T E L K O M NIKA   T elec o mm un ica t io Co m pu t i ng   E lect ro nics   a nd   Co ntr o l   Vo l.  24 ,   No .   4 A u g u s t   20 26 ,   p p .   1 342 ~1 3 5 2   I SS N:  1 6 9 3 - 6 9 3 0 ,   DOI : 1 0 . 1 2 9 2 8 / T E L KOM NI K A . v 24 i 4 . 27726          1342       J o ur na l ho m ep a g e :   h ttp : //telko mn ika . u a d . a c. i d   A vector - v a lued  P DE  m o d el uni fyin g  anis o tropic diff usio n and   sho ck   filt e r f o r  colo r i m a g es de no ising  and deblur rin g       Sa id K a ro ui 1, 2 ,   Sa li m   B et t a ha r 1, 3   1 D e p a r t me n t   o f   El e c t r o n i c s,  F a c u l t y   o f   El e c t r o n i c s   a n d   El e c t r i c a l   E n g i n e e r i n g ,   U n i v e r si t y   o f   S c i e n c e s a n d   T e c h n o l o g y   o f   O r a n     M o h a me d   B o u d i a f ,   O r a n ,   A l g e r i a   2 I n t e l l i g e n t   S y st e ms R e se a r c h   L a b o r a t o r y   ( L A R ES I ) ,   U n i v e r si t y   o f   S c i e n c e s a n d   T e c h n o l o g y   o f   O r a n   M o h a me d   B o u d i a f ,   O r a n ,   A l g e r i a   3 El e c t r i c a l   E n g i n e e r i n g   L a b o r a t o r y   o f   O R A N ,   U n i v e r si t y   o f   S c i e n c e s a n d   T e c h n o l o g y   o f   O r a n   M o h a me d   B o u d i a f ,   O r a n ,   A l g e r i a       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Dec   16 2025   R ev i s ed   A p r   14 2 0 2 6   A cc ep ted   Ma y   25 2026       T h is  p a p e p ro p o se a   n o v e a n d   e ff ici e n m e th o d   f o th e   re sto ra ti o n   o f   c o lo r   im a g e d e g r a d e d   b y   th e   c o m b in e d   e f fe c ts  o f   n o ise   a n d   b lu r.   T o   a d d re ss   t h is  c h a ll e n g in g   in v e rse   p ro b lem ,   a   m i x e d   p a rti a d if f e re n ti a e q u a ti o n   ( P D E)   m o d e b a se d   o n   a   se m i - i m p li c it   n u m e rica sc h e m e   is  d e v e lo p e d   f o c o lo r   im a g e   r e sto ra ti o n .   T h e   p ro p o se d   a p p ro a c h   i n teg ra tes   a n iso tro p ic   d if f u sio n   a n d   sh o c k   f il terin g   w it h in   a   u n if ied   v e c to r - v a lu e d   f ra m e w o rk ,   a ll o w in g   th e   d if fe re n c o lo c h a n n e ls t o   b e   p r o c e ss e d   jo in tl y   w h il e   p re se r v in g   th e ir  m u tu a c o rre latio n .   T h is  f o rm u latio n   e n a b les   se lec ti v e   s m o o th i n g   t h a e ff ici e n tl y   su p p re ss e n o ise   i n   h o m o g e n e o u re g io n w h il e   sim u lt a n e o u sly   e n h a n c in g   a n d   p re se rv in g   sig n if ica n e d g e   a n d   stru c tu ra f e a tu re s.  Ex ten siv e   e x p e ri m e n tal  re su lt o n   v a rio u c o lo r   im a g e d e m o n stra te  th a t h e   p ro p o se d   m e th o d   c o n siste n tl y   o u t p e rf o rm s e x isti n g   c o lo im a g e   re sto ra ti o n   t e c h n iq u e s.  Qu a n ti tativ e   e v a lu a ti o n b a se d   o n   sta n d a rd   im a g e   q u a li t y   a ss e ss m e n m e tri c s,  in c lu d i n g   p e a k   sig n a l - to - n o ise   ra ti o   ( P S NR) an d   str u c tu ra sim il a rit y   in d e x   (S S I M ),   c o n f i rm   th e   su p e ri o re sto ra ti o n   p e rf o rm a n c e   o f   th e   p ro p o se d   a p p ro a c h .   F u rt h e rm o re ,   th e   p ro p o se d   m o d e m a in tain s c h ro m a ti c   c o n siste n c y   a c ro ss   c o lo c h a n n e ls  d u ri n g   sim u lt a n e o u d e n o isin g   a n d   d e b lu rri n g ,   e ffe c ti v e l y   p re v e n ti n g   th e   in tro d u c ti o n   o f   c o lo a rti f a c ts   a n d   e n su rin g   v isu a ll y   f a it h f u re sto ra ti o n   re su lt s.   T h e   n u m e ric a i m p le m e n tati o n   o f   th e   p ro p o se d   m e th o d   is b a se d   o n   a   se m i - i m p li c it   sc h e m e .   K ey w o r d s :   B lu r   C o lo r   Dif f u s io n   No is e   Sh o ck   f ilter   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Said   Kar o u i   I n telli g en t S y s te m s   R esear ch   L ab o r ato r y   ( L A R E SI) ,   Un i v er s it y   o f   Scie n ce s   a n d   T ec h n o lo g y   o f   Or an   Mo h a m ed   B o u d iaf ,   Or a n ,   Alg er ia   E m ail: sa id . k ar o u i @ u n i v - u s to . d z       1.   I NT RO D UCT I O   P ar tial  d if f er en tial  eq u at io n   ( P DE ) - b ased   m et h o d s   h a v d em o n s tr ated   n o tab le  ef f icac y   a s   to o ls   f o r   i m a g r esto r atio n ,   o f f er i n g   v ar io u s   s o l u tio n s   to   ad d r ess   ch alle n g e s   s u ch   a s   n o i s i n t er f er en ce   a n d   lo w   r eso lu tio n   i n h er e n i n   ac q u ir ed   im a g es.  E x ten s i v ex p lo r atio n   w i th i n   th is   d o m ai n   h a s   led   to   th d ev elo p m e n t   o f   n u m er o u s   P DE - b ased   tech n iq u e s .   No tab l y ,   ed g s h ar p e n in g   ellip tic  m et h o d s   ar co m m o n l y   as s o c iated   to   s h o ck   f i lter s   [ 1 ] ,   w h er ea s   s e l ec tiv s m o o th in g   m o d el s   d ea w i th   a n is o tr o p ic  d if f u s io n   [ 2 ] [ 4 ] ,   f o u r th   o r d er   m et h o d s   [ 5 ] [ 7 ] ,   f r ac tio n al  d if f u s io n   m et h o d s   [ 8 ] [ 1 0 ]   an d   PDE - b ased   v ar iatio n al  ap p r o ac h   [ 1 1 ] [ 1 3 ] .   T o   a d d r ess   th r esto r atio n   o f   d eg r ad ed   im a g e s   af f lic ted   b y   b o th   n o is a n d   b lu r ,   s e v er al  P DE - b ased   tech n iq u es   h a v b ee n   p r o p o s ed ,   p ar ticu lar l y   f o r   g r a y s ca le   i m a g es,  w h er d i f f u s io n   is   co u p led   w i th   s h o ck   f ilter s   [ 1 4 ] [ 1 9 ] .   T h is   d u al  ap p r o ac h   lev er ag es  d i f f u s io n   t o   m iti g ate  n o is i n   h o m o g e n eo u s   r eg io n s   w h il e   e m p lo y i n g   s h o ck   f il ter s   to   e n h an ce   r eso lu tio n   t h r o u g h   d eb lu r r in g   o p er atio n s .   Ho w e v er ,   t h ex te n s io n   o f   s u c h   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l         A   ve cto r - va lu ed   P DE   m o d el  u n ifyin g   a n is o tr o p ic  d iffu s io n   a n d   s h o ck   filt er fo r   …  ( S a id   K a r o u i )   1343   m et h o d s   to   co lo r   im a g es  h a s   b ee n   r elativ el y   s ca r ce   [ 2 0 ] [ 2 2 ] ,   p r im ar il y   d u to   th in tr ic ate  in ter p la y   a m o n g   d if f er e n co lo r   co m p o n en t s ,   wh ich   p o s e s   ch a llen g es  in   e f f ec tiv el y   co m b i n i n g   a n i s o tr o p ic  d if f u s io n   a n d   s h o c k   f ilter i n g   w it h o u t   in tr o d u cin g   u n d esira b le  ar tif ac ts   s u c h   as  f a ls co lo r s   colo r ar tif ac ts .   T o   o v er co m e   t h ese   ch alle n g e s ,   th d ev elo p m e n o f   v ec to r ial  m et h o d s   tailo r ed   to   th n u a n ce s   o f   co lo r   im a g es  i s   i m p er ativ e.   T h is   p ap er   p r esen ts   n o v el  v e cto r ial  ap p r o ac h   b ased   o n   s e m i - i m p licit  n u m er ical   s c h e m t h at   co u p les  d i f f u s io n   w it h   a   s h o ck   f i lter   to   e f f ec tiv e l y   d en o i s a n d   s h ar p en   co lo r   i m ag e s   a f f licted   b y   n o i s a n d   b lu r   s i m u lta n eo u s l y ,   all  w h ile  m it ig at in g   t h r is k   o f   i n tr o d u cin g   co lo r   ar tif ac ts .   Fig u r 1   s h o w s   th b asic  f lo w   f o r   d en o is i n g   a n d   d eb lu r r in g   co lo r   i m ag e s .   T h ap p r o ac h   is   ap p licab le  to   w i d r an g o f   i m ag e   r esto r atio n   task s ,   i n clu d i n g   t h d ig ital  r esto r atio n   o f   d eg r ad ed   co lo r   d o cu m e n ts ,   en h a n ce m en o f   co n s u m er   p h o to g r ap h s   af f ec ted   b y   s en s o r   n o is an d   s lig h m o tio n   o r   d ef o cu s   b lu r ,   m ed ical  co lo r   i m a g in g   w h er i m a g es  ar o f te n   n o is y   a n d   b lu r r ed ,   s atellite  a n d   ae r ial  i m ag i n g   s u b j ec to   atm o s p h er ic  d eg r ad atio n ,   s u r v eilla n ce   a n d   s ec u r it y   s y s te m s   o p er atin g   u n d er   p o o r   lig h ti n g   co n d itio n s ,   as  w ell  a s   u n d er w a ter   an d   lo w - ill u m i n atio n   e n v ir o n m en t s .           F ig u r 1 .   Flo w   b ased   ap p r o ac h   f o r   d en o is i n g   an d   b lu r r in g   c o lo r   im a g es       2.   R E L AT E WO RK S   T s ch u m p er lé  an d   Der ic h e   [ 2 0]   in tr o d u ce d   d if f u s io n - s h o c k   f il ter   co u p lin g   m ec h a n i s m   in co r p o r atin g   r ea ctiv ter m .   T h is   m o d el  co n s id er s   t h co r r elatio n   a m o n g   all  co lo r   co m p o n en ts   w it h i n   an   i m a g b y   e m p lo y in g   t w o   n o v el  d ir ec tio n s   [ 2 3 ] ,   w h er d if f u s io n   an d   s h o ck   ter m s   ar co m p u ted   u s i n g   s h ar ed   d ir ec tio n s   ac r o s s   all  i m ag co m p o n e n t s .   T h m o d el  u s e s   d ec r ea s in g   f u n c tio n s   o f   th co m m o n   g r ad ien t   m ag n it u d e,   w h ic h   is   co m p u t ed   u s in g   th Di  Z e n zo   n o r m   [ 2 3 ] .   T h p r o p o s ed   f ilter   y ield s   s ati s f ac to r y   o u tco m es  b y   ef f ec t iv el y   r ed u cin g   n o is an d   i m p r o v i n g   t h q u alit y   o f   co lo r   i m ag e s .   Nev e r th eles s ,   d esp ite  its   u s o f   v ec to r - b ased   ap p r o ac h ,   th s h o ck   f ilter   m a y   s till   p r o d u ce   er r o n eo u s   co lo r s   in   ce r tain   in s ta n ce s   [ 2 1 ] .   B ettah ar   et  a l .   [ 2 1 ]   s u b s eq u en tl y   d e v elo p ed   v ec to r ial  d if f u s io n - s h o ck   f ilter   co u p li n g   m o d el  s p ec if icall y   tailo r ed   f o r   co lo r   i m ag e n h a n ce m e n t.  T h is   m o d el  in co r p o r ates  s in g le  v ec t o r s   r ep r esen tin g   th e   g r ad ien m a g n it u d an d   s ec o n d   d er iv ativ es  to   estab lis h   co n n ec tio n s   a m o n g   v ar io u s   co lo r   co m p o n e n t s   w ith i n   th i m ag e.   I n   t h B ettah ar   f ilt er ,   n o n lin ea r   r ea ctio n - c u r v at u r d if f u s io n   p r o ce s s   is   e m p l o y ed .   T h m o d el  is   co m p o s ed   o f   t w o   ter m s :   t h f ir s en s u r es  s e lectiv e   s m o o th i n g   th a r ed u ce s   n o i s i n   h o m o g en eo u s   r eg io n s   o f   th i m ag e,   w h ile  t h s ec o n d   c o r r esp o n d s   to   s im p le  s h o c k   f ilter   [ 2 1 ] .   On   t h o th er   h a n d ,   to   d en o is an d   d eb lu r   lo w - r eso l u tio n   i m a g es,  Xiao   et  a l .   [ 2 2]   in tr o d u ce d   n o v el   ap p r o ac h   f o r   i m a g s u p er - r es o lu tio n   a n d   e n h a n ce m en t.  T o   en s u r t h s m o o th n e s s   a n d   e f f ec tiv e n e s s   o f   t h e   s h o ck   f il ter   at  i m a g ed g e s ,   Xiao s   m o d el  co m b in e s   an   e d g e - s to p p in g   f u n ctio n   w i t h   a   f o r w ar d   d if f u s io n   p r o ce s s .   I is   i m p o r ta n to   n o te  th at  in   [ 2 2 ] ,   th a u t h o r s   a d d r ess ed   th p r o b lem   o f   co lo r   i m a g p r o ce s s in g   w it h o u co m p ar in g   t h eir   m et h o d   to   th m o s r elev a n P DE - b ased   alg o r ith m s   f o r   co lo r   im a g es  [ 2 0 ] ,   [ 2 1 ] .   I n s tead ,   th eir   f o cu s   w a s   o n   m ar g in al  v ar ia tio n s   o f   ex is ti n g   m et h o d o lo g ies,  w h ic h   ar k n o w n   to   b in ef f icie n t   f o r   co lo r   im a g es [ 2 1 ] .       3.   P RO P O SE M O DE L   T o   a d v an ce   t h e f f icac y   o f   s h o ck   f i lter - d i f f u s io n   co u p lin g   s ch e m e s   f o r   co lo r   i m ag s h ar p en in g   a n d   d en o is in g ,   w in tr o d u ce   a   m o d el  d esig n ed   to   ef f icie n tl y   e n h an ce   ed g es  w h i le  r e m o v in g   n o is e,   d r a w in g   u p o n   p r io r   m et h o d o lo g ies,  a n d   p r eser v i n g   th e   i n teg r it y   o f   s h o c k   lo ca tio n s .   Ou r   ap p r o ac h   a m a lg a m ates   m o d i f ied   cu r v at u r d if f u s io n   w i th   s h o ck   f i lter .   T h m o d el  is   f o u n d e d   u p o n   th f o llo w i n g   p r in cip le s :     { =   |  |       (   (   | |   )     |  | )       ( Max -   (   | |   ) )   (       )   =       (      )    | |                                                                                                                                                   ( 1 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   4 A u g u s 20 26 1 342 - 1 3 5 2   1344   w h er ( )   d en o tes  th t h i m m ed iatel y   p r ec ed in g   v al u o f   t h co m p o n e n ( ) ,   th i n d ex   = 1 , 2 , 3   co r r esp o n d s   r ed ,   g r ee n   an d   b lu co lo r   r esp ec tiv el y   o f   th r e s to r ed   i m ag e,   a n d   ( 0 ) =   is   th in p u t   i m a g r ef er r in g   to   t h co m p o n e n   an d   ( 0 ) = .   T h s y m b o   d en o tes  t h e   co n v o l u tio n   o p er ato r   is   th e   Gau s s ia n   f u n c tio n   w it h   t h s tan d ar d   d ev iatio n   an d     is   th e   s m o o th   v er s io n   o f   th i m a g   u s i n g   t h Gau s s ia n   k er n el.   T h p ar am et er     is   co n s tan t   t h at  h i g h lig h t s   th b alan ce   b et w ee n   th d if f u s io n   p r o ce s s   an d   th s c h o f il ter    is   th s ec o n d   d er iv ativ o f   th i m a g in   t h g r ad ien t d ir ec tio n   ( | | )   is   d ec r e asin g   f u n ctio n   o f   g r ad ie n m ag n it u d ( |  | )   o f   th s m o o t h   i m ag .     (   | |   ) = 1 1 +   |  |   2 2     ( 2 )     w h er t h co n s tan   is   a   p ar a m eter   th at  co n tr o ls   t h d eg r ee   o f   th s m o o t h in g .      is   t h m a x i m u m   v al u o f   ( | | )   i n   t h n ei g h b o u r   o f   g i v e n   p ix el.   T o   an aly ze   t h co r r elatio n   a m o n g   all  co m p o n en t s   o f   th co lo r   im a g e,   w h ile  also   co n s i d er in g   t h e   in d iv id u al  b eh a v io u r   o f   ea ch   co m p o n en t,  th p r o p o s ed   m o d el  e m p lo y s   t w o   d if f er en ap p r o ac h es  f o r   co m p u ti n g   t h g r ad ie n n o r m .   m ar g i n al  ap p r o a ch   is   u s ed   to   co m p u te  t h g r ad ien t   ( )   in   t h d iv er g e n ce   f u n ctio n   an d   t h s h o ck   f ilter   ter m s ,   w h ile  co m m o n   v ec t o r   n o r m   | |   is   u tili ze d   to   esti m a te  th g r ad ien t   m ag n it u d o f   t h s m o o t h ed   v e r s io n   o f   t h co lo r   im a g b y   u s i n g   D i Z e n zo   n o r m :     |  | = | | 2 3 = 1     ( 3 )     Fu r t h er m o r e,   to   en s u r clo s er   r elatio n s h ip   a m o n g   all  c o m p o n en t s ,   w esti m ate  t h s m o o th ed   s ec o n d   d er iv ativ    in   t h co m p u tatio n   o f   th s ig n   f u n ctio n   as  f o llo w s :      =  3 = 1     ( 4 )        =    2 + 2  +  2 2 + 2     ( 5)     T h ter m   (  ( | | ) )   r ep r esen ts   b ala n ce   b et w ee n   t h d i f f u s io n   p r o ce s s   a n d   t h s h o ck   f ilter   p r o d u cin g   s e lecti v el y   s m o o t h ed   r eg io n s   an d   s h ar p en ed   ed g es  w it h   ( )   as  r ea ctiv ter m .   I n itiall y ,   th v al u o f     is   co m p u ted   u s i n g   th e   s ec o n d   eq u atio n ;   s u b s e q u en tl y ,     i s   i n tr o d u ce d   in   t h f ir s eq u atio n .   C o n s eq u en tl y ,   w it h i n   s tatio n a r y   co lo r   r eg io n s ,   t h g r ad ien n o r m   | |   is   w ea k ,   y ield in g   v al u th at  te n d s   to w ar d s   1   to   th f u n ctio n   ( | | ) .   I n   th is   ca s e,   (  ( | | ) )   ten d s   to w ar d s   0   an d   s h o ck   f il ter   ef f ec t   is   s u p p r ess ed .   Dif f u s io n   ter m   th e n   s m o o th s   n o i s ac r o s s   al i m a g co m p o n e n t s   u s i n g   s h ar ed   v ec to r s .   I n   th e   ca s o f   ed g es,  (  ( | | ) )   tak es  v al u t en d in g   to w ar d      an d   th d if f e r en ce   ( )   w il b am p li f ied   b y   th is   f ac to r .   As  r esu lt,  s h o ck s   ar g en er ated   ac co r d in g   to   th m a g n it u d o f   | | .   T h er ef o r e,   th p r o ce s s   f u n ctio n s   as  d i f f u s io n   f ilter   i n   s m o o th   r eg io n s ,   eli m i n ati n g   n o i s e,   an d   as  s h o ck   f il ter   at  r eg io n   b o u n d ar ies,  en h an ci n g   ed g es  w it h o u in tr o d u ci n g   co lo r   ar tif ac ts .       4.   N UM E RICAL   I M P L E M E N T AT I O N   Fin ite  d i f f er en ce   s ch e m es  ar e   e m p lo y ed   to   co m p u te  t h r e q u ir ed   d er iv ativ e s .   T h u s   f o r   v alu es  o f     eq u al  to   1 ,   2 ,   an d   3 ,   th d is cr ete  i m ag   is   r ep r esen ted   as  v ec to r   [ 1 ×  ] ,   w h er th co m p o n e n t  [ 1 , ,  ]   co r r esp o n d   to   th g r a y - lev e in te n s it y   at  th r esp ec ti v p ix els.  E ac h   p ix el    ass o ciate d   w i th   a   s p atial  lo ca tio n   .   L et    d en o te  t h d is cr etiza tio n   g r id   s ize.   Dis cr ete  ti m es  =    ar em p lo y ed ,   w h er   is   p o s itiv in te g er   th a d eter m in es  t h n u m b er   o f   i ter atio n s   an d     is   th ti m s tep .   | | |  | | | ,  (  ) (  ) ,   an d      d en o te  ap p r o x i m at io n s   o f   ( , ) ( , ) ,   | | |  | | | ( | | )   ,    an d    (  )   r esp ec tiv el y .   I n   th co n tex o f   i m p le m e n tin g   te m p o r al  d er iv ati v es  co n ce r n i n g   c o m p o n e n ,   th f o llo w i n g   n u m er ical  s c h e m es a r ad o p ted :     = + 1         ( 6 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l         A   ve cto r - va lu ed   P DE   m o d el  u n ifyin g   a n is o tr o p ic  d iffu s io n   a n d   s h o ck   filt er fo r   …  ( S a id   K a r o u i )   1345   = + 1         ( 7 )     Firstl y ,   w co m p u te  t h s ec o n d   eq u atio n   in   t h p r o p o s ed   m o d el:     + 1       =      |     |     ( 8 )     As  m e n tio n ed   in   t h m et h o d o lo g y ,     is   th p r ev io u s   v al u o f   .   it f o llo w s   t h at:     + 1       =          |     |   ( 9 )     Su b s eq u e n tl y ,   w ar ab le  to   estab lis h :     + 1   =            |     |     ( 1 0 )     Du r in g   ea ch   iter atio n ,   th i m ag e   + 1   w ill  b in j ec ted   in to   th f ir s eq u atio n   w i th i n   th p r o p o s ed   m o d el.   Fo r   th i m p le m e n tatio n   o f   | |   in   th s h o ck   eq u atio n ,   w e   u s t h f o llo w i n g   s ch e m e:     | |   =   1   (   ( +   ,   ) ) 2 +   (   ( +   ,   ) ) 2     ( 1 1 )     w h er   an d   +   ar b ac k w ar d   an d   f o r w ar d   d if f er e n ce s   o f     in     d ir ec tio n   an d     an d   +   ar b ac k w ar d   an d   f o r w ar d   d if f er e n ce s   o f     in   y   d ir ec tio n .   ( , )   is   th m i n m o d   f u n ctio n :     ( , )   =   {    ( )     ( |     |   , |     | ) if    > 0 0                                     o th er w is e     ( 1 2 )     Fo r   th d is cr etis atio n   o f   th s ec o n d   d er iv ativ  p u ,   w u s c en tr al  d if f er e n ce s   to   d is cr etize   all  d er iv ativ e s   s u ch   as :        =      ( )   2 +   2          +      ( )   2 ( )   2 +   ( )   2     ( 1 3 )     On   t h o th er   h an d ,   s e m i - i m p licit  s ch e m w it h   h ar m o n i av er ag i n g   is   u s ed   to   ap p r o x i m ate  t h e   q u asi - d iv er g en ce   ter m   [ 1 8 ] ,   [ 2 4 ]     |  |      (   (   | |   )     | | )   =   |  | 2 ( |  | ) +   ( |  | ) ( )   (       ) 2     ( 1 4 )     ( )   co n s is t s   o f   t h f o u r   n ei g h b o u r s   p ix els o f   p ix el    an d       |  | = ( | | ) 2 3 = 1 { , }     ( 1 5 )     | | = ( | | ) 2 3 = 1 { , }     ( 1 6 )     = 1 1 + (   |  | ) 2     ( 1 7 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   4 A u g u s 20 26 1 342 - 1 3 5 2   1346   T ak in g   i n to   ac co u n t th at    =   ,   w ca n   o b tain   th n u m er ical  s ch e m e:     + 1     τ   = | | 2 ( | | ) +   ( | | ) ( )   (       ) 2       (      ) ( + 1       +   τ        |     | )     ( 1 8 )     T h u s     + 1   =   τ |     | 2 2 ( | | ) +   ( | | ) ( )   + 1       τ   ( |     | 2 2 ( | | ) +   ( | | ) +   (      )   ( ) )   + 1     +   ( 1 +   τ   (      ) )   τ 2   (      )        |     |     ( 1 9 )     T h er ef o r e ,   b y   u s i n g   th m atr ix - v ec to r   n o tatio n   [ 3 ] ,   [ 1 8 ] ,   w ca n   o b tain   at  ea ch   iter ati o n     th e   s o lu tio n   + 1   fr o m   t h f o llo w i n g   s e m i - i m p licit sc h e m e:     + 1   =       ( )   + 1 + ( +        ( ) )       2       ( )      ( )   |     |     ( 2 0 )     C o n s eq u en tl y ,   b y   d ec o m p o s i n g   th m atr i x   A   in to   x   an d   y   d ir ec tio n s ,   t h f o llo w i n g   e x p r ess i o n   is   d ed u ce d :     (     ( ) { , }   )   + 1   =   ( ( +        ( ) )     2       ( )      ( )   |     | )     ( 2 1 )       d en o tes  th u n it  m atr ix .   T h m atr i x     ( { , } )   an d      h av co m p o n en t s   w h ic h   ar p r o v id ed   as  f o llo w s :     ̂ ( )   =   {             |      | 2 2 ( |  | ) +   ( |  | )                                         , ( ) |      | 2 2 ( |  | ) +   ( |  | )        (    ) ( ) = 0                                                                                                                                     o th er w i s e   ( 2 2 )     ( )   r ep r esen ts   th t w o   n eig h b o u r i n g   p i x els  w i th   r esp ec t to   th d i r ec tio n   ( { , } ) .     ̂  ( ) = {    = 0 o th er w is e     ( 2 3 )     ̂  ( ) = {  = 0           o th er wis e     ( 2 4 )     Ho w e v er ,   th s o lu tio n   ca n n o t   b e   d ir ec tly   d eter m in ed   f r o m   th ( 2 0 ) .   I n s tead ,   it  r e q u ir es  s o lv in g   a   lin ea r   s y s te m   o f   eq u a tio n s .   I ts   s o lu tio n   is   f o r m all y   ex p r es s ed   as:     + 1   =   (   ( ) { , }   ) 1 ( ( +        ( ) )     2       ( )      ( )   |     | )   ( 2 5 )     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l         A   ve cto r - va lu ed   P DE   m o d el  u n ifyin g   a n is o tr o p ic  d iffu s io n   a n d   s h o ck   filt er fo r   …  ( S a id   K a r o u i )   1347   I t is n o tab le  th at  t h m atr ix   e x p r ess ed   as :     = (   ( ) { , } )     ( 2 6 )     is   in v er tib le,   b ec au s it i s   s tr ic tl y   d iag o n all y   d o m in a n t.  i.e . ,     |   m    |   |   m    |     ( 2 7 )       5.   RE SU L T S AN CO M P ARIS O N   A   p er f o r m an ce   co m p ar is o n   is   co n d u cted   b et w ee n   th e   p r o p o s ed   m o d el  an d   t h m et h o d s   o f   T s ch u m p er - Der ic h e,   Xiao ,   an d   B ettah ar .   P ar am eter   s elec ti o n   is   g u id ed   to   ac h ie v o p ti m al  r esu lt s   f o r   ea c h   f ilter .   T h v alu e s   o f   t h ese  p a r a m eter s   ar d etr e m in ed   e m p ir ical ly .   T h n u m b er   o f   iter at io n s   is   d eter m in ed   ac co r d in g   to   v i s u a q u alit y   a s s ess m en t,  a n d ,   f o r   ea ch   test   i m ag e,   th s a m n u m b er   o f   iter at io n s   i s   u s ed   ac r o s s   all  m et h o d s   to   e n s u r f air   co m p ar is o n .   R e g ar d in g   t h ti m s tep   ,   s m all  v alu e   is   c h o s en   to   i m p r o v e   p r ec is io n   w h i le  p r eser v i n g   f i n d etails  i n   t h r esto r ed   i m a g es.  A ll  m o d els  ar ap p lied   to   b lu r r ed   an d   n o is y   i m a g es.  A r ti f icial  b lu r   is   i n tr o d u ce d   v ia  Gau s s ia n   co n v o l u ti o n   o f   th o r ig i n al  test   i m ag e s ,   an d   n o is is   ad d ed   b y   i n j ec tin g   r an d o m   Gau s s ia n   n o is i n to   th b l u r r ed   i m a g e s .   T h i m p le m e n tatio n   w as  ca r r ied   o u u s i n g   t h e   P y t h o n   p r o g r a m m i n g   lan g u a g o n   g a m in g   p er s o n al  co m p u ter   ( P C )   w ith   a n   I n tel  co r i7 - 8 7 5 0   ce n tr al  p r o ce s s in g   u n it  ( C P U)   o p er ati n g   at  2 . 2 0   Gh z.   I n   Fig u r e s   2   to   7 ,   s u b f ig u r es  ( a)   to   ( f )   co r r e s p o n d   to   th o r ig in al   i m a g e,   b lu r r ed   an d   n o is y   i m a g e,   i m ag e   r esto r ed   u s in g   th T s ch u m p er - Der ic h f ilter ,   i m ag e   r esto r ed   u s in g   th B etta h ar   f i lter ,   i m a g r e s to r ed   u s i n g   th e   Xiao   f ilter ,   an d   i m ag e   r esto r ed   u s i n g   t h p r o p o s ed   f ilter ,   r esp ec tiv el y .   Fo r   o b j e ctiv ev alu atio n ,   th e   p ea k   s ig n al - to - n o is r atio   ( P SNR )   an d   s tr u ct u r al  s i m ilar it y   i n d ex   ( SS I M)   ar em p lo y ed   [ 2 5 ] .   F ig u r e   2   d e p i c ts   th e   w in d o w   im ag e   af t e r   b lu r r in g   a n d   n o is e   ad d i t i o n ,   r esu l tin g   in   a   PS NR   o f   2 9 . 5 3   d B .   Fo r   th p r o p o s ed   f ilter ,   th p a r a m eter s   ar s et  to   = 1 = 3 ,   = 20 ,   an d   = 0 . 05   w i th   1 0 0   iter atio n s   f o r   all  f i lter s .   A ll  m et h o d s   ef f e ctiv el y   s m o o t h   n o is i n   h o m o g e n eo u s   r eg io n s .   Ho w e v e r ,   th T s ch u m p er - Der ich f ilter   ex h ib it s   s lig h t   ed g en h an ce m e n w it h   r esid u al  f al s co lo r s   at  ed g lo ca ti o n s ,   w h ile  t h Xiao   m o d el  p r o d u ce s   r esid u al  f als p iece w i s e - co n s ta n ar t e f ac ts   in   s m o o th   r e g io n s ,   lead i n g   t o   th lo s s   o f   s m all   d etails.  I n   co n tr ast,  th e   p r o p o s ed   f ilter   ac c u r atel y   p r eser v es  ed g es   w it h o u in tr o d u ci n g   f a ls co lo r s ,   a s   illu s tr ated   b y   p o r tio n   o f   t h w in d o w   i m a g i n   Fi g u r 3 .   A d d itio n all y ,   b o th   th p r o p o s ed   m e th o d   an d   B ettah ar   m o d el  y ield   g o o d   r e s u lt s .   Ho w e v er ,   th Xiao   m et h o d   d is to r ts   s h ap es  ( s h ee ts   a n d   r ed   f lo w er )   b y   cu r v i n g   th e m .   T h e   m o d el  p er f o r m s   s m o o t h i n g   b y   ap p l y in g   o n l y   t h d ir ec tio n al  d if f u s io n   ter m   p er p en d icu lar   to   th g r ad ien to   th i m ag e No tab ly ,   t h p r o p o s ed   m et h o d   ac h iev es  h ig h er   P SNR   t h an   t h co m p eti n g   m o d el s ,   w h ic h   i s   f u r th er   co n f i r m ed   b y   t h MS SIM   v al u es i n   T a b le  1 .             ( a)   ( b )   ( c)               ( d )   ( e)   ( f )     Fig u r 2 .   E n h a n ce m e n t o f   w in d o w   i m a g e:  ( a)   o r ig in a l i m a g e ,   ( b )   b lu r r y   a n d   n o is ed   i m ag e ,   ( c)   T s ch u m p er - Der ich f i lter ,   ( d )   B ettah ar   f ilt er ,   ( e)   Xiao   f ilter ,   an d   ( f )   p r o p o s ed   f ilter   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   4 A u g u s 20 26 1 342 - 1 3 5 2   1348         ( a)   ( b )   ( c)               ( d )   ( e)   ( f )     Fig u r 3 .   A   p ar t o f   w in d o w   i m ag e:  ( a)   o r ig in al  i m a g e ,   ( b )   b lu r r y   a n d   n o is ed   i m ag e ,   ( c)   T s ch u m p er - Der ic h f ilter ( d )   B ettah ar   f ilter ( e)   Xiao   f ilter ,   an d   ( f )   p r o p o s ed   f ilter       T ab le  1 .   T h P SNR   an d   SS I f o r   th v ar io u s   m e th o d s   a n d   th u s ed   i m a g es     T sch u m p e r l é - De r i c h e   f i l t e r   B e t t a h a r   f i l t e r   X i a o   f i l t e r   T h e   p r o p o se d   f i l t e r     P S N R   S S I M   P S N R   S S I M   P S N R   S S I M   P S N R   S S I M   W i n d o w   3 0 . 5 0   0 . 8 6 1   3 0 . 8 4   0 . 8 7 3   3 0 . 7 2   0 . 8 5 6   3 1 . 0 5   0 . 8 7 6   F a c e   3 5 . 5 9   0 . 8 5 8   3 5 . 7 5   0 . 8 5 9   3 5 . 1 9   0 . 8 5 1   3 5 . 8 0   0 . 8 6 2   F l o w e r s   3 3 . 9 1   0 . 7 5 4   3 4 . 5 0   0 . 7 6 3   3 3 . 3 7   0 . 7 5 9   3 4 . 8 8   0 . 7 6 7       T h e   s e c o n d   ex p e r im en t   c o n s i d e r s   th b lu r r e d   an d   n o is y   f a c e   im ag e ,   w ith   an   i n i t ia l   PS N R   o f   3 2 . 4 8   d B   ( F ig u r e   4 ) .   T h p r o p o s ed   f ilter   th p ar a m eter s   ar s et  to   =   1 = 4 ,   = 20 ,   an d   = 0 . 02   w i th   2 0 0   iter atio n s   f o r   all  f ilter s .   W h ile  all   m o d els  ef f ec ti v el y   r ed u ce   n o is e,   clo s er   in s p ec tio n   o f   lo c al  d etails  ( Fig u r 5 r ev ea ls   n o tab le  d if f er en ce s .   T h T s ch u m p er - Der ich m et h o d   leav es  r e s id u al  f al s co lo r s   alo n g   t h g las s   b o r d er s ,   w h er ea s   th B etta h ar   m o d el  p r o d u ce s   s li m m i n g   ef f ec o n   th e   w h ite  b o r d er   o f   th ca s k .   T h Xiao   m et h o d ,   b y   co n tr ast,   y ield s   a   ca r to o n - li k ap p ea r an ce .   T h p r o p o s ed   ap p r o ac h   ef f icie n tl y   e n h an ce s   ed g e s   w h ile  s m o o th in g   n o i s in   h o m o g e n eo u s   r eg io n s ,   ac h ie v i n g   th b est  P SN R   an d   S SIM   v alu e s   a m o n g   t h e   co m p ar ed   m et h o d s   ( s ee   T ab le  1 ) .             ( a)   ( b )   ( c)               ( d )   ( e)   ( f )     Fig u r e   4 .   E n h a n ce m e n o f   f ac i m ag e : ( a)   o r ig in al  i m ag e,   ( b )   b lu r r y   a n d   n o is ed   i m ag e,   ( c)   T s ch u m p er - Der ich f i lter ,   ( d )   B ettah ar   f ilt er ,   ( e)   Xiao   f ilter ,   an d   ( f )   p r o p o s ed   f ilter   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l         A   ve cto r - va lu ed   P DE   m o d el  u n ifyin g   a n is o tr o p ic  d iffu s io n   a n d   s h o ck   filt er fo r   …  ( S a id   K a r o u i )   1349         ( a)   ( b )   ( c)               ( d )   ( e)   ( f )     Fig u r 5 .   A   p ar t o f   f ac i m a g e : ( a)   o r ig in al  i m a g e,   ( b )   b lu r r y   an d   n o is ed   i m a g e,   ( c)   T s ch u m p er - Der ic h e   f ilter ,   ( d )   B ettah ar   f ilter ,   ( e)   Xiao   f ilter ,   an d   ( f )   p r o p o s ed   f ilter       Fo r   f u r t h er   co m p ar is o n ,   Fi g u r 6   p r esen ts   th fl o w er s   i m a g af ter   b lu r r in g   an d   n o is ad d itio n ,   w it h   an   in i tial  P SNR   o f   3 1 . 7 1   d B .   T h p r o p o s ed   f ilter ,   u s es  th p ar am eter s   =   1 = 4 ,   = 40 ,   an d   = 0 . 02   w it h   1 5 0   iter atio n s   f o r   all  f il ter s .   T h is   ex p er i m e n co n f ir m s   t h tr e n d s   o b s er v ed   p r ev i o u s l y .   As  s h o w n   in   Fig u r 7 ,   th T s ch u m p er - De r ich m et h o d   in tr o d u ce s   f al s co lo r s   alo n g   th b o r d er s   o f   th y ello w   f lo w er   an d   th s h ee t s ,   w h ile  t h Xiao   m o d el  d is to r ts   t h e m   b y   c u r v in g .   B o th   th B etta h ar   a n d   th e   p r o p o s ed   m o d els d eliv er   co m p ar ab le  v is u al  q u alit y ,   a n d   o u tp er f o r m   t h T s ch u m p er l é - Der ich e   an d   Xiao   ap p r o ac h es.  Nev er t h ele s s ,   t h e   p r o p o s ed   f ilter   ac h ie v es s u p er i o r   P SNR   an d   SS I v al u es ( s e T a b le  1 ) .             ( a)   ( b )   ( c)               ( d )   ( e)   ( f )     Fig u r e   6 .   E n h a n ce m e n o f   f lo w er s   i m a g e:  ( a)   o r ig in al  i m a g e ,   ( b )   b lu r r y   a n d   n o is ed   i m ag e ( c)   T s ch u m p er - Der ich f i lter ,   ( d )   B ettah ar   f ilt er ,   ( e)   Xiao   f ilter ,   an d   ( f )   p r o p o s ed   f ilter   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   4 A u g u s 20 26 1 342 - 1 3 5 2   1350         ( a)   ( b )   ( c)               ( d )   ( e)   ( f )     Fig u r 7 .   A   p ar o f   f lo w er s   i m ag e:  ( a)   o r ig in al  i m a g e,   ( b )   b lu r r y   a n d   n o is ed   i m ag e ,   ( c)   T s ch u m p er - Der ic h f ilter ( d )   B ettah ar   f ilter ,   ( e)   Xiao   f ilter ,   an d   ( f )   pr o p o s ed   f ilter       6.   CO NCLU SI O N   W p r o p o s s em i - i m p licit  s ch e m t h at  co m b i n es  s h o ck   f ilter   w it h   cu r v at u r e - b ased   d if f u s io n   f o r   th s i m u ltan eo u s   e n h a n ce m e n o f   co lo r   im a g es  d eg r ad ed   b y   n o is an d   b lu r .   T h p r o p o s ed   m o d el  en ab les   s elec ti v s m o o t h i n g ,   e f f ec ti v el y   s u p p r ess i n g   n o is w h ile  p r eser v in g   an d   s h ar p en i n g   e d g es.  E x p er i m en tal   an al y s is   d e m o n s tr ates  t h at  t h p r o p o s ed   m et h o d   o u tp er f o r m s   e x is t in g   co lo r   i m a g r est o r atio n   ap p r o ac h es   w it h o u i n tr o d u cin g   f al s co l o r   ar tif ac ts ,   ac h ie v in g   s u p er io r   p er f o r m a n ce   i n   ter m s   o f   P SNR   an d   SS I M.   Desp ite  t h ese  ad v an ta g e s ,   th s e m i - i m p lic it  s c h e m e x h i b its   ce r tain   li m itatio n s .   T h p er f o r m a n ce   o f   t h e   m o d el  i s   s e n s i tiv to   p ar a m eter   s elec tio n ,   w h er in ap p r o p r iate  ch o ices  m a y   r e s u l i n   in s u f f icie n n o is e   r e m o v al  o r   ex ce s s i v ed g s h a r p en in g .   Mo r eo v er ,   th m o d el  p ar am eter s   r e m ai n   f ix ed   d u r i n g   ev o l u tio n   a n d   d o   n o ad ap to   lo ca im ag co n ten t,  w h ich   m a y   r ed u c r o b u s tn e s s   ac r o s s   d iv er s i m a g t y p e s .   T h iter ativ s o lu tio n   o f   th u n d er l y i n g   P DE s   also   in cu r s   r elativ el y   h ig h   co m p u tatio n a co s t,  li m i tin g   ap p licab ilit y   to   r ea l - ti m o r   lar g e - s ca le  s ce n ar io s .   Fu tu r w o r k   w i ll  f o cu s   o n   i n co r p o r atin g   ad ap ti v an d   d ata - d r i v en   p ar am eter   s elec tio n   s tr ate g ie s   to   i m p r o v r o b u s tn e s s .   T h in te g r atio n   o f   e x p licit  b l u r   m o d elin g   a n d   m u lti - s ca le  p r o ce s s in g   is   ex p ec ted   to   en h an ce   p er f o r m a n ce   u n d e r   s ev er d eg r ad atio n .   F u r th e r m o r e ,   h y b r i d   PD E - v a r i at i o n a l   an d   l e a r n in g - a s s is t e d   f r am e w o r k s   m ay   f u r th e r   im p r o v e   t ex tu r e   p r e s e r v at i o n ,   c o m p u ta t i o n a e f f i ci en cy ,   an d   o v e r a l l   r es t o r a tio n   q u al i ty   u n d e r   r e a l - w o r l d   c o n d i ti o n s   ( e . g . ,   r e a l   c am e r a   n o i s e   a n d   m o t i o n   b lu r ) .       F UNDIN G   I NF O RM AT I O   T h is   r esear ch   w as  s u p p o r ted   b y   th E lectr ical  E n g i n ee r in g   L ab o r ato r y   o f   t h Un iv er s it y   o f   Scien ce s   an d   T ec h n o lo g y   o f   Or an .       AUTHO CO NT RIB UT I O NS ST A T E M E NT   T h is   j o u r n al  u s e s   th C o n tr ib u to r   R o les  T ax o n o m y   ( C R ed iT )   to   r ec o g n ize  in d i v id u al  au th o r   co n tr ib u tio n s ,   r ed u ce   au t h o r s h ip   d is p u tes,  an d   f ac ilit ate  co lla b o r atio n .       Na m o f   Aut ho r   C   M   So   Va   Fo   I   R   D   O   E   Vi   Su   P   Fu   Sa i Kar o u i                                 Sali m   B etta h ar                                 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E C o n tr o l         A   ve cto r - va lu ed   P DE   m o d el  u n ifyin g   a n is o tr o p ic  d iffu s io n   a n d   s h o ck   filt er fo r   …  ( S a id   K a r o u i )   1351   C     C o n c e p t u a l i z a t i o n   M     M e t h o d o l o g y   So     So f t w a r e   Va     Va l i d a t i o n   Fo     Fo r mal   a n a l y si s   I     I n v e st i g a t i o n   R     R e so u r c e s   D   :   D a t a   C u r a t i o n   O   :   W r i t i n g   -   O r i g i n a l   D r a f t   E   :   W r i t i n g   -   R e v i e w   &   E d i t i n g   Vi     Vi su a l i z a t i o n   Su     Su p e r v i si o n   P     P r o j e c t   a d mi n i st r a t i o n   Fu     Fu n d i n g   a c q u i si t i o n         CO NF L I C T   O F   I N T E R E S T   ST A T E M E NT     Au t h o r s   s tate  n o   co n f lic t o f   i n t er est.       DATA  AV AI L AB I L I T   T h d ata  th at  s u p p o r t th f i n d i n g s   o f   t h is   s tu d y   ar o p en l y   av ailab le  at :     h ttp s :/ /d o i.o r g /1 0 . 1 1 0 9 /MSP . 2 0 0 2 . 1 0 2 8 3 4 9     h ttp s :/ /d o i.o r g /1 0 . 1 0 1 6 / j . j v cir . 2 0 1 6 . 0 6 . 0 1 5     h ttp s :/ /d o i.o r g /1 0 . 1 1 0 9 / T I P . 2 0 1 1 . 2 1 7 7 8 4 4       RE F E R E NC E S   [ 1 ]   S .   O s h e r   a n d   L .   I .   R u d i n ,   F e a t u r e - o r i e n t e d   i m a g e   e n h a n c e me n t   u si n g   s h o c k   f i l t e r s,”   S I AM   J o u rn a l   o n   N u m e ri c a l   An a l y si s ,   v o l .   2 7 ,   n o .   4 ,   p p .   9 1 9 9 4 0 ,   A u g .   1 9 9 0 ,   d o i :   1 0 . 1 1 3 7 / 0 7 2 7 0 5 3 .   [ 2 ]   P .   P e r o n a   a n d   J.  M a l i k ,   S c a l e - S p a c e   a n d   Ed g e   D e t e c t i o n   U si n g   A n i so t r o p i c   D i f f u s i o n ,   I EEE  T r a n sa c t i o n o n   Pa t t e r n   A n a l y s i s   a n d   Ma c h i n e   I n t e l l i g e n c e ,   v o l .   1 2 ,   n o .   7 ,   p p .   6 2 9 6 3 9 ,   J u l .   1 9 9 0 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / 3 4 . 5 6 2 0 5 .   [ 3 ]   R .   T .   W h i t a k e r   a n d   X .   X u e ,   V a r i a b l e - c o n d u c t a n c e ,   l e v e l - se t   c u r v a t u r e   f o r   i m a g e   d e n o i s i n g ,   I EEE   I n t e rn a t i o n a l   C o n f e re n c e   o n   I m a g e   Pr o c e ssi n g ,   v o l .   3 ,   p p .   1 4 2 1 4 5 ,   2 0 0 1 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / i c i p . 2 0 0 1 . 9 5 8 0 7 1 .   [ 4 ]   J.  W e i c k e r t ,   C o h e r e n c e - e n h a n c i n g   d i f f u si o n   f i l t e r i n g ,   I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   C o m p u t e r   V i si o n ,   v o l .   3 1 ,   n o .   2 ,   p p .   1 1 1 1 2 7 ,   A p r .   1 9 9 9 ,   d o i :   1 0 . 1 0 2 3 / a : 1 0 0 8 0 0 9 7 1 4 1 3 1 .   [ 5 ]   K .   M .   F u r a t i ,   M .   Y o u s u f ,   a n d   A .   Q .   M .   K h a l i q ,   F o u r t h - o r d e r   me t h o d f o r   sp a c e   f r a c t i o n a l   r e a c t i o n d i f f u s i o n   e q u a t i o n w i t h   n o n - smo o t h   d a t a ,   I n t e rn a t i o n a l   J o u rn a l   o f   C o m p u t e r   M a t h e m a t i c s ,   v o l .   9 5 ,   n o .   6 7 ,   p p .   1 2 4 0 1 2 5 6 ,   Ju l .   2 0 1 8 ,   d o i :   1 0 . 1 0 8 0 / 0 0 2 0 7 1 6 0 . 2 0 1 7 . 1 4 0 4 0 3 7 .   [ 6 ]   A .   S i d d i g ,   Z .   G u o ,   Z .   Z h o u ,   a n d   B .   W u ,   A n   i mag e   d e n o i si n g   mo d e l   b a se d   o n   a   f o u r t h - o r d e r   n o n l i n e a r   p a r t i a l   d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n ,   C o m p u t e rs   a n d   M a t h e m a t i c s   w i t h   A p p l i c a t i o n s ,   v o l .   7 6 ,   n o .   5 ,   p p .   1 0 5 6 1 0 7 4 ,   S e p .   2 0 1 8 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . c a mw a . 2 0 1 8 . 0 5 . 0 4 0 .   [ 7 ]   Y .   W e n ,   J.  S u n ,   a n d   Z .   G u o ,   A   N e w   A n i so t r o p i c   F o u r t h - O r d e r   D i f f u s i o n   E q u a t i o n   M o d e l   B a se d   o n   I mag e   F e a t u r e f o r   I mag e   D e n o i si n g ,   I n v e rs e   Pr o b l e m a n d   I m a g i n g ,   v o l .   1 6 ,   n o .   4 ,   p p .   8 9 5 9 2 4 ,   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 3 9 3 4 / i p i . 2 0 2 2 0 0 4 .   [ 8 ]   S .   K u mar,   K .   A l a m,  a n d   A .   C h a u h a n ,   F r a c t i o n a l   d e r i v a t i v e   b a se d   n o n l i n e a r   d i f f u s i o n   mo d e l   f o r   i m a g e   d e n o i si n g ,   S e MA   J o u rn a l ,   v o l .   7 9 ,   n o .   2 ,   p p .   3 5 5 3 6 4 ,   J u n .   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / s4 0 3 2 4 - 0 2 1 - 0 0 2 5 5 - 0.   [ 9 ]   Q .   W a n g ,   J.  M a ,   S .   Y u ,   a n d   L .   T a n ,   N o i se   d e t e c t i o n   a n d   i mag e   d e n o i si n g   b a se d   o n   f r a c t i o n a l   c a l c u l u s,”   C h a o s ,   S o l i t o n a n Fra c t a l s ,   v o l .   1 3 1 ,   p .   1 0 9 4 6 3 ,   F e b .   2 0 2 0 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . c h a o s.2 0 1 9 . 1 0 9 4 6 3 .   [ 1 0 ]   A .   A n n a d u r a i ,   V .   S u r e sh k u mar ,   D .   J a g a n a t h a n ,   a n d   S .   D h a n a se k a r a n ,   E n h a n c i n g   M e d i c a l   I mag e   Q u a l i t y   U si n g   F r a c t i o n a l   O r d e r   D e n o i si n g   I n t e g r a t e d   w i t h   T r a n sf e r   L e a r n i n g ,   Fr a c t a l   a n d   Fr a c t i o n a l ,   v o l .   8 ,   n o .   9 ,   p .   5 1 1 ,   A u g .   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 3 3 9 0 / f r a c t a l f r a c t 8 0 9 0 5 1 1 .   [ 1 1 ]   S .   O sh e r ,   M .   B u r g e r ,   D .   G o l d f a r b ,   J.  X u ,   a n d   W .   Y i n ,   A n   i t e r a t i v e   r e g u l a r i z a t i o n   me t h o d   f o r   t o t a l   v a r i a t i o n - b a se d   i mag e   r e st o r a t i o n ,   M u l t i sc a l e   M o d e l i n g   a n d   S i m u l a t i o n ,   v o l .   4 ,   n o .   2 ,   p p .   4 6 0 4 8 9 ,   J a n .   2 0 0 5 ,   d o i :   1 0 . 1 1 3 7 / 0 4 0 6 0 5 4 1 2 .   [ 1 2 ]   T .   B a r b u ,   V .   B a r b u ,   V .   B i g a ,   a n d   D .   C o c a ,   A   P D v a r i a t i o n a l   a p p r o a c h   t o   i mag e   d e n o i s i n g   a n d   r e st o r a t i o n ,   N o n l i n e a r   A n a l y s i s:   Re a l   Wo r l d   A p p l i c a t i o n s ,   v o l .   1 0 ,   n o .   3 ,   p p .   1 3 5 1 1 3 6 1 ,   J u n .   2 0 0 9 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . n o n r w a . 2 0 0 8 . 0 1 . 0 1 7 .   [ 1 3 ]   A .   W a h i d   a n d   H .   J.  L e e ,   I mag e   d e n o i si n g   me t h o d   b a se d   o n   d i r e c t i o n a l   t o t a l   v a r i a t i o n   f i l t e r i n g ,   i n   I n t e r n a t i o n a l   C o n f e r e n c e   o n   I n f o rm a t i o n   a n d   C o m m u n i c a t i o n   T e c h n o l o g y   C o n v e r g e n c e :   I C T   C o n v e rg e n c e   T e c h n o l o g i e L e a d i n g   t h e   F o u r t h   I n d u s t ri a l   Re v o l u t i o n ,   I C T C   2 0 1 7 ,   I EEE,   O c t .   2 0 1 7 ,   p p .   7 9 8 8 0 2 .   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / I C T C . 2 0 1 7 . 8 1 9 0 7 8 5 .   [ 1 4 ]   L .   A l v a r e z   a n d   L .   M a z o r r a ,   S i g n a l   a n d   i mag e   r e st o r a t i o n   u s i n g   s h o c k   f i l t e r a n d   a n i so t r o p i c   d i f f u s i o n ,   S I AM   J o u r n a l   o n   N u m e ri c a l   A n a l y s i s ,   v o l .   3 1 ,   n o .   2 ,   p p .   5 9 0 6 0 5 ,   A p r .   1 9 9 4 ,   d o i :   1 0 . 1 1 3 7 / 0 7 3 1 0 3 2 .   [ 1 5 ]   P .   K o r n p r o b s t ,   R .   D e r i c h e ,   a n d   G .   A u b e r t ,   I mag e   c o u p l i n g ,   r e st o r a t i o n   a n d   e n h a n c e me n t   v i a   P D E s,   i n   I EEE  I n t e r n a t i o n a l   C o n f e re n c e   o n   I m a g e   Pro c e ss i n g ,   I E EE  C o m p u t .   S o c ,   1 9 9 7 ,   p p .   4 5 8 4 6 1 .   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / i c i p . 1 9 9 7 . 6 3 8 8 0 7 .   [ 1 6 ]   G .   G i l b o a ,   N .   S o c h e n ,   a n d   Y .   Y .   Z e e v i ,   I m a g e   e n h a n c e me n t   a n d   d e n o i s i n g   b y   c o mp l e x   d i f f u s i o n   p r o c e sse s,”   I EEE  T r a n sa c t i o n s   o n   P a t t e r n   A n a l y si a n d   M a c h i n e   I n t e l l i g e n c e ,   v o l .   2 6 ,   n o .   8 ,   p p .   1 0 2 0 1 0 3 6 ,   A u g .   2 0 0 4 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / T P A M I . 2 0 0 4 . 4 7 .   [ 1 7 ]   S .   F u ,   Q .   R u a n ,   W .   W a n g ,   a n d   J .   C h e n ,   R e g i o n - b a se d   s h o c k - d i f f u si o n   e q u a t i o n   f o r   a d a p t i v e   i mag e   e n h a n c e me n t ,   i n   L e c t u re   N o t e s   i n   C o m p u t e S c i e n c e   ( i n c l u d i n g   s u b ser i e L e c t u r e   N o t e s   i n   Art i f i c i a l   I n t e l l i g e n c e   a n d   L e c t u re   N o t e i n   Bi o i n f o rm a t i c s) 2 0 0 6 ,   p p .   3 8 7 3 9 5 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 1 1 8 2 1 0 4 5 _ 4 1 .   [ 1 8 ]   S .   B e t t a h a r   a n d   A .   B .   S t a mb o u l i ,   S h o c k   f i l t e r   c o u p l e d   t o   c u r v a t u r e   d i f f u si o n   f o r   i m a g e   d e n o i si n g   a n d   s h a r p e n i n g ,   I m a g e   a n d   Vi si o n   C o m p u t i n g ,   v o l .   2 6 ,   n o .   1 1 ,   p p .   1 4 8 1 1 4 8 9 ,   N o v .   2 0 0 8 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . i m a v i s. 2 0 0 8 . 0 2 . 0 1 0 .   [ 1 9 ]   C .   L u d u s a n ,   O .   L a v i a l l e ,   R .   T e r e b e s,  a n d   M .   B o r d a ,   M o r p h o l o g i c a l   sh a r p e n i n g   a n d   d e n o i s i n g   u si n g   a   n o v e l   sh o c k   f i l t e r   mo d e l ,   i n   L e c t u re  N o t e i n   C o m p u t e S c i e n c e   ( i n c l u d i n g   s u b seri e L e c t u re  N o t e i n   Art i f i c i a l   I n t e l l i g e n c e   a n d   L e c t u re  N o t e i n   Bi o i n f o rm a t i c s) ,   2 0 1 0 ,   p p .   1 9 2 7 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 6 4 2 - 1 3 6 8 1 - 8 _ 3 .   [ 2 0 ]   D .   T sch u mp e r l é   a n d   R .   D e r i c h e ,   D i f f u si o n   P D Es  o n   v e c t o r - v a l u e d   i m a g e s,”   I EEE  S i g n a l   Pr o c e ssi n g   M a g a z i n e ,   v o l .   1 9 ,   n o .   5 ,   p p .   1 6 2 5 ,   S e p .   2 0 0 2 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / M S P . 2 0 0 2 . 1 0 2 8 3 4 9 .   [ 2 1 ]   S .   B e t t a h a r ,   A .   B .   S t a m b o u l i ,   P .   L a mb e r t ,   a n d   A .   B e n o i t ,   P D E - b a se d   e n h a n c e me n t   o f   c o l o r   i m a g e i n   R G B   sp a c e ,   I E EE   T ra n s a c t i o n o n   I m a g e   Pro c e ss i n g ,   v o l .   2 1 ,   n o .   5 ,   p p .   2 5 0 0 2 5 1 2 ,   M a y   2 0 1 2 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / TI P . 2 0 1 1 . 2 1 7 7 8 4 4 .   [ 2 2 ]   J.  X i a o ,   G .   P a n g ,   Y .   Z h a n g ,   Y .   K u a n g ,   Y .   Y a n ,   a n d   Y .   W a n g ,   A d a p t i v e   sh o c k   f i l t e r   f o r   i mag e   su p e r - r e so l u t i o n   a n d   e n h a n c e me n t ,   J o u rn a l   o f   Vi s u a l   C o m m u n i c a t i o n   a n d   I m a g e   Re p res e n t a t i o n ,   v o l .   4 0 ,   p p .   1 6 8 1 7 7 ,   O c t .   2 0 1 6 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . j v c i r . 2 0 1 6 . 0 6 . 0 1 5 .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.