S S ) u( S M C ) u( S yn . C )     ( c)   ( d )     Fig u r 2 .   Sy s tem   r esp o n s in   t h s ce n ar io   1 ( a)   v e r tical  m o ti o n   o f   th s p r u n g   m ass   m s ,   ( b )   t h r elativ s u s p en s io n   d ev iatio n ,   ( c)   th e   r elativ tire   f o r ce ,   a n d   ( d )   c o n tr o s ig n al  in   th ac tiv s u s p en s i o n   s y s tem       4 . 2 .     Scena rio   2     Ro a d ste p e x cit a t io n   I n   th s ec o n d   s ce n ar io ,   th b u m p - in d u ce d   r o ad   e x citatio n   is   d escr ib ed   b y   ( 3 6 ) .     ( ) = { 0 . 05 ( 1  ( 16  ) ) , 0 0 . 025 0 , > 0 . 025 ,     ( 3 6 )     T h s im u la tio n   o u tco m e s   f o r   s ce n ar io   2   h ig h l ig h t   c le ar   d if f er e n ce s   am o n g   th e   th r e c a s e s :   t h ac tiv e   s u s p en s io n   wi th   th e    .   law ,   th s y s te m   g o v er n ed   b y   t h S M C   l aw ,   an d   th p a s s iv s u s p en s io n ,   a s   s u m m ar ized   in   T ab l 2   an d   il l u s tr a ted   in   F ig u r e   3 .   A s   s h o w n   in   F ig u r e   3 ( a) ,   th v er ti ca d is p la ce m en o f   th s p r u n g   m a s s   i s   at ten u at ed   m u ch   m o r r ap id ly   u n d er    .   th an   i n   th e   p a s s iv ca s e ,   lea d in g   to   s m a l ler   p ea k   am p l it u d e s   an d   a   s h o r ter   s e tt li n g   t im e ,   a s   s h o wn   in   T ab le   2 .   T h is   co n f i r m s   th e   s u p er io r   a b il ity   o f   th e    .   co n tr o l ler   in   s t ab i li zin g   th e   s y s t em 's  s u s p en d ed   m a s s   co m p ar ed   t o   th S M C   co n t r o ll er .   F ig u r 3 ( b )   il lu s tr at e s   R S D,   s h o w in g   th at  th r e s u l t s   in d ic at a ll   t h r ee   s y s t em s   e n s u r th co n d it io n   ( 9 ) .   T h i s   d em o n s t r at e s   th e   s y s te m 's  ab i li ty   to   o p er a te   w i th in   m e ch an ica l im i t s   wi th o u f ai lu r e.   F i g u r 3 ( c)   s h o w s   th e   s y s t em 's  R T F ,   wh er th s y s t em 's  R T f o r   b o th   p a s s iv an d   ac t iv co n tr o a lw ay s   r em a in s   b e lo 1 ,   d em o n s t r at in g   th at  co n tac b e tw ee n   th e   t ir e   an d   th r o a d   s u r f ac i s   m a in t ai n ed   at   al ti m es ,   th u s   en s u r in g   g o o d   tr a ct io n .   Fi n al ly ,   F ig u r 3 ( d )   p r e s e n t s   th co n tr o f o r ce   u ,   wh er th  .   co n t r o l aw  i s   wi th i n   ± 120   ,   b u r ap i d ly   d ec r ea s e s   to   0 .   W h en   d i s tu r b an c es  ap p e ar ,   i s h o ws   th at  th e    .   co n tr o ll er   p r o v id e s   s tr o n g   co r r e ct iv e   ef f ec d u r in g   th e   tr an s i t io n   p h a s to   ef f ec tiv ely   s u p p r e s s   o s ci l la tio n s ,   wh il g r ad u a l ly   r ed u c in g   en er g y   co n s u m p tio n   as  th s y s tem   ap p r o ac h es  s te ad y   s t at e.   C o n v er s e ly ,   al th o u g h   th SM C   co n tr o s i g n a ex h ib it s   a   s m a l ler   o s ci ll at io n   am p l i tu d e,   i co n tin u e s   to   o s ci l la te  a r o u n d   th eq u il ib r iu m   p o in t   d u to   th ch ar ac ter i s t ic s   o f   th is   co n tr o ll er .   Ov er a ll ,   th e   s im u la tio n s   in d ic at th a th p r o p o s ed    .   co n tr o l ler   p r o v id es  r ap id ,   n o n - o s ci ll ato r y   s et tl in g ,   en h an ce s   r id c o m f o r an d   d y n am ic  s t a b il ity ,   an d   r e s p ec t s   th d r iv etr ain   co n s tr a in ts .       T ab le  2 .   T h p er f o r m a n ce   in d i ce s   ev alu atin g   th p o s itio n   r es p o n s o f   t h m s     P a r a me t e r   PSS   S M C    .   U n i t s   S e t t l i n g   t i me     1 . 9   1 . 8   0 . 9   s   O v e r sh o o t     6 × 1 0 - 4   6 × 1 0 - 4   5 . 1 × 1 0 - 4   m   U n d e r sh o o t   - 1 7 . 3 × 1 0 - 4   - 1 1 . 1 × 1 0 - 4   - 9 × 1 0 - 4   m   S t e a d y - st a t e   e r r o r     0   0   0   m   0 5 10 15 -0 . 1 -0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1 T i m (s ) x 1 (m)     x 1 ( P S S ) x 1 ( S M C ) x 1 ( S yn . C ) Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I AE I n J   R o b   &   A u to m   I SS N:   2722 - 2 5 8 6         Mo d elin g   a n d   s imu la tio n   o f a n   a ctive   q u a r ter - ca r   s u s p en s io n   s ystem   u s in g   ( Da o   Tr o n g   Du n g )   219   0 1 2 3 4 5 -1 5 -1 0 -5 0 5 x   1 0 -4 T i m (s ) x 1 (m)     x 1 ( P S S ) x 1 ( S M C ) x 1 ( S yn . C )     0 1 2 3 4 5 -0 . 0 4 -0 . 0 2 0 0 . 0 2 T i m (s ) RSD     R S D ( P S S ) R S D ( S M C ) R S D ( S yn . C )   0 . 2 0 . 4 -0 . 0 4 -0 . 0 2 0 0 . 0 2 T i m (s ) RSD       ( a)   ( b )       0 1 2 3 4 5 -0 . 4 -0 . 2 0 0 . 2 T i m (s ) RT F     R T F ( P S S ) R T F ( S M C ) R T F ( S yn . C )     0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 -0 . 4 -0 . 2 0 0 . 2 T i m (s ) RT F       0 1 2 3 4 5 -1 0 0 -5 0 0 50 100 T i m (s ) u   (N )     u( P S S ) u( S M C ) u( S yn . C )   0 0 . 2 0 . 4 -1 0 0 -5 0 0 50 100 T i m (s ) u   (N )       ( c)   ( d )     Fig u r 3 .   Sy s tem   r esp o n s in   t h s ce n ar io   2 ( a)   v e r tical  m o ti o n   o f   th s p r u n g   m ass   m s ( b )   t h r elativ s u s p en s io n   d ev iatio n ,   ( c)   t h e   r elativ tire   f o r ce ,   a n d   ( d )   c o n tr o s ig n al  in   th ac tiv s u s p en s i o n   s y s tem       5.   CO NCLU SI O   T h is   s tu d y   d ev elo p s   an d   ev al u ates  s y n er g etic  co n tr o s ch em f o r   an   ac tiv q u ar ter - ca r   s u s p en s io n   th r o u g h   m o d elin g ,   c o n tr o ller   d esig n ,   an d   n u m er ical  s im u la tio n .   T h g o v er n in g   d y n am ic s   ar d er iv ed   u s in g   th E u ler L a g r an g f o r m u lati o n ,   wh ich   ca p tu r es  th n o n lin ea r   b eh a v io r   o f   th e   s p r in g d a m p er   elem en ts   a n d   th co u p lin g   b etwe en   m ec h a n ical  co m p o n en ts   u n d e r   r o ad - in d u ce d   ex citatio n s .   T h e   s y n er g etic  co n tr o ller   is   co n s tr u cted   t o   m ee t   th e   s y s tem   o b jectiv es  b y   b alan cin g   t h k e y   p e r f o r m an ce   r eq u ir e m en ts   o f   th ac tiv e   s u s p en s io n .   T o   th is   en d ,   an   ap p r o p r iate  co n tr o m an if o ld   is   in tr o d u ce d   in   ac co r d an ce   with   th p h y s ical   co n s tr ain ts   o f   th e   s y s tem .   T h p r o p o s ed   law  f ir s d r iv es  t h s tates  to   th e   m a n if o ld   an d   th en   en s u r es  s elf - s tab ilizatio n .   C lo s ed - lo o p   s ta b ilit y   in   th p r esen ce   o f   ex te r n al  d is tu r b an ce s   an d   p ar a m e ter   u n ce r tain ties   is   estab lis h ed   v ia  L y ap u n o v   a n aly s is .   Simu latio n   o u tco m e s   s h o th at  th p r o p o s ed   s y n er g etic  c o n tr o ller   p r o v id es  n o ticea b le  p er f o r m an ce   g ain s   o v er   b o th   th e   SMC - b ased   ac tiv s u s p en s io n   an d   th p ass iv co n f ig u r atio n ,   in clu d in g   s h o r t er   s ettlin g   tim es u n d er   d if f er e n t r o ad   p r o f iles .   Nev er th eless ,   th co n tr o ller s   h av e   n o y et  b ee n   im p lem en ted   o n   r ea ex p e r im en tal  s etu p .   Fu t u r wo r k   will  th er ef o r f o cu s   o n   h ar d war e - in - th e - lo o p   im p lem en tatio n   to   ass es s   f ea s ib ilit y   an d   r ea l - tim b eh av io r .   Fu r th er m o r e,   to   en h an c r o b u s tn ess   u n d er   m ea s u r em en n o is e,   ad a p tiv co n tr o tech n i q u es  will  b in v esti g ated ,   an d   n eu r al  n etwo r k s   o r   s tate  o b s er v er s   will b co n s id er ed   to   esti m ate  th n o is co m p o n en t.       F UNDING   I NF O R M A T I O   T h is   wo r k   r ec eiv e d   n o   ex ter n a l f u n d in g .       AUTHO CO NT RI B UT I O NS ST A T E M E N T     T h is   jo u r n al  u s es  th C o n tr ib u to r   R o les  T ax o n o m y   ( C R ed iT)   to   r ec o g n ize  in d iv id u al  au th o r   co n tr ib u tio n s ,   r ed u ce   au th o r s h ip   d is p u tes,  an d   f ac ilit ate  co llab o r atio n .       Na m o f   Aut ho r   C   M   So   Va   Fo   I   R   D   O   E   Vi   Su   P   Fu   Dao   T r o n g   Du n g                                 T r o n g   N g h ia  L                               Alex an d r   D.   L u k y a n o v                               Ng u y en   Xu a n   C h iem                                 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.