T E L K O M NIKA   T elec o mm un ica t io n Co m pu t i ng   E lect ro nics   a nd   Co ntr o l   Vo l.  24 ,   No .   4 A u g u s t   20 26 ,   p p .   1 353 ~1 3 7 1   I SS N:  1 6 9 3 - 6 9 3 0 ,   DOI : 1 0 . 1 2 9 2 8 / T E L KOM NI K A . v 24 i 4 . 27703          1353       J o ur na l ho m ep a g e :   h ttp : //telko mn ika . u a d . a c. i d   new  hybrid dy a dic - te nt  c ha o tic  f unction  for secur e digita i m a g e en cryp tion       Any m o re   M a j er e,   H ient o   Su ha rj a ,   Su ry a di  M T   D e p a r t me n t   o f   M a t h e mat i c s,   F a c u l t y   o f   M a t h e mat i c s   a n d   N a t u r a l   S c i e n c e s,  U n i v e r si t a s I n d o n e si a ,   D e p o k ,   I n d o n e si a       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Dec   4 2025   R ev i s ed   A p r   17 2 0 2 6   A cc ep ted   Ma y   25 2026       Im a g e   e n c r y p ti o n   is  sig n if ica n fo p r o tec ti n g   v isu a d a ta  in   m o d e rn   d ig it a l   c o m m u n ica ti o n   sy ste m s.  T h is  stu d y   p ro p o se a   n e w   h y b rid   c h a o ti c   f u n c ti o n   th a c o m b in e t h e   d y a d ic  tran sf o rm a ti o n   m a p   a n d   th e   ten m a p   t o   c re a te  a   se c u re   i m a g e   e n c r y p ti o n   sc h e m e .   T o   e n h a n c e   k e y stre a m   u n p re d icta b il it y ,   se c u re   h a sh   a lg o rit h m   2 5 6   ( S HA - 2 5 6 )   h a sh i n g   is  u se d   a a   w h it e n in g   lay e r.   T h e   c h a o ti c   p ro p e rti e o f   th e   p r o p o se d   h y b rid   m a p   a re   v e ri f ied   u sin g   th e   Ly a p u n o v   e x p o n e n t,   w h ich   p ro v e it su it a b il it y   f o c r y p to g ra p h ic  a p p li c a ti o n s.  T h e   p e rf o r m a n c e   o f   th e   sc h e m e   is  e v a lu a ted   u sin g   sta n d a rd   g ra y s c a le  a n d   re d ,   g re e n ,   a n d   b l u e   (R G B)   i m a g e s.  T h e   re su lt sh o w   th a th e   e n c r y p ted   im a g e e x h ib it   n e a r - i d e a e n tro p y   v a lu e (7 . 9 9 7 3 7 . 9 9 9 9 ),   v e ry   lo w   c o rre latio n   c o e f f icie n ts  c l o se   to   z e r o ,   a n d   stro n g   re sista n c e   to   d if fe re n ti a a tt a c k w it h   n u m b e o f   p ix e ls  c h a n g e   ra te  ( NP CR )   v a lu e a b o v e   9 9 . 6 %   a n d   u n if ied   a v e ra g e   c h a n g in g   in ten sity   ( UA CI )   v a lu e a ro u n d   3 3 % .   In   a d d i ti o n ,   t h e   w h it e n in g   p ro c e ss   si g n if ica n tl y   re d u c e a u to c o rre latio n   (f ro m   0 . 0 4 9 0   t o   0 . 0 0 0 3 2 a n d   e n a b les   th e   g e n e ra ted   se q u e n c e to   p a ss   a ll   Na ti o n a I n stit u te  o f   S tan d a rd a n d   T e c h n o l o g y   (NIST )   ra n d o m n e ss   tes ts.  T h e   p ro p o se d   m e th o d   a lso   d e m o n stra tes   lo w   c o m p u tatio n a c o m p l e x it y   w it h   li n e a ti m e   p e r f o r m a n c e .   T h e se   r e su lt in d ica te  th a th e   sc h e m e   p ro v id e a   sa ti sfa c to r y   b a lan c e   b e tw e e n   se c u rit y ,   e ff icie n c y ,   a n d   p ra c ti c a a p p l ica b il it y .   K ey w o r d s :   C h ao tic  f u n ctio n s   D y ad ic  m ap   H y b r id   ch ao tic  f u n c tio n   Secu r h a s h   a l g o r ith m - w h ite n i n g   T en m ap   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   An y m o r Ma j er e   Dep ar t m en t o f   Ma th e m at ics,  F ac u lt y   o f   Ma t h e m a tics   a n d   Natu r al  Scie n ce s ,   U n iv er s itas   I n d o n esia   Dep o k   1 6 4 2 4 ,   I n d o n esia   E m ail:  a n y m o r e m aj er e2 @ g m a il.c o m         1.   I NT RO D UCT I O N   T h r ap i d   g r o w t h   o f   m u lti m ed ia  co m m u n icatio n ,   clo u d   co m p u ti n g ,   a n d   in ter n et  o f   t h i n g s   ( I o T )   s y s te m s   h a s   in te n s if ied   th n e ed   f o r   s ec u r i m ag tr a n s m i s s i o n   an d   s to r ag e.   Dig i tal  i m a g e s   f r eq u en t l y   co n ta in   s en s iti v p er s o n al,   m ed ical,   an d   m ilit ar y   in f o r m at io n ,   m a k in g   t h e m   a ttra ctiv tar g ets  f o r   cy b er attac k s   [ 1 ] C o n s eq u en tl y ,   e f f ic ien an d   r eliab le  i m a g en cr y p t io n   s c h e m es  ar es s en t ial  f o r   p r o tectin g   v i s u a d ata  in   m o d er n   co m m u n icatio n   en v ir o n m e n ts .   I m ag e n cr y p tio n   r ef er s   to   th p r o ce s s   o f   tr a n s f o r m i n g   an   o r ig i n al   i m a g in to   a n   u n i n telli g ib le  f o r m   u s i n g   cr y p to g r ap h ic  al g o r ith m s   an d   s ec r et  k e y s   to   p r ev en u n au t h o r ized   ac ce s s   [ 2 ] [ 4 ] .   C o n v en t io n al  cr y p to g r ap h ic  a lg o r ith m s ,   s u c h   as  ad v an ce d   en cr y p tio n   s ta n d ar d   ( A E S )   an d   R iv es t Sh a m ir A d le m a n   ( R S A ) ,   p r o v id s tr o n g   s ec u r it y   g u ar a n te es  b u o f ten   ex h ib it  h i g h   co m p u tatio n al  o v er h ea d   w h e n   ap p lied   to   lar g im a g d atasets   an d   r eso u r ce - co n s tr ai n ed   d ev ices  [ 5 ] ,   [ 6 ] .   T h is   li m i tatio n   r ed u ce s   th ei r   s u itab il it y   f o r   r eso u r ce - co n s tr ain ed   en v ir o n m e n ts ,   in cl u d i n g   w ir ele s s   s en s o r   n et w o r k s ,   e m b ed d ed   s y s te m s ,   an d   I o T   d ev ices  [ 7 ] ,   [ 8 ] .   A s   r esu lt,  alter n ati v en cr y p tio n   ap p r o ac h es  w ith   lo w er   co m p u t atio n al  co m p lex it y   h av b ee n   ac t iv el y   i n v e s ti g ate d .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   4 A u g u s 20 26 1 353 - 1 3 7 1   1354   C h ao s - b ased   i m a g en cr y p tio n   h as  r ec eiv ed   s ig n i f ica n att en tio n   d u to   th in h er e n p r o p er ties   o f   ch ao ti s y s te m s ,   i n cl u d in g   s e n s it iv i t y   to   in itial  co n d itio n s ,   p s eu d o - r an d o m n e s s ,   a n d   er g o d icit y   [ 4 ] ,   [ 9 ] ,   [ 1 0 ] Nu m er o u s   s c h e m es  b ased   o n   lo g is tic,   te n t,  d y ad ic,   an d   h én o n   m ap s   h a v b ee n   p r o p o s ed   f o r   k e y   g en er atio n   an d   d if f u s io n   m ec h a n is m s   [ 3 ] ,   [ 1 1 ] ,   [ 1 2 ] T h ese  ap p r o ac h es  o f ten   ac h ie v h i g h   co m p u tat i o n al  ef f icie n c y   an d   s i m p le  i m p le m en ta tio n .   Ho w e v er ,   ex ten s iv cr y p ta n al y s i s   h as  s h o w n   th a s in g le  o n e - d i m e n s io n al  ch ao tic  m ap s ,   f o r   ex a m p le,   th d y ad ic  m ap ,   f r eq u en t l y   f a il  to   p r o v id s u f f icie n co n f u s io n   an d   d i f f u s io n .   T h e y   th er e f o r allo w   r esid u a l   s tatis t ical  p atter n s   to   r e m ai n   in   en cr y p ted   i m ag e s ,   th e r eb y   in cr ea s in g   v u l n er ab ilit y   to   s tatis tical  an d   d if f er e n tial  attac k s   [ 1 3 ] ,   [ 1 4 ] .   T o   ad d r ess   th ese  w ea k n e s s es,  r ec en s tu d ies  h a v p r o p o s ed   h y b r id   ch ao tic  s y s te m s   a n d   ch ao s h a s h   f r a m e w o r k s   th a in t eg r ate  m u ltip le   m ap s   an d   cr y p to g r ap h ic  p r im iti v es   [ 2 ] ,   [ 4 ] ,   [ 9 ] ,   [ 1 5 ] [ 1 7 ] .   Desp ite  ex te n s i v r esear ch   o n   ch ao s - b ased   i m a g en cr y p t io n ,   an   i n h er e n tr ad e - o f f   r e m ai n s   u n r e s o lv ed s i n g le  o n e - d i m en s io n al  ch ao tic  m ap s   o f ten   f ail   to   p r o v id s u f f icie n r an d o m n es s   an d   d if f u s io n   f o r   s ec u r en cr y p tio n ,   w h ile  ex is t in g   h y b r id   o r   h ig h - d i m e n s io n al  ch ao tic  s c h e m e s   t y p ic all y   in c u r   in cr ea s ed   co m p u tatio n al  co m p lex it y ,   li m iti n g   th eir   ap p licab ilit y   i n   li g h t w eig h a n d   r eso u r ce - co n s tr ain ed   en v ir o n m en t s .   A d d r ess i n g   th is   tr ad e - o f f   b etw ee n   s ec u r it y   p er f o r m a n ce   an d   co m p u tat io n al  e f f icie n c y   r e m ain s   a n   o p en   ch alle n g e   [ 2 ] ,   [ 4 ] ,   [ 1 6 ] ,   [ 1 8 ]   I n   th is   p ap er ,   a   n e w   li g h t w eig h h y b r id   ch ao tic  i m a g en cr y p tio n   s ch e m b ased   o n   th co m p o s itio n   o f   th e   d y ad ic  tr an s f o r m atio n   m ap   an d   t h te n m ap ,   en h a n ce d   b y   Secu r Ha s h   A l g o r ith m   2 5 6   ( SH A - 256 ) - b ased   w h i ten i n g ,   is   p r o p o s ed .   B y   i n teg r ati n g   th b it - s h i f ti n g   d y n a m ic s   o f   th d y ad ic  m ap   w it h   th p iece w i s lin ea r   s tr u ct u r o f   th ten m ap ,   th p r o p o s ed   s ch e m i m p r o v es  en tr o p y ,   k e y   s en s iti v it y ,   an d   r esis ta n ce   to   s tatis t ical  attac k s   w h ile  m ai n tai n in g   lo w   co m p u tatio n al   o v er h ea d .   T h p r o p o s ed   m et h o d   em p h asize s   s i m p lic it y ,   r ep r o d u cib ilit y ,   a n d   p r ac tical  d ep l o y ab ilit y   f o r   r eso u r ce - co n s tr ai n ed   s y s te m s .   T h p r o p o s ed   s ch e m i s   ev alu ated   u s i n g   co m p r e h en s i v ch ao tic  an d   cr y p to g r ap h ic   an al y s es,   in cl u d in g   b if u r ca ti o n   d iag r a m s ,   L y ap u n o v   ex p o n en an a l y s i s ,   Natio n al  I n s tit u te  o f   Stan d a r d s   an d   T ec h n o lo g y   ( NI ST )   r an d o m n es s   tes tin g ,   h is to g r a m   a n d   co r r elatio n   a n al y s i s ,   k e y   s e n s i tiv it y   a s s e s s m en t,  r o b u s tn e s s   ev alu a tio n ,   an d   r u n ti m m ea s u r e m en t s .     T h m ai n   co n tr ib u tio n s   o f   t h is   r esear ch   ar s u m m ar ized   as f o llo w s :     A   n o v e h y b r id   d y ad ic ten ch ao tic  m ap   in te g r ated   w it h   SH A - 2 5 6   w h iten in g   f o r   lig h t w ei g h i m a g e   en cr y p tio n .     A   r ep r o d u cib le  en cr y p tio n   f r a m e w o r k   w it h   e x p licit p ar a m et er   s ettin g s   a n d   w el l - d e f i n ed   k e y   s tr u ct u r e.     C o m p r e h e n s i v s ec u r it y ,   r o b u s tn e s s ,   an d   p er f o r m a n ce   ev a lu atio n   u s in g   s ta n d ar d   cr y p to g r ap h ic  m etr ic s .     A   co m p ar ati v an a l y s is   d e m o n s tr ati n g   co m p etiti v r an d o m n ess   q u alit y   a n d   co m p u tatio n al  ef f icien c y .   T h r em ain d er   o f   th i s   p ap er   i s   o r g an ized   as  f o llo w s :   s ec ti o n   2   d escr ib es  th p r o p o s ed   en cr y p tio n   alg o r ith m ,   s ec tio n   3   p r esen ts   th ex p er i m e n tal  r esu l ts   an d   s ec u r it y   an a l y s is ,   an d   s ec tio n   4   co n clu d es  th p ap er   an d   d is cu s s es  f u tu r r esear c h   d ir ec tio n s .       2.   M E T H O   T h is   s tu d y   u t ilizes  t w o   o n e - d i m en s io n a ch ao tic  m ap s ,   th d y ad ic  tr an s f o r m atio n   m ap   an d   th ten t   m ap ,   to   co n s tr u ct  h y b r id   co m p o s itio n   f u n ctio n   u s ed   f o r   im ag e n cr y p tio n .   T h co m p o s ite  f u n ctio n   s er v e s   as   th k e y s tr ea m   g en er ato r   f o r   s u b s t itu t io n p er m u tatio n b ase d   en cr y p tio n   p r o ce d u r e.     2 . 1 .     T he  dy a dic  t ra ns f o rm a t io m a p   T h d y ad ic  tr an s f o r m a tio n   m a p   f u n ctio n   i s   d ef i n ed   as:     + 1 = 2      1   ( 1 )     A lter n ati v el y ,   th i s   ca n   b w r itt en   as :     ( ) = { 2 ,                                                   0 < 0 . 5 2 1 ,                                           0 . 5 < 1         ( 2 )     T h is   m ap   g e n er ates  d eter m i n is tic  s eq u en ce s   w it h   r an d o m - li k b eh av io r   d u to   r ep ea ted   s tr e tch i n g   an d   f o ld i n g   o f   th u n i t in ter v al,   m a k i n g   it  s u itab le  f o r   cr y p to g r ap h ic  ap p licatio n s   [ 1 9 ] [ 2 1 ] .     2 . 2 .     T he  t ent   m a p   T h ten m a p   is   d ef in ed   as:   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l           A   n ew h yb r id   d y a d ic - ten t c h a o tic  fu n ctio n   fo r   s ec u r d ig ita l   ima g en cryp tio n   ( A n ymo r Ma jere )   1355   + 1 = {                                                      < 0 . 5                                                 ( 1 )                                0 . 5                                                               ( 3 )     w h er [ 0 , 2 ]   co n tr o ls   th c h ao tic  b eh av io r .       2 . 3 .     T he  hy brid dy a dic - t ent   m a p   L et  ( )   d en o te  th d y ad ic  m ap   a n d   ( )   th t e n m ap .   T h p r o p o s ed   h y b r id   m ap   is   d e f i n ed   b y   co m p o s i tio n :     ( ) = ( ( ) ) = 2 ( ) mod    1 .   ( 4 )     Su b s ti tu t in g   ( 3 )   in to   ( 2 ) ,   an d   f o r   [ 0 , 1 ]   an d   2   th co m p o s ite  f u n ct io n   b ec o m es:     ( ) = { 2    ,                       0 0 . 5      0  < 0 . 5 2  1 ,               0 0 . 5      0 . 5  1 2 ( 1 )   ,                     0 . 5 < 1      0 ( 1 ) < 0 . 5     2 ( 1 ) 1 ,             0 . 5 < 1      0 . 5 ( 1 ) 1                                       ( 5 )     A ll  co m p u tatio n s   ar p er f o r m ed   in   d o u b le - p r ec is io n   f lo ati n g - p o i n ar ith m etic  w it h   ( 0 , 1 ) .   T h is   co m p o s i tio n   in teg r ate s   th s tr etch i n g   e f f ec o f   t h ten m a p   w ith   t h b it - s h i f ti n g   m ec h a n is m   o f   th d y ad ic  m ap ,   en h a n ci n g   en tr o p y   a n d   s en s it iv i t y   to   i n itial  co n d itio n s .   th p r o p o s ed   h y b r id   d y ad ic ten m ap   i s   iter ated   to   g en er ate  b o th   th p er m u tati o n   s eq u e n ce   u s ed   f o r   p ix el  s cr a m b lin g   an d   t h ch ao tic  k e y s tr ea m   e m p lo y ed   i n   th d if f u s io n   s ta g o f   t h en cr y p t io n   al g o r ith m .   Fig u r 1   illu s tr ates  th g r ap h   o f   th co m p o s i te  m ap   f o r   = 1 . 5 ,   s h o w i n g   d en s f o ld in g   an d   s tr o n g   tr an s itio n s   ac r o s s   th u n it  i n te r v al.   I n   t h is   s tu d y ,   co n tr o p ar a m eter     is   s elec ted   clo s to   its   u p p er   b o u n d   ( e. g . ,   1 . 5 )   to   en s u r f u ll y   d ev e lo p ed   ch ao tic  b eh a v io r ,   as  v al u es   n ea r   2   m ax i m ize   s e n s i t iv i t y   to   in i tial   co n d itio n s   a n d   y ield   p o s itiv L y ap u n o v   e x p o n en ts   ac r o s s   t h u n i in ter v al.   L o w er   v al u es  o f     w er e m p ir icall y   o b s er v ed   to   r ed u ce   r an d o m n es s   an d   w er t h er ef o r ex clu d ed   [ 2 2 ] [ 2 4 ] .           Fig u r 1 .   Gr ap h   o f   th h y b r id   d y ad ic - te n m ap   f o r   = 1 . 5       2 . 4 .     NIS T   s t a t is t ica l t est  s uite   T o   ev alu ate  th in tr i n s ic  r an d o m n e s s   o f   th p r o p o s ed   h y b r id   d y ad ic ten m ap ,   th NI ST  s tatis tica l   test   s u i te   ( ST S)  is   a p p lied .   T h s u i te  co n s is t s   o f   1 5   s tatis ti ca test s   ( w it h   1 6   r esu lts )   d esig n ed   to   ass es s   th e   r an d o m n e s s   o f   ch ao s   f u n c t io n   [ 1 0 ] ,   [ 2 4 ] .   T w o   b in ar y   s eq u en ce s   w er g e n er ated   f o r   co m p ar is o n r a s eq u en ce   an d   SH A - 256 w h ite n ed   s eq u e n ce .   T h ch ao ti m ap   w a s   i m p le m e n ted   i n   P y t h o n   3   w ith in   a   Go o g le  C o lab   en v ir o n m e n u s in g   d o u b le - p r ec is io n   ar ith m e tic,   w it h   co n tr o p ar a m eter   = 1 . 6   an d   in itia co n d itio n   0 = 0 . 612345 .   Af ter   d is ca r d in g   t h f ir s 5 , 0 0 0   iter atio n s   to   eli m i n ate  tr an s ie n e f f ec t s ,   t h m ap   o u tp u ts   w er q u an t ized   to   3 2 - b it  in te g er s   an d   co n ca ten a te d   to   p r o d u ce   s eq u en ce s   o f   ap p r o x i m atel y   5   MB   ( 4 0 , 0 0 0 , 0 0 0   b its ) .   T h e   w h i ten ed   s eq u en ce   w as  o b tain ed   b y   ap p ly i n g   SH A - 2 5 6   h as h in g   to   f i x ed - s ize  b lo ck s   o f   th r a w   b y te  s tr ea m ,   en ab li n g   d ir ec c o m p ar is o n   b et w ee n   u n p r o ce s s ed   an d   p o s t - p r o ce s s ed   ch ao s   o u tp u t s .   R an d o m n e s s   ev a lu atio n   w as  p er f o r m ed   u s i n g   t h P y t h o n   i m p le m e n tat io n   o f   t h NI ST   s tatis tical  te s s u ite   d ev elo p ed   b y   An g   [ 2 5 ] ,   ex ec u ted   u n d er   W in d o w s   P o w er S h ell  w i th   P y th o n   3 . 1 3   ( 6 4 - b it ) .   T h is   p r o ce d u r Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   4 A u g u s 20 26 1 353 - 1 3 7 1   1356   is o lates  t h i n h er en r a n d o m n ess   o f   th e   p r o p o s ed   ch ao tic  m ap   w h ile  as s es s in g   t h i m p ac o f   cr y p to g r ap h ic  w h ite n i n g .   W also   ca lcu late   en tr o p y   an d   au to co r r elatio n   to   s tr en g th e n   o u r   r esu l ts .   T h au to co r r elatio n   f u n ctio n   o f   th e   g e n er ated   k e y s tr ea m   i s   ev a lu ated   u s in g   f ast   f o u r ier   tr an s f o r m   ( FFT ) - b ased   esti m atio n   o n   ± 1   tr an s f o r m ed   b it  s eq u en ce .   A   s ec u r k e y s tr ea m   is   ex p ec ted   t o   ex h ib it  s h ar p   p ea k   at  ze r o   lag   an d   n ea r - ze r o   co r r elatio n   f o r   all  n o n - ze r o   lag s .   B o th   r a w   an d   SH A - 256 - w h ite n ed   s tr ea m s   ar an al y z ed   to   ev alu ate  th e   i m p ac t o f   t h w h iten in g   s ta g o n   s tatis tical  i n d ep en d en ce .     2 . 5 .     E ncry ptio a nd   decr y ptio n pro ce s s   T h p r o p o s ed   im a g e - e n cr y p ti o n   s ch e m e m p lo y s   t h s a m h y b r id   d y ad ic ten ch ao tic  k e y s tr ea m   g en er ato r   u s ed   i n   t h NI ST   s tatis tical   e v al u atio n .   T h g e n er ato r   p r eser v es  th id en tical   ch ao tic  d y n a m ics,   q u an tizat io n   p r o ce s s ,   an d   SH A - 256 b ased   w h ite n i n g   m ec h an i s m .   Fo r   i m a g en cr y p tio n ,   th g en er ato r   i s   g en er alize d   to   p r o d u ce   v ar iab le - le n g th   k e y s tr ea m s   a n d   i n co r p o r ates  p u b lic  p er - i m a g i n i tializa tio n   v ec to r   ( I V)   to   p r ev en k e y s tr ea m   r e u s e,   w i th o u alter i n g   t h u n d er l y in g   s tati s tical  p r o p er ties   v alid ated   b y   NI ST   test i n g .     W u s f ix ed   s ec r et  k e y   = ( 0 , ) ,   w h er 0 = 0 . 612345   an d   = 1 . 600000   ar ch o s en .   T o   p r ev en k e y s tr ea m   r eu s w h il p r es er v in g   r ep r o d u cib ilit y ,   p u b lic  p e r - i m a g I V   is   d eter m i n is t icall y   d er iv ed   f r o m   t h i m ag f i len a m as  th f ir s t   6 4   b its   o f   t h SH A - 2 5 6   h a s h ,   i.e . ,   IV = Tr unc 64 ( SHA 256 ( fil e n a me ) ) .   A   f i x ed   b u r n - i n   v alu e   o f   5   0 0 0   iter atio n s   is   ap p lied   to   th e   ch ao tic  s y s te m .   I n p u i m a g es  ar p r o ce s s ed   eith er   in   g r a y s ca l ( L )   o r   r ed ,   g r ee n ,   an d   b lu ( R GB )   m o d e;  p alette - b as ed   i m ag e s   ar f ir s co n v er ted   to   g r a y s ca le  to   en s u r u n i f o r m   8 - b it  s a m p lin g .   T h im a g i s   s er ialized   i n to   o n e - d i m en s io n a l   p lain tex v ec to r   { 0 , , 255 } ,   w h er =    f o r   g r a y s ca le  i m a g es  an d   = 3    f o r   R GB   i m a g es  u s i n g   co n ca ten ated   c h a n n e o r d er   = [ ] .   T h is   s er ializat io n   s tep   is   f u ll y   d eter m i n i s tic,   e n s u r in g   t h at   id en tical  i n p u t s   an d   p r ep r o ce s s in g   ch o ice s   al w a y s   y ield   th s a m p lai n te x r ep r esen tatio n .   Fo r   ea ch   im a g e,   v ar iab le - le n g th   k e y s tr ea m   o f   ex ac tl y   4   is   g en er ated   u s i n g   t h h y b r id   d y a d ic t en t   m ap   in itialized   w it h   .   A f ter   d is ca r d in g   d eter m in is tic  n u m b er   o f   in itial  iter atio n s   eq u al  to   5000 + (       100000 ) ,   th ch ao tic  o r b it  is   co n v er ted   to   3 2 - b it  in teg er   s eq u e n ce   v ia  = 2 32 ,   p ac k ed   in to   b ig - e n d ian   b y tes  a n d   tr u n ca te d   to   th r eq u ir ed   len g th .   C r y p t o g r ap h ic  w h iten in g   i s   th e n   ap p lied   b lo ck   w i s b y   h as h i n g   ea ch   3 2 - b y te  c h u n k   u s in g   S H A - 2 5 6   w it h   I V   co n ca ten a tio n ,   i.e . ,    256 (   ) ,   an d   tr u n ca t in g   th r es u lt  to   p r eser v th o r ig i n al  len g t h .   T h r esu lti n g   w h i ten ed   k e y s tr ea m   is   s p lit  in to   th r ee   s eg m e n ts :   t h f ir s 2 L - b y tes  d r iv Fis h er Yate s   p er m u ta tio n   th at  r eo r d er s   th p lain tex v ec to r   to   ac h iev co n f u s io n ,   w h ile  t h r e m ai n in g   t w o   - b y te   s e g m en t s   ar e   u s ed   f o r   f o r w ar d   a n d   b ac k w ar d   d if f u s io n ,   r esp ec tiv el y .   Dif f u s io n   is   p er f o r m ed   in   t w o   c h ai n ed   p ass e s   u s in g   m o d u lar   ad d itio n ,   ex clu s i v O R   ( XOR)   f ee d b ac k ,   an d   d ata - d ep en d en t   8 - b it  r o tatio n s   ap p lied   to   ea ch   k e y s tr ea m   b y te.   T h is   s i g n if ica n tl y   e n h a n ce s   av alan c h b e h av io u r   w h i le  r em ai n in g   f u ll y   in v er tib le.   T h f in al  cip h er tex v ec to r   is   r es h a p ed   b ac k   in to   eith e an   M × N   gr a ys c a l e   im a g o r   an   M × N × 3   R G B   i m ag e.   De cr y p tio n   f o llo w s   th ex ac in v er s s eq u e n ce :   k e y s tr ea m   r eg e n er atio n ,   i n v er s b ac k w ar d   d if f u s io n ,   i n v er s f o r w ar d   d if f u s io n ,   ap p licatio n   o f   th e   in v er s e   p er m u tatio n ,   an d   i m ag r es h a p in g .   B ec au s all  s tep s   ar e   d eter m i n is tic  a n d   b ij ec tiv e,   an d   b ec au s th I is   d er iv ed   d eter m in i s ticall y   f r o m   t h f ile n a m e,   b it - p er f ec r e co n s tr u ct io n   o f   th o r i g in a i m ag e   is   g u ar an teed   w h e n ev er   t h s a m e   k e y   p ar a m eter s ,   I d er i v atio n ,   a n d   p r ep r o ce s s in g   m o d ar u s ed .   T h p r o ce s s   is   s u p p o r ted   b y   s o m r ec en ch ao s - b ased   p er m u tat io n   s tr ateg ies   [ 1 ] ,   [ 1 2 ] ,   [ 1 4 ] .   T h e   i m p le m en ta tio n   i s   s u m m ar ized   in   A l g o r ith m s   1   a n d   2   in   T ab le  1       T ab le  1 .   A lg o r ith m s   1   a n d   2 p r o p o s ed   im a g en cr y p tio n   a n d   d ec r y p tio n   p r o ce d u r es   A l g o r i t h m   1   A l g o r i t h m   2   In p u t :   I mag e   I ,   se c r e t   k e y   = ( 0 , ) ,   b a se _ d i sc a r d   0 f i l e n a me   n a me     Ou t p u t :   C i p h e r   i mag e   C     1 :   I V   ←  T r u n c 6 4 ( S H A - 2 5 6 ( n a me ) )   2 :   p   ←  S e r i a l i z e I mag e ( I )            g r a y sca l e   o r   R G B   ( R | | G | | B)   3 :   L   ←  l e n g t h ( p )   4:       ←  G e n e r a t e   W h i t e n e d   K e y st r e a m (4 L ,   K ,   0 ,   I V )   5 :   (  1 2 )   ←  S p l i t (   ,   [ 2 L ,   L ,   L ] )   6 :     ←  F i s h e r   Y a t e s Pe r mu t a t i o n   ( L ,    )   7 :      ←  A p p l y   P e r mu t a t i o n   ( )   8 :   1   ←  F o r w a r d   D i f f u si o n   (  1  [ 0 ] )   9 :     ←  B a c k w a r d   D i f f u s i o n   ( 1 2  [ 1 ] )   1 0 :   C     R e sh a p e   T o   I mag e ( c )   1 1 :   r e t u r n   C   In p u t :   C i p h e r   i mag e   C ,   se c r e t   k e y   = ( 0 , ) ,   b a se   d i s c a r d   0 f i l e n a me   n a me   Ou t p u t :   R e c o v e r e d   i mag e   I     1 :   I V   ←  T r u n c 6 4 ( S H A - 2 5 6 ( n a me ) )   2 :   c   ←  S e r i a l i z e I mag e ( C )   3 :   L   ←  l e n g t h ( c )   4 :       ←  G e n e r a t e   W h i t e n e d   K e y st r e a m (4 L ,   K ,   0 ,   I V )   5 :   (  1 2 )   ←  S p l i t (   ,   [ 2 L ,   L ,   L ] )   6   ←  F i s h e r   Y a t e s Pe r mu t a t i o n ( L ,    )   7 :   ¹   ←  I n v e r t   P e r mu t a t i o n ( )   8 :   1   ←  I n v e r s e   B a c k w a r d   D i f f u s i o n ( c ,   2  [ 1 ] )   9 :      ←  I n v e r s e   F o r w a r d   D i f f u si o n ( 1 1  [ 0 ] )   1 0 :   p     A p p l y   P e r mu t a t i o n (  ¹ )   1 1 :   I   ←  R e sh a p e   T o   I mag e ( p )   1 2 :   r e t u r n   I   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l           A   n ew h yb r id   d y a d ic - ten t c h a o tic  fu n ctio n   fo r   s ec u r d ig ita l   ima g en cryp tio n   ( A n ymo r Ma jere )   1357   2 . 6 .     T hrea t   m o d el   T h p r o p o s ed   im a g en cr y p ti o n   s ch e m i s   e v alu ated   u n d er   s tan d ar d   cr y p to g r ap h ic  t h r ea m o d el  co n s is ten w i th   Ker ck h o f f s s   p r in cip le,   w h er eb y   t h ad v er s ar y   is   as s u m ed   to   p o s s es s   f u l k n o w led g o f   t h e   en cr y p tio n   an d   d ec r y p tio n   a lg o r ith m s ,   w h ile  t h s ec r ec y   o f   th s y s te m   r elies  s o lel y   o n   t h co n f id e n tialit y   o f   th s ec r et  k e y .     2 . 6 . 1 .   Adv er s a ria c a pa bil it ies   W ass u m co m p u ta tio n all y   p o w er f u l a d v er s ar y   w it h   th f o llo w i n g   ca p ab ilit ie s :   a)   C o m p lete  al g o r ith m ic  k n o w le d g e   T h ad v er s ar y   i s   ass u m ed   to   k n o w   all  d esi g n   d etails  o f   t h e   s ch e m e,   in cl u d in g :   t h h y b r i d   d y ad ic ten ch ao tic  m ap ,   th 3 2 - b it  q u an tizatio n   p r o ce d u r e,   th SHA - 256 b ased   w h ite n i n g   m ec h an i s m ,   th p er m u tatio n d if f u s io n   ar ch i te ctu r e,   an d   t h is   i n v o l v es  u s i n g   p u b lic  p e r - i m a g I th at  is   d er iv ed   f r o m   th i m ag f ile n a m e.   b)   Un k n o w n   s ec r et  k ey   T h ad v er s ar y   d o es  n o k n o th s ec r et  k e y   = ( 0 , ) ,   w h er 0     d en o tes  t h i n itial   co n d itio n   an d     d en o tes  th co n tr o p ar am eter   o f   th ch ao tic  s y s te m .   T h ese  p ar am eter s   ar tr ea ted   as  c o n tin u o u s - v al u ed   q u an tit ies r ep r esen ted   i n   I E E E - 7 5 4   d o u b le - p r ec is io n   f o r m a t.   c)   A ttac k   m o d el s   T h ad v er s ar y   m a y   o p er ate  u n d er   an y   o f   th f o llo w i n g   s tan d ar d   attac k   s ce n ar io s :     C ip h er te x t - o n l y   a ttack   ( C O A ) :   ac ce s s   o n l y   to   en cr y p ted   i m a g es.     Kn o w n - p lai n te x t a ttac k   ( KP A) :   ac ce s s   to   o n o r   m o r p lain t ex t cip h er te x t p air s .     C h o s e n - p lain tex a ttack   ( C P A ) :   t h ab ilit y   to   s e lect  ar b it r ar y   p lai n te x i m a g es  a n d   o b tain   t h eir   co r r esp o n d in g   cip h er te x ts .   d)   C o m p u tatio n al  r eso u r ce s .   T h en e m y   i s   as s u m ed   to   h a v s u b s ta n tial   co m p u tatio n al   p o w er h o w e v er ,   ex h a u s ti v s ea r ch   r e m ai n s   co n s tr ain ed   b y   p r ac tical  l i m it s   o f   co m p u ta tio n al   f ea s ib ilit y   an d   f lo atin g - p o in t   p r ec is io n .   T h is   m o d el  en s u r es  th at  t h p r o p o s ed   s ch e m is   ev al u ated   u n d e r   co n s e r v ativ an d   w id el y   ac ce p ted   cr y p to g r ap h ic  ass u m p tio n s .     2 . 7 .     Securit y   e v a lua t io n o f   i m a g encr y ptio n a lg o rit h m   T h s ec u r it y   o f   t h p r o p o s ed   s ch e m i s   an al y ze d   w it h   r esp ec to   th f o llo w in g   attac k   cla s s es:  b r u te   f o r ce ,   s tatis tica l,  d if f er en tial,  a n d   k e y s tr ea m   r e u s attac k s .     2 . 7 . 1 .   K ey - s pa ce   a na l y s is   Ke y   s p ac an al y s i s   is   co n d u cted   to   ev alu ate  th r esis tan ce   o f   th p r o p o s ed   en cr y p ti o n   s ch e m e   ag ain s b r u te - f o r ce   attac k s   [ 6 ] .   T h s ec r et  k e y   o f   t h p r o p o s ed   alg o r ith m   m ai n l y   co n s i s ts   o f   t h in itia l   co n d itio n   0 ,   th co n tr o l p ar am e ter   ,   an d   th tr an s ie n t r e m o v al  p ar am eter       o f   th ch ao tic  s y s te m .   A ll  k e y   p ar a m eter s   ar ass u m ed   to   b r ep r esen ted   w it h   d o u b le - p r ec i s io n   f lo atin g - p o in ac cu r ac y ,   w h ic h   p r o v id es  p r ec is io n   o f   ap p r o x i m ate l y   10 15 .   T h to tal  k e y   s p ac is   ca lcu lated   b y   co n s id er in g   th v alid   r an g e s   an d   p r ec is io n   o f   ea ch   k e y   p ar a m eter .   A   s u f f icien tl y   lar g k - s p ac en s u r es  th at  ex h au s ti v k e y   s ea r ch   attac k s   ar co m p u tatio n a ll y   i n f ea s ib le.   W ca lcu late  k - p ac in   th r es u lt s   s ec tio n .     2 . 7 . 2 .   H is t o g ra m   a na ly s is   His to g r a m   a n al y s i s   is   e m p lo y ed   to   ev alu ate  th s tati s tica d is tr ib u tio n   o f   p ix el  in te n s i ties   in   th e   o r ig in al  a n d   en cr y p ted   i m ag e s   [ 6 ] .   F o r   b o th   g r a y s ca le  a n d   co lo r   im a g es,  t h f r eq u e n c y   o f   ea ch   g r a y - lev e l   v alu i n   th r an g [ 0 ,   2 5 5 ]   is   c o m p u ted .   Fo r   co lo r   im a g es,  t h h is to g r a m s   o f   t h r ed ,   g r ee n ,   an d   b lu ch an n els   ar an al y ze d   s ep ar atel y .   T h h is to g r a m s   o f   t h p lain   i m a g e s   ar co m p ar ed   w it h   th o s o f   th co r r esp o n d in g   cip h er   i m a g e s   to   e x a m in e   th e   ab ilit y   o f   t h p r o p o s ed   en cr y p tio n   s c h e m to   co n ce al  s tatis t i ca in f o r m at io n .   A   u n i f o r m   d is tr ib u tio n   in   t h en cr y p ted   h i s to g r a m   i n d icate s   s t r o n g   r esis ta n ce   ag ain s h i s to g r a m - b ased   s tatis tical   attac k [ 1 ] .     2 . 7 . 3 .   Co rr ela t io a na ly s is   I n   n atu r al  i m a g es,  th er ex i s t s   s tr o n g   co r r elatio n   a m o n g   ad j ac en p ix els  d u to   th co n ti n u i t y   o f   v is u al  in f o r m a tio n   [ 6 ] .   T o   ef f ec tiv el y   co n ce al  th s tr u ctu r al   ch ar ac ter is tics   o f   th p lai n   im ag e,   a n   en cr y p tio n   alg o r ith m   s h o u ld   s ig n i f ica n tl y   r ed u ce   th is   co r r elatio n .   T h er e f o r e,   co r r elatio n   an aly s is   is   e m p lo y ed   to   ev alu ate   th ef f ec ti v e n es s   o f   th p r o p o s ed   s ch e m i n   d ec o r r ela tin g   n ei g h b o r in g   p ix el s .   T h s ec u r it y   o f   th al g o r ith m   i s   ass es s ed   b y   e x a m i n in g   w h eth er   th ad j ac en p ix els  in   t h en cr y p ted   i m a g ar r an d o m l y   d is tr ib u ted   o v er   th e   en tire   i m ag r e g io n .   A   lo co r r elatio n   co ef f icie n i n d ic ates  th a th p r o p o s ed   m eth o d   ac h ie v es  s tr o n g   co n f u s io n   an d   d if f u s io n   p r o p e r ties .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   4 A u g u s 20 26 1 353 - 1 3 7 1   1358   2 . 7 . 4 .   I nfo r m a t io ent ro py   a nd   lo ca l e ntr o py   a na ly s is   I n f o r m a tio n   e n tr o p y   is   e m p l o y ed   to   ev a lu ate  t h r an d o m n es s   an d   u n p r ed ictab ilit y   o f   th cip h er   i m a g es  [ 6 ] ,   [ 1 0 ] .   A   h ig h er   en t r o p y   v alu i n d icate s   t h at  th en cr y p ted   i m a g co n tain s   le s s   s tat is tica in f o r m atio n   a n d   is   m o r r esis tan to   s tati s tical  attac k s .   Fo r   an   8 - b it  i m ag e,   t h in f o r m atio n   en tr o p y   is   d ef in ed   as:   H = p ( i ) l og 2 p ( i ) , 255 i = 0   w h er ( )   d en o tes th p r o b a b ilit y   o f   o cc u r r en ce   o f   p ix el  v al u   in   t h cip h er   i m ag e.   Fo r   p er f ec tl y   r an d o m   8 - b it  i m a g e,   th th eo r etica en tr o p y   v al u is   8 .   T o   f u r th er   ex a m i n th e   lo ca r an d o m n es s   o f   th cip h e r   im a g es,  t h lo ca in f o r m at io n   en tr o p y   is   ca lcu lated .   T h cip h er   i m ag is   f ir s t   d iv id ed   in to     n o n - o v er lap p in g   b lo ck s   o f   eq u al  s ize.   T h en tr o p y   o f   ea ch   b lo ck   is   th en   c o m p u ted ,   an d   th lo ca l e n tr o p y   i s   d ef i n ed   as:   loca l = 1 = 1 ,   w h er   r ep r esen ts   t h en tr o p y   o f   th - t h   b lo ck .   I n   th e x p er i m e n t s ,   ea c h   cip h er   i m ag i s   d iv id ed   i n to   f i x ed - s ize  b lo ck s ,   a n d   th lo ca e n tr o p y   v alu e s   ar co m p u ted   to   as s es s   t h u n i f o r m it y   o f   r a n d o m n ess   i n   d if f er en i m a g r e g io n s .   Hi g h   g lo b al  a n d   lo ca en tr o p y   v al u es  clo s to   t h th eo r etica li m it  d e m o n s tr ate  t h at  th p r o p o s ed   s ch e m p r o d u ce s   h i g h l y   r an d o m   cip h er   i m a g es a n d   ex h ib its   s tr o n g   r esi s tan ce   to   s ta tis t ical  att ac k s .     2 . 7 . 5 .   K ey   s ens it iv it y   a na ly s i s   W co n d u ct  k e y   s e n s it iv i t y   u s in g   w r o n g - k e y   d ec r y p tio n   e x p er i m e n to   ev al u ate  t h e f f e ct  o f   s li g h t   v ar iatio n s   in   t h e   s ec r et  k e y .   A   p lai n tex i m a g is   f ir s en cr y p ted   u s i n g   t h co r r ec k e y   1 = ( 0 , ) .   T h r esu lti n g   cip h er tex is   t h en   d e cr y p ted   u s i n g   b o th   t h co r r ec k e y   1   an d   s lig h tl y   m o d if ied   k e y   2 ,   w h er 2   d if f er s   f r o m   1   b y   m i n i m al  p er tu r b atio n   in   o n p ar a m ete r   ( 0 + 10 15   o r   + 10 15 ) ,   w h ile  all  o th er   p ar am eter s   r e m a in   u n c h an g e d .   T h co r r ec tn ess   o f   d ec r y p tio n   i s   v er if ied   b y   co m p ar i n g   t h r ec o n s tr u cted   i m a g w it h   t h o r ig i n al  i m a g u s i n g   m ea n   s q u ar ed   er r o r   ( MSE )   an d   p ea k   s ig n al - to - n o i s r atio   ( P SNR ) .   s ec u r e n cr y p tio n   s c h e m i s   e x p ec ted   to   p r o d u ce   ex ac t r ec o n s tr u ctio n   u n d er   th e   co r r ec t k e y   ( MSE   =   0 ) ,   w h ile   ev en   n eg l ig ib le  d ev iatio n   i n   th k e y   s h o u ld   r es u lt i n   co m p l ete  d ec r y p tio n   f ail u r [ 6 ] ,   [ 1 4 ] .     2 . 7 . 6 .   N u m ber  o f   pix els c ha n g ra t ( NP CR)   a nd   un if ied  a v er a g e   cha ng ing   inte ns it y   ( UACI)   ev a lua t io n   T o   ass ess   t h s ec u r it y   p er f o r m an ce   o f   t h p r o p o s ed   en cr y p ti o n   s ch e m e,   t h NP C R   a n d   th e   UACI  ar e m p lo y ed .   T h ese  m e tr ics  ar e   u s ed   to   e v alu a te  th e   av ala n ch e f f ec a n d   m ea s u r t h s en s it iv i t y   o f   cip h er   i m a g es  to   s li g h t   ch a n g es  i n   eit h er   th e   p lain te x o r   t h s ec r et  k e y   [ 6 ] .   L et  t w o   cip h er   i m a g e s   b d en o ted   as  1   an d   2 ,   w it h   i m ag s ize  ×   an d     co l o r   ch an n el s .   T h NP C R   is   d ef i n ed   as:     N PCR = 1 p D ( i , j , k ) × 100% C k = 1 N j 1 M i = 1       w h er = × × ,   an d     D ( i , j , k ) = { 1 , if   C 1 ( i , j , k ) C 2 ( i , j , k ) , 0 , o th er wis e .       T h UA C I   i s   ca lcu lated   as :     UACI = 1 P C 1 ( i , j , k ) C 2 ( i , j , k ) 255 × 100% C k = 1 N j = 1 M i = 1       Fo r   g r a y s ca le  i m a g es,  = 1 ,   w h er e as f o r   co lo r   im a g es,  = 3   T h v alu 2 5 5   r ep r esen ts   t h m ax i m u m   p i x el  i n ten s it y   f o r   8 - b it  i m a g e s .   T h m etr ics  w er ass es s ed   in   th f o llo w i n g   ca te g o r ies;     NP C R   an d   U AC I   in   t h p lain t ex t d o m ai n   ( d if f er en tial a t tack )   T o   ev alu ate  th r esis ta n ce   o f   th p r o p o s ed   s ch e m ag ai n s d i f f er en tial  attac k s ,   NP C R   an d   UACI  ar f ir s co m p u ted   in   th p lain te x d o m ai n .   T w o   p lain   i m a g es  ar g en er ated ,   w h er th s ec o n d   i m a g d if f er s   f r o m   t h f ir s b y   o n l y   o n p i x el.   B o th   i m a g es  ar en cr y p t ed   u s in g   th s a m s ec r et  k e y   to   o b tain   t w o   cip h er   i m a g es.     T h NP C R   an d   UA C I   v a lu e s   ar th en   ca lcu la ted   b et w ee n   th t w o   cip h er   i m a g es  to   m ea s u r th d if f u s io n   ca p ab ilit y   a n d   av ala n ch e   ef f ec in   th e   p lain te x t   d o m ai n .   Hi g h   NP C R   an d   U AC I   v alu e s   i n d icate   th at  s li g h m o d i f icatio n   i n   th p lain   i m a g r esu lts   i n   s i g n i f ica n c h an g e s   i n   t h en cr y p ted   i m a g e,   d em o n s tr ati n g   s tr o n g   r esi s tan c to   d if f er en t ial  attac k s   [ 1 ] ,   [ 2 6 ] .     NP C R   an d   U AC I   in   t h k e y   s e n s it iv i t y   d o m ai n   I n   ad d itio n ,   NP C R   an d   U AC I   ar em p lo y ed   to   an al y ze   t h s en s iti v it y   o f   t h p r o p o s ed   s c h e m to   s m al l   v ar iatio n s   in   s ec r et  k e y s .   T w o   s ec r et  k e y s ,   d en o ted   as  1   an d   2 ,   a r s elec ted   s u ch   t h at  th e y   d i f f er   o n l y   b y   v er y   s m al a m o u n in   o n ch ao tic  p ar a m eter ,   w h ile  al l   o th er   p ar am eter s   r e m ai n   u n c h an g ed .   Usi n g   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l           A   n ew h yb r id   d y a d ic - ten t c h a o tic  fu n ctio n   fo r   s ec u r d ig ita l   ima g en cryp tio n   ( A n ymo r Ma jere )   1359   th ese  t w o   clo s el y   r elate d   k e y s ,   t h s a m p lai n   i m ag e   is   en cr y p ted   s ep ar atel y   to   g en er ate  t w o   co r r esp o n d in g   cip h er   i m a g e s .   T h NP C R   a n d   U AC I   v a lu es  ar t h en   co m p u ted   b et w e en   t h ese  t w o   en cr y p ted   i m a g es  u s in g   t h s a m f o r m u la s .   T h is   ex p er i m en ev a lu ate s   th av alan ch e f f ec i n   th k e y   d o m ain .   Hi g h   NP C R   an d   U AC I   v alu e s   in d icate   th a s li g h p er tu r b atio n   in   t h s ec r et  k e y   le a d s   to   s u b s ta n tial  c h an g es  i n   th cip h er   i m ag e ,   co n f ir m i n g   t h h ig h   k e y   s e n s itiv it y   a n d   s ec u r it y   o f   t h p r o p o s ed   alg o r ith m   [ 8 ] ,   [ 2 6 ] .   R em ar k :   I s h o u ld   b n o ted   th at  t h t w o   a n al y s es  ev alu a te  av ala n c h p r o p er ties   in   th p lai n tex an d   k e y   d o m ai n s ,   r esp ec ti v el y .   T h er ef o r e,   th eir   NP C R   an d   U AC I   v al u es a r n o t e x p ec ted   to   b id en tical  [ 2 6 ] .     2 . 7 . 7 .   No is a nd   o cc lus io n a t t a ck   a na ly s is   No is attac k to   ev al u ate  t h r o b u s tn e s s   o f   t h p r o p o s ed   en cr y p tio n   s c h e m ag a in s c h an n el  n o is e,   a   n o is attac k   a n al y s i s   i s   p er f o r m ed .   Di f f er en t   lev e ls   o f   s alt - a n d - p ep p er   n o is ar ad d ed   to   th e n cr y p ted   i m a g es  to   s i m u late  tr an s m i s s i o n   er r o r s   an d   ex ter n al  in ter f er en ce .   T h n o is y   cip h er   i m a g es   ar th en   d ec r y p ted   u s i n g   t h co r r ec s ec r et  k e y .   T h v is u al  q u al it y   o f   t h d ec r y p ted   i m a g es  i s   a n al y ze d   to   d eter m in w h et h er   m ea n in g f u in f o r m a tio n   ca n   s t ill  b r ec o v er ed   u n d er   n o is y   c o n d itio n s .   T h is   e x p er i m e n e v alu ates  th s tab ilit y   an d   r o b u s tn e s s   o f   t h p r o p o s ed   alg o r ith m   in   p r ac tical  co m m u n ica tio n   e n v ir o n m e n t s   [ 1 2 ] ,   [ 1 5 ] .   Occ lu s io n   attac k o cc lu s io n   at tack   an a l y s is   i s   co n d u cted   to   a s s es s   th ab il it y   o f   th p r o p o s ed   s ch e m e   to   r esis t p ar tial d ata  lo s s .   I n   th is   ex p er i m en t,  ce r tain   r eg io n s   o f   th e   en cr y p ted   i m a g es   ar d elib er atel y   r e m o v ed   o r   b lo ck ed   to   s i m u late  p ac k e lo s s   an d   cr o p p in g   attac k s   [ 6 ] ,   [ 1 2 ] ,   [ 1 5 ] .   T h o cc lu d ed   cip h er   i m a g es  ar s u b s eq u en t l y   d ec r y p ted   u s i n g   th co r r ec s ec r et  k e y .   T h d ec r y p ted   r esu lts   ar ex a m i n ed   to   ev alu ate  t h e   i m p ac o f   p ar tial  d ata  lo s s   o n   i m a g r ec o n s tr u ctio n   an d   to   v er if y   t h r o b u s t n es s   o f   th p r o p o s ed   en cr y p tio n   s ch e m e.   I n   t h n o is attac k   e x p er im e n t s ,   s al t - a n d - p ep p er   n o i s w it h   a   d en s i t y   o f   0 . 0 2   ( 2 co r r u p ted   p ix els)  is   ad d ed   to   th en cr y p ted   i m a g e s   to   s i m u late  tr an s m is s io n   i n ter f er en ce .      = 1  [ ( , ) ( , ) ] 2 = 1 = 1       w h er e:     : o r ig in al  i m a g e     : d ec r y p ted   i m a g e     × : i m a g s ize      = 10  10 ( 25 5 2  )       2 . 8 .     T i m e   co m ple x it y   a nd   s p ee d a na ly s is   T h co m p u ta tio n al  co m p le x it y   o f   t h p r o p o s ed   en cr y p tio n   an d   d ec r y p tio n   alg o r it h m s   is   an al y ze d   to   ev alu a te  th eir   p r ac tical  f ea s ib i lit y   in   r ea l - w o r ld   ap p licatio n s .   L et  = × ×   d en o te  th to tal  n u m b er   o f   p ix el  v a lu e s   i n   an   i m a g e,   w h e r   an d     r ep r esen t h i m ag e   d im en s io n s   a n d     d en o tes  t h n u m b er   o f   co lo r   ch an n el s .   T h k e y s tr ea m   g e n er atio n ,   SH A - 2 5 6   w h ite n i n g ,   p er m u tatio n ,   an d   d if f u s io n   p r o ce s s es  all  r eq u ir lin ea r   tr av er s al   o f   t h i m a g e   d ata.   C o n s eq u e n tl y ,   ea c h   e n cr y p tio n   a n d   d ec r y p tio n   o p er atio n   h a s   ti m co m p le x it y   o f   ( ) ,   w h ich   i s   co n s i s ten w i th   t h d esi g n   p r in cip le s   o f   ef f icie n c h ao s - b ased   i m a g en cr y p t io n   s ch e m es  r ep o r ted   in   r ec en s tu d ies  [ 6 ] ,   [ 1 4 ] .   T o   f u r th er   ev alu ate  th p r ac tical  p er f o r m a n ce   o f   th p r o p o s e d   s ch e m e,   t h en cr y p t io n   a n d   d ec r y p tio n   ti m es  ar m ea s u r ed   f o r   d if f er e n te s i m ag e s   o n   s tan d ar d   co m p u ti n g   p latf o r m .   T h av er a g e x ec u ti o n   ti m i s   r ec o r d ed   an d   an al y ze d   to   ass es s   t h co m p u tatio n al  ef f ic ie n c y   o f   th e   p r o p o s ed   alg o r ith m .   Si m i lar   ex p er i m e n tal  s et u p s   h av b e en   w id el y   ad o p ted   in   r ec en t   i m ag e n cr y p tio n   r esear ch   to   v alid ate  r ea l - t i m f ea s ib ilit y   a n d   s ca lab ilit y   [ 1 6 ] ,   [ 2 7 ] .     2 . 9 .     E x peri m ent   da t a   s et   T h ev alu at io n   w a s   co n d u c te d   u s i n g   co m p ac y et  d i v er s s et  o f   s ta n d ar d   u n co m p r ess ed   b it m ap   ( B MP )   im a g es i n   T ab le  2   to   a v o id   co m p r ess io n   ar ti f ac ts   an d   p r eser v e x ac t p ix e v alu e s .   T h d ataset   i n clu d es   class ical  n a tu r al  i m a g e s   ( b ab o o n   an d   ca m er a m an ) ,   an   astr o n o m ical  i m ag ( ea r th )   r ep r e s en ti n g   lar g e - s ca le   s tr u ct u r ed   s ce n e s ,   a n d   tex t u r i m ag ( b lo b s )   e x h ib iti n g   r ep etitiv a n d   h i g h l y   co r r elate d   p atter n s .   B o th   g r a y s ca le  an d   R GB   i m a g es  ar co n s id er ed ,   an d   m u l tip le  s p atial  r eso lu tio n s   [ ( 2 5 6 ×2 5 6 ,   5 1 2 ×5 1 2 ) ,   an d   n o n - s q u ar ( 2 5 6 × 2 5 4 ,   7 4 9 ×7 6 8 )   i m ag e s ]   ar u s ed   to   d em o n s tr ate  s u p p o r f o r   ar b itra r y   i m a g d im e n s io n s .   T h is   s elec tio n   e n ab les  f air   ass e s s m en o f   s tati s tical  s ec u r it y ,   d if f er en tial  s ec u r it y ,   co r r ec tn ess ,   an d   p er f o r m a n ce   ac r o s s   d iv er s i m a g c h ar ac te r is tics   w h ile   k ee p i n g   th e   ex p e r i m en tal  s et u p   r ep r o d u cib le  an d   co m p u tatio n all y   ef f icien t.   A ll  i m a g en cr y p t i o n /d ec r y p tio n   ex p er i m e n t s   ar co n d u cted   u s in g   P y th o n   3   in   Go o g le  C o lab   en v ir o n m e n t.     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   4 A u g u s 20 26 1 353 - 1 3 7 1   1360   T ab le  2 .   I m ag Data   to   b u s e d   in   th An al y s i s   F i l e   n a me   B a b o o n   C a me r a ma n   Ea r t h   B l o b s   I mag e           S i z e   5 1 2 × 5 1 2   2 5 6 × 2 5 6   7 4 9 × 7 6 8   2 5 6 × 2 5 4   R G B /   g r a y sca l e   R G B   G r a y sca l e   R G B   G r a y sca l e       3.   RE SU L T S AN D I SCU SS I O N   T o   ev alu ate  t h ch ao tic  b eh a v io r   o f   th p r o p o s ed   h y b r id   d y ad ic te n m ap ,   f o u r   co m p l e m en tar y   an al y s es  w er co n d u cted .   Firs t,  th b if u r ca tio n   d iag r a m   w as   p r o d u ce d   b y   s w ee p in g   th co n tr o p ar am eter   ( 0 , 2 )   to   v is u alize   o r b it  tr an s itio n s   an d   p ar am eter   s en s iti v it y .   S ec o n d ,   th L y ap u n o v   ex p o n e n cu r v w a s   co m p u ted   to   q u a n ti f y   t h m e an   e x p o n en t ial  d iv er g e n ce   o f   n ea r b y   tr aj ec to r ies.  T h ir d ,   L y ap u n o v   s u r f ac e   ( h ea t m ap )   ( , 0 )   w a s   g en er ated   o v e r   g r id   o f   ( , 0 )   to   ass es s   r o b u s t n e s s   o f   ch ao tic  b e h av io r   w i th   r e s p ec t   to   b o th   th co n tr o p a r am eter   an d   th in itia co n d itio n f o r   clar i t y ,   th co lo r m ap   is   clip p ed   to   [ 1 . 5 , 1 . 5 ]   an d   th th eo r etica t h r es h o ld   at  = 0 . 5   ( w h er ln ( 2 ) = 0 )   is   h i g h l ig h ted .   Fin a ll y ,   th NI ST   r an d o m n es s   test   s u ite,   as d i s cu s s ed   in   2 . 5   [ 1 0 ] ,   [ 2 8 ] .     3 . 1 .     B if urca t io d ia g r a m   T h b if u r ca tio n   d iag r a m   i n   Fi g u r 2 .   s h o w s   tr an s it io n   f r o m   s tr u c tu r ed   d y n a m ic s   at  lo w er     to   f u ll y   d ev elo p ed   ch ao s   as    in cr ea s es.  Fo r   1 ,   th o r b it  o cc u p ies   r estricte d   s u b s et  o f   [ 0 , 1 ] ,   in d icatin g   in co m p lete  m i x i n g .   As    ap p r o ac h es  an d   ex ce ed s   u n it y ,   th attr ac to r   r ap id ly   ex p an d s   to   f ill  t h en t ir u n i t   in ter v a l,  w ith   n o   v i s ib le  p er io d ic  w i n d o w s ,   r ef lecti n g   s tr o n g   s en s iti v it y   to   i n itial c o n d itio n s   an d   u n i f o r m   s ta te - s p ac co v er ag e.   T h is   b eh av io r   co n f ir m s   th at  t h h y b r id   d y a d ic ten m ap   o p er ates  in   r o b u s ch ao tic  r eg i m e   f o r   th p ar a m eter   r an g u s ed   in   o u r   k e y s tr ea m   g e n er ato r .           Fig u r 2 .   B if u r ca tio n   d ia g r a m   o f   th co m p o s it io n   f u n ctio n   [ h y b r id   d y ad ic - ten m ap ]   w it h   p ar a m eter         3 . 2 .    T he  L y a pu no v   ex po nen t   dia g ra m   T o   q u an tify   t h ch ao tic  b eh a v io u r   o f   t h p r o p o s ed   h y b r id   d y ad ic te n m ap ,   w h a v ev alu ated   its   L y ap u n o v   e x p o n e n t.  T h L y a p u n o v   ex p o n e n m ea s u r e s   t h e   av er ag e   ex p o n e n tial   r ate  o f   d iv er g e n ce   b et w ee n   n ea r b y   tr aj ec to r ies.  Fo r   o n e - d i m e n s io n al  s m o o t h   m ap   :   g e n er atin g   a n   o r b it:   1 , 2 , , + 1 = ( ) ,   th L y ap u n o v   n u m b er   is   d ef in ed   as:   ( 1 ) = l im | ( 1 ) ( 2 ) . . . ( ) | 1 .   I f   t h i s   li m it  e x is ts   an d   ( ) 0 ,   th e   L y ap u n o v   e x p o n en t i s:   = l im   1 ln   ( ) = 1 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l           A   n ew h yb r id   d y a d ic - ten t c h a o tic  fu n ctio n   fo r   s ec u r d ig ita l   ima g en cryp tio n   ( A n ymo r Ma jere )   1361   A   p o s iti v L y ap u n o v   e x p o n e n ex h ib its   c h ao s ,   s i n ce   tr aj ec to r ies  th at  s tar ar b itra r il y   clo s d iv er g e   ex p o n en t iall y n eg a tiv e   ex p o n en in d icate s   co n v er g e n ce   t o   f ix ed   p o in ts   o r   p er io d ic  c y c les;   a n d   v al u es   n ea r   ze r o   co r r esp o n d   to   b if u r ca tio n   b o u n d ar ies  [ 9 ] ,   [ 2 9 ] .   I n   th is   ca s e,   f o r   al m o s al ( 0 , 1 ) ,   ex clu d i n g   s et  o f   m ea s u r ze r o   co r r esp o n d in g   t o   d is co n tin u it y   p o in t s ,   th d er iv ati v o f   th h y b r id   m ap   s ati s f ie s :   ( ) = 2 .   C o n s eq u en tl y ,   t h L y ap u n o v   ex p o n en t a d m it s   th clo s ed - f o r m   ex p r es s io n :     ( ) = l im   1 ln   = 1 ( ) = ln   ( 2 ) .       T h is   i m m ed iatel y   i m p lie s   ch ao s   th r es h o ld   at :   = 0     = 0 . 5 ,   s u c h   th at  t h e   s y s te m   i s :     N on - c h ao tic  ( co n tr ac ti n g )   f o r   0 < < 0 . 5     C r itical   at  = 0 . 5     C h ao tic  ( u n i f o r m l y   e x p an d i n g )   f o r   > 0 . 5 T h is   v al id ates  b o th   t h co r r ec tn ess   o f   t h i m p le m e n tatio n   an d   th ch o ice  o f   = 1 . 6   as a   s tr o n g l y   ch ao tic  o p er atin g   p o in t   To   v alid ate  th an al y t ical  L y ap u n o v   ex p o n e n an d   to   en s u r r o b u s tn e s s   u n d er   f in it p r ec is io n   ar ith m et ic,   w co m p u te  t h n u m er ic  L y ap u n o v   e x p o n e n t v ia  o r b it a v er ag in g :     n um = 1 0 ln   = 0 + 1 ( ) ,       w h er 0   d en o tes th tr a n s ie n t ( b u r n - i n )   len g t h .   I n   th i m p le m e n tatio n :     T o tal  iter atio n s :   = 20 , 000     T r an s ien t d is ca r d :   0 = 2 , 000   T h d er iv ativ i s   ev al u ated   b r an ch - w i s at  ea c h   iter atio n ,   r ath er   th a n   h ar d - co d in g      ( 2 ) ,   en s u r i n g   th at  th n u m er ical  p r o ce d u r r e m ain s   v alid   ev e n   u n d er   p er tu r b atio n s   o r   f u tu r g e n er aliz atio n s   o f   t h m ap .   T h is   ap p r o ac h   f o llo w s   b est p r ac tices in   n u m er i ca l c h ao s   an a l y s i s .   Fi g u r 3   v i s u a lizes t h r esu lt s .           Fig u r 3 .   L y ap u n o v   ex p o n en t   d iag r am   f o r   th h y b r i d   d y ad ic ten t   m ap   o v e r   [ 0 . 1 , 2 ] .   T h e   l im e - co lo r e d   cu r v e   p lo ts   ,   an d   th e   h o r i zo n t al   lin e   a = 0   m ar k s   th e   t r an s it io n   b e t w ee n   p e r i o d ic   an d   ch ao tic   r eg im es,  in   ag r e em en t w ith   th th e o r eti ca l   d ef in it io n s   o f   th e   L y ap u n o v   n u m b er   an d   ex p o n en t       3 . 3 .     L y a pu no v   he a t m a ( , )   T o   ex am i n th e   j o in d ep en d en ce   o f   c h ao s   o n   t h co n tr o p ar am eter   an d   i n itia co n d itio n ,   w e   co m p u te  t w o - d i m e n s io n al  L y ap u n o v   s u r f ac o v er :   ( 0 , 2 )   ( 2 5 0   p o in ts )   an d   0 ( 0 , 1 ) ( 2 0 0   p o in ts ) E ac h   g r id   p o in u s es  12 , 000   iter atio n s ,   w it h   2 , 000 - iter atio n   tr an s ie n r e m o v ed .   B ec au s e   ( ) as  0 + r a w   co lo r m ap   s ca l in g   o b s c u r es  th tr an s itio n   r e g io n .   T h er ef o r e,   f o r   v is u al  clar it y   o n l y ,   t h e   h ea t m ap   is   cl ip p ed   to   [ 1 . 5 , 1 . 5 ] ,   an d   th th eo r etica ch ao s   b o u n d ar y   at  = 0 . 5   is   ex p licitl y   m ar k ed .   I m p o r tan tl y ,   th i s   clip p in g   d o es  n o al ter   th e   co m p u ted   v al u es  a n d   s er v es   p u r el y   a s   v is u aliza tio n   aid ,   p r ac tice  co m m o n l y   ad o p ted   in   ch ao s   v is u aliza tio n   s tu d ies.    Fig u r 4   s h o w s   th L y ap u n o v   ex p o n e n h ea t m ap   ( , 0 )   f o r   th h y b r id   d y ad ic ten m ap .   T h L y ap u n o v   ex p o n e n d ep en d s   p r im ar il y   o n   th co n tr o p ar am eter   an d   is   n ea r l y   i n d ep en d en o f   th in i tial   co n d itio n   0 .   clea r   tr a n s itio n   f r o m   n e g ati v to   p o s iti v L y a p u n o v   ex p o n e n t s   o cc u r s   at  = 0 . 5 ,   co n s is ten t   w it h   t h t h eo r etica p r ed ictio n   =    ( 2 ) .   T h co lo r   s ca le  is   clip p ed   to   [ 1 . 5 , 1 . 5 ]   to   em p h a s ize  t h ch ao s   tr an s itio n .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   4 A u g u s 20 26 1 353 - 1 3 7 1   1362       Fig u r 4 .   T h L y ap u n o v   e x p o n en h ea t m ap       3 . 4 .     NIS T   ra nd o m nes s   t est  re s ults   T h e   r an d o m n e s s   p r o p er ties   o f   th p r o p o s ed   h y b r id   d y ad ic t en m ap   w as   ev al u ated   u s in g   th NI ST   s tatis t ical  te s s u ite   o n   b o th   r a w   a n d   SH A - 256 w h ite n ed   b in ar y   s eq u e n ce s   o f   ap p r o x im a tel y   5   MB .   T h co m p ar is o n   r es u lts   ar s u m m a r ized   in   T ab le  3 .     T h r aw   c h ao tic  s eq u e n ce   f ails   s e v er al  NI ST   test s ,   w it h   p - v a lu e s   f all in g   b elo w   t h s ig n i f ican ce   th r es h o ld   ( = 0 . 01 ) .   T h is   in d icate s   th p r ese n ce   o f   s h o r t - r an g co r r elatio n s   a n d   i n s u f f i cien t   r an d o m n e s s ,   w h ich   i s   k n o wn   li m itatio n   o f   lo w - d i m e n s io n al  ch ao tic  s y s te m s .     Af ter   ap p l y i n g   SH A - 2 5 6   w h i ten i n g ,   t h k e y s tr ea m   s u cc e s s f u ll y   p as s es  al NI ST   test s ,   with   u n i f o r m l y   d is tr ib u ted   p - v a lu e s   an d   ac c ep tab le  p ass   p r o p o r tio n s .   T h is   in d icate s   s i g n if ica n i m p r o v e m en i n   s tatis t ical  r an d o m n es s .       T h w h iten in g   p r o ce s s   e f f e ctiv el y   r e m o v es  r es id u al  p a tter n s   a n d   en h a n ce s   p er f o r m an ce   ac r o s s   f r eq u en c y ,   e n tr o p y - b ased ,   an d   p atter n - m atc h i n g   test s .   Si m ilar   i m p r o v e m e n ts   th r o u g h   p o s t - p r o ce s s i n g   h av b ee n   w id el y   r ep o r ted   in   r ec en t st u d ies o n   c h ao s - b ased   cr y p to s y s te m s .       Au to co r r elatio n   an al y s i s   f u r th er   s u p p o r ts   th e s r esu lts .   T h m a x i m u m   ab s o lu te  au to co r r elatio n   d ec r ea s es  f r o m   0 . 0 4 9 0 2 4   ( r a w   s eq u en ce )   to   0 . 0 0 0 3 2 0   ( w h ite n ed   s eq u en ce ) ,   in d icati n g   s u b s tan t ial  r ed u ctio n   in   l in ea r   d ep en d en ci es.      T h w h ite n ed   s eq u e n ce   ap p r o ac h es  t h b eh a v io u r   o f   a n   i d ea r an d o m   s o u r ce ,   m a k i n g   it  s u itab le  f o r   cr y p to g r ap h ic  ap p licatio n s   w h er h ig h   r an d o m n es s   is   r eq u ir e d .         T ab le  3 .   NI S T   test   s u ite  r es u lt s   co m p ar is o n   b et w ee n   h y b r id   d y ad ic - te n m ap   g en er ated   s eq u en ce s   ( r a w   a n d   SH A - 2 5 6   w h ite n ed )     N I S T   r a n d o mn e ss  t e st i n g   A u t o c o r r e l a t i o n   R a w   s e q u e n c e       S H A - 256   w h i t e n e d   se q u e n c e       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.