I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m pu t er   E ng ineering   ( I J E CE )   Vo l.   1 6 ,   No .   4 A u g u s t   20 2 6 ,   p p .   1 8 41 ~ 1 8 5 2   I SS N:  2088 - 8 7 0 8 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /ijece. v 1 6 i 4 . pp 1 8 4 1 - 1 8 5 2           1841       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij ec e. ia esco r e. co m   H iera rchi ca l   inne r outer  L Q R - PID   co ntroller  ba se o hig h - o rder sliding  mo d o bserv er f o r   un derwa ter  remotel y     o pera ted  v ehicle       Sedin i A icha 1 ,   M o k hta ri  Abdella h 2 ,3   1 D e p a r t me n t   o f   A u t o m a t i c ,   F a c u l t y   o f   El e c t r i c a l   En g i n e e r i n g ,   U S TO - M B   U n i v e r s i t y ,   O r a n ,   A l g e r i a   2 D e p a r t me n t   o f   M a r i t i me   E n g i n e e r i n g ,   F a c u l t y   o f   M e c h a n i c a l   E n g i n e e r i n g ,   U S TO - M B   U n i v e r s i t y ,   O r a n ,   A l g e r i a   2 R e s e a r c h   L a b o r a t o r y   o f   N a v a l   A e r o - H y d r o d y n a m i c   LA H N ,   U S TO - MB   U n i v e r s i t y ,   O r a n ,   A l g e r i a       Art icle  I nfo     AB S T RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   No v   1 8 ,   2 0 2 5   R ev is ed   Ap r   1 3 ,   2 0 2 6   Acc ep ted   Ap r   2 6 ,   2 0 2 6       Th is  p a p e p re se n ts  a   h iera rc h ica in n e r o u ter  li n e a q u a d ra ti c   re g u lat o r - p ro p o rti o n a l   i n teg ra l   d e riv a ti v e   ( LQR P ID )   c o n t ro a rc h it e c tu re   in teg ra te d   with   a   h i g h - o r d e sli d in g   m o d e   ( HO S M o b se rv e r   fo r   p re c ise   m o t i o n   c o n tro l   o a n   u n d e rwa ter  re m o tely   o p e r a ted   v e h icle   (ROV o p e ra ti n g   in   u n c e rtain   a n d   h ig h ly   n o n li n e a e n v ir o n m e n ts.   Th e   p r o p o se d   c o n tro stra teg y   is   stru c tu re d   in to   two   c o o rd i n a ted   lay e rs:  An   in n e r - lo o p   LQR   c o n t ro ll e f o r   d y n a m ic  sta b il iza ti o n   a n d   d ist u r b a n c e   a tt e n u a ti o n ,   a n d   a n   o u ter - lo o p   P ID   c o n tro ll e f o traje c to ry   trac k i n g   a n d   se t - p o in t   re g u latio n .   T h e   c o n tr o s y ste m   h a b e e n   o rg a n ize d   i n t o   a   two - lay e stru c tu re Th e   i n n e lo o p   b a se d   o n   a n   LQR  c o n tr o ll e to   m a n a g e   fa st  d y n a m ics   a n d   c o m p e n sa te  fo r   u n m o d e ll e d   u n d e rwa ter  e ffe c ts.  Th e   o u ter  l o o p   u ti li z e a   P ID  c o n tr o ll e to   g u a ra n ty   sm o o th   trac k in g   p e rf o rm a n c e   a n d   m a in tai n   r o b u stn e ss   a g a in st  p a ra m e ter  v a riatio n s.   To   d e a wit h   li m it e d   se n so rs,  a   HO S M   o b se rv e is  a p p li e d   to   e stim a te  th e   sta tes   th a c a n n o b e   m e a su re d   a n d   to   h a n d le  u n c e rtai n ti e s.  By   c o m b in i n g   th e   P ID LQR  c o n tro ll e with   t h e   HO S M   o b se rv e r,   t h e   sy ste m   b e c o m e m o re   ro b u st,   fa ste i n   re sp o n se ,   a n d   m o re   a c c u ra te  th a n   u sin g   e it h e r   LQR HO S M   o r   P ID  c o n tro a lo n e .   S imu lati o n s   with   a   c o m p a ra ti v e   stu d y   b e twe e n   th e se   sc e n a rio sh o b e tt e trac k in g   f o P ID_ LQR_ HO S M   o v e ra ll   sy ste m   u n d e v a ry i n g   o c e a n   c u rr e n ts,  a n d   tes ts  o n   a   1 - m e ter  RO c o n firm   it s e ffe c ti v e n e ss   fo r   a d v a n c e d   n a v ig a ti o n   a n d   m a n ip u lati o n   tas k s.   K ey w o r d s :   Hig h - o r d e r   s lid in g   m o d e   L in ea r   q u a d r atic  r eg u lato r   Pro p o r tio n al   in teg r al   d e r iv ativ e   R em o tely   o p er ated   v eh icle   R o b u s t c o n tr o l   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Sed in i A ich a   Dep ar tm en t o f   Au to m atic,   Fac u lty   o f   E lectr ical  E n g in ee r i n g ,   USTO - MB Un iv er s ity   B P 1 5 0 5   E L   M’ n ao u er   Or an ,   Alg er ia   E m ail:  aich a. s ed in i@ u n iv - u s to . d z       1.   I NT RO D UCT I O N   I n   ad v an ce d   co n tr o s y s tem   d esig n ,   h ier ar ch ical  co n tr o s tr ateg ies  ar o f ten   em p lo y ed   to   g o v er n   s y s tem s   w ith   co m p lex   d y n am ic  an d   p er f o r m a n ce   r eq u ir e m e n ts   [ 1 ] [ 4 ] .   p r ac tical  s o lu ti o n   is   to   co m b in lin ea r   q u ad r atic  r eg u lato r   ( L Q R )   in   th in n er   lo o p   with   p r o p o r tio n al   in teg r al   d e r iv ativ ( PID )   co n tr o ller   in   th o u ter   lo o p .   T h is   co m b in at io n   d esig n   s ep ar ates  task s   cle ar ly th in n er   lo o p   s tab ilizes  th s y s tem   r ap id ly ,   wh ile  th o u ter   lo o p   e n s u r es  ac cu r ate  tr ac k in g   o f   t h d esire d   r ef er e n ce .   T h is   will  im p r o v e   b o th   p e r f o r m an ce   an d   r o b u s tn ess .   T h L QR   co n tr o ller   is   b u ilt  u s in g   a   s tate - s p ac m o d el   o f   th e   s y s tem .   T h co n tr o ac tio n   is   co m p u ted   b y   m in im izin g   a   c o s f u n ctio n   t h at  b alan ce s   tw o   p r in ci p al  g o als:   r ed u cin g   d ev iatio n s   f r o m   th d esire d   s tate  an d   av o i d in g   ex ce s s iv co n tr o l   ef f o r t.  T h is   o p tim al  f ee d b ac k   m ec h a n is m   en s u r es  f ast  s tab ilizatio n ,   m in im u m   en er g y   co n t r o l,  a n d   p r o v id es  s tr o n g   p er f o r m an ce   ev e n   in   th p r esen ce   o f   s m all  m o d el  v ar iatio n s   an d   e x ter n al  d is tu r b an ce s .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   1 6 ,   No .   4 Au g u s t   20 2 6 :   1 8 4 1 - 1 852   1842   Op er atin g   at  h ig h   b a n d wid th ,   th L QR   in n er   lo o p   is   p r im ar ily   r esp o n s ib le  f o r   s h ap in g   th e   s y s tem s   tr an s ien r esp o n s an d   m ain ta in in g   in ter n al  s tab ilit y .   B y   m i n im izin g   q u ad r atic  c o s f u n ctio n ,   th at  b ala n ce s   co n tr o ef f o r an d   s tate  d ev i atio n ,   th L QR   p r o v id es  an   o p tim al  f ee d b ac k   law  th at  y ield s   h ig h   s tab ilit y   m ar g in s   an d   g o o d   d is tu r b a n ce   r ejec tio n   p r o p er ties   [ 5 ] ,   [ 6 ] .   I n   co n tr ast,  th o u ter   PID   co n tr o ller   o p e r ates  o n   s lo wer   tim escale  an d   en s u r es  ac cu r ate  s et - p o in tr ac k in g   b y   co n tin u o u s ly   co r r ec tin g   th tr ac k in g   er r o r .   I g en er ates  th r ef er en ce   s ig n al  f o r   th in n e r   L QR   lo o p ,   r ef i n in g   it to   r ed u ce   s tea d y - s tate  er r o r .   I t a ls o   m ak es u p   f o r   m o d el  er r o r s   an d   s lo s y s tem   b eh av io r s   th at  th in n er   lo o p   ca n n o f u lly   ca p tu r e.   I n   u n d e r w a t e r   r e m o t e l y   o p e r a t e d   v e h i c l e   ( R O V )   s y s t e m s ,   i t   i s   h a r d   t o   m e a s u r e   e v e r y t h i n g   d i r e c t l y ,   e s p e c i al l y   t h i n g s   l i k s p e e d   a n d   r o t a t i o n   b e ca u s s e n s o r s   a r l i m it e d   a n d   t h e   e n v i r o n m e n i s   h a r s h .   T h h i g h - o r d e r   s l i d i n g   m o d ( H OS M )   o b s e r v e r   h e l p s   s o l v e   t h is   b y   e s t im atin g   th ese  m is s in g   v alu es  in   r ea tim e,   u s in g   o n ly   th m ea s u r em e n ts   th at  ar av ailab le,   s u ch   as  p o s itio n   a n d   d ir ec tio n   [ 7 ] ,   [ 8 ] .   T h m ain   id ea   o f   th HOSM  o b s er v er   is   to   r ed u ce   n o o n ly   th esti m atio n   er r o r ,   b u also   h o f ast  th at  er r o r   ch an g es  o v er   tim e.   B y   co n tr o llin g   b o th ,   it  ca n   elim in ate  th e r r o r   v e r y   q u ick l y   in   a   f in ite  tim e   r ath e r   th a n   s lo wly   ap p r o ac h in g   ze r o .   T h is   m ea n s   th e   esti m ated   v al u es  b ec o m e   ac cu r ate   m u c h   f a s ter ,   wh ich   is   esp ec ially   u s ef u f o r   s y s tem s   lik R OVs   th at  o p er ate  in   f ast - ch an g in g   an d   u n p r e d ictab le  en v ir o n m en ts .   B y   ad d in g   th HOSM  o b s er v er   to   th L QG PID   co n tr o s y s tem ,   th e   co n tr o ller   g ets  m o r ac cu r ate  an d   r eliab le  esti m ates  o f   th s y s tem s   s tate,   ev en   wh en   s en s o r   d ata  is   lim ited   o r   n o is y .   T h is   h elp s   th s y s tem   s tay   s tab le,   f o llo its   d esire d   p ath   m o r clo s ely ,   an d   b etter   h an d le  d is tu r b a n c es  in   ch an g in g   u n d e r wate r   co n d itio n s .   T h s y s tem   b en ef i ts   f r o m   b o th   f ast,  p r ec is s tab ilizatio n   at  th in n er   lev el  an d   ef f ec tiv o v er all  c o n tr o at  th e   o u ter   lev el.   T h is   t wo - lay er   d esig n   is   esp ec ially   u s ef u l f o r   c o m p lex   s y s tem s .   R esear ch er s   h av s tu d ied   th g u id an ce   an d   co n tr o o f   R OVs  f r o m   s im p le  ap p r o ac h es  to   m o r ad v an ce d   o n es.   At  th m o s b asic  lev el,   PID   co n tr o ller s   ar wid ely   u s ed   b ec au s th ey   ar ea s y   to   im p lem e n t.   Ho wev er ,   tu n in g   th em   is   d if f i cu lt  s in ce   u n d er wate r   v e h icles  b eh av in   n o n lin ea r   way   an d   ar af f ec te d   b y   ch an g in g   co n d itio n s   lik o ce an   cu r r en ts .   E v en   wh e n   o p tim i za tio n   m eth o d s   ar u s ed ,   PID   co n tr o ller s   ca n   s till   s tr u g g le  to   ad a p t w h en   t h en v ir o n m en t c h an g es in   r ea l tim e.   T o   im p r o v p er f o r m an ce ,   m o r ad v a n ce d   c o n tr o l   m eth o d s   h av b ee n   d ev elo p ed .   I n   th i s   co n tex t,   Gar cía - Vald o v in o s   et  a l .   [ 9 ]   u s es  s lid in g   m o d co n tr o m eth o d   th at  ca n   h a n d le  d is tu r b an ce s   lik o ce a n   cu r r en ts   an d   tak es  th r u s ter   d y n am ics  in to   ac co u n t.  I n   an o th er   wo r k ,   Yao   et  a l.   [ 5 ]   d ev elo p   d etailed     6 - d eg r ee - of - f r ee d o m   m o d el   o f   an   u n d er wate r   v eh icle,   s im p lify   it,  an d   a p p ly   an   L QR   co n tr o ller   to   im p r o v e   m o tio n   e f f icien cy   an d   r e d u ce   d r ag .   Similar ly ,   Petr o v   et  a l.   [ 1 0 ]   u s L QR   to   co n tr o l   d ep th   an d   p itch   in   t h e   p r esen ce   o f   wa v es,  an d   c o m b i n it with   an   ad a p tiv au to p ilo t sy s tem .   Ho wev er ,   L QR   h as  s o m lim itatio n s   wh en   u s ed   alo n e.   I d o es  n o ex p licitly   ac co u n f o r   ex ter n al   d is tu r b an ce s   lik o ce an   cu r r en ts   o r   wav es,  wh ich   m ak es  its   p er f o r m an ce   d e g r ad w h en   en v ir o n m e n tal  co n d itio n s   c h an g e,   as  r e p o r te d   in   [ 6 ] ,   [ 1 1 ] .   I n   ad d itio n ,   m o s R OVs  ar u n d e r ac tu ated ,   m ea n in g   th ey   h av e   f ewe r   th r u s ter s   th an   d eg r ee s   o f   f r ee d o m ,   s o   t h ey   ca n n o d ir ec tly   co n tr o all  m o tio n s   ( s u ch   as  s u r g e,   s way ,   h ea v e,   r o ll,  p itch ,   an d   y aw)   i n d ep en d en tly .   T h is   in cr ea s es  th d if f icu lty   o f   co n tr o ller   d e s ig n   an d   ca n   r ed u ce   o v er all  p er f o r m a n ce .   T o   ad d r e s s   th ese  is s u es,  s o m r esear ch er s   co m b in L QR   with   ad ap ti v o r   r o b u s co n tr o l   tech n iq u es,  b u t th is   co m es a t th co s t o f   h i g h er   c o m p u tatio n al  an d   s tr u ctu r al  c o m p lex ity   [ 1 2 ] .   No te  th at  L QR   n ee d s   f u ll  k n o wled g o f   all  s y s tem   s tates,  b u in   p r ac tice,   s o m o f   th ese   ca n n o b m ea s u r ed   d ir ec tly .   I n   ad d itio n ,   s en s o r s   ar o f ten   n o is y   o r   u n r eliab le.   T o   h an d le  th is ,   Ullah   et  a l.   [ 1 3 ]   co m b in es  L QR   with   Kalm a n   f ilter ,   cr ea tin g   a n   L QG  co n tr o ller   th at  esti m ates  th m is s in g   s tates.  Alth o u g h   th is   im p r o v es   p er f o r m an ce ,   it  in cr ea s es  co m p u tatio n al  co m p lex ity   an d   ca n   in tr o d u ce   esti m atio n   er r o r s ,   wh ic h   m ay   r ed u ce   s tab ilit y   in   f ast - ch an g in g   u n d er wate r   e n v ir o n m en ts .   E x p e r im en tal  s tu d ie s   also   s h o h o w   co m p lex   R OV  co n tr o l   ca n   b e .   C ah ar ija   et  a l.   [ 1 4 ]   s h o w   th at  co n tr o llin g   u n d er ac t u ated   m ar in v eh icles  is   d if f icu lt  an d   c h allen g in g   b ec au s o f   n o n lin ea r   b eh av io r ,   e x ter n al  d is tu r b an ce s ,   a n d   p r a ctica is s u es  in   r ea l   ex p er im en ts .   Z o h ed i   et  a l .   [ 1 5 ]   s h o ws  th at   R OV  d y n a m ics  ar h ig h ly   n o n lin ea r ,   in v o lv e   m u ltip le  v ar iab les,  an d   ar af f ec ted   b y   u n ce r tai n ties   an d   d is tu r b a n ce s .   T h is   m ea n s   th at  co n tr o ller s   m u s b ab le  to   h an d le  n o n lin ea r   b eh av i o r   an d   ad a p t to   ch an g in g   c o n d itio n s .   Mo r ad v an ce d   ap p r o ac h es  i n teg r ate  m u ltip le   tech n iq u es.  C itin g   in   p ar ticu la r ,   Far o o q   et  a l .   [ 1 6 ]   co m b in es  PID   c o n tr o l   with   es tim atio n   m eth o d s   to   co n tr o a   f u ll  6 - DOF  R OV.   T h is   im p r o v es  s tab ilit y ,   b u t   it  also   m ak es  th s y s tem   m o r co m p lex .   Mo r e o v er ,   it  is   d if f icu lt  to   m o d el  all  th f o r ce s   a ctin g   o n   th v eh icle   ac cu r ately ,   s u ch   as  h y d r o d y n am ic  ef f ec ts   an d   th r u s ter   in ter ac tio n s ,   an d   s en s o r   n o is ca n   r ed u ce   o v e r all   ac cu r ac y .   Oth er   s tu d ies,  s u ch   as  Du an   et   a l .   [ 6 ]   e n h an ce   L QR   co n tr o b y   ad d i n g   an   a d d i tio n al  lo o p   to   b etter   d ea with   d is tu r b an ce s   in   u n d er ac tu ated   s y s tem s .   T h is   im p r o v es  p er f o r m an ce ,   b u it  also   in cr ea s es  s y s tem   co m p lex ity .   T h m ain   ch allen g is   ac h iev in g   c o m p r o m is b etwe en   r o b u s tn ess   an d   s im p licity .   At  m o r e   ad v a n ce d   lev el,   in tellig en m eth o d s   ar e   u s ed .   Fo r   ex am p le,   Kim   et   a l.   [ 1 7 ]   co m b in a   n o n lin ea r   o b s er v er   with   n eu r al  n etwo r k s   to   esti m ate  u n k n o wn   s y s tem   d y n am ics.  T h is   h elp s   d ea w ith   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         Hiera r ch ica l in n er o u ter LQ R - P I co n tr o ller   b a s ed   o n   h i g h - o r d er     ( S e d in i A ich a )   1843   u n ce r tain ties   an d   e n ab les  co n tr o b ased   o n ly   o n   o u t p u m e asu r em en ts .   Ho wev er ,   t h m e th o d   is   d if f ic u lt  to   d esig n   an d   a n aly ze ,   esp ec ially   wh en   th s y s tem   is   b o th   n o n li n ea r   an d   u n d er ac tu ated .   B u ild in g   o n   ea r lier   c o n tr o l   m eth o d s ,   s o m r esear ch er s   f o c u s   o n   esti m atin g   d is tu r b an ce s   in s tead   o f   ju s r ea ctin g   to   th em .   Fo r   e x a m p le,   Fan   et  a l.   [ 1 8 ]   u s n o n lin ea r   o b s er v e r   to   esti m ate  o ce an   cu r r e n ts .   Sin ce   cu r r en ts   ca n n o b m ea s u r e d   d ir ec tly ,   th ey   a r tr ea ted   as  u n k n o wn   d is tu r b an ce s .   T h m a in   d if f icu lty   h er is   th at  cu r r en ts   h av s tr o n g   im p ac o n   th v eh icle,   s o   th o b s er v er   m u s b ac cu r ate  an d   r o b u s ev en   wh en   th e   m o d el  is   n o t p e r f ec t.   T ak in g   a   s tep   f u r t h er ,   Far o o q   et  a l.   [ 1 6 ]   co m b i n n o n lin ea r   o b s er v e r   with   PID   c o n tr o ller   f o r   a   f u ll  6 - DOF  R OV .   T h is   im p r o v es  s tab ilit y   an d   tr ac k in g   s in ce   th co n tr o ller   h as  m o r e   ac cu r ate  in f o r m atio n   ab o u t h s y s tem .   H o wev er ,   t h er ar e   s till   ch allen g es,   p ar ti cu lar ly   n o is y   s en s o r s   a n d   m is s in g   m ea s u r em e n ts ,   wh ich   ca n   r e d u ce   th o b s er v e r s   ac cu r ac y   an d   n e g ativ ely   af f ec t o v er all  p er f o r m a n ce .   At  m o r e   ad v an ce d   lev el,   L u o   et  a l.   [ 1 9 ]   p r o p o s c o m b in in g   an   ex ten d ed   s tate  o b s er v er   with   s lid in g   m o d c o n tr o l.   I n   th is   ap p r o ac h ,   t h o b s er v er   co n tin u o u s ly   esti m ates  d is tu r b an ce s   an d   p r o v i d es  th is   in f o r m atio n   to   th co n t r o ller ,   h en ce   im p r o v in g   tr ajec to r y   tr ac k in g .   W h ile  th is   lead s   to   b etter   p er f o r m an ce ,   it   is   m o r d if f icu lt  to   d esig n .   T h o b s er v er   m u s r ea ct  q u ick ly   to   d is tu r b an ce s   with o u ca u s in g   in s tab ilit y   o r   u n wan ted   o s cillatio n s   ( ch atter i n g ) ,   wh ic h   r eq u ir es c ar ef u l t u n in g .   R ec en tly ,   r esear ch er s   h av b eg u n   co m b in in g   d if f er en co n tr o m eth o d s   to   b en ef it  f r o m   ea ch   o n e,   s u ch   as  h y b r id   m et h o d s   th at  c o m b in PID   a n d   L QR   aim   t o   k ee p   PID   s im p le  wh ile  b en ef i tin g   f r o m   th b etter   p er f o r m an ce   o f   L QR .   Ho wev er ,   th ese  co m b in atio n s   h av e   m ad th s y s tem   m o r d i f f icu lt  to   d esig n   an d   tu n e,   esp ec ially   in   r ea l - tim u n d er w ater   en v ir o n m en ts .   I n   th is   wo r k ,   m o r ad v an c ed   an d   b alan ce d   ap p r o ac h   is   p r o p o s ed .   h ig h - o r d er   s lid in g   m o d e   o b s er v er   ( HOSMO )   is   u s ed   to   esti m ate  b o th   u n m ea s u r ed   s ta tes  an d   ex te r n al  d is tu r b an ce s ,   p r o v id i n g   r eliab le   in f o r m atio n   ev e n   wh en   s en s o r s   ar n o is y   o r   t h en v ir o n m en is   u n ce r tain .   T h c o n tr o l   s y s tem   is   o r g a n ized   in   two   lay er s .   T h in n er   l o o p   u s es  an   L QR   co n tr o ller   to   r eg u late  v elo city ,   wh ile  th o u ter   lo o p   u s es  PID   co n tr o ller   to   c o n tr o l p o s itio n .   T h L QR   is   co n tin u o u s ly   u p d ated   b ec au s th s y s tem   is   n o n lin ea r   b u t is wr itten   in   an   af f in f o r m ,   allo win g   it  to   ad ju s o v er   tim th g ain   K   as  co n d itio n s   ch an g e.   At  th s am tim e,   th PID   co n tr o ller   h elp s   th e   v eh icle  f o llo th d esire d   p ath   s m o o th l y   b y   u s in g   th v elo city   in f o r m atio n   p r o v id e d   b y   th L QR .   Alth o u g h   th e   L QR   co n tr o ller   g iv es  o p tim al  p e r f o r m an ce ,   it   r eq u ir es  f u ll  k n o wl ed g o f   all  s y s tem   s tates,  wh ich   is   o f ten   n o t a v ail ab le  in   r ea l - wo r l d   ap p licatio n s .     T o   o v er co m th is   c h allen g e,   ad d itio n al   esti m atio n   an d   c o n tr o s tr ateg ies  s h o u ld   b in t eg r ated   t o   en s u r r eliab le   p er f o r m a n ce .   T o   b r i d g t h is   g ap ,   th is   p a p er   p r o p o s es  h ie r ar ch ical  c o n tr o ller   th at  c o m b in es   L QR ,   PID   o u ter   lo o p ,   an d   th HOSM  o b s er v er   t o   a ch iev im p r o v ed   r o b u s tn ess ,   en h an ce d   tr ac k in g   p er f o r m an ce ,   a n d   ac cu r ate  s tate  esti m atio n   in   th p r esen ce   o f   d is tu r b an ce s   an d   in co m p lete  s tate  in f o r m atio n .       2.   DYNA M I F O RM UL A T I O   2 . 1 .       RO co nfig ura t io n a nd   pro pu ls io s y s t em   des cr iptio n   T h R OV  d ev elo p ed   i n   th is   s tu d y   is   eq u ip p ed   with   f i v ele ctr ic  th r u s ter s   th at  p r o v id co n tr o o v e r   th m ain   m o tio n   ax es  n ec ess a r y   f o r   s tab le  u n d er wate r   n a v ig atio n   an d   attitu d co n tr o as  s h o wn   in   Fig u r e   1.   T h p r o p u ls io n   s y s tem   is   s p ec if ically   d esig n ed   to   m a n ag e   th r ee   d eg r ee s   o f   f r ee d o m   (3 - DO F) :   h ea v e   ( v er tical  m o v em en t) ,   y aw   ( r o tatio n   ab o u th v er tical  ax is ) ,   a n d   s u r g e   ( lo n g itu d in al  tr a n s latio n   th r o u g h   c o m b in e d   y aw  co n tr o l) .   T h f i v e - th r u s ter   ar r a n g em en t c o n s is ts   o f   th f o llo w in g :           (a )   (b)     Fig u r 1 .   R OV  L AHN  p r o to ty p ( a)   h o r izo n tal  p lan an d   ( b )   v er tical  p lan e     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   1 6 ,   No .   4 Au g u s t   20 2 6 :   1 8 4 1 - 1 852   1844   2 . 1 . 1 .   T hree   v er t ica l t hrus t er s   ( hea v co ntr o l )   T h ese  th r u s ter s   ar m o u n te d   a lo n g   th e   ce n tr al  a n d   later al  a x es  o f   th R OV  to   g e n er ate  v er tical  th r u s t   alo n g   th z - a x is .   T h e   ce n tr al   v er tical  th r u s ter   is   p o s itio n ed   at  th e   v eh icle’ s   ce n ter   o f   g r av ity   t o   p r o v id e   u n if o r m   lift,   wh ile  th two   s i d e - m o u n ted   v er tical  th r u s ter s   en h an ce   s tab ilit y   an d   en ab le   p r ec is co n tr o o f   p itch   o r   r o ll  d u r in g   ascen an d   d escen t.  B y   ad ju s tin g   th th r u s d is tr ib u tio n   am o n g   th th r ee   v er tical  m o to r s ,   th s y s tem   ac h iev es  f in d ep th   co n tr o an d   m ain tain s   p latf o r m   lev ellin g   ag ain s ex ter n al  d is tu r b an ce s   s u ch   as   cu r r en ts   o r   u n ev en   b u o y a n cy   f o r ce s .     2 . 1 . 2 .   T wo   ho rizo nta l t hrus t er s   ( y a a nd   hea din g   co ntr o l )   T h two   h o r izo n tal  th r u s ter s   ar in s talled   s y m m etr ically   o n   th r ea r   o r   s id ar m s   o f   th v eh icle,   o r ien ted   alo n g   th lo n g itu d in al  ( x - ax is ) .   W h en   o p e r ated   in   th s am d ir ec tio n ,   th ey   p r o d u ce   f o r war d   o r   b ac k war d   s u r g m o tio n wh e n   d r iv en   i n   o p p o s ite  d ir ec tio n s ,   th ey   g en er ate  r o tatio n al  m o m en ar o u n d   t h e   v er tical  ax is   ( y aw) ,   allo win g   th R OV  to   tu r n   lef o r   r ig h an d   m ain tai n   h ea d in g   s tab ilit y .   T h is   d if f er en tial   co n tr o l m eth o d   p r o v id es sm o o th   an d   e n er g y - ef f icien y aw  r e g u latio n .     2 . 2 .     Dy na m ic  m o dellin g   L et  th s y s tem   b r ep r esen te d   as:     { ̇ = ( 2 ) ̇ = 1 ( ̇ ) ( ( ̇ ) ( ) ( ) )   ( 1 )     W ith   = [ 1 2 ] 1 = [ ] 2 = [ ] 1   an d   v ₂  d en o te  th lin ea r   an d   a n g u lar   v elo city   v ec to r   r esp ec tiv ely   with   co o r d in ates  in   th e   b o d y - f ix ed   f r a m e.     is   u s ed   to   d escr ib e   th t o r q u es  an d   m o m en ts   ac tin g   o n   t h v eh icle  in   th b o d y - f ix e d   f r a m with :     = [ ] = [ 1 2 ]   ( 2 )     W h er th co n tr o l in p u   g r o u p s   th th r u s t g en e r ated   b y   th f iv p r o p eller s :     = [ 1 2 3 4 5 ]     T h m atr ices  1   an d   2   ar g i v en   b y     1 = [ 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ]     2 = [ 0 0 1 1 0 5 5 3 3 4 2 2 0 0 0 ]     = [ 1 2 ] 1 = [ ] 2 = [ ] 1   an d   2   d en o te  th p o s itio n   an d   o r ien tatio n   v ec t o r   with   co o r d in ates in   t h ea r th - f ix ed   f r am e ,   an d     ( 2 ) = [ 1 ( 2 ) 0 3 × 3 0 3 × 3 2 ( 2 ) ] ,     ( 3 )     W ith   1 ( 2 )   an d   2 ( 2 )   is   th tr an s f o r m atio n   m atr ix   r elate d   to   E u ler   an g le s     1 ( 2 ) = [           +        +             ] .     ( 4 )     2 ( 2 ) = [ 1     0   0  /   /  ] ,   2 ±      ( 5 )     W ith   th n o tatio n   ( ) =  ( ) ( ) =  ( )   an d   ( ) =  ( ) .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         Hiera r ch ica l in n er o u ter LQ R - P I co n tr o ller   b a s ed   o n   h i g h - o r d er     ( S e d in i A ich a )   1845   3.   CO NCEPT   O F   CO N T RO L L E R   T h is   co n tr o s tr u ctu r e   is   a   two - lo o p   ( n ested )   co n tr o l   s y s tem   en h a n ce d   with   a   r o b u s n o n lin ea r   o b s er v er .   T h e   in n e r   lo o p   ( L Q R )   h an d les  f ast  s tate  r e g u latio n   an d   d y n am ic   s tab ilizatio n   o f   th p lan t.  T h o u ter   lo o p   ( PID )   g o v er n s   s et - p o in t r ac k in g   o r   s lo d y n a m ics,  p r o d u cin g   r ef er e n ce   f o r   th in n er   lo o p .   T h h ig h - o r d er   s lid in g   m o d o b s er v e r   ( HOSM)   esti m ate s   u n m ea s u r ed   s y s tem   s tate s   an d   p o s s ib ly   ex ter n al  d is tu r b an ce s   in   f in ite  tim e,   p r o v id in g   r o b u s in f o r m atio n   to   th in n er   co n tr o ller   as  s h o wn   in   Fig u r 2 .   T h is   co m b in atio n   ac h iev es  o p tim al  p er f o r m an c e,   r o b u s tn ess ,   an d   p r ec is tr ac k in g   ev en   in   th p r esen ce   o f   u n ce r tain ties   an d   s en s o r   n o is e.           Fig u r 2 Ov e r all  clo s ed   lo o p       R ep r esen t le t th s y s tem   in   h ier ar ch ical  f o r m :     ̇ 1 = 13 3   ̇ 2 = 24 4   ̇ 3 = 33 3 + 34 4 + 31 1 + 32 2 + 31 3   ̇ 4 = 43 3 + 44 4 + 41 1 + 42 2 + 41 4   ( 6 )     W ith 1 = 1 , 2 = 2 , 3 = 1 , 4 = 2   T ak en = [ 33 34 13 44 ] = [ 13 0 0 24 ] = [ 1 2 ] = [ 3 4 ] ;   = [ 31 32 41 42 ]   = [ 1 2 ] = [ 31 41 ] = [ 0 ] ; = [ 0 ]     T h en   T h e o r em   1   is   s tated   as f o llo w:   Th eo r em  1 .   ( C lo s ed - lo o p   s tab ilit y   o f   th PID L QR HOSM  co n tr o lled   s y s tem )   C o n s id er   th n o n lin ea r   s y s tem :     x ̇ = Ax + Bu + Gw     wh er th s tate  v ec to r   is   p ar ti tio n ed   as  x = [ x p x v ] T   with   x p R 6     r ep r esen tin g   m ea s u r ab le  p o s itio n   s tates   an d   x v R 6   r ep r esen tin g   v elo city   s tates.  Ass u m th at  p o s itio n s   an d   v el o cities  s tates  ar esti m ated   an d   co n s tr u cted   v ia  a   h ig h - o r d er   s lid in g   m o d e   ( HOSM)   o b s er v e r ,   an d   t h c o n tr o l   s tr u ctu r e   co n s is ts   o f   an   in n er - lo o p   L QR   co n t r o ller   = ̂   an d   a n   o u ter - lo o p   PID   co n tr o ller   g en er atin g   r ef er e n ce   s ig n als  b ased   o n   p o s itio n   tr ac k in g   er r o r .     Ass u m th at:     T h p air   ( A,   B )   is   s tab ilizab le,       T h L QR   g ain   r en d er s   th m atr ix   ( A v B v K )   Hu r witz,       T h HOSM  o b s er v er   e n s u r es f in ite - tim co n v er g en ce   o f   th esti m atio n   er r o r ,       T h d is tu r b an ce   is   b o u n d ed ,       T h PID   g ain s   ar ch o s en   s u c h   th at  th o u ter - lo o p   er r o r   d y n am ics ar s tab le.     T h en ,   t h o v er all  clo s ed - lo o p   s y s tem   is   g lo b ally   asy m p to tic ally   s tab le,   an d   all  tr ac k in g   an d   esti m atio n   er r o r s   co n v er g to   ze r o .     3 . 1 .     I nn er - lo o p desi g n:  L Q R   T h in n er - lo o p   L QR   co n tr o ll er   is   d esig n ed   f r o m   ( 6 )   b ased   o n   th s tate - s p ac r ep r esen tatio n   o f   th e   p lan t:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   1 6 ,   No .   4 Au g u s t   20 2 6 :   1 8 4 1 - 1 852   1846   ̇ =                                                                         ( us e d   wi th   PID ) ̇ = + +             ( us e d   wi th   L QR )       ( 7 )     T h L QR   d esig n   s ee k s   to   d e ter m in an   o p tim al  co n tr o la o f   th f o r m :   =   th at  m in im i ze s   th e   q u ad r atic  co s t f u n ctio n :     = ( ( ) ( ) + ( ) )  0     ( 8 )     w h er Q≥ 0   an d   R >0   ar th weig h tin g   m atr ices  th at  d ef in th tr ad e - o f f   b etwe en   s tate  p er f o r m a n ce   an d   co n tr o l e f f o r t.  T h o p tim al  g ai n   m atr ix     is   o b tain ed   as:     = 1     ( 9 )     w h er e   P   is   th e   p o s itiv s em i - d ef in ite  s o lu tio n   to   th e   Alg eb r aic  R icca ti  eq u atio n   ( AR E ) .   T h r esu ltin g   L QR   co n tr o ller   g u ar an tees  asy m p t o tic  s tab ilit y   an d   an   o p tim al  tr an s ien r esp o n s u n d er   th ch o s en   p er f o r m a n ce   weig h ts .   As  th in n er   lo o p ,   it  o p er ates  at  h ig h er   b an d wid t h ,   p r o v id in g   f ast  d am p in g   o f   i n ter n al  m o d es  an d   r ejec tin g   h ig h - f r e q u en c y   d is tu r b an ce s .     3 . 2 .     O ute r - lo o p desi g n :   P I co ntr o ller   T h p u r p o s o f   o u ter   l o o p   b a s ed   o n   a   PID   c o n t r o ller   is   to   g en er ate  a   r ef er e n ce   s ig n al   f o r   th in n er   lo o p   b ased   o n   esti m atin g   er r o r ,   r ep r esen te d   b y   ( ) = ( ) ̂ ( ) ,   wh er ( )   is   th d esire d   o u tp u t,    ( ) = [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] T h o u ter   PID   co m p en s ates  f o r   s lo d y n am ics  a n d   en s u r es z er o   s tead y - s tate  er r o r .   I will b r ep r esen te d   as   ( 1 0 ) :     = ( ) + ( )  + ̇ ( )     ( 1 0 )     w h er ( ) = ( ) ( )   r ep r esen ts   th g lo b al  s y s tem   er r o r ,   a n d   K P K I   an d   K D   ar th p r o p o r tio n al,   in teg r al ,   an d   d er iv ativ g ain s ,   r esp ec tiv ely .   T h PID   co n tr o ller   o p er ates  at  lo wer   f r eq u en cy   co m p ar ed   to   th in n e r   lo o p ,   e n s u r in g   ac cu r ate   s et - p o in tr ac k in g   an d   ze r o   s tead y - s tate  er r o r .   I ef f ec tiv el y   co m p en s ates  f o r   m o d el   u n ce r tain ties ,   d is tu r b an ce s ,   a n d   u n m o d elled   s lo d y n am ics t h at  th L QR   m ay   n o t f u lly   ca p tu r e.     3 . 3 .     H O SM   o bs er v er   Sin ce   o n ly   y   p o s itio n   is   m ea s u r ed ,   th o b s er v er   m u s t e s tim ate  th en tire   s tate  s p ac ̂ = [ 0 1 ] :     ̇ 0 = 1 1 2 | 0 | 1 2  ( | 0 | ) + 1     ̇ 1 = 0  ( | 0 | )   ( 1 1 )     W ith   α 0 α 1   ar o b s er v e r   g ain   t u n ed   f o r   f in ite  tim c o n v e r g en ce .   L   is   an   ad ap tatio n   g ai n .   T h co m p lete  s y s tem   ca n   b r ep r esen ted   as  ca s c ad o f   o b s er v er   d y n am ics  ( f i n ite - tim s tab le) ,   in n er - lo o p   v elo city   d y n am ics   ( ex p o n en tially   s tab le)   an d   o u t er - lo o p   p o s itio n   d y n am ics  ( asy m p to tically   s tab le) .   b y   ca s ca d s tab ilit y   th eo r y ,   th o v er all  clo s ed - l o o p   s y s tem   is   g lo b ally   asy m p to tically   s ta b le.       4.   RE SU L T S AN D I SCU SS I O     T h co n tr o ller   p er f o r m a n ce   was  s tu d ied   f o r   lab o r ato r y   p r o to ty p o f   th R OV  in   F ig u r e   1.   T h R OV   was  co n s tr u cted   in   th n a v al  ae r o - h y d r o d y n a m ics  lab o r ato r y   with   m ass   o f     1 3 : 5 8 2 0   Kg .   T h c en ter   o f   g r av ity   was  ca lcu lated   as   =   - 0 . 0 9 7   m  =   0   m    =   0   m .   T h e   ce n t er   o f   b u o y a n cy   was  d eter m in ed   th r o u g h   ex p e r im en ts   co n d u c ted   in   th to win g   tan k   o f   th m ar itime   en g in ee r in g   d e p ar tm en t,  y ield in g        - 0 . 0 8 7   m    0   m    - 0 . 0 2 7   m .   T h e   m o m e n ts   o f   in er tia,      0 . 2 4 2 9   Kg . m 2    0 . 8 7 9 4   Kg . m 2    1 . 0 5 7 0   K g . m 2 ,   wer e v alu ated   th r o u g h   ex p er im en tal   test s   in   th v ib r atio n   lab o r ato r y   an d   co m p ar ed   with   th o s o b tain ed   u s in g   So lid W o r k s .   1   0 . 1 6   m 2   0 . 1 4   m 3   0 . 1 8 5   m 4   0 . 3 5   m 5   0 . 1 2   m;   T h e   k in em atic  co u p lin g   m atr ices  A ij   ( ea ch   o f   d im en s io n   3 ×3 )   a r g i v en   b y :     13 = 1 ( 2 ) ,   24 = 2 ( 2 )     T h elem en ts   o f   th e   m atr ix   33 A 34 A 43   an d   A 44   ar e   ex p r ess ed   as:     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         Hiera r ch ica l in n er o u ter LQ R - P I co n tr o ller   b a s ed   o n   h i g h - o r d er     ( S e d in i A ich a )   1847   3 3 11 = 4 . 947 0 . 01 1 . 198                                  3 4 11   = 0 . 022 0 . 01 + 0 . 0205   3 3 12 = 0 . 872 0 . 0149                                           3 4 12   = 0 . 297 0 . 0788 0 . 634 + 0 . 00254   3 3 13 = 1 . 025 0 . 852 + 0 . 046                     3 4 13   = 0 . 088 0 . 0581 + 0 . 389   3 3 21 = 1 . 052 0 . 0893 0 . 573       3 4 21   = 0 . 205 0 . 205 + 0 . 564 0 . 089   3 3 22 = 8 . 128 0 . 215 2 . 417 + 0 . 208     3 4 22   = 0 . 254 + 0 . 245 + 0 . 025   3 3 23 = 0 . 688 0 . 335 + 1 . 558                     3 4 32   = 0 . 042 0 . 011 3 . 453 + 0 . 1   3 3 33 = 9 . 343 + 0 . 00201 + 0 . 0395                 3 4 33   = 0 . 002 + 0 . 004 0 . 01   4 3 11   = 3 . 761 0 . 32 2 . 052 4 3 12   = 29 . 058 5 . 258 44 . 234 + 0 . 744 4 3 13   = 1 . 119 6 . 126 + 28 . 53 4 3 21   = 1 . 55 + 0 . 17 + 3 . 186 4 3 22   = 0 . 273 + 0 . 232 4 3 23   = 0 . 047 + 16 . 352 0 . 745 4 3 31   = 2 . 684 1 . 07 3 6 . 885 4 3 32   = 5 . 052 + 0 . 672 3 . 181 + 2 . 497 4 3 33   = 0 . 904 0 . 441 + 2 . 052 4 4 11   = 0 . 735 + 2 . 015 3 . 757 0 . 32 4 4 12   = 4 . 654 + 5 . 806 + 0 . 089 4 4 13   = 14 . 215 + 3 . 879 + 4 . 356 + 5 . 578 4 4 21   = 0 . 358 + 0 . 017 0 . 332 4 4 22   = 0 . 008 + 0 . 198 4 . 816 0 . 04 4 4 23   = 0 . 027 0 . 07 + 0 . 192 4 4 31   = 3 . 377 0 . 457 0 . 270 1 . 072 4 4 32   = 0 . 335 0 . 632 + 0 . 3 4 4 33   = 0 . 95 + 0 . 112 8 . 293 + 0 . 401       T h in p u m atr ices  31 32 41   an d   42   ar d ef in ed   as:     31 = [ 0 . 064 0 0 . 001 0 0 . 069 0 0 . 001 0 0 . 044 ] , 32 = [ 0 0 . 020 0 0 . 245 0 0 . 090 0 0 . 017 0 ] 41 = [ 0 0 . 245 0 0 . 020 0 0 . 017 0 0 . 090 0 ] , 42 = [ 4 . 483 0 0 . 032 0 0 . 323 0 0 . 323 0 1 . 082 ]     T h m atr ices  31   an d   41   ar wr itten   as:     31 = [ 0 . 075 0 0 0 0 . 913 0 0 . 064 0 0 ] ,   41 = [ 0 16 . 623 0 1 . 205 0 0 0 1 . 187 0 ]     T h v ec to r   3   an d   4   ar d ef in ed   a s :     3 = 4 = [      ]     T h in p u v ec to r s   1   an d   2   ca n   b wr itten   as:     1 = 1 ; 2 = 2     T h p ar am eter s   o f   t h co n tr o l la ws  an d   o b s er v er s   ar e   g iv e n   in   T ab le s   1   an d   2 .   T h s im u latio n   r esu lts   ar r ep r esen ted   i n   Fig u r es  3   to   8 .   co m p a r ativ s tu d y   is   ad d ed   an d   p r esen ted   in   t h is   wo r k ,   co n s id er in g   th r ee   co n tr o s ce n ar io s   in   T ab le  3 .   T h f ir s s ce n ar io   in teg r ates  PID   co n tr o ller   with   an   L QR   co n tr o ller   an d   a   HOSM  o b s er v er .   T h e   s ec o n d   s ce n ar io   u tili ze s   an   L QR   co n tr o ller   in   c o n ju n ctio n   with   HOSM  o b s er v er ,   wh ile  th th ir d   s ce n a r io   is   b a s ed   s o lely   o n   a   PID   c o n tr o ll er .   T h e   p e r f o r m an ce   o f   ea ch   co n tr o s tr ateg y   is   s y s tem atica lly   ev alu ated   u s in g   s tan d ar d   tim e - d o m ain   s p ec if icatio n s ,   n am ely   r is tim e,   s ettlin g   tim e,   an d   o v er s h o o o f   th e   o u tp u t sig n al s .       T ab le  1 .   PID   p a r am eter s   ( ) + ( )  + ̇ ( )           12   0 . 0 0 2   4     20   0 . 0 0 0 9   25     50   0 . 0 1   30     30   0 . 0 0 5   25     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   1 6 ,   No .   4 Au g u s t   20 2 6 :   1 8 4 1 - 1 852   1848   T ab le  2 .   HOSM  an d   L QR   p ar am eter s   M e t h o d   P a r a me t e r a n d   V a l u e s   LQ R   p a r a m e t e r s   = 6 × 6   = 10   6 × 6   H O S M   p a r a me t e r s   0 = 1 . 3   1 = 1 . 5   =  ( ( [ 2 , 2 , 1 . 2 , 0 . 2 , 0 . 2 , 2 ] )       T h tu n in g   o f   th an d   R   m atr ices  was  ca r r ied   o u m eticu lo u s ly ,   b ased   o n   t o r q u r esu lts   th at  m u s r em ain   r ea lis tic  with   r esp ec to   th ac tu ato r s   u s ed .   T h p a r am eter s   Kp ,   Ki,   an d   Kd   ar e   ch o s en   to   ac h iev e   ac ce p tab le  s tab ilit y   an d   a   s lo wer   r esp o n s th a n   th L QR   c o n tr o ller ,   i n   o r d er   t o   b etter   co n tr o th b eh av i o r   o f   th s y s tem   o u tp u ts .   Ho wev er ,   th o b s er v er   p ar a m eter s   0 ,   1 ,   an d     ar s elec ted   to   en s u r f ast   r esp o n s o f   th esti m ated   s tates  [ 7 ] ,   en ab li n g   th eir   e f f ec tiv u s b y   th L QR   an d   PID   co n tr o ller s .   T h s im u latio n   r esu lts   ar p r e s en ted   in   Fig u r es  3   to   8 ,   s h o win g   th r esp o n s es  o f   t h ,   an d   ψ   o u tp u ts ,   alo n g   with   th eir   co r r esp o n d in g   tr ac k in g   an d   esti m atio n   er r o r s .   E ac h   o u tp u is   ev alu ated   u n d er   th r ee   co n tr o c o n f ig u r atio n s a   PID   co n tr o ller   co m b in ed   with   an   L QR   co n tr o ller   a n d   a   HOSM  o b s er v er ,   an   L QR   co n tr o ller   with   a   HOSM  o b s e r v er ,   an d   ( 3 )   a   s tan d alo n PI co n tr o ller .   T h c o m p ar is o n   o f   th e   th r ee   co n tr o l   m eth o d s   s h o ws  th at  th co m b in ed   PID L QR OB ap p r o ac h   p er f o r m s   b etter   th an   b o th   L QR   with   o b s er v er   alo n an d   PID   alo n as sh o wn   in   T ab le  3 .             Fig u r 3 x   o u tp u t           Fig u r 4 y   o u tp u t   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         Hiera r ch ica l in n er o u ter LQ R - P I co n tr o ller   b a s ed   o n   h i g h - o r d er     ( S e d in i A ich a )   1849       Fig u r 5 .   o u tp u t           Fig u r 6 .     o u tp u t           Fig u r 7 .   T o r q u es o u tp u f o r   P I D_ L QR _ OB S   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   1 6 ,   No .   4 Au g u s t   20 2 6 :   1 8 4 1 - 1 852   1850       Fig u r 8 .   E i g en v alu es  o u tp u f o r   PID _ L QR _ OB S       T ab le  3 .   C o m p a r ativ s tu d y   O u t p u t   C o n t r o l   t y p e   R i se   t i me   ( sec )   S e t t l i n g   t i me   ( sec )   O v e r sh o o t   ( %)   I A E   I TA E   x   P I D _ LQ R _ O B S   0 . 4654   0 . 8688   0 . 9768   3 . 4032   10 1   6 . 3096   LQ R _ O B S   0 . 7904   6 . 9181   62 . 1206   2 . 0569   55 . 7881   P I D   7 . 7345   65 . 1330   26 . 4837   10 . 410   1 . 8492   10 2   y   P I D _ LQ R _ O B S   1 . 8022   10 4   17 . 5227   /   3 . 7129   10 1   1 . 9999   LQ R _ O B S   1 . 6477   10 4   8 . 2063   /   1 . 6106   7 . 5368   P I D   2 . 4 10 3   63 . 486   /   11 . 493   2 . 0722   10 2   z   P I D _ LQ R _ O B S   2 . 9586   4 . 4665   0 . 6009   1 . 808   45 . 818   LQ R _ O B S   2 . 0716   3 . 6987   1 . 1873   7 . 1717   10 1   6 . 8183   P I D   1 0 . 0 9 1 5   17 . 8887   0 . 0047   4 . 5696   78 . 499     P I D _ LQ R _ O B S   0 . 8288   2 . 8837   4 . 6576   3 . 6959   10 1   6 . 5058   LQ R _ O B S   0 . 3198   4 . 9135   27 . 0223   1 . 1291   71 . 821   P I D   1 . 0214   12 . 2998   0 . 2359   5 . 9260   10 1   8 . 7084       T h s im u latio n   r esu lts   also   s h o th at  th PID L QR OB S   co n tr o ller   r e d u ce s   th in teg r al  ab s o lu te  er r o r   ( I AE )   b y   9 6 co m p ar e d   to   th e   s tan d ar d   PID   co n tr o ller ,   an d   b y   8 0 c o m p ar e d   to   th L QR   co n tr o lle r   f o r   th   o u tp u t,  m ea n in g   it  tr ac k s   th d esire d   tr ajec to r y   m u c h   m o r ac cu r ately ,   th I AE   is   r ed u ce d   f o r     b y   9 6 ( co m p a r ed   to   PID )   an d   7 7 ( co m p ar e d   to   L QR ) .   W ca n   r ef er   to   T a b le  3   to   v er i f y   th p er f o r m an ce   o f   th is   m eth o d   b y   a n aly zin g     an d   ψ.   T h e   an aly s is   b ased   o n   th I T AE   p r esen ted   in   th tab le   co n f ir m s   also   th e   r esu lts   o b tain ed .   T h is   en h a n ce d   p er f o r m a n ce   ca n   b attr ib u ted   to   th e   f ac th at  th L QR o b s er v er   co n f ig u r atio n   p r im a r ily   r eg u l ates  th s y s tem   v elo cities,  in f lu en ce d   b y   th p r esen ce   o f   ze r o s   in   th s tate   m atr ix ,   wh ich   lim its   its   ef f ec tiv en ess   in   f u lly   s h a p in g   th o v er all  d y n am ic  r esp o n s e.   On   th o th er   h an d ,   th e   PID   co n tr o ller   alo n is   h ig h ly   d ep en d e n o n   o p tim al  tu n in g   ar o u n d   s p ec if ic  o p e r atin g   p o in t,  wh ich   r estricts   its   r o b u s tn ess   u n d er   v ar y in g   c o n d itio n s .   Fig u r 7   r ef lects  th b eh a v io r   o f   th e   th r u s ter s   wh ich   wer n o r m ally   ac ce p tab le  f o r   th m o t o r   u s ed .   All  eig en v alu es  in   Fig u r 8   lie  s tr ictly   in   th lef h alf   o f   t h co m p lex   p la n e   ( . . ,   all  h av n eg ativ r ea p ar ts ) ,   wh ich   co n f ir m s   th s tab ilit y   o f   th clo s ed - lo o p   s y s tem .       5.   CO NCLU SI O     Fin ally ,   th is   ar ch itectu r e   PID - L QR - HOSMO   is   p ar ticu lar ly   ad v an tag eo u s   in   s y s tem s   with   m u lti - tim e - s ca le  d y n am ics,  s u ch   as  R OVs,  wh er f ast  in n er   d y n a m ics  m u s b tig h tly   co n tr o lle d   wh ile  m ain tain in g   ac cu r ate  o v er all  s y s tem   p er f o r m an ce .   I is   r em a r k ed   th at   th o u ter   PID   c o n tr o ller   h a s   en s u r ed   ac c u r ate  r ef er en ce   f o llo win g   an d   t h e   in n er   L QR   co n t r o ller   h as  g u ar an teed   f ast  an d   s m o o th   tr an s ien b eh a v io r Mo r eo v er ,   ev e n   with   th HO SM  o b s er v er   u s ed   f o r   u n m ea s u r ed ,   t h is   ar ch itectu r ac h iev e s   h ig h   p e r f o r m an ce   an d   r o b u s tn ess an d   p r ec is io n   tr ac k in g   ev e n   f o r   u n ce r tain ,   n o n lin ea r ,   o r   p a r tially   o b s er v ab le  s y s tem s   wh en   co m p ar ed   with   PID   o r   L QR   alo n e.   Fu tu r wo r k   will  in v o lv ex p er im e n tal  v alid atio n   in   test   tan k   an d   in v esti g atio n   o f   a d ap tiv g ain   s ch ed u lin g   f o r   th L QR   an d   PID .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.