T E L K O M NIKA   T elec o mm un ica t io n Co m pu t i ng   E lect ro nics   a nd   Co ntr o l   Vo l.  24 ,   No .   5 ,  Octo b er   20 26 ,   p p .   1 7 6 8 ~ 1 7 7 8   I SS N:  1 6 9 3 - 6 9 3 0 ,   DOI : 1 0 . 1 2 9 2 8 / T E L KOM NI K A . v 24 i 5 . 27870          1768       J o ur na l ho m ep a g e :   h ttp : //telko mn ika . u a d . a c. i d   H y brid n eura l ne tw o rk - a ug m ent ed   m o del  pred ictive  co ntrol for  diff er ential - d riv e  ro bo t  trac k ing       T a o ufi k   B elk e bir¹,   H icha m   B elk eb ir²,   Ana s s   M a ns o uri²   ¹ L R S I ,   F a c u l t y   o f   S c i e n c e s a n d   T e c h n o l o g y   ( F S T ) ,   U n i v e r si t y   S i d i   M o h a m me d   B e n   A b d e l l a h ,   F e z ,   M o r o c c o   ² L R S I ,   N a t i o n a l   S c h o o l   o f   A p p l i e d   S c i e n c e s (EN S A ) ,   S i d i   M o h a me d   B e n   A b d e l l a h   U n i v e r si t y ,   F e z ,   M o r o c c o       Art icle  I nfo     AB ST RAC T     A r ticle  his to r y:   R ec eiv ed   Feb   16 ,  2 0 2 6   R ev i s ed   A p r   5 ,  2 0 2 6   A cc ep ted   Ma y   25 ,  2026       No n li n e a r  m o d e l  p re d ictiv e   c o n t ro l  (NM P C)   is  w id e ly   a d o p ted   f o r  m o b il e   ro b o t  traje c to ry   trac k in g ,   y e t  th e   in tera c ti o n   b e tw e e n   tran sc rip ti o n   m e th o d s   a n d   lea rn i n g - b a se d   e n h a n c e m e n ts  re m a in s  u n st u d ied   f o r  d if f e r e n ti a l - d riv e   p latf o rm s.  T h is  p a p e r  p re se n ts  a   u n if ied   Ca sA Di/In terio r  P o i n t  OP T im ize r   (IP O P T )  e v a lu a ti o n   o f   f o u rth - o r d e r  Ru n g e - Ku tt a   (RK 4 )   m u lt ip le   sh o o ti n g   (M S )  a n d   He rm it e - S im p so n   (HS)   d irec t  c o ll o c a ti o n   o n   a   T u rtl e Bo t3   B u rg e r  a c ro ss   ten   sc e n a rio s  sp a n n in g   f iv e   traje c to r y   f a m il ies ,   m o d e l  m is m a tch ,   a n d   se n so r  n o ise .   A  - a m b ig u it y   in   th e   sta n d a rd    2   (  )   h e a d in g   c o st  is   id e n ti f ied   a n d   c o rre c ted ,   re d u c in g   f ig u re - e ig h t   trac k in g   e rro r  b y   a p p ro x im a tel y   9 5 % .   RK4   MS   a c h iev e s  su p e rio r  b a se li n e   a c c u ra c y   in   9   o f   1 0   e x p e ri m e n ts  ( < 0 . 01 ).   T h re e   h y b rid   n e u ra l  a p p r o a c h e s  a re   e v a lu a ted :   w a r m - sta rti n g   re d u c e s  so lv e   ti m e   b y   1 6 %   w it h   n o   a c c u ra c y   lo ss ;   a d a p ti v e   tran sc rip ti o n   se lec ti o n   o u tp e rf o r m s  th e   b a se li n e   in   3   o f   1 0   e x p e ri m e n ts;  a n d   n e u ra l  a p p r o x im a t e   c o n tr o l  a c h ie v e s  su b - m il li se c o n d   i n f e re n c e   b u t  d e g ra d e s   o n   u n se e n   traje c to ries   (5 1 % - 6 4 %   f a ll b a c k   r a te).  A   g e n e ra li z a ti o n   h iera rc h y   e m e rg e s:  so lv e r - in - th e - lo o p   m e th o d s  g e n e ra li z e   w it h o u t  m e a su ra b le  d e g ra d a ti o n ,   w h e re a s  so lv e r - re p la c e m e n t  m e th o d s  re q u ire  traje c to ry - sp e c i f ic  train in g .   T h e se   f in d in g s  su g g e st  th a t  so lv e r  in v o lv e m e n t  is  a   k e y   fa c to r  in f lu e n c in g   g e n e ra li z a ti o n   in   le a rn in g - a u g m e n ted   p re d ictiv e   c o n tro l .   A ll   re su lt s a re   sta ti stica ll y   v a li d a ted   a c ro ss   5 0 0   sim u latio n s.   K ey w o r d s :   Dif f er en t ial - d r i v e  r o b o t   Dir ec t c o llo ca tio n   Mu ltip le  s h o o tin g   Neu r al  n et w o r k   No n li n ea r   m o d el  p r ed ictiv e  co n tr o l   T r a j ec to r y   tr ac k in g   W ar m - s tar tin g   T h is i s  a n   o p e n   a c c e ss   a rticle   u n d e r th e   CC B Y - SA   li c e n se .     C o r r e s p o nd ing   A uth o r :   T ao u f ik   B elk eb ir   L R SI,   Facu l t y   o f   Scien ce s   an d   T ec h n o lo g y   ( FS T ) ,   Un iv er s it y   Sid i M o h a m m ed   B en   A b d ellah   Fez  3 0 0 0 0 ,   Mo r o cc o   E m ail:  b el k eb ir . tao u f i k @ u s m b a. ac . m a       1.   I NT RO D UCT I O N    Mo d el  p r ed ictiv e  co n tr o l  ( MP C )   is   w id el y   r ec o g n ized   a s   a  l ea d in g   f r a m e w o r k   f o r   tr aj ec to r y   tr ac k i n g   in   m o b ile  r o b o tics ,   o w i n g   to   its   s y s te m atic  tr ea t m e n t  o f   co n s tr ain ts   a n d   ab ilit y   to   i n c o r p o r ate  n o n lin ea r   d y n a m ics   o v er   a  r ec ed in g   p r ed ictio n   h o r izo n   [ 1 ] – [ 4 ] .   Fo r   d if f er en tia l - d r i v e  p latf o r m s   s u c h   as  th e  T u r tleB o t3   B u r g er   w id el y   u s ed   in   r esear ch   an d   ed u ca tio n   th e  n o n h o lo n o m ic  k in e m at ic  co n s tr ain ts   an d   lim ited   ac tu at io n   b an d w id t h   ( max = 0 . 22   m / s )   d e m an d   ca r ef u l  co n tr o ller   d esig n   [ 5 ] ,   [ 6 ] .   T h e  tr an s cr ip tio n   m eth o d   u s ed   to   co n v er t  t h e  co n t in u o u s - ti m e   o p tim a l  co n tr o l  p r o b le m   ( OC P )   in to   a  f i n ite - d i m e n s io n al  n o n li n ea r   p r o g r a m   ( NL P )   s ig n i f ica n tl y   i m p ac t s   b o th   s o lu tio n   ac cu r ac y   a n d   co m p u tatio n al  f ea s ib ilit y   [ 1 ] ,   [ 7 ] ,   [ 8 ] .   T h is   p ap er   ad d r ess es  th r ee   u n d er ex p lo r ed   asp ec ts   o f   n o n lin ea r   m o d el  p r e d ictiv e  co n tr o l  ( NM P C )   f o r   d if f er e n tial - d r iv e   r o b o ts :  th e  ch o ice  o f   tr an s cr ip tio n   m eth o d ,   th e  in teg r atio n   o f   lear n in g - b ased   en h a n ce m en ts ,   an d   an   o f te n - o v e r lo o k ed   h ea d in g   co s t a m b i g u i t y .   W h ile  tr an s cr ip tio n   m et h o d s   ( m u ltip le  s h o o tin g   ( MS) ,   d ir ec t  co llo ca tio n ,   p s eu d o s p ec tr al)   h av e  b ee n   ex ten s i v el y   b en c h m ar k ed   f o r   au to n o m o u s   v e h icle s   [ 3 ] ,   [ 9 ] – [ 1 1 ] ,   ae r o s p ac e  tr a j ec t o r y   o p ti m izatio n   [ 7 ] ,   [ 8 ] ,  Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E l  C o n tr o l         Hyb r id   n eu r a l n etw o r k - a u g me n ted   mo d el  p r ed ictive  co n tr o l  fo r   …  ( Ta o u fik  B elke b ir )   1769   an d   au to n o m o u s   m o b ile  p latf o r m s   [ 5 ] ,   [ 1 2 ] ,   th eir   s y s te m ati c  co m p ar is o n   f o r   d if f er en t ial - d r iv e  m o b ile  r o b o ts   w it h   tig h t   ac tu a tio n   l i m its   h as   n o t   y et   b ee n   s y s te m atica ll y   s t u d ied .   E x i s ti n g   i m p le m e n tat io n s   r el y   p r ed o m in a n tl y   o n   f ix ed - s tep   d is cr etiza tio n   w it h o u t  r ig o r o u s   ev al u atio n   o f   alter n ati v es   [ 3 ] ,   [ 5 ] .   Fu r th er m o r e,   lear n in g - au g m e n ted   MP C   i n clu d in g   n eu r al  w ar m - s tar tin g   [ 1 3 ] ,   n eu r al  ap p r o x i m ate  c o n tr o l  w ith   s a f et y   g u ar a n tees   [ 1 4 ] – [ 1 7 ] ,   an d   ad a p tiv e  al g o r ith m   s elec tio n   [ 1 8 ]   h as b ee n   ex p lo r ed   p r i m ar il y   f o r   h ig h - d i m e n s io n al   s y s te m s .   Un lik e  t h e  q u ad r o to r   p latf o r m s   s t u d ied   b y   Sa lz m a n n   et  a l .   [ 1 9 ]   an d   T o r r en te  et  a l .   [ 2 0 ] ,   o r   th e  r ac in g   an d   m a n ip u la tio n   s e tu p s   o f   [ 2 1 ] – [ 2 4 ] ,   d if f er en tia l - d r i v e  r o b o ts   o p er ate  u n d er   tig h ter   v el o cit y   an d   ac t u atio n   co n s tr ain ts ,   w h er e  ev e n   s m all  tr an s cr ip tio n   d if f er e n ce s   ca n   a f f ec t  r ea l - ti m e  f ea s ib ilit y .   Mo r eo v er ,   th e  h ea d in g   er r o r   f o r m u latio n   a n   o f te n - o v er lo o k ed   d esig n   ch o ice   h as   r ec eiv ed   i n s u f f icie n t   atten tio n   d esp ite  its   r o le  i n   n o n h o lo n o m ic  tr ac k i n g   s tab ili t y :  t h e  w id el y - u s ed   s in 2 (  )   co s t  co n t ain s   a  - a m b i g u it y   t h at  ca n   ca u s e  s ev er e   tr ac k in g   f ail u r e  o n   h i g h - c u r v a t u r e  tr aj ec to r ies.   T an g   et  a l .  [ 3 ]   p r o p o s ed   g eo m etr ic  MP C   f o r   w h ee led   r o b o ts   w it h   c u r v at u r e - a w ar e  co s t   d esig n ,   b u t   d id   n o t  co m p ar e  tr an s cr ip tio n   m e th o d s   o r   in te g r ate  lear n in g - b ased   a u g m e n tatio n .   Nas ci m e n to   et  a l .  [ 5 ]   d ev elo p ed   m o d i f ied   NM P C   f o r   n o n h o lo n o m ic  m o b ile  r o b o ts ,   th o u g h   o n l y   E u ler   d is cr etiza t io n   w as  e v al u ated .   R o s en f eld er   et  a l .  [ 2 5 ]   em p l o y ed   Ko o p m an - b ased   p r ed ictiv e  co n tr o l  f o r   n o n h o lo n o m i c  s y s te m s ,   w it h o u t   ex a m in i n g   h ea d in g   co s t  f o r m u latio n .   On   th e  tr an s cr ip tio n   s id e,   Kelly   [ 8 ]   s u r v e y ed   d ir ec t  co llo ca tio n   m et h o d s   an d   Ver s c h u er e n   et  a l .  [ 7 ]   d ev elo p ed   th e  ac ad o s   f r a m e w o r k ,   y e t  n e ith er   ad d r ess ed   d i f f er en tial - d r iv e - s p ec i f ic   tr ad e - o f f s .   Fo r   lear n in g - a u g m en ted   MP C ,   Her tn ec k   et  a l .  [ 1 4 ]   estab lis h ed   ap p r o x i m ate   MP C   w i th   s a f et y   g u ar a n tees  f o r   g e n er al  n o n li n ea r   s y s te m s ;  Kar g   a n d   L u cia  [ 1 5 ]   d em o n s tr ated   e f f ici en t  d ee p - lear n in g   ap p r o x im a tio n   o f   MP C   la w s ;  an d   Salz m an n   et  a l .  [ 1 9 ]   ac h iev ed   r ea l - ti m e  n e u r al  MP C   f o r   q u ad r o to r s .   Ho w e v er ,   n o n e  o f   t h ese  w o r k s   co m p ar ed   m u ltip le  h y b r id   s t r ateg ies  o n   th e  s a m e  p latf o r m   o r   ev alu ated   t h eir   g en er aliza tio n   to   u n s ee n   tr aj ec to r ies   a  g ap   th is   p ap er   ad d r ess es.  A d d iti o n all y ,   R o s o li a  an d   B o r r elli  [ 1 3 ]   d ev elo p ed   lear n in g   MP C   f o r   iter ativ e  tas k s ,   C a u li g i  et  a l .  [ 2 6 ]   ap p lied   s u p e r v is ed   lear n in g   f o r   m i x ed - i n te g er   MP C ,   Dr g o ň a  et   a l .  [ 1 6 ]   p r o p o s ed   d if f er e n tiab le  p r ed ictiv e  co n tr o l,  an d   He w i n g   et  a l .  [ 2 ]   s u r v e y ed   t h e  f iel d   b r o ad ly ,   all  tar g et in g   s y s te m s   w i th   h i g h er - d i m en s io n a l   s tate  s p ac es.   T h is   w o r k   m ak es  f o u r   p r in cip al  co n tr ib u tio n s :   −   Hea d in g   co s t  co r r ec tio n :  t h e  s t an d ar d   s in 2 (  )   h ea d in g   co s t  is   s h o w n   to   h av e  t w o   g lo b al  m i n i m a  (  = 0   an d    = ) .   A   co r r ec ted   ( 1 − co s  ) + s in 2    f o r m u l atio n   is   p r o p o s ed   an d   p r o v en   to   h av e  a  u n iq u e  g lo b al  m in i m u m   ( T h eo r em   1 ) ,   r ed u cin g   f i g u r e - ei g h t   tr ac k i n g   er r o r   b y   ap p r o x i m atel y   9 5 %.   No tab ly ,   t h is   a m b i g u it y   is   d if f ic u lt  to   d etec t  in   p r ac tic e  as  it  m an i f e s ts   o n l y   o n   h ig h - c u r v at u r e  tr aj ec to r ies an d   h as n o t b ee n   p r ev io u s l y   id en ti f ied   in   t h e  d if f er en tial - d r iv e  NM P C   liter at u r e.   −   S y s te m a tic  b aseli n e  ev al u atio n :  a   u n i f ied   C a s A Di/I n ter io r   P o in t  OPT im izer   ( I P OPT )   c o m p ar is o n   o f   R K4   MS   v er s u s   Her m ite - Si m p s o n   d ir ec t  co llo ca tio n   ac r o s s   ten   s ce n ar io s ,   es tab lis h in g   R K4   MS  s u p er io r it y   i n   9   o f   1 0   ex p er i m en ts   ( < 0 . 01 ).   −   T h r ee   h y b r id   n e u r al  ap p r o ac h es:  ( i )   n eu r al  n et w o rk   ( NN )   w ar m - s tar ti n g   w it h   1 6 %  s o lv e - t i m e  r ed u ctio n ;  ( ii )   ad ap tiv e  m eth o d   s elec t io n   th at  o u tp er f o r m s   t h e  b aseli n e  i n   3   o f   1 0   ex p er i m en t s   w it h   b o u n d ed   r eg r et;  an d   ( iii )   n eu r al  ap p r o x im a te  m o d el  p r ed ictiv e  co n tr o l  ( NA - MP C )   w i th   s u b - m ill is ec o n d   in f er en ce   an d   s af et y - co n s tr ain ed   f a llb ac k .   −   Gen er aliza tio n   h ier ar ch y :  a   c o n tr o lled   ev al u atio n   r ev ea li n g   th at   s o lv er - in - th e - lo o p   m e th o d s   g en er alize   w it h o u t  m ea s u r ab le  d eg r ad a tio n ,   w h ile  s o lv er - r ep lace m e n t  m e th o d s   s h o w   s tat is tical l y   s i g n if ica n t  ac cu r ac y   lo s s   ( < 0 . 01 ) .   T h i s   r esu lt  ad d r ess es  a  g ap   in   th e  liter atu r e,   w h er e  p r io r   w o r k   [ 1 4 ] ,   [ 1 5 ] ,   [ 1 9 ]   ev alu a ted   h y b r id   m e th o d s   i n d iv id u all y   r ath er   t h an   co m p a r ativ el y   ac r o s s   g e n er aliza tio n   r eg i m e s   o n   a  co m m o n   p latf o r m .   T h e  r em ain d er   o f   th i s   p ap er   is   o r g an ized   as  f o llo w s .   Se ctio n   2   p r esen ts   th e  r ese ar ch   m et h o d ,   in cl u d in g   t h e  r o b o t  m o d el,   NM P C   f o r m u latio n ,   h ea d in g   c o s t  co r r ec tio n ,   tr an s cr ip tio n   m et h o d s ,   an d   h y b r id   n eu r al  ap p r o ac h es .   S ec tio n   3   r ep o r ts   th e  ex p er i m e n tal  r es u lt s   an d   d is cu s s io n ,   a n d   s ec tio n   4   co n clu d es .       2.   M E T H O D   Fig u r e  1   p r esen ts   th e  o v er a ll   co n tr o l  ar ch itec tu r e.   T h e  r e f er en ce   tr aj ec to r y   i s   f ed   to   t h e  NM P C   co n tr o ller ,   w h ich   f o r m u late s   an   OC P   w it h   t h e  co r r ec ted   h ea d in g   co s t  ( T h eo r e m   1 ) .   T h e  NL P   is   s o l v ed   b y   C as A D i/IP OPT   an d   th e  r esu ltin g   co n tr o ls   ar e  ap p lied   t o   t h e  T u r tleB o t3   in   a  r ec ed in g - h o r izo n   lo o p .   T h r ee   h y b r id   n e u r al  au g m en tatio n s   ar e  ev alu ated :  M1   w ar m - s tar tin g   th e  N L P   w it h   a  lear n ed   in itial  g u ess ,   M2   ad ap tiv e  s elec tio n   o f   t h e  tr a n s cr ip tio n   m et h o d ,   an d   M3   d ir ec t  p o licy   ap p r o x i m a tio n   t h at  r ep lace s   o n li n e   o p tim izatio n   w i th   n eu r al  i n f er en ce   ( w ith   s af e t y   f allb ac k ) .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E l  C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   5 ,  Octo b e r   20 26 :  1 7 6 8 - 1778   1770       Fig u r e  1 .   C o n tr o l   ar ch itect u r e       T h e  NM P C   p ip elin e  ( to p   r o w )   s o lv es  a  co r r ec ted - h ea d in g   OC P   at  ea ch   co n tr o l   s tep .   T h r ee   h y b r id   n eu r al  a u g m e n tatio n s   ( d ash e d   b o x )   a r e  ev alu ated :  M1   p r o v id es  a  lear n ed   w ar m - s tar t  to   ac ce ler ate  co n v er g e n ce ,   M2   s elec t s   th e   tr an s cr ip tio n   m et h o d   ad ap ti v el y ,   a n d   M3   r ep lace s   o n lin e  o p tim iza tio n   w it h   d ir ec t p o licy   i n f er e n ce   u n d er   s af et y - co n s tr ai n ed   f allb ac k .     2 . 1 .     Dif f er ent ia l - driv e  ro bo t   m o del   T h e  T u r tleB o t3   B u r g er   is   m o d eled   as  a  u n ic y cle - t y p e  d i f f er en tial - d r iv e  r o b o t   [ 5 ] ,   [ 6 ]   w i th   s tate  = [ , , ] ⊤   an d   co n tr o l in p u t s   = [ , ] ⊤ .   T h e  co n tin u o u s - ti m e  k in e m atic s   ar e:     ̇ = ( , ) = [ co s s in ]   ( 1 )     T h is   m o d el  ca p tu r es  th e  ess e n tial  n o n h o lo n o m ic  co n s tr ai n t:  th e  r o b o t  ca n n o t  m o v e  later all y ,   w ith   all  m o tio n   ar is in g   f r o m   t h e  in ter p la y   o f   lin ea r   v e lo cit y     an d   an g u l ar   v elo cit y   .   T h e  p h y s ical  co n s tr ain ts   ar e:    ∈ [ 0 , 0 . 22 ]   m /s   ( f o r w ar d - o n l y ) ,   ∈ [ − 2 . 84 , 2 . 84 ]   r ad /s ,   w h ee l  s ep ar atio n   = 0 . 160   m ,   an d   w h ee l  r ad iu s   = 0 . 033   m   [ 6 ] .     2 . 2 .     N M P C  O CP   A t e ac h   s a m p li n g   ti m e  ,   th e  f o llo w i n g   OC P   is   s o l v ed   o v er   th e  p r ed ictio n   h o r izo n     [ 1 ] ,   [ 7 ] :     min ( ⋅ ) , ( ⋅ ) ∫ ℓ 0 ( , , )    + ( ( ) )   ( 2 )     s u b j ec t  to   d y n a m ics   ( 1 ) ,   in iti al  co n d itio n   ( 0 ) = ,   an d   co n tr o l  b o u n d s   u ∈ .   T h e  o b j ec tiv e  b alan ce s   tr ac k in g   ac c u r ac y   ( s tag e   co s t   ℓ )   ag ai n s t  ter m i n al  d ev iatio n   ( ) ,   d r iv in g   th e  r o b o t  to   f o llo w   th e  r e f er en c e   tr aj ec to r y   w h ile   s ati s f y i n g   p h y s ical  co n s tr ai n t s .   T h e  s tag e  co s t  w i th   t h e  co r r ec ted   h ea d in g   f o r m u la tio n   ( s ec tio n   2 . 3 )   is :     ℓ = ∥ − ∥ 2 + 1 ( 1 − co s  ) + 2 s in 2  + 2 + 2 +  ( + 1 − ) 2   ( 3 )     w h er e   = − d es   an d   d es = a ta n 2 ( ̇ r ef , ̇ r e f )   is   co m p u ted   an al y ticall y   f r o m   tr aj ec to r y   d er iv ativ es   [ 3 ] .  T h e  f ir s t  t w o   ter m s   p en a lize  p o s itio n   a n d   h ea d i n g   er r o r s ,   w h ile  th e   r e m ai n i n g   ter m s   p r o m o te  s m o o t h ,   e n er g y - ef f icien t  co n tr o l  i n p u t s .   T h e  w ei g h ts   ar e:  = 50 ,  1 = 10 ,  2 = 5 ,  = 0 . 1 ,  = 0 . 5 ,   = 5 ,   w it h   ter m i n al  w ei g h t  = 100 .   T h e  co n tr o ller   u s es  = 20   in ter v al s ,   = 2 . 0   s   h o r izo n ,   an d    = 0 . 1   s   co n tr o l  p er io d   ( 1 0  Hz ) ,   s o lv ed   v ia  I P OPT   th r o u g h   C as ADi   [ 2 7 ] .   Ke y   d esi g n   ch o ices   in cl u d e :  ( i)   p o s itiv e - o n l y   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E l  C o n tr o l         Hyb r id   n eu r a l n etw o r k - a u g me n ted   mo d el  p r ed ictive  co n tr o l  fo r   …  ( Ta o u fik  B elke b ir )   1771   v elo cit y   to   p r ev en t  r e v er s e - m o tio n   ch atter i n g   [ 2 5 ] ;  ( ii)  tig h t er   an g u lar   r ate  b o u n d s   ( ∈ [ − 1 . 5 , 1 . 5 ]   r ad /s )   f o r   s m o o th er   tr aj ec to r ies;   ( iii)  co r r ec ted   h ea d in g   co s t  ( s ec tio n   2 . 3 ) ;  an d   ( iv )   an g u lar   r ate  s m o o th n e s s   p en al t y   to   p r ev en t c h a tter in g .     2 . 3 .     H ea din g   co s t   co rr ec t i o n:  re s o lv ing   t he  - a m big uity   T h e  h ea d in g   co s t  d eser v es   d ed icate d   tr ea t m en t  b ec au s e,   as  s h o w n   b elo w ,   a  s u b tle  s tr u ct u r al  f la w   i n   th e  s tan d ar d   f o r m u latio n   ca n   ca u s e  s e v er e  tr ac k in g   f ail u r e  th at  o n l y   m an i f e s ts   o n   h i g h - c u r v atu r e  tr aj ec to r ies   p r ec is el y   t h e  co n d itio n s   u n d er   w h ic h   d i f f er e n tial - d r iv e   r o b o ts   ar e  m o s t  c h alle n g ed .   T h e  h ea d in g   co s t     ℓ s t d = s in 2 (  )   is   co m m o n l y   u s ed   in   n o n h o l o n o m ic  MP C   f o r m u latio n s   [ 3 ] ,   [ 5 ]   d u e  to   its   s m o o th n e s s   a n d   i m p licit a n g le  w r ap p in g .   Ho wev er ,   th is   f o r m u latio n   co n tai n s   a  s tr u ctu r al  a m b i g u i t y .   −   L e m m a   1   ( - pe r io d icity )   T h e  f u n ctio n   s in 2 (  )   s atis f ies   s in 2 (  ) = s in 2 (  + ) ,   h av i n g   t w o   g lo b al  m in i m a  p er   2 - p er io d :  at   = 0   ( co r r ec t  h ea d in g )   an d    =   ( b ac k w ar d   h ea d in g ) .   On   h ig h - c u r v at u r e  tr aj ec to r ies  ( e. g . ,   f ig u r e - eig h t   cr o s s o v er   p o in ts ) ,   th e  N L P   s o lv er   ca n   co n v er g e  to   d es + ,   c au s i n g   th e  r o b o t  to   t r ac k   th e  tr aj ec to r y   w h ile  p o i n tin g   b ac k w ar d   an   u n ac ce p tab le  f ai lu r e  f o r   f o r w ar d - o n l y   d if f er e n tial - d r iv e  p lat f o r m s .   T h e  f o llo w i n g   co r r ec ted   h ea d in g   co s t is p r o p o s ed :     ℓ (  ) = ( 1 − co s  ) + s in 2    ( 4 )     −   T h eo r em   1   ( u n iq u e  g lo b al  m in i m u m )    T h e  h ea d in g   co s t   ( 4 )   s atis f ies :  ( i)   ℓ θ ( Δθ ) ≥ 0   w ith   eq u ali t y   i f   Δθ = 0 ;  ( ii)   ℓ θ   h as  a  u n iq u e  g lo b al   m i n i m u m   at  Δθ = 0 ; ( iii)   ℓ θ ( Δθ ) = 3 2 Δ θ 2 + O ( Δ θ 4 )   n ea r   th e  m i n i m u m .   P r o o f .   Usi n g   s in 2  = 1 − co s 2  :     ℓ = ( 1 − co s  ) ( 2 + co s  )   ( 5 )     Sin ce   co s  ∈ [ − 1 , 1 ] ,   w e   h a v e  ( 1 − co s  ) ≥ 0   an d   ( 2 + co s  ) ≥ 1 > 0 .   T h eir   p r o d u ct  is   ze r o   i f   co s  = 1 ,   i.e . ,    = 0 .   T h e  d er iv ativ e  ℓ ′ = s in  ( 1 + 2 co s  )   y ield s   cr itical  p o in t s   at   ∈ { 0 , ± , ± 2 / 3 }   in   [ − , ] .   E v alu ati n g :  ℓ ( 0 ) = 0   ( g lo b al  m i n i m u m ) ,   ℓ ( ± ) = 2   ( lo ca l  m i n i m u m ) ,   ℓ ( ± 2 / 3 ) = 9 / 4   ( lo ca l  m ax i m a) .   T h e  s ec o n d   d er iv ati v e  co n f ir m s   ℓ ″ ( ± 2 / 3 ) < 0   ( m ax i m a)   an d   ℓ ″ ( 0 ) = 3 > 0   ( m in i m u m ) .   T h e   c o r r e c t e d   f o r m u l a ti o n   c o m b in es   th e   d i s am b i g u at i o n   o f   ( 1 − co s  )   w i th   th e   l o ca l   s h a p in g   o f   s in 2  ,   y ie l d in g   th e  s t e e p e s t   g r a d i en t  ( 3 ×   th e   c o s in e - o n ly   v a r i an t )   n e a r   t h e   m in im u m   w h i l e  r em a in in g   s m o o th   a n d   2 - p e r i o d ic .   T h e   f u n ct i o n   ℓ   a l s o   s a t is f i es   L y a p u n o v   c a n d i d a t e   p r o p e r t i e s   ( p o s i tiv e   d e f in it e ,   z e r o   at  e q u i li b r iu m ) ,   m ak in g   i t   s u i t a b le   f o r   N M P C   s t a b i li ty   an a ly s is   u n d e r   s t a n d a r d   t e r m in a l   c o s t   ass u m p t i o n s   [ 1 ] ,   [ 2 ] .     2 . 4 .     T ra ns cr iptio n  m et ho d s   T w o   tr an s cr ip tio n   m et h o d s   w it h   m atc h i n g   ( ℎ 4 )   lo ca l  tr u n ca t io n   er r o r   ar e  co m p ar ed :  Her m ite - Si m p s o n   d ir ec t  co llo ca tio n   a n d   R K4   MS   [ 7 ] ,   [ 8 ] ,   [ 2 8 ] .   Her m ite - Si m p s o n   d ir ec t  co ll o ca tio n   u s es  c u b ic   Her m ite  i n ter p o latio n   w it h   Si m p s o n ’ s   r u le  q u ad r atu r e   [ 8 ] ,   [ 2 7 ] .   Fo r   ea ch   in ter v al  [ , + 1 ]   w it h   s tep     ℎ = / ,   th e  m id p o in t  s ta te  is   i n te r p o lated   as  x = 1 2 ( x + x + 1 ) + ℎ 8 ( − + 1 ) ,   an d   th e  Si m p s o n   q u ad r atu r e  co n s tr ain t  is   x + 1 = x + ℎ 6 ( + 4 + + 1 ) .   T h e  m id p o in t  s ta tes  ar e  ad d i tio n al  d ec is io n   v ar iab les,  y ield i n g   ( 2 + 1 ) + ( + 1 ) = 163   v ar iab les  an d   6 = 120   co n s tr ain t s   at  = 20 .   R K4   MS   d iv id es  th e  h o r izo n   in to   in ter v a ls   an d   u s es  ex p lici t  4 th - o r d er   R u n g e - K u tta  i n te g r ati o n   w it h i n   ea ch   [ 7 ] ,  [ 2 8 ] .   C o n tin u it y   i s   en f o r ce d   as  NL P   co n s tr ai n t s   ( s h o o ti n g   g ap s ) .   T h is   y ield s   ( + 1 ) + = 103   v ar iab les  an d   3 = 60   co n s tr ai n ts   a  3 7 %  s m aller   p r o b le m .   T h e  s i m p ler   N L P   s tr u ct u r e  ( f e w er   v ar iab les,   s p ar s er   J ac o b ian ,   n o   i m p licit  m id p o in t  co u p li n g )   co n tr ib u te s   to   m o r e  r o b u s t  co n v er g e n ce ,   p ar ticu lar l y   u n d er   m o d el  m i s m a tch .     2 . 5 .     H y brid  NN   m et ho ds   L ea r n i n g - au g m en ted   MP C   m eth o d s   ca n   b e  ca te g o r ized   b y   t h eir   d eg r ee   o f   s o l v er   i n v o lv e m e n t.   So lv er - in - t h e - lo o p   m et h o d s   r etain   t h e  f u ll  o p ti m izatio n   s o l v er   an d   u s e  t h e  NN   o n l y   to   ac c eler ate  co n v er g en ce   ( e. g . ,   w ar m - s tar ti n g ) .   So l v er - s elec tio n   m et h o d s   u s e  a  lear n ed   class i f ier   to   c h o o s e  a m o n g   s o lv er s   b u t  s till   ex ec u te  tr ad itio n a l  o p ti m izatio n .   So lv er - r ep lace m en t   m et h o d s   r ep lace   o n lin e  o p tim izatio n   en tire l y   w i th   d ir ec t  p o licy   i n f er en ce ,   u s i n g   s a f et y   m ec h a n is m s   to   f all  b ac k   t o   th e  s o lv er   w h e n   n ee d ed .   T h r ee   r e p r esen tativ e   ap p r o ac h es  s p an n in g   th i s   s p ec tr u m   ar e  ev alu a ted ,   tr ain ed   o n   4 , 6 5 0   s am p les  f r o m   t w o   tr aj ec to r y   f a m i lie s  ( cir cle,   f ig u r e - ei g h t )   u n d er   d iv er s e  co n d itio n s .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E l  C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   5 ,  Octo b e r   20 26 :  1 7 6 8 - 1778   1772   −   Me th o d   1 :  NN   w ar m - s tar t ( N N - W S)   A   f u ll y   co n n ec ted   n et w o r k   ( 8 → 128 → 128 → 64 → 103,   r ec tif ied   lin ea r   u n it   ( R e L U )   ac ti v atio n s )   p r ed icts   n ea r - o p ti m al  N L P   d ec is io n   v ar iab les  f r o m   t h e  r o b o t  s tate  an d   r ef er en ce   [ 1 3 ] .   I n p u t  f ea t u r es  ar e   [ , , , r e f , r e f , ̇ r ef , ̇ r ef , ] .   T h e  p r ed ictio n   in itialize s   I P OPT   v ia    .  _  ( ) ,   r etain in g   f u ll  s o lv e r   f ea s ib ili t y   a n d   o p ti m alit y   g u a r an tees.  T r ain in g   u s es  A d a m   o p tim izer ,   5 0 0   ep o ch s   ( f i n al  m ea n   s q u ar ed   er r o r   (  ) :   8 . 68 × 10 − 4 ).   −   Me th o d   2 :  a d ap tiv e  m et h o d   s elec to r   ( A MS)   A   b in ar y   cla s s i f ier   ( 9 → 64 → 32 → 1 ,   s ig m o id   o u tp u t)   p r ed icts   w h i ch   tr an s cr ip tio n   m et h o d   ac h iev es  lo w er   er r o r   at  ea ch   co n tr o l  s te p   [ 1 8 ] .   A n   ad d itio n al  i n p u t  f ea tu r e  n o i s e   en co d es  t h e  n o is e  le v el.   T r ain in g   u s es   b in ar y   cr o s s - e n tr o p y ,   3 0 0   e p o ch s   ( ac cu r ac y :  8 9 . 7 %).   B o th   s o lv er s   ar e  d is p atch ed   n o r m all y   o n l y   th e  s elec tio n   is   lear n ed .   −   Me th o d   3 : N A - MP C   A   p o lic y   n et w o r k   ( 9 → 128 → 64 → 32 → 2 ,   tan h   o u tp u t  s ca led   to   c o n tr o l  b o u n d s )   d ir ec tl y   p r ed icts   [ ∗ , ∗ ] ,   r ep lacin g   o n lin e  o p ti m izatio n   w it h   d ir ec t  p o lic y   i n f er en ce   [ 1 4 ] ,   [ 1 6 ] .   A   s a f et y   m ec h a n i s m   m o n ito r s   tr ac k in g   er r o r :  if   ∥ − ∥ >  = 2  c m ,   th e  c o n tr o ller   f alls   b ac k   to   f u ll  I P OPT  ( R K4   MS)   [ 1 7 ] .  T r ain in g   u s es M SE  lo s s ,   5 0 0   ep o ch s   ( f i n al  MSE : 0 . 1 9 2 ) .       3.   RE SU L T S AN D  D I SCU SS I O N   3 . 1 .     E x peri m ent a l set up   A ll  m et h o d s   ar e  ev al u ated   o n   f iv e  tr aj ec to r y   f a m ilie s :  ( i )   s m o o t h   cir cu lar   ( = 0 . 3   m ) ,   ( ii )   s m o o th   f i g u r e - ei g h t  ( = 0 . 25   m ) ,   ( iii )   lem n i s ca te  o f   B er n o u lli  ( = 0 . 35   m ) ,   ( iv )   S - c u r v e  ( Fo u r ier - b ased ) ,   an d     ( v )   m u lti - w a y p o in t  p ath   ( 6   p o in ts ,   cu b ic  s p lin e) .   T r a j ec to r ies  s p an   cu r v at u r e  p r o f iles   f r o m   m ax = 3 . 33   to   68 . 2  m − 1 .   T r a j ec to r ies  1 – 2   a r e  u s ed   f o r   NN  tr ain in g ;  tr aj ec to r ies  3 – 5   ar e  h eld   o u t  f o r   g e n er aliza tio n   test in g .   Fig u r e  2   illu s tr ates t h e  tr aj ec to r y   l ib r ar y .             Fig u r e  2 .   Fiv e  tr aj ec to r y   f a m il ies u s ed   f o r   ev alu a tio n         C ir cle  an d   f ig u r e - eig h t  ( s o lid   l in es)  s er v e  as  t h e  NN   tr ai n i n g   s et;  le m n i s ca te,   S - c u r v e,   an d   w a y p o in t s   ( d ash ed   lin e s )   ar e  h eld   o u t  f o r   g en er aliza tio n   tes tin g .   C u r v atu r e  r an g es  s p an   m ax = 3 . 33   to   68 . 2  m − 1 .  T e n   e x p e r im en t s   ev a lu a te   r o b u s tn es s   an d   g en e r a li z a ti o n :   n o m in al   ( E x p .   1 ) ,   m o d e l  m is m a t ch   ± 1 0 %   ( E x p s .   2 – 3 ) ,   G a u s s i an   n o is e   ∈ { 0 . 5 , 1 , 2 }   cm   ( E x p s .   4 – 6 ) ,   f ig u r e - e ig h t   ( E x p .   7 ) ,   a n d   t h r e e   h e l d - o u t   t r a je c t o r i es   ( E x p s .   8 – 1 0 ) .   A l l   ex p e r im e n t s   u s e  = 20 ,  = 2 . 0   s ,    = 0 . 1   s ,   r e p e a t e d   w ith   1 0   r an d o m   s e ed s   ( 4 2 – 5 1 ) ,   t o t a l in g   5 0 0   s im u l at i o n s   ( 5   m e th o d s   ×   1 0   e x p e r im en ts   ×   1 0   s e e d s ) .   S im u l at i o n s   r u n   o n   I n t e l   X e o n   ( 4   C PU   c o r e s ,   3 0   G B   R A M ) .   S t at is t i c al   s ig n if i c an c e   i s   as s ess e d   v i a   th e   W il c o x o n   s ig n e d - r a n k   t e s t   w ith   = 0 . 01 .     Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E l  C o n tr o l         Hyb r id   n eu r a l n etw o r k - a u g me n ted   mo d el  p r ed ictive  co n tr o l  fo r   …  ( Ta o u fik  B elke b ir )   1773   3 . 1 . 1 .   B a s eline  re s ults   T ab le   1   p r esen ts   t h e  b asel in e  co m p ar is o n   b et w ee n   R K4   MS   an d   Her m ite - Si m p s o n   d ir ec t  co llo ca tio n .   R K4   MS   ac h ie v e s   lo w er   o r   eq u al  tr ac k in g   er r o r   in   9   o f   1 0   ex p er im en ts   ( s i g n if ica n tl y   b etter   i n   7 ,   n o n - s i g n i f ican t  i n   2 ) .   T h e  o n l y   ex ce p tio n   is   th e   le m n i s c ate  ( E x p .   8 ) ,   w h er e  H - S  ac h iev es  a   s tati s ticall y   s ig n i f ica n t  b u t  m ar g in a l  0 . 0 0 1  c m   ad v a n tag e.   B o th   m et h o d s   m a i n tai n   s u b - ce n ti m eter   n o m i n al  ac cu r ac y   ( 0 . 5 7  c m   v s .   0 . 7 1  c m ) .   U n d er   h i g h   n o i s e  ( ≥ 1  c m ,   E x p s .   5 – 6 ) ,   th e  d i f f er en ce   b ec o m e s   n o n - s i g n if ica n t,   in d icati n g   t h at  m ea s u r e m e n t  n o is e  d o m in a tes  tr an s cr ip tio n   ef f ec t s .   Av er ag e  s o l v e  ti m e s   ar e  co m p ar ab le:  1 4 2  m s   ( R K4   MS)   v s .   1 5 2  m s   ( H - S).   No tab l y ,   t h e  co r r ec ted   h ea d in g   co s t  ( T h eo r em   1 )   r ed u ce s   f ig u r e - e ig h t   er r o r   f r o m   6 . 0 9  c m   to   0 . 2 9  c m   ( 9 5 % r ed u ctio n ) .       T ab le  1 .   B aselin e  co m p ar is o n :   R K4   MS   v s .   Her m ite - Si m p s o n   d ir ec t c o llo ca tio n .   Me an   tr ac k in g   er r o r   ( cm )   o v er   1 0   s ee d s .   Sig n i f ica n ce :  ⋆ ⋆   < 0 . 01 ,   n s  =   n o t sig n i f ica n t   #   Ex p e r i me n t   R K 4   M S   H - S     ( cm )     W i n n e r   1   N o mi n a l   0 . 5 6 7   0 . 7 1 4   0 . 1 4 7   0 . 0 0 2 ⋆ ⋆   R K 4   M S   2   M o d e l   − 1 0 %   1 . 0 0 6   1 . 1 6 3   0 . 1 5 7   0 . 0 0 2 ⋆ ⋆   R K 4   M S   3   M o d e l   + 1 0 %   0 . 2 2 7   0 . 3 5 7   0 . 1 3 0   0 . 0 0 2 ⋆ ⋆   R K 4   M S   4   N o i se   = 0 . 5  cm   0 . 7 0 4   0 . 7 7 2   0 . 0 6 8   0 . 0 0 2 ⋆ ⋆   R K 4   M S   5   N o i se   = 1  cm   0 . 9 3 7   0 . 9 2 7   − 0 . 0 1 0   0 . 6 9 5   —   6   N o i se   = 2  cm   1 . 2 3 8   1 . 2 9 2   0 . 0 5 4   0 . 3 7 5   —   7   F i g u r e - e i g h t   0 . 2 9 2   0 . 3 1 8   0 . 0 2 6   0 . 0 0 2 ⋆ ⋆   R K 4   M S   8   L e mn i sca t e   0 . 4 6 2   0 . 4 6 1   − 0 . 0 0 1   0 . 0 0 2 ⋆ ⋆   H - S   9   S - c u r v e   0 . 3 4 8   0 . 4 7 7   0 . 1 2 9   0 . 0 0 2 ⋆ ⋆   R K 4   M S   10   W a y p o i n t s   0 . 3 2 0   0 . 3 2 4   0 . 0 0 5   0 . 0 0 2 ⋆ ⋆   R K 4   M S       3 . 1 . 2 .   H y brid  m et ho d r es ults   T ab le  2   p r esen ts   t h e  f iv e - m et h o d   co m p ar is o n .   Fi g u r e  3   v i s u alize s   t h e  tr ac k in g   er r o r   d is tr ib u tio n s   ac r o s s   all  ten   ex p er i m en ts ,   ill u s tr ati n g   th at  n o   s i n g le  m et h o d   d o m in a tes  all  s ce n ar io s .   Ke y   in s i g h t :  NN - W S   m atc h es  R K4   MS   ac cu r ac y   o n   all  e x p er i m e n t s   ( in c lu d i n g   h eld - o u t  tr aj ec to r ies)  w h i le  r ed u cin g   s o lv e  ti m e  b y   1 6 %.  A MS  ac h iev e s   t h e  lo w e s t e r r o r   in   n o is e  an d   f i g u r e - ei g h t scen ar io s ,   w h er ea s   N A - MP C   s h o w s   s u b s ta n tia l  d eg r ad atio n   o n   h eld - o u t tr aj ec to r ies ( E x p s .   8 – 1 0 ) .       T ab le  2 .   Fiv e - m eth o d   co m p ar i s o n :  m ea n   tr ac k in g   er r o r   ( cm )   o v er   1 0   s ee d s .   Star s   ( ⋆ )   in d icate   th e  s tr ict  w i n n er   p er   ex p er im e n t; b o ld f ac e  i n d icate s   th e  b est r es u lt.  NN - W S ti es R K4   MS  o n   all  d eter m in i s ti c  ex p er i m e n ts   #   Ex p e r i me n t   R K 4   M S   H - S   NN - WS   A M S   NA - M P C   W i n n e r   1   N o mi n a l   0 . 5 6 7   0 . 7 1 4   0 . 5 6 7   0 . 5 6 7   0 . 6 5 6   R K 4 = W S   2   M o d e l   - 1 0 %   1 . 0 0 6   1 . 1 6 3   1 . 0 0 6   1 . 0 0 6   1 . 6 1 7   R K 4 = W S   3   M o d e l   + 1 0 %   0 . 2 2 7   0 . 3 5 7   0 . 2 2 7   0 . 2 2 7   0 . 3 3 1   R K 4 = W S   4   N o i se   0 . 5   c m   0 . 7 0 4   0 . 7 7 2   0 . 7 1 3   0 . 7 0 3 ⋆   0 . 7 8 3   A M S   5   N o i se   1  cm   0 . 9 3 7   0 . 9 2 7   0 . 9 2 2   0 . 8 8 5 ⋆   0 . 9 1 3   A M S   6   N o i se   2  cm   1 . 2 3 8   1 . 2 9 2   1 . 2 9 0   1 . 2 5 5   1 . 1 9 5 ⋆   NA - M P C   7   F i g u r e - e i g h t   0 . 2 9 2   0 . 3 1 8   0 . 2 9 2   0 . 2 8 9 ⋆   1 . 4 0 1   A M S   8   L e mn i sca t e   0 . 4 6 2   0 . 4 6 1 ⋆   0 . 4 6 2   0 . 4 6 6   2 . 0 6 4   H - S   9   S - C u r v e   0 . 3 4 8   0 . 4 7 7   0 . 3 4 8   0 . 3 9 0   2 . 0 5 9   R K 4 = W S   10   W a y p o i n t s   0 . 3 2 0   0 . 3 2 4   0 . 3 2 0   0 . 3 2 2   1 . 9 4 7   R K 4 = W S       No   s in g le  m et h o d   d o m in ate s   all  s ce n ar io s .   Strict  ac cu r ac y   w i n s   ar e  d is tr ib u ted   b et w ee n   AM S  ( 3 /1 0 ) ,   NA - MP C   ( 1 /1 0 ) ,   an d   H - S  ( 1 /1 0 ) ,   w h ile  NN - W S  ties   R K4   MS  o n   5 /1 0   ex p er im e n t s   in clu d in g   h eld - o u t   tr aj ec to r ies.   NN  w ar m - s tar t   p r eser v es  al l  I P OPT   g u ar an tee s ,   as  t h e  N N  m o d i f ies   o n l y   t h e  i n itial   g u es s .   I t   ac h iev e s   id en t ical  ac cu r ac y   t o   R K4   MS  o n   all  d eter m i n i s tic  ex p er i m e n t s   ( 1 – 3 ,   7 – 1 0 )   in cl u d in g   h e ld - o u t   tr aj ec to r ies   w h i le  r ed u ci n g   a v er ag e  s o lv e  t i m e   f r o m   1 4 2   m s   to   1 2 1   m s   ( 1 6 %  r ed u ct io n )   [ 1 3 ] .   A d ap tiv e   m et h o d   s elec to r   ac h ie v es  8 9 . 7 %  class i f icat io n   ac c u r ac y   a n d   o u tp er f o r m s   t h e  b ase lin e   i n   3   o f   1 0   s ce n ar io s ,   in cl u d in g   th e  lo w es t  er r o r   o n   f ig u r e - e ig h t  ( 0 . 2 8 9  c m ) .   I ts   m is c lass if ica tio n   r is k   is   b o u n d ed :  f o r   ac cu r ac y     an d   m et h o d   g ap   = | RK 4 ( ) − H - S ( ) | ,   th e  ex p ec te d   ex ce s s   er r o r   s atis f ies  [  ] ≤ ∗ + ( 1 − )   [ 1 8 ] .   W ith   = 0 . 897   an d   m ax = 0 . 157   c m ,   th e  w o r s t - ca s e  e x c ess   is   0 . 0 1 6   cm   n eg lig ib le.   Neu r al  ap p r o x i m ate  MP C   ac h iev e s   a  s u b s ta n tial  late n c y   r ed u ctio n   o n   tr ain in g   tr aj ec to r ies  ( 1 4 2  m s   →   0 . 0 3  m s ,   ap p r o x i m atel y   × 4 7 0 0 )   b u t  p er f o r m a n ce   d iv er g es  o n   h eld - o u t  tr aj ec to r ies:   tr ac k in g   er r o r   in cr ea s es  to   1 . 9 5 – 2 . 0 6  c m   ( 4 . 5 – 5 . 9 ×   w o r s e  th an   R K4   MS) ,   an d   s af et y   f allb ac k   r ate s   r is e  to   5 1 – 6 4 %.  T h e  s af et y   m ec h a n is m   [ 1 4 ] ,   [ 1 7 ]   p r ev en ts   ca tast r o p h ic  f ai lu r e:  e v en   at  6 4 . 3 % f allb ac k   ( le m n i s ca te) ,   tr ac k in g   er r o r   r em ai n s   b o u n d ed   at  2 . 0 6  c m .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E l  C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   5 ,  Octo b e r   20 26 :  1 7 6 8 - 1778   1774       Fig u r e  3 .   Fiv e - m e th o d   co m p ar is o n   ac r o s s   te n   ex p er i m en t s       3 . 1 . 3 .   G ener a liza t io n a na ly s is   T ab le  3   p r esen ts   th e  co n tr o lled   ev alu at io n   o f   g e n er aliza t io n   to   tr aj ec to r ies  o u ts id e  th e  tr ain i n g   d is tr ib u tio n .   T h r ee   d is tin ct  g en er aliza tio n   b eh a v io r s   e m er g e,   f o r m i n g   a  h ier ar ch y   d ir ec tl y   r ef lec tin g   t h e   d eg r ee   o f   s o lv er   in v o l v e m e n t:   −   NN - W S  g e n er alize s   w i th o u t  m ea s u r ab le  d eg r ad atio n .   T r ac k in g   er r o r   is   id en tical  to   R K4   MS  o n   all  h eld - o u t  tr aj ec to r ies.  T h e  s o lv er - in - th e - lo o p   ar ch itect u r e  e n s u r es  th i s :  I P OP T   co n v er g es  to   o p ti m alit y   r eg ar d less   o f   i n itial  g u ess   q u al it y   [ 1 3 ] .   −   A M S  g en er al izes  w ell.   Ma x i m u m   d eg r ad atio n   r elati v e  to   R K4   MS  is   1 2 %   ( S - cu r v e:  0 . 3 9 0   v s .   0 . 3 4 8  c m ) .   T h e  class i f ier   co r r ec tl y   s elec ts   R K4   MS  f o r   m o s t  h eld - o u t c o n d itio n s .   −   NA - MP C   s h o w s   s tati s tical l y   s ig n if ican t  d eg r ad atio n   ( < 0 . 01 ) .   E r r o r   in cr ea s es  f r o m   0 . 6 6 – 1 . 4 0  c m   ( tr ain in g )   to   1 . 9 5 – 2 . 0 6  c m   ( h eld - o u t) ,   w i th   f a llb ac k   r ates  r is in g   f r o m   0 – 1 6 %  to   5 1 – 6 4 %.  T h e  s af et y   m ec h a n i s m   co r r ec tl y   d etec t s   o u t - of - d is tr ib u tio n   b eh a v io r   [ 1 4 ] ,   [ 1 7 ] .       T ab le  3 .   Gen er aliza tio n   r esu lt s : tr ain i n g   v s .   h e ld - o u t tr aj ec to r ies.  Me an   tr ac k in g   er r o r   ( cm )   an d   NA - MP C   f allb ac k   r ate  ( % )   G r o u p   T r a j e c t o r y   R K 4   M S   NN - WS   A M S   NA - M P C   F a l l b a c k   T r a i n i n g   C i r c l e   0 . 5 6 7   0 . 5 6 7   0 . 5 6 7   0 . 6 5 6   0 . 0 %   T r a i n i n g   f i g u r e - e i g h t   0 . 2 9 2   0 . 2 9 2   0 . 2 8 9   1 . 4 0 1   1 6 . 0 %   H e l d - o u t   L e mn i sca t e   0 . 4 6 2   0 . 4 6 2   0 . 4 6 6   2 . 0 6 4   6 4 . 3 %   H e l d - o u t   S - C u r v e   0 . 3 4 8   0 . 3 4 8   0 . 3 9 0   2 . 0 5 9   5 0 . 8 %   H e l d - o u t   W a y p o i n t s   0 . 3 2 0   0 . 3 2 0   0 . 3 2 2   1 . 9 4 7   6 2 . 7 %       T h is   h ier ar ch y   s o lv er - in - t h e - lo o p   >   s o lv er - s elec tio n   >   s o lv er - r ep lace m e n t   s u g g e s ts   a   d esig n   p r in cip le:  th e  d eg r ee   o f   s o lv er   in v o l v e m e n t  i n   th e  co n tr o l  p ip elin e  is   a  k e y   f ac to r   in f lu e n c in g   g en er aliza tio n   ca p ab ilit y   f o r   lear n in g - au g m e n ted   MP C ,   co n s is te n t  w it h   f i n d in g s   o f   C au lig i  et  a l .  [ 2 6 ]   an d   Nu b er t  et  a l .  [ 2 3 ] .   Fro m   a  t h eo r etica l  p er s p ec ti v e,   t h is   h ier ar ch y   ca n   b e  u n d er s to o d   th r o u g h   t h e  le n s   o f   a p p r o x i m atio n   an d   g en er aliza tio n   th eo r y .   So l v er - in - th e - lo o p   m et h o d s   ( NN - W S )   u s e  th e  NN   o n l y   to   p r o v id e  an   in it ial  g u es s ;  th e   s o lv er   t h en   co r r ec ts   an y   ap p r o x i m atio n   er r o r ,   ef f ec ti v el y   ac t in g   as  a   r eg u lar izer   th a t  b o u n d s   th e  o u tp u t   to   th e   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E l  C o n tr o l         Hyb r id   n eu r a l n etw o r k - a u g me n ted   mo d el  p r ed ictive  co n tr o l  fo r   …  ( Ta o u fik  B elke b ir )   1775   f ea s ib le  a n d   o p ti m al   s et.   So l v er - s elec tio n   m e th o d s   ( A MS)   r ed u ce   th e  p r o b le m   to   b in ar y   c lass i f icatio n ,   w h ic h   h as  lo w er   s a m p le   co m p le x it y   t h an   f u ll   p o lic y   r e g r ess io n .   So lv er - r ep lace m en t  m eth o d s   ( N A - MP C )   m u s t  ap p r o x im a te  th e  e n tire   i n p u t - to - co n tr o l  m ap p in g ,   a  h i g h e r - d i m e n s io n al  f u n ctio n   th at  i s   in h er en t l y   m o r e  s en s iti v e  to   d is tr ib u t io n   s h i f t  [ 2 ] ,   [ 1 5 ] .   T h is   an al y s is   p r o v id es  a  p r in cip led   b asis   f o r   th e   o b s er v ed   h ier ar ch y   b ey o n d   th e  e m p ir ica l e v id en ce .     3 . 2 .    Dis cus s io n   T ab le   3   an d   Fig u r e  4   p r o v id es  an   o v er v ie w   o f   th e  b aseli n e  an d   h y b r id   m eth o d   r esu lt s   ac r o s s   all  ten   ex p er i m e n tal  s ce n ar io s ,   co n s o lid atin g   th e  f i n d in g s   f r o m   t h e  p r ec ed in g   s u b s ec tio n s .   He ad in g   co s t   i m p ac t :  a m o n g   t h e  f ac to r s   e v al u ated ,   h ea d in g   co s t  f o r m u latio n   h as  t h e  lar g e s t  m ea s u r ed   im p ac t  o n   co m p le x   tr aj ec to r ies.  T h e  f i g u r e - ei g h t   r esu lt s   ( T ab le  1 )   co n f ir m   t h at  t h e  - a m b ig u it y   i n   s in 2 (  )   ca u s es  s e v er e  p r ac tical  f ailu r e  o n   h i g h - cu r v atu r e  tr aj ec to r ies,  r ed u cin g   tr ac k in g   er r o r   b y   ap p r o x im atel y   9 5 %  w h en   co r r ec ted ,   as  s h o w n   i n   Fi g u r e  4 ( a) .   T h is   f i n d in g   is   ap p lic ab le  to   o th er   n o n h o lo n o m ic  MP C   f o r m u latio n s   e m p lo y i n g   s in 2 - b ased   h ea d i n g   co s ts   [ 3 ] ,   [ 5 ] .  P r ac tical  g u id eli n es :  f o r   g en er al   d ep lo y m e n t,  R K 4   MS  w it h   N N   w ar m - s tar t  o f f er s   th e  m o s t  f av o r ab le  s p ee d /acc u r ac y   tr ad e - o f f ,   as  s u m m ar ized   in   Fig u r e  4 ( b ) .   A MS  is   p r ef er r ed   w h e n   o p er atin g   co n d itio n s   v ar y   s ig n i f ica n tl y   an d   tr aj ec to r y - d ep en d en t  p er f o r m an ce   g ap s   e m er g e.   NA - MP C   s u its   co m p u te - co n s tr ain ed   p lat f o r m s   o p er atin g   w ith in   th e  tr ain i n g   d is tr ib u tio n ,   t h o u g h   s a f et y   f allb ac k   to   f u l l  I P OPT   is   m a n d ato r y ,   g iv e n   t h e  ele v ated   f allb ac k   r ates   o n   h eld - o u t  tr aj ec to r ies  s h o w n   i n   Fig u r e  4 ( c )   [ 1 4 ] ,   [ 1 6 ] ,   [ 1 7 ] .   T h e   g e n er aliza tio n   h ier ar ch y   d escr ib ed   in   s ec tio n   3 . 1 . 3 ,   illu s tr ated   in   Fi g u r e  4 ( d ),   p r o v id es a   p r in cip led   b asis   f o r   th is   m et h o d   s elec tio n .     Statis t ical  r ig o r :  a ll  clai m s   ar e  s u p p o r ted   b y   W ilco x o n   s i g n ed - r an k   te s ts   ( = 10   s ee d s ) .   NN - W S  s h o w s   n o   s ig n i f ica n t  d if f er e n ce   f r o m   R K4   MS  i n   an y   ex p er i m en t,  co n f ir m i n g   ac c u r ac y   p r eser v atio n .   N A - MP C   s h o w s   s tat is tical l y   s i g n i f ican t  d if f er en ce s   ( < 0 . 01 )   in   8   o f   1 0   ex p er i m e n ts ,   co n f ir m i n g   th at   its   ac cu r ac y   d eg r ad atio n   i s   n o t  a  s a m p li n g   ar ti f ac t.   L i m itat i o n s   an d   f u t u r e  w o r k :  t h e  cu r r en t  ev al u atio n   i s   s i m u lat io n - o n l y ;  h a r d w ar e  d ep lo y m e n t  o n   a  p h y s ica l  T u r tleB o t3   B u r g er   w it h   r ea l - ti m e  R OS2   in te g r atio n   i s   p lan n ed   as  f u t u r e  w o r k .   N A - MP C   ac cu r ac y   d e g r ad es  o n   h eld - o u t  tr aj ec to r ies,  r eq u ir in g   ex p an d ed   tr ain i n g   d ata  o r   o n lin e  ad ap tatio n   f o r   b r o ad e r   d ep l o y m en t.  Fu t u r e  d ir ec tio n s   in c lu d e  o n li n e  lear n i n g   f o r   ad ap tiv e  NN   r ef in e m e n t  [ 2 ] ,   d ata - d r iv e n   d y n a m ics  v ia  Ko o p m a n   o p er ato r s   [ 2 5 ]   o r   p h y s ics - i n f o r m ed   NN s  [ 2 9 ] ,   in teg r atio n   w it h   s a f et y - co n s tr ai n ed   n eu r al  co n tr o ller s   [ 2 3 ] ,   an d   co m p ar is o n   w it h   ac ad o s   [ 7 ]   an d   d is tr ib u ted   MP C   ar ch itect u r es  [ 3 0 ]   f o r   em b e d d ed   r ea l - ti m e  d ep lo y m e n t.   Key   ta k ea w a y :  NN - W S  ( s o lv er - in - t h e - lo o p )   co n s is ten tl y   m atc h es  o r   i m p r o v es  u p o n   R K4   MS,   w h ile   NA - MP C   ( s o l v er - r ep lace m e n t)   s h o w s   m ar k ed   d eg r ad atio n   o n   h eld - o u t tr aj ec to r ies ( E x p s .   8 – 10)           ( a)   ( b )           ( c)   ( d )     Fig u r e  4 .   Su m m ar y   o f   b aseli n e  an d   h y b r id   m et h o d   r esu lt s   ac r o s s   all  ten   s ce n ar io s : ( a)   f i g u r e - ei g h t tr ac k i n g   er r o r   b ef o r e  an d   af ter   th e  co r r ec ted   h ea d in g   co s t f o r m u latio n ,   ( b )   av er ag e  s o lv e  ti m e  ac r o s s   m et h o d s ,     ( c)   I P OPT   f allb ac k   r ate  o n   tr ain in g   v er s u s   h e ld - o u t tr aj ec to r i es,  an d   ( d )   m ea n   tr ac k i n g   er r o r   o n   tr ain in g   v er s u s   h e ld - o u t tr aj ec to r ies b y   m eth o d   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
                      I SS N :   1 6 9 3 - 6930   T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E l  C o n tr o l ,   Vo l.  24 ,   No .   5 ,  Octo b e r   20 26 :  1 7 6 8 - 1778   1776   4.   CO NCLU SI O N   T h is   p ap er   p r esen ted   a  u n if i ed   ev alu atio n   o f   NM P C   tr an s cr ip tio n   m eth o d s   an d   th r e e  lear n in g - au g m e n ted   h y b r id   ap p r o ac h es  f o r   d i f f er e n tial - d r iv e  tr aj ec to r y   tr ac k i n g   o n   a  T u r tleB o t3   B u r g er .   T h e  m ai n   f i n d in g s   ar e:  ( i)   t h e  co r r ec ted   h ea d in g   co s t  ( T h eo r e m   1 )   el i m i n ates   a  π - a m b i g u it y   in   th e  s tan d ar d    2 ( ⋅ )   f o r m u latio n ,   y ield i n g   ap p r o x i m atel y   9 5 %  er r o r   r ed u ctio n   o n   h i g h - c u r v at u r e  t r aj ec to r ies;   ( ii)  R K4   MS   p r o v id es  th e  m o s t  r o b u s t  b as elin e  ac r o s s   d i v er s e  co n d itio n s ;  ( iii)  N N  w ar m - s tar tin g   i s   th e  r ec o m m e n d ed   au g m e n tatio n ,   co m b i n i n g   s o lv er - g u ar a n teed   ac cu r ac y   w it h   1 6 %  s o lv e - ti m e  r ed u ctio n ;  an d   ( iv )   th e   g en er aliza tio n   h ier ar ch y   r ev e aled   b y   t h e  r es u lt s   co r r elate s   d ir ec tl y   w it h   t h e  d eg r ee   o f   s o lv er   i n v o l v e m e n t.   T h is   h ier ar ch y   o f f er s   a  p r ac tic al  d esig n   p r in cip le:  w h e n   s ele ctin g   lear n i n g - a u g m en ted   MP C   ar ch itect u r es,  t h e   d eg r ee   o f   s o lv er   in v o lv e m e n t  s h o u ld   b e  m atch ed   to   th e  ex p ec ted   v ar iab ili t y   o f   th e  d ep lo y m en t  en v ir o n m e n t.   T h ese  r esu lts   p o in t  to w ar d   a  b r o ad e r   o p p o r tu n it y   f o r   r ea l - t i m e  NM P C   d ep lo y m e n t  o n   r e s o u r ce - co n s tr ai n ed   e m b ed d ed   p latf o r m s ,   w h er e  co m b i n i n g   cla s s ical  o p ti m iza tio n   g u ar an tee s   w i th   NN  e f f icien c y   ca n   en ab le   r o b u s t a n d   co m p u tat io n all y   tr a ctab le  co n tr o l.       F UNDIN G   I NF O RM AT I O N    Au t h o r s   s tate  n o   f u n d i n g   i n v o l v ed .       AUTHO R  CO NT RIB UT I O NS ST A T E M E NT     T h is   j o u r n al  u s e s   th e  C o n tr ib u to r   R o les  T ax o n o m y   ( C R ed iT )   to   r ec o g n ize  in d i v id u al  au th o r   co n tr ib u tio n s ,   r ed u ce   au t h o r s h ip   d is p u tes,  an d   f ac ilit ate  co lla b o r atio n .       Na m e  o f   Aut ho r   C   M   So   Va   Fo   I   R   D   O   E   Vi   Su   P   Fu   T ao u f ik   B elk eb ir   ✓   ✓   ✓   ✓   ✓   ✓     ✓   ✓   ✓   ✓     ✓     Hich a m   B elk eb ir   ✓   ✓         ✓         ✓     ✓       An as s   Ma n s o u r i   ✓           ✓         ✓     ✓   ✓       C   :    C o n c e p t u a l i z a t i o n   M   :    M e t h o d o l o g y   So   :    So f t w a r e   Va   :    Va l i d a t i o n   Fo   :    Fo r mal   a n a l y si s   I   :    I n v e st i g a t i o n   R   :    R e so u r c e s   D   :   D a t a   C u r a t i o n   O   :   W r i t i n g   -   O r i g i n a l   D r a f t   E   :   W r i t i n g   -   R e v i e w   &   E d i t i n g   Vi   :    Vi su a l i z a t i o n   Su   :    Su p e r v i si o n   P   :    P r o j e c t   a d mi n i st r a t i o n   Fu   :    Fu n d i n g   a c q u i si t i o n         CO NF L I C T   O F   I N T E R E S T   ST A T E M E NT     Au t h o r s   s tate  n o   co n f lic t o f   i n t er est.       DATA AV AI L AB I L I T Y   T h e  au th o r s   co n f ir m   t h at  th e   d ata  s u p p o r tin g   t h e  f i n d in g s   o f   t h is   s t u d y   ar e  a v ailab le  w it h i n   t h e   ar ticle.   T h e  s i m u la tio n   co d e  is   av ailab le  f r o m   t h e  co r r esp o n d in g   a u t h o r   u p o n   r ea s o n ab le  r eq u est.       RE F E R E NC E S   [ 1 ]   D .   Q .   M a y n e ,   J.  B .   R a w l i n g s,  C .   V .   R a o ,   a n d   P .   O .   M .   S c o k a e r t ,   “ C o n st r a i n e d   mo d e l   p r e d i c t i v e   c o n t r o l :   S t a b i l i t y   a n d   o p t i m a l i t y , ”   Au t o m a t i c a ,   v o l .   3 6 ,   n o .   6 ,   p p .   7 8 9 – 8 1 4 ,   J u n .   2 0 0 0 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / S 0 0 0 5 - 1 0 9 8 ( 9 9 ) 0 0 2 1 4 - 9.   [ 2 ]   L .   H e w i n g ,   K .   P .   W a b e r si c h ,   M .   M e n n e r ,   a n d   M .   N .   Z e i l i n g e r ,   “ L e a r n i n g - B a se d   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l :   T o w a r d   S a f e   L e a r n i n g   i n   C o n t r o l , ”   A n n u a l   R e v i e w   o f   C o n t ro l ,   R o b o t i c s ,   a n d   Au t o n o m o u s   S y s t e m s ,   v o l .   3 ,   n o .   1 ,   p p .   2 6 9 – 2 9 6 ,   M a y   2 0 2 0 ,   d o i :   1 0 . 1 1 4 6 / a n n u r e v - c o n t r o l - 0 9 0 4 1 9 - 0 7 5 6 2 5 .   [ 3 ]   J.  T a n g   e t   a l . ,   “ G M P C :   G e o m e t r i c   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l   f o r   W h e e l e d   M o b i l e   R o b o t   T r a j e c t o r y   T r a c k i n g , ”   I EEE   R o b o t i c s   a n d   Au t o m a t i o n   L e t t e rs ,   v o l .   9 ,   n o .   5 ,   p p .   4 8 2 2 – 4 8 2 9 ,   M a y   2 0 2 4 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / L R A . 2 0 2 4 . 3 3 8 1 0 8 8 .   [ 4 ]   J.  B .   R a w l i n g s,  D .   Q .   M a y n e ,   a n d   M .   M .   D i e h l ,   M o d e l   p re d i c t i v e   c o n t ro l :   T h e o ry,   C o m p u t a t i o n ,   a n d   D e si g n ,   2 n d   e d .   S a n t a   B a r b a r a ,   C A :   N o b   H i l l   P u b l i s h i n g ,   2 0 1 7 .   [ 5 ]   T .   P .   N a sc i me n t o ,   C .   E.   T .   D ó r e a ,   a n d   L .   M .   G .   G o n ç a l v e s,  “ N o n l i n e a r   mo d e l   p r e d i c t i v e   c o n t r o l   f o r   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   o f   n o n h o l o n o mi c   mo b i l e   r o b o t s:   A   mo d i f i e d   a p p r o a c h , ”   I n t e r n a t i o n a l   J o u r n a l   o f   A d v a n c e d   R o b o t i c   S y st e m s ,   v o l .   1 5 ,   n o .   1 ,   Ja n .   2 0 1 8 ,   d o i :   1 0 . 1 1 7 7 / 1 7 2 9 8 8 1 4 1 8 7 6 0 4 6 1 .   [ 6 ]   S .   M a c e n s k i ,   T .   F o o t e ,   B .   G e r k e y ,   C .   L a l a n c e t t e ,   a n d   W .   W o o d a l l ,   “ R o b o t   O p e r a t i n g   S y st e m  2 :   D e si g n ,   a r c h i t e c t u r e ,   a n d   u se s  i n   t h e   w i l d , ”   S c i e n c e   R o b o t i c s ,   v o l .   7 ,   n o .   6 6 ,   M a y   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 1 1 2 6 / sci r o b o t i c s. a b m 6 0 7 4 .   [ 7 ]   R .   V e r sch u e r e n   e t   a l . ,   “ A c a d o s — a   M o d u l a r   O p e n - S o u r c e   F r a me w o r k   f o r   F a st   Emb e d d e d   O p t i mal   C o n t r o l , ”   M a t h e m a t i c a l   Pro g ra m m i n g   C o m p u t a t i o n ,   v o l .   1 4 ,   n o .   1 ,   p p .   1 4 7 – 1 8 3 ,   M a r .   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / s 1 2 5 3 2 - 0 2 1 - 0 0 2 0 8 - 8.   [ 8 ]   M .   K e l l y ,   “ A n   i n t r o d u c t i o n   t o   t r a j e c t o r y   o p t i m i z a t i o n :   H o w   t o   d o   y o u r   o w n   d i r e c t   c o l l o c a t i o n ∗ , ”   S I AM   R e v i e w ,   v o l .   5 9 ,   n o .   4 ,   p p .   Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.
T E L KOM NI K A   T elec o m m u n   C o m p u t E l  C o n tr o l         Hyb r id   n eu r a l n etw o r k - a u g me n ted   mo d el  p r ed ictive  co n tr o l  fo r   …  ( Ta o u fik  B elke b ir )   1777   8 4 9 – 9 0 4 ,   J a n .   2 0 1 7 ,   d o i :   1 0 . 1 1 3 7 / 1 6 M 1 0 6 2 5 6 9 .   [ 9 ]   H .   B e l k e b i r   a n d   T .   B e l k e b i r ,   “ En h a n c e d   t r a j e c t o r y   t r a c k i n g   f o r   a u t o n o mo u s  v e h i c l e s  u s i n g   a   n o n l i n e a r   mo d e l   p r e d i c t i v e   c o n t r o l l e r , ”   T u rki s h   J o u r n a l   o f   E l e c t r o m e c h a n i c s   &   En e rg y ,   v o l .   9 ,   n o .   3 ,   p p .   1 1 4 – 1 2 3 ,   2 0 2 4 .   [ 1 0 ]   T .   B e l k e b i r ,   H .   B e l k e b i r ,   a n d   A .   M a n so u r i ,   “ R e a l - T i me   Emb e d d e d   N M P C   f o r   A u t o n o mo u s  V e h i c l e   P a t h   T r a c k i n g   w i t h   C u r v a t u r e - A w a r e   S p e e d   A d a p t a t i o n   a n d   S e n si t i v i t y   A n a l y si s,”   Au t o m a t i o n ,   v o l .   7 ,   n o .   2 ,   2 0 2 6 ,   d o i :   1 0 . 3 3 9 0 / a u t o mat i o n 7 0 2 0 0 4 4 .   [ 1 1 ]   B .   P a d e n ,   M .   Č á p ,   S .   Z .   Y o n g ,   D .   Y e r sh o v ,   a n d   E.   F r a z z o l i ,   “ A   su r v e y   o f   mo t i o n   p l a n n i n g   a n d   c o n t r o l   t e c h n i q u e s  f o r   s e l f - d r i v i n g   u r b a n   v e h i c l e s,”   I E EE  T r a n s a c t i o n s  o n   I n t e l l i g e n t   Ve h i c l e s ,   v o l .   1 ,   n o .   1 ,   p p .   3 3 – 5 5 ,   M a r .   2 0 1 6 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / TI V . 2 0 1 6 . 2 5 7 8 7 0 6 .   [ 1 2 ]   L .   C h e n   e t   a l . ,   “ M i l e st o n e s  i n   A u t o n o mo u s  D r i v i n g   a n d   I n t e l l i g e n t   V e h i c l e s:   S u r v e y   o f   S u r v e y s,”   I EEE  T ra n s a c t i o n s  o n   I n t e l l i g e n t   Ve h i c l e s ,   v o l .   8 ,   n o .   2 ,   p p .   1 0 4 6 – 1 0 5 6 ,   F e b .   2 0 2 3 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / TI V . 2 0 2 2 . 3 2 2 3 1 3 1 .   [ 1 3 ]   U .   R o so l i a   a n d   F .   B o r r e l l i ,   “ L e a r n i n g   mo d e l   p r e d i c t i v e   c o n t r o l   f o r   i t e r a t i v e   t a s k s.  A   d a t a - d r i v e n   c o n t r o l   f r a me w o r k , ”   I EEE   T ra n s a c t i o n s  o n   A u t o m a t i c   C o n t r o l ,   v o l .   6 3 ,   n o .   7 ,   p p .   1 8 8 3 – 1 8 9 6 ,   Ju l .   2 0 1 8 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / T A C . 2 0 1 7 . 2 7 5 3 4 6 0 .   [ 1 4 ]   M .   H e r t n e c k ,   J .   K o h l e r ,   S .   T r i mp e ,   a n d   F .   A l l g o w e r ,   “ L e a r n i n g   a n   A p p r o x i ma t e   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l l e r   w i t h   G u a r a n t e e s,”   I EEE  C o n t r o l   S y st e m s Le t t e rs ,   v o l .   2 ,   n o .   3 ,   p p .   5 4 3 – 5 4 8 ,   Ju l .   2 0 1 8 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / L C S Y S . 2 0 1 8 . 2 8 4 3 6 8 2 .   [ 1 5 ]   B .   K a r g   a n d   S .   L u c i a ,   “ Ef f i c i e n t   R e p r e se n t a t i o n   a n d   A p p r o x i ma t i o n   o f   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l   L a w s  v i a   D e e p   L e a r n i n g , ”   I E EE   T ra n s a c t i o n s  o n   C y b e rn e t i c s ,   v o l .   5 0 ,   n o .   9 ,   p p .   3 8 6 6 – 3 8 7 8 ,   S e p .   2 0 2 0 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / T C Y B . 2 0 2 0 . 2 9 9 9 5 5 6 .   [ 1 6 ]   J.  D r g o ň a ,   K .   K i š,  A .   T u o r ,   D .   V r a b i e ,   a n d   M .   K l a u č o ,   “ D i f f e r e n t i a b l e   p r e d i c t i v e   c o n t r o l :   D e e p   l e a r n i n g   a l t e r n a t i v e   t o   e x p l i c it  mo d e l   p r e d i c t i v e   c o n t r o l   f o r   u n k n o w n   n o n l i n e a r   sy st e ms,”   J o u rn a l   o f   P r o c e ss  C o n t ro l ,   v o l .   1 1 6 ,   p p .   8 0 – 9 2 ,   A u g .   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . j p r o c o n t . 2 0 2 2 . 0 6 . 0 0 1 .   [ 1 7 ]   K .   P .   W a b e r si c h   a n d   M .   N .   Z e i l i n g e r ,   “ A   p r e d i c t i v e   safe t y   f i l t e r   f o r   l e a r n i n g - b a se d   c o n t r o l   o f   c o n st r a i n e d   n o n l i n e a r   d y n a mi c a l   sy st e ms,”   Au t o m a t i c a ,   v o l .   1 2 9 ,   p .   1 0 9 5 9 7 ,   J u l .   2 0 2 1 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . a u t o m a t i c a . 2 0 2 1 . 1 0 9 5 9 7 .   [ 1 8 ]   P .   K e r sch k e   a n d   H .   T r a u t m a n n ,   “ A u t o mat e d   a l g o r i t h m   se l e c t i o n   o n   c o n t i n u o u s  b l a c k - b o x   p r o b l e ms  b y   c o mb i n i n g   e x p l o r a t o r y   l a n d s c a p e   a n a l y si s  a n d   m a c h i n e   l e a r n i n g , ”   E v o l u t i o n a ry  C o m p u t a t i o n ,   v o l .   2 7 ,   n o .   1 ,   p p .   9 9 – 1 2 7 ,   2 0 1 8 ,   d o i :   1 0 . 1 1 6 2 / e v c o _ a _ 0 0 2 3 6 .   [ 1 9 ]   T .   S a l z man n ,   E .   K a u f ma n n ,   J.  A r r i z a b a l a g a ,   M .   P a v o n e ,   D .   S c a r a m u z z a ,   a n d   M .   R y l l ,   “ R e a l - T i me   N e u r a l   M P C :   D e e p   L e a r n i n g   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l   f o r   Q u a d r o t o r s  a n d   A g i l e   R o b o t i c   P l a t f o r ms,”   I E EE  R o b o t i c s   a n d   A u t o m a t i o n   L e t t e rs ,   v o l .   8 ,   n o .   4 ,   p p .   2 3 9 7 – 2 4 0 4 ,   A p r .   2 0 2 3 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / L R A . 2 0 2 3 . 3 2 4 6 8 3 9 .   [ 2 0 ]   G .   To r r e n t e ,   E.   K a u f ma n n ,   P .   F o h n ,   a n d   D .   S c a r a mu z z a ,   “ D a t a - D r i v e n   M P C   f o r   Q u a d r o t o r s,”   I EEE   Ro b o t i c s   a n d   Au t o m a t i o n   L e t t e rs ,   v o l .   6 ,   n o .   2 ,   p p .   3 7 6 9 – 3 7 7 6 ,   A p r .   2 0 2 1 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / L R A . 2 0 2 1 . 3 0 6 1 3 0 7 .   [ 2 1 ]   J.  K a b z a n ,   L .   H e w i n g ,   A .   L i n i g e r ,   a n d   M .   N .   Z e i l i n g e r ,   “ L e a r n i n g - B a se d   M o d e l   P r e d i c t i v e   C o n t r o l   f o r   A u t o n o mo u s  R a c i n g , ”   I EEE  R o b o t i c s  a n d   Au t o m a t i o n   L e t t e r s ,   v o l .   4 ,   n o .   4 ,   p p .   3 3 6 3 – 3 3 7 0 ,   O c t .   2 0 1 9 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / L R A . 2 0 1 9 . 2 9 2 6 6 7 7 .   [ 2 2 ]   M .   I mad ,   O .   D o u k h i ,   D .   J.  L e e ,   J.  c h u l   K i m,  a n d   Y .   J.   K i m,  “ D e e p   L e a r n i n g - B a se d   N M P C   f o r   L o c a l   M o t i o n   P l a n n i n g   o f   L a st - M i l e   D e l i v e r y   R o b o t , ”   S e n s o rs ,   v o l .   2 2 ,   n o .   2 1 ,   p .   8 1 0 1 ,   O c t .   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 3 3 9 0 / s 2 2 2 1 8 1 0 1 .   [ 2 3 ]   J.  N u b e r t ,   J.  K ö h l e r ,   V .   B e r e n z ,   F .   A l l g ö w e r ,   a n d   S .   T r i mp e ,   “ S a f e   a n d   F a st   T r a c k i n g   o n   a   R o b o t   M a n i p u l a t o r :   R o b u st   M P C   a n d   N e u r a l   N e t w o r k   C o n t r o l , ”   I EEE  Ro b o t i c s  a n d   Au t o m a t i o n   L e t t e rs ,   v o l .   5 ,   n o .   2 ,   p p .   3 0 5 0 – 3 0 5 7 ,   A p r .   2 0 2 0 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / L R A . 2 0 2 0 . 2 9 7 5 7 2 7 .   [ 2 4 ]   E.   A r c a r i   e t   a l . ,   “ B a y e si a n   M u l t i - T a s k   L e a r n i n g   M P C   f o r   R o b o t i c   M o b i l e   M a n i p u l a t i o n , ”   I E EE  R o b o t i c s  a n d   A u t o m a t i o n   L e t t e rs ,  v o l .   8 ,   n o .   6 ,   p p .   3 2 2 2 – 3 2 2 9 ,   Ju n .   2 0 2 3 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / L R A . 2 0 2 3 . 3 2 6 4 7 5 8 .   [ 2 5 ]   M .   R o se n f e l d e r ,   L .   B o l d ,   H .   Es c h man n ,   P .   Eb e r h a r d ,   K .   W o r t h man n ,   a n d   H .   Eb e l ,   “ D a t a - d r i v e n   p r e d i c t i v e   c o n t r o l   o f   n o n h o l o n o mi c   r o b o t s  b a se d   o n   a   b i l i n e a r   K o o p man   r e a l i z a t i o n :   D a t a   d o e s  n o t   r e p l a c e   g e o me t r y , ”   Ro b o t i c s   a n d   Au t o n o m o u s   S y s t e m s ,   v o l .   1 9 4 ,   p .   1 0 5 1 5 6 ,   D e c .   2 0 2 5 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . r o b o t . 2 0 2 5 . 1 0 5 1 5 6 .   [ 2 6 ]   A .   C a u l i g i ,   P .   C u l b e r t so n ,   E .   S c h me r l i n g ,   M .   S c h w a g e r ,   B .   S t e l l a t o ,   a n d   M .   P a v o n e ,   “ C o C o :   O n l i n e   M i x e d - I n t e g e r   C o n t r o l   V i a   S u p e r v i se d   L e a r n i n g , ”   I E EE  R o b o t i c s  a n d   A u t o m a t i o n   L e t t e rs ,   v o l .   7 ,   n o .   2 ,   p p .   1 4 4 7 – 1 4 5 4 ,   A p r .   2 0 2 2 ,   d o i :   1 0 . 1 1 0 9 / L R A . 2 0 2 1 . 3 1 3 5 9 3 1 .   [ 2 7 ]   J.  A .   E.   A n d e r sso n ,   J.  G i l l i s,  G .   H o r n ,   J.  B .   R a w l i n g s,  a n d   M .   D i e h l ,   “ C a s A D i :   a   so f t w a r e   f r a mew o r k   f o r   n o n l i n e a r   o p t i mi z a t i o n   a n d   o p t i mal   c o n t r o l , ”   Ma t h e m a t i c a l   Pro g ra m m i n g   C o m p u t a t i o n ,   v o l .   1 1 ,   n o .   1 ,   p p .   1 – 3 6 ,   M a r .   2 0 1 9 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / s1 2 5 3 2 - 018 - 0 1 3 9 - 4.   [ 2 8 ]   R .   Q u i r y n e n ,   S .   G r o s,  B .   H o u sk a ,   a n d   M .   D i e h l ,   “ L i f t e d   c o l l o c a t i o n   i n t e g r a t o r s  f o r   d i r e c t   o p t i m a l   c o n t r o l   i n   A C A D O   t o o l k i t , ”   Ma t h e m a t i c a l   Pr o g ra m m i n g   C o m p u t a t i o n ,   v o l .   9 ,   n o .   4 ,   p p .   5 2 7 – 5 7 1 ,   D e c .   2 0 1 7 ,   d o i :   1 0 . 1 0 0 7 / s1 2 5 3 2 - 0 1 7 - 0 1 1 9 - 0.   [ 2 9 ]   M .   R a i ssi ,   P .   P e r d i k a r i s ,   a n d   G .   E.   K a r n i a d a k i s,   “ P h y si c s - i n f o r me d   n e u r a l   n e t w o r k s:   A   d e e p   l e a r n i n g   f r a me w o r k   f o r   so l v i n g   f o r w a r d   a n d   i n v e r se   p r o b l e ms  i n v o l v i n g   n o n l i n e a r   p a r t i a l   d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n s,”   J o u r n a l   o f   C o m p u t a t i o n a l   Ph y si c s ,   v o l .   3 7 8 ,   p p .   6 8 6 – 7 0 7 ,   F e b .   2 0 1 9 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . j c p . 2 0 1 8 . 1 0 . 0 4 5 .   [ 3 0 ]   T .   S c h i z   a n d   H .   Eb e l ,   “ R e d u c i n g   t h e   c o mm u n i c a t i o n   o f   d i st r i b u t e d   m o d e l   p r e d i c t i v e   c o n t r o l :   A u t o e n c o d e r s  a n d   f o r mat i o n   c o n t r o l , ”   C o n t ro l   E n g i n e e ri n g   Pr a c t i c e ,   v o l .   1 6 5 ,   p .   1 0 6 5 6 0 ,   D e c .   2 0 2 5 ,   d o i :   1 0 . 1 0 1 6 / j . c o n e n g p r a c . 2 0 2 5 . 1 0 6 5 6 0 .       B I O G RAP H I E S O F   AUTH O RS       Ta o u fi k   B e l k e b ir           re c e iv e d   th e   E n g in e e rin g   d e g re e   in   E lec tro n ics   a n d   I n d u strial  C o m p u ti n g   f ro m   th e   Na ti o n a l  S c h o o l  o f   A p p li e d   S c ien c e s  (ENS A ),   Ou j d a ,   M o r o c c o ,   in   2 0 1 2 ,   a n d   t h e   M a ste r’s  d e g re e   in   P ro jec t  M a n a g e m e n t  in   2 0 1 6 .   He   is  c u rre n tl y   p u rsu i n g   t h e   P h . D.   d e g re e   w it h   th e   L RS I  L a b o ra t o ry ,   F a c u lt y   o f   S c ien c e s  a n d   T e c h n o lo g y   (F S T ),   Un iv e rsit y   S id i   M o h a m m e d   Be n   A b d e ll a h ,   F e z ,   M o ro c c o .   His  re se a rc h   in tere sts  in c lu d e   o p ti m a l  c o n tro l,   m o d e l  p re d ictiv e   c o n tr o l,   re i n f o rc e m e n t  lea rn in g ,   a n d   a u to n o m o u s  m o b il e   ro b o ti c s.  He   c a n   b e   c o n tac ted   a t  e m a il :  b e lk e b ir. tao u f ik @u sm b a . a c . m a .       Evaluation Warning : The document was created with Spire.PDF for Python.