I nte rna t io na l J o urna l o f   Rec o nfig ura ble a nd   E m be dd e d Sy s t e m s   ( I J R E S)   Vo l.  15 ,   No .   2 ,   J u ly   20 26 ,   p p .   269 ~ 2 8 0   I SS N:  2089 - 4864 DOI 1 0 . 1 1 5 9 1 /i j r es . v 1 5 . i 2 . pp 2 6 9 - 280          269       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij r es.ia esco r e. co m   H ig h - pe rfor m a nc e appro x i m a te   M AC  m ul tiplier  usi ng   m a jori ty  lo g ic  co m press o rs   for C NNs       Selv a ra s a n Ra dh a k r is h na n 1, 2 ,   Su dh a g a G o v ind ha s w a my 1 ,   Ra s a du ra i K u m a ra v el 2   1 D e p a r t me n t   o f   E l e c t r o n i c s a n d   C o mm u n i c a t i o n   E n g i n e e r i n g ,   B h a r a t h   I n st i t u t e   o f   H i g h e r   Ed u c a t i o n   a n d   R e se a r c h ,   C h e n n a i ,   I n d i a   2 D e p ar t me n t   o f   E l e c t r o n i c s a n d   C o mm u n i c a t i o n   E n g i n e e r i n g ,   K u p p a m E n g i n e e r i n g   C o l l e g e ,   K u p p a m ,   I n d i a       Art icle  I nfo     AB ST RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   No v   2 8 ,   2 0 2 5   R ev i s ed   Ma r   6 ,   2 0 2 6   A cc ep ted   Ma y   3 0 ,   2 0 2 6       T h is  re se a rc h   p re se n ts  a n   o p ti m iz e d   m u lt ip le  a c c u m u late   (M A C)  u n it   m u lt ip li e d e sig n   f o e ff icie n t   c o n v o lu ti o n a n e u ra n e tw o rk   (CNN o p e ra ti o n s.  T h is  d e sig n   m a in l y   f o c u se o n   m a k in g   th e   m u lt ip li e s y ste m s m a ll e b y   u sin g   a p p ro x im a t e   m a jo rit y   c o m p re ss o m e th o d in st e a d   o f   th e   u su a a n d   trad it i o n a a p p r o x im a te  m e th o d s.  T h e   trad it i o n a a p p ro x im a t e   m u lt ip li e c o m p re ss o tec h n iq u e a r e   lea d to   in c re a se in   l o g ic  si z e ,   c rit ica p a th   d e lay ,   a n d   p o w e c o n su m p ti o n h o w e v e r,   th e   p ro p o se d   re se a rc h   m it ig a tes   th e se   p ro b lem a n d   so lv e th e m   w it h   a   n o v e lt y - b a se d   a p p r o a c h   in   th e   Da d d a   m u lt i p li e tec h n iq u e .   T h e   n o v e lt y   o f   th is  a p p ro a c h   is  to   r e d u c e   th e   n u m b e o f   sta g e in   th e   m u lt ip li e d e sig n   u sin g   4 :2 ,   5 : 2 ,   a n d   7 :2   c o m p re ss o rs.  T h is  c o m p re ss o is  d e sig n e d   w it h   a n   a p p ro x im a t e   m e th o d   u sin g   m a jo rit y   lo g ic;  c o m p a r e d   to   th is  trad it i o n a l   m e th o d ,   t h e   p ro p o se d   m a jo rit y   a p p ro x im a te  c o m p re ss o m e th o d   p ro c e ss e d   les e rr o d if fe re n c e in   m u lt ip li c a ti o n   o u t p u t .   T h e   p ro p o se d   a p p ro a c h e re su lt e d   i n   sig n if ica n t   re d u c ti o n i n   a re a ,   p o w e r,   a n d   d e la y   re lativ e   to   trad it io n a m u lt ip li e rs.  T h is  re se a rc h   c o m p a re d   se v e n   u n iq u e   c o m p a riso n o f   M A C - b a se d   m u lt ip li e a rc h it e c tu re ,   a n d   it   w il h a v e   b e e n   d e v e lo p e d   i n   V e ril o g   h a rd w a re   d e sc rip ti o n   lan g u a g e   (HD L )   a n d   s y n th e siz e d   o n   th e   X il i n x   V e rtex - 5   F P G A ,   p ro v id i n g   re d u c ti o n s   o f   5 8 . 4 %   i n   lo o k u p   tab le  (L UT )   a n d   7 6 . 2 %   in   o c c u p ie d   slice s ,   a n d   p r o v in g   les p o w e c o n su m p ti o n .   T h is   d e sig n   is  a   h ig h l y   su it a b le  a p p ro a c h   f o re a l - ti m e   C NN   a n d   d ig it a sig n a p ro c e ss i n g   ( DSP a p p li c a ti o n s .   K ey w o r d s :   A p p r o x i m ate  m u lt ip lier   C o n v o lu tio n al  n e u r al  n e t w o r k   Dad d m u ltip lier   Fu ll a d d er   Mu ltip le  ac c u m u late   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Selv ar asa n   R ad h ak r i s h n a n   Dep ar t m en t o f   E lectr o n ics a n d   C o m m u n icat io n   E n g i n ee r in g   B h ar ath   I n s tit u te  o f   Hi g h er   E d u ca tio n   a n d   R esear c h   C h e n n ai,   I n d ia   E m ail:  ar asa n ec e @ g m ail. co m       1.   I NT RO D UCT I O N   T h co n v o lu tio n al  n eu r al  n e t w o r k   ( C NN)   w il p r io r itize  ad v an ce m e n t s   in   th late s t   ar tif icial   in telli g e n ce   an d   m ac h i n lear n in g   tec h n iq u es,  b ased   o n   n u m er o u s   ap p licatio n s .   T h ese  ap p licatio n s   in cl u d e   o b j ec d etec tio n ,   im a g i m p r o v e m e n t,  m ed ical  i m ag d ia g n o s tics ,   an d   o th er   s i m ilar   ap p licatio n s   [ 1 ] ,   [ 2 ] Her e,   C NN  is   p ar tic u lar l y   s k il led   in   th p r o ce s s   o f   ex tr ac t in g   i m ag f ea t u r es  f r o m   h ig h - d i m en s io n a d ata,   an d   it  ca n   f ac ili tate  th p r o d u ctio n   o f   ex ac d ec is io n s   in   r ea l - t i m i m ag ap p licatio n s   [ 3 ] .   I n   p ar ticu lar ,   th ese   ap p licatio n s   r eq u ir ed   h ar d w ar ac ce ler ato r s   th at  w er ab le  to   s u cc ess f u ll y   m a n a g th p r o ce s s in g   n ee d s   o f   C NN  o p er atio n s .   E m p lo y in g   th e m   i n   co n j u n ctio n   w ith   ed g co m p u ti n g   en v ir o n m e n ts   w as  p ar ticu lar l y   ef f ec tiv e   [ 1 ] ,   [ 2 ] .   I is   also   p o s s ib le  to   co m b i n t h e   m u ltip le  ac c u m u la te   ( M A C )   o p er atio n s   w it h   t h i s   tech n iq u to   b o o s th p e r f o r m an ce   o f   t h C NN  in   ter m s   o f   in cr ea s ed   s p ee d ,   an d   ef f icie n c y   i n   h ar d w ar w h ile  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 9 - 4864   I n t J   R ec o n f i g u r ab le  &   E m b ed d ed   Sy s t ,   Vo l.  15 ,   No .   2 J u l y   202 6 269 - 2 8 0   270   m ai n tai n in g   b alan ce d   er r o r   ac cu m u lat io n   in   t h M A C   o p er atio n s ,   as  d is cu s s ed   b y   P ar k   et  a l.   [ 4 ] ,   an d   also   ad d r ess ed   b y   E d av o o r   et   a l .   [ 5 ] ,   w h o   d esig n ed   ap p r o x i m ate  m u lt ip lier s   f o r   ef f icie n n e u r al  n et w o r k   ac ce ler atio n .   T h tr ad itio n al  m et h o d ,   w h ic h   u s es  p r ec is D ad d a,   W allac tr ee ,   an d   Ved ic  m u ltip lier s ,   u s u all y   lead s   to   m o r co m p licated   lo g ic  an d   h i g h er   p o w er   co n s u m p t io n   [ 6 ] [ 8 ] .   Fo r   in s tan ce ,   t h Dad d an d   W allac e   m u ltip lier s   w ill  r eq u ir s e v er a s tag es  f o r   th r ed u ctio n   o f   p ar tial  p r o d u cts,  an d   th W allac tr ee ,   in   p ar ticu lar ,   w il also   in te g r ate  w it h   p ar allel  p r ef ix   ad d er s   to   p r o v id v er y   f a s o p er atio n s ,   as  d is cu s s ed   b y     Mo m en i   et  a l.   [ 6 ] ,   an d   f u r th er   elab o r ated   b y   Stro llo   et  a l.   [ 7 ]   an d   J ian g   e a l.   [ 8 ] ,   w h o   an a l y ze d   th e   tr ad e - o f f s   b et w ee n   d if f er en t   m u lt ip lier   ar ch itect u r es.  T h f ac th at  th e s p r o ce s s es  w ill  ta k u p   s ev er al  lo g ical  ad d er s ,   h al f   ad d er s ,   an d   co m p r ess o r s   t y p icall y   r es u lt s   in   a n   i n cr ea s in   t h a m o u n o f   ar ea ,   d elay ,   a n d   p o w er   co n s u m p tio n .   T h ese  d etails  ab o u co m p r es s o r   an d   m u ltip lier   s tr u ctu r w er ex p lai n ed   b y   B ala  et  a l.   [ 9 ] ,   w it h   ad d itio n al  d is cu s s io n   b y   G h a s e m za d e h   et  a l.   [ 1 0 ]   an d   Fath et  a l.   [ 1 1 ] ,   w h o   f o cu s ed   o n   h i g h - s p ee d   an d   ef f icien co m p r ess o r   d esig n s .   I is   n ec es s ar y   f o r   th p r o p o s ed   ap p r o ac h   to   lo w er   th n u m b er   o f   lo g ic  g ate s   to   less e n   t h co m p le x it y   o f   t h l o g ic  s ize   [ 1 2 ] ,   [ 1 3 ] .   T h s ta n d ar d   ap p r o ac h   o f   f u ll  ad d er   w il n ee d   u p   to   f i v e   lo g ic  g ates,  an d   4 :2   co m p r es s o r s   w ill  u tili ze   u p   to   1 0   l o g ic  g ates,  s i m ilar l y ,   th p r o p o s e d   tech n iq u o f   an   ap p r o x im a te  m aj o r it y   ad d er   w il o cc u p y   o n l y   t w o   lo g ic   g ates,  an d   u s i n g   th is   ap p r o x i m ate  f u ll  ad d er   [ 1 4 ]   in   4 :2 ,   5 : 2 ,   an d   7 : 2   co m p r ess o r s ,   it  w ill  r ed u ce   n u m b er   o f   lo g ic  g ate s   an d   r ed u ce s   th co m p lex it y   o f   m u ltip licatio n .   T h g o al  o f   th is   s t u d y   i s   to   r ed u ce   m u lt ip licatio n   co m p le x it y   b y   u s i n g   m aj o r it y   lo g ic   co m p r es s o r s .   An   ad d itio n al  a s p ec t to   co n s id er   is   th m u ltip li er   d esig n   t h at  i n co r p o r ates M AC   ar ch itect u r e.   T h ap p licatio n s   o f   d ig ital  s ig n a p r o ce s s in g   ( DSP )   r eq u ir ca r ef u d esig n   an d   o p tim izatio n   to   r eso lv p o w er   s a v i n g   i s s u es  wh ile   m ai n tain in g   a n   ac ce p tab le  er r o r   r ate   [ 3 ] ,   [ 1 5 ] ,   [ 1 6 ] .   T h ev alu a tio n   o f   er r o r   m etr ics,  w h ic h   i n   t h i s   ca s i n clu d es   er r o r   r ate  ( E R %),   m ea n   er r o r   d is tan ce   ( ME D) ,   n o r m alize d   m ea n   er r o r   d is tan ce   ( NM E D ) ,   an d   m ea n   r elativ er r o r   d is tan ce   ( MR E D ) ,   is   d o n to   d em o n s tr ate   th ar ch itec tu r e 's   r esil ien ce   i n   s it u atio n s   w h er ap p r o x im a te  co m p u tatio n   i s   a cc ep tab le,   as  d escr ib ed   b y   Z e n d eg a n et  a l.   [ 1 5 ] an d   also   d is cu s s ed   b y   An s ar i   et  a l.   [ 3 ]   an d   Mr az ek   et  a l.   [ 1 6 ] ,   w h o   e v alu a ted   er r o r   m etr ics  f o r   v ar io u s   ap p r o x im a te  m u ltip lier s .   Deta iled   in f o r m at io n   o n   th p r ec is an d   p r o p o s ed   m aj o r ity   lo g ic  co m p r ess o r s   f o r   4 :2 ,   5 :2 ,   an d   7 :2   co n f ig u r atio n s   i s   p r o v id ed   in   th r e m a in i n g   p ar o f   th i s   s t u d y ,   w h ich   is   s ec tio n   1 .   Sectio n   2   d escr ib th o v er v ie w   o f   e x a ct  an d   ap p r o x i m ate  co m p r es s o r s ,   th r e m ai n d er   o f   t h is   p ap er   is   o r g an ized   as   f o llo w s .   Sectio n   p r esen ts   t h m e th o d o lo g y   f o r   th e x ac m u ltip lier   d esi g n   u s i n g   an   ap p r o x im a te  ad d er   ar ch itect u r e,   in clu d i n g   t h ar ch itect u r al  f r a m e w o r k   an d   o p er atio n al  p r in cip les.  Sectio n   4   d is cu s s es  t h e   ex p er i m e n tal  r es u lt s   an d   p er f o r m a n ce   e v alu a tio n ,   h ig h li g h t in g   th e f f ec ti v e n ess   o f   t h p r o p o s ed   d esig n   i n   ter m s   o f   ac c u r ac y ,   p o w er   co n s u m p t io n ,   ar ea   u tili za t io n ,   a n d   co m p u tatio n al   ef f icie n c y .   Fin a ll y ,   s ec tio n   5   co n clu d es t h p ap er   b y   s u m m ar izin g   t h k e y   f i n d in g s   a n d   o u tli n i n g   p o ten t ial  d ir ec tio n s   f o r   f u t u r r esear ch .       2.   O VE RVI E O F   E XACT A ND  AP P RO XIM AT E   CO M P RE SS O RS   C o m p r ess o r s   i m p r o v th d esi g n   o f   h ar d w ar b y   r ed u cin g   th n u m b er   o f   s ta g es  a n d   p ar tial   p r o d u cts   in   t h m u ltip licatio n   o p er atio n s ,   a s   d escr ib ed   b y   Z en d e g a n et  a l.   [ 1 5 ]   an d   E s p o s ito   e a l.   [ 1 7 ] .   I n   th is   co m p r es s o r   ar ch itectu r e,   th er e   ar tw o   ca teg o r ies  o f   t h d esig n e x ac an d   ap p r o x i m ate  m e th o d s ,   as  d is cu s s ed   b y   Mr az e k   et  a l.   [ 1 6 ] .   Du to   th f ac th a th e x ac co m p r ess o r   w ill  ta k u p   m o r lo g ic  ar ea ,   it  is   p r ef er r ed   f o r   ap p licatio n s   th at  r eq u ir h ig h er   lev el  o f   ac cu r ac y ,   as  ex p lain ed   b y   Mo m e n et  a l.   [ 6 ] .   Ho w e v er ,   in   m an y   ap p licatio n s ,   t h is   h i g h er   lev el   o f   ac cu r ac y   is   n o r eq u ir ed in s tead ,   th m ai n   p r io r it y   is   m i n i m izi n g   lo g ic   s ize   an d   p o w er   co n s u m p t io n .   Fo r   s u c h   ca s es,  ap p r o x i m ate  co m p r ess o r s   ar u tili ze d ,   as   r ep o r t ed   b y   Z en d e g an e t   a l.   [ 1 5 ]   an d   E s p o s ito   et  a l.   [ 1 7 ] .   A   f u n d a m e n tall y   w id e - r an g in g   ad d er - b ased   co m p r es s o r   d esig n   is   co m m o n l y   u s ed th co m p r es s o r   lo g ic  s i ze   d ep en d s   u p o n   th u n d er l y i n g   ad d er   d esig n .   W h e n   th a d d er   o cc u p ies  m o r e   lo g ic,   th co m p r ess o r   also   in c r ea s es  in   lo g ic  a n d   p o w er   co n s u m p tio n .   T o   ad d r ess   th is ,   w e   in tr o d u ce d   n o v el   ad d er   a r ch itectu r in   t h i s   d esig n ,   w h ich   m i n i m izes  lo g ic  s iz an d   also   in tr o d u ce s   ap p r o x im atio n   i n   th o u tp u t,   as  s ee n   in   th w o r k s   o f   E d a v o o r   et  a l.   [ 5 ]   an d   Stro llo   et  a l.   [ 7 ] .   A d d itio n all y ,   t h i s   ap p r o ac h   m i n i m ize s   th e   co m p le x it y   o f   t h h ar d w ar e,   as  w ell  a s   t h a m o u n o f   p o w er   co n s u m ed   a n d   d el a y   e x p er ien ce d .   T h er ar e   th r ee   d is ti n ct  d esi g n s   f o r   th e   p r o p o s ed   co m p r ess o r   m eth o d   in tr o d u ce d an   ap p r o x i m at f u ll  ad d er - b ased   co m p r es s o r ,   an   ap p r o x i m ate   f u ll  ad d er   [ 1 8 ] [ 2 0 ]   w ith   a   m u ltip le x er - b a s ed   co m p r ess o r ,   an d   a   m aj o r it y     g ate - b ased   co m p r ess o r   [ 2 1 ] [ 2 5 ]   ea ch   o f   t h ese  d esi g n s   f ea tu r es  i ts   o w n   u n iq u co llecti o n   o f   ar c h itect u r al   ele m e n ts .   T h p er f o r m a n ce   o f   ea ch   o f   t h ese  co m p r es s o r s   w a s   ev al u ated   a n d   co m p ar ed   to   tr ad itio n al  ex ac t   co m p r es s o r s .     2 . 1 .   E x a ct   co m press o r   E x ac co m p r es s o r s   w er d ev el o p ed   to   ca r r y   o u ar i th m etic   o p er atio n s   w it h   e x ac p r ec is io n ,   en s u r in g   th at  t h s u m   a n d   ca r r y   b its   ar ca lcu lated   p r ec is el y   an d   w it h o u a n y   lo s s   o f   b its .   Utilizatio n   o f   th e s e   co m p r es s o r s   is   w id e s p r ea d   in   ap p l icatio n s   w h er ac c u r ac y   is   o f   t h u t m o s i m p o r tan ce ,   as  h i g h lig h ted   b y   Mo m en et  a l.   [ 6 ]   an d   Gh asem za d eh   et  a l.   [ 1 0 ] .   A lt h o u g h   th e y   ar ex tr e m el y   r el iab le,   ac cu r ate  co m p r ess o r s   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   R ec o n f i g u r ab le  &   E m b ed d ed   Sy s t     I SS N:   2089 - 4864       Hig h - p erfo r ma n ce   a p p r o xima te  MAC mu ltip lier   u s in g   ma jo r ity     ( S elva r a s a n   R a d h a kris h n a n )   271   m i g h n ee d   s ig n i f ica n a m o u n o f   h ar d w ar r eso u r ce s ,   w h ic h   ca n   r es u lt  in   m o r p o w er   co n s u m p tio n ,   in cr ea s ed   lo g ic  s ize,   a n d   g r ea ter   co m p u tatio n al  late n c y   co m p ar ed   to   th eir   ap p r o x i m ate  eq u iv a len t s ,   as   d is cu s s ed   b y   Fat h et  a l.   [ 1 1 ] ,   R ed d y   et  a l.   [ 1 2 ] ,   an d   Z e n d eg a n et  a l.   [ 1 5 ] .   T h ex ac co m p r ess o ar ch itect u r es  e m p lo y ed   i n   th m u ltip lier   r ed u ctio n   s ta g h a v b ee n   s h o w n   i n   Fi g u r 1 .   T h ese  4 :2 ,   5 :2 ,   an d   7 : ar ch itect u r es  ar e   th m o s co m m o n   t y p e s   o f   e x ac co m p r es s o r   d esig n s   w h ich   f o r m   b asic  u n i ts   i n   r ed u ci n g   t h e   p ar tial - p r o d u cts  s i n ce   th e y   co m b in p lu r ali t y   o f   in p u ts   i n t o   f e w er   o u tp u ts   w i th o u ch a n g in g   t h ar ith m eti c   co r r ec tn ess .   T h f o llo w in g   lo g ical  ( 1 )   ar r elev an t to   th is   d es ig n .        =   1     2     3     4             =   ( ( 1     2     3 ) · 4 ) +   (  · ( ( 1     2     3 )   4 ) )        =   ( 1 · 2 ) +   ( 3 · ( 1     2 ) )   ( 1 )     B ased   o n   th e   co n f i g u r atio n   o f   t h 4 :2   co m p r es s o r s ,   wh ich   ca n   b s ee n   i n   Fig u r e   1 ( a) ,   th is   ar ch itect u r is   d ev elo p ed   w it h   5 - in p u a n d   3 - o u tp u d esi g n ,   in cl u d in g   ca r r y - i n   an d   ca r r y - o u t,  as  d escr ib ed   b y   G h ase m za d eh   et  a l.   [ 1 0 ]   a n d   R ed d y   et  a l.   [ 1 2 ] .   T h n ex ar ch itectu r e   ( Fig u r 1 ( b ) ,   th 5 :2   co m p r ess o r s ,   h as  f iv i n p u b its   ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )   co m b i n ed   w it h   t w o   ca r r y - i n   s i g n a ls   (  1   an d    2 ) .   T h ese  5 :2   co m p r es s o r s   ar ab le  to   im p r o v u p o n   th ca p ab ilit ies  o f   t h e   4 :2   c o m p r es so r s   an d   also   r ed u ce   th n u m b er   o f   p ar tial  p r o d u cts  in   m u ltip lier   d esig n ,   as  d is cu s s ed   b y   Fat h et  a l.   [ 1 1 ]   an d   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ] .   I n   th ca s o f   th e   5 :2   co m p r ess o r s ,   th lo g ical  e q u atio n s   ar p r esen ted   i n   ( 2 ) .        =   1     2     3     4     5      1    2      5   =   ( 5 ·  2 )   +   (  2 · ( 4      1     ( 1     2     3 ) ) +   ( ( 4      1     ( 1     2     3 ) ) · 5 )      1   =   ( 1 · 2 ) +   ( 3 · ( 1     2 ) )      2   =   ( 4 ·  1 ) +   (  1 · ( 1     2     3 ) )   +   ( ( 1     2     3 ) · 4 )   ( 2 )     T h er ef o r e,   th 5 :2   c o m p r ess o r s   ar co n s id er ed   b etter   f o r   m u lt ip licatio n   o p er atio n s ,   alth o u g h   i t   r eq u ir es  m o r lo g ic   ar ea   d u t o   th n u m b er   o f   f u l ad d er s   u s ed   in   its   d e s ig n ,   as  a n al y ze d   b y   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ]   an d   Fat h et  a l.   [ 1 1 ] .   Si m i lar l y ,   th 7 :2   co m p r ess o r   m et h o d   also   u s es  f i v f u l ad d er s   in   its   d esig n ,   as  v er if ied   in   F ig u r e   1 ( c) .   T h is   ar ch i tectu r h as  s e v en   in p u b it s   ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 )   an d   t w o   ca r r y - in s   ( ci n 1   an d   cin 2 ) ,   r esu lti n g   i n   f o u r   o u tp u ts   ( ,  ,  1 ,     2 ) ,   as  d escr ib e d   b y   G h ase m za d eh   et  a l.   [ 1 0 ]   an d   Fat h et  a l.   [ 1 1 ] .   T h d etails o f   t h is   lo g ic  ar b r ief l y   e x p lain ed   in   t h f o llo w i n g   lo g ical  ( 3 ) .        =   1     2     3     4     5     6     7                   =   ( ( 1     2     3     4     5     6     7 ) ·  1 ) + ( c in _ 2 ( ( x1     x2     x3     x4     x5     x6     x7 )     c in _ 1 ) )      1 =   ( 1 · 2 ) +   ( 3 · ( 1     2 ) )      2 =   ( ( 1     2     3 ) · 4 ) +   ( 5 · ( ( 1     2     3 )   4 ) )      3 =   ( ( 1     2     3     4     5 ) · 6 ) +   ( 7 · ( ( 1     2     3     4     5 )   6 ) ) ( 3 )       F u l l   A d d er F u l l   A d d er x 1 x 2 x 3 x 4 c i n S u m C a r r y C o u t F u l l   A d d er F u l l   A d d e r x 1 x 2 x 3 x 4 c i n 1 S u m C a r r y C o u t 1 F u l l   A d d er x 5 c i n 2 C o u t 2 F u l l   A d d er F u l l   A d d er x 1 x 2 x 3 c i n 1 S u m C a r r y C o u t 1 F u l l   A d d er c i n 2 C o u t 2 x 4 x 5 x 6 x 7 F u l l   A d d er F u l l   A d d er ( a ) ( b ) ( c )   ( a)   ( b )   ( c)     Fig u r 1 .   A r ch itectu r e s   o f   co m p r e s s o r   cir cu it s ( a)   4 :2   ex ac co m p r es s o r ,   ( b )   5 : 2   ex ac co m p r e s s o r,   an d     ( c)   7 :2   ex ac co m p r ess o r   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 9 - 4864   I n t J   R ec o n f i g u r ab le  &   E m b ed d ed   Sy s t ,   Vo l.  15 ,   No .   2 J u l y   202 6 269 - 2 8 0   272   2 . 2 .     Appro x i m a t co m pre s s o r   T h er is   h ar d w ar e - e f f icie n alter n ati v to   p r ec is co m p r e s s o r s   k n o w n   as  ap p r o x i m ate  co m p r e s s o r s .   T h ese  co m p r ess o r s   w er d ev e lo p ed   p r im ar il y   f o r   ap p licatio n s   t h at  ca n   to ler ate  m o d est  co m p u tat io n al  er r o r s ,   as  d is cu s s ed   b y   R ed d y   et  a l.   [ 1 2 ]   an d   J o o q   et  a l.   [ 1 3 ] .   On   t h o th er   h an d ,   th ese  s y s te m s   s ac r if ice  ac cu r ac y   i n   ex ch a n g f o r   co n s id er ab le  r ed u ctio n s   i n   h ar d w ar co m p le x it y ,   p o w er   co n s u m p tio n ,   a n d   lat en c y ,   a s   s h o w n   b y   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ]   an d   Stro llo   et  a l.   [ 7 ] .   A s   r es u lt  o f   t h ar ch itect u r al  d esi g n   th at   in co r p o r ates  ap p r o x i m ate   f u ll  ad d er s ,   ap p r o x im a te  co m p r e s s o r s   p r o v id o u tp u t s   t h at  ar ap p r o x i m ate  eq u i v al en t,  as  p r esen ted   b y   E d av o o r   et   a l.   [ 5 ]   an d   J o o q   e a l.   [ 1 3 ] T h e   ( 4 )   c o n tain s   t h lo g ical  eq u atio n s   o f   an   ap p r o x i m ate  co m p lete   ad d er ,   w h ich   ar r esp o n s ib le  f o r   th cr ea tio n   o f   th s u m   an d   ca r r y   v ar iab les.        =   1     2             =   2   ·      ( 4 )     T h d esig n   ar ch itect u r o f   th e   ap p r o x i m ate  f u ll  ad d er   [ 1 4 ] ,   as  s h o w n   i n   Fi g u r e   2   u s es  o n l y   t w o   lo g i c   g ates  ( XO R   an d   AND  g ate s ) ,   as  p r o p o s ed   b y   R ed d y   et  a l.   [ 1 2 ]   an d   J o o q   et   a l.   [ 1 3 ] .   C o m p ar ed   to   th ex ac t   m et h o d ,   th tr ad itio n al  ar c h itectu r u s es   f i v lo g ic  g at es;  th is   r ed u ct io n   co n tr ib u te s   to   lo w er   p o w er   co n s u m p tio n ,   r ed u ce d   ar ea ,   an d   f as ter   co m p u tat io n   ti m es,  as  d e m o n s tr ated   b y   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ]   an d   Stro llo   et  a l.   [ 7 ] Usi n g   t h d esi g n   o f   an   ap p r o x i m ate  f u ll  ad d er   [ 1 4 ] ,   T h e   ap p r o x im a te - ad d e r - b ased   co m p r ess o ar ch itect u r es  u s ed   in   t h m u ltip lier   d esi g n   ar s h o w n   i n   Fi g u r 3 .   T h f ig u r s h o w s   th s u m m ar y   o f   ap p r o x im a te  ad d itio n   p r in cip l es  u s ed   to   r ea lis co m p r e s s o r s   o f   d if f er en i n p u t - o u tp u co n f ig u r at io n s ,   4 :2 ,   5 :2   an d   7 :2   co m p r ess o r s .   t h p r o p o s ed   m eth o d   i n te g r ated   th e   ar ch itect u r o f   4 :2 ,   5 :2 ,   an d   7 :2   co m p r ess o rs   a n d   d em o n s tr ated   t h eir   p er f o r m a n ce ,   as  s h o w n   i n   Fi g u r e   3 ( a)   4 : 2   co m p r ess o r s ,   F ig u r e   3 ( b )   5 : 2   co m p r ess o r s ,   a n d   Fig u r e   3 ( c)   7 :2   c o m p r es s o r s ,   f o llo w i n g   t h s tr ate g ie s   d is cu s s ed   b y   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ]   an d   J o o q   et  a l.   [ 1 3 ] .       A B C i n S u m C a r r y     Fig u r 2 .   A p p r o x i m a te  f u ll a d d er   d esig n         A p p r o x i m a t F u l l   A d d er A p p r o x i m a t F u l l   A d d er x 1 x 2 x 3 x 4 c i n S u m C a r r y C o u t A p p r o x i m a t e   F u l l   A d d er A p p r o x i m a t F u l l   A d d er x 1 x 2 x 3 x 4 c i n 1 S u m C a r r y C o u t 1 A p p r o x i m a t F u l l   A d d er x 5 c i n 2 C o u t 2 A p p r o x i m a t F u l l   A d d er A p p r o x i m a t e   F u l l   A d d er x 1 x 2 x 3 c i n 1 S u m C a r r y C o u t 1 A p p r o x i m a t F u l l   A d d e r c i n 2 C o u t 2 x 4 x 5 x 6 x 7 A p p r o x i m a t F u l l   A d d er A p p r o x i m a t F u l l   A d d er ( a ) ( b ) ( c )   ( a)   ( b )   ( c)     Fig u r 3 .   A p p r o x i m a te - ad d er - b ased   ar ch itectu r es :   ( a)   4 :2   ap p r o x i m ate  co m p r ess o r ,   ( b )   5 :2   ap p r o x im ate  co m p r es s o r ,   an d   ( c)   7 :2   a p p r o x i m ate  co m p r ess o r     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   R ec o n f i g u r ab le  &   E m b ed d ed   Sy s t     I SS N:   2089 - 4864       Hig h - p erfo r ma n ce   a p p r o xima te  MAC mu ltip lier   u s in g   ma jo r ity     ( S elva r a s a n   R a d h a kris h n a n )   273   T h co r o f   ap p r o x im ate  f u ll a d d er   b ased   4 :2   c o m p r es s o r   lo g ical  ( 5 )   ar as :      = 1 2 3 4       = 4 .       = 2 .   ( 5 )     f o r   5 :2   co m p r ess o r s   u s i n g   ap p r o x i m ate  f u ll  ad d er   [ 1 4 ] ,   th e   f o llo w in g   is   t h lo g ica eq u a tio n   th at  s h o u ld   b u s ed   ( 6 ) .      = 1 2 3 4 5  1  2      = 5 .  2      1 = 2 . 3      2 = 4 .  1   ( 6 )     W ith   r eg ar d   to   7 :2   co m p r ess o r s   u s in g   ap p r o x i m ate  f u ll a d d er ,   th f o llo w i n g   i s   th lo g ical  ( 7 ) .      = 1 2 3 4 5 6 7  1  2      =  1 .  2      1 = ( 2 . 3 ) ( 5 . 6 ) ( ( 4 5 6 ) . 7 ) )      2 = ( 5 . 6 ) . ( ( 4 5 6 ) . 7 ) )   ( 7 )     T h 4 :2 ,   5 : 2 ,   an d   7 :2   m eth o d s   o f   ap p r o x i m ate  co m p r es s o r   d esig n ,   p r o v id an   ef f ici en p ar tial  p r o d u ct  r ed u ctio n   in   m u ltip lier s .     2 . 3 .     Appro x i m a t w it m ux - ba s ed   co m pres s o r   T h ap p r o x i m ate  w it h   m u x - b ased   co m p r ess o r s   ar f u r t h er   en h a n ce m e n o f   ap p r o x i m at e   co m p r es s o r   d esig n s ,   in co r p o r atin g   m u ltip lex er s   to   i m p r o v r eso u r ce   e f f icien c y   a n d   co m p u tat io n   s p ee d ,   as  d is cu s s ed   b y   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ]   an d   J o o q   et  a l.   [1 3] .   A s   p r esen ted   b y   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ] ,   b y   in te g r ati n g   m u ltip lex er s ,   th e s co m p r ess o r s   d y n a m icall y   h a n d le  th s elec tio n   o f   i n ter m ed iate  r esu l ts ,   f u r th er   r ed u ci n g   lo g ic  co m p le x it y   a n d   d ela y   w h ile  m ai n tai n i n g   a n   ap p r o x i m ate  o u tp u t.   T h ese  co m p r e s s o r s   p r eser v e   th e   ap p r o x im a te  f u ll   ad d er   at  th eir   co r b u ad d   m u ltip lex er   lo g ic  to   h an d le  s p ec if ic  i n p u co n f i g u r atio n s ,   allo w i n g   f o r   m o r ef f icien r ed u ctio n   o f   p ar tial  p r o d u cts,  as  d em o n s tr ated   in   b o th   E d a v o o r   et  a l.   [ 5 ]   an d   J o o q   et  a l.   [ 1 3 ] .   T h m u ltip le x er - b ased   d esi g n   e n s u r es  th a o n l y   cr itical  i n p u t s   co n tr ib u te  to   th co m p u tatio n   at  ea ch   s tag e,   m i n i m izi n g   u n n ec es s ar y   lo g ic  o p er atio n s   an d   en h a n cin g   t h o v er all   ef f icie n c y   o f   t h e   co m p r es s o r ,   as  s h o w n   i n   t h e   h ar d w ar e v al u atio n s   b y   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ] .   T h ese  d esi g n s   ar i m p le m e n ted   ac r o s s   4 :2 ,   5 :2 ,   an d   7 :2   co m p r ess o r   ar ch itectu r es,  ea ch   o p ti m ized   f o r   s p ec if ic  i n p u c o n f i g u r atio n s .   T h is   f o llo w s   t h s a m p r o ce d u r as  th e   ap p r o x i m ate  f u ll  ad d er   [ 1 4 ]   co m p r ess o r   tech n iq u e,   b u t h b o o lean   eq u atio n   f o r   th i n ter n al  ar c h i tectu r o f   t h is   co m p r ess o r   is   f u r t h er   r ed u ce d   to   p r o d u ce   th f i n al  s u m   o u tp u t,   ef f ec tiv e l y   r ed u cin g   d ela y   a n d   h ar d w ar co m p lex i t y .   T h lo g ical  ( 8 )   s h o u ld   b u s ed   f o r   4 :2   co m p r es s o r s   u s i n g   an   ap p r o x i m ate  m u x - b a s ed   f u ll a d d er ,   as sh o w n   b y   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ] .      = ( 4 ( 1 2 3 ) ) + ( 4 . ( 2 . 3 ) )      = ( 4 . ( 2 . 3 ) ) + 4   ( 8 )     Si m i lar l y ,   in   th e   5 :2   co m p r es s o r s ,   in ter m ed iate  r es u lt s   ar r o u ted   th r o u g h   m u ltip le x er ,   en s u r i n g   ef f icien co m p u tatio n   o f   s u m   an d   ca r r y   o u tp u t s   ( C o u t1   an d   C o u t2 )   w ith   r ed u ce d   lo g ic  d ep th ,   as  d etailed   b y   E d av o o r   et  a l .   [ 5 ]   an d   J o o q   et  a l.   [ 1 3 ] .   T h ( 9 )   w ill  b u s ed   f o r   5 :2   co m p r ess o r s   f o llo w i n g   t h m et h o d o lo g y   d is cu s s ed   in   t h ese  w o r k s .      = (  ( 1 2 3 ) 4 5 ) ) + (  . ( 4 . 5 ) )      = (  . ( 4 . 5 ) ) + (  . ( 2 . 3 ) )   ( 9 )     T h m o r co m p le x   d esig n   o f   7 :2   ar ch itect u r es,  w h ic h   u s m u ltip le  ap p r o x i m ate  f u ll  ad d er s   to   co m p u te  in ter m ed iate  s u m s   ( s x 1   an d   s x 2 ) ,   an d   m u ltip le x er s   to   d y n a m ical l y   m an a g th f l o w   o f   th e s r esu lt s ,   p r o d u ce s   th f in a s u m   an d   ca r r y   o u tp u ts ,   as  d escr ib ed   b y   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ]   an d   J o o q   et   a l.   [ 1 3 ] .   T h is   p r o ce s s   is   d etailed   i n   t h lo g ica ( 1 0 ) .   T h ar ch itect u r d esig n   o f   t h ap p r o x i m ate  m u x - b ased   co m p r e s s o r ,   s h o w n   in   Fig u r e   4 ,   p r o v id es  s ca lab le  s o lu tio n   th at  en s u r e s   m i n i m al   h ar d w ar co m p lex it y ,   m a k i n g   it  id ea f o r   lar g e - s ca le  in p u co n f i g u r atio n s ,   a s   d is cu s s ed   b y   J o o q   et  a l.   [ 1 3 ] .   T h p r o p o s ed   4 :2   ap p r o x i m ate  co m p r ess o Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 9 - 4864   I n t J   R ec o n f i g u r ab le  &   E m b ed d ed   Sy s t ,   Vo l.  15 ,   No .   2 J u l y   202 6 269 - 2 8 0   274   e m p lo y s   o n ap p r o x i m ate  f u l ad d er   an d   tw o   m u ltip lex er s   to   g en e r ate  th S u m   an d   C a r r y   o u tp u ts   ( F ig u r e   4 ( a) ) T h p r o p o s ed   5 :2   ap p r o x i m ate  co m p r ess o r   u tili ze s   th r ee   ap p r o x i m ate  f u ll  ad d er s   an d   tw o   m u lt ip lex er s   ( Fig u r 4 ( b ) ) T h p r o p o s ed   7 :2   ap p r o x i m ate  co m p r es s o r   co n s is ts   o f   f o u r   ap p r o x i m ate  f u ll  ad d er s   an d   t w o   m u ltip lex er s   ( Fig u r 4 ( c) ) T h ar ch itect u r ac h ie v es  h i g h er   co m p r ess io n   ca p ab ilit y   w h ile  m ai n tain in g   lo w   p o w er   co n s u m p tio n   an d   h ig h   co m p u tatio n al  ef f icie n c y .   A cr o s s   all  t h r ee   ar ch itect u r es ,   th u s o f   m u ltip lex er s   r ed u ce s   t h cr itical  p ath   d ela y   a n d   p o w er   co n s u m p tio n ,   w h ile  t h ap p r o x i m ate  lo g ic  m ai n tai n s   ac ce p tab le  ac cu r ac y   le v el s   f o r   er r o r - to ler an t   ap p licatio n s ,   as d e m o n s tr ated   b y   b o th   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ]   an d   J o o q   et  a l.   [ 1 3 ] .      = (  ( ( ( 1 2 3 ) 4 5 ) 6 7 ) ) + (  . ( 6 . 7 ) )      = (  . ( 6 . 7 ) ) + (  . ( 4 . 5 ) )   ( 1 0 )             ( a)   ( b )   ( c)     Fig u r 4 .   P r o p o s ed   m u l tip lex e r - b ased   ap p r o x im a te  co m p r ess o r   ar ch itectu r es: ( a)   4 :2   ap p r o x i m ate  m u x   b ased   co m p r es s o r ,   ( b )   5 : 2   ap p r o x i m ate  m u x   b ased   co m p r ess o r ,   an d   ( c)   7 : 2   ap p r o x i m ate  m u x   b as ed   co m p r ess o r       2 . 4 .     M a j o rit y   g a t e - ba s ed  co m p re s s o r   T h p r o p o s ed   d esig n   o f   m aj o r ity   g ate - b ased   co m p r ess o r s   p r esen ts   an   e f f ec ti v a n d   o p ti m al   alter n ati v to   p r ev io u s   co m p r e s s o r   d esig n s .   T h i s   d esi g n   u t ili ze s   v er y   s m al l n u m b er   o f   3 - i n p u m aj o r it y   lo g ic  g ates  in   th co m p r ess o r   d esi g n ,   w h ic h   r ed u ce s   t h to tal  l o g ic  s ize  a n d   p o w er   co n s u m p tio n ,   as  s h o w n   b y   R ed d y   et  a l.   [ 1 2 ]   an d   J o o q   e a l [ 1 3 ] .   T h ex p r ess io n   o f   m aj o r ity   g ate  lo g ic  w it h   m u lt i - i n p u ex p r es s io n     is   ( 1 1 ) .       ( , , ) = ( . ) + ( . ) + ( . )   ( 1 1 )     T h o p e r atio n s   o f   4 :2   co m p r es s o r   r eq u ir ed   t w o   m aj o r ity   lo g i g ate  is   e x p r ess ed   in   ( 1 2 ) .      = ( ( 3 . 4 ) + ( 4 .  ) + ( 3 .  ) ) . ( 1 + 2 ) + ( 1 . 2 )      = 4      = 3   ( 1 2 )     T h 5 :2   co m p r ess o r   u tili ze s   t h r ee   la y er   o f   m aj o r it y   lo g ic  g ates,  an d   th e x p r ess io n   o f   5   in p u a n d   2   o u tp u t   b ased   co m p r ess o r   u s i n g   m aj o r it y   lo g ic  i s   ( 1 3 ) .      = ( ( 4 ( 5 +  1 ) + ( 5 .  1 ) ) . ( 3 +  2 ) + ( 3 .  2 ) . ( 2 + 1 ) + ( 2 . 1 )    = 5      1 = 4      2 = 3   ( 1 3 )     Fu r t h er m o r e,   th e   lo g ical   eq u at io n   o f   t h 7 :2   co m p r es s o r   d esi g n   th at   m a k e s   u s o f   th e   m aj o r it y   lo g ic  ap p r o ac h   an d   h as   th ca p ac it y   to   ac co m m o d ate  s ev e n   p r i m ar y   i n p u ts   an d   t w o   o u tp u t s   is   d e m o n s tr ated   in   ( 1 4 ) ,   as  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   R ec o n f i g u r ab le  &   E m b ed d ed   Sy s t     I SS N:   2089 - 4864       Hig h - p erfo r ma n ce   a p p r o xima te  MAC mu ltip lier   u s in g   ma jo r ity     ( S elva r a s a n   R a d h a kris h n a n )   275   d is cu s s ed   b y   R ed d y   et  a l.   [ 1 2 ]   an d   J o o q   et  a l.   [ 1 3 ] .   I n   th is   p ar ticu lar   in s tan ce ,   it  m a k es  u s o f   f o u r   la y er s   o f   m aj o r ity   g ates.  T h p r o p o s ed   m aj o r ity - lo g ic  b a s ed   co m p r es s o r   ar ch itectu r es  f o r   p ar tial  p r o d u ct  r ed u ctio n   in   th ap p r o x i m ate  m u ltip lier   d esig n   ar s h o w n   i n   Fi g u r 5 .   T h ese  co m p r es s o r   s tr u ct u r es  ar th b asic  b u ild i n g   b lo ck s   o f   t h r ed u ctio n   s ta g w h ic h   u s m aj o r ity - g ate  lo g ic   to   ac h iev t h cir c u it  i m p le m en tatio n   a n d   lo w er   h ar d w ar co m p le x it y ,   p o w er   co n s u m p tio n   an d   co m p u tat io n   e f f ic ien c y .   T h s tr u ct u r o f   t h p r o p o s ed   4 :2   m aj o r ity - lo g ic  co m p r ess o r   is   illu s tr ated   in   Fi g u r 5 ( a) .   T h in p u b its   g o   th r o u g h   s m all  m aj o r ity - g ate   n et w o r k   w h er th s u m   a n d   ca r r y   o u tp u ts   ar ca lcu lated   w it h   m in i m u m   lo g ic  ele m e n t s .   T h p r o p o s ed   5 : 2   m aj o r ity - lo g ic  co m p r ess o r   ca n   b s ee n   as  an   e x p an s io n   o f   th m aj o r it y - g ate  co n ce p b y   o n m o r in p u b it   an d   is   d ep icted   in   Fig u r 5 ( b ) .   B y   u s i n g   th ca s ca d ed   m aj o r i t y - g ate s   s tr u ct u r e ,   w g e th ef f ec tiv r ea lizatio n   o f   o u tp u b its   w it h   t h s a m s i m p lic it y   o f   i m p le m e n tatio n   an d   s h o r cr itical  p at h .   Fi g u r e   5 ( c)   illu s tr ate s   t h e   7 :2   m aj o r it y - lo g ic  co m p r es s o rs ,   w h ic h   ca n   o p er ate  w it h   i n cr ea s ed   in p u b its   n u m b er ,   p r o v id in g   f u r t h er   p ar tial   p r o d u cts co m p r es s io n .       M a j o r i t y x 3 x 4 c i n M a j o r i t y x 1 x 2 S u m C a r r y C o u t M a j o r i t y x 5 x 4 C i n   1 M a j o r i t y x 3 C i n   2 S u m C a r r y C o u t   1 C o u t   2 M a j o r i t y x 1 x 2 M a j o r i t y x 7 x 6 C i n   1 M a j o r i t y x 5 C i n   2 S u m C a r r y C o u t   2 C o u t   1 M a j o r i t y x 4 x 3 M a j o r i t y x 1 x 2 ( a ) ( c ) ( b )   ( a)   ( b )   ( c)     Fig u r 5 .   P r o p o s ed   m aj o r ity - l o g ic - b ased   co m p r es s o r s   ( a)   4 : 2   m aj o r it y - lo g ic  co m p r es s o r ,   ( b )   5 :2   m aj o r ity - lo g ic  co m p r ess o r ,   an d   ( c)   7 :2   m aj o r ity - lo g ic  co m p r ess o r       3.   E XAC T   M UL T I P L I E DE SI G US I N G   AP P RO XIM AT E   A DDE ARCH I T E CT URE   T h is   s ec tio n   p r esen ts   t h m et h o d o lo g ical  f r a m e w o r k   ad o p te d   f o r   th ex ac m u ltip lier   d esi g n   u s i n g   a n   ap p r o x im a te  ad d er   ar ch itectu r an d   p r o p o s ed   A p p r o x i m ate  m u ltip lier   d esig n .   T h ex ac m et h o d   o f   m u ltip lier   d esig n ,   w h ich   is   co m m o n l y   u s ed   in   p r ec is io n - cr itical   ap p licatio n s   s u c h   a s   i m ag e   an d   s ig n al   p r o ce s s in g ,   ten d s   to   o cc u p y   s i g n i f ica n tl y   lar g er   lo g ic  ar ea ,   as  r ep o r te d   b y   Mo m en et  a l [ 6 ] .   T r ad itio n al  m u lt ip lier s   s u c h   as   W allac tr ee ,   Dad d a,   Ved ic,   a n d   ar r ay   m u ltip lier s   also   u s t h is   e x ac co m p u tatio n   s eq u e n ce .   A   co m m o n   is s u e   w it h   ex ac m u ltip licatio n   is   in cr ea s ed   lo g ic  s ize  an d   p o w er   co n s u m p tio n .   Fo r   th at  r ea s o n ,   r ec en r esear ch   h as   f o cu s ed   o n   v ar io u s   ap p r o x i m atio n - b ased   m u ltip licatio n   tech n iq u es   [ 1 ] ,   [ 4 ] ,   [ 1 5 ] ,   [ 1 6 ] .   R ec en s t u d ies,   in cl u d in g   th o s b y   [ 4 ] [ 1 5 ] [ 1 ] [ 1 6 ]   h av d e m o n s tr ated   th ef f ec ti v en e s s   o f   ap p r o x i m atio n   tech n iq u e s   as   f ea s ib le  r ep lace m en ts   to   r ed u ce   lo g ic  ar ea ,   p o w er   co n s u m p tio n ,   an d   d ela y .   T o   ad d r es s   th ese  ch al len g es,  t h e   p r o p o s ed   tech n iq u in   t h i s   s t u d y   i n tr o d u ce s   a n   ap p r o x i m a te  f u ll  ad d er   [ 1 4 ]   tech n iq u e,   it’ s   in s p ir ed   b y   t h e   w o r k   o f   Stro llo   et  a l.   [ 7 ] ,   w h i ch   p r o d u ce s   th s a m s u m   o u t p u as  co n v en tio n al  f u ll  ad d er   b u s i m p lif ie s   th e   ca r r y   g e n er atio n .   Fi g u r e   6   s h o w s   th tr ad itio n al  d esi g n   o f   Dad d 8 × 8   m u lt ip lier   i ts   h ig h li g h ts   t h ese   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 9 - 4864   I n t J   R ec o n f i g u r ab le  &   E m b ed d ed   Sy s t ,   Vo l.  15 ,   No .   2 J u l y   202 6 269 - 2 8 0   276   i m p r o v e m en t s .   W h ile  t h i s   d es ig n   tak e n   f r o m   t h co n v en tio n al  Dad d m u lt ip lier   ar ch itect u r e,   its   p r o d u ce s   6 4   p ar tial  p r o d u cts  an d   t y p icall y   r eq u ir es  f o u r   r ed u ct io n   s ta g e s ,   th p r o p o s ed   d esig n   m i n i m izes  th n u m b er   o f   s tag e s   b y   e m p lo y i n g   co m b i n atio n   o f   h al f   ad d er s   an d   ap p r o x i m ate  f u l ad d er s ,   ef f ec tiv el y   r ed u ci n g   in ter n a l   co m p le x it y .       A l m o s t   F u l l   A d d e r Ha l f   F u l l   A d d er A c c u m u l a t o r 2 N + 1 F i n a l   O u t p u t     Fig u r 6 .   8 × 8   Dad d m u ltip lic atio n   u s in g   ap p r o x i m ate  f u ll a d d er       3 . 1 .     P r o po s ed  a pp ro x i m a t m u lt ipl ier  des ig n u s ing   4 : 2 ,   5 : 2 ,   a nd   7 : 2   co m pre s s o rs a rc hite ct ure   T h p r o p o s ed   a p p r o ac h   o f   th is   r esear ch   u s i n g   ap p r o x i m at m u ltip lier   ar ch itect u r is   s p ec if icall y   d esig n ed   to   r ed u ce   th n u m b er   o f   s tag es  i n   t h m u ltip lica tio n   p r o ce s s .   T o   ac h iev th is ,   4 :2 ,   7 :2 ,   an d   5 :2   m aj o r ity   lo g ic  co m p r es s o r s   ar ad d itio n all y   i n te g r ate d   in to   t h m u lt ip lier   d esig n   ar ch itect u r e,   en ab lin g   h i g h   lev el  o f   co m p r es s io n   o f   p ar ti al  p r o d u cts  i n   f e w er   s tep s ,   a s   d is c u s s ed   b y   [ 1 0 ] ,   [ 1 1 ] .   T h is   m ax i m u m   i n p u t   r ed u ctio n   en h a n ce s   b o th   s p e ed   an d   ef f ic ien c y   i n   th r ee   l ev els  o f   m u ltip lier   d esi g n   th at  co m b in e x ac t,   ap p r o x im a te,   an d   tr an s d u ce   tech n iq u es.  C o m p ar ed   to   th tr ad itio n al  d esig n   o f   m u lt ip lier s   u s i n g   o n l y   ap p r o x im a te  4 :2   co m p r es s o r   ar ch itectu r e,   t h p r o p o s ed   d esig n   s i g n if ica n tl y   r ed u ce s   th lo g ic  s ize  an d   co m p u tatio n al  co m p le x it y   t h r o u g h   t h is   in n o v at iv ap p r o ac h ,   as  d escr ib ed   b y   E d a v o o r   et   a l.   [ 5 ]   an d   f u r t h er   v alid ated   in   R ed d y   et  a l.   [ 1 2 ] .   No tab ly ,   as  s h o w n   in   Fi g u r e   7 ,   th m u ltip lier   r eq u ir es  o n l y   t w o   s ta g es  i n   th e   8 × 8   m u ltip licatio n   ar ch itect u r e.   Sp ec if icall y ,   i n   t h p r o p o s e d   ap p r o x i m ate  m u lt ip lier ,   s ta g 1   is   ex cl u s i v el y   h an d led   b y   7 :2   an d   5 :2   co m p r ess o r s ,   w h ich   r ed u ce   t h n u m b er   o f   p ar tial  p r o d u cts;   as  r e s u lt,  t h n u m b er   o f   in ter m ed iate  s ig n al s   p ass ed   to   s tag 2   is   m in i m a l.  Stag e   2   f u r th er   co m p r ess e s   th d ata  u s i n g   e x ac 4 :2   co m p r es s o r s ,   f u ll   ad d er s ,   an d   h al f   ad d er s ,   m ai n tai n i n g   ac cu r ac y   w h er it  is   m o s t   cr itical.   T h is   co m b i n atio n   o f   o p tim ized   tech n iq u e s   en s u r es  co m p ac t d esi g n   w it h   lo w   la t en c y   a n d   en er g y   e f f icien c y .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J   R ec o n f i g u r ab le  &   E m b ed d ed   Sy s t     I SS N:   2089 - 4864       Hig h - p erfo r ma n ce   a p p r o xima te  MAC mu ltip lier   u s in g   ma jo r ity     ( S elva r a s a n   R a d h a kris h n a n )   277   4 : C o m p r e s s o r Ha l f   F u l l   A d d e r E x a c t   C o m p r e s s o r E x a c t A p p r o x i m a t e T r a n s d u c e 5 : C o m p r e s s o r 7 : C o m p r e s s o r A c c u m u l a t o r 2 N + 1 F i n a l   O u t p u t     Fig u r 7 .   P r o p o s ed   h ig h er   b it  c o m p r es s o b ased   8 × 8   Dad d m u ltip lier       4.   RE SU L T S   T h p e r f o r m a n ce   an d   er r o r   an al y s i s   o f   th p r o p o s ed   ap p r o x im ate  m u ltip lier   d esig n ,   i m p le m en ted   in   Ver ilo g   h ar d w ar d escr ip tio n   lan g u a g ( HD L ) ,   w as  s y n t h es ized   u s in g   Xili n x   Ver tex - 5   F P GA   an d   co m p ar ed   f o r   u ti lizatio n   r esu lts   s u ch   as  s lice  r eg is ter s ,   s lice  lo o k u p   ta b le s   ( L UT s ) ,   o cc u p ied   s lice s ,   b o n d ed   I OB ,   d elay ,   an d   p o w er .   T h co m p ar ativ e   p er f o r m an ce   r es u lts   o f   th MA C - b ased   8 ×8   a p p r o x i m at Dad d a   m u ltip lier   d esig n   e m p lo y in g   ap p r o x i m a t co m p r es s o r s   ar p r esen ted   i n   T ab le  1 .   I n   ad d itio n ,   er r o r   m etr ics in c lu d i n g   an al y s is   w it h   t h v er if ica tio n   m eth o d   i n   s i m u lat io n   u s i n g   m o d elsi m w er e m p lo y ed th p ar a m eter s   an al y ze d   i n cl u d E R %,  ME D,   NM E D,   an d   MRED,   as s u p p o r ted   b y   th w o r k   o f   [ 3 ] ,   [ 8 ] .   I n   v ital  r o le  o f   o p ti m izi n g   d ig ital  ar ith m etic  cir cu its   b y   r ed u c in g   in ter m ed iate  r es u lts   d u r in g   co m p u tatio n s ,   v ar io u s   co m p r ess o r   d esig n s   o f   th p r o p o s ed   m et h o d o lo g y s u c h   as  ex ac t,  ap p r o x im a te,   th o s e   in co r p o r atin g   m u l tip lex er s ,   a n d   m aj o r ity   g ate s o f f er   tr ad eo f f   b et w ee n   u tili za t io n   an d   p er f o r m an ce .     T ab le  2   s h o w s   t h cr itical  p er f o r m a n ce   m etr ics  ac r o s s   d if f er e n co m p r es s o r   d esig n s   to   ev alu ate  th eir   ef f ec tiv e n e s s .   T h ese  r esu lts   s h o w   th at  ap p r o x i m ate  co m p r es s o r s ,   p ar ticu lar l y   m u ltip le x er -   an d   m aj o r it y   lo g ic   b ased   ar ch itectu r e s ,   ac h iev n o tab le  r ed u ctio n s   i n   L UT   u s ag e,   o cc u p ied   s lices,  a n d   d ela y ,   as  d e m o n s tr ated   b y   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ]   an d   R ed d y   et  a l.   [ 1 2 ] .   E r r o r   an aly s is   e s ti m ati n g   th e   er r o r   an aly s is   a n d   it s   r eliab ilit y   u s i n g   ap p r o x i m ate  m u lti p lier s ,   th i s   w o r k   q u a n ti f ies  th e   er r o r s   in tr o d u ce d   b y   ap p r o x i m ate  m et h o d s ,   w h ic h   i s   es s e n tial  to   e n s u r th d es ig n   m ee t s   th ac cu r ac y   r eq u ir e m en t s   o f   C NN  ap p licatio n s ,   as  d e m o n s t r ated   b y   Ki m   et  a l.   [ 1 ]   an d   A n s ar et  a l.   [ 3 ] .   Key   er r o r   m etr ics E R ,   ME D,   NM E D,   an d   MRED p r o v id s tr u ctu r ed   f r a m e w o r k   to   ass ess   an d   co m p ar th e   ef f ec tiv e n e s s   o f   v ar io u s   ap p r o x i m ate  co m p u t in g   ar ch itect u r es,  as  d is cu s s ed   b y   An s ar et  a l.   [ 3 ]   an d   J ian g   et   a l.   [ 8 ] .   T h ese  er r o r   m e tr ics  ar ch o s e n   f o r   th ap p r o x i m ati o n   s tr ate g y ,   w h ic h   tr ad es  o f f   b et w ee n   e f f icien c y   an d   p r ec is io n ,   an d   d ir ec tly   af f ec th s elec tio n   o f   ap p r o x im ate  v al u es  i n   s p ec if ic  ca s es,   esp ec iall y   in   er r o r   r esil ien t a p p licatio n s   s u c h   as i m ag p r o ce s s i n g   an d   I o T   s y s t e m s ,   as r ep o r ted   b y   Ki m   et  a l.   [ 1 ]   an d   Ham m ad   et  a l.   [ 2 ] .   T h is   w o r k   is   ab le  to   m in i m ize  er r o r s   w h ile  ac h ie v in g   g ai n s   in   p o w er ,   ar ea ,   an d   s p ee d .   Fo r   in s tan ce ,   a   h ig h er   E R i m p lie s   f r eq u e n t   co m p u tatio n a d ev iatio n   a n d   m a y   b u n s u itab le  f o r   p r ec is io n - cr itical  tas k s ,   w h ile  lo w er   E R in d icate s   g r ea ter   r eliab ilit y   an d   s tab ilit y ,   ev e n   f o r   ap p r o x i m ate  d esi g n s ,   a s   an al y ze d   b y   E d av o o r   et  a l.   [ 5 ]   an d   J ian g   e a l.   [ 8 ] .   T h an al y s i s   o f   t h e r r o r   ass ess m en f r a m e w o r k   is   w id el y   ad o p ted   in   r ec en ap p r o x i m ate  r esear c h ,   i n clu d i n g   t h w o r k s   o f   Ha m m a d   et  a l.   [ 2 ] A n s ar et  a l.   [ 3 ] an d   J ian g   e a l.   [ 8 ] T h f r eq u en c y   er r o r   an al y s i s   o f   E R % is   ( 1 5 ) ,   w ith   t h n u m b e r   o f   in co r r ec t v er s u s   th to tal  n u m b er   o f   o u tp u ts .   T ab le   3   an al y ze s   th e v alu a ti o n   o f   er r o r   m etr ics  ac r o s s   m u ltip le  ap p r o x i m ate  m u ltip lier   d esig n   i n   w h ic h   h i g h lig h t s   th in h er e n tr ad eo f f   b et w ee n   ac c u r ac y   a n d   ap p r o x i m ate  v al u es.  I n   th is   ar ch itectu r e   s ig n i f ica n tl y   i m p r o v t h er r o r   b eh av io r   an d   o b s er v ed   th r o u g h   t h i n te g r atio n   o f   ad v an ce d   tech n iq u es,   in cl u d in g   m aj o r it y   lo g ic  co m p r ess o r   lo g ic.   T h co n v en tio n al  lo g ic  d esig n   ex h ib its   h i g h er   lev el  o f   er r o r   at  6 . 1 %,  in d icatin g   h i g h er   r an g o f   ex ac t c o m p u tatio n s .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 9 - 4864   I n t J   R ec o n f i g u r ab le  &   E m b ed d ed   Sy s t ,   Vo l.  15 ,   No .   2 J u l y   202 6 269 - 2 8 0   278   T ab le   1 .   P er f o r m a n ce   an al y s is   o f   MA C   b ased   8 × 8   ap p r o x i m ate  Dad d m u ltip lier   d esi g n   u s in g   ap p r o x i m ate  co m p r es s o rs   D e si g n   L U T   FF   D e l a y   ( n s)   P o w e r   ( W )   C o n v e n t i o n a l   d e si g n   [ 1 7 ]   2 3 8   1 9 8   1 5 . 4 6 3   0 . 6 1 3   4 : 2   a p p r o x i mat e   F A   1 2 4   51   4 . 6 4 8   0 . 6 1 6   4 : 2   a p p r o x i mat e   F A - mu x   1 3 5   62   4 . 6 4 8   0 . 6 1 7   4 : 2   a p p r o x i mat e   F A - maj o r i t y   c o mp r e sso r   1 2 2   50   4 . 6 4 8   0 . 6 1 2   P r o p o se d   c o mp r e sso r   u si n g   a p p r o x i mat e   f u l l   a d d e r   1 1 1   50   2 . 5 2 5   0 . 6 1 4   P r o p o se d   c o mp r e sso r   u si n g   a p p r o x i mat e   w i t h   mu x   1 0 1   47   2 . 5 2 5   0 . 6 1 2   P r o p o se d   c o mp r e sso r   u si n g   m a j o r i t y   c o mp r e sso r   99   51   2 . 5 2 5   0 . 6 0 6       T ab le  2 .   C o m p ar is o n s   an d   an a l y s i s   o f   o n l y   co m p r es s o rs   D e si g n   L U T   S l i c e s   I O B s   D e l a y   ( n s)   F a n - o u t   Ex a c t   4 : 2   6   4   8   5 . 7 7 9   1 . 7 3   Ex a c t   5 : 2   9   5   11   6 . 7 8 2   1 . 7 5   Ex a c t   7 : 2   15   6   13   6 . 8 5 7   1 . 8 3   A p p r o x i mat e   4 : 2   4   3   8   4 . 3 8 6   1 . 4 4   A p p r o x i mat e   5 : 2   3   2   11   5 . 1 8 0   1 . 1 7   A p p r o x i mat e   7 : 2   4   3   13   5 . 1 8 0   1 . 1 2   A p p r o x i mat e   w i t h   m u x   4 : 2   3   2   6   5 . 3 7 7   1 . 5 7   A p p r o x i mat e   w i t h   m u x   5 : 2   3   1   8   6 . 5 6 0   1 . 4 0   A p p r o x i mat e   w i t h   m u x   7 : 2   4   2   10   7 . 7 4 3   1 . 5 0   M a j o r i t y   4 : 2     1   1   8   4 . 3 0 7   1 . 3 3   M a j o r i t y   5 : 2   2   1   11   4 . 9 9 2   1 . 3 3   M a j o r i t y   7 : 2   2   1   13   5 . 6 7 8   1 . 2 7       T ab le  3 .   E r r o r   an aly s is   o f   ap p r o x i m ate  m u ltip lier   D e si g n   ER %   M ED   N M ED   M R ED   C o n v e n t i o n a l   a p p r o x i mat e   f u l l   a d d e r   6 . 1   1 . 1   1 . 4 × 10 - 3   2 . 3 × 10 - 3   4 : 2   c o mp r e sso u si n g   a p p r o x i mat e   f u l l   a d d e r   5 . 4   1 . 0   1 . 2 × 10 - 3   2 . 0 × 10 - 3   4 : 2   c o mp r e sso u si n g   a p p r o x i mat e   f u l l   a d d e r   w i t h   m u x   4 . 8   0 . 9   1 . 1 × 10 - 3   1 . 8 × 10 - 3   4 : 2   c o mp r e sso u si n g   m a j o r i t y   g a t e   3 . 2   0 . 8   0 . 0 8 × 10 - 3   1 . 5 × 10 - 3   P r o p o se d   c o mp r e sso r   u si n g   a p p r o x i mat e   f u l l   a d d e r   3 . 0   0 . 8   1 . 7 × 10 - 3   1 . 2 × 10 - 3   P r o p o se d   c o mp r e sso r   u si n g   a p p r o x i mat e   f u l l   a d d e r   w i t h   mu x   2 . 6   0 . 7   1 . 6 × 10 - 3   1 . 1 × 10 - 3   P r o p o se d   c o mp r e sso r   u si n g   m a j o r i t y   g a t e   1 . 9   0 . 6   0 . 4 × 10 - 3   0 . 8 × 10 - 3       5.   CO NCLU SI O N   T h is   r esear ch   i n tr o d u ce s   an   in n o v ati v ap p r o x i m atio n - b ased   MA C   m u ltip lier   ar ch it ec tu r th a t   s ig n i f ica n tl y   e n h a n ce s   co m p u t atio n al  ef f icie n c y   f o r   co n v o l u t io n   o p er atio n s   in   C NN  ap p licatio n s .   T h is   d esig n   lev er ag e s   ad v a n ce d   4 :2 ,   5 :2 ,   an d   7 :2   co m p r ess o r s   u tili zi n g   a p p r o x im a te  co m p r ess o r s ,   ap p r o x i m ate   w it h   m u x   b ased   co m p r ess o r   an d   m aj o r it y   co m p r ess o r s ,   ac h ie v in g   m ar k ed   i m p r o v e m en o v er   c o n v e n tio n al  ac cu r at e   Dad d m u ltip lier s   p ar tial  p r o d u cts  r ed u ctio n s .   T h p r o p o s ed   m et h o d s   d e m o n s tr ate  n o tab le  r ed u cti o n   in   lo g ic  s ize,   ar ea ,   an d   p o w er   co n s u m p tio n   w h ile  m ai n tai n in g   co m p u ta tio n al  ac c u r ac y .   T h is   w o r k   i m p le m en ta tio n   o n   th Xili n x   Ver tex - 5   FP GA   p r o v es  th p er f o r m an ce   e v alu at io n   o f   L U T   r ed u ctio n s   u p   to   5 8 . 4 %,  an   o cc u p ied   s lice  o f   7 6 . 2 %,  an d   laten c y   o f   6 0 . 5 % .   Mo r eo v er ,   th is   r esear ch   i n clu d e s   th d etailed   er r o r   an al y s i s   u s in g   m etr ic s   s u ch   as  E R ,   ME R ,   NM E D,   an d   MRED  an d   p r o v es  th lo w e s er r o r   v alu es  ac r o s s   all  m etr ic s   u s i n g   m aj o r ity   lo g ic - b ased   co m p r ess o r s ,   w h ic h   h ig h li g h ts   th eir   s u itab ilit y   f o r   ap p r o x i m ati n g   co m p u ti n g   e n v ir o n m e n t s .   Fu r th er   r esear ch   m a y   e x te n d   th i s   w o r k   to   h ig h er   o r d er   m u l ti p lier s   ( 1 6 × 16   an d   32 × 3 2 ) ,   ex p lo r d y n a m ic  ap p r o x i m atio n   tech n iq u es,  a n d   ad d itio n all y   i n te g r ate  w it h   C NN  ap p licatio n s   to   f u r t h er   ac h ie v t h b en e f its   o f   ap p r o x im a tio n .       F UND I N G   I NF O RM AT I O N   Au t h o r s   s tate  n o   f u n d i n g   i n v o l v ed .       AUTHO CO NT RIB UT I O NS ST A T E M E NT   T h is   j o u r n al  u s e s   th C o n tr ib u to r   R o les  T ax o n o m y   ( C R ed iT )   to   r ec o g n ize  in d i v id u al  au th o r   co n tr ib u tio n s ,   r ed u ce   au t h o r s h ip   d is p u tes,  an d   f ac ilit ate  co lla b o r atio n .         Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.