I nte rna t io na l J o urna l o f   E lect rica l a nd   Co m pu t er   E ng ineering   ( I J E CE )   Vo l.   16 ,   No .   4 A u g u s t   20 26 ,   p p .   1 976 ~ 1 9 8 4   I SS N:  2088 - 8 7 0 8 ,   DOI : 1 0 . 1 1 5 9 1 /ijece. v 16 i 4 . pp 1 9 7 6 - 1 9 8 4           1976       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : //ij ec e. ia esco r e. co m   A non - in teractive   la tt ice - ba sed   sch eme suppo rti ng   multiple  blindnes s mo des       Dinh   H a i Le 1 ,   L uo ng   Vu N g o B ui 2   1 C l a ss  K 1 0   C o m p u t e r   S c i e n c e ,   H o n g   D u c   U n i v e r s i t y ,   Th a n h   H o a ,   V i e t n a m   2 Th a n h   H o a   C a mp u s,   H a n o i   M e d i c a l   U n i v e r si t y D o n g   D a   D i s t r i c t ,   H a n o i ,   V i e t n a m       Art icle  I nfo     AB S T RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Au g   8 ,   2 0 2 5   R ev is ed   Ma y   8 ,   2 0 2 6   Acc ep ted   J u l 2 2 ,   2 0 2 6       Th is  p a p e p ro p o se a   latti c e   b a se d   m u lt i - m o d e   b li n d   sig n a tu re   f ra m e wo rk   th a u n if o rm ly   su p p o rts  th re e   o p e ra ti n g   m o d e s:  f u ll   b li n d n e s s,  p a rti a l   b li n d n e ss ,   a n d   n o n - b l in d n e ss .   T h e   d e sig n   e m p l o y p u b li c   m a tr ice with   trap d o o rs,  c o m b in e d   wit h   h a sh   f u n c ti o n m a p p in g   i n to   ,   sh o rt   p r e ima g e   sa m p li n g   m e c h a n ism s,  a n d   a n   id e n ti t y   e n c ry p ti o n   c o m p o n e n to   e n su re   fa irn e ss   a n d   e n a b le t ra c e a b il it y   in   c a se   o m isu se .   Ba se d   o n   th is co n stru c ti o n ,   th e   u se g e n e ra tes   a   b li n d e d   re q u e st,  th e   sig n e p r o d u c e a   sh o rt   re sp o n se   b o u n d   to   t h e   e n c ry p te d   id e n t it y ,   a n d   th e   u se p e rf o rm a n   u n b li n d in g   ste p   t o   o b tai n   th e   fin a si g n a t u re .   Th e   p a p e a lso   p re se n ts  th e   sy ste m   m o d e l,   re se a rc h   m e th o d o l o g y ,   se c u ri ty   c laim s,  a n d   p a ra m e ter  d isc u ss i o n in   th e   p o st - q u a n t u m   se tt i n g .   T h e   m a in   p r o p e rti e a n a ly z e d   in c lu d e   c o rre c tn e ss b li n d n e ss ,   p a rti a b li n d n e ss ,   e x isten ti a l   u n fo r g e a b il it y ,   o n e   m o re   u n f o rg e a b il i ty ,   fa ir n e ss ,   a n d   trac e a b il it y   u n d e th e   sh o rt  in teg e so lu ti o n   (S IS )   a n d   o n e   m o re   S I S   a ss u m p ti o n s.  Th e   re su lt in d ica te  th a t h e   p ro p o se d   a p p ro a c h   p r o v i d e a   flex ib le  s o l u ti o n   f o a p p li c a ti o n re q u ir in g   a   b a lan c e   b e twe e n   a n o n y m it y ,   a c c o u n tab il it y ,   a n d   p o st - q u a n t u m   se c u rit y .   K ey w o r d s :   B lin d   s ig n atu r e   L attice   No n - in ter ac tiv e   b lin d   s ig n atu r es   Par tially   b lin d   SIS  an d   o n m o r SIS   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   L u o n g   Vu   Ng o c   B u i   T h an h   Ho a   C am p u s ,   Han o i M ed ical  Un iv er s ity   1   T o n   T h at  T u n g   Stre et,   Kim   L ien   W ar d ,   Do n g   Da  Dis tr ict,   Han o i,  Vietn am   E m ail:  Ng o cb lv @ h m u . e d u . v n       1.   I NT RO D UCT I O N   B lin d   s ig n atu r es,  o r ig i n ally   p r o p o s ed   b y   C h au m ,   allo u s er   to   o b tain   a   v alid   s ig n atu r o n   m ess ag o f   th eir   ch o ice  with o u r ev ea lin g   its   co n ten to   t h s ig n er th ce n tr al  p r o p er t y   o f   th is   m o d el  is   b lin d n ess   [ 1 ] .   Ho wev e r ,   m o s class ical  b lin d   s ig n atu r s ch e m es  s till   r eq u ir in ter ac tio n   b etwe en   th u s er   an d   th s ig n er ,   ty p ically   at  least  t wo   r o u n d s   to   p er f o r m   b lin d in g ,   s ig n in g ,   a n d   u n b lin d in g   [ 2 ] ,   [ 3 ] ,   wh ich   lim its   th eir   ap p licab ilit y   in   asy n ch r o n o u s   en v ir o n m en ts   o r   in   s ettin g s   r eq u ir in g   p r is s u ed   s ig n atu r es.  T o   r ed u ce   r elian ce   o n   o n lin i n ter ac tio n ,   Han zlik   in tr o d u ce d   th n o ti o n   o f   n o n - in te r ac tiv b lin d   s ig n atu r es   ( NI B S),   wh er th s ig n er   p r is s u es  p r e - s ig n atu r e ,   an d   th r ec eiv e r   u s es  co r r esp o n d in g   s ec r et  in f o r m atio n   to   d e r iv e   th f in al  s ig n at u r with o u a n y   f u r th er   in ter ac tio n   [ 4 ] .   E a r ly   NI B co n s tr u ctio n s   a r p r im ar ily   b ased   o n   b ilin ea r   p air in g s   [ 4 ] ,   [ 5 ] ,   an d   m o r r ec e n t w o r k s   h a v b e g u n   to   ex p lo r p o s t q u an tu m   s ec u r ity   [ 6 ] .   I n   th e   p o s q u an tu m   s ettin g ,   lattices  p r o v id e   h i g h ly   p r o m is in g   f o u n d atio n   f o r   q u an t u m   s ec u r e   s ig n atu r an d   e n cr y p tio n   p r im itiv es.  No tab le  r esu lts   in clu d e   tr ap d o o r   lattices  an d   t h GP s ig n atu r [ 7 ] an   ef f icien t   ID - b ased   d ir ec ted   s ig n atu r s ch em f r o m   b ilin ea r   p air in g s   [ 8 ] lattice - b ased   I B E /HI B E   s y s tem s   [ 9 ] ef f icien s ig n atu r es  [ 1 0 ] ,   a n d   m o r r ec en tly ,   r o u n d   o p ti m al  lattice  b ased   b lin d   s ig n atu r es  [ 1 1 ] .   T h ese  ad v an ce s   s u g g est  th at  c o n s tr u ctin g   a   lattice - b ased   NI B s ch em e,   s u p p o r tin g   m u ltip le  b lin d in g   m o d es  a n d   in teg r atin g   f air n ess   an d   tr ac ea b ilit y ,   is   n atu r al  an d   p r ac tica lly   m ea n in g f u l r esear ch   d ir ec ti o n .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         A   n o n - in tera ctive   la ttice - b a s e d   s ch eme   s u p p o r tin g   m u ltip le  b lin d n ess   mo d es   ( Din h   Ha i Le )   1977   T h m ain   co n tr i b u tio n s   o f   t h is   p ap er   ca n   b s u m m a r ized   a s   f o llo ws:   i )   we  p r o p o s lattice  b ased   non - in te r ac tiv b lin d   s ig n atu r s ch em tar g etin g   p o s q u an tu m   s ec u r ity ii )   we  d esig n   m u lti - mode   ar ch itectu r t h at  u n if o r m l y   s u p p o r ts   th r ee   s ettin g s f u ll  b lin d n ess p ar tial b lin d n ess ,   a n d   n o n - b lin d n ess iii )   we   in teg r ate  f air n ess   an d   tr ac ea b ilit y   m ec h an is m ,   allo win g   d esig n ated   au th o r ity   t o   r ec o v e r   en cr y p ted   id e n tity   in f o r m atio n   in   ca s o f   ab u s e;  an d   iv )   we  co m b in th e   co n ce p tu al  NI B f r am ewo r k   [ 4 ]   with   lattice  b ased   b lin d   s ig n at u r tec h n iq u es   [ 1 1 ]   t o   p r o v i d a   m o r f le x i b le  p o s q u an t u m   c o n s tr u cti o n   ac c o m m o d atin g   d if f er en t le v els o f   m ess ag ex p o s u r e.   T ec h n ically ,   o u r   s ch em is   b u ilt u p o n   p u b lic  m atr ix   ×   to g eth er   with   tr ap d o o r   h eld   b y   th e   s ig n er .   T h u s er   en co d es  th h id d en   m ess ag co m p o n en t     an d   o p tio n al  p u b lic  in f o r m atio n      in to   a   b lin d ed   r e q u est  = + 1 (  )      ,   wh er   is   s h o r r an d o m   v ec to r   u s ed   to   h id th d ata  f r o m   th s ig n er .   T o   e n ab le  tr ac ea b ilit y ,   th s ig n e r   ad d itio n ally   g e n er ates  an   id e n tity   cip h er tex =  (  ; ) ,   an d   u s es  th tr a p d o o r   to   p r o d u ce   a   s h o r r esp o n s   s ati s f y in g   = + 2 ( )      .   T h u s er   th e n   u n b lin d s   b y   c o m p u tin g   = ,   th er eb y   o b tain in g   th f in al  s ig n atu r = ( , ,  ) ,   wh ich   s atis f ies  th e   v er if icatio n   co n d itio n   = 1 (  ) + 2 ( )      .   T h is   f r am ewo r k   n atu r ally   u n if ies  th r ee   o p er atio n al  m o d es,  in clu d in g   f u ll  b lin d n ess ,   p ar tial  b lin d n ess ,   an d   n o n   b lin d n ess ,   wh ile  s im u ltan eo u s ly   ac h iev in g   b lin d n ess ,   u n f o r g ea b ilit y   b ased   o n   lattice  ass u m p tio n s   s u ch   as  s h o r i n teg er   s o lu tio n   ( SIS) ,   an d   f air n ess   an d   tr ac ea b ilit y   v ia   th id en tity   en cr y p tio n   co m p o n e n t.   T h p ap er   clea r l y   d elin ea tes  th s co p o f   its   s ec u r ity   claim s ,   f o cu s in g   o n   co n ce p tu al  d esig n   an d   p r o o f   s k etch   lev el  an aly s is   b ased   o n   SIS  an d   o n m o r SIS  ass u m p tio n s ,   to g eth er   with   s tan d ar d   ass u m p tio n s   o n   h ash   f u n ctio n s   an d   p u b lic   k ey   en cr y p tio n .   P r o p e r ties   s u ch   as  co r r ec tn ess ,   b lin d n ess ,   p ar tial  b lin d n ess ,   ex is ten tial  u n f o r g ea b ilit y ,   o n m o r u n f o r g ea b ilit y ,   f air n e s s ,   an d   tr ac ea b ilit y   ar an aly ze d   in   th r an d o m   o r ac le  m o d el  f o llo win g   th s c h em s tr u ctu r e.   Ho wev er ,   th e   wo r k   d o es  n o aim   at  p ar am eter   o p tim izatio n   o r   tig h r ed u ctio n s   f o r   all  ex ten d ed   v ar ia n ts .   T h cip h er tex r r an d o m izatio n   a f ter   is s u an ce   is   tr ea ted   as  an   o p tio n al   p r iv ac y   e n h an cin g   e x ten s io n   an d   is   n o p ar t   o f   th e   co r c o n s tr u ctio n .   I n   th e   b ase   s ch em e,   s ig n atu r es  ar v er if ied   with   th cip h er tex b o u n d   at  is s u an ce   tim e,   th er eb y   clea r ly   s ep ar atin g   th m ai n   an aly tical  m o d el   f r o m   p o ten tial f u tu r ex ten s io n s .       2.   M E T H O D   2 . 1 .    Resea rc h m e t ho do lo g y   T h is   p ap er   f o llo ws  a   th eo r y   d r iv en   co n s tr u ctio n   co m b in ed   with   f o r m al  a n aly s is .   First,  we  s u r v e y   r esu lts   o n   b lin d   s ig n at u r es,  N I B S,  p ar tial/fa ir   b lin d   s ig n atu r es,  an d   lattice - b ased   cr y p to g r ap h y   [ 1 ] [ 4 ] ,   [ 7 ] ,   [ 1 1 ] B ased   o n   th is ,   we   s elec th c o r c o m p o n en ts tr ap d o o r s   f o r   p u b lic   m atr ices,  h ash   f u n ctio n s   i n to   id en tity   en cr y p tio n ,   an d   n o n - in ter ac tiv ze r o - k n o wled g e   ( NI Z K)   p r o o f s   f o r   lin ea r   r elatio n s .   T h ese   co m p o n en ts   ar in teg r ate d   in t o   m u lti - m o d e   ar c h itectu r s u p p o r tin g   f u ll - b lin d ,   p ar tial - b l in d ,   an d   n o n - b lin d   m o d es th r o u g h   i n p u t a d ap tatio n .     2 . 2 .     L a t t ice  pa ra m e t er s   T h cr y p to   s y s tem   is   b u ilt  o n   d is cr ete  lattices  with   m ain   p ar am eter s   in clu d in g   th m o d u lu s   ,   th e   d im en s io n     o f   th s p ac ,   an d   th len g th     ( with   >   to   en s u r th ex is ten ce   o f   tr ap d o o r ) .   T h p u b lic  m atr ix   ×   is   p ar t o f   th p u b lic  k e y   ,   an d   | |   d en o tes th 2   n o r m   o f   v ec to r   .     2 . 3 .     SI S a nd   o ne  m o re   SI S pro blem s   Secu r ity   r elies  o n   th SIS  p r o b lem   [ 1 2 ] g iv e n   × ,   f in d     s u ch   th at  =      | | < .   T h o n m o r SIS  v a r ian [ 1 1 ] th a d v er s ar y   ca n   q u er y   a n   o r ac le  r etu r n i n g     s u ch   th at  =   f o r   ,   b u t m u s t o u tp u + 1   v alid   p air s   ( , ) ,   ex ce ed in g   t h   q u er ies.     2 . 4 .     T ra pd o o rs f o r   m a t rix     in  la t t ice - ba s ed   cr y pto g ra ph y   tr ap d o o r   f o r   m atr ix     is   s ec r et  in f o r m atio n   th at  en ab les  f in d in g   s h o r s o lu tio n s   t o    =   (    ) ,   wh er ×   an d   .   T h is   p r o b lem   is   h ar d   with o u tr a p d o o r   ( r elate d   to   SIS/L W E   [ 1 3 ] [ 1 5 ] ) ,   b u ca n   b e   ef f icie n tly   s o lv ed   v ia  Gau s s ian   s am p lin g   wh e n   th tr a p d o o r   is   k n o wn   [ 1 6 ] .   A   ty p ical  tr ap d o o r   is   s h o r t b asis   o f   th e   k er n el  lattice  ( ) = { :  =   (    ) } .   T h tr ap d o o r   is   g e n er ated   b y   ( , )  ( , , ) ,   an d   u s ed   t o   s am p le  s h o r s o lu tio n s      ( , , ) .   T h is   tech n iq u e   u n d er lies   lat tice - b ased   s y s tem s   s u ch   as   GPV,   NT R U,   an d   L W E /SIS   v ar ian ts   [ 7 ] ,   [ 1 3 ] [ 1 5 ] ,   [ 1 7 ] .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   16 ,   No .   4 ,   Au g u s t   20 26 :   1 9 7 6 - 1 984   1978   2 . 5 .    H a s h f un ct io ns   a nd   ra n do m nes s   ex t ra ct io n   Hash   f u n ctio n s   1 , 2   ac as  s tr o n g   r an d o m n ess   ex t r ac to r s f o r   i n p u ts   with   s u f f icien m i n - en tr o p y   an d   u n iv e r s al  h ash   f am ilies ,   t h o u tp u d is tr ib u tio n   is   s tati s tically   clo s to   u n if o r m   o v er     ac co r d in g   to   th e   L ef to v er   Hash   L em m ( L H L )   [ 1 8 ] [ 2 0 ] t h u s   r e v e a l i n g   n o   i n f o r m a t i o n   a b o u t   t h e   i n p u t .   T h e   p u b l i c   k e y   t y p i c a l l y   h as   t h e   f o r m    =  + 1 ( ) ,   w h e r e   ×   i s   Ga u s s i a n   n o is e ,   a n d   1 ( )   i s   n e a r l y   u n i f o r m .   T h e r e f o r e ,      l e a k s   al m o s t   n o   i n f o r m a t i o n   a b o u t     w i t h o u t   t h e   t r ap d o o r   o f   ,   e n s u r i n g   p r i v a c y   a n d   a n o n y m i t y .     2 . 6 .    I dentit y   encr y ptio m o du le   T h id en tity   en cr y p tio n   m o d u l p r o tects     b y   en cr y p tin g   it  as  =  (  ) ,   wh er    m ay   b E lGam al,   R SA,  o r   lattice - b ase d   s ch em es  s u ch   as  R eg ev   o r   NT R U   [ 1 4 ] ,   [ 1 9 ] .   T h en ,   2   m ap s     to   a   v ec to r   in   = 2 ( ) . 2   ca n   b co n s tr u cted   f r o m   SHA - 3   co m b in ed   with   PR F   [ 1 9 ] ,   [ 2 1 ] ,   en s u r i n g   n e a r   u n if o r m   d is tr ib u tio n   an d   lim iti n g   in f o r m atio n   leak ag e.     2 . 7 .     No n - inte ra c t iv ze ro - k n o wledg pro o f s     No n - in ter ac tiv e   ze r o - k n o wled g ( NI Z K)   p r o o f s   allo w   co r r ec tn ess   to   b p r o v en   with o u t   r ev ea lin g   in f o r m atio n .   I n   th s y s tem ,   it  is   n ec ess ar y   to   p r o v e:  =  + 2 ( ) ,   an d   th at    is   v alid   en cr y p tio n   o f    .   Su itab le  tech n iq u es  in clu d NI Z f o r   lin ea r   r elatio n s   [ 2 2 ] ,   Fiat - Sh am ir   tr an s f o r m atio n s   o n   lattices  [ 2 3 ] o r   Gr o th - Sah ai  p r o o f s   f o r   lin e ar /b ilin ea r   s tatem en ts   [ 2 4 ] .     2 . 8 .     Securit y   def ini t io ns   2 . 8 . 1 .   Co rr ec t nes s   Fo r   an   h o n est  u s er   an d   s ig n er ,   co r r ec tly   ex ec u tin g   I s s u e   an d   Fin alize   y ield s   s ig n atu r = ( , , in fo , )   s u ch   t h at  = 1 ( in fo ) + 2 ( ) , | | < th r esh o ld .   C o r r ec tn ess   e n s u r es  th at  Ver if y   alwa y s   ac ce p ts th is   h o ld s   b e ca u s   is   s am p led   f r o m   an   a p p r o p r iate  Gau s s ian   d is tr ib u tio n   s atis f y in g   th e   r eq u ir ed   co n d itio n s   with   h ig h   p r o b a b ilit y   [ 2 5 ] .     2 . 8 . 2 .   B lin dn e s s   B lin d n ess   g am e :   T h ad v er s ar y     ( th s ig n er )   ch o o s es   ( 0 , 1 )   an d   ( in fo 0 , in fo 1 ) .   r an d o m   b it  { 0 , 1 }   is   ch o s en th e   s y s tem   s ig n s     with     an d   1   with   s im u lated   s i g n er .   T h a d v er s ar y   m u s g u e s s   with   r eq u ir em e n t:  |  [   g u ess es c o r r ec tly ] 1 2 | n eg l ( ) .   I n   th s ch e m e,     h id es    d u e   to   1   co m b in e d   with   n o is ,   p r e v en tin g   th s ig n er   f r o m   d is tin g u is h in g .   T h cip h e r tex   is   u s ed   c o n s is ten tly   b etwe en   is s u an ce   an d   v er if icatio n ;   r e - r an d o m izatio n     [ 2 6 ]   is   co n s id er ed   o n ly   in   ex ten d ed   v ar ian ts .   B lin d n ess   is   ac h iev ed   at  th r ee   lev els:   i)   t h s ig n er   ca n n o lin k     to   s ig n in g   s ess io n ii)  with o u    ca n n o b e   r ec o v er e d   f r o m   iii)  ev en   if   th s ig n er   co llu d es  with   th tr u s tee  [ 2 7 ] ,   th i n f o r m atio n   r e v ea led   is   m ain ly    n o .     2 . 8 . 3 .   P a rt i a l blin dn e s s   Par tial  b lin d n ess   en s u r es  th at  th s ig n er   ca n n o d is tin g u is h   b etwe en   two   h id d en   m ess ag es  g iv en     th s am p u b lic  in f o r m atio n    .   T h ad v er s ar y     ad v an t ag in   th PB lin d   g am is   d ef in ed   as:    ,   ( ) = |  [ 1 P B lin d  ,  ] 1 2 | .   I n   PB lin d   ch o o s es  ( 0 , 1 )   an d   co m m o n    th s y s tem   s ig n s   ac co r d in g   to   r an d o m   b it    v ia  o r ac le  ac ce s s ,   an d     m u s g u ess     [ 2 8 ] ,   [ 2 9 ] .   T h s ch em is   s ec u r if   th a d v an ta g is   n e g lig ib le.   I n   th d esig n ,      ap p e ar s   o n ly   th r o u g h   1 (  ) ,   wh er   is   r an d o m   an d   h id d e n ,   s o   ev e n   k n o win g    ,   th s ig n er   ca n n o t lin k   s ig n atu r es to   s p ec if ic  m ess ag es.     2 . 8 . 4 .   O ne  mo re   un f o rg ea bil it y   U n f o r g e a b i l i t y   i n   m u lt i - mode   N I B S   r e q u i r e s   s e c u r it y   e v e n   w h e n   t h e   a d v e r s a r y   s e l ec t s   th e   w e a k e s t   m o d e .   E U F :   n o   p o l y n o m i a l - t i m e   a d v e r s a r y   ca n   p r o d u c e   a   v a l i d   s i g n a t u r e   o n   a   n o n - q u e r i e d   m e s s a g e:   [   w in s   E UF ]  ( ) .   O M U F :   w i t h   a t   m o s t     s i g n i n g   q u e r i e s ,   t h e   a d v e r s a r y   c a n n o t   p r o d u c e   + 1   v a l i d   s i g n a t u r es :    ,  ( ) =  [ 1 OMUF ,  ] ,   a n d    [   p r o d u ce s   + 1   s ig n a tu r es a fter     q u eries ]  ( ) .   S e c u r i t y   r e d u c e s   t o   S I S   a n d   o n e   m o r e   S I S:   e a c h   s i g n i n g   s ess i o n   c o r r e s p o n d s   t o   a n   S I c h a l l e n g e ,   s o   f o r g i n g   a d d i t i o n a l   s i g n a t u r e s   r e q u i r e s   s o l v i n g   S I S   wi t h o u t   t h e   t r a p d o o r ;   m e a n w h i l e ,     r e m a i n s   h i d d e n   t h r o u g h o u t   I s s u e Fin alize ,   a n d   Ver if y   [ 1 1 ] ,   [ 1 3 ] ,   [ 1 4 ] .     2 . 9 .     F a irness   a nd   t ra ce a bil it y   a.   F a ir n ess :   o n ly   th tr u s tee  with      ca n   tr ac e     ( ) =  , =  (  ) ,   th u s   an y   f r a u d u len s ig n atu r ca n   b tr ac ed   to   its   o r ig in .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         A   n o n - in tera ctive   la ttice - b a s e d   s ch eme   s u p p o r tin g   m u ltip le  b lin d n ess   mo d es   ( Din h   Ha i Le )   1979   b.   R ev o ca b ilit y:   o n ly   th tr u s tee  ca n   d ec r y p ,   en s u r in g   a n o n y m ity   with o u t p r o p er   au th o r ity .     c.   N o n - fr a mea b ilit y:   n o   o n ca n   p r o d u ce   a   s ig n atu r e   s u ch   t h at    ( ) =    f o r     ,   d u to   co r r ec t e n cr y p tio n   o f      ( with   N I Z K)   an d   t h s y s tem s   u n f o r g e ab ilit y .       3.   RE SU L T S AN D I SCU SS I O N   3 . 1 .     G ener a l sy s t em   m o del   T h s y s tem   co n s is ts   o f   i S ig n er   is s u in g   s ig n atu r es,  h o ld in g   ( , ) ii User   o b tain in g   an d   u n b lin d i n g   th s ig n at u r u s in g   s ec r et/r an d o m   p ar am ete r s an d   iii Tr u s tee   h o ld in g   ( , ) ,   r es p o n s ib le  f o r   tr ac in g   wh en   n ec ess ar y .     3 . 2 .     G ener a l a lg o rit h m s   T h n o n - in ter ac tiv lattice - b as ed   b lin d   s ig n at u r s y s tem   wo r k s   as f o llo ws .   a.   S etu p .   I n p u t:  s ec u r ity   p ar am et er   .   Ou tp u t:   s ig n e r   k e y s   ( , ) ,   tr u s tee  k ey s   ( , ) ,   an d   p u b lic   p ar am eter s   ( lattice  d escr ip tio n   an d   h ash   f u n ctio n s ).   b.   User K ey Gen   ( o p tio n al) .   I n p u t:  n o n o r   s ess io n   s p ec if ic  r a n d o m n ess .   Ou tp u t:   u s er   k ey s   ( , )   o r   r an d o m   s ess io n   p ar am eter s .   c.   I s s u e .   I n p u t:  m ess ag ,   o p t io n al  in f o r m atio n   in f o ,   p u b lic  p ar am eter s ,   an d   o p tio n al  ( , )   Ou tp u t:  b lin d e d   s ig n atu r e   ( , , ) .   T h u s er   s elec ts   th b lin d n e s s   m o d e,   g en e r ates  ,   an d   co m p u tes  = + 1 ,   wh er e   1 = 1 ( in fo ) ,   th en   s en d s   ( , in fo ,  )   an d   in f o   to   th e   s ig n er .     T h s ig n er   p er f o r m s i)   g e n er ate  id en tity   en cr y p tio n   = E n c (  ; ) ,   ii)  co m p u te  2 = 2 ( )   iii)  s o lv = + 2    = + 1 + 2 = + 2 ,   iv )   u s th tr a p d o o r     to   s am p l e     S a mp leP r e ( , , ) ,   v )   g e n er ate  ze r o - k n o wled g p r o o f     to   p r o v th v alid i ty   o f     an d   ,   an d     v i)   s en d   ( , , )   b ac k   to   t h u s er .   d.   F in a liz e .   I n p u t:   ( , , )   f r o m   th e   s ig n er ,   s ec r et   Ou tp u t:   f in al  s ig n atu r = ( , , in fo , ) .   T h u s er   v er if ies    v ia  = ? + 2 ( ) ,   an d   if   v alid ,   co m p u tes  = ,   ch ec k s   th at  = ( ) = ( + 2 ) = 1 + 2 ,   with   1 = 1 ( in fo )   an d   2 = 2 ( ) ,   o p tio n ally   r e - en cr y p t     to     = R eR a n d ( ; )   to   p r ev e n t d ir ec t lin k ag e.   e.   V erif y .   I n p u t:   f in al  s ig n atu r e   = ( , , in fo , )   an d   p u b lic   p ar am ete r s .   O u tp u t:   B o o lean   in d icatin g   v alid ity .   th ir d - p ar ty   co m p u te   1 = 1 ( in fo ) 2 = 2 ( ) ,   an d   ch e ck s   = ? 1 + 2      alo n g   with   | | < ,   wh er = ( ) ,   an d   if   s ati s f ied ,   th s ig n atu r is   v alid .   f.   Tr a ce .   I n p u t:   en cr y p ted   c o m p o n en   an d   tr u s tee  s ec r et  k ey   Ou tp u t:   u s er   id en tity      an d   o p tio n al   p r o o f   .   Dec r y p  = Dec ( ) ,   id en tify   th u s er   f r o m    ,   p r o v i d p r o o f     if   n ee d ed ,   an d   if   f r au d   is   d etec ted   ( two   s ig n atu r es sh ar e   th s am ) ,   d ec r y p b o th     to   c h ec k   f o r   id en tical   .   T h e   s y s te m   e n s u r es   n o n - i n t e r ac t i v i t y ,   s e c u r i t y ,   a n d   t r ac e a b i li ty   w h e n   n e e d e d ;   t h e   s i g n e r   d o e s   n o t   l e a r n   ,   t h e   u s e r   f u l l y   c o n t r o ls   u n b l i n d i n g   a n d   v e r i f i c a t i o n ,   a n d   t h e   t r u s t e e   h o l d s   t r a ci n g   r i g h t s   t o   e n s u r e   f a i r n e s s .     3 . 3 .     Alg o rit hm   co ns t ruct io n   T h m u lti - m o d n o n - in ter ac ti v b lin d   s ig n atu r alg o r ith m   i s   b u ilt  o n   th lattice  f o u n d ati o n ,   clo s ely   f o llo win g   th o u tlin ed   m o d el  an d   co n ce p ts .   Fo r   clar ity ,   th e   p ar am eter s   an d   f u n ctio n s   u s ed   ar s u m m ar ized   as  f o llo ws.   a.   P a r a mete r s   a n d   F u n ctio n s .   I n p u t:   n o n e.   Ou tp u t:   lattice  p a r a m eter s ,   h ash   f u n ctio n s ,   alg o r ith m s .     , , L attice  p ar am eter s ,   f o r   ex am p le  256   o r   512   f o r   1 2 8 - b it  s ec u r ity ,   1024 ,   an d     is   lar g e   in teg er .       1 : { 0 , 1 } : M ess ag h ash   f u n ctio n .       2 : { 0 , 1 } : H ash   f u n ctio n   f o r   t r ac en cr y p tio n .     Tr a p Gen S a mp leP r e : A lg o r ith m s   f o r   tr ap d o o r   g e n er atio n   an d   s h o r p r eim ag e   s am p lin g   f o r   m atr ix   .       E n c Dec :   Pu b lic  k e y   en c r y p tio n   s y s tem ,   s u ch   as lattice - I B E   o r   E lG am al.   b.   S etu p .   I n p u t:   s ec u r ity   p a r am e ter   1 Ou tp u t:   s ig n er   k ey s   ( , ) ,   tr u s tee  k ey s   ( , ) ,   p u b lic  p ar am eter s   ( , 1 , 2 ) .   Gen er ate  tr a p d o o r   ( , ) Tr a p Gen ( , , ) ,   with   × g en er ate  tr ac i n g   k ey   p air   ( , ) K ey Gen E n c ( 1 ) p u b lis h   p u b lic  k ey s   = ,   k ee p   s ec r et   = d ef in r a n d o m   h ash   f u n ctio n s   1 , 2 .   c.   I s s u e - R eq u est  ( B lin d ) .   I n p u t:   Mo d  { fu ll - b lin d , p a r tia l - b lin d , n o n - b lin d } ,   ca r d   in f o r m ati o n     in f o ,   m ess ag   ( if   a n y ) .   Ou tp u t:   b lin d e d   r e q u est  .   I f    = non - b lin d   th en   s et  =   Oth er wis e,   ch o o s { 0 , 1 } .   R an d o m ly   s elec b lin d in g   v ec to r   ,   ( B lin d ) .   C o m p u te    1 = 1 ( in fo ) , = + 1 .   Sen d   ( , in fo ,  )   to   th s ig n e r .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   16 ,   No .   4 ,   Au g u s t   20 26 :   1 9 7 6 - 1 984   1980   d.   I s s u e - R esp o n s e.   I n p u t:   ( , in fo ,  ) ,   tr ap d o o r   ,   u s er   d ir ec to r y .   Ou tp u t:   ( , , ) .   Valid ate  th r eq u est,  r etr iev u s er    .   C o m p u te  = E n c (  ) , 2 = 2 ( ) , = + 2 .   C o m p u te    = S a mp leP r e ( , , ) .   C r ea te   p r o o f   = N I ZK   p r o o f: {    ,     s u ch   th a t: = E n c (  ) , = + 2 ( )   s h o win g   th at     2 =   an d   = E n c (  ) .   Sen d   ( , , )   to   th u s er .   e.   F in a liz ( Un b lin d ) .   I n p u t:   ( , , ) , , in fo Ou tp u t:   f in al  s ig n atu r = ( , , in fo , ) .   Ver if y   th p r o o f   = ? + 2 ( ) .   Per f o r m   Un b lin d   to   o b tai n   th r ea s ig n atu r = .   Op tio n ally   r ef r esh   en cr y p tio n   = R eR a n d ( ) .   Ou tp u t f in al  s ig n a tu r = ( , , in fo , ) .   f.   V erif y.   I n p u t:   = ( , , in fo , ) ,   Ou tp u t:   ac ce p t/re ject.   C o m p u te  1 = 1 ( in fo ) , 2 = 2 ( ) .   Ver if y   = ? 1 + 2 , | | .   I f   co r r ec t,  ac ce p t; o th e r wis e,   r ejec t.   N o te  th mo d es.   N o n - b lin d :   T h s ig n atu r is   g en er ated   d ir ec tly   o n   th m ess ag with o u b lin d in g ,   s o     th s ig n er   s ee s   th c o n ten t.   T h is   m o d is   s im p le  b u o f f er s   n o   m ess ag p r iv ac y .   P a r tia l - b lin d /Fu ll - b lin d :   T h u s er   b lin d s   th e   m ess ag b ef o r e   s ig n in g .   I n   p ar tial  b lin d ,   s o m p u b lic   in f o r m atio n   m ay   b e   v is ib le;     in   f u ll - b lin d ,   th en tire   m es s ag is   h id d en .   Af ter   th s ig n er   p r o d u c es  b lin d ed   s ig n atu r e,   th u s er     u n b lin d s   it  to   o b tain   a   v al id   s ig n atu r e.   T h is   en s u r es  p r iv ac y   wh ile  m ai n tain in g   co r r ec tn ess   an d   v er if iab ilit y = , = 1 ( in fo ) + 2 ( ) ,   s o   th s ig n er   ca n n o lin k   s ig n atu r es  to   m ess ag es,   wh ile  th tr u s tee  ca n   tr ac u s er s   if   n ec ess ar y .   g.   Tr a ce .   I n p u t:   = ( , , in fo , ) Ou tp u t:   u s er   id en tity      an d   p r o o f   if   n ec ess ar y .   Dec r y p t      = Dec ( ) ,   id en tify   th u s er   f r o m    ,   p r o v id p r o o f     if   n ee d ed ,   an d   if   f r au d   is   d etec ted ,   d ec r y p b o th     v alu es to   ch ec k   f o r   id en t ical   .   T h s y s tem   en s u r es  f u ll  n o n - in ter ac tiv ity ,   s tr o n g   s ec u r ity   g u ar an tees,  an d   s elec tiv tr ac ea b ilit y   o n ly   wh en   r eq u ir ed .   T h s ig n er   o p er ates  with o u k n o wled g o f   t h m ess ag ,   wh ich   p r eser v es   u s er   p r iv ac y   an d   p r ev en ts   an y   leak a g o f   s en s itiv in f o r m atio n   d u r in g   th s i g n atu r is s u an ce   p r o ce s s .   At  th s am tim e,   th e   u s er   m ain tain s   co m p lete  co n tr o o v er   th e   u n b lin d in g   a n d   v e r if icatio n   p r o ce d u r es,  allo win g   th em   to   in d ep en d en tly   v er if y   th e   co r r ec tn ess   o f   s ig n atu r es   an d   p r e v en u n au th o r ized   m an ip u latio n s .   Mo r e o v er ,   th e   tr u s tee  h o ld s   th ex clu s iv tr a cin g   ca p ab ilit y ,   en ab lin g   ac co u n tab ilit y   an d   au d itab ilit y   in   ca s o f   d is p u tes  o r   f r au d u le n t a ctiv ity ,   with o u t c o m p r o m is in g   th c o n f id e n tiality   o f   h o n est u s er s .   T h is   s ep ar atio n   o f   r o les en s u r es  th at  th s y s tem   s im u ltan eo u s ly   ac h iev es  p r iv ac y ,   c o r r ec tn ess ,   an d   co n d itio n al  ac co u n ta b ilit y ,   p r o v i d in g   a   r o b u s t f r am ewo r k   f o r   s ec u r a n d   f air   m u lti - m o d e   b lin d   s ig n a tu r es in   p r ac tical  ap p licatio n s .     3 . 4 .     P er f o r m a nce  o ptim iz a t i o n wit ha s h t re es  in  no n - i nte ra ct iv bli nd   s ig na t ures   k ey   ch allen g in   n o n - in ter ac tiv lattice  b ased   b lin d   s ig n atu r es  is   th co s o f   r ep ea ted   r ejec tio n   s a mp lin g ,   wh ich   in cr ea s es  ab o r p r o b a b ilit y   an d   r ed u ce s   ef f icien cy .   T o   ad d r ess   th is ,   we  i n teg r ate  h a s h   tr ee   to   co m p r ess   m u ltip le  co m m itm en ts   in to   a   s in g le  r o o an d   r ev ea o n ly   th n ec ess ar y   p a r ts   d u r i n g   v er if icatio n ,   f o llo win g   id ea s   f r o m   [ 3 0 ]   a n d   alig n in g   with   c o m m itm en h id in g   ap p r o ac h es  in   [ 2 5 ] ,   [ 3 1 ] .   Sp ec if ically ,   co m m itm en ts   1 , ,   ar o r g an ized   in to   b in ar y   h ash   tr ee ,   en ab lin g   s h o r au th e n ticatio n   p ath s   an d   co n s is ten cy   v er if icatio n   with   t h p u b lis h ed   r o o t.  T o   m an a g in d ex in g ,   we  u s th e   m ap p i n g   2 I n t , , ( , , ) = + ( 1 ) +  ( 1 ) ,   wh ich   p r o v id es  u n if ie d   en co d in g   o f   p o s itio n s   in   th tr ee .   T h is   r ed u ce s   ab o r t   p r o b a b ilit y ,   av o id s   r ev ea lin g   r ejec ted   b r an ch es,   an d   is   s u itab le  f o r   o n e - r o u n d   d esig n s .   Fro m   a   s ec u r ity   p er s p ec tiv e,   h ash   t r ee s   h elp   p r ev e n r eu s e/lin k ab ilit y   o f   co m m itm en ts lim itatio n s   r eg ar d in g   o n e   mo r u n fo r g ea b ilit y   h a v b ee n   n o te d   in   [ 3 1 ] ,   wh ile  [ 2 5 ]   s h o ws  th at  co r r ec tn ess   an d   b lin d n ess   ar p r eser v ed   u n d er   m u lti  r o u n d   s am p lin g .   Ou r   e x ten s io n   ap p lies   th is   m ec h a n is m   to   m u lti - m o d e   NI B to   im p r o v e   ef f icien c y   wh ile  m ain tain in g   p o s t - q u an t u m   s ec u r ity .     Alg o r ith m   1 .   Ha s h Tr ee ( 0 , , 1 )   1  ( )      2      3 f o r   { 0 , , 1 } 0 , ( )      4 f o r   { , , 2 1 } 0 , ( )      5 f o r   = 1   t o   :   f o r   = 0   t o   2 1 , ( 1 , 2 , 1 , 2 + 1 )      6 .   , 0 ret u rn   ( , )     Alg o r ith m   2 .   B u ild A u th ( ,  , )   1 .   Ex t ra c t   ( 0 , 0 , , , 2 1 )   f r o m   t h e   t ree     2 f o r   = 0   t o   1 / 2       2                    if    = 1 , 1 e l s e   , + 1      Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         A   n o n - in tera ctive   la ttice - b a s e d   s ch eme   s u p p o r tin g   m u ltip le  b lin d n ess   mo d es   ( Din h   Ha i Le )   1981   3  ( , 0 , , 1 )      4 r e t u rn        Alg o r ith m   3 .   R o o tC a lc ( ,  )   Pa rse      i n t o   ( , 0 , , 1 ) ;   set   0 ( ) f o r   = 1   t o   :   se t   / 2 1       2 if    = 1 ,   set   ( 1 , 1 ) o t h e r w i s e   s e t   ( 1 , 1 ) ;   set     a n d   r e t u rn   .     3 . 5 .     Securit y   a na ly s is   W s eq u en tially   ex am in th e   s ec u r ity   p r o p er ties   an d   s k etch   p r o o f s   f o r   ea ch   p r o p er ty ,   b ased   o n   th e   u n d er ly i n g   ass u m p tio n s   s tated   ea r lier .     3 . 5 . 1 .   Co rr ec t nes s   Gam   :   a.   T h s ig n er   r u n s   I s s u e - R esp o n s e   an d   o u t p u ts   ( , )   s u ch   th at  = + 2 ( ) .   b.   T h u s er   co m p u tes  =   an d   ch ec k s   = ? 1 ( in fo ) + 2 ( ) , .   c.   Ou tp u 1 / 0 .     A n a lysi s :   = + 1 ( in fo ) + 2 ( ) = ( ) = 1 ( in fo ) + 2 ( ) .     N o r b o u n d :   ( ) , ( ) ; + ( ( + ) ) ( )     C o n clu s io n :    [   = 0 ]  ( ) .     Gam e    :     m ak es  p o l y n o m i ally   m an y   s ig n i n g   q u er ies  an d   o u tp u ts   n ew  v alid   = ( , , in f o , ) .     C a s ( i) :   = 1 ( in fo ) + 2 ( )   im p lies   f in d in g   s h o r s o lu tio n     to   r an d o m   s y n d r o m e,   wh ich   r ed u ce s   to   th SIS  p r o b lem .     C a s ( ii):   2 ( ) = 2 ( )     ( co llis io n ) or ( ) = 0   im p lies   f in d in g      with   s m all  ,   wh ich   r ed u ce s   to   SIS.     C o n clu s io n :    [  = 1 ]  ( ) .     3 . 5 . 2 .   O ne  mo re   un f o rg ea bil it y   pro o f   Gam  :     in ter ac ts   in   at  m o s   s ess io n s   b u t o u tp u ts   + 1   v alid   s ig n atu r es.   a.   R ed u ctio n   to   o n e   mo r I S I S :     r ec eiv es    an d   ac ce s s es  an   o r ac le  th at  i )   s am p les  r an d o m     an d   ii )   r etu r n s     s u ch   th at  = .   b.   S ig n in g   s imu la tio n :   i )   r ec eiv e   ii )   ch o o s  ,   co m p u te  = E n c (  ) ,   2 = 2 ( ) iii )   s et  = + 2 ,   q u er y   ( b )   to   o b tain     with   = ;   ( 4 )   r etu r n   ( , ) .   c.   Ou tp u t o :   = ( , , in fo , ) ,   = 1 , , + 1 ; = 1 ( in fo ) + 2 ( ) .   d.   E xtra ctin g   a   n ew  s o lu tio n :   th er ex is ts     n o q u er ied ,   = 1 ( in fo ) + 2 ( ) , = T h u s   ( , )   s o lv es o n m o r I SIS  with o u t   q u er y i n g   ( b )   o n   .   e.   C o n clu s io n :    [ = 1 ]  ( ) .     3 . 5 . 3 .   B lin dn e s s   a nd   pa rt ia bli nd nes s   Gam    :     a.     ch o o s es  ( 0 , in fo 0 ) , ( 1 , in fo 1 )   b.   S am p le  { 0 , 1 } ;   0   r u n s   with   ( , in fo ) 1   with   ( 1 , in fo 1 )   c.     r ec eiv es  , = + 1 ( in fo ) ,   { 0 , 1 } ;     d.   C o m p u te  = E n c ( ) ,   = , + 2 ( ) ,   = S a mp leP r e ( , , ) ;     e.   O u tp u .     A n a lysi s :   |  [ = ] 1 2 | > ; , = + 1 ( in fo ) , 2 ( ) = , .   Sin ce   1   is   r an d o m   a n d     is   h id d en ,   ,   is   in d ep en d en t o f     f r o m   s   v iew.     P a r tia l - b lin d :   if   in fo 0 = in fo 1 1 ( in fo 0 ) 1 ( in fo 1 )   im p lies   th at  d is tin g u is h in g   r eq u i r es   in v er tin g   1 .     C o n clu s io n :   |  [ = ] 1 2 |  ( ) .     3 . 5 . 4 .   F a irness   a nd   t ra ce a bil it y   pro o f   Gam e     :     a.     r ec eiv es  = ,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   16 ,   No .   4 ,   Au g u s t   20 26 :   1 9 7 6 - 1 984   1982   b.   Q u er ies th s ig n in g   o r ac le;  an d     c.   O u tp u ts   = ( , , in fo , )   s u ch   th at  V erif y ( ) = 1   b u Dec ( ) =   .     A n a lysi s :   i)   E n cr y p ti o n   i n co n s is ten cy = E n c (  )   is   b o u n d   b y   p r o o f   ,   s o   it  ca n n o b f o r g e d   with o u k n o win g    ii)  Sig n atu r f o r g e r y = + 2 ( )   im p lies   th at  with o u ,   o n m u s s o lv SIS  o r   b r ea k   E n c .     Do u b le - s p en d i n g :   1 = ( 1 , , in fo , 1 ) ,   2 = ( 2 , , in fo , 2 ) ; ( 1 2 ) = 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) .     If  1 2 ,   th en   = 1 2   is   an   SIS  s o lu tio n .     C o n clu s io n :    [  = 1 ]  ( ) .     3 . 6 .     P a ra m et er   dis cus s io n a nd   perf o rm a nce   3 . 6 . 1 .   Size  estim a t io n   All  f ig u r es  ar e   esti m ates  u n d er   ex .   W ith   = 1024 ,   = 12289 | | r aw l og 2 = 1024 14 = 14336   b its 1 . 75   KB .     Sig n atu r s ize:  | | | | + | | + |  | + | | + | | ; | | [ 1 . 0 , 1 . 5 ]   KB , | | [ 1 . 5 , 3 . 0 ]   KB ;   | | [ 4 . 25 , 6 . 25 ]   KB .     Pu b lic  k ey   s ize:  | |  2 = 256 1024 14 = 3670016   b its 448   KB .     3 . 6 . 2 .   Co m pu t a t i o na l c o s t   User :   = + 1 , =   p lu s   v er if icatio n   o f   .   Sig n er :   = E n c (  ; ) , 2 = 2 ( ) ;   = S a mp leP r e ( , , + 2 )   p lu s   g en er atio n   o f   .   Ver if ier :   , 1 = 1 ( ) ,   2 = 2 ( )   p lu s   ch ec k in g     an d   v er if y in g   .   Do m in an t c o s t:   S a mp leP r e   an d   .     3 . 6 . 3 .   Q ua lita t iv co m pa riso n   T o   av o i d   u n f air   n u m er ical  c o m p ar is o n s   with o u u n if ied   im p lem en tatio n s ,   we  p r o v id e   o n ly   f ea tu r e - lev el  co m p ar is o n s   in   T ab le  1 .       T ab le  1 .   C o m p a r is o n   o f   co n tr i b u tio n s   an d   lim itatio n s : p o s t - q u an tu m ,   o n e - r o u n d ,   m u lti - m o d e ,   tr ac ea b ilit y s ec u r ity   cu r r e n tly   at  p r o o f   s k et ch   lev el  with o u t tig h t r ed u ctio n s   S c h e me   O n e - r o u n d   i ss u a n c e   M u l t i - mo d e   Tr a c e a b i l i t y   [ 4 ]   Y e s /   d e f i n e s NI B S   N o t   s p e c i f i e d   No   [ 5 ]   Y e s   N o t   s p e c i f i e d   i n   o r i g i n a l   mo d e l   No   Th i s   w o r k   Y e s   Y e s   Y e s       4.   CO NCLU SI O N   T h p ap er   p r o p o s es  lattice  b ased   m u lti - m o d n o n - in ter ac tiv b lin d   s ig n atu r f r am e wo r k   th at  s im u ltan eo u s ly   s u p p o r ts   f u ll   b lin d n ess ,   p ar tial  b lin d n ess ,   an d   n o n - b lin d   m o d es,  wh il in teg r atin g   f air   tr ac ea b ilit y   m ec h a n is m   in   t h p o s t - q u an tu m   s ettin g .   T h e   an aly s is   s h o ws  th at  th e   s ch em ac h iev es  c o r s ec u r ity   p r o p er ties ,   in clu d i n g   co r r ec tn ess ,   b lin d n ess ,   p ar tial  b lin d n ess ,   u n f o r g ea b ilit y ,   o n m o r u n f o r g ea b ilit y ,   f ai r n ess ,   an d   tr ac ea b ilit y   u n d er   th SIS  an d   o n m o r SIS  ass u m p tio n s .   Ho wev er ,   th is   r em ain s   th eo r etica a p p r o ac h ,   r eq u ir in g   f u r th er   r ef in e m en in   p ar am eter   s elec tio n ,   p er f o r m an ce   o p tim izatio n ,   p r ac tical  im p lem en tatio n ,   an d   s tr en g th en in g   o f   s ec u r ity   p r o o f s   in   s tr o n g er   m o d els.       F UNDING   I NF O R M A T I O N   T h is   r esear ch   r ec eiv ed   n o   s p ec if ic  f u n d i n g   f r o m   a n y   p u b lic,   c o m m er cial,   o r   n o n - p r o f it so u r ce s .       AUTHO CO NT RI B UT I O NS ST A T E M E N T   T h is   jo u r n al  u s es  th C o n tr ib u to r   R o les  T ax o n o m y   ( C R ed iT)   to   r ec o g n ize  in d iv id u al  au th o r   co n tr ib u tio n s ,   r ed u ce   au th o r s h ip   d is p u tes,  an d   f ac ilit ate  co llab o r atio n .       Na m o f   Aut ho r   C   M   So   Va   Fo   I   R   D   O   E   Vi   Su   P   Fu   Din h   Hai  L                               L u o n g   Vu   Ng o c   B u i                                 Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J E lec  &   C o m p   E n g     I SS N:   2088 - 8 7 0 8         A   n o n - in tera ctive   la ttice - b a s e d   s ch eme   s u p p o r tin g   m u ltip le  b lin d n ess   mo d es   ( Din h   Ha i Le )   1983   C     C o n c e p t u a l i z a t i o n   M     M e t h o d o l o g y   So     So f t w a r e   Va     Va l i d a t i o n   Fo     Fo r mal   a n a l y s i s   I     I n v e s t i g a t i o n   R     R e so u r c e s   D   :   D a t a   C u r a t i o n   O   :   W r i t i n g   -   O r i g i n a l   D r a f t   E   :   W r i t i n g   -   R e v i e w   &   E d i t i n g   Vi     Vi su a l i z a t i o n   Su     Su p e r v i s i o n   P     P r o j e c t   a d mi n i st r a t i o n   Fu     Fu n d i n g   a c q u i si t i o n         CO NF L I C T   O F   I N T E R E S T   ST A T E M E NT   T h au th o r s   co n f ir m   th at  th er ar n o   f in an cial,   p er s o n al,   o r   p r o f ess io n al  co n f licts   o f   in ter est  with   an y   o r g an izatio n   o r   in d iv id u al   th at  co u ld   h av in f lu en ce d   th wo r k   r e p o r ted   in   th is   m an u s cr ip t.       E T H I CAL AP P RO V AL   No t a p p licab le.   T h is   s tu d y   d id   n o t in v o lv h u m an   p ar ticip an t s ,   an im als,  o r   s en s itiv p er s o n al  d ata.       DATA AV AI L AB I L I T Y   All  d ata  an d   m ater ials   g en er ated   o r   an aly ze d   d u r in g   th is   s tu d y   ar e   in clu d e d   in   th m an u s cr ip t.   Ad d itio n al  in f o r m atio n   is   av ai lab le  f r o m   t h co r r esp o n d i n g   a u th o r   u p o n   r ea s o n a b le  r eq u est.       RE F E R E NC E S   [ 1 ]   D .   C h a u m,   B l i n d   s i g n a t u r e s f o r   u n t r a c e a b l e   p a y me n t s,”   i n   A d v a n c e s i n   C ry p t o l o g y ,   1 9 8 3 ,   p p .   1 9 9 2 0 3 .   [ 2 ]   D .   P o i n t c h e v a l   a n d   J.   S t e r n ,   S e c u r i t y   a r g u m e n t s   f o r   d i g i t a l   si g n a t u r e s   a n d   b l i n d   s i g n a t u r e s,   J o u r n a l   o f   C ry p t o l o g y ,   v o l .   1 3 ,     n o .   3 ,   p p .   3 6 1 3 9 6 ,   2 0 0 0 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / s 0 0 1 4 5 0 0 1 0 0 0 3 .   [ 3 ]   M .   F i s c h l i n ,   R o u n d - o p t i ma l   c o m p o s a b l e   b l i n d   s i g n a t u r e s   i n   t h e   c o mm o n   r e f e r e n c e   st r i n g   mo d e l ,   i n   A d v a n c e s   i n   C ry p t o l o g y   -   C RYPT O   2 0 0 6 ,   2 0 0 6 ,   p p .   6 0 7 7 .   [ 4 ]   L.   H a n z l i k ,   N o n - i n t e r a c t i v e   b l i n d   si g n a t u r e s   f o r   r a n d o m e ssa g e s ,   i n   Ad v a n c e i n   C r y p t o l o g y   --   EU RO C R Y PT  2 0 2 3 ,   2 0 2 3 ,     p p .   7 2 2 7 5 2 .   [ 5 ]   L.   H a n z l i k ,   E.   P a r a c u c c h i ,   a n d   R .   Za n o t t o ,   N o n - i n t e r a c t i v e   b l i n d   si g n a t u r e f r o R S A   a ss u m p t i o n   a n d   m o r e ,   i n   A d v a n c e s   i n   C ry p t o l o g y   --   EU RO C RY PT 2 0 2 5 ,   2 0 2 5 ,   p p .   3 6 5 3 9 4 .   [ 6 ]   F .   B a l d i mt s i ,   J .   C h e n g ,   R .   G o y a l ,   a n d   A .   Y a d a v ,   N o n - i n t e r a c t i v e   b l i n d   si g n a t u r e s:   p o s t - q u a n t u a n d   s t r o n g e r   se c u r i t y ,   i n   Ad v a n c e s i n   C ry p t o l o g y   --   A S I AC RY P T   2 0 2 4 ,   2 0 2 5 ,   p p .   7 0 1 0 4 .   [ 7 ]   C .   G e n t r y ,   C .   P e i k e r t ,   a n d   V .   V a i k u n t a n a t h a n ,   Tr a p d o o r f o r   h a r d   l a t t i c e a n d   n e w   c r y p t o g r a p h i c   c o n s t r u c t i o n s ,   C ry p t o l o g y   e Pri n t   Arc h i v e ,   2 0 0 7 .   [ 8 ]   B .   U .   R a o ,   P .   V .   R e d d y ,   a n d   T .   G o w r i ,   A n   e f f i c i e n t   I D - b a sed   d i r e c t e d   si g n a t u r e   s c h e me   f r o m   b i l i n e a r   p a i r i n g s,   C ry p t o l o g y   e Pri n t   Arc h i v e ,   2 0 0 9 .   [ 9 ]   S .   A g r a w a l ,   D .   B o n e h ,   a n d   X .   B o y e n ,   Ef f i c i e n t   l a t t i c e   ( H ) I B i n   t h e   st a n d a r d   mo d e l ,   2 0 1 0 ,   p p .   5 5 3 5 7 2 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 6 4 2 - 1 3 1 9 0 - 5 _ 2 8 .   [ 1 0 ]   V .   Ly u b a s h e v s k y ,   La t t i c e   si g n a t u r e s   w i t h o u t   t r a p d o o r s,   2 0 1 2 ,   p p .   7 3 8 7 5 5 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 6 4 2 - 2 9 0 1 1 - 4 _ 4 3 .   [ 1 1 ]   S .   A g r a w a l ,   E.   K i r sh a n o v a ,   D .   S t e h l é ,   a n d   A .   Y a d a v ,   P r a c t i c a l ,   r o u n d - o p t i ma l   l a t t i c e - b a se d   b l i n d   si g n a t u r e s ,   i n   Pr o c e e d i n g o f   t h e   2 0 2 2   A C S I G S AC   C o n f e r e n c e   o n   C o m p u t e r   a n d   C o m m u n i c a t i o n S e c u ri t y ,   2 0 2 2 ,   p p .   3 9 5 3 .   [ 1 2 ]   L.   D u c a s ,   T.   Esp i t a u ,   a n d   E.   W .   P o st l e t h w a i t e ,   F i n d i n g   s h o r t   i n t e g e r   s o l u t i o n s   w h e n   t h e   m o d u l u s   i s   sma l l ,   2 0 2 3 ,   p p .   1 5 0 1 7 6 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 031 - 3 8 5 4 8 - 3 _ 6 .   [ 1 3 ]   M .   A j t a i ,   G e n e r a t i n g   h a r d   i n st a n c e s   o f   l a t t i c e   p r o b l e ms   ( e x t e n d e d   a b s t r a c t ) ,   i n   Pr o c e e d i n g o f   t h e   t w e n t y - e i g h t h   a n n u a l   AC M   symp o si u m   o n   T h e o r y   o f   c o m p u t i n g   -   S T O C   9 6 ,   1 9 9 6 ,   p p .   9 9 1 0 8 .   d o i :   1 0 . 1 1 4 5 / 2 3 7 8 1 4 . 2 3 7 8 3 8 .   [ 1 4 ]   O .   R e g e v ,   O n   l a t t i c e s,   l e a r n i n g   w i t h   e r r o r s,  r a n d o l i n e a r   c o d e s,   a n d   c r y p t o g r a p h y ,   i n   Pro c e e d i n g s   o f   t h e   t h i rt y - sev e n t h   a n n u a l   AC M   sym p o s i u m   o n   T h e o ry   o f   c o m p u t i n g ,   M a y   2 0 0 5 ,   p p .   8 4 9 3 .   d o i :   1 0 . 1 1 4 5 / 1 0 6 0 5 9 0 . 1 0 6 0 6 0 3 .   [ 1 5 ]   D .   M i c c i a n c i o   a n d   O .   R e g e v ,   La t t i c e - b a s e d   c r y p t o g r a p h y ,   i n   P o st - Q u a n t u m   C ry p t o g r a p h y ,   B e r l i n ,   H e i d e l b e r g :   S p r i n g e r   B e r l i n   H e i d e l b e r g ,   p p .   1 4 7 1 9 1 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 5 4 0 - 8 8 7 0 2 - 7 _ 5 .   [ 1 6 ]   D .   M i c c i a n c i o   a n d   C .   P e i k e r t ,   Tr a p d o o r f o r   l a t t i c e s :   si m p l e r ,   t i g h t e r ,   f a st e r ,   sm a l l e r ,   2 0 1 2 ,   p p .   7 0 0 7 1 8 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 6 4 2 - 2 9 0 1 1 - 4 _ 4 1 .   [ 1 7 ]   J.  H o f f st e i n ,   J .   P i p h e r ,   a n d   J.   H .   S i l v e r ma n ,   N T R U :   A   r i n g - b a se d   p u b l i c   k e y   c r y p t o s y st e m,   1 9 9 8 ,   p p .   2 6 7 2 8 8 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / B F b 0 0 5 4 8 6 8 .   [ 1 8 ]   B .   B a r a k   e t   a l . ,   L e f t o v e r   h a s h   l e mm a ,   r e v i s i t e d ,   i n   A d v a n c e s   i n   C ry p t o l o g y   --   C RY PTO   2 0 1 1 ,   2 0 1 1 ,   p p .   1 2 0 .   [ 1 9 ]   A .   J.  M e n e z e s ,   P .   C .   V a n   O o r sch o t ,   a n d   S .   A .   V a n st o n e ,   H a n d b o o k   o f   a p p l i e d   c ry p t o g ra p h y .   C R C   p r e ss,  2 0 1 8 .   [ 2 0 ]   N .   N i sa n   a n d   A .   Ta - S h ma,   E x t r a c t i n g   r a n d o m n e ss :   a   s u r v e y   a n d   n e w   c o n s t r u c t i o n s,”   J o u r n a l   o f   C o m p u t e a n d   S y s t e m   S c i e n c e s v o l .   5 8 ,   n o .   1 ,   p p .   1 4 8 1 7 3 ,   1 9 9 9 ,   d o i :   h t t p s: / / d o i . o r g / 1 0 . 1 0 0 6 / j c ss. 1 9 9 7 . 1 5 4 6 .   [ 2 1 ]   O .   G o l d r e i c h ,   S .   G o l d w a sser,   a n d   S .   M i c a l i ,   H o w   t o   c o n s t r u c t   r a n d o m   f u n c t i o n s ,   J o u rn a l   o f   t h e   A C M ,   v o l .   3 3 ,   n o .   4 ,   p p .   7 9 2 8 0 7 ,   A u g .   1 9 8 6 ,   d o i :   1 0 . 1 1 4 5 / 6 4 9 0 . 6 5 0 3 .   [ 2 2 ]   V .   Ly u b a sh e v sk y ,   N .   K .   N g u y e n ,   a n d   M .   P l a n ç o n ,   La t t i c e - b a s e d   z e r o - k n o w l e d g e   p r o o f a n d   a p p l i c a t i o n s :   sh o r t e r ,   si m p l e r ,   a n d   mo r e   g e n e r a l ,   2 0 2 2 ,   p p .   7 1 1 0 1 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 0 3 1 - 1 5 9 7 9 - 4 _ 3 .   [ 2 3 ]   V .   L y u b a s h e v s k y ,   F i a t - S h a mi r   w i t h   a b o r t s:   A p p l i c a t i o n t o   l a t t i c e   a n d   f a c t o r i n g - b a s e d   si g n a t u r e s ,   2 0 0 9 ,   p p .   5 9 8 6 1 6 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 6 4 2 - 1 0 3 6 6 - 7 _ 3 5 .   [ 2 4 ]   J.  G r o t h   a n d   A .   S a h a i ,   Ef f i c i e n t   n o n - i n t e r a c t i v e   p r o o f   s y st e ms  f o r   b i l i n e a r   g r o u p s ,   i n   A d v a n c e i n   C ry p t o l o g y     EU RO C RY P T   2 0 0 8 ,   B e r l i n ,   H e i d e l b e r g :   S p r i n g e r   B e r l i n   H e i d e l b e r g ,   p p .   4 1 5 4 3 2 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 5 4 0 - 7 8 9 6 7 - 3 _ 2 4 .   [ 2 5 ]   E.   H a u c k ,   E.   K i l t z ,   J.  L o ss ,   a n d   N .   K .   N g u y e n ,   L a t t i c e - b a se d   b l i n d   s i g n a t u r e s,  r e v i s i t e d ,   2 0 2 0 ,   p p .   5 0 0 5 2 9 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 0 3 0 - 5 6 8 8 0 - 1 _ 1 8 .   [ 2 6 ]   M .   B e l l a r e ,   A .   B o l d y r e v a ,   a n d   S .   M i c a l i ,   P u b l i c - k e y   e n c r y p t i o n   i n   a   m u l t i - u ser  s e t t i n g :   se c u r i t y   p r o o f a n d   i m p r o v e me n t s,   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 0 8 8 - 8 7 0 8   I n t J E lec  &   C o m p   E n g ,   Vo l.   16 ,   No .   4 ,   Au g u s t   20 26 :   1 9 7 6 - 1 984   1984   S p r i n g e r ,   B e r l i n ,   H e i d e l b e r g ,   2 0 0 0 ,   p p .   2 5 9 2 7 4 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 3 - 540 - 4 5 5 3 9 - 6 _ 1 8 .   [ 2 7 ]   D .   C h a u a n d   E.   v a n   H e y s t ,   G r o u p   s i g n a t u r e s,”   1 9 9 1 ,   p p .   2 5 7 2 6 5 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 3 - 540 - 4 6 4 1 6 - 6 _ 2 2 .   [ 2 8 ]   M .   A b e   a n d   T.   O k a mo t o ,   P r o v a b l y   s e c u r e   p a r t i a l l y   b l i n d   si g n a t u r e s,   2 0 0 0 ,   p p .   2 7 1 2 8 6 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 3 - 5 4 0 - 4 4 5 9 8 - 6 _ 1 7 .   [ 2 9 ]   F .   Zh a n g ,   R .   S a f a v i - N a i n i ,   a n d   W .   S u si l o ,   A n   e f f i c i e n t   s i g n a t u r e   sc h e m e   f r o b i l i n e a r   p a i r i n g a n d   i t a p p l i c a t i o n s,”   2 0 0 4 ,   p p .   2 7 7 2 9 0 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 5 4 0 - 2 4 6 3 2 - 9 _ 2 0 .   [ 3 0 ]   P .   L i ,   J .   G a o ,   a n d   X .   L i ,   A   n e w   l a t t i c e - b a s e d   p a r t i a l l y   b l i n d   si g n a t u r e   w i t h   mo r e   c o m p l e t e   p r o o f ,   J o u r n a l   o f   I n f o rm a t i o n   a n d   I n t e l l i g e n c e ,   v o l .   2 ,   n o .   3 ,   p p .   2 3 6 2 5 2 ,   M a y   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . j i i x d . 2 0 2 4 . 0 3 . 0 0 1 .   [ 3 1 ]   N .   A l k e i l a n i   A l k a d r i ,   R .   El   B a n sar k h a n i ,   a n d   J.   B u c h ma n n ,   O n   l a t t i c e - b a sed   i n t e r a c t i v e   p r o t o c o l s :   a n   a p p r o a c h   w i t h   l e s o r   n o   a b o r t s,   2 0 2 0 ,   p p .   4 1 6 1 .   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / 9 7 8 - 3 - 0 3 0 - 5 5 3 0 4 - 3 _ 3 .       B I O G RAP H I E S O F   AUTH O RS         Din h   H a i   Le           h o l d a   m a ste r’s  d e g re e   in   c o m p u ter  sc ien c e   fro m   Ho n g   Du c   Un iv e rsity ,   Vie t n a m ,   wh e re   h e   fo c u se d   o n   a d v a n c e d   c ry p t o g r a p h ic  tec h n i q u e a n d   th e ir   p ra c ti c a a p p li c a ti o n s.   He   is  c u r re n tl y   p u rsu i n g   a   P h a th e   F a c u lt y   o I n fo rm a ti o n   a n d   Co m m u n ica ti o n   Tec h n o l o g y ,   H o n g   D u c   Un i v e rsity ,   Vie t n a m ,   c o n d u c t in g   re se a rc h   o n   se c u re   a n d   p riv a c y - p re se rv in g   c ry p t o g ra p h ic  p ro to c o ls.   His  re se a rc h   i n tere sts  sp a n   a   wi d e   ra n g e   o f   a re a in   c ry p t o g ra p h y ,   i n c lu d in g   b l in d   sig n a tu re s,  th re sh o ld   b l in d   si g n a t u re s,  g r o u p   b li n d   sig n a tu re s,  q u a n tu m   si g n a tu r e s,  id e n ti t y - b a se d   c r y p t o sy st e m s,  a n d   d e c e n tralize d   c ry p to s y ste m s,  with   a   p a rti c u lar  e m p h a sis  o n   th e ir  fo rm a se c u rit y   p r o o fs  a n d   re a l - wo rl d   imp lem e n tatio n .   He   c a n   b e   c o n tac ted   fo r   a c a d e m ic  c o rre sp o n d e n c e   a n d   c o ll a b o ra ti o n   a t   led in h h a i7 8 9 it @g m a il . c o m .         Lu o n g   Vu   Ng o c   Bu i           re c e iv e d   h is  m a ste r’s  d e g re e   i n   c o m p u ter  s c ien c e   fro m   Ho n g   Du c   Un i v e rsity ,   Vie tn a m ,   w h e re   h e   g a in e d   e x te n siv e   k n o wle d g e   in   c ry p t o g ra p h y   a n d   se c u re   c o m m u n ica ti o n   s y ste m s.  He   is  c u rre n tl y   w o rk i n g   a T h a n h   Ho a   Ca m p u s,  Ha n o M e d ica l   Un iv e rsity ,   1   To n   Th a Tu n g   S tree t,   Kim   Li e n   Ward ,   Do n g   Da   Dist rict,   Ha n o i,   Vie tn a m ,   wh e re   h e   is  i n v o l v e d   in   re se a rc h   a n d   d e v e lo p m e n o a d v a n c e d   c ry p t o g ra p h ic   p r o to c o ls  a n d   t h e ir   a p p li c a ti o n in   se c u re   i n fo rm a ti o n   sy ste m s.  His  re se a rc h   in tere sts  c o v e a   b r o a d   sp e c tru m ,   in c lu d in g   b li n d   si g n a t u re s,  th re sh o ld   b li n d   si g n a t u re s,  g ro u p   b li n d   sig n a tu re s,  q u a n t u m   sig n a tu re s,  a we ll   a a rti ficia in telli g e n c e   a n d   m a c h in e   lea rn in g ,   w it h   a   fo c u o n   i n teg ra ti n g   c ry p to g ra p h ic  se c u rit y   in t o   in telli g e n sy ste m s.  He   c a n   b e   c o n tac ted   fo a c a d e m ic  c o rre sp o n d e n c e   a n d   c o ll a b o ra ti o n   a Ng o c b lv @h m u . e d u . v n .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.