I nte rna t io na l J o urna l o f   Appl ied P o wer   E ng i neer ing   ( I J AP E )   Vo l.  1 5 ,   No .   3 Sep tem b er   20 2 6 ,   p p .   1 2 9 9 ~ 1 313   I SS N:  2252 - 8 7 9 2 DOI 1 0 . 1 1 5 9 1 /ijap e . v 1 5 . i 3 . pp 1 2 9 9 - 1 3 1 3           1299       J o ur na l ho m ep a g e h ttp : // ija p e. ia esco r e. co m/   M PP co nt ro l of  a  P V - ba t tery   sy st em using  a g a in - s cheduled   a da ptive PI cont r o ller and dua l act iv e bridge co nv er ter        K ha lid   Sa bh i,  M o ha m ed  T a lea ,   H icha m   B a hri   D e p a r t me n t   o f   P h y si c s,  La b o r a t o r y   o f   I n f o r mat i o n   P r o c e s si n g ,   F a c u l t y   o f   S c i e n c e s   B e n   M S i c k ,   H a ssan   I I   U n i v e r si t y   o f   C a s a b l a n c a ,   C a sa b l a n c a M o r o c c o       Art icle  I nfo     AB S T RAC T   A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Au g   5 ,   2 0 2 5   R ev is ed   J u n   1 9 ,   2 0 2 6   Acc ep ted   Au g   1 5 ,   2 0 2 6       S tan d a l o n e   p h o to v o lt a ic - b a tt e ry   sy ste m fa c e   sig n ifi c a n t   c h a l len g e i n   m a in tain in g   o p ti m a p o we e x t ra c ti o n   u n d e ra p i d ly   v a ry i n g   irrad ian c e   c o n d i ti o n s.  C o n v e n ti o n a l   M P P c o n tro l lers   b a se d   o n   fi x e d - g a in   P I   a p p ro a c h e su ffe fro m   p o o r   d y n a m ic  re sp o n se ,   o sc il latio n a ro u n d   th e   m a x imu m   p o we p o i n t,   a n d   in a b il it y   to   a d a p t   to   th e   n o n li n e a b e h a v io r   o f   d u a l   a c ti v e   b rid g e   (DA B)   c o n v e rters   a c ro ss   d iffere n o p e ra ti n g   p o i n ts.   To   a d d re ss   th e se   li m it a ti o n s,  th is  wo rk   p r o p o se a n   in n o v a ti v e   a d a p ti v e   c o n tr o l   stra teg y   f o r   m a x imu m   p o we p o i n t   trac k in g   ( M P P T)  i n   a   st a n d - a lo n e   p h o to v o lt a ic - b a tt e ry   s y ste m   c o n n e c ted   v ia   a   DA c o n v e rter.   Th e   g a i n - sc h e d u led   P c o n tr o ll e is  re c a lcu late d   a t   e a c h   1   µs   sa m p le  b y   l o c a l   li n e a riza ti o n   o t h e   c o m p lete   n o n li n e a m o d e o t h e   P V - DAB - b a tt e r y   sy ste m ,   with   e x p li c it   c o m p e n sa t io n   fo m e a su ra b le  d ist u rb a n c e s   (d e riv e d   fro m   irrad ian c e   G   a n d   tem p e ra tu re   T).   M ATLAB/S im u li n k   si m u latio n s   u n d e re a li stic  irrad ian c e   p r o fil e (slo ra m p sim u latin g   th e   p a ss a g e   o c lo u d s)   d e m o n stra te  a   c lea su p e rio rit y   o v e a   c las sic   P wi th   fix e d   g a in s:   u lt ra - fa st  re sp o n se   (a p p ro x ima tely   1   m s),   to tal   a b se n c e   o o sc il la ti o n s   a n d   o v e rsh o o ts,  a n d   strict  m a in ten a n c e   o a   c o n sta n se c o n d - o r d e d y n a m ic  o v e r   th e   e n t ire  o p e ra ti n g   ra n g e .   T o   o u k n o wle d g e ,   th is   g a i n - sc h e d u led   a n a ly t ica l   a p p ro a c h   with   e x p li c it   p e rtu r b a ti o n   c o m p e n sa ti o n   h a n e v e b e fo re   b e e n   a p p li e d   to   DA to p o l o g y   i n   P V - b a tt e ry   sy ste m s.  It   is  d ist in g u is h e d   b y   i ts   e a se   o imp lem e n tatio n ,   lo c o m p u tati o n a lo a d ,   a n d   r o b u stn e ss   with o u th e   n e e d   fo c o m p lex   o b se rv e rs.  T h is  wo rk   lay th e   g r o u n d w o rk   fo fu t u re   e x p e rime n tal  v a li d a ti o n   a n d   e x te n sio n s t o   m u lt i - so u rc e   h y b rid   sy ste m s.   K ey w o r d s :   Du al  ac tiv b r id g e   Gain - s ch ed u led   PI  c o n tr o ller   M ax im u m   p o wer   p o i n t tr ac k in g   Ph o to v o ltaic  p a n el   Sin g le  p h ase  s h if t m o d u latio n   T h is i a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   Kh alid   Sab h i   Dep ar tm en t o f   Ph y s ics,  L ab o r ato r y   o f   I n f o r m atio n   Pro ce s s in g ,   Facu lty   o f   Scien ce s   B en   M’ Sick     Hass an   I I   Un iv er s ity   o f   C asab lan ca   C asab lan ca Mo r o cc o   E m ail: sab h i.k h alid . im t@ g m ai l.c o m       1.   I NT RO D UCT I O N   Stan d alo n p h o to v o ltaic  ( PV - b atter y )   s y s tem s   ar ess en tial  f o r   p o wer in g   o f f - g r i d   lo ca ti o n s .   T h eir   p er f o r m an ce   d ep en d s   o n   two   m ain   f ac to r s th e   PV - b atter y   c o m b in atio n   an d   th a d o p ted   c o n tr o s tr ateg y .   PV  p an els  u n d er g o   r a p id   v ar iatio n s   in   s o lar   ir r ad ian ce   [ 1 ] ,   [ 2 ] ,   wh ich   ca n   ca u s cu r r en o s cillatio n s ,   in ac cu r ate   tr ac k in g   o f   th m ax im u m   p o wer   p o in ( MPP) ,   an d   r ed u ctio n   in   o v e r all  ef f icien cy   [ 3 ] - [6 ] .   F u r th er m o r e,   co n v en tio n al  f ix ed - g ain   co n t r o ller s   d o   n o ad ap to   s y s tem   n o n lin ea r ities ,   lead in g   to   in s tab ilit y   an d   in ef f icien cy   [ 7 ] - [ 9 ] .   T h r ev ie s h o w ed   t h at  th e   m o s c o m m o n   PV - b atter y   a r ch itectu r es  ar b ased   o n   a   DC   b u s   co u p le d   with   b o o s co n v er ter   th at  o p e r ates   b y   v a r y in g   th d u ty   c y cle  [ 1 0 ] - [ 1 2 ] .   T h is   s tr u ctu r is   s im p le,   b u th e   r e v iew  h ig h lig h ted   s ev er al  lim itatio n s th e   d ep e n d en ce   o n   th d u ty   cy cle   d ir ec tly   m o d i f ies  th e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I n t J Ap p l Po wer   E n g Vo l.  1 5 ,   No .   3 ,   Sep tem b er   20 2 6 :   1 2 9 9 - 1 3 1 3   1300   co n s tr ain ts   o n   th in d u ctan ce   an d   ca p ac ito r s ,   m a k in g   th s iz in g   o f   p ass iv co m p o n e n ts   s e n s itiv to   v ar iatio n s   in   ir r ad ian ce   a n d   lo a d   co n d itio n s .   co m p r eh en s iv e   r ev iew   o f   th liter atu r e   co n f ir m ed   th e   p r ev alen t   ap p licatio n   o f   th e   tr ad itio n al  p r o p o r tio n al - in te g r al  ( PI)   co n tr o ller   f o r   MPP  tr ac k in g   an d   th m an ag em en o f   b u ck /b o o s co n v er ter s   [ 1 3 ] ,   [ 1 4 ] .   Nev e r th eless ,   th r esu lts   d em o n s tr ated   th at  th is   em p ir ically   tu n ed   co n tr o ller   r em a in ed   s tr ictly   lin ea r .   T h is   ch ar ac ter is tic  r esu lts   in   o s cillatio n s   ar o u n d   th MPP,  li m ited   r o b u s tn ess ,   an d   an   in ab ilit y   to   co m p en s ate  f o r   n o n lin ea r   d y n am ics  o f   th e   PV  co n v er ter .   Alth o u g h   o n ly   u n id ir ec tio n al  p o wer   f lo is   r eq u ir ed ,   th d u al   ac tiv b r id g ( DAB)   co n v er t er   was   s elec ted   b ec au s i c o n tr o ls   th tr an s f er r ed   p o wer   p r ec is ely   th r o u g h   p h ase - s h if wh ile  m ain tain in g   f ix ed   s witch in g   f r eq u en cy   a n d   5 0 d u ty   cy cle,   th u s   o p ti m izin g   th d esig n   o f   p ass iv co m p o n e n ts .   Fix ed - g ain   PI   co n tr o ller s   ca u s o s cillatio n s   o r   lo s s   o f   tr ac k in g   o f   th e   m ax im u m   p o wer   p o in d u r i n g   r ea lis tic  g r ad u al  ch an g es  in   ir r ad ian ce   ( s lo s lo p es  s i m u latin g   clo u d   p ass ag e) ,   wh er ea s   m o s ex is tin g   s tr ateg ies  ar o n ly   v alid ated   o n   ab r u p t   s tep s ,   an d   r ea l - wo r ld   d y n am ics  ar e   co n tin u o u s   an d   s ig n if ica n tly   alter   th s m all - s ig n al  b eh av io r   at  ea ch   o p er atin g   p o i n [ 1 5 ] ,   [ 1 6 ] .   M o r eo v e r ,   th p r o n o u n ce d   n o n lin ea r ity   o f   th p h o to v o ltaic  ( PV)   g en er a to r ,   co u p le d   with   th b ilin ea r   ch ar ac ter is tics   o f   p o wer   tr a n s f er   in   th DAB,   r en d er s   t h s y s tem   p er f o r m a n ce ,   s p ec if ically   in   te r m s   o f   s p ee d   a n d   d am p in g ,   h ig h ly   co n tin g en o n   th e   o p er atin g   p o in wh en   u tili zin g   co n v e n tio n al  p r o p o r tio n a l - in teg r al  PI  co n tr o ller .   Ver y   f ew  s tu d ies  h av p r o p o s ed   s im p le  an d   s y s tem atic  r ec alcu latio n   o f   th g a in s   in   r ea tim with   ex p licit  co m p en s atio n   f o r   m ea s u r ab le  d is tu r b an ce s   ( a n d   T   s lo p es)  with o u co m p l ex   o b s er v er   o r   co m p u tatio n all y   in ten s iv an aly s is   [ 1 7 ] - [ 2 0 ] .   T h is   s tu d y   p r o p o s e d   g ain - s ch ed u led   PI  with   ex p licit  p er tu r b atio n   co m p en s atio n ,   r e ca lcu latin g   g ain s     an d     ev er y   1 u s   b y   f ast  l o ca lin ea r izatio n   o f   th n o n li n ea r   PV - DAB - b atter y   m o d el  an d   in jectin g   co r r ec tio n   ter m   b ased   o n   th m ea s u r ed   d er i v ativ es  o f   a n d   T .   As  d ep icted   i n   Fig u r 1 ,   t h is   co n tr o l,  wh ic h   is   n o v el  in   th liter atu r e   f o r   th is   to p o lo g y   [ 2 1 ] ,   [ 2 2 ] ,   e n s u r es  s tr ictly   s ec o n d - o r d er   d y n am ics,  ch ar ac ter ized   b y   a   co n s tan r esp o n s tim e   an d   o v er s h o o t   ac r o s s   th en tire   o p e r atin g   r a n g e.   I ef f ec tiv ely   eli m in ates  o s cillatio n s   an d   tr ac k i n g   lo s s es  o f   th r ef er en ce   cu r r en d u r in g   r ea li s tic  p r o g r ess iv ir r ad ian ce   v ar iatio n s ,   s u ch   as  co n tin u o u s   s lo p es  th at  s im u lat clo u d   p ass ag e.   Fu r th er m o r e,   it  ac h iev es  th ese   o u tco m es  with o u th e   n ee d   f o r   co m p lex   o b s er v e r   o r   ex ce s s iv co m p u tatio n al   r eso u r ce s ,   th er eb y   o f f er in g   s tr aig h tf o r war d   a n d   r o b u s s o lu tio n   th at  ca n   b d ir ec tly   i m p lem en ted   in   DAB - b ased   PV - b atter y   s y s tem s   [ 2 3 ] ,   [ 2 4 ] .   T h r em ain d er   o f   th is   m an u s cr ip is   s tr u ctu r ed   as  f o llo ws:   Sectio n   2   estab lis h es  th co m p lete  n o n lin ea r   m ath e m atica m o d e o f   th PV - DAB - b atter y   s u b s y s tem   an d   its   lo ca l in ea r izatio n   at  ea ch   in s tan t;   Sectio n   3   d etails  th d esig n   o f   th PI  with   p r o g r am m ed   g ain s ,   th an aly tical  ca lcu latio n   o f   th g ain s   K_ p   an d   K_ as  f u n ctio n   o f   th in s t an tan eo u s   o p er atin g   p o in t,   an d   th ad d itio n   o f   th c o m p e n s atio n   ter m   f o r   th m ea s u r ed   d is tu r b an ce s Sectio n   4   p r esen ts   th r esu lts   o f   th e   MA T L AB /Si m u lin k   s im u latio n s   u n d er   r ea lis tic  ir r ad ian ce   p r o f iles   ( co n tin u o u s   s lo p es),   co m p ar es  th p er f o r m an ce   with   th at  o f   co n v en ti o n al  PI  with   f ix ed   g ain s ,   an d   d em o n s tr ates  th e   p er f ec t   co n s tan cy   o f   th e   s ec o n d - o r d er   d y n am ics  as  we ll  as  th co m p lete  elim in atio n   o f   o s cillatio n s f i n ally ,   Sectio n   5   co n clu d es  w ith   th c o n tr ib u tio n s   o f   th is   s tu d y ,   d is cu s s es  th r em ain in g   lim itatio n s   ( ac tu a m ea s u r em en u n ce r tain ties ,   r ea l - tim im p lem e n tatio n ) ,   an d   o u tlin es  th e   ex p er im en tal  p e r s p ec tiv es a n d   p o s s ib le  ex ten s io n s .           Fig u r 1 .   B lo ck   d iag r am   o f   th s y s tem   an d   co n tr o l   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Ap p l Po wer   E n g   I SS N:   2252 - 8 7 9 2       MPP c o n tr o l o f a   P V - b a tter s ystem  u s in g   a   g a in - s ch e d u le d   a d a p tive  P I   c o n tr o ller     ( K h a lid   S a b h i )   1301   2.   M E T H O D   2 . 1 .     Sim ula t i o n pla t f o r m   a n d v a lid a t io n pro t o co l   All  th r esu lts   p r esen ted   in   th i s   ar ticle  wer o b tain ed   th r o u g h   s im u latio n s   u s in g   MA T L A B /Si m u lin k   R 2 0 2 3 b   ( with o u Simscap E lectr ical )   with   f ix ed - s tep   s o lv er   o f   1 × 10 6   ( f ix ed - s tep ,   a u to   s o lv er ) .   T h DAB  co n v er ter   was   m o d eled   in   th s witch ed   s tate  ( s witch in g   m o d el)   f o r   m ax im u m   ac cu r ac y   [ 2 5 ] .   T h b atter y   is   r ep r esen ted   b y   th s tan d ar d   Simu lin k   " b atte r y b l o ck   ( lith iu m - io n ,   n o m in al  v o ltag 5 0 0   V,   ca p ac ity   2 0 0   Ah )   [ 2 6 ] ,   [ 2 7 ] .   T h v ar iatio n s   in   s u n lig h t   wer e   g en er ated   ac co r d in g   to   r ea lis tic  p r o f iles   in s p ir ed   b y   th E 5 0 5 3 0   s tan d ar d   ( r am p s   o f   1 0 5 0   W /m ²/s ,   s tep s   1 0 0 1 0 0 0   W /m ²  an d   cl o u d   p ass ag es  o f   f ew  s ec o n d s ) .     2 . 2 .     Sy s t e m   mo delin g   a nd   s i zing   2 . 2 . 1 .   P ho t o v o lt a ic  s o urce   T h s im u lated   p h o t o v o ltaic  a r r ay   d eliv e r ed   p ea k   p o wer   o f   6 4   k W   u n d e r   STC  co n d itio n s   ( 1 0 0 0   W /m ²,   T   2 5   °C ) .   I co n s is ts   o f   1 5   p ar allel  b r an ch es  ( Np   =   1 5 ) ,   ea ch   c o m p r is in g   2 0   m o d u les  in   s er ies  ( Ns  2 0 ) ,   a n d   ea c h   m o d u le  is   co m p o s ed   o f   6 0   ce lls   in   s er ies  ( Nc  6 0 ) .   T h e   elec tr ical  m o d el  u s ed   is   th class ic  s in g le - d io d m o d el  with   s er ies  an d   p ar allel  r esis to r s   ( s in g le - d io d m o d el  [ 2 8 ] ) ,   wh ic h   h as  b ee n   wid ely   v alid ated   in   th liter atu r e.   T h e   m o d e l   p a r a m e t e r s ,   w h i ch   w e r e   d e t e r m i n e d   t o   a c c u r a t e l y   r e p r o d u c e   t h m a n u f a c t u r e r ' s   c h a r a ct e r is t i c   p o i n t s   a t   d i f f e r e n t   l e v el s   o f   s o l a r   i r r a d i a n c e   a n d   t e m p e r a t u r e ,   a r e   l i s t e d   i n   T a b l e   1 .   Acc u r ate  p an el  m o d elin g   is   es s en tial  f o r   m o n ito r in g   MPPs   a n d   m an ag i n g   en v ir o n m e n tal  v ar iatio n s An   e q u iv ale n d ia g r am   ( Fig u r 2 )   b ased   o n   t h s in g le   d io d e   m o d el   ca p tu r es  t h n o n lin ea r   b eh av i o r s cu r r en t   g en er ato r   ( )   f o r   p h o t o cu r r e n t,  p ar allel  d io d ( )   f o r   p - n   ju n ctio n   a n d   p ar asit ic  r esis tan ce s   f o r   im p er f ec tio n s .   R esp ec tiv ely     r ep r esen ts   d ef ec lo s s es  ( s h o r cir cu its ,   im p u r ities ) ,   an d     r esis tiv lo s s es   ( m etal  co n tacts,  s em ico n d u cto r   lay er s ) .   T h co m p lete  s tr u ctu r e,   s h o w n   in   Fig u r 3 ,   ad ap ts   th e   v o lta g an d   cu r r en to   th r e q u ir em en ts   o f   th e   DAB - b atter y   s y s tem .   T h to t al  p an el  c u r r en t    ,   p h o to c u r r e n t ,   an d   d i o d c u r r en t     ar e   e x p r ess ed   as  f o llo ws :      =    ( 1 )     = _ 0 1000 ( 1 + ( 25 ) )   ( 2 )     = 0 ( (  ) 1 )   ( 3 )     wh er = 1 . 602 10 19   ( elem en tar y   ch a r g e ) ,   = 0 . 98119   ( d io d id ea lity   f ac to r ,   id ea ju n ctio n   d ev iatio n s ) ,   a n d   = 1 . 381 10 23 / ( B o ltzm an n   co n s tan t,  th er m al   en er g y ) .   T h d io d v o ltag e   ,   s h u n t   cu r r en  ,   r ep r esen tin g   th lo s s es in   ,   ar e:     =  +    ( 4 )      =  +    ( 5 )     w h er e      is   th p an el  v o ltag e,     is   th s er ies  r esis tan ce ,   an d          ar th n u m b er   o f   ce lls   in   s er ies  a n d   to tal.             Fig u r 2 .   E q u iv alen t sin g le - d i o d cir cu it o f   PV c ell,   s h o win g   th p h o to c u r r en t so u r ce   ip h ,   d i o d e,   s er ies  r esis tan ce   R s ,   an d   s h u n t r esis t an ce   R s h     Fig u r 3 .   E q u iv alen d iag r am   o f   th PV p an el  u s ed   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I n t J Ap p l Po wer   E n g Vo l.  1 5 ,   No .   3 ,   Sep tem b er   20 2 6 :   1 2 9 9 - 1 3 1 3   1302   T ab le  1 .   Ph o t o v o ltaic  m o d el  p ar am eter s   at  STC ( 1 0 0 0   W /m ² ,   2 5   °C )   P a r a me t e r   V a l u e   Li g h t - g e n e r a t e d   c u r r e n t   I L   7 . 8 6 5 4   A   D i o d e   s a t u r a t i o n   c u r r e n t   I   2 . 9 2 7 3 × 1 0 ¹⁰ A   D i o d e   i d e a l i t y   f a c t o r   a   0 . 9 8 1 1 9   S e r i e s r e si s t a n c e   R s   ( p e r   m o d u l e )   0 . 3 9 3 8 1   Ω   S h u n t   r e si st a n c e   R sh   ( p e r   m o d u l e )   3 1 3 . 0 5 5 3   Ω       T o   v alid ate  t h ac cu r ac y   o f   th ad o p ted   o n e - d io d m o d el ,   th s im u lated   I ch a r ac te r is tics   ar e   co m p ar ed   with   th m an u f ac tu r er s   d atash ee o f   th p h o to v o ltaic  m o d u le  A1 0 Gr ee n   T ec h n o lo g y   A 1 0 J - M6 0 - 2 2 0 .   T h m o d el  p ar am eter s   ar ad ju s ted   to   m atch   th k ey   el ec tr ical  s p ec if icatio n s   at  s tan d ar d   test   co n d itio n s   ( STC),   in clu d in g   o p en - ci r cu it  v o ltag e,   s h o r t - cir cu i cu r r en t,  a n d   m ax im u m   p o wer   p o in t.   As  s h o wn   in   F ig u r e   4 ,   th e   o b tain ed   I cu r v es  u n d er   d if f er en ir r ad ian ce   lev els  an d   ce ll  tem p er atu r es  d em o n s tr ate  g o o d   ag r ee m e n with   th ex p ec ted   b eh a v io r   o f   th m o d u le,   co n f ir m in g   th v alid ity   o f   th e   ad o p ted   m o d el.           ( a)   ( b )     Fig u r 4 .   C u r r e n t v o ltag ch a r ac ter is tics   o f   th p h o to v o ltaic   m o d u le  A1 0 Gr ee n   T ec h n o lo g y   A1 0 J - M6 0 - 2 2 0 ( a)   u n d er   v a r io u s   ir r a d ian ce   le v els   an d   ( b )   u n d er   d i f f er en t c e ll tem p er atu r es       2 . 2 . 2 .   Av er a g e   inp ut  curr ent   a na ly s is   f o DAB co nv er t er   T h p h o to v o ltaic  ar r ay   is   in ter f ac ed   with   th e   b atter y   v ia  DAB  co n v er ter   ( Fig u r 1 )   with   th e   f o llo win g   s im u latio n   p ar am ete r s :   -   L ea k ag in d u ctan ce   ( r ef er r e d   t o   th PV sid e) : L   5 0   µH   -   Switch in g   f r eq u e n cy : f s   1 0   k Hz   -   T r an s f o r m atio n   r atio : n   1 :1   -   Fil ter in g   ca p ac itan ce   o n   th P s id e:  C p v   3   m F   -   C o n tr o l:  s in g le  p h ase  s h if ( SP S)  with   n o r m alize d   p h ase  r at io   d     [ 0 ,   0 . 5 ]   SP co n tr o was  ch o s en   f o r   its   s im p licity ,   r o b u s tn ess ,   an d   ex ten s iv v alid atio n   [ 2 9 ]   in   h ig h - p o wer   PV - b atter y   ap p licatio n s ad v an ce d   m o d u latio n s   ( E PS ,   DPS,  an d   T PS )   wer e   b ey o n d   th e   s co p o f   th is   s tu d y .   T h is   ex p r ess io n   f o r   th a v er ag DAB  in p u cu r r en  1   [ 3 0 ] ,   w h ich   is   cr u cial  f o r   s izin g   co m p o n e n ts   an d   o p tim izin g   co n v er ter   c o n tr o l,  PV  in p u cu r r en t,   ,   s p lit  b etwe en   f ilter   ca p ac ito r   cu r r en   an d   DAB  in p u t   cu r r en t,   1 ,   in   ( 6 ) .      = +  1   ( 6 )     T h DAB  co n n ec ts   two   ac tiv b r id g es  v ia  leak a g in d u ct an ce   tr an s f o r m er   L   with   r at io   of   n =1 .   B r id g 1   ( PV  s o u r ce ) in p u v o ltag  ,   o u tp u t   1 .   B r id g 2   ( b atter y ) in p u v o ltag ,   o u tp u 2 .   Vo ltag es  1   an d   2   g en er ated   b y   s q u ar s ig n als  1   an d   2 ,   f r eq u en c y   = 1 ,   p h ase  s h i f = 2 ,   d   in   [ 0 ,   1 ]   n o r m alize d ,   d escr ib ed   in   Fig u r 1 .   T h in d u ctan ce   cu r r en   is   g o v er n e d   b y   ( 7 ) .      = 1 2   ( 7 )     T h SP co m m an d   g e n er ates  f o u r   d is tin ct  p h ases   with in   a   p er io d   wh ich   is   d eter m in ed   b y   th s tates  o f   1   an d   2 ,   as  s h o wn   in   Fig u r 5 .   T h ese  p h ases   ar d escr ib ed   b y   ( 8 ) - ( 1 1 ) .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Ap p l Po wer   E n g   I SS N:   2252 - 8 7 9 2       MPP c o n tr o l o f a   P V - b a tter s ystem  u s in g   a   g a in - s ch e d u le d   a d a p tive  P I   c o n tr o ller     ( K h a lid   S a b h i )   1303   = 1 (  + )    ( 8 )     = 1 (  )    ( 9 )     = 1 (  )    ( 1 0 )     = 1 (  + )    ( 1 1 )     T h in p u t c u r r e n t o f   b r id g e   1   i s   d ef in ed   as f o llo ws   ( 12 ) :      1 = 1   ( 1 2 )     T h av er ag v alu <  1 >   is   ca lcu la ted   b y   ex p lo itin g   th s y m m et r y   o f   th wav ef o r m   an d   th i n teg r als   [ 3 1 ] ;   we  o b tain   th e x p r ess io n   ( 1 3 ) ,   wh ich   will b s im p lifie d   in   ( 1 4 ) .     <  1 >   =    2  ( 1 | | )   ( 1 3 )     <  1 >   =      ( 1 4 )     W h er = ( 1 | | )   ca p tu r es th ef f ec t o f   t h p h ase  s h if t,  an d   =  2    g r o u p s   th e   s y s tem   p ar am eter s .           Fig u r 5 .   F o u r   o p er atin g   m o d e s   o f   th d u al   ac tiv b r id g co n v er ter   with in   o n s witch in g   p e r io d   T s ,   d eter m in ed   b y   th s tates o f   b r i d g es s1   an d   s 2       2 . 2 . 3 .   PV - DAB - b a t t er y   m o d el   Fro m   th e   p r ev i o u s ly   estab li s h ed   av er a g DAB  m o d el  ( 14 )   an d   th p h y s ical  m o d el  o f   t h p h o to v o ltaic  d io d e ,   u n iq u n o n lin ea r   d y n a m ic  eq u atio n   f o r   th av e r ag c u r r en iPV   was   d er iv ed .   T h e   ass u m p tio n s   m ad e   s tr o n g   f o r w ar d   b ias o f   th p a n el  ( Vp v     VT )   an d   s lo clim atic  v ar iatio n s   co m p ar e d   to   th e   elec tr ical  d y n am ics  o f   th co n v er ter   (   1 0 0   m s   v s .     5 0   µs) ,   wh ich   ar wid ely   v alid ated   in   th liter atu r f o r   th is   ty p o f   ap p licatio n   [ 23 ] .   T h h y b r i d   ap p r o ac h   p r esen ted   in   th is   s ec tio n   c o m b in es  th two   m o d els  to   o b tain   an   ac c u r ate  an d   an aly ti ca l r ep r esen tatio n   o f   th c o m p lete  s y s tem .   T h is   s ec tio n   an aly ze s   th av er ag eq u atio n   o f    wh ich   is   d er i v ed   f r o m   th PV  d i o d a n d   th DAB   cir cu it .   T o   m o d el  th s y s tem ,   th im p ac o f   en v ir o n m en tal  v ar iatio n s   s h o u ld   b ass ess ed .   T h h y b r i d   m eth o d   co m b in es  th e   two   m o d els.  F ir s t ,   d er iv ed   f r o m   d io d e   p h y s ics,  s im p lifie s   ( 1 )   b y   ass u m in g   > > >   0   in   f o r war d   b ias,  wh ich   r esu lts   in   ( 1 5 ) .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I n t J Ap p l Po wer   E n g Vo l.  1 5 ,   No .   3 ,   Sep tem b er   20 2 6 :   1 2 9 9 - 1 3 1 3   1304    ln (   0 )   ( 1 5 )     Neg lectin g      as  ac co r d in g   to   ( 1 ) ,   we  o b tain   ( 16 ) ,   wh er   d ep en d s   o n   th ir r ad ia n ce   an d   tem p er atu r e   T .   I ts   tim d er iv ativ is   ex p r ess ed   as   ( 17 ) .        ( 1 6 )       = 0 1000 [ ( 1 + ( 25 ) )   +   ]   ( 1 7 )     T ak in g   th tim d er iv ativ o f   ( 1 5 )   g i v es   ( 1 8 ) .      =  1     ( 1 8 )     Su b s titu tin g   th d io d e   cu r r e n ex p r ess io n   ( 1 6 )   in to   ( 1 8 )   g iv es   ( 1 9 ) .      =  (  ) (      )   ( 1 9 )     Su b s titu tin g   ( 1 7 )   in to   ( 1 9 )   a n d   ex p an d in g :      =  (  ) ( N p 0 1000 [ ( 1 + ( 25 ) )   +   ] di pv dt )   ( 2 0 )     Dif f er en tiatin g   t h r esis tiv d io d v o ltag e   ex p r ess io n   ( 4 )   wit h   r esp ec t   to   tim y ield s   th s e co n d   ex p r ess io n   f o r    :      = 1   +     ( 2 1 )     T h ( 2 0 ) ( 2 1 ) an d   s o lv i n g   f o r     ,   y ield s   ( 2 2 )   with   co e f f icien ts   A 3 , A 4 , a n d   A 5   d ef in ed   i n   ( 2 3 ) - ( 2 5 ) .       = 3    + 4   + 5     ( 2 2 )     W ith :     3 =  (  )   ( 2 3 )     4 =  0 ( 1 + ( 25 ) ) 1000 (  )   ( 2 4 )     5 =  0 1000 (  )   ( 2 5 )     T h is   ex p r ess io n   ( 2 6 )   is   th en   s u b s titu ted   in to   th e   cu r r en co n s er v atio n   ( 6 )   in   th e   av er a g m o d el.   Hen ce ,   th ter m   is   ex p r ess ed   a ( 2 7 ) .      = +   <  1 >   ( 2 6 )      =      +      ( 2 7 )     Su b s titu tin g   ( 2 2 )   in to   ( 2 7 ) ,   an d   id en tif y in g   t h co e f f icien ts ,   y ield s   ( 2 8 ) ,   wh er e   1 = 3 2 = 4   an d   3 = 5 ,   d ef in ed   in   ( 2 9 ) - ( 3 1 ) .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Ap p l Po wer   E n g   I SS N:   2252 - 8 7 9 2       MPP c o n tr o l o f a   P V - b a tter s ystem  u s in g   a   g a in - s ch e d u le d   a d a p tive  P I   c o n tr o ller     ( K h a lid   S a b h i )   1305    =  + 1 (  , , )    + 2 (  , , )   + 3 (  , , )     ( 2 8 )     W h er e:     1 = (  (  ) + )   ( 2 9 )     2 =  (  0 ( 1 + ( 25 ) ) 1000 (  ) )   ( 3 0 )     3 =   0 1000 (  )   ( 3 1 )     T h an aly s is   s h o w ed   th at  1   act ed   as  d y n am ic ally   s tab il izin g   r esis to r .   T h ter m s   2   an d   3 s en s itiv to     an d   T ,   in teg r a te  th er m al  an d   g eo m etr ic  ef f ec ts   es s en tial  to   ad ap tiv MP PTs.  T h co m m o n   d ep en d e n ce   o n   th is   eq u atio n   h ig h lig h ts   th im p o r tan ce   o f   f o r war d   b ias.  T h is   eq u ati o n   allo ws  f o r   t h s im u latio n   o f   tr an s ien ts   ( e. g . ,   clo u d   p ass ag e)   a n d   th d esig n   o f        o f   an   ef f icien t f iltra tio n .     2. 3   Desig n a nd   im plem ent a t io n o f   g a in - s chedule d P I   co ntr o ller  f o P V - DAB - ba t t er y   s y s t em   Un lik co n v e n tio n al  f i x ed - g ain   PI  co n tr o ller s   wh ich   a s s u m co n s tan d y n a m ics,  1   v ar ies  s ig n if ican tly   with   th e   o p er atin g   p o i n t.   Fig u r 6   illu s tr ates  th v ar iatio n   o f   th e   tim co n s tan 1 (  , , )   as  f u n ctio n   o f   ir r ad ian ce   an d   PV  cu r r en ip v   at  T   2 5   °C .   Ho wev er ,   r eg ar d less   o f   o p er atin g   co n d itio n s ,   1   is   an aly tically   b o u n d ed   b y   ( 1 < = 1 . 575    in   o u r   s y s tem ) .   Sin ce   f o r   all  p h y s ical  o p er ati n g   co n d itio n s   ( G> 0 ,   T >0 K,   >  ) ,   th ter m    (  ) > 0   alwa y s .   T h is   v ar iatio n   o f 1   is   p r ec is ely   th m o tiv atio n   f o r   th e   p r o p o s ed   g ain - s ch ed u lin g   ap p r o ac h th g ai n s     an d     ar r ec alcu lated   at  ea ch   1   µs  s am p le  v ia  ( 4 1 )   a n d   ( 4 2 )   to   co m p en s ate  f o r   th is   n o n lin ea r ity   an d   m ain tain   co n s tan t c lo s ed - l o o p   d y n am ics.           ( a)   ( b )     Fig u r 6 .   T im e   co n s tan 1   v ar ia tio n   u n d er   T =2 5   °C : ( a)   1   vs .   pv   f o r   d if f e r en t G   v al u es a n d   ( b )   1   vs f o r   d if f er en pv   v alu es       T h n o n lin ea r   d y n am ics  o f   th s y s tem   in   ( 2 8 ) - ( 3 1 )   ar lo c ally   lin ea r ized   ar o u n d   th in s tan tan eo u s   o p er atin g   p o in t.  All  c o n tr o ca lcu latio n s   ( Kp ,   Ki  g ai n   ad j u s tm en t,  an ticip atio n   d is tu r b a n ce   co m p en s atio n ,   s atu r atio n   p r o tectio n ,   an d   p h a s e - s h if s atu r atio n )   wer e   p er f o r m ed   e v er y   1   u s   ( 1   MH co n tr o f r eq u en cy ) .   T h is   ex tr em ely   h ig h   s am p lin g   f r eq u en cy   is   n ec ess ar y   b ec a u s t h ass u m p tio n   o f   lo ca lin ea r ity   an d   th d is cr ete  tim s im p lific atio n s   r em ain   v alid   o n ly   if   th PV  v o ltag an d   cu r r e n ar co n s id er e d   q u asi - co n s tan o v er   a   DAB  s witch in g   cy cle  ( 1 0   µs) .   Su ch   p r ec is co n tr o s tep   en s u r es  s ec o n d - o r d e r   clo s ed - lo o p   b eh a v io r   an d   ex ce llen d is tu r b an ce   r ejec tio n ,   ev en   with   r ap id   ir r ad ian ce   ch an g es,  with o u co m p r o m i s in g   th n u m e r ical  ac cu r ac y   [ 3 2 ].   Dy n am ic  m o d elin g   o f   th e   PV - DAB  s y s tem   ( 2 8 )   lead s   to   th e   d esig n   o f   g ain - s ch ed u led   PI  co n tr o ller   an d   d is tu r b a n ce   co m p en s atio n ,   en s u r in g   p r ec is tr ac k in g   o f      to war d s   ,   d esp ite  v ar iatio n s   in   an d   T .   T h b asic sy s tem ,   with o u t d is tu r b an ce s ,   is   m o d elled   as   ( 3 2 ) .      =  + 1 (  , , )      ( 3 2 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I n t J Ap p l Po wer   E n g Vo l.  1 5 ,   No .   3 ,   Sep tem b er   20 2 6 :   1 2 9 9 - 1 3 1 3   1306   T h p er tu r b in g   ter m s   2     an d   3     ar co m p e n s ated   s ep ar ately .   T h k ey   ass u m p tio n   is   th at  = 1      is   s u f f icien tly   s m all  co m p ar ed   to   th s y s tem   d y n am ics  ( ty p icall y   m illi s ec o n d s ) ;   th is   s m all  s ca le  allo ws  u s   to   u s e   th T ay lo r   ap p r o x im atio n   to   esti m ate  th v ar iatio n s   o f   q u an titi es  o n   .   T h e   T ay lo r   s er ies  o f   ( + )   ar o u n d     is   ex p r ess ed   as:     ( + ) ( ) +  ( ) × ,   ( 3 3 )     with   = 1   μ ,   an d   ass u m in g   s lo d y n am ics ( e. g .    ( ) × )   o f   th o r d e r   o f   10 4 ,   t h en :     ( + ) ( )   ( 3 4 )     T h is   ap p r o x im atio n   f ac ilit ates  q u asi - co n tin u o u s   an aly s is ,   alth o u g h   n u m er ical  v alid atio n   is   r eq u ir ed   to   co n f i r m   its   r o b u s tn ess   ag ain s f ast  p er tu r b atio n s .   Similar ly ,   i n   t h s am way   we  ca n   n e g lect  th v a r iatio n s   o f   G   an d   T   in   s am p le.   T h e   last   ap p r o x im atio n   is   n ec ess ar y   f o r   ca lcu latin g   t h co m p e n s atio n   co m m an d .   Mo r eo v er ,   th is   h y p o th esis   is   b ased   o n   th lo ca l lin e ar ity .   T h co n tr o s tr ateg y   co m b in e s   class ical  PI  co n tr o ller   ( 3 5 ) ,   wh er e   is   th e   er r o r   ( 3 6 ) ,   c o n s id er in g   th co m p e n s atio n   ter m   ( 3 7 )   t h at  p r o v id es to tal  c o n tr o ( 3 8 ) .        = + ( )    ( 3 5 )     =  ,   ( 3 6 )      = 1 ( 2 (  , , )   + 3 (  , , )   )   ( 3 7 )     =  +    ( 3 8 )     T h is   s ep ar atio n   h a n d les  th m ain   r eg u latio n   v ia  PI  a n d   ca n c els  th ex ter n al  ef f ec ts   v ia   .   T h g ain s     an d     ar d er iv e d   to   alig n   th r esp o n s to   s ec o n d - o r d er   s y s tem   with   n atu r al  f r eq u en cy     an d   d a m p in g   f ac to r   .   T h clo s ed - lo o p   tr a n s f er   f u n ctio n   is   g iv en   b y   ( 3 9 ) .     ( ) = + 1 2 + ( 1 + ) +   ( 3 9 )     T h s tab ilit y   o f   th p r o p o s ed   c o n tr o ller   is   in h er en to   its   s tr u ctu r e:  r ath er   th an   s tab ilizin g   an   u n s tab le  s y s tem ,   th g ain - s ch ed u lin g   l aw  en f o r ce s   d esire d   s ec o n d - o r d er   b e h av io r   wh o s e   s tab ilit y   is   g u ar an teed   b y   co n s tr u ctio n .   T h clo s ed - lo o p   p o les ar an aly tically   im p o s ed   at  ea ch   s am p lin g   in s tan t a s   ( 4 0 ) .     1 , 2 = ± 2 1   ( 4 0 )     Fo r   an y   ξ>0   an d   >0 ,   th r ea p ar o f   t h p o les  is   s tr ictly   n eg ativ e,   g u ar an teei n g   clo s e d - lo o p   s tab ilit y   r eg ar d less   o f   t h o p er atin g   p o in t.   B y   id en tific atio n   with   th e   s tan d ar d   s ec o n d - o r d er   s y s tem ,   th g ain s     an d   ar d er iv e d   as   ( 4 1 )   an d   ( 4 2 ) .     = 1 2   ( 4 1 )     = 1 + 2 1   ( 4 2 )     T o   m ain tain   s ec o n d - o r d er   d y n am ics  d esp ite  v ar iatio n s   in   1   ( r elate d   to    ,   G,   T ) ,     an d     ar e   f ix e d ,   an d   t h g ain s   ar r ec alcu lated ,   p r eser v in g   th tr an s ien r esp o n s e.   T h tr an s f er   f u n ctio n   ( 3 9 )   also   co n tain s   ze r o   at  = 1 2 1 + 2 1 .   Sin ce   1 2 > 0   alwa y s ,   th s ig n   o f   z   d ep en d s   o n   th e   d en o m in ato r   1 + 2 1 .   le f t - h alf - p lan ze r o   ( z< 0 )   is   ess en tial  to   en s u r m in im u m - p h a s b eh av io r a   r ig h t - h alf - p lan ze r o   ( z> 0 )   wo u ld   ca u s an   u n d er s h o o in   th s tep   r esp o n s e.   Fro m   th an a ly tical  b o u n d   1 <   th d en o m i n a to r   s atis f ies  1 + 2 1 <0 ,   an d   th e r ef o r e   z< 0 ,   p r o v id ed   th at:     > 2    ( 4 3 )   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
I n t J Ap p l Po wer   E n g   I SS N:   2252 - 8 7 9 2       MPP c o n tr o l o f a   P V - b a tter s ystem  u s in g   a   g a in - s ch e d u le d   a d a p tive  P I   c o n tr o ller     ( K h a lid   S a b h i )   1307   Fig u r 7   illu s tr ates  th is   g u a r an teed   m in im u m - p h ase  r eg io n   in   th e   ( )   d esig n   s p ac e.   All  th r ee   s im u latio n   ca s es  ar well  with in   th is   r eg i o n ,   co n f i r m in g   th at   th clo s ed - lo o p   ze r o   r em ai n s   s tr ictly   in   th le f t - h alf - p lan ac r o s s   th en tire   o p er atin g   r a n g e,   r e g ar d less   o f   G,   T ,   an d   ip v .   T h is   f lo wch ar t   p r esen ts   th Gain - Sch ed u led   PI   co n t r o alg o r ith m   ( Fig u r e   8 )   f o r   our   s y s tem s .   I ca lcu lates  th e   p h ase   r atio   ( d )   f r o m   th in p u ts   ( cu r r en t,  ir r ad ian ce ,   tem p er a tu r e) ,   in teg r atin g   th er r o r ,   PI  o u tp u t,  co m p en s atio n ,   an d   co n tr o s ig n al  lim itatio n s .           Fig u r 7 .   Gu a r an teed   m in im u m - p h ase  r eg i o n   ( z< 0 )   in   t h ( ξ ,   ω n )   d esig n   s p ac e;  all  th r ee   s i m u latio n   ca s es lie  with in   th v alid   r e g io n ,   c o n f ir m in g   lef t - h alf - p lan ze r o   p lace m en t a cr o s s   th f u ll  o p er atin g   r an g e           Fig u r 8 .   Flo wch ar o f   th e   g ai n - s ch ed u led   PI  co n tr o l a lg o r it h m   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   2 2 5 2 - 8 7 9 2   I n t J Ap p l Po wer   E n g Vo l.  1 5 ,   No .   3 ,   Sep tem b er   20 2 6 :   1 2 9 9 - 1 3 1 3   1308   3.   RE SU L T S AN D I SCU SS I O N   3 . 1 .     Reg ula t io n wit f ix ed  s et po int  a nd   v a ria t io ns   o f   G   Fig u r 9   s h o ws  th ir r ad ian ce   p r o f ile  s p ec if ically   d esig n ed   to   r ep r o d u ce   r ea co n d itio n s co n s tan t   p latea u   o f   1 0 0 0   W /m ²  f r o m   0   to   1   s ,   f o llo wed   b y   s m o o th   lin ea r   r am p   o f   ex ac tly   o n s e co n d   d escen d in g   to   7 0 0   W /m ² ,   s im u latin g   th ty p ical  p ass ag o f   p ar tial  clo u d ,   an d   th en   co n s tan m ain ten a n ce   at  7 0 0   W /m ²  u p   to   3   s .   T h ce ll  tem p er atu r w as  m ain tain ed   at  2 5   °C   ac co r d in g   to   s tan d ar d   test   co n d itio n s   ( STC)  th r o u g h o u t   th is   test   s ce n ar io   in   o r d er   to   is o late  th ef f ec o f   ir r ad ian ce   v ar iatio n s   an d   allo d ir ec co m p ar is o n   with   m an u f ac tu r er   d atash ee t v al u es.   cu r r en s etp o in s tep   f r o m   0   to   7 0   was   ap p lied   at  5   m s   ( T 1   µs) .   Fig u r es  9   to   1 1   co m p ar e:   i)   A   co n v en tio n al  f ix e d - g ai n   PI  co n tr o ller   u s in g   t h co n v er g ed   g ain s   o f   t h p r o p o s ed   co n tr o ller   i n   th e   s tab ilized   s tate  u n d er   1 0 0 0   W /m ²  ( Kp 3 . 7 7 5   ×   1 0 ⁻³;  Ki  =7 . 2 2 ) ,   an d   ii)   th p r o p o s ed   an aly tical  g ain - s ch ed u led   c o n tr o ller   ( ξ  =   1 ,   ω ₙ  2 5 0 0   r ad /s ) .   T a b le  2   s u m m ar izes  th m ea s u r e d   p e r f o r m an ce   as  p r esen ted   in   F ig u r 10 .   Du r in g   th ir r ad ia n ce   r am p   ( 1 0 0 0   →  7 0 0   W /m ²  in   1   s ) ,   th two   co r r ec to r s   e x h ib ited   tr an s ien er r o r   o f   th e   s am m ax im u m   a m p litu d (   1   A) ,   wh ich   was  e x p ec ted   b ec a u s b o th   tem p o r a r ily   s atu r ated   th D   co n tr o l a t 0 . 2 5 .   Fig u r 11   s h o ws  th at  th Kp   an d   Ki  g ain s   o f   th p r o p o s ed   co r r ec to r   ad a p au to m atica lly   d u r in g   th e   r am p - d o wn   ( Kp   ch a n g es f r o m     3 . 8   ×  1 0 ⁻³  to     1 2 . 6 5 ×  1 0 ⁻³  an d   Ki  f r o m     7 . 2   to     1 8 . 3   w h en   s witch in g   f r o m   1 0 0 0   to   7 0 0   W /m ²) ,   an d   th en   s tab ilize  at  th eir   n ew   o p tim al   v alu es  as  s o o n   as  th e   ir r ad ia n c b ec o m es   co n s tan at  7 00   W /m ².   T h is   r ea l - tim a d ap tatio n   is   p r ec is ely   th e   f u n c tio n   o f   an al y tical  g ain   s ch ed u lin g .   T h ese   r esu lts   d em o n s tr ate  th at,   ev en   th o u g h   class ic   PI  s et  with   o p tim a g ain s   at  1 0 0 0   W /m ²  p r esen t s   m o r ag g r ess iv r esp o n s th an   th p r o p o s ed   m eth o d .   C o n v er s ely ,   o n l y   th p r o p o s ed   an aly tical  g ain - s ch ed u led   co n tr o ller   g u ar an tees   th f o llo win g :   i )   n eg lig ib le  o v er s h o o t   an d   ab s en ce   o f   o s cillatio n s   d ep en d e n t   o n   t h d esire d   b eh av io r   ( n o   o s cillatio n   in   o u r   ca s e) ,   a n d   ii)   an   o v er all  r e s p o n s tim th r ee   tim es  s h o r t er   ( 0 . 9 4   m s   v er s u s     2 . 9 4   m s   at  ± 5 %).             Fig u r 9 .   I r r ad ia n ce   v ar iatio n s   ap p lied   to   t h s y s tem     Fig u r 1 0 .   T im e - d o m ain   r esp o n s co m p ar is o n   o f   g ain - s ch ed u le d   an d   co n v en tio n al  PI  c o n tr o ller s   to   70   s etp o in t           Fig u r 1 1 .   T em p o r al  ad ap tatio n   o f   p r o p o r tio n al  ( )   an d   i n teg r al  ( g ain s       T ab le  2 .   T r a n s ien t   p er f o r m an c e   I n d i c a t o r   C l a s si c a l   P I   ( e x t r a c t e d   g a i n s)   G a i n - s c h e d u l e d   p r o p o s e d   N o t i c e d   R e s p o n se   t i me   t o   ± 5 ( st e p )   2 . 9 4   ms   0 . 9 4   ms   3 . 1   t i me s fas t e r   a n d   p e r f e c t l y   st a b l e   O v e r sh o o t   ( l e v e l )   > 6 . 5 %   1 %     R i se   t i me   1 0 %   →  9 0 %   ( 5   m i n c r e me n t s)   0 . 3 5 3   m s   0 . 6 5 0   m s   C l a s si c   P I   i s fast e r   d u e   t o   o v e r s h o o t   N o t e :   K p   a n d   K i   f i x e d   g a i n s   e x t r a c t e d   f r o t h e   p r o p o s e d   c o n t r o l l e r   a t   s t e a d y   s t a t e   u n d e r   G   =   1 0 0 0   W / ,   T   =   2 5   ° C .   R e sp o n se  t i m e mea s u r e d   a t   ± 5 o f   t h e   7 0   A   set p o i n t .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.