I nte rna t io na l J o urna l o f   Appl ied P o wer   E ng i neer ing   ( I J AP E )   Vo l.  15 ,   No .   1 Ma r ch   20 26 ,   p p .   1 9 5 ~ 2 1 0   I SS N:  2252 - 8 7 9 2 DOI 1 0 . 1 1 5 9 1 /ijap e . v 1 5 . i 1 . p p 1 9 5 - 210          195       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : // ija p e. ia esco r e. co m/   Indu ction mo tor  simulta neo us fault  diag no sis  bas ed on    Ta ka g i - Sug eno  mo dels       Sa m ira   So uri 1 ,   M o ha m ed  L a k hd a r   L o ua ze ne 2 ,   Abdelg ha ni   Dj eddi 3 ,   Yo ucef   So ufi 3   1 D e p a r t me n t   o f   El e c t r o n i c s a n d   T e l e c o mm u n i c a t i o n s,   F a c u l t y   o f   N e w   I n f o r mat i o n   T e c h n o l o g i e a n d   C o mm u n i c a t i o n ,     U n i v e r si t y   K a s d i   M e r b a h - O u a r g l a ,   O u a r g l a ,   A l g e r i a   2 D e p a r t me n t   o f   El e c t r i c a l   En g i n e e r i n g ,   F a c u l t y   o f   A p p l i e d   S c i e n c e s,   U n i v e r si t y   K a s d i   M e r b a h - O u a r g l a ,   O u a r g l a ,   A l g e r i a   3 D e p a r t me n t   o f   El e c t r i c a l   En g i n e e r i n g ,   F a c u l t y   o f   S c i e n c e s a n d   T e c h n o l o g y ,   Ec h a h i d   C h e i k h   L a r b i   T e b e ssi   U n i v e r si t y ,   T e b e ssa ,   A l g e r i a       Art icle  I nfo     AB S T RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Feb   1 3 ,   2 0 2 5   R ev is ed   No v   6 ,   2 0 2 5   Acc ep ted   No v   2 8 ,   2 0 2 5       Th is  a rti c le  p ro p o se a   m o d e l - b a se d   a p p ro a c h   t o   th e   c o n c u rre n d iag n o sis  o f   sta to a n d   ro t o fa u l ts  in   in d u c ti o n   m o t o rs  (IM s)  u sin g   Tak a g i S u g e n o   ( TS )   fu z z y   m o d e ls.  F a u lt - fre e   d e tec ti o n   is   e ss e n ti a t o   p re v e n t   u n e x p e c ted   d o wn t ime   a n d   e c o n o m ic  lo ss   i n   in d u strial  a p p li c a ti o n s.  T h e   s tu d y   first   d e v e lo p a   d y n a m ic  m o d e o th e   IM   in   th e   sy n c h r o n ize d   re fe re n c e   fra m e   with   t h e   r o to r   u n d e r   h e a lt h y   a n d   fa u lt y   o p e ra ti o n s.   Diffe re n t   fa u lt   c o n d i ti o n s   li k e   sta to in ter - t u rn   sh o rt  c ircu it s,  d e fe c ti v e   ro to b a rs,  a n d   c o m b i n a ti o n   th e re o a re   c o n sid e re d .   TS   m o d e fo e v e ry   c a se   is  d e v e lo p e d   b a se d   o n   t h e   p re c ise   n o n li n e a m o d e l.   S im u lat io n   o u tco m e p ro v e   th e   v a li d it y   o th e   n e m o d e ls  i n   sim u latin g   t h e   d y n a m ic  re sp o n se   o f   th e   m o to r   u n d e fa u lt y   o p e ra ti n g   m o d e s.  T h e   re sid u a si g n a ls  a re   u se d   to   c o m p a re   th e   p e rfo rm a n c e   o t h e   m o d e l   in   fa u lt   iso lati o n .   T h e   p r o p o se d   m e th o d   o ffe rs  a   c las sifica ti o n   th a i n h e re n t ly   se p a ra tes   b e twe e n   fa u lt   t y p e s.   S u c h   a   c o n tr ib u ti o n   p re se n ts  a n   e fficie n re a l - ti m e   fa u lt   d e tec ti o n   a n d   p re d icti v e   m a in t e n a n c e   fa c il it y ,     wh ich   re n d e rs  it   su i tab le  fo h a r d wa re - in - th e - l o o p   a p p li c a ti o n   i n   in telli g e n t   d riv e   sy ste m s.   K ey w o r d s :   I n d u ctio n   m o to r   R o to r   f au lt   Simu ltan eo u s   f au lts   Stato r   f au lt   T ak ag i - Su g e n o   m o d elin g   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Sam ir a   So u r i   Dep ar tm en t o f   E lectr o n ics an d   T elec o m m u n icatio n s     Facu lty   o f   New   I n f o r m atio n   T ec h n o lo g ies an d   C o m m u n icatio n ,   Un iv e r s ity   Kasd i M er b ah - Ou ar g la   Ou ar g la,   Alg er ia   E m ail:  s o u r i.sam ir a@ u n iv - o u ar g la. d z       1.   I NT RO D UCT I O   I n d u ctio n   m o to r s   ( I Ms)   ar u b iq u ito u s   ac tu ato r s   in   in d u s tr ial   d r iv es,  wh er u n ex p ec ted   o u tag es in cu r   h ig h   o p er atio n al  c o s ts .   W h ile  s in g le - f au lt  d iag n o s is   h as  b e en   ex ten s iv ely   s tu d ie d ,   d iag n o s in g   s im u ltan eo u s   s tato r r o to r   f a u lts   r em ain   p ar t icu lar ly   ch allen g in g   d u t o   th in ter ac tio n   o f   t h eir   elec tr ica s ig n atu r es,  wh ich   v ar y   with   lo a d   an d   s p ee d ,   an d   ca n   m ask   ea ch   o th er .   Fo r   s o lu tio n   to   b u s ab le  in   m e asu r em en an d   co n tr o l   ap p licatio n s ,   it  s h o u ld   r ely   p r im ar ily   o n   r o u tin ely   av ailab le   elec tr ical  q u a n titi es,  s u ch   as  s tato r   cu r r e n ts   an d   v o ltag es  an d   esti m ated   s p ee d   o r   to r q u e;  it  s h o u ld   o p e r ate  u n d er   v ar iab le  lo a d   an d   d u r in g   tr an s ien ts it  s h o u ld   d is tin g u is h   b etwe en   f a u lt  ty p es s u ch   as  s tato r   in ter - tu r n   s h o r cir cu its   an d   b r o k en   r o t o r   b a r s an d   f au lt   s ev er ity an d   it  s h o u ld   r em ain   co m p u tatio n ally   ef f icien f o r   r ea l - tim o r   h ar d war e - in - th e - lo o p   u s e.   C lass ica l   s p ec tr u m   o r   Par k - v ec to r   m eth o d s   d eg r ad wh en   m u ltip le  f au lts   co - ex is o r   wh en   th o p er atin g   p o in d r if ts ,   wh er ea s   p u r ely   d ata - d r i v en   cl ass if ier s   m ay   s tr u g g le  to   g en er alize   b ey o n d   tr ain e d   co n d itio n s .   T h is   m o tiv ates  a   m o d el - b ased   y et  t r ac tab le  a p p r o ac h   th at   ca p tu r es  th I M’ s   n o n lin ea r   b e h av io u r   w h ile  en ab lin g   s im p le  r esid u al  g en er atio n   f o r   d iag n o s is .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I n t J Ap p l Po wer   E n g ,   Vo l.  15 ,   No .   1 ,   Ma r ch   20 26 195 - 2 1 0   196   I Ms  ar u b iq u ito u s   ac tu ato r s   in   in d u s tr ial  d r iv es,  wh er u n ex p ec ted   o u ta g es  in cu r   h ig h   o p er atio n al  co s ts .   W h ile  s in g le - f au lt  d iag n o s is   h as  b ee n   ex ten s iv ely   s tu d ied ,   s im u ltan eo u s   s tato r r o to r   f au lts   r e m ain   p ar ticu lar ly   ch allen g in g   b ec au s th eir   elec tr ical  s ig n atu r es  in ter ac t,  v ar y   with   lo ad   a n d   s p ee d ,   an d   ca n   m ask   o n an o th e r .   Fo r   s o lu tio n   to   b u s ab le  in   m ea s u r em en an d   co n tr o ap p licatio n s ,   it  s h o u ld   r ely   p r im ar ily   o n   r o u tin ely   a v ailab le  elec tr ical  q u an titi es,  s u ch   as  s tato r   cu r r en ts   an d   v o ltag es  a n d   esti m ated   s p ee d   o r   t o r q u e;  it   s h o u ld   o p er ate  u n d er   v ar iab le   lo ad   an d   d u r in g   tr an s ien ts it  s h o u ld   d is tin g u is h   b etwe en   f au lt  ty p es s u ch   as   s tato r   in ter - tu r n   s h o r t c ir cu its   an d   b r o k en   r o to r   b ar s an d   f a u lt sev er ity ; a n d   it sh o u l d   r em ain   co m p u tatio n ally   ef f icien f o r   r ea l - tim o r   h ar d war e - in - th e - lo o p   u s e.   C lass ica s p ec tr u m   o r   Par k - v ec t o r   m et h o d s   d eg r ad wh e n   m u ltip le  f au lts   co - ex is o r   wh en   th o p e r atin g   p o in d r if ts ,   wh er ea s   p u r ely   d ata - d r i v en   class if ier s   m ay   s tr u g g le  to   g e n er alize   b ey o n d   tr ain ed   co n d itio n s .   Sev er al  m o d el - b ased   a n d   h y b r id   tech n iq u es  h av em er g e d   to   o v er c o m th ese  is s u es.  C las s ica l   s ig n al - b ased   m eth o d s   s u ch   a s   Par k s   v ec to r   [ 1 ] ,   m o to r   c u r r en s ig n at u r an al y s is   ( MCS A)   [ 2 ] ,   an d   f ast  Fo u r ier   tr an s f o r m   [ 3 ]   o f f er   u s ef u d etec tio n   t o o ls   b u s u f f er   f r o m   r ed u ce d   s en s itiv ity   u n d e r   m u ltip le  o r   ev o lv in g   f a u lt  co n d itio n s   [ 4 ] ,   [ 5 ] .   AI - b ased   m eth o d s   u s in g   n eu r al   n etwo r k s   [ 6 ] - [ 9 ]   an d   s u p p o r t   v ec to r   m ac h in es  [ 1 0 ]   h av s h o w n   s tr o n g   class if icatio n   ab ilit ies  b u r em ain   lim ited   b y   tr ain in g   d ata  g en er aliza tio n   an d   co m p u tatio n al  lo a d .       T h is   m o tiv ates  m o d el - b ase d   y et  tr ac tab le  ap p r o ac h   th at   ca p tu r es  th I M’ s   n o n lin ea r   b eh av io u r   wh ile  en ab lin g   s im p le   r esid u al   g en e r atio n   f o r   d ia g n o s is   [ 1 1 ] - [ 1 3 ] .   Fau lt  esti m atio n   h as  also   b ee n   ad d r ess ed   in   cu r r en r esear ch   u s in g   f u zz y   o b s er v er s   f o r   em p l o y m en in   T ak ag i Su g en o   m o d els.  Ou a r id   et  a l .   [ 1 4 ] ,   f o r   ex am p le,   d escr ib ed   th a p p lic atio n   o f   f u zz y   o b s er v er   d esig n   to   f au lt  an d   s tate  esti m ati o n   o f   T s in g u lar   s y s tem s   an d   d em o n s tr ated   h o f u zz y   l o g ic  ca n   im p r o v e   s y s tem   d iag n o s is   an d   r o b u s tn ess   in   co m p lex   in d u s tr ial  s etu p s .   Fu r th er ,   Aitd ar ao u   et  a l .   [ 1 5 ]   p r o p o s ed   an   im p licit  T o b s er v er   s tr u ctu r f o r   f au lt   esti m atio n   im p r o v em e n in   lin e   with   Su g en o   a n d   T an ak a' s   o r ig in al   th e o r y   [ 1 6 ] .   T h ese  T o b s er v er s   ar s u itab le  f o r   r ea l - tim ap p licatio n s   in   n o n lin ea r   s y s tem s   lik I M s   [ 1 7 ] ,   [ 1 8 ] .   T h eir   ap p r o a ch   h ig h lig h ts   th o b s er v er - b ased   f a u lt  d etec tio n   r o b u s tn ess   o f   th e   T f o r m alis m ,   s u p p o r tin g   co n tr o l - o r ien ted   m o d elin g   ap p r o ac h   th at  we  p r o p o s in   th is   p ap er .   T h liter atu r o n   I f a u lt  d iag n o s is   h as  ev o lv ed   alo n g   s ev er al  m ain   lin es.  Sp ec tr u m   an d   Par k - v ec to r   m eth o d s ,   p io n ee r ed   b y   Na n d i   et  a l [ 1 9 ]   an d   B e llin et  a l .   [2 0 ] ,   r elied   o n   m o to r   c u r r en t   s ig n atu r an aly s is   ( MCS A)   to   d etec b r o k en   r o to r   b a r s   u n d e r   s tead y   s lip ,   wh ile  Par k - v ec to r   an d   ex t en d ed   Par k - v ec to r   ap p r o ac h es  [ 1 ]   im p r o v ed   s tato r - f au lt  s en s itiv ity .   Ho wev e r ,   t h ese  tech n iq u es  s u f f er   f r o m   s p ec tr al  o r   tr ajec to r y   o v er lap   wh e n   f a u lts   co - ex is t o r   wh en   th o p er atin g   p o in t c h a n g es.    T o   ad d r ess   th ese  lim itatio n s ,   wav elet - b ased   m eth o d s   s u ch   a s   th o s in   [ 2 0 ] - [ 2 2 ]   h a v b ee n   p r o p o s ed   to   ca p tu r tr an s ien t   f au lt  s ig n atu r es.  B en b o u zi d   a n d   Klim a n   [ 2 2 ]   an aly ze d   m ec h an ical  f au lts   u s in g   wav elet   p ac k et  d ec o m p o s itio n ,   an d   Y ar y m b ash   et  a l .   [ 2 1 ]   co u p led   wav elets  with   AN FIS  f o r   im p r o v e d   d etec tio n .   Hy b r id   s tr ateg ies  s u ch   as  Hilb er t Hu an g   tr an s f o r m   with   S VM   [ 1 0 ] ,   a n d   DW T   with   m a ch in lear n in g   [ 2 3 ] ,   f u r th er   e n h an c ac cu r ac y   u n d er   v ar y i n g   co n d itio n s .   Nev e r t h eless ,   th eir   h ig h   c o m p u tatio n al  co s an d   tu n in g   co m p lex ity   r estrict  p r ac tical  d ep lo y m en [ 2 4 ] ,   [ 2 5 ] .   I Ms  ar ex ten s iv ely   u s ed   in   i n d u s tr ial  ap p licatio n s   d u to   t h eir   r o b u s tn ess   an d   s im p licity .   Ho wev er ,   u n ex p ec te d   f ailu r es esp ec ially   s im u ltan eo u s   f au lts   af f ec tin g   b o th   th s tato r   an d   r o to r c an   r esu lt  in   s ev er e   o p er atio n al  d o wn tim an d   f in an cial  lo s s .   T h ea r ly   an d   ac c u r ate  d iag n o s is   o f   s u ch   f au lts   i s   ess en tial  to   en s u r e   r eliab ilit y   an d   ef f icien cy   [ 3 ] [ 4 ] ,   [ 2 6 ] .   Desp ite  all  th ese  ad v an ce s ,   th m ajo r ity   o f   a v ailab le  liter atu r f o cu s es  o n   is o lated   f au lts   o r   s en s o r /actu ato r   f au lts .   Simu ltan eo u s   elec tr ical  r o to r s tato r   f au lts ,   p ar ticu lar ly   u n d er   ti m e - v ar y i n g   lo ad   o r   tr an s ien t,  ar n o y et  p r o p er ly   ad d r ess ed .   T h is   is   an   in h e r e n d ef icien cy ,   as  th co u p lin g   am o n g   s u ch   f au lts   g en er ates c o m p le x   s ig n atu r es  th at  ar d etr im en tal  to   th p e r f o r m an ce   o f   tr ad itio n al  d iag n o s tic  m eth o d s .     I n   b id   to   b r i d g th is ,   t h p r e s en wo r k   p r o p o s es  n ew  d iag n o s tic  m eth o d   th r o u g h   T a k a g i Su g en o   ( T S)  f u zz y   m o d els  f o r   s im u ltan eo u s   f a u lts   o f   in d u ctio n   m o t o r s   ( I Ms) .   T h e   p r esen t   p a p er   o f f er s   a   g e n er ic  T S   m o d el  f o r m u latio n   th at  h as  th ab ilit y   to   h an d le  b o th   r o to r   an d   s tato r   f a u lts   with in   s in g le  u n if ied   m ath em atica f r am ewo r k .   T h ap p r o ac h   is   v e r if ied   th r o u g h   ex ten s iv s im u latio n s   f o r   l o ad ed   a n d   d y n a m ic  o p er atio n   co n d itio n s ,   e. g . ,   s im u ltan eo u s ly   p r esen f au lts .   Fu r th er m o r e ,   th n ew  m eth o d o lo g y   h as  in cr ea s ed   f au lt  d etec tio n   r o b u s tn ess   b y   tap p in g   in t o   f u zz y   in ter p o latio n   tech n i q u es  th at  p r e v en th n ee d   f o r   ex te n s iv e   d ataset - d ep en d e n t tu n in g   an d   p r o v id e   g r ea ter   m o d el  f lex ib ilit y   ac r o s s   v ar y in g   o p e r atin g   r e g im es.        T h o r i g in ality   o f   th is   wo r k   l ies  in   its   co m b in ed   T ak a g i Su g en o   f u zz y   m o d elin g   ar ch ite ctu r with   s im u ltan eo u s   ca p ab ilit y   to   m an ag r o to r   an d   s tato r   elec tr i ca f au lts ,   an   u n d er - r esear ch e d   ar ea   in   p r ev i o u s   wo r k .   U n lik c o n v e n tio n al  m eth o d o l o g ies  th at  c o n s tr u ct   is o lated   f a u lt  co n f ig u r ati o n s   o r   s en s o r /actu ato r   f au lts ,   o u r   s tr ateg y   p o r tr a y s   th co m p lex   in ter ac tio n s   o f   f a u lts   o cc u r r in g   s im u ltan eo u s ly   u s in g   s u b - lin ea r   T ar r an g em e n ts .   T h s y s tem   is   d esig n ed   f o r   r ea l - tim o p e r atio n   u s in g   an   e f f icien co m p u ta tio n ally   s im u latio n   p latf o r m   in   MA T L AB /Si m u lin k .   T h m o d el  also   s u p p o r ts   d y n am ic  p e r f o r m an ce   f o r   tr an s ien an d   lo ad e d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Ap p l Po wer   E n g   I SS N:   2252 - 8 7 9 2       I n d u ctio n   mo to r   s imu lta n eo u s   fa u lt d ia g n o s is   b a s ed   o n   Ta ka g i - S u g e n o   mo d els   ( S a mir a   S o u r i )   197   o p er atio n   th at  is   ty p ically   n o co n s id er e d .   T h s tr u ctu r o f   th s im u latio n   en v ir o n m en s u p p o r ts   th e   m o d u lar ity   o f   in jectin g   f au lts   o f   d if f er en t   ty p es  an d   v is u aliz atio n   o f   th d iag n o s tic  q u an tit ies  s u ch   as  to r q u d is tu r b an ce ,   s p ee d   f l u ctu atio n ,   an d   cu r r en asy m m etr ies.  T o   v alid ate  th p r o p o s ed   m eth o d ,   f au lt  d iag n o s is   s im u latio n s   wer ca r r ied   o u in   MA T L AB /Si m u lin k   f o r   b o th   p s eu d o - li n ea r   r ep r esen ta tio n s   with   v ar ia b le   p ar am eter s   an d   T S f u zz y   r ep r e s en tatio n s   o f   th s tu d ied   I M.       T h r em ain d er   o f   th is   p ap er   i s   s tr u ctu r ed   to   d em o n s tr ate  th d ev elo p m en an d   ap p licab il ity   o f   th e   m eth o d   p r o p o s ed .   I n   s ec tio n   2 ,   th p r o p o s ed   m et h o d   is   in t r o d u ce d .   I n   s ec tio n   3 ,   th m e th o d   is   p r esen ted ,   in clu d in g   th e   T ak ag i Su g en o   f u zz y   m o d ellin g   f r am ewo r k   as  well  as  th m o d ellin g   an d   s im u latio n   o f   t h e   in d u ctio n   m o to r   i n   b o t h   h ea lt h y   an d   f au lty   c o n d itio n s ,   wh e r th h ea lth y   m o d el  s er v es  as  th r ef er en ce   f o r   f au lt  d etec tio n .   Sectio n   4   a d d r ess es  th co - o cc u r r en ce   o f   s tato r   an d   r o to r   f a u lts an   o f ten   o v er lo o k ed   b u t   s ig n if ican ca s e an d   ex am in es  th m o to r   b eh a v io r   u s in g   b o th   co n v en tio n al  s tate - s p ac an d   T S - b ased   m o d els,  s u p p o r ted   b y   s im u la tio n   r esu lts   an d   d is cu s s io n .   T h MA T L AB /Si m u lin k   d ia g n o s tic  en v ir o n m e n ar ch itectu r an d   im p lem e n tatio n   ar also   p r esen ted .   Fin ally ,   s ec tio n   5   co n clu d es  th p ap er   b r ief ly   b y   r ec ap itu latin g   t h co n tr ib u tio n s   m ad a n d   elab o r atin g   o n   t h ap p licab ilit y   o f   th e   p r esen ted   m eth o d   to   r ea l - tim f au lt d etec tio n   s y s tem s .       2.   T H E   P RO P O SE M E T H O D   T h f au lt  d etec tio n   o f   th e   in d u ctio n   m o to r s   ( I Ms)   with   s im u ltan eo u s   s tato r   an d   r o to r   f au lts   is   a   co m p licated   task   with   in ter t win ed   elec tr ical  an d   m ec h an ical  b eh av io r   im p ac ts   o f   t h e   f au lts .   T r ad itio n al   d iag n o s is   tech n iq u es  h av e   a   ten d en c y   o f   ca tch in g   o v er l ap p in g   f au lt  s ig n at u r es,  esp ec ially   u n d e r   n o n - s tatio n ar y   o p er atin g   co n d itio n s .   T o   o v e r co m e   th is   is s u e,   th p r o p o s ed   m eth o d   em p lo y s   s y s tem atic  an d   g en er alize d   m o d elin g   p ar ad i g m   b ased   o n   th e   T ak a g i Su g en o   ( T S)   f u zz y   f o r m alis m .   T h e   m eth o d   b eg in s   with   estab lis h in g   p r o p er   n o n lin ea r   s tate - s p ac m o d els  o f   th I f o r   d if f er e n f au lt   s itu atio n s   in clu d in g   th n o r m al   s itu atio n ,   s tato r   f au lt,  r o to r   f a u lt,  an d   co m b in ed   f au lt.  T h m o d els  ar th en   tr a n s f o r m e d   i n to   T f u zz y   m o d els  u s in g   s ec to r   n o n lin ea r ity   tech n iq u es,  allo win g   co m p lex   d y n am ics  to   b d ec o m p o s ed   in to   s et  o f   lo ca lin ea r   s u b m o d els.  E ac h   lo ca l   m o d el  is   lin k ed   with   an   i n d iv i d u al  o p er atin g   ar ea ,   d y n am i ca lly   weig h ted   b y   m em b er s h ip   f u n ctio n s   th at  co n s id er   d y n am ic  v a r iatio n s   in   s y s tem   s tates.  T h ap p r o ac h   e n ab les  th cr ea tio n   o f   an   in ter p r etab le  d iag n o s tic  s y s tem   ca p ab le  o f   h an d lin g   n o n lin ea r ities   an d   f au lt c o u p li n g s .   Her we  d escr ib th m o d elin g   s tr ateg y ,   th in clu s io n   o f   f a u lts ,   T co n v er s io n   p r o ce s s ,   an d   th o v e r all  s im u latio n   s tr u ctu r e   u tili ze d   to   p r o b th m eth o d   u n d er   r an g o f   d y n am ic  a n d   l o ad ed   s ce n ar i o s .       3.   M E T H O D   T h is   p ar d escr ib es  th e   m o d e lin g   s tr ateg y   em p lo y ed   to   m o d el  th i n d u ctio n   m o to r   ( I M)   o p er ati o n   u n d er   d if f er en o p e r atin g   co n d itio n s ,   in clu d in g   h ea lth y   an d   f au lty   co n d itio n s .   m ath em atica r ep r esen tatio n   is   f ir s o b tain ed   i n   th e   r o to r   r ef er en ce   f r am i n   o r d er   to   f a cilitate  co n s is ten d escr ip tio n   o f   elec tr ical  an d   m ec h an ical  d y n am ics.   T h e   m o d els  ar e   th en   d ev el o p ed   in   s tate - s p ac f o r m   s o   th at   th ey   ca n   b s im u lated     an d   f au lt  d etec tio n   b ased   o n   o b s er v er s   ca n   b f a cilitated .   Mo r eo v er ,   th T ak ag i Su g e n o   f u zz y     m o d elin g   f r am ew o r k   is   also   i n tr o d u ce d   as   an   ap p r o ac h   to   ap p r o x im atin g   n o n lin ea r ity   at   n o   co m p u tatio n al   tr ac tab ilit y   co s t.     3 . 1 .     T a k a g i - Su g eno   f uzzy   mo dels   T h T ak ag i - Su g en o   m o d el  is   b ased   o n   th u s o f   s et  o f   s im p le  s tr u ctu r s u b - m o d els,  ea ch   s u b - m o d el  d escr ib i n g   t h b e h av io u r   o f   th e   s y s tem   in   a   p ar ticu l ar   "o p e r atin g   z o n e" .   T h ese  s u b - m o d els  a r th e n   u s ed   to   d escr ib th e   o v er all  d y n am ic  b eh av io u r   o f   th s y s t em   u s in g   n o n - lin ea r   f u n ctio n s   ( weig h f u n ctio n s )   d ef in in g   th co n tr ib u tio n   o f   e ac h   s u b - m o d el.   T h ab ilit y   o f   T ak ag i - Su g en o   to   r e p r esen o r   ap p r o x i m ate  th e   d y n am ic  b eh av i o u r   o f   r ea s y s tem   h as  b ee n   wid ely   r ec o g n ized .   I n d ee d ,   o n   th e   o n h an d ,   th e y   o f f er   th e   p o s s ib ilit y   o f   d escr ib in g   v e r y   co m p le x   n o n lin ea r   b eh a v io u r s   with   s im p le  s tr u ctu r e   in s p ir ed   b y   lin ea r   m o d els.  On   th o th er   h an d ,   t h eir   p a r ticu lar   s tr u ctu r allo w s   th ex ten s io n   o f   ce r tain   r es u lts   o b tain ed   with in   th f r am ewo r k   o f   lin ea r   s y s tem s .   T m o d el  ca n   b o b tain e d   b y   u s in g   th c o n v e x   p o ly to p ic   tr a n s f o r m atio n   wh ich   lead s   t o   n u m b er   o f   lo ca lin ea r   tim in v ar ian t   ( L T I )   m o d els  d e p en d i n g   o n   n u m b er   o f   n o n lin ea r ities   c o n tain ed   in   th e   s y s t e m   [ 1 8 ].   T S r ep r esen tatio n   ca n   b wr itt en   as  ( 1 ) .     { ̇ ( ) = ( ( ) ) { ( ) + ( ) } = 1 ( ) = ( ( ) ) { ( ) } = 1 ,   ( 1 )     W h er ( ( ) )   0   h av th p r o p er ty   o f   c o n v ex   s u m   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I n t J Ap p l Po wer   E n g ,   Vo l.  15 ,   No .   1 ,   Ma r ch   20 26 195 - 2 1 0   198         0 ( ( ) ) = 1 = 1     ( )   ar t h p r em is v a r iab les  ( d ep en d en t   o n   th e   in p u a n d /o r   th s tate  o f   th e   s y s tem ) ;     is   th n u m b er   o f   r u les ;   ( ) ( ) ,   an d   ( )   r ep r esen th e   s tate  v ec to r ,   th o u tp u t   v ec t o r ,   an d   th e   in p u t   v ec to r ,   r esp ec tiv ely an d   × × an d   ×   r ep r esen r esp ec tiv ely   th e   s tate  m atr ix ,   th e   s y s tem   in p u t m atr ix ,   a n d   th o u tp u m a t r i x   [ 18 ].   T h is   s ec tio n   in tr o d u ce s   th g e n er al  m o d elin g   s tr ateg y   b ased   o n   th T ak a g i Su g en o   f u zz y   in f er en ce   s y s tem .   T h p u r p o s is   to   co n s tr u ct  f lex ib le  n o n lin ea r   m o d el  ca p ab le  o f   d escr ib in g   b o th   h ea lth y   an d   f a u lty   d y n am ics  o f   th e   in d u ctio n   m o to r .   T h p r o p o s ed   f o r m u lati o n   en s u r es  m o d u lar ity   a n d   ea s o f   ad ap tatio n   to   d if f er en f au lt scen ar io s ,   wh ic h   will b d etailed   in   th e   f o llo w in g   s ec tio n s .     3 . 2 .     M o dellin g   o f   t he  ind uct io n m o t o ( I M )   in t he  f ra m o f   re f er ence   lin k ed  t o   t he  ro t o in hea lt hy   ca s e     T h m o d el   o f   t h I in   p ar k   f r am is   g iv en   b y   ( 2 )   a n d   ( 3 ) .   T h ex p r ess io n   o f   th e   to r q u T e   in   Par k ' s   f r am is   as ( 4 ) .   T h m ec h a n ic al  s p ee d   eq u atio n   is   g iv en   b y   ( 5 ) .     {  =  +   +  ( 2 )  0 =  +     ( 2 )     {  =  + ( + )   = (  +  )   ( 3 )     = (     )   ( 4 )       = 2 (     )   ( 5 )     W h er e:  R s   an d   R r   ar e   r esp ec ti v ely   th e   s tato r   an d   r o t o r   r esis t an ce L f   an d   L m   ar r o to r   leak ag in d u ctan ce   a n d   m u tu al  in d u ctan ce s   b etwe en   t h s tato r   an d   r o to r    an d      ar s tato r   an d   r o to r   f lu x   r ef er en ce   f r am ( d ,   q ) T e   an d   T r   ar e lectr o m ag n e tic  to r q u o f   I an d   r esis tan to r q u e is   m ac h in in e r tia f   is   Vis co u s   f r ictio n   co ef f icien t   is   s p ee d   r o tatio n ; a n d   p   is   n u m b e r   o f   p o le  p air s .     3. 2 . 1.   Sta t e - s pa ce   re presenta t io n in hea lt hy   ca s e   T h is   s ec tio n   p r esen ts   th m o d elin g   o f   th h ea lth y   in d u cti o n   m o to r   s y s tem   ( d en o ted   M 1 ) ,   wh ich   s er v es  as  th b aselin r ef e r en ce   f o r   co m p a r is o n   with   f au lt - in d u ce d   b eh a v io r s .   T h g o al  is   to   estab lis h   th n o m in al  b eh a v io r   ag ain s wh ich   an o m alies  ca n   b d etec ted   u s in g   th T f u zz y   f r am ewo r k .   T h e   s t a t e   s p a c e   m o d e l   o f   t h e   I M   i s   o b t a i n e d   b y   a s s o c i a t i n g   t h e   s t a t o r   a n d   r o t o r   c u r r e n t s   s t a t e   v e c t o r .   I M   c a n   b e   d e s c r i b e d     by  ( 6 )   [ 19 ] :     { ̇ ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) = ( )   ( 6 )     w i t h :   ( ) = [     ] ( ) = [   ] a n d   ( ) = [   ] .     ( ) = [             + + 0 0 0 0 ]             , = [         1 0 0 1 0 0 0 0 ]         = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] .     3. 2 . 2.   Sim ula t io re s ults in h ea lt hy   ca s e   T h u s ed   I p ar am eter s   f o r   s im u latio n   ar e :   r ated   p o wer   1 . 1   k W ,   s tato r   r esis tan ce   = 9 . 81   ,   R o to r   r esis tan ce   = 3 . 83   m ag n etizin g   in d u ctan ce s   = 0 . 436   g lo b al  leak ag i n d u ctan ce   r e f er r e d   to   s tato r   = 0 . 0762 ,   an d   n u m b er   o f   p o le   p air s   = 2   [ 2 0 ] .   Du r in g   th s im u lati o n s ,   a   r esis tiv to r q u e   eq u al  to   3 . 5   N . m   is   ap p lied   to   th I at  tim t   =   0 . 7   s T h ca r r ied - o u wav ef o r m s   co r r esp o n d   well  to   n o r m al   o p er atio n   o f   t h I at  t h n o m in al  v o ltag with   b ala n c ed   s in u s o id al  p o wer   s u p p l y .   Fig u r 1   illu s tr ates  r esp ec tiv ely   th ev alu ati o n   o f   t h s p ee d ,   to r q u e ,   a n d   c u r r en t s   wav ef o r m s .   Af ter   t r an s ien r eg im d u to   th e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Ap p l Po wer   E n g   I SS N:   2252 - 8 7 9 2       I n d u ctio n   mo to r   s imu lta n eo u s   fa u lt d ia g n o s is   b a s ed   o n   Ta ka g i - S u g e n o   mo d els   ( S a mir a   S o u r i )   199   s tar tin g   p h ase,   th last   wav e f o r m s   co n v er g e   to   th n o m in al   v alu es  af ter   0 . 5   s .   W n o tice  th at,   at  th e   b e g in n in g   s er ies  o f   h ig h   am p litu d o s cillatio n s   ar d am p ed   d u r in g   th ac ce ler atio n   o f   th I an d   at  th en d   o f   th e   s tar tin g   s p ee d   0 . 7   s .   T h t o r q u r ea ch es  its   m ax im u m   v al u e,   an d   th en   atte n u ates  to   r ea c h   its   r esis tiv v alu e   an d   th c u r r en ts   zo o m   s h o th at  th th r ee   p h ase  cu r r e n ts   ar well  b alan ce d .     T h s p ee d   wav ef o r m   s tab iliz es  at  ap p r o x im ately   1 5 0   r ad / s   af ter   th tr an s ien p er io d .   T h to r q u r ea ch es  p ea k   v alu e   o f   4   N . m   at  t   0 . 7   s ,   b ef o r e   s tab ilizin g   at  3 . 5   N . m .   T h e   th r ee - p h ase  c u r r en ts   c o n v er g t o   n o m in al  v alu es  with   b alan ce d   m ag n itu d es  o f   ar o u n d   5   A   af ter   th in itial  o s ci llatio n s .   W n o tice   th at  th e   p ass ag f r o m   u n lo a d ed   r eg im to   th l o ad ed   o n e   at  tim =   0 . 7   s   is   estab lis h ed   with o u o s cillatio n s ,   an d   with   v er y   lo o v er ta k in g .           Fig u r 1 .   Sp ee d ,   to r q u e,   a n d   c u r r en ts   wav ef o r m s   u n d er   lo a d   T r   3 . 5   N. m   in   h ea lth y   ca s e       3. 2 . 3.   Repre s ent a t io n wit h T a k a g i Su g eno   mo dels   in hea lt hy   ca s e     Fo llo win g   to   ( 6 ) ,   we   n o tice  t h at  th m atr ix   c o n tr o B   an d   th m atr ix   o b s er v atio n   C ,   ar e   co n s tan ts ,   an d   th m atr ix   s tate  d ep e n d   o n   th e   s p ee d .   W h ich   r ep r ese n ts   th n o n lin ea r ity :   z ( t)   =   .   T m atr ices  o f   th e   s tu d ied   I ar g i v en   as  f o ll o ws :     1 = [             + + 0 0 0 0 ]             ,           2 = [             + + 0 0 0 0 ]             ,     1 = 2 = ,    1 = 2 = .     3. 2 . 4.   Sim ula t io re s ults ba s ed  o n T m o dels   T o   v alid ate   th p r o p o s ed   T m o d el,   MA T L AB /Si m u lin k   p ac k ag is   u s ed   to   s im u late  t h e   b eh av i o u r   o f   th e   co n s id er e d   m o to r .   Fig u r 2   illu s tr ates  th ev alu ati o n   o f   s p ee d ,   elec tr o m a g n etic   to r q u e ,   an d   s tato r   cu r r en ts   wh ich   co n v er g t o   t h eir   r ea v al u es.   T h elec tr o m ag n etic  to r q u s tab ilizes  at  3 . 5   N. m ,   wh ile  th s p ee d   co n v er g es  to   1 5 0   r ad / s .   T h s tato r   cu r r en ts   s h o b alan ce d   s in u s o id al  p atter n s   with   am p litu d es  o f   ap p r o x im ately   5   A.     3. 3 .   M o dellin g   o f   t he  I M   wit s t a t o f a ult  in t he  f r a m o f   re f er ence   lin k ed  t o   t he  ro t o r   T h is   s ec tio n   d escr ib es  th co n s tr u ctio n   o f   t h s tato r   an d   r o to r   f au lt  m o d els  ( M2   an d   M3 ) .   T h ese   m o d els  ar d ev elo p ed   b y   m o d if y in g   th h ea lth y   s y s tem   to   r ef lect  p h y s ical  f au lt  s ig n atu r e s ,   wh ile  p r eser v in g   co m p atib ilit y   with   th T S - b ased   in ter p o latio n   f r a m ewo r k .   All  p ar am eter   ch an g es  an d   s im u latio n   s ettin g s   ar e   alig n ed   with   r ea f a u lt  co n d it io n s   in   in d u s tr ial  m o to r s .   T h m o d el   o f   th e   s tu d ied   m o to r   in   th e   p r esen ce   o f   s h o r cir cu it  b etwe en   tu r n s   f a u lt  in   th s tato r   ca n   b o b tai n ed   u s in g   th r e p r esen tatio n   F ig u r 3   wh er n cc   r ep r esen ts   th n u m b er   o f   f a u lty   tu r n s   [ 1 9 ] .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I n t J Ap p l Po wer   E n g ,   Vo l.  15 ,   No .   1 ,   Ma r ch   20 26 195 - 2 1 0   200       Fig u r 2 .   Sp ee d ,   to r q u e,   a n d   c u r r en ts   wav ef o r m s - b ased   T m o d els u n d e r   lo ad   Tr   3 . 5   N. m   in   h ea lth y   ca s e           Fig u r 3 .   Sh o r t c ir cu it o f   tu r n s   o n   th b s   p h ase  o f   th s tato r       Fo r   f au lt  is o latio n ,   it  is   im p o r tan to   i n tr o d u ce   two   p ar a m eter s .   T h e   elec tr ical  a n g le  n o ted    id en tify in g   th s h o r t - cir cu ited   win d in g   with   r esp ec to   t h r ef er en ce   a x is   .   T h e   n o te d   s h o r t - cir cu it  r e p o r t   n cc ,   eq u al   to   th e   r atio   o f   th e   n u m b er   o f   s h o r t - cir cu ited   tu r n s   to   th t o tal  n u m b er   o f   t u r n s   i n   r ea l   s tato r   p h ase   in   h ea lth y   ca s e.   T h R cc   wh ic h   r ep r esen ts   th s h o r cir c u it  b etwe en   tu r n   is   g iv en   b y   th f o llo win g   e q u atio n   [ 1 9 ] .   I s tato r   f au lts   s tate  s p ac r ep r esen tatio n   lin k ed   to   th r o to r .   T h I s tato r   f au lts   s tate  s p ac e   r ep r esen tatio n   lin k e d   to   th r o t o r   ar g iv en   b y   ( 7 ) ,   with :    =  .      =    ( 7 )     Par k   I eq u atio n s   lin k ed   t o   th r o to r   a r e   g iv e n   b y   ( 8 ) - ( 1 0 ) .     {  =  +   +  ( 2 )  0 =  +     ( 8 )     {  =  + ( + )   = (  +  )   ( 9 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Ap p l Po wer   E n g   I SS N:   2252 - 8 7 9 2       I n d u ctio n   mo to r   s imu lta n eo u s   fa u lt d ia g n o s is   b a s ed   o n   Ta ka g i - S u g e n o   mo d els   ( S a mir a   S o u r i )   201   {  =  +   = 2 3  ( ) (  ) ( )    ( 1 0 )     3 . 3 . 1 .   Sta t e - s pa ce   re presenta t io n wit h sta t o f a ult    T h I s tato r   f au lts   s tate - s p ac r ep r esen tatio n   lin k ed   to   th r o t o r   is   g iv en   b y   ( 1 1 ) .   T h is   r ep r esen tatio n   d escr ib es th e   s y s tem   b eh av io r   u n d e r   r o t o r - lin k ed   s tato r   f au lts .     { ̇ ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) ,   ( 1 1 )     W ith   ( ) = [     ] ( ) = [   ] ,   a n d   ( ) = [   ] .     ( ) = [             + + 0 0 0 0 ]             ,   = [           1 0 0 1 0 0 0 0 ]           ,   = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ]     = 2 3  ( ) (  ) ( ) 3 = 1 ,     ( 1 2 )     (  ) = [  (  ) 2  (  ) .  (  )  (  ) .  (  )  (  ) 2 ] , ( ) = [  ( )  ( )  ( )  ( ) ] .     3 . 3 . 2 .   Sim ula t io r esu lt s   Fig u r 4   illu s tr ates  th ev alu a tio n   o f   t h e   s p ee d ,   to r q u e ,   a n d   cu r r e n ts   wav ef o r m s   in   t h p r esen ce   o f   5 %,  1 5 % ,   an d   2 5 s h o r cir cu it  b etwe en   tu r n s   in   th e   s tato r   u n d er   3 . 5   N. m   ap p l ied   to   th e   I at     t   =   0 . 7   s .   Als o ,   at  t   =   1   s ,   s h o r cir cu it  f a u lt  b etwe en   tu r n s   e q u al  t o   5 %   an d   1 5 wh ich   r e p r esen ts   r esp ec tiv ely ,   a   n cc   =   23   tu r n s   an d   n cc   =   6 9   tu r n s   is   p r o v o k e d ,   f o llo wed   b y   s h o r cir cu it  e q u iv alen to   s h o r t - cir cu it  o f   2 5 ( n cc   = 1 1 6   tu r n s )   at  t   =   1 . 5   s   an d   t   =   2   s   is   r esp ec tiv ely   s im u lated .   W n o tice  th at  d u r i n g   th e   s h o r ten ed   tu r n s   in   th s tu d y   s tate,   th s tato r   cu r r en ts   am p litu d ch an g es d u to   m ag n etic  co u p lin g   wh ich   lea d s   to   an   in cr ea s ed   o s cillatio n   in   th s p ee d   an d   to r q u e .   At  5 s h o r cir cu it,   th e   cu r r e n am p l itu d r is es  to   6   A,   in cr ea s in g   to   8   at  1 5 f au lt   an d   1 0   at  2 5 f au lt.  T h o s cillatio n   in   to r q u r ea ch es  4   N. m ,   5   N. m ,   an d   6   N. m   f o r   5 %,  1 5 %,  an d   2 5 % f a u lts ,   r esp ec tiv ely .     3 . 3 . 3 .   T a k a g i Su g eno   m o dels   o f   I M   wit s t a t o f a ult   As  s h o wn   in   ( 1 1 ) ,   we  n o tice  t h at  th e   m atr ices  B   an d   C   in   ca s o f   s tato r   f au lt   u s in g   T r e p r esen tatio n   ar co n s tan ts   wh er e,   th m at r ix   s tate  d ep en d   o n   th s p ee d ,   wh ich   r ep r esen ts   th o n ly   n o n lin ea r ity :   z ( t)   =   T h m atr ices o f   th e   s y s tem   ar g iv en   as:       1 = [             + + 0 0 0 0 ]             2 = [             + + 0 0 0 0 ]             ,     1 = 2 = ,    1 = 2 = 1 = 2 = .     3 . 3 . 4 .   Sim ula t io re s ults ba s ed  o n T m o del s     Fig u r 5   s h o ws  r esp ec tiv ely   th ev alu atio n   o f   t h e   s p ee d ,   to r q u e ,   a n d   c u r r en ts   wav ef o r m s   in   th e   p r esen ce   o f   th s tato r   f au lt  b ased   o n   T m o d els .   W e   n o tice  th at  th e   q u an titi es  ( to r q u e,   s p ee d ,   an d   cu r r e n ts   with   s tato r   f au lt)  co n v er g e   to war d s   th eir   r ea v alu es.   T h cu r r en ts   s tab ilize  at  ar o u n d   5   u n d er   n o r m a l   o p er atin g   co n d itio n s ,   wh ile  th to r q u o s cillatio n s   in cr ea s f r o m   3 . 5   N. m   to   4   N. m   as  th f au lt  lev el   in cr ea s es.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I n t J Ap p l Po wer   E n g ,   Vo l.  15 ,   No .   1 ,   Ma r ch   20 26 195 - 2 1 0   202       Fig u r 4 .   Sp ee d ,   to r q u e ,   a n d   c u r r en ts   wav ef o r m s   in   s h o r ci r cu it   f au lt u n d er   lo a d   T r   =   3 . 5   N. m           Fig u r 5 .   Sp ee d ,   to r q u e ,   a n d   c u r r en ts   wav ef o r m s   in   s tato r   f a u lt - b ased   T S m o d els       3 . 4 .     M o dellin g   o f   t he  I M   wit ro t o f a ult  in t he  ro t o f r a m e   T h is   s u b - s ec tio n   d escr ib es   f o r   th s im u ltan eo u s   f a u lt  m o d els  ( M4   an d   M5 ) ,   wh ich   r ep r esen th e   s im u ltan eo u s   p r esen ce   o f   r o t o r   an d   s tato r   f a u lts .   T h ey   ar u s ed   to   test   th e   r o b u s tn ess   o f   th e   T f u zz y   ap p r o ac h   u n d e r   m o r ad v e r s f au lt  co u p lin g s .   T h s im u latio n   d esig n   an d   th tim in g   f o r   f au lt  ac tiv atio n   ar e   o u tlin ed   with   a   v iew  to   e n s u r i n g   to tal  r e p r o d u cib ilit y Fig u r 6   illu s tr ates  th co n v en tio n a m o d ellin g   o f   th e   r o to r   b y   elem en tar y   d ip o les  with   b r o k e n   b ar .   I t   is   ass u m ed   th at   th e   r o to r   i n   th e   p r e s en ce   o f   a   f au lt  is   eq u iv alen t to   r o to r   in   f r ee   o f   f au lt c ase,   to   wh ich   we  ad d   an   ad d itio n al  win d in g   tr av e r s ed   b y   f ictitio u s   f au lt  cu r r en t [ 2 1 ] .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Ap p l Po wer   E n g   I SS N:   2252 - 8 7 9 2       I n d u ctio n   mo to r   s imu lta n eo u s   fa u lt d ia g n o s is   b a s ed   o n   Ta ka g i - S u g e n o   mo d els   ( S a mir a   S o u r i )   203       Fig u r 6 .   I M   r o to r   b r o k en   b ar s   cir cu it       3 . 4 . 1 .   M o dellin g   o f   bro k en  r o t o ba f a ults   Fig u r 6   r ep r esen ts   th eq u iv a len elec tr ical  cir cu it   o f   th I with   b r o k en   b ar   f au lt.  I n   th is   s tu d y ,   we  f o cu s ed   o n   m o d ellin g   th f au lts   b ased   o n   ch an g es  in   r esis tan ce ,   p ar ticu lar l y   f o r   r o to r   f a u lts .   T h ch o ice  to   n eg lect  in d u ctan ce   ch a n g es  was  m ad b ec au s e,   f o r   th s tu d ied   s ce n ar io s ,   r esis tan ce   v ar iat io n s   d o m in ated   th e   f au lt  d y n am ics.  Ho wev er ,   in   m o r e   s ev er f a u lt  ca s es  o r   u n d er   d if f e r en o p er atin g   co n d itio n s ,   in d u ctan ce   ch an g es  m ig h h av s ig n i f ican im p ac t,  an d   ac co u n tin g   f o r   th em   wo u ld   lea d   to   m o r ac cu r ate  an d   co m p r eh e n s iv m o d el.   T h b ar   r u p t u r es  at  th r o to r   am o u n to   s im p le  r esis tiv q u ad r u p o le  R fault   p lace d   in   s er ies  with   th e   r o to r   r esis tan ce .   T h e   ex p r ess io n   o f   th e   r o to r   eq u i v alen t r esis tan ce   m atr ix   is   th en   o b tain ed   a s   ( 1 3 ) .     [  ] = [ ] + [ ] = [ ] 1 ( 0 ) . [ ]   ( 1 3 )     W i t h   = 2 3 0 ,         [ ] = [ 1 0 0 1 ] ,   a n d   ( 0 ) = [  ( 0 ) 2 c os ( 0 ) .  ( 0 ) c os ( 0 ) .  ( 0 )  ( 0 ) 2 ] .     f ictitio u s   p h ase  th er ef o r c o n s is ts   o f   b /3   b ar s .   Fo r   n bc   b r o k en   b ar s   o n   p h ase,   th e   ex p r ess io n   o f   t h f a u lt   r ep o r 0   is   g iv en   b y   [ 2 1 ] 0   3 n bc /n b .   I n   h ea lth y   ca s ( f ac to r     0 ) ,   th r esis tan ce   R fault   b ec o m es  ze r o .   W h en   th f ac to r     is   n o n - ze r o ,   th r esis tan ce   R fault   in t r o d u ce s   an   im b alan ce   in   t h r o to r   s iz es  an d   th e   co u p lin g   ter m s   o n   th two   d   an d   q   a x es o f   th r o to r .     3 . 4 . 2 .   Sta t e - s pa ce   re presenta t io n wit h r o t o f a ult     T h m o d el  o f   th s tu d ied   m o to r   u n d er   r o to r   b r o k e n   b ar   f au lt  is   d escr ib ed   b y   th e   s tate - s p ac r ep r esen tatio n   as  ( 1 4 )   a n d   ( 1 5 ) .   T h is   r ep r esen tatio n   ch ar ac te r izes  th m o t o r   b eh av i o r   w h en   r o to r   b r o k en   b ar   f au lt o cc u r s .     { ̇ ( ) = ( ) . ( ) + ( ) . ( ) ( ) = . ( )   ( 1 4 )     W i t h   ( ) = [     ] , ( ) = [   ] ,   a n d   ( ) = [   ] .     ( ) = [ ( [ ] + [  ] ) . 1 . ( 2 ) ( [  ] . 1 . ( 2 ) ) . 1 [  ] [  ] . 1 ] , = [           1 0 0 1 0 0 0 0 ]             = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] [  ] = [ ] . ( 1 ( 0 ) )   ( 1 5 )       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I n t J Ap p l Po wer   E n g ,   Vo l.  15 ,   No .   1 ,   Ma r ch   20 26 195 - 2 1 0   204   3 . 4 . 3 .   Sim ula t io re s ults in t he  presence  o f   ro t o f a ults     First,  T h I is   s tar ted   with o u lo ad   u n til  t   0 . 7   s ,   f o llo we d   b y   ap p ly in g   r esis tiv to r q u eq u al  to   3 . 5   N. m .   wh er th s p ee d   d r o p s   to   1 5 1 . 1   r ad /s ,   f o llo we d   b y   th p r o v o ca tio n   o f   th r o t o r   b r o k en   b ar s   at  t   =   1   s ,   we  n o tice  th a p p ea r a n ce   o f   o s cillatio n   in   s p ee d ,   to r q u e ,   an d   cu r r e n ts   wav ef o r m s   ( F ig u r e   7 )   a n d   th eir   zo o m   an d   v e r if ies  th m o d u latio n   o f   th s tato r   c u r r en t   en v el o p f o r   o n e   r o t o r   b r o k e n   b ar .   T h b r o k en   o f   two   b ar s   is   ap p lied   at  t   =   2   s .   W r em ar k ,   th in cr ea s in g   o f   th a m p l itu d o s cillatio n s   in   s p ee d ,   to r q u e ,   an d   cu r r en ts   wav ef o r m s .   I n   t h ca s o f   r o to r   f au lts ,   th e   to r q u e   o s cillatio n s   in cr ea s f r o m   3   N. m   to   4   N. m   as  s ec o n d   r o to r   b ar   f au lt is   in tr o d u ce d .     3 . 4 . 4 .   T a k a g i Su g eno   mo dels   o f   I M   wit h r o t o f a ult   Fo llo win g   to   ( 1 4 ) ,   we  n o tice  t h at  th m atr ices  B   an d   C   in   ca s o f   s tato r   f au lt  u s in g   T r ep r esen tatio n   ar co n s tan ts   wh er e,   th m at r ix   s tate  d ep en d   o n   th s p ee d ,   wh ich   r ep r esen ts   th o n ly   n o n lin ea r ity z ( t)   T h m atr ices o f   th e   s y s tem   ar g iv en   as:     1 = [ ( [ ] + [  ] ) . 1 . ( 2 ) ( [  ] . 1 . ( 2 ) ) . 1 [  ] [  ] . 1 ]       2 = [ ( [ ] + [  ] ) . 1 . ( 2 ) ( [  ] . 1 . ( 2 ) ) . 1 [  ] [  ] . 1 ]       1 = 2 = ,    1 = 2 =     3 . 4 . 5 .   Sim ula t io n r esu lt s   ba s ed  o n T S m o dels   Fig u r 8   r ep r esen ts ,   r esp ec tiv e ly ,   th b eh av io u r   o f   th to r q u e ,   r ea l sp ee d ,   an d   th s tato r   cu r r en t in   T S   f o r m   with   t h p r esen ce   o f   r o t o r   f au lts .   At  in   t   1   s   an d   at   2   s ,   o n b a r   b r ea k s   an d   two   b r o k en   b ar s   ar e   p r o v o k ed   in   s im u latio n ,   an d   th am p litu d o f   o b s er v ed   o s cillatio n s   wer in cr ea s ed   wh en   th n u m b er   o f   b r o k e n   b ar s   is   in cr ea s ed   an d   t h to r q u e ,   s p ee d   an d   c u r r en q u an titi es  co n v er g to war d s   th eir   r ea v alu es.  T h e   am p litu d o f   to r q u o s cillatio n s   in cr ea s es f u r th er ,   c o n f ir m in g   th in cr ea s in   f au lt sev er ity .           Fig u r 7 .   Sp ee d ,   to r q u e ,   a n d   c u r r en ts   wav ef o r m s   in   th p r esen ce   o f   r o to r   b r o k en   b ar s   u n d e r   lo ad   Tr   =   3 . 5   N. m         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.