I nte rna t io na l J o urna l o f   P o wer   E lect ro nics   a nd   Driv S y s t em   ( I J P E DS)   Vo l.  1 7 ,   No .   1 Ma r ch   20 2 6 ,   p p .   95 ~ 106   I SS N:  2 0 8 8 - 8 6 9 4 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /ijp ed s . v 1 7 . i 1 . p p 95 - 1 06           95       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij p e d s . ia esco r e. co m   Linea rity a na ly sis  of a brushe d D ma chine t h erma sy stem in  respo nse to spee d  input  using  t ra ns fer function       M .   S.  M a t   J a ha k ,   M .   A.   H .   Ra s id     F a c u l t y   o f   M a n u f a c t u r i n g   a n d   M e c h a t r o n i c En g i n e e r i n g   T e c h n o l o g y ,   U n i v e r si t i   M a l a y si a   P a h a n g   A l - S u l t a n   A b d u l l a h ,   P e k a n ,   M a l a y si a       Art icle  I nfo     AB S T RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   J u l 2 3 ,   2 0 2 4   R ev is ed   No v   2 5 ,   2 0 2 5   Acc ep ted   Dec   1 1 ,   2 0 2 5     Th is  stu d y   re p re se n ts  a   p re li m i n a ry   ste p   t o wa rd   d e v e lo p in g   a   re a l - ti m e   c o n d i ti o n   m o n it o r in g   sy ste m   fo r   b ru s h e d   DC  m a c h in e b y   a n a l y z in g   th e   li n e a rit y   o f   th e ir   th e rm a b e h a v io r.   Th e   tem p e ra tu re   re sp o n se   o f   a n   M Y1 0 1 6   DC  m o to r   wa c o ll e c ted   u n d e r   n o - l o a d   c o n d it i o n s   a fi v e   d iffere n sp e e d   lev e ls,  ra n g in g   fro m   2 0 %   to   1 0 0 %   o f   th e   ra ted   sp e e d ,   u n ti l   th e   m o t o re a c h e d   ste a d y - sta te  c o n d it i o n t o   e m p h a siz e   th e   tem p e ra tu re   in c re a se   d u e   to   sp e e d   v a riab il it y .   A   tran sfe r   fu n c ti o n   m o d e wa i d e n ti f ied   u si n g   M ATLAB’s  S y ste m   Id e n t ifi c a ti o n   T o o l b o x ,   a n d   t h e   sy ste m ’s  li n e a rit y   wa e v a lu a ted   b y   a n a l y z in g   th e   s p re a d   o p o le  v a lu e a c ro ss   d iffere n sp e e d s.   Re su lt sh o we d   sig n ifi c a n v a riab il it y   i n   th e   c o e fficie n o v a riati o n   (CV)  fo k e y   c o m p o n e n ts,  wit h   v a l u e ra n g in g   fro m   0 . 1 8   f o t h e   c a sin g   to   0 . 8 4   fo t h e   b ru sh .   Th e se   fin d in g re v e a sig n ifi c a n d e v iati o n fro m   li n e a th e rm a b e h a v i o r,   i n d ica ti n g   t h a a   sin g le  li n e a tran sfe fu n c ti o n   m a y   b e   in su fficie n t   to   m o d e th e   s y ste m .   T h is  re se a rc h   h i g h li g h ts  th e   n e e d   to   v a li d a t e   li n e a rit y   a ss u m p ti o n i n   th e rm a m o d e li n g   a n d   in tr o d u c e a   fra m e wo rk   fo a ss e ss in g   th e rm a v a riab il it y   u n d e v a ry in g   sp e e d   c o n d it i o n s.   K ey w o r d s :   E lectr ical  m ac h in es   R ed u ce d - m o d el   T h er m al  an aly s is   T h er m al  m o d el   T r an s f er   f u n ctio n   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC BY - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   M.   A.   H.   R asid   Facu lty   o f   Ma n u f ac tu r in g   an d   Me ch atr o n ics  E n g i n ee r in g   T e ch n o lo g y   Un iv er s iti Ma lay s ia  Pah an g   Al - Su ltan   Ab d u llah   2 6 6 0 0   Pek an ,   Pah a n g ,   Ma la y s ia   E m ail:  m ah izam i@ u m p s a. ed u . m y       1.   I NT RO D UCT I O   Mo to r s   ac co u n f o r   4 0 o f   g l o b al  elec tr icity   co n s u m p tio n   a n d   1 3 o f   ca r b o n   em is s io n s ,   an d   o f ten   s u f f er   ir r e v er s ib le  th er m al  d a m ag [ 1 ] .   T o   r ed u c th r is k   o f   ir r ev er s ib le  d a m ag e,   a n   an o m aly   d etec tio n   s y s tem   ca n   h elp   aler t   th e   u s er   to   an y   p o ten tial  f a u lts   in   th e   m ac h in e.   Sch ed u le d   p e r io d ic   v is u al  in s p ec tio n s   an d   r ec o r d in g   th is   d ata  ar v alu ab le  in f o r m ati o n   wh en   r e v iewin g   th m ac h in e' s   p er f o r m an ce .   T h s im p lest   way   to   m o n ito r   th m ac h in e' s   h ea lth   is   to   r eg u lar l y   in s p ec t   an d   p r o v id a   wr itten   r e p o r as  p r o p o s ed   in   [ 2 ] .   T h ese  wr itten   in s p ec tio n   r e p o r ts   p er f o r m   m u c h   b etter   th a n   th e   m em o r y   o f   th m ai n ten an ce   tech n ician   o r   s u p er v is o r   w h en   q u esti o n in g   t h p e r f o r m an ce   h is to r y   o f   c er tain   p iece   o f   eq u ip m en t.   I t   p r o p o s es  g e n er ic  in s p ec tio n   g u id elin f o r   m o to r   h ea lth   r ec o r d s .   Ho wev er ,   th is   is   co s tly   an d   tim e - co n s u m in g .   T h er ef o r e ,   o n lin e   co n d itio n   m o n ito r in g   o f   elec tr ic  m o to r s   h as  g ain ed   im p o r tan ce   o v er   th p ast  3 0   y ea r s   d u to   r ed u cin g   m ac h in d o wn tim in   cr itical  ap p licatio n s   an d   e n h an cin g   th eir   r eliab ilit y   [ 3 ] .   Am o n g   th e   m o s f r e q u en t   f a u lts   o cc u r r in g   in   b r u s h ed   ele ctr ical  m ac h in es  ar e   o v er lo a d ,   lack   o f   lu b r icatio n ,   r e p ea ted   m o to r   s t ar ts /s to p s ,   an d   in s u f f icien co o lin g .   Un d e r   th ese  co n d itio n s ,   elec tr ic  m o to r s   ar ex p o s ed   to   u n d esira b le  s tr ess es,  wh ich   p u th m o to r s   at  r is k   o f   f au lts   o r   f ailu r es  [ 4 ] - [ 6 ] .   Acc o r d in g   t o   I E E E   R ec o m m en d ed   Pra ctice   f o r   th Desig n   o f   R eliab le  I n d u s tr ial  an d   C o m m er cial  Po wer   Sy s t em s   in   2 0 0 7   ( r ef e r   T ab le  1) ,   m o t o r   c o m p o n en ts   t h at  s u f f er   f r o m   f a u lts   in   o r d er   ar b ea r in g   ( 4 1 %),   s tato r   ( 3 7 %),   r o to r   ( 1 0 %),   a n d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t Vo l.  1 7 ,   No .   1 Ma r c h   20 2 6 :   95 - 1 06   96   o th er   ( 1 2 %)  [ 7 ] .   B esid es  th at,   ac co r d in g   to   s elec ted   ar ticles  f r o m   2 0 0 6 - 2 0 1 8 ,   th m o s co m m o n   f a u lts   an d   th eir   s tatis t ical  in cid en ce s   ar lis ted   in   T ab le  2 .   T h ese  s t atis tical  an aly s e s   p r o v id v alu ab le  in s ig h ts   in to   co m m o n   f a u lt  ty p es .   Fu r th er m o r e,   th ey   h ig h lig h th cr iti ca n ee d s   f o r   m o n ito r in g   an d   p r ed ictiv to o ls   f o r   th er m al  b e h av io r   in   m o to r s ,   wh ich   co u ld   s er v e   as  ea r l y   in d icato r s   o f   p o ten tial  f ailu r es.   Ad d r ess in g   th is   g a p ,   th p r esen t   s tu d y   will  f o cu s   o n   th er m al   r esp o n s e   v ar iab ilit y   in   m o t o r   c o m p o n en ts ,   p r o v id i n g   a   n o v el   f r am ewo r k   f o r   r ea l - tim co n d i tio n   m o n ito r in g   a n d   f a u lt d ete ctio n .       T ab le  1 p o le   s tatis tical  s tu d y   b y   IEEE  r ec o m m en d ed   p r ac tice  f o r   th d esig n   o f   r eliab le  i n d u s tr ial  an d   co m m er cial  p o we r   s y s tem s   in   2 0 0 7   N u mb e r   o f   f a u l t s   Ty p e   o f   f a u l t   I n d u c t i o n   m o t o r s   S y n c h r o n o u s m o t o r s   W o u n d   r o t o r   m o t o r s   D m o t o r s   A l l   m o t o r   t y p e s   ( t o t a l )   B e a r i n g   1 5 2   2   10   2   1 6 6   W i n d i n g   75   16   6   -   97   R o t o r   8   1   4   -   13   S h a f t   19   -   -   -   19   B r u s h e s   o r   s l i p   r i n g s   -   6   8   2   16   Ex t e r n a l   d e v i c e s   40   7   1   -   18   O t h e r s   10   9   -   2   21       T ab le  2 Statis tics   o f   co m m o n   f au lts   ac co r d in g   to   r ec e n t r esear ch   N u mb e r   o f   f a u l t s   Ty p e   o f   f a u l t   I n d u c t i o n   m o t o r   S y n c h r o n o u s m o t o r   W o u n d   r o t o r   m o t o r   D C   m o t o r   A l l   m o t o r   t y p e s   ( t o t a l )   B e a r i n g   21   -   -   3   24   W i n d i n g   22   3   1   3   28   R o t o r   34   2   -   -   36   S h a f t   3   -   -   -   3   B r u s h e s   -   -   -   2   1   Ex t e r n a l   d e v i c e s   5   1   -   2   8   A i r   g a p   e c c e n t r i c i t y   14   3   1   -   18   O t h e r s   9   3   -   3   14       Am o n g   th m o n ito r i n g   m eth o d s   u s ed ,   th m o s t f r e q u en tly   u s ed   m eth o d s   f o r   m o n ito r in g   m o to r   h ea lth   ar e   th m o to r   cu r r en s ig n al  a n aly s is   ( MCS A)   [ 8 ] - [ 1 0 ]   an d   v ib r atio n   an al y s is   [ 1 1 ] - [ 1 4 ] .   Ho wev er ,   th e y   a r e   co s tly   an d   n ee d   h ig h ly   tr ain e d   an aly s ts .   m o r r ec en i n teg r atio n   o f   m ac h in e   lear n in g   m eth o d s   h as  also   g ain ed   in ter est  am o n g   d ia g n o s tician s   [ 1 5 ] - [ 17] ;   h o wev er ,   c o l lectin g   s u f f icien h is to r ical  d at to   tr ain   m ac h i n lear n in g   m o d els  r em ain s   ex p e n s iv in   ter m s   o f   in s tr u m en ta tio n   an d   tim e - c o n s u m in g .   T o   r ed u ce   th c o s o f   h ea lth   m o n ito r in g ,   an o t h er   m e th o d   ca n   b p o ten tially   u s ed th er m al  b eh av i o r   ass ess m en o f   th m ac h in [ 1 8 ] [ 1 9 ] .   T o   b u ild   p r o p er   tem p e r atu r m o n ito r in g   s y s tem   f o r   t h co m p o n en ts   o f   t h m o to r ,   t h class ic  s o lu tio n   is   to   eq u ip   th m o to r   with   tem p er atu r m ea s u r e m en in s tr u m en tatio n .   Ho wev er ,   th is   lead s   to   ad d itio n al  co s ts   an d   ca b le  m a n ag em e n is s u es.  I co u ld   b to o   m u c h   f o r   s y s tem   eq u ip p ed   with   m an y   m o t o r s   [ 2 0 ] [ 2 1 ] .   T h less   in s tr u m en ted   o p tio n   is   to   h av r ea l - tim m o d el  th at  esti m ates  th tem p er atu r o f   th co m p o n en ts   in s id e   th m o to r   u s in g   s in g le  in p u t ,   lik th s p ee d   o r   cu r r en o f   th m o to r   [ 2 2 ] .   All  th ese  th r ee   m eth o d s   h av th ei r   m er its   an d   ad v a n tag es a s   well  as in co n v en ien ce s .     Sev er al  s tu d ies  h av e   u s ed   tr an s f er   f u n ctio n s   as   th er m al   m o d els  f o r   elec tr ic   m ac h in es   f o r   h ig h   ac cu r ac y ,   lo co m p u tatio n al  r eso u r ce s   [ 2 3 ] ,   an d   ea s y   im p lem en tatio n   [ 2 4 ] ,   [ 2 5 ]   h a v estab lis h ed   th er m al   er r o r   co m p e n s atio n   u s in g   tr a n s f er   f u n ctio n   to   m o d el  th e   r el atio n s h ip   b etwe en   h ea s o u r ce s   an d   th e   r esu ltin g   th er m al  er r o r s   in   m ac h in to o ls ,   wh ich   ca n   af f ec m ac h in in g   ac cu r ac y .   Ad d itio n ally ,   [ 2 6 ]   p r esen ts   o n lin e   th er m al  m o n ito r i n g   o f   in d u cti o n   m ac h in es  u s in g   tr an s f er   f u n ctio n ,   f o cu s in g   o n   ac cu r at ely   ca lcu latin g   b o th   av er ag an d   h o ts p o tem p er a tu r es  [ 2 7 ] .   S im p lifie d   th f ir s t - o r d er   tr an s f er   f u n ctio n   to   m o d el  th s tato r   win d in g   tem p e r atu r u s in g   o n ly   th r ee   p ar a m eter s   as  in   ( 1 ) .   T h p ar am eter s   co n s id er ed   w er   tem p er atu r e   r is e,   1   an d   2   ar  1   an d    2   wh ich   wer co n s id er ed   c o n s tan an d   i n d ep en d en o f   an y   lo a d   ch an g e   af ter   ce r tain   am o u n t   o f   o p er atin g   tim e,   1   is   th tim co n s tan an d   2   is   th cu r r e n d r awn   b y   th m o to r .   T h e   r esp o n s o f   th e   f ir s t - o r d er   tr an s f er   f u n ctio n   is   illu s tr ated   in   Fig u r 1 .       ( ) = 1 2 ( 1 1 ) + 2   ( 1 )     I n   o u r   p r o ject,   r ea l - tim m o d el  u s in g   tr an s f er   f u n ctio n   wil l b d ev elo p e d .   T h e   tr an s f er   f u n ctio n   in   a   s in g le  n o d s h o u ld   b ab l to   p r ec is ely   esti m ate  th b aselin tem p er atu r o f   b r u s h ed   DC   m ac h in e   o p er ated   at  d if f er en t   s p ee d s .   T o   ac h ie v s u ch   a   tr an s f er   f u n ctio n ,   it   n ee d s   to   b v er if ied   wh eth er   th e   th er m al   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t     I SS N:   2088 - 8 6 9 4       Lin ea r ity  a n a lysi s   o f a   b r u s h e d   DC   ma ch in th erma l sys tem   in   r esp o n s to   s p ee d   in p u t     ( M.  S .   Ma t J a h a k )   97   r esp o n s o f   DC   m ac h in is   lin ea r - tim in v ar ian ( L T I )   o r   n o t.  An   L T I   s y s tem   wo u ld   m e an   th at  th tr an s f er   f u n ctio n   o f   th s y s tem   is   co n s tan f o r   all  s p ee d s .   W ith   p o ten tial  s m all  an d   n eg lig ib le  d is cr ep an cies,  d if f er e n t   s p ee d s   m ay   n ee d   d if f er e n tr an s f er   f u n ctio n s .   Nev er th eless ,   th ey   s h o u ld   b clo s t o   w h er th e   p o le   v alu es   s h o u ld   b o b s er v ed   to   h av v er y   s m all  v ar iatio n   in   ter m s   o f   th eir   v alu es.   So ,   in   th i s   s tu d y ,   th e   tr an s f er   f u n ctio n   t h at  m o d els th th e r m al  r esp o n s o f   b r u s h ed   DC   m ac h in is   an aly ze d   t o   v er if y   th s y s tem   lin ea r ity .   T h n o v elty   o f   th is   s tu d y   lies   in   d ev elo p in g   s im p lifie d   y et   ac cu r ate  th e r m al  m o d el  f o r   b r u s h ed   DC   m o to r s   th r o u g h   tr an s f er   f u n ctio n   an al y s is ,   an d   in   ev alu atin g   s y s tem   lin ea r ity   ac r o s s   s p ee d s .   T h is   ap p r o ac h   h as  n o t   b ee n   ex p l o r ed   in   th cu r r en t   liter atu r to   o u r   k n o wled g e ,   p ar ticu lar ly   r e g ar d i n g   n o n - lin ea r   b eh av i o r   in   th er m al  r esp o n s es.  T h e   p r o ce s s   o f   th is   ev alu atio n   is   ex p lain e d   in   th n ex t sectio n   o f   th m e th o d o lo g y .             Fig u r 1 .   T e m p er atu r esti m atio n   u n d er   1 0 0 % lo ad   co n d itio n   [2 7]       2.   M E T H O D   T h r esear ch   s tar ts   with   tem p er atu r r esp o n s d ata  co llect io n   u s in g   an   e x p er im e n tal  s etu p ,   wh ic h   will  b u s ed   as  in p u to   d ev elo p   o u r   m o d el.   T h n ex s tep   is   th id en tific atio n   o f   tr a n s f er   f u n ctio n   m o d els  th at   ca n   m o d el  p r ec is ely   th tem p e r atu r r esp o n s es  at  d if f er en s p ee d s .   Fin ally ,   th tr an s f er   f u n ctio n   d ed u ce d   will  b an aly ze d   b y   o b s er v in g   its   p o le  p o s itio n s   o n   a n   s - p lan e   a n d   id e n tify in g   th s p r ea d   b et wee n   th ese  p o les  b y   co m p u tin g   th s tan d ar d   d ev iat io n   an d   c o ef f icien o f   v ar iatio n ,   C V.   s m all  s p r ea d   will  s i g n if y   s y s tem   th at   is   clo s to   b ein g   L T I ,   wh ile  th o p p o s ite  o b s er v atio n   wo u ld   m ea n   th at  th s y s tem   is   n o L T I .   n o n - L T I   s y s tem   ca n n o t ,   th er e f o r e ,   b p r esen ted   u s in g   s in g le  tr an s f e r   f u n ctio n   to   p r esen th th e r m al  r esp o n s ac r o s s   d if f er en t sp ee d   r an g e.   T h f o llo win g   s u b s ec tio n s   ex p lain   in   d etail  ea ch   s tep .     2 . 1 .     T em pera t ure  re s po ns da t a   co llect io n   T h tem p er at u r r esp o n s o f   MY 1 0 1 6   DC   m ac h in es  was  c o llected   with   th e   m o to r   o p er at ed   u s in g   p r o g r a m m ed   b lo ck   d iag r am   i n   Simu lin k   f o r   s p ee d   c o n tr o an d   d ata   ac q u is itio n .   T h DC   m o to r   was  r u n   in   co n tin u o u s   cy cle  at  n o   lo ad   u n til  it  r ea ch ed   tem p er atu r eq u ilib r iu m ,   as  s p ec if ied   in   th I E C - 6 0 0 3 4   s tan d a r d   f o r   m o to r   test in g   f o r   th c y c le  S1 .   I t   was  r u n   at   n o   lo ad   to   f o cu s   o n   th in f lu en ce   o f   s p ee d - d ep en d en t   tem p er atu r in c r ea s es,  wh ich   ar p r im ar ily   ca u s ed   b y   f r ictio n al  co n tact  at  th b r u s h   an d   co m m u tato r   in ter f ac e.   Un d er   lo a d ed   c o n d i tio n s ,   th d o m in an c o n tr ib u to r   to   tem p e r atu r r is is   th co p p er   lo s s es,  wh ich   ar lin ea r ly   d e p en d e n o n   th e   m o to r   c u r r en t   [ 2 8 ] .   T h is   l o a d - d ep e n d en t   in cr ea s ca n   o v e r s h ad o th e   s p ee d - d ep en d e n ef f ec ts ,   m a k in g   th em   less   d is tin g u is h ab le.   T h n o - lo ad   co n d itio n ,   th e r ef o r e ,   p r o v id es  clea r er   in s ig h in to   th th er m al  b eh a v io r   d r i v en   b y   s p ee d   v ar iatio n s ,   p ar ticu lar ly   f o r   s m all  m o t o r s   wh er f r ictio n al   lo s s es p lay   s ig n if ican t r o le.     T h is   p r o ce s s   was  r ep ea te d   at  d if f er en t   m o to r   s p ee d s ,   s tar tin g   at  2 0 an d   in c r ea s in g   in   in c r em en ts   o f   2 0 u p   to   1 0 0 %.  T h ese  s p ee d s   wer ca lcu lated   r elativ to   th r ated   s p ee d   o f   t h MY 1 0 1 6 ,   wh ich   is   2 6 5 0   r p m .   T h e r m o co u p les  wer u s ed   to   m ea s u r th tem p e r atu r r esp o n s at  v ar io u s   p a r ts   o f   th DC   m ac h in es,   in clu d in g   th b r u s h ,   b ea r in g ,   p er m an en t   m ag n et,   an d   ca s in g ,   as  v is u alize d   in   Fig u r 2 ( a) .   T h th er m o co u p les  ar p lace d   at  th lo ca tio n   o f   th h o ts p o o f   ea c h   co m p o n en f o llo win g   p r e v io u s   o b s er v at io n s   u s in g   th er m a l   im ag in g   [ 1 8 ] .   T h is   is   n ec ess ar y   s tep   to   en s u r th at   th tem p er atu r u s ed   in   th tr an s f er   f u n ctio n   id en tific atio n   will  n o u n d e r esti m ate  th tem p er atu r o f   th co m p o n en ts   at  an y   lo ca tio n .   T h tem p er at u r o f   th m o to r   m u s ac h iev e   s tea d y   s tate  b e f o r e   en d in g   th d u t y   cy cle.   I f   th e   tem p er at u r c o n tin u es  to   r is an d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t Vo l.  1 7 ,   No .   1 Ma r c h   20 2 6 :   95 - 1 06   98   ch an g e,   th p r o ce s s   o f   d ata  a cq u is itio n   co n tin u es  u n til  it  r ea ch es  s tead y   s tate.   On ce   all  th d ata  h as  b ee n   co llected ,   it is   p lo tted   an d   an aly ze d .   T h co m p lete  ex p er im e n t setu p   ca n   b s ee n   in   Fig u r 2 ( b ) .   T h is   d ata  was   th en   u s ed   to   i d en tify   t h tr an s f er   f u n ctio n   o f   th tem p e r atu r r esp o n s e.               Fig u r 2 .   T h tem p er at u r d at co llectio n   s etu p :   ( a)   i n s tr u m en tatio n   o f   DC   m ac h i n es with   th er m o co u p les   an d   ( b )   t h c o m p lete  test   s etu p       2 . 2   E x perim ent a s et up   T h o u tp u ts   f r o m   th e   th er m o c o u p les  ar m o n ito r ed   u s in g   t ype - th er m o co u p le  u n it  wit h   an   er r o r   o f   +/ -   1 . 1   ℃.   T h th er m o c o u p le  m ea s u r em en ts   ar tak en   au to m atica lly   ev er y   0 . 2 5   s ec o n d s ,   an d   th d ata  is   tr an s m itted   to   h o s PC   f o r   s to r ag e.   T h c u r r e n is   m o n it o r ed   u s in g   th T P - C C 8 0   cu r r en clam p ,   wh ic h   allo ws  th o s cillo s co p to   m e asu r elec tr ical  cu r r e n ts   u p   to   8 0   ac / d c,   with   a   f r eq u en c y   r esp o n s o f   u p   to     20   k Hz.   T h s p ee d   is   m ea s u r ed   u s in g   r o tar y   en co d er   with   5 0 0   p u ls es  p er   r ev o lu tio n ,   wh ich   is   p r o g r am m e d   to   b m o n ito r e d   alo n g   with   t h tem p er atu r e.   On ce   th DC   m o to r   is   co m p letely   in s tr u m en ted ,   th m o to r   is   m o u n ted   o n   t h to p   o f   th test   b en ch .     T h m o t o r   s tu d ie d   is   s m all,   b r u s h ed   DC   m o to r ,   co m m o n ly   n am ed   MY 1 0 1 6 .   T h is   ch o ice   was  m ad e   d u to   th ea s o f   d is ass em b ly   an d   in s tallatio n   o f   t h m a ch in e,   as  well  as  th ac ce s s ib ilit y   to   im p lem e n t   th er m o co u p les  o n   co m p o n en t s   s u ch   as  th b r u s h ,   b ea r i n g ,   p er m an en m ag n et,   a n d   ca s in g .   I n   ad d itio n ,   th e   s tr u ctu r o f   th m ac h in is   q u ite  co m p lex   with   ir r eg u lar   s u r f ac es  an d   ca v ities   in   th e   air g ap ,   lead in g   to   u n p r e d ictab le  tem p e r atu r e   b eh av io r ,   w h ich   is   in ter esti n g   to   o b s er v e.   T h is   co m p le x ity   ar is es  f r o m   th e   in tr icate   co m p o n en ts ,   th clo s ed   an d   r o u g h   s u r f ac e   o n   th in s id e,   an d   th e   tu r b u len ef f ec o f   a ir   cir cu latio n .   T h s p ec if icatio n s   o f   th e   DC   m o to r   ca n   b e   f o u n d   in   T ab le   3 .   T h i s   m o to r   ca n   b e   co m m o n ly   f o u n d   in   s m all  ac tu at o r   ap p licatio n s   f o r   lig h t m o b ilit y ,   s u ch   as  elec tr ic  b ic y cles  an d   s co o ter s .   Sm all - s ca le  s em i - in d u s tr ial  ap p licatio n s   s u ch   as  co n v ey o r s ,   ex tr u d er s ,   f an s ,   a n d   v en tilato r s   f o r   f o o d   p r o ce s s in g ,   an d   a g r o - i n d u s t r ial  m ac h in er y   a r also   f r eq u en u s er s   o f   th is   in ex p en s iv m o to r .       T ab le  3 .   Sp ec if icatio n   o f   t h MY 1 0 1 6   b r u s h ed   DC   m ac h in es   P a r a me t e r s   V a l u e s   M o d e l   M Y 1 0 1 6   O p e r a t i n g   v o l t a g e   24   VDC   R a t e d   c u r r e n t   1 3 . 5   A   R a t e d   s p e e d   2 6 5 0   R p m   O p e r a t i n g   p o w e r / o u t p u t   2 5 0   W   R a t e d   t o r q u e   1 0 0   N - cm   N o   l o a d   c u r r e n t   < 2 . 2   A   S h a f t   d i a m e t e r   1 2 . 2   mm   C a b l e   l e n g t h   2 5   c m   W e i g h t   2 . 0   K g   D i me n si o n   ( 2 0 × 15 × 1 0 )   c m       2 . 3 .     T ra ns f er   f un ct io n identif ica t io n us ing   s y s t em   identif ica t io n t o o lbo x     T h s y s tem   id en tific atio n   to o lb o x   o f   MA T L AB   is   h er d ep lo y ed .   T h tem p er atu r r esp o n s d ata  was  s et  as  th o u tp u r esp o n s e ,   wh ile  th e   PW s tep   s p ee d   in p u t   v alu e   was  s et  as  in p u t   an d   im p o r ted   to   t h e   s y s tem   id en tific atio n   I m p o r Data   s ec tio n ,   as  s h o wn   in   F ig u r 3 ( a) .   T h to o lb o x   en ab les  u s   to   f in d   th co r r esp o n d in g   tr an s f er   f u n cti o n   o f   th im p o r ted   tem p er atu r r esp o n s e.   B y   s elec tin g   t h tr an s f er   f u n ctio n   as   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t     I SS N:   2088 - 8 6 9 4       Lin ea r ity  a n a lysi s   o f a   b r u s h e d   DC   ma ch in th erma l sys tem   in   r esp o n s to   s p ee d   in p u t     ( M.  S .   Ma t J a h a k )   99   th m o d el  o f   ch o ice,   two   p a r am eter s   n ee d   to   b s et ,   wh ich   th to o lb o x   will  tr y   to   f in d   an d   f it  to   th e   ex p er im en tal  d ata.   T r an s f er   f u n ctio n s   p ar a m eter s   n ee d ed   ar th n u m b er   o f   ze r o s   an d   p o les  o f   th tr an s f e r   f u n ctio n .   T h eir   ch o s en   v alu es   n ee d   to   b e   s et  in   t h to o l b o x   as  s h o wn   in   Fig u r e   3 ( b ) .   T h g en er ic   f o r m   o f   a   tr an s f er   f u n ctio n ,   co n s id er in g   its   p o les,  i s   s h o wn   in   ( 2 )   with     th o r d er   o f   th s y s tem ,     r ea n u m b er ,   an d   th v alu es o f     s o lv in g   th e   p o ly n o m ials   in   th d e n o m in ato r   ar th p o les.     ( ) = 1 +   ( 1 ) ( 1 ) + . . . + 0   ( 2 )           ( a)   ( b )     Fig u r 3 .   T h in ter f ac e   f o r   in p u t te m p er atu r e   d ata  im p o r t: ( a)   im p o r t d ata  s tep   i n p u t a n d   te m p er atu r r esp o n s to   th s y s tem   id en tific atio n   to o lb o x   a n d   ( b )   s ettin g   th p o le  an d   ze r o s   p ar am eter       No   ze r o s   wer ch o s en   f o r   t h e   tr an s f er   f u n ctio n ,   as  p h y s ic al  s y s tem   ca n   u s u ally   b m o d elled   with   n o   ze r o es.  On ly   g ain   will  tak p lace   o n   th n u m er at o r .   Fo r   th p o les,  d if f er en v alu es  w er test ed ,   r an g in g   f r o m   s in g le   p o le   to   f o u r   p o l es,  r ep r esen tin g   s y s tem s   o f   th f ir s to   f o u r th   o r d er .   T h e   r ea s o n   f o r   lim itin g   th e   p o le  v alu e   to   4   is   th at  c h o o s i n g   h ig h   p o le   v alu ca n   lead   to   an   u n s tab le  s y s tem .   T h r eq u ir em en t   th at  all   p o les  n ee d   to   b in   th lef h a lf   o f   th e   co m p le x   p lan e ,   as  m en tio n ed   b y   [ 2 9 ]   an d   [ 3 0 ]   ( ch ap ter   b asic  co n tr o l   s y s tem   an d   ef f ec ts   ad d in g   p o les  an d   ze r o s   to   tr a n s f er   f u n ctio n s ) ,   will  b ec o m to o   co n s tr ain in g .   Hig h e r - o r d e r   m o d els  ten d   to   o v er f it  th ex p er im en tal  d ata,   ca p tu r in g   n o is o r   m in o r   v ar iatio n s   th at  d o   n o r ep r esen th e   u n d er ly i n g   s y s tem   d y n am ics.  T h is   o v er f itti n g   i n cr ea s es  th p r ed ictio n   e r r o r   wh en   th e   m o d el  is   ap p lied   to   n ew  d ata.   T r an s f er   f u n ctio n s   with   m o r th an   f o u r   p o les  m ay   also   ex h ib it  in s tab ilit y ,   with   p o l es  ap p ea r in g   in   th e   r ig h t - h alf   s - p lan e,   v i o latin g   th r eq u ir em e n t f o r   p h y s ically   s tab le  s y s tem .   I n   m o s ca s es,  th er m al  r esp o n s es  ar b est  ap p r o x im ated   b y   lo w - o r d er   m o d els  d u to   th a b s en ce   o f   o s cillato r y   b eh av io r   ty p ically   ass o ciate d   with   h ig h er - o r d e r   s y s tem s .   tem p er atu r r esp o n s r esem b les a  f ir s t - o r d er   r esp o n s e.   I co u ld   n o b p h y s ically   co n s id er ed   s ec o n d - o r d er   s y s tem ,   as  th er is   n o   p o s s ib ilit y   o f   tem p er atu r e   o s cillatio n s   lik i n   m ec h a n ical  o r   elec tr ical  s y s tem s .   Ho wev er ,   th p u r p o s o f   co n s id er in g   h i g h er   o r d er s   ( 2   to   4 )   is   to   ev alu ate  th p o s s ib ilit y   o f   h av in g   h ig h er   p r ec is io n   m o d el ,   wh ich   is   p u r ely   m ath em atica m o d el  an d   n o n ec ess ar ily   attac h ed   t o   a   p h y s ical  r ea lity .   Ph y s ically ,   it   co u ld   b e   co n s id er ed   a   h ig h er - o r d e r   s y s tem   with   h ig h   d am p in g   v alu ( an   o v e r d am p ed   s y s tem ) .   T h is   is   p ar ti cu lar ly   u s ef u f o r   a   m o d el  th at  is   g o in g   to   b u s ed   s o lely   to   m o n ito r   th b a s elin tem p er atu r with   h ig h   p r ec is io n ,   with o u t   co n s id er in g   its   p o te n tial u s in   o p tim izatio n   m o d el  p u r p o s es.     Fig u r 4 ( a)   illu s tr ates  th esti m ated   tr an s f er   f u n ctio n   r esu lt  in   s y s tem   id en tific atio n   f o r   all  co m p o n en ts   with   th ch o ices   o f   p o le  n u m b e r .   T h s am F ig u r 4 ( b )   also   s h o ws  th p r o m p th at  g iv es  th m o d el  esti m atio n   er r o r .   T h e   e s tim atio n   o f   th e   tr an s f er   f u n ctio n   was  d o n e   with o u t   p r e p r o c ess in g   an d   s p litt in g   ex p er im en tal  d ata.   T h is   p r ac t ice  h as  b ee n   e m p lo y e d   b y   s e v er al  r esear ch er s   [ 3 1 ] - [ 3 3 ]   f o r   th esti m atio n   o f   tr an s f er   f u n ctio n   u s in g   s y s tem   id en tific atio n .   I is   ju s tifie d   b y   th lo m ea n   s q u ar ed   e r r o r   ( MSE )   r esu lt.  T h e   ch o ice  o f   l o wer   o r d er   ( u p   to   4 )   is   also   less   s en s itiv to   o v er f itti n g   t o   th ex tr em ely   d y n am ic  n o is es  in   tem p er atu r m ea s u r em en ts   o b s er v ed .   T h tab le  o n   th r ig h o f   Fig u r 4 ( a )   s h o ws  th e   m o d el  esti m atio n   u s in g   th t r an s f er   f u n cti o n   th at   th to o lb o x   f o u n d   f o r   d if f e r en m o to r   co m p o n en ts .   B y   r o w:  b r u s h ,   b ea r i n g ,   p er m an e n m a g n et,   an d   ca s in g ,   a n d   b y   co lu m n :   1 st   o r d er ,   2 nd   o r d er ,   3 rd   o r d er ,   an d   4 th   o r d er .   I t a ls o   p r o v id es th eq u atio n   o f   th tr an s f er   f u n ctio n   in   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t Vo l.  1 7 ,   No .   1 Ma r c h   20 2 6 :   95 - 1 06   100   th f o r m   o f   p o ly n o m ials   as  p r esen ted   in   ( 2 ) .   T h ese  o u tp u ts   ar g en er ated   f o r   o n o f   th s p ee d   p o in ts   th at  was   test ed .   T h id en tific atio n   p r o c ess   is   r ep ea ted   f o r   all  th s p ee d   p o in ts   test ed   f r o m   2 0 to   1 0 0 o f   th n o m in al  s p ee d   o f   th e   m o to r .   T h ese  m o d el  o u t p u ts   will  b e   later   p r esen ted   in   th r esu lt  ch ap te r .   T o   s elec th b est  m o d el   b etwe en   th o r d er   ch o ices,  th er r o r   o f   th m o d el  ev alu ated   will  b ass es s ed ,   wh ich   will  also   b p r esen ted   i n   th n ex t sectio n .           ( a)   ( b )     Fig u r 4 .   Ou t p u t o f   s y s tem   id en tific atio n   to o lb o x : ( a )   r esu lt e s tim atio n   tr an s f er   f u n ctio n   in   s y s tem   id en tific atio n   an d   ( b )   e r r o r   o f   esti m atio n   p r o m p t       2. 4   Sy s t e m   lin ea rit y   a na l y s is   Fro m   th tr a n s f er   f u n ctio n s   g en er ated   b y   th s y s tem   id e n tif icatio n ,   th p o le  v alu es  ar e   ex tr ac ted   b y   ac k n o wled g i n g   th at  a n y   t r an s f er   f u n ctio n   wr itten   i n   p o l y n o m ial  f o r m   o f     ( ) = k   N ( )    ( )   ca n   b d ec o m p o s ed   as sh o wn   in   ( 3 )       ( ) = k   N ( )    ( ) =   ( 1    ) ( 2    ) ( 1    ) ( 1    ) ( 2    ) ( 3    )   ( 3 )     W h er k   N ( )   is   th ze r o   f u n ctio n   f o r   th co m p o n e n   at  s p ee d     ( )   is   th p o le  f u n ctio n   f o r   th co m p o n en   at  s p ee d       is   th e   g ain ,   1     to   3     th ze r o   v alu es,  an d   1     to   3     ar th p o le   v alu es.  T h n u m b er   o f   p o les d ep en d s ,   o f   co u r s e ,   o n   th e   o r d e r   o f   th e   tr an s f er   f u n ctio n   ch o s en .   T h p o les  ex tr ac ted   ar th e n   p lo tted   o n   th s - p lan to   b o b s er v ed .   Fig u r 5   s h o ws  p z p lo t   ex am p le  f o r   th e   co m p o n e n b r u s h ,   c o m p o n e n wh er t h er r o r   o f   th m o d el  esti m atio n   i n d icate s   th at  th 3 rd   o r d e r   is   th b est  o r d er   to   r ep r esen t   its   tem p er atu r e   r esp o n s e.   No tice  th at  th b r u s h   h as  th r ee   p o les  r ep r esen ted   as  “X”   f o r   ev er y   n o m i n al  s p ee d .   T h p o les  o f   th b r u s h   ar c o l o r - co d ed   to   r ep r esen th eir   n o m in al  s p ee d .   R ed   in d icate s   2 0 %,  b lu in d icate s   4 0 %,  g r ee n   in d icate s   6 0 %,  y el lo in d icate s   8 0 %,  an d   p u r p le   in d icate s   1 0 0 o f   th n o m in al  s p ee d .   T h p o le  o n   th e   x - a x is   is   r ea l   p o le ,   wh i le  th y - ax is   r e p r esen ts   c o m p lex   co n ju g ate   p air   o f   p o les.  All  th e   b r u s h   p o les  o n   th e   co m p lex   s - p lan e   ar e   in   th le f t - h alf   p lan e,   wh ich   m e an s   th ey   ar e   in   t h e   s tab le  r eg io n .   Als o ,   t y p ical  th ir d - o r d er   t r an s f er   f u n ctio n   m ay   h a v o n r ea l   p o le   an d   a   co m p lex   co n ju g ate   p o le  p ai r ,   wh ic h   is   th n ec ess ar y   a n d   s u f f icien c o n d itio n   t o   h a v r e al - v alu ed   co e f f icien t s   in   th e   d if f e r en tial  eq u atio n   r ep r esen tin g   th s y s tem .   T h er ar n o   ze r o s   r ep r esen ted   as  “O”   in   th s - p lan e   g r ap h   b ec a u s e,   as  m en tio n ed   b e f o r e,   th i d en tifi ed   tr an s f er   f u n ctio n   was  ch o s en   to   h av n o   ze r o s   f o r   all  co m p o n e n ts ,   in clu d in g   th b r u s h ,   b ea r in g ,   p e r m an en m ag n et,   an d   ca s in g .     On ce   th v alu es  o f   th p o les  ar f o u n d ,   th v ar ian ce   v alu es  b etwe en   th p o les  ar d ed u ce d .   I is   ca lcu lated   b y   f in d i n g   th e   s q u ar ed   d if f er en ce   o f   e ac h   d ata  p o in f r o m   t h m ea n   an d   th e n   d iv id i n g   it  b y   th e   n u m b er   o f   d ata  p o in ts .   I is   u s ed   to   co m p ar th s p r ea d   o r   d is p er s io n   o f   d if f er en d ata,   i n   th is   ca s e,   th p o le  v alu es.  T o   ca lcu late  it,   th m ea n   v alu e ,   ̅ ̅ ̅   is   f ir s ca lcu lated   b y   ( 4 ) ,   th en   th v ar ian ce ,   2   u s in g   in   ( 5 ) .   T h e   co ef f icien o f   v a r iatio n ,   C V ,   wh ich   co m p ar es  th s tan d ar d   d ev iatio n   to   th m ea n   v al u o f   th p o le ,   is   also   th en   ca lcu lated   to   ass es s   h o w   f ar   th s p r ea d   is   f r o m   th m ea n   v alu o f   th p o le  u s in g   ( 6 with       is   th tr an s f er   f u n ctio n   o f   th e   co m p o n en   at  s p ee d     to      ar t h m in im u m   t o   th e   m ax im u m   s p ee d   at  wh ich   th tr an s f er   f u n ctio n s   wer id en tifie d ,   a n d     th n u m b er   o f   s p ee d s   test ed .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t     I SS N:   2088 - 8 6 9 4       Lin ea r ity  a n a lysi s   o f a   b r u s h e d   DC   ma ch in th erma l sys tem   in   r esp o n s to   s p ee d   in p u t     ( M.  S .   Ma t J a h a k )   101   ̅ ̅ ̅ =         ( 4 )   2 = (    ̅ ̅ ̅ ̅ )      ( 5 )      = 2 ̅ ̅ ̅   ( 6 )           Fig u r 5 .   S - p la n g r a p h   o f   p o le  b r u s h       3.   RE SU L T S     I n   th is   s ec tio n ,   th r esu lt  will  b p r esen ted   i n   two   p ar ts .   T h f ir s o n will  p r esen th e   id en tifie d   tr an s f er   f u n ctio n s   an d   d is cu s s   th ch o ice  o f   o r d er   ch o s en   f o r   ea ch   co m p o n en t.  T h en ,   th s ec o n d   p ar will  p r esen t th lin ea r ity   a n aly s is   o f   th tr an s f er   f u n ctio n s   o f   ea c h   co m p o n en t a s   th m o to r   s p ee d   ch an g es.     3 . 1 .   I dentif ied t ra ns f er   f un ct io n   F o l l o w i n g   t h e   i d e n ti f i c a ti o n   p r o c e s s   u s i n g   t h e   i d e n t i f i c at i o n   t o o l b o x ,   t h e   b e s t   o r d e r   t o   r e p r e s e n t   t h e   t e m p e r a t u r e   r es p o n s e   o f   e a c h   m o t o r s   c o m p o n e n t   i s   t o   b e   c h o s e n .   T a b l es   4   t o   7   b e l o w   s h o w   t h e   t r a n s f e r   f u n c t i o n   o b t a i n e d   a n d   t h e   e s ti m a t i o n   e r r o r   f o r   e a c h   c h o i c e   o f   p o l e   n u m b e r   a t   d i f f e r e n t   s p e e d s   t es t e d   f o r   t h e   b r u s h .   T h b est  m o d el  is   ch o s en   b y   s elec tin g   th m o d el  with   th lo west  MSE   er r o r   ac r o s s   all  s p ee d s .   I n ter esti n g ly ,   th 1 - p o le  m o d el  an d   3 - p o le  m o d el  co n s is ten tly   h av th lo west  MSE   er r o r   f o r   all  s p ee d   r an g es.  T o   ch o o s b etwe en   th ese  two   p o le  n u m b er s ,   an   o b s er v atio n   at  th s p ee d   o f   6 0 % sh o ws th at  th 3 - p o le  m o d el  h as a   lo wer   m ax im u m   MSE   e r r o r   th an   th e   1 - p o le  m o d el,   r esp ec tiv ely   at  0 . 4 1   an d   0 . 6 5 .   T h is   s h o ws  th e   p o le  3 - p o le   m o d el  is   b etter   o r d er   f o r   th e   id en ti f ied   tr an s f er   f u n ctio n   m o d el,   an d   th u s   is   s elec ted   to   r ep r es en th tem p e r atu r e   r esp o n s o f   th co m p o n en b r u s h .   T h 2 - p o le  an d   4 - p o le  m o d els  ar to o   f ar   f r o m   b ei n g   p r ec is e ,   with   h u g MSE   er r o r   o b s er v ed .   As  f o r   o th er   co m p o n en ts   o t h er   t h an   th b r u s h ,   a   f ir s t - o r d er   tr an s f er   f u n ctio n   was   f o u n d   to   b th m o s p r ec is e.   T h e   v alu es  o f   th p o les  o f   th ch o s en   tr an s f er   f u n ctio n   will  b p r esen ted   in   th n e x s ec tio n   f o r   all  co m p o n e n ts   f o r   lin ea r ity   an aly s is .         T ab le  4.   1 - p o le  tr a n s f er   f u n cti o n   m o d el   P o l e   n o .   S p e e d   Tr a n sf e r   f u n c t i o n   M S e r r o r   1   20   2 . 557e 4 s   +   3 . 102e 4   0 . 3 2 0 2     40   2 . 454 e 4 s   +   5 . 232e 4   0 . 2 4 7 5     60   1 . 781e 4 s   +   5 . 156e 4   0 . 6 5 0 4     80   1 . 396 e 4 s   +   6 . 072e 4   0 . 3 0 4 2     1 0 0   8 . 05 5 s   +   5 . 412e 4   0 . 1 7 9 4     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t Vo l.  1 7 ,   No .   1 Ma r c h   20 2 6 :   95 - 1 06   102   T ab le  5 . 2 - p o le  tr a n s f er   f u n cti o n   m o d el   P o l e   n o .   S p e e d   Tr a n sf e r   f u n c t i o n   M S e r r o r   2   20   6 . 06 8 s 2 +   1 . 757e 3   s   +   3 . 557e 14   1 1 3 . 9     40   4 . 607 7 s 2 +   1 . 908e 2   s   +   1 . 377e 10   2 4 . 2 3     60   3 . 215 7 s 2 +   1 . 806e 2   s   +   7 . 993e 11   3 0 . 1 6     80   3 . 487 7 s 2 +   2 . 883e 2   s   +   8 . 761e 8   2 6 . 9 6     1 0 0   2 . 001 7 s 2 +   2 . 521e 2   s   +   2 . 512e 9   1 7 . 9 1       T ab le  6 3 - p o le  tr a n s f er   f u n cti o n   m o d el   P o l e   n o .   S p e e d   Tr a n sf e r   F u n c t i o n   M S e r r o r   3   20   2 . 671 9 s 3 +   4 . 09e 3   s 2 +   1 . 184e 5   s   +   3 . 223e 9   0 . 2 3 6 6   40   4 . 188 9 s 3 +   4 . 751e 3   s 2 +   1 . 919e 5   s   +   8 . 929e 9   0 . 1 4 5 8   60   7 . 463 9 s 3 +   8 . 589e 3   s 2 +   4 . 725e 5   s   +   2 . 154e 8   0 . 4 1 3 4   80   1 . 862 9   s 3 +   8 . 062e 3   s 2 +   1 . 86e 5   s   +   8 . 066e 9   0 . 2 5 2 5   1 0 0   6 . 679 10 s 3 +   6707e 3   s 2 +   1 . 198e 5   s   +   4 . 473e 9   0 . 1 5 3 3       T ab le  7 4 - p o le  tr a n s f er   f u n cti o n   m o d el   P o l e   n o .   S p e e d   Tr a n sf e r   f u n c t i o n   M S e r r o r   4   20   1 . 997e 13 s 4 +   1 . 975e 3   s 3 +   7 . 221e 6   s 2 +   9 . 242e 9   s   +   2 . 108e 22   8 9 . 8 2   40   1 . 412 12 s 4 +   1 . 125e 2   s 3 +   3 . 639e 5   s 2 +   4 . 029e 8   s   +   2 . 204e 12   4 . 9 4 2   60   5 . 26 13 s 4 +   7 . 546e 3   s 3 +   1 . 794e 5   s 2 +   1 . 816e 8   s   +   1 . 169e 12   6 . 9 9 5   80   4 . 613 13   s 4 +   6 . 91e 3   s 3 +   1 . 931e 5   s 2 +   1 . 752e 8   s   +   1 . 778e 12   1 . 6 7   1 0 0   9 . 125 14 s 4 +   3 . 578e 3   s 3 +   4 . 885e 6   s 2 +   1 . 353e 8   s   +   7 . 936e 21   1 8 . 1 7       3 . 2 .   Sy s t e m   lin ea rit y   a na l y s is   Fig u r 5   f r o m   s ec tio n   3 . 2   p r e v io u s ly   illu s tr ates  th p l o o f   th p o le   lo ca tio n   o n   th s - p lan f o r   th e   b r u s h   ( r e p r esen tin g   3 r d - o r d e r   m o d el) .   I n   b o th   ca s es.  T h o r d er   o f   m ag n itu d o f   t h v alu e s   o f   th p o les  is   in   th o r d e r   o f   10 3 .   Fro m   th e   an aly s i s   of   o th e r   co m p o n e n ts ,   s im ilar   o r d er   o f   m a g n itu d e   o f   th p o les  was  also   o b s er v ed .   T h is   m ay   allo an   ass u m p tio n   th at  th p o les  ar s o   clo s to   ea ch   o th er   th at  th ey   ar th s am e ,   an d   th s y s tem   is   L T I .   T o   q u an tita tiv ely   ev alu ate  th e   s p r ea d   o f   t h p o les’  v alu es,  th v a r ian ce   an d   co e f f icien ts   o f   v ar iatio n   C f o r   all  c o m p o n en ts   at  all  s p ee d s   ar co m p u ted   a n d   r ep o r ted   i n   T ab les  8   a n d   9       T ab le  8 .   Po le  p o s itio n ,   av er a g e,   an d   v ar ian ce   f o r   th c o m p o n en t b r u s h   P a r a me t e r     1     2     3   S p e e d   20   1 . 89 3 + 2 . 67 3   1 . 89 3 2 . 67 3   3 . 0 4   40   2 . 11 3 + 3 . 54 3   2 . 11 3 3 . 54 3   5 . 26 4   60   4 . 05 3 + 5 . 18 3   4 . 05 3 5 . 18 3   4 . 98 4   80   3 . 75 3 + 5 . 73 3   3 . 75 3 5 . 73 3   5 . 6 4   1 0 0   3 . 98 3   2 . 22 3   5 . 06 4     ̅ ̅ ̅ ̅   3 . 2 3 + 2 . 4 3   2 . 8 3 2 . 4 3   4 . 78 4   2   5 . 68 6   5 . 57 6   1 . 04 8   CV   0 . 74   0 . 84   0 . 22   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t     I SS N:   2088 - 8 6 9 4       Lin ea r ity  a n a lysi s   o f a   b r u s h e d   DC   ma ch in th erma l sys tem   in   r esp o n s to   s p ee d   in p u t     ( M.  S .   Ma t J a h a k )   103   T ab le  9 .   Po le  p o s itio n ,   av er a g e,   an d   v ar ian ce   f o r   th c o m p o n en t b ea r in g ,   p e r m an e n t m ag n et,   an d   ca s in g   P a r a me t e r         .           S p e e d   20   3 . 31 4   3 . 4 4   3 . 42 4   40   5 . 09 4   5 . 0 8 4   5 . 10 4   60   4 . 99 4   4 . 9 4 4   4 . 95 4   80   5 . 84 4   5 . 8 2 4   5 . 87 4   1 0 0   5 . 28 4   5 . 2 2 4   5 . 27 4     ̅ ̅ ̅ ̅   4 . 90 4   4 . 8 9 4   4 . 92 4   2   8 . 97 9   8 . 0 5 9   8 . 31 9   CV   0 . 1 9   0 . 1 8   0 . 1 9       Fro m   T ab les  8   an d   9 ,   th s m all  v alu es  o f   v ar ian ce   s h o u ld   n o b e   m is tak en   f o r   a   s m all  s p r ea d .   T h e   C v alu f o r   th b r u s h   co m p o n en is   esp ec ially   h ig h   wh er m ax im u m   v alu o f   0 . 8 4 .   I n   p er ce n tag e ,   it  is   tr an s lated   to   8 2 % ,   wh ich   m ea n s   th s tan d ar d   d ev iatio n   is   at  8 2 eq u al  to   th m ea n .   T h is   lev el  o f   v ar iab ilit y   is   s ig n if ican b ec au s it  m ea n s   th at  th d ata  p o in ts   ar s p r ea d   o u o v er   wid r an g r e lativ to   th m ea n .   Oth er   C Vs   f o r   o th er   c o m p o n en ts   wer also   r ec o r d e d   at  c lo s to   0 . 2   o r   clo s to   2 0 % ,   wh ich   s ig n if ies  r elativ ely   h ig h   v ar iab ilit y .   Fr o m   th p o le  v ar ian ce s   o b s er v atio n   f o r   d ata  f r o m   d if f er e n s p ee d s ,   it  ca n   b ass u m ed   th at  th th er m al  s y s te m   o f   th DC   m ac h i n is   n o t li n ea r ,   th u s   n o n - L T I .       4.   DIS CU SS I O N   4 . 1 .     I dentif ied t ra ns f er   f un ct io ns   T h m o d el  esti m atio n   p r o ce s s   in d icate d   th at  th ir d - o r d er   tr an s f er   f u n ctio n   p r o v id e d   th b est  f it  f o r   th b r u s h   co m p o n en t,  with   m in im al  MSE   ac r o s s   all  s p ee d s .   I n   co n t r ast,  th ca s in g ,   b ea r i n g ,   an d   p er m a n en t   m ag n et  wer ad eq u ately   m o d eled   u s in g   f ir s t - o r d er   tr a n s f er   f u n ctio n s .   T h is   v ar iatio n   in   m o d el  co m p le x ity   s u g g ests   th at  d if f er e n m o to r   co m p o n en ts   ex h ib it  d is tin ct  th er m al  b e h av io r s ,   lik ely   i n f lu en ce d   b y   th eir   p h y s ical  s tr u ctu r an d   p r o x im i ty   to   h ea t - g e n er atin g   s o u r ce s .   T h ch o ice  o f   tr a n s f er   f u n ctio n   o r d er   also   h ig h lig h ts   an   im p o r tan b alan ce   b etwe en   m o d el   ac cu r ac y   an d   s tab ilit y .   W h ile  h ig h er - o r d er   m o d els  co u ld   ca p tu r th e   th er m al  d y n am ics  ac cu r ately ,   t h ey   r is k   o v er f itti n g ,   as  s ee n   in   in itial  tr ials   with   f o u r th - o r d er   m o d els,  wh ich   r e s u lted   in   h ig h er   MSE .   T h e   o b s er v ed   s tab ilit y   o f   f ir s t -   an d   th ir d - o r d er   m o d els  d em o n s tr ates  th s u itab ilit y   o f   t h ese  o r d e r s   f o r   p r ac tical  ap p li ca tio n s .   T h is   c o u ld   p r o d u ce   r eliab le  y et  co m p u tat io n ally   ef f icien th er m al  m o d elin g .   W h ile  th is   s tu d y   f o cu s es  o n   m o d els  u p   to   f o u r th   o r d er ,   f u tu r wo r k   co u l d   ex p lo r tech n i q u es lik cr o s s - v alid atio n   an d   r eg u lar izatio n   to   ev alu ate  h ig h er - o r d er   m o d els wh ile  m itig atin g   o v er f itti n g .     4 . 2 .     Co e f f icient   o f   v a ria t io ( CV)   a na ly s is   T h e   co ef f icien o f   v ar iatio n   ( C V)   was  co m p u ted   f o r   th e   p o les  o f   th id e n tifie d   tr an s f er   f u n ctio n s   to   ass es s   th v ar iab ilit y   o f   th er m al  r esp o n s ac r o s s   d if f er en t   s p ee d s .   E s p ec ially   f o r   th b r u s h ,   th co m p o n en t   ex h ib ited   t h h i g h est  C V,   with   v alu es  r ea ch in g   0 . 8 4 ,   in d ica tin g   s ig n if ican t   d ev iatio n s   f r o m   lin ea r   b e h av io r .   T h is   h ig h   v ar iab ilit y   s u g g ests   th at  th th er m al  r esp o n s o f   th b r u s h   is   h ig h ly   s en s itiv to   ch an g es  in   s p ee d ,   lik ely   d u e   to   its   d ir ec t   in ter ac tio n   with   t h c o m m u tato r ,   wh er f r ictio n al  h ea t   g e n er atio n   is   n o n - lin ea r .   T h e   m o d elin g   th r o u g h   tr an s f er   f u n ctio n   o v e r s im p lifie s   th th er m al  s y s tem   an d   is   u n f it  to   r ep r esen th tem p er atu r r esp o n s o f   th b r u s h .   I n   co n tr ast,  th e   ca s in g   a n d   b ea r i n g   s h o we d   m u c h   lo w er   C v alu es  ( 0 . 1 8 - 0 . 1 9 ) ,   r ef lectin g   m o r e   s tab le  th er m al  d y n am ics an d   a   clo s er   alig n m en t w ith   lin ea r   ass u m p t io n s .   T h d is p ar ity   in   C v alu es a m o n g   co m p o n e n ts   r ein f o r ce s   th n ee d   f o r   v ar iab le  o r   ad ap tiv e   m o d elin g   ap p r o ac h es.  W h ile  f ir s t - o r d e r   tr an s f er   f u n ctio n s   s u f f ice  f o r   co m p o n en ts   with   l o C V,   th b r u s h s   h ig h   v ar iab ilit y   s u g g ests   th at  lin ea r   m o d els  m ay   in a d eq u ately   ca p tu r its   th er m al  b eh a v io r .   T h is   n ec ess itates   f u r th er   e x p lo r atio n   o f   n o n - lin e ar   th er m al  m o d els,  s u ch   as h ig h er - o r d er   tr an s f er   f u n ctio n s   o r   th er m al  n etwo r k s ,   to   im p r o v ac cu r ac y   f o r   co m p o n en ts   with   co m p le x   d y n am ic s .     4 . 3 .     L im it a t io ns   o f   t he  lin ea m o del    T h is   f in d in g   o f   h ig h   v a r iab ilit y   im p licates  th lim itatio n   o f   lin ea r   m o d els .   T h ey   ar u n ab l to   f u lly   ca p tu r th c o m p lex   a n d   n o n - lin ea r   d y n am ics  o f   h ea t   g en er atio n   a n d   d is s ip atio n   in   ce r tain   m o to r   co m p o n en ts .   Fo r   ex am p le,   th b r u s h ,   wh ich   in ter ac ts   d ir ec tly   with   th co m m u tato r ,   ex p er ien ce s   f r ictio n al   h ea g en er atio n   th at  is   in h er en tly   n o n - lin ea r ,   p ar ticu lar ly   u n d er   v ar y i n g   s p ee d s   an d   o p er ati n g   co n d itio n s .   T h is   is   m ad m o r o b v i o u s   an d   h ig h lig h ted   at  th e   no - l o ad   c o n d iti o n ,   wh er e   th co p p er   lo s s es   g en er ated   h ea is   at  m in im u m .   T o   ad d r ess   th ese  lim itatio n s ,   f u tu r r esear c h   s h o u ld   ex p lo r e   n o n lin ea r   th er m al   m o d els  ca p ab le   o f   ca p tu r in g   th c o m p lex   d y n a m ics  o f   h ea tr an s f er .   On o b v io u s   p o ten tial  ap p r o ac h ,   c o n tin u in g   th s p ir it  o f   u s in g   tr an s f er   f u n ctio n ,   is   b y   d e v elo p in g   a   n o n lin ea r   o r   a d ap tiv tr a n s f er   f u n ctio n .   n ew  ad ap tiv e   tr an s f e r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 6 9 4   I n t J Po E lec  &   Dr i Sy s t Vo l.  1 7 ,   No .   1 Ma r c h   20 2 6 :   95 - 1 06   104   f u n ctio n   th at  ch an g es  its   p o l v alu es  as  a   f u n ctio n   o f   s p ee d   m ay   b etter   r ep licate  th d y n am ic  b e h av io r .   Ho wev er ,   lo t m o r s am p lin g   o f   th tem p er atu r e   r esp o n s a d if f er en s p ee d s   is   f ir s t   n ee d ed   to   m ak e   s u r th e   m o d el  is   ac cu r ate.   T h en ,   f u n ctio n   th at  r elate s   th s p ee d s   an d   th p o le  v alu es  s h o u ld   b i d en tifie d ,   b ef o r th e   f u n ctio n   ca n   b u s ed   to   p r o v id th v ar iab le  p o le  v al u to   th ad ap tiv tr a n s f er   f u n ctio n .   Oth er   s o lu tio n s ,   esp ec ially   th lu m p ed   p ar a m eter   th er m al  n etwo r k ,   wer u s ed   in   th liter atu r e   with   lo s s es  o r   th er m al   p ar am eter s   b ein g   v ar iab le   an d   m o d if ie d   u s in g   t h f ee d b ac k   o f   s p ee d .   Ho wev e r ,   th n a tu r o f   t h m o d el ,   h av in g   m u ltip le  n o d es  an d   m u ltip le  in p u lo s s es  ca lcu latio n ,   m ak es  it  m o r e   co m p le x   to   d ev elo p   a n d   r e q u ir es   s lig h tly   m o r co m p u tatio n al  r eso u r ce s .   An o th er   lim itatio n   is   r elate d   t o   th s tead y - s tate  f o cu s ed   s tu d y .   W h ile  th is   s tu d y   f o cu s ed   o n   s tead y - s tate  co n d itio n s   u n d er   n o - lo a d   o p er atio n ,   th f in d in g s   lay   th g r o u n d wo r k   f o r   f u r th er   e x p lo r atio n   o f   m o to r   th er m al  b eh av io r   in   d y n a m ic  en v ir o n m en ts .   Sp ec if ically ,   f u tu r r esear ch   will  r ep licate  th m eth o d o lo g y   f o r   tr an s ien t p h ases ,   s u ch   as  s tar t - u p   o r   ac ce ler atio n ,   to   d e v elo p   co m p r eh e n s iv tr an s f er   f u n c tio n   th er m al  m o d el   th at  ac co u n ts   f o r   tim e - v ar y in g   th er m al  r esp o n s es.  Ad d itio n al ly ,   s tu d ies  in co r p o r atin g   lo a d e d   co n d itio n s   co u ld   p r o v id e   v alu a b le  in s ig h ts   in t o   th in te r ac tio n   b etwe en   s p ee d -   an d   lo a d - d e p en d e n tem p er atu r i n cr ea s es,  f u r th er   e n h an ci n g   th a p p licab ilit y   o f   th er m al  m o d els in   r ea l - wo r ld   m o to r   h ea lth   m o n ito r i n g   s y s tem s .       5.   CO NCLU SI O N   I n   th is   s tu d y ,   th lin ea r ity   o f   th th er m al  s y s tem   o f   a   b r u s h ed   d c   m ac h in e   is   s tu d ied   u s in g   th e   tr an s f er   f u n ctio n   ac r o s s   v ar y in g   s p ee d s .   T h r esu lts   d em o n s tr ate  th at  th th er m al  r esp o n s o f   m o to r   co m p o n en ts   v ar ies s ig n if ican tly ,   with   C v alu es r an g in g   f r o m   0 . 1 8   f o r   th ca s in g   t o   0 . 8 4   f o r   th b r u s h .   T h ese   f in d in g s   s h o w   s ig n if ican d e v iatio n s   f r o m   lin ea r ity ,   p ar ticu l ar ly   f o r   th b r u s h   co m p o n en t,   in d icatin g   th at  th e   s y s tem   is   n o n - lin ea r   an d   s in g le  lin ea r   tr an s f er   f u n ctio n   m a y   n o t a d eq u ately   m o d el  th e   th er m al  s y s tem .   T h k ey   c o n tr ib u ti o n s   o f   th i s   r esear ch   in clu d th d e v el o p m en o f   s y s tem atic  f r am ewo r k   f o r   ass es s in g   th er m al  r esp o n s v a r iab ilit y   u s in g   tr a n s f er   f u n ctio n s   an d   C an aly s is .   T h e   d em o n s tr ated   v ar ia b ilit y   in   th er m al  r esp o n s s u g g ests   th at  m o n ito r in g   s o lu tio n s   m u s ac co u n f o r   n o n - lin ea r   b eh av io r   in   cr itical  co m p o n en ts   to   im p r o v e   f au lt   d etec tio n   ac c u r ac y .   I also   h ig h lig h ts   th p o ten tial  o f   tr an s f er   f u n ctio n s   as  a   co m p u tatio n ally   ef f icien t to o f o r   th er m al  m o d elin g   in   r eso u r ce - co n s tr ain ed   a p p licatio n s .         ACK NO WL E DG E M E NT   T h au th o r s   wo u ld   lik to   ac k n o wled g t h f in a n cial  s u p p o r b y   Un i v er s iti  Ma lay s ia  P ah an g   Al - Su ltan   Ab d u llah   u n d er   th F u n d am e n tal  R esear ch   Gr an No .   PDU2 3 3 2 1 0   an d   t h Po s tg r ad u ate  R esear ch   Gr an t Sch em PGR S2 3 0 3 2 4 .       F UNDING   I NF O R M A T I O N   T h s tu d y   was  f u n d ed   b y   Un iv er s iti  Ma lay s ia  Pah an g   Al - Su ltan   Ab d u llah   u n d er   t h F u n d am e n tal   R esear ch   Gr an t N o .   PDU2 3 3 2 1 0   an d   th Po s tg r ad u ate  R esear ch   Gr an t Sch em e   PGR S2 3 0 3 2 4 .       AUTHO CO NT RI B UT I O NS ST A T E M E N T   T h is   jo u r n al  u s es  th C o n tr ib u to r   R o les  T ax o n o m y   ( C R ed iT)   to   r ec o g n ize  in d iv id u al  au th o r   co n tr ib u tio n s ,   r ed u ce   au th o r s h ip   d is p u tes,  an d   f ac ilit ate  co llab o r atio n .       Na m o f   Aut ho r   C   M   So   Va   Fo   I   R   D   O   E   Vi   Su   P   Fu   M.   S.  Ma t Jah ak                               M.   A.   H.   R asid                                   C     C o n c e p t u a l i z a t i o n   M     M e t h o d o l o g y   So     So f t w a r e   Va     Va l i d a t i o n   Fo     Fo r mal   a n a l y s i s   I     I n v e s t i g a t i o n   R     R e so u r c e s   D   :   D a t a   C u r a t i o n   O   :   W r i t i n g   -   O r i g i n a l   D r a f t   E   :   W r i t i n g   -   R e v i e w   &   E d i t i n g   Vi     Vi su a l i z a t i o n   Su     Su p e r v i s i o n   P     P r o j e c t   a d mi n i st r a t i o n   Fu     Fu n d i n g   a c q u i si t i o n         CO NF L I C T   O F   I N T E R E S T   ST A T E M E NT   Au th o r s   s tate  n o   co n f lict o f   in t er est.   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.